Решить систему способом подстановки: Метод подстановки — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Решение СЛАУ методами подстановки и сложения

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, уравнение

линейное, а уравнения

и

не являются линейными.

В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа
 

называются коэффициентами при переменных, а
 —
свободными членами.

Совокупность чисел


называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений
с двумя переменными и два метода их решения — метод подстановки и метод сложения. Эти методы являются основой изучаемого в курсе
высшей математике метода Гаусса. (Принципиально иной метод — метод Крамера —
основан на использовании определителей).

Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим два школьных метода.

Решение. При решении системы линейный уравнений методом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают
одну переменную через другую (другие, если неизвестных больше двух). Полученное выражение подставляют в другие уравнения, в результате чего приходят к уравнению
с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй (и третьей, если она есть) переменной.

Начнём со вполне школьного примера системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Выразим из первого уравнения
данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:

Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим систему

Данная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную.
Решим это уравнение:

Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение
, откуда

Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.

Методом подстановки можно решать и системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из третьего уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы:

.

Произведём преобразования и выразим из этого уравнения :

Полученные выражения для и подставим в первое уравнение системы и получим

.

Вместо можно вновь подставить его выражение, тогда получим
уравнение с одним неизвестным:

откуда

.

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим :

.

Подставим это выражение во второе уравнение данной системы, после чего выполним преобразования и получим:

Из третьего уравнения выразим :

Полученное выражение для подставим в преобразованное второе уравнение системы и получим уравнение с одним неизвестным:

.

Произведём преобразования и найдём :

Теперь из ранее полученных выражений для остальных переменных найдём и эти переменные:

Итак, решение данной системы линейных уравнений:

.

При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём
одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной
(равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. В уравнениях данной системы в этом примере системы коэффициенты при y — противоположные числа.
Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

, или , .

Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим систему

Решим полученную систему. Подставив значение
в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:

Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением
исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом сложения

Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3,
а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:

Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной:
. Из этого уравнения находим, что . Получили

Решением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом сложения:

Решение. Для упрощения решения произведём замену переменных:

, .

Приходим к системе линейных уравнений:

или

Умножим второе уравнение полученной системы на -2 и сложим с первым уравнением, получим
,
. Тогда .

Следовательно, имеем систему уравнений

или

Умножим второе уравнение полученной системы на 3 и сложим с первым уравнением. Получим

.

Решив задачи из примеров на решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения, мы научились производить элементарные преобразования,
необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.

Продолжение темы «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Вопросы
занятия:

· 
показать еще один способ решения систем линейных уравнений – способ
подстановки.

Материал
урока

На
прошлом уроке мы с вами говорили о системе линейных уравнений с двумя
переменными.

 

Нам
уже знаком графический способ решения систем линейных уравнений.

Мы
также отмечали, что графический способ чаще всего позволяет находить решения
лишь приближённо.

Сегодня
на уроке мы познакомимся с ещё одним способом решения систем линейных уравнений
с двумя переменными, который называют способом
подстановки
.

Итак,
рассмотрим следующую систему

Заметим,
что во втором уравнении системы коэффициент при у
равен 1, поэтому мы легко можем выразить переменную у через переменную х.

Далее
мы подставим вместо у в
первое уравнение системы это выражение и получим уравнение с одной переменной х.

Решим
это уравнение.

Вот
так мы с вами решили систему уравнений способом подстановки.

Таким
образом, чтобы решить систему уравнений способом подстановки, надо:

1. 
выразить
из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

2. 
подставить
вместо этой переменной полученное выражение в другое уравнение системы;

3. 
решить
получившееся уравнение с одной переменной;

4. 
найти
соответствующее значение второй переменной.

Ранее
мы с вами говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют
одни и те же корни.

То
же самое можно сказать и о системах уравнений.

Определение.

Системы
уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Системы,
которые не имеют решений, также являются равносильными.

Ну
а теперь давайте решим несколько систем рассмотренным выше способом.

Пример.

Пример.

Итоги
урока

На
этом уроке мы рассмотрели алгоритм решения систем линейных уравнений способом
подстановки и научились решать системы этим способом.

Метод подстановки при решении системы линейных уравнений

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными можно использовать графический метод. Однако алгебраический является более надежным. Одним из алгебраических методов является метод подстановки.

Суть метода подстановки заключается в следующем. В одном уравнении (не важно каком) системы одна переменная выражается через другую. После этого во второе уравнение системы вместо соответствующей переменной подставляется выражение, которому равна эта переменная, полученное ранее. Приведем пример; допустим, дана система уравнений:

| 10x + 10y + 10 = 0
| –2x – 4y – 8 = 0

Выразим во втором уравнении y через x:
–4y = 2x + 8
y = (2x + 8) / –4
y = –0.5x – 2

Теперь подставим в первое уравнение вместо y выражение –0.5x – 2. Это допустимо, так как y равен этому выражению, то есть y и это выражение эквивалентны. Получим:
10x + 10(–0.5x – 2) + 10 = 0

Теперь решим полученное уравнение с одной переменной, то есть найдем значение x.
10x – 5x – 20 + 10 = 0
5x – 10 = 0
5x = 10
x = 2

Для того, чтобы найти y надо подставить значение x в любое линейное уравнение из системы, но проще в то, где y уже выражен через x:
y = –0.5x – 2 = y = –0.5 * 2 – 2 = –1 – 2 = –3

Таким образом решением заданной системы уравнений являются значения x = 2, y = –3.

Проверим это, подставив соответствующие значения в одно или оба линейных уравнения системы:
10x + 10y + 10 = 10 * 2 + 10 * (–3) + 10 = 20 – 30 + 10 = 0 — верное равенство
–2x – 4y – 8 = –2 * 2 – 4 * (–3) – 8 = –4 + 12 – 8 = 0 — верное равенство

При использовании метода подстановки не важно выражать ли x через y или как в приведенном примере y через x. При выборе исходить надо из удобства: что проще из чего выразить. Например, в уравнении 4.35x + y – 1.5 проще выразить y через x: y = 1.5 – 4.35x. А вот в уравнении 2x – 4y = 0 лучше выразить x через y: x = 2y.

Как отмечалось выше уравнение, которое подвергается преобразованию, также можно выбрать произвольно, исходя из принципа удобства.

Урок по алгебре 7 класса по теме » Решение систем двух линейных уравнений способом подстановки»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА (7 класс)

«Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Тема и номер урока в теме: Способ подстановки ( первый урок из трех).

Базовый учебник: Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин,Ю.В. Сидоров и др.– 17-е изд. – М. : Просвещение, 2010.

Цель урока: формировать представление о системе уравнений; познакомить учащихся со способом подстановки его применением при решении системы уравнения.

Задачи:

— образовательные (формирование познавательных УУД):

научить в процессе реальной ситуации использовать способ подстановки;

— воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

— развивающие (формирование регулятивных УУД)

умение обрабатывать информацию; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний.

Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, индивидуальная

 Организация деятельности учащихся на уроке:

-самостоятельно выходят на проблему и решают её;

-самостоятельно определяют тему, цели урока;

-заучивают алгоритм решения системы уравнений способом подстановки;

-работают с текстом учебника;

-работают с листом самооценки при выполнении заданий;

-отвечают на вопросы;

-решают самостоятельно системы;

-оценивают себя и друг друга;

 Необходимое техническое оборудование: Компьютер, проектор, учебники по алгебре, раздаточный материал (оценочный лист, карточки с дополнительным заданием), электронная презентация, выполненная в программе Power Point.

Ход урока

I. Организационный этап

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку;

Учащиеся готовы к началу работы.

II Вводная беседа. Актуализация знаний.

Немного повторим :

Проверяем ,самопроверка.(Слайд №2) — постановка оценки в оценочный лист

(слайд 3: устный счет) – оценка

2х+у=6; 3у-х=4; 2у+х=6; 4х+9у=11; -2у+7х=15; ( работаем вместе на слайде маркером).

Продолжим работу по домашним тетрадям обменялись тетрадями, взаимопроверка, проверяем по тетради …Кто уверен, что у него все правильно?( через камеру)

( выставление оценки) ( пока выставляют оценки, включить презентацию)

Слайд №5 Рассмотрим задачу (составлением системы уравнений)

Ученик задумал два числа и сказал, сумма этих чисел равна 6, а разность равна 3. Найдите эти числа.

Повторим теорию по системам уравнений (Слайды5,7,8)

  • Определение системы

  • Решить систему

  • Решение системы

III. Мотивация

Ребята, давайте с вами решим эту систему, а умеем?!:

Так значит тема сегодняшнего урока:

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки. ( Записать на зеленой доске)

Что вы хотите узнать?

Ответы ребят:

  • Правило решения системы подстановкой

  • Как записывать решение системы

  • Как записывать ответ системы

Это и будет нашими целями на урок.

IV. Изучение нового материала

Существует определенный алгоритм способа постановки ( учебник).

Работа над алгоритмом решения системы уравнений способом подстановки учебник стр.151( пока они читают, прикрепить алгоритм на зеленую доску и закрыть презентацию)

Поработаем по памятке, которую я предложила вам.

( зачитать) + памятки на парке у каждого.

А что мы уже умеем делать по этому алгоритму?

( Выражать одно неизвестное через другое, решать уравнение с одним неизвестным, записывать координаты точек) Осталось только научится?…

Итак, решаем систему уравнений. (запись на зеленой доске, чтобы осталось для подведения итога урока)

1.Х= 6-у,

2.6-у-у=3

3.-2у=-3

У=1,5

4.х= 6-1,5=4,5

5.Ответ (4,5;1,5)

V. Первичное закрепление знаний

Решить систему способом подстановки( пишем на интерактивной доске)

№ 627(1) , № 628(1), решение с доской

Самостоятельная работа с проверкой в классе

№ 627(3) , № 628(3),

Проверка через камеру

Самостоятельная работа в домашних тетрадях по вариантам:

1 вариант : №627 (5), 2 вариант : № 628(6),

V1.Итог урока

Вспоминаем алгоритм решения системы уравнений способом подстановки. Просматриваем его на зеленой доске.

Учащиеся отвечают на вопросы.

X. Информация о домашнем задании ( записать на зеленой доске)

П.43, выучить алгоритм;

№ 627(2,4) , № 628(2,4),

VII1.Этап оценивания знаний Работают по оценочному листу

Учащиеся сами выставляют себе отметки согласно критериям
ХI.Рефлексия Считают среднее арифметическое

Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Методы решения систем уравнения.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
   6x-9y=-30
-4y+9y=2+30

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Презентация на тему: Решение систем линейных уравнений способом подстановки


1


Первый слайд презентации

Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Изображение слайда


2


Слайд 2

Р ешением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает каждое из уравнений системы в верное равенство.
— решение системы уравнений
Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Изображение слайда


3


Слайд 3

Графический способ
— решение системы
уравнений
Е сли прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
Е сли прямые параллельны, то система не имеет решений.
Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Изображение слайда


4


Слайд 4

Способ подстановки
Ответ:

Изображение слайда


5


Слайд 5

Ч тобы решить систему линейных уравнений
способом подстановки, надо:
выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
подставить вместо этой переменной полученное выражение в другое уравнение системы;
решить получившееся уравнение с одной переменной;
найти соответствующее значение второй переменной.

Изображение слайда


6


Слайд 6

С истемы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Системы, которые не имеют решений, также являются равносильными.

Изображение слайда


7


Слайд 7

Пример. Решите систему.
,
Ответ:

Изображение слайда


8


Последний слайд презентации: Решение систем линейных уравнений способом подстановки

Пример. Решите систему.
Ответ:

Изображение слайда

«Решение систем уравнений способом подстановки» конспект урока алгебры 8 класс.

Управление образования администрации муниципального образования «Вельский муниципальный район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №92 г. Вельска»

«Решение систем уравнений способом подстановки»

конспект урока алгебры 8 класс.

г. Вельск

2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение. 3

2. Основная часть. 4

3. Заключение. 10

4. Список литературы. 10

5. Приложения. 11

Введение.

В данной методической разработке представлен конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение систем уравнений способом подстановки». Этот материал будет интересен учителям математики по применению проблемно-деятельностного подхода.

Актуальность этой методической разработки состоит в том, что представленный урок математики  разработан с элементами ФГОС. Выбранная тема урока, важный материал для обучающихся 8 класса, так как прочные знания по этой теме помогут решить данное задание при сдаче ОГЭ, а также для решения задач различной тематики и сложности. В данной методической разработке показан урок «открытия» нового знания.

Структура урока «открытия» нового знания (первый из трех в данной теме)

1)этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности;

2) этап актуализации и пробного учебного действия;

3) этап создания проблемной ситуации и выхода из затруднения;

4) этап построения проекта выхода из затруднения, изучение нового;

5) этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи;

6) этап включения в систему знаний и повторения;

7) этап рефлексии учебной деятельности на уроке.

Цель: формировать представление о системе уравнений; познакомить обучающихся со способом подстановки его применением при решении системы уравнения.

Задачи:

  • Научить в реальной ситуации использовать способ подстановки;

  • Учить слушать вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

  • Развивать умение обрабатывать информацию, формировать коммуникативную компетенцию, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

  1. Техническое оборудование: Компьютер, проектор, учебник «Алгебра» для 8 класса под редакцией Г.Ф.Дорофеева. Издательство Москва «Просвещение» 2009год., электронная презентация.

Основная часть

Технологическая карта урока алгебры в 8 классе по теме «Решение систем уравнений способом подстановки»

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1. Организационный момент

Создать благоприятный психологический настрой на работу

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Включаются в деловой ритм урока.

Личностные: самоопределение.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

2. Вводная беседа.

Актуализация опорных знаний и способов действий.

Новые знания будет трудно осваивать без умения быстро и верно решать уравнения и системы уравнений, а также знаний теории. (Приложение1, Слайд 1)

а) Что является решением уравнения с двумя переменными?

б)Что значит решить систему уравнений?

в) Какими способами можно решить систему уравнений?

г) Что является решением системы уравнений?

Устная работа по презентации.

1). Является ли пара чисел (3;1) решением уравнения:(Приложение1, Слайд 2)

2) В данных уравнениях выразите переменную у через х: (Приложение1, Слайд 3)

3) 1. Выясните, является ли пара чисел (–1; 1) решением системы уравнений: (Приложение1, Слайд 4)

Повторяем алгоритмы решения систем уравнений

методом алгебраического сложения.

1).Назовите этапы метода алгебраического сложения, если имеются противоположные коэффициенты

2)Назовите этапы метода алгебраического сложения, если нет противоположных коэффициентов

3). Решите системы уравнений (устно) (Приложение1, Слайд 5)

Отвечают на вопросы учителя, выполняют устные задания.

Коммуникативные: развитие устной научной речи, умение слушать и говорить.

Познавательные: анализ и разделение алгоритма на два случая.

3.Целеполагание и мотивация

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.

На доске записаны две системы линейных уравнений.

К доске выходят по очереди 2 ученика и решают совместно с классом системы уравнений, (Приложение 4).

Ответить на вопрос:

— какими способами можно решить систему уравнений?

— А можно ли решить систему уравнений б) другим способом, не выполняя построения графика?

— А как решить систему уравнений используя умения выражать одну переменную через другую? (Приложение1, Слайд 6)

— Как этот способ можно назвать?

-Какая цель нашего урока сегодня?

-Чему должны научиться на уроке? Это и будут наши цели на урок.

Запишите тему урока « Способ подстановки» (Приложение2,Слайд 7)

Решают системы

Обобщают знания о методах решения систем уравнений.

Выясняют, что можно использовать другой способ решения систем уравнений. Способ подстановки.

Цель урока: Решение систем уравнений способом подстановки.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: постановка вопросов.

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование цели урока.

4. Изучение нового материала.

Работа над алгоритмом решения системы уравнений способом подстановки.

Работа над алгоритмом решения системы уравнений способом подстановки.( Приложение2, Слайд 8,9). Алгоритм в учебнике стр. 176

Пример решения системы уравнения. (Приложение2, Слайд 10).

Учащиеся работают с учебником.

Познавательные:

применение новых знаний на практике.

5. Первичное закрепление.

Обучение применению алгоритма.

Устная работа: 1. Определите, из какого уравнения системы и какую переменную удобнее выразить. (Приложение2, Слайд 11)

Давайте решим систему уравнений б) новым способом – подстановкой ( Приложение 4). Сравните ответы.

Оба способа дают один и тот же результат.

Определяют какую переменную удобнее выразить.

Делают вывод- системы уравнений можно решать разными способами.

Познавательные:

применение новых знаний на практике, умение делать выводы о способах решения систем уравнений.

6. Включение новых знаний в систему учебных действий.

Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий.

Решают из учебника № 650 (а,в,д), № 651(а,в,д), (Приложение 5) , № 652(а,в) (Приложение 6).

Учащиеся выходят решать к доске, комментируя применение алгоритма.

На местах самостоятельное решение в тетради с проверкой.

Коммуникативные: контроль, коррекция, оценка действий.

7. Подведение итогов урока.

Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся

-Какими способами можно решить систему уравнений?

-Расскажите алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.

-Каким способом больше нравиться решать системы уравнений? (Приложение2, Слайд 12)

Правильно выбирать способ решения систем уравнений.

Регулятивные: оценка-осознание уровня и качества усвоения; контроль

8. Информация о домашнем задании.

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

№ 650 (б,г), № 651(б,г),№ 652(б,г), с 175-176 (Приложение3, Слайд 13)

9. Рефлексия

Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.

Закончите предложение:

Мне на уроке понравилось….

Мне показалось сложным…

Я бы еще хотел выполнить…

Главным результатом считаю…

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли и эмоции;

Познавательные: рефлексия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная методическая разработка была посвящена уроку «открытия» новых знаний по алгебре в 8 классе. Урок был проведен для учителей школы в рамках методической недели.

Задача учителя активизировать деятельность каждого учащегося, создать ситуации для их творческой активности в процессе обучения. Использование новых технологий не только оживляет и разнообразит учебный процесс, но и открывает большие возможности для расширения образовательных рамок, несомненно, несет в себе огромный мотивационный потенциал и способствует принципам индивидуализации обучения.

Из проделанной работы можно сделать следующие общие выводы: для повышения интереса к математике необходимо применять различные технологии, а правильная организация работы по математике и подбор материала поможет созданию эмоционального настроения учащихся по решению учебных задач урока, и тем самым обеспечить прочные и осознанные знания изучаемого материала.

Литература

  1. Учебник «Алгебра» для 8 класса под редакцией Г.Ф.Дорофеева. Издательство Москва «Просвещение» 2009год.

  2. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса к учебнику алгебры 8 класс под редакцией Г.Ф.Дорофеева.

  3. Образовательные порталы интернета.

Приложение 4

Решение систем уравнений способом сложения.

а) домножим первое уравнение на 2

(-) вычтем из второго уравнения первое

х=3, найдем у, подставив 3 вместо х в первое уравнение

3·4+6у=9

6у=-3

у=-

Ответ: ( -3;-0.5)

б)

13х=26

х=2 10·2+5у=10

5у=-10

у=-2

Ответ: (2; -2).

Решим эту же систему уравнений способом подстановки.

выразим из второго уравнения у=2-2х.

Подставим вместо у, выражение у=2-2х в первое уравнение.

3х-5(2-2х)=16

3х-10+10х=16

13х=26

Х=2

Найдем у. у=2-2·2= -2

Ответ :(2; -2)

Приложение 5

Решают из учебника № 650 (а,в,д), № 652(а,в,д).

в) д)

3х+2х=5 у=2 2b+3b+=-15 z-4+2z=14

5х=5 5b=-15 3z=18

х=1 b=-3, a=-3 z=6, y=6-4, y=2

Ответ: (1;2) Ответ: (-3;-3) Ответ:(2;6).

№ 651(а,в,д),

а) в)

у=21-х у=21-8 х=2у+5 х=2·(-0,5)+5

21-х-х=3 у=3 3(2у+5)+4у=10 х=4

-2х=-18 6у+15+4у=10

х=9 10у=-5

Ответ:(9;3) у=-0,5

Ответ: (4;-0,5)

д)

u=1-2v u=1-4

3(1-2v)+5v=1 u=-3

3-6v+5v=1

-v=-2

v=2

Ответ: (-3;2)

Приложение 6.

№ 652(а,в)

Решите систему уравнений, применив любой из известных вам способов:

Подстановка:

а)

n=8-2m n=8-10

3m+4(8-2m)=7 n=-2

3m+32-8m=7

-5m=-25

m=5

Ответ: (-5;2)

Сложение:

в) 5·(-47) + 2b=15

-235+2b=15

a=-47 2b=250

b=125

Ответ:(-47; 125)

Решение систем линейных уравнений с заменой

Системы линейных уравнений:

А

система

линейные уравнения

представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных

(

Икс

а также

y

)

, график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

  • Линии пересекаются в нулевых точках.(Линии параллельны.)
  • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
  • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)


Как решить систему с помощью


Метод замены


  • Шаг

    1

    :

    Сначала решите одно линейное уравнение для

    y

    с точки зрения

    Икс

    .


  • Шаг

    2

    :

    Затем замените это выражение на

    y

    в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в

    Икс

    .


  • Шаг

    3

    :

    Решите это, и у вас будет

    Икс

    -координата перекрестка.


  • Шаг

    4

    :

    Затем подключите

    Икс

    к любому уравнению, чтобы найти соответствующее

    y

    -координат.


Примечание

1

:

Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для

Икс

с точки зрения

y

, и — такая же разница!


Пример:

Решите систему

{

3

Икс

+

2

y

знак равно

16

7

Икс

+

y

знак равно

19

    Решите второе уравнение относительно

    y

    .

    y

    знак равно

    19

    7

    Икс

    Заменять

    19

    7

    Икс

    для

    y

    в первом уравнении и решить для

    Икс

    .

    3

    Икс

    +

    2

    (

    19

    7

    Икс

    )

    знак равно

    16

    3

    Икс

    +

    38

    14

    Икс

    знак равно

    16

    11

    Икс

    знак равно

    22

    Икс

    знак равно

    2

    Заменять

    2

    для

    Икс

    в

    y

    знак равно

    19

    7

    Икс

    и решить для

    y

    .

    y

    знак равно

    19

    7

    (

    2

    )

    y

    знак равно

    5

    Решение

    (

    2

    ,

    5

    )

    .


Примечание

2

:

Если линии параллельны, ваш

Икс

-условия будут отменены в шаге

2

, и вы получите невозможное уравнение, что-то вроде

0

знак равно

3

.


Примечание

3

:

Если два уравнения представляют одну и ту же линию, все будет отменено на шаге

2

, и вы получите избыточное уравнение,

0

знак равно

0

.

Решение линейных систем заменой

Метод замены

В этом разделе мы определим полностью алгебраический метод решения систем. Идея состоит в том, чтобы решить одно уравнение относительно одной из переменных и подставить результат в другое уравнение.После выполнения этого шага замены у нас останется одно уравнение с одной переменной, которое можно решить с помощью алгебры. Это называется методом подстановки. Средство решения линейной системы путем решения для одной из переменных и подстановки результата в другое уравнение., И шаги описаны в следующем примере.

Пример 1: Решить заменой: {2x + y = 73x − 2y = −7.

Решение:

Шаг 1: Решите для любой переменной в любом уравнении.Если вы выберете первое уравнение, вы можете выделить и за один шаг.

Шаг 2: Подставьте выражение −2x + 7 для переменной y в другое уравнение .

Это оставляет вам эквивалентное уравнение с одной переменной, которое можно решить, используя методы, изученные до этого момента.

Шаг 3: Найдите оставшуюся переменную. Чтобы найти x , сначала распределите −2:

Шаг 4: Обратная подстановка Как только значение найдено для переменной, подставьте его обратно в одно из исходных уравнений или их эквивалентных уравнений, чтобы определить соответствующее значение другой переменной.чтобы найти значение другой координаты. Подставьте x = 1 в исходные уравнения или их эквиваленты. Обычно мы используем эквивалентное уравнение, которое мы нашли при выделении переменной на шаге 1.

Решение системы: (1, 5). Обязательно представляйте решение в виде заказанной пары.

Шаг 5: Проверка. Убедитесь, что эти координаты решают оба уравнения исходной системы:

График этой линейной системы следующий:

Метод подстановки для решения систем является полностью алгебраическим методом.Таким образом, графическое отображение линий не требуется.

Ответ: (1, 5)

Пример 2: Решить заменой: {2x − y = 12x − y = 3.

Решение: В этом примере мы видим, что x имеет коэффициент 1 во втором уравнении. Это означает, что его можно изолировать за один этап следующим образом:

Замените 3 + y на x в первом уравнении. Используйте круглые скобки и позаботьтесь о распространении.

Используйте x = 3 + y, чтобы найти x .

Ответ: (9, 6). Чек предоставляется читателю.

Пример 3: Решить заменой: {3x − 5y = 17x = −1.

Решение: В этом примере переменная x уже изолирована. Следовательно, мы можем подставить x = −1 в первое уравнение.

Ответ: (−1, −4).Построение графика этой конкретной системы — хорошее упражнение для сравнения метода подстановки с методом построения графиков для решения систем.

Попробуй! Решить заменой: {3x + y = 48x + 2y = 10.

Ответ: (1, 1)

Алгебраическое решение систем часто требует работы с дробями.

Пример 4: Решить заменой: {2x + 8y = 524x − 4y = −15.

Решение: Начните с решения относительно x в первом уравнении.

Затем подставляем во второе уравнение и решаем относительно y .

Обратная подстановка в уравнение, использованное на этапе замены:

Ответ: (−1/2, 3/4)

Как известно, не все линейные системы имеют только одно упорядоченное парное решение. Напомним, что некоторые системы имеют бесконечно много упорядоченных парных решений, а некоторые не имеют решений.Затем мы исследуем, что происходит при использовании метода подстановки для решения зависимой системы.

Пример 5: Решить заменой: {−5x + y = −110x − 2y = 2.

Решение: Поскольку в первом уравнении есть член с коэффициентом 1, мы решаем сначала для этого уравнения.

Затем замените это выражение на y во втором уравнении.

Этот процесс привел к истинному утверждению; следовательно, уравнение является тождественным, а любое действительное число является решением.Это указывает на то, что система зависима. Одновременные решения принимают форму ( x , mx + b ) или, в данном случае, ( x , 5 x — 1), где x — любое действительное число.

Ответ: (x, 5x − 1)

Чтобы лучше понять предыдущий пример, перепишите оба уравнения в форме пересечения наклона и изобразите их на одном и том же наборе осей.

Мы видим, что оба уравнения представляют одну и ту же линию, и, следовательно, система является зависимой.Теперь исследуем, что происходит при решении противоречивой системы с помощью метода подстановки.

Пример 6: Решить заменой: {−7x + 3y = 314x − 6y = −16.

Решение: Решите относительно и в первом уравнении.

Подставляем во второе уравнение и решаем.

Решение приводит к ложному утверждению. Это указывает на противоречие между уравнением.Нет решения для x и, следовательно, нет решения для системы.

Ответ: Нет решения, Ø

Ложное утверждение указывает на то, что система несовместима, или, говоря геометрическими терминами, что линии параллельны и не пересекаются. Чтобы проиллюстрировать это, определите форму пересечения наклона каждой линии и изобразите их на одном и том же наборе осей.

В форме пересечения наклона легко увидеть, что две линии имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .

Попробуй! Решить с помощью замены: {2x − 5y = 34x − 10y = 6.

Ответ: (x, 25x − 35)

Ключевые выводы

  • Метод подстановки — это полностью алгебраический метод решения системы уравнений.
  • Метод подстановки требует, чтобы мы решили одну из переменных, а затем подставили результат в другое уравнение. После выполнения шага подстановки результирующее уравнение имеет одну переменную и может быть решено с использованием методов, изученных до этого момента.
  • Когда значение одной из переменных определено, вернитесь и подставьте его в одно из исходных уравнений или их эквивалентных уравнений, чтобы определить соответствующее значение другой переменной.
  • Решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными, если они существуют, представляют собой упорядоченные пары ( x , y ).
  • Если процесс решения системы уравнений приводит к ложному утверждению, то система несовместима и решения нет, Ø.
  • Если процесс решения системы уравнений приводит к истинному утверждению, то система является зависимой и существует бесконечно много решений, которые можно выразить с помощью формы ( x , mx + b ).

Тематические упражнения

Часть A: Метод замещения

Решить заменой.

1. {y = 4x − 1−3x + y = 1

2.{y = 3x − 84x − y = 2

3. {x = 2y − 3x + 3y = −8

4. {x = −4y + 12x + 3y = 12

5. {y = 3x − 5x + 2y = 2

6. {y = x2x + 3y = 10

7. {y = 4x + 1−4x + y = 2

8. {y = −3x + 53x + y = 5

9. {y = 2x + 32x − y = −3

10. {y = 5x − 1x − 2y = 5

11. {y = −7x + 13x − y = 4

12. {x = 6y + 25x − 2y = 0

13. {y = −2−2x − y = −6

14.{x = −3x − 4y = −3

15. {y = −15x + 37x − 5y = 9

16. {y = 23x − 16x − 9y = 0

17. {y = 12x + 13x − 6y = 4

18. {y = −38x + 122x + 4y = 1

19. {x + y = 62x + 3y = 16

20. {x − y = 3−2x + 3y = −2

21. {2x + y = 23x − 2y = 17

22. {x − 3y = −113x + 5y = −5

23. {x + 2y = −33x − 4y = −2

24. {5x − y = 129x − y = 10

25.{x + 2y = −6−4x − 8y = 24

26. {x + 3y = −6−2x − 6y = −12

27. {−3x + y = −46x − 2y = −2

28. {x − 5y = −102x − 10y = −20

29. {3x − y = 94x + 3y = −1

30. {2x − y = 54x + 2y = −2

31. {−x + 4y = 02x − 5y = −6

32. {3y − x = 55x + 2y = −8

33. {2x − 5y = 14x + 10y = 2

34. {3x − 7y = −36x + 14y = 0

35. {10x − y = 3−5x + 12y = 1

36.{−13x + 16y = 2312x − 13y = −32

37. {13x + 23y = 114x − 13y = −112

38. {17x − y = 1214x + 12y = 2

39. {−35x + 25y = 1213x − 112y = −13

40. {12x = 23yx − 23y = 2

41. {−12x + 12y = 5814x + 12y = 14

42. {x − y = 0 − x + 2y = 3

43. {y = 3x2x − 3y = 0

44. {2x + 3y = 18−6x + 3y = −6

45. {−3x + 4y = 202x + 8y = 8

46. {5x − 3y = −13x + 2y = 7

47.{−3x + 7y = 22x + 7y = 1

48. {y = 3y = −3

49. {x = 5x = −2

50. {y = 4y = 4

Создайте линейную систему и решите ее с помощью метода подстановки.

51. Сумма двух чисел равна 19. Чем больше число, тем на 1 меньше, чем в три раза меньшее.

52. Сумма двух чисел равна 15. Чем больше 3, тем меньше в два раза.

53. Разница двух чисел равна 7, а их сумма равна 1.

54. Разница двух чисел равна 3, а их сумма равна −7.

55. Где на графике −5x + 3y = 30 координата x совпадает с координатой y ?

56. Где на графике 12x − 13y = 1 координата x совпадает с координатой y ?

Часть B: Темы дискуссионной доски

57. Опишите, что движет выбором переменной для решения в начале процесса решения с помощью подстановки.

58. Обсудите достоинства и недостатки метода замены.

ответы

1: (2, 7)

3: (−5, −1)

5: (2, 6)

7:

9: (x, 2x + 3)

11: (1/2, −5/2)

13: (4, −2)

15: (3, 12/5)

17: (−3, −7/6)

19: (2, 4)

21: (3, −4)

23: (−8/5, −7/10)

25: (х, −12x − 3)

27:

29: (2, −3)

31: (−8, −2)

33: (1/2, 0)

35:

37: (1, 1)

39: (−11/10, −2/5)

41: (-1/2, 3/4)

43: (0, 0)

45: (−4, 2)

47: (-1/5, 1/5)

49:

51: два числа — 5 и 14.

53: два числа — 4 и −3.

55: (−15, −15)

Решите системы уравнений подстановкой — элементарная алгебра

учебных целей

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите систему уравнений путем подстановки
  • Решите приложения систем уравнений подстановкой

Решение систем линейных уравнений с помощью графиков — хороший способ визуализировать типы решений, которые могут возникнуть.Однако во многих случаях решение системы с помощью построения графиков неудобно или неточно. Если графики выходят за пределы маленькой сетки с x и y оба между -10 и 10, построение линий может быть громоздким. И если решения системы не являются целыми числами, может быть трудно точно прочитать их значения с графика.

В этом разделе мы будем решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Решите систему уравнений подстановкой

Мы будем использовать ту же систему, которую мы использовали вначале для построения графиков.

Сначала мы решим одно из уравнений относительно x или y . Мы можем выбрать любое уравнение и решить любую переменную, но мы постараемся сделать выбор, который упростит работу.

Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной — и мы знаем, как его решить!

После того, как мы найдем значение одной переменной, мы подставим это значение в одно из исходных уравнений и решим для другой переменной.Наконец, мы проверяем наше решение и убеждаемся, что оно соответствует обоим уравнениям.

Теперь мы выполним все эти шаги на (Рисунок).

Как решить систему уравнений подстановкой

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите систему уравнений путем подстановки.

  1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
  2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
  3. Решите полученное уравнение.
  4. Подставьте решение шага 3 в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
  5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Если одно из уравнений в системе задано в форме углового пересечения, шаг 1 уже выполнен! Мы увидим это на (Рисунок).

Решите систему заменой.

Решение

Второе уравнение уже решено для y . Мы заменим выражение на в первом уравнении.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Если уравнения представлены в стандартной форме, нам нужно будет начать с решения для одной из переменных.В следующем примере мы решим первое уравнение относительно y .

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Затем мы подставим это выражение в другое уравнение.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

На (рис.) Проще всего было решить для y в первом уравнении, потому что оно имело коэффициент 1.На (Рисунок) будет проще решить для x .

Решите систему заменой.

Решение

Мы решим первое уравнение для, а затем подставим выражение во второе уравнение.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Когда оба уравнения уже решены для одной и той же переменной, их легко заменить!

Решите систему заменой.

Решение

Поскольку оба уравнения решаются относительно y , мы можем подставить одно в другое.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Будьте очень осторожны со знаками в следующем примере.

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно y .

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

На (Рисунок) потребуется немного больше работы, чтобы решить одно уравнение для x или y .

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно x .

Поскольку 0 = 0 — истинное утверждение, система непротиворечива.Уравнения зависимы. Графики этих двух уравнений дадут одну и ту же линию. У системы бесконечно много решений.

Решите систему заменой.

бесконечно много решений

Решите систему заменой.

бесконечно много решений

Вернитесь к уравнениям на (Рисунок). Есть ли способ узнать, что это одна линия?

Давайте посмотрим, что происходит в следующем примере.

Решите систему заменой.

Решение

Второе уравнение уже решено относительно y , поэтому мы можем заменить y в первом уравнении.

Поскольку 0 = −10 — ложное утверждение, уравнения несовместимы. Графики двух уравнений будут параллельными линиями. В системе нет решений.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите приложения систем уравнений подстановкой

Мы скопируем сюда стратегию решения проблем, которую мы использовали в разделе «Решение систем уравнений с помощью графического представления» для решения систем уравнений.Теперь, когда мы знаем, как решать системы с помощью подстановки, это то, что мы сделаем на шаге 5.

Как использовать стратегию решения задач для систем линейных уравнений.

  1. Прочтите проблему. Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
  2. Определите , что мы ищем.
  3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
  4. Переведите в систему уравнений.
  5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
  6. Отметьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Некоторым людям проще создать текстовые задачи с двумя переменными, чем с одной переменной. Выбирать имена переменных проще, когда все, что вам нужно сделать, это написать две буквы. Подумайте об этом в следующем примере — как бы вы сделали это с помощью только одной переменной?

Сумма двух чисел равна нулю.Одно число на девять меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна 10. Одно число на 4 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна −6. Одно число на 10 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 2 и −8.

В (Рисунок) мы будем использовать формулу для периметра прямоугольника: P = 2 L + 2 W .

Периметр прямоугольника 88.Длина в пять раз больше ширины. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 40. Длина на 4 раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.

Длина 12, ширина 8.

Периметр прямоугольника равен 58. Его длина в 5 раз больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.

Длина 23, ширина 6.

Для (Рисунок) нам нужно помнить, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, а у прямоугольного треугольника один угол 90 градусов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в десять раз больше, чем в три раза больше другого малого угла. Найдите размеры обоих углов.

Решение

Нарисуем и обозначим фигуру.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 2 раза больше, чем в 3 раза больше другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Углы 22 и 68 градусов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 18 меньше, чем удвоение размера другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Углы 36 и 54 градуса.

Хизер предложили два варианта заработной платы тренера в спортзале. Вариант А платит ей 25 000 фунтов стерлингов плюс 15 фунтов стерлингов за каждую тренировку. Вариант Б платит ей 10 000 + 40 фунтов за каждую тренировку. Сколько тренингов позволит уравнять варианты заработной платы?

Джеральдин предложили вакансии в двух страховых компаниях.Первая компания платит заработную плату в размере 12 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 50 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Сколько полисов необходимо продать, чтобы общая сумма выплат была такой же?

Потребуется продать 160 полисов, чтобы общая сумма оплаты была такой же.

В настоящее время Кеннет продает костюмы для компании А с зарплатой 22 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 10 фунтов стерлингов за каждый проданный костюм. Компания B предлагает ему должность с окладом в размере 28 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 4 евро за каждый проданный костюм.Сколько костюмов нужно продать Кеннету, чтобы варианты были равны?

Кеннету нужно будет продать 1000 костюмов.

Ключевые концепции

  • Решите систему уравнений заменой
    1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
    2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
    3. Решите полученное уравнение.
    4. Подставьте решение шага 3 в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
    5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
    6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.
Практика ведет к совершенству

Решите систему уравнений подстановкой

В следующих упражнениях решите системы уравнений путем подстановки.

Бесконечно много решений

Бесконечно много решений

Решите приложения систем уравнений подстановкой

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна 15. Одно число на 3 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна 30. Одно число на 4 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна −26. Одно число на 12 меньше другого. Найдите числа.

Числа -7 и -19.

Периметр прямоугольника равен 50. Длина на 5 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 60.Длина на 10 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Длина 20, ширина 10.

Периметр прямоугольника равен 58. Его длина в 5 раз больше ширины. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 84. Длина в 10 раз больше ширины более чем в три раза. Найдите длину и ширину.

Длина 34, ширина 8.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 14 раз больше, чем в 3 раза больше другого малого угла.Найдите размер обоих углов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 26 более чем в 3 раза превышает размер другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размеры: 16 ° и 74 °.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 15 меньше, чем удвоение размера другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 45 меньше, чем удвоение размера другого малого угла.Найдите размер обоих углов.

Размеры 45 ° и 45 °.

Максиму предложили вакансии два автосалона. Первая компания платит зарплату в размере 10 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 1000 фунтов стерлингов за каждую проданную машину. Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 500 фунтов стерлингов за каждую проданную машину. Сколько автомобилей нужно продать, чтобы общая сумма была такой же?

Джеки предложили должности две кабельные компании. Первая компания платит зарплату в размере? 14 000 плюс комиссия в размере 100 евро за каждый проданный пакет кабеля.Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 25 фунтов стерлингов за каждый проданный пакет кабеля. Сколько пакетов кабеля нужно продать, чтобы общая сумма была такой же?

Необходимо продать 80 пакетов кабеля.

В настоящее время Амара продает телевизоры для компании А с зарплатой 17 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный телевизор. Компания B предлагает ей должность с окладом 29 000 фунтов стерлингов плюс 20 фунтов стерлингов за каждый проданный телевизор. Какие телевизоры нужно будет продавать Amara, чтобы возможности были равными?

В настоящее время Митчелл продает печи компании А с зарплатой 12 000 фунтов стерлингов плюс 150 фунтов стерлингов за каждую проданную печь.Компания B предлагает ему должность с окладом в размере 24 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 50 фунтов стерлингов за каждую проданную печь. Сколько печей нужно продать Митчеллу, чтобы варианты были равны?

Митчеллу потребуется продать 120 печей.

Повседневная математика

Когда Глория провела 15 минут на эллиптическом тренажере, а затем 30 минут выполняла круговые тренировки, ее фитнес-приложение показало, что она сожгла 435 калорий. Когда она потратила 30 минут на эллиптический тренажер и 40 минут на круговые тренировки, она сожгла 690 калорий.Решите систему, количество калорий, которые она сжигает за каждую минуту на эллиптическом тренажере, и количество калорий, которые она сжигает за каждую минуту круговой тренировки.

Письменные упражнения

Решите систему уравнений

ⓐ по графику.
ⓑ путем замены.
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Решите систему уравнений
путем подстановки и объясните все свои шаги словами.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Решение систем уравнений подстановкой

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целочисленных значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков.Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.

Как сделать: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите, используя метод подстановки.

  1. Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
  2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
  3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
  4. Проверьте решение в обоих уравнениях.

Пример 3: Решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} -x + y = -5 \ hfill \\ \ text {} 2x — 5y = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение

Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].

[латекс] \ begin {массив} {l} -x + y = -5 \ hfill \\ \ text {} y = x — 5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы можем заменить выражение [latex] x — 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} 2x — 5y = 1 \ hfill \\ 2x — 5 \ left (x — 5 \ right) = 1 \ hfill \\ \ text {} 2x — 5x + 25 = 1 \ hfill \\ \ text {} -3x = -24 \ hfill \\ \ text {} x = 8 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} — \ left (8 \ right) + y = -5 \ hfill \\ \ text {} y = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Наше решение — [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].

Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.

[латекс] \ begin {array} {llll} -x + y = -5 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ — \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) = — 5 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {True} \ hfill \\ 2x — 5y = 1 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left ( 3 \ right) = 1 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {True} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуй 3

Решите следующую систему уравнений путем подстановки.

[латекс] \ begin {array} {l} x = y + 3 \ hfill \\ 4 = 3x — 2y \ hfill \ end {array} [/ latex]

Вопросы и ответы

Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?

Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Решение систем уравнений с использованием подстановки — задача 1

Если два уравнения представлены в форме пересечения наклона, вы можете легко использовать подстановку для решения системы, положив одно значение y равным другому значению y (поскольку в обоих уравнениях y равно чему-то).Оттуда используйте обратные операции, чтобы найти x. Получив значение x, вставьте его в любое из двух исходных уравнений системы, чтобы найти значение y. Значения x и y составляют координатную точку решения системы. Проверьте свой ответ, подставив значения x и y в оба уравнения, чтобы убедиться, что они оба верны.

Эта задача с использованием подстановки будет не слишком сложной, потому что у меня есть 2 уравнения, которые уже решены для y.Поскольку я знаю, что y равно выражению 3x плюс 1, а y также равно выражению 2x минус 3, математически имеет смысл написать 3x плюс 1 равно 2x минус 3. Этот парень равен y, и этот парень тоже равно y, поэтому я просто заменяю эти два уравнения, чтобы они выглядели как одно уравнение с одной переменной.

Теперь это проблема прямого решения. Я найду x, а затем вернусь и найду свое значение y. Итак, если я хочу найти x, я вычту 2 X с обеих сторон, так что теперь у меня x плюс 1 равно -3.Теперь мне нужно получить x сам по себе, вычитая 1 с обеих сторон, x равно -4. Имейте в виду, что это будет только половина моего ответа. Я собираюсь заключить это в рамку, как если бы я держал в уме весь свой ответ, мне все еще нужно найти, что это за значение y.

Чтобы найти y, я возьму x равным -4 и подставлю его в любое исходное уравнение, таким образом я получу свое значение y, а через секунду вернусь и проверим. Я просто собираюсь использовать первое уравнение.Я мог бы также использовать второй, и я все равно получу тот же ответ для y. Y равно 3-кратному моему количеству x плюс 1, поэтому y равно -11 ой, это +1 прямо здесь, плюс 1 хорошо. Y равно -11. Я почти уверен, что это мой ответ, я почти уверен, что именно здесь пересекаются эти линии, хотя я их не рисовал.

Чтобы проверить свою работу, я собираюсь вернуться и вставить -4 для x и -11 для y в оба исходных уравнения и убедиться, что я получаю равенства. Итак, вот мой чек, сначала я собираюсь проверить его в первом уравнении, правда ли, что мое количество y равно 3-кратному количеству x плюс 1? Давайте посмотрим, как -11 равно -12 плюс 1, да, это правда.Хорошо, я на полпути, думаю, это правильно. Мне также нужно проверить это во втором уравнении.

Мое количество y, я надеюсь, в 2 раза больше моего количества x take away 3. -8 take away 3 yap хорошо. Вот откуда я знаю, что решил эту проблему правильно. Даже если ваш учебник не просил вас проверять свою работу, всегда полезно выполнить этот процесс, это займет всего минуту, а может и меньше, и таким образом вы убедитесь, что получаете положительные оценки за домашнее задание, а также на ваших тестах.

Решение линейных систем заменой

Метод подстановки для решения линейных систем — полностью алгебраический прием.Нет необходимости рисовать линии, если вас об этом не попросят. Этот метод довольно прост и всегда работает, шаги перечислены ниже.
Плейлист Solving Linear Systems на YouTube

Решите систему, используя метод подстановки :

Шаг 1 : Используйте любое уравнение и найдите переменную.

В этом случае мы решили первое уравнение относительно y .

Шаг 2 : Подставьте полученную величину в другое уравнение.

Здесь мы подставили найденную величину y во второе уравнение.

Шаг 3 : Найдите оставшуюся переменную.

Шаг 4 : Выполните обратную замену, чтобы найти значение другой переменной.

Шаг 5 : Представьте свой ответ в виде упорядоченной пары ( x , y ).

Неважно, решите ли вы сначала решить для x или y . Однако убедитесь, что вы не выполняете замену в том же уравнении на шаге 2.

Помните, что мы пытаемся найти одновременные решения или точки пересечения двух линий. Далее мы увидим, что происходит, когда система является зависимой, другими словами, когда система состоит из двух одинаковых линий.

Решите систему, используя метод подстановки :

Решите относительно y в первом уравнении.

Любое истинное утверждение, включая 0 = 0, указывает на зависимую систему.

Следующая система состоит из двух параллельных линий, которые не имеют одновременного решения.

Решите систему, используя метод подстановки :

Решите относительно x в первом уравнении.

Любое ложное утверждение указывает на несовместимость системы.

Решите системы, используя метод подстановки .

Типичная проблема со словами : Когда Джо ушел из-за стола для игры в кости, у него было 45 фишек. У него была комбинация фишек по 5 и 25 долларов, что в сумме составило 625 долларов. Сколько у него было каждой фишки?

Составьте систему двух линейных уравнений.Решите систему.

Ответ : У Джо было 25 фишек по пять долларов и 20 фишек по двадцать пять долларов.

Примеры видео на YouTube :

Метод подстановки — Бесплатная справка по математике

Решение системы линейных уравнений: (урок 1 из 5)

Метод замещения

Метод замены наиболее полезен для систем из двух уравнений с двумя неизвестными.Основная идея здесь в том, что мы решаем одно из уравнений для одного из
неизвестных, а затем подставьте результат в другое уравнение.

Метод замещения можно применить в четыре этапа

Шаг 1:

Решите одно из уравнений для x = или y = .

Шаг 2:

Подставьте решение из шага 1 в другое уравнение.

Шаг 3:

Решите это новое уравнение.

Шаг 4:

Найдите вторую переменную.

Пример 1: Решите следующую систему заменой

$$
\ begin {выровнено}
2х + 3у & = 5 \\
х + у & = 5
\ end {выровнен}
$$

Решение:

Шаг 1: Решите одно из уравнений для x = или y = . Мы решим
второе уравнение для y.

$$
\ begin {выровнено}
х + у & = 5 \\
\ color {blue} {y} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {5 — x}
\ end {выровнен}
$$

Шаг 2: Подставьте решение из шага 1 во второе уравнение.

$$
\ begin {выровнено}
2x + 3 \ color {синий} {y} & = 5 \\
2x + 3 \ color {blue} {(5 — x)} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {5}
\ end {выровнен}
$$

Шаг 3: Решите это новое уравнение.

$$
\ begin {выровнено}
2х + 3 (5 — х) & = 5 \\
2х + 15 — 3х & = 5 \\
— х + 15 & = 5 \\
— х & = 5-15 \\
\ color {красный} {x} & \ color {красный} {=} \ color {красный} {10}
\ end {выровнен}
$$

Шаг 4: Найдите вторую переменную

$$
\ begin {выровнено}
y & = 5 — \ color {красный} {x} \\
y & = 5 — \ color {красный} {10} \\
y & = — 5
\ end {выровнен}
$$

Решение: (x, y) = (10, -5)

Примечание: не имеет значения, какое уравнение мы выберем
первый, а какой второй.Просто сначала выберите наиболее удобный!

Пример 2: Решить заменой

$$
\ begin {выровнено}
2х + 5у & = 12 \\
4x — y & = 2
\ end {выровнен}
$$

Решение:

Шаг 1. Решите одно из уравнений относительно x = или y =.
Поскольку коэффициент при y в уравнении 2 равен -1, проще всего решить относительно y в уравнении 2.

$$
\ begin {выровнено}
4х — у & = 2 \\
— у & = 2 — 4х \\
\ color {blue} {y} & \ color {blue} {=} \ color {blue} {4x — 2}
\ end {выровнен}
$$

Шаг 2: Подставьте решение из шага 1 во второе уравнение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.