Решить показательное уравнение: Как решать показательные уравнения. Методы и способы решения

Содержание

Как решать показательные уравнения

  • Альфашкола
  • Статьи
  • Как решать показательные уравнения

Мы уже неоднократно писали о том, как научиться решать показательные уравнения. Вопрос всегда сводится к знанию и умению применять алгоритм. Давайте еще раз повторим основные теоретические положения этой важной темы.

 

Если в уравнении неизвестное содержится в показателе степени, то такое уравнение называется показательным. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а>0, а≠1, х — неизвестное.

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0. {x2}\) ⇔  x1=x2.

 

Для представления числа в виде степени используют  

a > 0, a≠1, b > 0.

 

  1. Решение уравнений вида аf(x)=aq(x) сводится к решению уравнения f(x)=q(x). Иногда в таких уравнениях требуется привести обе части к одинаковому основанию степени, как правило, это разные степени одного основания.
  2. Решение уравнений вида  аf(x)=b. Для решения используем логарифмирование по основанию а, т.е. решаем уравнение f(x)=logab.
  3. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.
  4. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
  5. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями, af(x)=bf(x). Решением является решения уравнения f(x)=0.
  6. Уравнения, однородные относительно ax и bx.

Успехов!

 

Автор — Дмитрий Айстраханов

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели


Оксана Ростиславна Гришина


Репетитор по математике


Стаж (лет)


Образование:


Южный федеральный университет


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Алексей Сергеевич Макейчик


Репетитор по математике


Стаж (лет)


Образование:


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Вера Петровна Любчак


Репетитор по математике


Стаж (лет)


Образование:


Университет штата Аризона


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)

Предметы

  • Математика
  • Физика
  • Химия
  • Русский язык
  • Английский язык
  • Обществознание
  • История России
  • Биология
  • География
  • Информатика

Похожие статьи

  • Площадь треугольника
  • Средняя линия треугольника
  • Примеры решения неравенств
  • Факультет МБДА МГИМО: проходной балл, стоимость обучения
  • ЕГЭ по математике, базовый уровень. Текстовые задачи (вариант 8)
  • Числа и вычисления. База, ОГЭ
  • Ззадание №11 из ЕГЭ. Текстовые задачи
  • Новогодние блюда, которые подойдут детям и тем, кто на диете

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Текст с ошибкой:


Расскажите, что не так


Решение показательных уравнений через преобразования



Продолжаем разговор про решение показательных уравнений. Среди методов решения показательных уравнений есть метод решения уравнений через преобразования. При решении показательных уравнений этим методом используются практически все известные преобразования уравнений. Среди них можно выделить преобразования, характерные именно для показательных уравнений. С этого мы и начнем эту статью – составим список характерных преобразований показательных уравнений и приведем простейшие примеры их проведения. Дальше укажем основные направления проведения преобразований, которых следует придерживаться при решении показательных уравнений через преобразования, и рассмотрим несколько примеров с решениями.

Список характерных преобразований

Замена числа степенью


Преобразование, заключающееся в замене числа степенью, в основном используется для приведения показательного уравнения af(x)=b, a>0, a≠1, b>0 к виду af(x)=ac, c – некоторое число, с целью дальнейшего его решения, например, методом уравнивания показателей. Приведем пример. Показательное уравнение 2x=8 путем замены числа 8 степенью 23 преобразовывается в уравнение 2x=23, что дает возможность уравнять показатели и получить решение x=3.



Здесь стоит особо подчеркнуть два частных случая:



  • Число 1 всегда можно заменить нулевой степенью любого положительного числа, ведь a0=1 для любого a>0. Например, это преобразование позволяет осуществить переход от показательного уравнения 5x−3=1 к уравнению 5x−3=50, что в дальнейшем позволяет уравнять показатели и получить решение.

  • Любое положительное число a можно рассматривать как первую степень числа a, так как a=a1. Например, показательное уравнение 2x2−2·x=2 можно рассматривать как уравнение 2x2−2·x=21, что полезно в плане его решения методом уравнивания показателей.


К началу страницы

Преобразования на базе свойств степеней


Очень характерными для показательных уравнений являются преобразования, базирующиеся на свойствах степеней. Давайте рассмотрим их.



Преобразование на базе свойств умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями



Этим свойствам соответствуют равенства ap·aq=ap+q и ap:aq=ap−q, a, p и q – действительные числа, причем a>0. Первое равенство позволяет заменять произведения степеней с одинаковыми основаниями одной единственной степенью с суммой в показателе и обратно. На базе второго равенства можно частные степеней заменять одной степенью с разностью в показателе и наоборот. Рассмотрим это на примерах преобразования показательных уравнений.



Для примера возьмем показательное уравнение 2x+1·2x·2x−5=22. В его левой части, очевидно, находится произведение степеней с одинаковыми основаниями, которое в силу свойства умножения степеней с одинаковыми основаниями можно заменить степенью 2x+1+x+x−5. То есть, мы можем преобразовать показательное уравнение 2x+1·2x·2x−5=22 к виду 2x+1+x+x−5=22, который удобен для дальнейшего решения.



Теперь рассмотрим уравнение . Можно выполнить преобразование этого показательного уравнения, основываясь на свойстве деления степеней с одинаковыми основаниями. Указанное свойство позволяет заменить частное в левой части уравнения степенью 52·x−1−(x−3). В результате проведения такого преобразования получается уравнение 52·x−1−(x−3)=5, которое легко решается через уравнивание показателей.



Наконец, возьмем показательное уравнение 2x+1+5·2x−2=13. Для его преобразования равенства ap·aq=ap+q и ap:aq=ap−q используются справа налево: . Дальше полученное уравнение легко преобразовывается в уравнение 2x=22, решение которого тривиально.



Преобразования на базе свойств степени произведения и частного



Указанным свойствам отвечают равенства (a·b)p=ap·bp и (a:b)p=ap:bp, где a, p и q – действительные числа, причем a>0, b>0. Первое свойство позволяет заменять степень произведения произведением степеней и обратно, второе – степень частного частным степеней и обратно. Покажем, как преобразования, базирующиеся на этих свойствах степеней, используются при решении показательных уравнений.



Рассмотрим показательное уравнение 5·2x−(2·5)x=0. В данном случае мы имеем право провести преобразование, заключающееся в замене степени произведения (2·5)x произведением степеней 2x·5x. Выполнив его, мы придем к уравнению 5·2x−2x·5x=0, которое после вынесения за скобки общего множителя 2x может быть решено методом разложения на множители.



Вот пример использования свойства степени произведения в обратную сторону: 2x·3x=6−2, (2·3)x=6−2 и дальше 6x=6−2, x=−2.



Аналогично проводится решение показательных уравнений через преобразования, базирующиеся на свойстве степени частного. Например, это преобразование позволяет перейти от показательного уравнения к уравнению , после чего вынести общий множитель 2x за скобки и решить уравнение методом разложения на множители. А показательное уравнение следует преобразовать к виду и дальше 6x=6−2, x=−2.



Преобразование на базе свойства степени в степени



Свойству степени в степени отвечает равенство (ap)q=ap·q, где a, p и q – действительные числа, причем a>0. Покажем, как это свойство используется для преобразования показательных уравнений.



Обратимся к уравнению . В силу свойства степени в степени данное показательное уравнение можно преобразовать к виду 22·3·(x−2)=2(−1)·(1−x), что позволяет провести дальнейшее решение через уравнивание показателей.



Равенство (ap)q=ap·q для преобразования показательных уравнений может применяться и справа налево. Например, преобразование показательного уравнения 32·x−4·3x+3=0 к виду (3x)2−4·3x+3=0 позволяет вести дальнейшее решение методом введения новой переменной.



К началу страницы

Использование определения степени с отрицательным показателем


Из определения степени с отрицательным показателем следует, что , a>0. Этот результат при необходимости используется для преобразования показательных уравнений. Рассмотрим пример.



Возьмем показательное уравнение . Видно, что в его записи содержатся две степени, основания этих степеней одинаковые, а показатели отличаются знаком. В этой ситуации опора на определение степени с отрицательным показателем позволяет заменить выражение степенью 2x2−4·x. Такое преобразование приводит исходное показательное уравнение к более простому в плане решения уравнению , в котором степени уже одинаковые. Дальнейшее решение не вызывает вопросов: , , , x2−4·x=5, x2−4·x−5=0, последнее квадратное уравнение имеет два корня −1 и 5. Они составляют решение исходного показательного уравнения.



К началу страницы

Замена корней степенями


Определение степени с дробным показателем дает нам соотношение , a≥0 (в частности, ), связывающее корень со степенью. Оно дает возможность преобразовывать показательные уравнения, осуществляя замену корней степенями. Это касается как числовых выражений с корнями, так и выражений с переменными. Покажем это на примерах.



Решение показательного уравнения требует преобразования числового выражения с корнем в степень . В результате проведения такого преобразования получается показательное уравнение , решение которого находится, например, через уравнивание показателей.



Аналогично проводится преобразование показательных уравнений, в которых под знаками радикалов находятся выражения с переменными. Так с опорой на равенство мы можем преобразовать показательное уравнение к виду . Ну а дальше напрашивается преобразование по свойству степени в степени, которое мы разбирали чуть выше.



К началу страницы

Деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень


Решение уравнений в некоторых случаях проводится с использованием преобразования, заключающегося в делении обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение используется и при решении показательных уравнений. В частности, ряд показательных уравнений решается через деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень или произведение степеней. Известно, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение является равносильным, если выражение, на которое производится деление, не обращается в нуль. Так как степень af(x) не обращается в нуль ни при каких значениях переменной, то деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень или на произведение степеней является равносильным преобразованием уравнения. Рассмотрим примеры проведения указанного преобразования при решении показательных уравнений.



В основном через деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень решаются показательные уравнения, однородные относительно каких-либо степеней (см. однородные уравнения). Например, — однородное показательное уравнение первой степени относительно степеней 3x и 5x. Его решение требует деления на любую из этих степеней. Так деление на 5x дает равносильное показательное уравнение , решение которого легко находится через ряд следующих преобразований:



Показательное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно степеней и . Его решение можно провести через деление обеих частей уравнения на степень или . Покажем его полное решение.



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Деление обеих частей уравнения на одну и ту же степень позволяет решать не только однородные показательные уравнения. Например, через деление на степень 133·x+1 можно решить показательное уравнение 135·x−1·172·x−2=133·x+1.



А вот пример решения показательного уравнения через деление его обеих частей на произведение трех степеней, находящееся в правой части:



К началу страницы

Разложение чисел на простые множители


Довольно характерным преобразованием показательных уравнений является преобразование, состоящее в разложении чисел на простые множители. После него, как правило, следует преобразование, базирующееся на свойстве степени произведения. Проиллюстрируем сказанное примерами.



Допустим, нам потребовалось решить показательное уравнение 5·2x−10x=0. Решение можно начинать с разложения составного числа 10 на простые множители 2 и 5, то есть, переходить к уравнению 5·2x−(2·5)x=0

. Теперь следует применить свойство степени произведения: 5·2x−2x·5x=0. Остается вынести за скобки общий множитель 2x и решить полученное показательное уравнение методом разложения на множители.


Вот другое характерное показательное уравнение , решение которого связано с проведение преобразования, заключающегося в разложении числа на простые множители. Разложим число 504 на простые множители:



Значит, 504=23·32·7. Полученное разложение позволяет от исходного показательного уравнения перейти к уравнению , и дальше по свойству степени произведения — к уравнению , что то же самое . Полученное уравнение решается через деление его обеих частей на выражение, находящееся в правой части. Это уравнение мы решили в конце предыдущего пункта.



К началу страницы

Преобразование показательных уравнений с сопряженными выражениями


Стоит отдельно выделить группу показательных уравнений, в которых основаниями степеней с одинаковыми показателями являются сопряженные выражения. Вот пример показательного уравнения , которое является типичным представителем этой группы. Для решения подобных уравнений обычно находятся произведения степеней с сопряженными выражениями в основаниях, и полученные соотношения используются для преобразования уравнений. Например, в нашем случае



То есть, . Полученное равенство позволяет преобразовать исходное уравнение к виду . После этого остается провести деление обеих частей уравнения на степень (это преобразование мы разбирали выше), что дает очень простое равносильное уравнение 27=3x−2.



Аналогично решается показательное уравнение . Оно в силу равенства может быть преобразовано к виду , и решено методом введения новой переменной. Вот его подробное решение.



К началу страницы

Выделение целой части из рациональной дроби


Выделение целой части из рациональной дроби сложно назвать часто используемым преобразованием по отношению к показательным уравнениям и уж тем более типичным и характерным. Но оно бывает полезно при решении показательных уравнений. Так что воспользуемся случаем лишний раз напомнить про него.



Например, выделение целых частей из рациональных дробей в показательном уравнении позволяет ввести новую переменную. Действительно, и , что позволяет преобразовать исходное показательное уравнение в уравнение , и дальше по свойствам степеней . Остается принять или и довести решение до конца.



К началу страницы

Направления проведения преобразований. Примеры.


Выше мы рассмотрели самые основные и характерные преобразования показательных уравнений по отдельности, а также разобрали примеры их проведения. Но на практике при решении показательных уравнений обычно приходится проводить не одно какое-то преобразование, а серию последовательных преобразований. Естественно, при этом необходимо четко понимать, для чего проводится то или иное преобразование. Сейчас мы обозначим основные направления проведения преобразований, которых следует придерживаться при решении показательных уравнений.



Можно выделить три основных направления проведения преобразований показательных уравненийM:



  • К одинаковым степеням.

  • К одинаковым основаниям степеней.

  • К одинаковым показателям степеней.


Придерживаясь указанных направлений, следует от исходного показательного уравнения продвигаться к уравнениям, для которых известен метод решения, то есть, к уравнениям af(x)=b, af(x)=ac, af(x)=ag(x), f(g(x))=0, f1(g(x))=f2(g(x)), f1(x)·f2(x)·…·fn(x)=0 и др. Давайте разбираться с этим на конкретных примерах.



К одинаковым степеням



Стремление к одинаковым степеням, то есть, к степеням с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями, при решении показательных уравнений легко объяснимо – после получения одинаковых степеней появляется возможность привести уравнение к удобному для дальнейшего решения виду, ввести новую переменную или каким-либо другим способом продвинуться в решении. Приведем примеры.



Возьмем показательное уравнение 3x+2+3x+1+3x=39. Очевидна возможность получить одинаковые степени 3x. Реализовать ее позволяет свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями. Это свойство позволяет преобразовать исходное показательное уравнение в уравнение 3x·32+3x·31+3x=39 с одинаковыми степенями 3x. Дальше степень 3x выносится за скобки как общий множитель, и уравнение приводится к простейшему показательному уравнению 3x=3 с очевидным решением x=1.



Рассмотрим еще один пример. В показательном уравнении 49·72·x−50·7x+1=0 тоже несложно получить одинаковые степени 7x. Достичь этого позволяет опора на свойство степени в степени. По свойству степени в степени мы можем заменить 72·x выражением (7x)2, то есть, перейти к уравнению 49·(7x)2−50·7x+1=0. Это открывает путь к решению показательного уравнения через введение новой переменной 7x=t.



К одинаковым основаниям



Когда нет возможности получить одинаковые степени или такая возможность не очевидна, то можно довольствоваться получением одинаковых оснований. Это тоже бывает полезно при решении показательных уравнений. Проиллюстрируем сказанное примерами.



Несложно заметить, что выражения, отвечающие частям показательного уравнения , можно преобразовать в степени с основаниями 3. Это позволяют сделать свойства степеней и связь между корнями и степенями с дробными показателями. Действительно, так как и , то исходное показательное уравнение можно преобразовать в уравнение , которое легко решается, например, методом уравнивания показателей.



Переход к одинаковым основаниям позволяет уменьшать количество степеней с разными основаниями, что часто неплохо продвигает в решении показательных уравнений. Например, в показательном уравнении (10x)2+9·20x−10·(2x)2=0 три степени и у всех этих степеней различные основания. Представление степени 20x в виде 10x·2x позволяет преобразовать исходное уравнение к виду (10x)2+9·10x·2x−10·(2x)2=0. При этом уменьшается количество степеней с различными основаниями с трех до двух, и получается показательное уравнение, однородное относительно степеней 10x и 2x, а для таких уравнений есть стандартный метод решения.



Аналогично, в показательном уравнении представление степени 504x−2 в виде 504x−2=23·x−6·32·x−4·7x−2 уменьшает количество степеней с разными основаниями, и открывает дорогу к дальнейшему решению через деление обеих частей уравнения на 23·x−6·32·x−4·7x−2.



К одинаковым показателям



Если нет возможности вести преобразования в сторону получения одинаковых степеней или хотя бы одинаковых оснований степеней, то стоит рассмотреть возможность продвижения к одинаковым показателям степеней. Это тоже может быть полезно в плане решения показательных уравнений. Приведем примеры.



Легко заметить, что показатели степеней в записи показательного уравнения 5−3−x·133+x=1 различаются только знаками. В подобных случаях можно переходить к одинаковым показателям. В нашем случае степень 5−3−x можно рассматривать как , ведь в силу свойства степени в степени . Это позволяет от исходного уравнения перейти к показательному уравнению , в записи которого степени имеют одинаковые показатели, что в свою очередь позволяет с опорой на свойство степени произведения перейти к простейшему показательному уравнению , и получить искомое решение.



Давайте разберем еще один пример. Возьмем показательное уравнение 2·32·x=9·2x. Здесь можно осуществить переход к степеням с одинаковыми показателями, заменив 32·x на 9x. Это преобразование дает уравнение 2·9x=9·2x, которое через деление обеих частей на 2x приводится к простейшему показательному уравнению . Его решением является x=1.


РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ



Чтобы решить показательное уравнение, возьмите логарифм обеих сторон и
решить переменную.

Пример 1: Найдите x в уравнении.

Решение:

Шаг 1: Возьмите натуральное бревно с обеих сторон:

Шаг 2: Упростите левую часть приведенного выше уравнения, используя логарифмическое правило 3:

Шаг 3: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: Поскольку Ln ( e )=1, уравнение выглядит следующим образом:

Ln(80) — точный ответ, а x = 4,38202663467 — приблизительный ответ, потому что мы округлили значение Ln(80). .

Проверить: Проверить свой ответ в исходном уравнении.

Пример 2: Найдите x в уравнении

Решение:

Шаг 1: Изолируйте экспоненциальный член, прежде чем брать общий журнал обеих сторон. Следовательно, прибавьте по 8 к обеим сторонам:
Шаг 2: Возьмите общий бревно обеих сторон:

Шаг 3: Упростите левую часть приведенного выше уравнения, используя логарифмическое правило 3:

Шаг 4: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: Поскольку Log(10) = 1, приведенное выше уравнение можно записать

Шаг 5: Вычтите 5 из обеих частей приведенного выше уравнения:

это точный ответ. x = -3,16749108729 — приблизительный ответ.

Проверить: Проверить свой ответ в исходном уравнении. Делает

Да, это так.

Пример 3: Найдите x в уравнении

Решение:

Шаг 1: Когда вы рисуете левую часть уравнения, вы заметите, что график пересекает ось x в двух местах. Это означает, что уравнение имеет два действительных решения.
Шаг 2: Перепишите уравнение в квадратной форме:

Шаг 3: Фактор левой части уравнения:

теперь можно написать

Шаг 4: Найдите x. Примечание. Произведение двух слагаемых может равняться нулю только в том случае, если одно или оба слагаемых равны нулю.
Шаг 5: Установите первый коэффициент равным нулю и найдите x: Если
, тогда и и
x = Ln (2) — точный ответ или приблизительный ответ.
Шаг 6: Установите второй коэффициент равным нулю и найдите x: Если
, тогда и и х = Ln (3) — точный ответ или приблизительный ответ. Точные ответы: Ln(3) и Ln(2), а
приблизительные ответы: 0,69314718056 и 1,09861228867.

Проверить: Эти два числа должны совпадать там, где график пересекает ось x.

Примечание: Почему мы выбрали Ln в примере 3? Потому что мы знаем, что Ln ( e ) = 1.

Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите
Пример.

Работают следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и
решение, нажмите на ответ.

Задача 1: Найдите x в уравнении .

Ответ

Задача 2: Найдите x в уравнении.

Ответ

Задача 3: Найдите x в уравнении .

Ответ

Задача 4: Найдите x в уравнении .

Ответ

Задача 5: Найдите x в уравнении .

Ответ

Задача 6: Найдите x в уравнении .

Ответ


[Меню Назад к экспоненциальным функциям]
[Перейти к решению логарифмических уравнений]


[Алгебра]
[Тригонометрия]
[Сложный
Variables]
Домашняя страница S. O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.


Автор: Нэнси
Маркус


Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Связаться с нами

Математика Медикс, ООО. — П.О. Ящик 12395 — Эль-Пасо, Техас, 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

Как решить показательное уравнение – mathsathome.com

Как решить показательное уравнение: Видеоурок

Как решить показательное уравнение

выключите питание перед журналом. Полученное линейное уравнение можно решить относительно x. Например, решить 5 x = 13. Берем логи, лог(5 х ) = логарифм (13). Тогда xlog(5)=log(13). Теперь решая для x, x = log(13)/log(5). Следовательно, x≈1,59.

Решение экспоненциального уравнения: Пример 1

Решение 5 x = 13.

Шаг 1. Сделайте журналы с обеих сторон

5 x = 13 становится журналом (5 x

) = журнал. (13).

Шаг 2. Уменьшите мощность перед журналом

Степень x можно записать перед журналом так, чтобы log(5 x ) = log(13) становится xlog(5) = log(13).

Шаг 3. Решите полученное уравнение относительно x

xlog(5) = log(13) можно решить относительно x, разделив обе части уравнения на log(5).

Это можно оценить на калькуляторе, чтобы получить 𝑥 ≈ 1,59.

Решение экспоненциального уравнения: Пример 2

Решение 3 2x = 0,51

Шаг 1. Возьмите бревна с обеих сторон0309 2x ) = log(0,51).

Шаг 2. Уменьшите мощность перед журналом

Степень 2x может быть записана перед журналом так, что log(3 2x ) = log(0,51) становится 2xlog(3) = журнал (0,51).

Шаг 3. Решите полученное уравнение относительно x

2xlog(3) = log(0,51) можно решить, разделив обе части на 2log(3).

Это можно оценить как 𝑥 ≈ -0,306.

Как решать экспоненциальные уравнения с разными основаниями

Чтобы решить показательное уравнение с разными основаниями:

  1. Логарифмы обеих частей уравнения.
  2. Сбить экспоненту перед логами.
  3. Разверните и соберите x терминов.
  4. Разложите на множители и решите x.

Например, решить показательное уравнение 5 𝑥 = 2 𝑥+2 .

Шаг 1. Логарифмы обеих частей

Запишите каждую часть уравнения в журнал.

5 𝑥 = 2 𝑥+2 становится log(5 𝑥 ) = log(2 𝑥+2 ).

Шаг 2. Уменьшите экспоненту перед логами

Используйте логарифмический закон log(a b ) = blog(a), чтобы опустить мощности перед логами с обеих сторон.

log(5 𝑥 ) = log(2 𝑥+2 ) становится 𝑥log(5) = (𝑥+2)log2.

Шаг 3. Раскройте и соберите 𝑥 слагаемых

Раскрывая скобку в правой части уравнения, (𝑥+2)log2 становится 𝑥log2 +2log2.

Теперь скобка раскрыта, уравнение принимает вид 𝑥log5 = 𝑥log2 + 2log.

Нам нужно собрать все члены 𝑥 вместе в одной части уравнения. Мы вычитаем 𝑥log2 из обеих частей уравнения, что дает нам:

𝑥log5 – 𝑥log2 = 2log2.

Шаг 4. Факторизация и решение для 𝑥

Теперь члены 𝑥 находятся на одной стороне уравнения, мы можем факторизовать 𝑥.

𝑥log5 – 𝑥log2 становится 𝑥(log5 – log2).

Следовательно, уравнение принимает вид 𝑥(log5-log2) = 2log2.

Чтобы найти 𝑥, мы просто делим обе части уравнения на (log5-log2).

Поэтому .

Это точный ответ, но его можно вычислить на калькуляторе как 𝑥 ≈ 1,51.

На изображении ниже показано, как поэтапно решать показательное уравнение.

Решение показательных уравнений с e

Чтобы решить показательное уравнение с основанием e, возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения. Затем решите полученное уравнение относительно х. Например, решить e 2x =5. Возьмем натуральный логарифм обеих частей, 2x = ln(5). Разделив обе части на 2, x = ln(5)/2, что приблизительно равно 0,805.

Натуральный логарифм ln(x) является функцией, обратной e x .

Следовательно, ln(e x ) = x.

В этом примере e 2x = 5.

Взяв натуральный логарифм обеих частей, мы получим:

ln(e 2x ) = ln(5)

Здесь ln и e сокращаются, поэтому что:

2x = ln(5)

Теперь решим полученное уравнение относительно x, разделив обе части на 2.

x = ln(5)/2

Это точный ответ и вычислив его на калькуляторе, получим х ≈ 0,805.

Вот еще один пример.

Решить показательное уравнение 5e 3x = 31.

При решении показательного уравнения с e используется натуральный логарифм ln(x).

Однако важно сначала удалить все коэффициенты перед e.

Сначала разделим обе части на 5, чтобы получить:

e 3x = 6,2

Теперь коэффициент удален, можно взять натуральный логарифм.

3x = ln(6.2)

Теперь мы можем найти x, разделив обе части на 3.

x = ln(6.2)/3

Оценив это на калькуляторе 𝑥 ≈ 0,608.

Как решить показательное уравнение с одинаковым основанием

Если можно написать показательное уравнение так, чтобы оба основания были одинаковыми, уравнение можно решить, сравнивая показатели степени. Например, 2 x+4 =8 x можно записать как 2 x+4 =(2 3 ) x . При расширении получается 2 x+4 = 2 3x . Приравняв показатели степени друг к другу, x+4=3x и, следовательно, x = 2.

Решение экспоненциальных уравнений с одинаковым основанием: пример 1

В этом примере 8 является степенью числа 2, поэтому возможно чтобы записать обе части уравнения с одним и тем же основанием 2.

Решение экспоненциальных уравнений с одним и тем же основанием: Пример 2

Решить 5 2x = 5 1-x

В этом примере основания уже равны. Оба основания равны 5.

Следовательно, показатели степени должны быть равны друг другу.

2x = 1 – x

Решите это уравнение относительно x, прибавив x к обеим частям.

3x = 1

Найдите x, разделив обе части уравнения на 3.

x = 1 / 3

0316

Решить .

Во-первых, запишите обе части уравнения с одним и тем же основанием.

Мы можем использовать 9 = 3 2 и √3 = 3 1 / 2 , чтобы помочь нам.

Теперь расширяясь, получается:

Теперь основания равны, степени должны быть равны.

4𝑥 – 2 = 0,5

Теперь находим 𝑥. Прибавляем по 2 к обеим сторонам:

4𝑥 = 2,5

Теперь делим на 4 и получаем:

𝑥 = 0,625

Как решать показательные уравнения с дробными основаниями

Чтобы решить показательные уравнения с дробными основаниями:

  1. Найдите общее основание.
  2. Приравнять показатели.

Решение показательного уравнения с дробным основанием: пример 1

Решение

Шаг 1. Найдите общее основание

Сравнивая обе части уравнения, 4 и 8 являются степенями числа 2.

8 = 2 3 .

становится

Шаг 2. Приравняем степени

Теперь, когда основания равны, можно приравнять степени.

-2𝑥 = 3

Это можно решить для 𝑥, разделив обе части на -2.

Решение экспоненциального уравнения с дробным основанием: пример 2

Решение

Шаг 1. Найдите общее основание

В этом примере мы можем сравнить дроби по каждому основанию.

8 = 2 3 и 27 = 3 3 .

Поэтому .

Поэтому можно записать как.

Это упрощает до.

Шаг 2. Приравнять показатели степени

Теперь, когда основания одинаковы, можно приравнять показатели степени.

𝑥 + 6 = 9𝑥

Это уравнение можно решить, сначала вычитая 𝑥 с обеих сторон, чтобы получить 6 = 8𝑥.

Решение для 𝑥, решение .

Решение экспоненциального уравнения с дробным основанием: пример 3

Для показательных уравнений с дробями, у которых нет общего основания, логарифмируйте обе части. Затем выключите питание перед бревном и найдите 𝑥 .

Решение

Шаг 1. Сделайте журналы с обеих сторон

Шаг 2. Снимите мощность перед LOG

Шаг 3. Соглас для 𝑥

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9 . это на калькуляторе, 𝑥 = -5,57.

Как решать показательные уравнения, включающие квадратные числа

Показательное уравнение приведет к квадратному уравнению, если одно основание является квадратом другого основания. Например, уравнение 9 x -5(3 x )+6=0 можно записать как (3 x ) 2 -5(3 x )+6=0 . Подстановка k=3 x приводит к квадратному уравнению k 2 -5k+6=0. Это квадратное уравнение можно решить, чтобы найти x.

Шаги для решения экспоненциального уравнения с квадратным числом:

  1. Запишите одно основание как квадрат другого
  2. Подставьте это основание вместо k, чтобы получить квадратное число
  3. Решите полученное квадратное уравнение для k
  4. Решите показательное уравнение for x

Решение экспоненциального уравнения, ведущего к квадратному: Пример 1

Например, решить .

Мы знаем, что это уравнение приведет к квадратному, потому что 9 х — это квадрат 3 х .

Шаг 1. Запишите одно основание как другое основание в квадрате

9 x = (3 2 ) x , что можно записать как (3 x ) 0 .

Следовательно, 9 х = (3 х ) 2 .

Поэтому можно записать как .

Шаг 2. Подставьте это основание вместо k, чтобы сформировать квадратное уравнение

Мы можем подставить k = 3 x в уравнение так, чтобы получилось квадратное уравнение.

Шаг 3. Решите полученное квадратное выражение для k.

можно разложить на множители, чтобы получить (k-3)(k-2) = 0.

Следовательно, k = 3 или k = 2.

Шаг 4. Решите экспоненциальные уравнения для x

Поскольку мы положили k = 3 x , если k = 3 или k = 2, то 3 x = 3 или 3 x = 2.

Если 3 x = 3, то x = 1.

Если 3 x = 2, то мы можем решить это показательное уравнение с логарифмами.

log(3 x )=log(2) и, следовательно, xlog(3) = log(2).

Поэтому .

Оценка этого, .

Решение экспоненциального уравнения, ведущего к квадратному: Пример 2

Решить .

Шаг 1. Запишите одно основание как другое в квадрате

25 x = (5 x ) 2

Поэтому становится .

Мы можем написать как .

Шаг 2. Подставьте это основание вместо k, чтобы получить квадратное число

Пусть k = 5 x , так что это можно записать как .

Шаг 3. Решить полученное квадратное выражение для k

можно записать как (k – 4)(k – 1) = 0.

Следовательно, k = 4 или k = 1.

Шаг 4. Решить экспоненциальные уравнения для x

Так как k = 5 x , решения k = 4 и k = 1 становятся 5 x = 4 и 5 x = 1.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *