Решить определенный интеграл: ∫ Решение определённых интегралов — Калькулятор Онлайн

2

Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:

asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Определённый интеграл и методы его вычисления

  • Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница
  • Свойства определённого интеграла
  • Определённый интеграл с переменным верхним пределом
  • Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый
интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом
(Вычисляется
как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в
нижнем пределе, т. е. как F(b) — F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

            (38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

                   (39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления
определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной
функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С
из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница:
в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее — значение
нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a). Полученное число и будет
определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

Для того чтобы потренироваться в нахождении определённых интегралов,
потребуется таблица основных
неопределённых интегралов
и пособие «Действия со степенями и корнями«.

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

получим

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Пример 4. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:


Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

                         (40)

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

и


Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

                    (41)       


Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

            (42)


Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

то

                  (43)


Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

                 (44)


Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

   (45)


Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если


Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

             (46)


Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

                (47)

где

,

а через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

                       (48)

Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим

так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде

 

получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

           (49)

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x,
dv = dx; тогда du = (1/x)dx,
v = x. По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть

где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения aи b, т. е.

Тогда

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть

поскольку F(x) – первообразная для f(x).

Итак,

           (50)

Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл

после замены переменной

преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение

поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения

и

относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

Пример 9. Вычислить определённый интеграл

Решение. Произведём замену переменной, полагая

Тогда dt = 2x dx, откуда
x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение

даёт

а

Используя теперь формулу (50), получим

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Пример 11. Найти определённый интеграл

.

Правильное решение и ответ.

Назад Листать Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Метод интегрирования по частям

Интегрирование дробей

Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций

Продолжение темы «Интеграл»

Несобственные интегралы

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла

Объём тела вращения с помощью интеграла

Вычисление двойных интегралов

Длина дуги кривой с помощью интеграла

Площадь поверхности вращения с помощью интеграла

Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Определенные интегралы

Определенный интеграл функции тесно связан с первообразной и неопределенным интегралом функции. Основное отличие состоит в том, что неопределенный интеграл, если он существует, является действительным числовым значением, тогда как последние два представляют собой бесконечное число функций, отличающихся только константой. Соотношение между этими понятиями будет обсуждаться в разделе, посвященном основной теореме исчисления, и вы увидите, что определенный интеграл найдет применение во многих задачах исчисления.

Определение определенных интегралов

Развитие определения определенного интеграла начинается с функции f ( x ), которая непрерывна на отрезке [ a, b ]. Данный интервал разбит на « n » подынтервалов, которые, хотя и не являются необходимыми, могут быть приняты равными по длине (Δ x ). Произвольное значение домена, x i , выбирается в каждом подинтервале, а его последующее значение функции, f ( x i ), определяется. Произведение каждого значения функции, умноженное на длину соответствующего подинтервала, определяется, и эти произведения « n » складываются для определения их суммы. Эта сумма называется суммой Римана и может быть положительной, отрицательной или нулевой, в зависимости от поведения функции на замкнутом интервале. Например, если f ( x ) > 0 на [ a, b ], то сумма Римана будет положительным действительным числом. Если f ( x ) < 0 на [ a, b ], тогда сумма Римана будет отрицательным действительным числом. Сумма Римана функции f ( x ) на [ a, b ] выражается как

 

Таким образом, сумму Римана можно рассматривать как «сумму n произведений».

Пример 1: Оцените сумму Римана для f ( x ) = x 2 на [1,3], используя четыре подинтервала равной длины, где x i — это правая конечная точка в подинтервале i th (см. рисунок ).

Рисунок 1 Сумма Римана с четырьмя подынтервалами.

Поскольку подынтервалы должны быть одинаковой длины, вы обнаружите, что

 

Сумма Римана для четырех подынтервалов равна

 

Если количество подынтервалов многократно увеличивать, в результате длина каждого подынтервала будет становиться все меньше и меньше. Это можно переформулировать следующим образом: если количество подынтервалов неограниченно возрастает ( n → + ∞), то длина каждого подинтервала стремится к нулю (Δ x → + ∞). Этот предел суммы Римана, если он существует, используется для определения определенного интеграла функции на [ a, b ]. Если f ( x ) определено на замкнутом интервале [ a, b ], то определенный интеграл от f ( x ) от a до b 9000 определяется как 0 9007 b .

, если это ограничение выходит.

Функция f ( x ) называется подынтегральной функцией, а переменная x — переменной интегрирования. Числа a и b называются пределами интегрирования, причем числа a называются нижним пределом интегрирования, а b — верхним пределом интегрирования.

Обратите внимание, что символ ∫, используемый с неопределенным интегралом, является тем же символом, который ранее использовался для неопределенного интеграла функции. Причина этого станет более очевидной при последующем обсуждении основной теоремы исчисления. Кроме того, имейте в виду, что определенный интеграл является уникальным действительным числом и не представляет собой бесконечное число функций, являющихся результатом неопределенного интеграла функции.

Вопрос о существовании предела суммы Римана важен для рассмотрения, поскольку он определяет, существует ли определенный интеграл для функции на отрезке. Как и в случае с дифференцированием, между непрерывностью и интегрированием существует существенная связь, которая резюмируется следующим образом: если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определенный интеграл f ( x ) на [ а, б ] существует, и говорят, что f интегрируемо на [ a, b ]. Другими словами, непрерывность гарантирует существование определенного интеграла, но не обязательно обратное.

К сожалению, тот факт, что определенный интеграл функции существует на отрезке, не означает, что значение определенного интеграла легко найти.

Свойства определенных интегралов

Некоторые свойства полезны при решении задач, требующих применения определенного интеграла. Некоторые из наиболее распространенных свойств:

1. 

2. 

3. , где c — константа

4. 

5. Правило суммы:

6. Правило различия:

7. Если

8. Если

9. Если

10. Если a, b, и c — любые три точки на отрезке, то

 

11. Теорема о среднем значении для определенных интегралов: если f ( x ) непрерывно на отрезке [ a, b ], то в открытом интервале ( a, b ) существует по крайней мере одно число c такое, что

 

Значение f ( c ) называется средним или средним значением функции f ( x ) на интервале [ a, b ] и

 

Пример 2: Оценка

 

Пример 3: Учитывая, что

Пример 4: Учитывая, что

Пример 5 Оценка  

Пример 6: Учитывая, что оценка  

Пример 7: Учитывая, что вычислить .

Пример 8: Учитывая, что , оценить .

 

Пример 9: Учитывая, что найти все c значений, которые удовлетворяют теореме о среднем значении для данной функции на замкнутом интервале.

По теореме о среднем значении

 

Поскольку находится в интервале (3,6), заключение теоремы о среднем значении выполняется для этого значения c .

Основная теорема исчисления

Основная теорема исчисления устанавливает связь между неопределенными и определенными интегралами и вводит метод вычисления определенных интегралов без использования сумм Римана, что очень важно, поскольку вычисление предела суммы Римана может быть чрезвычайно трудоемким и сложным. Утверждение теоремы таково: если f ( x ) непрерывно на интервале [ a, b ], а F ( x ) является любой первообразной f ( x ) на [ a0, 8 b a0, 8 b] , затем

Другими словами, значение определенного интеграла функции на [ a, b ] представляет собой разность любой первообразной функции, вычисленной на верхнем пределе интегрирования, за вычетом той же первообразной, вычисленной на нижнем пределе интегрирования. Поскольку константы интегрирования одинаковы для обеих частей этой разности, они игнорируются при вычислении определенного интеграла, поскольку они вычитаются и дают нуль. Имея это в виду, выберите постоянную интегрирования равной нулю для всех определенных интегральных вычислений после примера 10.

Пример 10: Оценка

Поскольку общая первообразная x 2 равна (1/3)x 3 + C , вы обнаружите, что

Пример 11: Оценка

Поскольку первообразная sin x равна – cos x , вы находите, что

 

Пример 12: Оценка

(Поскольку , (производная от , и вы обнаружите, что

Пример 13: Оценка

Поскольку первообразная x 2 — 4 x + 1 равна (1/3) x 3 — 2 x 2 x 900, вы найдете 5 7 + 900, что

Определенная интегральная оценка

Многочисленные методы, которые можно использовать для вычисления неопределенных интегралов, можно использовать и для вычисления определенных интегралов. Приемы подстановки и замены переменных, интегрирования по частям, тригонометрических интегралов и тригонометрической подстановки иллюстрируются следующими примерами.

Пример 14: Оценка

Использование метода замены с

 

пределы интегрирования могут быть преобразованы из значений x в соответствующие им значения u . Когда х = 1, х = 3 и когда х = 2, х = 6, вы найдете, что

Обратите внимание, что при использовании метода подстановки для вычисления определенных интегралов нет необходимости возвращаться к исходной переменной, если пределы интегрирования преобразуются в новые значения переменных.

Пример 15: Оценка

Используя метод подстановки с u = sin x + 1, du = cos x dx , вы находите, что u = 1, когда x = π 090 и 8 = 3π/2; следовательно,

Обратите внимание, что вам никогда не приходилось возвращаться к тригонометрическим функциям в исходном интеграле для вычисления определенного интеграла.

Пример 16: Оценка

Использование интеграции по частям с

  

вы обнаружите, что

Пример 17: Оценка

Использование интеграции по частям с

 

Пример 18: Оценка  

Пример 19: Вычислить .

 

Пример 20: Оценка .

Поскольку подынтегральная функция имеет форму a 2 + х 2 ,

   

Рисунок 2 Схема для примера 20.

Пример 21: Оценка

Поскольку радикал имеет форму

 

Рисунок 3 Схема для примера 21.

Определенные интегралы — Photomath

Исследуйте интегралы

Итак, вы узнали о неопределённых интегралах, но теперь пришло время проявить себя определённому интегралу! 9b f(x)$$

— область со знаком области, которая ограничена функцией, осью $$x$$ и вертикальными линиями $$x=a$$ и $$x=b$$.

Хотите знать, как мы найдем определенный интеграл?

Что ж, чтобы найти определенный интеграл, мы на самом деле сначала находим неопределенный интеграл, а затем возвращаем пределы интегрирования.

«Подождите… а что значит вернуть пределы интегрирования?»

Хороший вопрос!

Когда вычисляется неопределенный интеграл от $$f$$, мы получаем следующий вывод: 9b=F(b)-F(a)$$

Точно так же, как когда мы работали с неопределенными интегралами, нам нужно будет использовать правила и свойства интегрирования, чтобы помочь нам:

9{\ простое число} (т) dt = \ int {f (x)} dx $ $

интегралы $$\int{(c\times f(x))}dx=c\times \int{f(x)}dx$$
Постоянная кратность интегралов
Сборка по частям $$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$

Почему так полезен определенный интеграл?

Как уже упоминалось, с помощью определенного интеграла можно найти площадь со знаком области, ограниченной функцией, осью $$x$$ и вертикальными линиями $$x=a$$ и $ $x=b$$, где $$a$$ и $$b$$ — пределы интегрирования.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *