Решения неравенств систем: Системы неравенств — урок. Алгебра, 9 класс.

2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Содержание

Решение системы неравенств

Чтобы

решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.


Пример. Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:



Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс  из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:



А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.



Ответ: \((4;7]\)


Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.


Пример: (Задание из ОГЭ)  Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Решение:





















\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)


Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.


1) \(7(3x+2)-3(7x+2)>2x\)


Раскроем скобки.


\(21x+14-21x-6>2x\)


Приведем подобные слагаемые.


\(8>2x\)


Перевернем получившееся неравенство.


\(2x<8\)


Поделим все неравенство на \(2\).


\(x<4\)


Отметим решение на числовой прямой.


   


Запишем ответ для первого неравенства.


\(x∈(-∞;4)\)


Теперь решим второе неравенство.


2) \((x-5)(x+8)<0\)


Неравенство уже в идеальном виде для применения метода интервалов.


 


Запишем ответ для второго неравенства.2\)


\(10-2x≥0\)


Перед нами обычное линейное неравенство – выразим \(x\). Для этого перенесем \(10\) в правую часть.


\(-2x≥-10\)


Поделим неравенство на \(-2\). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.


\(x≤5\)


Отметим решение на числовой прямой.


Запишем ответ к первому неравенству.


\(x∈(-∞;5]\)


На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.


2) \(2-7x≤14-3x\)


Опять линейное неравенство – опять выражаем \(x\).2-28x+196\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)


В первом перенесем все слагаемые в левую часть. И приведем подобные слагаемые.


\(\begin{cases}-27x+54<0\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)


Теперь в нем же перенесем \(54\) в левую сторону и поделим обе части на \((-27)\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.


\(\begin{cases}x>2\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)


Отметим решения неравенств на числовых прямых.



Решения подходящие всем неравенствам системы находятся от \(50\) и дальше. Запишем ответ.


Ответ: \([50;+∞)\)

Смотрите также:


Системы линейных неравенств
Совокупности неравенств

Скачать статью

Урок 42. линейные уравнения и неравенства с двумя переменными — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
  • Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
  • Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида     ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где   a, b и c   —   некоторые числа (a ≠ 0 ,   b ≠0), а, х и у   —   переменные. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Историческая справка

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

Актуализация знаний

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

  1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Пример

Построить график уравнения 2х+у =1

у = -2х + 1

Если х=0, то у=1;

Если х=2, то у=-3.

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

  1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Пример

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

  1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
  2. Пусть точка М11,у1) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, аМ21,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2

Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М11; у1), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх1 + bу1 + c.

Пример

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6

Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.

Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).

Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6

  1. Система линейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Пример

Решите систему:

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3). 

Рисунок 3 – решение системы

Система имеет единственное решение: x = 4 ,   y = 4 .

  1. Система линейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:

  1. Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
  2. Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).

Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).

Рисунок 4 – решение системы

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 0.

  1. Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
  2. Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).

Пара (1;2) не является решением неравенства и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)

Рисунок 5 – решение неравенства

Пример 2

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы

Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.

Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)

Рисунок 6 – решение системы

Если к системе добавить еще одно неравенство

, то получится система трех неравенств с двумя переменными

Этой системой задается треугольник (рис. 7)

Рисунок 7 – решение системы

Точка О принадлежит , левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств .

определение, понятие, алгоритм и примеры

Понятие системы неравенств с одной переменной и его решения

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если нужно найти такое множество значений переменной, которое будет решением каждого из неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной является такое множество значений этой переменной, которое превращает каждое из неравенств в верное числовое неравенство.

Следствие: общим решением системы неравенств с одной переменной является пересечение частных решений каждого из неравенств системы.

Например: ${\left\{ \begin{array}{c} x+7 \ge 2 \\ x-4 \lt 1 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -5 \\ x \lt 5 \end{array} \right.} \iff -5 \le x \lt 5 или x \in \Bbb[-5;5)$ — полуинтервал

О пересечении числовых промежутков подробней см. §17 данного справочника

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

Подробно о числовой прямой и видах числовых промежутков на ней рассказано в §16 данного справочника. Здесь мы изобразим числовые промежутки как решения неравенств на более простых примерах.

Шаг 1. Найти множество частных решений для каждого из неравенств системы. Если хотя бы одно из частных решений является пустым множеством, вся система неравенств не имеет решений; перейти к шагу 4.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать .

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их пересечение – это и будет общим решением системы .

Шаг 4. Работа завершена.

Например: ${\left\{ \begin{array}{c} x-2 \lt 1 \\ x+5 \ge 6 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 3 \\ x \ge 1 \end{array} \right.} \iff 1 \le x \lt 3 или x \in \Bbb[1;3)$ — полуинтервал

Внимание!

Если в системе неравенств есть несколько неравенств со знаком «больше», то из них останется одно неравенство по принципу «больше большего».

Аналогично:

Если в системе неравенств есть несколько неравенств со знаком «меньше», то из них останется одно неравенство по принципу «меньше меньшего» .

Например:

1) В системе $ {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \gt 2 \\ x \gt 3 \end{array} \right.} $ наибольшее число (условие) справа 5.

По принципу «больше большего» останется: $ {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \gt 2 \\ x \gt 3 \end{array} \right.} \iff x \gt 5 $

2) В системе $ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 5 \\ x \lt 2 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} $ наименьшее число (условие) справа 2.

По принципу «меньше меньшего» останется: $ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 5 \\ x \lt 2 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} \iff x \lt 2 $

Примеры

Пример 1. Решите системы уравнений:

$а) {\left\{ \begin{array}{c} 2(x-8) \ge x-16 \\ 3(x+1) \le 11 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 2x-x \ge -16+16 \\ 2x \le 11-3 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge 0 \\ 2x \le 8 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge 0 \\ x \le 4 \end{array} \right.} \iff 0 \le x \le 4$

$x \in [0;4]$ — интервал

$б) {\left\{ \begin{array}{c} 5(x-6) \gt x-10 \\ 4(x-1) \lt x+5 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 5x-x \gt 30-10 \\ 4x-x \lt 5+4 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 4x \gt 20 \\ 3x \lt 9 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} \iff x \in \varnothing$

$x \in \varnothing$ — решений нет

$в) {\left\{ \begin{array}{c} -5 \lt 3x+1 \le 4 \\ 3 \lt 2x+5 \lt 9 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -5-1 \lt 3x \le 4-1 \\ 3-5 \lt 2x \lt 9-5 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -6 \lt 3x \le 3 \\ -2 \lt 2x \lt 4 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -2 \lt x \le 1 \\ -1 \lt x \lt 2 \end{array} \right.} \iff$

$$\iff -1 \lt x \le 1$$

$x \in (-1;1] $ — полуинтервал

Пример 2. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение:

$ а) \sqrt{x+2} + \sqrt{4-x} $

$ {\left\{ \begin{array}{c} x+2 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -2 \\ x \le 4 \end{array} \right.} \iff -2 \le x \le 4 $

$x \in [-2;4]$

$ б) \sqrt{2x+3} + \frac{1}{x-4}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 0 \\ x-4 \neq 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1,5 \\ x \neq 4 \end{array} \right.}$

$x \in [-1,5;4) \cup (4;+ \infty) $

$ в) \frac{1}{\sqrt{x-5}} + \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} x-5 \gt 0 \\ 1-x \gt 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \lt 1 \end{array} \right.} \iff x \in \varnothing$

$x \in \varnothing $ — решений нет

$ г) {\sqrt{x+3}} + \frac{1}{\sqrt{x+1}}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \ge 0 \\ x+1 \gt 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -3 \\ x \gt -1 \end{array} \right.} \iff x>-1$

$x \in (-1;+ \infty) $

Пример 3*. У космического пирата Шутзема несколько затруднительное финансовое положение и только 510 астротугриков в кармане. Однако ему нужно пополнить запасы топлива и продовольствия. Одна капсула с топливом стоит 50 астротугриков, а одна капсула с едой – 30 астротугриков. Какой вариант покупок есть у Шутзема на всю сумму без сдачи, если топлива нужно не менее 4 капсул, а еды – не менее 5?

Пусть x — количество капсул с топливом, y – количество капсул с едой.

По условию задачи:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 50x+30y \le 500 \\ x \ge 4 \\ y \ge 5 \\ x,y \in \Bbb N \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 5x+3y \le 50 \\ x \ge 4 \\ y \ge 5 \\ x,y \in \Bbb N \end{array} \right.} $$

Изобразим полученные полуплоскости графически и найдём их пересечение.

Прямая сверху – это бюджетное ограничение.

На этой прямой в области допустимых значений (закрашенный треугольник, стороны включительно) есть только одно целое решение: $ {\left\{ \begin{array}{c} x = 6 \\ y = 7 \end{array} \right.{2}}+2{x} -8=0\).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Как решать систему неравенств 8 класс

Основные понятия

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Типы неравенств

Строгие — используют только больше (>) или меньше (<)

  • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
  • a > b — это значит, что a больше, чем b.
  • a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно)

  • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
  • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
  • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

Другие типы

  • a ≠ b — означает, что a не равно b.
  • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
  • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
  • знаки >> и << противоположны.

Система неравенств

Чтобы щелкать задачки, нам пригодятся свойства числовых неравенств. Вот они:

 

  1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.

  1. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.

  1. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
    Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

  1. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
    Если а < b и c < d, то а + c < b + d.
    Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять, т.к. возможны исключения. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

  1. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.
    Если а < b и c > d, то а – c < b – d.
    Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

  1. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и

    .

    Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
    Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и

    .

    Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
    Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.
    Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
    Следствием является: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

  1. Если а > b, где а, b > 0, то .
    Если а < b , то .

Таблица числовых промежутков

Полезна тем, что с ее помощью удобно записывать множество решений.

Неравенство

Графическое решение

Форма записи ответа

x < c

x ∈ (−∞; c)

x ≤ c

x ∈ (−∞; c]

x > c

x ∈ (c; +∞)

x ≥ c

x ∈ (c; +∞)

Еще один важный шаг — запись ответа. Вот, как правильно это делать:

  • Если знак строгий (>, <), точка на оси будет не закрашена, а скобка — круглой.
  • Если знак нестрогий (≥, ≤), точка на оси будет закрашена, а скобка — квадратной.
  • Скобка, рядом со знаком бесконечности всегда круглая.

Решение системы неравенств

Линейное неравенство — то, в котором неизвестное представлено в первой степени. Для его решения нужно, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице. Алгоритм решения:

1. Раскрыть скобки, перенести неизвестное в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Получится одно из следующих видов:

  • ax < b,
  • ax ≤ b,
  • ax > b,
  • ax ≥ b.

2. Если получилось ax ≤ b.Для его решения необходимо поделить левую и правую часть на коэффициент перед неизвестным a.

3. Если a > 0, то x ≤ ba.
Если a < 0, то знак меняется на противоположный.
Получаем x ≥ ba.

4. Записываем ответ как он есть или в соответствии с таблицей числовых промежутков.

Решим пример

3 * (2 − x) > 18

Как решаем

  1. Раскрываем скобки, оставляем неизвестное слево, числа перемещаем вправо, приводим подобные слагаемые.
    6 − 3x > 18
    −3x > 18 − 6
    −3x > 12
  1. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным. Так как −3 < 0, знак меняется на противоположный. 
    x < 12−3
    x < −4

Ответ: x < −4 или в числовом промежутке x ∈ (−∞; −4).

И еще один

Как решаем

  1. Оставляем неизвестное слева, избавляемся от знаменателя через умножение на это число обеих частей.
  2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным.
    Так как — 2 < 0, знак меняется на противоположный.

 Ответ: х < – 2.

Последний, чтобы разобраться наверняка

Как решаем

  1. Проверим, что неизвестное находится слева.
  2. Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным в каждом из них.

 Ответ: числовой промежуток x ∈ (– 2; 0].

Системы линейных неравенств с одной переменной

Предварительные навыки

Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной

Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.

Рассмотрим простейший пример. Система состоит из двух неравенств, которые уже решены.

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.

Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:

Но дело в том, что неравенства > 4 и < 9 соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями, как захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.

Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.

Значит решениями системы  являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства > 4 и < 9 строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( 4 ; 9 )

Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.

Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:

Сначала указывают границы обоих неравенств:

На верхней области отмечают множество решений первого неравенства > 4

На нижней области отмечают множество решений второго неравенства < 9

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 4 до 9. Для наглядности выделим эту область красным цветом:

Для проверки можно взять любое число из этого промежутка и подставить его в исходную систему . Возьмем, например, число 6

Видим, что решение 6 удовлетворяет обоим неравенствам. Возьмём ещё какое-нибудь число из промежутка (4; 9), например, число 8

Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.

Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:

Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.

Пример 2. Решить систему неравенств 

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.

Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.

Изобразим множество решений системы  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:

На верхней области отметим множество решений первого неравенства > 17

На нижней области отметим множество решений второго неравенства > 12

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( 17 ; +∞ )


Пример 3. Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок

Получили систему . На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.

Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы 

x ∈ ( 6 ; + ∞ )


Пример 4. Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений системы  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Пример 5. Решить неравенство 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений системы  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


Когда решений нет

Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.

Пример 1. Решить неравенство 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.

Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:

На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства ≥ 7 и ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система 

А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система 

Ответ: решений нет.


Пример 2. Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:

Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ 9 не имеют общих решений. А значит не имеет решений система 

А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система

Ответ: решений нет.


Пример 3.  Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Получили неравенства 0 < −0,2 и > 5. Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a, то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система 

Ответ: решений нет.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решите неравенство:

Решение:

Задание 2. Решите неравенство:

Задание 3. Решите неравенство:

Задание 4. Решите неравенство:

Задание 5. Решите неравенство:

Задание 6. Решите неравенство:

Задание 7. Решите неравенство:

Задание 8. Решите неравенство:

Решение:

Решений нет


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Неравенство — это два числа или математических выражения, соединённых
одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств), < (меньше, в случае
строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤
(меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Неравенство является линейным при тех же условиях, что и
уравнение: оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано
с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость,
на которые всю плоскость делит прямая, уравнением которой задано линейное неравенство. Эту
полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств — часть плоскости, ограниченную
несколькими прямыми, требуется найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся
многие экономические задачи, в частности, задачи линейного программирования, в которых
требуется найти максимум или минимум функции.

Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет
бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел
,
удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается
в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

которую назовём граничной прямой.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного
неравенства

Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки
пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1).
Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу
после этого теретического экскурса.

Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .

Найдём пересечение с осью :

Подставляя значение
в первое уравнение, получаем

,
откуда .

Таким образом, нашли абсциссу точки A .

Найдём координаты точки пересечения с осью .

Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением
оси координат:

Решение:

,

следовательно, координаты точки B: .

Шаг 2. Начертить прямую, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки A и B пересечения граничной прямой с осями
координат, можем начертить эту прямую. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две
части, лежащие справа и слева (выше и ниже) от этой прямой.

Шаг 3. Установить, которая из полуплоскостей является решением данного
неравенства.
Для этого нужно в это неравенство подставить начало координат (0; 0). Если координаты начала
удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой
находится начало координат. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением
неравенства является полуплоскость, которая не содержит начала координат. Полуплоскость
решения неравенства будем обозначать штрихами от прямой внутрь полуплоскости, как на рисунке 1.

Если решаем систему линейных неравенств, то каждый шаг выполняется для
каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Начертим прямую

Подставив в уравнение прямой ,
получим , а
подставив ,
получим .
Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A(3; 0),
B(0; 2). Через эти точки проведём прямую (опять рисунок 1).

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого в неравенство подставим
координаты начала (0; 0):

,

получим ,
т. е. координаты начала удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, решением неравенства
является полуплоскость, содержащая в себе начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.

Если бы данное неравенство было строгим, то есть имело бы вид

,

то точки граничной прямой не являлись бы решением, так как они не
удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость.
Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и
несовместной, если она не имеет решений. Решением системы линейных неравенств называется
любая пара чисел (),
удовлетворяющая всем неравенствам данной системы.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество
точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть, общая часть получаемых
полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение может быть изображено в виде
некоторого многоугольника, в частном случае — может быть линия, отрезок и даже точка. Если
система линейных неравенств несовместна, то на плоскости не существует ни одной точки,
удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2. Решить систему линейных неравенств

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств.
Построим граничную прямую для первого неравенства, то есть прямую ,
и граничную прямую для второго неравенства, то есть прямую .

Делаем это пошагово, как было показано в теоретической справке и в примере 1,
тем более, что в примере 1 строили граничную прямую для неравенства, которое является первым
в данной системе.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, на
рисунке 2 заштрихованы вовнутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой
открытый угол ABC. Это означает, что множество точек
плоскости, составляющих открытый угол ABC, является
решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть, является решением системы
двух линейных неравенств. Иначе говоря, кординаты любой точки из этого множества
удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам системы.
Делаем это, выполняя шаги, данные в теоретической справке, для каждого неравенства. Теперь
определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рисунок 3).

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы,
заштрихованы вовнутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображается, как показано на
рисунке, в виде четырёхугольника ABCE. Получили, что
многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными является
четырёхугольником ABCE.

Всё описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными
относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением
неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел (),
удовлетворяющих всем неравенствам, а вместо граничной прямой будет граничная гиперплоскость
n-мерного пространства. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный
гиперплоскостями.

Так же, как и в двухмерном пространстве (на плоскости), каждое из
неравенств системы определяет n-мерное полупространство. Пересечение всех этих
полупространств образует многогранник решений. Но изобразить этот многогранник (называемый
симплексом) геометрически невозможно. Лишь в случае, когда число неизвестных не больше трёх, то есть
в действительном пространстве, многогранник решений можно изобразить геометрически.

Множество решений линейных неравенств геометрически составляет выпуклый
многогранник или выпуклое множество точек.

Как уже отмечалось, системы линейных неравенств играют важную роль в
линейном программировании. Теоремы линейного программирования содержат такие понятия, как
выпуклые множества и крайние точки. Разберёмся бегло, о чём речь.

Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя
точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их. Если же существует хотя бы такая
пара точек множества, что отрезок, соединяющий эти точки, не принадлежит целиком этому
множеству, то такое множество называется невыпуклым. На рисунке 4 слева изображено
выпуклое множество, а справа — невыпуклое.

Выпуклые множества обладают важным свойством, которое устанавливается
следующей теоремой.

Теорема. Пересечение двух выпуклых множеств — также
выпуклое множество.

Через любую внутреннюю точку выпуклого множества можно провести отрезок,
для которого она является внутренней, а сам отрезок целиком принадлежит этому множеству.
Но есть точки (для выпуклого многоугольника это его вершины), для которых такое построение
выполнить нельзя: нет ни одного отрезка, для которого вершина являлась бы внутренней, а
отрезок целиком бы принадлежал мноргоугольнику.

Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через
неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для
которого она была бы внутренней.

Продолжение темы «Систем уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Система линейных неравенств — объяснение и примеры

Перед , решающим системы линейных неравенств , давайте посмотрим, что означает неравенство. Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу.

Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Это меньше (<), больше (>), меньше или равно (≤), больше или равно (≥) и символ «не равно» (≠).Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Что такое система линейных неравенств?

Система линейных неравенств — это система уравнений линейных неравенств, содержащих одинаковые переменные.

Несколько методов решения систем линейных уравнений переводятся в систему линейных неравенств. Однако решение системы линейных неравенств несколько отличается от линейных уравнений, потому что знаки неравенства мешают нам решить с помощью метода замены или исключения.Возможно, лучший метод решения систем линейных неравенств — это графическое отображение неравенств.

Как решать системы линейных неравенств?

Ранее вы узнали, как решить одно линейное неравенство с помощью построения графиков. В этой статье мы узнаем, как найти решения для системы линейных неравенств путем одновременного построения графиков двух или более линейных неравенств.

Решением системы линейных неравенств является область, где пересекаются графики всех линейных неравенств в системе.

Чтобы решить систему неравенств, изобразите каждое линейное неравенство в системе на одной оси x-y, выполнив следующие шаги: :

  • Изолируйте переменную y в каждом линейном неравенстве.
  • Нарисуйте и заштрихуйте область над линией границы, используя пунктирные и сплошные линии для символов> и ≥ соответственно.
  • Аналогичным образом нарисуйте и закрасьте область под линией границы, используя пунктирные и сплошные линии для символов <и ≤ соответственно.
  • Закрасьте область, где все уравнения перекрываются или пересекаются.Если нет области пересечения, то делаем вывод, что система неравенств не имеет решения.

Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы понять эти шаги.

Пример 1

Изобразите следующую систему линейных неравенств:

y ≤ x — 1 и y <–2x + 1

Решение

Изобразите первое неравенство y ≤ x — 1.

  • Из-за символа «меньше или равно» мы нарисуем сплошную границу и сделаем штриховку под линией.
  • Также изобразите второе неравенство y <–2x + 1 на той же оси x-y.
  • В этом случае наша граница будет пунктирной или пунктирной из-за символа «меньше». Заштрихуйте область ниже границы.

Следовательно, решением этой системы неравенств является более темная заштрихованная область, продолжающаяся вечно в направлении вниз, как показано ниже.

Пример 2

Решите следующую систему неравенств:

x — 5y ≥ 6

3x + 2y> 1

Решение

  • Сначала выделите переменную y слева в каждом неравенстве.

Для x — 5y ≥ 6;

=> x ≥ 6 + 5y

=> 5y ≤ x — 6

=> y ≤ 0,2 x — 1,2

И для 3x + 2y> 1;

=> 2y> 1 — 3x

=> y> 0,5 — 1,5x

  • Мы построим график y ≤ 2 x — 1,2 и y> 0,5 — 1,5x, используя сплошную и ломаную линии соответственно .

Решение системы неравенства — более темная заштрихованная область, которая является перекрытием двух отдельных областей решения.

Пример 3

Изобразите следующую систему линейных неравенств.

y ≤ (1/2) x + 1,

y ≥ 2x — 2,

y ≥ — (1/2) x — 3.

Решение

Эта система неравенств имеет три уравнения, которые все связаны символом «равно». Это говорит нам о том, что все границы будут прочными. График трех неравенств показан ниже.

Заштрихованная область трех уравнений перекрывается прямо в средней части.Следовательно, решения системы лежат в ограниченной области, как показано на графике.

Пример 4

Изобразите следующую систему линейных неравенств:

x + 2y <2, y> –1,

x ≥ –3.

Решение

Выделите переменную y в первом неравенстве, чтобы получить;

y <- x / 2 +1 Обратите внимание, что неравенства y> –1 и x ≥ –3 будут иметь горизонтальные и вертикальные граничные линии соответственно.Давайте изобразим три неравенства, как показано ниже.

Более темная заштрихованная область, ограниченная двумя сегментами пунктирной линии и одним сегментом сплошной линии, дает три неравенства.

Пример 5

Решите следующую систему линейных неравенств:

–2x -y <-1

4x + 2y ≤-6

Решение

Изолировать переменную y в каждом неравенство.

–2x -y <-1 => y> –2x + 1

4x + 2y ≤ -6 => y ≤ -2x -3

Давайте продолжим и построим график y> –2x + 1 и y ≤ — 2x -3:

Поскольку заштрихованные области двух неравенств не перекрываются, мы можем сделать вывод, что система неравенств не имеет решения.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Системы линейных неравенств

Системы
линейных неравенств
(стр.
1 из 2)


Когда ты узнаешь, как
построить линейный график
неравенство, вы
можно перейти к решению систем линейных неравенств.

А «система»
линейные неравенства — это набор линейных неравенств, с которыми вы имеете дело
все вместе. Обычно вы начинаете с двух или трех линейных неравенств.
Методика решения этих систем довольно проста. Вот пример.

  • Решите следующие проблемы
    система:
  • Так же, как и при решении
    одиночных линейных неравенств, обычно лучше всего решать как можно больше
    возможные неравенства для « y »
    с одной стороны.Решая первые два неравенства, я переставляю
    система:

    «Решающие» системы
    линейных неравенств означает «графическое отображение каждого отдельного неравенства,
    а затем нахожу совпадения различных решений «. Итак, я рисую
    каждое неравенство, а затем найти перекрывающиеся части решения
    регионы.

    Линия для
    первое неравенство в вышеприведенной системе, y
    > (
    2
    / 3 ) x
    4,
    выглядит так:

    Это неравенство
    неравенство «больше, чем», поэтому я хочу заштриховать
    над линией.Однако. поскольку будет более одного неравенства
    на этом графике я не знаю (пока), сколько из этой верхней стороны
    Мне действительно понадобится. Пока я не узнаю, я могу отслеживать
    Дело в том, что я хочу, чтобы верхняя область нарисовала небольшую «бахрому»
    вдоль верхней стороны линии, например:

    Теперь я построю график
    линия для второго неравенства выше, y
    < ( 1 / 5 ) x + 4:

    …и с тех пор
    это неравенство «меньше», я нарисую бахрому
    по низу строки:

    Последнее неравенство
    обычное ограничение «реальной жизни»: разрешить только
    х
    быть позитивным.Линия « х »
    = 0 »
    это просто ось y ,
    и я хочу правую сторону. Мне нужно не забыть разбить
    в строке, потому что это не неравенство «или равно»,
    поэтому граница (линия) не включена в решение:

    «Решение»
    системы — это регион, где устраивают все неравенства;
    то есть решение там, где работают все неравенства,
    область, в которой перекрываются все три отдельные области решения.В данном случае решением является заштрихованная часть посередине:

    .

Верх
| 1 | 2 | Возвращение
к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.«Системы линейных неравенств». Purplemath . Имеется в наличии
из
https://www.purplemath.com/modules/syslneq.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Определите решения для систем линейных неравенств

Результаты обучения

  • Определить решения систем линейных неравенств

Изобразите систему двух неравенств

Помните из модуля по построению графиков, что график одного линейного неравенства разбивает координатную плоскость на две области.По одну сторону лежат все решения неравенства. С другой стороны, решений нет. Рассмотрим график неравенства [латекс] y <2x + 5 [/ latex].

Пунктирная линия [латекс] y = 2x + 5 [/ latex]. Каждая упорядоченная пара в заштрихованной области под линией является решением [latex] y <2x + 5 [/ latex], поскольку все точки под линией делают неравенство истинным. Если вы сомневаетесь в этом, попробуйте подставить координаты x и y точек A и B в неравенство; вы увидите, что они работают.Итак, заштрихованной областью показаны все решения этого неравенства.

Граничная линия делит координатную плоскость пополам. В этом случае он показан пунктирной линией, поскольку точки на линии не удовлетворяют неравенству. Если бы неравенство было [латекс] y \ leq2x + 5 [/ латекс], то граница была бы сплошной.

Теперь изобразите другое неравенство: [latex] y> −x [/ latex]. Вы можете проверить пару точек, чтобы определить, какую сторону границы нужно заштриховать. Контрольные точки M и N дают верные утверждения.Итак, заштриховываем область над линией. Линия пунктирна, поскольку точки на линии не соответствуют действительности.

Чтобы создать систему неравенств, вам нужно построить график двух или более неравенств вместе. Давайте использовать [latex] y <2x + 5 [/ latex] и [latex] y> −x [/ latex], поскольку мы уже изобразили каждый из них.

Фиолетовая область показывает, где перекрываются решения двух неравенств. Эта область — решение системы неравенств. Любая точка в этой фиолетовой области будет верна как для [latex] y> −x [/ latex], так и для [latex] y <2x + 5 [/ latex].

В следующих видео-примерах мы покажем, как построить график системы линейных неравенств и определить область решения.

В следующем разделе мы увидим, что точки могут быть решениями систем уравнений и неравенств. Мы проверим алгебраически, является ли точка решением линейного уравнения или неравенства.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

На приведенном выше графике вы можете видеть, что точки B и N являются решениями для системы, потому что их координаты делают оба неравенства истинными.

Напротив, точки M и A лежат за пределами области решения (фиолетовый). Хотя точка M является решением неравенства [latex] y> −x [/ latex], а точка A является решением неравенства [latex] y <2x + 5 [/ latex], ни одна из точек не является решением для система . В следующем примере показано, как проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением системы неравенств.

Пример

Является ли точка [латекс] (2, 1) [/ латекс] решением системы [латекс] x + y> 1 [/ латекс] и [латекс] 2x + y <8 [/ латекс]?

Показать решение

Отметьте точку с каждым неравенством.Замените [латекс] 2 [/ латекс] на x и [латекс] 1 [/ латекс] вместо и . Является ли дело решением обоих неравенств?

[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[latex] (2, 1) [/ latex] — решение для [латекса] x + y> 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y <8 \\ 2 \ left (2 \ right) +1 <8 \\ 4 + 1 <8 \\ 5 <8 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] (2, 1) [/ латекс] — решение для [латекса] 2x + y <8.[/ латекс]

Поскольку [latex] (2, 1) [/ latex] является решением каждого неравенства, он также является решением системы.

Вот график системы в примере выше. Обратите внимание, что [latex] (2, 1) [/ latex] находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия для двух неравенств.

Пример

Является ли точка [латекс] (2, 1) [/ латекс] решением системы [латекс] x + y> 1 [/ латекс] и [латекс] 3x + y <4 [/ латекс]?

Показать решение

Отметьте точку с каждым неравенством.Замените [латекс] 2 [/ латекс] на x и [латекс] 1 [/ латекс] вместо и . Является ли дело решением обоих неравенств?

[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[latex] (2, 1) [/ latex] — решение для [латекса] x + y> 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y <4 \\ 3 \ left (2 \ right) +1 <4 \\ 6 + 1 <4 \\ 7 <4 \\\ text {FALSE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] (2, 1) [/ latex] — это , а не , решение для [латекса] 3x + y <4 [/ latex].

Поскольку [latex] (2, 1) [/ latex] — это , а не как решение одного из неравенств, это не решение системы.

Вот график системы выше. Обратите внимание, что [latex] (2, 1) [/ latex] не находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия; это решение одного неравенства (красная область), но не решение второго неравенства (синяя область).

В следующем видео мы показываем еще один пример определения, находится ли точка в решении системы линейных неравенств.

Как показано выше, нахождение решений системы неравенств может быть выполнено путем графического отображения каждого неравенства и определения общей для них области. Ниже приведены дополнительные примеры, показывающие весь процесс определения области решений на графике для системы двух линейных неравенств. Общие шаги описаны ниже:

  • Изобразите каждое неравенство в виде линии и определите, будет ли оно сплошным или пунктирным.
  • Определите, с какой стороны каждой граничной линии представлены решения неравенства, проверив точку с каждой стороны.
  • Закрасьте область, которая представляет решения для обоих неравенств.

Системы без решений

В следующем примере мы покажем решение системы двух неравенств, граничные линии которых параллельны друг другу. Когда графики системы двух линейных уравнений параллельны друг другу, мы обнаружили, что у системы нет решения. Мы получим аналогичный результат для следующей системы линейных неравенств.

Примеры

Изобразите систему [latex] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ lt2x-3 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Границы этой системы параллельны друг другу.Обратите внимание, как у них одинаковые уклоны.

[латекс] \ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} [/ latex]

Построение граничных линий даст график ниже. Обратите внимание, что неравенство [latex] y \ lt2x-3 [/ latex] требует рисования пунктирной линии, а неравенство [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex] требует сплошной линии.

Теперь нам нужно заштриховать области, представляющие неравенства. Для неравенства [латекс] y \ ge2x + 1 [/ latex] мы можем проверить точку по обе стороны от линии, чтобы увидеть, какую область затенять.Протестируйте [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex], чтобы облегчить задачу.

Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ 0 \ ge2 \ left (0 \ right) +1 \\ 0 \ ge {1} \ end {array} [/ latex]

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex]. График теперь будет выглядеть так:

Теперь закрасьте область, которая показывает решения неравенства [latex] y \ lt2x-3 [/ latex].Опять же, мы можем выбрать [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] для тестирования, потому что это упрощает алгебру.

Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ lt2x-3 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} y \ lt2x-3 \\ 0 \ lt2 \ left (0, \ right) x-3 \\ 0 \ lt {-3} \ end {array} [/ latex ]

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [latex] y \ lt2x-3 [/ latex]. График теперь будет выглядеть так:

Эта система неравенств не имеет общих точек, поэтому не имеет решения.

Сводка

  • Решениями систем линейных неравенств являются целые области точек.
  • Вы можете проверить, является ли точка решением системы линейных неравенств, точно так же, как вы проверяете, является ли точка решением системы уравнений.
  • Системы неравенств не могут иметь решений, если граничные линии параллельны.

Решение систем линейных неравенств

Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений, потому что знаки неравенства не позволяют нам выполнять замену, как мы это делаем с уравнениями.Тем не менее, мы все еще можем решить эти проблемы.

Ключевые термины

o Система линейных неравенств

o Линейная оптимизация

o Линейное программирование

Цели

o Научиться решать задачи, связанные с системами линейных неравенств

o Понять базовый подход к решению задач линейной оптимизации.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств включает несколько выражений, решение которых может дать ряд решений. Многие концепции, которые мы усвоили при изучении систем линейных уравнений, можно преобразовать в решение системы линейных неравенств, но этот процесс может быть несколько сложным. Возможно, наиболее наглядный способ одновременного решения набора линейных неравенств — использование графиков.Давайте сразу рассмотрим пример в двух измерениях.

2 x — 5 y ≤ 3

y — 3 x ≤ 1

Из-за неравенства мы не можем использовать подстановку так же, как мы это делали с системами линейных уравнений. Посмотрим на графики этих неравенств. Во-первых, мы упрощаемся до формы, которую легко построить графически.

2 x — 5 y ≤ 3 y — 3 x ≤ 1

2 x ≤ 3 + 5 y y ≤ 3 x + 1

5 y ≥ 2 x — 3

y ≥ 0.4 х — 0,6

Теперь построим график этих неравенств.

На графике видно, что есть две заштрихованные области, соответствующие решениям каждого неравенства. Линии заштрихованы, потому что неравенства не строгие (используются ≥ и ≤). Решением системы неравенств является более темная заштрихованная область, которая представляет собой перекрытие двух отдельных областей, и части линий (лучей), которые граничат с этой областью.Символически мы, пожалуй, лучше всего можем выразить решение в этом случае как

0,4 x — 0,6 ≤ y ≤ 3 x + 1

Решение систем неравенств в трех или более измерениях возможно, но это намного сложнее — построить графики твердых областей, которые составляют решения, также сложнее.

Практическая задача: Найдите и изобразите набор решений следующей системы неравенств:

x — 5 y ≥ 6

3 x + 2 y > 1

Решение : Сначала решим выражения для y .

x — 5 y ≥ 6 3 x + 2 y > 1

x ≥ 6 + 5 y 2 y > 1-3 x

5 y x — 6 y > 0,5 — 1,5 x

y ≤ 0,2 x — 1,2

Тогда мы можем выразить решение этой системы неравенств следующим образом:

0.5 — 1,5 x < y ≤ 0,2 x — 1,2

Построим график набора решений. Сначала мы построим график линий, соответствующих двум отдельным неравенствам (и выберем сплошную линию для первого и ломаную линию для второго), затем мы соответствующим образом закрасим две области.

Решение — это более темная заштрихованная область (которая является перекрытием двух отдельных областей решения), но давайте изобразим ее отдельно, чтобы было немного яснее.

Линейная оптимизация

Мы можем применить то, что мы узнали выше, к линейной оптимизации (также называемой линейным программированием ), которая представляет собой процесс поиска максимального или минимального значения для некоторой функции при определенных условиях (например, линейных неравенствах). Решение задач, связанных с линейной оптимизацией, не требует от вас приобретения каких-либо новых навыков; они просто требуют, чтобы вы применяли то, что уже знаете.Итак, перейдем к практической задаче.

Практическая задача: Найдите максимальное значение y при –3 x + 2 y ≤ 4 и x + y ≤ 1 при условии, что x ≥ 0.

Решение: Нам дана система неравенств, для которой мы должны сначала найти соответствующее множество решений. В этом наборе решений мы можем найти максимальное значение y .Итак, мы можем сначала применить то, что мы уже знаем: давайте перестроим неравенства в форму, которую мы можем легко изобразить.

–3 x + 2 y ≤ 4 x + y ≤ 1 x ≥ 0

2 y ≤ 3 x + 4 y ≤ 1 — x

y ≤ 1,5 x + 2

Теперь давайте изобразим каждое из этих неравенств, отмечая, что мы должны использовать сплошные линии в каждом случае.

Самая темная заштрихованная область (клин в правом нижнем углу графика) удовлетворяет всем ограничениям задачи. Затем мы хотим найти максимальное значение y , которое явно равно 1. (Мы также можем найти это значение, подставив x = 0 в x + y ≤ 1 и найдя максимальное значение y. , что также явно 1.)

Решение систем неравенств — Бесплатная математическая справка

Сначала нам нужно рассмотреть символы неравенства:
  • Символ <означает меньше чем.
  • Символ> означает больше чем.
  • Символ \ (\ leq \) означает меньше или равно. Обычно на компьютерах это пишется как <=, потому что это легче вводить.
  • Символ \ (\ geq \) означает больше или равно. Иногда на компьютерах это пишется как> =, потому что так легче набирать.

Есть бесконечные решения для неравенства. В свете этого факта может быть проще всего найти набор решений для неравенств, решив систему графически.

Как решить системы неравенств графически

1) Запишите неравенство в форме пересечения наклона или в форме \ (y = mx + b \).

Например, если вас попросят решить \ (x + y \ leq 10 \), мы сначала перепишем как \ (y \ leq -x + 10 \).

2) Временно замените данный символ неравенства (в данном случае \ (\ leq \)) на просто равный символ. При этом вы можете рассматривать неравенство как уравнение. НО НЕ забудьте заменить символ равенства на исходный символ неравенства в КОНЕЦ задачи!

Итак, \ (y \ leq -x + 10 \) на данный момент становится \ (y = -x + 10 \).

3) Изобразите линию, найденную на шаге 2. Это сформирует «границу» неравенства — с одной стороны линии условие будет истинным, с другой — нет. Посмотрите, как построить линию здесь.

4) Вернемся к найденному ранее неравенству как \ (y \ leq -x + 10 \). Обратите внимание, что это верно, когда y меньше или равно. На шаге 3 мы построили линию (случай равенства), поэтому теперь нам нужно учесть случай «меньше чем». Поскольку y меньше определенного значения в нижней части оси, мы закрасим область под линией, чтобы указать, что неравенство верно для всех точек ниже линии:

5) Проверить.Вставьте точку не на линии, например (0,0). Убедитесь, что неравенство выполнено. В данном случае это означает \ (0 \ leq -0 + 10 \), что явно верно. Мы заштриховали правильную сторону линии.

Пример:

Найдите все значения x и y, которые удовлетворяют: \ (y \ geq \ frac {-3} {2} x + 6 \).

Обратите внимание, что это неравенство уже имеет форму пересечения наклона. Я заменю данный символ неравенства на символ равенства для построения линии.

\ (y \ geq \ frac {-3} {2} x + 6 \) становится \ (y = \ frac {-3} {2} x + 6 \).Теперь постройте эту линию, как показано:

Так как это случай, когда неравенство истинно для значений y, которые больше или равны чему-то, мы закрасили область над линией. Все точки на этой линии графика или ВЫШЕ будут удовлетворять нашему неравенству. Опять же, выберите любую точку над линией графика, чтобы убедиться, что она удовлетворяет или раскрывает ИСТИННОЕ утверждение с точки зрения исходного неравенства. Например, (5,3). Подключите это, и у нас будет \ (3 \ geq \ frac {-3} {2} * 5 + 6 \). Упростив его до \ (3 \ geq -1.5 \), мы увидим, что неравенство верно в точке (5,3).Поскольку эта точка находилась над нашей линией, она должна быть заштрихована, что подтверждает наше решение.

Множественные неравенства — система неравенств

Система неравенств содержит более одного утверждения неравенства, которое должно быть выполнено. Графически это означает, что нам нужно сделать то, что мы только что сделали — построить линию, представленную каждым неравенством, — а затем найти область графика, которая верна для ОБОИХ неравенств. Для двух приведенных выше примеров мы можем объединить оба графика и построить площадь, разделяемую двумя неравенствами.

Какой набор решений? Набор решений для ОБЕИХ неравенств будет ЛЮБОЙ ТОЧКОЙ, в которой ОБЕИ области закрашены вместе или где встречаются ОБЕ заштрихованные области.

Первоначально принадлежит г-ну Фелизу, © 2005

Графические системы линейных неравенств — Элементарная алгебра

Системы линейных уравнений

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
  • Решите систему линейных неравенств, построив график
  • Решите приложения систем неравенств

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. График на числовой прямой.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Решите неравенство.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  3. Определите, является ли заказанная пара решением для системы.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок)

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

Определение системы линейных неравенств очень похоже на определение системы линейных уравнений.

Система линейных неравенств

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

Система линейных неравенств выглядит как система линейных уравнений, но вместо уравнений в ней есть неравенства. Ниже представлена ​​система двух линейных неравенств.

Для решения системы линейных неравенств мы найдем значения переменных, которые являются решениями обоих неравенств. Мы решаем систему, используя графики каждого неравенства, и показываем решение в виде графика.Мы найдем на плоскости область, содержащую все упорядоченные пары, удовлетворяющие обоим неравенствам.

Решения системы линейных неравенств

Решениями системы линейных неравенств являются значения переменных, которые делают все неравенства истинными.

Решение системы линейных неравенств показано в виде заштрихованной области в системе координат x-y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства истинными.

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух неравенств, мы подставляем значения переменных в каждое неравенство. Если упорядоченная пара выполняет оба неравенства, это решение системы.

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐ (-2, 4) ⓑ (3,1)

Решение

  1. ⓐ Является ли упорядоченная пара (−2, 4) решением?

Упорядоченная пара (−2, 4) выполнила оба неравенства.Следовательно, (−2, 4) — решение этой системы.

  1. ⓑ Является ли упорядоченная пара (3,1) решением?

Упорядоченная пара (3,1) сделала одно неравенство истинным, а другое — ложным. Следовательно, (3,1) не является решением этой системы.

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐⓑ

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐⓑ

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

Решением единственного линейного неравенства является область на одной стороне граничной линии, которая содержит все точки, которые делают неравенство истинным.Решением системы двух линейных неравенств является область, содержащая решения обоих неравенств. Чтобы найти эту область, мы построим график каждого неравенства отдельно, а затем определим область, в которой оба неравенства верны. Решение всегда отображается в виде графика.

Как решить систему линейных неравенств

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков.

  1. Изобразите первое неравенство.
    • Постройте граничную линию.
    • Заштриховать сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
  2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
    • Постройте граничную линию.
    • Заштрихуйте сбоку от границы, на которой выполнено неравенство.
  3. Решением является область перекрытия штриховки.
  4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Системы линейных неравенств с параллельными граничными линиями могут не иметь решения. Мы увидим это на (Рисунок).

Решите систему, построив график.

Решение

Нет смысла в обеих заштрихованных областях, поэтому у системы нет решения.У этой системы нет решения.

Решите систему, построив график.

нет решения

Решите систему, построив график.

нет решения

Решите систему, построив график.

Решение

Ни одна точка на граничных линиях не включена в решение, так как обе линии пунктирны.

Решение — это дважды заштрихованная область, которая также является решением.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решение приложений систем неравенств

Первое, что нам нужно сделать для решения приложений систем неравенств, — это преобразовать каждое условие в неравенство. Затем мы строим график системы, как делали выше, чтобы увидеть область, содержащую решения. Многие ситуации будут реалистичными только в том случае, если обе переменные положительны, поэтому на их графиках будет отображаться только Квадрант I.

Кристи продает свои фотографии в киоске на уличной ярмарке. В начале дня она хочет, чтобы на ее стенде было не менее 25 фотографий. Каждая маленькая фотография, которую она показывает, стоит ей 4 фунта, а каждая большая фотография — 10 фунтов. Она не хочет тратить больше 200 фунтов на фотографии для показа.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.

ⓑ Изобразите систему в виде графика.

ⓒ Могла ли она показать 15 маленьких и 5 больших фотографий?

ⓓ Могла ли она показать 3 больших и 22 маленьких фотографии?

Решение

  1. ⓐ Пусть количество маленьких фото.
    количество больших фото
    Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.

    У нас есть система неравенства.


  2. Для графика, график x + y = 25 в виде сплошной линии.
    Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство
    истинным, закрасьте сторону, на которой нет точки (0, 0), красным цветом.

    Для построения графика, график 4 x + 10 y = 200 в виде сплошной линии.
    Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство
    истинным, закрасьте сторону, которая включает точку (0, 0), синим.

    Решение системы — это область графика, которая закрашена дважды и, следовательно, затемнена.

  3. ⓒ Чтобы определить, будут ли работать 10 маленьких и 20 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (10, 20) в области решения. Нет. Кристи не показывала 10 маленьких и 20 больших фотографий.
  4. ⓓ Чтобы определить, будут ли работать 20 маленьких и 10 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (20, 10) в области решения. Это. Кристи могла выбрать отображение 20 маленьких и 10 больших фотографий.

Обратите внимание, что мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Прицеп может нести максимальный вес 160 фунтов и максимальный объем 15 кубических футов. Микроволновая печь весит 30 фунтов и имеет объем 2 кубических фута, в то время как принтер весит 20 фунтов и имеет 3 кубических фута пространства.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Можно ли перевозить на этом прицепе 4 микроволновые печи и 2 принтера?
ⓓ Можно ли в этом прицепе перевезти 7 микроволновых печей и 3 принтера?

  1. ⓒ да
  2. ⓓ нет

Мэри необходимо приобрести запасы листов для ответов и карандашей для стандартного теста, который будет проводиться среди младших классов в ее средней школе. Количество листов для ответов как минимум на 5 больше, чем количество карандашей.Карандаши стоят 2 фунта, а листы ответов — 1 фунт. Бюджет Мэри на эти принадлежности предусматривает максимальную стоимость в 400 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Может ли Мэри купить 100 карандашей и 100 листов для ответов?
ⓓ Может ли Мэри купить 150 карандашей и 150 листов для ответов?

  1. ⓒ нет
  2. ⓓ нет

Омару нужно съесть не менее 800 калорий, прежде чем отправиться на командную тренировку.Все, что ему нужно, — это гамбургеры и печенье, и он не хочет тратить больше пяти фунтов стерлингов. В гамбургер-ресторане рядом с его колледжем каждый гамбургер содержит 240 калорий и стоит 1,40 фунта стерлингов. Каждое печенье содержит 160 калорий и стоит 0,50 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Мог ли он съесть 3 гамбургера и 1 печенье?
ⓓ Мог ли он съесть 2 гамбургера и 4 печенья?

Решение

ⓐ Давай количество гамбургеров.
количество файлов cookie
Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.
Калории из гамбургеров по 240 калорий каждый плюс калорий из печенья по 160 калорий в каждом должны быть более 800.

Сумма, потраченная на гамбургеры по 1,40 фунтов стерлингов за каждый, плюс сумма, потраченная на печенье по цене 0,50 фунтов стерлингов, должна быть не более 5,00 фунтов стерлингов.

У нас есть система неравенства.

Решение системы — это область графика, которая закрашена дважды и поэтому закрашена темнее.

ⓒ Чтобы определить, соответствуют ли 3 гамбургера и 2 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (3, 1) в области решения.Это. Он может съесть 3 гамбургера и 2 печенья.
ⓓ Чтобы определить, соответствуют ли 2 гамбургера и 4 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (2, 4) в области решения. Это. Он может съесть 2 гамбургера и 4 печенья.

Мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Tension необходимо съедать не менее 1000 лишних калорий в день, чтобы подготовиться к марафону. У него есть только 25 фунтов, чтобы потратить на дополнительное питание, и он потратит их на 0 фунтов.75 пончиков по 360 калорий в каждом и 2 энергетических напитка по 110 калорий.

ⓐ Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Может ли он купить 8 пончиков и 4 энергетических напитка?
ⓓ Может ли он купить 1 пончик и 3 энергетических напитка?

  1. ⓒ да
  2. ⓓ нет

Врач Филиппа говорит ему, что он должен добавлять как минимум 1000 калорий в день к своему обычному рациону. Филип хочет купить протеиновые батончики стоимостью 1 фунт стерлингов.80 каждый и содержат 140 калорий и сок по цене 1,25 фунтов стерлингов за бутылку и содержат 125 калорий. Он не хочет тратить больше? 12.

ⓐ Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Может ли он купить 3 протеиновых батончика и 5 бутылок сока?
ⓓ Может ли он купить 5 протеиновых батончиков и 3 бутылки сока?

  1. ⓒ да
  2. ⓓ нет

Ключевые понятия

  • Для решения системы линейных неравенств с помощью построения графиков
    1. Изобразите первое неравенство.
      • Постройте граничную линию.
      • Заштриховать сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
    2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
      • Постройте граничную линию.
      • Заштрихуйте сбоку от границы, на которой выполнено неравенство.
    3. Решением является область перекрытия штриховки.
    4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Упражнения по разделам

Практика ведет к совершенству

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

В следующих упражнениях определите, является ли каждая упорядоченная пара решением системы.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью построения графиков.

Нет решения

Нет решения

Решение приложений систем неравенств

В следующих упражнениях переведите на систему неравенств и решите.

Кейтлин продает свои рисунки на окружной ярмарке. Она хочет продать не менее 60 рисунков, у нее есть портреты и пейзажи. Она продает портреты за 15 евро и пейзажи за 10 евро. Ей нужно продать рисунков на сумму не менее 800 фунтов стерлингов, чтобы получить прибыль.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Получит ли она прибыль, если продаст 20 портретов и 35 пейзажей?
ⓓ Получит ли она прибыль, если продаст 50 портретов и 20 пейзажей?

  1. ⓒ Нет
  2. ⓓ Есть

Джейк не хочет тратить больше 50 фунтов на мешки с удобрениями и торфяной мох для своего сада.Удобрение стоит 2 евро за мешок, а торфяной мох — 5 евро за мешок. Фургон Джейка вмещает не более 20 сумок.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Может ли он купить 15 мешков удобрений и 4 мешка торфяного мха?
ⓓ Может ли он купить 10 мешков удобрений и 10 мешков торфяного мха?

Рэйко нужно отправлять рождественские открытки и посылки по почте, и она хочет, чтобы ее почтовые расходы не превышали 500 фунтов стерлингов. Количество карточек минимум на 4 больше, чем в два раза больше пакетов.Стоимость пересылки открытки (с картинками) — 3 евро, посылки — 7 евро.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Может ли она отправить 60 открыток и 26 пакетов?
ⓓ Может ли она отправить по почте 90 открыток и 40 пакетов?

  1. ⓒ Есть
  2. ⓓ Нет

Хуан готовится к выпускным экзаменам по химии и алгебре. Он знает, что у него есть всего 24 часа на обучение, и ему потребуется как минимум в три раза больше времени, чтобы изучать алгебру, чем химию.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Может ли он потратить 4 часа на химию и 20 часов на алгебру?
ⓓ Может ли он потратить 6 часов на химию и 18 часов на алгебру?

Джоселин беременна и ей необходимо съедать как минимум на 500 калорий в день больше, чем обычно. Когда однажды покупает продукты с бюджетом в 15 фунтов на дополнительную еду, она покупает бананы по 90 калорий каждый и шоколадные батончики мюсли по 150 калорий.Бананы стоят 0,35 фунта стерлингов каждый, а батончики мюсли — 2,50 фунта стерлингов каждый.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Может ли она купить 5 бананов и 6 батончиков мюсли?
ⓓ Может ли она купить 3 банана и 4 батончика мюсли?

  1. ⓒ Нет
  2. ⓓ Есть

Марк пытается нарастить мышечную массу, поэтому ему необходимо дополнительно съедать не менее 80 граммов белка в день. Бутылка протеиновой воды стоит 3 фунта.20, а протеиновый батончик стоит 1,75 фунтов стерлингов. Белковая вода содержит 27 граммов белка, а батончик — 16 граммов. Если он есть? 10 долларов на расходы

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Мог ли он купить 3 бутылки протеиновой воды и 1 протеиновый батончик?
ⓓ Мог ли он покупать не бутылки с протеиновой водой и 5 протеиновых батончиков?

Джоселин хочет увеличить потребление белка и калорий. Она желает получать как минимум на 35 граммов больше белка каждый день и не более 200 дополнительных калорий в день.Унция сыра чеддер содержит 7 граммов белка и 110 калорий. Унция сыра пармезан содержит 11 граммов белка и 22 калории.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Может ли она съесть 30 грамм сыра чеддер и 30 грамм сыра пармезан?
ⓓ Может ли она съесть 2 унции сыра чеддер и 30 грамм сыра пармезан?

  1. ⓒ Есть
  2. ⓓ Нет

Марк увеличивает свои физические нагрузки, бегая и ходя не менее 4 миль каждый день.Его цель — сжечь как минимум 1500 калорий с помощью этого упражнения. Ходьба сжигает 270 калорий на милю, а бег — 650 калорий.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Сможет ли он достичь своей цели, пройдя 3 мили и пробежав 1 милю?
ⓓ Сможет ли он достичь своей цели, пройдя 2 мили и пробежав 2 мили?

Повседневная математика

Билеты на матч Американской бейсбольной лиги для 3 взрослых и 3 детей стоят менее 75 фунтов стерлингов, а билеты для 2 взрослых и 4 детей — менее 62 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой проблемы.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Могли ли билеты стоить 20 евро для взрослых и 8 евро для детей?
ⓓ Могут ли билеты стоить? 15 для взрослых и 5? Для детей?

  1. ⓒ Нет
  2. ⓓ Есть

Дедушка и бабушка развлекают свою семью в кино. Билет на утренник стоит 4 евро для ребенка и 4 евро для взрослого. Вечерние билеты стоят 6 евро для ребенка и 8 евро для взрослого.Они планируют потратить не больше 80 фунтов на билеты на утренник и не более 100 на вечерние билеты.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
ⓑ Изобразите систему в виде графика.
ⓒ Могут ли они взять с собой 9 детей и 4 взрослых на оба спектакля?
ⓓ Могут ли они взять с собой 8 детей и 5 взрослых на оба спектакля?

Письменные упражнения

Изобразите неравенство. Как узнать, какую сторону линии нужно растушевать?

Изобразите систему.Что означает решение?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы достичь уверенности в достижении всех целей?

Упражнения на повторение главы 5

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений .

В следующих упражнениях определите, являются ли следующие точки решениями данной системы уравнений.

Решите систему линейных уравнений с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите следующие системы уравнений с помощью построения графиков.

совпадающих линий

Определите количество решений линейной системы

В следующих упражнениях без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

бесконечно много решений, непротиворечивая система, зависимые уравнения

нет решений, несовместная система, независимые уравнения

Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков

ЛаВелле делает кувшин кофе мокко. На каждую унцию шоколадного сиропа она использует пять унций кофе. Сколько унций шоколадного сиропа и сколько унций кофе нужно ей, чтобы приготовить 48 унций кофе мокко?

ЛаВеллю нужно 8 унций шоколадного сиропа и 40 унций кофе.

Эли готовит коктейль для вечеринок, состоящий из крендельков и чекса. На каждую чашку крендельков он использует три чашки чекса. Сколько чашек кренделей и сколько чашек чекса ему нужно, чтобы приготовить 12 чашек коктейля для вечеринок?

Решите системы уравнений подстановкой

Решите систему уравнений подстановкой

В следующих упражнениях решите системы уравнений путем подстановки.

Решите приложения систем уравнений подстановкой

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна 55. Одно число на 11 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 22 и 33.

Периметр прямоугольника 128. Длина на 16 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше, чем в 3 раза больше размера другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размеры: 23 градуса и 67 градусов.

Габриэла работает в страховой компании, которая платит ей зарплату в размере 32 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный полис.Она рассматривает возможность перехода на другую работу в компанию, которая будет платить зарплату в размере 40 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 80 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Сколько полисов нужно продать Габриэле, чтобы общая сумма была такой же?

Решите системы уравнений методом исключения

Решите систему уравнений методом исключения В следующих упражнениях решите системы уравнений методом исключения.

Решение приложений систем уравнений методом исключения

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна. Их разница есть. Найдите числа.

Цифры и.

Омар каждый день останавливается в магазине пончиков по дороге на работу. На прошлой неделе он съел 8 пончиков и 5 капучино, что дало ему в общей сложности 3000 калорий. На этой неделе он съел 6 пончиков и 3 капучино, что в общей сложности составило 2160 калорий. Сколько калорий в одном пончике? Сколько калорий в одном капучино?

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

В следующих упражнениях решите, что было бы удобнее решить систему уравнений путем подстановки или исключения.

Решение приложений с помощью систем уравнений

Перевести в систему уравнений

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений. Не решайте систему.

Сумма двух чисел равна. Одно число на два меньше, чем в два раза больше другого. Найдите числа.

Четыре раза больше числа плюс трижды второе число. Дважды первое число плюс второе число — три.Найдите числа.

В прошлом месяце Джим и Дебби заработали 7200 фунтов стерлингов. Дебби заработала на 1600 фунтов больше, чем заработал Джим. Сколько они заработали?

Анри вложил 24 000 евро в акции и облигации. Сумма в акциях на 6 000 евро больше, чем в три раза больше, чем в облигациях. Сколько стоит каждое вложение?

Решение задач прямого перевода

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Пэм на 3 года старше своей сестры Янв.Сумма их возрастов — 99. Найдите их возраст.

Молли хочет посадить 200 луковиц в своем саду. Она хочет все ирисы и тюльпаны. Она хочет посадить в три раза больше тюльпанов, чем ирисов. Сколько ирисов и сколько тюльпанов ей следует посадить?

Приложения Solve Geometry

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Разница двух дополнительных углов составляет 58 градусов. Найдите размеры углов.

Размеры: 119 градусов и 61 градус.

Два угла дополняют друг друга. Мера большего угла в пять раз больше, чем в четыре раза меньшего угла. Найдите размеры обоих углов.

Бекка вешает 28-футовую цветочную гирлянду с двух сторон и наверху беседки, чтобы подготовиться к свадьбе. Высота на четыре фута меньше ширины. Найдите высоту и ширину беседки.

Пергола 8 футов в высоту и 12 футов в ширину.

Периметр городского прямоугольного парка составляет 1428 футов. Длина на 78 футов более чем в два раза превышает ширину. Найдите длину и ширину парка.

Решение Uniform Motion Applications

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Шейла и Ленор ехали в дом своей бабушки. Ленора ушла через час после Шейлы. Шейла ехала со скоростью 45 миль в час, а Ленора ехала со скоростью 60 миль в час. Сколько времени потребуется Леноре, чтобы догнать Шейлу?

Это займет у Леноры 3 часа.

Боб ушел из дома, ехал на велосипеде со скоростью 10 миль в час к озеру. Шерил, его жена, уехала через 45 минут (час) спустя, двигаясь на своей машине со скоростью 25 миль в час. Сколько времени потребуется Шерил, чтобы догнать Боба?

Маркус может спуститься на своей лодке на 36 миль вниз по реке за три часа, но ему нужно четыре часа, чтобы вернуться вверх по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения.

Скорость лодки 10,5 миль в час. Скорость тока — 1.5 миль / ч.

Пассажирский реактивный самолет может пролететь 804 мили за 2 часа при попутном ветре, но только 776 миль за 2 часа при встречном ветре. Найдите скорость струи в неподвижном воздухе и скорость ветра.

Решение смесей приложений с помощью систем уравнений

Приложения для растворения смеси

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Линн заплатила в общей сложности 2780 фунтов стерлингов за 261 билет в театр. Студенческие билеты стоят 10 евро, взрослые — 15 евро.Сколько студенческих билетов и сколько взрослых билетов купила Линн?

Линн купила 227 студенческих билетов и 34 взрослых билета.

У Приама в машине есть десять центов и центов в подстаканнике. Общая стоимость монет — 4,21 фунта стерлингов. Количество десятицентовиков на три меньше, чем четырехкратное количество пенсов. Сколько центов и сколько центов в чашке?

Юми хочет приготовить 12 чашек коктейля из конфет и орехов. Ее бюджет требует, чтобы вечеринка обошлась ей в 1 фунт.29 на чашку. Конфеты стоят 2,49 фунтов стерлингов за чашку, а орехи — 0,69 фунтов стерлингов за чашку. Сколько чашек конфет и сколько чашек орехов ей следует съесть?

Юми следует использовать 4 чашки конфет и 8 чашек орехов.

Ученому нужно 70 литров 40% раствора спирта. У него есть 30% и 60% раствор. Сколько литров 30% и сколько литров 60% растворов он должен смешать, чтобы получить 40% раствор?

Заявки на выплату процентов

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

У Джека есть 12 000 евро для инвестирования, и он хочет получать 7,5% годовых. Он поместит часть денег на сберегательный счет, приносящий 4% в год, а остальную часть — на счет CD, который приносит 9% в год. Сколько денег он должен положить на каждый счет?

Джек должен положить 3600 евро в сбережения и 8400 евро на компакт-диск.

Когда она закончит колледж, Линда будет должна 43 000 фунтов стерлингов в виде студенческих ссуд. Процентная ставка по федеральным займам составляет 4,5%, а ставка по ссудам частных банков — 2%.Общая сумма процентов, которые она задолжала за один год, составила 1585 фунтов стерлингов. Какая сумма каждого кредита?

Графические системы линейных неравенств

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

В следующих упражнениях определите, является ли каждая упорядоченная пара решением системы.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью построения графиков.

Нет решения

Решение приложений систем неравенств

В следующих упражнениях переведите на систему неравенств и решите.

Роксана делает браслеты и ожерелья и продает их на фермерском рынке. Браслеты она продает по 12 фунтов за штуку, а ожерелья — по 18 фунтов. На рынке в следующие выходные у нее будет место для демонстрации не более 40 штук, и ей нужно продать не менее 500 фунтов стерлингов, чтобы получить прибыль.

  1. ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
  2. ⓑ Изобразите систему.
  3. ⓒ Следует ли ей показать 26 браслетов и 14 ожерелий?
  4. ⓓ Следует ли ей показать 39 браслетов и 1 ожерелье?


ⓒ да
ⓓ нет

У Энни есть бюджет в 600 фунтов стерлингов на покупку книг в мягкой обложке и книг в твердом переплете для своего класса. Она хочет, чтобы количество книг в твердом переплете было как минимум в 5 раз больше, чем в три раза больше книг в мягкой обложке.Книги в мягкой обложке стоят 4 фунта каждая, а книги в твердой обложке — 15 евро.

  1. ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
  2. ⓑ Изобразите систему.
  3. ⓒ Может ли она купить 8 книг в мягкой обложке и 40 книг в твердой обложке?
  4. ⓓ Может ли она купить 10 книг в мягкой обложке и 37 книг в твердой обложке?

Практический тест

В следующих упражнениях решите следующие системы с помощью построения графиков.

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений.Используйте либо замену, либо исключение.

бесконечно много решений

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна −24. Одно число на 104 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 40 и 64

Рамон хочет посадить в своем саду огурцы и помидоры.У него есть место для 16 растений, и он хочет посадить в три раза больше огурцов, чем помидоров. Сколько огурцов и сколько помидоров нужно посадить?

Два угла дополняют друг друга. Мера большего угла в шесть раз больше, чем мера меньшего угла, более чем в два раза. Найдите размеры обоих углов.

Размеры углов: 28 градусов и 62 градуса.

В понедельник Лэнс бегал 30 минут и плавал 20 минут. Его фитнес-приложение сообщило ему, что он сжег 610 калорий.В среду фитнес-приложение сообщило ему, что он сжег 695 калорий, когда бегал 25 минут и плавал 40 минут. Сколько калорий он сжег за минуту бега? Сколько калорий он сжег за минуту плавания?

Кэти вышла из дома, чтобы дойти до торгового центра, быстро пошла со скоростью 4 мили в час. Ее сестра Эбби вышла из дома через 15 минут и ехала на велосипеде до торгового центра со скоростью 10 миль в час. Сколько времени понадобится Эбби, чтобы догнать Кэти?

Это займет у Кэти час (или 10 минут).

Самолету требуется несколько часов, чтобы преодолеть 2475 миль при встречном ветре из Сан-Хосе, Калифорния, в Лихуэ, Гавайи. Обратный рейс из Лихуэ в Сан-Хосе с попутным ветром занимает 5 часов. Найдите скорость струи в неподвижном воздухе и скорость ветра.

Лиз заплатила 160 фунтов за 28 билетов, чтобы отвести отряд Брауни в музей науки. Детские билеты стоят 5 евро, взрослые — 9 евро. Сколько билетов для детей и сколько билетов для взрослых купила Лиз?

Лиз купила 23 детских и 5 взрослых билетов.

Фармацевту необходимо 20 литров 2% физиологического раствора. У него есть 1% и 5% раствор. Сколько литров 1% и сколько литров 5% растворов она должна смешать, чтобы получить 2% раствор?

Переведите в систему неравенств и решите.

Энди хочет потратить не больше 50 фунтов стерлингов на Хэллоуинские угощения. Она хочет купить шоколадные батончики по 1 фунту каждый и леденцы по 0,50 фунтов стерлингов каждый, и она хочет, чтобы количество леденцов было как минимум в три раза больше, чем шоколадных батончиков.

  1. ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
  2. ⓑ Изобразите систему.
  3. ⓒ Может ли она купить 20 шоколадных батончиков и 70 леденцов на палочке?
  4. ⓓ Может ли она купить 15 шоколадных батончиков и 65 леденцов на палочке?


ⓒ Нет
ⓓ Да

Глоссарий

система линейных неравенств
Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

Система неравенств | Блестящая вики по математике и науке

Решение системы неравенств по двум переменным часто отображается в виде заштрихованного графика на координатной плоскости. Затененные области показывают области, содержащие точки в решении. Если линия сплошная, то точки на ней содержатся в растворе. Если линия пунктирна, то точки на этой линии не содержатся в решении, но любая смежная заштрихованная область действительно содержит точки в решении.

{y≤2x + 3y> −13x − 1 \ begin {cases}
у \ ле 2х + 3 \\
у> — \ frac {1} {3} х-1
\ end {case} {y≤2x + 3y> −31 x − 1

Заштрихованная область — это пересечение неравенств. Каждая точка в заштрихованной области и на сплошном луче является частью решения. Пунктирные линии и лучи не являются частью решения.

Следующий процесс работает путем выделения переменной yyy в каждом неравенстве.Поскольку большие значения yyy находятся выше в координатной плоскости, символ >>> или ≥ \ ge≥ означает, что решение существует над линией неравенства. Точно так же символ <<< или ≤ \ le≤ означает, что решение существует ниже строки неравенства.

Построение графиков линейных систем неравенств: метод затенения с пересечением угла наклона

  • Представьте каждое неравенство в форме пересечения наклона.

  • Постройте линию, ограничивающую каждое неравенство.Если символ ≤ \ le≤ или ≥, \ ge, ≥, тогда линия должна быть сплошной, чтобы показать, что точки на линии включены в решение. Если символ <, <, <,>,>,> или ≠, \ ne,  =, то линия должна быть пунктирной, чтобы показать, что точки на линии не включены в решение.

  • Для каждого неравенства, если символ ≥ \ ge≥ или>,>,>, затем закройте линию над линией. Если символ ≤ \ le≤ или <, <, <, затем закройте линию под линией. Если символ ≠, \ ne,  =, заштрихуйте обе стороны линии.

  • Если система представляет собой объединение , то ваш график завершен. Если система — это перекресток , то в решении будут только те области, которые являются частью всех неравенств. Вы должны стереть все тени, линии и лучи, которых нет в растворе.

Постройте график объединения неравенств

г> 3x∪y <2x. \ Begin {array} {ccc} у> 3x & \ чашка & y <2x. \ end {array} y> 3x ∪ y <2x.


Начните с построения графика линии каждого неравенства.Это символы >>> и <, <, <, поэтому линии должны быть пунктирными.

Первое неравенство имеет y> 3x, y> 3x, y> 3x, поэтому штриховка должна быть выше линии.

Во втором неравенстве y <2x, y <2x, y <2x, поэтому штриховка должна быть ниже линии.

Поскольку эта система является объединением, все заштрихованные части являются частью неравенства.Для наглядности каждая заштрихованная область должна быть одного цвета, а пунктирные линии в заштрихованной области должны быть сплошными, чтобы указать, что они являются частью раствора.

Каждая точка в заштрихованной области имеет либо y> 3xy> 3xy> 3x, либо y <2x.y <2x.y <2x. □ _ \ квадрат □

Латоя управляет фабрикой по производству мебели, готовой к сборке. Она планирует, как выделить ресурсы на оборудование для производства столов.Машина A \ text {A} A может производить 6 рабочих столов в час и стоит 100 долларов за каждый час работы. Машина B \ text {B} B может производить 10 рабочих столов в час и стоит 200 долларов за каждый час работы. У Латойи есть рабочие, которые могут работать на машинах до 50 часов на этой неделе, и она выделила 8000 долларов из своего бюджета на работу этих машин. Составьте график, показывающий, как она может распределять ресурсы для производства столов.


Пусть aaa будет количеством часов, которое работает машина A \ text {A} A, и пусть B \ text {B} B будет количеством часов, которые работает машина B \ text {B} B.Можно написать систему неравенств, описывающую ограничения на использование этих машин.

Во-первых, опишите, как машины ограничены временем:

a + b≤50.a + b \ le 50.a + b≤50.

Затем опишите, как машины ограничены стоимостью:

100a + 200b≤8000a + 2b≤80. \ Begin {align}
100а + 200б \ ле 8000 \
а + 2b & \ le 80.
\ end {align} 100a + 200ba + 2b ≤8000≤80.

Кроме того, машины не могут работать менее 0 часов:

a≥0b≥0.\ begin {выравнивается} a & \ ge 0 \\ b & \ ge 0. \ end {выравнивается} ab ≥0≥0.

Пусть aaa изображено на оси xxx, а bbb — на оси yyy. Решение относительно bbb в каждом неравенстве, кроме a≥0a \ ge 0a≥0, дает системе

{b≤ − a + 50b≤ − 12a + 40a≥0b≥0. \ Begin {cases}
б \ ле -а + 50 \\
б \ le — \ frac {1} {2} а + 40 \\
а \ ge 0 \\
б \ гэ 0.
\ end {ases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ b≤ − a + 50b≤ − 21 a + 40a≥0b≥0.

Постройте график каждой из линий.

Поскольку в первом неравенстве есть символ <<<, заштрихуйте под линией.

Примените тот же принцип, чтобы затенить все остальные неравенства. Неравенство a≥0a \ ge 0a≥0 заштриховано справа, потому что более высокие значения aaa существуют дальше прямо на графике.

Это оставляет заштрихованным весь график. Однако эта система является перекрестком , поскольку все неравенства должны быть соблюдены. Следовательно, все штриховки, которых нет в , все неравенства должны быть удалены.

Оставшаяся заштрихованная область — это решение системы неравенств. Любая заказанная пара в этом решении дала бы Латойе реальный способ спланировать использование своего оборудования. Вы могли заметить, что количество изготовленных столов не было включено в этот анализ. Если цель — разработать оптимальный способ производства столов , то необходимо использовать линейное программирование. □ _ \ квадрат □

Следующий процесс работает, потому что линии каждого неравенства разделяют координатную плоскость на области.Если точка в координатной плоскости удовлетворяет системе, то все точки в той же области, что и эта точка, также будут удовлетворять системе.

Решение линейных систем неравенств: метод контрольных точек

  • Постройте линию для каждого неравенства. Следуйте тем же правилам для пунктирных и сплошных линий, что и раньше.

  • Для каждой области, разделяемой линиями, выберите точку в этой области. Проверьте точку, подставляя значения xxx и yyy в каждое неравенство.

  • Если система представляет собой объединение , то контрольная точка должна удовлетворять только одному из неравенств. Если система перекресток , то она должна удовлетворять всем неравенствам. Если контрольная точка соответствует системе, закрасьте область, в которой находится контрольная точка.

  • Сотрите все линии и лучи, которых нет в растворе.

Постройте график решения следующей системы неравенств

{2x + 3y≤4x − 4y> 2.\ begin {case} \ begin {align}
2х + 3у & \ ле 4 \\
х-4у &> 2.
\ end {align} \ end {case} {2x + 3yx − 4y ≤4> 2.

Обратите внимание, что эта система представляет собой перекресток . Сначала нарисуйте линию для каждого неравенства. Первое неравенство должно быть сплошной линией, а второе неравенство — пунктирной линией. Эти линии делят график на 4 области.

Выберите точку в каждом регионе и проверьте ее на неравенства:

1: (0,0) {2 (0) +3 (0) ≤4 ✓0−4 (0)> 2×2: (2,1) {2 (2) +3 (1) ≤4×2−4 ( 1)> 2×3: (3,0) {2 (3) +3 (0) ≤4×3−4 (0)> 2 ✓4: (2, −1) {2 (2) +3 (−1) ≤ 4 ✓ 2−4 (−1)> 2 ✓ \ begin {array} {ccl}
\ boxed {1}: & (0,0) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (0) +3 (0) & \ le 4 & \ checkmark \\ 0-4 (0) &> 2 & \ text {x} \ end {array} \ end {case} \\
\ boxed {2}: & (2,1) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (2) +3 (1) & \ le 4 & \ text {x} \\ 2-4 (1) &> 2 & \ text {x} \ end {array} \ end {case} \\
\ boxed {3}: & (3,0) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (3) +3 (0) & \ le 4 & \ text {x} \\ 3-4 (0) &> 2 & \ checkmark \ end {array} \ end {case} \\
\ boxed {4}: & (2, -1) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (2) +3 (-1) & \ le 4 & \ checkmark \\ 2-4 ( -1) &> 2 & \ checkmark \ end {array} \ end {case}
\ end {array} 1: 2: 3: 4: (0,0) (2,1) (3,0) (2, −1) {2 (0) +3 (0) 0−4 (0) ≤4> 2 ✓x {2 (2) +3 (1) 2−4 (1) ≤4> 2 xx {2 (3) +3 (0 ) 3−4 (0) ≤4> 2 x ✓ {2 (2) +3 (−1) 2−4 (−1) ≤4> 2 ✓ ✓

Единственная точка, удовлетворяющая обоим неравенствам, — это точка в области 4.Заштрихуйте эту область и удалите все сплошные лучи, которых нет в этой области.

□ _ \ квадрат □

Круг> Прямоугольник> Треугольник

Прямоугольник> Треугольник> Круг

Треугольник> Прямоугольник> Круг

Прямоугольник> Круг> Треугольник

Круг> Треугольник> Прямоугольник

Треугольник> Круг> Прямоугольник

Выше показано, как мобильный телефон будет сбалансирован, если его оставить висеть.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.