Решения неравенств систем: § Как решать системы неравенств

{2}}+2{x} -8=0\).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Содержание

определение, неравенства и их системы

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся  примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Определение 1

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2·x−3>0 и 5−x≥4·x−11. Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

2·x-3>0,5-x≥4·x-11

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

  • количество неравенств системы;
  • количество переменных записи;
  • вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

2·x-3>0,5-x≥4·x-11

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

x≥-2,y≤5,x+y+z≥3,z≤1-x2-4·y2

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x, y, z. Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:

544-4-x32-2-x≥17,logx216x+2016≤1

Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.

Решение системы неравенств

Определение 2

Решение системы неравенств с одной переменной – это значение переменной, которое обращает каждое неравенство заданной системы в верное числовое неравенство, то есть будет являться решением каждого имеющегося неравенства.

Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.

x>7,2-3·x≤0

Если значение х=8, то решение системы очевидно, так как выполняется 8>7 и 2−3·8≤0. При х=1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1>7. Таким же образом решается система с двумя и более переменными.

Определение 3

Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.

Если х=1 и у=2 будет решением неравенства x+y<7x-y<0, потому как выражения 1+2<7 и 1−2<0 верны. Если подставить числовую пару (3, 5, 3), тогда система не даст значения переменных и неравенство  будет неверным 3,5−3<0.

При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное.  Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.

Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенств считают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».

Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.

Автор:
Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Решение систем неравенств с двумя переменными

Вопросы
занятия:

·  повторить алгоритм решения неравенств с двумя
переменными;

·  повторить алгоритм решения систем неравенств с
двумя переменными.

Материал
урока

Рассмотрим неравенство:

При х = -3 и у = 0 это неравенство
обращается в верное числовое неравенство 19 > 8.

А при x
= 2

и y = 10,
это неравенство обращается в числовое неравенство -41 > 8. Очевидно,
что это неверное числовое неравенство.

То есть мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0)
является решением данного неравенства, а пара чисел (2; 10) не
является решением этого неравенства
.

Повторим определение.

Определение.

Решением неравенства
с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное
неравенство в верное числовое неравенство.

Возвращаясь к нашему примеру, мы можем сказать, что
пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства.

Очевидно, что это не единственное решение.

Теперь давайте вспомним алгоритм решения неравенств
с двумя переменными
:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства.

2. Выразить переменную у через х.

3. Построить график полученного уравнения.

4. Выделить часть плоскости, соответствующую знаку
неравенства.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Прежде чем перейти к решению систем неравенств с двумя
переменными, давайте вспомним определения.

Определение.

Говорят, что задана система двух неравенств с двумя
переменными
, если требуется найти все значения переменных, при которых оба
неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решением системы неравенств
называют такое значение переменной, при котором неравенства системы
преобразуются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решить систему неравенств
это значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными
практически такой же, как и алгоритм решения системы неравенств с одной
переменной:

1. Решить каждое из неравенств системы отдельно.

2. Изобразить полученные решения в координатной
плоскости.

3. Найти пересечение этих решений.

4. Общая часть этих решений и является решением данной
системы неравенств.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Решим ещё одну систему неравенств.

Пример.

Итоги
урока

Сегодня на уроке мы повторили алгоритмы решения
неравенств и систем неравенств с двумя переменными. Решили несколько задач.

Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки. Решение систем неравенств с одной переменной 8 класс

Неравенство

Неравенство, содержащее одну переменную, называется неравенством с одной переменной (неизвестной).

Решением неравенства называется такое значение переменной, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или они оба не имеют решений.

При решении неравенств используют основные их свойства:

  1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
  2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.
  3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Решение неравенств обозначают на координатной прямой.

Пусть a – некоторое число. Все числа, не превосходящие а – это часть координатной прямой левее точки a вместе с точкой a (черный закрашенный кружок):

 

 

Все числа, меньшие а – это часть координатной прямой левее точки a, но не включая точку.

 

 

Аналогично для чисел, не меньших а, и больших а:

 

 

Обозначения числовых множеств на координатной прямой носят название числовые промежутки.

 

 

Пример 1. Записать, используя обозначения числовых промежутков, множество точек заштрихованной части координатной прямой.

 

 

Ответ: (-∞;-6) U [-3;0) U [2;5) U (5; ∞)

Читается так: промежуток от минус бесконечности до минус 6 (шесть не входит) объединить с промежутком от минус 3 до нуля (минус три входит, ноль не входит) объединить с промежутком от двух до пяти (два входит, пять не входит) объединить с промежутком от 5 до бесконечности (5 не входит).

Пример 2. Решим неравенство x3-x2<2.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т.е. на 6. Получим

2x-3x<12

-x<12

x>-12

Ответ (-12;∞).

В рассмотренном примере мы заменили заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ax<b, где a и b – некоторые числа. Неравенства вида ax<b или ax>b, где a и b – некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Может случиться, что при решении неравенства мы придем к линейному неравенству вида 0x>b или 0x<b. Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.

Пример 3. Турист вышел по направлению к железнодорожной станции, расположенной на расстоянии 10 км от него. Если турист увеличит скорость на 2 км/ч, то за 2 часа он пройдет расстояние, большее 10 км. Если он уменьшит скорость на 2 км/ч, то даже за 3 ч не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?

Пусть скорость туриста равна х км/ч. Если турист будет идти со скоростью (х+2) км/ч, то за 2 часа он пройдет 2(х+2) км. По условию задачи 2(х+2)>10. Если турист будет идти со скоростью (х-2) км/ч, то за 3 часов он пройдет 3(х-2) км. По условию задачи 3(х-2)<10.

Требуется найти значения х, при которых верно как неравенство 2(х+2)>10, так и неравенство 3(х-2)<10, т.е. найти общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств.

2х+2>103x-2<10

Заменив каждое неравенство системы равносильным ему неравенством, получим

x>3x<16/3

Значит, значение х должно удовлетворять условию 3<x<5(1/3).

Ответ: скорость туриста больше 3 км/ч, но меньше 5 (1/3) км/ч

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Линейные уравнения

      Линейным уравнением относительно переменной   x   называется уравнение первой степени

где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

      В случае уравнение (1) имеет единственное решение при любом значении   b :

      В случае, когда  уравнение (1) решений не имеет.

      В случае, когда  k = 0,   b = 0, решением уравнения (1) является любое число

Линейные неравенства

      Линейным неравенством относительно переменной   x   называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:

где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

      Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что

при умножении или делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется,

а

при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

      В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов   k   и   b,   представлено в следующей Таблице 1.

      Таблица 1. – Решение неравенств первой степени (линейных неравенств)

k > 0
Знак неравенства сохраняется

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b > 0

Решение неравенства:

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b < 0

Решение неравенства:

k = 0,   b < 0

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b > 0

Решение неравенства:

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b < 0

Решение неравенства:

k = 0,   b = 0

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b > 0

Решение неравенства:

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b < 0

Решение неравенства:

k = 0,   b > 0

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b > 0

Решение неравенства:

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b < 0

Решение неравенства:

k < 0
Знак неравенства меняется на противоположный

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b > 0

Решение неравенства:

Неравенство:

Решение неравенства:

Неравенство:

kx + b < 0

Решение неравенства:

Системы линейных неравенств

      Рассмотрим решение систем линейных неравенств на примерах.

      Пример 1. Решить систему неравенств

      Решение. Решим каждое из неравенств системы:

      Изобразив на одной координатной прямой (рис. 1) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.

Рис.1

      Ответ:

      Пример 2. Решить систему неравенств

      Решение. Решим каждое из неравенств системы:

      Изобразив на одной координатной прямой (рис. 2) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.

Рис.2

      Ответ:

      Пример 3. Решить систему неравенств

      Решение. Решим каждое из неравенств системы:

      Изобразив на одной координатной прямой (рис. 3) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера

Рис.3

      Ответ:

 

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Решение неравенств любого вида. Онлайн калькулятор с примерами

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.

Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Важный момент

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

А у неравенства |x|

Для чего нужен калькулятор неравенств?

Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.

Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?

Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.

19.2. Решение систем M линейных неравенств с двумя переменными

Дана система Т линейных неравенств с двумя переменными

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую

Которая является Граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплос­кость 2 не содержит начала координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произволь­ную точку на плоскости (лучше начало координат) и подста­вить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.

Направление полуплоскости на рисунках показываем стрел­кой.

Определение 15. Решением каждого неравенства систе­мы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из ко­торых определяется соответствующим неравенством системы, называется Областью решения системы (ОР).

Определение 17. Область решения системы, удовлетворяю­щая условиям неотрицательности (Xj ≥ 0, J = ), называ­ется Областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной облас­тью или одной точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пус­тое множество.

Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и опреде­лить координаты угловых точек ОДР

Решение. Найдем ОР первого неравенства: Х1 + 3X2 ≥ 3. Построим граничную прямую Х1 +3X2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Под­ставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решени­ем неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).

Аналогично найдем решения остальных неравенств систе­мы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых

Решая систему, получим А(3/7, 6/7).

Точку В найдем как точку пересечения прямых

Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем коорди­наты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Построим прямые и определим решения не­равенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).

Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

< Предыдущая   Следующая >

Графические системы линейных неравенств

Чтобы построить линейный

неравенство

в двух переменных (скажем,

Икс

а также

у

), сначала получите

у

один на одной стороне. Затем рассмотрим соответствующее уравнение, полученное заменой знака неравенства на знак равенства. График этого уравнения представляет собой линию.

Если неравенство строгое (

< или же >

), начертите штриховой линией. Если неравенство не строгое
(

или же

), начертите сплошной линией.

Наконец, выберите одну точку, которая не находится ни на одной строке (

(

0

,

0

)

обычно самый простой) и решите, удовлетворяют ли эти координаты неравенству или нет. Если это так, заштрихуйте полуплоскость, содержащую эту точку. Если нет, закройте другую полуплоскость.

Аналогичным образом изобразите каждое из неравенств в системе. Решение

система неравенств

— область пересечения всех решений в системе.


Пример 1:

Решите систему неравенств, построив графики:

у

Икс

2

у

>

3

Икс

+

5

Сначала изобразим неравенство

у

Икс

2

.

Связанное уравнение

у

знак равно

Икс

2

.

Поскольку неравенство

, не строгий, граница сплошная.

Постройте прямую линию.

Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем,

(

0

,

0

)

— и подставляем в неравенство

у

Икс

2

.

0

0

2

0

2

Это неправда.Итак, решение не содержит точки

(

0

,

0

)

. Заштрихуйте нижнюю половину линии.

Аналогичным образом нарисуйте пунктирную линию для соответствующего уравнения второго неравенства

у

>

3

Икс

+

5

которое имеет строгое неравенство. Точка

(

0

,

0

)

не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки

(

0

,

0

)

.

Решение системы неравенств — это область пересечения решений двух неравенств.


Пример 2:

Решите систему неравенств, построив графики:

2

Икс

+

3

у

12

8

Икс

4

у

>

1

Икс

< 4

Перепишем первые два неравенства с

у

один на одной стороне.

3

у

2

Икс

+

12

у

2

3

Икс

+

4

4

у

>

8

Икс

+

1

у

< 2 Икс - 1 4

Теперь изобразим неравенство

у

2

3

Икс

+

4

.Связанное уравнение

у

знак равно

2

3

Икс

+

4

.

Поскольку неравенство

, не строгий, граница сплошная.

Постройте прямую линию.

Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем,

(

0

,

0

)

— и подставляем в неравенство.

0

2

3

(

0

)

+

4

0

4

Это неправда.Итак, решение не содержит точки

(

0

,

0

)

. Заштрихуйте верхнюю половину линии.

Аналогично нарисуйте пунктирную линию соответствующего уравнения второго неравенства

у

< 2 Икс - 1 4 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .

Нарисуйте пунктирную вертикальную линию

Икс

знак равно

4

которое является родственным уравнением третьего неравенства.

Здесь точка

(

0

,

0

)

удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, содержащую точку.

Решение системы неравенств — это область пересечения решений трех неравенств.

Решение систем неравенств — Бесплатная математическая справка

Сначала нам нужно рассмотреть символы неравенства:
  • Символ <означает меньше чем.
  • Символ> означает больше чем.
  • Символ \ (\ leq \) означает меньше или равно. Обычно на компьютерах это пишется как <=, потому что это легче вводить.
  • Символ \ (\ geq \) означает больше или равно. Иногда на компьютерах это пишется как> =, потому что так легче набирать.

Существует бесконечное множество решений для неравенства. В свете этого факта может быть проще всего найти набор решений для неравенств, решив систему графически.

Как решить системы неравенств графически

1) Запишите неравенство в форме пересечения наклона или в форме \ (y = mx + b \).

Например, если вас попросят решить \ (x + y \ leq 10 \), мы сначала перепишем как \ (y \ leq -x + 10 \).

2) Временно замените данный символ неравенства (в данном случае \ (\ leq \)) на просто равный символ. При этом вы можете рассматривать неравенство как уравнение. НО НЕ забудьте заменить символ равенства на исходный символ неравенства в КОНЕЦ задачи!

Итак, \ (y \ leq -x + 10 \) на данный момент становится \ (y = -x + 10 \).

3) Изобразите линию, найденную на шаге 2. Это сформирует «границу» неравенства — с одной стороны линии условие будет истинным, с другой — нет. Посмотрите, как построить линию здесь.

4) Вернемся к найденному ранее неравенству как \ (y \ leq -x + 10 \). Обратите внимание, что это верно, когда y меньше или равно. На шаге 3 мы построили линию (случай равенства), поэтому теперь нам нужно учесть случай «меньше чем». Поскольку y меньше определенного значения в нижней части оси, мы закрасим область под линией, чтобы указать, что неравенство верно для всех точек ниже линии:

5) Проверить.Вставьте точку не на линии, например (0,0). Убедитесь, что неравенство выполнено. В данном случае это означает \ (0 \ leq -0 + 10 \), что явно верно. Мы заштриховали правильную сторону линии.

Пример:

Найдите все значения x и y, которые удовлетворяют: \ (y \ geq \ frac {-3} {2} x + 6 \).

Обратите внимание, что это неравенство уже имеет форму пересечения наклона. Я заменю данный символ неравенства на символ равенства для построения линии.

\ (y \ geq \ frac {-3} {2} x + 6 \) становится \ (y = \ frac {-3} {2} x + 6 \).Теперь постройте эту линию, как показано:

Так как это случай, когда неравенство верно для значений y, которые больше или равны чему-то, мы закрасили область над линией. Все точки на этой линии графика или ВЫШЕ будут удовлетворять нашему неравенству. Опять же, выберите любую точку над линией графика, чтобы убедиться, что она удовлетворяет или раскрывает ИСТИННОЕ утверждение с точки зрения исходного неравенства. Например, (5,3). Подключите это, и у нас будет \ (3 \ geq \ frac {-3} {2} * 5 + 6 \). Упростив его до \ (3 \ geq -1.5 \), мы увидим, что неравенство верно в точке (5,3).Поскольку эта точка находилась над нашей линией, она должна быть заштрихована, что подтверждает наше решение.

Множественные неравенства — система неравенств

Система неравенств содержит более одного утверждения неравенства, которое должно быть выполнено. Графически это означает, что нам нужно сделать то, что мы только что сделали — построить линию, представленную каждым неравенством, — а затем найти область графика, которая верна для ОБОИХ неравенств. Для двух приведенных выше примеров мы можем объединить оба графика и построить площадь, разделяемую двумя неравенствами.

Какой набор решений? Набор решений для ОБЕИХ неравенств будет ЛЮБОЙ ТОЧКОЙ, где ОБЕИ области закрашены вместе или где встречаются ОБЕ заштрихованные области.

Первоначально принадлежит г-ну Фелизу, © 2005

Графические неравенства с программой «Пошаговое решение математических задач»

В предыдущих главах мы решали уравнения с одной неизвестной или переменной. Теперь мы изучим методы решения систем уравнений, состоящих из двух уравнений и двух переменных.

ОЧКОВ НА САМОЛЕТЕ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Представьте декартову систему координат и определите начало координат и оси.
  2. Для упорядоченной пары найдите эту точку в декартовой системе координат.
  3. Для данной точки в декартовой системе координат укажите связанную с ней упорядоченную пару.

Мы уже использовали числовую прямую, на которой мы представили числа в виде точек на прямой.

Обратите внимание, что это понятие содержит элементы из двух областей математики, строки из геометрии и чисел из алгебры. Рене Декарт (1596-1650) разработал метод соотношения точек на плоскости с алгебраическими числами. Эта схема называется декартовой системой координат (от Декарта) и иногда упоминается как прямоугольная система координат.

Эта система состоит из двух числовых линий, перпендикулярных в своих нулевых точках.

Перпендикуляр означает, что две прямые расположены под прямым углом друг к другу.

Внимательно изучите диаграмму, отмечая каждый из следующих фактов.

Числовые линии называются осями . Горизонтальная линия — это , ось x , а вертикальная — , ось y, . Нулевая точка, в которой они перпендикулярны, называется началом .

Оси множественного числа.Ось особенная.

Положительный к правому и вверх ; отрицательный — слева и вниз .

Стрелки указывают, что числовые линии продолжаются бесконечно. Таким образом, плоскость бесконечно простирается во всех направлениях.

Самолет разделен на четыре части, называемые квадрантами . Они пронумерованы в направлении против часовой стрелки, начиная с верхнего правого угла.

Точки на плоскости обозначаются упорядоченными парами чисел, записанных в скобках с запятой между ними, например (5,7).Это называется упорядоченной парой, потому что важен порядок, в котором написаны числа. Заказанная пара (5,7) — это , а не , как заказанная пара (7,5). Точки расположены на плоскости следующим образом.

Сначала начните с начала координат и посчитайте слева или справа количество пробелов, обозначенных первым числом в упорядоченной паре. Во-вторых, от точки на оси x, заданной первым числом, отсчитайте вверх или вниз количество пробелов, обозначенных вторым числом упорядоченной пары.Упорядоченные пары всегда сначала пишутся с x, а затем y, (x, y). Числа, представленные x и y, называются координатами точки (x, y).

Это важно. Первое число упорядоченной пары всегда относится к горизонтальному направлению, а второе число всегда относится к вертикальному направлению.

Пример 1 В следующей декартовой системе координат точки A (3,4), B (0,5), C (-2,7), D (-4,1), E (-3 , -4), F (4, -2), G (0, -5) и H (-6,0) обозначены.Проверьте каждый, чтобы определить, как они расположены.

Каковы координаты начала координат?

ГРАФИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите несколько упорядоченных пар, которые делают данное линейное уравнение истинным.
  2. Найдите эти точки в декартовой системе координат.
  3. Проведите прямую линию через те точки, которые представляют график этого уравнения.

График — это графическое изображение пронумерованных фактов. Есть много типов графиков, таких как гистограммы, круговые графики, линейные графики и так далее. Примеры таких графиков обычно можно найти в финансовом разделе газеты. Графики используются, потому что изображение обычно упрощает понимание числовых фактов.

В этом разделе мы обсудим метод построения графика уравнения с двумя переменными. Другими словами, мы нарисуем картину уравнения с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение x + y — 7 и заметим, что мы легко можем найти множество решений. Например, если x = 5, то y — 2, поскольку 5 + 2 = 7. Кроме того, если x = 3, то y = 4, поскольку 3 + 4 = 7. Если мы представим эти ответы в виде упорядоченных пар (x, y) , то у нас есть (5,2) и (3,4) как две точки на плоскости, которые представляют ответы на уравнение x + y = 7.

Все возможные ответы на это уравнение, расположенные в виде точек на плоскости, дадут нам график (или картинку) уравнения.

Конечно, мы никогда не сможем найти все числа x и y такие, что x + y = 7, поэтому мы должны довольствоваться наброском графика.Эскиз можно охарактеризовать как «кривую наилучшего соответствия». Другими словами, необходимо найти достаточно точек, чтобы получить достаточно точную картину уравнения.

Помните, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые удовлетворяли бы уравнению.

Пример 1 Нарисуйте график 2x + y = 3.

Решение Мы хотим найти несколько пар чисел, которые сделают это уравнение истинным. Мы добьемся этого, выбрав число для x, а затем найдя соответствующее значение для y.Таблица значений используется для записи данных.

В верхней строке (x) мы разместим числа, которые мы выбрали для x. Затем в нижней строке (y) мы поместим соответствующее значение y, полученное из уравнения.

Конечно, мы могли бы также начать с выбора значений для y, а затем найти соответствующие значения для x.

В этом примере мы позволим x принимать значения -3, -2, -1,0, 1,2,3.

Эти значения произвольны.Мы могли выбирать любые ценности.
Обратите внимание, что после того, как мы выбрали значение для x, значение для y определяется с помощью уравнения.
Эти значения x дают целые числа для значений y. Таким образом, это хороший выбор. Предположим, мы выбрали

Эти факты дают нам следующую таблицу значений:

Теперь мы находим упорядоченные пары (-3,9), (-2,7), (-1,5), (0,3), (1,1), (2, -1), (3, -3) на координатной плоскости и соедините их линией.

Теперь у нас есть график 2x + y = 3.

Линия показывает, что все точки на линии удовлетворяют уравнению, а также точки из таблицы. Стрелки указывают, что линия продолжается бесконечно.

Графики всех уравнений первой степени с двумя переменными будут прямыми линиями. Этот факт будет использован здесь, хотя в математике будет намного позже, прежде чем вы сможете доказать это утверждение. Такие уравнения первой степени называются линейными уравнениями .

Таким образом, любое уравнение вида ax + by — c, где a, b и c — действительные числа, является линейным уравнением.

Уравнения с двумя неизвестными более высокой степени дают графики, которые представляют собой кривые разных типов. Вы изучите их на будущих курсах алгебры.

Поскольку график уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию, необходимо иметь только две точки. Однако ваша работа будет более точной, если вы найдете хотя бы три точки.Ошибки можно найти и исправить, если найденные точки не лежат на одной линии. Таким образом, мы называем третью точку «контрольной точкой».

Это важно. Не пытайтесь сократить свою работу, найдя только два момента. Вы будете удивлены, как часто вы обнаружите ошибку, обнаружив все три точки.

Пример 2 Нарисуйте график 3x — 2y — 7.

Решение Сначала составьте таблицу значений и выберите три числа, которые будут заменять x.Попробуем 0, 1,2.

Опять же, вы также могли начать с произвольными значениями y.

Ответ не так легко найти на графике, как целое число. Похоже, что x = 0 был не очень удачным выбором. Иногда можно заглянуть вперед и сделать лучший выбор для x.

Поскольку и x, и y являются целыми числами, x = 1 было хорошим выбором.

Точку (1, -2) будет легче найти.Если x = 2, у нас будет другая дробь.

Точку (3,1) легко найти.

x = 3 был еще одним хорошим выбором.

Скорректируем таблицу значений и будем использовать точки, дававшие целые числа. Это не всегда возможно, но попытка получить целые значения даст более точный набросок. Теперь у нас есть таблица для 3x — 2y = 7.

Мы можем это сделать, поскольку выбор x был произвольным.

Расположение точек (1, -2), (3,1), (- 1, -5) дает график 3x — 2y = 7.

Сколько упорядоченных пар удовлетворяют этому уравнению?

НАКЛОН ЛИНИИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Свяжите уклон линии с ее крутизной.
  2. Напишите уравнение прямой в форме пересечения наклона.
  3. Постройте прямую линию, используя ее наклон и точку пересечения по оси Y.

Теперь мы хотим обсудить важное понятие, называемое наклоном линии. Интуитивно мы можем думать об уклоне как о крутизне линии по отношению к горизонтали.

Ниже приведены графики из нескольких линий. Внимательно изучите их и мысленно ответьте на следующие вопросы.

Какая линия круче?

Какова, по-видимому, связь между коэффициентом при x и крутизной Какой график будет круче: линии, когда уравнение имеет вид y = mx?

Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x?

Теперь изучите следующие графики.

Какая линия круче?

Как отрицательное значение m влияет на график?

Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x?

Для графика y = mx необходимо было сделать следующие наблюдения.

  1. Если m> 0, то
    • по мере увеличения значения m крутизна линии увеличивается и
    • линия поднимается вправо и опускается влево.
  2. Если м
  3. по мере увеличения значения m крутизна линии уменьшается и
  4. линия поднимается влево и опускается вправо
Помните, m> 0 означает, что «m больше нуля.«

Другими словами, в уравнении вида y — mx, m управляет крутизной линии. В математике мы используем слово« наклон »для обозначения крутизны и формируем следующее определение:

В уравнении формы y = mx, m — это наклон графика уравнения.

Пример 1 Нарисуйте график y = 6x и укажите наклон линии.

Решение Сначала мы составим таблицу, показывающую три набора упорядоченных пар, которые удовлетворяют уравнению.

Помните, нам нужны только две точки для определения линии, но мы используем третью точку в качестве проверки.

Затем мы делаем набросок графика.

Значение m равно 6, следовательно, наклон равен 6. Мы можем просто написать m — 6.

Пример 2 Нарисуйте график и укажите наклон

Решение Выбирая значения x, которые делятся на 3, получаем таблицу

Зачем использовать значения, которые делятся на 3?

Тогда график

Склон

Теперь мы хотим сравнить графики двух уравнений, чтобы установить другую концепцию.

Пример 3 Нарисуйте графики y 3x и y — 3x + 2 на одном и том же наборе координатных осей.

Сравните коэффициенты при x в этих двух уравнениях.

Решение

В примере 3 посмотрите на таблицы значений и обратите внимание, что для данного значения x,
значение y в уравнении y = 3x + 2 на два больше, чем соответствующее значение y в уравнении y = 3x.

Теперь посмотрите на графики двух уравнений и обратите внимание, что график y = 3x + 2, кажется, имеет тот же наклон, что и y = 3x.Также обратите внимание, что если весь график y = 3x перемещается вверх на две единицы, он будет идентичен графику y = 3x + 2. График y = 3x пересекает ось y в точке (0,0) , а график y = 3x + 2 пересекает ось y в точке (0,2).

Снова сравните коэффициенты при x в двух уравнениях.

Сравните эти таблицы и графики, как в примере 3.

Обратите внимание: когда две линии имеют одинаковый наклон, они параллельны.

Наклон от одной точки на линии к другой определяется отношением изменения y к изменению x. То есть

Если вы хотите произвести впечатление на своих друзей, вы можете написать

, где греческая буква (дельта) означает «изменение».

Обратите внимание, что изменение x равно 3, а изменение y равно 2.

Изменение x равно -4, изменение y равно 1.

Можно также сказать, что изменение x равно 4, а изменение y равно -1.Это приведет к той же строке.

Пример 7 На графике y = 3x — 2 наклон равен 3.

Изменение x равно 1, а изменение y равно 3.

y = mx + b называется формой с пересечением наклона уравнения прямой линии. Если уравнение имеет такую ​​форму, m — это наклон линии, а (0, b) — точка, в которой график пересекает (пересекает) ось y.

Точка (0, b) называется точкой пересечения по оси y.

Если уравнение прямой имеет форму пересечения наклона, можно нарисовать его график, не составляя таблицу значений. Используйте точку пересечения оси Y и наклон, чтобы нарисовать график, как показано в примере 8.

Обратите внимание, что это уравнение имеет вид y = mx + b.

Сначала найдите точку (0, -2). Это одна из точек на линии. Наклон показывает, что изменение x равно 4, поэтому из точки (0, -2) мы перемещаем четыре единицы в положительном направлении параллельно оси x.Поскольку изменение y равно 3, мы перемещаем три единицы в положительном направлении параллельно оси y. Полученная точка тоже находится на линии. Поскольку две точки определяют прямую линию, мы рисуем график.

Всегда начинайте с точки пересечения оси Y.
Распространенная ошибка, которую допускают многие студенты, — это путать точку пересечения оси y с точкой пересечения оси x (точка, в которой линия пересекает ось x).

Пример 9 Задайте наклон и точку пересечения по оси Y и нарисуйте график y = 3x + 4.

Решение m = -3, пересечение оси y = (0,4).

Чтобы выразить наклон в виде отношения, мы можем написать -3 как или. Если мы запишем наклон как, то из точки (0,4) мы перемещаем одну единицу в положительном направлении параллельно оси x, а затем перемещаем три единицы в отрицательном направлении параллельно оси y. Затем мы проводим линию через эту точку и (0,4).

Предположим, уравнение не имеет формы y = mx + b. Сможем ли мы найти наклон и точку пересечения по оси Y? Ответ на этот вопрос — да.Однако для этого мы должны изменить форму данного уравнения, применив методы, использованные в разделе 4-2.

Раздел 4-2 посвящен решению буквальных уравнений. Вы можете просмотреть этот раздел.

Пример 10 Найдите наклон и точку пересечения оси Y для 3x + 4y = 12.

Решение Во-первых, мы понимаем, что уравнение не в форме пересечения наклона, необходимой для ответа на заданные вопросы. Чтобы получить эту форму, решите данное уравнение относительно y.

Нарисуйте здесь диаграмму.

Пример 11 Найдите наклон и точку пересечения оси y для 2x — y = 7.

Решение Помещая уравнение в форму пересечения наклона, получаем

Нарисуйте график линии на сетке ниже.

ГРАФИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете построить график линейных неравенств.

В главе 4 мы построили линейные графики неравенств, например

Это были неравенства с участием только одной переменной. Мы обнаружили, что во всех таких случаях график представлял собой часть числовой прямой. Поскольку уравнение с двумя переменными дает график на плоскости, кажется разумным предположить, что неравенство с двумя переменными будет отображаться как некоторая часть или область плоскости. На самом деле это так. Решение неравенства x + y

Пример 1 Каждая из следующих пар чисел в наборе решений x + y

Решение

Набор решений состоит из всех упорядоченных пар, которые делают утверждение истинным.
Подводя итог, следующие упорядоченные пары дают верное утверждение.
(2,1), (3, -4), (0,0), (- 1,4)
Следующие упорядоченные пары дают ложное утверждение.
(5,6), (3,2), (- 2,8)

Ниже приведен график прямой x + y = 5. Точки из примера 1 указаны на графике с ответами на вопрос «Является ли x + y

Обратите внимание, что все точки, удовлетворяющие уравнению, находятся слева и ниже линии, а все точки, которые не соответствуют, находятся сверху и справа.

Обратите внимание, что все ответы «да» лежат на одной стороне линии x + y = 5, а все ответы «нет» лежат на другой стороне линии или на самой строке.

График прямой x + y = 5 делит плоскость на три части: саму линию и две стороны линий (называемые полуплоскостями).

х + у
х + у

Если одна точка полуплоскости находится в наборе решений линейного неравенства, то все точки в этой полуплоскости входят в набор решений.Это дает нам удобный метод построения графиков линейных неравенств.

Построение графика линейного неравенства
1. Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
2. Отметьте одну точку, которая, очевидно, находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
3. Если выбранная точка находится в наборе решений, тогда вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений.

Почему нужно проверять только одну точку?

Пример 2 Нарисуйте график 2x 4- 3y> 7.

Решение Шаг 1. Сначала нарисуйте график линии 2x + 3y = 7, используя таблицу значений или форму пересечения наклона.

Шаг 2: Затем выберите точку, которая не находится на прямой 2x + 3y = 7. [Если линия не проходит через начало координат, то точка (0,0) всегда будет хорошим выбором.] Теперь обратимся к неравенство 2x + 3y>> 7, чтобы увидеть, находится ли выбранная точка в наборе решений.

Шаг 3: Точка (0,0) не входит в набор решений, поэтому полуплоскость, содержащая (0,0), не является набором решений. Следовательно, другая полуплоскость, определяемая линией 2x + 3y = 7, является множеством решений.
Поскольку сама линия не является частью решения, она показана пунктирной линией, а полуплоскость заштрихована, чтобы показать набор решений.

Набор решений — это полуплоскость сверху и справа от прямой.

Пример 3 Постройте график решения линейного неравенства 2x — y ≥ 4.

Решение Шаг 1. Первый график 2x — y = 4. Поскольку линейный график для 2x — y = 4 не проходит через начало координат (0,0), проверьте эту точку в линейном неравенстве.

Шаг 2:

Шаг 3: Поскольку точка (0,0) не входит в набор решений, полуплоскость, содержащая (0,0), отсутствует в наборе. Следовательно, решение — другая полуплоскость. Обратите внимание, однако, что строка 2x — y = 4 включена в набор решений. Поэтому нарисуйте сплошную линию, чтобы показать, что это часть графика.

Набор решений — это линия и полуплоскость ниже и правее линии.

Пример 4 График x

Решение Первый график x = y. Затем проверьте точку не на линии. Обратите внимание, что график линии содержит точку (0,0), поэтому мы не можем использовать ее в качестве контрольной точки. Чтобы определить, какая полуплоскость является набором решений, используйте любую точку, которая явно не находится на прямой x = y. Точка (- 2,3) является такой точкой.

Используя эту информацию, график x

Когда график линии проходит через начало координат, любая другая точка на оси x или y также будет хорошим выбором.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Нарисуйте графики двух линейных уравнений в одной и той же системе координат.
  2. Найдите общее решение двух графиков.

Пример 1 Пара уравнений называется системой линейных уравнений.

Мы заметили, что каждое из этих уравнений имеет бесконечно много решений, и каждое из них будет образовывать прямую линию, когда мы построим его в декартовой системе координат.

Теперь мы хотим найти решения для системы. Другими словами, нам нужны все точки (x, y), которые будут на графике обоих уравнений.

Решение Мы рассуждаем следующим образом: если все решения 2x — y = 2 лежат на одной прямой, а все решения x + 2y = 11 лежат на другой прямой, то решение обоих уравнений будет их точками пересечение (если две прямые пересекаются).

В этой таблице мы позволяем x принимать значения 0, 1 и 2. Затем мы находим значения для y с помощью уравнения. Сделайте это перед тем, как продолжить.
В этой таблице мы позволяем y принимать значения 2, 3 и 6. Затем мы находим x, используя уравнение. Также проверьте эти значения.
Две прямые пересекаются в точке (3,4).

Обратите внимание, что точка пересечения выглядит как (3,4). Теперь мы должны проверить точку (3,4) в обоих уравнениях, чтобы убедиться, что это решение системы.

В качестве проверки мы подставляем упорядоченную пару (3,4) в каждое уравнение, чтобы увидеть, получим ли мы истинное утверждение.
Существуют ли другие точки, которые удовлетворяли бы обоим уравнениям? Почему?

Следовательно, (3,4) является решением системы.

Не все пары уравнений дают единственное решение, как в этом примере. На самом деле существует три возможности, и вы должны знать о них.

Поскольку мы имеем дело с уравнениями, которые представляют собой прямые линии, мы можем исследовать эти возможности, наблюдая за графиками.

1. Независимые уравнения Две прямые пересекаются в одной точке. В этом случае есть единственное решение.

Приведенный выше пример представляет собой систему независимых уравнений.

2. Несогласованные уравнения Две прямые параллельны. В этом случае решения нет.

Независимо от того, как далеко протянуты эти линии, они никогда не пересекутся.

3. Зависимые уравнения Два уравнения дают одну и ту же линию. В этом случае любое решение одного уравнения является решением другого.

В этом случае общих решений будет бесконечно много.

На более поздних курсах алгебры будут изучены методы распознавания несовместных и зависимых уравнений. Однако на этом уровне мы будем иметь дело только с независимыми уравнениями. Тогда вы можете ожидать, что для всех проблем, приведенных в этой главе, будут найдены уникальные решения.

Это означает, что графики всех систем в этой главе будут пересекаться в одной точке.

Решение системы двух линейных уравнений с помощью построения графиков
1. Составьте таблицу значений и нарисуйте график каждого уравнения в той же системе координат.
2. Найдите значения (x, y), которые называют точку пересечения линий.
3. Отметьте эту точку (x, y) в обоих уравнениях.

Опять же, в этой таблице мы произвольно выбрали значения x равными — 2, 0 и 5.
Здесь мы выбрали для x значения 2, 4 и 6. Вы можете выбрать любые значения, которые захотите.
Мы говорим «кажущийся», потому что мы еще не проверили упорядоченную пару в обоих уравнениях. Как только он проверит, это определенно решение.

Поскольку (3,2) проверяет оба уравнения, это решение системы.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Постройте два или более линейных неравенства на одном и том же наборе осей координат.
  2. Определите область плоскости, которая является решением системы.

Более поздние занятия по математике будут включать тему линейного программирования. Несмотря на то, что сама тема выходит за рамки этого текста, одна техника, используемая в линейном программировании, вполне доступна вам — построение графиков систем линейных неравенств — и мы обсудим это здесь.

В предыдущем разделе вы обнаружили, что решение системы линейных уравнений — это пересечение решений каждого из уравнений.Таким же образом решение системы линейных неравенств представляет собой пересечение полуплоскостей (и, возможно, прямых), которые являются решениями каждого отдельного линейного неравенства.

Другими словами, x + y> 5 имеет множество решений и 2x — y

имеет в качестве своего решения область плоскости, которая находится в наборе решений обоих неравенств.

Для построения графика решения этой системы мы наносим на график каждое линейное неравенство на одном и том же наборе координатных осей и указываем пересечение двух наборов решений.

Обратите внимание, что решением системы линейных неравенств будет набор точек.
Опять же, используйте либо таблицу значений, либо форму уравнения с пересечением наклона для построения графика линий.

Проверка точки (0,0) в неравенстве x + y> 5 показывает, что точка (0,0) не входит в набор ее решений. Мы указываем набор решений x + y> 5 экраном справа от пунктирной линии.

Эта область находится справа и выше линии x + y = 5.

Проверка точки (0,0) в неравенстве 2x — y

Эта область находится слева и выше линии 2x — y = 4.

Пересечение двух наборов решений — это та область плоскости, в которой пересекаются два экрана. Этот регион показан на графике.

Еще раз обратите внимание, что решение не включает строки.Если, например, нас попросили изобразить решение системы

, что указывает на то, что решение включает точки на линии x + y = 5.

Результаты показывают, что все точки в заштрихованной части графика будут в наборах решений x + y> 5 и 2x — y.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЗАМЕНОЙ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом подстановки.

В разделе 6-5 мы решили систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью построения графиков. Графический метод очень полезен, но он был бы непрактичным, если бы решения были дробными. Фактическую точку пересечения определить может быть очень сложно.
Существуют алгебраические методы решения систем. В этом разделе мы обсудим метод подстановки.

Пример 1 Решить методом подстановки:

Решение
Шаг 1 Мы должны решить для одной неизвестной в одном уравнении.Мы можем выбрать либо x, либо y либо в первом, либо во втором уравнении. Наш выбор может быть основан на получении простейшего выражения. В этом случае мы решим относительно x во втором уравнении, получив x = 4 + 2y, потому что любой другой выбор привел бы к дроби.

Посмотрите на оба уравнения и посмотрите, есть ли в одном из них переменная с коэффициентом, равным единице.

Шаг 2 Подставьте значение x в другое уравнение.В этом случае уравнение
2x + 3y = 1.
Подставляя (4 + 2y) вместо x, мы получаем 2 (4 + 2y) + 3y = 1, уравнение только с одной неизвестной.

Причина в том, что если x = 4 + 2y в одном из уравнений, то x должен быть равен 4 + 2y в другом уравнении.

Шаг 3 Решите неизвестное.

Помните, сначала удалите скобки.

Шаг 4 Подставьте y = — 1 в любое уравнение, чтобы найти соответствующее значение для x.Поскольку мы уже решили второе уравнение относительно x через y, мы можем его использовать.

Мы можем подставить y = — 1 в любое уравнение, поскольку y имеет одинаковое значение в обоих.

Таким образом, у нас есть решение (2, -1).

Помните, что x записывается первым в упорядоченной паре.

Шаг 5 Проверьте решение в обоих уравнениях. Помните, что решение системы должно быть верным для каждого уравнения в системе.С

решение (2, -1) действительно проверяет.

Это проверяет: 2x + 3y = 1 и x — 2y = 4.
Отметьте эту упорядоченную пару в обоих уравнениях.
Ни в одном из этих уравнений не было переменной с коэффициентом, равным единице. В этом случае решение заменой — не лучший метод, но мы сделаем это так, чтобы показать, что это возможно. В следующем разделе будет предложен более простой метод.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДОПОЛНЕНИЕМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом сложения.

Метод сложения для решения системы линейных уравнений основан на двух фактах, которые мы использовали ранее.

Во-первых, мы знаем, что решения уравнения не меняются, если каждый член этого уравнения умножается на ненулевое число. Во-вторых, мы знаем, что если мы добавим одинаковые или равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты все равно будут одинаковыми.

Пример 1 Решить сложением:

Обратите внимание, что мы можем решить эту систему методом подстановки, решив первое уравнение относительно y.Решите эту систему методом подстановки и сравните свое решение с решением, полученным в этом разделе.

Решение
Шаг 1 Наша цель — сложить два уравнения и исключить одно из неизвестных, чтобы мы могли решить полученное уравнение с одним неизвестным. Если мы сложим уравнения как есть, мы не удалим неизвестное. Это означает, что мы должны сначала умножить каждую сторону одного или обоих уравнений на число или числа, что приведет к исключению одного из неизвестных при сложении уравнений.
Внимательно изучив проблему, мы замечаем, что проще всего устранить неизвестное y. Это делается путем умножения каждой стороны первого уравнения на -2.

Обратите внимание, что каждый член необходимо умножить на (- 2).

Шаг 2 Добавьте уравнения.

Шаг 3 Решите полученное уравнение.

В этом случае мы просто умножаем каждую сторону на (-1).

Шаг 4 Найдите значение другого неизвестного, подставив это значение в одно из исходных уравнений.Используя первое уравнение,

Подставьте x = 4 во второе уравнение и посмотрите, получите ли вы такое же значение для y.

Шаг 5 Если мы проверим упорядоченную пару (4, -3) в обоих уравнениях, мы увидим, что это решение системы.

Пример 2 Решить сложением:

Обратите внимание, что в этой системе ни одна переменная не имеет коэффициента, равного единице. Поэтому лучший метод решения — метод сложения.

Решение
Шаг 1 Необходимо изменить оба уравнения, чтобы исключить одно из неизвестных. Ни одно из неизвестных не будет проще другого, поэтому удалите либо x, либо y.
Чтобы исключить x, умножьте каждую сторону первого уравнения на 3 и каждую сторону второго уравнения на -2.

Если вы решили исключить y, умножьте первое уравнение на — 2, а второе уравнение на 3. Сделайте это и решите систему.Сравните ваше решение с полученным в примере.

Шаг 2 Сложив уравнения, мы получаем

Шаг 3 Решение для урожайности

Шаг 4 Использование первого уравнения в исходной системе для нахождения значения другой неизвестной дает

Шаг 5 Убедитесь, что заказанная пара (- 1,3) является решением системы.

Чек остается на ваше усмотрение.

СТАНДАРТНАЯ ФОРМА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Напишите линейное уравнение в стандартной форме.
  2. Решите систему двух линейных уравнений, если они заданы в нестандартной форме.

Уравнения в предыдущих разделах не содержали дробей, как неизвестных в левой части уравнения, так и неизвестных в том же порядке.
Такие уравнения называются стандартными. То есть они имеют вид ax + by = c, где a, b и c — целые числа. Перед решением методом сложения уравнения необходимо привести к стандартному виду.

Пример 1 Изменить 3x = 5 + 4y на стандартную форму.

Решение 3x = 5 + 4y не в стандартной форме, потому что одно неизвестное находится справа. Если мы прибавим -4y к обеим сторонам, мы получим 3x — 4y = 5, что в стандартной форме.

Будьте осторожны. Многие студенты забывают умножить правую часть уравнения на 24.
Снова убедитесь, что каждый член умножен на 12.

Теперь прибавьте — 24x к обеим сторонам, получив — 24x + 9y = -10, что в стандартной форме.Обычно уравнения пишутся так, чтобы первый член был положительным. Таким образом, мы умножаем каждый член этого уравнения на (- 1).

Вместо того, чтобы говорить «первый член положительный», мы иногда говорим «ведущий коэффициент положительный».

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите, когда проблема со словом может быть решена с использованием двух неизвестных.
  2. Составьте уравнения и решите словесную задачу.

Многие проблемы со словами можно обрисовать в общих чертах и ​​легче решить, используя два неизвестных.

Пример 1 Сумма двух чисел равна 5. Трижды первое число, добавленное к пяти, умноженное на второе число, равно 9. Найдите числа.

Решение Пусть x = первое число
y = второе число
Первое утверждение дает нам уравнение
x + y = 5.
Второе утверждение дает нам уравнение
3x + 5 y = 9.
Теперь у нас есть система

, которую мы можем решить любым из известных нам методов, давая
x = 8 и y = — 3.

Решите систему с помощью подстановки.

Пример 2 Два работника получают в общей сложности 136 долларов за 8-часовую работу. Если одному работнику платят на 1 доллар в час больше, чем другому, найдите почасовую ставку для каждого.

Решение Пусть x = почасовая ставка одного рабочего
y = почасовая ставка другого рабочего.

Обратите внимание, что очень важно сказать, что представляют x и y.

Первое утверждение дает нам уравнение
8x + 8y = 136.
Второе утверждение дает уравнение
х = у + 1.
Теперь у нас есть система (в стандартном виде)

Решение дает x = 9 и y = 8. Ставка одного рабочего составляет 9 долларов в час, а другого — 8 долларов в час.

Решите эту систему методом сложения.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Декартова система координат — это метод наименования точек на плоскости.
  • Упорядоченные пары чисел используются для обозначения точек на плоскости.
  • Линейное уравнение представляет собой прямую линию.
  • Угол наклона от одной точки линии к другой является отношением.
  • Форма пересечения наклона уравнения прямой имеет вид y = mx + b.
  • A Линейное неравенство графиков как часть плоскости.
  • Система двух линейных уравнений состоит из линейных уравнений, для которых мы хотим найти совместное решение.
  • Независимые уравнения имеют уникальные решения.
  • Несогласованные уравнения не имеют решения.
  • Зависимые уравнения имеют бесконечно много решений.
  • Система двух линейных неравенств состоит из линейных неравенств, для которых мы хотим найти одновременное решение.
  • Стандартная форма линейного уравнения — это ax + by = c, где a, b и c — действительные числа.

Процедуры

  • Чтобы нарисовать график линейного уравнения, найдите упорядоченные пары чисел, которые являются решениями этого уравнения.Найдите эти точки в декартовой системе координат и соедините их линией.
  • Чтобы нарисовать график линии, используя ее наклон:
    Шаг 1 Запишите уравнение прямой в форме y — mx + b.
    Шаг 2 Найдите точку пересечения j (0, b).
    Шаг 3 Начиная с (0, b), используйте наклон m, чтобы найти вторую точку.
    Шаг 4 Соедините две точки прямой линией.
  • Чтобы построить график линейного неравенства:
    Шаг 1 Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
    Шаг 2 Проверьте одну точку, которая явно находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
    Шаг 3 Если выбранная точка находится в наборе решений, то вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений.
  • Чтобы решить систему двух линейных уравнений с помощью построения графиков, тщательно изобразите уравнения в одной и той же системе координат.Их точка пересечения и будет решением системы.
  • Чтобы решить систему двух линейных неравенств с помощью построения графиков, определите область плоскости, которая удовлетворяет обоим утверждениям неравенства.
  • Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными путем подстановки, решите одну неизвестную одного уравнения через другое неизвестное и подставьте эту величину в другое уравнение. Затем подставьте полученное таким образом числовое значение в любое уравнение, чтобы найти значение другого неизвестного.Наконец, проверьте решение в обоих уравнениях.
  • Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными путем сложения, умножьте одно или оба уравнения на необходимые числа так, чтобы при сложении уравнений одно из неизвестных было удалено. Решите оставшиеся неизвестные и подставьте это значение в одно из уравнений, чтобы найти другое неизвестное. Проверьте оба уравнения.
  • Чтобы решить словесную задачу с двумя неизвестными, найдите два уравнения, которые показывают взаимосвязь между неизвестными.Затем решите систему. Всегда проверяйте решение указанной проблемы.

3.2: Графики и решения систем линейных уравнений

Цели обучения

  • Графическая система уравнений
    • Построение системы двух линейных уравнений
    • Построение графа системы двух линейных неравенств
  • Оценить упорядоченные пары как решения систем
    • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений
    • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
  • Классифицируйте решения по системам
    • Определите, какой тип решения будет иметь система, на основе ее графика

Путь течения реки зависит от многих переменных, включая размер реки, количество воды в ней, какие объекты плавают в реке, идет ли дождь или нет, и так далее.Если вы хотите лучше всего описать его поток, вы должны принять во внимание эти другие переменные. В этом может помочь система линейных уравнений.

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Вы найдете системы уравнений во всех приложениях математики. Они являются полезным инструментом для обнаружения и описания взаимосвязи поведения или процессов.Например, редко можно найти схему транспортного потока, на которую влияет только погода. Несчастные случаи, время суток и крупные спортивные события — это лишь некоторые из других переменных, которые могут повлиять на движение транспорта в городе. В этом разделе мы исследуем некоторые основные принципы построения графиков и описания пересечения двух линий, составляющих систему уравнений.

Построение системы линейных уравнений

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными.Сначала мы попрактикуемся в построении графиков двух уравнений на одном и том же наборе осей, а затем изучим различные соображения, которые необходимо учитывать при построении графиков двух линейных неравенств на одном и том же наборе осей. Для построения графика системы линейных уравнений используются те же методы, что и для построения графиков отдельных линейных уравнений. Мы можем использовать таблицы значений, уклона и пересечения y или x и y -пересечений, чтобы построить обе линии на одном и том же наборе осей.

Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

\ (\ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} \)

Давайте изобразим их, используя форму пересечения наклона на одном и том же наборе осей. Помните, что форма пересечения наклона выглядит как \ (y \).

Сначала решите относительно y в \ (2x + y = -8 \)

\ (\ begin {array} {c} 2x + y = -8 \\ y = -2x — 8 \ end {array} \)

Во-вторых, решите относительно y в \ (x-y = -1 \)

\ (\ begin {array} {r} x-y = -1 \, \, \, \, \, \\ y = x + 1 \ end {array} \)

Теперь система записывается как

\ (\ begin {array} {c} y = -2x — 8 \\ y = x + 1 \ end {array} \)

Теперь вы можете построить оба уравнения, используя их наклоны и точки пересечения на одном и том же наборе осей, как показано на рисунке ниже.Обратите внимание на то, что графики имеют одну общую точку. Это их точка пересечения, точка, которая лежит на обеих линиях. В следующем разделе мы убедимся, что эта точка является решением системы.

В следующем примере вам будет предоставлена ​​система построения графика, состоящая из двух параллельных линий.

Пример

Изобразите систему \ (\ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} \), используя наклоны и точки пересечения линий y.
[show-answer q = ”478796 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 478796 ″]

Сначала построим график \ (y = 2x + 1 \), используя наклон m = 2 и точку пересечения оси y (0,1)

Затем добавьте \ (y = 2x-3 \), используя наклон m = 2 и точку пересечения y (0, -3)

Обратите внимание на то, что это параллельные линии, и они не пересекаются.В следующем разделе мы обсудим, как не существует решений системы уравнений, представляющих собой параллельные прямые.

[/ hidden-answer]

В следующем примере вам будет предоставлена ​​система, уравнения которой выглядят по-разному, но после построения графика оказываются той же линией.

Пример

Изобразите систему \ (\ begin {array} {c} y = \ frac {1} {2} x + 2 \\ 2y-x = 4 \ end {array} \), используя точки пересечения по осям x и y.
[show-answer q = ”342515 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 342515 ″]

Сначала найдите точки пересечения по осям x и y \ (y = \ frac {1} {2} x + 2 \)

Пересечение x будет иметь значение 0 для y, поэтому подставьте y = 0 в уравнение и выделите переменную x.

\ (\ begin {array} {c} 0 = \ frac {1} {2} x + 2 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, \, — 2 \, \ , \, \, \, \, — 2} \\ — 2 = \ frac {1} {2} x \\\ left (2 \ right) \ left (-2 \ right) = \ left (2 \ right ) \ frac {1} {2} x \\ — 4 = x \ end {array} \)

Х-точка пересечения \ (\ left (-4,0 \ right) \).

Пересечение оси Y легче найти, так как это уравнение имеет форму точки пересечения угла наклона. Y-точка пересечения равна (2,0).

Теперь мы можем построить \ (y = \ frac {1} {2} x + 2 \), используя точки пересечения

Теперь найдите точки пересечения \ (2y-x = 4 \)

.

Подставьте y = 0 в уравнение, чтобы найти точку пересечения с x.

\ (\ begin {array} {c} 2y-x = 4 \\ 2 \ left (0 \ right) -x = 4 \\ x = -4 \ end {array} \)

Х-точка пересечения \ (\ left (-4,0 \ right) \).

Теперь подставьте x = 0 в уравнение, чтобы найти точку пересечения оси y.

\ (\ begin {array} {c} 2y-x = 4 \\ 2y-0 = 4 \\ 2y = 4 \\ y = 2 \ end {array} \)

Пересечение оси Y \ (\ left (0,2 \ right) \).

ПОДОЖДИТЕ, это те же пересечения, что и \ (y = \ frac {1} {2} x + 2 \) и \ (2y-x = 4 \) на самом деле одно и то же уравнение, выраженное по-разному.Если бы вы записали их оба в форме пересечения наклона, вы бы увидели, что это одно и то же уравнение.

Если вы построите график, это одна и та же линия. В следующем разделе мы увидим, что системы с двумя одинаковыми уравнениями в них имеют бесконечное число решений.

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

Построение графика системы линейных уравнений состоит из выбора метода построения графиков, который вы хотите использовать, и построения графиков обоих уравнений на одном и том же наборе осей.Когда вы строите график системы линейных неравенств на одном и том же наборе осей, вам необходимо учесть еще несколько вещей.

Изобразите систему двух неравенств

Помните из модуля о построении графиков, что график одного линейного неравенства разбивает координатную плоскость на две области. По одну сторону лежат все решения неравенства. С другой стороны, решений нет. Рассмотрим график неравенства \ (y <2x + 5 \).

Пунктирная линия — \ (y <2x + 5 \), так как все точки под линией делают неравенство истинным.Если вы сомневаетесь в этом, попробуйте подставить координаты x и y точек A и B в неравенство — вы увидите, что они работают. Итак, заштрихованной областью показаны все решения этого неравенства.

Граничная линия делит координатную плоскость пополам. В этом случае он показан пунктирной линией, поскольку точки на линии не удовлетворяют неравенству. Если бы неравенство было \ (y \ leq2x + 5 \), то граница была бы сплошной.

Изобразим на графике еще одно неравенство: \ (y> −x \).Вы можете проверить пару точек, чтобы определить, какую сторону границы нужно заштриховать. Контрольные точки M и N дают верные утверждения. Итак, заштриховываем область над линией. Линия пунктирна, поскольку точки на линии не соответствуют действительности.

Чтобы создать систему неравенств, вам нужно построить график двух или более неравенств вместе. Давайте использовать \ (y> −x \), поскольку мы уже нарисовали каждый из них.

Фиолетовая область показывает, где перекрываются решения двух неравенств.Эта область является решением системы неравенств . Любая точка в этой фиолетовой области будет истинной для обоих \ (y <2x + 5 \).

В следующем примере вам дана система двух неравенств, граничные линии которых параллельны друг другу.

Примеры

Изобразите систему \ (\ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ lt2x-3 \ end {array} \)
[Show-answer q = ”780322 ″] Показать решение [/ detect- ответ]
[скрытый-ответ a = ”780322 ″]

Границы для этой системы такие же, как и для системы уравнений из предыдущего примера:

\ (\ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} \)

Построение граничных линий будет аналогичным, за исключением того, что для выполнения неравенства \ (y \ ge2x + 1 \) потребуется сплошная линия.Графики будут выглядеть так:

Теперь нам нужно добавить регионы, представляющие неравенства. Для неравенства \ (\ left (0,0 \ right) \) упростить.

Заменитель \ (y \ ge2x + 1 \)

\ (\ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ 0 \ ge2 \ left (0 \ right) +1 \\ 0 \ ge {1} \ end {array} \)

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства \ (y \ ge2x + 1 \). График теперь будет выглядеть так:

Теперь давайте закрасим область, которая показывает решения неравенства \ (\ left (0,0 \ right) \) для проверки, потому что это упрощает алгебру.

Заменитель \ (y \ lt2x-3 \)

\ (\ begin {array} {c} y \ lt2x-3 \\ 0 \ lt2 \ left (0, \ right) x-3 \\ 0 \ lt {-3} \ end {array} \)

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства \ (y \ lt2x-3 \). График теперь будет выглядеть так:

У этой системы неравенства нет общих черт.

Как бы выглядел график, если бы система выглядела так?

\ (\ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ gt2x-3 \ end {array} \).

Тестируем точку \ (y \ gt2x-3 \), и график будет выглядеть так:

2x-3 и y> = 2x + 1 ″ ширина = ”388 ″ высота =” 392 ″>

Фиолетовая область — это область перекрытия обоих неравенств.

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

В следующем разделе мы увидим, что точки могут быть решениями систем уравнений и неравенств.Мы проверим алгебраически, является ли точка решением линейного уравнения или неравенства.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений

Линии на графике выше определены как

\ (\ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} \).

Они пересекаются в месте, которое выглядит как \ (\ left (-3, -2 \ right) \).

Используя алгебру, мы можем проверить, что эта общая точка на самом деле \ (\ left (-2.999, -1.999 \ right) \).Подставляя значения x и y упорядоченной пары в уравнение каждой линии, вы можете проверить, находится ли точка на обеих линиях. Если подстановка приводит к истинному утверждению, значит, вы нашли решение системы уравнений!

Поскольку решение системы должно быть решением всех уравнений в системе, вам нужно будет проверить точку в каждом уравнении. В следующем примере мы заменим -3 на x и -2 на y в каждом уравнении, чтобы проверить, действительно ли это решение.

Пример

Является \ (\ left (-3, -2 \ right) \) решением системы

\ (\ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} \)

[show-answer q = ”

7 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =”

7 ″] Сначала тест \ (2x + y = -8 \):

\ (\ begin {array} {r} 2 (-3) + (- 2) = -8 \\ — 8 = -8 \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

Теперь проверьте \ (x-y = -1 \).

\ (\ begin {array} {r} (- 3) — (- 2) = -1 \\ — 1 = -1 \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

\ (х-у = -1 \)

Так как \ (\ left (-3, -2 \ right) \) является решением системы.

Ответ

\ (\ left (-3, -2 \ right) \) — решение системы.

[/ hidden-answer]

Пример

— это (3, 9) решение системы

\ (\ begin {array} {r} y = 3x \\ 2x – y = 6 \ end {array} \)

[раскрыть-ответ q = ”1

″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 1

″] Поскольку решение системы должно быть решением всех уравнений в системе, проверьте точку в каждом уравнении.

Замените 3 на x и 9 на y в каждом уравнении.

\ (\ begin {array} {l} y = 3x \\ 9 = 3 \ left (3 \ right) \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

(3, 9) является решением \ (y = 3x \).

\ (\ begin {array} {r} 2x – y = 6 \\ 2 \ left (3 \ right) –9 = 6 \\ 6–9 = 6 \\ — 3 = 6 \\\ text {FALSE} \ конец {массив} \)

(3, 9) — это , а не как решение \ (2x – y = 6 \).

Поскольку (3, 9) не является решением одного из уравнений системы, оно не может быть решением системы.

Ответ

(3, 9) не является решением системы.

[/ hidden-answer]

Подумай об этом

Является \ ((- 2,4) \) решением для системы

\ (\ begin {array} {r} y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \ end {array} \)

Прежде чем производить какие-либо вычисления, посмотрите на заданную точку и первое уравнение в системе. Можете ли вы предсказать ответ на вопрос, не занимаясь алгеброй?
[show-answer q = ”598405 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 598405 ″]

Подставьте -2 вместо x и 4 вместо y в первое уравнение:

\ (\ begin {array} {l} y = 2x \\ 4 = 2 \ left (-2 \ right) \\ 4 = -4 \\\ text {FALSE} \ end {array} \)

Вы можете остановить тестирование, потому что точка, которая является решением системы, будет решением обоих уравнений в системе.

\ ((- 2,4) \) НЕ является решением для системы

\ (\ begin {array} {r} y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \ end {array} \)

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

Помните, что для решения системы уравнений значения точки должны быть решением обоих уравнений. Как только вы найдете одно уравнение, для которого точка неверна, вы определили, что оно не является решением системы.

Мы можем использовать тот же метод, чтобы определить, является ли точка решением системы линейных неравенств.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

На приведенном выше графике вы можете видеть, что точки B и N являются решениями для системы, потому что их координаты делают оба неравенства истинными.

Напротив, точки M и A лежат за пределами области решения (фиолетовый). Хотя точка M является решением неравенства \ (y <2x + 5 \), ни одна из точек не является решением для системы .В следующем примере показано, как проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением системы неравенств.

Пример

Является ли точка (2, 1) решением системы \ (2x + y <8 \)?

[раскрыть-ответ q = ”84880 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 84880 ″] Отметить точку с каждым из неравенств. Замените 2 вместо x и 1 вместо y . Является ли дело решением обоих неравенств?

\ (\ begin {array} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

(2, 1) является решением для \ (x + y> 1 \).

\ (\ begin {array} {r} 2x + y <8 \\ 2 \ left (2 \ right) +1 <8 \\ 4 + 1 <8 \\ 5 <8 \\\ text {TRUE} \ конец {массив} \)

(2, 1) — решение для \ (2x + y <8. \)

Поскольку (2, 1) является решением каждого неравенства, оно также является решением системы.

Ответ

Точка (2, 1) является решением системы \ (2x + y <8 \).

[/ hidden-answer]

Вот график системы в примере выше. Обратите внимание, что (2, 1) находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия для двух неравенств.

Пример

Является ли точка (2, 1) решением системы \ (3x + y <4 \)?

[Показать-ответ q = ”833522 ″] Показать решение [/ Показать-ответ]
[Скрытый-ответ a =” 833522 ″]

Отметьте точку с каждым неравенством. Замените 2 вместо x и 1 вместо y . Является ли дело решением обоих неравенств?

\ (\ begin {array} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

(2, 1) является решением для \ (x + y> 1 \).

\ (\ begin {array} {r} 3x + y <4 \\ 3 \ left (2 \ right) +1 <4 \\ 6 + 1 <4 \\ 7 <4 \\\ text {FALSE} \ конец {массив} \)

(2, 1) — это , а не как решение для \ (3x + y <4 \).

Поскольку (2, 1) — это , а не как решение одного из неравенств, оно не является решением системы.

Ответ

Точка (2, 1) не является решением системы \ (3x + y <4 \).

[/ hidden-answer]

Вот график этой системы.Обратите внимание, что (2, 1) не находится в фиолетовой области, которая является перекрывающейся областью; это решение одного неравенства (красная область), но не решение второго неравенства (синяя область).

Как показано выше, нахождение решений системы неравенств может быть выполнено путем графического отображения каждого неравенства и определения общей для них области. Ниже приведены дополнительные примеры, показывающие весь процесс определения области решений на графике для системы двух линейных неравенств.Общие шаги описаны ниже:

  • Изобразите каждое неравенство в виде линии и определите, будет ли оно сплошным или пунктирным.
  • Определите, с какой стороны каждой граничной линии представлены решения неравенства, проверив точку на каждой стороне
  • Заштрихуйте область, которая представляет решения для обоих неравенств

Пример

Закрасьте область графика, которая представляет решения для обоих неравенств. \ (у – х \ geq5 \).

[показать-ответ q = ”873537 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 873537 ″] Изобразите одно неравенство. Сначала нарисуйте граничную линию, используя таблицу значений, пересечений или любой другой метод, который вы предпочитаете. Граничная линия для \ (x + y = 1 \) или \ (y = −x + 1 \). Поскольку знак равенства стоит вместе со знаком «больше», граница будет сплошной.

Найдите упорядоченную пару по обе стороны от граничной линии. Вставьте значения x и y в неравенство \ (x + y \ geq1 \) и посмотрите, какая упорядоченная пара приводит к истинному утверждению.

\ (\ begin {array} {r} \ text {Test} 1: \ left (−3,0 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ — 3 + 0 \ geq1 \\ — 3 \ geq1 \ \\ text {FALSE} \\\\\ text {Test} 2: \ left (4,1 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ 4 + 1 \ geq1 \\ 5 \ geq1 \\\ text { ИСТИНА} \ end {array} \)

Поскольку (4, 1) приводит к истинному утверждению, область, которая включает (4, 1), должна быть заштрихована.

Проделайте то же самое со вторым неравенством. Постройте граничную линию, затем проверьте точки, чтобы определить, какая область является решением неравенства. В этом случае граничная линия равна \ (y – x \ geq5 \), а контрольная точка (0, 6) является решением.

Ответ

Фиолетовая область на этом графике показывает набор всех решений системы.

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

В этом разделе мы увидели, что решения систем линейных уравнений и неравенств могут быть упорядоченными парами. В следующем разделе мы будем работать с системами, у которых нет решений или есть бесконечно много решений.

Используйте график для классификации решений для систем

Напомним, что линейное уравнение отображается в виде линии, что означает, что все точки на линии являются решениями этого линейного уравнения. Есть бесконечное количество решений. Как мы видели в предыдущем разделе, если у вас есть система линейных уравнений, которые пересекаются в одной точке, эта точка является решением системы. Что произойдет, если линии никогда не пересекаются, как в случае с параллельными линиями? Как бы вы описали решения для такой системы? В этом разделе мы рассмотрим три возможных результата решения системы линейных уравнений.

Три возможных исхода решений систем уравнений

Напомним, что решение системы уравнений — это значение или значения, которые верны для всех уравнений в системе. Есть три возможных исхода решений систем линейных уравнений. Графики уравнений внутри системы могут сказать вам, сколько решений существует для этой системы. Посмотрите на изображения ниже. На каждой показаны две линии, составляющие систему уравнений.

Одно решение Нет решений Бесконечные решения
Если графики уравнений пересекаются, то существует одно решение, истинное для обоих уравнений. Если графики уравнений не пересекаются (например, если они параллельны), то для обоих уравнений нет истинных решений. Если графики уравнений совпадают, то существует бесконечное количество решений, которые верны для обоих уравнений.
  • Одно решение: Когда система уравнений пересекается в упорядоченной паре, система имеет одно решение.
  • Бесконечные решения: Иногда два уравнения отображаются в виде одной и той же линии, и в этом случае у нас есть бесконечное количество решений.
  • Нет решения: Когда линии, составляющие систему, параллельны, решений нет, потому что эти две линии не имеют общих точек.

Пример

Используя график \ (\ begin {array} {r} y = x \\ x + 2y = 6 \ end {array} \), показанный ниже, определите, сколько решений имеет система.

[показать-ответ q = ”896900 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 896900 ″] Линии пересекаются в одной точке. Таким образом, у этих двух линий есть только одна общая точка, есть только одно решение системы.

Ответ

Есть одно решение этой системы.

[/ hidden-answer]

Пример (расширенный)

Используя график \ (\ begin {array} {r} y = 3.5x + 0.25 \\ 14x – 4y = -4.5 \ end {array} \), показанный ниже, определите, сколько решений есть в системе.

[показать-ответ q = ”337033 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 337033 ″] Линии параллельны, то есть они не пересекаются. Решения по системе нет.

Ответ

Нет решений по системе.

[/ скрытый ответ]

Пример

Сколько решений имеет система \ (\ begin {array} {r} y = 2x + 1 \\ — 4x + 2y = 2 \ end {array} \)?
[Показать-ответ q = ”94971 ″] Показать решение [/ Показать-ответ]
[Скрытый-ответ a =” 94971 ″]
Сначала изобразите оба уравнения на одной и той же оси.

Два уравнения изображены на одной линии. Таким образом, каждая точка на этой линии является решением системы уравнений.

Ответ

Система \ (\ begin {array} {r} y = 2x + 1 \\ — 4x + 2y = 2 \ end {array} \) имеет бесконечное количество решений.

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

В следующем разделе мы изучим некоторые алгебраические методы нахождения решений систем уравнений. Напомним, что линейные уравнения с одной переменной могут иметь одно решение, без решения или много решений, и мы можем проверить это алгебраически.Мы будем использовать те же идеи для алгебраической классификации решений систем с двумя переменными.

Лицензионный контент CC, Оригинал

лицензионного контента CC, ранее публиковались

  • Раздел 14: Системы уравнений и неравенств, из развивающей математики: открытая программа. Предоставлено : Монтерейский технологический и образовательный институт. Расположен по адресу : nrocnetwork.org/resources/downloads/nroc-math-open-textbook-units-1-12-pdf-and-word-formats/. Лицензия : CC BY: Attribution

систем линейных неравенств, решения этих систем. Картинки, примеры и практические задачи.

Система линейных неравенств — это просто два или более линейных неравенства в одной плоскости. Другими словами, система линейных неравенств — это просто два или более неравенства вместе.

Самый простой способ запомнить, что означает «система» в этом контексте, — это ответить на следующий вопрос: «Относится ли когда-либо слово система только к одному предмету или система всегда относится к более чем одному предмету?»

Ответ — более чем одно.

Точно так же «система линейных неравенств» — это «более одного линейного неравенства».

Интерактивная Система
линейных неравенств

Щелкните и перетащите точки ниже, и система линейных неравенств изменится соответствующим образом.
(Полноразмерная интерактивная система линейных неравенств)

Привязки к сетке

Y ≥

X ≥

?

Y ≥

X ≥

Используйте его для включения или отключения привязки

Щелкните уравнение, чтобы изменить тип неравенства между ≤,

<,> и ≥

Вы можете перетащить точки, чтобы изменить уравнение линии

Ниже приведены графики линейных неравенств: y x.

На картинке выше изображена система неравенств, составленная из тех же двух линейных неравенств:

у <х + 1
у> х

Когда мы возьмем оба линейных неравенства, изображенных выше, и построим их график на одной декартовой плоскости,
получаем систему линейных неравенств.Решение этой системы — желтая область
которая является площадью перекрытия. Другими словами, решение системы — это область, в которой оба
неравенство верно. Координаты y всех точек в желтой области равны , как больше, чем x + 1, так и меньше x.

Пример
системы линейных неравенств

На рисунке ниже изображена система линейных неравенств.

Слева график двух линейных неравенств. Каково решение этой системы линейных неравенств?

(Напоминание: решение — это область, которую покрывают оба неравенства )

Проблема 1

Ниже представлен график следующей системы неравенств:

По картинке вы можете определить, в какой области находится решение этой системы?

Покажи ответ

Проблема 2

Слева график

Какая область слева является решением этой системы линейных неравенств?

  • у ≥ х + 1
  • y ≥ –3 / 2x + 1

Помните: это просто означает, какой регион включает и следующих линейных неравенств:

y ≥ x + 1 и y ≥ –x + 1

Покажи ответ

# 2

Проблема 3

Каково решение следующей системы линейных неравенств (линии которой показаны справа)

у ≤ -½x + 2
у ≥ ½x — 1

Покажи ответ

Розовая область представляет решение этой системы линейных неравенств.

Систем неравенства | Суперпроф

Типы систем линейных неравенств

Набор из двух или более линейных неравенств образует систему линейных неравенств.

Существует два типа систем линейных неравенств:

  1. Система линейных неравенств по одной переменной
  2. Система линейных неравенств по двум переменным

Система линейных неравенств по одной переменной представлена ​​числовой прямой, тогда как На координатной оси нанесена система линейных неравенств от двух переменных.В этой статье мы найдем множество решений системы линейных неравенств с двумя переменными.

Лучшие репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

Как решается система линейных уравнений

Мы знаем, что система линейных уравнений решается с использованием одного из трех методов — подстановки, исключения и построения графиков. Системы уравнений могут быть легко решены без построения графиков с помощью метода подстановки или исключения. Однако неравенства в системах линейных неравенств могут иметь разные знаки, поэтому поиск набора решений посредством построения графиков иногда является единственным и в большинстве случаев лучшим вариантом.

Количество решений в системах линейных неравенств

Система неравенств может иметь ноль, одно или несколько решений. Нулевое решение означает, что не существует ни одной упорядоченной пары, удовлетворяющей обоим неравенствам. Одно решение означает, что только одна упорядоченная пара (x, y) попадает в область решения графа. Многие решения означают, что более одной упорядоченной пары (x, y) попадают в область решения графа. Система линейных неравенств от двух переменных содержит два линейных неравенства в одной системе.В этой статье мы увидим, как решить систему линейных неравенств с двумя переменными на примерах.

Пример 1

Найдите множество решений следующей системы линейных неравенств с двумя переменными.

Решение

Для решения указанной выше системы неравенств выполните следующую пошаговую процедуру.

Шаг 1. Постройте график первого неравенства

Сначала нарисуйте график неравенства

. Чтобы построить график неравенства, нам нужно сначала построить таблицу значений и.

Мы построим график, отложив значения из таблицы в координатной плоскости как уравнения. Поскольку неравенство строгое, т.е. имеет знак больше, поэтому мы будем использовать пунктирную линию, чтобы обозначить его на оси координат. График неравенства

будет выглядеть так:

Вы можете видеть, что поскольку неравенство имело знак «больше», мы представим его знак, закрасив область над пунктирной линией.

Шаг 2. Постройте график второго неравенства

Теперь изобразите второе неравенство

.Но для построения графика нам нужно сначала построить таблицу значений и.

Постройте график, используя приведенную выше таблицу. Опять же, поскольку неравенство строгое, мы будем использовать пунктирную линию, чтобы обозначить его.

Шаг 3. Закрасьте область решения.

Постройте графики обоих неравенств на одной плоскости и выделите решение.

Решения на графике заштрихованы голубым цветом. Вы можете видеть, что графики обоих неравенств параллельны. Если бы мы решали систему уравнений и график был параллельным, это означало бы, что система уравнений не имеет решения.Но это не относится к системе неравенств, потому что они имеют знаки больше чем, меньше чем, больше чем равно и меньше чем равно. Их решение лежит выше или ниже прямой линии, в отличие от систем уравнений, решения которых строго лежат на прямой.

Шаг 4. Проверьте набор решений с помощью подстановки

Теперь мы возьмем несколько упорядоченных пар из области решения и посмотрим, удовлетворяют ли они обоим неравенствам. Из заштрихованной области на приведенном выше графике видно, что (1,6) и (-2,4) являются частью решения.

Сначала подставим (1,6) в оба неравенства следующим образом:

Следовательно, упорядоченная пара (1,6) верна для обоих неравенств.

Аналогичным образом протестируйте упорядоченную пару (-2,4) следующим образом:

Вы также можете взять другие упорядоченные пары в заштрихованной области и проверить их, подставив в неравенства.

Пример 2

Найдите множество решений следующей системы линейных неравенств с двумя переменными.

Решение

Следуйте следующему пошаговому решению, чтобы решить указанную выше систему неравенств. Поскольку указанная выше система неравенств не имеет формы пересечения наклона, мы сначала преобразуем их в эту форму, выделив переменную

в левой части неравенства.

Шаг 1 — Преобразуйте неравенство в форму пересечения наклона

Форма пересечения наклона линейных уравнений равна

.Преобразуйте неравенство в форму угловых пересечений линейных функций алгебраически. Чтобы выделить переменную в левой части, обе части неравенства будут разделены на 2.

Шаг 2 — Изобразите неравенство

Для построения графика неравенства мы сначала построим таблицу.

Теперь, построив эти значения, мы построим такой график:

Заштрихованная область над пунктирной линией представляет решение неравенства.

Шаг 3 — Преобразование второго неравенства в форму пересечения наклона

Чтобы преобразовать его в форму пересечения наклона, разделите обе стороны на 3

Вычтите 2 из обеих сторон неравенства, чтобы получить неравенство в форме пересечения наклона:

Шаг 4 — Изобразите неравенство

Чтобы изобразить неравенство, сначала необходимо построить такую ​​таблицу:

9182

9 В таблице постройте график, подобный этому:

Так как неравенство имеет знак меньше чем, мы закрашиваем область под пунктирной линией.

Шаг 5 — Постройте систему уравнений и закрасьте область решения

На координатной оси нет области, на которую накладываются оба неравенства. Следовательно, система неравенства не имеет решения. На приведенном ниже графике показана эта ситуация:

Вы можете видеть, что ни одна область не закрашена, потому что нет решения.

Пример 3

Найдите множество решений следующей системы линейных неравенств с двумя переменными.

Решение

Сначала мы упростим приведенные выше неравенства, а затем построим их график, чтобы найти набор решений.

Шаг 1 — Упростите неравенство

Разделите обе стороны неравенства на -2, чтобы выделить

в левой части неравенства:

Мы знаем, что когда обе стороны неравенства умножаются или делятся на отрицательное числа знак неравенства переворачивается. В приведенном выше неравенстве знак «больше или равно» изменился на «меньше или равно».

Шаг 2 — Изобразите неравенство

Чтобы изобразить неравенство, сначала нам нужно создать таблицу из

и значений вроде этого:

Теперь нанесите эти значения на координатную ось, чтобы получить такой график.

Вы можете видеть, что для этого неравенства используется сплошная прямая линия, поскольку знак неравенства был меньше или равен.

Шаг 3. Изобразите второе неравенство

Чтобы изобразить неравенство, сначала вам нужно построить такую ​​таблицу:

Изобразите эти значения, чтобы получить следующий график:

Мы снова использовали сплошную линию и закрашены. область над линией, представляющая знак «больше, чем равно».

Шаг 4 — Изобразите систему неравенств и закрасьте область решения.

Теперь следующий шаг — построить график обоих неравенств на одной и той же оси координат и заштриховать область решения.

На приведенном выше графике область решения заштрихована. Это та область, где лежит решение системы неравенств.

Шаг 5 — Проверьте набор решений путем подстановки

Теперь возьмите упорядоченные пары в области решения и проверьте, подставив их в систему неравенств.

Предположим, что мы берем (4,5) и (5,6). Подставим эти значения в неравенства следующим образом:

Следовательно, обе упорядоченные пары верны для первого неравенства.

Теперь проверим эти упорядоченные пары на предмет второго неравенства

, подставив значения:

Следовательно, обе упорядоченные пары также удовлетворяют второму неравенству. Он показывает, что упорядоченные пары (4,5) и (5,6) являются частью множества решений системы неравенств

.

Найдите лучших репетиторов по математике на Superprof.

Поищите рядом со мной выдающегося репетитора математики.

Системы линейных неравенств

Пожалуйста, включите скрипты (или JavaScript) в вашем веб-браузере, и
затем перезагрузите эту страницу.

x y
-2 -4
-1 -3
0 -2
1 -1
2 0
3
Система
неравенства — это список из двух или более неравенств, которые должны выполняться. Для
Например, пара неравенств, показанная справа, представляет собой систему линейных неравенств. В этом
урок вы узнаете о решениях систем линейных
неравенства и как их найти с помощью графиков.

$$ \ {\, \ cl «плотно» {\ table x, +, 2y, <, -7; 2x, -, 3y,>, 0} $$


Мы хотим решить эту систему линейных неравенств:

$$ \ {\, \ cl «плотно» {\ table y≥-2x-2; y≥-2} $$

То есть мы хотим найти пары $ (x, y) $, которые являются решениями для и
неравенства. Во-первых, нам нужно построить график линий $ y = -2x-2 $
и $ y = -2 $. Посмотрите на сетки слева. В левой сетке вы
смотрите на график $ y = -2x-2 $.На
правильно, вы смотрите на график $ y = -2 $.

Вот способ узнать, является ли точка $ (1,2) $ решением
первое неравенство:

$ y≥-2x-2 $ за $ (1,2) $?

$ 2≥-2 (1) -2 $?

$ 2≥-2-2 $?

2 ≥ -4 $?

ДА

Проверьте каждую точку в таблице ниже в обоих неравенствах. Также укажите, какие точки
решения системы двух неравенств (то есть, какие точки являются решением обеих
первое неравенство и второе неравенство ).

Точка Решение для
$ y≥-2x-2 $?
Решение для
$ y≥-2 $?
Решение
для обоих?
Нажмите
посмотреть графики неравенств. Являются ли
синие точки, которые являются решениями
$ y≥-2x-2 $ в заштрихованной области левой сетки?
Синие точки — это решения
$ y≥-2 $ в заштрихованной области справа?
Назовите синие точки на сетке, которые являются решениями для всего
система (оба неравенства).

Нажмите, чтобы увидеть
$ y≥-2x-2 $ и $ y≥-2 $ построены вместе. В
темно-синий участок — это область, где
решение устанавливает перекрытие.
Голубая часть — это остальная часть набора решений.
$ y≥-2 $, а розовое сечение — это остальная часть набора решений
$ y≥-2x-2 $.

Найдите на графике только что перечисленные точки. Они в темноте
синий, голубой или
розовый раздел?
Какой цветной участок графика представляет множество решений всей системы
неравенство?
Теперь решим систему линейных неравенств:

$$ \ {\, \ cl «плотно» {\ table y≥-4x-2; 3x + 4y≤18} $$

Красная линия — это график $ y = -4x-2 $ и
синяя линия — график
$ 3x + 4y = 18 $.

Для каждой точки в таблице ниже найдите точку на сетке и
определить, является ли это решением каждого неравенства.

Точка Решение для
$ y≥-4x-2 $?
Решение для
$ 3x + 4y≤18 $?
Решение
для обоих?
Нажмите
посмотреть на график неравенств. Помните, что темно-синий
область — график множества решений системы линейных неравенств.Назовите
точка на сетке, лежащая в наборе решений.
Ваш ответ совпадает с ответом из таблицы?
Теперь ваша очередь решать систему линейных неравенств, показанную здесь:

$$ \ {\, \ cl «плотно» {\ table x, +, y, ≥, -2; 2x, -, 3y, ≤, 6} $$

Графики линий $ x + y = -2 $
и $ 2x-3y = 6 $ указаны на
сетка ниже. Как видите, графики этих двух линий делят сетку
на четыре секции, которые были обозначены A, B, C и D.

Выберите точку в каждом разделе сетки выше (A, B, C и D) и заполните таблицу ниже.

Раздел Пункт Решение для
$ x + y≥-2 $?
Решение для
$ 2x-3y≤6 $?
Решение
для обоих?
Какие разделы (A, B, C или D) являются решениями для $ x + y≥-2 $?
Какие разделы являются решениями для $ 2x-3y≤6 $?
В каком разделе задано решение системы линейных неравенств?
Щелкните, чтобы построить график двух неравенств.Есть ли
темно-синий участок сетки слева соответствует
к только что найденному набору решений?
В верхней сетке слева показана система двух неравенств. Нижняя сетка показывает другой
система, включающая неравенство $ y

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.