Решения иррациональных уравнений примеры: Иррациональные уравнения | ЮКлэва

Содержание

Иррациональные уравнения. Решение иррациональных уравнений.



Иррациональные уравнения – это один из видов уравнений, изучаемых на уроках математики в школе. Сейчас мы познакомимся с иррациональными уравнениями: узнаем определение иррациональных уравнений, рассмотрим примеры, взглянем на простейшие иррациональные уравнения. После этого переключимся на решение иррациональных уравнений: запишем универсальный алгоритм, изучим все методы решения иррациональных уравнений и детально разберем примеры решения иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения – это… Определение


Определение


Иррациональные уравнения – это уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.



Приведенное определение объективно является самым простым, понятным и удобным определением иррационального уравнения. Оно позволяет по одному взгляду на уравнение определить, является оно иррациональным уравнением или нет: для этого нужно лишь посмотреть, есть переменная под знаком корня или нет.



Необходимо заметить, что в некоторых учебниках алгебры и начал анализа иррациональные уравнения определяются немного иначе. В одних книгах уточняется вид выражений, которые могут находиться под знаками корней, в других – к иррациональным уравнениям причисляют уравнения с переменной, находящейся в основании степени с дробным рациональным показателем. Эти нюансы раскрыты в материале что такое иррациональные уравнения. Там же упомянуто про иррациональные уравнения с несколькими переменными и про иррациональные уравнения с параметром.



К началу страницы

Примеры иррациональных уравнений


Запишем несколько иррациональных уравнений, отвечающих определению из предыдущего пункта:



Во всех записанных уравнениях есть переменная под знаком корня, значит, это иррациональные уравнения.



К началу страницы

Простейшие иррациональные уравнения


В некоторых задачниках можно встретить словосочетание «простейшие иррациональные уравнения». Обычно под простейшими иррациональными уравнениями понимают иррациональные уравнения, которые можно описать формулой или более общей формулой , где f(x) и g(x) – некоторые рациональные выражения, часто многочлены, причем низких степеней, первой или второй. Вот примеры простейших иррациональных уравнений: , и т.п. За более полной информацией обращайтесь к статье что такое простейшие иррациональные уравнения.



К началу страницы

Решение иррациональных уравнений

Алгоритм решения иррациональных уравнений


Решение иррациональных уравнений проводится в соответствии с универсальным алгоритмом решения иррациональных уравнений. Чтобы решить иррациональное уравнение, надо:



  1. Выбрать подходящий метод решения

  2. Провести решение.


К началу страницы

Методы решения иррациональных уравнений


Решение иррациональных уравнений упирается в



  • знание методов решения иррациональных уравнений,

  • умение выбирать подходящий метод в каждом конкретном случае

  • и в умение проводить решение иррационального уравнения выбранным методом.


Сейчас мы перечислим и разберем все основные методы решения иррациональных уравнений, после этого дадим рекомендации по выбору метода.






Из представленной таблицы видно, что для решения иррациональных уравнений используются практически все известные методы решения уравнений. Давайте уделим внимание каждому из них:



  • Метод решения иррациональных уравнений по определению корня наиболее удобно использовать при решении иррациональных уравнений , в левых частях которых находятся корни, а в правых – числа. В частности, метод позволяет констатировать отсутствие решений в случае четного показателя корня и отрицательного числа в правой части. Например, иррациональное уравнение с квадратным корнем в левой части и отрицательным числом в правой части не имеет решений. В случае неотрицательного числа в правой части или нечетного показателя корня иррациональное уравнение по определению корня заменяется решением уравнения Cn=f(x). Так решение иррационального уравнения заменяется решением уравнения 22=x2−5, а от иррационального уравнения можно перейти к уравнению (−1)3=x+5.

    Метод решения иррациональных уравнений по определению корня применяется и для решения иррациональных уравнений , с корнем в левой части и некоторым выражением с переменной в правой части. В случае четных показателей корня решение иррационального уравнения по методу решения через определение корня заменяется решением системы , а в случае нечетных показателей корня решение уравнения заменяется решением уравнения g2·k+1(x)=f(x). Например, иррациональное уравнение по определению корня можно заменить системой , а от иррационального уравнения перейти к уравнению (x+1)3=x3+4·x2+3·x−3.


  • Самым характерным методом решения иррациональных уравнений является, пожалуй, метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень. Его целесообразно применять тогда, когда возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень позволяет избавиться от знаков корней. В этом свете первыми на ум приходят иррациональные уравнения с корнем в одной из частей и числом или выражением без знаков корней в другой части. Приведем пример: иррациональное уравнение по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат сводится к уравнению 1−5·x=(x−3)2, не содержащему знаков корней в записи. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень позволяет решать и многие другие иррациональные уравнения более сложного вида с двумя, тремя и большим количеством корней в записи, с корнями под корнями и т.д. Например, методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень могут быть решены следующие иррациональные уравнения: , , и т.п. При этом к возведению частей уравнения в степень приходится прибегать несколько раз и пользоваться дополнительным техническим приемом, называемым уединение радикала. Наконец, необходимо помнить, что при решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в четную степень (в квадрат, четвертую, шестую и так далее) необходимо проводить отсеивание посторонних корней.

  • Метод введения новой переменной широко применяется при решении иррациональных уравнений. Самым верным признаком того, что иррациональное уравнение может быть решено методом введения новой переменной является присутствие переменной только в составе одинаковых выражений. Например, в иррациональном уравнении переменная находится только в составе корней , значит, для решения целесообразно использовать метод введения новой переменной. Обязательно стоит изучить возможность введения новой переменной в случаях, когда в иррациональных уравнениях фигурируют корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями корня, корни из взаимно обратных выражений. Для наглядности приведем несколько характерных иррациональных уравнений: , .

  • Метод разложения на множители используется для решения иррациональных уравнений, в левой части которых находится произведение нескольких выражений с переменной, а в правой – нуль. Например, он подходит для решения иррационального уравнения . Это иррациональное уравнение по методу разложение на множители на области допустимых значений переменной x для этого уравнения заменяется совокупностью трех уравнений x−2=0, x2−x−12=0 и .

  • Решение иррациональных уравнений почти никогда не обходится без проведения преобразований. Преобразования проводятся в согласии с методом решения уравнений через преобразования. Самыми характерными для иррациональных уравнений являются преобразования, базирующиеся на определении корня и свойствах корней. При их проведении необходимо внимательно следить за тождественностью и за областью допустимых значений при замене одного выражения другим. Эти моменты детально разобраны на примере решения иррационального уравнения . Также очень широко используются и другие преобразования, хорошо известные к моменту изучения иррациональных уравнений, такие как перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением их знаков на противоположные, умножение и деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число и др. Например, вынесение за скобки общего множителя в уравнении позволяет проводить дальнейшее решение методом разложения на множители.

  • Метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам, применяется для решения иррациональных уравнений, которые в результате проведения преобразований сводятся к числовым равенствам. Например, с его помощью могут быть решены иррациональные уравнения и . Первое из них сводится к верному числовому равенству 0=0, его решением является любое число из ОДЗ. А второе иррациональное уравнение сводится к неверному числовому равенству 0=3, оно решений не имеет.

  • Решение иррациональных уравнений с дробью в левой части и нулем в правой части проводится методом решения уравнений «дробь равна нулю». Например, указанный метод решения уравнений подходит для решения иррационального уравнения . По этому методу на ОДЗ для исходного уравнения нужно решить уравнение, являющееся результатом приравнивания числителя дроби к нулю.

  • Метод освобождения от внешней функции применяется для решения иррациональных уравнений, имеющих вид h(f(x))=h(g(x)), где внешняя функция h принимает каждое свое значение только один раз. Выполнение указанного условия позволяет отбросить внешнюю функцию и перейти к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного иррационального уравнения. Методом освобождения от внешней функции можно решить, например, иррациональное уравнение .

  • Метод решения уравнений по ОДЗ позволяет решать иррациональные уравнения, ОДЗ для которых есть пустое множество или состоит из нескольких чисел. Приведем пример: для иррационального уравнения ОДЗ есть пустое множество, это позволяет констатировать, что уравнение не имеет решений.

  • Когда все упомянутые выше методы решения иррациональных уравнений не позволяют справиться с заданным иррациональным уравнением остается надежда на функционально-графический метод решения уравнений.

    • Графический метод решения уравнений может выручить, когда функции, отвечающие частям иррационального уравнения, довольно простые в плане построения графиков. В частности, графически могут быть решены иррациональные уравнения и .

    • Решение иррациональных уравнений проводится методом решения уравнений через возрастание-убывание, когда очевиден или легко подбирается корень иррационального уравнения, а также просматривается возможность обосновать возрастание одной из функций, отвечающих частям уравнения, и убывание другой функции. Например, несложно подобрать корень иррационального уравнения , также несложно обосновать убывание функции в левой части уравнения и возрастание функции в правой части уравнения.

    • Иногда решить иррациональное уравнение позволяет метод оценки. Это касается тех случаев, когда не видно альтернативных более простых методов решения иррациональных уравнений, а также есть возможность получить подходящие оценки значений частей уравнения. В качестве примера приведем иррациональное уравнение . Оценки его частей и позволяют получить решение.

  • В особо хитрых случаях приходится искать какие-либо специфические методы решения иррациональных уравнений.


Итак, мы рассмотрели все основные методы решения иррациональных уравнений. Хорошее владение ими позволяет довольно быстро выбрать подходящий метод решения для каждого конкретного иррационального уравнения. Также в этом помогают следующие рекомендации по выбору метода решения иррационального уравнения.




К началу страницы

Примеры решения иррациональных уравнений


В этом пункте собраны примеры решения иррациональных уравнений. На них мы разберем все основные тонкости, возникающие при решении иррациональных уравнений. Для удобства разобьем примеры по группам в соответствии с применяемыми методами решения.



Первыми рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений по определению корня. Три следующих примера демонстрируют, как определение корня позволяет решать иррациональные уравнения с корнем в левой части и числом в правой части:



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Теперь разберем все тонкости использования определения корня для перехода от иррационального уравнения к системе . Вот соответствующие примеры с решениями:



Пример


Решить уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Пример


Имеет ли решения иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



В первой группе примеров осталось рассмотреть пример решения иррационального уравнения с корнем нечетной степени в левой части, то есть, уравнения . Метод решения по определению корня предписывает в таком случае осуществить переход к уравнению g2·k+1(x)=f(x).



Пример


Найдите решение иррационального уравнения


Смотреть решение



За подробностями обращайтесь к материалу решение иррациональных уравнений по определению корня.



Переходим к примерам решения иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. В первом примере возведение обеих частей уравнения в квадрат приводит к уравнению, не имеющему корней. Это позволяет утверждать, что исходное иррациональное уравнение не имеет корней.



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Возведение обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же четную степень (в квадрат, четвертую, шестую и т. д.) может приводить к появлению посторонних корней. По этой причине решения следующих иррациональных уравнений заканчиваются отсеиванием посторонних корней:



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием и не приводит к появлению посторонних корней. Разберем пример решения иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в куб:



Пример


Решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень


Смотреть решение



Решению иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в натуральную степень часто предшествует так называемое уединение радикала (произведения радикалов, дроби с радикалами). Давайте разберем примеры решения иррациональных уравнений, в которых приходится прибегать к уединению радикала:



Пример


Решить иррациональное уравнение , пользуясь возведением обеих частей в одну и ту же степень.


Смотреть решение



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Уединение радикала вместе с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же степень позволяет решать иррациональные уравнения с двумя, тремя и большим количеством корней в записи, с корнями под корнем и др. Вот соответствующие примеры с решениями:



Пример


Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень


Смотреть решение



Более полная информация дана в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.



Дальше рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений методом введения новой переменной. Начнем с примеров, в которых очевидно выражение для замены на новую переменную:



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



В иррациональных уравнениях выражения, подходящие для его замены на новую переменную, часто скрываются за числовыми коэффициентами, отличающимися показателями корней, взаимно обратными дробями и т.п. Давайте остановимся на решении подобных показательных уравнений:



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Бывает, что возможность введения новой переменной открывается только после проведения довольно серьезных преобразований иррационального уравнения. Следующий пример с решением служит хорошей иллюстрацией сказанного:



Пример


Решить уравнение


Смотреть решение



В статье решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной фигурируют и другие интересные примеры с решениями.



Переходим к примерам решения иррациональных уравнений методом разложения на множители:



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить уравнение


Смотреть решение



Часто перед применением метода разложения на множители требуются предварительные преобразования, направленные на получение произведения в левой части уравнения и нуля в правой части. Такие примеры с решениями есть в статье решение иррациональных уравнений методом разложения на множители.



Раз уж мы в предыдущем абзаце упомянули про проведение преобразований, то стоит на примерах разобраться с преобразованием иррациональных уравнений. Давайте рассмотрим решения нескольких иррациональных уравнений с упором на проведение преобразований:



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Другие примеры проведения преобразований содержатся в материале решение иррациональных уравнений через преобразования.



Дальше на примерах разберем, как проводится решение иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам. Покажем решения двух примеров: в первом случае иррациональное уравнение в результате проведения преобразований сводится к неверному числовому равенству, из чего делается вывод об отсутствии решений, во втором случае – к верному, откуда следует вывод, что решением уравнения является любое число из ОДЗ.



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Но если в цепочке преобразований, приводящих иррациональное уравнение к верному числовому равенству, есть преобразование, заключающееся в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением уравнения является любое число из ОДЗ. Пример, объясняющий этот момент, есть в статье решение иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам.



Решение иррациональных уравнений, в левой части которых находятся дроби, а в правой части – нули, сводится к решению уравнений «числитель равен нулю» на ОДЗ для исходного уравнения. Рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений «дробь равна нулю»:



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Более полная информация содержится в статье решение иррациональных уравнений «дробь равна нулю».



А вот пример решения иррационального уравнения методом освобождения от внешней функции:



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Теорию и другие примеры с решениями смотрите в материале решение иррациональных уравнений методом освобождения от внешней функции.



Иногда решение иррациональных уравнений упирается в нахождение ОДЗ. Это касается случаев, когда ОДЗ является пустым множеством или состоит из нескольких чисел. Все необходимые разъяснения содержатся в статье решение иррациональных уравнений через ОДЗ. Здесь приведем решения соответствующих примеров:



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Переходим к примерам решения иррациональных уравнений графическим методом. Покажем решения двух уравнений, на них разберем, как и когда графики функций позволяют получать решения уравнений:



Пример


Решите иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решить уравнение


Смотреть решение



Более полно тема освещена в статье решение иррациональных уравнений графическим методом.



А вот пример решения иррационального уравнения через возрастание-убывание:



Пример


Решите уравнение


Смотреть решение



В статье решение иррациональных уравнений через возрастание-убывание разобрано решение еще одного более сложного примера.



Завершим серию примеров примерами решения иррациональных уравнений методом оценки:



Пример


Решить иррациональное уравнение


Смотреть решение



Пример


Решите иррациональное уравнение методом оценки.


Смотреть решение



Другие примеры использования метода оценки смотрите в статье решение иррациональных уравнений методом оценки.


Методы решения иррациональных уравнений. Рекомендации по выбору метода.



Решение иррационального уравнения начинается с выбора метода решения. В этой статье мы будем разбираться, как осуществляется этот выбор. Естественно, нужно знать, из чего выбирать. Поэтому, сначала мы перечислим все методы решения иррациональных уравнений. А после этого дадим рекомендации по выбору метода, позволяющие из всего множества методов выбрать один-два, которые почти наверняка позволят получить решение заданного уравнения. Здесь мы дадим ссылки на материалы с подробным описанием, как каждый метод используется при решении именно иррациональных уравнений.

Методы решения иррациональных уравнений


Перечислим все основные методы решения иррациональных уравнений:






К началу страницы

Рекомендации по выбору метода решения иррационального уравнения


Для решения заданного иррационального уравнения обычно подходят далеко не все перечисленные выше методы, а один-два из них. Естественно, нужно уметь выбрать нужный метод решения. Справиться в этой задачей позволяют следующие рекомендации по выбору метода решения иррационального уравнения:



  • Первая рекомендация относится к иррациональным уравнениям, которые имеют вид , где f(x) – некоторое выражение с переменной x, а C – некоторое число. Для их решения удобно применять метод решения уравнений по определению корня. Например, по определению корня можно решить иррациональные уравнения , и подобные им.

  • Если решаемое иррациональное уравнение


    • имеет вид , например, , и др.

    • представляет собой равенство корней с одинаковыми показателями , например,

    • является равенством двух корней с разными показателями корня , к примеру,

    • содержит в записи два корня, таким, в частности, является иррациональное уравнение

    • имеет в записи три корня, как в случае иррационального уравнения

    • содержит в записи корень под корнем, например,


    то рекомендуем пробовать провести решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Решения приведенных в пример иррациональных уравнений приведены в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.


  • Когда иррациональное уравнение имеет вид «дробь равна нулю», как в случае , то следует действовать в согласии с методом решения уравнений «дробь равна нулю». Все нюансы использования указанного метода при решении иррациональных уравнений разобраны в статье решение иррациональных уравнений «дробь равна нулю».

  • Если в левой части уравнения находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль, например, таким является уравнение , то нужно решать уравнение методом разложения на множители. Примеры решения иррациональных уравнений указанным методом можно посмотреть в материале решение иррациональных уравнений методом разложения на множители.

  • Следующая рекомендация касается иррациональных уравнений, в которых под корнем n-й степени находится n-я степень некоторого выражения. Такими, например, являются иррациональные уравнения . В подобных случаях следует решать иррациональные уравнения методом перехода к модулям.

  • Когда под корнем четной степени 2·k находится степень с показателем 2·k некоторого выражения, то следует применить метод перехода к модулям. Например, этим методом можно решить иррациональные уравнения и .

  • Если мы имеем дело с иррациональным уравнением f(g(x))=0 или f1(g(x))=f2(g(x)), то есть, если в уравнении переменная находится только в составе одинаковых выражений g(x), то целесообразно обратиться к методу введения новой переменной. Этим методом можно решить, например, иррациональные уравнения ,


    и .

    Метод введения новой переменной применяется для решения иррациональных уравнений и в следующих случаях:


    • Когда переменная находится только в составе корней кратных степеней, как, например, в уравнении .

    • Когда переменная в уравнении находится под корнем и в выражении, совпадающем с подкоренным. Например, таким является уравнение .

    • Когда переменная находится только в составе взаимно обратных дробей. Это касается уравнений, подобных уравнению .

    • Когда в уравнении присутствуют выражения x+1/x, x2+1/x2. Например, .

    • Когда в уравнении присутствуют корни не кратных степеней из одних и тех же выражений. Например, .


    Примеры решения иррациональных уравнений смотрите в статье решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной.


  • Если просматривается возможность привести иррациональное уравнение к одному из перечисленных выше видов при помощи преобразований уравнения, то следует провести эти преобразования. То есть, сначала следует действовать по методу решения уравнений через преобразования, а уже дальше применять метод, подходящий для решения полученного иррационального уравнения. Множество примеров преобразования иррациональных уравнений содержатся в материале решение иррациональных уравнений через преобразования.


    • В частности, если преобразования приводят исходное иррациональное уравнение к уравнению, сводящемуся к числовому равенству, например, , то следует воспользоваться методом решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам. Примеры решения иррациональных уравнений, сводящихся к числовым равенствам, смотрите здесь.

  • В остальных случаях иррациональные уравнения решаются, скорее всего, либо функционально-графическим методом, либо через ОДЗ, либо каким-нибудь специфическим методом.


    • Так если функции, отвечающие частям решаемого иррационального уравнения, довольно простые в плане построения их графиков, и не видно других более простых методов решения, то можно пробовать получить решение иррационального уравнения графическим методом. Например, графически можно решить уравнения , и .

    • Если очевидно или легко устанавливается возрастание функции, отвечающей одной части решаемого иррационального уравнения, и убывание функции, отвечающей другой части уравнения, при этом очевиден или легко подбирается корень уравнения, а также не видно других более простых методов решения, то можно пробовать решить иррациональное уравнение через возрастание/убывание. Этот метод позволяет решить, например, уравнение .

    • Когда легко оценить значения выражений, отвечающих частям решаемого иррационального уравнения, то можно пробовать получить решение иррационального уравнения методом оценки. Например, методом оценки с успехом решаются уравнения
      ,
      ,
      ,
      ,


  • В заключение скажем про метод решения иррациональных уравнений через ОДЗ. На основании внешнего вида заданного иррационального уравнения невозможно сказать, можно его решить через ОДЗ или нет. Это становится понятно только после нахождения ОДЗ. Как известно, метод применим тогда, когда ОДЗ оказывается либо пустым множеством, либо конечным набором чисел. Например, иррациональные уравнения и имеют такую область допустимых значений, значит, могут быть решены через ОДЗ. Их решения приведены в статье решение иррациональных уравнений через ОДЗ.


Итак, мы дали все основные рекомендации по выбору метода решения иррационального уравнения. Если они помогли определиться с методом решения, то можно переходить по приведенной ссылке для знакомства с соответствующим методом решения иррационального уравнения. В противном случае придется подробно разбираться со всеми методами. Освоив их, Вы почти наверняка справитесь с решением любого иррационального уравнения.



Ну что, начинаем разбирать методы по порядку. Первый на очереди метод решения иррациональных уравнений по определению корня.








К началу страницы

Решение радикальных уравнений — ChiliMath

Поиск

Чтобы научиться решать радикальные уравнения, требуется много практики и знакомство с различными типами задач. В этом уроке цель состоит в том, чтобы показать вам подробные проработанные решения некоторых задач с разным уровнем сложности.


Что такое радикальное уравнение?

Уравнение, в котором переменная содержится внутри подкоренного символа или имеет рациональный показатель степени. В частности, мы будем иметь дело с квадратным корнем, который является следствием наличия показателя степени \Large{1 \over 2}.

Ключевые шаги:

1) Выделение подкоренного символа в одной части уравнения

2) Возведение в квадрат обеих частей уравнения для исключения подкоренного символа

3) Решение уравнения, которое получается после процесса возведения в квадрат

4) Сверьте свои ответы с исходным уравнением , чтобы избежать посторонних значений


Примеры решения радикальных уравнений

Пример 1 : Решите радикальное уравнение

Радикал сам по себе с одной стороны, так что все в порядке возвести в квадрат обе части уравнений, чтобы избавиться от радикального символа. Затем выполните обычные действия по решению линейных уравнений.

Вы должны ВСЕГДА проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они «действительно» являются решением. Некоторые ответы из ваших расчетов могут быть посторонними. Подставьте x = 16 обратно в исходное радикальное уравнение, чтобы увидеть, дает ли оно верное утверждение.

Да, проверяет, значит, x = 16 — это решение.


Пример 2 : Решение радикального уравнения

Схема выглядит хорошо, потому что радикал снова изолирован с одной стороны. Так что я могу возвести в квадрат обе стороны, чтобы исключить этот символ квадратного корня. Будьте осторожны с правой частью при возведении в квадрат бинома (x−1). Вы должны правильно применять метод FOIL.

Переносим все члены в правую часть уравнения, а затем выносим трехчлен на множители. Применяя свойство нулевого произведения, мы получаем значения x = 1 и x = 3 .

Предупреждение: Всегда проверяйте расчетные значения из исходного радикального уравнения, чтобы убедиться, что они являются верными ответами, а не посторонними или «ложными» ответами.

Выглядит хорошо для обоих наших найденных значений x после проверки, поэтому наши решения равны х = 1 и х = 3 .


Пример 3 : Решить подкоренное уравнение

Нам нужно признать, что подкоренной символ еще не изолирован с левой стороны. Это означает, что мы должны избавиться от этого -1 , прежде чем возводить в квадрат обе части уравнения. Простой шаг добавления обеих сторон на 1 должен решить эту проблему. После этого «новое» уравнение похоже на те, которые мы рассмотрели до сих пор.

Возможные решения: х = -2 и х = 5 . Обратите внимание, что я использую слово «возможный», потому что оно не является окончательным, пока мы не выполним процесс проверки наших значений по сравнению с исходным радикальным уравнением.

Поскольку мы приходим к ложному утверждению , когда x = -2, следовательно, это значение x считается посторонним  , поэтому мы игнорируем его! Остается один верный ответ: x = 5 .


Пример 4 : Решение радикального уравнения

Левая сторона выглядит немного беспорядочно, потому что там два радикальных символа. Но это не так уж и плохо! Всегда помните ключевые шаги, предложенные выше. Поскольку оба квадратных корня находятся на одной стороне, это означает, что он определенно готов для возведения в квадрат всего радикального уравнения.

Итак, для нашего первого шага возведем в квадрат обе стороны и посмотрим, что получится.

Для задач такого типа совершенно нормально видеть еще один радикальный символ после первого применения возведения в квадрат. Из этого следует хорошая новость: остался только один. С этого момента попытайтесь снова изолировать единственный радикал на левой стороне, что должно заставить нас переместить остальные на противоположную сторону.

Как видите, это упрощенное радикальное уравнение определенно знакомо . Приступайте к обычному способу решения и убедитесь, что вы всегда сверяете решенные значения x с исходным радикальным уравнением.

Я предоставляю вам проверить, действительно ли x = 4 является решением.


Пример 5 : Решите радикальное уравнение

Эта задача очень похожа на пример 4. Единственное отличие состоит в том, что на этот раз оба радикала имеют биномиальные выражения. Подход также заключается в том, чтобы возвести в квадрат обе стороны, поскольку радикалы находятся на одной стороне, и упростить. Но нам нужно выполнить второе применение возведения в квадрат, чтобы полностью избавиться от символа квадратного корня.

Решение x = 2 . Вы можете проверить это, подставив значение обратно в исходное радикальное уравнение и убедиться, что оно дает верное утверждение.


Пример 6 : Решите радикальное уравнение

Похоже, что наш первый шаг — возвести в квадрат обе стороны и посмотреть, что получится потом. Не забывайте комбинировать одинаковые члены каждый раз, когда возводите стороны в квадрат. Если случится так, что после первого применения процесса возведения в квадрат сгенерируется еще один подкоренной символ, то имеет смысл сделать это еще раз. Помните, наша цель — избавиться от радикальных символов, чтобы освободить переменную, которую мы пытаемся решить или изолировать.

Что ж, похоже, нам нужно снова возвести в квадрат обе стороны из-за нового сгенерированного символа радикала. Но прежде чем сделать это, мы должны изолировать радикал с одной стороны уравнения. Я оставлю квадратный корень слева, и это заставит меня сдвинуть все вправо.

Пока хорошо выглядит! Теперь пришло время снова свести обе стороны в квадрат, чтобы окончательно устранить радикал.

Будьте осторожны при возведении в квадрат левой части уравнения. Вы также должны возвести в квадрат , что −2 слева от корня.

Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартной форме. Лучший способ найти x — использовать квадратичную формулу, где a = 7, b = 8 и c = −44.

Таким образом, возможные решения: x = 2 и x = {{ — 22} \over 7}.

Я оставлю вам проверить эти два значения «x» обратно в исходное радикальное уравнение. Я надеюсь, вы согласны с тем, что x = 2  — это единственное решение , а другое значение — постороннее решение, так что не принимайте его во внимание!


Пример 7 : Решить радикальное уравнение

Есть два способа решить эту задачу. Я мог бы сразу возвести в квадрат обе стороны, чтобы избавиться от радикалов, или сначала умножить два радикала, а затем возвести в квадрат. Обе процедуры должны приводить к одинаковым ответам при правильном выполнении. Для этого я буду использовать второй подход.

Затем переместите все в левую часть и решите полученное квадратное уравнение. Вы можете использовать квадратичную формулу для ее решения, но, поскольку ее легко вычислить, я просто вынесу ее за скобки.

Возможные решения: x = {{ — 5} \over 2} и x = 3 .

Я оставлю вам проверить ответы. Единственным ответом должно быть x = 3, что делает другой ответ лишним.


Вас также могут заинтересовать:

Упрощение подкоренных выражений
Сложение и вычитание подкоренных выражений
Умножение подкоренных выражений
Рационализация знаменателя

10.7: Решение радикальных уравнений — Математика LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    49983
  • Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Решать радикальные уравнения 9{2}−6n+8=0\).
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 6. 45.
    • Решение подкоренных уравнений

      В этом разделе мы будем решать уравнения, в которых подкоренное выражение содержит переменную. Уравнение этого типа называется радикальным уравнением .

      Определение \(\PageIndex{1}\)

      Уравнение, в котором переменная стоит под корнем подкоренного выражения, называется подкоренным уравнением .

      Как обычно, при решении этих уравнений то, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны делать и с другой его частью. Как только мы изолируем радикал, наша стратегия будет состоять в том, чтобы возвести обе части уравнения в степень индекса. Это устранит радикал. 9{п}=а\).

      Пример \(\PageIndex{1}\) решения радикального уравнения

      Решите: \(\sqrt{5 n-4}-9=0\).

      Решение :

      Шаг 1 : Выделите радикал на одной стороне уравнения.

      Чтобы изолировать радикал, добавьте \(9\) к обеим сторонам.

      Упростить.

      \(\ begin{array}{c}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5 n-4}-9\color{red}{+9{2}=а\). \(\begin{выровнено} 5 n-4 &=81 \\ 5 n &=85 \\ n &=17 \end{выровнено}\)
      Шаг 4 : Проверьте ответ в исходном уравнении.  

      Проверьте ответ.

      \(\ begin{array}{r}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5(\color{red}{17}\color{black}{)}- 4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{85-4}-9 \stackrel{?}{=} 0} \\ {\sqrt{81}-9 \stackrel{? }{=} 0} \\ {9-9=0} \\ {0=0}\конец{массив}\)

      Решение: \(n=17\).

      Таблица 8.6.1
      Упражнение \(\PageIndex{1}\)

      Решите: \(\sqrt{3 m+2}-5=0\).

      Ответить

      \(м=\фракция{23}{3}\)

      Упражнение \(\PageIndex{2}\)

      Решить: \(\sqrt{10 z+1}-2=0\).

      Ответить

      \(z=\frac{3}{10}\)

      Решите радикальное уравнение с одним радикалом

      1. Изолируйте радикал с одной стороны уравнения.
      2. Возведите обе части уравнения в степень индекса.
      3. Решите новое уравнение.
      4. Проверьте ответ в исходном уравнении.

      Когда мы используем радикальный знак, он указывает на главный или положительный корень. Если уравнение имеет радикал с четным индексом, равным отрицательному числу, то это уравнение не будет иметь решения.

      Пример \(\PageIndex{2}\)

      Решите: \(\sqrt{9 k-2}+1=0\).

      Решение :

       
      Чтобы выделить радикал, вычтите \(1\) с обеих сторон.
      Упрощение.
      Таблица 8. 6.2

      Поскольку квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение не имеет решения.

      Упражнение \(\PageIndex{3}\)

      Решить: \(\sqrt{2 r-3}+5=0\).

      Ответить

      нет решения

      Упражнение \(\PageIndex{4}\)

      Решите: \(\sqrt{7 s-3}+2=0\).

      Ответить

      нет решения

      Если одна часть уравнения с квадратным корнем является двучленом, мы используем образец произведения биномиальных квадратов, когда возводим его в квадрат. 9{2}}\end{array}\)

      Не забудьте средний термин!

      Пример \(\PageIndex{3}\)

      Решить: \(\sqrt{p-1}+1=p\).

      Решение :

       
      Чтобы изолировать радикал, вычтите \(1\) с обеих сторон.
      Упрощение.
      Возведите в квадрат обе части уравнения.
      Упростите, используя образец произведения биномиальных квадратов справа. Затем решите новое уравнение.
      Это квадратное уравнение, так что получите ноль с одной стороны.
      Фактор правой стороны.
      Использовать свойство нулевого продукта.
      Решите каждое уравнение.
      Проверьте ответы.  
       
      Таблица 8.6.3

      Решения \(p=1, p=2\).

      Упражнение \(\PageIndex{5}\)

      Решить: \(\sqrt{x-2}+2=x\).

      Ответить

      \(х=2, х=3\)

      9{3}\) Упрощение. \(5 х+1=-64\) Решите уравнение. \(5 х=-65\)   \(х=-13\) Проверьте ответ.       Решение: \(x=-13\). Таблица 8.6.4

      Упражнение \(\PageIndex{7}\)

      Решить: \( \sqrt[3]{4 x-3}+8=5\)

      Ответ

      \(х=-6\)

      Упражнение \(\PageIndex{8}\)

      Решить: \(\sqrt[3]{6 x-10}+1=-3\)

      Ответ

      \(х=-9\)

      Иногда уравнение может содержать рациональные показатели вместо радикала. Мы используем те же методы для решения уравнения, что и в случае, когда у нас есть радикал. Возведем каждую часть уравнения в степень знаменателя рационального показателя. {m \cdot n}\), мы имеем, например, 9{4}\) Упрощение. \(3 х-2=16\) Решите уравнение. \(3x=18\)   \(х=6\) Проверьте ответ.       Решение: \(x=6\).

      9{\frac{1}{4}}+5=7\)

      Ответ

      \(х=6\)

      Иногда решение радикального уравнения приводит к двум алгебраическим решениям, но одно из них может быть посторонним решением !

      Пример \(\PageIndex{6}\)

      Решить: \(\sqrt{r+4}-r+2=0\).

      Решение :

      9{2}-5 р\)

      Таблица 8.6.6

      \(м=7\)

      Упражнение \(\PageIndex{12}\)

      Решить: \(\sqrt{n+1}-n+1=0\).

      Ответить

      \(n=3\)

      Когда перед корнем стоит коэффициент, мы должны возвести и его в степень индекса.

      Пример \(\PageIndex{7}\)

      Решите: \(3 \sqrt{3 x-5}-8=4\).

      Решение :

        \(\sqrt{r+4}-r+2=0\)
      Фактор правой стороны. \(0=r(r-5)\)
      Использовать свойство нулевого продукта. \(0=r \quad 0=r-5\)
      Решите уравнение. \(r=0 \квадратный r=5\)
      Проверьте свой ответ.  
      Решение: \(r=5\).
        \(r=0\) — экстремальное решение.
        \(3 \sqrt{3 x-5}-8=4\)
      Изолируйте корневой термин. \(3 \sqrt{3 x-5}=12\)
      Изолируйте радикал, разделив обе части на \(3\). 9{2}\)
      Упростите, затем решите новое уравнение. \(3 х-5=16\)
        \(3x=21\)
      Решите уравнение. \(х=7\)
      Проверьте ответ.  
       
        Решение: \(x=7\).
      Таблица 8.6.7
      Упражнение \(\PageIndex{13}\)

      Решите: \(2 \sqrt{4 a+4}-16=16\).

      Ответить

      \(а=63\)

      Упражнение \(\PageIndex{14}\)

      Решить: \(3 \sqrt{2 b+3}-25=50\)

      Ответ

      \(б=311\)

      Решение радикального уравнения с двумя радикалами

      Если радикальное уравнение имеет два радикала, мы начинаем с выделения одного из них. Часто проще всего сначала выделить более сложный радикал. 9{3}\)

      Упростите, затем решите новое уравнение.

      \(\begin{align} 4 x-3 &=3 x+2 \\ x-3 &=2 \\ x &=5 \end{align}\)

      Решение \(x=5 \).

      Проверьте ответ.

      Мы предоставляем вам показать, что \(5\) проверяет!

      Упражнение \(\PageIndex{15}\)

      Решите: \(\sqrt[3]{5 x-4}=\sqrt[3]{2 x+5}\).

      Ответить

      \(х=3\)

      Упражнение \(\PageIndex{16}\)

      Решите: \(\sqrt[3]{7 x+1}=\sqrt[3]{2 x-5}\).

      Ответить

      \(х=-\фракция{6}{5}\)

      Иногда после возведения обеих частей уравнения в степень у нас все еще есть переменная внутри корня. Когда это происходит, мы повторяем Шаг 1 и Шаг 2 нашей процедуры. Мы изолируем радикал и снова возводим обе части уравнения в степень индекса.

      Пример \(\PageIndex{9}\) как решить радикальное уравнение

      Решите: \(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\).

      Решение :

      Шаг 1 : Выделите один из радикальных членов на одной стороне уравнения. Радикал справа изолирован. \(\sqrt{м}+1=\sqrt{м+9}\)
      Шаг 2 : Возведите обе части уравнения в степень индекса.

      Подравниваем обе стороны. 9{2}\)

      Шаг 3 : Есть еще радикалы? Если да, повторите Шаг 1 и Шаг 2 еще раз.

      Если нет, решите новое уравнение.

      В уравнении все еще есть радикал.

      Итак, мы должны повторить предыдущие шаги. Выделите корневой термин.

      Здесь мы можем легко выделить радикал, разделив обе части на \(2\). 9{2} \\ m &=16 \end{выровнено}\)

      Шаг 4 : Проверьте ответ в исходном уравнении.  

      \(\begin{align}\sqrt{m}+1&=\sqrt{m+9} \\ \sqrt{\color{red}{16}}\color{black}{+}1& \stackrel{? }{=} \sqrt{\color{red}{16}\color{black}{+}9} \\ 4+1& \stackrel{?}{=} 5 \\ 5&=5\end{выровнено}\ )

      Решение: \(m=16\).

      Таблица 8.6.8
      Упражнение \(\PageIndex{17}\)

      Решите: \(3-\sqrt{x}=\sqrt{x-3}\).

      Ответить

      \(х=4\)

      Упражнение \(\PageIndex{18}\)

      Решить: \(\sqrt{x}+2=\sqrt{x+16}\).

      Ответить

      \(х=9\)

      Здесь мы суммируем шаги. Мы скорректировали наши предыдущие шаги, чтобы включить в уравнение более одного радикала. Теперь эта процедура будет работать для любых радикальных уравнений. 9{2}\).

      Пример \(\PageIndex{10}\)

      Решите: \(\sqrt{q-2}+3=\sqrt{4 q+1}\).

      Решение :

       
      Радикал справа изолирован. Подровняйте обе стороны.
      Упрощение.
      В уравнении все еще есть радикал, поэтому мы должны повторить предыдущие шаги. Изолировать радикал.
      Квадрат с обеих сторон. Разделение обеих частей на \(6\) не помогло бы. Не забудьте возвести в квадрат как \(6\), так и \(\sqrt{q-2}\).
      Упростите, затем решите новое уравнение.
      Распределить.
      Это квадратное уравнение, так что получите ноль с одной стороны.
      Фактор правой стороны.
      Использовать свойство нулевого продукта.
      Чеки оставляются вам. Решения: \(q=6\) и \(q=2\).
      Табл. Ответ

      \(х=5\)

      Упражнение \(\PageIndex{20}\)

      Решить: \(\sqrt{x}+2=\sqrt{3 x+4}\)

      Ответ

      \(х=0 х=4\)

      Использование радикалов в приложениях

      По мере прохождения курсов в колледже вы столкнетесь с формулами, содержащими радикалы, во многих дисциплинах. Мы немного изменим нашу стратегию решения задач для приложений геометрии, чтобы получить план решения приложений с формулами из любой дисциплины.

      Используйте стратегию решения проблем для приложений с формулами

      1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
      2. Определите , что мы ищем.
      3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
      4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для данной ситуации. Замените предоставленную информацию.
      5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
      6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
      7. Ответьте на вопрос полным предложением.

      Одно из применений радикалов связано с влиянием гравитации на падающие предметы. Формула позволяет определить, через какое время упавший предмет ударится о землю.

      Определение \(\PageIndex{2}\)

      Падающие предметы

      На Земле, если предмет падает с высоты \(h\) футов, время в секундах, необходимое для достижения земли, определяется по формуле

      \(t= \frac{\sqrt{h}}{4}\)

      Например, если объект падает с высоты \(64\) футов, мы можем найти время, необходимое для достижения земли, подставив \( h=64\) в формулу.

       
       
      Извлеките квадратный корень из \(64\).
      Упростите дробь.
      Таблица 8.6.10

      Предмету, упавшему с высоты \(64\) футов, потребуется \(2\) секунды, чтобы достичь земли.

      Пример \(\PageIndex{11}\)

      Марисса уронила солнцезащитные очки с моста \(400\) футов над рекой. Используйте формулу \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\), чтобы найти, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы достичь реки.

      Решение :

      Шаг 1 : Прочтите задачу.  
      Шаг 2 : Определите что мы ищем. Время, за которое солнечные очки достигают реки.
      Шаг 3 : Назовите то, что мы ищем. Пусть (t=\) время.
      Шаг 4 : Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу. Замените предоставленную информацию.
      Шаг 5 : Решите уравнение .
       
      Шаг 6 : Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
      \(5\) секунд кажется разумным отрезком времени? Да.
      Шаг 7 : Ответьте на уравнение. Солнцезащитные очки доберутся до реки через \(5\) секунд.
      Таблица 8. 6.11
      Упражнение \(\PageIndex{21}\)

      Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты \(1296\) футов. Используйте формулу \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\), чтобы найти, сколько секунд потребовалось пакету, чтобы достичь земли.

      Ответить

      \(9\) секунд

      Упражнение \(\PageIndex{22}\)

      Мойщик окон уронил швабру с платформы \(196\) футов над тротуаром. Используйте формулу \(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\), чтобы найти, сколько секунд потребовалось, чтобы швабра достигла тротуара.

      Ответить

      \(3,5\) секунд

      Полицейские, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре. Затем они используют квадратные корни, чтобы определить скорость , в милях в час, ехала машина перед торможением.

      Определение \(\PageIndex{3}\)

      Следы заноса и скорость автомобиля

      Если длина следов заноса составляет \(d\) футов, то скорость, \(s\), автомобиля до торможения можно найти по формуле

      \(s=\sqrt{24 d}\)

      Пример \(\PageIndex{12}\)

      марки за одну машину измеряются \(190\) футов. Используйте формулу \(s=\sqrt{24d}\), чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

      Решение :

      Шаг 1 : Прочтите задачу.  
      Шаг 2 : Определите , что мы ищем. Скорость автомобиля.
      Шаг 3 : Имя то, что мы ищем. Пусть \(s=\) скорость.
      Шаг 4 : Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу. Замените предоставленную информацию.
      Шаг 5 : Решите уравнение .
       
      Округлить до \(1\) десятичного знака.
       
        Скорость автомобиля до торможения составляла \(67,5\) миль в час.
      Таблица 8.6.12
      Упражнение \(\PageIndex{23}\)

      Исследователь ДТП измерил следы заноса автомобиля. Длина следов заноса составляла \(76\) футов. Используйте формулу \(s=\sqrt{24d}\), чтобы найти скорость автомобиля до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

      Ответить

      \(42,7\) футов

      Упражнение \(\PageIndex{24}\)

      Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, были \(122\) футов в длину. Используйте формулу \(s=\sqrt{24d}\), чтобы найти скорость транспортного средства до включения тормозов. Округлите ответ до десятых.

      Ответить

      \(54,1\) футов

      Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения радикальных уравнений. 9{2}}\конец{массив}\)

    • Решение радикального уравнения
      1. Изолируйте один из радикальных членов на одной стороне уравнения.
      2. Возведите обе части уравнения в степень индекса.
      3. Есть еще радикалы?
        Если да, повторите Шаг 1 и Шаг 2 еще раз.
        Если нет, решите новое уравнение.
      4. Проверьте ответ в исходном уравнении.
    • Стратегия решения проблем для приложений с формулами
      1. Прочитайте задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
      2. Определите, что мы ищем.
      3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
      4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для данной ситуации. Замените предоставленную информацию.
      5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
      6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он понятен.
      7. Ответьте на вопрос полным предложением.
    • Падающие предметы
      • На Земле, если объект падает с высоты \(h\) футов, время в секундах, необходимое для достижения земли, определяется по формуле \(t=\frac{\sqrt{h} {4}\).
    • Следы заноса и скорость автомобиля
      • Если длина следов заноса составляет \(d\) футов, то скорость \(s\) автомобиля до включения тормозов можно найти по формуле \(s=\sqrt{24d} \).
    • Глоссарий

      радикальное уравнение
      Уравнение, в котором переменная стоит под корнем подкоренного выражения, называется подкоренным уравнением.

      10.7: Solve Radical Equations распространяется по незаявленной лицензии и был создан, изменен и/или курирован LibreTexts.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *