Решение x 3 2: Решите уравнение (x-3)^2=16 ((х минус 3) в квадрате равно 16)

2+3x-10=0`;

`D=9-4*(-10)=49`;

`x=(-3+7)/2=2`;

`x=(-3-7)/2=-5`.

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку `[-6; -4]`.

Сразу видно, что `2` не входит в данный отрезок, а `-5` входит.

`(-1-sqrt(65))/2=` `-sqrt(1/4)-sqrt(65/4)=` `-sqrt(66/4)=` `-sqrt(16,5)`;

`(-1+sqrt(65))/2=` `-sqrt(1/4)+sqrt(65/4)=` `sqrt(64/4)=` `sqrt(16)`;

`-6=-sqrt(36)`;

`-4=-sqrt(16)`.

Теперь видно, что `-6

Получились следующие корни: `-5; (-1-sqrt(65))/2`.

Содержание

Решение №2 (скан):

$IMAGE2$


Ответ: а) `(-1+-sqrt(65))/2; -5; 2`;
б) `-5; (-1-sqrt(65))/2`.


Урок 6. решение уравнений графическим способом — Алгебра — 8 класс

Тема: Решение уравнений графическим способом

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Решим графическим способом уравнение:

x2 = −3x

Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x2 = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x2 и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x2 – на рисунке синий график

x 0 1 2 3 −1 −2 −3
y 0 1 4 9 1 4 9

y = −3x – на рисунке красный график

x 0 1 2 3 −1 −2 −3
y 0 −3 −6 −9 3 6 9

Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x2 и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x2 = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x2 = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.
Подставим в уравнение x2 = −3x значение x = 0.

02 = −3•0

0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x2 = −3x.
Подставим в уравнение x2 = −3x значение x = –3.

(−3)2 = −3•(−3)

9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x2 = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f1(x) = f2(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f1(x) и y = f2(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f1(x) = f2(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f1(x) = f2(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f1(x) = f2(x).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Формулы сокращенного умножения — Математика

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

2. (a — b)2 = a2 — 2ab + b2.

3. a2 — b2 = (a + b)(a — b).

4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

5. (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3.

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2).

7. a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).

Раздел «Формулы сокращенного умножения» содержит простые, но в то же время фундаментальные задачи, позволяющие в многочлене увидеть большее, чем просто разложение на множители. Научившись решать такие задачи, вы развиваете интуитивные начала, которые пригодятся в будущем при анализе и решении многих задач.

Применение формул сокращенного умножение не должно доставить много трудностей. Достаточно выучить их и закрепить решением ряда примеров. А посидев некоторое время над многочленами в поисках группировок и разложения на множители, вы вскоре легко станете «щелкать» такие задачи.

 

 

Разложить на множители x3 — 3x2 + 4.

________________________________

Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.

В данной задаче отметим, что отняв и добавив x2 у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:

x3 — 3x2 + 4 = x3 + x2 — 4x2 + 4 = x2(x + 1) — 4(x2 — 1) =

x2(x + 1) — 4(x — 1)(x + 1) = (x2 — 4(x — 1))(x + 1) = (x2 — 4x + 4)(x + 1) = (x — 2)2(x + 1).

Ответ: (x — 2)2(x + 1).

 

Разложить на множители x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4.

_________________________________________

Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:

x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4 = x2(x2 — 4x + 3) + 4(x — 1) = x2(x2 — x — 3x + 3) + 4(x — 1) =

x2(x[x — 1] — 3[x — 1]) + 4(x — 1) = x2(x — 3)(x — 1) + 4(x — 1) = (x — 1)(x2[x — 3] + 4) =

= (x — 1)(x3 — 3x2 + 4).

Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x3 — 3x2 + 4) равен (x — 2)2(x + 1), а потому:

(x — 1)(x3 — 3x2 + 4) = (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

Ответ: (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

Три простых правила относительно квадратного корня. Часть 3



GRE Mathematics
уделяет особое внимание заданиям на квадратный корень. В двух предыдущих частях статьи, мы рассматривали, что делать, если все числа в задании положительные. Если же это не так, то следует применять ещё 2 правила GRE Maths.


Правило №2: если x2 = 9, то x = 3, x = -3


Эта ситуация отлична от
описанных ранее
. Мы больше не имеем знака квадратного корня, зато здесь есть показатель степени. Если 3 возвести в квадрат, то мы получим 9. Если мы возведем -3 в квадрат – мы также получим 9. Следовательно, оба числа являются возможным значением x, потому что оба делают равенство верным.


С математической точки зрения, мы бы сказали, что x = 3 или  x = -3. Если вы выполняете задание в разделе Quantitative Comparison, подумайте об этом следующим образом: если одно из них является возможным значением x, то оба варианта должны быть рассмотрены возможными значениями при сравнении Величины А и Величины В.


Правило №3: √(x)2 = 3, если x = 3, x = -3


Итак, вернемся к знаку квадратного корня, но теперь у нас есть и показатель степени! Что дальше? Указывать только положительное число, потому что мы имеем знак корня? Или указывать оба значения, потому что есть показатель степени?


Сначала вычислите значение x: возведите в степень оба значения √(x)2 = 3, чтобы получить x2 = 9. Вычислите квадратный корень, чтобы получить x = 3, x = -3 (как в правиле №2).


Подставьте оба числа в данное равенство,  √x2 = 3, и посмотрите, делают ли они равенство верным.  Если мы подставим 3 в равенство √x2 = 3, мы получим: √(3)2 = 3. Верно ли это? Да: √(3)2 = √9 и это действительно равняется 3.


Теперь подставьте в равенство -3: √(-3)2= 3. Под корнем у нас стоит отрицательное число, но также в скобках у нас есть квадратная степень. Следуйте установленному порядку действий: возведите число в квадрат, чтобы получить √9. Больше нет никаких отрицательных чисел под знаком корня! Заканчивая решение задачи, мы получаем √9, и снова это должно равняться 3, поэтому -3 тоже является возможным значением x. X может быть равен как 3, так и -3.

GRE Math Practice: Как это все не забыть?


Запомните: в первом примере представлено либо действительное число, либо очевидная переменная (не возведение в степень!) под знаком квадратного корня. В обоих случаях мы должны получить решение с положительными значениями  корня, но не отрицательными.


Второй и третий примеры имеют квадратную степень. Во втором правиле нет знака квадратного корня – в этом случае  мы можем получить и положительный, и отрицательный ответ. В нашем третьем правиле есть и знак квадратного корня, и степень в квадрате. В этой ситуации мы должны произвести расчеты, как показано в примере. Сначала мы решаем оба варианта, а затем подставляем их в исходное равенство. Если эти варианты делают равенство верным, то это и есть правильный  ответ.


Подготовка к GRE Test включает в себя штудирование не только официальных учебников, но также изучение советов и подсказок, которые представлены здесь. Возможно, на самом тесте вам пригодятся именно они! Успехов!

Пример несложного задания на квадратные корни в тесте GRE:

 


По материалам сайта: www.manhattanprep.com

Формулы сокращенного умножения

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.

Предварительные навыки

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2+ 3y)2.

Выражение (2+ 3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2+ 3y)

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4x+ 6xy + 6xy + 9y2 = 4x+ 12xy + 9y2

То есть выражение (2+ 3y)2 равно 4x2 + 12xy + 9y2

(2x + 3y)2 = 4x+ 12xy + 9y2

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b)2

Выражение (a + b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Выполним это умножение:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = aab + ab + b2 = a+ 2ab + b2

То есть выражение (a + b)2 равно a+ 2ab + b2

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

Оказывается, что случай (a + b)2 можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)2 можно решить с помощью тождества (a + b)2 = a+ 2ab + b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)2. В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)2 = a+ 2ab + b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 × 2× 3y + (3y)2 = 4x+ 12xy + 9y2

Как и в прошлый раз получили многочлен 4x+ 12xy + 9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y)2 = 4x+ 12xy + 9y2

Тождество (a + b)2 = a+ 2ab + b2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3)2. Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3)2 = 52 = 25

Второй способ:

(2 + 3)2 = 22 + 2 × 2 × 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25


Пример 2. Преобразовать выражение (5+ 3)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

(5a + 3)2 = (5a)+ 2 × 5a × 3 + 32 = 25a2 + 30a + 9

Значит, (5a + 3)2 = 25a2 + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3)2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a2 + 15a + 15a + 9 = 25a2 + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a2. Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a2. Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a2 + ab + ab + b2

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a+ 2ab b2, которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab b2


Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

(a − b)2 = (a − b)(a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a2 − 2ab + b2

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a− ab − ab b2 = a2 − 2ab + b2

Пример 1. Преобразовать выражение (7− 5)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(7− 5)2 = (7x)− 2 × 7x × 5 + 52 = 49x2 − 70x + 25

Значит, (7− 5)2 = 49x2 − 70x + 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7− 5)2 = (7− 5)(7− 5) = 49x2 − 35x − 35x + 25 = 49x2 − 70+ 25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a2, то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b

a2ab − (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

a2ab − ab + b2

Приведем подобные слагаемые:

a2 − 2ab + b2

В результате получается выражение a2 − 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y)2, и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y)2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y)2 = (5x)2 − 2 × 5x × 2y + (2y)2 = 25x2 − 20xy + 4y2

Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y)2 = (5x + (−2y))2

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x + (−2y)2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y))2 = (5x)2 + 2 × 5x × (−2y) + (−2y)2 = 25x2 − 20xy + 4y2

Исключением могут быть выражения вида (− (−y))2. В данном случае, применяя формулу (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 вместо b следует подставить (−y)

(− (−y))2 = x2 − 2 × × (−y) + (−y)2 = x2 + 2xy + y2

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y)2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2


Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

(a − b)3 = a− 3a2b + 3ab− b3

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.  

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. 

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a + b)3

Выражение (a + b)3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (b)

(a + b)3 = (b)(b)(b)

Но выражение (a + b)3 также может быть записано как (b)(b)2

(a + b)3 = (b)(b)2

При этом сомножитель (b)2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a+ 2ab + b2.

Тогда (a + b)3 можно записать как (b)(a+ 2ab + b2).

(a + b)3 = (b)(a+ 2ab + b2)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a + b)3 = (b)(a+ 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a+ 3a2b + 3abb3

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b)3 = (a − b)(a2 − 2ab + b2) = a3 − 2a2b + ab2a2b + 2ab2b3 = a− 3a2+ 3ab− b3


Пример 1. Преобразуйте выражение (+ 1)3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

(+ 1)3 = x3 + 3 × x2 × 1 + 3 × x × 12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(+ 1)3 = (+ 1)(+ 1)(+ 1) = (+ 1)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1


Пример 2. Преобразовать выражение (6a+ 3b3)3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

(6a2 + 3b3)3= (6a2)+ 3 × (6a2)2 × 3b3 + 3 × 6a× (3b3)2 + (3b3)3 = 216a6 + 3 × 36a4 × 3b+ 3 × 6a× 9b6 + 27b9


Пример 3. Преобразовать выражение (n2 − 3)3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a− 3a2b + 3ab− b3

(n2 − 3)3 = (n2)3 − 3 × (n2)2 × 3 + 3 × n2 × 32 − 33 = n6 − 9n4  + 27n2 − 27


Пример 4. Преобразовать выражение (2x− x3)3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a− 3a2b + 3ab− b3

(2x− x3)3 = (2x2)− 3 × (2x2)2 × x3 + 3 × 2x× (x3)− (x3)3 =
8x6 − 3 × 4x4 × x3 + 3 × 2x× x6x9 =
8x6 − 12x7 + 6x8x9


Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b)(a + b)

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b)(a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2

То есть выражение (a − b)(a + b) равно a2 − b2

(a − b)(a + b) = a2 − b2

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a + b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a2 − b2 имеем:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)2 − 52

Вычислим правую часть, получим 4x2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a + b) = a− b2. У нас получится тот же результат 4x2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x− 10x + 10x − 25 = 4x2 − 25


Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x)2 − (5y)2 = 16x2 − 25y2


Пример 3. Выполнить умножение (2+ 3b)(2− 3b)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(2a + 3b)(2a − 3b) = (2a)2 − (3b)2 = 4a2 − 9b2

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a2 − b2 разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b) в (a + b) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b)(a + b), так и (a + b)(a − b). Результат по прежнему будет равен a2 − b2, поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b) и (2a − 3b) можно записать как (2a + 3b)(2a − 3b), так и (2a − 3b)(2a + 3b). Результат всё так же будет равен 4a− 9b2.

Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x)2 − 72 = 9x2 − 49


Пример 4. Выполнить умножение (x− y3)(x2 + y3)

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(x− y3)(x2 + y3) = (x2)2 − (y3)2 = x4y6


Пример 5. Выполнить умножение (−5− 3y)(5x − 3y)

В выражении (−5− 3y) вынесем за скобки −1, тогда исходное выражение примет следующий вид:

(−5− 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:

(−5− 3y)(5− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2)

Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x)2. А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.

Далее вычисляем выражение в скобках:

(−5− 3y)(5− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2) = −1(25x− 9y2)

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

(−5− 3y)(5− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2) =
−1(25x− 9y2) = −25x+ 9y2


Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b)(a2 + ab + b2)

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a2 + ab + b2) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a2 + ab + b2. Он похож на обычный квадрат суммы a2 + 2ab + b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x2 + 6xy + 9y2 является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.

Действительно, первый член выражения 4x2 + 6xy + 9y2, а именно 4x2 является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)2 = 4x2. Третий член выражения 4x2 + 6xy + 9y2, а именно 9y2 является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)2 = 9y2. Член находящийся в середине 6xy, является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a2 + ab + b2

(a − b)(a2 + ab + b2) = a(a2 + ab + b2) − b(a2 + ab + b2) =
a3 + a2b + ab2a2bab2b3 = a3b3

То есть выражение (a − b)(a2 + ab + b2) равно a3b3

(a − b)(a2 + ab + b2) = a3b3

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4x2 + 6xy + 9y2 это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a2 + ab + b2) = a3b3. В нашем случае умножение (2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

(2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = (2x)3 − (3y)3 = 8x− 27y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(aab b2) = a− b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = 2x(4x2 + 6xy + 9y2) − 3y(4x2 + 6xy + 9y2) =
8x3 + 12x2y + 18xy2 − 12x2y − 18xy2 − 27y3 = 8x3 − 27y3


Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x2)

Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a2 + ab + b2) = a3b3

(3 − x)(9 + 3x + x2) = 33 − x3 = 27 − x3


Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a + b)(a2 − ab + b2)

Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a2 − ab + b2) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a2 − ab + b2. Он похож на обычный квадрат разности a2 − 2ab + b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x2 − 6xy + 9y2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y. 

(2x)2 − 2x × 3y + (3y)2 = 4x2 − 6xy + 9y2

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a2 − ab + b2

(a + b)(a2 − ab + b2) = a(a2 − ab + b2) + b(a2 − ab + b2) =
a3 − a2b + ab2 + a2bab2 + b3 = a3 + b3

То есть выражение (a + b)(a2 − ab + b2) равно a3 + b3

(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x− 6xy + 9y2)

Первый многочлен (2x + 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4x2 − 6xy + 9y2 это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b)(a2ab + b2) = a3 + b3. В нашем случае умножение (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y

(2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) = (2x)3 + (3y)3 = 8x+ 27y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a− ab b2) = ab3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) = 2x(4x2 − 6xy + 9y2) + 3y(4x2 − 6xy + 9y2) =
8x3 − 12x2y + 18xy2 + 12x2y − 18xy2 + 27y3 = 8x3 + 27y3


Пример 2. Выполнить умножение (2y)(4x2 − 2xy + y2)

Первый многочлен (2y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x2 − 2xy + y2) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a− ab b2) = ab3

(2y)(4x2 − 2xy + y2) = (2x)3 + y3 = 8x3 + y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a− ab b2) = ab3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2y)(4x2 − 2xy + y2) = 2x(4x2 − 2xy + y2) + y(4x2 − 2xy + y2) = 
8x3 − 4x2y + 2xy2 + 4x2y − 2xy2 + y3 = 8x3 + y3


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Преобразуйте выражение (m + n)2 в многочлен.

Решение:

(m + n)2 = m2 + 2mn + n2

Задание 2. Преобразуйте выражение (x + 8)2 в многочлен.

Решение:

(x + 8)2 = x2 + 2 × x × 8 + 82 = x2 + 16x + 64

Задание 3. Преобразуйте выражение (2x2 + 3x3)2 в многочлен.

Решение:

(2x2 + 3x3)2 = (2x2)2 + 2 × 2x2 × 3x3 + (3x3)2 = 4x4 + 12x5 + 9x6

Задание 4. Преобразуйте выражение (5a + 5)2 в многочлен.

Решение:

(5a + 5)2 = (5a)2 + 2 × 5a × 5 + 52 = 25a2 + 50a + 25

Задание 5. Преобразуйте выражение (9 − x)2 в многочлен.

Решение:

(9 − x)2 = 92 − 2 × 9 × x + x2 = 81 − 18x + x2

Задание 6. Преобразуйте выражение (x − 25)2 в многочлен.

Решение:

(x − 25)2 = x2 − 2 × x × 25 + 252 = x2 − 50x + 625

Задание 7. Преобразуйте выражение (3x2y3)2 в многочлен.

Решение:

(3x2y3)2 = (3x2)2 − 2 × 3x2 × y3 + ( y3)2 = 9x4 − 6x2y3 + y6

Задание 8. Выполните умножение (x − y)(x + y)

Решение:

(x − y)(x + y) = x2 − y2

Задание 9. Выполните умножение (2x − y)(2x + y)

Решение:

(2x − y)(2x + y) = (2x)2 − y2 = 4x2 − y2

Задание 10. Выполните умножение (7 + 3y)(3y − 7)

Решение:

(7 + 3y)(3y − 7) = (3y)2 − 72 = 9y2 − 49

Задание 11. Выполните умножение (x2 − 5)(x2 + 5)

Решение:

(x2 − 5)(x2 + 5) = (x2)2 − 52 = x4 − 25

Задание 12. Выполните умножение (a3b2)(a3 + b2)

Решение:

(a3b2)(a3 + b2) = (a3)2 − (b2)2 = a6b4

Задание 13. Выполните умножение (5a2 + 2b3)(5a2 − 2b3)

Решение:

(5a2 + 2b3)(5a2 − 2b3) = (5a2)2 − (2b3)2 = 25a4 − 4b6

Задание 14. Выполните умножение (9xy2)(y2 + 9x)

Решение:

(9xy2)(y2 + 9x) = (9x)2 − (y2)2 = 81x2y4

Задание 15. Выполните умножение (2 − x)(4 + 2x + x2)

Решение:

(2 − x)(4 + 2x + x2) = 2− x3 = 8 − x3

Задание 16. Выполните умножение (3 − 2)(9 + 6 + 4)

Решение:

(3 − 2)(9 + 6 + 4) = 3− 23 = 27 − 8 = 19

Задание 17. Выполните умножение (4x + 1)(16x2 − 4x + 1)

Решение:

(4x + 1)(16x2 − 4x + 1) = (4x)3 + 13 = 64x+ 1


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Овечкин решил вложиться в женский клуб :: Хоккей :: РБК Спорт

По словам нападающего, на это решение его вдохновила мать — Татьяна Овечкина, которая является двукратной олимпийской чемпионкой по баскетболу

Читайте нас в

Новости
Новости

Фото: AP Photo

Российский нападающий клуба Национальной хоккейной лиги «Вашингтон» решил стать инвестором одноименного женского футбольного клуба. Об этом сообщает телеканал ESPN.

По словам нападающего, на это его вдохновила мать — Татьяна Овечкина, которая является двукратной олимпийской чемпионкой по баскетболу.

Нападающий также рассказал, что с нетерпением ждет встречи с игроками команды. «Я думаю, что очень важно участвовать в подобных делах. Я считаю, что поддерживать женский футбол — это круто», — отметил Овечкин.

Спортсмен также рассказал, что и сам любит играть в футбол летом. «Мой папа был футболистом, играл за «Динамо», но получил травму и завершил карьеру. У меня есть друзья, которые играют за сборную России», — сказал Овечкин.

Капитан команды Тори Хастер, которая выступает за клуб, рассказала, что в команде с восторгом восприняли решение Овечкина. «Это потрясающе. Я уверена, что его мама передала ему не только свои спортивные способности, но и понимание необходимости равных условий игры», — сказала Хастер.

Одноклубник Овечкина удивился реакции на драку с Панариным

Она также отметила, что россиянин выбрал клуб именно из Вашингтона. «Он поддерживает команду в своем городе — городе, который любит его», — добавила футболистка.

Как сообщает газета Washington Post, российский нападающий вошел в команду из более чем 30 инвесторов. Размер вложений Овечкина не разглашается, однако, по информации источника издания, он входит в число крупнейших инвесторов клуба.

WP пишет, что помимо россиянина в клуб вложились и другие спортсмены, в их число входят экс вратарь женской сборной США по футболу и ассистент главного тренера клуба Бриана Скрарри и олимпийская чемпионка 1996-го года по спортивной гимнастике в составе сборной США Доминик Дауэс.

Овечкин играет за «Вашингтон» с 2005 года, в сезоне 2017/18 в составе команды он выиграл главный трофей НХЛ–Кубок Стэнли. В нынешнем сезоне в НХЛ он забросил 24 шайбы и отдал 18 голевых передач в 44 матчах.

Больше новостей о спорте вы узнаете в нашем Telegram-канале.

Автор

Никита Арманд

В Haas сообщили о проблемах Мазепина в управлении болидом :: Формула-1 :: РБК Спорт

Российский пилот американской команды «Формулы-1» Haas Никита Мазепин показал последнее время на двух свободных практиках Гран-при Испании

Читайте нас в

Новости
Новости

Фото: Никита Мазепин (Фото: AP)

Руководитель американской команды «Формулы-1» Haas Гюнтер Штайнер рассказал о проблемах российского гонщика команды, Никиты Мазепина в работе с болидом, заявив о чувстве неуверенности россиянина при поворотах на трассах. Его слова приводит интернет-издание Racefans.

«Наша машина нестабильна в поворотах, Мику Шумахеру удается справляться с этим лучше, чем Никите. Ему нужно чувствовать уверенность в том, что задняя часть болида устойчива. Мы должны помочь Никите, чтобы он чувствовал себя более уверенным. Если пилот не чувствует уверенность в своей машине, ему тяжело выступать. Это одна из проблем, которую мы пытаемся решить», — заявил Штайнер.

Мазепин вновь стал последним в свободной практике на Гран-при Испании

Накануне Никита Мазепин показал последнее время на двух свободных практиках Гран-при Испании. В заключительном заезде россиянин проиграл лидеру — британскому пилоту из немецкого Mercedes Льюису Хэмилтону — 2,583 секунды при 27 кругах. Его партнер по команде — немец Мик Шумахер — занял предпоследнее, 19-е место (+2,156; 30 попыток). В первом заезде дня Мазепин проиграл лидеру—финну Валттери Боттасу из Mercedes — 3,472 секунды, а Мик Шумахер занял 18-ю строчку (+2,262).

На предыдущем этапе гоночной серии в Португалии россиянин занял 19-е место, а на трассе в итальянской Имоле впервые смог завершить гонку в дебютном для себя сезоне «Формулы-1», финишировав на 17-й строчке. Во время дебютной гонки в Бахрейне россиянин попал в аварию на первом круге и не смог продолжить заезд. На втором этапе в Имоле россиянин стал последним из финишировавших пилотов.

Главная гонка четвертого этапа «Формулы-1», который проходит в эти дни в Испании, состоится завтра, 9 мая. В расписании у пилотов также будут значиться еще одна свободная практика и квалификация, которые пройдут сегодня, 8 числа. Начало заездов в 13:00 и 16:00 мск. соответственно.

Больше новостей о спорте вы найдете в нашем Telegram-канале.

Автор

Анатолий Акулов

3-2 = 0 Tiger Algebra Solver

Пошаговое решение:

Шаг 1:

 
Попытка учесть разность кубов:

1.1 Факторинг: x 3 -2

Теория: разница в два идеальных куба, a 3 — b 3 можно разложить на
(ab) • (a 2 + ab + b 2 )

Доказательство: (ab) • (a 2 + ab + b 2 ) =
a 3 + a 2 b + ab 2 -ba 2 -b 2 ab 3 =
a 3 + (a 2 b -ba 2 ) + (ab 2 -b 2 a) -b 3 =
a 3 + 0 + 0-b 3 =
a 3 -b 3

Проверить: 2 не куб !!
Постановление: Биномиальное не может быть учтено как разность двух идеальных кубов

Калькулятор полиномиальных корней:

1.2 Найдите корни (нули): F (x) = x 3 -2
Калькулятор полиномиальных корней — это набор методов, направленных на поиск значений x, для которых F (x) = 0

Тест рациональных корней является одним из вышеупомянутые инструменты. Он может найти только рациональные корни, то есть числа x, которые можно выразить как частное двух целых чисел

Теорема рационального корня утверждает, что если полином обнуляется для рационального числа P / Q, то P является множителем конечной константы и Q является множителем ведущего коэффициента

В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а конечная константа — -2.

Фактор (ы):

ведущего коэффициента: 1
конечной постоянной: 1, 2

Давайте проверим ….

P Q P / Q F (P / Q) Делитель
-1 1 -1,00 -3.00
-2 1 -2,00 -10,00
1 -1,00
2 1 2.00 6,00


Калькулятор полиномиальных корней не нашел рациональных корней

Уравнение в конце шага 1:
 x  3  - 2 = 0
 

Шаг 2:

Решение уравнения с одной переменной:

2.1 Решите: x 3 -2 = 0

Добавьте 2 к обеим сторонам уравнения:
x 3 = 2
равны, их кубические корни равны.Взяв кубический корень из двух частей уравнения, мы получим:
x = ∛ 2

Уравнение имеет одно действительное решение
Это решение имеет вид x = ∛2 = 1,2599

Было найдено одно решение:

x = ∛2 = 1.2599

Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

Purplemath

Этот урок охватывает множество способов решения квадратичных вычислений, таких как извлечение квадратного корня, вычисление квадрата и использование квадратичной формулы.Но начнем с решения по факторингу.

(Прежде чем перейти к решению квадратных уравнений, вы уже должны знать, как разложить квадратные выражения на множители. Если нет, сначала просмотрите, как разложить квадратичные уравнения на множители.)

Вы уже разложили квадратные выражения на множители. Новым здесь является то, что квадратное выражение является частью уравнения, и вам предлагается найти значения переменной, которые делают уравнение истинным. Вот как это работает:

MathHelp.com

  • Решите (

    x — 3) ( x — 4) = 0 путем факторизации.

Хорошо, эта квадратичная для меня уже учтена.Но как мне использовать эту факторизацию для решения уравнения?

Для решения квадратичных вычислений с помощью факторинга мы используем то, что называется «Свойство нулевого произведения». Это свойство говорит о том, что кажется довольно очевидным, но только после того, как нам на это указали; а именно:

Свойство нулевого произведения: если мы умножаем две (или более) вещи вместе и результат равен нулю, то мы знаем, что по крайней мере одна из тех вещей, которые мы умножили, также должны были быть равны нулю.Другими словами, единственный способ получить ноль при умножении двух (или более) множителей состоит в том, чтобы один из множителей был равен нулю.

Итак, если мы умножаем два (или более) множителя и получаем нулевой результат, то мы знаем, что по крайней мере один из множителей сам был равен нулю. В частности, мы можем установить каждый из факторов равным нулю и решить полученное уравнение для одного решения исходного уравнения.

Мы можем сделать полезный вывод о факторах (а именно, что один из этих факторов должен был быть равен нулю, поэтому мы можем установить факторы равными нулю), только если сам продукт равен нулю.Если произведение факторов равно на все , отличное от нуля, то мы не можем сделать какое-либо утверждение о значениях факторов.

Следовательно, при решении квадратных уравнений путем факторизации мы, , должны всегда иметь уравнение в форме «(квадратное выражение) равно (нулю)», прежде чем предпринимать какие-либо попытки решить квадратное уравнение путем факторизации.

Возвращение к упражнению:

Принцип нулевого фактора говорит мне, что хотя бы один из факторов должен быть равен нулю.Поскольку хотя бы один из коэффициентов должен быть равен нулю, я могу установить , каждые коэффициентов равны нулю:

x — 3 = 0 или x — 4 = 0

Это дает мне простые линейные уравнения, которые легко решить:

И эти два значения — то решение, которое они ищут:

Обратите внимание, что « x = 3, 4» означает то же самое, что и « x = 3 или x = 4»; единственная разница — это форматирование.Формат « x = 3, 4» является более распространенным.


  • Решите

    x 2 + 5 x + 6 = 0 и проверьте.

Это уравнение уже имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», но, в отличие от предыдущего примера, оно еще не учтено. Я ДОЛЖЕН сначала разложить на множители квадратичный, потому что только когда я УМНОЖИВАЮ и получаю ноль, я могу что-либо сказать о факторах и решениях.Я не могу сделать никаких выводов об отдельных членах квадратичной без факторизации (например, 5 x или 6), потому что я могу добавить много всего, что в сумме равно нулю.

Итак, первое, что мне нужно сделать, это фактор:

x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2) ( x + 3)

Теперь я могу переформулировать исходное уравнение в терминах произведения факторов, причем этот продукт равен нулю:

Теперь я могу решить каждый фактор, установив каждый из них равным нулю и решив получившиеся линейные уравнения:

x + 2 = 0 или x + 3 = 0

x = –2 или x = — 3

Эти два значения являются решением исходного квадратного уравнения.Итак, мой ответ:

Однако я еще не закончил, потому что в исходном упражнении мне предлагалось «проверить», что означает, что мне нужно вставить свои ответы обратно в исходное уравнение и убедиться, что оно получилось правильным. В этом случае я буду вставлять выражение в левой части исходного уравнения и проверять, что я получаю правую часть; а именно с 0:

проверка x = –3:

[–3] 2 + 5 [–3] + 6

9–15 + 6

9 + 6–15

15–15

0

проверка x = –2:

[–2] 2 + 5 [–2] + 6

4–10 + 6

4 + 6 — 10

10–10

0


Когда в упражнении указано, что вы должны решить «и проверить» вышеуказанное «plug-n-chug», они ищут вас, чтобы показать, что вы включили свой ответ в исходное упражнение и получили что-то, что сработало правильно.Выше, где я показал свои чеки, все, что им нужно. Но делайте свою работу аккуратно!

Между прочим, вы можете использовать эту технику «проверки», чтобы проверить свои ответы на любое «решающее» упражнение. Так, например, если вы не уверены в своем ответе на вопрос «фактор и решение» в следующем тесте, попробуйте включить свои ответы в исходное уравнение и убедиться, что ваши решения приводят к истинным утверждениям.


Это уравнение не имеет формы «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я пока не могу его решить.Первое, что мне нужно сделать, это перебрать все термины с одной стороны, а с другой стороны — ноль. Только тогда я могу разложить на множители и решить:

x 2 — 3 = 2 x

x 2 — 2 x — 3 = 0

( x — 3) ( x + 1) = 0

x — 3 = 0, x + 1 = 0

x = 3, x = –1

Тогда мое решение:


  • Решите (

    x + 2) ( x + 3) = 12.

Студенты часто видят уравнения такого типа и говорят:

«Круто! Это уже учтено! Я установлю множители равными 12 и решу, чтобы получить x = 10 и x = 9. Это было легко!»

Да, это было легко; это тоже было неправильно. Очень-очень неправильно.

Помимо того факта, что ни (10 + 2) (10 + 3), ни (9 + 2) (9 + 3) не равно 12, мы никогда не должны забывать, что мы должны иметь «(квадратичное) равно (нулю)», прежде чем мы сможем решить по факторингу.

Возвращение к упражнению:

Каким бы заманчивым это ни казалось, я не могу приравнять каждый из множителей в левой части уравнения к другой части уравнения и решить. В противном случае я бы получил совершенно неправильную путаницу.

Вместо этого мне сначала нужно умножить и упростить левую часть, затем вычесть 12 из левой и пересчитать на множители. Только тогда я смогу решить.

( x + 2) ( x + 3) = 12

x 2 + 5 x + 6 = 12

x 2 + 5 x — 6 = 0

( x + 6) ( x — 1) = 0

x + 6 = 0, x — 1 = 0

x = –6, x = 1

Тогда мое решение:


Эту двухчленную квадратичную легче разложить на множители, чем предыдущие квадратичные: я сразу вижу, что могу вынести x из обоих членов, взяв x вперед.Это дает мне:

Очень распространенная ошибка, которую делают ученики на этом этапе, — это «решить» уравнение для « x + 5 = 0» путем деления на x . Но это неверный шаг. Почему? Потому что мы не можем делить на ноль. Как это здесь играет роль?

При делении на коэффициент x делается неявное предположение, что x не равно нулю.Для такого предположения нет абсолютно никаких оснований! И такое предположение привело бы к потере половины нашего решения этого уравнения.

Возвращение к упражнению:

Мне нужно помнить, что фактор может содержать только переменную без добавления к другим терминам; в частности, « x » — вполне допустимый коэффициент. Мне нужно установить и коэффициентов равными нулю, а затем решить два результирующих линейных уравнения:

x ( x + 5) = 0

x = 0, x + 5 = 0

x = 0, x = –5

Тогда мое решение:


В предыдущем примере было два члена, и его легко разложить на множители.Есть еще один случай двухчленной квадратичной системы, который мы можем разложить на множители. Это только немного сложнее:

Это уравнение имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я могу решить его с помощью факторизации. Но как это учесть? Заметив, что это разница квадратов. Применим формулу разности квадратов, которую выучил:

x 2 — 4 = 0

( x — 2) ( x + 2) = 0

x — 2 = 0, x + 2 = 0

x = 2, x = –2

Тогда мое решение:


Примечание. Приведенное выше решение также можно отформатировать как « x = ± 2».Это произносится как « x равно плюс-минус 2».

В последнем примере на следующей странице мы расскажем, как вычислить квадратный корень.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений путем факторизации. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить с учетом факторинга», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или перейдите к следующей странице.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad.htm

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения

2008 Rasmus ehf и Jhann sak

Уравнения III

Урок
3
Пересечение
точек графиков


Как приступить к поиску точек, в которых два графика
y = f (x) и y = g (x) пересекаются?

Мы уже знаем, где найти график
f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая
уравнение f (x) = 0.
Когда графики y = f (x) и y =
g (x) пересекаются, оба графа имеют
точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки
пересечения путем решения уравнения f (x)
= g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x
точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для
x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета
либо f (x), либо g (x).

Пример 1

Рассчитать точку
пересечение двух прямых f (x) = 2x — 1 и g (x) = x + 1. Сначала
давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл
пересечение есть (2, 3).

Рассчитываем точку пересечения по
решение уравнения f (x) = g (x). То есть:

2х — 1 = х + 1

2x — х = 1 + 1

х = 2

Координата Y теперь может быть найдена
вычисление f (2):

f (2) = 2 × 2 — 1 =
3

Точка пересечения — (2,
3)
.

Пример показывает, что мы можем найти точку
пересечения двумя способами.
Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо
алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере.

Решить уравнение графически легко с помощью
графический калькулятор или компьютерную программу, например Excel.
Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые
исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и
калькуляторы.

Пример 2

Решите уравнение x 2 — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, а затем алгебраически.

Рисуем графики f (x) = x 2
2x — 3 и g (x) = 2x — 3, составив таблицу значений и построив график
точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что
графики пересекаются при x = 0 и x = 4 .

Решает алгебраически:

x 2 — 2x — 3 = 2x — 3

x 2 — 4x = 0

х (х — 4) = 0

Предоставление решений x = 0 и x = 4 .

Пример 3

Решите уравнение x 2 — 1 = 2x — 3

Сначала переместите все термины
перейдите к левой части уравнения и упростите.

Это дает x 2 — 2x + 2 = 0

Используем квадратичную формулу с a = 1, b =
−2 и c = 2.

Число под знаком квадратного корня:
отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения.
Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала.
уравнение

f (x) = x 2 — 1 и правая часть g (x) = 2x — 3.

Мы видим, что парабола
f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы
не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.

Пример 4

Решите уравнение x 3 — 3x + 2 = x 2
2x + 1

Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все
слагаемые в левую часть уравнения.

x 3 — 3x + 2 = x 2 — 2x + 1

x 3 — x 2 — x + 1 = 0

(x 3 — x 2 ) — (x — 1) = 0

x 2 (x — 1) — (x — 1) = 0

(х — 1) (х 2
1) = 0

(х — 1) (х — 1) (х
+ 1) = 0

Расчеты показывают, что их всего два
решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три
решения.График показывает нам, что происходит.

Графики f (x) =
x 2 — 2x + 1 и g (x)
= x 3 — 3x + 2 пересекаются
только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями
уравнение.

Пример 5

Решите уравнение x 2 = x

Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются
решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень
вероятно, но давайте посмотрим на графики.

Назовите левую часть f (x) = x 2 и правую часть g (x) = x.
Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких
отрицательные точки пересечения.

На графике видно, что точек всего две
пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х =
1.
Вот как решить уравнение расчетом:

x 2 = x

х 4 = х

х 4 — х = 0

x (x 3 — 1) = 0

Квадрат
обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня
.

Это дает решение x = 0 и x = 1 .

Пример 6

Решите уравнение ln x = x 2 — 1

Это уравнение не так-то просто решить. Если мы
помните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны
уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем
графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.

График показывает нам, что есть два
решения. Одно решение — ровно x
= 1, поскольку e 0 = 1.

Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y
становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы
можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.

Пример 7

EXCEL

Если мы воспользуемся графическим калькулятором, то сможем найти
решение уравнения ln x = x 2 — 1 намного проще.

Рисуем графики обеих сторон
уравнение и используйте Zoom (сдвиг F2), а затем Trace (сдвиг F1), чтобы найти
точка пересечения.

Еще проще использовать G-Solve (F5) и
затем функция пересечения ISCT (F5). Это дает нам первую точку
пересечение. Затем нажимаем стрелку вправо, и калькулятор переходит к
вторая точка пересечения. 2-ln (B2)

Теперь выберите Инструменты
а затем «Поиск цели» в строке меню.В
на экране появляется следующее:

Пишем D2,
1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным
к значению 1, изменив значение в B2.

Когда
нажимаем ОК, появляется следующая информация.

Это говорит нам о том, что
аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно
хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.


Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для
следите за своей работой.

Как найти общее решение с помощью корней

Введение
Пример
Простое решение
Креативное решение
Другой пример
Действительно простое решение
Использование кувалды
Последний пример
Нет простого решения
Кардано спешит на помощь
Квадратичное уравнение
Кубическое уравнение
Номенклатура
Обратная связь

Я всегда думал, что объяснения, которые я прочитал
решения Кардано общей кубики были
излишне сложно.

Каждый раз, когда я спрашиваю кого-то, кто был разоблачен
методу объяснения, обычный ответ таков:
они не помнят, как это было. Это моя попытка
объясните это так, чтобы у него было больше шансов
быть запомненным. Если ничего другого, я запомню это
лучше!

Поскольку большинство подходов очень быстро становятся общими,
Вместо этого я займусь чем-нибудь другим. Я начну с прогрессии
тщательно подобранных конкретных примеров. Тогда я обобщу.
Я собираюсь использовать следующие примеры:

х 3 — 3x + 2 = 0

х 3 — 3x = 0

х 3 — 3x + 1 = 0

Попутно посмотрю
в квадратном уравнении и завершая квадрат,
описывая эту технику таким образом, чтобы
решение кубической.

В первом примере комплексные числа не потребуются, но скоро
после того, как они будут интенсивно использоваться. Если вы не знакомы с
комплексные числа, вы можете попробовать прочитать это эссе,
но скоро за этим станет действительно трудно уследить.
Вас предупредили!

Я хотел бы начать с примера:
х 3 — 3х + 2 = 0.

Стандартный способ решить эту проблему — попробовать несколько простых
значения: 1, -1, 2, -2. Оказывается, 1 — это решение!
Это означает, что (x-1) является фактором
х 3 — 3х + 2 = 0.Полиномиальное деление дает

x 3 -3x + 2 можно разложить на множители как (x-1) (x 2 + x — 2).

Это говорит нам, что решения x 3 — 3x + 2 = 0
даются решениями x-1 = 0 и x 2 + x-2 = 0.

Решение квадратичного множителя можно выполнить разными способами.
В этом случае очевидна факторизация
х 2 + х — 2 = (х-1) (х + 2).
Итак, x 3 — 3x + 2 = (x-1) 2 (x + 2).

Корни — 2 и 1 (кратность 2).

Единственная проблема с этим методом решения —
что это зависит от некоторого интуитивного линейного фактора.
Когда вы можете это сделать, вы в деле. Когда ты не можешь,
ты застрял. Техника Кардано — это больше работы,
но он всегда даст вам ответ.

Вот как этот пример решается с использованием техники Кардано.

Решающий творческий шаг (на мой взгляд) — заменить
x с (w + 1 / w) и решить относительно w. Это приводит к
уравнение шестого порядка по w, НО, это шестой порядок
уравнение, которое легко решить.Вот подробности:

х 3 — 3 х + 2 =

(ш + 1 / ш) 3 — 3 (ш + 1 / ш) + 2 =

w 3 + 3 w 2 (1 / w) + 3 w (1 / w) 2 + (1 / w) 3 -3 (w + 1 / w) + 2 =

ш 3 + 3 ш + 3 (1 / ш) + (1 / ш 3 ) — 3 (ш + 1 / ш) + 2 =

ш 3 + (1 / ш 3 ) + 2.

Таким образом, x 3 -3x + 2 = 0 становится
ш 3 + 1 / ш 3 +2 = 0

Это уравнение шестого порядка по w.Уловка для ее решения состоит в том, чтобы понять, что это действительно квадратичный
в ш 3 . Заменяя w 3 на z, получаем:

г + 1 / г + 2 = 0

т.е. z 2 + 1 + 2z = 0.

Решение квадратичной любой из техник, которые вам нравятся
(Мне нравится z 2 + 1 + 2z = (z + 1) 2 )
вы получите z = -1.

Итак, w 3 = -1.

Решение этого — w = -1, что дает решение
х = ш + 1 / ш = -1 + 1 / -1 = -2.

Полиномиальное деление теперь дает

x 3 -3x + 2 можно разложить на множители как (x + 2) (x 2 — 2x + 1).

x 2 — 2x + 1 = (x-1) 2 , поэтому мы получаем, что решения
x = -2 и 1 (с кратностью 2).

Если вы что-то знаете о комплексных числах, вы могли заметить
что я мог бы использовать другие решения для w 3 = -1.
Три решения:

ш = -1, 1/2 + я √3 / 2, 1/2 — я √3 / 2

Выбирая w = 1/2 + i √3 / 2, получаем решение

x = w + 1 / w = (1/2 + i √3 / 2) + (1/2 — i √3 / 2) = (1/2) + (1/2) = 1

Здесь следует отметить то, что нам удалось получить реальное решение для
кубическая с помощью комплексных чисел!

Кроме того, в этом конкретном примере использование комплексных чисел не является обязательным.Выбрав решение w = -1 для w 3 = -1, мы успешно
избегал иметь с ними дело. Так бывает не всегда! Когда я написал
что этот пример был тщательно выбран, я имел это в виду.

Чтобы еще немного разогреться, рассмотрим
х 3 — 3х = 0.

Это очень легко решить без техники Кардано.
Поскольку нет постоянного члена, x является фактором.

x 3 -3x можно разложить на множители как x (x 2 — 3).

Это говорит нам о том, что решения
х = 0, √3, -√3.

Заменить x на (w + 1 / w)

х 3 — 3 х =

(ш + 1 / ш) 3 — 3 (ш + 1 / ш) =

w 3 + 3 w 2 (1 / w) + 3 w (1 / w) 2 + (1 / w) 3 — 3 (w + 1 / w) =

ш 3 + 3 ш + 3 (1 / ш) + (1 / ш 3 ) — 3 (ш + 1 / ш) =

w 3 + (1 / w 3 ).

Заменяя w 3 на z, получаем:

г + 1 / г = 0

z 2 = -1

На этот раз от комплексных чисел никуда не деться!

г = я, -i.

Переходя к решению i, теперь нам нужно решить

ш 3 = я

Что ж, одно из решений — w = -i.
Это дает нам x = w + 1 / w = -i + 1 / -i = -i + i = 0.

Это говорит нам, что (x-0) является множителем x 3 -3x,
а остальное — рутина:
x 3 -3x = x (x 2 -3) дает решения
х = 0, √3, -√3.

Теперь рассмотрим
х 3 — 3х + 1 = 0.

Насколько я знаю, простого способа решить эту проблему нет.

Заменить x на (w + 1 / w)

х 3 — 3 х + 1 =

(ш + 1 / ш) 3 — 3 (ш + 1 / ш) + 1 =

w 3 + 3 w 2 (1 / w) + 3 w (1 / w) 2 + (1 / w) 3 -3 (w + 1 / w) + 1 =

ш 3 + 3 ш + 3 (1 / ш) + (1 / ш 3 ) — 3 (ш + 1 / ш) + 1 =

w 3 + (1 / w 3 ) + 1.

Заменяя w 3 на z, получаем:

г + 1 / г + 1 = 0

г 2 + 1 + г = 0

г = -1/2 + я √3 / 2, -1/2 — я √3 / 2

Используя решение 1/2 + i √3 / 2, теперь нам нужно решить

ш 3 = -1/2 + я √3 / 2

т.е. w 3 = cos (120 °) + i sin (120 °)

Это означает, что решения следующие:
w = cos (40 °) + i sin (40 °), cos (160 °) + i sin (160 °), cos (280 °) + i sin (280 °)

Это дает нам x = w + 1 / w = 2cos (40 °), 2 cos (160 °), 2cos (280 °).

Общее квадратное уравнение:

а х 2 + б х + с = 0.

Идея состоит в том, чтобы свести его к другому квадратичному

y 2 = Т.

Мы знаем, как это решить: y = √T, −√T.

Примечание: если a, b, c действительны в общем уравнении,
тогда T будет действительным в редуцированном уравнении.
Я подчеркиваю это, потому что соответствующие
Утверждение для кубического уравнения НЕ верно.

Обычные шаги:

Разделите на , чтобы получить уравнение вида

x 2 + B x + C = 0 (здесь B = b / a, C = c / a).

Теперь заменим x на y + k, где k выбрано так
что уравнение имеет вид

у 2 + D = 0.

Это делается путем выбора k так, чтобы 2k = -B,
т.е. k = -B / 2.

Взяв T = -D, теперь мы имеем
y 2 = Т.

Были сделаны!

Общее кубическое уравнение:

а х 3 + б х 2 + с х + г = 0

Идея состоит в том, чтобы уменьшить его до другого кубического

w 3 = Т.

Мы знаем, как это решить.

Примечание: даже если a, b, c, d действительны в общем уравнении,
это НЕ означает, что T будет реальным. Это могло быть любое
комплексное значение.

Это не намного больше.

Все важные шаги рассмотрены в примерах.
Остальные идеи присутствуют в квадратичном случае.

Вот что вы делаете:

Отметим, что первые два шага имеют прямые аналоги в квадратичном случае.

Сначала разделите на a, чтобы получить уравнение вида

x 3 + B x 2 + C x + D = 0.

Теперь заменим x на y + k, где k выбрано так
что уравнение имеет вид

у 3 + р у + д = 0.

Это делается путем выбора k так, чтобы 3k = −B,
т.е. k = -B ⁄ 3.

Теперь заменим y на w + m / w, где m выбрано так, чтобы
члены w и 1 / w исчезают.
Это делается путем выбора m так, чтобы p = -3m,
т.е. m = — p / 3. Вот почему я выбрал p = -3 в приведенных выше примерах.

Теперь у нас есть уравнение шестого порядка по w вида

w 3 + R (1 / w 3 ) + S = 0.

(или, если вы предпочитаете, w 6 + S w 3 + R = 0)

Взяв z = w 3 , мы имеем квадратичную систему с двумя решениями,
и то, и другое может быть сложным. Выбери один. Назовите это Т.

Общая кубика сведена к кубической

w 3 = T

Решите это и отмените указанные выше замены.

Замена x = w + m / w иногда называется заменой Виета .

Уравнение шестого порядка вида

ш 6 + ш ш 3 + R = 0

иногда называют трехквадратичным уравнением

Выражение третьего порядка формы

y 3 + p y + q

иногда называют депрессивной кубической

4 декабря 2003 г. Размещено
23 декабря 2003 г. Последнее обновление

Вернуться к началу страницы

Как узнать, сколько решений имеет квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение, которое выглядит следующим образом:

х 2 + 4x — 2 = 0.

В общем виде это записывается как ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — все числа, а x — наша неизвестная переменная. В приведенном выше примере у нас будет a = 1, b = 4 и c = -2.

Чтобы найти количество решений, мы разделим квадратное уравнение на 3 случая.

Случай 1: 2 уникальных решения — например, x 2 + 5x + 6 = 0. Имеет решения x = 2 и x = 3.

Случай 2: повторное решение 1 — например, x 2 + 4x + 4 = 0.Имеет решение x = 2.

Случай 3: Нет решений — например, x 2 + 2x + 4 = 0. Не имеет решений.

Но как мы узнаем, в каком мы деле? Для этого мы рассмотрим квадратную формулу, которую вы, надеюсь, уже видели. Для справки, это дает решение общей квадратной оси 2 + bx + c = 0 как:

x = [- b ± √ ( b 2 — 4 ac )] / 2 а

, где ± означает, что два решения —

x = [- b + √ ( b 2 — 4 ac )] / 2 a и

x = [- b — √ ( b 2 — 4 ac )] / 2 a.

В случае 1 это даст два отдельных ответа для x. В случае 2 оба ответа будут одинаковыми.

Однако в случае 3 вы, скорее всего, получите ошибку! Эта ошибка возникает из-за того, что мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа *. Это означает, что если мы в случае 3, то участок √ ( b 2 — 4 ac ) является частью, которая вызывает проблемы! Как я уже сказал, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому, если b 2 -4 ac отрицательное, у нас есть ошибка и нет решений.

Это ключ к знанию того, сколько у нас решений:

Если b 2 -4 ac положительно (> 0), то у нас есть 2 решения.

Если b 2 — 4 ac равно 0, то у нас есть только одно решение, так как формула сокращается до x = [- b ± 0] / 2 a. Итак, x = -b / 2 a , что дает только одно решение.

Наконец, если b 2 -4 ac меньше 0, у нас нет решений.

Пример:

Сколько решений у x 2 — 3x + 2 = -1?

1) Переставьте, чтобы соответствовать общей формуле: x 2 — 3x + 3 = 0. Итак, a = 1, b = -3 и c = 3.

2) Используйте формулу: b 2 — 4ac = (-3) 2 -4 (1) (3) = 9-12 = -3.

3) Поскольку b 2 — 4ac <0, у нас нет решений.

Вот и все! Пожалуйста, свяжитесь с нами, если вам потребуется дополнительная помощь.

* Для заинтересованных / продвинутых студентов: Технически вы МОЖЕТЕ извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Это выходит за рамки курса GCSE, поэтому, если после этого вас что-то смущает, не волнуйтесь! Но прежде всего я объясню, почему вам этого еще никто не сказал.

Представьте, что я попросил вас дать мне ответ на 7 ÷ 3, но вы могли использовать только целые числа. Уравнение 7 ÷ 3 равно 2,33 …, но это не целое число! Так что не существует целочисленных решений.Если бы я позволил вам использовать дроби, вы могли бы сказать мне, что 7 ÷ 3 равно 7/3 или 2 и 1/3.

Та же идея применима к проблеме здесь. У нас есть только действительные числа (то есть дроби, десятичные дроби, целые числа и «иррациональные» числа, такие как пи), чтобы справиться с вопросом, и если вас попросят извлечь квадратный корень из отрицательного числа, реальных решений не будет. !

В «Мнимых» числах решение действительно существует. Вы еще не знаете об этих числах (точно так же, как сначала не знали о дробях).x $ — Обмен стеками математики

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
24k раз

$ \ begingroup $

Я хочу доказать, что уравнение $ 3 ^ x + 4 ^ x = 5 ^ x $ имеет только одно реальное решение ($ x = 2 $)

Я попытался изучить функцию $ f (x) = 5 ^ x-4 ^ x-3 ^ x $ (чтобы использовать теорему о промежуточном значении), но не могу найти знак $ f ‘(x ) = \ ln (5) \ times5 ^ x- \ ln (4) \ times4 ^ x- \ ln (3) \ times3 ^ x $, и я не вижу другого метода для решения этого упражнения. {2 + x} $$
спрашивая, может ли существовать другое решение, кроме $ x = 0 $.x $$
Тогда, если показатели $ x $ на правой стороне равны нулю, мы имеем известное решение. Но если $ x $ увеличивается до нуля, то значения обоих слагаемых одновременно уменьшаются, поэтому равенство больше не может выполняться.
Аналогично происходит при уменьшении $ x $: оба слагаемых одновременно растут по своим квадратам, так что другого решения нет. QED.

Создан 04 сен.

Готфрид ХелмсГотфрид Хелмс

31.4k33 золотых знака5555 серебряных знаков122122 бронзовых знака

$ \ endgroup $

2

Очень активный вопрос . Заработайте 10 репутации, чтобы ответить на этот вопрос. Требование репутации помогает защитить этот вопрос от спама и отсутствия ответов.

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Три правила экспонент — Полный курс алгебры

Урок 13, Раздел 2

Вернуться в раздел 1

Правило 1.Та же база

Правило 2. Мощность продукта

Правило 3. Степень мощности

Правило 1. То же основание

«Чтобы умножить степени одного основания, сложите экспоненты».

Например, a 2 a 3 = a 5 .

Почему мы складываем экспоненты? Из-за того, что означают символы. Секция 1.

Пример 1. Умножение 3 x 2 · 4 x 5 · 2 x

Решение . Задача означает (Урок 5): умножьте числа, затем сложите степени x :

3 x 2 · 4 x 5 · 2 x = 24 x 8

Два фактора x x 2 — умножить на пять факторов x x 5 — умножить на один фактор x , произвести всего 2 + 5 + 1 = 8 множителей x : x 8 .

Задача 1. Умножить. Примените правило Same Base.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) 5 x 2 · 6 x 4 = 30 x 6 б) 7 x 3 · 8 x 6 = 56 x 9
в) x · 5 x 4 = 5 x 5 г) 2 x · 3 x · 4 x = 24 x 3
д) x 3 · 3 x 2 · 5 x = 15 x 6 е) x 5 · 6 x 8 y 2 = 6 x 13 y 2
г) 4 x · y · 5 x 2 · y 3 = 20 x 3 y 4 ч) 2 x y · 9 x 3 y 5 = 18 x 4 y 6
i) a 2 b 3 a 3 b 4 = a 5 b 7 к) a 2 bc 3 b 2 ac = a 3 b 3 c 4
к) x м y n x p y q = x m + p

99 y n + q

л) a p b q ab = a p + 1 b q + 1

Проблема 2.Различают следующие:

x · x и x + x .

x · x = x ². x + x = 2 x .

Пример 2. Сравните следующее:

а) x · x 5 б) 2 · 2 5

Решение .

a) x · x 5 = x 6

b) 2 · 2 5 = 2 6

Часть b) имеет ту же форму , что и часть a). Это часть а) с x = 2.

Один множитель 2 умножает пять множителей 2, получая шесть множителей 2.

2 · 2 = 4 здесь неверно.

Проблема 3. Примените правило Same Base.

а) x x 7 = x 8 б) 3 · 3 7 = 3 8 в) 2 · 2 4 · 2 5 = 2 10
г) 10 · 10 5 = 10 6 д) 3 x · 3 6 x 6 = 3 7 x 7

Проблема 4.Примените правило Same Base.

а) x n x 2 = x n + 2 б) x n x = x n + 1
в) x n x n = x 2 n г) x n x 1- n = x
д) x · 2 x n — 1 = 2 x n е) x n x m = x n + m
г) x 2 n x 2- n = x n + 2

Правило 2: Сила произведения факторов

«Увеличьте каждый коэффициент до той же степени.«

Например, ( ab ) 3 = a 3 b 3 .

Почему мы можем это сделать? Опять же, согласно значению символов:

( ab ) 3 = ab · ab · ab = aaabbb = a 3 b 3 .

Порядок факторов не имеет значения:

ab · ab · ab = aaabbb .

Задача 5. Применить правила экспонент.

а) ( x y ) 4 = x 4 y 4 б) ( pqr ) 5 = p 5 q 5 r 5 в) (2 abc ) 3 = 2 3 a 3 b 3 c 3
d) x 3 y 2 z 4 ( xyz ) 5 = x 3 y 2 z 4 · x 5 y 5 z 5 Правило 2.
= x 8 y 7 z 9 То же основание.

Правило 3: Степень мощности

«Чтобы взять степень степени, умножьте степени».

Например, ( a 2 ) 3 = a 2 · 3 = a 6 .

Почему мы это делаем? Опять же, из-за того, что означают символы:

( a 2 ) 3 = a 2 a 2 a 2 = a 3 · 2 = a 6

Задача 6. Примените правила экспонент.

а) ( x 2 ) 5 = x 10 б) ( а 4 ) 8 = а 32 в) (10 7 ) 9 = 10 63

Пример 3.Примените правила экспонент: (2 x 3 y 4 ) 5

Решение . В скобках указаны три фактора: 2, x 3 и y 4 . Согласно Правилу 2 мы должны брать пятую степень каждого из них. Но чтобы взять степень степени, мы умножаем показатели. Следовательно,

(2 x 3 y 4 ) 5 = 2 5 x 15 y 20

Проблема 7.Применяйте правила экспонент.

а) (10 a 3 ) 4 = 10 000 a 12 б) (3 x 6 ) 2 = 9 x 12
в) (2 a 2 b 3 ) 5 = 32 a 10 b 15 г) ( xy 3 z 5 ) 2 = x 2 y 6 z 10
д) (5 x 2 y 4 ) 3 = 125 x 6 y 12 е) (2 a 4 bc 8 ) 6 = 64 a 24 b 6 c 48

Проблема 8.Применяйте правила экспонент.

a) 2 x 5 y 4 (2 x 3 y 6 ) 5 = 2 x 5 y 4 · 2 5 x 15 y 30 = 2 6 x 20 y 34

b) abc 9 ( a 2 b 3 c 4 ) 8
= abc 9 · a 16 b 24 c 32 = a 17 b 25 c 41

Проблема 9.Используйте правила экспонент, чтобы вычислить следующее.

а) (2 · 10) 4 = 2 4 · 10 4 = 16 · 10 000 = 160 000

б) (4 · 10 2 ) 3
= 4 3 · 10 6 = 64 000 000

в) (9 · 10 4 ) 2
= 81 · 10 8 = 8,100,000,000

В степенях 10 столько же нулей, сколько в экспоненте 10.

Пример 4. Квадрат x 4 .

Решение . ( x 4 ) 2 = x 8 .

Чтобы возвести в квадрат степень, удвойте экспоненты.

Проблема 10. Возведите следующее.

а) x 5 = x 10 б) 8 a 3 b 6 = 64 a 6 b 12
в) −6 x 7 = 36 x 14 г) x n = x 2 n

Часть c) иллюстрации: Квадрат числа никогда не бывает отрицательным.

(−6) (- 6) = +36. Правило знаков.

Задача 11. Примените правило экспонент — если возможно.

а) x 2 x 5 = x 7 , Правило 1. б) ( x 2 ) 5 = x 10 , Правило 3.
в) x 2 + x 5
Невозможно. Правила экспонент применяют только к умножению.

В итоге: Добавьте показателей степени, когда одно и то же основание появляется дважды: x 2 x 4 = x 6 . Умножьте экспонент, когда основание появится один раз — и в круглых скобках:
( x 2 ) 5 = x 10 .

Задача 12. Примените правила экспонент.

а) ( x n ) n = x n · n = x n 2 б) ( x n ) 2 = x 2 n

Проблема 13.Примените правило экспонент или добавьте похожие термины — если возможно.

а) 2 x 2 + 3 x 4
Невозможно. Это не похоже на терминов .

б) 2 x 2 · 3 x 4 = 6 x 6 . Правило 1.

c) 2 x 3 + 3 x 3
= 5 x 3 .Как термины. Показатель степени не меняется.

г) x 2 + y 2
Невозможно. Это не похоже на термины.

e) x 2 + x 2
= 2 x 2 . Как термины.

f) x 2 · x 2
= x 4 . Правило 1

г) x 2 · y 3
Невозможно.Разные базы.

ч) 2 · 2 6
= 2 7 . Правило 1

i) 3 5 + 3 5 + 3 5 =
3 · 3 5 (При добавлении подобных терминов) = 3 6 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.