Решение уравнения x sin x: Решите уравнение x=sin(x) (х равно синус от (х))

3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 Преобразовать из градусов в радианы 225 9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень из 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень из 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень из 3)/2 12 График g(x)=3/4* корень пятой степени из x 13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9 14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град. 2+n-72)=1/(n+9)

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Предварительное исчисление алгебры

— Есть ли способ решить $\sin(x)=x$?

спросил

Изменено
5 месяцев назад

Просмотрено
32к раз

$\begingroup$

Примечание. Изначально вопрос должен был решаться алгебраически, но я решил изменить его на аналитический из-за комментариев и ответов.


При попытке решить $\sin(x)=x$ первым очевидным решением является $x=0$. Однако существует бесконечное количество комплексных значений $x$, которые мы можем попытаться найти. Однако мы собираемся игнорировать их.

Мне интересно, есть ли способ аналитического решения для $x$ в $\sin(x)=x$. Это кажется невозможным, точно так же, как мы не можем решить $\cos(x)=x$ аналитически или легко, но поскольку $\sin(x)=x$ имеет такой простой точный ответ, я подумал, есть ли это способ, которым вы могли бы это сделать.

Итак, существует ли аналитический способ решить эту проблему? Если да, то как? Если нет, то как еще мы могли бы решить это, кроме как графически?

  • алгебра-предварительное исчисление
  • анализ
  • тригонометрия
  • трансцендентальные уравнения

$\endgroup$

19

$\begingroup$

Если бы проблема могла быть решена чисто алгебраическими средствами (с конечным числом шагов), это означало бы, что $\sin(x)$ можно задать полиномиальное представление, из которого вы могли бы перейти к своей обычной процедуре факторизации к найти нули многочлена. 7}{7!} + \cdots $$ 94}{7!} + \cdots) = 0 $$

Итак, теперь у нас есть наше «алгебраическое решение», состоящее в том, что $x = 0$.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Подсказка: покажите, что если $x\neq 0$ ($x$ вещественное), $\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|<1.$ Я не понимаю, что вы имеете в виду «алгебраически», поэтому я просто оставлю это здесь и позволю вам решить, можно ли найти все решения «алгебраически» или нет.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Поскольку вы рассматриваете только действительные числа, я думаю, что самый простой способ решить эту проблему — разделить случаи и использовать неравенства в каждом случае:

$x=0$ — это явно решение, поскольку $\sin 0=0 $.

Если $x\in]0,1[$, то из МВТ следует, что $\exists c\in]0,1[: \cos c=\frac{\sin x-\sin 0}{x-0 }$.
Так как $x,c\in]0,1[$, то $1>\frac{\sin x}{x} \Leftrightarrow x>\sin x$.

Если $x=1$, то $\sin 1 \neq 1$.

Если $x>1$, то очевидно $x>\sin x$.

Теперь ясно, что если $a$ является решением, то $-a$ также является решением (поскольку $\sin(-x) = -\sin x$).
Следовательно, нет решений с $x<0$

$\endgroup$

$\begingroup$

Я вижу, что на этот вопрос уже был дан ответ, но я хотел внести свой вклад с очень быстрым интуитивным способом увидеть это просто.

После решения x=0 нам просто нужно убедиться, что наклон $\sin(x)$, равный $\cos(x)$, равен $< 1$ в режиме, когда $x \le 1$ ( после этого очевидно, что решений не будет, так как $\sin(x)$ ограничено от -1 до 1, поэтому любой |x|>1 не будет решением) Проверьте изображение на визуальные эффекты склонов, в x $ \эпсилон$ [0,1]

Итак, нет, кроме x=0 реальных решений больше нет.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

обыкновенных дифференциальных уравнений — Показать, что решение $\ddot x + \sin(x) = 0$ существует глобально

Задавать вопрос

спросил

Изменено
9 лет, 2 месяца назад

Просмотрено
1к раз

$\begingroup$

Попытка показать, что решение уравнения в заголовке существует глобально. Я считаю, что мы должны использовать «априорные» знания, чтобы показать это, а не строгое доказательство. Для начала я умножил уравнение на $\dot x$, чтобы получить

$$\ddot x \dot x + \dot x\sin(x) = 0$$

Затем я проинтегрировал по $t$ , чтобы получить

92}{2} — \cos{x} = C$$

$\cos{x}$ немного сбивает меня с толку. Я не могу понять, почему решение будет существовать глобально из этого. Я почти уверен, что этот метод следует использовать, так как примеры в тексте используют этот метод. Если бы я мог просто показать, что $|x| \lt K$, где $K$ — просто какая-то новая константа, тогда было бы неплохо, но я этого не вижу. Я думаю, что мне также нужно показать $|\dot x| \lt C$, но я не уверен на 100%. Спасибо за помощь!

  • обыкновенные дифференциальные уравнения

92}{2} — \cos x = C$ вы получаете $|\dot{x}| \le\sqrt{|C| + 1}$, а значит, $|x| \ле |х(0)| + |т| \sqrt{|C|+1}$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Имейте в виду, что ваша задача является гамильтоновой или, если хотите, ньютоновской с потенциалом $V(x)=-\cos(x)$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *