Решение уравнений 5 степени онлайн: Решение алгебраических уравнений онлайн

4-x=0
Решение Тригонометрих уравнений sin(2*x)=1

Содержание

Правила ввода уравнений

В поле ‘Уравнение’ можно делать следующие операции:

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция — арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция — арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция — экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция — Синус от x
cos(x)
Функция — Косинус от x
sinh(x)
Функция — Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция — Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция — квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:

asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Онлайн калькулятор: Вычисление корней полинома

Калькулятор вычисляет вещественные корни полинома с целыми или рациональными коэффициентами. Для полинома степени меньше 5 используются аналитические формулы, для полиномов более высоких степеней применяется численный метод. Перед вычислением корней делается попытка разложения исходного многочлена на множители свободные от квадратов. Для иллюстрации отображается график, определяемый полиномом функции. Функция проверяется на четность и нечетность для сокращения области вычислений корней.

Вычисление корней многочлена любой степени

Коэффициенты многочлена, разделенные пробелом.

Показать графикТочность вычисления

Знаков после запятой: 5

Входной многочлен

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

График

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Алгоритм вычисления вещественных корней полинома любой степени

  • Выполняется проверка на четность — если f(x) = f(-x) — функция четная, если f(x)=-f(-x) — функция нечетная, для этих случаев корни можно искать только в положительной области, отрицательные корни — это положительные с обратным знаком. В противном случае — корни ищутся и в отрицательной и в положительной области
  • Многочлен раскладывается на свободные от квадратов множители при помощи алгоритма Юна Разложение многочлена на свободные от квадратов множители.
  • Каждый множитель, полученный на предыдущем шаге представляет собой многочлен, который решается аналитически если степень<5:
    • Для многочлена 1-й степени — корень — это свободный член с противоположным знаком, деленный на коэффициент при x
  • Если степень многочлена больше или равна 5, применяются численные методы
    • Для работы численных методов необходимо уточнить области локализации корней, для этого мы используем алгоритм VAS-CF: Изоляция корней многочлена. Если многочлен четный или нечетный, то для поиска берем только положительную область.
    • Далее для каждого интервала изоляции находится корень методом: Метод бисекции
    • Если многочлен четный или нечетный добавляем в результат полученные ранее корни с противоположным знаком

Калькулятор уравнения четвертой степени

Уравнения четвертой степени имеет вид ах4; + bх3 + сх2 + ах + е = 0. Общее уравнение четвертой степени (также называемый биквадратным) является четвертой степени полиномиального уравнения. Бесплатный онлайн калькулятор расчета уравнения четвертой степени, используемый для нахождения корней уравнения.

Вычисление корней:

Например, Введите a=3, b=6, c=-123, d=-126 и e=1080

Формула уравнения четвертой степени:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

  • Примечание : Допустим что p и q квадратные корни из 2 ненулевых корней.
  • p = sqrt(y1)
  • q = sqrt(y3)
  • r = -g / (8pq)
  • s = b / (4a)
  • x1 = p + q + r — s
  • x2 = p — q — r — s
  • x3> = -p + q — r — s
  • x4 = -p — q + r — s

Уравнением четвертой степени называется полиномиальное уравнение четвертого порядка вида, ax4+ bx3 + cx2 + dx + e = 0:

Формула уравнения четвертой степени:

ax4 + bx3+ cx2 + dx + e = 0

где,

  • a = коэффициент для  x4
  • b = коэффициент для x3
  • c = коэффициент для x2
  • d = коэффициент для x
  • e = константа.
Решение уравнения четвертой степени:
  • x1 = p + q + r — s
  • x2 = p — q — r — s
  • x3 = -p + q — r — s
  • x4 = -p — q + r — s

Пример 1:

Вычислить корни (x1, x2, x3, x4) уравнения четвертой степени, 3X4 + 6X3 — 123X2 — 126X + 1080 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значения a=3, b=6, c=-123, d=-126, e=1080.

Шаг 2:

Найдем x : Подставьте значения в приведенных ниже формул.

  • f = c — ( 3b ² / 8 )
  • g = d + ( b ³ / 8 ) — ( b x c / 2 )
  • h = e — ( 3 x b4 / 256 ) + ( b ² x c / 16 ) — ( b x d / 4 )
Шаг 3:

Представим как уравнение третьей степени : y ³ + ( f / 2 ) y ² + (( f ² — 4 x h ) / 16 ) y — g ² / 64 = 0

где,

  • a = коэффициент для y ³
  • b = коэффициент для y²
  • c = коэффициент для y
  • d = константа
Шаг 4:

Из приведенного выше уравнения, значения:

  • a = 1,
  • b = f/2,
  • c = (( f ² — 4 x h ) / 16 ),
  • d = — g² / 64.
Шаг 5:

Найдем y: Подставьте значения в формулу, чтобы найти корни.

дискриминант (Δ) = q3 + r2

  • q = (3c — b2) / 9
  • r = -27d + b(9c — 2b2)
  • s = r +√ (дискриминант)
  • t = r — √(дискриминант)
  • term1 = √(3. 0) * ((-t + s) / 2)
  • r13 = 2 * √(q)
  • y1 = (- term1 + r13*cos(q3/3) )
  • y2 = (- term1 + r13*cos(q3+(2∏)/3) )
  • y3 = (- term1 + r13*cos(q3+(4∏)/3) )
Шаг 6:

Получим корни, y1 = 20.25 , y2 = 0 и y3 = 1.

Шаг 7:

После решения уравнения третьей степени решим уравнение четвертой степени.

Подставим y1, y2, y3 в p, q, r, s.

Примечание : Пусть p и q квадратные корни 2 ненулевых корней.

  • p = sqrt(y1) = 4.5
  • q = sqrt(y3) = 1
  • r = -g / (8pq) = 0
  • s = b / (4a) = 0.5
Шаг 8:

Мы получили корни, x1 = 5, x2 = 3, x3 = -4 и x4 = -6.

Практический пример решения уравнения четвертой степени.

Уравнение пятой степени онлайн.Частный случай

Заданное уравнение
Корни полинома пятой степени

В данном материале рассматривается одно из решений уравнения пятой степени частного вида. 2}{5}x​+(i)=0\)

На этом уравнении, несмотря на то что все значения совпадают, знак надо менять на противоположный. Почему так и какой критерий, я еще пока не понял.







Корни полинома пятой степени

0.80517978551219-0.90690579788299i

-0.42780028378999-0.63253712529931i

-1.0695749012912+0.51597635530179i

-0.23323335872174+0.95142805026712i

0.92542875829085+0.072038517613355i

Дети и учеба — Информационный портал

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · (a n) n — 1 · x + a 0 · (a n) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 (x) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 (x) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 (x) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x — x 1) (x — x 2) · P n — 2 (x) = 0 .Здесь P n — 2 (x) будет частным от деления P n — 1 (x) на x — x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m (x) = 0 . Здесь P n — m (x) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n — m (x) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 1

Условие:
найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (х — 1) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в столбик:

Получаем, что

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

Ответ:
х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

Пример 2

Условие:
решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3 — 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

В итоге мы получим x — 2 (x 3 + x 2 — 3 x — 6) = 0 .

2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2:

В итоге получим (x — 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Ответ
: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Пример 3

Условие:
найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ:
x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1.
Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2.
Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3.
Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

4.

5.
Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6.
Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7.
Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8.
Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9.
Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10.
Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4
x 2
2x 2 – x

X 2 – 2
x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х — 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1)
Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2)
Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a
само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения
– это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x
степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания
(то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:

1. Нужно проверить одинаковые
ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем
степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены
. Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x
.

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Судя по началу публикации, которое мы здесь опустим, текст писал Юрий Игнатьевич. И написано хорошо, и проблематика злободневная, вот только так называть Россию, как это делает Мухин…

Как бы кто ни относился к антинародной власти, Россия выше неё и не заслуживает оскорблений. Даже от талантливого разоблачителя лжи американского агенства НАСА.

*

Обращение к тов. Мухину Ю.И.

Уважаемый Юрий Игнатьевич!
Я знаю, что вы посещаете эти страницы. Поэтому обращаюсь к вам напрямую.

Мы все ценим ваш подвижнический труд на ниве разоблачения лжи Запада, лжи Америки, лжи псевдоучёных, лжи либералов. Мы с удовольствием и пользой для себя и общества задумываемся над серьёзными темами, которые вы нам время от времени подбрасываете, будь то меритократия или метафизика, любовь к отечественной истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей с вами Родины вызывают недоумение и сильно огорчают.

Впрочем, посудите сами: как бы вы охарактеризовали человека, который стал оскорблять свою заболевшую и от этого временно переставшую работать мать?

А ведь Россия, как бы она ни именовалась, и какой бы хорошей или отвратительной ни была власть, — Россия это наша Родина. Родина-мать.
За неё наши деды проливали кровь и клали свои жизни.

Поэтому ставить её в один ряд с властью — это опускать духовное возвышенное на уровень материального, да ещё и низкого. Т.е. вы проводите сравнение совершенно различных категорий. Вещь, недопустимая для любого вменяемого человека.

Прошу вас, уважаемый тов. Мухин, серьёзно задуматься над этим.

**

…А с уравнениями (я этого и не знал) положение таково. Как найти корни квадратного уравнения догадались ещё в древнем Египте
.

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвёртой степени, нашли в шестнадцатом веке, а вот найти корни уравнения пятой степени до 2016 года не могли. А пытались далеко не простые люди.

В шестнадцатом веке найти корни уравнения пятой степени пытался основоположник символической алгебры Франсуа Виет, в девятнадцатом веке это пытался сделать основатель современной высшей алгебры французский математик Эварист Галуа, после него найти корни уравнений пятой степени пробовал норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который, в конце концов, сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в общем виде.

Читаем в Википедии о заслугах Абеля: «Абель закончил блестящее исследование древней
проблемы:
доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени…

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения опирались на труды Абеля.

Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему».

Как видите, если теорему Пуанкаре доказать пытались всё время и Перельман оказался удачливее остальных математиков, то после Абеля за уравнения пятой степени математики и не брались.

А в 2014 году математик из Томска
Сергей Зайков
, о котором по фото можно судить, что он уже в годах, а по данным из статьи о нём, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, в ходе своей работы получил уравнения пятой степени. Тупик? Да, тупик! Но Сергей Зайков взялся его проломить.

И в 2016 году он нашёл способы решений уравнений пятой степени в общем виде! Сделал то, невозможность чего доказали математики Галуа и Абель.

Я попытался найти сведения о Сергее Зайкове в Википедии, но хрен вам! О математике Сергее Зайкове и о нахождении им решения уравнений пятой степени сведений нет!

Пикантность делу придаёт и то, что для математиков существует аналог Нобелевской премии — Абелевская премия
(Нобель запретил давать премию математикам и теперь её дают за математические испражнения, называя их «физикой
»).

Эта математическая премия в честь того самого Абеля, который доказал невозможность того, что сделал Зайков
. Однако, самовыдвижение на эту премию не допускается. А Зайков математик-одиночка и нет никаких организаций, которые могли бы предложить его кандидатуру на соискание этой премии.

Правда у нас есть Академия наук, но ведь там академики сидят не для развития математики, а «бабло пилить». Кому там нужен этот Зайков?

Ну а для новостных агентств Зайков — это вам не Перельман! Посему открытие Зайкова для СМИ — это не сенсация.

Вот то, что Порошенко дверью ошибся — это да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил проблему, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры ее основной задачей считалось решение алгебраических уравнений. Решение уравнения второй степени было известно еще в Вавилоне и Древнем Египте. Мы проходим такие уравнения в школе. Помните уравнение x2
+ ax + b = 0, и дискриминант?

Сергей Зайков с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке. Но решить уравнение пятой степени не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени стало возможным потому, что их можно свести к уравнениям, ранее уже решенным. Уравнение третьей степени можно свести к уравнению второй степени, а уравнение четвертой — к уравнению третьей. Но уравнение пятой степени сводится к уравнению шестой, т. е. более сложному, поэтому традиционные методы решения не применимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени сдвинулся с места лишь двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, т. е. в квадратных, кубических и иных корнях, известных нам по школе. А Галуа вскоре, т. е. двести лет назад, нашел критерий, позволяющий определить, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он заключается в том, что группа Галуа, разрешимых в радикалах уравнения пятой степени, должна быть либо циклической или метациклической. Но Галуа не нашел способ решения в радикалах тех уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор находились лишь частные решения для разрешимых в радикалах уравнений пятой степени. И только в этом году томский математик Сергей Зайков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Опубликовал книгу «Как решаются в радикалах алгебраические уравнения пятой степени», в которой указал способ решения для любых уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Зайков — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять у него интервью.

— Сергей, почему Вы стали решать эту задачу?

— Мне нужно было решение уравнения пятой степени для решения задачи из другого раздела математики. Я начал выяснять, как его найти, и узнал, что не все из них решаются в радикалах. Тогда я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но нашел лишь критерий, по которому можно определить, какие разрешимы, а какие нет. Я не алгебраист, но, разумеется, как выпускник ФПМК, умею применять и алгебраические методы. Поэтому я с 2014 г. всерьез начал искать решение и нашел его сам.

Способ был найден мной два года назад, я подготовил книгу, в которой был описан не только он, но и способы решения некоторых уравнений степеней больше пятой. Но у меня не было денег для ее издания. В этом году я решил, что проще опубликовать лишь часть этой работы, и взял только ее половину, посвященную способу решения уравнения пятой степени в радикалах.

Я поставил своей целью публикацию что-то вроде руководства по решению этой задачи, понятной для математиков, которым необходимо решить конкретное уравнение. Поэтому упростил ее, убрав множество длинных формул и значительную часть теории, урезав более чем наполовину, оставив только необходимое. Поэтому у меня получилось что-то вроде книжки «для чайников», по которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— За это большое спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет. Он проспонсировал издание книги.

— Возможно ли получение Вами какой-либо премии по математике за решение этой задачи? Например, Вы упоминали Абеля. А ведь есть Абелевская премия по математике, которую считают аналогом нобелевской?

— Полностью исключить такую возможность нельзя. Но и надеяться на это не стоит.

Например, заявки на кандидатов на Абелевскую премию 2019 г. подаются до 15 сентября. Причем самовыдвижение не допускается. А я математик-одиночка. Нет никаких организаций или известных математиков, которые предложат мою кандидатуру. Поэтому она не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой премии, и насколько соответствует духу этой премии вручение ее тем, кто продолжает работы Абеля. Но даже в случае, если она будет представлена, все зависит еще и от уровня работ других кандидатов.

Книга рассчитана на тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даются только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, детально описан способ решения, показаны приемы, упрощающие решение. Значительная часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физ. мат. наук, профессор Петр Андреевич Крылов.

ПОДГОТОВИЛА АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ

Уравнение шестой степени — алгебраическое уравнение, имеющее максимальную степень 6. В общем виде может быть записано следующим образом: a x 6 + b x 5 + c x 4 +

Пользователи также искали:



решение уравнений высших степеней онлайн,

решение уравнений высших степеней,

уравнение 6 степени онлайн,

уравнения 6 степени примеры,

уравнения высших степеней 8 класс,

уравнения высших степеней и методы их решения,

степени,

высших,

степеней,

уравнения,

уравнений,

решение,

класс,

уравнение,

примеры,

онлайн,

Уравнение,

шестой,

уравнения степени примеры,

пятой,

пример,

методы,

решения,

Уравнение шестой степени,

уравнение степени онлайн,

решение уравнений высших степеней,

уравнение пятой степени пример,

уравнения высших степеней и методы их решения,

уравнения высших степеней 8 класс,

решение уравнений 4 степени 9 класс,

решение уравнений высших степеней онлайн,

уравнения 6 степени примеры,

уравнение 6 степени онлайн,

уравнения высших степеней класс,

решение уравнений степени класс,

уравнение шестой степени,

Решение уравнений онлайн решить уравнение

Введите Ваше уравнение с любой переменной и нажмите решить. Соблюдайте правила ввода уравнений, ниже приведен список обозначений. Если что-то не получается, спрашивайте в комментариях

Как пользоваться калькулятором для решения уравнений онлайн?

Краткий список обозначений и операторов
для решения уравнений онлайн

+

сложение

вычитание

*

умножение

/

деление

^

возведение в степень

solve

решение уравнений, неравенств,
систем уравнений и неравенств

expand

раскрытие скобок

factor

разложение на множители

sum

вычисление суммы членов последовательности

log (ab)

логарифм по основанию a числа b

sin, cos, tg, ctg

синус, косинус, тангенс, котангенс

sqrt

корень квадратный

pi

число «пи» (3,1415926535…)

e

число «е» (2,718281…)

i

Мнимая единица i

Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений.(1/2)=4

Затем нажимаете на кнопку «Получить ответ»

И смотрите на результат!. =)

Таким образом Вы можете получить решение любого уравнение онлайн, даже самого сложного уравнения!

Желаем успехов! Возникли вопросы? — Пишите в комментарии!

Решатель уравнений: Wolfram | Alpha

О решении уравнений

Значение называется корнем полинома if.

Наибольший показатель степени появления называется степенью. Если имеет степень, то хорошо известно, что есть корни, если учесть множественность. Чтобы понять, что подразумевается под множественностью, возьмем, например,. Считается, что этот многочлен имеет два корня, оба равны 3.

Каждый изучает «теорему о факторах», обычно во втором курсе алгебры, как способ найти все корни, являющиеся рациональными числами.Также можно научиться находить корни всех квадратичных многочленов, используя при необходимости квадратные корни (полученные из дискриминанта). Существуют более сложные формулы для выражения корней многочленов кубической и четвертой степени, а также ряд численных методов аппроксимации корней произвольных многочленов. В них используются методы комплексного анализа, а также сложные численные алгоритмы, и это действительно область постоянных исследований и разработок.

Системы линейных уравнений часто решаются с использованием метода исключения Гаусса или связанных методов.Это также обычно встречается в программах средней школы или колледжа по математике. Для нахождения корней одновременных систем нелинейных уравнений необходимы более совершенные методы. Аналогичные замечания относятся к работе с системами неравенств: линейный случай может быть обработан с использованием методов, описанных в курсах линейной алгебры, тогда как полиномиальные системы более высокой степени обычно требуют более сложных вычислительных инструментов.

Как Wolfram | Alpha решает уравнения

Для решения уравнений Wolfram | Alpha вызывает функции Solve и Reduce языка Wolfram Language, которые содержат широкий спектр методов для всех видов алгебры, от основных линейных и квадратных уравнений до многомерных нелинейных систем.В некоторых случаях используются методы линейной алгебры, такие как исключение Гаусса, с оптимизацией для повышения скорости и надежности. Другие операции полагаются на теоремы и алгоритмы из теории чисел, абстрактной алгебры и других сложных областей для вычисления результатов. Эти методы тщательно спроектированы и выбраны, чтобы позволить Wolfram | Alpha решать самые разнообразные проблемы, а также минимизировать время вычислений.

Хотя такие методы полезны для прямых решений, для системы также важно понимать, как человек решит ту же проблему.В результате в Wolfram | Alpha также есть отдельные алгоритмы для пошагового отображения алгебраических операций с использованием классических методов, которые людям легко распознать и которым легко следовать. Это включает в себя исключение, замену, квадратную формулу, правило Крамера и многое другое.

Как решить полиномиальное уравнение степени 5

КАК РЕШИТЬ ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СТЕПЕНИ 5

Как решить полиномиальное уравнение степени 5?

Чтобы решить многочлен 5-й степени, мы должны максимально разложить данный многочлен на множители.После факторизации полинома 5-й степени мы находим 5 множителей и приравнивая каждый множитель к нулю, мы можем найти все значения x.

Пример 1:

Решить

6x 5 — x 4 — 43 x 3 + 43x 2 + x — 6

Решение:

Поскольку степень полинома равно 5, у нас 5 нулей. Чтобы найти нули, мы используем синтетическое деление.

Разделение всего уравнения на x²

6 x⁴ / x² + 5 x³ / x² — 38 x² / x² + 5 x / x² + 6 / x² = 0

6 x² + 5 x — 38 + 5 (1 / x ) + 6 (1 / x²) = 0

6 (x² + 1 / x²) + 5 (x + 1 / x) — 38 = 0 —— (1)

Пусть x + 1 / x = y

Чтобы найти из этого значение x² + 1 / x², мы должны взять квадраты с обеих сторон.

(x + 1 / x) ² = y²

x² + 1 / x² + 2 x (1 / x) = y²

x² + 1 / x² + 2 = y²

x² + 1 / x² = y² — 2

Итак, мы должны подставить y² — 2 вместо x² + 1 / x²

Давайте подставим это значение в первое уравнение

6 (y² — 2) + 5 y — 38 = 0

6y² — 12 + 5 лет — 38 = 0

6y² + 5y — 12 — 38 = 0

6y² + 5y — 50 = 0

6y² — 15y + 20 лет — 50 = 0

3y (2y — 5) + 10 (2y — 5) = 0

(3y + 10) (2y — 5) = 0

3y + 10 = 0

y = -10/3

2y — 5 = 0

y = 5/2

Когда y = -10/3

(x² + 1) / x = -10/3

3 (x² + 1) = -10x

3x² + 3 = -10 x

3x² + 10 x + 3 = 0

Факторинга получаем:

(3x + 1) (x + 3) = 0

x = -1/3 и 3

Когда y = 5/2

x + 1 / x = y

(x² + 1) / x = 5/2

2 (x² + 1) = 5 x

2x² + 2 — 5x = 0

2x² — 5x + 2 = 0

. ,

(2x — 1) (x — 2) = 0

x = 1/2 и 2

Следовательно, 5 корней равны -1/3, 3, 1/2, 2 и 1.

Пример 2:

Решить

8x 5 — 22 x 4 — 55 x 3 + 55x 2 + 22x — 8

Решение:

Разделение всего уравнения на x²

8 x⁴ / x² — 14 x³ / x² — 69 x² / x² — 14 x / x² + 8 / x² = 0

8 x² — 14 x — 69 — 14 (1 / x ) + 8 (1 / x²) = 0

8 (x² + 1 / x²) — 14 (x + 1 / x) — 69 = 0 —— (1)

Пусть x + 1 / x = y

Чтобы найти значение x² + 1 / x², возьмем квадраты с обеих сторон

(x + 1 / x) ² = y²

x² + 1 / x² + 2 x (1 / x) = y²

x² + 1 / x² + 2 = y²

x² + 1 / x² = y² — 2

Итак, мы должны вставить y² — 2 вместо x² + 1 / x²

Давайте подставим это значение в первую уравнение

8 (y² — 2) — 14y — 69 = 0

8y² — 16 — 14y — 69 = 0

8y² — 14y — 16 — 69 = 0

8y² — 14y — 85 = 0

(2y + 5) (4y — 17) = 0

Решая для y, мы получаем

2y + 5 = 0 и 4y — 17 = 0

y = -5/2 и y = 17/4

Когда y = -5/2

x + 1 / x = y

(x² + 1) / x = -5/2

2 (x² + 1) = -5 x

2x² + 2 + 5x = 0

2x² + 5x + 2 = 0

2x² + 4x + 1x + 2 = 0

2x (x + 2) + 1 (x + 2) = 0

(2x + 1) (x + 2) = 0

Решая для x, получаем

2x + 1 = 0 и x + 2 = 0

x = -1/2 и x = -2

Когда y = 17/4

x + 1 / x = y

(x² + 1) / x = 17/4

4 (x² + 1) = 17x

4x² + 4 = 17 x

4x² — 17 x + 4 = 0

(4x — 1) (x — 4) = 0

(4x — 1) = 0 (x — 4) = 0

Решая для x, мы получаем

x = 1/4 и x = 4

Следовательно, 5 корней равны 1/4, 4, 2, 1/2, 1.

Кроме того, что приведено в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

Задачи со словами

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами для простых уравнений

Задачи со словами для линейных уравнений

Задачи со словами для квадратных уравнений

Алгебраные задачи со словами

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по цене за единицу

Word задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

Word по типам ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами о прибыли и убытках

Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Проблемы со словами о линейных неравенствах

Задачи со словами

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Задачи со словами на возрастах

Проблемы со словами в теореме Пифагора

Процент числового слова pr проблемы

Word проблемы на постоянной скорости

Word проблемы на средней скорости

Word задачи на сумму углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций

Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск квадратного корня с помощью long di видение

Л.Метод CM для решения задач времени и работы

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

как решить многочлен 5 степени

x 5 — 2x 4 + x 3 + x + 5

Примечание. Чтобы выполнить синтетическое деление, необходимо разложить на множители многочлен

.

нам нужно, чтобы все коэффициенты были в порядке от наивысшего.. 5 ..

до нуля … обратите внимание, что 5 = 5x 0

Лучше всего переписать его как: x 5 — 2x 4 + x 3 + 0x 2 + x + 5

Вы видите коэффициенты 1, -2, 1, 0, 1, 5

Корни многочлена будут происходить от множителей

.

к константе …. 5 … деленное на множители

коэффициент старшей переменной с наивысшим показателем.. 1

Корни будут найдены в ± {1, 5} / ± {1}, поэтому 1, -1, 5, -5

Если -1 — корень, то (x + 1) — множитель

Создайте синтетическое подразделение, как показано ниже

-1 | 1 -2 1 0 1 5 понизить 1-й коэффициент.

| -1 3-4 4-5 Умножьте на него возможный корень и

————————— переносится на следующий коэффициент.

1 -3 4 -4 5 0 Сложите и повторите процесс.

Если последняя сумма равна нулю, как в данном случае, то корень ИМЕЕТ

актуальный рут. Цифры в нижнем ряду, суммы, составляют

.

коэффициенты другого фактора.

Это означает, что

x 5 — 2x 4 + x3 + x + 5 = (x + 1) (x 4 -3x 3 + 4x 2 -4x + 5)

Теперь нам нужно разложить новый многочлен на множители.

Следующий возможный множитель, который мы попробуем, это x = 1 …

.

Если x = 1 — корень, то x-1 будет множителем.

1 | 1-3 4-4 5

| 1–2 2–2

————————

1-2 2-2 3

x = 1 НЕ является корнем, так как остается остаток от 3

Давайте попробуем x = 5 в качестве корня, чтобы увидеть, является ли (x-5) множителем

5 | 1-3 4-4 5

| 5 10 70 330

————————-

1 2 14 66 335

x = 5 НЕ является корнем

Давайте попробуем x = -5, чтобы увидеть, является ли (x + 5) множителем

-5 | 1-3 4-4 5

| -5 40-220 1120

—————————-

1-8 44-224 1125

x = -5 тоже НЕ является корнем, поэтому x + 5 не является множителем

Поскольку единственный действительный корень, который мы можем найти, это x = 1

другие корни должны быть сложными или иррациональными

x 5 — 2x 4 + x 3 + x + 5 = (x + 1) (x 4 -3x 3 + 4x 2 -4x + 5)

теория галуа — Решение уравнений 5-й степени или выше

Для общих уравнений deg $ k> 4 $ можно использовать,

  1. Функции Фукса
  2. Тета-функции
  3. Интегралы Меллина

Для заданных натуральных чисел $ m, n $ и $ m + n = k $, если общее уравнение deg $ k $ может быть решено определенным методом, из этого следует, что общие уравнения deg $ m, n $ тоже может быть.2} \ big)} \ tag {4} $$

, где $ \ lambda (\ tau) $ — эллиптическая лямбда-функция , $ \ eta (\ tau) $ — эта функция Дедекинда , $ K (k) $ — полный эллиптический интеграл первого рода , а $ \, _ 2F_1 $ — гипергеометрическая функция .

(Примечание: при извлечении корня 4-й степени из $ x_i $ следует быть осторожным, чтобы добавить правильную степень корня 4-й степени из единицы $ \ zeta_4 = \ exp (2 \ pi i / 4) $, особенно когда коэффициенты квадратичных сложны.3 $$

тогда,

$$ x = \ pm \ sqrt {\ frac {4u-1} {3u-3}} $$

, где выбран соответствующий знак квадратного корня. (Это более простая формула, чем предыдущая редакция.)

Обратите внимание на разницу между (4) и (5), поскольку последнее — это Теория эллиптических функций Рамануджана с сигнатурой 3 . Это дает один корень кубики, и некоторые модификации $ \ tau $, вероятно, могут дать два других корня.

4. Корни полиномиального уравнения

Вот три важные теоремы, касающиеся корней полиномиального уравнения:

(a) Многочлен n -й степени может быть разложен на n линейных множителя.

(b) Полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корня.

(c) Если `(x — r)` является коэффициентом полинома, то `x = r` является корнем соответствующего полиномиального уравнения.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, что это означает.

Пример 1

Кубический многочлен f ( x ) = 4 x 3 -3 x 2 -25 x -6 имеет степень `3` (так как максимальная степень x — это `3`).

Мы обсуждали этот пример в разделе 3. Как разложить многочлены на множители и нашли, что множители равны:

4 x 3 — 3 x 2 — 25 x — 6 = ( x — 3) (4 x + 1) ( x + 2)

Напомним, что многочлен 3-й степени имеет 3 корня.

Соответствующее полиномиальное уравнение формируется путем установки полинома равным нулю:

f ( x ) = 4 x 3 — 3 x 2 -25 x — 6 = 0

В факторизованной форме это:

`(x — 3) (4x + 1) (x + 2) = 0`

Из выражений в скобках и использования третьей теоремы сверху видно, что существует 3 корня: `x = 3`,` x = -1 / 4` и `x = −2`.

В этом примере все 3 корня нашего полиномиального уравнения степени 3 действительны.

Поскольку `(x — 3)` является множителем, то `x = 3` является корнем.

Поскольку `(4x + 1)` является множителем, то `x = -1 / 4` является корнем.

Поскольку `(x + 2)` является множителем, то `x = −2` является корнем.

Вот график нашего полинома, показывающий x -перехватов , которые являются корнями:

График f ( x ) = 4 x 3 — 3 x 2 -25 x — 6

Пример 2

Уравнение x 5 — 4 x 4 7 x 3 + 14 x 2 — 44 x + 120 = 0 можно разложить на множители (с использованием Wolfram | Alpha) и записывается как

( x — 2) ( x — 5) ( x + 3) ( x 2 + 4) = 0

Мы видим, что имеется 3 действительных корней `x = 2, 5, -3,` и 2 комплексных корней `x = ± 2j`, (где` j = sqrt (-1) `).

Итак, у нашего уравнения 5-й степени всего 5 корней, как и ожидалось.

На графике мы видим только три настоящих корня:

График y = x 5 — 4 x 4 7 x 3 + 14 x 2 — 44 x + 120

[Вам нужна доработка комплексных чисел? Перейти к комплексным числам.]

Пример 3

В предыдущем разделе 2.2− 5x — 6 = 0`.

Чтобы проверить это, подставьте в полином `x = -1`. Если это корень, то при подстановке вы должны получить значение «0».

Другой способ увидеть, что происходит, — это построить график полинома.

График y = x 3 + 2 x 2 — 5 x — 6

График показывает нам два других корня, −3 и 2.

Пример 4

Следующее полиномиальное уравнение было бы довольно сложно решить с помощью теорем об остатке и множителях.Решим это с помощью Wolfram | Alpha:

x 4 + 0,4 x 3 — 6,49 x 2 + 7,244 x — 2,112 = 0

Ответ

Wolfram | Результат Alpha:

Решить: x 4 + 0,4 x 3 — 6,49 x 2 + 7.244 x — 2,112 = 0,

Решение: {`x = -3.2`}, {` x = 1.2`}, {`x = 0.5`}, {`x = 1.1`}

Вот график:

График y = x 4 + 0,4 x 3 — 6,49 x 2 + 7,244 x — 2,112

Трудно увидеть три положительных корня. Вот эта часть снова, увеличенная для более четкого обзора:

График y = x 4 + 0,4 x 3 — 6,49 x 2 + 7.244 х — 2,112

Примечание: Полиномиальные уравнения не всегда имеют «хорошие» решения! (Под «хорошими решениями» я подразумеваю решения, которые являются целыми числами или простыми дробями.) Вот почему я считаю, что теоремы об остатках и факторах следует рассматривать как исторический подход, потому что вы можете использовать их только в том случае, если хотя бы некоторые из решений являются целыми числами. или простые дроби.

Если вы используете систему компьютерной алгебры (например, Wolfram | Alpha для решения этих задач, вы можете сделать это за секунды и перейти к чему-то более значимому, например, к приложениям.

Пример 5

Решите следующее полиномиальное уравнение с помощью системы компьютерной алгебры:

3 x 3 x 2 x + 4 = 0.

Ответ

3 x 3 x 2 x + 4, Решение: {`x = -1,0914`,` x≈0,71237 — 0,84509 i`, `x≈0,71237 + 0,84509 i` }

Мы видим, что есть одно реальное решение и 2 комплексных решения.

Проверив это графически, имеем:

График y = 3 x 3 x 2 x + 4

Мы видим, что существует только один (реальный) корень, близкий к x = -1, как и ожидалось.

Использование системы компьютерной алгебры для поиска корней

Мы использовали технологии, чтобы найти большинство вышеперечисленных корней. Это лучше, чем пытаться угадывать решения и затем делить многочлены. Используя компьютер, мы можем быстро найти корни либо графически, либо с помощью встроенного средства поиска корней, если оно доступно.

Используя график, мы можем легко найти корни полиномиальных уравнений, у которых нет «хороших» корней, например, следующее:

x 5 + 8,5 x 4 + 10 x 3 — 37,5 x 2 — 36 x + 54 = 0.

Корни уравнения — это просто перехваты x (т.е. где функция имеет значение «0»). Вот график функции:

График y = x 5 + 8.5 x 4 + 10 x 3 — 37,5 x 2 — 36 x + 54.

Мы видим, что решения следующие: x = -6, x = -3, x = -2, x = 1 и x = 1.5. (Увеличение масштаба близко к этим корням на графике подтверждает эти значения.)

Сложные корни

Что касается комплексных корней, применима следующая теорема:

Если коэффициенты уравнения `f (x) = 0` действительны и` a + bj` является комплексным корнем, то сопряженное ему `a — bj` также является корнем.

Подробнее о комплексных числах см .: Комплексные числа

Пример 6

В примере (2) выше у нас было 3 действительных корня и 2 комплексных корня. Эти сложные корни образуют комплексно-сопряженную пару,

x = 0-2 j и x = 0 + 2 j

Пример 7

Коэффициенты полинома x 3 + 7 x 2 + 17 x + 15 находятся с использованием системы компьютерной алгебры следующим образом:

x 3 + 7 x 2 + 17 x + 15 = ( x + 3) ( x + 2- j ) ( x + 2 + j )

Итак, корни

`x = −3`

`x = −2 + j` и

`x = −2 — j`

Имеется один действительный корень, а оставшиеся 2 корня образуют комплексно сопряженную пару.

Калькулятор полиномов 5-й степени

Составьте член простейшего полинома из заданных нулей. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Человек изучает «теорему о факторах», обычно во втором курсе алгебры, как способ найти все корни, являющиеся рациональными числами. person_outline Антон расписание 2018-03… Пятый полином 5-й степени — квинтика. Калькулятор полиномов — деление и умножение. Связанные калькуляторы. Многочлен может быть до пятой степени, поэтому у него должно быть максимум пять нулей.Калькулятор найдет степень, старший коэффициент и старший член заданной полиномиальной функции. Бесплатный калькулятор полиномиальных уравнений — пошаговое решение полиномиальных уравнений. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство. Калькулятор можно использовать для определения степени полинома. Составьте член простейшего полинома из заданных нулей. Вычисление степени многочлена. Многочлен 1-й степени линейный. Вам нужна подгонка по методу наименьших квадратов, которая будет сглаживать.Введите от одного до пяти нулей, разделенных пробелом. Калькулятор отображает… Найти корни многочленов еще никогда не было так просто! Введите многочлен: P (x) = Как вводить. Третий многочлен 3-й степени кубический. Уравнение четвертого порядка может иметь действительный корень или мнимый корень, что в сумме составляет четыре. Калькулятор дает действительные корни многочлена N-степени. Калькулятор полиномов пятой степени предоставляет учащимся исчерпывающий и исчерпывающий способ увидеть прогресс после окончания каждого модуля.(3x) `. Это многочлен со степенью 4, что означает, что наибольший показатель равен 4. Калькулятор полиномиальных корней Калькулятор полиномиальных корней найдет корни любого многочлена одним щелчком мыши. Данный калькулятор поможет вам решить полиномиальное уравнение 5-й степени. Компьютер может вычислить в режиме онлайн степень многочлена. Этот онлайн-калькулятор находит корни (нули) заданного многочлена. Введите от одного до пяти нулей, разделенных пробелом. Для полиномов степени меньше 5 возвращается точное значение корней.В общем, вы можете пропустить знак умножения, поэтому «5x» эквивалентно «5 * x». Составьте полином из нулей. Полином четвертой степени четвертой степени. Он использует аналитические методы для полиномов с 4 степенью или меньше и числовой метод для 5 и более степеней. … С 9 точками ваши данные не будут точно соответствовать многочлену 5-й степени. Онлайн-калькулятор уравнений четвертой степени используется для нахождения корней уравнений четвертой степени. Калькулятор полиномов — Сумма и разность. Показать инструкции. Возможность отображать рабочий процесс и подробное объяснение.Многочлен может быть до пятой степени, поэтому у него должно быть максимум пять нулей. Также можно научиться находить корни всех квадратичных многочленов, используя при необходимости квадратные корни (полученные из дискриминанта). Другие многочлены с такими же нулями можно найти, умножив простейший многочлен на множитель. Считается, что этот многочлен имеет два корня, оба равные 3. Чтобы найти многочлен 5-й степени, наиболее близкий к вашим точкам, существует метод, называемый наименьшими квадратами, и его много описаний в Интернете.Калькулятор синтетического деления полиномиального уравнения 5-й степени онлайн.

Кубическая формула

Кубическая формула

Кубическая формула
(Решите любое полиномиальное уравнение 3-й степени)

Я размещаю это в Интернете, потому что некоторые студенты могут
нахожу это интересным. Это легко можно было бы упомянуть в
много курсов математики для бакалавриата, хотя это не кажется
появиться в большинстве учебников, используемых для этих курсов.
Ни один из этих материалов я не обнаружил.-
ES

Вы должны знать, что решение ax 2 + bx + c = 0 равно

Аналогичная формула существует для многочленов степени
три: Решение ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 является

(Подобная формула была впервые опубликована Кардано в 1545 году.)
Или, короче,

х = {q + [q 2
+ (р-п 2 ) 3 ] 1/2 } 1/3
+ {Q — [q 2
+ (р-п 2 ) 3 ] 1/2 } 1/3
+ П

где

p = -b / (3a), q = p 3 + (bc-3ad) / (6a 2 ), r = c / (3a)

Но я , а не рекомендую вам запомнить эти формулы.

Помимо того, что это слишком сложно, там
другие причины, по которым мы не обучаем этой формуле
студентам-математикам. Одна из причин в том, что
мы стараемся не учить их сложным
числа. Комплексные числа (т. Е. Точки лечения
в самолете цифрами) — это более сложная тема,
лучше оставить для более продвинутого курса. Но тогда
только числа, которые нам разрешено использовать в расчетах
являются действительными числами (т.е. точками на линии).Это накладывает на нас некоторые ограничения — например,
мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного
номер. Теперь у формулы Кардана есть недостаток
что он может принести в игру такие квадратные корни
на промежуточных этапах вычислений, даже если те
числа не фигурируют в задаче или ответе на нее.

Например, рассмотрим кубическое уравнение
х 3 -15x-4 = 0. (Этот пример был
упомянутый Бомбелли в его книге в 1572 году.)
У этой проблемы есть настоящая
коэффициенты, и он имеет три действительных корня
за его ответы. (Подсказка: один из корней
небольшое положительное целое число; теперь ты можешь найти все
три корня?)
Но если мы применим к этому примеру формулу Кардано,
мы используем a = 1, b = 0, c = -15, d = -4, и мы находим, что
нам нужно извлечь квадратный корень из -109 в
итоговое вычисление. В конечном счете,
квадратные корни отрицательных чисел сократят
позже в вычислении, но это вычисление
не может быть понят изучающим математику без
дополнительное обсуждение комплексных чисел.

Аналогичная формула существует и для многочленов от
степень 4, но записывать гораздо хуже; Я не буду
даже попробуйте здесь.

Нет нет аналогичной формулы для многочленов степени
5. Я не имею в виду, что никто не нашел формулы
еще; Я имею в виду, что в 1826 году Абель доказал, что не может
быть такой формулой.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.