Решение уравнений 10 класс примеры и их решение: Урок 47. методы решения тригонометрических уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Содержание

Урок 47. методы решения тригонометрических уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
  • Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
  • Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
  • Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Задание 1.

Представьте в виде произведения:

Решение:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

.

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

.

Ответ: .

Задание 2.

Вычислите:

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

Ответ: 0,25

Задание 3.

Проверьте равенство:

Решение:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Теорема

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Пример 1.

Решить уравнение:

Решение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Пример3.

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

.

.

Вернемся к исходной переменной:

.

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Рассмотрим пример.

Пример 4.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

или .

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Пример 5.

Решите уравнение:

Решение:

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

.

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Решите уравнение:

Решение:

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

.

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Решите уравнение:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Получим, что

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Решите уравнение

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

.

,

.

.

, .

Решая эту систему, получим, что,  .

Ответ: ,  .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Решение:

Домножим обе части уравнения на :

.

Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1.

A=1

подсказка

B=2

замена

C=6

Период

Ответ:

Пример 2.

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

a=1 ВАРИАНТ

b=7 МНОЖИТЕЛЬ

c=7 СЛАГАЕМОЕ

Ответ:

Учебно-методическое пособие по алгебре «решение уравнений» (10-11 классы)

Введение

Иррациональные уравнения и неравенства играют важную роль в повышении математической культуры студентов. При их решении студенты встречаются с такими фактами и понятиями как появление посторонних корней, потеря корней, области допустимых значений, использование свойств монотонности. Они также должны владеть навыками тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, знать алгоритмы сведения иррациональных уравнений и неравенств к рациональным уравнениям и неравенствам и системам таких уравнений и неравенств.

Учебное пособие составлено на основе действующей учебной программы по элементарной математике. В нем рассмотрены основные методы и приемы решения различных классов иррациональных уравнений и неравенств; рассмотрены ситуации, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения, показано, как распознать и предотвращать их; подобраны примеры для самостоятельного решения.

Более подробно можно ознакомиться с теоретическим материалом из учебников, указанных в пособии.

1. Иррациональные уравнения и основные способы их решения

1.1. Основные понятия и предварительные замечания о решении иррациональных уравнений

Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень, называется иррациональным.

Прежде, чем приступить к решению сложных иррациональных уравнений, должны научиться решать простейшие иррациональные уравнения.


Простейшими иррациональными уравнениями считаются уравнения вида: , которые решаются возведением обеих частей в степень. При этом важно запомнить следующие утверждения:

1) Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же четную степень, то получится уравнение, являющееся следствием исходного;

2) В таком случае возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней;

3) Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от корней, то получится уравнение, равносильное исходному.

Причина приобретения посторонних корней состоит в том, что при возведении уравнения в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

Раз могут появиться посторонние корни, то необходимо сделать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не какие-то промежуточные.

Иногда при решении уравнений получаются громоздкие корни, такие корни проверять подстановкой сложно. В таком случае путем доказательства равносильности уравнений, получаемых на всех этапах решения, либо каким-то другим путем (с использованием области определения заданного уравнения, с обращением к промежуточным уравнениям и т.д.) делается соответствующий вывод.


Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат:




Получим: откуда,


Проверка: — верно


— неверно.

Значит, число х = -5 – не является корнем данного уравнения.

Ответ: -1.

1.2. Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений

Суть решения сложных иррациональных уравнений заключается в том, чтобы путем тождественных преобразований, применением того или иного метода решения, свести их к решению простейших иррациональных уравнений.

1) Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.


Пример 2. Решить уравнение





Решение. Перенесем один из корней в левую часть: . Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим: Разделим обе части уравнения на 2. Получим: Возведем опять обе части уравнения в квадрат, имеем — это уравнение является следствием исходного уравнения.



Решаем квадратное уравнение, получим,

Подставим каждый из этих корней в исходное уравнение.


(верно)


(неверно).

Ответ: 6.


Пример 3. Решить уравнение

Решение. Вынося за скобку общий множитель, имеем:



или



,


,


,


,


,




Проверкой убеждаемся, что корнями уравнения будут числа и


Ответ: ; 2.

2) Сведение к эквивалентной системе уравнений и неравенств



Возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к равносильной ему системе:


Неравенство в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает постороннее решение и позволяет обходиться без проверки.

Пример 4. Решить уравнение

Ответ: 0.

3) Метод «уединения корня»

При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить корень». Тогда, после возведения обеих частей уравнения в некоторую степень корень с одной стороны исчезнет.


Пример 5. Решить уравнение



Решение. Уединим корень Это уравнение равносильно системе


Оба эти корня являются посторонними для исходного уравнения, т.к.


Ответ:


Пример 6. Решить уравнение


Решение. Уединяя корень, получим:

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение:


— это уравнение является следствием исходного уравнения.

Возводя обе части и этого уравнения в квадрат, получим:



Откуда,


Проверка: (верно)


(неверно).

Ответ: 2.

4) Введение новой переменной

Удачно введенные новые переменные позволяют получить решение быстрее и проще. Иногда без этой замены решить задачу вообще невозможно. Посредством подстановки иногда удается привести иррациональное уравнение к рациональному.


Пример 7. Решить уравнение

Решение. Приведем уравнение к виду


Обозначим



Имеем, откуда



— не удовлетворяет условию


Тогда,


Оба найденных значения являются корнями заданного уравнения.

Ответ: 4; -1.

5) Сведение к эквивалентной системе рациональных уравнений







Уравнение вида где (- некоторые числа, а и — натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных , где и переходом к эквивалентной рациональной системе.


Пример 8. Решить уравнение


Решение. Введем новые переменные



Тогда Сложим оба уравнения и получим:

В итоге получаем систему уравнений:



Вернемся к начальной подстановке:

Ответ: 1; 2; 10.


Пример 9. Решить уравнение

Решение. Введем новые переменные:


(1)


Вычитая из первого уравнения второе, получим:

Имеем систему:



(2), т.к.

Возведем оба уравнения системы в квадрат, затем сложим их и получим:


Сложим уравнения системы (1). Имеем:


Получаем следующую систему: Откуда получаем:




Нетрудно угадать, что корнем будет Тогда разложим многочлен на множители. Имеем: или


D0 – нет


действительных корней. После проверки убеждаемся, что — корень уравнения.

Ответ: 2.

6) Умножение обеих частей уравнения на функцию

Иногда иррациональное уравнение удается решить проще, если обе части уравнения умножить на удачно подобранную функцию. При этом могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции.

Поэтому, требуется обязательное исследование получающихся значений.


Пример 10. Решить уравнение




Решение. Умножим обе части уравнения на функцию , которая является сопряженным для выражения Заметим, что нигде в нуль не обращается и не приведет к появлению посторонних решений.


Получим:




Решим уравнение


Уединим корень и получим: Возведем обе части уравнения в квадрат.



Заметим, что , то уравнение не имеет решение.

Ответ: .


Пример 11. Решить уравнение (1)


Решение. Умножим обе части уравнения на выражение сопряженное выражению


Получим:



Вынося за скобку, получим: (2)


Сложим уравнение (1) с уравнением (2), тогда

Возведем обе части уравнения в квадрат и получим уравнение:




Проверкой убеждаемся, что только является корнем уравнения, а и — посторонние решения.

Ответ: 4.

7) Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций

С успехом можно применить свойства элементарных функций и при решении иррациональных уравнений.

1. Использование монотонности функции




Если уравнение , где — возрастающая функция, а — убывающая функция и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удается нетрудно угадать корень, то он и будет решением данного уравнения.


Пример 12. Решить уравнение



Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, — единственный корень.

Ответ: 1.


Пример 13. Решить уравнение



Решение. Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить, что — корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, — единственный корень.

Ответ: 1.

2. Использование ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел ОДЗ.


Пример 14. Решить уравнение



Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям и , то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.


Пример 15. Решить уравнение




Решение. Конечно, это иррациональное уравнение можно решить путем традиционного возведения обеих частей в квадрат. Однако, найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество . Подставив в данное уравнение, приходим к выводу, что — корень исходного уравнения.


Ответ: .

3. Использование графиков функций

При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.


Пример 16. Решить уравнение




Решение. ОДЗ данного уравнения есть все х из промежутка Эскизы графиков функций и представлены на рисунке.

y


3

А(-1;2)


2


-2 -1 0 2 х




Проведем прямую у = 2. Из рисунка видно, что график функции f(x) лежит не ниже этой прямой, а график функции g(x) не выше. При этом эти графики касаются прямой у = 2 в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем а При этом, f(x) = 2 только для х = -1, а g(x) = 2 только для х = 0. Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

1.3. Системы иррациональных уравнений

При решении систем иррациональных уравнений применяются те же приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений.

Следует подчеркнуть, что во многих случаях, прежде, чем применить тот или иной метод решения систем, следует преобразовать каждое уравнение системы к возможно более простому виду.


Пример 17. Решить систему уравнений


Решение. Введем новую переменную для решения первого уравнения системы, т. е.


Откуда, Следует решить совокупность двух систем.


при




или Итак, получены 3 пары х и у, которые являются решением их системы:


Ответ:


Пример 18. Решить систему уравнений:

Решение. Упростим отдельно первое уравнение:




Обозначим где



Т. к. , получаем:





Т. к. то — не удовлетворяет уравнению


Переходя к системе имеем:


Сложим первое уравнение со вторым и получим:



Откуда


Подставим полученные значения у в уравнение

Проверкой убеждаемся, что решением системы являются две пары переменных.


Ответ:

Задания для самостоятельной работы:


1)


2)


3)


4)


5)


6)


7)


8)


9)


10)


11)


12)


13)


14)


15)


16)


17)


18)


19)


20)


21)


22)


23)


24)


25)


26)


27)


28)


29)


30)

2. Иррациональные неравенства


Неравенства вида называются простейшими иррациональными неравенствами.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем с учетом области определения, с оценкой знака левой и правой части неравенства.

Неравенства вида:


1)


2)


3)


4)


5)


6)


Пример 1. Решить неравенство



Решение. Область определения неравенства На множестве левая часть неравенства неотрицательна, а правая часть может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. В первом случае можно обе части неравенства возвести в квадрат (т.е. получится равносильное неравенство), а во втором этого делать нельзя, т.к. получается, что левая часть неотрицательна, а правая часть отрицательна, а это противоречит смыслу неравенства.

Итак, неравенство равносильно следующей системе:


Ответ:


Пример 2. Решить неравенство


Решение. Область определения

Как и в предыдущем случае, правая часть может быть неотрицательна и отрицательна. Оба случая не противоречат смыслу неравенства. Таким образом, неравенство равносильно совокупности систем:


Ответ:


Пример 3. Решить неравенство

Решение. Возведя неравенство в третью степень, получим неравенство, равносильное данному.


Ответ:


Пример 4. Решить неравенство

Решение. Решение неравенства равносильно совокупности двух систем:



Ответ:


Пример 5. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:


Объединяя оба решения, получим:


Пример 6. Решить неравенство


Решение. Область определения неравенства Упростим левую часть неравенства.



Обозначим тогда имеем квадратное неравенство


Ответ:


Пример 7. Решить неравенство


Решение. Область определения неравенства:


Обозначим



Имеем, т.к.




1) Из При подкоренное выражение положительно, поэтому возведем обе части неравенства в квадрат и получим:


Ответ:


Пример 8. Решить неравенство


Решение. Область определения неравенства множество всех действительных чисел.


Обозначим



Тогда, имеем:



Это выполнимо при Тогда




(ОДЗ, ).


Тогда,


Ответ:

Задания для самостоятельной работы:


1)


2)


3)


4)


5)


6)


7)


8)


9)


10)


11)


12)


13)


14)


15)


16)


17)


18)


19)


20)


21)


22)


23)

Список литературы:

1. Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл.ср.школы. – М.: Просвещение, 2013. – 254 с.

2. Болтянский В. Г. Математика: лекции, задачи, решения. – литва: Альфа, 2006. – 637 с.

3. Вавилов В. В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. – М.: «Наука», 1987. – 144 с.

4. Виленкин Н. Я и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2008. – 288 с.

5. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. – М.: Просвещение, 2007. – 157 с.

6. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. ср.школы. – М.: Просвещение, 2001. – 206 с.

7. Никольский С. М. и др. Алгебра и начала анализа. 11 кл. – М.: Просвещение, 2006. – 223 с.

8. Симонов А. Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 2008. – 30 с.

«Решение уравнений» (10 класс, повторение)

Тема: Решение уравнений

Тип: урок систематизации и обобщения учебного материала

1. Цель (интегрирующая): Усвоить алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений и применять его на практике.

Задачи: Повторить виды уравнений и способы их решения. Умение извлекать информацию из уравнений.

Цели урока (УУД):

Предметные:

— повторить вид линейного уравнения

— понимать что такое квадратное уравнение

— распознавать квадратное уравнение среди других уравнений

— находить коэффициенты квадратного уравнения

— составлять квадратное уравнение по его коэффициентам

— понимать что такое приведенное квадратное уравнение

— понимать что такое неполное квадратное уравнение

— знать виды неполных квадратных уравнений

— устанавливать взаимосвязь между видом неполного квадратного уравнения и его корнями

— находить корни неполных квадратных уравнений

— формировать навыки решения уравнений с параметрами

— применять полученные знания при решении разных задач

Метапредметные:

  1. Регулятивные

понимать цель урока

-уметь планировать работу на уроке

-уметь формулировать учебную проблему

-уметь выстраивать последовательность действий при выполнении заданий

— развивать понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

— уметь корректировать свои знания

— уметь оценивать уровень владения учебным действием (отвечать на вопрос «что я не знаю и не умею? Чему надо научиться?»)

2 ) Познавательные

-уметь осмысленно читать и понимать текст;

— уметь проговаривать определение;

— уметь записывать квадратные уравнения в знаково-символической форме (буквенная запись)

— уметь анализировать задачу

— уметь классифицировать неполные квадратные уравнения

-уметь осознанно строить речевое высказывание в устной форме

-уметь отвечать на вопросы, формулировать вопросы

-уметь находить в тексте учебника нужную информацию

-уметь записать ответ

3) Коммуникативные

-уметь планировать и осуществлять учебное сотрудничество с учителем и со сверстниками в группе

-уметь определять цели участников работы, способы взаимодействия, планировать общие способы работы

-уметь работать в диалоге, договариваться друг с другом

— уметь точно и грамотно выражать свои мысли, отстаивать свою точку зрения

— уметь слушать и слышать собеседника, учителя, уметь рассуждать

-уметь понимать и принимать иную позицию

4) Межпредметные

— связывать между собой предметные знания по физике и математике

Личностные:

-уметь быть настойчивым в достижении цели

— уметь быть готовым к самообразованию (самостоятельно находить нужную информацию)

— уметь быть позитивным

— уметь быть эргономичным

— тренировать внимание и память;

-понимать причины успеха/неуспеха в учебной деятельности

— осуществлять самоанализ и самоконтроль своей деятельности и достигнутых результатов

-обосновывать свои целевые приоритеты на основе оценки своих возможностей, общечеловеческих ценностей, планов на будущее

2. Актуализация знаний.

Разгадайте анаграмму и определите, какое слово лишнее (1 слайд). Что связывает оставшиеся слова между собой? 

 

Ответ (дает кто-нибудь из обуч-я): задача, круг, уравнение, неизвестная. Лишнее слово – круг – геометрическая фигура, остальные слова не являются названиями геометрических фигур. Связь между оставшимися словами следующая: условие задачи содержит неизвестную величину, значение которой нужно определить, уравнение тоже содержит неизвестную величину; многие задачи решают, составляя по условию уравнение.

Учитель: на уроках математики вы действительно учитесь решать задачи, в том числе и при помощи составления уравнения. Уравнения у вас могут получиться самые разные, поэтому так важно умение решать любые уравнения.

Как бы вы записали тему урока?

(отвечают ученики)

Тема урока «Решение уравнений» (записывается тема урока).

3. Сегодня мы повторим часто встречаемые виды уравнений и методы их решения.

Перед вами виды уравнений (2 слайд)

Часто линейное уравнение называют уравнением 1-й степени, т.к. показатель над x =1. Графиком

функции ax+b=0 является прямая линия (2 слайд).

Квадратным уравнением называется уравнение 2-й степени (наибольший показатель = 2). Графиком является парабола

Вопрос к классу: Что значит решить кв. ур-е (отвечают обуч-я) – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Откройте учебники на стр. 120 (Алгебра, 8 класс, авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова) и давайте разберем упр. № 512. Обучающиеся разбирают упражнение.

Далее из представленных уравнений выписать на доске линейные и квадратные уравнения (3 слайд):

1) 5х2-5х+1=0; 2) 7х2-13=0; 3) 3х2+1=0; 4) 5х-1=0; 5) –х32-1=0

Далее представить решение уравнения с ошибкой, сказав: «давайте сейчас посмотрим, как решается линейное уравнение и в конце сделать проверку»

Решим линейное уравнение

5х-1=4

5х=4-1

5х=3

х=(кто-нибудь из обуч-я решает правильно и записывают все ученики в тетрадь)

Открываем учебник на 118 стр. и кто-нибудь зачитывает определение кв. ур-я.

Найти на той же странице опр. неполного кв. ур-я (ученик находит). Записать 3 вида неполных ур-й (на 4 слайде).

Вернемся к общему виду. (показать на 4 слайде)

Далее поговорим о коэффициентах на примере (на 5 слайде показать с появлением по щелчку)

Найдите корни уравнения:

a) 2х2-х+3,5=0

Решение:

а= , b= , с= ,

а=2, b=-1, с=3,5,

D=b2-4ac=1-4*2*3,5=1-28=-27

Решает ученик и выходит к доске:

б) 3х2+8х-11=0

а=3, b=8, с=-11,

D=b2-4ac=82-4*3*(-11)=196

Очень важно уметь определять коэффициенты. В этом году вы углубленно будете изучать на физике виды движения, которые отличаются. Уравнение равноускоренного движения например из физики , где

(слайд 6)

Если, например, a=6, ν0=5, s0=20, то….. s=3t2+5t+20 (запишет ученик, а потом показать на слайде 6 с появлением)

Способов решения кв. ур-й множество (показать на 7 слайде графический способ). Мы будем решать ур-я по универсальному правилу, которое применимо к полным и неполным ур-м. Неполные ур-я обычно решают удобным способом.

Далее обучающиеся решают тест (Приложение 1)

За три минуты до конца проводится рефлексия по вопросам:

1) Что нового узнали на уроке, что вспомнили?

2) Какие трудности испытали при решении уравнений?

3) Пожелания на следующий урок!

Тест:

Ф. И.О._______________________

  1. Из предложенных уравнений укажите квадратное

А) 2х3+ 5х-4=0 В) 3х2+х+7=0

Б) 4х+2=0 Г) 3х2+6х4-7=0

2. Укажите полное квадратное уравнение

А) 5х2+8=0 В)5х2+6х=0

Б) 5х2+6х-8=0 Г) 5х2=0

3. Назовите верно указанные коэффициенты квадратного уравнения

2+5х-7=0

А) а=6 в=3 с=-7 В) а=-7 в=5 с=3

Б) а=3 в=5 с=7 Г) а=3 в=5 с=-7

4. Назовите количество корней квадратного уравнения, если D=16

А) 1 корень В) 2 корня

Б) нет корней Г) 3 корня

5. Найдите корни уравнения x2+7x-18=0 (записать полное решение)

Ответ: _________________

Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения  и  равносильны. Их корни совпадают:  или 

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Решим уравнение:

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену  Тогда 

С новой переменной уравнение стало проще:

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

Корни этого уравнения:  или 

Вернемся к переменной 

Если , то 

Отсюда 

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если , то  Получим квадратное уравнение для :

У этого уравнения два корня:  или  Это ответ.

Решим уравнение

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки 

Сделаем замену , тогда .

Тогда:

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

И еще одна замена: .

Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что

;  отсюда  ,  .

Если , то нет решений.

Если , то Тогда или

Если , то .

Если , то .

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

3. Решите уравнение

Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

.

Получили квадратное уравнение:

Если , то

Если , то

Ответ:

Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.

4. Решите уравнение

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:

.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

Ответ: -2; 1; 4.

У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.

Такой знак означает «или».

Запись читается как « или или ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

5. Решите уравнение

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

, где .

Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

Ответ: 2; 3; 4.

6. Решите уравнение

группируем слагаемые:

А если сделать замену ?

Тогда .

Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!

Если , то , нет решений.

Если , то

, .

Ответ: .

7. Решите уравнение

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим.

Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.

Теперь группируем слагаемые:

Сделаем замену .

Тогда

Получили уравнение . Легко!

Ответ:

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

§21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

         Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.


Задача 1
. Решите систему уравнений

 

 Из первого уравнения находим    и подставляем во второе.        

Получаем   

Отсюда

     

           Замечание.  Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной  системы.

Действительно, в таком случае имеем 

Тогда, например, при n = 0 получаем 

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:  

                                               

Но эти пары значений х и у не являются решениями  заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.    

 Поэтому следует запомнить:

            Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со  знаком «–».

 

            Задача 2. Решите систему уравнений

            

  Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

  

 Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

            

 Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

         Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

 

Вопросы для контроля

  1.  Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
  2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений   мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

 

Упражнения

        Решите систему уравнений (1–8).

 

          

 

 

10 класс. Алгебра

01k.

Формулы приведения относятся к тригонометрической функции, которая использует периодичность для преобразования тригонометрической функции с относительно

10 класс. Алгебра.

02.1k.

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования. Примеры. Найти производные функций. 1. y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9.

10 класс. Алгебра.

0217

На предыдущих занятиях мы решали тригонометрические неравенства следующих видов: sint<a (10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1.) sint>

10 класс. Алгебра.

0221

На предыдущих занятиях мы решали графическим способом тригонометрические неравенства вида: sint<a (10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1.) sint>

10 класс. Алгебра.

097

На предыдущих трех занятиях по решению тригонометрических неравенств графическим способом мы рассмотрели неравенства вида: sint<a («

10 класс. Алгебра.

0104

На предыдущих двух занятиях по решению тригонометрических неравенств графическим способом мы рассмотрели решения неравенств вида: sint<

10 класс. Алгебра.

0104

На прошлом занятии «10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1» мы решили три неравенства вида sint<a. На этом уроке мы рассмотрим

10 класс. Алгебра.

0144

На этом и последующих занятиях мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим три тригонометрических

10 класс. Алгебра.

02.5k.

Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х0.  Для наглядности используем график из предыдущего урока 10.3. («

10 класс. Алгебра.

11.6k.

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх.

Тест по алгебре Решение уравнений (7 класс) онлайн


Сложность: знаток.Последний раз тест пройден более 24 часов назад.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

  1. Вопрос 1 из 10

    Решите уравнение: -5х — 3 = -13

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 77% ответили правильно
    • 77% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Следующий вопросОтветить

  2. Вопрос 2 из 10

    Соберите в левой части уравнения 2х + 6 = -3х — 10 все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой — не содержащие неизвестное

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 72% ответили правильно
    • 72% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  3. Вопрос 3 из 10

    Чему равен корень уравнения -х — 3 = -8 + 7х?

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 79% ответили правильно
    • 79% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  4. Вопрос 4 из 10

    Решите уравнение: 5,3х + 7,8 = -4,7х — 7,8

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 78% ответили правильно
    • 78% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  5. Вопрос 5 из 10

    Какое из чисел является корнем уравнения -8х = х2 +16?

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 68% ответили правильно
    • 68% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  6. Вопрос 6 из 10

    Решите уравнение -9х + 1 = х — 6

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 61% ответили правильно
    • 61% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  7. Вопрос 7 из 10

    Чему равен корень уравнения 1,6(5х — 1) = 1,8х — 4,7?

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 62% ответили правильно
    • 62% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  8. Вопрос 8 из 10

    При каком значении а выражение 5а + 1 на 6 больше выражения 4 — 7а

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 60% ответили правильно
    • 60% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  9. Вопрос 9 из 10

    Корнем уравнения 12 — 0,8у = 26 + 0,6у является:

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 66% ответили правильно
    • 66% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  10. Вопрос 10 из 10

    Найдите корень уравнения: 5х — 11 = 2х + 7

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 53% ответили правильно
    • 53% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

    

  • Людмила Мочалова

    6/10

  • Дмитрий Геймуров

    9/10

  • Тамара Перепелица

    9/10

  • Александр Удовиченко

    9/10

  • Дима Беда

    9/10

  • Макс Ольденбургер

    10/10

  • Артем Калашников

    9/10

  • Артём Горшков

    8/10

  • Константин Никитич

    10/10

  • Василий Головин

    7/10

ТОП-3 тестакоторые проходят вместе с этим

Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.9. Всего получено оценок: 563.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

Решение линейных уравнений | Уравнения и неравенства

Упражнение 4.1

\ begin {align *}
2г — 3 & = 7 \\
2л & = 10 \\
y & = 5
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
2c & = c — 8 \\
c & = -8
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
3 & = 1 — 2c \\
2c & = 1 — (3) \\
2c & = -2 \\
c & = \ frac {-2} {2} \\
& = -1
\ end {align *}

\ begin {align *}
4b +5 & = -7 \\
4b & = -7 — (5) \\
4b & = -12 \\
b & = \ frac {-12} {4} \\
& = -3
\ end {align *}

\ begin {align *}
-3y & = 0 \\
у & = 0
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
16л + ​​4 & = -10 \\
16лет & = -14 \\
y & = — \ frac {14} {16} \\
& = — \ frac {7} {8}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
12лет + 0 & = 144 \\
12лет & = 144 \\
y & = 12
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
7 + 5л & = 62 \\
5лет & = 55 \\
y & = 11
\ end {выровнять *}

\ (55 = 5x + \ frac {3} {4} \)

\ begin {align *}
55 & = 5x + \ frac {3} {4} \\
220 & = 20х + 3 \\
20x & = 217 \\
х & = \ frac {217} {20}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
5х & = 2х + 45 \\
3x & = 45 \\
х & = 15
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
23х — 12 & = 6 + 3х \\
20x & = 18 \\
x & = \ frac {18} {20} \\
& = \ frac {9} {10}
\ end {выровнять *}

\ (12 — 6x + 34x = 2x — 24 — 64 \)

\ begin {align *}
12 — 6x + 34x & = 2x — 24 — 64 \\
12 + 28x & = 2x — 88 \\
26x & = -100 \\
x & = — \ frac {100} {26} \\
& = — \ frac {50} {13}
\ end {выровнять *}

\ (6x + 3x = 4-5 (2x — 3) \)

\ begin {align *}
6x + 3x & = 4-5 (2x — 3) \\
9x & = 4 — 10x + 15 \\
19x & = 19 \\
х & = 1
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
18 — 2р & = р + 9 \\
9 & = 3п \\
p & = 3
\ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {4} {p} = \ dfrac {16} {24} \)

\ begin {align *}
\ frac {4} {p} & = \ frac {16} {24} \\
(4) (24) & = (16) (p) \\
16p & = 96 \\
p & = 6
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
— (- 16 — п) & = 13п — 1 \\
16 + п & = 13п — 1 \\
17 & = 12п \\
p & = \ frac {17} {12}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
3f — 10 & = 10 \\
3f & = 20 \\
f & = \ frac {20} {3}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
3f + 16 & = 4f — 10 \\
f & = 26
\ end {выровнять *}

\ (10f + 5 = -2f -3f + 80 \)

\ begin {align *}
10f + 5 & = -2f — 3f + 80 \\
10f + 5 & = -5f + 80 \\
15f & = 75 \\
f & = 5
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
8 (ф — 4) & = 5 (ф — 4) \\
8f — 32 & = 5f — 20 \\
3f & = 12 \\
f & = 4
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
6 & = 6 (f + 7) + 5f \\
6 & = 6f + 42 + 5f \\
-36 & = 11f \\
f & = — \ frac {36} {11}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
-7x & = 8 (1 — х) \\
-7x & = 8 — 8x \\
х & = 8
\ end {выровнять *}

\ (5 — \ dfrac {7} {b} = \ dfrac {2 (b + 4)} {b} \)

\ begin {align *}
5 — \ frac {7} {b} & = \ frac {2 (b + 4)} {b} \\
\ frac {5b — 7} {b} & = \ frac {2b + 8} {b} \\
5b — 7 & = 2b + 8 \\
3b & = 15 \\
b & = 5
\ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {x + 2} {4} — \ dfrac {x — 6} {3} = \ dfrac {1} {2} \)

\ begin {align *}
\ frac {x + 2} {4} — \ frac {x — 6} {3} & = \ frac {1} {2} \\
\ frac {3 (x + 2) — 4 (x — 6)} {12} & = \ frac {1} {2} \\
\ frac {3x + 6 — 4x + 24} {12} & = \ frac {1} {2} \\
(-x + 30) (2) & = 12 \\
-2x + 60 & = 12 \\
-2x & = -48 \\
х & = 24
\ end {выровнять *}

\ (1 = \ dfrac {3a — 4} {2a + 6} \)

Обратите внимание, что \ (a \ neq — -3 \)

\ begin {align *}
1 & = \ frac {3a — 4} {2a + 6} \\
2а + 6 & = 3а — 4 \\
а & = 10
\ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {2-5a} {3} — 6 = \ dfrac {4a} {3} +2 — a \)

\ begin {align *}
\ frac {2-5a} {3} — 6 & = \ frac {4a} {3} +2 — a \\
\ frac {2-5a} {3} — \ frac {4a} {3} + a & = 8 \\
\ frac {2-5a — 4 a + 3a} {3} & = 8 \\
2 — 6а & = 24 \\
6а & = -22 \\
a & = — \ frac {22} {6}
\ end {выровнять *}

\ (2 — \ dfrac {4} {b + 5} = \ dfrac {3b} {b + 5} \)

Примечание \ (b \ neq -5 \)

\ begin {align *}
2 — \ frac {4} {b + 5} & = \ frac {3b} {b + 5} \\
2 & = \ frac {3b + 4} {b + 5} \\
2b + 10 & = 3b + 4 \\
b & = 6
\ end {выровнять *}

\ (3 — \ dfrac {y — 2} {4} = 4 \)

\ begin {align *}
3 — \ frac {y — 2} {4} & = 4 \\
— \ frac {y — 2} {4} & = 1 \\
-у + 2 & = 4 \\
y & = -2
\ end {выровнять *}

\ (\ text {1,5} x + \ text {3,125} = \ text {1,25} x \)

\ begin {align *}
\ text {1,5} x + \ text {3,125} & = \ text {1,25} x \\
\ text {1,5} x — \ text {1,25} x & = — \ text {3,125} \\
\ text {0,25} x & = — \ text {3,125} \\
х & = — \ текст {12,5}
\ end {выровнять *}

\ (\ текст {1,3} (\ текст {2,7} х + 1) = \ текст {4,1} — х \)

\ begin {align *}
\ text {1,3} (\ text {2,7} x + 1) & = \ text {4,1} — x \\
\ text {3,51} x + \ text {1,3} & = \ text {4,1} — x \\
\ text {4,51} x & = \ text {2,8} \\
x & = \ frac {\ text {2,8}} {\ text {4,51}} \\
& = \ frac {280} {451}
\ end {выровнять *}

\ (\ текст {6,5} х — \ текст {4,15} = 7 + \ текст {4,25} х \)

\ begin {align *}
\ text {6,5} x — \ text {4,15} & = 7 + \ text {4,25} x \\
\ text {2,25} x & = \ text {11,15} \\
x & = \ frac {\ text {11,15}} {\ text {2,25}} \\
& = \ frac {\ text {1 115}} {225} \\
& = \ frac {223} {45}
\ end {выровнять *}

\ (\ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 = 0 \)

\ begin {align *}
\ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 & = 0 \\
\ frac {2 + 3} {6} P & = 10 \\
5П & = 60 \\
P & = 12
\ end {выровнять *}

\ (1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) = 0 \)

\ begin {align *}
1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) & = 0 \\
\ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {3} {2} (3x) — \ frac {3} {2} (2) & = 0 \\
\ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {9} {2} x — \ frac {6} {2} & = 0 \\
\ frac {5 — 18} {4} x + \ frac {-5 — 12} {4} & = 0 \\
\ frac {-13} {4} x & = \ frac {17} {4} \\
-13x & = 17 \\
х & = — \ frac {17} {13}
\ end {выровнять *}

\ (\ frac {1} {5} (x- 1) = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \)

\ begin {align *}
\ frac {1} {5} (x- 1) & = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \\
\ frac {1} {5} x- \ frac {1} {5} & = \ frac {1} {3} x- \ frac {2} {3} + 3 \\
— \ frac {1} {5} + \ frac {2} {3} — 3 & = \ frac {2} {15} x \\
— \ frac {38} {15} & = \ frac {2} {15} x \\
х & = — \ frac {38} {2} \\
х & = -19
\ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {5} {2a} + \ dfrac {1} {6a} — \ dfrac {3} {a} = 2 \)

\ begin {align *}
\ frac {5} {2a} + \ frac {1} {6a} — \ frac {3} {a} & = 2 \\
\ frac {5 (3) + 1-3 (6)} {6a} & = 2 \\
\ frac {15 + 1 — 18} {6a} & = 2 \\
\ frac {-2} {6a} & = 2 \\
-2 & = 12а \\
а & = — \ frac {1} {6}
\ end {выровнять *}

Mathematics_part_ _i_ (решения) для класса 10 Math Chapter 1

Страница № 4:
Вопрос 1:

Выполните следующее действие, чтобы решить одновременные уравнения.
5 x + 3 y = 9 —— (I)
2 x + 3 y = 12 —— (II)

Ответ:

Отказ от ответственности: в Q есть ошибка. В (II) должно было быть 2 x — 3 y = 12
5 x + 3 y = 9 —— (I)
2 x — 3 y = 12 —— (II)
Сложить (I) и (II)
7 x = 21
x = 3
Положить значение x = 3 в (I) получаем
53 + 3y = 9⇒15 + 3y = 9⇒3y = 9-15 = -6⇒y = -2
Таким образом, ( x , y ) = (3, — 6).

Страница № 5:
Вопрос 2:

Решите следующие одновременные уравнения.
(1) 3 a + 5 b = 26; a + 5b = 22
(2) x + 7 y = 10; 3 x — 2 y = 7
(3) 2 x — 3 y = 9; 2 x + y = 13
(4) 5 м — 3 n = 19; м — 6 n = –7
(5) 5 x + 2 y = –3; x + 5 y = 4
(6) 13x + y = 103; 2x + 14y = 114
(7) 99 x + 101 y = 499; 101 x + 99 y = 501
(8) 49 x — 57 y = 172; 57 x — 49 y = 252

Ответ:

(1) 3 a + 5 b = 26; ….. (I)
a + 5b = 22 ….. (II)
Вычитание (II) из (I)
2 a = 4
a = 2
Подставление значения из a = 2 дюйма (II)
5b = 22-2 = 20
b = 205 = 4
Таким образом, a = 2 и b = 4.

(2) x + 7 y = 10; ….. (I)
3 x -2 y = 7….. (II)
Умножение (I) на 3
3 x + 21 y = 30; ….. (III)
3 x -2 y = 7 ….. (IV)
Вычитая (IV) из (III), получаем
23 y = 23
y = 1
Подставляя значение y в (IV), получаем
3 x — 2 = 7
⇒3 x = 7 + 2 = 9
⇒3 x = 9
x = 3
Таким образом, ( x, y ) = (3, 1)

(3) 2 x — 3 y = 9….. (I)
2 x + y = 13 ….. (II)
Вычитая (II) из (I), получаем
-3 y — y = 9-13
⇒-4y = -4⇒y = 1
Подставляя это значение в (I), получаем
2x-31 = 9⇒2x = 9 + 3 = 12⇒x = 122 = 6
Таким образом, ( x, y ) = (6, 1)

(4) 5 м — 3 n = 19 ….. (I)
м — 6 n = –7 ….. (II)
Умножая (I) на 2, получаем
10 m -6 n = 38….. (III)
m — 6 n = –7 ….. (IV)
Вычитая (IV) из (III), получаем
10m-m-6n — 6n = 38- -7⇒9m = 45⇒m = 459 = 5
Подставляя значение m = 5 в (II), получаем
5-6n = -7⇒-6n = -7-5⇒-6n = -12⇒n = -12-6 = 2
Таким образом, (m, n) = (5, 2).

(5) 5 x + 2 y = –3 ….. (I)
x + 5 y = 4 ….. (II)
Умножить (II) на 5 получаем
5 x + 25 y = 20….. (III)
Вычитая (III) из (I), получаем
5x-5x + 2y-25y = -3-20⇒-23y = -23⇒y = -23-23 = 1
Подставляем значение из y = 1 в (II) получаем
x + 51 = 4⇒x + 5 = 4⇒x = 4-5 = -1
Таким образом, ( x, y ) = (−1, 1)

(6)
13x + y = 103 ….. I2x + 14y = 114 ….. (II)
Умножить (I) на 3 и (II) на 4
x + 3y = 10 .. … III8x + y = 11 ….. IV
Умножаем (IV) на 3
24 x + 3 y = 33….. (V)
Вычитание (V) из (III)
x-24x + 3y-3y = 10-33⇒-23x = -23⇒x = 1
Подставляем значение x = 1 в ( III)
1 + 3y = 10⇒3y = 10-1 = 9⇒y = 93 = 3
Таким образом, ( x, y ) = (1, 3)

(7) 99 x + 101 y = 499 ….. (I)
101 x + 99 y = 501 ….. (II)
Сложение (I) и (II)
200x + 200y = 1000⇒x + y = 5 ….. (III)
Вычитание (II) из (I)
99x-101x + 101y-99y = 499-501⇒-2x + 2y = -2⇒-x + y = -1….. IV
Складывая (III) и (IV)
x + y = 5-x + y = -1⇒2y = 4⇒y = 2
Подставляя значение y = 2 в (III), мы получаем
x + 2 = 5⇒x = 5-2 = 3
Таким образом, ( x, y ) = (3, 2)

(8) 49 x — 57 y = 172 … .. (I)
57 x — 49 y = 252 ….. (II)
Сложение (I) и (II)
49x + 57x-57y-49y = 172 + 252⇒106x-106y = 424⇒xy = 4 ….. III
Вычитая (II) из (I), получаем
49x-57y-57y — 49y = 252-172⇒-8x-8y = -80⇒-xy = -10 ⇒x + y = 10….. IV
Складывая (III) и (IV)

xy = 4x + y = 10⇒2x = 14⇒x = 7
Подставляя значение x = 7 в (IV), получаем
7+ y = 10⇒y = 10-7⇒y = 3
Таким образом, ( x, y ) = (7, 3).

Страница № 8:
Вопрос 1:

Заполните следующую таблицу, чтобы нарисовать график уравнений —
(I) x + y = 3 (II) x y = 4

x + y = 3
x 3 0 0
y 0 5 3
( x , y ) (3, 0) 0 (0, 3)
x y = 4
x 0 –1 0
y 0 0 –4
( x , y ) 0 0 (0, –4)
Ответ:
x + y = 3
x 3 -2 0
y 0 5 3
( x , y ) (3, 0) -2, 5 (0, 3)
x y = 4
x 4 –1 0
y 0 -5 –4
( x , y ) 4,0 -1, -5 (0, –4)

Страница № 8:
Вопрос 2:

Решите следующие одновременные уравнения графически.
(1) x + y = 6; x y = 4
(2) x + y = 5; x y = 3
(3) x + y = 0; 2 x y = 9
(4) 3 x y = 2; 2 x y = 3
(5) 3 x — 4 y = –7; 5 x — 2 y = 0
(6) 2 x — 3 y = 4; 3 y x = 4

Ответ:

(1) x + y = 6;

x y = 4

Точка пересечения двух линий — (5, 1).

(2) x + y = 5

x y = 3

Точка пересечения двух прямых — (4, 1)
(3) x + y = 0

2 x y = 9

Точка пересечения двух прямых — (3, −3).

(4) 3 x y = 2

2 x y = 3

Точка пересечения двух прямых — (−1, −5).

(5) 3 x — 4 y = –7

x 1 0 −2,3
y 2,5 1,75 0

5 x -2 y = 0

Точка пересечения двух прямых — (1, 2.5).

(6) 2 x — 3 y = 4

3 y x = 4

Точка пересечения двух прямых — (8, 4).

Страница № 16:
Вопрос 1:

Заполните пропуски правильным номером

3 24 5 = 3 × — × 4 = –8 =

Ответ:

3 24 5 = 35-24 = 15-8 = 7
Таким образом, имеем
3 24 5 = 3 × 5 — 2 × 4 = 15 –8 = 7

Страница № 16:
Вопрос 2:

Найдите значения следующих определителей.

(1) -1 7 2 4

(2) 5 3-7 0

(3) 73533212

Ответ:

(1) -1 7 2 4

= -14-72 = -4-14 = -18

(2) 5 3-7 0 = 5 × 0-3 × -7 = 0 + 21 = 21

(3) 73533212 = 73 × 12-53 × 32 = 76-52 = 7-156 = -86 = -43

Страница № 16:
Вопрос 3:

Решите следующие одновременные уравнения, используя правило Крамера.
(1) 3 x — 4 y = 10; 4 x + 3 y = 5
(2) 4 x + 3 y — 4 = 0; 6 x = 8 — 5 y
(3) x + 2 y = –1; 2 x — 3 y = 12
(4) 6 x — 4 y = –12; 8 x — 3 y = –2
(5) 4 м + 6 n = 54; 3 m + 2 n = 28
(6) 2x + 3y = 2; х-у2 = 12

Ответ:

(1) 3 x — 4 y = 10
4 x + 3 y = 5
D = 3-443 = 3 × 3—4 × 4 = 9 + 16 = 25Dx = 10 -453 = 10 × 3—4 × 5 = 30 + 20 = 50Dy = 31045 = 3 × 5-10 × 4 = 15-40 = -25
x = DxD = 5025 = 2y = DyD = -2525 = -1x , y = 2, -1

(2) 4 x + 3 y — 4 = 0; 6 x = 8-5 y
D = 4365 = 4 × 5-6 × 3 = 20-18 = 2Dx = 4385 = 4 × 5-3 × 8 = 20-24 = -4Dy = 4468 = 4 × 8-6 × 4 = 32-24 = 8

x = DxD = -42 = -2y = DyD = 82 = 4x, y = -2,4

(3) x + 2 y = — 1; 2 x — 3 y = 12
D = 122-3 = 1 × -3-2 × 2 = -3-4 = -7Dx = -1212-3 = -1 × -3-2 × 12 = 3-24 = -21Dy = 1-1212 = 1 × 12—1 × 2 = 12 + 2 = 14
x = DxD = -21-7 = 3y = DyD = 14-7 = -2x, y = 3, -2

(4) 6 x — 4 y = –12; 8 x — 3 y = –2

D = 6-48-3 = 6 × -3-4 × 8 = -18 + 32 = 14Dx = -12-4-2-3 = — 12 × -3—4 × -2 = 36-8 = 28Dy = 6-128-2 = 6 × -2—12 × 8 = -12 + 96 = 84
x = DxD = 2814 = 2y = DyD = 8414 = 6x, y = 2,6

(5) 4 м + 6 n = 54; 3 м + 2 n = 28
D = 4632 = 4 × 2-6 × 3 = 8-18 = -10Dx = 546282 = 54 × 2-6 × 28 = 108-168 = -60Dy = 454328 = 4 × 28-54 × 3 = 112-162 = -50
x = DxD = -60-10 = 6y = DyD = -50-10 = 5x, y = 6,5

(6) 2x + 3y = 2; x-y2 = 12
D = 231-12 = 2 × -12-3 × 1 = -1-3 = -4Dx = 2312-12 = 2 × -12-3 × 12 = -1-32 = -52Dy = 22112 = 2 × 12-2 × 1 = 1-2 = -1
x = DxD = -52-4 = 58y = DyD = -1-4 = 14x, y = 58,14

Страница № 19:
Вопрос 1:

Решите следующие одновременные уравнения.

1 2x-3y = 15; 8x + 5y = 772 · 10x + y + 2x-y = 4; 15x + y-5x-y = -23 27x-2 + 31y + 3 = 85; 31x-2 + 27y + 3 = 894 13x + y + 23x-y = 34; 123x + y-123x-y = -18

Ответ:

1 2x-3y = 15; 8x + 5y = 77
Пусть 1x = u и 1y = v
Итак, уравнение принимает вид
2u-3v = 15 ….. I8u + 5v = 77 ….. II
Умножьте (I) на 4 we получаем
8u-12v = 60 ….. III
(II) — (III)
8u-8u + 5v — 12v = 77-60⇒17v = 17⇒v = 1 Подставляем значение v в I2u-31 = 15⇒2u = 15 + 3 = 18⇒u = 9
Таким образом,
1x = u = 9⇒x = 191y = v = 1⇒y = 1x, y = 19,1

2 10x + y + 2x- у = 4; 15x + y-5x-y = -2
Пусть 1x + y = u и 1x-y = v
Итак, уравнение принимает вид
10u + 2v = 4….. I15u-5v = -2 ….. II
Умножая (I) на 5 и (II) на 2, получаем
50u + 10v = 20 ….. III30u-10v = -4 .. … IV
Складывая (III) и (IV), получаем
u = 1680 = 15
Подставляя это значение в (I)
10 × 15 + 2v = 4⇒2 + 2v = 4⇒v = 1

1x + y = 15 и 1x-y = 1⇒x + y = 5 и xy = 1 Решая эти уравнения, мы получаем x = 3 и y = 2

3 27x-2 + 31y + 3 = 85; 31x-2 + 27y + 3 = 89
Пусть 1x-2 = u и 1y + 3 = v
27u + 31v = 85 ….. I31u + 27v = 89….. IIСложив I и II58u + 58v = 174u + v = 3 ….. III Вычтя II из I4u-4v = 4⇒uv = 1 ….. IV
Складывая (III) и (IV), получаем
2u = 4⇒u = 2
Подставляем значение u в III
2 + v = 3⇒v = 1
1x-2 = u = 2⇒x-2 = 12⇒x = 52
1y + 3 = 1⇒y + 3 = 1⇒y = -2
x, y = 52, -2

4 13x + y + 23x-y = 34; 123x + y-123x-y = -18
Пусть 13x + y = u и 13x-y = v
u + 2v = 34 и 12u-12v = -18
Итак, уравнения становятся
4u + 4v = 3 .. … I4u-4v = 1….. II
Складываем (I) и (II)
8u = 4⇒u = 12
Подставляем значение u в (I)
12 + 2v = 34⇒v = 14
13x + y = u и 13x-y = v⇒13x + y = 123x + y = 2 ….. III Также, 13x-y = 14⇒3x-y = 4 ….. IV
(III) + (IV) получаем
6x = 6⇒x = 1y = -1

Страница № 26:
Вопрос 1:

Два числа отличаются на 3. Сумма удвоенного меньшего числа и троекратного большего числа равна 19.Найдите числа.

Ответ:

Пусть меньшее число будет x , а большее число будет y .
Учитывая, что два числа отличаются на 3, поэтому
yx = 3 ….. (I)
Кроме того, сумма удвоенного меньшего числа и троекратного большего числа равна 19
Итак, 2x + 3y = 19 … … (II)
Два полученных уравнения:
yx = 3
2x + 3y = 19
Умножая (I) на 3, получаем
3y-3x = 9….. (III)
Складывая (III) и (II), получаем
4 y = 28
⇒y = 284 = 7
Подставляя значение y = 7 в (I), получаем
7 -x = 3⇒-x = 3-7⇒-x = -4⇒x = 4
Таким образом, два числа — 4 и 7.

Страница № 26:
Вопрос 2:

Выполните следующее.

Ответ:

Длина данного прямоугольника равна 2x + y + 8 и 4x-y
2x + y + 8 = 4x-y⇒y + y + 8 = 4x-2x⇒8 + 2y = 2x⇒2x-2y = 8 Делим на 2х-у = 4….. I
Ширина прямоугольника 2 y и x + 4.
2y = x + 4⇒x-2y = -4 ….. II
Вычитание (II) из (I)
xxy — 2y = 4—4⇒-y + 2y = 8⇒y = 8 Подставляя значение y = 8 в (I), мы получаем x-8 = 4⇒x = 4 + 8 = 12
Length = 4x- y = 412-8 = 40
Ширина = 2 × 8 = 16
Периметр = 2 длина + ширина = 240 + 16 = 112 единиц
Площадь = длина × ширина = 40 × 16 = 640 единиц2

Страница № 26:
Вопрос 3:

Сумма возраста отца и двойного возраста его сына составляет 70 лет.Если мы удвоим возраст отца и прибавим его к возрасту его сына, получится 95. Найдите их нынешний возраст.

Ответ:

Пусть возраст отца будет x лет, а возраст сына — y лет.
Сумма возраста отца и удвоенного возраста его сына составляет 70, поэтому
x + 2y = 70 …… (I)
Удвоенный возраст отца, прибавленный к возрасту его сына, получится 95
2х + у = 95….. (II)
Складывая (I) и (II), получаем
3x + 3y = 165 Делим на 3x + y = 55 ….. III
Вычитая (I) из (II)
2x-x + y-2y = 95-70⇒xy = 25 ….. IV
Складывая (III) и (IV), получаем
2x = 80⇒x = 40 Подставляя значение x = 40 в III40 + y = 55⇒y = 55-40⇒y = 15
Таким образом, возраст отца — 40 лет, а возраст сына — 15 лет.

Страница № 26:
Вопрос 4:

Знаменатель дроби на 4 больше, чем ее числитель.Знаменатель становится в 12 раз больше числителя, если и числитель, и знаменатель уменьшаются на 6. Найдите дробь.

Ответ:

Пусть дробь будет xy.
Знаменатель дроби на 4 раза больше ее числителя.
Итак,
y = 4 + 2x⇒2x-y = -4 ….. I
Кроме того, знаменатель становится в 12 раз больше числителя, если и числитель, и знаменатель уменьшаются на 6.
Итак,
y-6 = 12x-6⇒y-6 = 12x-72⇒12x-y = 72-6 = 66⇒12x-y = 66 ….. II
Вычитание (I) из (II)
12x-2x-y — y = 66—4⇒10x = 70⇒x = 7010 = 7⇒x = 7
Подставляем значение x = 7 в (I)
27-y = -4⇒ 14-y = -4⇒y = 14 + 4 = 18
Таким образом, полученная дробь равна 718.

Страница № 26:
Вопрос 5:

Два типа ящиков A, B должны быть помещены в грузовик грузоподъемностью 10 тонн.Когда в грузовик загружается 150 ящиков типа А и 100 ящиков типа В, он весит 10 тонн. Но когда в грузовик загружено 260 ящиков типа A, он все еще может вместить 40 ящиков типа B, так что он полностью загружен. Найдите вес каждого типа коробки.

Ответ:

Пусть вес коробки A составляет x , а вес коробки B — y .
Когда 150 ящиков типа A и 100 ящиков типа B загружены в грузовик, он весит 10 тонн i.е 10000 кг.
Итак,
150x + 100y = 10000⇒15x + 10y = 1000⇒3x + 2y = 200 ….. I
Когда 260 ящиков типа A загружены в грузовик, он все еще может вместить 40 ящиков типа B, чтобы он был полностью загружен.
260x + 40y = 10000⇒26x + 4y = 1000⇒13x + 2y = 500 ….. II
Вычитая (I) из (II), получаем
13x-3x + 2y-2y = 500-200⇒10x = 300⇒x = 30 Подставляем значение x = 30 в I330 + 2y = 200⇒90 + 2y = 200⇒2y = 200-90 = 110⇒y = 1102 = 55
Таким образом, вес коробки A = 30 кг, а вес коробки ящик Б = 55 кг.

Страница № 26:
Вопрос 6:

Из 1900 км Вишал проехал какое-то расстояние на автобусе, а часть на самолете. Автобус движется со средней скоростью 60 км / час, а средняя скорость самолета составляет 700 км / час. Путешествие занимает 5 часов. Определив расстояние, Вишал ехал на автобусе.

Ответ:

Мы знаем скорость = расстояние и время
Средняя скорость автобуса = 60 км / ч.
Пусть время, проведенное в автобусе, составит x часов.
Средняя скорость автобуса = 700 км / ч.
Пусть время в автобусе составит y часов.
Общее пройденное расстояние = 1900 км
60x + 700y = 1900⇒6x + 70y = 190⇒3x + 35y = 95 ….. I
Путешествие занимает 5 часов, поэтому
x + y = 5 .. … II
Умножая (II) на 3
3x + 3y = 15 ….. III
Вычитая (III) из (I), получаем
3x-3x + 35y-3y = 95-15⇒32y = 80 ⇒y = 2,5
Положив значение y = 2.5 в (II) получаем
x + 2,5 = 5⇒x = 2,5
Расстояние, пройденное Vishal на автобусе = скорость × время = 60 × 2,5 = 150 км.

Страница № 27:
Вопрос 1:

Выберите правильный вариант для каждого из следующих вопросов
(1) Чтобы нарисовать график 4 x +5 y = 19, найдите y , когда x = 1.

А) 4 (В) 3 (К) 2 (Д) –3

(2) Для одновременных уравнений в переменных x и y , D x = 49, D y = –63, D = 7, тогда что будет x ?

А) 7 (В) –7 (К) 17 (Д) -17

(3) Найдите значение 53-7-4

A) –1 (В) –41 (К) 41 (Г) 1

(4) Решить x + y = 3; 3 x -2 y -4 = 0 методом определителя найти D.

А) 5 (В) 1 (К) –5 (Д) –1

(5) ax + на = c и mx + ny = d и an bm , тогда эти одновременные уравнения имеют —

(А) Всего одно общее решение. (А) Нет решения.
(К) Бесконечное количество решений. (Г) Всего два решения.

Ответ:

(1) 4 x +5 y = 19
Когда x = 1, тогда y будет
41 + 5y = 19⇒4 + 5y = 19⇒5y = 19-4 = 15⇒ 5y = 15⇒y = 155 = 3
Следовательно, правильный ответ — вариант (B).

(2) x = DxD = 497 = 7
Следовательно, правильный ответ — вариант (A).

(3) 53-7-4 = 5 × -4-3 × -7 = -20 + 21 = 1
Следовательно, правильный ответ — вариант (D).

(4) x + y = 3; 3 x — 2 y — 4 = 0
D = 113-2 = 1 × -2-1 × 3 = -2-3 = -5
Следовательно, правильный ответ — вариант (C).

(5) ax + by = c and mx + ny = d
D = abmn = an-bm
an
bm
So, D ≠ 0.
Итак, данные уравнения имеют единственное решение или только одно общее решение.
Следовательно, правильный ответ — вариант А.

Страница № 27:
Вопрос 2:

Заполните следующую таблицу, чтобы построить график 2 x — 6 y = 3

x –5 х
y х 0
( x, y ) х х
Ответ:

2 x — 6 y = 3

x –5 32
y -136 0
( x, y ) -5, -136 32,0

Страница № 27:
Вопрос 3:

Решите следующие одновременные уравнения графически.
(1) 2 x + 3 y = 12; x y = 1
(2) x — 3 y = 1; 3 x — 2 y + 4 = 0
(3) 5 x — 6 y + 30 = 0; 5 x + 4 y — 20 = 0
(4) 3 x y — 2 = 0; 2 x + y = 8
(5) 3 x + y = 10; x y = 2

Ответ:

(1) 2 x + 3 y = 12

x y = 1

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых i.е (3, 2).

(2) x — 3 y = 1

3 x -2 y + 4 = 0

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых, то есть (-2, -1).

(3) 5 x — 6 y + 30 = 0

5 x + 4 y -20 = 0

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых, т.е. (0, 5).

(4) 3 x y — 2 = 0

2 x + y = 8

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых, т.е. (2, 4).

(5) 3 x + y = 10

x y = 2

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых, т.е. (3, 1).

Страница № 27:
Вопрос 4:

Найдите значения каждого из следующих определителей.

(1) 4327 (2) 5-2-31 (3) 3-114
Ответ:

(1) 4327 = 4 × 7-3 × 2 = 28-6 = 22

(2) 5-2-31 = 5 × 1-2 × -3 = 5-6 = -1

(3 ) 3-114 = 3 × 4—1 × 1 = 12 + 1 = 13

Страница № 28:
Вопрос 5:

Решите следующие уравнения методом Крамера.
(1) 6 x — 3 y = –10; 3 x + 5 y — 8 = 0
(2) 4 м — 2 n = –4; 4 м + 3 n = 16
(3) 3 x — 2 y = 52; 13x + 3y = -43
(4) 7 x + 3 y = 15; 12 y -5 x = 39
(5) x + y-82 = x + 2y-143 = 3x-y4

Ответ:

(1) 6 x — 3 y = –10; 3 x + 5 y — 8 = 0
D = 6-335 = 6 × 5—3 × 3 = 30 + 9 = 39Dx = -10-385 = -10 × 5—3 × 8 = -50 + 24 = -26Dy = 6-1038 = 6 × 8—10 × 3 = 48 + 30 = 78x = DxD = -2639 = -23y = DyD = 7839 = 2x, y = -23,2

( 2) 4 м — 2 n = –4; 4 м + 3 n = 16
D = 4-243 = 4 × 3—2 × 4 = 12 + 8 = 20Dx = -4-2163 = -4 × 3—2 × 16 = -12 + 32 = 20Dy = 4-4416 = 4 × 16—4 × 4 = 64 + 16 = 80x = DxD = 2020 = 1y = DyD = 8020 = 4x, y = 1,4
(3) 3 x — 2 y = 52; 13x + 3y = -43
D = 3-2133 = 9 + 23 = 293Dx = 52-2-433 = 152-83 = 296Dy = 35213-43 = -4-56 = -296x = DxD = 296293 = 12y = DyD = -296293 = -12x, y = 12, -12

(4) 7 x + 3 y = 15; 12 y — 5 x = 39
D = 73-512 = 7 × 12-5 × 3 = 84 + 15 = 99Dx = 1533912 = 15 × 12-39 × 3 = 180-117 = 63Dy = 715 -539 = 7 × 39—5 × 15 = 273 + 75 = 348x = DxD = 6399 = 711y = DyD = 34899 = 11633x, y = 711,11633

(5) x + y-82 = x + 2y- 143 = 3x-y4
x + y-82 = x + 2y-143⇒3x + 3y-24 = 2x + 4y-28⇒xy = -4….. Iи x + 2y-143 = 3x-y4⇒4x + 8y-56 = 9x-3y⇒5x-11y = -56 ….. II

Из (I) и (II)
D = 1-15-11 = -11 × 1—1 × 5 = -11 + 5 = -6Dx = -4-1-56-11 = -11 × -4—1 × -56 = 44-56 = — 12Dy = 1-45-56 = -56 × 1-4 × 5 = -56 + 20 = -36x = DxD = -12-6 = 2y = DyD = -36-6 = 6x, y = 2,6

Страница № 28:
Вопрос 6:

Решите следующие одновременные уравнения.
(1) 2х + 23у = 16; 3x + 2y = 0
(2) 72x + 1 + 13y + 2 = 27; 132x + 1 + 7y + 2 = 33
(3) 148x + 231y = 527xy; 231x + 148y = 610xy
(4) 7x-2yxy = 5; 8x + 7yxy = 15
(5) 123x + 4y + 152x-3y = 14; 53x + 4y-22x-3y = -32

Ответ:

(1) 2х + 23у = 16; 3x + 2y = 0
Пусть 1x = u и 1y = v
2u + 23v = 16 12u + 4v = 1….. I3u + 2v = 0 ….. II
Умножьте (II) на 2
6u + 4v = 0 ….. III
I-III
6u = 1⇒u = 16
Ввод значения из u во II.
3 × 16 + 2v = 0⇒12 + 2v = 0⇒v = -14
1x = u⇒x = 61y = v⇒y = -4x, y = 6, -4

(2) 72x + 1 + 13лет + 2 = 27; 132x + 1 + 7y + 2 = 33
Пусть 12x + 1 = u и 1y + 2 = v
7u + 13v = 27 ….. I13u + 7v = 33 ….. II
(I) + ( II)
20u + 20v = 60u + v = 3 ….. III
(II) — (I)
6u-6v = 6 uv = 1….. IV
(III) + (IV)
2u = 4⇒u = 2 Подставляем значение u в (IV) 2-v = 1⇒v = 1
12x + 1 = u = 2 ⇒2x + 1 = 12⇒x = -14 и 1y + 2 = v = 1⇒y + 2 = 1⇒y = -1x, y = -14, -1

(3) 148x + 231y = 527xy; 231x + 148y = 610xy
Умножить на xy
148y + 231x = 527 ….. I 231y + 148x = 610 ….. II Сложить I и II 379y + 379x = 1137⇒x + y = 3 … ..IIIII-I83y-83x = 83⇒yx = 1 ….. IVIII + IV2y = 4⇒y = 2

Подставляем значение y в (IV)
2-x = 1⇒x = 1x , y = 1,2

(4) 7x-2yxy = 5; 8x + 7yxy = 15
⇒7y-2x = 5 и 8y + 7x = 15
Пусть 1x = u, 1y = v
7v-2u = 5….. I8v + 7u = 15 ….. II
Умножьте (I) на 7 и (II) на 2
49v-14u = 35 ….. III16v + 14u = 30 ….. IV
Складываем (III) и (IV)
65v = 65⇒v = 1 и 1y = v = 1⇒y = 1
Подставляем значение v в (I)
71-2u = 5⇒u = 11x = u = 1⇒x = 1x, y = 1,1

(5) 123x + 4y + 152x-3y = 14; 53x + 4y-22x-3y = -32
13x + 4y = u, 12x-3y = v12u + 15v = 14 ⇒10u + 4v = 5 ….. I5u-2v = -32⇒10u-4v = -3 ….. II
(I) + (II)
20u = 2⇒u = 110
Подставляем значение u в (II)
10 × 110-4v = -3⇒1 + 3 = 4v⇒ v = 1
13x + 4y = u = 110⇒3x + 4y = 10….. III12x-3y = v = 1⇒2x-3y = 1 ….. IV
Умножаем (III) на 2 и (IV) на 3
6x + 8y = 20 ….. V6x-9y = 3 ….. VI
(V) — (VI)
17y = 17⇒y = 1
Подставляем значение y в (VI)
6x-9 = 3⇒6x = 12⇒x = 2x , у = 2,1

Страница № 28:
Вопрос 7:

Решите следующие задачи со словами.
(1) Двухзначное число и число с замененными цифрами в сумме дают 143.В данном номере цифра в разряде единиц на 3 больше, чем цифра в разряде десятков. Найдите исходный номер.
(2) Кантабай купил в магазине 112 кг чая и 5 кг сахара. Она заплатила 50 рупий в качестве обратного проезда на рикше. Общие расходы составили 700 рупий. Затем она поняла, что, заказывая товары в Интернете, товары можно купить с бесплатной доставкой на дом по той же цене. Поэтому в следующем месяце она разместила онлайн-заказ на 2 кг чая и 7 кг сахара. Она заплатила за это 880 рупий. Найдите норму сахара и чая на кг.
(3) Чтобы узнать количество записок, которые были у Анушки, выполните следующее задание.

(4) Сумма нынешних возрастов Маниша и Савиты составляет 31 год. Возраст Маниша 3 года назад был в 4 раза старше возраста Савиты. Найдите их нынешний возраст.
(5) На фабрике соотношение заработной платы квалифицированных и неквалифицированных рабочих составляет 5: 3. Общая заработная плата за один день для обоих составляет 720 рупий. Найдите дневную заработную плату квалифицированных и неквалифицированных рабочих.
(6) Пункты A и B находятся на расстоянии 30 км друг от друга и находятся на прямой дороге. Хамид едет из пункта А в пункт Б. на велосипеде. В то же время Джозеф стартует из точки B на велосипеде и едет в сторону A.Они встречаются через 20 минут. Если бы Джозеф стартовал из B в то же время, но в противоположном направлении (а не в направлении A), Хамид догнал бы его через 3 часа. Найдите скорость Хамида и Джозефа.

Ответ:

(1) Пусть число на месте единицы будет x , а цифра на месте десятки будет y.
Таким образом, число будет 10 y + x
После перестановки цифр число станет 10 x + y.
Учитывая, что двухзначное число и число с переставленными цифрами дают в сумме 143.
Итак, 10 y + x + 10 x + y = 143
⇒11x + 11y = 143⇒x + y = 13. …. I
Также в данном номере цифра в месте единицы на 3 больше, чем цифра в разряде десятков.
Итак, xy = 3 ….. II
Складывая (I) и (II), получаем
2x = 16⇒x = 8
Подставляя значение x в (I), получаем
8 + y = 13⇒y = 13-8 = 5
Таким образом, число 58.

(2) Пусть ставка чая будет x рупий за кг, а сахар — y рупий за кг.
Когда Кантабай покупал товары в магазине,
32x + 5y + 50 = 700⇒3x + 10y = 1300 ….. I
Когда Кантабай покупал товары в Интернете, тогда
2x + 7y = 880 …. .II
Умножая (I) на 2 и (II) на 3, получаем
6x + 20y = 2600 ….. III6x + 21y = 2640 ….. IV
(IV) — (III)
y = 40
Подставляя значение y = 40 в (II)
2x + 740 = 880⇒2x = 880-280 = 600⇒x = 300
Таким образом, чай стоит 300 рупий за кг, а сахар — 40 рупий за кг. .

(3) Заявление об отказе от ответственности: В данном вопросе есть ошибка. Вместо банкнот по 10 рупий должны быть банкноты по 100 рупий.
Пусть количество банкнот 100 рупий будет x , а количество банкнот 50 рупий будет y .
100x + 50y = 2500⇒2x + y = 50 ….. I
Когда количество нот меняется местами,
50x + 100y = 2000⇒x + 2y = 40 ….. II
Умножение (I) с 2
4x + 2y = 100 ….. III
Вычитая (III) из (II), получаем
3x = 60⇒x = 203x = 60⇒x = 20
Подставляя значение x в (I ) получаем
y = 10
Таким образом, получается 20 банкнот по 100 рупий и 10 банкнот по 50 рупий.

(4) Пусть нынешний возраст Маниша будет x лет, а возраст Савиты — y лет.
Сумма их нынешнего возраста = 31
x + y = 31 ….. I
Их возраст 3 года назад был
Возраст Маниша = x-3
Возраст Савиты = y-3
Возраст Маниша 3 года назад был в 4 раза возраст Савиты.
x-3 = 4y-3⇒x-3 = 4y-12⇒x-4y = -9 ….. II
(I) — (II) получаем
5y = 40⇒y = 8
значение y в (I) получаем
x + 8 = 31⇒x = 23
Таким образом, возраст Маниша составляет 23 года, а возраст Савиты — 8 лет.

(5) Соотношение заработной платы квалифицированных и неквалифицированных рабочих = 5: 3
Пусть дневная заработная плата квалифицированного специалиста составляет x , а неквалифицированного — лет.
Их общая дневная заработная плата 720 рупий
x + y = 720 ….. I
Кроме того,
xy = 53⇒3x = 5y⇒3x-5y = 0 ….. II
Умножение (I) на 3 получаем
3x + 3y = 2160 ….. III
(III) — (II)
8y = 2160⇒y = 270
Подставляя значение y в (I), получаем
x = 450
One дневная заработная плата квалифицированного специалиста 450 рупий, неквалифицированного человека 270 рупий.

(6) Пусть скорость Хамида будет x км / ч, а скорость Джозефа будет y км / ч.
Когда оба едут в одном направлении, расстояние, которое они преодолевают вместе, составит 30 км.
Мы знаем Скорость = DistanceTime
Они встречаются через 20 минут = 2060 = 13 часов
x3 + y3 = 30⇒x + y = 90 ….. I
Когда Джозеф стартовал из точки B, но двигался в противоположном направлении.
Расстояние, пройденное Хамидом — Расстояние, пройденное Джозефом = 30
⇒3x-3y = 30⇒x-y = 10….. II
Складывая (I) и (II), получаем
2x = 100⇒x = 50
Подставляя значение x в (II), получаем
50-y = 10⇒y = 40
Таким образом скорость Хамида — 50 км / ч, Иосифа — 40 км / ч.

Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 10

Решение уравнений

Решение уравнений с одной переменной

An

уравнение

представляет собой математическое выражение, состоящее из знака равенства между двумя числовыми выражениями или выражениями переменных, как в

3

Икс

+

5

знак равно

11

.

А

решение

к уравнению это число
который может быть подключен к

Переменная

сделать истинное числовое утверждение.


Пример 1:

Подстановка

2

для

Икс

в

3

Икс

+

5

знак равно

11

дает

3

(

2

)

+

5

знак равно

11

, в котором говорится

6

+

5

знак равно

11

; это правда!

Так

2

это решение.

По факту,

2

ЕДИНСТВЕННОЕ решение

3

Икс

+

5

знак равно

11

.

Некоторые уравнения могут иметь более одного решения, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.


Пример 2:

Уравнение

Икс

2

знак равно

Икс

имеет два решения,

0

а также

1

, поскольку

0

2

знак равно

0

а также

1

2

знак равно

1

.Никакой другой номер не работает.


Пример 3:

Уравнение

Икс

+

1

знак равно

1

+

Икс

верно для

все реальные числа

. Оно имеет

бесконечно много

решения.


Пример 4:

Уравнение

Икс

+

1

знак равно

Икс

является

никогда

верно для

любой

настоящий номер.Оно имеет

нет решений

.

В

набор

содержащее все решения уравнения, называется

набор решений

для этого уравнения.


Уравнение


Набор решений

3

Икс

+

5

знак равно

11

{

2

}

Икс

2

знак равно

Икс

{

0

,

1

}

Икс

+

1

знак равно

1

+

Икс

р

(набор всех действительных чисел)

Икс

+

1

знак равно

Икс



(пустой набор)

Иногда вас могут попросить решить уравнение над определенным

домен

.Здесь возможности для значений

Икс

ограничены.


Пример 5:

Решите уравнение

Икс

2

знак равно

Икс

по домену

{

0

,

1

,

2

,

3

}

.

Это немного сложное уравнение; это не

линейный

и это не

квадратичный

, поэтому у нас нет хорошего метода ее решения.Однако, поскольку домен содержит только четыре числа, мы можем просто использовать метод проб и ошибок.

0

2

знак равно

0

знак равно

0

1

2

знак равно

1

знак равно

1

2

2

2

3

2

3

Итак

набор решений

в данном домене

{

0

,

1

}

.

Решение уравнений с двумя переменными

Решения для уравнения с одной переменной:

числа

. С другой стороны, решения уравнения с двумя переменными имеют вид

заказанные пары

в виде

(

а

,

б

)

.


Пример 6:

Уравнение

Икс

знак равно

y

+

1

верно, когда

Икс

знак равно

3

а также

y

знак равно

2

.Итак, заказанная пара

(

3

,

2

)

является решением уравнения.

Есть бесконечно много других решений этого уравнения, например:

(

4

,

3

)

,

(

11

,

10

)

,

(

5.5

,

4.5

)

,

и т.п.

Упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения с двумя переменными, можно изобразить на

декартова плоскость

. Результатом может быть линия или интересная кривая, в зависимости от уравнения. Смотрите также

построение графиков линейных уравнений

а также

построение графиков квадратных уравнений

.

Бесконечные решения — определение, условия и примеры

Все мы хорошо знакомы с уравнениями и выражениями.Мы почти ежедневно решаем ее по математике. Давайте просто быстро освежим значения терминов еще раз, прежде чем мы углубимся. Уравнение — это выражение, между которыми стоит знак равенства (=). Например, 4 + 3 = 7. А выражение состоит из переменных, таких как x или y, и постоянных членов, которые соединяются вместе с помощью алгебраических операторов. Например, 2x + 4y — 9, где x и y — переменные, а 9 — постоянная. Насколько мы можем судить, обычно существует одно решение уравнения. Но не исключено, что уравнение не может иметь более одного решения, бесконечного числа решений или вообще не иметь решений.Отсутствие решения означает, что уравнение не имеет ответа, тогда как бесконечные решения уравнения означают, что любое значение переменной сделает уравнение истинным.

Что такое бесконечные решения?

Общее количество переменных в уравнении определяет количество решений, которые оно даст. Исходя из этого, решения можно сгруппировать в три типа:

  1. Уникальное решение (имеющее только 1 решение).

  2. Нет решений (без решений)

  3. Бесконечные решения (с множеством решений)

Но как вы узнаете, является ли решение вашего решенного уравнения бесконечным решением? Что ж, есть простой способ узнать, является ли ваше решение бесконечным.У бесконечного решения обе стороны равны. Например, 6x + 2y — 8 = 12x + 4y — 16. Если вы упростите уравнение, используя формулу или метод бесконечных решений, вы получите равные обе части, следовательно, это будет бесконечное решение. Бесконечность представляет собой безграничность или безграничность. Обычно обозначается символом «∞».

Условия для бесконечного решения

Уравнение дает бесконечное решение, если оно удовлетворяет некоторым условиям для бесконечных решений. Бесконечное решение может быть получено, если линии совпадают и у них должно быть одинаковое пересечение по оси y.Две линии, имеющие одинаковую точку пересечения по оси Y и наклон, на самом деле являются одной и той же линией. Проще говоря, мы можем сказать, что если две линии делят одну и ту же линию, тогда система приведет к бесконечному решению. Следовательно, система будет непротиворечивой, если система уравнений имеет бесконечное число решений.

Например, рассмотрим следующие уравнения.

y = x + 3

5y = 5x + 15

Если мы умножим 5 на уравнение 1, мы получим уравнение 2, а разделив уравнение 2 на 5, мы получим точное первое уравнение.

Пример бесконечного решения

Какой пример бесконечного решения? Это вопрос, которого мы так долго ждали. Но для решения системы уравнений с двумя или тремя переменными важно понимать, является ли уравнение зависимым или независимым, является ли это согласованным уравнением или противоречивым уравнением. Непротиворечивая пара линейных уравнений всегда будет иметь уникальные или бесконечные решения.

Пример 1) Вот два уравнения с двумя переменными.

a1x + b1y = c1 ——- (1)

a2x + b2y = c2 ——- (2)

Если (a1 / a2) = (b1 / b2) = (c1 / c2)

Тогда уравнение — это непротиворечивое и зависимое уравнение, которое имеет бесконечно много решений.

Пример 2) Вот несколько уравнений с бесконечными решениями -6x + 4y = 2

3x — 2y = -1

Теперь, если мы умножим второе уравнение на -2, мы получим первое уравнение.

-2 (3x-2y) = -2 (-1)

-6x + 4y = 2

Следовательно, уравнения эквивалентны и будут иметь один и тот же график.Таким образом, решение, которое будет работать для одного уравнения, будет работать и для других уравнений. Следовательно, они являются бесконечными решениями системы.

Пример 3) x-10 + x = 8 + 2x-18

Итак, как мы поступаем

x-10 + x = 8 + 2x-18

2x-10 = 2x-10

-2x = -2x

__________________

-10 = -10

Поскольку -10 = -10, остается истинное утверждение, и мы можем сказать, что это бесконечное решение.

Пример 4) Возьмем другой пример: x + 2x + 3 + 3 = 3 (x + 2)

x + 2x + 3 + 3 = 3 (x + 2)

3x + 6 = 3x + 6

-3x = -3x

6 = 6

Коэффициенты и константы совпадают после объединения одинаковых членов.Это дает нам верное утверждение. Поэтому их можно назвать бесконечными решениями.

Пример 5) Рассмотрим 4 (x + 1) = 4x + 4 как уравнение.

4 (x + 1) = 4x + 4

4x + 4 = 4x + 4

Мы видим, что в окончательном уравнении обе части равны. Следовательно, это бесконечное решение.

Система линейных уравнений | Нет уникального решения | GMAT Math Practice Questions

Образец вопроса GMAT в количественном выражении, приведенный ниже, представляет собой вопрос о линейных уравнениях и проверяет концепции, связанные с типами решений для системы линейных уравнений.Эта концепция обычно проверяется в GMAT как вопрос о достаточности данных, а не как вопрос для решения проблемы. Практический вопрос GMAT уровня ниже 600 в системе линейных уравнений.

Вопрос 3 : Для каких значений ‘k’ пара уравнений 3x + 4y = 12 и kx + 12y = 30 НЕ будет иметь единственное решение?

  1. 9
  2. 12
  3. 3
  4. 7,5
  5. 2,5

Получить Q51 в GMAT Quant


Онлайн-курс GMAT

@ INR 3500


Видео Объяснение


Онлайн-классы GMAT


Начало вт, 25 мая 2021 г.


Пояснительный ответ

Условие однозначного решения линейных уравнений

Система линейных уравнений ax + by + c = 0 и dx + ey + g = 0 будет иметь уникальное решение, если две линии, представленные уравнениями ax + by + c = 0 и dx + ey + g = 0 пересекаются в точке.
то есть, если две прямые не параллельны и не совпадают.
По сути, наклон двух линий должен быть разным.

Что это означает?

ax + by + c = 0 и dx + ey + g = 0 будут пересекаться в одной точке, если их наклоны различны.
Выразите оба уравнения в стандартизированном формате y = mx + c, где m — наклон линии, а c — точка пересечения с y.

ax + by + c = 0 можно записать как y = \ — \ frac {a} {b} x — \ frac {c} {a} \\)
И dx + ey + g = 0 можно записать так как y = \ — \ frac {d} {e} x — \ frac {g} {e} \\)
Наклон первой линии равен \ — \ frac {a} {b} \\), а наклон вторая строка — \ — \ frac {d} {e} \\)
Для уникального решения наклон линий должен быть другим.
∴ \ — \ frac {a} {b} \ neq — \ frac {d} {e} \\)
Или \\ frac {a} {d} \ neq \ frac {b} {e} \\)

Условие, чтобы уравнения НЕ имели единственного решения

Наклоны должны быть равны
Или \\ frac {a} {d} = \ frac {b} {e} \\)

Примените условие в данном уравнения для нахождения k

В приведенном выше вопросе a = 3, b = 4, d = k и e = 12.
Следовательно, \\ frac {3} {k} = \ frac {4} {12} \ \)
Или «k» должно быть равно 9, чтобы система линейных уравнений НЕ имела единственного решения.

Вопрос: «Какое значение k?»
Когда k = 9, система уравнений будет представлять собой пару параллельных линий (их пересечения по оси Y разные). Таким образом, этого НЕТ решения. система линейных уравнений с двумя переменными.

Правильный ответ — вариант A.

CBSE NCERT Notes Class 10 Maths Linear Equations in 2 Variables

Решение линейного уравнения с двумя переменными

Есть два подхода к решению линейного уравнения с двумя переменными

  1. Графический подход
  2. Алгебраический подход

Графический подход: Постройте график обоих уравнений

  1. Если линии пересекаются в одной точке, у этого есть уникальное решение
  2. Если прямые параллельны, то уравнения не имеют решения
  3. Если прямые совпадают, то уравнения имеют бесконечно много решений.

Случай 1 Пример: (Уникальное решение ) Сумма мальчиков и девочек в классе 3. Мальчиков больше, чем девочек на 1. Найдите количество мальчиков и девочек.

Пусть количество мальчиков будет x, а количество девочек будет y. тогда, согласно вопросам, мы можем сформировать пару линейных уравнений с двумя переменными: x + y = 3 & x-y = 1.

Любые два решения для x + y = 3: (3,0) и (0,3). Постройте эти точки и соедините их, чтобы сформировать зеленую линию.

Любые два решения для x-y = 1: (1,0) и (2,1).Постройте эти точки и соедините их, чтобы сформировать синюю линию

.

Эти две прямые пересекаются в точке (2,1), поэтому x = 2 & y = 1 — единственное решение для этого случая.

Случай 2 Пример: (Нет решения): Давайте найдем решение для x + 2y — 4 = 0 и 2x + 4y — 12 = 0

Любые два решения для x + 2y-4 = 0: (0,2) и (4,2). Постройте эти точки и соедините их, чтобы сформировать зеленую линию.

Любые два решения для 2x + 4y = 12: (0,3) и (6,0). Постройте эти точки и соедините их, чтобы сформировать синюю линию.

Обратите внимание, что эти линии параллельны и, следовательно, нет решения для этой пары линейного уравнения.

Случай 3 Пример: (бесконечное решение): x + y = 3 & 2x + 2y = 6.

Изобразим эти уравнения на графике.

Любые два решения для x + y = 3: (3,0) и (0,3). Постройте эти точки и соедините их, чтобы сформировать зеленую линию.

Любые два решения для 2x + 2y = 6: (3,0) и (0,3). Постройте эти точки и соедините их, чтобы сформировать синюю линию.

Обратите внимание, что эти буксирные тросы совпадают и, следовательно, имеют много решений.

Пара линейных уравнений, не имеющая решения, называется несовместной парой линейных уравнений.

Пара линейных уравнений с двумя переменными, имеющая решение, называется согласованной парой линейных уравнений.

Пара эквивалентных линейных уравнений имеет бесконечно много различных общих решений. Такая пара называется зависимой парой линейных уравнений с двумя переменными.Обратите внимание, что зависимая пара линейных уравнений всегда согласована

Обоснование решения

На этой странице

Учителя математики должны побуждать учеников сосредоточиться не только на правильном ответе; чтобы получить правильный ответ, учащимся необходимо понимать процесс и лежащие в его основе концепции (Johnson & Watson, 2011). Другими словами, учащимся нужно найти и обосновать свои решения.

Чтобы обосновать решение, учащиеся должны уметь использовать соответствующий математический язык для обоснования конкретного подхода, используемого для решения проблемы.Каждый раз, когда ученик предлагает «решение» в попытке решить проблему, это «решение» должно быть обосновано. То есть ученик должен объяснить, откуда он знает, что его «решение» правильное.

Обоснование решения может также возникнуть в контексте обсуждения математики в классе, когда учащимся нужно будет объяснить свои решения устно.

Понимание этой стратегии

Чтобы помочь учащимся обосновать свои решения, учитель может:

  • иметь класс
    обсуждение того, что значит оправдать решение
  • Учитель может попросить некоторых учеников обрисовать в общих чертах, как они могут обосновать конкретное решение из предыдущего урока.

    Может быть полезно обсудить ключевую терминологию, относящуюся к изучаемой математической теме, чтобы поддержать учащихся в их обсуждении. Эти ключевые термины можно найти в классе и записать на доске.

  • предоставить учащимся задачу и попросить их решить ее, записав свои обоснования.

  • попросите учащихся работать в парах, чтобы обосновать свои решения.

  • попросите пары поделиться и предоставить конструктивную обратную связь об оправданиях друг друга.

Пример использования выравнивания

В приведенном ниже примере показано, как эту стратегию можно применить к классу 10 года по линейным уравнениям.

Сценарий: начисление платы за выполнение задачи

Сравните следующие два расчета начисления платы за услугу, где C — стоимость (в долларах) на выполнение задачи, а t — время, затраченное (в часах) на выполнение задачи. выполнить задание:

Определите, когда первое уравнение дешевле второго

C = 25t + 200

C = 30t +150

Разработка решения

Учащиеся будут работать над решением задачи.Графически или решая одновременные уравнения, время, при котором затраты равны, составляет 10 часов.

Примечание. Время, в течение которого первая скорость меньше второй, — это любое время, превышающее 10 часов.

Обсуждение в классе

Обсудите в классе, что значит оправдать решение. Попросите некоторых студентов обрисовать, как они могли бы оправдать свое конкретное решение.

Ключевые термины для обсуждения могут включать фиксированные затраты, переменные затраты, почасовую оплату и т. Д.

Обоснование решения

Попросите учащихся работать в парах, чтобы обосновать свои решения.

Учащиеся меняют решения на другую пару и добавляют предложения по улучшению решений.

Обоснование решения будет включать следующее:

  • проверка решения одновременных уравнений, возможно, путем замены
  • объяснения с использованием графиков или численных примеров того, почему решение t> 10 часов

Приведенный выше пример ссылается на
VCMNA335, а также является частью
Рассуждение на уровне владения математикой, где учащиеся «обосновывают стратегии и сделанные выводы» (VCAA, n.d.)

Видео для экспертов

В этом видео Эндрю Витт обсуждает, как дать студентам навыки для решения сформулированных задач и прикладных задач по математике.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.