Решение систем линейных уравнений графическим способом: 6.9.1. Решение систем линейных уравнений графическим способом.

Содержание

6.9.1. Решение систем линейных уравнений графическим способом.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 8k. Опубликовано

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  •  Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

 

Решение системы линейных уравнений. Метод подстановки, сложения, графический. Особые случаи, тесты

Тестирование онлайн

  • Система линейных уравнений

Система линейных уравнений

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c — числа, а x, y — переменные, называется системой линейных уравнений.

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений.

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1; -4), записывается в скобках, на первой позиции значение x, на второй — y.

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение системы на «3».

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система

1) Если , то система имеет единственное решение.

2) Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.


Суть метода в последовательном исключении неизвестных, приводя систему линейных уравнений к ступенчатой форме.


Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Данная разработка предназначена для учеников 7 класса и для тех, кто, в своё время, пропустил эту тему. В теоретической части изложена суть графического способа решения систем, алгоритм этого способа, приведены примеры с графиками. В практической части содержатся задания для закрепления знаний и умений.


Просмотр содержимого документа

«Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными.»

Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Приступаем к рассмотрению способов решения линейных уравнений с двумя переменными. В школьном курсе алгебры изучаются три способа решения систем.

  1. Графический способ (с помощью графиков).

  2. Способ подстановки.

  3. Способ сложения.

Разбираем каждый из них подробно. В этой теме внимание уделено графическому способу. Название говорит само за себя: нужно строить графики. Мы уже выяснили, что линейное уравнение с двумя переменными легко преобразуется в линейную функцию путём выражения переменной у через переменную х (используя правила переноса и деления/умножения на одно и то же число). Преобразовав таким образом каждое уравнение, входящее в систему, и, построив графики, можно визуально определить решение системы, т.е. точку пересечения этих графиков. Останется только лишь как можно более точно выяснить координаты этой точки. Это и есть решение системы.

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом, необходимо:

  • в каждом уравнении выразить переменную у через переменную х;

  • на одной системе координат построить график каждой полученной функции;

  • найти общие точки построенных прямых;

  • определить, если это возможно, координаты общих точек прямых. Они и есть решение системы.

Например, решить графическим способом систему

Выразим переменную у через переменную х.

Описываем функции.

линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки

линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки

На одной системе координат строим графики описанных функций.

Находим координаты точки А – точки пересечения прямых. .

Значит, система имеет единственное решение

У графического способа решения систем есть существенный недостаток. Найденное решение не всегда бывает точным, т.к. на системе координат иногда невозможно выбрать такой единичный отрезок, чтобы чётко определить координаты точки пересечения. Зачастую решение является приближённым.

  1. Решить систему уравнений графическим способом:

  1. Составьте системы уравнений, графики которых изображены на рисунках, и найдите по рисунку их решения.

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

  1. Используя графический способ, определите, имеет ли решения система уравнений:

  1. Решить графически систему уравнений. Выяснить, проходит ли третья прямая через точку пересечения первых двух.

  1. Решить графически систему уравнений:

3

Графический метод решения систем уравнений

1. Графический метод решения систем уравнений

Учитель математики МБОУ
«СОШ №2» г.Волгореченска
Смирнова Е.Б.

2. Цели урока:

1.продолжить работу над усвоением
понятия системы двух линейных уравнений
с двумя переменными, ее решении;
2. выработать алгоритм решения систем
уравнений графическим методом;
3. показать связь коэффициентов
уравнений системы с количеством ее
решений.отработать навыки решения
систем уравнений графическим методом;
3. ввести понятие несовместной и
неопределенной системы двух линейных
уравнений;
4.установить зависимость между
коэффициентами системы и количеством
ее решений

3. Метапредметные УУД:

Коммуникативные: представлять
конкретное содержание и сообщать его в
письменной и устной форме, развивать
способность с помощью вопросов добывать
нужную информацию.
Регулятивные: ставить учебную задачу на
основе того, что уже известно и усвоено ,и
того, что еще неизвестно ,самостоятельно
формулировать познавательную цель и
строить план действия в соответствии с
ней.
Познавательные: выводить следствия их
имеющихся в условии задачи данных

4. Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1. Приводим оба уравнения к виду линейной
функции y = k x + m.
2. Составляем расчётные таблицы для каждой
функции.
3. Строим графики функций в одной
координатной плоскости.
4.Определяем координаты точки пересечения
графиков функций .
5.Записываем ответ.
Прямые
Общие
точки
Система
имеет
О системе
говорят
Одна
общая
точка
Одно
решение
Имеет
решение
Нет
общих
точек
Не имеет
решений
несовместна
Много
общих
точек
Много
решений
неопределен
на

6. Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1.Приводим оба уравнения к виду линейной функции
y = k x + m.
2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.
3.Строим графики функций в одной координатной
плоскости.
4. Определяем число решений:
-Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел
(х ; у) – координаты точки пересечения;
-Если прямые параллельны, то нет решений;
— Если прямые совпадают, то бесконечно много решений.
5. Записываем ответ.
Определите, сколько решений имеет
система уравнений, не выполняя
построения графиков:
У=х
у=5х+7
у-х+6=0
2х+у=1
У=3х-1 у=5х-1
у=х-6
2х+у=3

9.

{2}}-4\cdot \left( -8 \right)}{4}=-\frac{4+32}{4}=-9\)

Точно такой же ответ? Молодец!

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, \( \displaystyle 3\).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Решение систем линейных уравнений

Напомним для начала определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Рисунок 1.

Существуют три способа решения систем линейных уравнений: способ подстановки, способ сложения и графический способ. Рассмотрим его на следующем примере:

Рисунок 2.

Способ подстановки

Способ подстановки заключается в следующем: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x. $ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Рисунок 3.

Выразим из второго уравнения $y$ через $x$:

Подставим в первое уравнение, найдем $x$:

Найдем $y$:

Ответ: $(-2,\ 3)$

Способ сложения

Рассмотрим данный способ на примере:

Рисунок 4.

Умножим второе уравнение на $3$, получим:

Рисунок 5.

Теперь сложим оба уравнения между собой:

Найдем $y$ из второго уравнения:

Ответ: $(-2,\ 3)$

!!! Отметим, что в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении одна из переменных «исчезла».

Графический способ

Графический способ заключается в следующем: Оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Рисунок 6.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Рисунок 7.

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Рисунок 8.

Ответ: $(-2,\ 3)$

Пример решения систем линейных уравнений с двумя переменными

Пример 1

Решить систему уравнений тремя способами:

Рисунок 9.

Решение:

1) Способ подстановки.

Выразим $x$ через $y$:

\[x=y\]

Подставим в второе уравнение, найдем $y$:

\[2y+3y=-5\] \[y=-1\]

Найдем $x$:

\[x=-1\]

Ответ: $(-1,-1)$

2) Способ сложения.

Умножим первое уравнение на $3$, получим:

Рисунок 10.

сложим оба уравнения между собой:

\[5x=-5\] \[x=-1\]

Найдем $y$ из первого уравнения:

\[-1-y=0\] \[y=-1\]

Ответ: $(-1,\ -1)$

3) Графический способ.

Выразим из обоих уравнений $y$ через $x$:

Рисунок 11.

Изобразим оба графика на одной плоскости:

Рисунок 12.

Ответ: $(-1,\ -1)$

«Решение системы линейных уравнений графическим способом», 7 класс

Как вы понимаете выражение
«графический способ решения систем уравнений?»

Вы уже умеете строить график линейного
уравнения, это самое главное умение, которое нужно для решения
систем уравнений графическим способом. Для того, чтобы научиться
решать системы уравнений графическим способом, вам нужен алгоритм
решения. Алгоритм у вас на партах. Следуя четким указаниям
алгоритма, вы сами научитесь решать системы уравнений графическим
способом. И ещё вы должны исследовать, сколько решений может иметь
система линейных уравнений? (Система уравнений решается с помощью
графиков линейных уравнений с двумя переменными)

Учитель раздает задания на 3
ряда.

1 ряд. Решить систему уравнений
графическим способом, используя алгоритм.

Ответ: 1 решение,
(2,4)

2 ряд. Решить систему уравнений
графическим способом, используя алгоритм.

Ответ: прямые совпали,
множество решений.

3 ряд. Решить систему уравнений
графическим способом, используя алгоритм.

Ответ: прямые параллельны, нет
решений.

Вывод:

1. Если угловые коэффициенты
прямых различны, то система имеет единственное решение.

2. Если угловые коэффициенты
прямых одинаковы, то система не имеет решений.

3. Если угловые коэффициенты
прямых и коэффициент b одинаковы, то система имеет бесконечно
много решений.

Один ученик решает у доски, остальные в
тетраде.

№1474. 1)

Ответ: (0;2).

Решить самостоятельно систему
уравнений:

Ответ: (2;1).
Самоконтроль 

  1. Работаем вместе фронтально.
    ( Один у доски, а остальные на
    местах). Решим
    с.л.у. графическим способом.

х+у=4

2х-у=2 (х=2,у=2)

2) Работа в парах. Один
проговаривает и решает. Другой слушает и проверяет. Потом меняетесь
местами. Решить с.л.у. графическим способом:

х+у=1 х+у=0

х+3у=9 ; (у=4 ,х=-3 )
-3х+4у=14; ( х=-2,у=2)

А теперь,
проверим как работает наш
алгоритм. Самастоятельная работа с самопроверкой.

Задания для самостоятельной
работы.

Решите сисстему линейных уравнений
графическим способом.

х-2у=6

3х+2у=-6; ( х=0,у=-3)

Решите задачу, используя графический метод
решения с. л.у.:

Сумма двух
чисел равна 12, а их разность равна 2. Найдите эти числа.
(х=5,у=7)

Как решать системы линейных уравнений с помощью построения графиков — стенограмма видео и урока

Построение графика линии линейного уравнения

Теперь, когда мы знаем, как распознать линейное уравнение, давайте рассмотрим, как построить график линии. Во-первых, вы хотите изменить уравнение так, чтобы оно выглядело в форме пересечения наклона. Давайте посмотрим, как это сделать с помощью этого уравнения:

3 y + 9 x = 18

Сначала вычтите 9x с обеих сторон:

3 y = -9 x + 18

Затем разделите обе стороны на 3:

y = -3 x + 6

Теперь вы можете сказать, что наклон линии ( м ) равен -3, а точка пересечения оси y ( b ) равна 6 .Чтобы построить график этой линии, вы можете использовать графический калькулятор или компьютер, но вы также можете сделать это вручную на бумаге. Во-первых, точка пересечения оси y — это точка, в которой линия пересекает ось y, поэтому вы можете сначала построить эту точку. Затем посмотрите на наклон. Уклон — это отношение того, насколько далеко линия идет вверх в направлении y , деленное на то, насколько далеко она проходит в направлении x .

наклон = изменение y / изменение x

Таким образом, наклон -3 означает, что вам нужно спуститься на 3 единицы в направлении y на каждую 1 единицу, которую вы пройдете в x направление.Вы можете использовать это, чтобы построить вторую точку, а затем использовать линейку, чтобы соединить точки и построить прямую линию.

Решение систем линейных уравнений

Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью построения графиков, вы нанесете на график обе линии, а затем увидите, где они пересекаются друг с другом. Координаты перекрестка x и y будут решением системы уравнений!

Почему эта точка пересечения является решением системы уравнений? Это единственная точка, которая попадает на и строк, поэтому это единственная комбинация значений x и y , которая сделает для каждого уравнения истинным.

Давайте посмотрим на пример. Вот два линейных уравнения, которые образуют систему уравнений:

y = -3 x + 6

y = 2 x + 16

Изобразите обе эти линии и посмотрите, где они пересекаются. друг с другом.

Мы уже видели, что для первого уравнения -3 — это наклон, а точка пересечения по оси Y — 6.

Для второго уравнения помните, что в y = mx + b, m — наклон линии, а b — точка пересечения по оси y.Итак, в этом уравнении наклон равен 2, а точка пересечения оси Y равна 16.

Используя эту информацию для построения графика линий, вы можете увидеть, что линии пересекаются в точке (-2,12). Это означает, что решение системы линейных уравнений равно x = -2 и y = 12.

Практические задачи по линейному уравнению

Итак, почему бы вам не попробовать это? Найдите решение системы уравнений, показанной ниже. Попробуйте сделать это, прежде чем прокрутите страницу вниз, чтобы увидеть ответ.

y = 4 x + 9

y = 2 x + 3

Помните, что вам нужно построить график обеих линий и посмотреть, где они пересекаются, чтобы найти решение.

Вы получили решение: x = -3 и y = -3? Если да, то вы правы!

Давайте посмотрим, как найти решение с помощью графиков.

Сначала найдите наклон и точку пересечения по оси Y для каждого уравнения, используя формулу y = mx + b .

Затем нарисуйте обе линии:

На графике вы можете видеть, что линии пересекаются друг с другом в точках (-3, -3), поэтому решение системы линейных уравнений составляет x = -3 и y = -3.

Резюме урока

Хорошо, давайте сделаем небольшой обзор того, что мы узнали!

Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью построения графиков, которые представляют собой системы, состоящие из двух линейных уравнений, во-первых, убедитесь, что у вас есть два линейных уравнения или уравнения, которые образуют линии при построении графика. Затем нарисуйте линию, представленную каждым уравнением, и посмотрите, где две линии пересекаются друг с другом. Координаты точки пересечения x и y будут решением системы уравнений!

Решение линейных систем с помощью построения графиков

Системы в этом разделе будут состоять из двух линейных уравнений и двух неизвестных. Учитывая линейные уравнения, нас просят выяснить, есть ли у них одновременные решения. Другими словами, где пересекаются две линии? Этот вопрос вызывает три случая:

Большую часть времени линейная система будет иметь общую точку ( x , y ).Точка их пересечения — это решение системы.

Однако не все линейные системы имеют упорядоченное парное решение; у некоторых нет общих точек, а у других их бесконечно много. Представьте, что вас попросили решить систему, состоящую из двух параллельных прямых, где они пересекаются? В этом случае одновременного решения нет и система двух параллельных линий несовместима. В случае, когда система состоит из двух линий, которые оказываются одной и той же прямой, имеется бесконечно много общих точек. Эта система является зависимой, и решения могут быть представлены в форме ( x , y ), где x может быть любым действительным числом, а y = mx + b .

Решите системы по графику :

Является ли заказанная пара решением для системы?

В следующем примере показано, как найти общую точку, точку пересечения двух линий, если нам дана линейная система в стандартной форме.

Решите систему :

Шаг 1 : Поместите линейные уравнения в форму пересечения наклона.
Шаг 2 : Постройте линии и используйте график, чтобы найти общую точку.

Шаг 3 : Проверьте свой ответ и представьте его как упорядоченную пару.

Здесь важна точность, используйте миллиметровую бумагу и линейку при использовании метода построения графиков для решения линейных систем.