Решение примеров с отрицательными степенями: § Школьная математика. Математика 6 класс. Уроки по математике. Математика 5 класс

Содержание

Отрицательная степень числа | Алгебра

Степень с отрицательным показателем

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

d -c =  1 ;    7 -5 =  1 ;    a -5 =  1  .
d c 7 5 a 5

Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a 5 : a 8 = a5 — 8 = a -3.

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Значит:

Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:

Решение:

Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:

Решение:

1   = (m + n) -2.
(m + n) 2

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

Степень с отрицательным показателем, 8 класс, примеры

Дата публикации: . m} $.

Отрицательная степень | Алгебра

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

   

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

   

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

   

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

   

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

   

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

   

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

   

   

   

   

   

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

   

   

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

   

   

   

   

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

   

   

   

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

   

   

   

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

Упрощение выражений с отрицательными степенями. Степень числа: определения, обозначение, примеры. Как возводить в отрицательную степень

Степень с отрицательным показателем определение

Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m — отрицательное целое число.

Степень с отрицательным показателем определение:

Действительное, отличное от нуля число a, возведенное в отрицательную целую степень -m, равно дроби, в числителе которой 1 и в знаменателе a, возведенное в положительную целую степень m.

Отрицательная степень формула

Для вычислений отрицательных степеней используем формулу:

Эта формула применяется, если имеется отрицательное значение степени.

Положительная и отрицательная степень

Чтоб лучше понять сравним положительные и отрицательные степени.

Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m — любое целое число.

Тогда a в положительной степени m равно:

A m = a * a * a * . .. (m раз)

Теперь a в отрицательной степени -m:

Степень с целым отрицательным показателем

Обратите внимание, что в этой статье речь идет именно о целом отрицательном показателе. Здесь существенным является то, что показатель целый.

Пример степени с целым отрицательным показателем:

Отрицательное основание степени

Отрицательная степень числа и отрицательное основание степени — это разные вещи.

В одной из предыдущих статей мы уже упоминали о степени числа. Сегодня мы постараемся сориентироваться в процессе нахождения ее значения. Научно говоря, мы будем выяснять, как правильно возводить в степень. Мы разберемся, как производится этот процесс, одновременно затронем все вероятные показатели степени: натуральный, иррациональный, рациональный, целый.

Итак, давайте подробно рассмотрим решения примеров и выясним, что значит:

  1. Определение понятия.
  2. Возведение в отрицательную ст.
  3. Целый показатель.
  4. Возведение числа в иррациональную степень.

Определение понятия

Вот точно отражающее смысл определение: «Возведением в степень называют определение значения степени числа».

Соответственно, возведение числа a в ст. r и процесс нахождения значения степени a с показателем r — это идентичные понятия. К примеру, если стоит задача вычислить значение степени (0,6)6″, то ее можно упростить до выражения «Возвести число 0,6 в степень 6».

После этого можно приступать напрямую к правилам возведения.

Возведение в отрицательную степень

Для наглядности следует обратить внимание на такую цепочку выражений:

110=0,1=1* 10 в минус 1 ст.,

1100=0,01=1*10 в минус 2 степ.,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 в минус 4 степeни.

Благодаря данным примерам можно четко просмотреть возможность моментально вычислить 10 в любой минусовой степени. Для этой цели достаточно банально сдвигать десятичную составляющую:

  • 10 в -1 степeни — перед единицей 1 ноль;
  • в -3 — три нуля перед единицей;
  • в -9 — это 9 нулей и проч.

Так же легко понять по данной схеме, сколько будет составлять 10 в минус 5 ст. —

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как возвести число в натуральную степeнь

Вспоминая определение, учитываем, что натуральное число a в ст. n равняется произведению из n множителей, при этом каждый из них равняется a. Проиллюстрируем: (а*а*…а)n, где n — это количество чисел, которые умножаются. Соответственно, чтобы a возвести в n, необходимо рассчитать произведение следующего вида: а*а*…а разделить на n раз.

Отсюда становится очевидно, что возведение в натуральную ст. опирается на умение осуществлять умножение
(этот материал освещен в разделе про умножение действительных чисел). Давайте рассмотрим задачу:

Возведите -2 в 4-ю ст.

Мы имеем дело с натуральным показателем. Соответственно, ход решения будет следующим: (-2) в cт. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Теперь осталось только осуществить умножение целых численностей:(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаем 16.

Ответ на задачу:

(-2) в ст. 4=16.

Пример:

Вычислите значение: три целых две седьмых в квадрате.

Данный пример равняется следующему произведению: три целых две седьмых умножить на три целых две седьмых. Припомнив, как осуществляется умножение смешанных чисел, завершаем возведение:

  • 3 целых 2 седьмых умножить на самих себя;
  • равно 23 седьмых умножить на 23 седьмых;
  • равно 529 сорок девятых;
  • сокращаем и получаем 10 тридцать девять сорок девятых.

Ответ: 10 39/49

Касаемо вопроса возведения в иррациональный показатель, следует отметить что расчеты начинают проводить после завершения предварительного округления основы степени до какого-либо разряда, который позволил бы получить величину с заданной точностью. К примеру, нам необходимо возвести число П (пи) в квадрат.

Начинаем с того, что округляем П до сотых и получаем:

П в квадрате = (3,14)2=9,8596. Однако если сократить П до десятитысячных, получим П=3,14159. Тогда возведение в квадрат получает совсем другое чиcло: 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах нет надобности возводить иррациональные числа в cтeпeнь. Как правило, ответ вписывается или в виде, собственно, степени, к примеру, корень из 6 в степени 3, либо, если позволит выражение, проводится его преобразование: корень из 5 в 7 cтепeни = 125 корень из 5.

Как возвести чиcло в целую степень

Эту алгебраическую манипуляцию уместно принимать во внимание для следующих случаев:

  • для целых чисел;
  • для нулевого показателя;
  • для целого положительного показателя.

Поскольку практически все целые положительные числа совпадают с массой чисел натуральных, то постановка в положительную целую степень — это тот же процесс, что и постановка в ст. натуральную. Данный процесс мы описали в предшествующем пункте.

Теперь поговорим о вычислении ст. нулевой. Мы уже выяснили выше, что нулевую степень числа a можно определить для любого отличного от нуля a (действительного), при этом a в ст. 0 будет равно 1.

Соответственно, возведение какого угодно действительного числа в нулевую ст. будет давать единицу.

К примеру, 10 в ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 нельзя определить.

Для того чтобы завершить возведение в целую степень, остается определиться с вариантами целых отрицательных значений. Мы помним, что ст. от a с целым показателем -z будет определяться как дробь. В знаменателе дроби располагается ст. с целым положительным значением, значение которой мы уже научились находить. Теперь остается лишь рассмотреть пример возведения.

Пример:

Вычислить значение числа 2 в кубе с целым отрицательным показателем.

Процесс решения:

Согласно определению стeпeни с отрицательным показателем обозначаем: два в минус 3 ст. равняется один к двум в третьей cтепeни.

Знаменатель рассчитывается просто: два в кубе;

3 = 2*2*2=8.

Ответ: два в минус 3-й ст. = одна восьмая.

Видео

Из этого видео вы узнаете, что делать, если степень с отрицательным показателем.

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается
понятие степени только с натуральным показателем
и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями
(с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа.

Для записи произведения числа самого на себя несколько раз
применяют сокращённое обозначение.

Вместо
произведения шести одинаковых множителей
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4
пишут
4 6
и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6
называют степенью числа, где:

  • 4
    основание степени
    ;
  • 6
    показатель степени
    .

В общем виде степень с основанием «a
» и
показателем «n
» записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «a
» с натуральным показателем «n
»,
бóльшим 1
, называется произведение «n
»
одинаковых множителей, каждый из которых равен числу
«a
».

Запись «a n
» читается так:
«а
в степени
n
» или «n
-ая степень числа
a
».

Исключение составляют записи:

  • a 2
    — её можно произносить как «а
    в квадрате»;
  • a 3
    — её можно произносить как «а
    в кубе».
  • a 2
    — «а
    во второй степени»;
  • a 3
    — «а
    в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0)
.

Запомните!

Степенью числа «а
» с показателем n = 1
является само это число:
a 1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1

Выражение 0 0
(ноль в нулевой степени
) считают лишённым смыслом.

  • (−32) 0 = 1
  • 0 253 = 0
  • 1 4 = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в
степень.

Пример. Возвести в степень.

  • 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
  • 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
  • ( ·
    =
    =

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым
числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа
получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться
как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или
нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень,
то получается отрицательное число. Так как произведение
нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число.
Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в
чётную
степень, есть число
положительное
.

Отрицательное число, возведённое в
нечётную
степень, — число
отрицательное
.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a 2 ≥ 0
при любом a
.

  • 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
  • −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи
(−5) 4
и
−5 4
это разные выражения. Результаты возведения
в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5) 4
означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5 4
» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

  1. Возвести в четвёртую степень положительное
    число 5
    .

    5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
  2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
    действие вычитание).

    −5 4 = −625

Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

  1. 6 2 = 6 · 6 = 36
  2. −6 2 = −36
  3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
  4. −(−1) 4 = −1
  5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют
вовзведение в степень
, затем умножение и деление
, а в
конце сложение и вычитание
.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках,
а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться
таблицей степеней , которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором
«

Операции со степенями и корнями.
Степень с отрицательным

,


нулевым и дробным


показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со
степенями.


1. При умножении степеней с
одинаковым основанием их показатели складываются
:


a m


·

a n = a m + n .

2. При делении степеней с
одинаковым основанием их показатели



вычитаются

.

3. Степень
произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению
степеней этих сомножителей.

(
abc


)
n

=

a
n

·
b

n


·
c

n

4. Степень отношения (дроби) равна
отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):



(
a

/
b


)
n

=
a

n

/
b

n

.

5. При возведении степени в
степень их показатели перемножаются:



(a

m


)

n

=
a

m
n

.

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих
направлениях слева направо и наоборот.


П р и
м е р. (2

·


3

·


5 / 15)

²

=


2

²

·

3

²

·


5

²

/ 15

²

= 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями.


Во всех нижеприведенных формулах символ

означает арифметический корень
(подкоренное выражение
положительно).

1.

Корень из произведения
нескольких сомножителей равен произведению

корней из этих сомножителей:

2.

Корень
из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3.
При
возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень


подкоренное число:

4.
Если
увеличить степень корня в
m

раз и одновременно возвести в

m
-ую
степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5.

Если уменьшить степень корня
в
m

раз и одновременно извлечь корень

m
-ой
степени из подкоренного числа, то значение корня не
изменится:


Расширение понятия
степени.


До
сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;
но
действия
со
степенями и корнями
могут приводить также к отрицательным
, нулевым
и
дробным
показателям. Все эти показатели степеней требуют
дополнительного определения.

Степень с отрицательным
показателем.


Степень
некоторого числа с

отрицательным (целым) показателем
определяется как единица, делённая

на степень того же числа с
показателем, равным абсолютной велечине

отрицательного показателя:

Т

еперь
формула
a
m

:

a

n

=
a

m

n


может быть использована не
только при
m

, большем, чем

n


, но и при
m


, меньшем, чем
n


.

П р и м е р

.
a

4
: a

7
= a

4

7 = a



3
.

Если
мы хотим, чтобы формула
a

m

:

a
n
=
a
m


n
была
справедлива при
m

=
n

,
нам необходимо
определение нулевой степени.

Степень
с нулевым показателем.



Степень любого ненулевого числа с
нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1,
(
5) 0 = 1, (
3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.


Для того, чтобы возвести действительное число

а

в степень

m

/

n

, нужно извлечь корень

n
–ой
степени из

m
-ой
степени этого числа

а

:



О выражениях, не имеющих смысла.



Есть несколько таких выражений.
любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x
, то согласно
определению операции деления имеем: 0 = 0 · x
. Но это равенство имеет место при любом числе x
, что и требовалось доказать.

Случай 3.


0
0

любое число.

Действительно,


Р е ш е н и е.
Рассмотрим три основных случая:

1)

x


= 0
это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при
x


> 0 получаем:
x

/
x


= 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,


что


x


– любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем
случае
x


> 0 , ответом является
x


> 0 ;

3) при
x


x

/
x

= 1, т.
e
.
–1 = 1, следовательно,

В этом
случае нет решения.

Таким образом,

x


> 0.

Возведение в отрицательную степень – один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция.

Как возводить в отрицательную степень – теория

Когда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени.

Как возводить в отрицательную степень – примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как возводить в отрицательную степень – числа от 0 до 1

Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Пример 3: Вычислить 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Ответ: 0,5 -2 = 4

Разбор (последовательность действий):

  • Переводим десятичную дробь 0,5 в дробную 1/2. Так легче.
    Возводим 1/2 в отрицательную степень. 1/(2) -2 . Делим 1 на 1/(2) 2 , получаем 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8

Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

  • Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
  • Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.

Как возводить в отрицательную степень – степень в виде дробного числа

Выражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a – обычное число, m – числитель степени, n – знаменатель степени.

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

  • Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
  • Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
  • Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
  • Ответ: 8 -1/3 = 2

Калькулятор степеней — возвести в степень онлайн

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n-ой степенью числа a, если p равно числу a, умноженному само на себя n раз: p = an = a·...·a
n — называется показателем степени, а число aоснованием степени.

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 34
Решение: как было сказано выше, 34 = 3·3·3·3 = 81.
Ответ: 34 = 81.

Пример 2. Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 55
Решение: аналогично, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Ответ: 55 = 3125.

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

Отрицательная степень -n числа a — это единица, поделённая на a в степени n: a-n = .

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1. Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2-4

Решение: как было сказано выше, 2-4 = = = 0.0625.

Ответ: 2-4 = 0.0625.

Степень с целым показателем

Степень с целым показателем — это степень, показателем которой является любое целое число.

В прошлом уроке мы изучили степень с натуральным показателем. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку натуральные числа относятся к целым числам.

Также, мы рассмотрели степень, показателем которой является 0. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку 0 относится к целым числам.

Рассмотрим ещё один вид степени с целым показателем, а именно показателем которой является целое отрицательное число. Выглядят эти степени так:

2−2, 10−7, a−8

В дальнейшем любую степень с натуральным, нулевым или целым отрицательным показателем, мы будем называть степенью с целым показателем.

Предварительные навыки

Правило вычисления

Рассмотрим следующую последовательность степеней:

20, 21, 22, 23, 24, 25

Первая степень в этой последовательности это степень 20. Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2−1.

2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

А предыдущая степень с целым показателем, которая располагается до 2−1, будет степень 2−2

2−2, 2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Продолжим эту последовательность в сторону степеней с целыми отрицательными показателями:

2−5, 2−4, 2−3, 2−2, 2−1, 20, 21, 22, 23, 24, 25

Теперь попробуем вычислить эти степени. Степени с натуральными показателями и степень, показателем которой является 0, вычисляются легко:

А как вычислить степени с отрицательными показателями? Для начала немного отойдём от темы и затронем несколько закономерностей.

В отрицательную степень число возводится немного иначе. Следует понимать, что если при возведении в положительную степень число увеличивается, то при возведении в отрицательную степень это число наоборот уменьшается.

Если мы возьмём какое-нибудь число n, и начнём последовательно увеличивать его степень, то получим последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего в n раз.

Например, возьмём число 2. Начиная с нуля будем последовательно увеличивать его показатель:

20, 21, 22, 23, 24, 25

Вычислим эти степени:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Получили последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего числа в 2 раза. Тогда логично предположить, что число, располагающееся до единицы, будет в два раза меньше единицы. Его можно получить, если 1 разделить на 2

Вернёмся к нашей исходной последовательности, где мы вычисляли степени. Получается, что степень 2−1 мы вычислили. Она равна рациональному числу 

Предыдущее за числом должно быть в два раза меньше, чем . Чтобы его получить разделим  на 2

Получили . Это значение степени 2−2

Продолжая деление на 2 можно получить значения остальных степеней с целыми отрицательными показателями:

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями:

К примеру, значение степени в 22 есть число 4. А значение степени 2−2 есть число . Числа 4 и  являются обратными друг другу. А степени 22 и 2−2 отличаются только тем, что у них противоположные показатели.

Можно сделать вывод, что для вычисления степени с отрицательным показателем, нужно записать дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе та же самая степень, но с противоположным показателем. Покажем это на примере степени 2−2

Вычислим степень, находящуюся в знаменателе:

Таким образом, чтобы вычислить степень вида an можно воспользоваться следующим правилом:

Данное правило можно доказать, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Допустим, потребовалось вычислить выражение 2: 25. Запишем это деление в виде дроби

Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями:

Получили степень с отрицательным показателем 2−2. Ранее мы выяснили, что её значение равно . Чтобы убедиться в этом, попробуем вычислить выражение   как обычно, не используя правило деления степеней:

Получили рациональное число . Сократим его на 8. Тогда получим 


Пример 2. Найти значение выражения 9−2

Воспользуемся правилом вычисления степени с целым отрицательным показателем:


Пример 3. Найти значение выражения 3−3

Следует упомянуть, что правило  работает только тогда, когда a ≠ 0.

Действительно, если a будет равным нулю, то в знаменателе получим 0, а на нуль делить нельзя.


Пример 4. Найти значение выражения 


Пример 5. Найти значение выражения 

При возведении обыкновенных дробей в отрицательную степень, можно пользоваться формулой . Решим предыдущие два примера с помощью этой формулы:

Желательно уметь возводить обыкновенную дробь в отрицательную степень как с помощью формулы, так и без неё.


Тождественные преобразования

Все тождественные преобразования, которые мы рассматривали при изучении степени с натуральным показателем, сохраняются и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Например, чтобы представить выражение 2−1 × 2−3 в виде степени, можно воспользоваться основным свойством степени:

2−1 × 2−3 = 2−1 + (−3) = 2−4


Пример 2. Найти значение выражения 5−15 × 516

Воспользуемся основным свойством степени:

5−15 × 516 = 5−15 + 16 = 5= 5

или:

Видим, что первый вариант решения намного проще и удобнее.


Пример 3. Найти значение выражения (10−4)−1

Воспользуемся правилом возведения степени в степень:

(10−4)−1 = 10−4 × (−1) = 104 = 10000


Пример 4. Найти значение выражения 

Представим число основание 10 в виде произведения 2 × 5. Тогда числитель примет вид (2 × 5)−6

В числителе применим правило возведения в степень произведения:

Сократим получившуюся дробь на 5−6

Вычислим степень 2−6


Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если знаменатель дробного выражения содержит степень, то данную степень можно поднять в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. Значение выражения при этом не меняется. Данное преобразование иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим следующее равенство:

Данное равенство является верным, поскольку выражение  равно 20, а любое число в нулевой степени есть единица.

Попробуем поднять степень 22 из знаменателя в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, поднятую степень и ту степень, которая располагалась в числителе, соединим знаком умножения:

Получили выражение 22 × 2−2. Чтобы его вычислить, воспользуемся основным свойством степени:

22 × 2−2 = 22 + (−2) = 20 = 1

Получился тот же результат, что и раньше. Значит значение выражения не изменилось. Как это работает?

Если в равенстве  поменять местами левую и правую часть, то получим равенство . Это позволяет заменять в выражениях дробь вида  на тождественно равное ей выражение a−n.

Теперь представим выражение  в виде произведения . То есть заменим деление умножением. Напомним, что при замене деления умножением, делимое умножают на число, обратное делителю. А обратное делителю число в данном случае это дробь 

Теперь воспользуемся правилом . В произведении  заменим дробь  на тождественно равное ей выражение 2−2

Далее, как и раньше применяем основное свойство степени:

Получился тот же результат 1.

Таким же образом можно опустить степень из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Рассмотрим выражение . Чтобы найти его значение, воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получим

Теперь попробуем решить этот пример, опустив степень 2−2 из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, опущенную степень 2−2 и ту степень, которая располагалась в знаменателе, соединим знаком умножения. А в числителе останется единица:

Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Как и в прошлом примере выражение  представимо в виде произведения 

Этим и объясняется появление единицы в числителе, после того как степень 2−2 была опущена в знаменатель.

Переносимых в знаменатель либо в числитель степеней может быть несколько. Например, знаменатель дроби  содержит степени 32, a3b4. Перенесём эти степени в числитель, изменив знаки их показателей на противоположные. В результате получим выражение 32a3b4.

Пример 2. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель


Пример 3. Поднять степени из знаменателя дроби  в числитель


Пример 4. Поднять степень из знаменателя дроби  в числитель


Пример 5. Опустить степень из числителя дроби  в знаменатель


Пример 6. Степень из числителя дроби  опустить в знаменатель, а степень из знаменателя поднять в числитель

Представлять дробь  в виде произведения  вовсе не обязательно. Если пропустить эту запись, то данный пример можно решить короче:


Пример 7. В дроби  перенести из знаменателя в числитель только те степени, которые имеют отрицательные показатели:


Пример 8. Представить произведение 3x−5 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Перепишем произведение 3x−5 с помощью знака умножения:

3 × x−5

Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель x−5 заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь согласно правилу умножения целого числа на дробь, умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 


Пример 9. Представить произведение 3(x + y)−4 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Выражение состоит из сомножителей 3 и (x + y)−4. Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель (x + y)−4 заменим на тождественно равную ему дробь 

Теперь умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь 


Пример 10. Представить дробь  в виде произведения.

Чтобы решить этот пример, достаточно поднять степень x2 в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный:

Как и в прошлых примерах дробь  можно было представить в виде произведения . Затем воспользовавшись правилом , заменить сомножитель  на тождественно равный ему сомножитель x−2.


Пример 11. Представить дробь  в виде произведения.


Пример 12. Найти значение выражения 

Поднимем степень 2−3 из знаменателя в числитель, а степень 10−2 из числителя опустим в знаменатель:

Вычислим значения степеней, содержащихся в числителе и в знаменателе:

Сократим полученную дробь на 25. Тогда останется дробь , значение которой равно 2.

А если бы мы не подняли степень 2−3 в числитель, и степень 10−2 не опустили в знаменатель, а стали вычислять каждую степень по отдельности, то получили бы не очень компактное решение:


Возведение числа 10 в целую отрицательную степень

Число 10 в отрицательную степень возводится таким же образом, как и другие числа. Например:

Замечаем, что количество нулей, которые получаются в ответе равны модулю показателя исходной степени. Например, в степени 10−2 модуль показателя равен 2. Это значит, что в ответе будет содержаться два нуля. Так оно и есть:

Чтобы возвести число 10 в отрицательную степень, нужно перед единицей записать количество нулей, равное модулю показателя исходной степени.

При этом после первого нуля следует поставить запятую. Примеры:


Представление чисел 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10

Чтобы представить числа 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать отрицательный показатель, модуль которого равен количеству нулей исходного числа.

Представим число 0,1 в виде степени с основанием 10. Видим, что в числе 0,1 один нуль. Значит, число 0,1 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 101. Показатель степени 101 равен −1. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,1

0,1 = 101

Число 0,1 это результат деления , а эта дробь есть значение степени 101.


Пример 2. Представить число 0,01 в виде степени с основанием 10.

В числе 0,01 два нуля. Значит, число 0,01 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10−2. Показатель степени 10−2 равен −2. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,01

0,01 = 10−2

Число 0,01 это результат деления , то есть , а эта дробь есть значение степени 10−2.


Пример 3. Представить число 0,001 в виде степени с основанием 10.

0,001 = 10−3


Пример 4. Представить число 0,0001 в виде степени с основанием 10.

0,0001 = 10−4


Пример 5. Представить число 0,00001 в виде степени с основанием 10.

0,00001 = 10−5


Стандартный вид числа

Запишем число 2 000 000 в виде произведения числа 2 и 1 000 000

2 × 1 000 000

Сомножитель 1 000 000 можно заменить на степень 106

2 × 106

Такой вид записи называют стандартным видом числа. Стандартный вид числа позволяет записывать в компактном виде как большие, так и маленькие числа.

Например, маленькое число 0,005 можно записать в виде произведения числа 5 и десятичной дроби 0,001.

5 × 0,001

Десятичную дробь 0,001 можно заменить на степень с 10−3

5 × 10−3

Значит, число 0,005 в стандартном виде будет выглядеть как 5 × 10−3

0,005 = 5 × 10−3

По стандартному виду числа можно вычислить изначальное число. Так, при записи числа 2 000 000 в стандартном виде, мы получили произведение 2 × 106. Если вычислить это произведение, то снова получим 2 000 000

2 × 106 = 2 × 1 000 000 = 2 000 000

А при записи числа 0,005 в стандартном виде мы получили произведение 5 × 10−3. Если вычислить это произведение, то получим 0,005

То есть записывая число в стандартном виде нужно записывать его так, чтобы сохранить его изначальное значение.

Стандартным видом числа называют запись вида × 10n, где 1 ≤ < 10 и n — целое число.

Число а это исходное число, которое надо записать в стандартном виде. Оно должно удовлетворять неравенству 1 ≤ < 10. Чаще всего исходное число надо приводить к виду, при котором неравенство 1 ≤ < 10 становится верным.

Например, представим число 12 в стандартном виде. Для начала проверим становится ли верным неравенство 1 ≤ < 10 при подстановке числа 12 вместо а

1 ≤ 12 < 10

Неравенство верным не становится. Чтобы сделать неравенство верным, приведём число 12 к виду, при котором оно удовлетворяло бы данному неравенству. Для этого передвинем в числе 12 запятую влево на одну цифру:

1,2

Число 12 обратилось в число 1,2. Это число будет удовлетворять неравенству 1 ≤ < 10

1 ≤ 1,2 < 10

Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать произведение × 10n. С числом а мы разобрались — этим числом у нас будет 1,2. А как подобрать степень с основанием 10?

После переноса запятой на одну цифру влево, число 12 утратило своё изначальное значение. Запятая на одну цифру влево двигается тогда, когда число делят на 10. А чтобы восстановить изначальное значение числа запятую нужно передвинуть обратно в правую сторону на одну цифру, то есть умножить число 1,2 на 10.

Значит, чтобы записать число 12 в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения 1,2 × 10¹

12 = 1,2 × 10¹


Пример 2. Записать число 0,5 в стандартном виде.

Число 0,5 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на одну цифру вправо. В результате получим число 5, которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 5. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n стало равным числу 0,5. Число 0,5 получится если умножить число 5 на множитель 0,1, который представим в виде степени 10−1. В результате получим следующую запись:

0,5 = 5 × 10−1


Пример 3. Записать число 652 000 в стандартном виде.

Число 652 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на пять цифр влево. В результате получим число 6,52000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 6,52000. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n стало равным числу 652 000. Число 652 000 получится если число 6,52000 умножить на 100 000, а это есть степень 105. В результате получим следующую запись:

652 000 = 6,52000 × 105

Нули в конце десятичной дроби 6,52000 можно отбросить. Тогда получим более компактную запись:

652 000 = 6,52 × 105


Пример 5. Записать число 1 024 000 в стандартном виде.

Число 1 024 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на шесть цифр влево. В результате получим число 1,024000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 1,024000 . А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n было равно изначальному числу 1 024 000. Число 1 024 000 получится если число 1,024000 умножить на 1 000 000, а это есть степень 106. В результате получим следующую запись:

1 024 000 = 1,024000 × 106

Нули в конце десятичной дроби 1,024000 можно отбросить:

1 024 000 = 1,024 × 106

Отбрасывать можно только те нули, которые располагаются в конце, и после которых нет других цифр, бóльших нуля. В приведённом примере были отброшены только три нуля, а нуль располагавшийся между запятой и цифрой 2 был сохранен, несмотря на то, что он тоже располагался после запятой.


Пример 6. Записать число 0,000325 в стандартном виде.

Передвинем в данном числе запятую так, чтобы оно удовлетворяло неравенству 1 ≤ a< 10. В результате получим число 3,25

Теперь запишем произведение вида × 10n. Число a в данном случае это 3,25. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение × 10n было равно изначальному числу 0,000325. Число 0,000325 получится если число 3,25 умножить на множитель 0,0001 который представим в виде степени 10−4. В результате получим следующую запись:

0,000325 = 3,25 × 10−4


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вычислите степень 3−2

Решение:

Задание 2. Вычислите степень (−3)−2

Решение:

Задание 3. Вычислите степень −3−2

Решение:

Задание 4. Вычислите степень (−1)−9

Решение:

Задание 5. Вычислите степень

Решение:

Задание 6. Вычислите степень

Решение:

Задание 7. Вычислите степень −(−2)−3

Решение:

Задание 8. Вычислите степень

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения 8 × 4−3

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения 18 × (−9)−1

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения 2−3 − (−2)−4

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения

Решение:

Задание 13. Представить произведение a4b в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 14. Представить произведение 7xy3 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 15. Представить произведение 6(xy)6 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 16. Представить произведение x−1y−2 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 17. Представить произведение 9a−1(a − b)−2 в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 18. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 19. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 20. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 21. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 22. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 23. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 24. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 25. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 26. Представьте дробь  в виде произведения.

Решение:

Задание 27. Представьте число 3 000 000 в стандартном виде.

Решение:

3 000 000 = 3 × 106

Задание 28. Представьте число 0,35 в стандартном виде.

Решение:

0,35 = 3,5 × 10−1

Задание 29. Представьте число 21,56 в стандартном виде.

Решение:

21,56 = 2,156 × 101

Задание 30. Представьте число 0,000008 в стандартном виде.

Решение:

0,000008 = 8 × 10−6

Задание 31. Представьте число 0,000335 в стандартном виде.

Решение:

0,000335 = 3,35 × 10−4

Задание 32. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 33. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 34. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 35. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 36. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 37. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 38. Представьте в виде степени выражение .

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Калькулятор степеней онлайн: формула, примеры с решением

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136. Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

am × an = a(m+n).

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так:

am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так:

(am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь:

154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150. Следовательно:

154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так:

a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

a-m = 1 / am

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

a-1 = 1 / a.

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка. Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат. Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как:

a(m/n) есть корень n-ной степени из am.

Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e(kt),

где a – начальное значение, e – константа, равная 2,718; k – коэффициент роста; t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции. Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Заключение

Возведение в степень — арифметическая операция последовательного умножения. Степени имеют больше значение в прикладных науках, так как большинство реальных процессов описываются при помощи степенных функций. Используйте наш калькулятор для расчетов любых практических или школьных задач.

Отрицательные экспоненты

Экспоненты также называются Степень или Индексы

Давайте сначала посмотрим, что такое «экспонента»:

Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении
числа.

В этом примере: 8 2 = 8 × 8 = 64

Прописью: 8 2 можно назвать «8 во второй степени», «8 в степени 2»
или
просто «8 в квадрате»

Пример:

5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

Прописью: 5 3 можно назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто
«5 кубов»

В целом :

a n говорит вам использовать a в умножении
п раза:

А это положительных показателей , как насчет чего-то вроде:

8 -2

Показатель отрицательный … что это значит?

Отрицательные экспоненты

Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

Деление является обратным (противоположным) Умножению .

Отрицательная экспонента означает, сколько раз
разделите
на число.

Пример: 8 -1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125

Или много делений:

Пример: 5 -3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

Но это можно сделать и проще:

5 -3 также можно рассчитать как:

1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5 3 = 1/125 = 0,008

Последний пример показал более простой способ справиться с отрицательными показателями:

  • Вычислить положительный показатель степени (a n )
  • Затем возьмите Reciprocal (т.е. 1 / а н )

Чтобы изменить знак (плюс на минус или минус на плюс) экспоненты ,
используйте Reciprocal (т.е. 1 / a n )

Итак, что насчет 8 -2 ?

Пример: 8 -2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/8 2 = 1/64 = 0,015625

Другие примеры:

Отрицательная экспонента Взаимная величина
положительной экспоненты
Ответ
4 -2 = 1/4 2 = 1/16 = 0.0625
10 -3 = 1/10 3 = 1/1000 = 0,001

Все имеет смысл

Мой любимый метод — начать с «1», а затем умножить или разделить столько раз, сколько указано в экспоненте, тогда вы получите правильный ответ, например:

Пример: Полномочия 5
.. пр.
5 2 1 × 5 × 5 25
5 1 1 × 5 5
5 0 1 1
5 -1 1 ÷ 5 0.2
5 -2 1 ÷ 5 ÷ 5 0,04
.. и т.д ..

Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите, что положительный, нулевой или отрицательный показатель степени на самом деле являются частью одного (довольно простого) паттерна.

Отрицательные экспоненты — объяснение и примеры

Показатели — это степени или индексы.Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого как b, и показателя степени, обозначаемого как n. Общая форма экспоненциального выражения: b n . Например, 3 x 3 x 3 x 3 можно записать в экспоненциальной форме как 3 4 , где 3 — основание, а 4 — показатель степени. Они широко используются в алгебраических задачах, и по этой причине важно изучить их, чтобы облегчить изучение алгебры.

Многим учащимся будет трудно понимать отрицательные числа и дроби.Когда к уравнениям добавляются отрицательные показатели, это обычно полная катастрофа. Ну не совсем. Изучение отрицательных показателей — важный фундамент для решения сложных математических выражений. Это потому, что он дает учащимся необходимые навыки и знания для решения сложных проблем в классе и за его пределами.

Если вам интересно, с чего начать, не волнуйтесь, эта статья поможет вам превратить ваш курс по отрицательным показателям в положительный опыт.

Чтобы помочь вам лучше понять правило отрицательной экспоненты, в этой статье подробно обсуждаются следующие темы правила отрицательной экспоненты:

  • Правило отрицательных показателей
  • Примеры отрицательных показателей
  • Отрицательные дробные показатели
  • Как решать дроби с отрицательные показатели
  • Как умножить отрицательные показатели
  • Деление отрицательных показателей

Прежде чем мы займемся каждой из этих тем, давайте сделаем краткий обзор правил экспонент.

  • Умножение степеней с одинаковым основанием: при умножении одинаковых оснований сложите степени вместе.
  • Правило отношения степеней: при делении одинаковых оснований степени вычитаются
  • Правило мощности степеней: умножение степеней вместе при увеличении степени на другой показатель степени
  • Степень правила произведения: Распределение степени на каждую основу при возведении нескольких переменных на степень
  • Правило степени частного: Распределите степень по каждой базе при возведении нескольких переменных в степень
  • Правило нулевой степени: Это правило подразумевает, что любая основа, возведенная в степень нуля, равна одному
  • Отрицательная экспонента Правило: чтобы преобразовать отрицательную экспоненту в положительную, запишите число в обратную.

Как найти отрицательные экспоненты?

Закон отрицательной степени гласит, что когда число возводится в отрицательную степень, мы делим 1 на основание, возведенное в положительную экспоненту. Общая формула этого правила: a -m = 1 / a m и (a / b) -n = (b / a) n .

Пример 1

Ниже приведены примеры того, как работает правило отрицательной экспоненты:

  • 2 -3 = 1/2 3 = 1 / (2 x 2 x 2) = 1/8 = 0.125
  • 2 -2 = 1/2 2 = 1/4
  • (2/3) -2 = (3/2) 2

Дробные отрицательные показатели

Основание b в отрицательной степени n / m эквивалентно 1, деленному на основание b, возведенное в положительную степень n / m:

b -n / m = 1 / b n / m = 1 / ( m √b) n

Это означает, что если основание 2 возведено в отрицательную степень 1/2, это эквивалентно 1, деленному на основание 2, возведенному в положительный показатель степени 1/2:

2 -1/2 = 1/2 1/2 = 1/ 2 = 0.7071

Вы должны заметить, что дробная отрицательная экспонента — это то же самое, что найти корень из основания.

Дроби с отрицательными показателями

Правило подразумевает, что если дробь a / b возводится в отрицательный показатель степени n, она равна 1, деленной на основание a / b, возведенное в положительную степень n:

(a / b) -n = 1 / (a ​​/ b) n = 1 / (a ​​ n / b n ) = b n / a n

Основание 2 / 3, возведенное в отрицательную степень 2, равно 1, деленному на основание 2/3, возведенное в положительную степень 2.Другими словами, 1 делится на обратную величину основания, возведенного в положительный показатель степени 2

(2/3) -2 = 1 / (2/3) 2 = 1 / (2 2 / 3 2 ) = (3/2) 2 = 9/4 = 2,25

Умножение отрицательных показателей

При умножении показателей с одинаковым основанием мы можем сложить показатели:

a -n xa -m = a — (n + m ) = 1 / a n + m

Пример 2

2 -3 x 2 -4 = 2 — (3 + 4) = 2 -7 = 1/2 7 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1/128 = 0.0078125

В случае различных оснований и общих показателей a и b, мы можем умножить a и b:

a -n ⋅ b -n = (a ⋅ b) -n

Пример 3

3 -2 x 4 -2 = (3 x 4) -2 = 12 -2 = 1/12 2 = 1 / (12 x 12) = 1/144 = 0,0069444

В случае, если основания и показатели различаются, мы вычисляем каждый показатель отдельно, а затем умножаем:

a -n b -m

Пример 4

3 -2 x 4 -3 = (1/9) x (1/64) = 1/576 = 0.0017361

Как разделить отрицательные показатели

В случае показателей с одинаковым основанием мы вычитаем показатели:

a -n / a — m = a -n + m

Пример 5

2 -6 /2 -3 = 2 -6 + 3

= 2 -3

= 1/2 3

= 1/8

Практические задачи

  1. Масса электрона составляет около 9 × 10 -31 Если полная масса атома составляет 18 × 10 -26 кг, каково отношение массы электрона к массе электрона? полная масса атома?
  2. Муравей весит 6 × 10 -3 граммов, и каждый день он съедает около одной трети своего веса.Сколько еды может съесть конкретный муравей за неделю?
  3. Средняя масса белого носорога составляет 2,3 × 10 3 Взрослая комнатная муха весит около 12 × 10 -6 кг. Сколько взрослых комнатных мух нужно, чтобы равняться массе одного белого носорога? Дайте свой ответ с точностью до ближайших ста миллионов.

Ответы

  1. 1: 2 × 10 5 или 1: 200000
  2. 4 × 10 -2 граммов или 0,014 грамма.
  3. 200 млн.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Упрощение выражений с отрицательными показателями

Purplemath

Напомним, что отрицательные показатели степени указывают на то, что нам нужно переместить основание на другую сторону линии дроби. Например:

(«1» в приведенных выше упрощениях даны для ясности, на случай, если прошло много времени с тех пор, как вы в последний раз работали с отрицательными степенями.Обычно их не включают в свою работу.)

В контексте упрощения с помощью показателей степени отрицательные показатели могут создавать дополнительные шаги в процессе упрощения. Например:

MathHelp.com

  • Упростите следующее выражение:

Отрицательные показатели говорят мне переместить базы, поэтому:

Потом отменяю как обычно и получаю:


При работе с показателями вы имеете дело с умножением.Поскольку порядок не имеет значения для умножения, вы часто обнаруживаете, что вы и ваш друг (или вы и учитель) решили одну и ту же задачу, используя совершенно разные шаги, но в итоге получили один и тот же ответ.

Этого следовало ожидать. Если вы делаете каждый шаг правильно, вы должны получать правильные ответы. Не волнуйтесь, если ваше решение не похоже на решение вашего друга; пока вы оба получили правильный ответ, вы, вероятно, оба сделали это «правильно».


  • Упростите следующее выражение: (–3

    x –1 y 2 ) 2

Я могу действовать двумя способами. Я могу либо позаботиться о квадрате снаружи, а затем упростить внутри; иначе я могу упростить изнутри, а затем провести квадрат насквозь. В любом случае я получу тот же ответ. Чтобы доказать это, я покажу оба пути.

сначала упрощение:

в квадрат сначала:

В любом случае мой ответ тот же:


  • Упростите следующее выражение: (–5

    x –2 y ) (- 2 x –3 y 2 )

Опять же, я могу работать двумя способами: сначала умножить, а затем обработать отрицательные показатели степени, или обработать экспоненты, а затем умножить полученные дроби.Я покажу оба пути.

В любом случае мой ответ тот же:

Ни один из вышеперечисленных методов решения не является «лучше» или «хуже» другого. То, как вы решите проблему, будет зависеть от вкуса или случайности, поэтому просто делайте то, что лучше для вас.


  • Упростите следующее выражение:

Отрицательная экспонента есть только на x , а не на 2, поэтому я перемещаю только переменную:


  • Упростите следующее выражение:

«Минус» на цифре 2 говорит о перемещении переменной; «минус» на 6 означает, что 6 отрицательно.Эти два знака «минус» означают совершенно разных вещей, и не следует путать , а не .

Мне нужно переместить переменную; Я не должен перемещать 6.


  • Упростите следующее выражение:

Я переставлю одну переменную с отрицательной экспонентой, уберу и и упрощу:


URL: https: // www.purplemath.com/modules/simpexpo2.htm

отрицательных экспонентов | Purplemath

Purplemath

Узнав об отрицательных числах, вы также сможете узнать об отрицательных степенях. Отрицательный показатель просто означает, что основание находится на изнаночной стороне дробной линии, поэтому вам нужно перевернуть основание на другую сторону.Например, « x –2 » (произносится как «отстает до минус два») просто означает « x 2 , но под ним, как в

1 / ( x 2 )» .


  • Запишите

    x –4 , используя только положительные показатели.

Я знаю, что отрицательный показатель степени означает, что основание, x , принадлежит другой стороне дробной линии.Но дроби нет!

MathHelp.com

Чтобы исправить это, я сначала конвертирую выражение в дробь так, как любое выражение может быть преобразовано в дробь: помещая его над «1».Конечно, как только я переставлю основание на другую сторону дробной линии, наверху не останется ничего. Но поскольку все можно рассматривать как умножение на 1, я оставлю 1 сверху.

Вот как это выглядит:

Когда мне больше не нужна была цифра «1» внизу (для создания дроби), я пропустил ее, потому что у меня было выражение переменной внизу, а «умножение на единицу» ничего не меняет.


  • Запишите

    x 2 / x –3 , используя только положительные показатели.

Только один из членов имеет отрицательную степень. Это означает, что я буду перемещать только одно из этих условий. Термин с отрицательной силой находится внизу; это означает, что я буду перемещать его вверх, на другую сторону дробной линии.Уже есть термин сверху; Я буду использовать правила экспоненты, чтобы объединить эти два термина.

Как только я перенесу этот знаменатель наверх, под ним не останется ничего (кроме «понятого» 1), поэтому я опущу знаменатель.


  • Запишите 2

    x –1 , используя только положительные показатели.

Отрицательная сила станет просто «1», как только я переместу основание на другую сторону линии дроби.Все, что касается силы 1, само по себе, так что я смогу сбросить эту силу, как только переставлю базу.


Убедитесь, что вы понимаете, почему указанная выше цифра «2» не перемещается вместе с переменной: отрицательная экспонента присутствует только на « x », поэтому перемещается только цифра x ..


  • Запишите (3

    x ) –2 , используя только положительные показатели.

На этот раз у меня есть число внутри степени, а также переменная, поэтому мне нужно не забыть упростить числовое возведение в квадрат.

В отличие от предыдущего упражнения круглые скобки означают, что отрицательная степень действительно применима к трем, а также к переменной.


  • Запишите (-5

    x -1 ) / ( y 3 ), используя только положительные степени.

Степень «минус один» на x означает, что мне нужно переместить этот x на другую сторону линии дроби. Но «минус» на 5 означает только то, что 5 отрицательный. Этот «минус» равен , а не единицам мощности, поэтому он не говорит ничего о перемещении 5 куда-нибудь!

Перемещая только один бит, который действительно нужно переместить, я получаю:

(-5 x -1 ) / ( y 3 ) = -5 / ( x 1 y 3 ) = -5 / ( x y 3 )


  • Запишите (

    x –2 / y –3 ) –2 , используя только положительные показатели.

Есть несколько способов выполнить шаги для этого упрощения. Я начну с того, что отмечу, что отрицательная экспонента за пределами круглых скобок означает, что числитель следует переместить под ним, а знаменатель — наверх. Другими словами, дробь в скобках должна быть перевернута.

После того, как я перевернул дробь и преобразовал отрицательную внешнюю мощность в положительную, я перенесу эту степень в круглые скобки, используя правило power-on-a-power; а именно размножу.В этом случае это приведет к отрицательным степеням в числителе и знаменателе, поэтому я снова переверну. (Да, я как бы изучаю долгий путь.)

Вышеупомянутое упрощение также может быть выполнено как:

Вместо того, чтобы перевернуть дважды, я заметил, что все силы отрицательные, и переместил внешнюю силу на внутренние; так как «минус, умноженный на минус, это плюс», я получил все положительные силы.

Примечание. Хотя это второе решение было бы более быстрым способом выполнения упражнения, «быстрее» не означает «правильнее». В любом случае это хорошо.

Поскольку показатели указывают на умножение, и поскольку порядок умножения не имеет значения, часто будет несколько последовательностей шагов, которые приведут к действительному упрощению данного упражнения этого типа. Не волнуйтесь, если шаги в вашем домашнем задании будут сильно отличаться от шагов в домашнем задании одноклассника.Если ваши шаги были правильными, в итоге вы оба должны получить один и тот же ответ.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении выражений с отрицательными показателями степени. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкните здесь, чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway, если вы хотите проверить их программное обеспечение или получить дополнительную информацию.)


Между прочим, теперь, когда вы знаете об отрицательных показателях степени, вы можете понять логику правила «все до нуля»:

Все, что находится в нулевой степени, равно «1».

Почему это так? Есть разные объяснения. Можно сказать, что «потому что так работают правила». Другой вариант — проследить прогрессию, подобную следующей:

3 5 = 3 6 ÷ 3 = 3 6 ÷ 3 1 = 3 6–1 = 3 5 = 243

3 4 = 3 5 ÷ 3 = 3 5 ÷ 3 1 = 3 5–1 = 3 4 = 81

3 3 = 3 4 ÷ 3 = 3 4 ÷ 3 1 = 3 4–1 = 3 3 = 27

3 2 = 3 3 ÷ 3 = 3 3 ÷ 3 1 = 3 3–1 = 3 2 = 9

3 1 = 3 2 ÷ 3 = 3 2 ÷ 3 1 = 3 2–1 = 3 1 = 3

На каждой ступени, где мощность каждой ступени была на единицу меньше предыдущей, упрощенное значение было равно предыдущему значению, разделенному на 3.Тогда по логике, поскольку 3 ÷ 3 = 1, мы должны иметь:

3 0 = 3 1 ÷ 3 = 3 1 ÷ 3 1 = 3 1–1 = 3 0 = 1

Объяснение с отрицательными показателями «все, что до нулевой степени равно 1», может быть таким:

м 0 = м ( n — n ) = м n × м n = m ÷ m n = 1

…поскольку все, что делится само по себе, просто «1».


Комментарий: Пожалуйста, не просите меня «определять» 0 0 . Это количество можно оценить как минимум двумя способами:

Все, что находится в нулевой степени, равно «1», поэтому 0 0 = 1.

От нуля до любой степени равно нулю, поэтому 0 0 = 0.

Насколько мне известно, «боги математики» еще не пришли к твердому «определению» 0 0 — хотя, честно говоря, неофициальный консенсус, похоже, строится на том, что значение «должно» быть равным 1, и почти любой язык программирования выдаст значение 1.

В математике «0 0 » будет называться «неопределенной формой», что означает, что с математической точки зрения это не имеет смысла и не сообщает вам ничего полезного. Если это количество встречается в вашем классе, не предполагайте: спросите своего инструктора, что вам следует с ним делать.


Чтобы увидеть больше рабочих примеров, попробуйте здесь. Или продолжите этот урок; далее следует научное обозначение.


URL: https: // www.4 = 16 $$
$$ x = \ pm2 $$

Отрицательных показателей нечего бояться. Помните, что когда вы видите отрицательную экспоненту, вы можете поместить ее с другой стороны дробной шкалы и сделать ее положительной. Если вам нужна дополнительная помощь по математике по этой теме, вы можете посетить нашу доску справочных сообщений по математике и задать свой вопрос бесплатно.

Отрицательные экспоненты — определение, правила, примеры отрицательных показателей

Мы знаем, что показатель степени относится к тому, сколько раз число умножается само на себя.Например, 3 2 = 3 × 3. В случае положительных показателей мы легко умножаем число (основание) на себя, но что произойдет, если у нас есть отрицательные числа в качестве показателей? Отрицательная экспонента определяется как мультипликативная инверсия основания, возведенная в степень, противоположную данной степени. Проще говоря, мы записываем обратную величину числа, а затем решаем его как положительные показатели. Например, 3 -2 можно записать как 1/3 2 . Давайте узнаем больше об отрицательных показателях в этом уроке.

Что такое отрицательные экспоненты?

Мы знаем, что показатель степени числа говорит нам, сколько раз мы должны умножить основание. Например, рассмотрим 8 2 , 8 — основание, а 2 — показатель степени. Мы знаем, что 8 2 = 8 × 8. Отрицательная экспонента говорит нам, сколько раз нам нужно умножить обратную величину от основания. Рассмотрим 8 -2 , здесь база равна 8, а показатель степени отрицательный (-2). 8 -2 выражается как 1/8 2 = 1/8 × 1/8.

Числа и выражения с отрицательными показателями

Вот несколько примеров, которые выражают отрицательные показатели с переменными и числами. Обратите внимание на таблицу, чтобы увидеть, как число записывается в его обратной форме и как меняются знаки степеней.

Отрицательная экспонента Результат
2 -1 1/2
3 -2 1/3 2 = 1/9
x -3 1 / х 3
(2 + 4x) -2 1 / (2 + 4x) 2
(x 2 + y 2 ) -3 1 / (x 2 + y 2 ) 3

Правила отрицательной экспоненты

У нас есть набор правил или законов для отрицательных показателей степени, которые упрощают процесс упрощения.Ниже приведены основные правила решения отрицательных показателей.

  • Правило 1: Правило отрицательной экспоненты гласит, что для каждого числа ‘a’ с отрицательной экспонентой -n берется обратная величина от основания и умножается на значение показателя: a (-n) = 1 / a n = 1 / a × 1 / a × …. n раз
  • Правило 2: Правило для отрицательной степени в знаменателе предполагает, что для каждого числа ‘a’ в знаменателе и его отрицательной степени -n результат может быть записан как: 1 / a (-n) = а n = а × а ×…. n раз

Давайте применим эти правила и посмотрим, как они работают с числами.

Пример 1: Решить: 2 -2 + 3 -2

Решение:

  • Используйте правило отрицательной степени a -n = 1 / a n
  • 2 -2 + 3 -2 = 1/2 2 + 1/3 2 = 1/4 + 1/9
  • Возьмите наименьшее общее кратное (НОК): (4 + 9) / 36 = 13/36

Пример 2 : Решить: 1/4 -2 + 1/2 -3

Решение:

  • Используйте второе правило с отрицательной экспонентой в знаменателе: 1 / a -n = a n
  • 1/4 -2 + 1/2 -3 = 4 2 + 2 3 = 16 + 8 = 24

Почему дроби отрицательные?

Отрицательная экспонента возвращает нас к числу, обратному числу.Другими словами, -n = 1 / a n и 5 -3 становится 1/5 3 = 1/125. Вот так отрицательные показатели превращают числа в дроби. Давайте рассмотрим другой пример, чтобы увидеть, как отрицательные показатели превращаются в дроби.

Пример: Решить 2 -1 + 4 -2

Решение:

2 -1 можно записать как: 1/2, а 4 -2 записать как 1/4 2 . Следовательно, отрицательные показатели степени меняются на дроби при изменении знака их показателя степени.

Умножение отрицательной степени

Умножение отрицательной степени такое же, как умножение любого другого числа. Как мы уже обсуждали, отрицательные показатели могут быть выражены в виде дробей, поэтому их можно легко решить после преобразования в дроби. После этого преобразования мы умножаем отрицательные показатели, используя те же правила, что и для умножения положительных показателей. {3} \ times 4} \)

  • 45/4 4 = 45/256
  • Как найти отрицательные экспоненты?

    Решение любого уравнения или выражения — это работа с этими уравнениями или выражениями.{-2}} {1} \)

  • 7 5 /3 2 = 16807/9
  • Важные моменты

    Обратите внимание на следующие моменты, которые следует помнить при работе с отрицательными показателями.

    • Показатель степени или степень означает, сколько раз нужно умножить основание на само себя.
      a м = a × a × a… .. m умножить на
      a -m = 1 / a × 1 / a × 1 / a… .. m умножить на
    • a -n также известен как мультипликативное обратное значение n .
    • Если -m = -n , то m = n.
    • Соотношение между показателем степени (положительные степени) и отрицательным показателем (отрицательная степень) выражается как: a x = 1 / a -x

    Отрицательные экспоненты Статьи по теме:

    1. Пример 1: Найдите решение данной проблемы: (3 2 + 4 2 ) -2

      Решение:

      (3 2 + 4 2 ) -2 = (9 + 16) -2 = (25) -2 = 1/25 2 = 1/625.Следовательно, (3 2 + 4 2 ) -2 = 1/625

    2. Пример 2: Найдите значение x в 27/3 -x = 3 6

      Решение:

      Здесь отрицательные показатели с переменными.

      27/3 -x = 3 6 , 3 3 /3 -x = 3 6 , 3 3 × 3 -x = 3 6 , 3 (3 + х) = 3 6

      Если основания одинаковы, то показатели должны быть равны x + 3 = 6, x = 3.Следовательно, значение x = 3.

    3. перейти к слайду

    Есть вопросы по основным математическим понятиям?

    Станьте чемпионом в решении проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

    Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

    Часто задаваемые вопросы об отрицательных показателях

    Что такое отрицательные числа с экспонентами?

    Отрицательные числа с показателями степени подчиняются тем же законам, что и положительные числа с показателями степени, с той лишь разницей, что отрицательные числа дают отрицательный результат, когда их показатель степени нечетный, и они дают положительный результат, когда показатель степени четный.Например, (-5) 3 = -125, (-5) 4 = 625.

    Как упростить отрицательные экспоненты?

    Отрицательные показатели степени упрощаются с использованием тех же законов экспонент, которые используются для решения положительных показателей. Например, чтобы решить: 3 -3 + 1/2 -4 , сначала мы изменим их на обратную форму: 1/3 3 + 2 4 , затем упростим 1/27 + 16. Взятие НОК [1+ (16 × 27)] / 27 = 433/27.

    Как разделить отрицательные экспоненты?

    Деление показателей с одинаковым основанием аналогично умножению показателей, но сначала нам нужно преобразовать их в положительные показатели.Мы знаем, что при умножении показателей с одинаковым основанием степени складываются, и мы используем то же правило при делении показателей. Например, чтобы решить y 5 ÷ y -3 , или, y 5 / y -3 , сначала мы меняем отрицательный показатель (y -3 ) на положительный, записывая его обратную величину . Это дает: y 5 × y 3 = y (5 + 3) = y 8 .

    Как умножить отрицательные экспоненты?

    При умножении отрицательных показателей степени, сначала нам нужно преобразовать их в положительные показатели, записав соответствующие числа в их обратной форме.После того, как они преобразованы в положительные, мы умножаем их, используя те же правила, что и для умножения положительных показателей. Например, y -5 × y -2 = 1 / y 5 × 1 / y 2 = 1 / y (5 + 2) = 1 / y 7 .

    Почему отрицательные экспоненты являются обратными?

    Когда нам нужно изменить отрицательный показатель степени на положительный, мы должны написать обратную величину данного числа. Таким образом, отрицательный знак экспоненты косвенно означает обратное значение данного числа, так же как положительный показатель степени означает повторное умножение основания.

    Сколько 10 в отрицательной степени двойки?

    10 в отрицательной степени 2 представляется как 10 -2 , что равно (1/10 2 ) = 1/100.

    Отрицательные показатели — Полный курс алгебры

    20

    Мощность дроби

    Делительные степени одного основания

    Отрицательные показатели

    Раздел 2

    Показатель 0

    Научная запись

    Мощность дроби

    «Чтобы возвести дробь в степень, возведите числитель
    и знаменатель в эту степень.«

    Пример 1.

    Для, согласно значению показателя степени и правилу умножения дробей:

    Пример 2. Применяем правила экспонент:

    Решение . Мы должны взять 4-ю степень всего.Но чтобы взять степень степени — умножьте показатели:

    Задача 1. Применить правила экспонент.

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решите проблему сами!

    а) = x 2
    y 2
    б) = 8 x 3
    27
    в) =
    г) =
    д) = x 2 -2 x + 1
    x 2 + 2 x + 1

    Трехчлен совершенного квадрата

    Делительные степени одного основания

    В следующем уроке мы увидим следующее правило уменьшения дроби:

    «Числитель и знаменатель можно разделить на
    общим множителем.«

    Рассмотрим эти примеры:

    2 · 2 · 2 · 2 · 2
    2 · 2
    = 2 · 2 · 2
    ___2 · 2___
    2 · 2 · 2 · 2 · 2
    = __1__
    2 · 2 · 2

    Если писать с экспонентами, то

    2 2 = 2 3

    В каждом случае мы вычитаем экспонент.Но когда показатель степени в знаменателе больше, мы пишем единицу поверх разницы.

    Пример 3. x 3 = x 5
    x 8 = 1
    x 5

    Вот правило:

    Проблема 2.Упростите следующее. (Не записывайте отрицательную экспоненту.)

    а) = x 3 б) x 2
    x 5
    = 1
    x 3
    в) x
    x 5
    = 1
    x 4
    г) x 2
    x
    = x д) = х 4 е) = 1
    x 2

    Проблема 3.Упростите каждое из следующих действий. Затем посчитайте каждое число.

    а) = 2 3 = 8 б) 2 2
    2 5
    = 1
    2 3
    = 1
    8
    в) 2
    2 5
    = 1
    2 4
    = 1
    16
    г) 2 2
    2
    = 2 д) = −2 4 = −16. См. Урок 13.
    е) = 1
    2 2
    = 1
    4
    Пример 4. Упростим, сократив до наименьшего числа:

    Решение. Рассмотрим каждый элемент по очереди:

    Проблема 4. Упростите, сведя к минимуму. (Не записывайте отрицательные показатели.

    а) = y 3
    5 x 3
    б) = 8 a 3
    5 b 3
    в) = 3 z _
    5 x 4 y 3
    г) = в 3
    16
    д) ( x + 1) 3 ( x — 1)
    ( x — 1) 3 ( x + 1)
    = ( x + 1) 2
    ( x — 1) 2

    Отрицательные показатели

    Теперь мы собираемся расширить значение показателя степени до большего, чем просто положительное целое число.Мы сделаем это таким образом, чтобы выполнялись обычные правила экспонент. То есть нам нужно, чтобы следующие правила выполнялись для любых показателей: положительные, отрицательные, 0 — четные дроби.

    Начнем с определения числа с отрицательной экспонентой .

    Это число, обратное этому числу с положительным показателем степени.

    a n , обратное a n .

    Пример 5. 2 −3 = 1
    2 3
    = 1
    8

    База, 2, не меняется. Отрицательная экспонента становится положительной — в знаменателе.

    Пример 6. Сравните следующее.То есть оцените каждую:

    3 −2 −3 −2 (−3) −2 (−3) −3

    Ответы. 3 −2 = 1
    3 2
    = 1
    9
    .

    Далее,

    −3 −2 — это отрицательное значение из 3 −2 .(См. Урок 13.) База по-прежнему равна 3.

    Что касается (-3) -2 , круглые скобки указывают, что основание равно -3:

    (−3) −2 = 1
    (−3) 2
    = 1
    9
    .

    Наконец,

    (−3) −3 = 1
    (−3) 3
    = 1
    27
    .

    Таким образом, отрицательная экспонента не дает отрицательного числа. Это может сделать только отрицательная база. И тогда показатель степени должен быть нечетным

    .

    Пример 7. Упростить a 2
    a 5
    .

    Решение . Поскольку мы изобрели отрицательные показатели, теперь мы можем вычесть любых показателей следующим образом:

    Теперь у нас есть следующее правило для любых экспонентов m , n :

    На самом деле, потому что мы хотели, чтобы это правило соблюдалось, мы

    определяется как a n как 1
    a n
    .

    Мы хотим

    Но

    Таким образом, определяем a −3 как 1
    a 3
    .
    Пример 8. а -1 = 1
    а

    a −1 теперь является символом для обратного или мультипликативного обратного числа любого числа a . Он появляется в следующем правиле (Урок 6):

    Проблема 5. Оцените следующее.

    .

    а) ( 2
    3
    ) -1 = 3
    2
    . 3
    2
    является обратной величиной 2
    3
    .

    в 4-й степени.

    б) ( 2
    3
    ) −4 = 81
    16
    . 81
    16
    является обратной величиной 2
    3
    .
    Задача 6. Показать: a m · b n = a м
    b n
    .
    a м · b n = a м · 1
    b n
    = a м
    b n
    .

    Определение подразделения

    Пример 9. Используйте правила экспонент для вычисления (2 −3 · 10 4 ) −2 .

    Решение. (2 −3 · 10 4 ) −2 = 2 6 · 10 −8 Мощность мощности
    = Проблема 6
    = _64_
    100000000

    Проблема 7.Оцените следующее.

    а) 2 −4 = 1
    2 4
    = 1
    16
    б) 5 -2 = 1
    5 2
    = 1
    25
    в) 10 -1 = 1
    10 1
    = 1
    10
    г) (−2) −3 = 1
    (−2) 3
    = 1
    −8
    = 1
    8
    д) (−2) −4 = 1
    (−2) 4
    = 1
    16
    е) −2 −4 = 1
    2 4
    = 1
    16

    г) (½) -1 =
    2.2 — , обратное ½.

    Задача 8. Используйте правила экспонент, чтобы оценить следующее.

    а) 10 2 · 10 −4 = 10 2-4 = 10 −2 = 1/100.
    б) (2 −3 ) 2 = 2 −6 = 1
    2 6
    = 1
    64
    в) (3 −2 · 2 4 ) −2 = 3 4 · 2 −8 = 3 4
    2 8
    = 81
    256
    г) 2 −2 · 2 = 2 -2 + 1 = 2 -1 = 1
    2

    Проблема 9.Записываем без знаменателя.

    а) x 2
    x 5
    = x 2−5 = x −3 б) л
    л 6
    = л 1−6 = л −5
    в) = x −3 y −4 г) = a −1 b −6 c −7
    д) 1
    x
    = х -1 е) 1
    x 3
    = x −3
    г) ( x + 1)
    x
    = ( x + 1) x -1 ч) ( x + 2) 2
    ( x + 2) 6
    = ( x + 2) −4

    Пример 10.Записываем без знаменателя и вычисляем:

    .

    Ответ . Правило вычитания показателей —

    — сохраняется даже при отрицательном показателе степени.

    Следовательно,

    = 10 −3 + 5-2 + 4 = 10 4 = 10 000.

    Показатель 2 входит в числитель как −2; показатель −4 идет туда как +4.

    Задача 10. Перепишите без знаменателя и оцените.

    а) 2 2
    2 −3
    = 2 2 + 3 = 2 5 = 32 б) 10 2
    10 -2
    = 10 2 + 2 = 10 4 = 10 000
    в) = 10 2-5-4 + 6 = 10 -1 = 1
    10
    г) = 2 5-6 + 9-7 = 2 1 = 2

    Проблема 11.Коэффициенты можно переносить между числителем и знаменателем [Как?]

    Путем изменения знака экспоненты.

    Пример 11. Записываем без знаменателя:
    Ответ.

    Показатель степени 3 входит в числитель как −3; показатель −4 идет туда как +4.

    Задача 12. Перепишите только с положительными показателями.

    а) x
    y −2
    = xy 2 б) = в) =

    Проблема 13.Примените правила экспонент, затем перепишите с положительными показателями.

    Раздел 2: Показатель 0

    Следующий урок: Алгебраические дроби

    Содержание | Дом


    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.