Решение полного квадратного уравнения: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений.

Содержание

Квадратное уравнение | Алгебра

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

   

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

   

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

   

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

   

3) Если D<0, квадратное уравнение не имеет корней в действительных числах.

Решение неполных квадратных уравнений

1) Если c=0

   

Общий множитель x выносим за скобки

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

откуда

   

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

   

Если знаки a и с разные (например, a>0, c<0), левую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов

   

   

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

Отсюда

   

Если -a<0, c>0, обе части уравнения делим на -a

   

и получаем то же уравнение

   

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a<0, c<0, то ax²≤0 (в примерах этого вида ax²<0). Сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

В дальнейшем обычно решают короче:

   

   

   

   

или

   

   

корней нет.

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

   

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

   

   

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.

Простое решение квадратных уравнений — Доктор Лом

Затем определяются корни:

х1 = (-b + √D)/2a (684.0.2)

х2 = (-b — √D)/2a (684.0.3)

Если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений, так как невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Все запомнили? Ну до экзаменов запомните.

Как-то так было. Откуда взялся этот дискриминант и почему у уравнения возможны 2 корня, никто толком не объяснял, да и мне тогда было не интересно. Я запомнил только, что есть дискриминант и 2 корня, а значения этих параметров всегда можно посмотреть в учебнике или справочнике.

Не, ну для экзамена я конечно выучил и дискриминант и значения корней (хотя можно было просто написать «шпору»), вот только тупо заучить (списать из справочника или шпаргалки) и понять принцип расчета — это разные вещи.

Сейчас при расчете строительных конструкций иногда приходится решать квадратные уравнения, например нужно найти точку нулевых поперечных сил во втором пролете трехпролетной балки. Но сейчас даже знать про существование дискриминанта или справочников, где его значение указывается, вовсе необязательно. В сети полно онлайн-калькуляторов, в миг решающих квадратные уравнения, только подставляй значения коэффициентов.

Я так обычно и делал, но в последний раз чего-то захотел решить квадратное уравнение классическим способом. Полез в сеть посмотреть значение дискриминанта и корней и наткнулся на очень хороший ресурс, где решение квадратных уравнений разложено не просто по полочкам, но и вплоть до молекул, атомов, протонов и нейтронов. Ну то есть, я, когда хочу разжевать какую-то мысль, иногда перебарщиваю, но там все разжевано до состояния муки. Ниже я просто попробую слепить из той муки пирожки, ну а жарить пирожки вы будете уже сами. Итак:

1. Уравнение вида ax2 + bx + c = 0 — это полное квадратное уравнение. Но если быть совсем уж точным, то более правильно писать такое уравнение так: ax2 + bx1 + cx0 = 0. чтобы не возникало сомнений, с — это свободный член или все-таки коэффициент?

2. Литеры а, b и с — это коэффициенты членов уравнения (Во как! И кстати при правильном написании полного квадратного уравнения с— совсем не свободный член, как опрометчиво думают некоторые несознательные математики). Значения коэффициентов могут быть любыми: положительными, отрицательными; они могут быть = 1 или = 0.

3. Если b или(и) с = 0, то квадратное уравнение является неполным. Если а = 0, то это вообще не квадратное уравнение.

4. Неполные квадратные уравнения решаются в несколько простых приемов (что я раньше и делал, не особо задумываясь над глубоко математической сутью проделываемых операций).

4.1. При с = 0

Уравнение вида ax2 + bx = 0 решается следующим образом:

ax2 + bx = 0 (684.1.1)

ax2/х + bx/х = 0/х (684.1.2)

ax + b = 0 (684.1.3)

ax + b — b = 0 — b (684.1.4)

ax = -b (684.1.5)

ax/a = — b/a (681.6)

х = -b/a (684.1.7)

Тут смысл в том, что ноль на сколько ни дели, все равно будет 0 и это очень помогает при решении неполных квадратных уравнений указанного вида. Впрочем, тут можно использовать и другой подход:

ax2 + bx = 0 (684.1.1)

ax2 + bx — bx = 0 — bх (684.1.7)

ax2 = — bx (684.1.8)

ax2/x = — bx/x (684.1.9)

aх = -b (684.1.5)

ax/a = -b/a (681.1.6)

x = -b/a (684.1.7)

Но как ни крути, количество действий не уменьшается. Впрочем в классической записи уравнений будет немного меньше, так как в классической версии один член уравнения сразу переносится в другую часть уравнения с обратным знаком, а тут я просто расписал, почему это именно так. Тем не менее воспользуемся далее классической записью, чтобы сократить количество уравнений.

4.2. При b = 0

Уравнение вида ax2 + c = 0 решается следующим образом:

ax2 + с = 0 (684.2.1)

ax2 = -с (684.2.2)

x2 = -с/а (684.2.3)

х = √-с/a (684.2.4)

И тут мы впервые получаем корень из отрицательного числа, который невозможно извлечь, если в квадратном уравнении (684.2.1) коэффициенты с и а — положительные. Тут в принципе ничего странного. Просто как ни крути, но как умножить число само на себя (а это и есть квадрат числа), чтобы в итоге получилось отрицательное число, люди пока не придумали. А такие числа раньше называли мнимыми, теперь — комплексными (видать, дедушка Фрейд повлиял).

И тут же мы получаем и второй корень уравнения:

х2 = -√-с/a (684.2.5)

Все по той же вышеуказанной причине. Когда мы возводим отрицательное число в квадрат, т.е. умножаем само на себя, то получаем положительное число, ну а уж при умножении положительного числа самого на себя получить отрицательное число вообще не удается. Ну то есть 2·2 = 4 и (-2)·(-2)=4, соответственно, когда мы извлекаем квадратный корень из 4, то и 2 и -2 — правильный ответ.

Вот и получается, что квадратное уравнение вида ax2 + c = 0 имеет два корня, а вещественные эти корни или нет, то для математики дело уже десятое.

4.3. Совсем неполное квадратное уравнение вида ax2 = 0 имеет два вещественных корня, но при этом всегда х1 = х2 = 0.

То есть решать это уравнение в принципе не нужно, ответ уже известен, но можно и расписать, мало ли чего:

ax2 = 0 (684.3.1)

ax2/а = 0/а (684.3.2)

x2 = 0 (684.3.3)

х1 = √0 = 0 (684.3.4)

х2 = — √0 = -0 = 0 (684.3.5)

Тут конечно может возникнуть вопрос: а почему это -0 = 0, на каком основании? К сожалению я не настолько хорошо знаю математику, чтобы ответить на этот вопрос.

Ну а теперь самое интересное:

5. Есть еще один вид квадратных уравнений:

(ax + b)2 + c = 0 (684.5.1)

С одной стороны уравнение такого вида полное, так как все коэффициенты членов не = 0. А с другой стороны в нем пока нет явного х2 и ничто не мешает нам решить это уравнение по принципу решений уравнений вида (682.2.1):

(ax + b)2 + c = 0 (684.5.1)

(ax + b)2 = -c (684.5.2)

ax1 + b = √-c (684.5.3)

ax2 + b = -√-c (684.5.3.1)

ax1 = — b + √-c (684.5.4)

ax2 = -b — √-c (684.5.4.1)

x1 = (- b + √-c)/a (684.5.5)

x2 = (-b — √-c)/a (684.5.5.1)

6. Все остальные квадратные уравнения являются полными, а чтобы их решить нужно помнить главное:

Решение полного квадратного уравнения сводится к выделению полного квадрата! Вот и все!!!

Тут конечно нужно пояснить, что такое полный квадрат. Полный квадрат — это выражение типа (ax + b)2. Да-да, то самое, которое мы рассматривали в предыдущем пункте. А полный квадрат тут потому, что:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 (684.6.1)

Соответственно если мы добавим еще один множитель (и тут даже не важно для a или для b), то в принципе ничего не изменится:

(ax + b)2 = (ax + b)(ax + b) = a2x2 + 2abx + b2 (684.6.2)

Т.е. члены исходного уравнения вида ax2 + bx + c = 0 нужно так умножить-поделить на какое-то число или добавить-отнять какое-то число к(из) каждой части уравнения, чтобы привести его к нужному виду. Итак, пробуем:

ax2·a + bx· + c·a = 0 (684.6.3)

a2x2 + аbx = — aс (684.6.4)

Пока все хорошо, вот только в таком виде у нас второй член уравнения abx в 2 раза меньше требуемого до полного квадрата, а если мы умножим все члены уравнения на 2, то у нас первый член уравнения a2x2 станет в 2 раза больше, чем нам нужно. Что же делать?

А просто еще раз внимательно проанализировать формулу (684.6.2). Ведь что получается? Любой из членов мы можем умножать на любое количество коэффициентов. Т.е. для начала мы умножили а на х, но никто не запрещает умножить а еще и на такое число n, чтобы n2 = 2n, в математическом виде это выглядит так:

(nax + b)2 = n2a2x2 + 2nabx + b2 (684.6.2.1)

Почему n = 2, я подробно расписывать не буду (для этого есть формулы первого пункта). А в итоге получается, что мы должны все члены уравнения умножить на такое число у, которое равно у = n2 = 2n = 22 = 2·2 = 4. Тогда

4a2x2 + 4аbx = — 4aс (684.6.5)

Ну и теперь добавим к каждой части уравнения b2, чтобы получить полный квадрат:

4a2x2 + 4аbx + b2 = b2 — 4aс (684.6.5)

Тогда 

(2ax + b)2 = b2 — 4ac (684.6.6) 

И используя формулы п.5 мы получим:

2ax1 + b = √b2 — 4ac (684.6.7.1)

2ax2 + b = — √b2 — 4ac (684.6.7.2)

2ax1 = -b + √b2 — 4ac (684.6.8.1)

2ax2 = -b — √b2 — 4ac (684.6..8.2)

x1 = (-b + √b2 — 4ac)/2a (684.6.9.1)

x2 = (-b — √b2 — 4ac)/2a (684.6.9.2)

Ну а если мы еще на стадии уравнения (684.6.6) заменим постоянное выражение b2 — 4ac неким дискриминантом D, то запись уравнений (684.6.6 — 684.6.9) значительно сократится.

Сейчас, при большом объеме свободной памяти на жестком диске, наличии в компьютере функций «Ctrl+C», «Сtrl+V» и прочих весьма полезных функций, такая замена вовсе не обязательна.2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс.2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

 

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х2-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения

Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Квадратные уравнения (способы решения)

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .

Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 находят по формуле

Выражение D = b2— 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

  • если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
  • если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
  • если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

  1. c = 0, то уравнение примет вид
    ax2 + bx = 0.
    x(ax + b) = 0 ,
    x = 0 или ax + b = 0, x = —b : a.
  2. b = 0, то уравнение примет вид
    ax2 + c = 0,
    x2 = —c / a,
    x1, 2 = ±√(-c / a).
  3. b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид
    ax2 = 0,
    x = 0

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

  1. имеет один корень z = 0, если а = 0;
  2. имеет два действительных корня z1, 2 = ±√a
  3. Не имеет действительных корней, если a < 0

Решение квадратных уравнений с помощью графиков

Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например x2 + x + 1 = 0.

Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x2; y = x + 1.

y = x2, квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.

Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений






Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км.
Вверх по реке 10 — x 35 / (10 — x) 35
Вверх по протоку 10 — x + 1 18 / (10 — x + 1) 18
V течения x
V притока x + 1

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.

ОДЗ: ∀ x ≠ 9, 10.

Практикум

т.к. D1
Ответ: корней нет.

Ответ: x = 2,5.

Заключение

Ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это – квадратные уравнения.

В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.

Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое

Презентация

Способы решения квадратных уравнений. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.












1.

Дискриминант квадратного уравнения


Сложность:
лёгкое

1


2.

Число корней квадратного уравнения


Сложность:
лёгкое

1


3.

Полное квадратное уравнение (a = 1; b > 0)


Сложность:
лёгкое

2


4.

Полное квадратное уравнение (а не равно 1)


Сложность:
среднее

2


5.

Квадратное уравнение, введение новой переменной


Сложность:
среднее

3


6.

Квадратное уравнение, равенство произведения 0


Сложность:
среднее

1


7.

Задача на составление квадратного уравнения


Сложность:
сложное

4


8.

Сокращение алгебраической дроби, разложение на множители квадратного трёхчлена


Сложность:
сложное

4


9.

Сокращение алгебраической дроби, формула разности кубов


Сложность:
сложное

4


10.

Разложение на множители квадратного трёхчлена, отрицательные корни


Сложность:
сложное

2

Квадратные уравнения: приведённые уравнения, формулы корней

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax2 + bx + c = 0  — квадратное уравнение,

где  x  — это неизвестное, а  ab  и  c  — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях  a  называется первым коэффициентом  (a ≠ 0),  b  называется вторым коэффициентом, а  c  называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на  a,  то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами  p  и  q:

если   b  = p,  а  c  = q,
a a

то получится   x2 + px + q = 0.

Уравнение  x2 + px + q = 0  называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x2 + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x2 + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на  -3:

x2 — 3x + 4 = 0.

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax2 + bx + c = 0;

ax2 + 2kx + c = 0;

x2 + px + q = 0.

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:


Вид уравнения Формула корней
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2kx + c = 0
x2 + px + q = 0

или
если коэффициент  p  нечётный

Обратите внимание на уравнение:

ax2 + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение  ax2 + bx + c = 0,  в котором коэффициент  b  — четный, что позволяет его заменить на вид  2k.  Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё  2k  вместо  b:

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 + 7x + 2 = 0.

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = 7,  c = 2.

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x1 -2  = — 1 ,   x2 -12  = -2
6 3 6

Пример 2:

x2 — 4x — 60 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -60.

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x1 = 2 + 8 = 10,   x2 = 2 — 8 = -6

Ответ:  10,  -6.

Пример 3.

y2 + 11y = y — 25.

Приведём уравнение к общему виду:

y2 + 11y = y — 25;

y2 + 11yy + 25 = 0;

y2 + 10y + 25 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  p = 10,  q = 25.

Так как первый коэффициент равен  1,  то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ:  -5.

Пример 4.

x2 — 7x + 6 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  p = -7,  q = 6.

Так как первый коэффициент равен  1,  то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x1 = (7 + 5) : 2 = 6,

x2 = (7 — 5) : 2 = 1.

Ответ:  6,  1.

Как решается через дискриминант. Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения часто появляются во время решения различных задач физики и математики. В данной статье мы рассмотрим, как решать эти равенства универсальным способом «через дискриминант». Примеры использования полученных знаний также даются в статье.

О каких уравнениях пойдет речь?

На рисунке ниже изображена формула, в которой x — неизвестная переменная, а латинские символы a, b, c представляют собой некоторые известные числа.

Каждый из этих символов называется коэффициентом. Как можно заметить, число «a» стоит перед переменной x, возведенной в квадрат. Это максимальная степень представленного выражения, поэтому оно называется квадратным уравнением. Часто используют другое его название: уравнение второго порядка. Само значение a — это квадратный коэффициент (стоящий при переменной в квадрате), b — это линейный коэффициент (он находится рядом с переменной, возведенной в первую степень), наконец, число c — свободный член.

Отметим, что вид уравнения, который изображен на рисунке выше, является общим классическим квадратным выражением. Помимо него существуют другие уравнения второго порядка, в которых коэффициенты b, c могут быть нулевыми.

Когда ставят задачу решить рассматриваемое равенство, то это означает, что такие значения переменной x нужно найти, которые бы ему удовлетворяли. Здесь первым делом нужно запомнить следующую вещь: поскольку максимальная степень икса — это 2, то данный тип выражений не может иметь больше, чем 2 решения. Это означает, что если при решении уравнения были найдены 2 значения x, которые ему удовлетворяют, то можно быть уверенным, что не существует никакого 3-го числа, подставляя которое вместо x, равенство также бы являлось истиной. Решения уравнения в математике называют его корнями.

Способы решения уравнений второго порядка

Решения уравнений этого типа требует знания некоторой теории о них. В школьном курсе алгебры рассматривают 4 различных метода решения. Перечислим их:

  • с помощью факторизации;
  • используя формулу для полного квадрата;
  • применяя график соответствующей квадратичной функции;
  • используя уравнение дискриминанта.

Плюс первого метода заключается в его простоте, однако, он не для всех уравнений может применяться. Второй способ является универсальным, однако несколько громоздким. Третий метод отличается своей наглядностью, но он не всегда удобен и применим. И, наконец, использование уравнения дискриминанта — это универсальный и достаточно простой способ нахождения корней абсолютно любого уравнения второго порядка. Поэтому в статье рассмотрим только его.

Формула для получения корней уравнения

Обратимся к общему виду квадратного уравнения. Запишем его: a*x²+ b*x + c =0. Перед тем как пользоваться способом его решения «через дискриминант», следует приводить равенство всегда к записанному виду. То есть оно должно состоять из трех слагаемых (или меньше, если b или c равен 0).

Например, если имеется выражение: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², то сначала следует перенести все его члены в одну сторону равенства и сложить слагаемые, содержащие переменную x в одинаковых степенях.

В данном случае эта операция приведет к следующему выражению: -6*x²-4*x+8=0, которое эквивалентно уравнению 6*x²+4*x-8=0 (здесь левую и правую части равенства мы умножили на -1).

В примере выше a = 6, b=4, c=-8. Заметим, что все члены рассматриваемого равенства всегда суммируются между собой, поэтому если появляется знак «-«, то это означает, что отрицательным является соответствующий коэффициент, как число c в данном случае.

Разобрав этот момент, перейдем теперь к самой формуле, которая дает возможность получения корней квадратного уравнения. Она имеет вид, который представлен на фото ниже.

Как видно из этого выражения, оно позволяет получать два корня (следует обратить внимание на знак «±»). Для этого в него достаточно подставить коэффициенты b, c, и a.

Понятие о дискриминанте

В предыдущем пункте была приведена формула, которая позволяет быстро решить любое уравнение второго порядка. В ней подкоренное выражение называют дискриминантом, то есть D = b²-4*a*c.

Почему эту часть формулы выделяют, и она даже имеет собственное название? Дело в том, что дискриминант связывает в единое выражение все три коэффициента уравнения. Последний факт означает, что он полностью несет информацию о корнях, которую можно выразить следующим списком:

  1. D>0: равенство имеет 2 различных решения, причем оба они представляют собой действительные числа.
  2. D=0: у уравнения всего один корень, и он является действительным числом.

Задача на определение дискриминанта

Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² — 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.

Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² — 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.

Пример неравенства через дискриминант

Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

Пример решения уравнения

Приведем задачу, которая заключается не только в нахождении дискриминанта, но и в решении уравнения. Необходимо найти корни для равенства -2*x²+7-9*x = 0.

В этом примере дискриминант равен следующему значению: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогда корни уравнения определятся так: x = (9±√137)/(-4). Это точные значения корней, если вычислить приближенно корень, тогда получатся числа: x = -5,176 и x = 0,676.

Геометрическая задача

Решим задачу, которая потребует не только умения вычислять дискриминант, но и применения навыков абстрактного мышления и знания, как составлять квадратные уравнения.

У Боба было пуховое одеяло размером 5 x 4 метра. Мальчик захотел пришить к нему по всему периметру сплошную полосу из красивой ткани. Какой толщины будет эта полоса, если известно, что у Боба имеется 10 м² ткани.

Пусть полоса будет иметь толщину x м, тогда площадь ткани по длинной стороне одеяла составит (5+2*x)*x, а поскольку длинных сторон 2, то имеем: 2*x*(5+2*x). По короткой стороне площадь пришитой ткани составит 4*x, так как этих сторон 2, то получаем значение 8*x. Отметим, что к длинной стороне было добавлено значение 2*x, поскольку длина одеяла увеличилась на это число. Общая пришитая к одеялу площадь ткани равна 10 м². Поэтому получаем равенство: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Для этого примера дискриминант равен: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Его корень равен 22. Воспользовавшись формулой, находим искомые корни: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, что из двух корней подходит по условию задачи только число 0,5.

Таким образом, полоса из ткани, которую пришьет Боб к своему одеялу, будет иметь ширину 50 см.

», то есть
уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным
уравнением
и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей
степени, в которой
стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2
»,
значит, перед вами квадратное
уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x 2 − 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x + = 0
  • x 2 + 0,25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Важно!

Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A
x 2 + b
x + c
= 0

«a
», «b
» и «c
» — заданные числа.

  • «a
    » — первый или старший коэффициент;
  • «b
    » — второй коэффициент;
  • «c
    » — свободный член.

Чтобы найти «a
», «b
» и «c
»
нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения
«ax 2 + bx + c = 0
».

Давайте потренируемся определять
коэффициенты «a
», «b
»
и «c
» в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0

−7x 2 − 13x + 8 = 0

−x 2 + x + = 0

x 2 + 0,25x = 0

Уравнение Коэффициенты
  • a = −7
  • b = −13
  • с = 8
x 2 − 8 = 0

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная
формула для нахождения корней
.

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

  • привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
    ».
    То есть в правой части должен остаться только «0
    »;
  • использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение «
x 2 − 3x − 4 = 0
» уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
» и не требует дополнительных упрощений.
Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения
.

Определим коэффициенты «a
», «b
» и
«c
» для этого уравнения.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое
квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 =
» часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac
» на букву «D
» и называют
дискриминантом
. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке
«Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a
», «b
» и
«c
» довольно сложно.
Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3

Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем
оказывается отрицательное число.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2
– 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2

+ х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет
.

Решить уравнение 2х 2

+ 5х – 7 = 0
.

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1
.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2


+ bx + c,
иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



, затем с меньшим
bx
, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
, стоящий при х 2



.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2



+ 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3
. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).

Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения

Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b 2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.

Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю

Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.

В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x 2 + px + q = 0 будет справедливо значение x 1 + x 2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x 1 x x 2 = q.

Может ли дискриминант быть меньше нуля

При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».

Поясняющее видео:

Завершение квадрата (больше примеров)

На мой взгляд, «наиболее важное» использование метода квадратов — это решение квадратных уравнений. Фактически, квадратная формула, которую мы используем для решения квадратных уравнений, получена с использованием техники завершения квадрата. Вот мой урок по выводу квадратичной формулы.


Применение метода квадрата

Пример 1 : Решите уравнение ниже, используя метод завершения квадрата.

Переместите константу в правую часть уравнения, сохраняя при этом x-члены слева. Я могу сделать это, вычтя обе части на 14.

Затем определите коэффициент линейного члена (просто x-члена), который равен

.

Возьмите это число, разделите на 2 и возведите его в квадрат.

Добавьте {{81} \ over 4} к обеим сторонам уравнения, а затем упростите.

Выразите трехчлен в левой части как квадрат бинома.

Извлеките квадратные корни из обеих частей уравнения, чтобы исключить степень двойки в скобках.Убедитесь, что вы добавили символ плюс или минус к постоянному члену (правая часть уравнения).

Решите относительно «x», сложив обе стороны на {9 \ over 2}.

Найдите два значения «x», рассмотрев два случая: положительный и отрицательный.

Следовательно, окончательные ответы: {x_1} = 7 и {x_2} = 2. Вы можете выполнить обратную замену этих двух значений x из исходного уравнения для проверки.


Пример 2 : Решите уравнение ниже, используя метод завершения квадрата..

Решение:

Вычтем 2 из обеих частей квадратного уравнения, чтобы исключить константу в левой части.

Разделите 8 на 2 и возведите в квадрат.

Добавьте 16 к обеим частям уравнения.

Выразите левую часть двучлена в виде квадрата.

Возьмите квадратный корень из обеих сторон.

Найдите два значения «x», рассмотрев два случая: положительный и отрицательный.


Пример 3 : Решите приведенное ниже уравнение, используя технику завершения квадрата.2}, равное 6. Уменьшите дробь до наименьшего значения.

Определите коэффициент линейного члена.

Разделите этот коэффициент на 2 и возведите его в квадрат.

Добавьте этот результат к обеим сторонам уравнения. Будьте осторожны при сложении или вычитании дробей.

Выразите трехчлен в левой части как бином в виде полного квадрата. Затем решите уравнение, сначала извлекая квадратные корни из обеих частей. Не забудьте прикрепить плюс или минус символ к квадратному корню из постоянного члена с правой стороны.

Завершите это, вычтя обе части на {{{23} \ over 4}}. Вы должны получить два значения «x» из-за «плюс или минус».

Окончательные ответы: {x_1} = {1 \ over 2} и {x_2} = — 12.


Пример 4 : Решите приведенное ниже уравнение, используя технику завершения квадрата.

Решение:

Шаг 1: Удалите константу в левой части, а затем разделите все уравнение на — \, 3.

Шаг 2: Возьмите коэффициент линейного члена, который равен {2 \ более 3}. Разделите его на 2 и возведите в квадрат.

Шаг 3: Добавьте значение, полученное на шаге 2, к обеим сторонам уравнения. Затем объедините фракции.

Шаг 4: Выразите трехчлен слева как квадрат двучлена.

Шаг 5: Извлеките квадратные корни из обеих частей уравнения. Убедитесь, что вы добавили символ «плюс» или «минус» к квадратному корню из константы справа.Упростите радикал.

Шаг 6: Решите относительно x, вычитая обе части на {1 \ более 3}. У вас должно быть два ответа из-за случая «плюс-минус».


Предыдущая страница | Страница 2 из 2

Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Если вы уже знакомы с этапами заполнения квадрата, вы можете пропустить вводное обсуждение и сразу же просмотреть семь (7) рабочих примеров.2} = 9. Значение k должно быть 9!

Если я заменю k на 9, трехчлен разложится на два равных бинома. Это здорово, потому что теперь я могу переписать его в более компактной форме, то есть в виде квадрата одного бинома.


Ниже приведены общие шаги, необходимые для решения квадратных уравнений с использованием метода квадратов.

Ключевые шаги в решении квадратного уравнения путем заполнения квадрата

1) Сохраните все x-члены (квадратные и линейные) в левой части, а константу переместите вправо.2} + bx = — \, c

2) Теперь определите, какой у вас тип проблемы, посмотрев на коэффициент перед первым членом a.

Примеры :

  • «Простой тип» при a = 1
  • «Сложный тип» при \ ne 1

3) Если у вас «Простой тип», сразу переходите к шагу 4. Если у вас «Сложный тип», вы должны сначала разделить все уравнение на значение a, прежде чем переходить к шагу 4.

4) Возьмите коэффициент при x-члене, разделите его на 2 и возведите результат в квадрат. Добавьте это значение к обеим сторонам уравнения.

5) Выразите левую часть в виде квадрата двучлена.

6) Получите квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забудьте прикрепить с правой стороны символ \ pm!

7) Завершите это, решив линейное уравнение (я), которое вытекает из него.


Примеры того, как решить квадратные уравнения, заполнив квадрат

Пример 1 : Решите квадратное уравнение ниже, выполнив метод квадратов.

Это «простой тип», так как a = 1. Я оставлю «x-члены» (как квадрат, так и линейные члены) с левой стороны, но переместу константу в правую сторону.

Я могу сделать это, добавив 15 к обеим сторонам уравнения.

Теперь возьмите коэффициент линейного члена (который представляет собой x-член со степенью 1) и выполните с ним ДВЕ операции:

  • Возведение в квадрат (в 2-й степени)

Результат, равный +1, будет добавлен к обеим частям квадратного уравнения.

Этот шаг заставляет левую сторону сгенерировать трехчлен полного квадрата , который может быть выражен как квадрат бинома . Большой!

На этом этапе очень легко найти x. Чтобы избавиться от показателя степени 2 в биноме, я применю операцию извлечения квадратного корня к обеим сторонам уравнения.

Затем решите пару линейных уравнений, которые возникают в результате возведения в квадрат обеих сторон.

Разбейте x = \ pm \, 4 + 1 на два случая, затем решите.

Вот и все! Наши ответы: {x_1} = 5 и {x_2} = — \, 3.

Возьмите за привычку проверять решенные вами значения x обратно в исходное уравнение, чтобы проверить, действительно ли они являются «истинными» ответами. Я оставлю это вам в качестве упражнения.


Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, выполнив метод квадратов.

Очевидно, я не могу выполнить шаги, необходимые для завершения квадрата. Я должен изолировать x-члены слева и константу справа.

Сделайте это, вычтя обе части на 1.

На этот раз я готов выполнить квадратные шаги для решения этого квадратного уравнения. Начните с коэффициента линейного x-члена, затем разделите его на 2 и возведите в квадрат. Это САМЫЙ важный шаг во всем этом процессе.

Какое бы число ни выпало, оно будет добавлено к обеим сторонам уравнения. Левая часть становится квадратным трехчленом, который можно переписать как квадрат двучлена.

Исключим степень 2 двучлена, извлекая квадратный корень из обеих частей. Я надеюсь, что вы сможете усвоить остальную часть решения.

Я получил следующие ответы: {x_1} = 7 и {x_2} = 3. Продолжайте и проверьте решения самостоятельно в качестве упражнения.


Пример 3 : Решите квадратное уравнение ниже, выполнив метод квадратов.

Решение:

Ответы: {x_1} = 2 и {x_2} = — 10


Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, выполнив метод квадратов.

Первое, что нужно сделать, это переместить константу вправо, вычтя каждую сторону на 8.

На самом деле это «сложный тип», поскольку a \ ne 1. Таким образом, мне нужно сделать коэффициент при квадрате x-члена равным 1. Это можно сделать, разделив все уравнение на a, равное 8!

Разделив на 8, я преобразовал эту задачу в «легкий» случай, потому что коэффициент при возведении в квадрат x-члена становится +1. Завершите это тем же способом, что и в примерах 1 и 2.Единственная разница в том, что я буду иметь дело с дробями.

Рассмотрим коэффициент при линейном x-члене, разделим на 2 и возведем его в квадрат.

Возьмите результат предыдущего шага и сложите обе части квадратного уравнения. Затем выполните остальные шаги, чтобы завершить квадрат.

Ответы должны быть {x_1} = 2 и {x_2} = {1 \ over 2}.


Пример 5 ( Практическая задача ): Решите квадратное уравнение ниже, выполнив квадратный метод.

Попробуйте сначала решить эту проблему самостоятельно. Затем нажмите кнопку ниже, чтобы просмотреть решение в файле PDF.

ПРИМЕЧАНИЕ: Решение этой проблемы может показаться запутанным, но если вы будете применять правильные процедуры для заполнения квадрата, вы скоро поймете, что ответы на эту проблему получаются хорошо.

Подсказка : Набор решений включает рациональное число и отрицательное целое число.


Пример 6 : Решите квадратное уравнение, приведенное ниже, с помощью метода квадратов.

Я перемещу константу вправо, сохраняя при этом все x-члены слева. Затем я должен разделить все уравнение на — \, 3, так как a \ ne 1.

  • Вычтем обе стороны на 42
  • Разделите все уравнение на — \, 3

Теперь я возьму коэффициент линейного члена, разделю его на 2 и возведу в квадрат.

Добавьте этот результат 4 к обеим сторонам уравнения. Это делает левую часть трехчлена полного квадрата, который можно переписать как квадрат бинома.

Это было легко, правда? Опять же, чем больше вы видите, как эти проблемы решаются правильно, тем лучше вы становитесь!


Пример 7 ( Практическая задача ): Решите квадратное уравнение ниже, используя метод завершения квадрата.

Попробуйте сначала решить эту проблему самостоятельно. Затем нажмите кнопку ниже, чтобы просмотреть решение в файле PDF.


Возможно, вас заинтересует:

Решение квадратных уравнений методом квадратного корня
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле

2.Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Для квадратных уравнений, которые нельзя решить факторизацией,
мы используем метод, который может решить ВСЕ квадратные уравнения, называемый
завершение кв. 2 + bx + c = 0`,

выполните следующие действия:

(i) Если a не равно «1», разделите каждую сторону на a (так, чтобы коэффициент x 2
равно «1»).

(ii) Перепишите уравнение с константой , членом в правой части.

(iii) Завершите квадрат, добавив к обеим сторонам квадрат, равный половине коэффициента x .

(iv) Запишите левую часть в виде квадрата и упростите правую.

(v) Приравнять и решить.

Пример 1

Найдите корни x 2 + 10 x — 4 = 0, используя метод квадратов.2-4ac)) / (2a) `

Мы будем часто использовать этот результат в оставшейся части математики, которую мы изучаем.

Завершение квадрата — объяснения и примеры

Итак, вы научились факторизовать частные случаи квадратных уравнений, используя метод трехчлена разности квадратов и полного квадрата.

Эти методы относительно просты и эффективны; однако они не всегда применимы ко всем квадратным уравнениям.

В этой статье мы узнаем , как решить все типы квадратных уравнений , используя простой метод , известный как завершение квадрата .Но перед этим давайте рассмотрим квадратные уравнения.

Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b, c, ∈ R и a ≠ 0. Термин ‘a’ означает называется старшим коэффициентом, а «c» — абсолютным членом f (x).

Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно известных как корни уравнения (α, β). Мы можем получить корень квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.

Что завершает квадрат?

Завершение квадрата — это метод решения квадратных уравнений, который мы не можем разложить на множители.

Завершение квадрата означает изменение формы уравнения так, чтобы левая часть уравнения была трехчленом в виде полного квадрата.

Как заполнить квадрат?

Для решения квадратного уравнения; ax 2 + bx + c = 0, завершив квадрат.

Ниже приведены процедуры:

  • Измените уравнение в такой форме, чтобы c была одна в правой части.
  • Если старший коэффициент a не равен 1, то разделите каждый член уравнения на a так, чтобы коэффициент x 2 был 1.
  • Сложите обе части уравнения квадратом половины коэффициента члена-x

⟹ (б / 2а) 2 .

  • Разложите левую часть уравнения на квадрат бинома.
  • Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения. Примените правило (x + q) 2 = r, где

х + q = ± √r

Заполните квадратную формулу

В математике завершение квадрата используется для вычисления квадратичных многочленов.Формула квадрата заполняется как: ax 2 + bx + c ⇒ (x + p) 2 + константа.

Квадратичная формула выводится с использованием метода завершения квадрата. Посмотрим.

Дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0;

Выделите член c в правой части уравнения

топор 2 + bx = -c

Разделите каждый член на a.

x 2 + bx / a = -c / a

Запишите в виде полного квадрата
x 2 + b x / a + (b / 2a) 2 = — c / a + (b / 2a) 2

(x + b / 2a) 2 = (-4ac + b 2 ) / 4a 2

(x + b / 2a) = ± √ (-4ac + b 2 ) / 2a

x = — b / 2a ± √ (b 2 — 4ac) / 2a

x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a ……….(Это квадратная формула)

Теперь давайте решим пару квадратных уравнений, используя метод завершающих квадратов.

Пример 1

Решите следующее уравнение квадрата, заполнив метод квадратов:

х 2 + 6х — 2 = 0

Решение

Преобразуйте уравнение x 2 + 6x — 2 = 0 в (x + 3) 2 -11 = 0

Поскольку (x + 3) 2 = 11

x + 3 = + √11 или x + 3 = -√11

х = -3 + √11

ИЛИ

х = -3 -√11

Но √11 = 3.317

Следовательно, x = -3 +3,317 или x = -3 -3,317,

x = 0,317 или x = -6,317

Пример 2

Решите, завершив квадрат x 2 + 4x — 5 = 0

Решение

Стандартная форма заполнения квадрата;
(x + b / 2) 2 = — (c — b 2 /4)

В данном случае b = 4, c = -5. Подставьте значения;
Итак, (x + 4/2) 2 = — (- 5-4 2 /4)
(x + 2) 2 = 5 + 4
⇒ (x + 2) 2 = 9
⇒ (x + 2) = ± √9
⇒ (x + 2) = ± 3
⇒ x + 2 = 3, x + 2 = -3
⇒ x = 1, -5

Пример 3

Решить x 2 + 10x — 4 = 0

Решение

Перепишите квадратное уравнение, выделив c в правой части.

x 2 + 10x = 4

Сложите обе части уравнения как (10/2) 2 = 5 2 = 25.

= х 2 + 10х + 25 = 4 + 25

= х 2 + 10х + 25 = 29

Запишите левую часть в виде квадрата

(х + 5) 2 = 29

х = -5 ± √29

х = 0,3852, — 10,3852

Пример 4

Решить 3x 2 — 5x + 2 = 0

Решение

Разделите каждый член уравнения на 3, чтобы старший коэффициент был равен 1.
x 2 — 5/3 x + 2/3 = 0
По сравнению со стандартной формой; (x + b / 2) 2 = — (c-b 2 /4)
b = -5/3; c = 2/3
c — b2 / 4 = 2/3 — [(5/3) 2/4] = 2/3 — 25/36 = -1/36
Следовательно,
⇒ (x — 5/6 ) 2 = 1/36
⇒ (x — 5/6) = ± √ (1/36)
⇒ x — 5/6 = ± 1/6
⇒ x = 1, -2/3

Пример 5

Решить x 2 — 6x — 3 = 0

Решение

x 2 — 6x = 3
x 2 — 6x + (-3) 2 = 3 + 9

(х — 3) 2 = 12

х — 3 = ± √12

х = 3 ± 2√3

Пример 6

Решить: 7x 2 — 8x + 3 = 0

Решение

7x 2 — 8x = −3

x 2 −8x / 7 = −3/7

x 2 — 8x / 7 + (- 4/7) 2 = −3 / 7 + 16/49

(х — 4/7) 2 = −5/49

x = 4/7 ± (√7) i / 5

(х — 3) 2 = 12

х — 3 = ± √12

х = 3 ± 2√3

Пример 7

Решить 2x 2 — 5x + 2 = 0

Решение

Разделите каждый член на 2

х 2 — 5x / 2 + 1 = 0

⇒ x 2 — 5x / 2 = -1

Добавьте (1/2 × −5/2) = 25/16 к обеим частям уравнения.

= x 2 — 5x / 2 + 25/16 = -1 + 25/16

= (х — 5/4) 2 = 9/16

= (х — 5/4) 2 = (3/4) 2

⇒ x — 5/4 = ± 3/4

⇒ х = 5/4 ± 3/4

х = 1/2, 2

Пример 8

Решить x 2 — 10x -11 = 0

Решение

Запишите трехчлен в виде полного квадрата
(x 2 — 10x + 25) — 25 — 11 = 36

⇒ (x — 5) 2 — 36 = 0

⇒ (x — 5) 2 = 36

Найдите квадратные корни с обеих сторон уравнения

х — 5 = ± √36

х -5 = ± 6

x = -1 или x = 11

Пример 9

Решите следующее уравнение, заполнив квадрат

х 2 + 10х — 2 = 0

Решение

х 2 + 10х — 2 = 0

⇒ x 2 + 10x = 2

⇒ x 2 + 10x + 25 = 2 + 25

⇒ (x + 5) 2 = 27

Найдите квадратные корни с обеих сторон уравнения

⇒ x + 5 = ± √27

⇒ x + 5 = ± 3√3

х = -5 ± 3√3

Пример 10

Решить x 2 + 4x + 3 = 0

Решение

x 2 + 4x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 4x = -3

х 2 + 4х + 4 = — 3 + 4

Запишите трехчлен в виде полного квадрата

(х + 2) 2 = 1

Определите квадратные корни с обеих сторон.

(х + 2) = ± √1

х = -2 + 1 = -1

ИЛИ

х = -2-1 = -3

Пример 11

Решите приведенное ниже уравнение, используя метод завершения квадрата.

2x 2 — 5x + 1 = 0

Решение

х 2 −5 х / 2 + 1/2 = 0

х 2 −5 x / 2 = −1/2

(1/2) (−5/2) = −5/4

(-5/4) 2 = 25/16

х 2 — 5 х / 2 + 25/16 = -1/2 + 25/16

(х — 5/4) 2 = 17/16

Найдите квадрат обеих сторон.

(х — 5/4) = ± √ (17/16)

x = [5 ± √ (17)] / 4

Практические вопросы

Решите приведенные ниже уравнения, используя метод завершения квадрата.

  1. 𝑥 2 + 6𝑥 + 5 = 0
  2. x 2 + 8𝑥 — 9 = 0
  3. x 2 — 6𝑥 + 9 = 0
  4. 𝑥 2 + 4𝑥 — 7 = 0
  5. 𝑥 2 — 5𝑥 — 24 = 0
  6. х 2 — 8𝑥 + 15 = 0
  7. 4x 2 — 4𝑥 + 17 = 0
  8. 9𝑥 2 — 12𝑥 + 13 = 0
  9. 4𝑥 2 — 4𝑥 + 5 = 0
  10. 4𝑥 2 — 8𝑥 + 1 = 0
  11. x 2 + 4x — 12 = 0
  12. 10x 2 + 7x — 12 = 0
  13. 10 + 6x — х 2 = 0
  14. 2x 2 + 8x — 25 = 0
  15. x 2 + 5x — 6 = 0
  16. 3x 2 — 27x + 9
  17. 15 — 10x — х 2
  18. 5x 2 + 10x + 15
  19. 24 + 12x — 2x 2
  20. 5x 2 + 10x + 15

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Квадратичная формула

Квадратичная формула

В этом разделе мы разработаем формулу, которая дает решения любого квадратного уравнения в стандартной форме.Для этого мы начнем с общего квадратного уравнения в стандартной форме и решим относительно x , заполнив квадрат. Здесь a , b и c — действительные числа и a 0:

.

ax2 + bx + c = 0 Стандартная форма квадратного уравнения. Max2 + bx + ca = 0a Разделим обе части на a.x2 + bax + ca = 0 Вычтем ca из обеих сторон. X2 + bax = −ca

Определите константу, завершающую квадрат: возьмите коэффициент x , разделите его на 2 и возведите в квадрат.

(b / a2) 2 = (b2a) 2 = b24a2

Добавьте это к обеим сторонам уравнения, чтобы получить квадрат, а затем разложите на множители.

x2 + bax + b24a2 = −ca + b24a2 (x + b2a) (x + b2a) = — ca + b24a2 (x + b2a) 2 = −4ac4a2 + b24a2 (x + b2a) 2 = b2−4ac4a2

Решите, извлекая корни.

(x + b2a) 2 = b2−4ac4a2x + b2a = ± b2−4ac4a2x + b2a = ± b2−4ac2ax = −b2a ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a

Этот вывод дает нам формулу, которая решает любое квадратное уравнение в стандартной форме.Учитывая ax2 + bx + c = 0, где a , b и c являются действительными числами и a ≠ 0, решения могут быть вычислены с использованием квадратной формулы Формула x = −b ± b2−4ac2a, которая дает решения любого квадратного уравнения в стандартной форме ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0 .:

х = −b ± b2−4ac2a

Пример 1

Решите через дискриминант: 2×2−7x − 15 = 0.

Решение:

Начните с определения коэффициентов каждого члена: a , b и c .

a = 2 b = −7 c = −15

Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения, а затем упростите.

x = −b ± b2−4ac2a = — (- 7) ± (−7) 2−4 (2) (- 15) 2 (2) = 7 ± 49 + 1204 = 7 ± 1694 = 7 ± 134

Разделите «плюс или минус» на два уравнения и выполните дальнейшее упрощение.

x = 7−134 или x = 7 + 134x = −64x = 204x = −32x = 5

Ответ: Решения — 32 и 5.

Предыдущий пример может быть решен путем факторинга следующим образом:

2×2−7x − 15 = 0 (2x + 3) (x − 5) = 02x + 3 = 0 или x − 5 = 02x = −3x = 5x = −32

Конечно, если квадратичное выражение множится, то лучше всего решить уравнение путем факторизации. Однако не все квадратичные многочлены так легко разложить на множители. Квадратичная формула дает нам возможность решать все квадратные уравнения.

Пример 2

Решите через дискриминант: 3×2 + 6x − 2 = 0.

Решение:

Начните с определения a , b и c .

а = 3 Ь = 6 с = −2

Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения.

x = −b ± b2−4ac2a = — (6) ± (6) 2−4 (3) (- 2) 2 (3) = — 6 ± 36 + 246 = −6 ± 606

На этом этапе мы видим, что 60 = 4 × 15 и, таким образом, дробь может быть дополнительно упрощена.

= −6 ± 606 = −6 ± 4 × 156 = −6 ± 2156 = 2 (−3 ± 15) 63 = −3 ± 153

Важно отметить, что здесь есть два решения:

x = −3−153 или x = −3 + 153

Мы можем использовать ±, чтобы записать два решения в более компактной форме.

Ответ: Решения -3 ± 153.

Иногда термины отсутствуют. В этом случае используйте 0 в качестве коэффициента.

Пример 3

Решите через формулу корней квадратного уравнения: x2−45 = 0.

Решение:

Это уравнение эквивалентно

1×2 + 0x − 45 = 0

И мы можем использовать следующие коэффициенты:

а = 1 б = 0 с = -45

Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения.

x = −b ± b2−4ac2a = — (0) ± (0) 2−4 (1) (- 45) 2 (1) = 0 ± 0 + 1802 = ± 1802 = ± 36 × 52 = ± 652 = ± 35

Поскольку коэффициент x был равен 0, мы могли решить это уравнение, извлекая корни. В качестве упражнения решите ее этим методом и убедитесь, что результаты совпадают.

Ответ: Решения ± 35.

Часто решения квадратных уравнений нереальны.

Пример 4

Решите через формулу корней квадратного уравнения: x2−4x + 29 = 0.

Решение:

Начните с определения a , b и c . Здесь

а = 1 б = −4 с = 29

Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения, а затем упростите.

x = −b ± b2−4ac2a = — (- 4) ± (−4) 2−4 (1) (29) 2 (1) = 4 ± 16−1162 = 4 ± −1002 Отрицательное подкоренное выражение = 4 ± 10i2 Два комплексных решения = 42 ± 10i2 = 2 ± 5i

Проверьте эти решения, подставив их в исходное уравнение.

Чек x = 2−5i

Чек x = 2 + 5i

x2−4x + 29 = 0 (2−5i) 2−4 (2−5i) + 29 = 04−20i + 25i2−8 + 20i + 29 = 025i2 + 25 = 025 (−1) + 25 = 0−25 + 25 = 0 ✓

x2−4x + 29 = 0 (2 + 5i) 2−4 (2 + 5i) + 29 = 04 + 20i + 25i2−8−20i + 29 = 025i2 + 25 = 025 (−1) + 25 = 0 −25 + 25 = 0 ✓

Ответ: Решения 2 ± 5i.

Уравнение не может быть дано в стандартной форме. Общие шаги по использованию формулы квадратичного уравнения приведены в следующем примере.

Пример 5

Решите: (5x + 1) (x − 1) = x (x + 1).

Решение:

Шаг 1 : Запишите квадратное уравнение в стандартной форме с нулем на одной стороне знака равенства.

(5x + 1) (x − 1) = x (x + 1) 5×2−5x + x − 1 = x2 + x5x2−4x − 1 = x2 + x4x2−5x − 1 = 0

Шаг 2 : Найдите a , b и c для использования в формуле квадратного уравнения.Здесь

а = 4 Ь = −5 с = −1

Шаг 3 : подставьте соответствующие значения в формулу корней квадратного уравнения, а затем упростите.

x = −b ± b2−4ac2a = — (- 5) ± (−5) 2−4 (4) (- 1) 2 (4) = 5 ± 25 + 168 = 5 ± 418

Ответ: Решение 5 ± 418.

Попробуй! Решить: (x + 3) (x − 5) = — 19

Ответ: 1 ± i3

Дискриминант

Если задано квадратное уравнение в стандартной форме, ax2 + bx + c = 0, где a , b и c являются действительными числами и a 0, то решения могут быть вычислены с использованием формулы квадратов:

х = −b ± b2−4ac2a

Как мы видели, решения могут быть рациональными, иррациональными или сложными.Мы можем определить количество и тип решений, изучая дискриминант Выражение внутри радикала квадратной формулы b2−4ac., Выражение внутри радикала b2−4ac. Если значение этого выражения отрицательное, то уравнение имеет два сложных решения. Если дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных решения. А если дискриминант равен 0, то уравнение имеет одно действительное решение, двойной корень.

Пример 6

Определите тип и количество решений: 2×2 + x + 3 = 0.

Решение:

Начнем с определения a , b и c . Здесь

а = 2 б = 1 с = 3

Подставьте эти значения в дискриминант и упростите.

b2−4ac = (1) 2−4 (2) (3) = 1-24 = −23

Поскольку дискриминант отрицательный, заключаем, что реальных решений нет. Они сложные.

Ответ: Два сложных решения.

Если мы воспользуемся формулой корней квадратного уравнения в предыдущем примере, то обнаружим, что отрицательный подкоренный элемент вводит мнимую единицу, и мы останемся с двумя комплексными решениями.

x = −b ± b2−4ac2a = — (1) ± −232 (2) = — 1 ± i234 = −14 ± 234i Два комплексных решения

Примечание : Иррациональные и комплексные решения квадратных уравнений всегда появляются в сопряженных парах.

Пример 7

Определите тип и количество решений: 6×2−5x − 1 = 0.

Решение:

В этом примере

а = 6 Ь = −5 с = −1

Подставьте эти значения в дискриминант и упростите.

b2−4ac = (- 5) 2−4 (6) (- 1) = 25 + 24 = 49

Поскольку дискриминант положительный, мы заключаем, что уравнение имеет два действительных решения. Кроме того, поскольку дискриминант представляет собой полный квадрат, мы получаем два рациональных решения.

Ответ: Два рациональных решения

Поскольку дискриминант представляет собой полный квадрат, мы могли бы решить предыдущее квадратное уравнение путем факторизации или использования квадратной формулы.

Решить на множитель: Решите через формулу корней квадратного уравнения:
6×2−5x − 1 = 0 (6x + 1) (x − 1) = 06x + 1 = 0orx − 1 = 06x = −1x = 1x = −16 x = −b ± b2−4ac2a = — (- 5) ± 492 (6) = 5 ± 712x = 5−712orx = 5 + 712x = −212x = 1212x = −16x = 1

Учитывая особое условие, когда дискриминант равен 0, мы получаем только одно решение — двойной корень.

Пример 8

Определите тип и количество решений: 25×2−20x + 4 = 0.

Решение:

Здесь a = 25, b = −20 и c = 4, и мы имеем

b2−4ac = (- 20) 2−4 (25) (4) = 400−400 = 0

Поскольку дискриминант равен 0, мы заключаем, что уравнение имеет только одно действительное решение, двойной корень.

Ответ: Одно рациональное решение

Так как 0 — это полный квадрат, мы можем решить указанное выше уравнение путем факторизации.

25×2−20x + 4 = 0 (5x − 2) (5x − 2) = 05x − 2 = 0 или 5x − 2 = 05x = 25x = 2x = 25x = 25

Здесь 25 — решение, которое встречается дважды; это двойной корень.

Пример 9

Определите тип и количество решений: x2−2x − 4 = 0.

Решение:

Здесь a = 1, b = −2, c = −4, и мы имеем

b2−4ac = (- 2) 2−4 (1) (- 4) = 4 + 16 = 20

Поскольку дискриминант положительный, мы можем заключить, что уравнение имеет два действительных решения.Кроме того, поскольку 20 не является полным квадратом, оба решения иррациональны.

Ответ: Два иррациональных решения.

Если мы воспользуемся формулой корней квадратного уравнения в предыдущем примере, то обнаружим, что положительное подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения приводит к двум действительным решениям.

x = −b ± b2−4ac2a = — (- 2) ± 202 (1) Положительный дискриминант = 2 ± 4 × 52 = 2 ± 252 = 2 (1 ± 5) 21 = 1 ± 5 Два иррациональных решения

Два реальных решения: 1−5 и 1 + 5. Обратите внимание, что эти решения иррациональны; мы можем приблизить значения на калькуляторе.

1−5≈ − 1,24 и 1 + 5≈3,24

Таким образом, если дано любое квадратное уравнение в стандартной форме, ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0, то мы имеем следующее:

Положительный дискриминант: b2−4ac> 0 Два действительных решения Нулевой дискриминант: b2−4ac = 0 Одно действительное решение Отрицательный дискриминант: b2−4ac <0 Два комплексных решения

Кроме того, если дискриминант неотрицательный и представляет собой полный квадрат, то решения уравнения рациональны; в противном случае они иррациональны.Как мы увидим, знание количества и типа решений заранее помогает нам определить, какой метод лучше всего подходит для решения квадратного уравнения.

Попробуй! Определите количество и тип решений: 2×2 = x − 2.

Ответ: Два сложных решения.

Основные выводы

  • Мы можем использовать квадратную формулу для решения любого квадратного уравнения в стандартной форме.
  • Чтобы решить любое квадратное уравнение, мы сначала перепишем его в стандартной форме ax2 + bx + c = 0, подставим соответствующие коэффициенты в формулу корней квадратного уравнения, x = −b ± b2−4ac2a, а затем упростим.
  • Мы можем определить количество и тип решений любого квадратного уравнения в стандартной форме, используя дискриминант b2−4ac. Если значение этого выражения отрицательное, то уравнение имеет два сложных решения. Если дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных решения.А если дискриминант равен 0, то уравнение имеет одно действительное решение, двойной корень.
  • Мы можем далее классифицировать реальные решения на рациональные или иррациональные числа. Если дискриминант представляет собой полный квадрат, корни рациональны, и уравнение будет множителем. Если дискриминант не является полным квадратом, корни иррациональны.

Тематические упражнения

    Часть A: Квадратичная формула

      Определите коэффициенты a , b и c , используемые в формуле корней квадратного уравнения.Не решай.

      Решите, разложив на множители, а затем решив, используя формулу корней квадратного уравнения.Проверить ответы.

      Решите, извлекая корни, а затем решите, используя формулу корней квадратного уравнения.Проверить ответы.

      Решите, используя формулу корней квадратного уравнения.

      Предположим, что p и q являются ненулевыми целыми числами, и используем формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти x .

      Решите по алгебре.

    1. Высота в футах, достигаемая бейсбольным мячом, подбрасываемым вверх со скоростью 48 футов в секунду от земли, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 48t, где t представляет время в секундах после подбрасывания мяча. В какое время бейсбол достигает 24 футов? (Округлите до ближайшей десятой секунды.)

    2. Высота в футах снаряда, выпущенного вверх со скоростью 32 фута в секунду с высоты 64 фута, определяется как h (t) = — 16t2 + 32t + 64.В какое время после пуска снаряд попадает в землю? (Округлите до ближайшей десятой секунды.)

    3. Прибыль в долларах от эксплуатации конвейерной линии, производящей индивидуальную униформу каждый день, определяется как P (t) = — 40t2 + 960t − 4000, где t представляет количество часов, в течение которых линия находится в эксплуатации. Определите количество часов, в течение которых сборочная линия должна работать, чтобы получать прибыль в размере 1760 долларов в день.

    4. Производственная компания определила, что дневная выручка R в тысячах долларов определяется как R (n) = 12n − 0,6n2, где n представляет собой количество поддонов проданного продукта. Определите количество поддонов, которые необходимо продать, чтобы поддерживать выручку на уровне 60 тысяч долларов в день.

    5. Площадь прямоугольника составляет 10 квадратных дюймов.Если длина на 3 дюйма больше, чем в два раза больше ширины, найдите размеры прямоугольника. (Округлите до ближайшей сотой доли дюйма.)

    6. Площадь треугольника 2 квадратных метра. Если основание на 2 метра меньше высоты, найдите основание и высоту. (Округлите до сотых долей метра.)

    7. Для безопасного использования лестницы основание должно располагаться на расстоянии примерно 14 длины лестницы от стены.Если использовать 32-футовую лестницу безопасно, то насколько высоко от здания поднимается ее верх? (Округлите до ближайшей десятой доли фута.)

    8. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ прямоугольника составляет 10 сантиметров, найдите размеры прямоугольника. (Округлите до ближайшей десятой доли сантиметра.)

    9. Предполагая сухие дорожные условия и среднее время реакции, безопасный тормозной путь в футах для определенного автомобиля определяется как d (x) = 120×2 + x, где x представляет собой скорость автомобиля в милях в час.Определите безопасную скорость автомобиля, если вы планируете остановиться на расстоянии 50 футов. (Округлите до ближайшей мили в час.)

    10. Ширина прямоугольного твердого тела на 2,2 сантиметра меньше его длины, а глубина — 10 сантиметров.

      Определите длину и ширину, если общий объем твердого тела равен 268.8 кубических сантиметров.

    11. Представитель компании проехал 25 миль на машине, а затем еще 30 миль на вертолете. Если вертолет разгоняется до 10 миль в час менее чем в два раза быстрее автомобиля, а общая поездка занимает 1 час, то какова средняя скорость автомобиля? (Округлите до ближайшей мили в час.)

    12. Джо может раскрасить типичную комнату в 1.На 5 часов меньше времени, чем у Джеймса. Если Джо и Джеймс могут покрасить 2 комнаты, работая вместе за 8-часовую смену, то сколько времени потребуется Джеймсу, чтобы покрасить одну комнату? (Округлите до ближайшей десятой части часа.)

    Часть B: Дискриминант

      Вычислите дискриминант и используйте его для определения количества и типа решений. Не решай.

      Найдите ненулевое целое число p , чтобы следующие уравнения имели одно действительное решение.(Подсказка: если дискриминант равен нулю, тогда будет одно реальное решение.)

    Часть C: Обсуждение

    1. Когда мы говорим о квадратном уравнении в стандартной форме ax2 + bx + c = 0, почему необходимо утверждать, что a ≠ 0? Что произойдет, если a равно нулю?

    2. Изучите и обсудите историю квадратной формулы и решений квадратных уравнений.

    3. Решите mx2 + nx + p = 0 для x , завершив квадрат.

ответов

  1. ± 32

  2. ± i63

  3. -1 ± 22

  4. 5 ± 212

  5. 5 ± 332

  6. 16 ± 236i

  7. 15 ± 25i

  8. 2 ± 102

  9. 18 ± 78i

  10. −3 ± 334

  11. 1 ± 33i

  12. 12 ± я

  13. х = −1 ± 1−4p2p

  14. х = −1 ± 1 + 4p2

  15. х = -1p

  16. 0.6 секунд и 2,4 секунды

  17. Длина: 6,22 дюйма; ширина: 1,61 дюйма

  1. −3; два комплексных решения

  2. 16; два рациональных решения

  3. 25; два рациональных решения

  4. −72; два комплексных решения

  5. 9; два рациональных решения

  6. -1; два комплексных решения

  7. 25; два рациональных решения

18.{2} \), число, необходимое для завершения квадрата. Добавьте это к обеим сторонам уравнения.

  • Разложите на множители полный квадрат трехчлена, записав его в виде квадрата бинома слева и упростите, добавив члены справа
  • Используйте свойство квадратного корня.
  • Упростите радикал и решите два полученных уравнения.
  • Проверьте решения.
  • Когда мы решаем уравнение, завершая квадрат, ответы не всегда будут целыми числами.{2} = 7 q-3 \).

    Ответ

    \ (q = \ frac {7} {2} + \ frac {\ sqrt {37}} {2}, q = \ frac {7} {2} — \ frac {\ sqrt {37}} {2} \)

    Обратите внимание, что левая часть следующего уравнения является факторизованной. Но правая сторона не нулевая. Таким образом, мы не можем использовать свойство нулевого произведения , поскольку оно говорит: «Если \ (a⋅b = 0 \), то \ (a = 0 \) или \ (b = 0 \)». Вместо этого мы умножаем множители, а затем приводим уравнение в стандартную форму, чтобы решить, заполнив квадрат. {2} +2 x = 4 \).{2} -10 у = -5 \).

    Ответ

    \ (y = \ frac {5} {3} + \ frac {\ sqrt {10}} {3}, y = \ frac {5} {3} — \ frac {\ sqrt {10}} {3} \)

    Воспользуйтесь этими онлайн-ресурсами, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в заполнении квадрата.

    9.2 Решите квадратные уравнения, заполнив квадрат — промежуточная алгебра 2e

    Задачи обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Завершить квадрат биномиального выражения
    • Решите квадратные уравнения вида x2 + bx + c = 0x2 + bx + c = 0, заполнив квадрат
    • Решите квадратные уравнения вида ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0, заполнив квадрат

    Будьте готовы 9.4

    Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

    Развернуть: (x + 9) 2. (x + 9) 2.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 5.32.

    Будьте готовы 9,5

    Фактор y2−14y + 49.y2−14y + 49.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.9.

    Будьте готовы 9,6

    Фактор 5n2 + 40n + 80,5n2 + 40n + 80.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.14.

    До сих пор мы решали квадратные уравнения путем факторизации и использования свойства квадратного корня.В этом разделе мы будем решать квадратные уравнения с помощью процесса, называемого завершением квадрата, что важно для нашей работы над кониками в дальнейшем.

    Завершить квадрат биномиального выражения

    В последнем разделе мы смогли использовать свойство квадратного корня для решения уравнения ( y -7) 2 = 12, потому что левая сторона была идеальным квадратом.

    (y − 7) 2 = 12y − 7 = ± 12y − 7 = ± 23y = 7 ± 23 (y − 7) 2 = 12y − 7 = ± 12y − 7 = ± 23y = 7 ± 23

    Мы также решили уравнение, в котором левая часть представляла собой трехчлен полного квадрата, но нам пришлось переписать его в виде (x − k) 2 (x − k) 2, чтобы использовать свойство квадратного корня.

    x2−10x + 25 = 18 (x − 5) 2 = 18×2−10x + 25 = 18 (x − 5) 2 = 18

    Что произойдет, если переменная не является частью полного квадрата? Можно ли построить идеальный квадрат с помощью алгебры?

    Давайте рассмотрим два примера, которые помогут нам распознать закономерности.

    (x + 9) 2 (y − 7) 2 (x + 9) (x + 9) (y − 7) (y − 7) x2 + 9x + 9x + 81y2−7y − 7y + 49×2 + 18x + 81y2− 14y + 49 (x + 9) 2 (y − 7) 2 (x + 9) (x + 9) (y − 7) (y − 7) x2 + 9x + 9x + 81y2−7y − 7y + 49×2 + 18x + 81y2−14y + 49

    Мы переформулируем шаблоны здесь для справки.

    Образец биномиальных квадратов

    Если a и b — действительные числа,

    Мы можем использовать этот узор, чтобы «сделать» идеальный квадрат.

    Начнем с выражения x 2 + 6 x . Поскольку между двумя терминами стоит знак плюс, мы будем использовать шаблон ( a + b ) 2 , a 2 + 2 ab + b 2 = ( а + б ) 2 .

    В конечном итоге нам нужно найти последний член этого трехчлена, который сделает его трехчленом в виде полного квадрата. Для этого нам нужно найти b .Но сначала мы начнем с определения a . Обратите внимание, что первый член x 2 + 6 x является квадратом, x 2 . Это говорит нам, что a = x .

    Какое число, b, при умножении на 2 x дает 6 x ? Это должно быть 3, что составляет 12 (6) .12 (6). Итак, b = 3.

    Теперь, чтобы завершить трехчлен полного квадрата, мы найдем последний член, возведя в квадрат b , что составляет 3 2 = 9.

    Теперь мы можем множить.

    Итак, мы обнаружили, что добавление 9 к x 2 + 6 x «завершает квадрат», и мы записываем его как ( x + 3) 2 .

    How To

    Завершите квадрат x2 + bx.x2 + bx.
    1. Шаг 1. Определите b , коэффициент x .
    2. Шаг 2. Найдите (12b) 2, (12b) 2, число, чтобы завершить квадрат.
    3. Шаг 3. Добавьте (12b) 2 (12b) 2 к x 2 + bx .
    4. Шаг 4. Разложите на множители полный квадрат трехчлена, записав его в виде квадрата бинома.

    Пример 9.11

    Завершите квадрат, чтобы получился полный квадрат с трехчленом. Затем запишите результат в виде бинома в квадрате.

    ⓐ x2−26xx2−26x ⓑ y2−9yy2−9y ⓒ n2 + 12nn2 + 12n

    Попробуйте 9.21

    Завершите квадрат, чтобы получился полный квадрат с трехчленом. Затем запишите результат в виде бинома в квадрате.

    ⓐ a2−20aa2−20a ⓑ m2−5mm2−5m ⓒ p2 + 14pp2 + 14p

    Попробуй 9.22

    Завершите квадрат, чтобы получился полный квадрат с трехчленом. Затем запишите результат в виде бинома в квадрате.

    ⓐ b2−4bb2−4b ⓑ n2 + 13nn2 + 13n ⓒ q2−23qq2−23q

    Решите квадратные уравнения вида

    x 2 + bx + c = 0, заполнив квадрат

    Решая уравнения, мы всегда должны делать одно и то же с обеими сторонами уравнения. Это, конечно, верно, когда мы решаем квадратное уравнение, также завершая квадрат.Когда мы добавляем член к одной стороне уравнения, чтобы сделать трехчлен полного квадрата, мы также должны добавить этот же член к другой стороне уравнения.

    Например, если мы начнем с уравнения x 2 + 6 x = 40, и мы хотим заполнить квадрат слева, мы добавим 9 к обеим сторонам уравнения.

    Добавьте 9 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

    Теперь уравнение в форме для решения с использованием свойства квадратного корня! Завершение квадрата — это способ преобразовать уравнение в форму, которая нам нужна, чтобы иметь возможность использовать свойство квадратного корня.

    Пример 9.12

    Как решить квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0x2 + bx + c = 0, заполнив квадрат

    Решите, завершив квадрат: x2 + 8x = 48.x2 + 8x = 48.

    Попробуйте 9,23

    Решите, завершив квадрат: x2 + 4x = 5.х2 + 4х = 5.

    Попробуйте 9,24

    Решите, завершив квадрат: y2−10y = −9.y2−10y = −9.

    Здесь перечислены шаги для решения квадратного уравнения путем заполнения квадрата.

    How To

    Решите квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0x2 + bx + c = 0, заполнив квадрат.
    1. Шаг 1. Выделите переменные члены с одной стороны и постоянные члены — с другой.
    2. Шаг 2. Найдите (12 · b) 2, (12 · b) 2, число, необходимое для завершения квадрата.Добавьте это к обеим сторонам уравнения.
    3. Шаг 3. Разложите на множители полный квадрат трехчлена, записав его в виде квадрата бинома слева и упростите, добавив члены справа
    4. Шаг 4. Используйте свойство квадратного корня.
    5. Шаг 5. Упростите радикал и решите два полученных уравнения.
    6. Шаг 6. Проверьте решения.

    Когда мы решаем уравнение, завершая квадрат, ответы не всегда будут целыми числами.

    Пример 9.13

    Решите, завершив квадрат: x2 + 4x = −21.x2 + 4x = −21.

    Попробуйте 9,25

    Решите, завершив квадрат: y2−10y = −35.y2−10y = −35.

    Попробуйте 9.26

    Решите, заполнив квадрат: z2 + 8z = −19.z2 + 8z = −19.

    В предыдущем примере нашими решениями были комплексные числа. В следующем примере решениями будут иррациональные числа.

    Пример 9.14

    Решите, завершив квадрат: y2−18y = −6.y2−18y = −6.

    Решение

    Другой способ проверить это — использовать калькулятор. Вычислите y2−18yy2−18y для обоих решений. Ответ должен быть −6. − 6.

    Попробуйте 9.27

    Решите, завершив квадрат: x2−16x = −16.x2−16x = −16.

    Попробуйте 9.28

    Решите, заполнив квадрат: y2 + 8y = 11.y2 + 8y = 11.

    Мы начнем следующий пример с выделения переменных членов в левой части уравнения.

    Пример 9.15

    Решите, завершив квадрат: x2 + 10x + 4 = 15.x2 + 10x + 4 = 15.

    Попробуйте 9.29

    Решите, завершив квадрат: a2 + 4a + 9 = 30. a2 + 4a + 9 = 30.

    Попробуйте 9.30

    Решите, завершив квадрат: b2 + 8b − 4 = 16.b2 + 8b − 4 = 16.

    Чтобы решить следующее уравнение, мы должны сначала собрать все переменные члены в левой части уравнения. Затем действуем так же, как в предыдущих примерах.

    Пример 9.16

    Решите, завершив квадрат: n2 = 3n + 11.п2 = 3п + 11.

    Попробуйте 9.31

    Решите, завершив квадрат: p2 = 5p + 9. p2 = 5p + 9.

    Попробуйте 9.32

    Решите, заполнив квадрат: q2 = 7q − 3.q2 = 7q − 3.

    Обратите внимание, что левая часть следующего уравнения является факторизованной. Но правая сторона не нулевая. Таким образом, мы не можем использовать свойство нулевого продукта, поскольку оно гласит: «Если a · b = 0, a · b = 0, то a = 0 или b = 0». Вместо этого мы умножаем множители, а затем приводим уравнение в стандартную форму, чтобы решить, заполнив квадрат.

    Пример 9.17

    Решите, завершив квадрат: (x − 3) (x + 5) = 9. (X − 3) (x + 5) = 9.

    Попробуйте 9.33

    Решите, завершив квадрат: (c − 2) (c + 8) = 11. (C − 2) (c + 8) = 11.

    Попробуйте 9,34

    Решите, завершив квадрат: (d − 7) (d + 3) = 56. (D − 7) (d + 3) = 56.

    Решите квадратные уравнения вида

    ax 2 + bx + c = 0, заполнив квадрат

    Процесс завершения квадрата работает лучше всего, когда коэффициент x 2 равен 1, поэтому левая часть уравнения имеет вид x 2 + bx + c .Если член x 2 имеет коэффициент, отличный от 1, мы предпримем некоторые предварительные шаги, чтобы сделать коэффициент равным 1.

    Иногда коэффициент можно вывести из всех трех членов трехчлена. Это будет нашей стратегией в следующем примере.

    Пример 9.18

    Решите, завершив квадрат: 3×2−12x − 15 = 0,3×2−12x − 15 = 0.

    Решение

    Чтобы заполнить квадрат, нам нужно, чтобы коэффициент при x2x2 был равен единице.Если мы вычленим коэффициент при x2x2 как общий множитель, мы можем продолжить решение уравнения, завершив квадрат.

    Попробуйте 9,35

    Решите, завершив квадрат: 2м2 + 16м + 14 = 0,2м2 + 16м + 14 = 0.

    Попробуйте 9,36

    Решите, завершив квадрат: 4n2−24n − 56 = 8.4n2−24n − 56 = 8.

    Чтобы заполнить квадрат, коэффициент при x 2 должен быть 1. Если старший коэффициент не является множителем всех членов, мы разделим обе части уравнения на старший коэффициент! Это даст нам долю второго коэффициента.Мы уже видели, как заполнить квадрат дробями в этом разделе.

    Пример 9.19

    Решите, завершив квадрат: 2×2−3x = 20,2×2−3x = 20.

    Решение

    Чтобы заполнить квадрат, нам нужно, чтобы коэффициент при x2x2 был равен единице. Разделим обе части уравнения на коэффициент x 2 . Затем мы можем продолжить решение уравнения, завершив квадрат.

    Попробуйте 9,37

    Решите, завершив квадрат: 3r2−2r = 21.3r2−2r = 21.

    Попробуйте 9,38

    Решите, завершив квадрат: 4t2 + 2t = 20,4t2 + 2t = 20.

    Теперь, когда мы увидели, что коэффициент при x 2 должен быть равен 1, чтобы мы завершили квадрат, мы обновляем нашу процедуру решения квадратного уравнения, заполнив квадрат, чтобы включить уравнения вида ax 2 + bx + c = 0.

    How To

    Решите квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0, заполнив квадрат.
    1. Шаг 1. Разделите на aa, чтобы получить коэффициент x 2 член 1.
    2. Шаг 2. Выделите переменные с одной стороны и постоянные с другой.
    3. Шаг 3. Найдите (12 · b) 2, (12 · b) 2, число, необходимое для завершения квадрата. Добавьте это к обеим сторонам уравнения.
    4. Шаг 4. Разложите на множители полный квадрат трехчлена, записав его в виде квадрата бинома слева и упростите, добавив члены справа
    5. Шаг 5.Используйте свойство квадратного корня.
    6. Шаг 6. Упростите радикал и решите два полученных уравнения.
    7. Шаг 7. Проверьте решения.

    Пример 9.20

    Решите, завершив квадрат: 3×2 + 2x = 4.3×2 + 2x = 4.

    Решение

    Опять же, наш первый шаг — сделать коэффициент x 2 единицей. Разделив обе части уравнения на коэффициент x 2 , мы можем продолжить решение уравнения, завершив квадрат.

    Попробуйте 9.39

    Решите, завершив квадрат: 4×2 + 3x = 2,4×2 + 3x = 2.

    Попробуйте 9,40

    Решите, завершив квадрат: 3y2−10y = −5,3y2−10y = −5.

    Раздел 9.2. Упражнения

    Практика ведет к совершенству

    Завершить квадрат биномиального выражения

    В следующих упражнениях завершите квадрат, чтобы получился полный квадрат трехчлена. Затем запишите результат в виде бинома в квадрате.

    71.

    ⓐ м2−24мм2−24м ⓑ x2−11xx2−11x ⓒ p2−13pp2−13p

    72.

    ⓐ n2−16nn2−16n ⓑ y2 + 15yy2 + 15y ⓒ q2 + 34qq2 + 34q

    73.

    ⓐ p2−22pp2−22p ⓑ y2 + 5yy2 + 5y ⓒ m2 + 25мм2 + 25м

    74.

    > ⓐ q2−6qq2−6q ⓑ x2−7xx2−7x ⓒ n2−23nn2−23n

    Решите квадратные уравнения вида x 2 + bx + c = 0, заполнив квадрат

    В следующих упражнениях решите, заполнив квадрат.

    82.

    t2−14t = −50t2−14t = −50

    83.

    a2−10a = −5a2−10a = −5

    87.

    u2−14u + 12 = −1u2−14u + 12 = −1

    89.

    r2−4r − 3 = 9r2−4r − 3 = 9

    90.

    t2−10t − 6 = 5t2−10t − 6 = 5

    95.

    (х + 6) (x − 2) = 9 (x + 6) (x − 2) = 9

    96.

    (y + 9) (y + 7) = 80 (y + 9) (y + 7) = 80

    98.

    (x − 2) (x − 6) = 5 (x − 2) (x − 6) = 5

    Решите квадратные уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, заполнив квадрат

    В следующих упражнениях решите, заполнив квадрат.

    99.

    3м2 + 30м − 27 = 63м2 + 30м − 27 = 6

    100.

    2×2−14x + 12 = 02×2−14x + 12 = 0

    105.

    2×2 + 7x − 15 = 02×2 + 7x − 15 = 0

    106.

    3×2−14x + 8 = 03×2−14x + 8 = 0

    109.

    5×2−3x = −105×2−3x = −10

    Письменные упражнения

    111.

    Решите уравнение x2 + 10x = −25×2 + 10x = −25

    ⓐ с использованием свойства квадратного корня

    ⓑ, завершив Квадрат

    ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

    112.

    Решите уравнение y2 + 8y = 48y2 + 8y = 48, заполнив квадрат и объясняя все свои шаги.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *