Решение модульные уравнения: Как решать уравнения с модулем

Содержание

Уравнения с модулем. Исчерпывающий гид (ЕГЭ — 2021)

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

Примеры:

I. \(\displaystyle x<-3\).

Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

\(\displaystyle-\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-{x}-3+2{x}-1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=5\text{ }>-3\) – этот корень сторонний.

II. \(\displaystyle-3\le x<\frac{1}{2}\).

Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй – «с минусом»:

\(\displaystyle\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+3+2{x}-1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=-\frac{1}{3}\) – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

III. \(\displaystyle x\ge \frac{1}{2}\).

Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

\(\displaystyle\left( x+3 \right)-\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+3-2{x}+1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=3\) – этот корень тоже является решением.

Проверим полученные корни:

I. \(\displaystyle x=5:\text{ }\left| 5+3 \right|-\left| 2\cdot 5-1 \right|=8-9=-1\ne 1\) (корень и правда сторонний).

II. \(\displaystyle x=-\frac{1}{3}:\text{ }\left| -\frac{1}{3}+3 \right|-\left| 2\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right|=\frac{8}{3}-\frac{5}{3}=1\).

III. \(\displaystyle x=3:\text{ }\left| 3+3 \right|-\left| 2\cdot 3-1 \right|=6-5=1\).

Ответ: \(\displaystyle-\frac{1}{3};\text{ }3.\)

Примеры:

Решения:

1. \( \displaystyle \left| x+2 \right|-\left| 3{x}-1 \right|+\left| 4-x \right|=3\)\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+2=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-2\\3{x}-1=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{1}{3}\\4-x=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=4\end{array} \right.\) 

I. \( \displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}.\)

\( \displaystyle -\left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\)

\( \displaystyle x=2>-2\Rightarrow \) – корень сторонний

II.  \( \displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 3x=-2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\in \left[ -2;\frac{1}{3} \right)\) – подходит

III. \( \displaystyle \frac{1}{3}\le x<4\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}\in \left[ \frac{1}{3};4 \right)-\) подходит

IV. \( \displaystyle x\ge 4\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)-\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle x=4\Leftrightarrow x=-4<4\text{ }-\) корень сторонний

Ответ\( -\frac{2}{3};\text{  }\frac{4}{3}.\)

2. \( \left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|=2\left| x+1 \right|\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|-2\left| x+1 \right|=0. \)

\( \left[ \begin{array}{l}3{x}-5=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{5}{3}\\3+2x=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=-\frac{3}{2}\\x+1=0\text{    }\Rightarrow \text{  }x=-1\end{array} \right.\)

I. \( \displaystyle x<-\frac{3}{2}\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)-\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}>-\frac{3}{2}\Rightarrow \) корень сторонний

II. \( \displaystyle -\frac{3}{2}\le x<-1\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle x=-10<-1\Rightarrow \) корень сторонний

III. \( \displaystyle -1\le x<\frac{5}{3}\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-6\Leftrightarrow x=2\text{  }>\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний

IV. \( \displaystyle x\ge \frac{5}{3}\)

\( \displaystyle \left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 3x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}<\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний

Итак, ни на одном интервале не нашлось корней.  Значит, решений это уравнение не имеет.

Ответ: Решений не имеет.

Модульные уравнения. Уравнения содержащие модуль.Решение уравнений с модулем.

Как решить простейшее модульное уравнение или уравнение содержащее модуль?

Обычно решение сводится к системе :
Уравнения содержащие модуль

Сразу рассмотрим на примере решение уравнений.

Пример №1:

Решите уравнение | x – 6| = 18.

Решение:

Выражение стоящее под модулем приравниваем к 0:

x-6=0
x=6

Отмечаем 6 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.

На интервале (-∞; 6) возьмем число 0 и подставим
0-6=-6 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”

На интервале (6;+∞) возьмем число 7 и подставим
7-6=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”

Числовая прямая

Теперь решаем уравнения на каждом интервале.

(-∞; 6) здесь получился знак “ – ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные:

-x+6=18
x=-12

Видно, что -12 лежит на интервале (-∞; 6) следовательно, является корнем уравнения.

(6;+∞) здесь получился знак “ + ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

x-6=18
x=24

Видно, что 24 лежит на интервале (6;+∞) следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: -12 и 24

Пример №2:

Решите уравнение | 2x – 5 |- | 4 — x | = -18.

Решение:

Выражения стоящие под модулем приравниваем к 0:

2x – 5 = 0 и 4 — x = 0
x=2,5 и x=4

Отмечаем x=2,5 и x=4 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.

На интервале (-∞; 2,5) возьмем число 0 и подставим в каждое выражение
2*0-5=-5 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
4-0=4 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”

На интервале (2,5; 4) возьмем число 3 и подставим в каждое выражение
2*3-5=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-3=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”

На интервале (4; +∞) возьмем число 5 и подставим в каждое выражение
2*5-5=5 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-5=-1 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”

Теперь решаем уравнения на каждом интервале.

(-∞; 2,5) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

-2x + 5 — ( 4 — x ) = -18
-2x + 5 — 4 + x = -18
x=19
Видно, что 19 не лежит на интервале (-∞; 2,5) следовательно, не является корнем уравнения.

(2,5; 4) здесь получился знак “ + ” у обоих выражений, значит выражения под модулем останутся без изменений:

2x – 5 — ( 4 — x ) = -18
2x – 5 — 4 + x = -18
3x=-9
x=-3

Видно, что -3 лежит на интервале (2,5; 4) следовательно,не является корнем уравнения.

(4; +∞) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем остается без изменения:

2x – 5 — ( — 4 + x ) = -18
2x – 5 + 4 — x = -18
x=-17

Видно, что -17 лежит на интервале (4; +∞) следовательно,не является корнем уравнения.

Ответ: корней нет

Пример №3:

Решите уравнение ||x|-3|=15.

Решение:

Так как в правой части стоит простое число то распишем на два уравнения (раскроем внешний модуль):

|x|-3=15
|x|-3=-15

Перенесем в обоих уравнениях -3 вправо, получим:

|x|=15+3
|x|=-15+3

|x|=18
|x|=-12 (модуль не может равняться отрицательному числу, следовательно это уравнение не имеет решений)

Раскрываем модуль |x|=18

x=18
x=-18

Ответ: -18 и 18

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Решение модульных уравнений

Для того, чтобы научиться решать уравнения с модулем, надо вспомнить и выучить определение модуля.

Из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Кроме того, определение показывает как можно избавляться от знака модуля в уравнении.

На практике это делается так:

1) Находят значения переменной, при которых выражения стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

2) Отмечают все нули на числовой прямой. Они разобьют эту прямую на лучи и промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

3) Определяем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и раскрываем все модули (заменяя их подмодульными выражениями со знаком плюс или со знаком минус в зависимости от знака подмодульного выражения).

4) Решаем получившиеся уравнения на каждом промежутке (сколько промежутков, столько и уравнений).Обратите внимание, что обязательно выбираем только те решения, которые находятся в данном промежуток (полученные решения могут и не принадлежать промежутку).

Хватит уже теории, пора на примерах посмотреть как решаются уравнения с модулем. Начнем с более простого.

Решение уравнений с модулями

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение.  Так как  , то  . Если  , то  ,  и  уравнение принимает вид  .

Отсюда получаем  .

Ответ:  .   

Пример 2. Решить уравнение  .

Решение.  Из уравнения следует, что  .

Поэтому  , , , и уравнение принимает вид  или  .

Так как  , то исходное уравнение корней не имеет.

Ответ:  корней нет.

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде .

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Известно, что уравнение такого типа равносильно неравенству . Следовательно, здесь имеем   или   .

Ответ:  .

Думаю, как решать такого вида уравнения с модулем вы уже разобрались. Попробуем разобраться с более сложным уравнением.

Пример 4. Решить уравнение: |x2 + 2x|  |2 – x| = |x2 – x|

Находим нули подмодульных выражений:

х2  + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х = ‒ 2.  При этом парабола у = х2  + 2х положительна на промежутках (–∞; –2 ) и (0; +∞), а на промежутке (–2; 0 ) она отрицательна (см. рисунок).

 

х2  ‒ х = 0, х(х – 1) =0, х = 0 или х = 1. Эта парабола у = х2 ‒ х положительна на промежутках (–∞; 0 ) и (1; +∞), а на промежутке (0; 1) она отрицательна (см. рисунок).

2 – х = 0, х = 2, модуль положителен на промежутке (–∞; 0) и принимает отрицательные значения на промежутке (2; +∞) (см. рисунок).

Теперь решаем уравнения на промежутках:

1)   х ≤ ‒2:   х2  + 2х – (2 – х) = х2  ‒ х, х2  + 2х – 2 + х = х2  ‒ х, 4х = 2, х = 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

2)   –2 ≤ x <0:   ‒(х2  + 2х) – (2 – х) = х2  ‒ х, ‒х2  ‒ 2х – 2 + х = х2 ‒ х, ‒2 х2 = 2, х2 = ‒1, решений нет.

3)    0 ≤ x <1:   х2  + 2х ‒ (2 – х) = ‒ (х2  ‒ х), х2  + 2х ‒ 2 + х = ‒х2  + х, 2х2  + 2х – 2 = 0, х2  + х – 1 = 0, √D = √5,
х1 = (‒1 ‒ √5)/2 и х2 = (‒1 + √5)/2.

Так как первый корень отрицательный, то он не принадлежит нашему промежутку, а второй корень больше нуля и меньше единицы это и есть наше решение на данном промежутке.

4)    1 ≤ x <2:   х2 + 2х – (2 – х) = х2 ‒ х, х2 + 2х – 2 + х = х2 ‒ х, 4х = 2, х= 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

5)    х ≥ 2:   х2 + 2х –(‒(2 – х)) = х2 ‒ х, х2 + 2х + 2 ‒ х = х2 ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: (‒1 + √5)/2.

Вы заметили, что решается это уравнение также как и предыдущие, отличие в количестве промежутков. Так как под модулем стоят квадратные выражения то корней получилось больше, а соответственно и больше промежутков.

А как же решать уравнение в котором модуль стоит под модулем? Давайте посмотрим на примере.

Пример 5. Решите уравнение |3 – |x – 2|| = 1

Подмодульное выражение может принимать значение либо 1 либо – 1. Получаем два уравнения:

3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1 или 3 ‒ |х ‒ 2|= 1

Решаем каждое уравнение отдельно.

1)  3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 или х ‒ 2= ‒ 4, откуда получаем х1 = 6, х2 = ‒2.

2)  3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 или х – 2 = ‒2,  
х3 = 4 , х4 = 0.

Надеюсь, после изучения данной статьи вы будете успешно решать уравнения с модулем. Если остались вопросы, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Урок 4: Уравнения с модулем

План урока:

Модуль числа

Решение уравнений с модулем

Уравнения с параметрами

 

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|9| = |– 9| = 9

|674| = |– 674| = 674

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х2 – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

|у(х)| = b

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b< 0, то ур-ние корней не имеет, ведь модуль не может быть отрицательным.

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|125x10 + 97x4– 12,56х3 + 52х2 + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

 

Пример. Решите ур-ние

|13х – 52| = 0

Решение.

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

13х – 52 = 0

13х = 52

х = 4

Ответ: 4.

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

|b| = b

|– b| = b

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

 

Пример. Решите ур-ние

|х| = 10

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Ответ: 10; (– 10).

 

Пример. Решите ур-ние

|10х + 5| = 7

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Ответ: 0,2; (– 1,2).

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|x2– 2х – 4| = 4

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x2– 2х – 4 = 4 или x2– 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

x2– 2х – 4 = 4

x2– 2х – 8 = 0

D = b2– 4ас = (– 2)2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

х1 = (2 – 6)/2 = – 2

х2 = (2 + 6)/2 = 4

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

x2– 2х – 4 = – 4

x2– 2х = 0

х(х – 2) = 0

х = 0 или х – 2 = 0

х = 0 или х = 2

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Ответ: – 2, 4, 0, 2

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

|у(х)| = |g(x)|

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

 

Пример. Решите ур-ние

|x2 + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x2 + 2x– 1 = х + 1 или x2 + 2x– 1 = – (х + 1)

х2 + х – 2 = 0 или х2 + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

х2 + х – 2 = 0

D = b2– 4ас = 12 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

х1 = (1 – 3)/2 = – 1

х2 = (1 + 3)/2 = 2

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х2 + 3х = 0

х(х + 3) = 0

х = 0 или х + 3 = 0

х = 0 или х = – 3

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Ответ:(– 1), (– 2), 2, 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

2 + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих2 + 3,5х – 20 = – 4,5х

х2 – х – 20 = 0 или х2 + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

х2 – х – 20 = 0

D = b2– 4ас = 12 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

х1 = (1 – 9)/2 = – 4

х2 = (1 + 9)/2 = 5

х2 + 8х – 20 = 0

D = b2– 4ас = 82 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

х3 = (– 8 – 12)/2 = – 10

х4 = (– 8 + 12)/2 = 2

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

4,5х ≥ 0

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Ответ: 2 и 5

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

  1. у(х) = b (b– это некоторая константа)
  2. |у(х)| = |g(x)|
  3. |у(х)| = g(x)

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

 

Пример. Найдите корни ур-ния

|x + 1| + |x– 4| = 6

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х <– 1 оба подмодульные выр-ния отрицательны, то можно записать, что

|x + 1| = – (х + 1) = – х – 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Тогда ур-ние примет вид

|x + 1| + |x– 4| = 6

– х – 1 – х + 4 = 6

–2х = 3

х = – 1,5

Это значение удовлетворяет условию х <– 1, поэтому корень верный.

Далее изучим случай, когда х∊[– 1; 4). Здесь отрицательно только выражение x– 4, поэтому модули заменяются так:

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Ур-ние примет вид:

|x + 1| + |x– 4| = 6

x + 1 – x+ 4 = 6

5 = 6

Получили неверное тождество. Получается, что на промежутке [– 1; 4) корней нет.

При х ≥4 выр-ния х – 4 и х + 1 положительны, поэтому

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = х – 4

Исходное ур-ние будет выглядеть так

|x + 1| + |x– 4| = 6

х + 1 + х – 4 = 6

2х = 9

х = 4,5

Найденный корень удовлетворяет условию х ≥4, поэтому он также должен быть включен в ответ.

 

Уравнения с параметрами

Изучим ур-ния:

5х = 10

5х = 15

5х = 20

Для решения каждого из них надо число справа поделить на 5 (множитель перед х). В итоге получаем значения х, равные 2, 3 и 4.

Теперь обозначим число в правой части буквой, например, как v. Тогда все эти ур-ния будут выглядеть одинаково:

5х = v

Решением таких ур-ний будет дробь v/5.

Надо понимать разный смысл, который мы вкладываем при этом в буквы х и v. Через х мы обозначили переменную, то есть ту величину, значение которой необходимо найти. Под буквой подразумевалась заранее известная величина, то есть константа, которая известна заранее в каждом конкретном ур-нии. Такую величину называют параметром, а ур-ние 5х = v называют уравнением с параметром.

Изучая уравнение с параметром, мы рассматриваем не одно конкретное ур-ние, а сразу целую группу, или семейство ур-ний. Например, все ур-ния первой степени можно описать в виде

ах + b= 0

где х – это переменная величина, а числа а, b– это параметры. Для описания квадратного ур-ния в общем виде необходимы уже три параметра (а, b и с):

ах2 + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

 

Пример. Решите ур-ние

х2 – 2ах = 0

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х2 – 2ах = 0

х(х – 2а) = 0

х = 0 или х – 2а = 0

х = 0 или х = 2а

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

 

Пример. Решите ур-ние

р2х – 3рх = р2 – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

0 = – 9

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

3•х•0 = 0•(3 + 3)

0 = 0

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

 

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

2 – 6х + 5| = b

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

х2 – 6х + 5 = 0

D = b2– 4ас = (– 6)2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

х1 = (6 – 4)/2 = 1

х2 = (6 + 4)/2 = 5

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х0 вершины параболы по формуле:

х0 = –b/2a = 6/2 = 3

Подставив х0 в квадратичную ф-цию найдем координату у0 вершины параболы:

32 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b< 0 прямая пролегает ниже графика. Общих точек у графиков нет, а потому ур-ние корней не имеет.

При b = 0 прямая у = 0 касается графика в 2 точках: (1; 0) и (5; 0). Получаем 2 корня.

Если 0 <b< 4, то прямая пересекает график в 4 точках.

При b = 4 прямая у = 4 касается перевернутой вершины параболы, а также пересекает ветви ещё в 2 точках. Итого 3 корня.

Наконец, при b>4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b< 0; 2 корня при b = 0 и b> 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 <b< 4.

Пример. При каком а ур-ние

х4 – (а + 2)х2 + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х2:

у2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у1 и у2. Тогда, проводя обратную замену х2 = у1 и х2 = у2, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у1, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у1 будет отрицательным числом, то ур-ние

х2 = у1

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b2– 4ас = (– (а + 2))2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2)2 – 12 а + 12 =

= а2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а2 – 8а + 16 = а2 – 2•4•а + 42 = (а – 4)2

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4)2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у1, и у2 должны быть положительными величинами, однако у1 меньше, чем у2 (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

|а – 4| = а – 4

Тогда имеем

а + 2 – (а – 4) > 0

6> 0

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Если а < 4, то справедливо соотношение

|а – 4| = – (а – 4)

Тогда получится следующее:

а + 2 – |а – 4|> 0

а + 2 – (– (а – 4)) > 0

а + 2 + а – 4 > 0

2а > 2

а > 1

Итак, при условии, что а< 4, должно выполняться нер-во а > 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

а > 4

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

 

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х2 – 2(а + 1)х + а2 + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b2– 4ас = (– 2(а + 1))2 – 4•1•( а2 + 2а – 3) = 4(а2 + 2а + 1) – 4(а2 + 2а – 3) =

= 4(а2 + 2а + 1 – а2– 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х1) был больше – 5, больший (это х2) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х1>– 5и х2<5

а – 1 >– 5 и а + 3 < 5

а >– 4 и а < 2

Эти два нер-ва выполняются, если а∊(– 4; 2)

Ответ: (– 4; 2)

 

1 x модуль

Вы искали 1 x модуль? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 модуль x, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «1 x модуль».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 x модуль,1 модуль x,1 модуль x 2,1 модуль x 3,1 модуль х,2 модуль x,2 модуль х,2 х модуль,2х 3 5 модуль,3 модуль x,3 модуль х,4 x 5 модуль,4 модуль х,5 модуль,5 модуль x,5 модуль х,7 класс уравнения модулями с,f x модуль x,x 2 модуль,x 3 модуль,x 5 модуль,x модуль,x модуль 2,y модуль 1 x 1,выражения с модулем,действия с модулем,действия с модулями,задания с модулем,задачи с модулем,задачи с модулями,икс модуль,как избавиться от модуля,как модуль умножить на модуль,как раскрывается модуль,как раскрывать модули,как раскрывать модуль,как раскрывать модуль в уравнении,как раскрыть модуль в уравнении,как решается модуль,как решать квадратные уравнения с модулем,как решать модули,как решать модуль,как решать модуль в модуле,как решать модуль равен модулю,как решать модульные уравнения,как решать модульные уравнения 7 класс,как решать примеры с модулем,как решать примеры с модулями,как решать с модулем,как решать уравнение с двойным модулем,как решать уравнение с модулем,как решать уравнение с модулем 7 класс,как решать уравнение с модулями,как решать уравнения 6 класс с модулями,как решать уравнения с двойным модулем,как решать уравнения с двумя модулями,как решать уравнения с модулем,как решать уравнения с модулем 10 класс,как решать уравнения с модулем 7 класс,как решать уравнения с модулем 9 класс,как решать уравнения с модулями,как решать уравнения с модулями 10 класс,как решать уравнения с модулями 7 класс,как решаются модули,как решаются уравнения с модулем,как решаются уравнения с модулями,как решить квадратное уравнение с модулем,как решить модуль,как решить модуль в модуле,как решить модульное уравнение,как решить уравнение квадратное с модулем,как решить уравнение с двумя модулями,как решить уравнение с модулем,как решить уравнение с модулем 7 класс,как решить уравнение с модулями,как решить уравнения с модулем,как убрать модуль в уравнении,как умножить модуль на модуль,калькулятор модулей уравнений,калькулятор решение уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулями,калькулятор уравнений с модулями онлайн,калькулятор уравнения с модулем,квадратное уравнение с модулем,квадратные уравнения с модулем,квадратные уравнения с модулем как решать,линейные уравнения с модулем,минус модуль х равен минус х решить,модули как раскрывать,модули как решать,модули как решаются,модули примеры,модули решение,модули решение уравнений,модули уравнения,модуль 1 x,модуль 1 х,модуль 1 х больше 2,модуль 2 x,модуль 2 х,модуль 2 х 3,модуль 3 x,модуль 3 равен х,модуль 3 х,модуль 4 х,модуль 5 x 4,модуль 5 х,модуль x,модуль x 1,модуль x 1 3,модуль x 2,модуль x 2 3,модуль x 3,модуль x 4,модуль x 4 3,модуль x 4 x,модуль x 5,модуль x 5 x,модуль x равен,модуль x равен x,модуль в модуле,модуль в модуле как решать,модуль в модуле как решить,модуль в модуле решение,модуль в модуле уравнение,модуль в уравнении как раскрыть,модуль в уравнениях,модуль выражения,модуль икс,модуль икс равен икс,модуль как раскрыть,модуль как решается,модуль как решать,модуль как решить,модуль квадратного уравнения,модуль минус икс,модуль минус икс равен икс,модуль плюс модуль равно модуль,модуль примеры,модуль примеры решения,модуль равен 2,модуль равен x,модуль равен модулю как решать,модуль равен модулю уравнение,модуль раскрыть,модуль решение,модуль решение уравнений,модуль уравнение,модуль уравнения,модуль х,модуль х 1,модуль х 1 х 3,модуль х 1 х 3 1,модуль х 2,модуль х 2 5,модуль х 3,модуль х 3 2,модуль х 4,модуль х 4 х,модуль х 5,модуль х 5 2,модуль х 8 5,модуль х минус х,модуль х модуль у 1,модуль х модуль у 3,модуль х равен 3,модуль числа решение уравнений,модуль числа уравнения,модульное уравнение,модульное уравнение решить онлайн,модульные уравнения,модульные уравнения 10 класс,модульные уравнения 7 класс,модульные уравнения 7 класс как решать,модульные уравнения как решать,модульные уравнения решение,модуля решение,онлайн раскрытие модуля,онлайн решение модулей,онлайн решение модульных уравнений,онлайн решение уравнение с модулем,онлайн решение уравнений с модулем,онлайн решение уравнений с модулем с подробным решением,онлайн решение уравнений с модулями,онлайн решение уравнения с модулем,онлайн решить уравнение с модулем,онлайн решить уравнения с модулем,онлайн уравнения с модулем,правила модуля,правила раскрытия модуля,правило модуля,правило раскрытия модуля,примеры как решать модули,примеры модули,примеры модуль,примеры решения квадратные уравнения с модулем,примеры с модулем,примеры с модулем как решать,примеры с модулями,примеры с модулями 7 класс,примеры с модулями как решать,примеры с модулями примеры решений,простейшие уравнения с модулем,равен модуль 2,раскрытие модулей,раскрытие модуля,раскрытие модуля в уравнении,раскрытие модуля онлайн,раскрыть модуль,раскрыть модуль онлайн,решение задач с модулем,решение квадратных уравнений с модулем,решение линейных уравнений с модулем 7 класс примеры,решение модулей,решение модулей онлайн,решение модули,решение модуль в модуле,решение модульные уравнения,решение модульных уравнений,решение модульных уравнений 7 класс,решение модульных уравнений онлайн,решение модуля,решение онлайн модулей,решение примеров с модулем,решение примеров с модулями,решение с модулем,решение уравнение онлайн с модулем,решение уравнение с модулем,решение уравнение с модулем онлайн,решение уравнений модули,решение уравнений модуль,решение уравнений модуль числа,решение уравнений онлайн с модулем,решение уравнений онлайн с модулями,решение уравнений онлайн с подробным решением с модулем,решение уравнений с двойным модулем,решение уравнений с двумя модулями,решение уравнений с модулем,решение уравнений с модулем 7 класс,решение уравнений с модулем 7 класс примеры,решение уравнений с модулем калькулятор,решение уравнений с модулем онлайн,решение уравнений с модулем онлайн с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением онлайн,решение уравнений с модулями,решение уравнений с модулями онлайн,решение уравнения онлайн с модулем,решение уравнения с модулем,решение уравнения с модулем онлайн,решение уравнения с модулем онлайн калькулятор,решения уравнений с модулем,решения уравнений с модулями,решите уравнение с модулем,решить модульное уравнение онлайн,решить онлайн уравнение с модулем,решить уравнение модуль х равен минус х,решить уравнение модуль х равен х,решить уравнение онлайн с модулем,решить уравнение с модулем,решить уравнение с модулем онлайн,решить уравнение с модулем онлайн с решением,решить уравнения онлайн с модулем,решить уравнения с модулем онлайн,рівняння з модулем,рівняння з модулями,с двумя модулями уравнение,сложные уравнения с модулем,у 2 модуль х,у 3 модуль х,у модуль х 2,уравнение модуль,уравнение модуль в модуле,уравнение модуль равен модулю,уравнение с двойным модулем как решать,уравнение с двумя модулями,уравнение с модулем,уравнение с модулем 7 класс,уравнение с модулем как решать,уравнение с модулем как решать 7 класс,уравнение с модулем квадратное,уравнение с модулем квадратное уравнение,уравнение с модулем онлайн,уравнение с модулем онлайн решение,уравнение с модулем примеры,уравнение с модулем решение,уравнение с модулем решение онлайн,уравнение с модулями,уравнение с модулями 7 класс,уравнение с модулями как решать,уравнения в модуле,уравнения модули,уравнения модуль,уравнения модуль числа,уравнения онлайн с модулем,уравнения с двойным модулем как решать,уравнения с двумя модулями,уравнения с двумя модулями как решать,уравнения с модулем,уравнения с модулем 10 класс как решать,уравнения с модулем 7 класс,уравнения с модулем 7 класс примеры решения,уравнения с модулем 8 класс примеры решения,уравнения с модулем как решать,уравнения с модулем как решать 7 класс,уравнения с модулем как решить,уравнения с модулем калькулятор,уравнения с модулем калькулятор онлайн,уравнения с модулем онлайн,уравнения с модулем онлайн калькулятор,уравнения с модулем примеры,уравнения с модулем примеры решения,уравнения с модулем простейшие,уравнения с модулем решение,уравнения с модулем решение онлайн,уравнения с модулем решить онлайн,уравнения с модулем с двойным модулем,уравнения с модулем сложные,уравнения с модулями,уравнения с модулями 10 класс,уравнения с модулями 7 класс,уравнения с модулями 7 класс в ответе 0,уравнения с модулями 7 класс объяснение,уравнения с модулями как решать,уравнения с модулями примеры решений,уравнения содержащие модуль,х 1 модуль,х 2 модуль,х 2 модуль 3,х 3 2 модуль,х 5 модуль,х модуль. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 x модуль. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 1 модуль x 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 x модуль Онлайн?

Решить задачу 1 x модуль вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Как раскрыть модуль в модуле в уравнении. Уравнения с модулем. Решение неравенств с модулем

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = — х, х

Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 — b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.

Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.

Процесс решения

Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.

Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля
. Итак, модулем числа a
называется само это число, если a
неотрицательно и -a
, если число a
меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1.
Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8

3.
Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x)
или f(x) = -g(x)
.

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6.
Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля
. Итак, модулем числа a
называется само это число, если a
неотрицательно и -a
, если число a
меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1.
Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8

3.
Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x)
или f(x) = -g(x)
.

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6.
Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

blog.сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.

Вконтакте

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а
обозначается как |a|
.

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

Особенности решения уравнений с модулем

Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5
, если, А больше или равняется нулю.

5-А
, если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

Простейшие уравнения с модулем. Тест

Определение. Геометрический смысл

 

Модуль (или абсолютная величина)   числа   (обозначается как )— неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа  

А именно:

Мы будем называть данное правило правилом раскрытия модуля.

Например, так как , попадаем в первую строку (ситуацию).

так как попадаем во вторую ситуацию.

С геометрической точки зрения,  – есть расстояние между числом   и началом координат.

Решением уравнения, например,  являются числа и , потому что расстояние от точки координатной прямой до нуля равно , и расстояние от точки   до нуля также равно 6.

|| с геометрической точки зрения означает расстояние между точками и .

 

Полезные примеры

 

1) Раскрыть модуль:

Так как больше, чем , то , а значит согласно правилу раскрытия модуля.

2) Раскрыть модуль:

Так как больше нуля при всех значениях , то согласно правилу раскрытия модуля.

3) Раскрыть модуль:

Так как , то , а значит, согласно правилу раскрытия модуля.

Решение уравнений

 

1) Решить уравнение .

Модуль – всегда неотрицательная величина, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: { }

2) Решить уравнение: .

Модуль раскрывается таким образом в случае, когда  .

Ответ:

3) Решить уравнение:

Согласно геометрическому смыслу модуля левая и правая части равенства представляют из себя одно и то же.

Ответ:

4)  Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а)

Имеем: ,     

Откуда .

Поскольку мы находимся в ситуации , то подходит только корень .

б)

Имеем: ,    

Откуда или .

Поскольку мы находимся в ситуации , то ни один корень из найденных в пункте (б) нам не подходит.

Ответ: .

Коротко можно было бы решение оформить так:

5) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

a) Первый случай:

Что равносильно .

б) Второй случай:

Что равносильно

Ответ:

6) Решить уравнение:

Можно было бы действовать согласно правилу раскрытия модуля, но проще будет в данном случае рассуждать так:

Внутри модуля может «скрываться» как так и .

Поэтому или

или

Из первого уравнения или , а второе уравнение корней не имеет.

Ответ:

 

7) Решить уравнение:

Раскрываем модуль согласно правилу раскрытия модуля:

а) Первый случай:

Рассмотрим отдельно первую строку системы:

Рассмотрим уравнение из системы:

или

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки, предварительно разбив среднее слагаемое на два:

Откуда (трехчлен в скобках корней не имеет).

Данный корень удовлетворяет первой строке системы, он пойдет  в ответ.

б) Второй случай:

Решение неравенства системы:

Корень удовлетворяет решению неравенства системы.

Собираем решения.

Ответ:

 

Также, смотрите «Модуль. Простейшие неравенства с модулем» здесь.

Вы можете пройти тест  по теме «Модуль. Раскрытие модуля. Простешие уравнения с модулем»

{\ phantom {|}} \!} 9 \ Equiv \ dfrac {-10} 9 \ pmod {\! 43} = $ уникальный корень $ \, 9x \ Equiv 33 $


Отменить обратимый коэффициент $ 3 $, затем $ \ rm \ color {# c00} {twiddle} \, $ (добавить $ \, \ pm 43j \, $, чтобы сделать частное точным , см. Обратную взаимность)

$$ \ dfrac {33} 9 \ Equiv \ dfrac {\ color {# c00} {11}} 3 \ Equiv \ dfrac {\ color {# c00} {54}} 3 \ Equiv 18 $$


Разложите дробь на множители, затем $ \ rm \ color {# c00} {twiddle} $ верхний

$$ \ dfrac {-10} 9 \ Equiv \ dfrac {\ color {# c00} {- 2}} 9 \ \ dfrac {5} 1 \ Equiv \ dfrac {\ color {# c00} {- 45}} 9 \ \ dfrac {5} 1 \ эквив -5 \ cdot 5 \ экв 18 $$


Алгоритм Гаусса

$$ \ dfrac {-10} 9 \ эквив \ dfrac {-50} {45} \ эквив \ dfrac {-50} 2 \ эквив -25 \ эквив 18 $$


Расширенный алгоритм Евклида в вперед эквациональной форме, затем соответствующая ему дробная форма

$$ \ begin {array} {rr}
\ bmod 43 \!: \ \ \ \ \ \ \ \ \ [\! [1] \!] & 43 \, x \, \ Equiv \ \ 0 \ \\
[\! [2] \!] & \ \ Color {# c00} {9 \, x \, \ Equiv -10} \! \! \! \\
[\! [1] \!] — 5 \, [\! [2] \!] \ Rightarrow [\! [3] \!] & \ Color {# 0a0} {- 2 \, x \, \ Equiv \ \ 7} \ \\
[\! [2] \!] + \ Color {оранжевый} 4 \, [\! [3] \!] \ Rightarrow [\! [4] \!] & \ Color {# 90f} {1 \, x \, \ Equiv 18} \
\ конец {массив} \ qquad \ qquad \ $$

$$ x \, \ Equiv \, \ dfrac {0} {43} \ overset {\ large \ frown} \ эквив
\ underbrace {\ color {# c00} {\ dfrac {-10} {9}} \ overset {\ large \ frown} \ эквив
\ \ color {# 0a0} {\ dfrac {7} {- 2}} \ \ overset {\ large \ frown} \ Equiv \
\ color {# 90f} {\ dfrac {18} {1}}}
_ {\! \! \! \ Large \ begin {align} \ color {# c00} {- 10} \ \ + \ \ & \! \ Color {orange} 4 \, (\ color {# 0a0} {\ \, 7 \ \,}) \ \ \ Equiv \ \ \ color {# 90f} {18} \\
\ color {# c00} {9} \ \ + \ \ & \! \ color {оранжевый} 4 \, (\ color {# 0a0} {- 2}) \ \ \ Equiv \ \ \ \ color {# 90f} {1} \ end {align}} \ quad $$


Дробное расширение двоичного расширенного алгоритма Евклида, которое использует только сокращение $ 2 $ и медиантное вычитание $ \ \ frac {a} b \ ominus \ frac {c} d: = \ frac {ac} {bd} \ pmod { \! 43}

долл. nan, где aaa — заданное положительное целое число.n = \ text {произведение нескольких выражений}, получается = произведение нескольких выражений. В частности, если aaa простое число, то по основной арифметической теореме мы можем заключить, что каждый множитель в произведении является степенью этого простого числа. Даже если aaa составное, оно часто сводится к рассмотрению случая после рассмотрения наибольшего общего делителя. Мы приводим следующий пример, чтобы проиллюстрировать эту технику:

Решите относительно (p, n, x) (p, n, x) (p, n, x) в следующем диофантовом уравнении с простым ppp и положительными целыми числами x, n: x, n: x, n:

пн + 1 = х2.z.3x + 4y = 5z.

Подсказка: покажите, что x = y = 2x = y = 2x = y = 2 — единственные решения.

Решение квадратичных сравнений

Как вы решаете сравнения вида x 2 a (mod m )? Другими словами, как найти квадратные корни в модульной арифметике?

Каждая книга по теории чисел, которую я видел, указывает на то, что общая проблема решения x 2 a (mod m ) может быть сведена к решению частного случая, когда m — простое число, а затем тратится больше всего. времени, подробно изучая этот частный случай.Однако я не видел книги, в которой было бы полностью ясно, как именно свести общую проблему к проблеме простых модулей или как можно развернуть редукцию, чтобы получить решение исходной проблемы. Я постараюсь восполнить здесь пробелы.

В этих примечаниях мы будем предполагать, что m и a не имеют общих факторов.

Уменьшить общие модули до основных модулей мощности

Первый шаг в сокращении очевиден. Разложите на множители модуль m на простые степени: m = p 1 e 1 p 2 e 2 000… p r р .Если сравнение x 2 a (mod m ) имеет решение, это решение обязательно является решением для каждого из основных сравнений мощности x 2 a (mod p i e i ). И наоборот, если вы найдете решения для каждой из степенных конгруэнций простых чисел, вы можете использовать китайскую теорему об остатках для получения решения исходной проблемы.

Уменьшить основные модули мощности до основных модулей

Это та часть, которая часто не представлена ​​четко.Кроме того, степени двойки должны обрабатываться отдельно от степеней нечетных простых чисел, а первым иногда пренебрегают.

Для любого простого числа p , необходимое условие для x 2 a (mod p n ), чтобы иметь решение, для x 2 a (mod p ), чтобы найти решение. (Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если x 2 делится на p n , то оно, безусловно, делится на p .) Как ни удивительно, но это тоже достаточное условие.

Полномочия 2

Пусть a будет нечетным целым числом. (Поскольку мы предполагаем, что m и a являются относительно простыми, если m имеет степень 2 в качестве множителя, a должно быть нечетным.)

Во-первых, x 2 a (mod 2) имеет решение, а именно x ≡ 1 (mod 2).

Далее, x 2 a (mod 4) имеет решение тогда и только тогда, когда a 1 (mod 4), и в этом случае решения будут x ≡ 1 (mod 4) и x 3 (мод 4).

Наконец, для n ≥ 3, x 2 a (mod 2 n ) имеет четыре уникальных решения, если a ≡ 1 (mod 8), и никаких решений в противном случае.

Если a 1 (mod 8), то x 2 a (mod 8) имеет четыре решения: 1, 3, 5 и 7. Решения для x 2 a (mod 2 n ) для n > 3 можно найти с помощью процедуры ниже, которая начинается с каждого из решений (mod 8) и производит решения по индукции для более высоких степеней двойки.

Предположим, что x k 2 a (mod 2 k ) для k ≥ 3. По определению это означает, что x 2 делится на 2 к . Если ( x 2 a ) / 2 k нечетное, пусть i = 1. В противном случае пусть i = 0. Тогда x k +1 определено по x k + i 2 k -1 является решением x k +1 2 a (mod 2 k +1 ).

Степени нечетных простых чисел

Пусть p будет нечетным простым числом и пусть a будет любым целым числом, относительно простым p . Затем существует процедура, основанная на лемме Гензеля, которая может принимать решение для x 2 a (mod p ) и производить решения для x 2 a (mod p n ) для n = 2, 3, 4 и т. д.

Предположим, что x k является решением для x 2 a (mod p k ) для некоторых k ≥ 1.Пусть y k будет решением 2 x k y k ≡ 1 (mod p k ). Тогда x k +1 = x k — ( x k 2 a ) y k — решение для x

87 ≡ a (mod p k +1 ).

Приведенная выше процедура показывает, как построить одно решение для x 2 a (mod p n ), но не говорит нам, есть ли другие решения.Далее мы покажем, что если мы найдем решение x, будет ровно одно другое решение — x . (Спасибо Немо за это доказательство.)

Предположим, что x 2 = y 2 a (mod p n ), где p является нечетным простым числом, а a является относительно простым относительно p . Тогда x 2 y 2 ≡ ( x y ) ( x + y ) ≡ 0 (mod p n ).Таким образом, p n делит продукт ( x + y ) ( x y ), и поэтому p также делит продукт.

Если p разделит как x + y , так и x y , то p разделит и их сумму, и их разницу, 2 x и -2 y . Поскольку p является нечетным простым числом, p не делит 2, и поэтому p делит как x , так и y .Теперь x 2 a (mod p n ), и поэтому x 2 = k p n + a для некоторых k . Если p разделить x , то p разделит x 2 , и, следовательно, p разделит на , а a не будет относительно простым с p n . Следовательно, p не делит ни x , ни y .Отсюда следует, что p либо делит ( x + y ), либо ( x y ), но не оба. Поскольку p n делит ( x + y ) ( x y ), он делит только одно из ( x + y ) и ( x y ). ). Следовательно, либо x y (mod p n ), либо x ≡ — y (mod p n ).Итак, если a имеет любой квадратный корень по модулю p n — назовите его x — тогда он имеет ровно два корня: x и — x .

Модуль нечетного простого числа

Мы рассматриваем здесь только нечетные простые числа, потому что случай p = 2 рассматривался выше. Поэтому мы предполагаем, что p — нечетное простое число в этом разделе.

Если x 2 a (mod p ) имеет решение, мы говорим, что a является «квадратичным модулем размещения p .«Если это сравнение не имеет решения, мы говорим, что x является« квадратичным модулем без остатка p ».

Сравнение x 2 a (mod p ) либо не имеет решений, либо имеет два решения. Если x — решение, значит — x .

Критерий Эйлера

говорит, что нечетное целое число, относительно простое p , является квадратичным остатком (mod p ) тогда и только тогда, когда a ( p -1) / 2 ≡ 1 (mod p ).Этого факта достаточно, чтобы разрешить вопрос о том, является ли a квадратичным вычетом. Его можно использовать в практическом алгоритме с использованием быстрого возведения в степень. Однако существует обширная и красивая теория, называемая «квадратичной взаимностью», которая дополнительно исследует эту проблему и создает более эффективные алгоритмы.

Если a является квадратичным остатком (mod p ) и p ≡ 3 (mod 4), то a ( p +1) / 4 является решением x 2 a (мод. p ).Если a ≡ 1 (mod 4), аналогичной формулы нет. В этом случае можно использовать алгоритм Тонелли-Шанкса. (Спасибо Аласдеру МакЭндрю за указание на этот алгоритм.)

3.3: Линейные сравнения — математика LibreTexts

Поскольку сравнения аналогичны уравнениям, естественно спросить о решениях линейных уравнений. В этом разделе мы обсудим линейные сравнения одной переменной и их решения. Начнем с определения линейных сравнений.

Конгруэнция вида \ (ax \ Equiv b (mod \ m) \), где \ (x \) — неизвестное целое число, называется линейной конгруэнцией по одной переменной.

Важно знать, что если \ (x_0 \) является решением линейного сравнения, то все целые числа \ (x_i \) такие, что \ (x_i \ Equiv x_0 (mod \ m) \) являются решениями линейного сравнения . Также обратите внимание, что \ (ax \ Equiv b (mod \ m) \) эквивалентно линейному диофантову уравнению, т.е. существует \ (y \) такое, что \ (ax-my = b \). Докажем теперь теоремы о решениях линейных сравнений.

Пусть \ (a, b \) и \ (m \) — такие целые числа, что \ (m> 0 \) и пусть \ (c = (a, m) \). Если \ (c \) не делит \ (b \), то сравнение \ (ax \ Equiv b (mod \ m) \) не имеет решений. Если \ (c \ mid b \), то \ [ax \ Equiv b (mod \ m) \] имеет точно \ (c \) инконгруэнтные решения по модулю \ (m \).

Как мы упоминали ранее, \ (ax \ Equiv b (mod \ m) \) эквивалентно \ (ax-my = b \). По теореме 19 о диофантовых уравнениях мы знаем, что если \ (c \) не делит \ (b \), то уравнение \ (ax-my = b \) не имеет решений.Также обратите внимание, что если \ (c \ mid b \), то существует бесконечно много решений, переменная \ (x \) которых задается как \ [x = x_0 + (m / c) t \] Таким образом, указанные выше значения \ (x \) являются решениями сравнения \ (ax \ Equiv b (mod \ m) \). Теперь нам нужно определить количество имеющихся у нас неконгруэнтных решений. Предположим, что два решения конгруэнтны, т.е. \ [x_0 + (m / c) t_1 \ Equiv x_0 + (m / c) t_2 (mod \ m). \] Таким образом, мы получаем \ [(m / c) t_1 \ Equiv (m / c) t_2 (mod \ m). \] Теперь заметим, что \ ((m, m / c) = m / c \) и, следовательно, \ [t_1 \ Equiv t_2 (mod \ c). \] Таким образом, мы получаем набор инконгруэнтных решений, заданных формулой \ (x = x_0 + (m / c) t \), где \ (t \) берется по модулю \ (c \).

Обратите внимание, что если \ (c = (a, m) = 1 \), то существует единственное решение по модулю m уравнения \ (ax \ Equiv b (mod \ m) \).

Найдем все решения сравнения \ (3x \ Equiv 12 (mod \ 6) \). Обратите внимание, что \ ((3,6) = 3 \) и \ (3 \ mid 12 \). Таким образом, имеется три инконгруэнтных решения по модулю \ (6 \). Мы используем алгоритм Евклида, чтобы найти решение уравнения \ (3x-6y = 12 \), как описано в главе 2. В результате мы получаем \ (x_0 = 6 \). Таким образом, три инконгруэнтных решения задаются формулами \ (x_1 = 6 (mod \ 6) \), \ (x_1 = 6 + 2 = 2 (mod \ 6) \) и \ (x_2 = 6 + 4 = 4 (mod \ 6) \).

Как мы упоминали ранее в замечании 2, сравнение \ (ax \ Equiv b (mod \ m) \) имеет единственное решение, если \ ((a, m) = 1 \). Это позволит нам говорить о модульных инверсиях.

Решение сравнения \ (ax \ Equiv 1 (mod \ m) \) для \ ((a, m) = 1 \) называется модульным обратным к \ (a \) по модулю m. Обозначим такое решение через \ (\ bar {a} \).

Модульное обратное к 7 по модулю 48 равно 7. Обратите внимание, что решение для \ (7x \ Equiv 1 (mod \ 48) \) есть \ (x \ Equiv 7 (mod \ 48) \).

Упражнения

  1. Найдите все решения \ (3x \ Equiv 6 (mod \ 9) \).
  2. Найдите все решения \ (3x \ Equiv 2 (mod \ 7) \).
  3. Найдите обратное по модулю 13 2 и 11.
  4. Покажите, что если \ (\ bar {a} \) является обратным к \ (a \) по модулю \ (m \) и \ (\ bar {b} \) является обратным к \ (b \) по модулю \ ( m \), то \ (\ bar {a} \ bar {b} \) является обратным к \ (ab \) по модулю \ (m \).

Авторы и авторство

  • Доктор Виссам Раджи, доктор философии, Американский университет в Бейруте. Его работа была выбрана фондом Saylor Foundation Open Textbook Challenge для публичного выпуска по лицензии Creative Commons Attribution ( CC BY ).

Как решать линейные сравнения

Числа конгруэнтны, если у них есть свойство, состоящее в том, что разница между ними целиком делится на число (целое число). Число называется модулем, и утверждение рассматривается как конгруэнтное по модулю. Математически это можно выразить как b = c (mod m)

.

Как правило, линейное сравнение — это проблема нахождения целого числа x, которое удовлетворяет уравнению ax = b (mod m). Таким образом, линейное сравнение — это сравнение в форме ax = b (mod m), где x — неизвестное целое число.В линейном сравнении, где x0 — решение, все целые числа x1 равны x1 = x0 (mod m).

Различные методы решения линейных сравнений

Для решения линейных сравнений можно использовать несколько методов. Наиболее часто используемые методы — это метод алгоритмов Евклида и метод Эйлера.

Пример: Решите линейное сравнение ax = b (mod m)

Решение: ax = b (mod m) _____ (1)

a, b и m — такие целые числа, что m> 0 и c = (a, m).

Если c не может делить b, линейное сравнение ax = b (mod m) не имеет решения.

Если c может делить b, сравнение ax = b (mod M) имеет инконгруэнтное решение по модулю m.

Как уже упоминалось, ax = b (mod m) равно ax — my = b. Если мы применим теорему 19, вы поймете, что c не может делить b; таким образом, невозможно получить решение уравнения ax — my = b.

В качестве альтернативы, если c может делить b, это означает, что существует несколько решений, переменная которых x обозначается как x = x0 + (m / c) t _____ (2)

Таким образом, значения x становятся решением сравнения ax = b (mod m).Теперь вы можете легко найти количество всех несовместимых решений.

Предполагая, что два решения несовместимы, так что:

x0 + (m / c) t1 = x0 + (m / c) t2 (mod m) _____ (3)

(м / ц) t1 = (м / ц) t2 (по модулю м) _____ (4)

Теперь вы понимаете, что (m, m / c) = m / c

Таким образом, t1 = t2 (mod c) _____ (5)

Теперь у вас есть набор инконгруэнтных решений, задаваемый формулой X = X0 + (M / C) T, где T задается по модулю C.

Математически, если C = (A, M) = 1, всегда существует определенное единственное решение для модуля M в линейном сравнении AX = B (mod M).

Решение линейных сравнений с использованием метода евклидова алгоритма

Метод алгоритмов Евклида — один из простейших методов решения линейных сравнений. Этот метод работает так, что если d является наибольшим общим делителем двух положительных целых чисел, скажем, a и b, d делит напоминание (r). Этот остаток (r) получается в результате деления меньшего из a и b на большее.

Метод евклидова алгоритма позволяет находить золотые пути простых чисел при решении линейных сравнений.

Пример: Решите линейное сравнение 3x = 12 (mod 6)

Решение:

3x = 12 (мод. 6)

(3, 6) = 3 и 3/12

Таким образом, вы получаете три инконгруэнтных решения для мода 6.

Вы должны использовать метод алгоритма Евклида, чтобы найти решение результирующего линейного диофантова уравнения 3x — 6y = 12, чтобы получить x0 = 0.

Три несовместимых решения представлены в:

x1 = 6 (мод. 6)

x1 = 6 + 2 = 2 (мод. 6)

x2 = 6 + 4 = 4 (мод. 6)

Иллюстрация

НОД 24 и 16 равны 8.

Таким образом; 24 = 1 (16) + 8

Следовательно, остаток равен 8, если вы разделите 24 на 16, что делится на 8.

Примеры

Чтобы лучше понять, как использовать метод алгоритма Евклида, мы будем использовать уравнение 11x = 1 mod 23.

Пример: Решите линейное сравнение 11x = 1 mod 23

Решение: Найдите наибольший общий делитель алгоритма.

23 = 2 (11) +1

11 = 1 (11) + 0

Следовательно, GCD равен 1.

Из уравнения видно, что 1 = (1) (23) + (-2) 11 (mod 23)

(-2) (11) = 1 мод 23

Таким образом, x = -2

Чтобы записать ответ как значение от 0 до 22, вы понимаете, что -2 = 21 mod 23; таким образом, решение x = 21.

Пример: Рассмотрим линейное сравнение 16x = 5 mod 29

Решение:

Сначала решите сравнение 16x = 1 mod 29

29 = 1 (16) +13 (2)

16 = 1 (13) + 3 (3)

13 = 4 (3) + 1 (4)

Отсюда получаем:

1 = 1 (13) + (-4) (3).

Подставьте в уравнение 1 = 1 (13) + (-4) (3), используя тот факт, что из (3) 3 = 16-1 (13) вы получите:

1 = 1 (13) + (-4) (16-1 (13)) = 5 (13) + (-4) (16) (5)

Теперь вы можете использовать (2), зная, что 13 = 29 -1 (16), чтобы заменить 13 в (5).

1 = 5 (29-1 (16)) + (-4) (16) = (-9) (16) + (5) (29)

Следовательно, последнее уравнение по модулю 29 приводит к:

(-9) (16) = 1 по модулю 29

Таким образом, значение x равно -9, что в данном случае конгруэнтно модулю 29–30.

Но на этом все не заканчивается.

Теперь, когда вы знаете, что 16 (20) сравнимо с 1 по модулю 29, умножьте обе части уравнения на 5, чтобы получить 100 (16), конгруэнтно по модулю 29. И поскольку 100 сравнимо с 13 по модулю 29, решение уравнения линейное сравнение 16x = 5 по модулю 29 равно 13.

Наконец, убедитесь, что 16 (13) -5 оставит нулевой остаток, когда вы разделите его на 29.

Как решить линейные сравнения с помощью метода Эйлера

Этот метод применяется для решения линейного диофантова уравнения.Линейное диофантово уравнение — это любое уравнение, выраженное как ax + by = c. Метод Эйлера применяет знания о решении линейных диофантовых уравнений для решения линейных сравнений.

Важно отметить, что существует тесная связь между линейными диофантовыми уравнениями и линейными сравнениями.

Это так, потому что в уравнении a = b (mod n), n делит (a-b) или a-b = nt для некоторого t, или a = b + nt.

Кроме того, уравнение a = b + nt может быть преобразовано по модулю n:

а = b + nt

a = b + 0t mod n

Следовательно, a = b mod n

Пример:

Вы можете легко преобразовать линейное сравнение 13x = 4 mod 37 в диофантово уравнение 13x = 4 + 37y.

Решение линейных сравнений с использованием метода Эйлера включает замену сравнений на уравнения. Затем вы меняете уравнение на сравнение по модулю с использованием наименьшего коэффициента.

Пример:

Решите следующее диофантово линейное уравнение.

23x + 49y = 102

Решение:

23x + 49y = 102 _____ (1)

Во-первых, превратите диофантово уравнение в линейное сравнение. Из уравнения вы понимаете, что mod 23 — это наименьший коэффициент.

49y = 101 мод 23

Теперь упростим уравнение, чтобы получить:

3y = 10 мод 23

Теперь используйте метод Эйлера, чтобы преобразовать уравнение в равенство.

3 года +10 + 23а _____ (2)

Теперь уменьшите уравнение до сравнения по модулю 3, которое является наименьшим коэффициентом.

0 = 10 + 2a по модулю 3 или 0 = эквивалент 1 + 2a по модулю 3.

Упростите это уравнение и получите:

0 = 1 + 2a + 3b _____ (3)

Прежде чем мы перейдем к следующему шагу, обратите внимание на введение новой переменной (b).

Далее возьмем режим 2, чтобы получить:

0 = 1 + 3b мод 2

Упростите дальше, чтобы получить:

0 = 1 + b мод 2

Результат:

b −1 мод 2

Теперь, когда у вас есть b mod 2, выберите любое целое число b, удовлетворяющее этому сравнению, например, b = -1.

Вернитесь к уравнению x (2) и получите:

1 + 2a + 3 (−1) = 0.

1 + 2a — 3 = 0

Затем перейдите к y в уравнении (2), чтобы получить:

3y = 10 + 23a = 10 + 23 = 33

Следовательно, y = 11

Вернитесь к исходному уравнению (1) и получите:

23x + 49 11 = 102

23x = 102 — 539 = 437

х = 19

Следовательно, окончательное решение:

х = 19

г = 11

Последние мысли

Понимание алгоритма Евклида и методов Эйлера упрощает решение линейных сравнений.Эти два метода позволяют расширить модульную арифметику за пределы простого сложения, умножения и вычитания, чтобы дать место для деления. Он закрепил фундаментальную взаимосвязь между целочисленной линейной комбинацией чисел и их НОД.

Не торопитесь, чтобы изучить два метода и с легкостью приступить к решению линейных сравнений.

Оставьте первый комментарий ниже.

% PDF-1.2
%
89 0 объект
>
эндобдж
xref
89 333
0000000016 00000 н.
0000007009 00000 н.
0000009935 00000 н.
0000010150 00000 п.
0000010393 00000 п.
0000010779 00000 п.
0000010957 00000 п.
0000011305 00000 п.
0000011639 00000 п.
0000011931 00000 п.
0000012245 00000 п.
0000012595 00000 п.
0000012922 00000 п.
0000013251 00000 п.
0000013513 00000 п.
0000013834 00000 п.
0000014105 00000 п.
0000014402 00000 п.
0000014716 00000 п.
0000015123 00000 п.
0000015520 00000 п.
0000015817 00000 п.
0000016158 00000 п.
0000016528 00000 п.
0000016890 00000 н.
0000017218 00000 п.
0000017501 00000 п.
0000017841 00000 п.
0000018133 00000 п.
0000018453 00000 п.
0000018834 00000 п.
0000019196 00000 п.
0000019500 00000 п.
0000019846 00000 п.
0000020123 00000 п.
0000020330 00000 п.
0000020565 00000 п.
0000020780 00000 п.
0000020948 00000 н.
0000021118 00000 п.
0000021453 00000 п.
0000021736 00000 п.
0000022101 00000 п.
0000022447 00000 п.
0000022791 00000 п.
0000023124 00000 п.
0000023400 00000 п.
0000023719 00000 п.
0000023910 00000 п.
0000024259 00000 п.
0000024526 00000 п.
0000024578 00000 п.
0000024799 00000 п.
0000025285 00000 п.
0000025782 00000 п.
0000026041 00000 п.
0000026331 00000 п.
0000026619 00000 п.
0000026872 00000 н.
0000027088 00000 п.
0000027328 00000 н.
0000027626 00000 н.
0000027883 00000 п.
0000028136 00000 п.
0000028402 00000 п.
0000028700 00000 п.
0000028969 00000 п.
0000029089 00000 н.
0000029263 00000 п.
0000029446 00000 н.
0000029658 00000 п.
0000029825 00000 п.
0000030003 00000 п.
0000030276 00000 п.
0000030528 00000 п.
0000030777 00000 п.
0000031046 00000 п.
0000031098 00000 п.
0000031289 00000 п.
0000031522 00000 п.
0000031775 00000 п.
0000031827 00000 н.
0000031936 00000 п.
0000032189 00000 п.
0000032379 00000 п.
0000032558 00000 п.
0000032707 00000 п.
0000032985 00000 п.
0000033263 00000 н.
0000033542 00000 п.
0000033822 00000 п.
0000034071 00000 п.
0000034246 00000 п.
0000034612 00000 п.
0000034664 00000 п.
0000034869 00000 п.
0000035164 00000 п.
0000035409 00000 п.
0000035715 00000 п.
0000035952 00000 п.
0000036167 00000 п.
0000036421 00000 п.
0000036656 00000 п.
0000036826 00000 п.
0000037156 00000 п.
0000037491 00000 п.
0000037818 00000 п.
0000038079 00000 п.
0000038384 00000 п.
0000038718 00000 п.
0000038936 00000 п.
0000039390 00000 н.
0000039442 00000 п.
0000039581 00000 п.
0000039877 00000 п.
0000040179 00000 п.
0000040417 00000 п.
0000040705 00000 п.
0000040979 00000 п.
0000041229 00000 п.
0000041531 00000 п.
0000041790 00000 п.
0000042119 00000 п.
0000042366 00000 п.
0000042589 00000 п.
0000042765 00000 п.
0000043045 00000 п.
0000043291 00000 п.
0000043658 00000 п.
0000044013 00000 п.
0000044347 00000 п.
0000044715 00000 п.
0000045148 00000 п.
0000045513 00000 п.
0000045877 00000 п.
0000046141 00000 п.
0000046448 00000 н.
0000046626 00000 н.
0000046826 00000 п.
0000046994 00000 н.
0000047268 00000 п.
0000047568 00000 п.
0000047870 00000 п.
0000048198 00000 н.
0000048562 00000 н.
0000048881 00000 п.
0000049262 00000 п.
0000049448 00000 п.
0000049786 00000 п.
0000050119 00000 п.
0000050481 00000 п.
0000050717 00000 п.
0000051014 00000 п.
0000051244 00000 п.
0000051531 00000 п.
0000051711 00000 п.
0000051988 00000 п.
0000052225 00000 п.
0000052521 00000 п.
0000053198 00000 п.
0000053649 00000 п.
0000053987 00000 п.
0000054232 00000 п.
0000054474 00000 п.
0000054827 00000 н.
0000055118 00000 п.
0000055430 00000 п.
0000055728 00000 п.
0000056074 00000 п.
0000056353 00000 п.
0000056727 00000 н.
0000057207 00000 п.
0000057489 00000 п.
0000057733 00000 п.
0000057936 00000 п.
0000058201 00000 п.
0000058561 00000 п.
0000058859 00000 п.
0000059157 00000 п.
0000059209 00000 п.
0000059456 00000 п.
0000059813 00000 п.
0000060043 00000 п.
0000060386 00000 п.
0000060731 00000 п.
0000061079 00000 п.
0000061347 00000 п.
0000061634 00000 п.
0000061805 00000 п.
0000062062 00000 п.
0000062238 00000 п.
0000062588 00000 п.
0000063001 00000 п.
0000063344 00000 п.
0000063682 00000 п.
0000064058 00000 п.
0000064356 00000 п.
0000064666 00000 п.
0000064851 00000 п.
0000065134 00000 п.
0000065479 00000 п.
0000065755 00000 п.
0000066011 00000 п.
0000066376 00000 п.
0000066602 00000 п.
0000066788 00000 п.
0000067043 00000 п.
0000067422 00000 п.
0000067634 00000 п.
0000067960 00000 п.
0000068193 00000 п.
0000068434 00000 п.
0000068716 00000 п.
0000069004 00000 п.
0000069276 00000 п.
0000069503 00000 п.
0000069777 00000 п.
0000070779 00000 п.
0000071315 00000 п.
0000071601 00000 п.
0000071940 00000 п.
0000072259 00000 п.
0000072578 00000 п.
0000072880 00000 п.
0000073225 00000 п.
0000073453 00000 п.
0000073746 00000 п.
0000074050 00000 п.
0000074344 00000 п.
0000074617 00000 п.
0000074899 00000 н.
0000075082 00000 п.
0000075361 00000 п.
0000075659 00000 п.
0000075902 00000 п.
0000076105 00000 п.
0000076349 00000 п.
0000076590 00000 п.
0000076612 00000 п.
0000077477 00000 п.
0000077704 00000 п.
0000077934 00000 п.
0000078107 00000 п.
0000078293 00000 п.
0000078345 00000 п.
0000078439 00000 п.
0000078540 00000 п.
0000078796 00000 п.
0000079042 00000 н.
0000079275 00000 п.
0000079297 00000 п.
0000080195 00000 п.
0000080555 00000 п.
0000080906 00000 п.
0000081293 00000 п.
0000081616 00000 п.
0000081985 00000 п.
0000082306 00000 п.
0000082699 00000 н.
0000082985 00000 п.
0000083350 00000 п.
0000083673 00000 п.
0000084044 00000 п.
0000084276 00000 п.
0000084573 00000 п.
0000084995 00000 п.
0000085346 00000 п.
0000085563 00000 п.
0000085740 00000 п.
0000086041 00000 п.
0000086093 00000 п.
0000086367 00000 п.
0000086672 00000 н.
0000086931 00000 п.
0000087304 00000 п.
0000087497 00000 п.
0000087845 00000 п.
0000088231 00000 п.
0000088568 00000 п.
0000088916 00000 п.
0000089323 00000 п.
0000089666 00000 п.
00000

00000 п.
00000 00000 п.
00000 00000 п.
00000

00000 п.
0000091244 00000 п.
0000091532 00000 п.
0000092185 00000 п.
0000092630 00000 п.
0000092981 00000 п.
0000093244 00000 п.
0000093564 00000 п.
0000093862 00000 п.
0000094127 00000 п.
0000094433 00000 п.
0000094745 00000 п.
0000095098 00000 п.
0000095375 00000 п.
0000095690 00000 н.
0000096030 00000 н.
0000096395 00000 п.
0000096720 00000 п.
0000096996 00000 н.
0000097332 00000 п.
0000097623 00000 п.
0000097958 00000 п.
0000098276 00000 п.
0000098298 00000 н.
0000099112 00000 п.
0000099134 00000 п.
0000099902 00000 н.
0000100125 00000 н.
0000100393 00000 н.
0000100611 00000 н.
0000100663 00000 н.
0000100925 00000 н.
0000101018 00000 н.
0000101115 00000 н.
0000101357 00000 п.
0000101679 00000 п.
0000101922 00000 н.
0000101944 00000 н.
0000102773 00000 н.
0000102795 00000 н.
0000103657 00000 п.
0000103679 00000 н.
0000104515 00000 н.
0000104719 00000 н.
0000104741 00000 н.
0000105531 00000 н.
0000007064 00000 н.
0000009912 00000 н.
трейлер
]
>>
startxref
0
%% EOF

90 0 объект
>
эндобдж
420 0 объект
>
поток
HWhCB @ H ҫ0 0I! «C @ j! @ (Gp (tT @ Efgf9 {v {ソ}

) Сколько сообщений, зашифрованных RSA, нужно знать Еве?

10 Александр Мэй, Майке Ритценхофен

2 (Qk

i = 1 пи) δ.Это означает, что у нас экспоненциально много корней x0 с | x0 | <

M1

δ + , которые мы даже не можем вывести за полиномиальное время. Следовательно, не существует алгоритма полиномиального времени

, который бы улучшал показатель степени в условии

| x0 |

δ теоремы 3.

6 Благодарности

Мы благодарим анонимных рецензентов PKC 2008 за их полезные комментарии .

Ссылки

1. Э. Бах, Дж. Шаллит, «Алгоритмическая теория чисел, том 1, эффективные алгоритмы»,

The MIT Press, 1996

2.Д. Бонех, «Двадцать лет атак на криптосистему RSA», Уведомления AMS,

1999.

3. Д. Бонех, Р. Венкатесан, «Взлом RSA может не быть эквивалентным факторингу»,

Advances in Cryptology (Eurocrypt 1998), Lecture Notes in Computer Science, Vol-

ume 1233, pages 36-51, 2001

4. Д. Браун, «Взлом RSA может быть столь же сложным, как и факторинг», Cryptology ePrint

Archive Отчет 2005/380, 2005

5. Д. Копперсмит, «Нахождение малых решений для многочленов малой степени», CaLC

2001, конспект лекций по информатике, том 2146, страницы 20-31, 2001

6.Д. Копперсмит, «Малые решения полиномиальных уравнений и низкоуровневые непостоянства

», Journal of Cryptology, Volume 10 (4), pp. 223-260, 1997

7. Д. Копперсмит, М. Франклин, Дж. Патарин и М. Рейтер, «Низкоэкспонентный RSA с

и

связанными сообщениями», Достижения в криптологии (Eurocrypt 1996), Конспекты лекций в Com-

puter Science, Том 1070, страницы 1-9, Springer Verlag, 1996.

8. Дж. Хастад, «Об использовании RSA с низким показателем степени в сети с открытым ключом», в Ad-

vances in Cryptology (Crypto ’85), Lecture Notes in Computer Science, Volume 218,

pages 403- 408, Springer Verlag, 1985

9.Дж. Хастад, «Решение одновременных модульных уравнений низкой степени», SIAM Journal

по вычислениям, Vol. 17, нет. 2, стр. 336–341, 1988

10. Г. Леандер, А. Рупп, «Об эквивалентности RSA и факторинга в отношении алгоритмов общего кольца

», In Advances in Cryptology (Asiacrypt 2006), Лекция

Примечания in Computer Science, Volume 4284, pages 241-251, Springer Verlag, 2006

11. AK Lenstra, HW Lenstra, and L. Lovász, «Факторинг многочленов с рациональными коэффициентами

», Mathematische Annalen, Volume 261, pp.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *