Решение квадратичных функций: § Квадратичная функция. Как построить параболу

{2}}+bx+c=0:{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=4\).

Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен \( \displaystyle 1\). Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

\( \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b\),

а произведение – свободному члену:

\( \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=c\).

Ну вот и решили: \( \displaystyle b=-\left( -1+4 \right)=-3\), \( \displaystyle c=-1\cdot 4=-4\).

Ответ: \( \displaystyle -3;\text{ -}4.\)

Содержание

Пошаговое руководство построение графика квадратичной функции

Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются «координатными осями», и нужна единица измерения.2-\frac{\Delta}{4a}$
где Δ = b2 — 4ac

Если a > 0, то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$.
Графиком будет выпуклая парабола, вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Если a < 0, то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$
, которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$.
Графиком будет вогнутая парабола, вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется «осью симметрии».
Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x, то вибираем их симметричными относительно $-\frac{b}{2a}$.
При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.

|. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0), потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox, мы должны решить уравнение f(x)=0.
Мы получаем уравнение a2 + bx + c = 0.

Решение уравнения зависит от знака Δ = b2 — 4ac.

Иммем следующие варианты:

1) Δ < 0,
тогда у уравнения нет решений в R (множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox. Форма графика будет:

или

2) Δ = 0,
тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика будет:

или

3) Δ > 0,
тогда у уравнения два разных решения.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и
$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x1 и Ox. Форма графика будет:

или

||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y), потому что расстояние от Oy равно 0. Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

В случае квадратичной функции,
f(0) = a×02 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции

f: R → R
f(x) = ax2 + bx + c

1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x.

2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac{b}{2a}$.

или

4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox,решая уравнение f(x)=0 и записываем корни x1 и x2 в таблице.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac{b}{2a}$.
Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для x, но они должны быть симметричны $-\frac{b}{2a}$.

5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.

Пример 1
f: R → R
f(x) = x2 — 2x — 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$
⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

2. f(0) = -3
Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 2x — 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$

$x_1=\frac{2+4}{2}=3$

Мы нашли точки:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

График будет иметь вид:

Пример 2
f: R → R
f(x) = -x2 — 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×(-1)×8 = 36
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$
⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x2 — 2x + 8 = 0
Δ = 36
x1 = 2 и x2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Пример 3
f: R → R
f(x) = x2 — 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b2 — 4×a×c = (-4)2 — 4×1×4 = 0
$-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$
⇒ V(2; 0)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 4x + 4 = 0
Δ = 0
x1 = x2 = $-\frac{b}{2a}$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Пример 4
f: R → R
f(x) = -x2 + 4x — 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b2 — 4×a×c = 42 — 4×(-1)×(-5) = 16 — 20 = -4
$-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$
⇒ V(2; -1)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x2 + 4x — 5 = 0,
Δ < 0
У этого уравнения нет решений.
Мы выбрали симметричные значения вокруг 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.

Пример 5
f: [0; +∞) → R
f(x) = x2 — 2x — 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=1$
⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-4$

2. f(0) = -3
f(2) = -3 симметричное 0 значение относительно 1 равно 2)

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 2x — 3 = 0,
Δ = 16
x1 = -1 ∉ [0; ∞)
x2 = 3

A(0; -3)
V(1; -4)
B(2; -3)
C(3; 0)

Построение графика квадратичной функции | Алгебра

Построение графика квадратичной функции продолжим рассмотрением способа, базирующегося на преобразованиях  координатной плоскости.

II способ.

1) Находим координаты вершины параболы y=ax²+bx+c — точку (xo; yo)

2) Осуществляем параллельный перенос начала отсчёта — точки O (0; 0) —  в точку (xo; yo). При таком преобразовании новыми осями координат x’ и y’ становятся прямые y=yo и x=xo.

2) Строим параболу y=x²  (если a>o)либо y= -x² (если a<0) с вершиной в новом начале отсчёта (достаточно отметить базовые точки).

3) От вершины строим график функции y=ax². При |a|>1 график может быть получен растяжением от оси y=y0 в |a| раз, при |a|<1 — сжатием в |a| раз.

(Вариант — график функции y=ax² можно построить с началом отсчёта в точке O (0; 0), а затем осуществить его параллельный перенос).

Примеры.

1) Построить график функции y=3x²-24x+43.

Решение:

y=3x²-24x+43 — квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как a=3>0). Координаты вершины параболы

   

   

Точка (4; -5) — новое начало отсчёта. Построим параболу y=x² с вершиной в этой точке (достаточно отметить базовые точки — 1 единица вправо, 1 — вверх, 2 вправо. 4 — вверх, 1 — влево, 1 — вверх, 2 — влево, 4 — вверх.

График функции y=3x² может быть получен из графика y=x² растяжением от оси x’ (x= -5) в 3 раза:

Построение графика квадратичной функции                     y=3x²-24x+43

2) Построить график функции y= -0,5x²-2x+1

Решение:

y= -0,5x²-2x+1 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз (так как a= -0,5<0).

Координаты вершины параболы

   

   

Точка (-2; 3) — новое начало отсчёта. Построим параболу y= -x² с вершиной в этой точке. График функции

   

может быть получен из графика y= -x² сжатием к оси x’ (y=3) в 2 раза.

Построение графика функции y= -0,5x²-2x+1

Для построения графика квадратичной функции этим способом нужно хорошее владение навыками геометрических преобразований графиков.2 + 4*(1)-1= 4.
9. Соединяем полученные точки и подписываем график.

В результате получится такой график.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Графики функции: от чего зависит вид графика функции
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение неравенств второй степени с одной переменной: приводим примеры

Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции
8 класс
Айнетдинова Х. А. МОУ Петряксинская СОШ

Слайд 2

Алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика: определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции; найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения или установить, что их нет; изобразить эскиз графика квадратичной функции, используя точки пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть; по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения.

Слайд 3

Алгоритм решения квадратного неравенства на примере неравенства .
Х
5
-1
Определим направление ветвей параболы. a > 0 — ветви направлены вверх
1)
2) Найдем точки пересечения с Ох:
3) Изобразим эскиз графика
4) По графику определим промежутки, на которых функция принимает нужные значения
Ответ:
+
+

Слайд 4

Эскиз графика функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знаком неравенства: 1) Ответ: 2) Ответ: 3) Ответ:
-1
5
Х

Слайд 5

Х
5
-1
Определим направление ветвей параболы. а 1)
2) Найдем точки пересечения с Ох:
3) Изобразим эскиз графика функции
4) Выделим соответствующие части графика и соответствующие части Ох.
Решить неравенство
Ответ:
+

Слайд 6

Эскиз графика функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знаком неравенства: 1) Ответ: 2) Ответ: 3) Ответ:
-1
5
Х

Слайд 7

Х
-2
а > 0 — ветви ↑.
3) Изобразим эскиз графика.
4) График не ниже оси Ох (≥).
D = 0. – точка касания.
1)
2)
Решить неравенство
a > 0, D = 0
+
+
+

Слайд 8

Эскиз графика функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знаком неравенства: 1) Ответ: 2) Ответ: Решений нет. 3) Ответ:
-2
Х
a > 0, D = 0

Слайд 9

Х
-2
а 3) Изобразим эскиз графика.
4) График не выше оси Ох (≤).
D = 0. – точка касания.
1)
2)
Решить неравенство
a —

Слайд 10

Эскиз графика функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знаком неравенства: 1) Ответ: 2) Ответ: Решений нет. 3) Ответ:
-2
Х
a

Слайд 11

11
Х
а > 0 — ветви ↑.
1).
2).
3) Изобразим эскиз графика 4) График не ниже Ох (≥)
Нет точек пересечения с Ох.
Решить неравенство
a > 0, D +
+
+

Слайд 12

Эскиз графика функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знаком неравенства: 1) Ответ: 2) Ответ: Решений нет. 3) Ответ: Решений нет.
Х
a > 0, D

Слайд 13

13
Х
а 1).
2).
3) Изобразим эскиз графика 4) График не выше Ох (Нет точек пересечения с Ох.
Решить неравенство
a —

Слайд 14

Эскиз графика функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знаком неравенства: 1) Ответ: 2) Ответ: Решений нет. 3) Ответ: Решений нет.
Х
a

Слайд 15

Литература Алгебра: Учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – М.: Просвещение

Построение графика квадратичной функций: алгоритм и примеры 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


Тема 5.


Построение графика квадратичной функции с помощью преобразований.


Рассмотрим частные случаи


y = ax2 + n и y = a(xm)2.


В одной системе координат построим графики функцийy=12×2 и y=12×2+5.


Составим таблицу значений функции: y=12×2




x


-3


-2


-1


0


1


2


3


y


4,5


2


0,5


0


0,5


2


4,5


Чтобы получить таблицу значений для функции y=12×2+5 для тех же значений аргумента, необходимо к найденным значениям функции y=12×2 прибавить 5.




x


-3


-2


-1


0


1


2


3


y


9,5


7


5,5


5


5,5


7


9,5


Получается, что каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вверх вдоль оси y.


График функции y=12×2+5 – парабола, полученная в результате сдвига вверх графика функции y=12×2.


График функции y = ax2 + n – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n


В одной системе координат построим графики функций y=12×2 и y=12x-52. Составим таблицы значений для этих функций.


y=12×2




x


-3


-2


-1


0


1


2


3


y


4,5


2


0,5


0


0,5


2


4,5


y=12x-52




x


2


3


4


5


6


7


8


y


4,5


2


0,5


0


0,5


2


4,5


Значит, если переместить каждую точку графика y=12×2 вправо на 5 единиц, то получим соответствующую точку графика функции y=12x-52. Иначе говоря, каждую точку второго графика можно получить из соответствующей точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вправо вдоль оси x.


График функции y=12x-52 – парабола, полученная y=12x-52 в результате сдвига вправо графика функции y=12×2.


График функции y = a(xm)2 – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m


Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график функции y = a(xm)2. Например, график функции y=12x-52+3 можно получить из графика функции y=12×2 с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси x на 5 единиц вправо и вдоль оси y на 3 единицы вверх.


Таким образом, график функции y = a(xm)2 можно получить из параболы y = ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль x на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n


Заметим, что данные преобразования можно производить в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси x, а затем вдоль оси y или наоборот.


Преобразования, которые мы рассмотрели применимы для любых функций.


Рассмотрим пример.


Построим график функции y = x2 — 4x двумя способами: с помощью преобразований, которые мы сегодня рассмотрели и с помощью таблицы значений функции.


Для того, чтобы построить график функции с помощью преобразований, необходимо его представить в виде y = a(xm)2. Для этого надо выделить полный квадрат. Итак, в нашу функцию y = x2 — 4x добавим 4 и вычтем 4. Получим:


y=x2-4x+4-4=x-22-4


График данной функции можно получить из графика функции y = x2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на 2 единицы вправо, и сдвига вдоль оси y на 4 единицы вниз.


Чтобы построить график функции вторым способом, составим таблицу ее значений. Возьми нечетное количество точек, например, пять и семь. В центре поставь координаты вершины параболы.


xв=-b2a=—42∙1=2


yв=22-4∙2=-4


График квадратичной функции симметричен относительно прямой, параллельной оси y, проходящей через вершину параболы. В данном случае прямая x = 2 является осью симметрии.




x


-1


0


1


2


3


4


5


y


5


0


-3


-4


-3


0


5

Тест. Построение графика квадратичной функции

Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!

Список вопросов теста

Вопрос 1

Вершина параболы, заданной формулой y=a(x-m)2+n, имеет координаты … .

Варианты ответов
  • (m;n)
  • (-m;n)
  • (n;m)
  • (n;-m)
  • (m;-n)
Вопрос 2

Вершина параболы y=(x-7)2+3 имеет координаты … .

Варианты ответов
  • (-7;3)
  • (7;3)
  • (-7;-3)
  • (7;-3)
Вопрос 3

Найдите координаты вершины параболы y=x2-4x+7. При записи ответа не используйте пробел. Например: (-1;8).

Вопрос 4

Определите нули функции изображённой на графике.

Варианты ответов
Вопрос 5

График какой из функций изображён на рисунке?

Варианты ответов
  • y=(x-4)2+3

  • y=(x+4)2-3

  • y=(x-4)2-3

  • y=(x+4)2+3

Вопрос 6

Найдите сумму нулей функции y=-(x+2)2+1.  В ответе укажите только число.

Вопрос 7

Выберите формулу, задающую абсциссу вершины параболы.

Варианты ответов
Вопрос 8

Укажите действия, которые нужно выполнить, чтобы получить график функции y=-9(x+1)2-2 из графика функции y=9x2.

Варианты ответов
  • осевую симметрию относительно оси у
  • осевую симметрию относительно оси х
  • сдвиг на 1 единицу влево
  • сдвиг на 1 единицу вправо
  • сдвиг на 2 единицу вверх
  • сдвиг на 2 единицы вниз
Вопрос 9

Если график функции y=-2x2 сдвинуть на 3 единицы влево и на 5 единиц вниз, то в результате получится график функции … .

Варианты ответов
  • y=-2(x+3)2-5

  • y=-2(x-3)2-5

  • y=-2(x+3)2+5

  • y=-2(x-3)2+5

Вопрос 10

Установите соответствие между функциями и координатами их вершин.

Варианты ответов
  • y=(x-4)2+6

  • y=3(x+5)2

  • y=(x-2)2-7

  • y=11x2+3

Квадратные уравнения

Пример квадратного уравнения :

Функция создает красивые кривые, подобные этой:

Имя

Название Quadratic происходит от «quad», что означает квадрат, потому что переменная возводится в квадрат (например, x 2 ).

Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так:

  • a , b и c — известные значения. a не может быть 0.
  • « x » — это переменная или неизвестно (мы еще этого не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0 В этом a = 2 , b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0 Это немного сложнее:

  • Где а ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x 2 »
  • б = −3
  • А где c ? Well c = 0 , поэтому не показан.
5x — 3 = 0 Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2

(другими словами a = 0 , что означает, что он не может быть квадратичным)

Поиграйте с ним

Поиграйте с «Проводником квадратного уравнения», чтобы увидеть:

  • график функции и
  • решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, Стандартная форма квадратного уравнения — это

Но иногда квадратное уравнение так не выглядит!

Например:

Скрытый в стандартной форме a, b и c
x 2 = 3x — 1 Переместить все термины в левую часть x 2 — 3x + 1 = 0 a = 1, b = −3, c = 1
2 (w 2 — 2w) = 5 Развернуть (снять скобки),

и переместите 5 влево
2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0 a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3 Разверните и переместите 3 влево z 2 — z — 3 = 0 а = 1, b = -1, с = -3

Как их решить?

В « решениях » квадратного уравнения равно нулю .

Их также называют « корней », или иногда « нулей »

Обычно существует 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько разных способов найти решения:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто введите значения a, b и c и выполняйте вычисления.

Сейчас мы рассмотрим этот метод более подробно.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, который выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b 2 — 4ac) 2a

x = −b — √ (b 2 — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но не всегда так получается!

  • Представьте, что кривая «просто касается» оси x.
  • Или представьте, что кривая настолько высока , что даже не пересекает ось x!

Вот тут-то нам и помогает «Дискриминант» …

Дискриминант

Вы видите b 2 — 4ac в приведенной выше формуле? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» возможные типы ответов:

  • когда b 2 — 4ac положительный, мы получаем два Реальных решения
  • , когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
  • при отрицательном значении получаем пару Комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как мы увидим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто введите значения a, b и c в квадратную формулу и произведите вычисления.

Пример: Решить 5x

2 + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1

Квадратичная формула: x =
−b ± √ (b 2 — 4ac)
2a

Вставьте a, b и c: x =
−6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1)
2 × 5

Решить: x =
−6 ± √ (36 -20)
10

х =
−6 ± √ (16)
10

х =
−6 ± 4
10

х = -0.2 или -1

Ответ: x = −0,2 или x = −1

И мы их видим на этом графике.

Чек -0,2 : 5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1

= 5 × (0,04) + 6 × (-0,2) + 1

= 0,2 — 1,2 + 1

= 0
Чек -1 : 5 × ( −1 ) 2 + 6 × ( −1 ) + 1

= 5 × (1) + 6 × (-1) + 1

= 5–6 + 1

= 0

Вспоминая формулу

Добрый читатель предложил спеть это к «Pop Goes the Weasel»:

«x равно минус b «Вокруг тутового куста
плюс или минус квадратный корень Обезьяна погналась за лаской
из квадрата b минус четыре a c Обезьяна думала, что все было весело
ВСЕ более двух a « Поп! идет ласка »

Попробуйте спеть несколько раз, и она застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х =
−b ± √ (b 2 — 4ac)
2a

«Негативный мальчик думал, да или нет, о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он разговаривал с квадратным мальчиком, но не с 4 классными цыпочками.
В 2 часа ночи все было кончено.
«

Комплексные решения?

Когда Дискриминант (значение b 2 — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару Комплексных решений … что это означает?

Это означает, что наш ответ будет включать мнимые числа. Ух ты!

Пример: Решить 5x

2 + 2x + 1 = 0

Коэффициенты равны : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x =
−2 ± √ (−16)
10

√ (−16)
= 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x =
−2 ± 4 и
10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 и

График не пересекает ось абсцисс. Вот почему мы пришли к комплексным числам.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставим -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x

2 — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты равны : a = 1, b = −4, c = 6,25

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось абсцисс.Вот почему мы пришли к комплексным числам.

НО перевернутое зеркальное отображение нашего уравнения действительно пересекает ось x в 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Сводка

  • Квадратное уравнение в стандартной форме: ax 2 + bx + c = 0
  • Квадратичные уравнения могут быть разложены на множители
  • Квадратичная формула: x =
    −b ± √ (b 2 — 4ac)
    2a

  • Когда дискриминант ( b 2 −4ac ) равен:
    • положительный, есть 2 реальных решения
    • ноль, есть одно реальное решение
    • негатив, есть 2 комплексных решения

Как найти решение квадратного уравнения

Пояснение:

1) Прежде чем мы сможем выяснить, когда Билли исполнится 1 год.В пять раз старше Джонни, нам нужно выяснить их нынешний возраст. Итак, давайте определим наши переменные с точки зрения первой части вопроса.

B = возраст Билли и J = возраст Джонни

Проще решить, если одну переменную сопоставить с другой. Если бы Билли был вдвое старше Джонни, мы могли бы записать его возраст как B = 2J.

Но Билли на лет на меньше, чем вдвое старше Джонни, поэтому B = 2J — 1

2) Мы знаем, что возраст двух мальчиков умножается и составляет девяносто один год.

B * J = J (2J — 1) = 91

3) Теперь у нас есть факторная квадратичная. Нам просто нужно умножить его и для начала установить все равным нулю.

4) Теперь нам нужно вернуть множитель. Мы начинаем с умножения первого коэффициента на последний член и перечисления факторов.

2 * –91 = –182

1 + –182 = –181

2 + –91 = –89

7 + –26 = –19

13 + –14 = –1

5) Разделите средний член на так, чтобы было возможно факторинг по группировке.

6) Разложите на множители путем группировки, вычеркнув «2J» из первого набора терминов и «13» из второго.

7) Вынести за скобки «(J-7)» в обоих терминах.

8) Установите обе скобки равными нулю и решите.

2J + 13 = 0, J = –13/2

Дж — 7 = 0, Дж = 7

Понятно, что работает только из двух решений, поскольку возраст Джонни должен быть положительным. Джонни 7, поэтому Билли 2 (7) — 1 = 13. Но мы еще не закончили!

9) Нам нужно выяснить, в какой момент Билли 1.В 5 раз старше Джонни. Угадывать и проверять — довольно эффективный способ решить эту проблему, но создание уравнения будет еще быстрее. Однако сначала нам нужно выяснить, что это за переменная. Мы знаем нынешний возраст Билли и Джонни; нам просто нужно выяснить их будущий возраст. Одна переменная всегда лучше двух, поэтому вместо использования двух разных переменных для представления их соответствующего будущего возраста мы будем использовать одну переменную для представления количества лет, которое мы должны добавить к каждому из их текущего возраста, чтобы Билли стал 1 .В 5 раз старше Джонни. Назовем эту переменную «x».

1,5 (J + x) = B + x

Нам известны значения J и B, поэтому мы можем продолжить и заполнить их.

1,5 (7 + x) = 13 + x

10) Затем мы решаем относительно x алгебраически, с обратным порядком операций.

10,5 + 1,5x = 13 + x

0,5x = 2,5

х = 5

Дж = 7 + 5 = 12

В = 13 + 5 = 18

Объяснение квадратичной формулы | Purplemath

Purplemath

Часто самый простой способ решить « ax 2 + bx + c = 0» для значения x — это разложить квадратичный множитель, установить каждый множитель равным нулю, а затем решить каждый фактор.Но иногда квадратичная величина слишком беспорядочная, или она вообще не учитывается, или вам просто не хочется вводить множители. Хотя факторинг не всегда может быть успешным, квадратная формула всегда может найти решение.

Квадратичная формула использует « a », « b » и « c » из « ax 2 + bx + c », где « a », » b «и» c «- это просто числа; они представляют собой «числовые коэффициенты» квадратного уравнения, которые они дали вам решить.

MathHelp.com

Квадратичная формула выводится из процесса завершения квадрата и формально обозначается как:

Квадратичная формула: для ax 2 + bx + c = 0, значения x , которые являются решениями уравнения, даются как:

Чтобы квадратичная формула работала, ваше уравнение должно иметь форму «(квадратичная) = 0».Кроме того, «2 a » в знаменателе Формулы находится под всем, что указано выше, а не только под квадратным корнем. И внизу это «2 a », а не просто «2». Убедитесь, что вы осторожны, чтобы не уронить квадратный корень или «плюс / минус» в середине ваших вычислений, иначе я могу гарантировать, что вы забудете «вставить их обратно» в свой тест, и вы запутаетесь. себя вверх. Помните, что « b 2 » означает «квадрат ВСЕГО из b , включая его знак», поэтому не оставляйте b 2 отрицательным, даже если b отрицательное, потому что квадрат негатива — это позитив.

Другими словами, не будьте небрежны и не пытайтесь сокращать путь, потому что это только навредит вам в долгосрочной перспективе. Поверьте мне в этом!

Вот несколько примеров того, как работает квадратичная формула:

Это квадратичное значение множителя:

x 2 + 3 x — 4 = ( x + 4) ( x — 1) = 0

… Итак, я уже знаю, что решения: x = –4 и x = 1. Как мое решение будет выглядеть в квадратичной формуле? Используя a = 1, b = 3 и c = –4, мое решение выглядит так:

Тогда, как и ожидалось, решение будет x = –4, x = 1.


Предположим, у вас есть ax 2 + bx + c = y , и вам предлагается вставить ноль для y .Соответствующие значения x являются интерцепциями x графика. Таким образом, решение ax 2 + bx + c = 0 для x означает, среди прочего, что вы пытаетесь найти x -перехват. Поскольку было два решения для x 2 + 3 x — 4 = 0, тогда на графике должно быть два интерцепта x . Построив график, мы получим кривую ниже:

Как вы можете видеть, точки пересечения x (красные точки выше) совпадают с решениями, пересекая ось x на
x = –4 и x = 1.Это показывает связь между построением графиков и решением: когда вы решаете «(квадратичный) = 0», вы обнаруживаете пересечение графика x . Это может быть полезно, если у вас есть графический калькулятор, потому что вы можете использовать квадратичную формулу (при необходимости) для решения квадратичной, а затем использовать свой графический калькулятор, чтобы убедиться, что отображаемые интервалы x имеют те же десятичные значения, что и делать решения, предоставляемые квадратной формулой.

Обратите внимание, однако, что отображение графика калькулятором, вероятно, будет иметь некоторую ошибку округления, связанную с пикселями, поэтому вы должны проверить, были ли вычисленные и нанесенные на график значения достаточно близкими; не ожидайте точного совпадения.


  • Решите 2

    x 2 — 4 x — 3 = 0. При необходимости округлите ответ до двух десятичных знаков.

Нет множителей при (2) (- 3) = –6, которые в сумме дают –4, поэтому я знаю, что эту квадратичную нельзя разложить на множители. Я буду применять квадратичную формулу. В данном случае a = 2, b = –4 и c = –3:

.

Тогда ответ будет x = –0.58, x = 2,58 с округлением до двух десятичных знаков.

Предупреждение: «Решение», «корни» или «нули» квадратичной функции обычно должны быть в «точной» форме ответа. В приведенном выше примере точная форма — это квадратный корень из десяти. Вам нужно будет получить аппроксимацию калькулятора, чтобы построить график пересечений по оси x или упростить окончательный ответ в текстовой задаче. Но если у вас нет веских оснований полагать, что ответ должен быть округленным, всегда используйте точную форму.

Сравните решения 2 x 2 — 4 x — 3 = 0 с интерцепциями x графика:

Как и в предыдущем примере, интерцепторы x соответствуют нулям из квадратичной формулы. Это всегда правда. «Решениями» уравнения являются также точки пересечения x соответствующего графика.


URL: https: // www.purplemath.com/modules/quadform.htm

Обзор различных методов решения квадратного уравнения — Концепция

Решение квадратных уравнений может быть трудным, но, к счастью, есть несколько различных методов, которые мы можем использовать в зависимости от того, какой тип квадратичного уравнения мы пытаемся решить. Четыре метода из , решающие квадратное уравнение , — это факторизация с использованием квадратных корней, завершение квадрата и квадратичной формулы.

Итак, сейчас я хочу поговорить об обзоре всех различных способов решения квадратного уравнения. Под этим я подразумеваю что-нибудь в форме: ax² плюс bx плюс c. Итак, у нас есть четыре различных способа, которые нам удобны. У нас есть факторизация, свойство извлечения квадратного корня, завершение квадрата и квадратная формула. Мы можем использовать эти методы в разное время, и я просто хочу поговорить о том, когда мы можем их использовать, почему они хороши и почему плохие.Так что я просто спущусь вниз по ряду и расскажу о каждом из них. «Чек» означает «за», а «минус» — «против». Факторинг обычно является самым быстрым и простым способом решения чего-либо, когда это возможно. Часто мы имеем дело с квадратичным коэффициентом, который нельзя факторизовать, поэтому факторинг нам не поможет. Таким образом, это быстро и просто, когда его можно использовать, но не всегда можно использовать. Так быстро и просто, но не всегда применимо.
Следующее, о чем мы поговорим, — это свойство квадратного корня.Это когда у нас есть что-то квадратное. Итак, профи: это здорово, когда вы решаете что-то квадратное. Единственная проблема в том, что мы не всегда имеем дело с ситуацией. Каждый раз, когда у вас есть X-термин или что-то в этом роде, мы не сможем его использовать. Так что это не всегда квадратный термин. Когда это применимо, это здорово, но не всегда. На самом деле это не так часто.
Завершение кв. Самое замечательное в завершении квадрата — это то, что мы всегда можем это сделать.Никогда не будет времени, когда вы не сможете завершить квадрат. Но недостаток в том, что это может стать некрасивым. Если вы имеете дело с коэффициентом или нечетным средним членом или чем-то в этом роде, вы собираетесь ввести дроби. Это не всегда самая лучшая ситуация.
И, наконец, квадратная формула. Опять же, это здорово, потому что им всегда можно пользоваться. И минусы, это зависит от человека. Если вы используете квадратные корни, что не всегда нравится некоторым людям, вам всегда нужно использовать квадратные корни.Обычно это не так просто, как некоторые из этих других методов, я бы сказал, что завершение квадрата немного проще, но это то, что вы должны запомнить. Поэтому вам нужно запомнить формулу, и она может стать некрасивой.
Итак, это четыре разных способа, плюсы и минусы, а также некоторые вещи, о которых следует подумать при решении проблемы. На самом деле я не собираюсь ничего решать за вас. Я только что сделал небольшую диаграмму, чтобы вы знали, какие ресурсы у вас есть, а также плюсы и минусы каждого из них.2 -x — 4 \) и используйте его, чтобы найти корни уравнения с точностью до 1 знака после запятой.

Нарисуйте и заполните таблицу значений, чтобы найти координаты точек на графике.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 8 2 2 -4 -4 -2 2 8 16

Постройте эти точки и соедините их плавной кривой.2 -x — 4 \) — координаты x, где график пересекает ось x, которые можно прочитать из графика: \ (x = -1,6 \) и \ (x = 2,6 \) (1 dp).

Алгебра — квадратные уравнения — Часть I

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-5: Квадратичные уравнения — Часть I

Прежде чем перейти к этому разделу, мы должны отметить, что тема решения квадратных уравнений будет рассмотрена в двух разделах.2} \) в уравнении. Мы гарантируем, что этот член будет присутствовать в уравнении, требуя \ (a \ ne 0 \). Однако обратите внимание, что это нормально, если \ (b \) и / или \ (c \) равны нулю.

Есть много способов решить квадратные уравнения. Мы рассмотрим четыре из них в следующих двух разделах. Первые два метода не всегда работают, но, вероятно, их проще использовать, когда они работают. В этом разделе будут рассмотрены эти два метода. Последние два метода всегда работают, но часто требуют немного больше работы или внимания, чтобы исправить это.Мы рассмотрим эти методы в следующем разделе.

Итак, приступим.

Факторинг

Как следует из заголовка, здесь мы будем решать квадратные уравнения, разлагая их на множители. Для этого нам понадобится следующий факт.

\ [{\ mbox {If}} ab = 0 {\ mbox {тогда либо}} a = 0 {\ mbox {и / или}} b = 0 \]

Этот факт называется свойством нулевого коэффициента или принципом нулевого коэффициента .Все дело в том, что если произведение двух членов равно нулю, то по крайней мере один из членов должен быть равен нулю для начала.

Обратите внимание, что этот факт будет работать ТОЛЬКО, если произведение равно нулю. Рассмотрим следующий продукт.

\ [ab = 6 \]

В этом случае нет оснований полагать, что либо \ (a \), либо \ (b \) будет 6. Например, мы могли бы иметь \ (a = 2 \) и \ (b = 3 \). Так что не злоупотребляйте этим фактом!

Чтобы решить квадратное уравнение путем факторизации, мы сначала должны переместить все члены в одну сторону уравнения.Это служит двум целям. Во-первых, он придает квадратичности форму, которую можно разложить на множители. Во-вторых, и это, вероятно, более важно, чтобы использовать свойство нулевого фактора, мы ДОЛЖНЫ иметь ноль на одной стороне уравнения. Если у нас нет нуля на одной стороне уравнения, мы не сможем использовать свойство нулевого фактора.

Давайте взглянем на пару примеров. Обратите внимание, что предполагается, что вы можете провести факторинг на этом этапе, и поэтому мы не будем сообщать какие-либо подробности о факторинге.2} — x — 12 & = 0 \\ \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 3} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Теперь у нас есть произведение двух членов, равное нулю. Это означает, что должно выполняться хотя бы одно из следующего.

\ [\ begin {align *} x — 4 & = 0 & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} & & x + 3 & = 0 \\ x & = 4 & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} & & x & = — 3 \ end {align *} \]

Обратите внимание, что каждое из них является линейным уравнением, которое достаточно легко решить.2} + 40 + 14x & = 0 \\ \ left ({x + 4} \ right) \ left ({x + 10} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Теперь у нас снова есть произведение двух членов, равное нулю, поэтому мы знаем, что одно или оба из них должны быть равны нулю. Итак, технически нам нужно установить каждый из них равным нулю и решить. Тем не менее, это обычно достаточно легко сделать в нашей голове, и теперь мы будем выполнять это решение в своей голове.

Решения этого уравнения:

\ [х = — 4 \ hпространство {0.2} & = 0 \\ \ left ({y + 6} \ right) \ left ({y + 6} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

В данном случае мы получили идеальный квадрат. Мы разбили квадрат, чтобы обозначить, что у нас действительно есть применение свойства нулевого фактора. Однако обычно мы этого не делаем. Обычно мы сразу переходим к ответу от квадрата.

Решение уравнения в этом случае:

\ [y = — 6 \]

У нас есть только одно значение в отличие от двух решений, которые мы использовали до сих пор.2} — 1 & = 0 \\ \ left ({2m — 1} \ right) \ left ({2m + 1} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Теперь примените свойство нулевого фактора. Свойство нулевого фактора говорит нам, что

\ [\ begin {align *} 2m — 1 & = 0 & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25in} & & 2m + 1 & = 0 \\ 2m & = 1 & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} & & m & = — 1 \\ m & = \ frac {1} {2} & \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR }} \ hspace {0,25 дюйма} & & m & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} \]

Опять же, мы обычно решаем их в уме, но нам нужно было сделать по крайней мере одну детально.2} — 2x = 0 \]

Теперь обратите внимание, что все, что мы можем сделать для разложения на множители, — это вычленить \ (x \) из всего. Это дает

\ [x \ left ({5x — 2} \ right) = 0 \]

Из первого множителя мы получаем \ (x = 0 \), а из второго — \ (x = \ frac {2} {5} \). Это два решения этого уравнения. Обратите внимание: если бы мы отменили \ (x \) на первом шаге, мы НЕ получили бы \ (x = 0 \) в качестве ответа!

Давайте поработаем здесь над проблемой другого типа.Мы видели некоторые из них еще в разделе «Решение линейных уравнений», и, поскольку они также могут возникать с квадратными уравнениями, мы должны продолжить и поработать, чтобы убедиться, что мы можем выполнять их и здесь.

Пример 2 Решите каждое из следующих уравнений.

  1. \ (\ Displaystyle \ frac {1} {{x + 1}} = 1 — \ frac {5} {{2x — 4}} \)
  2. \ (\ displaystyle x + 3 + \ frac {3} {{x — 1}} = \ frac {{4 — x}} {{x — 1}} \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Хорошо, как и в случае с линейными уравнениями, первое, что нам нужно сделать здесь, это очистить знаменатели путем умножения на ЖК-дисплей.Напомним, что нам также нужно будет записать значение (а) для \ (x \), которое даст деление на ноль, чтобы мы могли убедиться, что они не включены в решение.

a \ (\ displaystyle \ frac {1} {{x + 1}} = 1 — \ frac {5} {{2x — 4}} \) Показать решение

ЖК-дисплей для этой проблемы: \ (\ left ({x + 1} \ right) \ left ({2x — 4} \ right) \), и нам нужно будет избегать \ (x = — 1 \) и \ ( x = 2 \), чтобы не получить деление на ноль. Вот работа для этого уравнения.2} — 9x — 5 \\ 0 & = \ left ({2x + 1} \ right) \ left ({x — 5} \ right) \ end {align *} \]

Итак, похоже, что два решения этого уравнения:

\ [x = — \ frac {1} {2} \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {and}} x = 5 \]

Также обратите внимание, что ни одно из этих значений \ (x \) не является тем, что нам нужно было избегать, и поэтому оба являются решениями.

b \ (\ displaystyle x + 3 + \ frac {3} {{x — 1}} = \ frac {{4 — x}} {{x — 1}} \) Показать решение

В этом случае ЖК-дисплей равен \ (x — 1 \), и нам нужно будет избегать \ (x = 1 \), чтобы не получить деление на ноль.2} + 3x — 4 & = 0 \\ \ left ({x — 1} \ right) \ left ({x + 4} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Итак, квадратичная, которую мы разложили на множители и решила, имеет два решения: \ (x = 1 \) и \ (x = — 4 \). Однако, когда мы нашли ЖК-дисплей, мы также увидели, что нам нужно избегать \ (x = 1 \), чтобы не получить деление на ноль. Следовательно, это уравнение имеет единственное решение:

\ [x = — 4 \]

Прежде чем перейти к следующей теме, мы должны указать, что эту идею факторизации можно использовать также для решения уравнений со степенью больше двух.2} — x — 2} \ right) & = 0 \\ 5x \ left ({x — 2} \ right) \ left ({x + 1} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

Теперь свойство нулевого фактора все еще сохраняется. В данном случае произведение трех членов равно нулю. Единственный способ, при котором этот продукт может быть равен нулю, — это если один из членов равен нулю. Это означает, что

\ [\ begin {align *} 5x & = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow & x & = 0 \\ x — 2 & = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow & x & = 2 \\ x + 1 & = 0 \ hspace {0. 2} = d {\ mbox {then}} p = \ pm \ sqrt d \]

Здесь есть (потенциально) новый символ, который мы должны сначала определить, если вы его еще не видели.Символ «\ (\ pm \)» читается как «плюс или минус», и это именно то, что он нам говорит. Этот символ является сокращением, которое говорит нам, что на самом деле у нас здесь два числа. Один — \ (p = \ sqrt d \), а другой — \ (p = — \ sqrt d \). Привыкайте к этим обозначениям, поскольку они будут часто использоваться в следующих парах разделов, когда мы обсуждаем оставшиеся методы решения. Он также возникнет в других разделах этой главы и даже в других главах.

Это довольно простое свойство, однако его можно использовать только для небольшой части уравнений, с которыми мы, вероятно, когда-либо столкнемся.2} & = \ frac {3} {{25}} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \ sqrt {\ frac {3} {{25}}} = \ pm \ гидроразрыв {{\ sqrt 3}} {5} \ end {align *} \]

В этом случае решения немного беспорядочные, но многие из них будут делать это, не беспокойтесь об этом. 2} = 5 \) Показать решение

Эта часть выглядит иначе, чем предыдущие, но работает так же.Свойство квадратного корня можно использовать в любое время, когда у нас есть , когда в квадрате равно числу. Вот что у нас есть. Основное отличие, конечно же, в том, что возведенное в квадрат не является отдельной переменной, а является чем-то другим. Итак, вот применение свойства квадратного корня для этого уравнения.

\ [2t — 9 = \ pm \ sqrt 5 \]

Теперь нам просто нужно решить для \ (t \), и, несмотря на «плюс или минус» в уравнении, оно работает так же, как и любое линейное уравнение.Мы прибавим 9 к обеим сторонам, а затем разделим на 2.

\ [\ begin {align *} 2t & = 9 \ pm \ sqrt 5 \\ t & = \ frac {1} {2} \ left ({9 \ pm \ sqrt 5} \ right) = \ frac {9} {2} \ pm \ frac {{\ sqrt 5}} {2} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что мы умножили дробь в скобках для окончательного ответа. Обычно мы делаем это в этих задачах. Кроме того, НЕ преобразовывайте их в десятичные числа, если вас об этом не попросят. Это стандартная форма для этих ответов.2} & = — 81 \\ 3x + 10 & = \ pm \, 9 \, i \\ 3x & = — 10 \ pm \, 9 \, i \\ x & = — \ frac {{10}} { 3} \ pm 3 \, i \ end {align *} \]

Итак, мы снова получили два сложных решения и также заметили, что в обеих предыдущих частях мы ставим «плюс или минус» последней. Обычно они так и пишутся.

Как упоминалось в начале этого раздела, мы собираемся разбить эту тему на два раздела для тех, кто просматривает это в сети.Следующие два метода решения квадратных уравнений, завершающие квадратную и квадратную формулу, приведены в следующем разделе.

Квадратичные формулы и функции — Решение квадратных уравнений

Пример задачи

Решите квадратное уравнение x 2 + 2 x + 5 = 0.

Хм, теперь это сложно. Это уравнение — совершенно определенно — невозможно факторизовать. Хотя было бы действительно удобно, если бы это было факторизуемым; это особенно верно, если его разложить на квадрат.Фактически, мы можем заставить его сделать именно это, и это то, что завершает квадрат .

Еще раз взгляните на уравнение выше, на этот раз с некоторыми скобками.

( x 2 + 2 x ) + 5 = 0

Похоже, что x 2 + 2 x можно было бы факторизовать, если бы в скобках был еще один термин. Если мы выберем правильное число, оно будет даже разложено на квадрат ( x + d ) 2 .Для этого уравнения это число равно 1:

( x 2 + 2 x + 1 ) = ( x + 1) 2

. волшебство, чтобы это произошло. Проверьте это: (+1 — 1) = 0. Кого волнует, если мы добавим ноль к уравнению? Никто, вот кто. Мы можем прибавить и , вычесть 1 к левой части нашего исходного уравнения, не меняя ничего технически.

( x 2 + 2 x ) + 5 (+ 1 — 1) = 0

( x 2 + 2 x + 1) + 5 — 1 = 0

( x + 1) 2 + 4 = 0

Теперь, когда у нас есть все x внутри квадрата, мы можем сделать это:

( x + 1) 2 = -4

x + 1 = ± 2 i

x = -1 + 2 i и x = -1 — 2 i

Мы действительно просто решили невыполнимое уравнение? Давайте проверим наши ответы и убедимся.

x 2 + 2 x + 5 = 0

(-1 + 2 i ) 2 + 2 (-1 + 2 i ) + 5

(1-4 i + 4 i 2 ) — 2 + 4 i + 5

(1-4 i -4) + 4 i + 3

-4 i + 4 i — 3 + 3 = 0

Пока все хорошо.

x 2 + 2 x + 5 = 0

(-1-2 i ) 2 + 2 (-1-2 i ) + 5

(1 + 4 i + 4 i 2 ) — 2-4 i + 5

(1-4) + 3 = 0

Да, мы сделали это.Буйя.

Квадратный колышек для квадратного отверстия

Но откуда мы должны были знать, как прибавлять и вычитать 1 из уравнения? Существует простая формула числа, необходимого для завершения квадрата: когда ваше уравнение имеет вид x 2 + bx + c = 0, вы хотите складывать и вычитать. В предыдущем примере мы добавили. Что мы добавим в следующем примере?

Пример задачи

Решите квадратное уравнение x 2 -7 x + 2 = 0.

Снова у нас есть уравнение, которое мы не можем разложить на множители, поэтому нам нужно заполнить квадрат. Используя наши новомодные знания, мы знаем, что нам нужно. Итак, мы сложим и вычтем из левой части нашего уравнения, чтобы все оставалось сбалансированным.

Когда мы завершаем квадрат, в скобках стоит член, потому что вы умножаете его на себя, чтобы получить выражение, из которого вы его разложили.

и

Мы думаем, что все сделали правильно, но как насчет того, чтобы перепроверить наши результаты, вставив наши ответы обратно в исходное уравнение?

Уф.УГХХ. Это много дробей. Ну ладно, осталось еще одно.

Уф. К сожалению, решения с квадратными корнями и дробями являются обычным явлением при работе с квадратными уравнениями, которые нельзя разложить на множители.

Пример задачи

Решите квадратное уравнение 2 x 2 — 5 x — 3 = 0, заполнив квадрат.

Это уравнение легко разложить на множители: (2 x + 1) ( x — 3) = 0. Видите, мы уже почти закончили.Но проблема гласит, что нам нужно решить ее, завершив квадрат, так что мы должны пройти через это. По крайней мере, мы можем легко проверить наш ответ.

Есть одна важная вещь, которую мы должны здесь отметить, прежде чем продолжить: завершение квадрата будет работать только в том случае, если = 1. Это означает, что нам нужно как-то избавиться от этой 2 перед x 2 . Если вы этого не сделаете, с вами случатся ужасные вещи. О, и вы неправильно поймете проблему.

Разделим все уравнение на 2.

(2 x 2 -5 x — 3 = 0) ÷ 2

Теперь нам нужно добавить или вычесть термин

Эти дополнительные 2 внизу могут быть сложными, так что будь осторожен.

Это дает нам два ответа: x = 3 и.

Это именно тот результат, который мы ожидаем от нашего факторизованного уравнения. Если у вас есть выбор, вы должны учитывать его, если это возможно.

Подводя итоги

Когда вы пытаетесь завершить квадрат, выполните следующие действия.

  • Если a отличное от 1, разделите его. Вам нужно a = 1 для равномерного старта.
  • Разделите уравнение на ( x 2 + bx ) и все остальное.
  • Добавьте к своим значениям x и вычтите из остальных.
  • Разложите свои термины x на множители или по мере необходимости.
  • Выделите квадрат и извлеките квадратный корень из обеих частей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.