Решение интегралы примеры: примеры решения интегралов

Содержание

Примеры решений неопределенных интегралов

  • Попробуйте решить приведенные ниже неопределенные интегралы.
  • Нажмите на изображение интеграла, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Примеры на основные формулы и методы интегрирования

См раздел
Основные формулы и методы интегрирования > > >

    Решение > > >
    Решение > > >
    Решение > > >
    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

См раздел
Интегрирование рациональных функций (дробей) > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >      

Примеры интегрирования иррациональных функций (корней)

См раздел
Методы интегрирования иррациональных функций (корней) > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >

Примеры интегрирования тригонометрических функций

См раздел
Методы интегрирования тригонометрических функций > > >

    > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >           > > >      

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

∫ Решение интегралов онлайн с подробным решением

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Это онлайн сервис в один шаг:

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Перейти: Онлайн сервис «Неопределенный интеграл»

Это онлайн сервис в один шаг:

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Ввести нижний предел для интеграла
  • Ввести верхний предел для интеграла

Перейти: Онлайн сервис «Определенный интеграл»

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
  • Ввести нижнюю область интегрирования (или — бесконечность)

Перейти: Онлайн сервис «Несобственный интеграл»

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
  • Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования

Перейти: Онлайн сервис «Двойной интеграл»

  • Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
  • Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
  • Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
  • Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования

Перейти: Онлайн сервис «Тройной интеграл»

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

Таблица интегралов

Вы также можете воспользоваться таблицей интегралов, чтобы самостоятельно посчитать любой интеграл, перейти:

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Первообразная

      Определение 1. Функцию   (x) ,   определенную на интервале   (a, b),   называют первообразной функции   (x) ,   определенной на интервале   (a, b),   если для каждого выполнено равенство

F’ (x) = f (x) .

      Например, из справедливости равенства

(sin 2x)’ = 2 cos 2x

вытекает, что функция   F (x) = sin 2x   является первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Замечание. Функция   F (x) = sin 2x   не является единственной первообразной функции   f (x) = 2 cos 2x ,   поскольку функция   F (x) = sin 2x + 10 ,   или функция   F (x) = sin 2x – 3 ,   или функции вида   F (x) = sin 2x + c ,   где   c   – любое число, также являются первообразными функции   f (x) = 2 cos 2x .

      Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

      Теорема 1. Если функция   (x)   является первообразной функции   (x)   на интервале   (ab) ,   то любая другая первообразная функции   (x)   на интервале   (ab)   имеет вид

F (x) + с ,

где   c   – некоторое число.

Неопределенный интеграл

      Определение 2. Множество всех первообразных функции   (x)   называют неопределенным интегралом от функции   (x)   и обозначают

(1)

      Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции   (x)   по   dx» .

      Если   (x)   является первообразной   (x) ,   то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

(2)

      Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

(3)

подразумевая, но не указывая специально, что   c   – любое число.

      В формуле (3) функцию   (x)   называют подынтегральной функцией, выражение   (x) dx   нызывают подынтегральным выражением, а число   c   называют постоянной интегрирования.

      Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

      Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

      Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

где   k   – любое число.

      Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

      Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

      Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

      Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы

вытекает, что      

(4)

если все входящие в формулу (4) функции   (φ (x)),   φ’ (x),   F (φ (x))   определены.

      Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

      Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.

      Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция   φ (x)   является линейной функцией, то есть

φ (x) = kx + b ,

что   k   и   b   – произвольные числа, .

      В этом случае

φ’ (x) = k ,

и формула (4) принимает вид

(5)

      Формула (5) часто используется при решении задач.

Таблица интегралов

      Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций

Основная формула Обобщения

, где   k – любое число

где   n – любое число, не равное   – 1

,

где   n, k, b – любые числа, ,

где   n – любое число,

,   x > 0

,

где   k, b – любые числа, ,
kx + b > 0

где   φ (x) > 0

,

где   k, b – любые числа,

где   a – любое положительное число, не равное 1

,

где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа,

,

где  a – любое положительное число, не равное 1

,

где   k, b – любые числа,

,

где   k, b – любые числа,

,

где   k, b – любые числа, ,

,

,

где   k, b – любые числа, ,

,

  | x | < 1

где   k, b – любые числа, ,
| kx + b | < 1

| φ (x) | < 1

где   a, b – любые числа,

,

где   k, b – любые числа,

где   a, b – любые числа,

Основная формула:

Обобщения:

, где   k – любое число

Основная формула:

где   n – любое число, не равное   – 1 .

Обобщения:

,

где   n, k, b – любые числа, ,

_____

где   n – любое число,

Основная формула:

,   x > 0

Обобщения:

,

где   k, b – любые числа, ,   kx + b > 0

_____

где   φ (x) > 0

Основная формула:

Обобщения:

,

где   k, b – любые числа,

_____

Основная формула:

,

где   a – любое положительное число, не равное 1 .

Обобщения:

,

где  a – любое положительное число, не равное 1,   k, b – любые числа,

_____

,

где  a – любое положительное число, не равное 1

Основная формула:

Обобщения:

,

где   k, b – любые числа,

_____

Основная формула:

Обобщения:

,

где   k, b – любые числа,

_____

Основная формула:

где  

Обобщения:

,

где   k, b – любые числа, ,

_____

,

где  

Основная формула:

где  

Обобщения:

,

где   k, b – любые числа, ,

_____

,

Основная формула:

  | x | < 1

Обобщения:

где   k, b – любые числа, , | kx +b | < 1

_____

где   | φ (x) | < 1

_____

где   a, b – любые числа,

Основная формула:

Обобщения:

,

где   k, b – любые числа,

_____

_____

где   a, b – любые числа,

Примеры решения задач

      Пример 1. Вычислить интеграл

      Решение. Воспользовавшись свойствами степеней, а затем правилами интегрирования и формулами из таблицы неопределенных интегралов формулами из таблицы неопределенных интегралов, получаем

Ответ.

      Пример 2. Значение первообразной   (x)   функции   (x) = – 4 sin x   в точке   x = 0   равно   9.   Найти .

      Решение. Поскольку Поскольку

то

      Подставляя в формулу (6) значение   x = 0 ,   находим значение постоянной интегрирования   c:

F (0) = 4 cos 0 + c = 9,

4 + c = 9,     c = 5.

      Следовательно,

F (x) = 4 cos x + 5

      Поэтому

      Ответ.  7

      Пример 3. Найти первообразную   (x)   функции

если   (2π) = 2e + 3.

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов

для функции   φ (x) = cos x ,   получаем

      Следовательно,

(7)

      Подставляя в формулу (7) значение   x = 2π,   находим значение постоянной интегрирования   c:

      Итак,

c = 3e +3 .

      Ответ. 

      Пример 4. Вычислить интеграл

      Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов

для функции   φ (x) = ex,   получаем

      Ответ.2 $$ Как видим, всё отлично совпало.

Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов — это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ — первообразная $ f(x), C = const $.

Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.

Свойства интегралов

  • Вынос константы из под знака интеграла: $$ $$ $$ \int Cg(x) dx = C\int g(x) dx $$
  • Интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов этих функций: $$ \int ( f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx $$
  • Изменение направления интегрирования: $$ \int _a ^b f(x) = -\int _b ^a f(x) dx $$
  • Разбиение отрезка интегрирования: $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ $$ c \in (a,b) $$

 

Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?

Алгоритм вычисления интегралов

  1. Узнаем определенный интеграл или нет.4}{4}+\sqrt{x} + C $$

    Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.

    Примеры на решение интегралов

    Навыки нахождения интегралов могут пригодиться не только в математике, но и в других точных дисциплинах. Рассмотрим различные примеры по решению неопределённых интегралов и правила, по которым они решаются.

    Структура статьи следующая: сначала даётся правило, а затем приводятся примеры его применения. Для удобства мы также вставили таблицу с простейшими интегралами.

    Использование таблицы

    Рисунок 1. Табличные значения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

    Таблица является основой интегрального исчисления. Для того чтобы использовать её, достаточно лишь найти необходимые значения. Рассмотрим примеры использования простейших табличных интегралов.2}$.

    После этого можно сделать замену $x+\frac{b}{2a}=t$, в результате чего данный тип интегралов можно свести к табличным или их сумме.

    как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

    Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

    Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

    Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

    Изучаем понятие «интеграл»

    Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

    Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

    Неопределенный интеграл

    Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

    Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

    Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

    Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

    Простой пример:

    Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

    Полная таблица интегралов для студентов

    Определенный интеграл

    Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

    В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

    Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


    Точки а и b называются пределами интегрирования.

    Бари Алибасов и группа

    «Интеграл»

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Правила вычисления интегралов для чайников

    Свойства неопределенного интеграла

    Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

    • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
    • Константу можно выносить из-под знака интеграла:
    • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

    Свойства определенного интеграла

    • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
    • При любых точках a, b и с:

    Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

    Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

    Примеры решения интегралов

    Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

    Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.3}}.$

     

    Базовые примеры интеграции и решения

    Пример 1:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ x 11 dx

    Решение:

    ∫ x 11 dx = x (11 + 1) / (11 + 1) + c

    = ( x 12 /12) + c

    Пример 2:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ (1 / x 7 ) dx

    Решение:

    (1 / x 7 ) dx = ∫ x -7 dx

    = x (-7 + 1) / (- 7 + 1) + c

    = x -6 / (- 6) + c

    = (-1 / 6x 6 ) + c

    Пример 3:

    Интегрировать следующее относительно x

    ∫ ∛x 4 dx

    Решение:

    900 02 ∫ ∛x 4 dx = ∫ x 4/3 dx

    = x [(4/3) + 1)] / [(4/3) + 1)] + c

    = x 7/3 / (7/3) + c

    = (3/7) x 7/3 + c

    Пример 4:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ (x 5 ) 1/8 dx

    Решение:

    ∫ (x 5 ) 1/8 dx = ∫ x 5/8 dx

    = x [(5/8 ) + 1] / [(5/8) + 1] + c

    = x 13/8 / (13/8) + c

    = (8/13) x 13/8 + c

    Пример 5:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ (1 / sin 2 x) dx

    Решение:

    ∫ (1 / sin 2 x) dx = ∫ cosec 2 x dx

    = -cot x + c

    Пример 6:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ (tan x / cos x) dx

    Решение:

    ∫ (tan x / cos x) dx = ∫tan x (1 / cos x) dx

    = ∫tan x sec x dx

    = sec x + c

    Пример 7:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ (cos x / sin 2 x) dx

    Решение:

    ∫ (cos x / sin 2 x) dx = ∫ (cosx / sinx) (1 / sinx) dx

    = ∫cot x cosec x dx

    = — cosec x + c

    Пример 8:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ (1 / cos 2 x) dx

    Решение:

    ∫ (1 / cos 2 x) dx = ∫ sec 2 x dx

    = tan x + c

    Пример 9:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ 12 3 dx

    Решение:

    ∫ 12 3 dx = 12 3 x + c

    Пример 10:

    Интегрируйте следующее относительно x

    ∫ (x 24 / x 25 ) dx

    Решение:

    ∫ (x 24 / x 25 ) dx = ∫ x 24- 25 dx

    = ∫ x -1 dx

    = ∫ (1 / x) dx

    = log x + c

    Пример 11 :

    Интегрировать следующее относительно x

    ∫ e x dx

    Решение:

    ∫ e x dx = e x + c

    Пример 12:

    Интегрировать следующее относительно x

    ∫ (1 + x 2 ) -1 dx

    Решение:

    ∫ (1 + x 2 ) -1 dx = ∫ 1 / (1 + x 2 ) dx

    = tan -1 x + c

    Пример 13:

    I Включите следующее относительно x

    ∫ (1 — x 2 ) -1/2 dx

    Решение:

    ∫ (1 — x 2 ) -1/2 dx = ∫ 1 / (1 — x 2 ) 1/2 dx

    = ∫ 1 / √ (1 — x 2 ) dx

    = sin -1 x + c

    Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

    Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

    [email protected]

    Мы всегда ценим ваши отзывы.

    Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

    ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

    Задачи со словами HCF и LCM

    Задачи со словами на простых уравнениях

    Задачи со словами на линейных уравнениях

    Задачи со словами на квадратных уравнениях

    Проблемы со словами в поездах

    Проблемы со словами по площади и периметру

    Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

    Проблемы со словами по цене за единицу

    Проблемы со словами по скорости единицы

    задачи по сравнению ставок

    Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

    Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

    Word задачи по простому проценту

    Word по сложным процентам

    ngles

    Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

    Проблемы со словами с двойными фактами

    Проблемы со словами в тригонометрии

    Проблемы со словами в процентах

    Проблемы со словами

    Задачи

    Задачи с десятичными словами

    Задачи со словами о дробях

    Задачи со словами о смешанных фракциях

    Одношаговые задачи с уравнениями со словами

    Проблемы со словами с линейным неравенством

    Задачи

    Проблемы со временем и рабочими словами

    Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

    Проблемы со словами на возрастах

    Проблемы со словами из теоремы Пифагора

    Процент числового слова проблемы

    Проблемы со словами при постоянной скорости

    Проблемы со словами при средней скорости

    Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

    ДРУГИЕ ТЕМЫ

    Сокращения прибыли и убытков

    Сокращение в процентах

    Сокращение в таблице времен

    Сокращение времени, скорости и расстояния

    Сокращение соотношения и пропорции

    Область и диапазон рациональных функций

    Область и диапазон рациональных функций

    функции с отверстиями

    Графики рациональных функций

    Графики рациональных функций с отверстиями

    Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

    Десятичное представление рациональных чисел

    с использованием длинного корня видение

    Л.Метод CM для решения задач времени и работы

    Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

    Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

    Остаток при делении в степени 17 на 16

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

    Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

    Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

    Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

    Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

    4.b`

    `= F (б) -F (а)`

    где

    `F (x)` — интеграл от `f (x)`;

    `F (b)` — значение интеграла на верхнем пределе, `x = b`; и

    `F (a)` — значение интеграла на нижнем пределе, `x = a`.

    Это выражение называется определенным интегралом . Обратите внимание, что это не включает константу
    интеграция
    и дает нам определенное значение (число) при
    конец расчета.(n + 1)) / (n + 1) + K` (если `n ≠ -1`)

    Когда мы заменяем, мы меняем переменную, поэтому мы не можем
    используйте одинаковые верхний и нижний пределы. Мы можем либо:

    • Выполните задачу как неопределенный интеграл сначала , затем
      использовать верхний и нижний пределы позже
    • Решите проблему, используя новую переменную и
      новые верхний и нижний пределы
    • Показать правильную переменную для верхнего и нижнего предела
      во время фазы замены.4] `

      `= 0`, как и раньше.

      Этот второй подход будет весьма полезен позже, когда
      замены становятся более сложными (например, тригонометрические
      замена).

      Приложение: Работа

      Эйнштейн катается на велосипеде. 3 + 3 (2))]`

      `= -1 / 3 [1 / 36-1 / 14]`

      `= 0.014550`

      Таким образом, смещение объекта от времени t = 2 до t = 3 составляет 0,015 единиц.

      См. Подробнее: смещение, скорость и ускорение как приложения интеграции.

      ПРИМЕЧАНИЕ 1: Как вы можете видеть из приведенных выше приложений работы, среднего значения и смещения, определенный интеграл можно использовать, чтобы найти больше, чем просто области под кривыми.

      ПРИМЕЧАНИЕ 2: Определенный интеграл только дает нам площадь , когда вся кривая находится на выше оси x в
      область от x = a до x = b.2+ 1`.

      Затем находим дифференциал:

      `du = 2x \ dx`

      Но в вопросе нет «` 2x \ dx` «(только» dx` «), поэтому
      мы не можем заменить что-либо в вопросе на «du» должным образом. Это означает, что мы не можем решить ее ни одним из используемых методов интеграции. 2 + 1`

      Тогда найдем дифференциал:

      `du = 2x \ dx`

      Затем мы могли бы перейти к нахождению интеграла, как мы делали в примерах выше, заменив `2x \ dx` на` du` , а часть квадратного корня на `sqrt u`.2 + 1) \ dx`

      ( Примечание: Исторически все определенные интегралы аппроксимировались численными методами до того, как Ньютон и Лейбниц разработали методы интегрирования, которые мы изучили до сих пор в этой главе.)

      Мы можем использовать два различных численных метода для вычисления интеграла:

      Мы встречаемся с этими методами в следующих двух разделах.

      % PDF-1.3
      %
      129 0 объект
      >
      эндобдж
      xref
      129 73
      0000000016 00000 н.
      0000001811 00000 н.
      0000003821 00000 н.
      0000004039 00000 п.
      0000004356 00000 п.
      0000004542 00000 н.
      0000004696 00000 н.
      0000004918 00000 н.
      0000005138 00000 п.
      0000005553 00000 н.
      0000005777 00000 н.
      0000006001 00000 п.
      0000006390 00000 н.
      0000006720 00000 н.
      0000006928 00000 н.
      0000006969 00000 н.
      0000007191 00000 н.
      0000007380 00000 н.
      0000007680 00000 н.
      0000007834 00000 н.
      0000008255 00000 н.
      0000008784 00000 н.
      0000008806 00000 н.
      0000009595 00000 н.
      0000009954 00000 н.
      0000010158 00000 п.
      0000010362 00000 п.
      0000010571 00000 п.
      0000010593 00000 п.
      0000011145 00000 п.
      0000011498 00000 п.
      0000011850 00000 п.
      0000012054 00000 п.
      0000012273 00000 п.
      0000012295 00000 п.
      0000012850 00000 п.
      0000012872 00000 п.
      0000013427 00000 п.
      0000013633 00000 п.
      0000014115 00000 п.
      0000014137 00000 п.
      0000014703 00000 п.
      0000014856 00000 п.
      0000015169 00000 п.
      0000015191 00000 п.
      0000015810 00000 п.
      0000015832 00000 п.
      0000016384 00000 п.
      0000016406 00000 п.
      0000016963 00000 п.
      0000017184 00000 п.
      0000018982 00000 п.
      0000021053 00000 п.
      0000032608 00000 п.
      0000034570 00000 п.
      0000042603 00000 п.
      0000042818 00000 п.
      0000050984 00000 п.
      0000052469 00000 п.
      0000054269 00000 п.
      0000054473 00000 п.
      0000054552 00000 п.
      0000057230 00000 н.
      0000057455 00000 п.
      0000062027 00000 п.
      0000062263 00000 п.
      0000062468 00000 п.
      0000064036 00000 п.
      0000066960 00000 п.
      0000071140 00000 п.
      0000074430 00000 п.
      0000001908 00000 н.
      0000003798 00000 н.
      трейлер
      ]
      >>
      startxref
      0
      %% EOF

      130 0 объект
      >
      эндобдж
      200 0 объект
      >
      поток
      Hb«f« / a`g` Ȁ

      Интеграция путем замены

      В этом разделе мы увидим важный метод вычисления многих сложных интегралов.\ prime \ left (x \ right)} dx}} = {\ int {f \ left (u \ right) du}, \; \;} \ kern0pt {\ text {where} \; \; {u = u \ left (x \ right)}.} \]

      Это формула правила замены для неопределенных интегралов.

      Обратите внимание, что интеграл слева выражается через переменную \ (x. \). Интеграл справа выражается через \ (u. \)

      Метод подстановки (также называемый подстановкой \ (u — \)) используется, когда интеграл содержит некоторую функцию и ее производную. {\ frac {1} {2}}}}} {2} + C} = {\ frac {{\ sqrt u}} {2} + C} = {\ frac {{\ sqrt {1 + 4x}) }} {2} + C.3} + 1} \ right | + C}}. \]

      1.1 Интегралы как решения — Mathematics LibreTexts

      ОДУ первого порядка — это уравнение вида

      \ [\ dfrac {dy} {dx} = f (x, y) \]

      или просто

      \ [y ‘= f (x, y) \]

      В общем, не существует простой формулы или процедуры, которым можно было бы следовать, чтобы найти решения. В следующих нескольких лекциях мы рассмотрим частные случаи, когда нетрудно получить решения. В этом разделе предположим, что \ (f \) является функцией только \ (x \), то есть уравнение:

      \ [y ‘= f (x) \ label {1.1.1} \]

      Мы могли бы просто интегрировать (антидифференцировать) обе части относительно \ (x \).

      \ [\ int y ‘(x) dx = \ int f (x) dx + C \]

      , то есть

      \ [y (x) = \ int f (x) dx + C \]

      Это \ (y (x) \) на самом деле является общим решением. Итак, чтобы решить уравнение \ (\ ref {1.1.1} \), мы находим некоторую первообразную \ (f (x) \), а затем добавляем произвольную константу, чтобы получить общее решение. xf (t) dt + C \]

      Следовательно, терминология для интеграции, когда мы действительно можем иметь в виду антидифференцировать.{x_0} f (x) dx + y_0 = y_0 \). Это!

      Обратите внимание, что определенный интеграл и неопределенный интеграл (антидифференциация) — совершенно разные звери. Определенный интеграл всегда дает число. Следовательно, Equation \ (\ ref {1.1.2} \) — это формула, которую мы можем подключить к калькулятору или компьютеру, и она будет рада вычислить для нас конкретные значения. Мы легко сможем построить решение и работать с ним, как с любой другой функцией. Не так важно всегда находить замкнутую форму первообразной.2} ds + 1. \]

      Solution

      Вот хороший способ подшутить над своими друзьями, которые изучают математику во втором семестре. Скажите им, чтобы они нашли решение в закрытой форме. Ха-ха-ха (плохая математическая шутка). Невозможно (в закрытом виде). Нет ничего плохого в том, чтобы записать решение в виде определенного интеграла. Этот конкретный интеграл на самом деле очень важен в статистике.

      Используя этот метод, мы также можем решить уравнения вида

      \ [y ‘= f (y) \]

      Запишем уравнение в нотации Лейбница.

      \ [\ dfrac {dy} {dx} = f (y) \]

      Теперь мы используем теорему об обратной функции из исчисления, чтобы поменять роли \ (x \) и \ (y \), чтобы получить

      \ [\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {f (y)} \]

      То, что мы делаем, похоже на алгебру с \ (dx \) и \ (dy \). Заманчиво просто заниматься алгеброй с \ (dx \) и \ (dy \), как если бы они были числами. И в этом случае это действительно работает. Однако будьте осторожны, так как такой вид вычислений может привести к проблемам, особенно когда задействовано более одной независимой переменной.2, ~~~~ v (0) = 10 \]

      Решив для \ (v \), мы можем проинтегрировать и найти \ (x \).

      Авторы и авторство

      Калькулятор интегралов

      : интеграция с Wolfram | Alpha

      Что такое интегралы?

      Интеграция — важный инструмент в исчислении, который может дать первообразную или представить площадь под кривой.

      Неопределенный интеграл от, обозначенный, определяется как первообразная от. Другими словами, производная от is.Поскольку производная константы равна 0, неопределенные интегралы определяются только с точностью до произвольной константы. Например, так как производная от. Определенный интеграл от до, обозначенный, определяется как область со знаком между и осью, от до.

      Оба типа интегралов связаны основной теоремой исчисления. Это означает, что если непрерывен на и является его непрерывным неопределенным интегралом, то. Это означает . Иногда требуется приближение к определенному интегралу.Обычный способ сделать это — разместить под кривой тонкие прямоугольники и сложить области со знаком. Wolfram | Alpha может решать широкий спектр интегралов.

      Как Wolfram | Alpha вычисляет интегралы

      Wolfram | Alpha вычисляет интегралы иначе, чем люди. Он вызывает функцию Integrate системы Mathematica, которая представляет собой огромное количество математических и вычислительных исследований. Integrate не выполняет интегралы, как это делают люди. Вместо этого он использует мощные общие алгоритмы, которые часто включают очень сложную математику.Есть несколько подходов, которые используются чаще всего. Один из них включает разработку общей формы интеграла, затем дифференцирование этой формы и решение уравнений для сопоставления неопределенных символьных параметров. Даже для довольно простых подынтегральных выражений уравнения, сгенерированные таким образом, могут быть очень сложными и для их решения требуются сильные алгебраические вычислительные возможности Mathematica. Другой подход, который Mathematica использует при вычислении интегралов, состоит в том, чтобы преобразовать их в обобщенные гипергеометрические функции, а затем использовать наборы отношений об этих очень общих математических функциях.

      Хотя эти мощные алгоритмы дают Wolfram | Alpha возможность очень быстро вычислять интегралы и обрабатывать широкий спектр специальных функций, понимание того, как будет интегрироваться человек, также важно. В результате в Wolfram | Alpha также есть алгоритмы для пошаговой интеграции. В них используются совершенно разные методы интеграции, имитирующие подход человека к интегралу. Это включает интегрирование путем подстановки, интегрирование по частям, тригонометрическую замену и интегрирование по частичным дробям.

      Решение интегралов подстановкой — Исчисление 2

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
      или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
      то
      информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
      ан
      Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
      средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
      в виде
      ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
      искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
      на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
      Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
      Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
      достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
      а
      ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
      к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
      Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
      Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
      ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
      информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
      либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон
      Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.