Решать квадратные неполные уравнения: Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Содержание

Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D < 0, корней нет;
  • если D = 0, есть один корень;
  • если D > 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

  • ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax² + c = 0, при b = 0;
  • ax² + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим каждый случай отдельно и решим примеры неполных квадратных уравнений. А еще лучше — приходите сразу практиковаться в современную школу Skysmart.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Как решаем:

 

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

    −5x² = 0

    x² = 0

    x = √0

    x = 0

    Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax² = — c,
  • разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

  • не имеет корней при — c/а < 0;
  • имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Как решать:

 

  1. Перенесем свободный член в правую часть:

    9x² = — 4

  2. Разделим обе части на 9:

    x² = — 4/9

  3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Как решаем:

 

  1. Перенесем свободный член в правую часть:

    -x² = -9

  2. Разделим обе части на -1:

    x² = 9

  3. Найти корни:

    x = √9

    x = -3

    x = 3

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Как решать:

 

  1. Вынести х за скобки

    х(2x — 32) = 0

  2. Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.
  3. Решить линейное уравнение:

    2x = 32,

    х = 32/2

  4. Разделить:

    х = 16

  5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Как решать:

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Ответ: х = 0 и х = 4.

Неполные квадратные уравнения. Примеры и решение

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

ax2 + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax2 + bx = 0,   если   c = 0;
ax2 + c = 0,   если   b = 0;
ax2 = 0,    если   b = 0   и   c = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида  ax2 + bx = 0,  надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся  x  за скобки:

x(ax + b) = 0.

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или   ax + b = 0.

Чтобы  ax + b  было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение  ax2 + bx = 0  имеет два корня:

x1 = 0   и   x2 = — b  .
a

Неполные квадратные уравнения вида  ax2 + bx = 0,  где  b ≠ 0,  решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a2 — 12a = 0.

Решение:

a2 — 12a = 0
a(a — 12) = 0
a1 = 0       a — 12 = 0
a2 = 12

Пример 2. Решите уравнение:

7x2 = x.

Решение:

7x2 = x
7x2x = 0
x(7x — 1) = 0


x1 = 0       7x — 1 = 0 
7x = 1 

Чтобы решить уравнение вида  ax2 + c = 0,  надо перенести свободный член уравнения  c  в правую часть:

ax2 = —c,   следовательно,   x2 = — c  .
a

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид  x2 — c = 0,  то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x2 = c.

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x1 = +√c ,     x2 = -√c .

Неполное квадратное уравнение вида  ax2 + c = 0,  где  c ≠ 0,  либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y2.

Решение:

24 = 2y2
24 — 2y2 = 0
-2y2 = -24
y2 = 12
y1 = +√12       y2 = -√12

Пример 2. Решите уравнение:

b2 — 16 = 0.

Решение:

b2 — 16 = 0
b2 = 16
b1 = 4       b2 = -4

Уравнение вида  ax2 = 0  всегда имеет только один корень:  x = 0.   Так как  a ≠ 0,  то из  ax2 = 0  следует, что  x2 = 0,  значит, и  x = 0.  Любое другое значение  x  не будет являться корнем данного уравнения.

Как решать неполные квадратные уравнения

Как решать неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид , где . Если или , то уравнение называется неполным и допускает решение без использования дискриминанта (подробнее о дискриминанте в статье Как решать квадратные уравнения). Рассмотрим каждый случай на примерах.

а) случай

Неполное квадратное уравнение имеет вид , где .

Пример 1. .

В этом уравнении корней нет, так как левая часть при любых значениях  положительна, в то время как правая часть равна нулю. Следовательно, равенство невозможно. Ответ: нет корней.

Пример 2. .

Правая часть уравнения отрицательна (-4<0), а левая часть при любых таковой не является, ведь любое число в квадрате неотрицательно. Ответ: нет корней.

Пример 3. .

Уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Ответ: 0.

Пример 4. .

Типичной ошибкой является ответ . На самом деле . То есть уравнение имеет два корня. Ответ:

Пример 5. .

Перенесем число в правую часть. При этом слагаемое поменяет знак. Тогда . Откуда . Остается немного упростить полученное выражение. Ответ: .

Пример 6. .

Важно не забыть проанализировать знак правой части. Число , так как , поэтому уравнение не имеет корней. Ошибкой было бы считать, что , ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Таким образом, в случае сначала упрощаем уравнение к виду , затем определяем знак числа . Если , то корней нет. Если , то . И если , то уравнение имеет два корня .

б) случай

Уравнение имеет вид , где .

Пример 7. .

Наша цель применить метод разложения на множители. Для этого в правой части должен быть 0, а в левой части — произведение. Вынесем за скобки, тогда . Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому или , откуда или . То есть уравнение распалось на два более простых (линейных) уравнения. Ответ: .

Пример 8.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Далее разложим левую часть на множители.

Получим два линейных уравнения.

или , откуда или .

Ответ:

Таким образом, в случае неполное квадратное уравнение решается методом разложения на множители.

Если у вас трудности с арифметическими вычислениями, потренироваться можно здесь.

Задачи для самостоятельного решения

Ответы

  1. 0; -3/7
  2. 0; 5/4
  3. -2; 2
  4. -4; 4

еще задачи здесь (номера 1-4, 29-34, ответы в комментариях)

еще статья Как решать квадратные уравнения

все статьи по школьной математике

 

Неполные квадратные уравнения | Алгебра

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

   

   

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.

Примеры.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

Ответ: 0; -18.

   

Общий множитель 5x выносим за скобки:

   

Приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 0; 3.

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c  — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами  некоторых рациональных чисел):

   

   

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 7; -7.

   

   

   

   

   

   

Ответ: 2,25; -2,25.

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

   

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

   

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

   

   

   

   

Примеры.

   

   

   

   

   

Ответ:±2.

   

   

   

   

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

   

Ответ:

   

   

   

   

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

   

   

   

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

   

Примеры.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

Виды неполных квадратных уравнений

Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0.

Неполными квадратными уравнениями являются уравнения трех видов:

  • ax2 + bx = 0, когда коэффициент c = 0.
  • ax2 + c = 0, когда коэффициент b = 0.
  • ax2 = 0, когда и b и с равны 0.

Коэффициент же a по определению квадратного уравнения не может быть равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются проще, чем полные квадратные. Способы решения различаются в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

Проще всего решаются уравнения вида ax2 = 0. Если a по определению квадратного уравнения не может быть равно нулю, то очевидно, что нулю может быть равен только x2, а значит, и сам x. У уравнений такого вида всегда есть один корень, он равен 0. Например:

–3x2 = 0
x2 = 0/–3
x2 = 0
x = √0
x = 0

Уравнения вида ax2 + c = 0 преобразуются к виду ax2 = –c и решаются аналогично предыдущему. Однако корней здесь либо два, либо не одного.

ax2 + c = 0
ax2 = –c
x2 = –c/a
x = √(–c/a)

Здесь если подкоренное выражение отрицательно, то корней у уравнения нет. Если положительно, то корней будет два: √(–c/a) и –√(–c/a). Пример решения подобного уравнения:

4x2 – 16 = 0
4x2 = 16
x2 = 16 / 4
x2 = 4
x = √4
x1 = 2; x2 = –2

Неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0 решается вынесением общего множителя за скобку. В данном случае им является x. Получается уравнение x(ax + b) = 0. Это уравнение имеет два корня: либо x = 0, либо ax + b = 0. Решая второе уравнение получаем x = –b/a. Таким образом, уравнения вида ax2 + bx = 0 имеют два корня: x1 = 0, x2 = –b/a. Пример решения такого уравнения:

3x2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x1 = 0; x2 = 10/3 = 3,(33)

Неполные квадратные уравнения 🐲 СПАДИЛО.

РУ

Определение

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где х – переменная, a, b, c некоторые числа, причем a≠0. Обычно его называют полным квадратным уравнением.

Если в таком уравнении один из коэффициентов b или c равен нулю, либо оба одновременно равны нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение при b=0: ax

2+c=0

Для решения такого вида уравнения надо выполнить перенос коэффициента с в правую часть, затем найти квадрат переменной (делим обе части на одно и то же число), найти два корня уравнения, либо доказать, что корней нет (если х2 равен отрицательному коэффициенту; знаем, что квадрат любого числа равен только положительному числу).

Пример №1. Решить уравнение:

2–45=0

Выполним перенос числа –45 в правую часть, изменяя знак на противоположный: 5х2=45; найдем переменную в квадрате, поделив обе части уравнения на 5: х2=9. Видим, что квадрат переменной равен положительному числу, поэтому уравнение имеет два корня, находим их устно, извлекая квадратный корень из числа 9, получим –3 и 3. Оформляем решение уравнения обычным способом:

2–45=0

2=45

х2=9

Ответ: х=±3 или можно записать ответ так: х1=–3, х2=3 (обычно меньший корень записывают первым). Пример №2. Решить уравнение:

–6х2–90=0

Выполним решение уже известным способом: –6х2=90. х2=–15 Здесь видим, что квадрат переменной равен отрицательному числу, а это значит, что уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Пример №3. Решить уравнение:

х2–100=0

Здесь мы видим в левой части уравнения формулу сокращенного умножения (разность квадратов двух выражений). Поэтому, можем разложить данное выражение на множители, и найти корни уравнения: (х–10)(х+10)=0. Соответственно, вспомним, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть х–10=0 или х+10=0. Откуда имеем два корня х1=10, х2=–10.

Неполное квадратное уравнение при с=0: ax

2+bx=0

Данного вида уравнение решается способом разложения на множители – вынесением за скобки переменной. Данное уравнение всегда имеет два корня, один из которых равен нулю. Рассмотрим данный способ на примерах.

Пример №4. Решить уравнение:

х2+8х=0

Выносим переменную х за скобки: х(х+8)=0. Получаем два уравнения х=0 или х+8=0. Отсюда данное уравнение имеет два корня – это 0 и –8.

Пример №5. Решить уравнение:

2–12х=0

Здесь кроме переменной можно вынести за скобки еще и коэффициент 3, который является общим множителем для данных в уравнении коэффициентов. Получим: 3х(х–4)=0. Получаем два уравнения 3х=0 и х–4=0. Соответственно и два корня – нуль и 4.

Неполное квадратное уравнение с коэффициентами b и с равными нулю: ax

2=0

Данное уравнение при любых значениях коэффициента а будет иметь один корень, равный нулю.

Пример №6. Решить уравнение:

–14х2=0

Обе части уравнения делим на (–14) и получаем х2=0, откуда соответственно и единственный корень – нуль. Пример №6. Решить уравнение:

23х2=0

Также делим обе части на 23 и получаем х2=0. Значит, корень уравнения – нуль.

Формулы полных и неполных квадратных уравнений. Квадратное уравнение

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2
– 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2

+ х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет
.

Решить уравнение 2х 2

+ 5х – 7 = 0
.

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1
.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2


+ bx + c,
иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



, затем с меньшим
bx
, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
, стоящий при х 2



.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2



+ 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3
. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1.

История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X

2

+

X

= ¾;

X

2



X

= 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х

, другое же меньше, т.е. 10 — х

. Разность между ними

.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 — х) = 96

100 — х 2
= 96

х 2
— 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2

. Одно из искомых чисел равно 12

, другое 8

. Решение х = -2

для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 — у) = 96,

у 2
— 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2
+

b

х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а

, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(
x

/8) 2
+ 12 =

x

Бхаскара пишет под видом:

х 2
— 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2

, получая затем:

х 2
— 64х + 32 2
= -768 + 1024,

(х — 32) 2
= 256,

х — 32 = ± 16,

х 1
= 16, х 2
= 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2
+ с =

b

х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2
= с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2
+ с =

b

х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2
+

bx

= с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.

bx

+ с = ах 2
.

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2
+ 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе

XIII



XVII

вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2
+

bx

= с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b

, с

было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B

+

D

, умноженное на A



A

2

, равно BD

, то A

равно В

и равноD

».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А

, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х
), гласные же В,

D

— коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а +

b

)х — х 2
=

ab

,

х 2
— (а +

b

)х + а

b

= 0,

х 1
= а, х 2
=

b

.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

Квадратное уравнение
– это уравнение вида ax 2 +
bx +
c =
0, где x
– переменная, a,
b
и c
– некоторые числа, причем a
≠ 0.

Пример квадратного уравнения:

3x
2 + 2x
– 5 = 0.

Здесь а
= 3, b
= 2, c
= –5.

Числа a,
b
и c
коэффициенты
квадратного уравнения.

Число a
называют первым коэффициентом
, число b
вторым коэффициентом
, а число c
свободным членом
.

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением
.

Примеры приведенного квадратного уравнения:

x
2 + 10x
– 11 = 0

x
2 – x
– 12 = 0

x
2 – 6х
+ 5 = 0

здесь коэффициент при x
2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax 2 +
bx +
c =
0 хотя бы один из коэффициентов b
или c
равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением
.

Примеры неполного квадратного уравнения:

2x
2 + 18 = 0

здесь есть коэффициент а
, который равен -2, есть коэффициент c
, равный 18, а коэффициента b
нет – он равен нулю.

x
2 – 5x
= 0

здесь а
= 1, b
= -5, c
= 0 (поэтому коэффициент c
в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

D =
b
2 – 4
ac
.

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:


b
± √
D
х
1,2 = ——.
2а


Пример
: Решить квадратное уравнение 3х
2 – 5х
– 2 = 0.

Решение
:

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

а
= 3, b
= –5, c
= –2.

Вычисляем дискриминант:

D = b
2 – 4ac
= (–5) 2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

b
+ √D 5 + 7 12
х
1 = —— = —- = — = 2
2а
6 6

b
– √D 5 – 7 2 1
х
2 = —— = —- = – — = – —.
2а
6 6 3

1
Ответ
: х
1 = 2, х
2 = – —.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
ключевым словом является «квадратное».
Оно означает, что в уравнении обязательно
должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с
– какие-то числа. b и c
– совсем любые, а а
– любое, кроме нуля. Например:

Здесь а
=1; b
= 3; c
= -4

Здесь а
=2; b
= -0,5; c
= 2,2

Здесь а
=-3; b
= 6; c
= -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
икс в первой степени с коэффициентом b
и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b
= 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b
и c
равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а
не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а
, b
и c
.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант
. Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
.
Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

Например, в уравнении:

а
=1; b
= 3; c
= -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
!

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a
= -6;
b
= -5;
c
= -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
.

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
.

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
а c
? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
, а b
!

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать:
х 1 = 0
, х 2 = 4
.

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
— то, что меньше, а х 2
— то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня.
х 1 = -3
, х 2 = 3
.

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант

! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
. Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
Ведь -b,
или 2a
в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный.
Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю.
Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
. Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный.
Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения
через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
. Умеете внимательно
подставлять их в формулу корней и внимательно
считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый

. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй.

Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
с противоположным

знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
, который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий

. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
.

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0

х 2 = 5

х 1,2 =
2

х 1 = 2

х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3

х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25

х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Видеоурок 2:
Решение квадратных уравнений

Лекция:
Квадратные уравнения

Уравнение

Уравнение
— это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная.

Решить уравнение
— значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

Линейное: a*x = b;

Квадратное: a*x 2 + b*x + c = 0.

То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

Квадратные уравнения

Уравнение можно назвать квадратным, если при упрощении оно приобретает вид:

a*x 2 + b*x + c = 0.

При этом a, b, c
являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А «х»
— корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

«а»
— коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

«b»
— стоит перед неизвестной в первой степени.

«с»
— свободный член уравнения.

Если, например, мы имеем уравнение вида:

2х 2 -5х+3=0

В нем «2» — это коэффициент при старшем члене уравнения, «-5» — второй коэффициент, а «3» — свободный член.

Решение квадратного уравнения

Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

Решение по дискриминанту:

При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

Теорема Виета

Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета
.

Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

Корни уравнения находятся следующим образом:

Неполное квадратное уравнение

Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

1.

Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0)
, то квадратное уравнение будет иметь вид:

Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

{{2}} — {7} {x} = {0} $$$.

Перепишем уравнение в следующем виде: $$$ {3} {x} \ cdot {x} — {7} {x} = {0} $$$.

Теперь перепишем уравнение, используя распределительное свойство умножения: $$$ {x} {\ left ({3} {x} — {7} \ right)} = {0} $$$.

Когда произведение чисел равно 0?

Когда хотя бы один множитель равен 0.

Итак, либо $$$ {x} = {0} $$$, либо $$$ {3} {x} — {7} = {0} $$$.

Второе уравнение является линейным, его корень равен $$$ {x} = \ frac {{7}} {{3}} $$$.

Ответ : $$$ {x} = {0} $$$ и $$$ {x} = \ frac {{7}} {{3}} $$$.{{2}} — {9} = {0} $$$.

Ответ : $$$ {0} $$$ и $$$ — \ frac {{9}} {{4}} $$$.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Введение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — константы, а a 0.

Слово «квадратичный» происходит от латинского. В латинском языке «квадратичный» используется вместо «квадрат» .
Поскольку наибольшая степень неизвестной переменной, которая появляется в уравнении, равна квадрату,
поэтому подобные уравнения стали известны как квадратные уравнения.

Стандартная форма квадратного уравнения

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0, где

◾ a, b и c — постоянные, а

a не равно 0 (нулю).

Вот несколько примеров стандартной формы квадратного уравнения:

Уравнение Коэффициент
x 2 + 2x + 1 = 0 , где a = 1, b = 2 и c = 1
x 2 + 5x + 11 = 0 , где a = 1, b = 5 и c = 11

Полное квадратное уравнение

◾ Когда b не равно нулю

Некоторые примеры полной формы квадратного уравнения
◾ x 2 + 2x + 1 = 0, где a = 1, b = 2 и c = 1
◾ x 2 + 5x + 11 = 0, где a = 1, b = 5 и c = 11

Чистое или неполное квадратное уравнение

◾ Когда b равно нулю, уравнение известно как чистое или неполное квадратное уравнение относительно x.

Некоторые примеры чистой или неполной формы квадратного уравнения
◾ 6x 2 -24 = 0, где b = 0
◾ 6x 2 -11 = 0, где b = 0

Корни квадратного уравнения

Корни или решение квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 — это значения переменной ‘x’, которые удовлетворяют квадратному уравнению i.е. сделать топор 2 + bx + c равным нулю.

Например:

x 2 + 5x — 50 = 0

x 2 — 5x + 10x -50 = 0

х (х — 5) + 10 (х — 5) = 0

(х — 5) (х + 10) = 0

x = 5 и x = -10

Как видите, если поставить 5 или -10 вместо x, квадратное уравнение x 2 + 5x — 10 будет равно нулю. Следовательно, 5 и -10 являются корнями квадратного уравнения x 2 + 5x — 50 = 0.

Решение квадратного уравнения

Есть три метода решения квадратного уравнения:

◾ Факторизация

◾ Заполнив квадрат

◾ Используя формулу корней квадратного уравнения

Решение по факторизации

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения методом факторизации:

Шаг 1: Преобразуйте уравнение в стандартную форму: ax 2 + bx + c = 0.Если правая часть не равна нулю, перенесите ее в левую и сделайте правую часть равной нулю.

Шаг 2: Полностью разложите левую часть на множители.

Шаг 3: Используйте закон нулевого фактора: если ab = 0, то a = 0 или b = 0.

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения, приравняв каждый линейный коэффициент к нулю. Эти значения x будут решением квадратного уравнения.

Пример: Решить 3x 2 + 5x — 5 = -3

Шаг 1: Преобразование в стандартную форму

3x 2 + 5x -5 + 3 = 0

3x 2 + 5x — 2 = 0

Шаг 2: Разложите левую часть на множители

3x 2 + 6x — x — 2 = 0

3x (x + 2) -1 (x + 2) = 0

(3x — 1) (x + 2) = 0

Шаг 3: Приравняйте каждый линейный коэффициент к нулю.

3x — 1 = 0 или x + 2 = 0

3x = 1 или x = -2

x = 1/3, x = — 2 являются корнями уравнения.

Ловушка:

У вас может возникнуть соблазн разделить обе части выражением, содержащим x. Если вы сделаете это, вы получите только одно решение уравнения (одно значение или один корень от x) и можете потерять другое решение (значение x).

Например: рассмотрим x 2 = 7x

Правильное решение:

x 2 = 7x

x 2 -7x = 0

х (х-7) = 0

x = 0 и X = 7

Неправильное решение:

x 2 = 7x

Разделив обе стороны на x, получим

Х = 7

выше — неправильный способ решения уравнения, поскольку мы не смогли найти другое значение x, равное нулю.

Решение Завершив квадрат

Как вы уже знаете, все квадраты не могут быть легко разложены на множители. Например, x 2 + 4x + 1 нельзя разложить на множители простым разложением. Это означает, что мы не можем записать x 2 + 4x + 1 в форме (x — a) (x — b), где a, b — рациональные числа.

Существует альтернативный способ решения уравнений, например x 2 + 4x + 1 = 0, то есть путем завершения квадрата .

Уравнения вида ax 2 + bx + c = 0 можно преобразовать в форму (x + p) 2 = q. Так легко найти решения.

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения путем заполнения квадрата:

Шаг I: Составьте квадратное уравнение в стандартной форме ax 2 + bx + c = 0.

Шаг II: теперь разделите обе части уравнения на коэффициент x 2 , если он еще не равен 1.

Шаг III: Сдвиньте постоянный член вправо.

Шаг IV: Добавьте квадрат половины коэффициента x к L.H.S. и R.H.S.

Шаг V: Запишите L.H.S в виде полного квадрата и упростите R.H.S.

Шаг VI: Найдите x, извлекая квадратный корень из L.H.S. и R.H.S.

Решим квадратное уравнение -3x 2 + 12x + 5 = 0 по «завершая квадрат»

-3x 2 + 12x + 5 = 0

x 2 — 4x — (5/3) = 0

x 2 — 4x = (5/3)

x 2 — 4x + 2 2 = (5/3) + 2 2

(х — 2) 2 = (17/3)

x — 2 = & pm; & Sqrt; (17/3)

x = 2 & pm; & Sqrt; (17/3)

x 1 = 2 + & Sqrt; (17/3)

x 2 = 2 — & Sqrt; (17/3)

Итак, Здесь x 1 и x 2 — корни уравнения.

Используя формулу корней квадратного уравнения

Квадратичная формула, которая также может использоваться для решения любого квадратного уравнения, получается в результате решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 для x путем заполнения квадрата.

Есть определенные случаи, когда решение квадратного уравнения факторизацией или завершение квадрата занимает много времени, долго или сложно. В таких случаях мы используем квадратную формулу для решения квадратного уравнения.

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

Шаг I: Составьте квадратное уравнение в стандартной форме ax 2 + b x + c = 0.

Шаг II: Сравните решаемое квадратное уравнение со стандартным квадратным уравнением и найдите значения коэффициентов a, b, c.

Шаг III: Поместите эти значения a, b, c в формулу квадратного уравнения.

Корни (x 1 , x 2 ) = −b ± & Sqrt; b2 — 4ac
2a

Как вы можете заметить в формуле. Квадратичная формула вычисляет два значения x: x 1 и x 2 , где

x 1 = −b + & Sqrt; b2 — 4ac
2a

x 2 = −b — & Sqrt; b2 — 4ac
2a

Эти два значения x, для которых выполняется ax 2 + bx + c = 0, называются решениями квадратного уравнения, также называемыми корнями квадратного уравнения.

Шаг I: — Преобразуйте квадратное уравнение, которое вы хотите решить, в стандартную форму квадратного уравнения, ax 2 + bx + c = 0

Например, если у вас есть квадратное уравнение в форме x 2 — 10x = -24, преобразуйте его в стандартную форму квадратного уравнения.

x 2 -10x = -24 преобразуется в x 2 — 10x + 24 = 0

Шаг II: — Найдите значение коэффициентов a, b и c, сравнив его со стандартной формой квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0

Например, сравнивая x 2 — 10x + 24 = 0 с ax 2 + bx + c = 0, получаем

a = 1,
b = -10,
c = 24

Шаг III:

Корни (x 1 , x 2 ) = −b ± & Sqrt; b2 — 4ac
2a
x 1 = −b + & Sqrt; b2 — 4ac
2a
= — (- 10) + & Sqrt; (-10) 2-4 (1) (24) = 6
2 (1)
x 2 = −b — & Sqrt; b2 — 4ac
2a
= — (- 10) — & Sqrt; (-10) 2-4 (1) (24) = 4
2 (1)

Дискриминант

Мы узнали, что квадратная формула

Корни (x 1 , x 2 ) = −b ± & Sqrt; b2 — 4ac
2a

В приведенной выше квадратной формуле величина «b 2 — 4ac» , которая находится под знаком квадратного корня, называется дискриминантом квадратного уравнения.

Дискриминант = b 2 — 4ac

Выражение «b 2 — 4ac» говорит о природе корней квадратного уравнения. Корни могут быть реальными, равными или мнимыми.

Возможны три случая:

◾ Если b 2 — 4ac мнимый и неравный.

◾ Если b 2 — 4ac = 0, то корни будут действительными, равными и рациональными .(Это означает, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат).

◾ Если b 2 — 4ac> 0, то корни действительные и неравные.

Если b 2 — 4ac> 0, то корни действительные и неравные, и есть две возможности — здесь корни могут быть рациональными или иррациональными

◾ b 2 — 4ac — это полный квадрат, корни действительные, рациональные и неравные . (Это означает, что уравнение может быть решено путем факторизации).

◾ b 2 — 4ac не является совершенным, тогда корни действительны, иррациональны и неравны.

Сводка

Дискриминантное значение Случаи Корни квадратичной Факторизация квадратичной
Дискриминантное значение> 0 два настоящих отдельных корня два различных линейных фактора
Дискриминантное значение = 0 два одинаковых настоящих корня два одинаковых линейных фактора
Дискриминантное значение Настоящих корней нет Невозможно разложить на множители

Случай I — когда дискриминант> 0

Для квадратного уравнения x 2 + 7x + 4 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

х 2 + 7x + 4 = 0

Дискриминант = b 2 — 4ac

Здесь a = 1, b = 7, c = 4

Дискриминант = 7 2 — 4 x 1 x 4 = 49 — 16 = 33

Дискриминант> 0, следовательно, есть два настоящих корня

Случай II — Когда Дискриминант = 0

Для квадратного уравнения x 2 + 6x + 9 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

x 2 + 6x + 9 = 0

Дискриминант = b 2 — 4ac

Здесь a = 1, b = 6, c = 9

Дискриминант = 6 2 — 4 x 1 x 9 = 36 — 36 = 0

Дискриминант = 0, следовательно, есть два одинаковых реальных корня

Случай III — когда дискриминант

Для квадратного уравнения x 2 + 4x + 4 = 0, определить природу корней по его определителю

Ответ

х 2 + 4х + 5 = 0

Дискриминант = b 2 — 4ac

Здесь a = 1, b = 4, c = 5

Дискриминант = 4 2 — 4 x 1 x 5 = 16-20 = -4

Дискриминант

квадратных уравнений | Superprof

В этой статье вы узнаете, что такое квадратные уравнения, свойства их корней, как представить их графически и как решить их с помощью трех методов с примерами.Итак, приступим.

Здесь a — старший коэффициент уравнения, и он не должен быть равен нулю. Значения x, которые делают уравнение истинным, известны как нулей или корней квадратного уравнения. Вы можете видеть, что квадратное уравнение представляет собой полином второй степени , что означает, что наивысшая степень этого уравнения равна 2.

Это самый простой способ найти корни квадратичных функций. Все, что нам нужно сделать, это расширить средний член, чтобы получить четыре члена, сгруппировать похожие термины и разложить их на множители.В этот процесс обычно входят следующие шаги:

Пример

Решите

с помощью факторинга.

Решение

Вы можете видеть, что константа находится в правой части уравнения. Следовательно, мы перенесем его в левую часть уравнения и положим уравнение равным нулю.

Теперь мы разложим средний член на два члена таким образом, чтобы произведение было равно

, а сумма или разность равнялась

Мы получили два новых уравнения, установив каждый коэффициент равным до нуля.Мы решим два уравнения отдельно для x:

и

и

Следовательно, -10 и -8 являются корнями уравнения. Чтобы проверить наш ответ, мы подставим эти значения в исходное уравнение:

at

at

Таким образом, наш ответ правильный, т.е. -10 и -8 — решения уравнения.

ii.Квадратичная формула

В большинстве случаев мы не можем найти множители квадратного уравнения. В этих задачах использование формулы корней квадратного уравнения помогает нам определить корни или нули уравнения. Мы особенно используем квадратную формулу, когда корни или нули квадратных уравнений не являются рациональными числами. Следующая формула используется для квадратного уравнения

,

Элемент формулы, представленный под радикальным знаком

, называется дискриминантом.Дискриминант квадратной формулы определяет следующие три возможности:

Пример

Найти корни уравнения

Решение

Мы не можем разложить уравнение на множители в этом примере, поэтому мы перейдем к использованию квадратной формулы для нахождения корней уравнения:

Здесь a = 7, b = -2 и c = -8.

Мы заменим значения a, b и c в формуле:

Упростите приведенное выше выражение, чтобы получить следующие решения:

и

Вы можете найти репетитора по математике здесь .

iii. Завершение квадрата

Третий метод решения квадратных уравнений — завершение квадратного метода. Если корни уравнения являются действительными из мнимых чисел, то этот метод является наиболее подходящим. Для решения квадратных уравнений с помощью этого метода используются следующие шаги:

  • Возьмите константу в правой части уравнения, чтобы преобразовать уравнение в форму
  • Старший коэффициент «a» должен быть равен 1.Если это не так, вы должны сделать его равным 1, разделив все уравнение на старший коэффициент a.
  • Используйте значение b, чтобы сделать правильный квадрат в левой части уравнения. Добавьте к обеим сторонам уравнения.
  • На последнем этапе извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и решите полученное уравнение относительно неизвестного значения x.

Пример

Решите уравнение

, заполнив метод квадратов.

Решение

Возьмите константу в правой части уравнения:

Вычислите значение

и добавьте его к обеим частям уравнения:

Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения и решить полученное уравнение относительно x:

или

или

или

1.Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

Общая форма квадратного уравнения —

ось 2 + bx + c = 0

, где x — переменная, а a , b и c — константы

Примеры квадратных уравнений

(а) 5 x 2 -3 x — 1 = 0 является
квадратное уравнение в квадратичной форме где

`a = 5`,` b = -3`, `c = -1`

(б) 5 + 3 т — 4.9 t 2 = 0 — это
квадратное уравнение в квадратичной форме.

Здесь a = -4.9, b = 3, c = 5

[Это уравнение возникло из определения времени, когда снаряд под действием силы тяжести попадает в
земля.]

(c) ( x + 1) 2 = 4 является квадратичным
уравнение, но , а не в квадратичной форме.

Его необходимо расширить и упростить до:

x 2 + 2 x — 3 = 0

Сводка

В общем, квадратное уравнение:

  • должен содержать термин x 2
  • НЕ должен содержать термины со степенью выше x 2 например. x 3 , x 4 и т. Д.

Примеры неквадратичных уравнений

  • bx — 6 = 0 НЕ является квадратным уравнением, потому что нет члена x 2 .
  • x 3 x 2 -5 = 0 НЕ является квадратным уравнением, потому что существует член x 3 (не допускается в квадратных уравнениях).

Решения квадратичной
Уравнение

Решение уравнения состоит из всех чисел (корней), которые делают уравнение истинным .

Все квадратные уравнения имеют 2 решения (т. Е. 2 ​​корня). Их может быть:

  • настоящие и отличные
  • настоящие и равные
  • мнимая (сложная)

Пример 1

Квадратное уравнение x 2 -7 x + 10 = 0 имеет корни из

`x = 2` и` x = 5`. (Ниже мы покажем, как найти эти корни.)

Это можно увидеть, подставив в уравнение:

Когда x = 2,

x 2 -7 x + 10

= (2) 2 -7 (2) + 10

= 4–14 + 10

= 0

(аналогично можно показать для x = 5).В этом примере корнями являются действительных и различных .

Пример 2

Квадратное уравнение x 2 -6 x + 9 = 0 имеет двойных корней из x = 3 (оба корня одинаковые)

Это можно увидеть, подставив x = 3 в
уравнение:

x 2 — 6 x + 9

= (3) 2 -6 (3) + 9

= 9–18 + 9

= 0

Пример 3

Квадратное уравнение

x 2 + 9 = 0

имеет мнимых корней из

`x = sqrt (-9)` или `-sqrt (-9)`

Узнайте больше о мнимых числах.

Решение квадратного уравнения с помощью факторинга

Пока мы будем иметь дело только с квадратными уравнениями, которые можно факторизовать (факторизовать).

Если вам нужно напоминание о том, как учитывать фактор, вернитесь в раздел:

Факторинг триномов.

Используя тот факт, что продукт равен нулю, если какой-либо из его факторов равен нулю, мы выполняем следующие шаги:

(i) Переместите все термины влево и упростите, оставив ноль на
правая сторона.

(ii) Факторизуйте квадратичное выражение

(iii) Установить каждый коэффициент равным нулю

(iv) Решите полученные линейные уравнения

(v) Проверьте решения в исходном уравнении

Пример 4

Решить x 2 -2 x -15 = 0

Ответ

x 2 -2 x -15 = 0

Факторинг дает:

( x — 5) ( x + 3) = 0

Теперь, если любое из членов ( x — 5) или ( x + 3) равно 0, произведение равно нулю.Итак, делаем вывод:

( x — 5) = 0, следовательно,

х = 5

или

( x + 3) = 0, следовательно,

x = — 3

Следовательно, корни равны x = 5 и x = — 3. 2 + 6x + 1 = 0`

Ответ

9 x 2 + 6 x + 1 = 0

Факторинг дает:

(3 x + 1) (3 x + 1) = 0

Итак, делаем вывод:

(3 x + 1) = 0,

следовательно

`x = -1 / 3`

Мы говорим, что есть двойной корень из `x = -1 / 3`.2 = 0`

`u = 0`

Шаг 5: Подставьте `u = 0` в выражения скобок` u`, получив тот же (повторяющийся) корень квадратного уравнения, который мы нашли выше:

`x = -1 / 3-0 = -1 / 3,` или `x = -1 / 3 + 0 = -1 / 3`

Пример 6 (с дробями)

Решить

`2-1 / x = 3 / (x + 2)`

Ответ

`2-1 / x = 3 / (x + 2)`

Умножаем всю длину на `x (x + 2)`, чтобы удалить знаменатели (нижние части) дробей:

`2x (x + 2) — (x (x + 2)) / x = (3 (x) (x + 2)) / (x + 2)`

Отмена дает:

`2x (x + 2) — (x + 2) = 3x`

Раскрываем скобки:

`2x ^ 2 + 4x-x-2 = 3x`

`2x ^ 2-2 = 0`

`x ^ 2-1 = 0`

Факторинг дает:

`(x + 1) (x-1) = 0`

Итак, `x = -1` или` x = 1`.

ПРОВЕРКА: Подстановка `x = -1` как в левую, так и в правую части вопроса дает:

«» LHS «= 2-1 / x = 2-1 / -1 = 3`

`» ПРАВЫЙ «= 3 / (x + 2) = 3 / (- 1 + 2) = 3 =» ЛЕВЫЙ «`

Аналогично, для `x = + 1`

LHS `= 2 — 1 = 1`

RHS `= 3/3 = 1 =` LHS

Упражнения

  1. Определите, являются ли следующие уравнения квадратными. Если так,
    определить a , b и
    г.

а.2− 12x + 2 = 0`

Итак, да, это квадратное уравнение с

`a = 9`,` b = -12`, `c = 2`

  1. Решить для x :

2 x 2 -7 x + 6 = 3

Ответ

2 x 2 -7 9 1074 x + 6 = 3

2 x 2 -7 x + 3 = 0

(2 x — 1) ( x — 3) = 0

Так

`x = 1 / 2` или` x = 3`.2 = 49/16 — 24/16 = 25/16`

`u = + -5 / 4`

Шаг 5: Подставьте любое значение (мы будем использовать `+ 5 / 4`) в выражения скобок` u`, получив те же корни квадратного уравнения, которые мы нашли выше:

`x = 7 / 4-5 / 4 = 1/2,` или `x = 7/4 + 5/4 = 3`

Solver: Калькулятор квадратного уравнения

Чтобы найти корни (нули) функции второй степени, начните с преобразования этой функции в каноническую форму (максимально упрощая) и приравняв ее к нулю.2 + bx + c = 0`. В то время как в неполном `b` или` c` отсутствует или оба. Затем введите коэффициенты членов уравнения в соответствующие поля калькулятора. Таким образом, вы можете не только узнать нули, но и шаг за шагом просмотреть разрешение. Если это полное уравнение, используется общая формула полных уравнений второй степени. Если он неполный, первым шагом в решении этого типа уравнений является построение общего множителя, поскольку в обоих членах повторяется «x».Наконец, у нас есть два фактора, результат которых равен нулю, поэтому один из двух должен быть 0.

×

ПРИМЕЧАНИЕ

Если вы хотите выполнить вычисления, в которых коэффициент является дробью, вы должны ввести число в десятичной форме. Например, вместо «1/4» вы должны ввести «0,25».

Решите (полное) квадратное уравнение

Пошаговое разрешение (полного) квадратного уравнения

Решите неполное уравнение второй степени (независимый член отсутствует)

Пошаговое разрешение (неполного) квадратного уравнения

Решите неполное уравнение второй степени (член первой степени отсутствует)

Пошаговое разрешение (неполного) квадратного уравнения

Любое квадратное уравнение может иметь: 2 решения , если дискриминант (число внутри корня) больше нуля; одно решение , если дискриминант равен нулю; нет решения , если дискриминант отрицательный.Если мы работаем во вселенной комплексных чисел, то уравнение второй степени всегда имеет хотя бы одно решение.

Как пошагово решать уравнения второй степени. Решенные упражнения.

Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам узнать , как решить все уравнения второй степени , как полные, так и неполные. Уравнения второй степени также известны как квадратные уравнения.

Полные уравнения второй степени

В общем, уравнений второй степени — это те уравнения, в которых x в одном из членов увеличивается до 2.

Они могут быть полными или неполными уравнениями второй степени, в зависимости от того, имеют ли все они свои члены или нет. Здесь я собираюсь сосредоточиться на объяснении полного уравнения второй степени.

Что такое полные уравнения второй степени

полных уравнений второй степени или квадратных уравнений представлены следующим образом:

Где a, b и c — константы уравнения:

  • — это число, которое всегда стоит перед x в квадрате
  • b — это число, которое всегда идет перед x
  • c — это номер без неизвестного

То есть, полные уравнения второй степени — это те, у которых конечная точка x повышена до 2, член с x повышен до 1 (или просто x).Если какой-либо из этих членов отсутствует, мы будем говорить о неполных уравнениях второй степени, которые решаются с помощью другой процедуры.

Как уравнения второй степени, они имеют 2 решения. Помните, что степень уравнения равна количеству решений.

Как решить полные уравнения второй степени

Определение констант в уравнении второй степени

Первым шагом в решении полных уравнений второй степени является правильное определение констант.Как мы уже говорили, константы — это числа, стоящие перед x в квадрате, x и членом, не передающим x.

Рассмотрим пример:

В этом случае перед x в квадрате ничего нет, поэтому a = 1.

Перед x стоит 5, поэтому b = 5.

И член, который не несет x, равен 4, поэтому c = 4.

Помните, что когда перед неизвестными ничего нет, это потому, что они умножены на 1, или, другими словами, это означает, что впереди стоит 1.

Давайте посмотрим на другой пример:

Теперь, если мы заметили, уравнение немного отличается, но это является причиной многих ошибок, если мы не будем осторожны. Посмотрим, почему:

В общем виде знаков не меньше:

Следовательно, мы должны преобразовать наше уравнение так, чтобы оно было таким же, как общая форма полных уравнений второй степени:

Теперь у нас это так же, где знак минус не появляется, а затем получается a, b и c, как в первом случае:

Когда у нас будет больше практики, мы будем определять константы напрямую, без необходимости преобразовывать наше уравнение, но для начала это очень хороший способ избежать ошибок.

Общая формула полных уравнений второй степени

После определения констант необходимо применить следующую формулу для решения полных уравнений второй степени:

Давайте посмотрим, как он используется, решив предыдущие примеры.

У нас есть первое уравнение второй степени, в котором мы определили константы:

Теперь нам нужно заменить значение каждой записи в общей формуле:

А теперь работаем внутри корня с учетом иерархии операций:

На этом этапе мы должны разрешить знак + с одной стороны и знак — с другой:

Тогда два решения будут -1 и -4.Если бы у нас был случай, когда дроби были неточными, их пришлось бы упростить.

Будьте осторожны со знаками меньше констант.

Есть частные случаи, когда результат корня отрицательный, или его решения неточны, или результат корня неточен.

Решение уравнений второй степени

Уравнения второй степени с корневыми решениями

Решения уравнения второй степени не обязательно должны быть двумя разными целыми числами.В некоторых случаях они могут иметь двойное или два сложных решения.

Часто, когда решения не являются полными, вы начинаете сомневаться, правильное ли ваше решение или нет.

А теперь давайте посмотрим, какими могут быть решения уравнения второй степени.

Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в руте нет полного решения. Как правило, его оставляют в виде корня, чтобы не приходилось работать с десятичными знаками, хотя, если мы решаем проблему и требуется точный результат, у нас не будет другого выбора, кроме как решить квадратный корень с калькулятором.

Например, у нас есть следующее уравнение второй степени:

Не обязательно оставлять его в корневой форме, но удобнее оставлять так, поэтому вам не нужно перетаскивать десятичные дроби. Результат может быть дан с десятичными знаками и будет таким же правильным. Это то же самое, что и с дробями, когда результат неточный, он остается в виде дроби.

Когда мы решаем уравнение второй степени и результат корня или дискриминанта равен 0, говорят, что у нас есть двойное решение, так как одно и то же решение будет повторяться дважды.Посмотрим, как действовать в этом случае:

Поскольку мы априори не знаем, какими будут решения, мы решаем уравнение, как любое другое:

Когда мы добираемся до этой части разрешения, мы видим, что корневой результат равен 0.

Серьезная ошибка — оставить только 1 решение. Никогда не делайте этого, потому что вы будете напрямую отстранены. В этих случаях вы работаете с 0:

.

Он разрешается в соответствии с обычной процедурой, хотя кажется очевидным добавить и вычесть 0, но это хороший способ найти 2 решения.

Другой способ указать решения — это довести общую формулу до конца, прийти к решению, но указать в письменной форме, что это двоякое решение.

Уравнения второй степени с комплексными решениями

Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в общей формуле дискриминант или корневой результат отрицательный.

Если вы еще не изучили комплексные числа, когда вы получите отрицательный корень, вы должны поставить следующее:

Реального решения нет

Это предложение эквивалентно утверждению, что в наборе действительных чисел нет решения (решение находится в наборе комплексных чисел).

Давайте посмотрим на это на примере:

Другими словами, как только мы видим корень с отрицательным содержанием, мы прямо указываем, что настоящего решения нет, и все. Важно не забыть настоящее слово, потому что, если вы просто укажете «нет решения», оно будет неверным, потому что в нем есть решение, но не в наборе действительных чисел.

С другой стороны, если вы уже изучили комплексные числа, вы должны разработать уравнение, пока не найдете комплексные решения.То есть необходимо заменить корень -1 на число i:

Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам научиться решать неполные уравнения второй степени.

Что такое неполные уравнения второй степени

Давайте вспомним общую форму полного уравнения второй степени:

Неполные уравнения второй степени — это те уравнения, в которых отсутствуют константы b или c или даже оба, т.е. е. равно 0.У нас трое парней:

Когда b = 0:

Когда c = 0:

Когда b = 0 и c = 0:

Давайте посмотрим, как решается каждый из них.

Как решить неполные уравнения второй степени

Бесконечные неполные уравнения второй степени с x (b = 0)

Мы сталкиваемся с уравнением этого типа, когда в уравнении второй степени отсутствует член с x или, другими словами, когда b = 0:

Например:

Чтобы решить неполные уравнения второй степени этого типа, мы сначала очищаем x², как если бы это было уравнение первой степени:

Оказавшись здесь, мы должны переместить квадрат на другую сторону равенства в качестве корня, а затем получить положительное и отрицательное решение:

Чьи решения — 2 и -2.

Вот и все, вот так. Если в другом уравнении корень не дает точных значений, каждый результат остается как корень с соответствующим знаком перед ним.

Неполные уравнения второй степени без числа (c = 0)

Неполные уравнения второй степени без номера (или без независимого члена) — это те уравнения, в которых c = 0 в общем виде и, следовательно, имеют следующий вид:

Например:

Первым шагом в решении этого типа неполных уравнений является построение общего множителя, поскольку x повторяется в обоих членах.

Теперь мы должны рассмотреть следующее:

Cuando una multiplicación de dos factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los 2 factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0.

Например:

2.0 = 0 (это ясно)

х. 0 = 0 (x может быть любым значением, но при умножении на 0 результат равен 0)

а. b = 0 (результат здесь 0, поэтому либо a = 0, либо b = 0, но мы не знаем, какой из них)

Продолжаем наше уравнение.У нас есть случай, похожий на. b = 0: у нас есть два множителя (x и (x-3), результат которых равен 0, поэтому один из двух должен быть равен 0, но мы не знаем, какой из них.

Следовательно, у нас есть два пути: x = 0 или x-3 = 0. В первом случае мы получаем непосредственно первое решение, а во втором случае нам нужно сделать еще один шаг, а именно очистить x:

.

Решения: x = 0 и x = 33

Вы должны быть очень осторожны с отрицательными знаками при поиске точек соприкосновения.

Неполные уравнения второй степени только с x² (b = 0 и c = 0)

Это самый простой тип из всех, что почти решается напрямую.Неполные уравнения второй степени этого типа — это те, в которых есть только член x², или, другими словами, когда b = 0 и c = 0:

Давайте посмотрим на пример:

Как и в случае неполных уравнений второй степени с c = 0, мы должны очистить x²:

Но особенность этого случая в том, что мы всегда будем достигать x² = 0. Итак, когда мы перемещаем квадрат на другую сторону как корень, мы получаем, что результат равен 0, но это двойное решение:

▷ КВАДРАТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ | Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0 , где a отлично от нуля.В зависимости от значений, которые имеют b и c , мы будем говорить о полных или неполных уравнениях.

Полное квадратное уравнение

Полные квадратные уравнения являются конкретными, в которых b и c отличны от нуля, и решается по следующей формуле:

Пример полного квадратного уравнения:

Дискриминантное уравнение

Дискриминант уравнения используется для определения количества решений уравнения.

Неполное квадратное уравнение

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором b = 0 или c = 0 , и его можно решить очень просто, без необходимости применения каких-либо формул.

Квадратичный фактор

Квадратичные коэффициенты — это квадратики, у которых есть факторные произведения в форме паралича, при котором появляется неизвестная переменная. Для ее решения устраняются факторы, и она решается по формуле полных уравнений.

Пример квадратичного разложения:

Помните : для решения квадратных уравнений, то есть «произведения нескольких множителей, равных нулю», мы приравниваем каждый множитель к нулю и решаем соответствующие уравнения.

Радикальные уравнения

Радикальные уравнения — это уравнения, содержащие корни. например:

Как решить уравнения радикалов:

  1. Мы изолируем радикал в одном элементе, передавая другой в другой:

  2. Возводим два элемента в квадрат:

  3. Мы передаем все элементу и заказываем его:

  4. Решаем полученное уравнение: ( a = –3, b = 8, c = 3 )

  5. В этом типе радикального уравнения при возведении в квадрат (2-й шаг ) могут появиться ложные решения.Следовательно, необходимо проверить решения, полученные путем их подстановки в исходное уравнение. В этом случае x = –1 / 3 не является решением, а x = 3 является. Уравнение имеет решение: x = 3

Упражнения с квадратными уравнениями

1. Рассчитайте значения неизвестных и индикаторов от наименьшего к наибольшему:

Информация

Вы уже проходили викторину раньше.Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Ваше время:

Истекло время

Вы набрали 0 из 0 баллов, (0)

Средний балл
Ваша оценка

2.Рассчитайте и укажите минимально возможные решения:

Информация

Вы уже проходили викторину раньше. Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Ваше время:

Истекло время

Вы набрали 0 из 0 баллов, (0)

Средний балл
Ваша оценка

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.