Разложить на простые множители примеры: Разложение чисел на простые множители: способы и примеры разложения

Содержание

Разложение чисел на простые множители: способы и примеры разложения

Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.

Что значит разложить число на простые множители?

Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2·7·7·23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2,7,7,23.

Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30, тогда получим 2,3,5. Запись примет вид 30=2·3·5. Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144=2·2·2·2·3·3.

Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

При z, относящемуся к целым числам, представляется  в виде произведения а и b, где z делится на а и на b. Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1, то его разложение на множители p1, p2, …, pnпринимает вид a=p1, p2, …, pn. Разложение предполагается в единственном варианте.

Каноническое разложение числа на простые множители

При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p1, который встречается s1 раз и так далее pn – sn раз. Таким образом разложение примет вид a=p1s1·a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.

При разложении числа 609840 получим, что 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11,его канонический вид будет 609 840=24·32·5·7·112. При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p1, p2, …,pnчисел a, a1, a2, …, an-1, это дает возможность получить a=p1·a1, где a1=a:p1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1:p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1:pn. При получении an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn  получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p1≤p2≤p3≤…≤pn.

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z. При взятии простых чисел 2,3,5,11 и так далее, причем на них делим число z. Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z.  Видно, что не существуют делителей z, тогда понятно, что z является простым числом.

Пример 1

Рассмотрим на примере числа 87.  При его делении на 2 имеем, что 87:2=43  с остатком равным 1. Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87:3=29. Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a.  При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000.

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

  • нахождение наименьшего множителя при делителе p1 числа a по формуле a1=a:p1, когда a1=1, тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1, тогда a=p1·a1и следуем к пункту, находящемуся ниже;
  • нахождение простого делителя p2 числа a1при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a2=a1:p2, когда a2=1, тогда разложение примет вид a=p1·p2, когда a2=1, тогда a=p1·p2·a2, причем производим переход к следующему шагу;
  • перебор простых чисел и нахождение простого делителя p3 числа a2по формуле a3=a2:p3, когда a3=1, тогда получим, что a=p1·p2·p3, когда не равняется 1, тогда a=p1·p2·p3·a3и производим переход к следующему шагу;
  • производится нахождение простого делителя pn числа an-1при помощи перебора простых чисел с pn-1, а также an=an-1:pn, где an=1, шаг является завершающим, в итоге получаем, что a=p1·p2·…·pn.

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 2

Произвести разложение числа 78 на простые множители.

Решение

Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78. То есть 78:2=39. Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p1. Получаем, что a1=a:p1=78:2=39. Пришли к равенству вида a=p1·a1, где 78=2·39. Тогда a1=39, то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p2 числа a1=39. Следует перебрать простые числа, то есть 39:2=19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 39:3=13. Значит, что p2=3 является наименьшим простым делителем 39 по a2=a1:p2=39:3=13. Получим равенство вида a=p1·p2·a2 в виде 78=2·3·13. Имеем, что a2=13 не равно 1, тогда следует переходит дальше.

Наименьший простой делитель числа a2=13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3. Получим, что 13:3=4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5,7,11, потому как 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a3=a2:p3=13:13=1. Получили, что a3=1, что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78=2·3·13(a=p1·p2·p3).

Ответ: 78=2·3·13.

Пример 3

Разложить число 83 006 на простые множители.

Решение

Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p1=2 и a1=a:p1=83 006:2=41 503, где 83 006=2·41 503.

Второй шаг предполагает, что 2, 3 и 5 не простые делители для числа a1=41 503, а 7 простой делитель, потому как 41 503:7=5 929. Получаем, что p2=7, a2=a1:p2=41 503:7=5 929. Очевидно, что 83 006=2·7·5 929.

Нахождение наименьшего простого делителя p4 к числу a3=847 равняется 7. Видно, что a4=a3:p4=847:7=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121.

Для нахождения простого делителя числа a4=121 используем число 11, то есть p5=11. Тогда получим выражение вида a5=a4:p5=121:11=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11.

Для числа a5=11 число p6=11является наименьшим простым делителем. Отсюда a6=a5:p6=11:11=1. Тогда a6=1. Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006=2·7·7·7·11·11.

Каноническая запись ответа примет вид 83 006=2·73·112.

Ответ: 83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112.

Пример 4

Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.

Решение

Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2. Конец перебора приходится на число 937. Тогда p1=937, a1=a:p1=897 924 289:937=958 297 и 897 924 289=937·958 297.

Второй шаг алгоритма заключается в переборе  меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937.  Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a1=958 297. Отсюда получаем, что p2=967, то a2=a1:p1=958 297:967=991 и 897 924 289=937·967·991.

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991. Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991<402. Иначе запишем как 991<402. Отсюда видно, что p3=991 и a3=a2:p3=991:991=1. Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как  897 924 289=937·967·991.

Ответ: 897 924 289=937·967·991.

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах.

Пример 5

Если необходимо произвести разложение на множители 10, то по таблице видно: 2·5=10. Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10.

Пример 6

Если необходимо произвести разложение числа 48, то  по таблице видно: 48=6·8. Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6=2·3 и 8=2·4. Тогда полное разложение отсюда получается как 48=6·8=2·3·2·4. Каноническая запись примет вид 48=24·3.

Пример 7

При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100. Отсюда получаем, что 3 400=34·100, где 100 можно разделить на 10, то есть записать в виде 100=10·10, а значит, что 3 400=34·10·10. Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5. Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид 3 400=23·52·17.

Когда мы находим простые множители, необходимо использовать признаки делимости и таблицу умножения. Если представить число 75 в виде произведения множителей, то необходимо учитывать правило делимости на 5. Получим, что 75=5·15, причем 15=3·5. То есть искомое разложение пример вид произведения 75=5·3·5.

Разложение на простые множители. Онлайн калькулятор

Простой множитель — это множитель, который представляет собой простое число.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа  4,  6  и  8:

4 = 2 · 2,

6 = 2 · 3,

8 = 2 · 2 · 2.

Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.

Разложение на простые множители — это представление составного числа в виде произведения простых множителей.

Разложить составное число на простые множители — значит представить это число в виде произведения простых множителей.

Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно — в виде степени.

Пример.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.

Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Последовательность действий при разложении числа на простые множители:

  1. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли данное число простым.
  2. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка, и выполняем деление.
  3. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом.
  4. Если нет, то последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое полученное частное делится нацело, и выполняем деление.
  5. Повторяем пункты 3 и 4 до тех пор, пока в частном не получится единица.

Пример. Разложите число  102  на простые множители.

Решение:

Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа  102.  Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое  102  разделится без остатка. Берём число  2  и пробуем разделить на него  102,  получаем:

102 : 2 = 51.

Число  102  разделилось на  2  без остатка, поэтому  2  — первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:

102 = 2 · 51.

Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число  51  составное. Начиная с числа  2,  подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа  51.  Число  51  не делится нацело на  2.  Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу  3)  и пробуем разделить на него  51,  получаем:

51 : 3 = 17.

Число  51  разделилось на  3,  поэтому  3  — второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число  51  представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:

102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17.

Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число  17  простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится  17,  будет само это число:

17 : 17 = 1.

Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа  102  на простые множители имеет вид:

102 = 2 · 3 · 17.

Ответ:  102 = 2 · 3 · 17.

В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел. Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённые вертикальной чертой). Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты — соответствующие наименьшие простые делители.

Пример. Разложить на простые множители число  120.

Решение:

Пишем число  120  и справа от него проводим вертикальную черту:

Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа  120:

Выполняем деление и получившееся частное  (60)  записываем под данным числом:

Подбираем наименьший простой делитель для  60,  записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:

В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:

120 = 23 · 3 · 5.

Ответ:  120 = 23 · 3 · 5.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Это значит, что если, например, число  20  разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.

Калькулятор разложения на множители

Данный калькулятор поможет вам выполнить разложение числа на простые множители. Просто введите число и нажмите кнопку Разложить.

Разложение составных чисел на простые множители

Составное число всегда можно единственным способом представить как произведение нескольких простых чисел. При арифметических действиях с обыкновенными дробями, если у них разные знаменатели в одном числовом выражении, необходимо привести дроби к сопоставимому виду.

Чтобы произвести такие действия (преобразовать дроби в равновеликие с одинаковыми знаменателями), нужно иметь систему (правило и форму записи) разложения составных чисел на простые множители.

Определение. Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.

  • Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо:
  • — записать его слева от вертикальной черты;
  • — справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка;
  • — в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
  • — справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
  • — слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
  • — для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
  • — делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.

Перемножив между собой множители, стоящие справа от черты, мы получаем исходное число.

12 376 = 2 * 2 * 2 * 7 * 13 * 17;
1 421 = 7 * 7 * 29;
8 = 2 * 2 * 2.

Внимание! Делители справа у составных чисел увеличиваются слева направо. При разложении на множители простых чисел справа от черты стоит одно число (один делитель) — заданное число, а слева от черты стоят заданное число и число 1.

Запись опубликована в рубрике Математика с метками множитель, разложение, числа. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Разложение чисел на простые множители


Онлайн-калькулятор «Разложение числа на простые множители» позволит вам разложить любое составное число на простые множители. Для этого вам нужно ввести число в поле и нажать кнопку «Вычислить». Особенностью данного калькулятора является то, что он не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение. С помощью нашего калькулятора Вы сможете быстро получить результат, а подробное решение поможет вам разобраться, как был произведен расчет.





Введите число:


Вычислить




Все натуральные числа можно разделить на две группы чисел: простые и составные.



Простое число – это число, которые имеют только два делителя (единица и само это число), т.е. делится без остатка только на единицу и на само себя. Принято считать, что единица (1) не является простым числом. Пример простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. Простых чисел бесконечное множество, ниже в таблице представлены простые числа до 1000.



Составное число – это число, которые имеют более двух делителей. Любое составное число может быть представлено в виде произведенения простых чисел, например: 84 = 2 · 2 ·3 ·7.



Таблица простых чисел до 1000

2 3 5 7 11 13
17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181
191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251
257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317
331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397
401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557
563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619
631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701
709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787
797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953
967 971 977 983 991 997

Разложение на простые множители

Любое число, которое является составным, можно показать в виде произведения отдельных множителей.

150 = 2 × 3 × 5 × 5

225 = 3 × 3 × 5 × 5

1470 = 2 × 3 × 5 × 7 × 7

Небольшие числа можно легко разложить, используя таблицу умножения. Для больших же чисел, следует воспользоваться таблицей простых чисел.

В качестве примера разложим число 1463 на простые множители с помощью таблицы простых чисел:










2 23 61 103 151
3 29 67 107 157
4 31 71 109 163
5 37 73 113 167
7 41 79 127 173
11 43 83 131 179
13 47 89 137 181
17 53 97 139 191
19 59 101 149 193

Просматриваем простые числа данной таблицы и выбираем то число, которым можно разделить исходное число, например 7.

Число 1463 делим на 7, в результате получаем 209.

Далее повторяем процесс поиска простых чисел для 209 по признакам делимости, и выбираем число 11, которое представляет собой его делитель.

Делим число 209 на 11 и в результате получаем число 19, в свою очередь, являющееся простым числом, в соответствии таблицей простых чисел.

Таким образом, делителями для числа 1463 будут числа 7, 11 и 19.

1463 = 7 × 11 × 19

Описанную последовательность можно записать следующим образом:





Делимое Делитель
1463 7
209 11
19 19

Что разложение на простые множители. Простые и составные числа

Что значит разложить на множители? Это значит найти числа, произведение которых равно исходному числу.

Чтобы понять, что значит разложить на множители, рассмотрим пример.

Пример разложения числа на множители

Разложить на множители число 8.

Число 8 можно представить в виде произведения 2 на 4:

Представление 8 в виде произведения 2 * 4 и значит разложение на множители.

Обратите внимание, что это не единственное разложение 8 на множители.

Ведь 4 разлагается на множители так:

Отсюда 8 можно представить:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Проверяем наш ответ. Найдем, чему равно разложение на множители:

То есть получили исходное число, ответ верный.

Разложите на простые множители число 24

Как разложить на простые множители число 24?

Простым называют число, если оно нацело делится только на единицу и на себя.

Число 8 можно представить в виде произведения 3 на 8:

Здесь число 24 разложено на множители. Но в задании сказано «разложить на простые множители число 24», т.е. нужны именно простые множители. А в нашем разложении 3 является простым множителем, а 8 не является простым множителем.

Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

Определения:

Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

Разложить натуральное число на множители — значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

Разложить натуральное число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел.

Замечания:

  • В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой — самому этому числу.
  • Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
  • Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

Разложим число 150 на множители. Например, 150 — это 15 умножить на 10.

15 — это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3.

10 — это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150.

Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 — это произведение чисел 5 и 30.

5 — число простое.

30 — это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3.

10 — число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.

Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей.

Принято записывать множители в порядке возрастания.

Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей.

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

Наименьшее простое число, на которое делится 216 — это 2.

Разделим 216 на 2. Получим 108.

Полученное число 108 делится на 2.

Выполним деление. Получим в результате 54.

Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2.

Выполнив деление, получим 27.

Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно

Не делится на 2. Следующее простое число — это 3.

Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое

Число, на которое делится 9, — это 3. Три — само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

  • Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
  • Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.

11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550.

В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11.

11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка.

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.

Результат деления a на b — это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел.

Итак, ответ: 30.

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия. 2006.
  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — М.: Просвещение, 1989.
  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. — М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. — М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
  1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
  2. Интернет-портал Math-portal.ru ().

Домашнее задание

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
  2. Другие задания: № 133, № 144.

Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что значит разложить число на простые множители?

Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2 · 7 · 7 · 23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2 , 7 , 7 , 23 .

Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30 , тогда получим 2 , 3 , 5 . Запись примет вид 30 = 2 · 3 · 5 . Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 .

Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

При z , относящемуся к целым числам, представляется в виде произведения а и b , где z делится на а и на b . Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1 , то его разложение на множители p 1 , p 2 , … , p n
принимает вид a = p 1 , p 2 , … , p n .
Разложение предполагается в единственном варианте.

Каноническое разложение числа на простые множители

При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p 1 , который встречается s 1 раз и так далее p n – s n раз. Таким образом разложение примет вид a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n
. Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.

При разложении числа 609840 получим, что 609 840 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 11 ,его канонический вид будет 609 840 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 2 . При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p 1 , p 2 , … , p n
чисел a , a 1 , a 2 , … , a n — 1
, это дает возможность получить a = p 1 · a 1
, где a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , где a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , где a n = a n — 1: p n
. При получении a n = 1
, то равенство a = p 1 · p 2 · … · p n
получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n
.

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z . При взятии простых чисел 2 , 3 , 5 , 11 и так далее, причем на них делим число z . Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z . Видно, что не существуют делителей z , тогда понятно, что z является простым числом.

Пример 1

Рассмотрим на примере числа 87 . При его делении на 2 имеем, что 87: 2 = 43 с остатком равным 1 . Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87: 3 = 29 . Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a . При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000 .

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

  • нахождение наименьшего множителя при делителе p 1 числа a
    по формуле a 1 = a: p 1 , когда a 1 = 1 , тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1 , тогда a = p 1 · a 1
    и следуем к пункту, находящемуся ниже;
  • нахождение простого делителя p 2 числа a 1
    при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a 2 = a 1: p 2 ,
    когда a 2 = 1 ,
    тогда разложение примет вид a = p 1 · p 2 ,
    когда a 2 = 1 , тогда a = p 1 · p 2 · a 2 ,
    причем производим переход к следующему шагу;
  • перебор простых чисел и нахождение простого делителя p 3
    числа a 2
    по формуле a 3 = a 2: p 3 , когда a 3 = 1 ,
    тогда получим, что a = p 1 · p 2 · p 3 ,
    когда не равняется 1 , тогда a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3
    и производим переход к следующему шагу;
  • производится нахождение простого делителя p n
    числа a n — 1
    при помощи перебора простых чисел с p n — 1
    , а также a n = a n — 1: p n
    , где a n = 1 , шаг является завершающим, в итоге получаем, что a = p 1 · p 2 · … · p n .

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Пример 2

Произвести разложение числа 78 на простые множители.

Решение

Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78 . То есть 78: 2 = 39 . Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p 1 . Получаем, что a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 . Пришли к равенству вида a = p 1 · a 1 ,
где 78 = 2 · 39 . Тогда a 1 = 39 , то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p 2
числа a 1 = 39
. Следует перебрать простые числа, то есть 39: 2 = 19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 39: 3 = 13 . Значит, что p 2 = 3 является наименьшим простым делителем 39 по a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Получим равенство вида a = p 1 · p 2 · a 2
в виде 78 = 2 · 3 · 13 . Имеем, что a 2 = 13 не равно 1 , тогда следует переходит дальше.

Наименьший простой делитель числа a 2 = 13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3 . Получим, что 13: 3 = 4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5 , 7 , 11 , потому как 13: 5 = 2 (ост. 3), 13: 7 = 1 (ост. 6) и 13: 11 = 1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1 . Получили, что a 3 = 1 , что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Ответ:
78 = 2 · 3 · 13 .

Пример 3

Разложить число 83 006 на простые множители.

Решение

Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p 1 = 2
и a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503
, где 83 006 = 2 · 41 503 .

Второй шаг предполагает, что 2 , 3 и 5 не простые делители для числа a 1 = 41 503 , а 7 простой делитель, потому как 41 503: 7 = 5 929 . Получаем, что p 2 = 7 , a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929 . Очевидно, что 83 006 = 2 · 7 · 5 929 .

Нахождение наименьшего простого делителя p 4 к числу a 3 = 847 равняется 7 . Видно, что a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121 , поэтому 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 121 .

Для нахождения простого делителя числа a 4 = 121 используем число 11 , то есть p 5 = 11 . Тогда получим выражение вида a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11
, и 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .

Для числа a 5 = 11
число p 6 = 11
является наименьшим простым делителем. Отсюда a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1 . Тогда a 6 = 1 . Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 .

Каноническая запись ответа примет вид 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 .

Ответ:
83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 = 2 · 7 3 · 11 2 .

Пример 4

Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.

Решение

Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2 . Конец перебора приходится на число 937 . Тогда p 1 = 937 , a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 и 897 924 289 = 937 · 958 297 .

Второй шаг алгоритма заключается в переборе меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937 . Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a 1 = 958 297 . Отсюда получаем, что p 2 = 967 , то a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 и 897 924 289 = 937 · 967 · 991 .

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991 . Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991 991 . Отсюда видно, что p 3 = 991 и a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1 . Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как 897 924 289 = 937 · 967 · 991 .

Ответ:
897 924 289 = 937 · 967 · 991 .

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах.

Пример 5

Если необходимо произвести разложение на множители 10 , то по таблице видно: 2 · 5 = 10 . Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10 .

Пример 6

Если необходимо произвести разложение числа 48 , то по таблице видно: 48 = 6 · 8 . Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6 = 2 · 3 и 8 = 2 · 4 . Тогда полное разложение отсюда получается как 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Каноническая запись примет вид 48 = 2 4 · 3 .

Пример 7

При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100 . Отсюда получаем, что 3 400 = 34 · 100 , где 100 можно разделить на 10 , то есть записать в виде 100 = 10 · 10 , а значит, что 3 400 = 34 · 10 · 10 . Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400 = 34 · 10 · 10 = 2 · 17 · 2 · 5 · 2 · 5 . Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид 3 400 = 2 3 · 5 2 · 17
.

Когда мы находим простые множители, необходимо использовать признаки делимости и таблицу умножения. Если представить число 75 в виде произведения множителей, то необходимо учитывать правило делимости на 5 . Получим, что 75 = 5 · 15 , причем 15 = 3 · 5 . То есть искомое разложение пример вид произведения 75 = 5 · 3 · 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители
. Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Навигация по странице.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово «множители», то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом . Например, в произведении вида 2·7·7·23
присутствуют четыре простых множителя: 2
, 7
, 7
и 23
.

А что же значит разложить число на простые множители?

Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2
, 3
и 5
, оно равно 30
, таким образом, разложение числа 30
на простые множители имеет вид 2·3·5
. Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5
. Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3
. А вот представление вида 45=3·15
не является разложением на простые множители, так как число 15
– составное.

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди , больших единицы. Учитывая этот факт и , можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1
.

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z
можно было бы представить в виде произведения простых чисел a
и b
, то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z
делится и на a
и на b
, что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики . Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число a
, которое больше 1
, можно разложить на произведение простых множителей p 1 , p 2 , …, p n
, при этом разложение имеет вид a=p 1 ·p 2 ·…·p n
, причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей

Каноническое разложение числа на простые множители

В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя . Пусть в разложении числа a
простой множитель p 1
встречается s 1
раз, простой множитель p 2
– s 2
раз, и так далее, p n
– s n
раз. Тогда разложение на простые множители числа a
можно записать как a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n
. Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители
.

Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Пусть нам известно разложение 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11
, его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2 4 ·3 2 ·5·7·11 2
.

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа .

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа .

Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a
понятна из доказательства основной теоремы арифметики . Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p 1 , p 2 , …,p n
чисел a, a 1 , a 2 , …, a n-1
, что позволяет получить ряд равенств a=p 1 ·a 1
, где a 1 =a:p 1
, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2
, где a 2 =a 1:p 2
, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n
, где a n =a n-1:p n
. Когда получается a n =1
, то равенство a=p 1 ·p 2 ·…·p n
даст нам искомое разложение числа a
на простые множители. Здесь же следует заметить, что p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n
.

Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел . Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z
.

Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2
, 3
, 5
, 7
, 11
и так далее) и делим на них данное число z
. Первое простое число, на которое z
разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z
простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z
. Здесь же следует напомнить, что если z
не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где — из z
. Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z
, то можно делать вывод о том, что z
– простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное).

Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87
. Берем число 2
. Делим 87
на 2
, получаем 87:2=43 (ост. 1)
(если необходимо, смотрите статью ). То есть, при делении 87
на 2
получается остаток 1
, поэтому 2
– не является делителем числа 87
. Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3
. Делим 87
на 3
, получаем 87:3=29
. Таким образом, 87
делится на 3
нацело, следовательно, число 3
является наименьшим простым делителем числа 87
.

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a
нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95
нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10
(так как 10
больше, чем ). А для разложения числа 846 653
уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000
(так как 1 000
больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители
. Алгоритм разложения числа a таков:

  • Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p 1
    числа a
    , после чего вычисляем a 1 =a:p 1
    . Если a 1 =1
    , то число a
    – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a 1
    на равно 1
    , то имеем a=p 1 ·a 1
    и переходим к следующему шагу.
  • Находим наименьший простой делитель p 2
    числа a 1
    , для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p 1
    , после чего вычисляем a 2 =a 1:p 2
    . Если a 2 =1
    , то искомое разложение числа a
    на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2
    . Если же a 2
    на равно 1
    , то имеем a=p 1 ·p 2 ·a 2
    и переходим к следующему шагу.
  • Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2
    , находим наименьший простой делитель p 3
    числа a 2
    , после чего вычисляем a 3 =a 2:p 3
    . Если a 3 =1
    , то искомое разложение числа a
    на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 ·p 3
    . Если же a 3
    на равно 1
    , то имеем a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3
    и переходим к следующему шагу.
  • Находим наименьший простой делитель p n
    числа a n-1
    , перебирая простые числа, начиная с p n-1
    , а также a n =a n-1:p n
    , причем a n
    получается равно 1
    . Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a
    на простые множители: a=p 1 ·p 2 ·…·p n
    .

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a 1 , a 2 , …, a n
, а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p 1 , p 2 , …, p n
.

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители
. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Пример.

Разложите число 78
на простые множители.

Решение.

Начинаем поиск первого наименьшего простого делителя p 1
числа a=78
. Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2
и делим на него 78
, получаем 78:2=39
. Число 78
разделилось на 2
без остатка, поэтому p 1 =2
– первый найденный простой делитель числа 78
. В этом случае a 1 =a:p 1 =78:2=39
. Так мы приходим к равенству a=p 1 ·a 1
имеющему вид 78=2·39
. Очевидно, что a 1 =39
отлично от 1
, поэтому переходим ко второму шагу алгоритма.

Теперь ищем наименьший простой делитель p 2
числа a 1 =39
. Начинаем перебор чисел из таблицы простых чисел, начиная с p 1 =2
. Делим 39
на 2
, получаем 39:2=19 (ост. 1)
. Так как 39
не делится нацело на 2
, то 2
не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел (число 3
) и делим на него 39
, получаем 39:3=13
. Следовательно, p 2 =3
– наименьший простой делитель числа 39
, при этом a 2 =a 1:p 2 =39:3=13
. Имеем равенство a=p 1 ·p 2 ·a 2
в виде 78=2·3·13
. Так как a 2 =13
отлично от 1
, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Здесь нам нужно отыскать наименьший простой делитель числа a 2 =13
. В поисках наименьшего простого делителя p 3
числа 13
будем последовательно перебирать числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 =3
. Число 13
не делится на 3
, так как 13:3=4 (ост. 1)
, также 13
не делится на 5
, 7
и на 11
, так как 13:5=2 (ост. 3)
, 13:7=1 (ост. 6)
и 13:11=1 (ост. 2)
. Следующим простым числом является 13
, и на него 13
делится без остатка, следовательно, наименьший простой делитель p 3
числа 13
есть само число 13
, и a 3 =a 2:p 3 =13:13=1
. Так как a 3 =1
, то этот шаг алгоритма является последним, а искомое разложение числа 78
на простые множители имеет вид 78=2·3·13
(a=p 1 ·p 2 ·p 3
).

Ответ:

78=2·3·13
.

Пример.

Представьте число 83 006
в виде произведения простых множителей.

Решение.

На первом шаге алгоритма разложения числа на простые множители находим p 1 =2
и a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503
, откуда 83 006=2·41 503
.

На втором шаге выясняем, что 2
, 3
и 5
не являются простыми делителями числа a 1 =41 503
, а число 7
– является, так как 41 503:7=5 929
. Имеем p 2 =7
, a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929
. Таким образом, 83 006=2·7·5 929
.

Наименьшим простым делителем числа a 2 =5 929
является число 7
, так как 5 929:7=847
. Таким образом, p 3 =7
, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847
, откуда 83 006=2·7·7·847
.

Дальше находим, что наименьший простой делитель p 4
числа a 3 =847
равен 7
. Тогда a 4 =a 3:p 4 =847:7=121
, поэтому 83 006=2·7·7·7·121
.

Теперь находим наименьший простой делитель числа a 4 =121
, им является число p 5 =11
(так как 121
делится на 11
и не делится на 7
). Тогда a 5 =a 4:p 5 =121:11=11
, и 83 006=2·7·7·7·11·11
.

Наконец, наименьший простой делитель числа a 5 =11
– это число p 6 =11
. Тогда a 6 =a 5:p 6 =11:11=1
. Так как a 6 =1
, то этот шаг алгоритма разложения числа на простые множители является последним, и искомое разложение имеет вид 83 006=2·7·7·7·11·11
.

Полученный результат можно записать как каноническое разложение числа на простые множители 83 006=2·7 3 ·11 2
.

Ответ:

83 006=2·7·7·7·11·11=2·7 3 ·11 2
991
– простое число. Действительно, оно не имеет ни одного простого делителя, не превосходящего ( можно грубо оценить как , так как очевидно, что 991

Ответ:

897 924 289=937·967·991
.

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

В простых случаях разложить число на простые множители можно без использования алгоритма разложения из первого пункта данной статьи. Если числа не большие, то для их разложения на простые множители часто достаточно знать и признаки делимости . Приведем примеры для пояснения.

Например, нам требуется разложить на простые множители число 10
. Из таблицы умножения мы знаем, что 2·5=10
, а числа 2
и 5
очевидно простые, поэтому разложение на простые множители числа 10
имеет вид 10=2·5
.

Еще пример. При помощи таблицы умножения разложим на простые множители число 48
. Мы знаем, что шестью восемь – сорок восемь, то есть, 48=6·8
. Однако, ни 6
, ни 8
не являются простыми числами. Но мы знаем, что дважды три – шесть, и дважды четыре – восемь, то есть, 6=2·3
и 8=2·4
. Тогда 48=6·8=2·3·2·4
. Осталось вспомнить, что дважды два – четыре, тогда получим искомое разложение на простые множители 48=2·3·2·2·2
. Запишем это разложение в канонической форме: 48=2 4 ·3
.

А вот при разложении на простые множители числа 3 400
можно воспользоваться признаками делимости. Признаки делимости на 10, 100 позволяют утверждать, что 3 400
делится на 100
, при этом 3 400=34·100
, а 100
делится на 10
, при этом 100=10·10
, следовательно, 3 400=34·10·10
. А на основании признака делимости на 2 можно утверждать, что каждый из множителей 34
, 10
и 10
делится на 2
, получаем 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5
. Все множители в полученном разложении являются простыми, поэтому это разложение является искомым. Осталось лишь переставить множители, чтобы они шли в порядке возрастания: 3 400=2·2·2·5·5·17
. Запишем также каноническое разложение данного числа на простые множители: 3 400=2 3 ·5 2 ·17
.

При разложении данного числа на простые множители можно использовать по очереди и признаки делимости и таблицу умножения. Представим число 75
в виде произведения простых множителей. Признак делимости на 5
позволяет нам утверждать, что 75
делится на 5
, при этом получаем, что 75=5·15
. А из таблицы умножения мы знаем, что 15=3·5
, поэтому, 75=5·3·5
. Это и есть искомое разложение числа 75
на простые множители.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

(кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми
числами . Числа, имеющие другие делители, называются составными
(или сложными
) числами . Простых чисел — бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Умножение
— одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых.

Например
, запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5. Результат умножения называется произведением
, а умножаемые числа — множителями
или сомножителями
. Первый множитель иногда называется «множимое
».

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Разложение числа на множители (Факторизация).

Разложение на множители (факторизация)
— перебор делителей — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

Т.е., простым языком, факторизация — это название процесса разложения чисел на множители, выраженное научным языком.

Последовательность действий при разложении на простые множители:

1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.

2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).

3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом.

Разложение на простые множители 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Разложение на простые множители.

Составное число можно разложить на множители. Иногда эти множители – простые числа, например 6 = 2*3. А иногда множители – новые составные числа, которые в свою очередь можно разложить на множители. Рассмотрим несколько примеров:

125 = 5*25 = 5*5*5

315 = 3*105 = 3*3*35 = 3*3*5*7

112 = 2*56 = 2*2*28 = 2*2*2*14 = 2*2*2*2*7

Такое действие называется разложением на простые множители.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается такое же разложение, может различаться порядок записи множителей.

При разложении чисел на множители используют признаки делимости.

Последовательность действий при разложении на простые множители:

  1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.
  2. Если число не является простым, то нужно подбирать, применяя признаки деления, делитель из простых чисел, начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).
  3. Повторять данное действие нужно до тех пор, пока частное не окажется простым числом.

Пример 1. Разложим на простые множители число 27:

 

 

27 не является простым.

27 на 2 не делится.

27 делится на 3, получаем 27 : 3 = 9.

9 на 2 не делится.

9 делится на 3, получаем 9 : 3 = 3.

3простое число.

Результат: 27 = 3 * 3 * 3.

Пример 2. Разложим на простые множители число378:

 

 

378 не является простым.

378 делится на 2,так как оканчивается на четное число(8), получаем 378 : 2 = 189.

189 делится на 3, потому что сумма его цифр делится на 3, получаем, что число

189 : 3 = 63

число 63 также делится на 3, получаем 63 : 3 = 21.

21 также делится на 3, получаем 21 : 3 = 7.

7 простое число.

Результат: 378 = 2 * 3 * 3 * 3 * 7.

Пример 3. Разложим на простые множители число 2310:

 

 

2310 не является простым.

2310 делится на 2, так как оканчивается на число 0, получаем 2310 : 2 = 1155.

1155 делится на 3, потому что сумма его цифр делится на 3, получаем 1155 : 3 = 385.

385 делится на 5, получаем 385 : 5 = 77.

77 делится на 7, получаем 77 : 7 = 11.

11 простое число.

Результат: 2310 = 2 * 3 * 5 * 7 * 11.

с учетом наибольшего общего фактора

с учетом наибольшего общего фактора
Вот шаги, необходимые для вычета наибольшего общего множителя:

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных условий. Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов. Не путайте GCF с наименьшим общим знаменателем (LCD), который является наименьшим выражением, в которое входят все термины, а не наибольшим числом общих терминов.
Шаг 2 : Выносим (или делим) наибольший общий множитель из каждого члена. Вы можете проверить свой ответ на этом этапе, раздав GCF, чтобы увидеть, получите ли вы исходный вопрос. Выведение из расчета GCF — первый шаг во многих проблемах факторинга.

Пример 1 — Коэффициент: 16x 2 — 12x

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Пример 2 — Коэффициент: 12x 5 — 18x 3 — 3x 2

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Нажмите здесь, чтобы узнать о проблемах с практикой

Пример 3 — Коэффициент: 15x 3 y 2 + 10x 2 y 4

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Нажмите здесь, чтобы узнать о проблемах с практикой

Пример 4 — Коэффициент: 22x 5 y 7 — 14x 3 y 8 + 18x 6 y 4

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Нажмите здесь, чтобы узнать о проблемах с практикой

Пример 5 — Коэффициент: x 5 + 7x 4 y 3 — 8xy 4 + 14xy

Шаг 1 : Определите наибольший общий множитель данных членов.Наибольший общий фактор или GCF — это наибольший фактор, который есть у всех терминов.
Шаг 2 : Выньте (или разделите) наибольший общий множитель из каждого члена.

Нажмите здесь, чтобы узнать о проблемах с практикой

Факторинг по алгебре

Факторы

Числа имеют множители:

И выражения (например, x 2 + 4x + 3 ) также имеют множители:

Факторинг

Факторинг

(в Великобритании он называется « Факторинг ») — это процесс нахождения факторов :

Факторинг: поиск того, что нужно умножить, чтобы получить выражение.

Это похоже на «разбиение» выражения на умножение более простых выражений.

Пример: множитель 2y + 6

И 2y, и 6 имеют общий множитель 2:

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

2у + 6 = 2 (у + 3)

Итак, 2y + 6 был «разложен на» 2 и y + 3

Факторинг также противоположен расширению:

Общий коэффициент

В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий множитель 2

Но для правильного выполнения работы нам нужен наибольший общий множитель , включая любые переменные

Пример: коэффициент 3y

2 + 12y

Во-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.

Итак, мы могли бы иметь:

3 года 2 + 12 лет = 3 (год 2 + 4 года)

Но мы можем сделать лучше!

3y 2 и 12y также разделяют переменную y.

Вместе, что составляет 3 года:

  • 3y 2 равно 3y × y
  • 12y — 3y × 4

Итак, мы можем разложить все выражение на множители:

3y 2 + 12y = 3y (y + 4)

Чек: 3y (y + 4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y 2 + 12y

Более сложный факторинг

Факторинг может быть трудным!

Пока примеры были простыми, но факторизация может оказаться очень сложной.

Потому что мы должны изобразить то, что мы умножили на , чтобы получить данное нам выражение!

Это все равно, что пытаться найти, какие ингредиенты
пошли на торт, чтобы сделать его таким восхитительным.

Это может быть сложно понять!

Опыт помогает

Чем больше опыта, тем проще факторинг.

Пример: Фактор

4x 2 -9

Хммм … похоже, нет общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам ключ к разгадке под названием «разница квадратов» :

Потому что 4x 2 — это (2x) 2 , а 9 — это (3) 2 ,

Итак имеем:

4x 2 — 9 = (2x) 2 — (3) 2

А это можно получить по формуле разности квадратов:

(a + b) (a − b) = a 2 — b 2

Где a равно 2x, а b равно 3.

Итак, давайте попробуем это сделать:

(2x + 3) (2x − 3) = (2x) 2 — (3) 2 = 4x 2 — 9

Да!

Таким образом, множители 4x 2 -9 равны (2x + 3) и (2x − 3) :

Ответ: 4x 2 -9 = (2x + 3) (2x − 3)

Как можно этому научиться? Получив много практики и зная «Самобытность»!

Запомни эти личности

Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Об этом стоит помнить, поскольку они могут упростить факторинг.

а 2 — б 2 = (а + б) (а-б)
a 2 + 2ab + b 2 = (а + б) (а + б)
a 2 — 2ab + b 2 = (а-б) (а-б)
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2 )
а 3 — б 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2 )
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (а + б) 3
a 3 −3a 2 b + 3ab 2 −b 3 = (а − б) 3

Таких много, но самые полезные.

Совет

Факторная форма обычно лучше всего.

Пытаясь определить множитель, выполните следующие действия:

  • «Вынести за скобки» любые общие термины
  • Посмотрите, подходит ли он какой-либо из идентификационных данных, а также другим лицам, которые вы, возможно, знаете
  • Продолжайте, пока вы больше не сможете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо подходят для факторинга.

Другие примеры

Опыт действительно помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

4 -16

Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:

ширина 4 -16 = (ширина 2 ) 2 -4 2

Да, это разница квадратов

ширина 4 -16 = (ширина 2 + 4) (ширина 2 -4)

И «(w 2 — 4)» — еще одно отличие квадратов

ширина 4 -16 = (ширина 2 + 4) (ширина + 2) (ширина -2)

Это все, что я могу (если я не использую мнимые числа)

Пример: 3u

4 — 24uv 3

Удалить общий множитель «3u»:

3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — 8v 3 )

Тогда разница кубиков:

3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — (2v) 3 )

= 3u (u − 2v) (u 2 + 2uv + 4v 2 )

Это все, что я могу.

Пример: z

3 — z 2 — 9z + 9

Попробуйте разложить на множители первые два и два вторых по отдельности:

z 2 (z − 1) — 9 (z − 1)

Вау, (z-1) есть на обоих, так что давайте воспользуемся этим:

(z 2 −9) (z − 1)

А z 2 −9 — разность квадратов

(z − 3) (z + 3) (z − 1)

Это все, что я могу.

А теперь побольше опыта:

Простой факторинг | Purplemath

Purplemath

Факторинг полиномиальных выражений — это не совсем то же самое, что факторинг чисел, но концепция очень похожа.Когда мы факторизуем числа или разлагаем на множители многочлены, мы находим числа или многочлены, которые делятся равномерно из исходных чисел или из членов многочленов. Но в случае простого факторизации многочленов мы делим числа и переменные из различных членов полиномиальных выражений; мы не просто делим числа на числа.

Концептуально мы можем думать о простой полиномиальной факторизации как о противоположности (или «отмене») умножения вещей.

MathHelp.com

Ранее мы упрощали выражения, используя круглые скобки, например:

Простое разложение на множители в контексте полиномиальных выражений происходит в обратном направлении от распределения.То есть вместо того, чтобы умножать что-то через круглые скобки и упрощать, чтобы получить полиномиальное выражение, мы увидим, что мы можем вернуть и поставить перед набором круглых скобок, например, отменить умножение, которое мы только что сделали выше. :

Уловка простого полиномиального разложения на множители состоит в том, чтобы выяснить, что можно вычесть из каждого члена в выражении.

Предупреждение: не делайте ошибку, думая, что «разложение на множители» означает «разделение чего-то и заставляющее это волшебным образом исчезнуть».Помните, что «разложение на множители» означает «отделить каждый термин и поставить его перед круглыми скобками». Ничего не «исчезает», когда мы учитываем; вещи просто переставляются.


Первый член, 3 x , можно разложить на множители как (3) ( x ); второй член, 12, может быть разложен на множители как (3) (4). Единственный общий фактор для этих двух терминов (то есть единственное, что можно выделить из каждого из терминов и затем переместить вверх перед набором скобок) — это 3.

Я вынесу этот общий фактор на передний план. Сначала я напишу общий множитель, а затем нарисую открывающую скобку:

Когда я разделил 3 из 3 x , у меня осталось только x . Я помещу это x в качестве первого члена в круглые скобки:

Когда я разделил 3 из –12, я оставил –4 позади, поэтому я тоже заключу его в круглые скобки, за которыми следует закрывающая скобка:

Эта факторизованная форма — мой окончательный ответ:

Будьте осторожны, чтобы не уронить знаки «минус» при факторизации.


В некоторых книгах эта тема преподается с использованием концепции наибольшего общего фактора, или GCF. В этом случае вы должны методично найти GCF всех терминов в выражении, поместить его перед круглыми скобками, а затем разделить каждый член на GCF и поместить полученное выражение в круглые скобки. Результат будет таким же, как и то, что я сделал выше, и будет выглядеть так:

Я нахожу GCF:

 3x: 3 × x
 12: 2 × 2 × 3
------------
GCF: 3 

Я делю GCF на каждый из двух слагаемых:

3 x ÷ 3 = x

–12 ÷ 3 = –4

Затем я переписываю выражение в факторизованной форме, помещая GCF впереди, а значения после деления заключены в скобки:

Но описанный выше процесс обычно кажется мне очень трудоемким, поэтому я обычно сразу перехожу к факторингу.


Глядя на выражение, которое они мне дали, я вижу, что могу с пользой разложить на множители два члена как (7) ( x ) и (7) (- 1). В частности, это говорит мне о том, что я могу вынести 7 из каждого термина. Я вынесу это 7 за скобки и начну в скобках:

При делении 7 из 7 на x остается только x , которое я помещаю в начало скобок:

Что у меня остается, когда я делю 7 из второго члена? Я , а не , остался ни с чем! Фактически, деление –7 на 7 дает мне –1 (как я показал в своей факторизации выше).Это позволяет мне дополнить текст в скобках:


Обратите внимание: когда вы можете подумать, что «ничего» не осталось после факторинга, обычно бывает так, что какая-то «1» остается внутри скобок.


В выражении, которое они дали мне, нет числа, являющегося общим множителем этих двух терминов; то есть константы двух членов, 12 и 5, не имеют общих числовых факторов.Но это не значит, что я вообще ничего не могу разложить на множители. Я все еще могу вычесть общую переменную .

В этом случае я могу извлечь коэффициент y из каждого из двух членов, используя тот факт, что 12 y 2 можно переформулировать как (12 y ) ( y ) и — 5 y можно переформулировать как (–5) ( y ).

Помещая общий (переменный) множитель перед открытым пареном, у меня есть:

В первом члене исходного выражения после разделения одной копии на у меня осталось 12 на .Это идет в начале моей скобки:

(Это то, что осталось в скобках, потому что 12 y 2 означает 12 × y × y , поэтому если взять 12 и один из y вперед, останется второй y сзади.)

Глядя на второй член исходного выражения, после того, как я вычитаю на , у меня остается –5. На этом мой вывод в скобки заканчивается, и мой ответ:

12 y 2 -5 y = y (12 y -5)

Не забудьте знак «минус» посередине!


В этом выражении у меня нет числовых констант; каждый из терминов полностью состоит из переменных и их показателей.Но я все еще могу найти GCF, а затем фактор.

Глядя на два члена, я замечаю, что могу выделить x , а также y из каждого из двух терминов:

x 2 y 3 = xy ( xy 2 )

xy = xy (1).

Применяя эти факторизации ко всему исходному выражению, я получаю:

x 2 y 3 + xy

xy (

xy ( xy 2

xy ( xy 2 + 1)

Помните: когда после разложения на множители не остается «ничего», в скобках остается «1».


URL: https://www.purplemath.com/modules/simpfact.htm

Вычитание общего множителя

Интерактивная математика 8-го класса — второе издание

Удаление общего фактора

Мы знаем, что:

a ( b + c ) = ab + ac

Обратный процесс, ab + ac = a ( b + c ),
называется , вычитая из общего множителя .

Рассмотрим факторизацию выражения 5 x + 15.

Обратите внимание, что общий множитель 5 был вынут и помещен перед
скобки. Выражение в скобках получается следующим образом:
разделив каждый член на 5.

Всего:

Чтобы разложить алгебраическое выражение на множители, выньте наибольшее общее
фактор и поместите его перед скобками.Тогда выражение
внутри скобок получается делением каждого члена на наивысший
Общий делитель.

Пример 25

Факторизуйте следующее:

Решение:


Альтернативный способ:

Часто мы предлагаем следующее решение:


Примечание:

Процесс исключения общего фактора имеет большое значение в
алгебра.Практикуясь, вы сможете найти самые общие
factor (HCF) легко и, следовательно, факторизуйте данное выражение.

Пример 26

Факторизуйте следующее:

Решение:

Примечание:

Мы можем проверить ответ, используя Закон о распределении.

Ключевые термины

с вычитанием общего множителя

Разложите многочлен или выражение на множители с помощью программы «Пошаговое решение математических задач

»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени. Фактически, процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, выходящей за рамки этого пункта, может быть достигнуто без понимания этого.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение используется в факторизованной форме , только если все выражение является указанным продуктом.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны рассматривать все выражение целиком.Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс изменения выражения суммы или разности членов на произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — изменяется только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
  2. Фактор общие множители.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5 (2x + 1), чтобы получить 10x + 5. В общем, факторинг «отменит» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители путем удаления общих множителей, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий делитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и найдите наиболее значимые из них.Это самый общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

Поставьте 3x перед круглыми скобками.

Термины в круглых скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это процесс, обратный тому, что мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразовано в факторизованную форму.Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, это должно быть правдой. Умножьте, чтобы убедиться, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами, «Удали ли мы все общие факторы? Можем ли мы использовать дополнительные факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x 2 + 6xy + 9xy 2 , ответ был бы

3 (x 2 + 2xy + 3xy 2 ).

Умножая для проверки, мы обнаруживаем, что ответ фактически совпадает с исходным выражением. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не полностью факторизовано.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

  1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
  2. F Выражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Фактор 12x 3 + 6x 2 + 18x.

Решение

На этом этапе нет необходимости перечислять факторы
каждого семестра. Вы должны уметь мысленно определить наиболее общий фактор. Хорошая процедура для подражания — думать об элементах по отдельности. Другими словами, не пытайтесь получить все общие множители сразу, а получите сначала число, а затем каждую задействованную букву.Например, 6 — множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x 3 + 6x 2 + 18x = 6x (2x 2 + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в круглых скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Скажите себе: «Каков наибольший общий делитель 12, 6 и 18?»
Затем «Какой наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»
Помните, что это проверка, чтобы убедиться в правильности факторинга.
Опять же, умножаем как чек.
Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы отдельно.

Если выражение не может быть разложено на множители, оно считается простым .

Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

РАЗДЕЛЕНИЕ ПО ГРУППАМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Факторные выражения, когда общий множитель включает более одного члена.
  2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, применяется к методу факторинга, называемому группировка .

Прежде всего, мы должны отметить, что общий фактор не обязательно должен быть одним членом. Например, в выражении 2y (x + 3) + 5 (x + 3) есть два члена. Это 2y (x + 3) и 5 ​​(x + 3). В каждом из этих терминов есть множитель (x + 3), состоящий из членов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага, чтобы разложить их на множители.

Решение

Прежде всего обратите внимание на то, что не все четыре члена в выражении имеют общий множитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем умножить на 3 первые два члена, получив 3 (ax + 2y). Если мы вычленим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Выражение теперь 3 (ax + 2y) + a (ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить на множители как (ax + 2y) (3 + a). Умножая (ax + 2y) (3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a 2 x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример факторинга путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y) (a + 2) и посмотрите, получите ли вы исходное выражение.
Опять умножаем как чек.

Иногда термины необходимо сначала переставить, прежде чем можно будет выполнить факторинг по группировке.

Пример 7 Фактор 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего множителя, но первое и третье члены имеют, поэтому мы изменим порядок членов так, чтобы третий член помещался после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором можно было бы расположить термины.

Во всех случаях важно убедиться, что факторы, указанные в скобках, абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти члены.
Умножение как проверка.

Пример 8 Фактор ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что когда мы множим a из первых двух членов, мы получаем a (x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2 (-x + y), а разложение на множители «-2» даст -2 (x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому поступаем таким же образом.

ФАКТОРИНГ ТРИНОМИАЛОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Мысленно перемножьте два бинома.
  2. Разложите на множители трехчлена с коэффициентом первого члена, равным 1.
  3. Найдите множители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет включать факторизацию трехчленов как произведений двух биномов. В предыдущей главе вы узнали, как умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух биномов и разработать образец для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не проделывая столько шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3) (3x — 4) = 6x 2 + x — 12, обратите внимание, что первый член ответа (6x 2 ) был получен из произведения двух первых членов множителей. , то есть (2x) (3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) произошел от произведения вторых членов множителей, то есть (+ 3) (-4).

Теперь у нас есть следующая часть паттерна:

Теперь, снова посмотрев на пример, мы видим, что средний член (+ x) получен из суммы двух произведений (2x) (-4) и (3) (3x).

Для любых двух биномов у нас теперь есть эти четыре произведения:

  1. Первый семестр за первый семестр
  2. Внешние условия
  3. Внутренние условия
  4. Последний семестр к последнему семестру

Эти продукты показаны этим рисунком.

Когда произведения внешних и внутренних терминов дают одинаковые термины, их можно комбинировать, и решение является трехчленом.

Этот метод умножения двух биномов иногда называют методом FOIL.
FOIL расшифровывается как «первый», «внешний», «внутренний», «последний».

Это сокращенный метод умножения двух биномов, и его полезность станет очевидной, когда мы разложим на множители трехчлены.

Вы должны запомнить этот образец.

Опять же, возможно, вам поможет запоминание слова FOIL.

Не только этот образец должен быть запомнен, но ученик также должен научиться переходить от проблемы к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, попытайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме самого ответа. Чем больше вы будете практиковать этот процесс, тем лучше вы будете в факторинге.

Теперь, когда мы установили образец умножения двух биномов, мы готовы разложить на множители трехчлены. Сначала мы рассмотрим факторизацию только тех трехчленов с коэффициентом первого члена, равным 1.

Решение

Поскольку это трехчлен и не имеет общего множителя, мы будем использовать шаблон умножения для факторизации.

Фактически мы будем работать в обратном порядке, как в предыдущем наборе упражнений.

Сначала укажите проблему в скобках.

Теперь мы хотим заполнить члены так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x) (x) = x 2 .

Помните, произведение первых двух членов бинома дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих слов будут правильные первый и последний член.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение —

Этот метод факторинга называется методом проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики.

  1. Произведение двух нечетных чисел является нечетным.
  2. Произведение двух четных чисел является четным.
  3. Произведение четного и нечетного числа является четным.
  4. Сумма двух нечетных чисел четная.
  5. Сумма двух четных чисел четная.
  6. Сумма нечетного и четного числа нечетна.

Следовательно, когда мы разлагаем на множители такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов в биномах должно быть 24, что является четным, и их сумма должна быть 11, что является нечетным.
Таким образом, будут работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Тут проблема лишь немного в другом. Мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить — 11. Вы всегда должны помнить об этой схеме. Последний член получается строго умножением, а средний член, в конце концов, получается из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, и поскольку средний член должен происходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить категориями разницы. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок факторов незначительный.

по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут при факторизации трехчленов:

  1. Если знак третьего члена положительный, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть похожи на знак среднего члена.
  2. Если знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема факторинга намного сложнее, потому что количество возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, теперь вы готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что существует двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один имеет 17x в качестве среднего члена.

Вы, конечно, можете попробовать каждый из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три условия:

В этом примере верна одна из двенадцати возможностей. Таким образом, методом проб и ошибок может занять очень много времени.

Несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное предположение», в котором мы применяем все наши знания о числах и много упражняемся в мысленной арифметике. В предыдущем примере мы сразу отбросили бы многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x как средний термин, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12, и так далее, поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетное, мы знаем, что это сумма четного и нечетного числа. Все это помогает сократить количество попыток.

Сначала найдите числа, которые дают правильные первое и последнее члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего срока.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

  1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
  2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
  3. Множители 6×2: x, 2x, 3x, 6x. Множители 15: 1, 3, 5, 15.
  4. Исключите как слишком большое произведение 15 с 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.
Это автоматически даст слишком большой средний член.
Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

Решение

Анализировать:

  1. Последний член отрицательный, поэтому не похож на знаки.
  2. Мы должны найти продукты, которые отличаются на 5, а большее число отрицательно.
  3. Мы исключаем произведение 4х и 6 как вероятно слишком большое.
  4. Попробуйте несколько комбинаций.
Помните, попробуйте мысленно различные возможные комбинации, которые являются разумными.Это процесс факторинга «методом проб и ошибок». Практикуясь, вы станете более опытным в этом процессе.

(4x — 3) (x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принимать это как решение, но поменяйте знаки так, чтобы более крупный продукт соответствовал знаку со средним условием.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы почувствуете себя намного более комфортно при факторинге трехчлена.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите и разложите на множители двух полных квадратов.
  2. Определите и разложите на множители трехчлен полного квадрата.

В этом разделе мы хотим изучить некоторые частные случаи факторинга, которые часто возникают в задачах. Если признать эти особые случаи, факторинг значительно упростится.

Первым частным случаем, который мы обсудим, является разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух биномов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется аддитивной инверсией другого числа.
Например: (+ 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 — это аддитивная инверсия — 3, также -3 — аддитивная инверсия +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два бинома умножаются, чтобы получить бином (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b) (a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной при факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители, и если она имеет форму, то множители будут (a — b) (a + b).

Решение

Здесь оба члена представляют собой полные квадраты и разделены знаком минус.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забывайте осознавать, что особый случай — это просто особенный случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разница двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разложима.

Вы также должны быть осторожны при распознавании идеальных квадратов.Помните, что точные квадратные числа — это числа, у которых квадратные корни являются целыми числами. Кроме того, показатели абсолютного квадрата четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) — это идеальный квадрат. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено на множители этим методом.

Другой особый случай факторинга — это трехчлен полного квадрата. Обратите внимание, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы узнаем этот случай по его особенностям. Очевидны три вещи.

  1. Первый член — это полный квадрат.
  2. Третий член представляет собой полный квадрат.
  3. Средний член — это дважды произведение квадратного корня из первого и третьего членов.
Для целей факторинга удобнее писать выписку как

Решение

  1. 25x 2 — это полный квадратный корень с главным квадратным корнем = 5x.
  2. 4 — точный квадратный корень из главного квадрата = 2.
  3. 20x — это дважды произведение квадратных корней 25x 2 и
  4. 20x = 2 (5x) (2).

Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена сформируйте двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого бинома.

Таким образом, 25x 2 + 20x + 4 = (5x + 2) 2

Всегда возводите двучлен в квадрат для проверки правильности среднего члена.

Не частный случай трехчлена полного квадрата.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЯРЛЫКИ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ И УСТАНОВЛЕНИЕ ОШИБОК

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите ключевое число трехчлена.
  2. Используйте ключевое число для разложения трехчлена на множители.

В этом разделе мы хотим обсудить некоторые сокращения факторинга методом проб и ошибок. Это необязательно по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти ярлыки не всегда практичны для большого количества людей.Однако они повысят скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первый шаг в этих сочетаниях клавиш — найти номер ключа . После того, как вы нашли ключевой номер, его можно использовать более чем одним способом.

В трехчлене, который нужно разложить на множители, ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.

Произведение этих двух чисел и есть «ключевой номер».

Первое использование ключевого числа показано в примере 3.

Решение

Шаг 1 Найдите ключевой номер. В этом примере (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые будут складываться, чтобы получить коэффициент среднего члена (+ 3). В этом случае (+ 8) (-5) = -40 и (+ 8) + (-5) = +3.
Шаг 3 Коэффициенты (+ 8) и (- 5) будут перекрестными произведениями в шаблоне умножения.

Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».»

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться, чтобы получить произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые будут умножаться, чтобы дать + 8x. Это 4x от 4×2 и (+ 2) от (-10).
Поместите эти факторы в первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте на этом этапе номер ключа и посмотрите на исходную проблему.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых членов должно давать 4x 2 и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме x.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же множители.Самое главное — иметь систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10), а (+ 2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме (- 5).

Помните, что если трехчлен факторизуем, существует только один возможный набор факторов.
Если не удается найти множители ключевого числа, сумма которых является коэффициентом средних членов, то трехчлен является простым и не множится.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг по группировке. Работает как в примере 5.

Решение

Шаг 1 Найдите номер ключа (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (- 40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать

Step 4 Разложите эту задачу на множители, начиная с шага 3, с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2

Теперь это становится обычным факторингом путем группировки.

Следовательно,

Опять же, есть только одна возможная пара множителей, которая может быть получена из данного трехчлена.
Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить на множители трехчлен, выполнив следующие два шага:

  1. Первый взгляд на общие факторы.
  2. Разложите оставшийся трехчлен на множители, применяя методы этой главы.

Теперь мы изучили все обычные методы факторизации в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что есть две проверки правильности факторинга.

  1. Умножатся ли множители, чтобы получить исходную задачу?
  2. Все ли факторы просты?
После того, как общий множитель был найден, вы должны проверить, можно ли разложить полученный трехчлен на факторизацию.
Если у трехчлена есть какие-либо общие множители, обычно проще, если они сначала разложены на множители.

Хорошая процедура, которой следует придерживаться при факторинге, — всегда сначала удалять наибольший общий фактор, а затем, если возможно, учитывать то, что осталось.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Выражение в факторизованной форме, только если все выражение является указанным продуктом.
  • Факторинг — это процесс, который изменяет сумму или разность условий на произведение факторов.
  • Простое выражение не может быть разложено на множители.
  • Наибольший общий множитель — наибольший общий множитель для всех членов.
  • Выражение полностью разложено на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
  • Возможность разложения на множители путем группировки существует, когда выражение содержит четыре или более терминов.
  • Метод FOIL можно использовать для умножения двух биномов.
  • Частные случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов полного квадрата .
  • Номер ключа является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

  • Чтобы удалить общие множители, найдите наибольший общий делитель и разделите на него каждый член.
  • Триномы можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон умножения, чтобы найти факторы, которые дадут исходный трехчлен.
  • Чтобы разложить на множители разность двух квадратов, используйте правило
  • Чтобы разложить на множители точный квадрат трехчлена, сформировать двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и указать квадрат этого бинома.
  • Используйте ключевое число как вспомогательное средство для определения факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.

Фактор

по группировке — методы и примеры

Теперь, когда вы узнали, как разложить многочлены на множители с помощью различных методов, таких как; Наибольший общий множитель (GCF, сумма или разность в двух кубах; метод разницы в двух квадратах; и метод триномина.

Какой метод вы считаете самым простым из них?

Все эти методы факторизации многочленов так же просты, как ABC, только если они применяются правильно.

В этой статье мы изучим другой простейший метод, известный как разложение на множители по группировке, но прежде чем перейти к теме разложения по группам, давайте обсудим, что такое разложение многочлена.

Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

Общая форма многочлена: ax n + bx n-1 + cx n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; биномы, трехчлены и четырехчлены.

Примеры многочленов: 12x + 15, 6x 2 + 3xy — 2ax — ay, 6x 2 + 3x + 20x + 10 и т. Д.

Как разложить по группам?

Фактор по группировке полезен, когда нет общего множителя среди терминов, и вы разбиваете выражение на две пары и множите каждую из них отдельно.

Разложение многочленов на множители — это операция, обратная умножению, поскольку она выражает полиномиальное произведение двух или более множителей. Вы можете разложить многочлены на множители, чтобы найти корни или решения выражения.

Как разложить на множители трехчлены путем группировки?

Чтобы разложить на множители трехчлена вида ax 2 + bx + c путем группирования, мы выполняем процедуру, как показано ниже:

  • Найдите произведение ведущего коэффициента «a» и константы «c».»

⟹ a * c = ac

  • Найдите множители« ac », которые добавляют к коэффициенту« b ».
  • Записываем bx как сумму или разность множителей ac, которые складываются с b.

⟹ ax 2 + bx + c = ax 2 + (a + c) x + c

⟹ ax 2 + ax + cx + c

⟹ ax (x + 1) + c (x + 1)

⟹ (ax + c) (x + 1)

Пример 1

Фактор x 2 — 15x + 50

Решение

Найдите два числа, сумма которых равно -15 и произведение 50.

⟹ (-5) + (-10) = -15

⟹ (-5) x (-10) = 50

Записываем данный многочлен как;

x 2 -15x + 50⟹ x 2 -5x — 10x + 50

Факторизуйте каждый набор групп;

⟹ x (x — 5) — 10 (x — 5)

⟹ (x — 5) (x — 10)

Пример 2

Фактор трехчлена 6y 2 + 11y + 4 по группировке.

Решение

6y 2 + 11y + 4 ⟹ 6y 2 + 3y + y + 4

⟹ (6y 2 + 3y) + (8y + 4)

⟹ 3y (2y + 1) + 4 (2y + 1)

= (2y + 1) (3y + 4)

Пример 3

Фактор 2x 2 — 5x — 12.

Решение

2x 2 — 5x — 12

= 2x 2 + 3x — 8x — 12

= x (2x + 3) — 4 (2x + 3)

= (2x + 3) (x — 4)

Пример 4

Фактор 3y 2 + 14y + 8

Решение
3y 2 + 14y + 8 ⟹ 3y 2 + 12y + 2y + 8

⟹ (3y 2 + 12y) + (2y + 8)

= 3y (y + 4) + 2 (y + 4)
Следовательно,

3y 2 + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)

Пример 5

Фактор 6x 2 — 26x + 28

Решение

Умножьте старший коэффициент на последний член.
⟹ 6 * 28 = 168

Найдите два числа, сумма которых равна произведению 168, а сумма равна -26
⟹ -14 + -12 = -26 и -14 * -12 = 168

Запишите выражение, заменив bx на два числа.
⟹ 6x 2 — 26x + 28 = 6x 2 + -14x + -12x + 28
6x 2 + -14x + -12x + 28 = (6x 2 + -14x) + (-12x + 28)

= 2x (3x + -7) + -4 (3x + -7)
Следовательно, 6x 2 — 26x + 28 = (3x -7) (2x — 4)

Как разложить на множители биномы по группировке?

Бином — это выражение, в котором два члена объединены знаком сложения или вычитания.Для разложения бинома на множители применяются следующие четыре правила:

  • ab + ac = a (b + c)
  • a 2 — b 2 = (a — b) (a + b)
  • a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 )
  • a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )

Пример 6

Фактор xyz — x 2 z

Решение

xyz — x 2 z = xz (y — x)

Пример 7

Фактор 6a 2 b + 4bc

Решение

6a 2 b + 4bc = 2b (3a 2 + 2c)

Пример 8

Фактор полностью: x 6 — 64

Решение

x 6 — 64 = (x 3 ) 2 — 8 2

= (x 3 + 8) (x 3 -8) = (x + 2) (x 2 — 2x + 4) (x — 2) (x 2 + 2x + 4)

Пример 9

Фактор: x 6 — y 6 .

Решение

x 6 — y 6 = (x + y) (x 2 — xy + y 2 ) (x — y) (x 2 + xy + y 2 )

Как разложить многочлены на множители путем группировки?

Как следует из названия, факторинг по группировке — это просто процесс группировки терминов с общими факторами перед факторингом.

Чтобы разложить полином на множители путем группирования, выполните следующие действия:

  • Проверьте, имеют ли члены полинома наибольший общий множитель (GCF).Если да, вычеркните это и не забудьте включить его в свой окончательный ответ.
  • Разбейте многочлен на наборы по два.
  • Вынесите за скобки GCF каждого набора.
  • Наконец, определите, можно ли еще разложить на множители оставшиеся выражения.

Пример 10

Факторизация 2ax + ay + 2bx + на

Решение

2ax + ay + 2bx + by
= a (2x + y) + b (2x + y)
= (2x + y) (a + b)

Пример 11

Фактор ax 2 — bx 2 + ay 2 — by 2 + az 2 — bz 2

Решение

ax 2 — bx 2 + ay 2 — by 2 + az 2 — bz 2
= x 2 (a — b) + y 2 (a — b) + z 2 (a — b)
= (a — b) (x 2 + y 2 + z 2 )

Пример 12

Фактор 6x 2 + 3xy — 2ax — ay

Решение

6x 2 + 3xy — 2ax — ay
= 3x (2x + y) — a (2x + y)
= (2x + y) (3x — а)

9 0020 Пример 13

x 3 + 3x 2 + x + 3

Решение

x 3 + 3x 2 + x + 3
= (x 3 + 3x 2 ) + (x + 3)
= x 2 (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (x 2 + 1)

Пример 14

6x + 3xy + y + 2

Решение

6x + 3xy + y + 2

= (6x + 3xy) + (y + 2)

= 3x (2 + y) + 1 (2 + y)

= 3x (y + 2) + 1 (y + 2)

= (y + 2) (3x + 1)

= (3x + 1) (y + 2)

Пример 15

ax 2 — bx 2 + ay 2 — by 2 + az 2 — bz 2
Решение
ax 2 — bx 2 + ay 2 — по 2 + az 2 — bz 2

Выносим за скобки GCF в каждой группе из двух термов
⟹ x 2 (a — b) + y 2 (a — b) + z 2 (a — b)
= (a — b) ( x 2 + y 2 + z 2 )

Пример 16

Фактор 6x 2 + 3x + 20x + 10.

Решение

Вычтите GCF за скобки в каждом наборе из двух членов.

⟹ 3x (2x + 1) + 10 (2x + 1)

= (3x + 10) (2x + 1)

Практические вопросы

Разложите на множители, сгруппировав следующие многочлены:

  1. 15ab 2 — 20a 2 b
  2. 9n — 12n 2
  3. 24x 3 — 36x 2 y
  4. 10x 3 — 15x 2
  5. 36x 3 y — 60x 2 y 3 z
  6. 9x 3 — 6x 2 + 12x
  7. 18a 3 b 3 — 27a 2 b 3 + 36a 3 b 2
  8. 14x 3 + 21x 4 y — 28x 2 y 2
  9. 6ab — b 2 + 12ac — 2bc
  10. x 3 — 3x 2 + x — 3
  11. ab (x 2 + y 2 ) — xy (a 2 + b 2 )

Ответы

  1. 5ab (3b — 4a)
  2. 3n (3 — 4n)
  3. 12x 2 (2x — 3y)
  4. 5x 2 (2x — 3)
  5. 12x 2 y (3x — 5y 2 z)
  6. 3x ( 3x 2 — 2x + 4)
  7. 9a 2 b 2 (2ab — 3b + 4a)
  8. 7x 2 (2x + 3xy — 4y 2 )
  9. (b + 2c) ( 6a — b)
  10. (x 2 + 1) (x — 3)
  11. (bx — ay) (ax — by)

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Промежуточная алгебра
Урок 27: GCF и разложение по группам

WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня

Цели обучения


После изучения этого руководства вы сможете:

  1. Найдите наибольший общий множитель полинома.
  2. Выносим за скобки ОКФ полинома.
  3. Разложите многочлен на четыре члена путем группирования.

Введение


Факторинг — это записать выражение как произведение
факторы.
Например, мы можем записать 10 как (5) (2), где 5 и 2 называются
факторы
из 10.Мы также можем сделать это с помощью полиномиальных выражений. В
В этом уроке мы рассмотрим два способа разложить полином на множители
выражения
за вычетом наибольшего общего фактора и факторинга на
группировка.
В следующих двух уроках мы добавим другие типы
факторинг.
Чего стоит ждать! К тому времени, когда я закончу с
ты,
вы станете факторинговой машиной. Остальные будут спрашивать
ты
за помощью по факторингу.

В основном, когда мы разлагаем на множители, мы обращаем процесс умножения на противоположное.
многочлен, который был рассмотрен в Урок 26: Умножение
Полиномы.

Учебник


Наибольший общий коэффициент (GCF)

ОКФ для многочлена — это наибольший одночлен
что делит
коэффициент) каждого члена многочлена.

Пример
1
: Найдите GCF списка одночленов:

Пример
2
: Найдите GCF списка одночленов:

Нам нужно выяснить, какой самый большой моном, который мы
может разделить
из каждого из этих условий будет.Что вы думаете?

Давайте сначала посмотрим на числовую часть. У нас есть
3, 9 и 18.
Наибольшее число, которое можно разделить из этих чисел, — 3.

Итак, наш числовой GCF равен 3.

Теперь о переменной части. Похоже, что каждый
термин имеет x и y . В обоих случаях самый низкий
экспонента
равно 1.

Итак, GCF нашей переменной части составляет xy .

Собирая все вместе, получаем GCF 3 xy .

Шаг 1. Определите ОКФ полинома.

Шаг 2: Разделите GCF
вне каждого срока
полинома.

Пример
3
: За вычетом GCF:

Шаг 1. Определите ОКФ полинома.

Самый большой одночлен, который мы можем вынести из каждого
член 2 x .

Шаг 2. Разделите GCF из
каждый срок
многочлен.

* Разделить 2 x на выходе
каждого члена поли.

Будьте осторожны. Если срок
полинома
точно так же, как GCF, когда вы делите его на GCF, вы
левый
с 1, а НЕ 0.
Не думайте: «О, у меня ничего не осталось»,
на самом деле есть 1. Как показано выше, когда мы делим 2 x на 2 x , мы получаем 1, поэтому нам нужна 1 в качестве
в третьих
термин внутри ().

Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы должны получить
оригинал
полином.В этом случае это действительно проверка. Факторинг
дает
другой способ написать выражение, чтобы оно было эквивалентно
исходная проблема.

Пример
4
: За вычетом GCF:

Шаг 1. Определите ОКФ полинома.

Наибольший моном, который мы можем вынести из каждого
срок есть.

Шаг 2. Разделите GCF из
каждый срок
многочлен.

* Разделите каждый член поли.

Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы получим
исходный многочлен.

Пример
5
: За вычетом GCF:

Эта проблема выглядит немного иначе, потому что теперь наша
GCF — бином.Это нормально, мы относимся к нему так же, как когда у нас есть
одночлен
GCF.

Обратите внимание, что это не факторизованная форма из-за
знак минус мы
есть перед 7 в проблеме. Чтобы быть в факторизованной форме, он должен
быть записанным как произведение факторов.

Шаг 1. Определите ОКФ полинома.

На этот раз это не одночлен, а двучлен, который мы
есть общее.

Наш GCF равен (x + 5).

Шаг 2. Разделите GCF из
каждый срок
многочлен.

* Разделите ( x + 5) на обе части

Когда мы разделим ( x + 5) из первого члена,
у нас остается x в квадрате.
Когда мы отделяем его от второго члена, у нас остается -7.

Вот как мы получаем для нашего second ().

Факторизация полинома на множители
Четыре члена путем группирования

В некоторых случаях нет GCF для ВСЕХ условий
в полиноме.
Если у вас есть четыре термина без GCF, попробуйте разложить по группам.

Шаг 1. Сгруппируйте первые два термина
вместе, а затем
последние два срока вместе.

Шаг 2. Вычтите по GCF из каждого
отдельный двучлен.

Шаг 3. Вычтите общие
бином.

Пример
6
: Фактор по группировке:

Обратите внимание на то, что для ВСЕХ условий не существует ОКФ.Так
вперед
и учитывайте это путем группировки.

Шаг 1. Сгруппируйте первые два термина
вместе, а затем
последние два срока вместе.

* Две группы из двух терминов

Шаг 2: Вычтите по GCF из каждого
отдельный двучлен.

* Выносим за скобки квадрат x
от 1-го ()

* Выносим за скобки 2 из 2-го
()

Шаг 3: Вынесите за скобки общее
бином.

* Разделите ( x + 7) на обе части

Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы получим
исходный многочлен.

Пример
7
: Фактор по группировке:

Обратите внимание на то, что для ВСЕХ условий не существует ОКФ.Так
вперед
и учитывайте это путем группировки.

Шаг 1. Сгруппируйте первые два термина
вместе, а затем
последние два срока вместе.

* Две группы из двух терминов

Будьте осторожны.Когда первый срок второго
группа из двух человек
знак минус перед ним, вы хотите поставить минус перед
второй ( ). Когда вы это сделаете, вам нужно изменить
знак
обоих членов второго (), как показано выше.

Шаг 2: Вычтите по GCF из каждого
отдельный двучлен.

* Выносим за скобки x из
1-й ()

* Выносим за скобки 4 из 2-го
()

Шаг 3: Вынесите за скобки общее
бином.

* Разделить (3 x + y )
из обеих частей

Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы получим
оригинал
полином.

Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам
следующий уровень.
Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы
эти
типы проблем. Math работает так же, как
что-нибудь
иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться
Это.
Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вам следует
проблема на
свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для
ответ / обсуждение
для этой проблемы
.По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика
Задачи 1a — 1d: Фактор.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?



Последний раз редактировал Ким Сьюард 15 июля 2011 г.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.