Разложить на простые множители число 720: Разложите на простые множители число 720.

Содержание

Разложение числа на множители онлайн

Онлайн калькулятор раскладывает число в произведение простых множителей.
Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому можно легко
разложить на множители даже большие числа.

Что такое разложение числа на множители?

Любое натуральное число можно представить в виде
произведения простых чисел. Это представление называется разложением
числа на простые множители
.

Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно
равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно
числу
.

Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным
числом
называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное
имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число большее единицы, можно
разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования
сомножителей.

Как разложить число на множители?

В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком в две колонки. Делается это
так: в левую колонку выписываем исходное число, затем

  • Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам
    делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2.
  • Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую
    колонку под исходным числом.
  • Если не делится, то берём следующее простое число — 3.

Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение
заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.

Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.

Пример. Разложить на множители число 84.

Решение. Записываем число 84 в левую колонку:

Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2,
то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в
правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:

Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число
21 записываем в левую колонку.

Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3,
21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили

Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:

Всё, число разложено!

В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.

О калькуляторе

Программа раскладывает числа на множители методом
перебора делителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому раскладывать можно даже большие
числа. Однако если число простое или имеет большие простые делители, разложение его на множители занимает
продолжительное время.

Разложение чисел на простые множители: способы и примеры разложения

Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.

Что значит разложить число на простые множители?

Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2·7·7·23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2,7,7,23.

Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30, тогда получим 2,3,5. Запись примет вид 30=2·3·5. Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144=2·2·2·2·3·3.

Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

При z, относящемуся к целым числам, представляется  в виде произведения а и b, где z делится на а и на b. Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1, то его разложение на множители p1, p2, …, pnпринимает вид a=p1, p2, …, pn. Разложение предполагается в единственном варианте.

Каноническое разложение числа на простые множители

При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p1, который встречается s1 раз и так далее pn – sn раз. Таким образом разложение примет вид a=p1s1·a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.

При разложении числа 609840 получим, что 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11,его канонический вид будет 609 840=24·32·5·7·112. При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p1, p2, …,pnчисел a, a1, a2, …, an-1, это дает возможность получить a=p1·a1, где a1=a:p1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1:p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1:pn. При получении an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn  получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p1≤p2≤p3≤…≤pn.

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z. При взятии простых чисел 2,3,5,11 и так далее, причем на них делим число z. Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z.  Видно, что не существуют делителей z, тогда понятно, что z является простым числом.

Пример 1

Рассмотрим на примере числа 87.  При его делении на 2 имеем, что 87:2=43  с остатком равным 1. Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87:3=29. Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a.  При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000.

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

  • нахождение наименьшего множителя при делителе p1 числа a по формуле a1=a:p1, когда a1=1, тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1, тогда a=p1·a1и следуем к пункту, находящемуся ниже;
  • нахождение простого делителя p2 числа a1при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a2=a1:p2, когда a2=1, тогда разложение примет вид a=p1·p2, когда a2=1, тогда a=p1·p2·a2, причем производим переход к следующему шагу;
  • перебор простых чисел и нахождение простого делителя p3 числа a2по формуле a3=a2:p3, когда a3=1, тогда получим, что a=p1·p2·p3, когда не равняется 1, тогда a=p1·p2·p3·a3и производим переход к следующему шагу;
  • производится нахождение простого делителя pn числа an-1при помощи перебора простых чисел с pn-1, а также an=an-1:pn, где an=1, шаг является завершающим, в итоге получаем, что a=p1·p2·…·pn.

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 2

Произвести разложение числа 78 на простые множители.

Решение

Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78. То есть 78:2=39. Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p1. Получаем, что a1=a:p1=78:2=39. Пришли к равенству вида a=p1·a1, где 78=2·39. Тогда a1=39, то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p2 числа a1=39. Следует перебрать простые числа, то есть 39:2=19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 39:3=13. Значит, что p2=3 является наименьшим простым делителем 39 по a2=a1:p2=39:3=13. Получим равенство вида a=p1·p2·a2 в виде 78=2·3·13. Имеем, что a2=13 не равно 1, тогда следует переходит дальше.

Наименьший простой делитель числа a2=13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3. Получим, что 13:3=4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5,7,11, потому как 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a3=a2:p3=13:13=1. Получили, что a3=1, что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78=2·3·13(a=p1·p2·p3).

Ответ: 78=2·3·13.

Пример 3

Разложить число 83 006 на простые множители.

Решение

Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p1=2 и a1=a:p1=83 006:2=41 503, где 83 006=2·41 503.

Второй шаг предполагает, что 2, 3 и 5 не простые делители для числа a1=41 503, а 7 простой делитель, потому как 41 503:7=5 929. Получаем, что p2=7, a2=a1:p2=41 503:7=5 929. Очевидно, что 83 006=2·7·5 929.

Нахождение наименьшего простого делителя p4 к числу a3=847 равняется 7. Видно, что a4=a3:p4=847:7=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121.

Для нахождения простого делителя числа a4=121 используем число 11, то есть p5=11. Тогда получим выражение вида a5=a4:p5=121:11=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11.

Для числа a5=11 число p6=11является наименьшим простым делителем. Отсюда a6=a5:p6=11:11=1. Тогда a6=1. Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006=2·7·7·7·11·11.

Каноническая запись ответа примет вид 83 006=2·73·112.

Ответ: 83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112.

Пример 4

Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.

Решение

Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2. Конец перебора приходится на число 937. Тогда p1=937, a1=a:p1=897 924 289:937=958 297 и 897 924 289=937·958 297.

Второй шаг алгоритма заключается в переборе  меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937.  Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a1=958 297. Отсюда получаем, что p2=967, то a2=a1:p1=958 297:967=991 и 897 924 289=937·967·991.

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991. Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991<402. Иначе запишем как 991<402. Отсюда видно, что p3=991 и a3=a2:p3=991:991=1. Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как  897 924 289=937·967·991.

Ответ: 897 924 289=937·967·991.

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах.

Пример 5

Если необходимо произвести разложение на множители 10, то по таблице видно: 2·5=10. Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10.

Пример 6

Если необходимо произвести разложение числа 48, то  по таблице видно: 48=6·8. Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6=2·3 и 8=2·4. Тогда полное разложение отсюда получается как 48=6·8=2·3·2·4. Каноническая запись примет вид 48=24·3.

Пример 7

При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100. Отсюда получаем, что 3 400=34·100, где 100 можно разделить на 10, то есть записать в виде 100=10·10, а значит, что 3 400=34·10·10. Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5. Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид 3 400=23·52·17.

Когда мы находим простые множители, необходимо использовать признаки делимости и таблицу умножения. Если представить число 75 в виде произведения множителей, то необходимо учитывать правило делимости на 5. Получим, что 75=5·15, причем 15=3·5. То есть искомое разложение пример вид произведения 75=5·3·5.

Разложение составного числа на простые множители

Предлагаю ученикам картинки: мозаика, радуга, столовые инструменты, рецепт салата. По картинкам попытаемся сформулировать тему и цель урока

Вопрос: Что объединяет эти картинки? Как его можно связать с темой урока? .

( мoзаику можно сложить, салат состоит из ингредиентов, радуга из 7 цветов, столовый прибор из предметов которые нам всем известный.)

Фoрмулируем тему урока .

Задаем вопрос: что нам известно из данной темы, а что нам нужно узнать?

(натуральное числo, простые множители -это нам знакомо, разложение на простые множители – это не знакомo. )

Фoрмулировка цели урока.

Разлoжение составного числа на простые множители

Метoд перепутанной цепoчки

Цель:

1.Сoедините стрелками равные выражения

125 2∙2∙2∙3

60 2∙3∙11

24 2∙2∙5∙5∙

100 2∙2∙3∙5

66 5∙5∙5

2.Запишите одинаковые множители в виде степени

3. Запишите в виде произведения

125=53 60=22∙3∙5 24=23∙3 100=22∙52 66=2∙3∙11

Дескриптор

  1. Выпoлнить произведение чисел

  2. Найти соответствующее число

  3. Записать oдинаковые множители в виде степени

  4. Записать в виде произведения

Вывод: Всякое сoставное число можно разложить на простые множители. Если не учитывать порядка записи множители, то пoлучится одно и тоже разлoжение при любом способе.

Пoсле индивидуального изучения текста все вопросы oбсуждаются в группе.

Видео

Цель

Задание: Рабoта по группам

Разлoжите на простые мнoжители

1 группа

2 группа

3 группа

4 группа

150

204

369

400

После выполнения заданий, среди карточек выбирают правильные ответы с изображением павильонов стран, участвующих в EXPO.

Краткий рассказ ученика об ЕХРO

Дифференцирoванные задания. В виде математическая Эстафеты

Учащиеся в группах решают на выбoр следующие задачи (треугoльник- простые, квадрат – средние, круг – сложные) :

Задание треугольника:

1. Даны числа и их разложения на множители в таблице. Найти сoответствие числе с их разложениями, расставить буквы по порядку и сoставить слoво:

1) 60

2) 125

3) 120

4) 240

5) 164

6) 222

а

н

а

т

а

с

24∙3∙5

22∙41

22∙3∙5

23∙3∙5

2∙3

53

Задание квадрат:

1. Измерения ящика выражены выражены прoстыми числами, его oбъем равен 220 дм3. Найдите измерения ящика.

Задание окружности:

1. Даны числа: а=720 b= 90 с= 240

Напишите разложения чисел:

1)а∙ b

2)а: b

3)а∙ b:с

Критерии оценивания

Дескрипторы

треугольник

задание

Вернo разложил число на множители

квадрат

задание

Определяет, чтo ящик имеет форму параллелепипеда, число нужно разлoжить на три множителя

Использует запись в столбец и нахoдит множители

220=22∙5∙11

Вернo записывает oтвет:

4дм, 5дм и 11дм

окружность

задание

Вернo выполнил действия:

1)720= 24∙32∙5

2) 90= 2∙32∙5

3) 240= 24∙3∙5

а∙b=24∙32∙5∙2∙32∙5

2)a:b=24∙32∙5:(2∙32∙5)

3)а∙b:с=25∙34∙52:(24∙3∙5)

Прoверка на интерактивнoй доске

Индивидуальная рабoта

Испoльзуем графический oрганайзер.

Продолжите пoстроение дерева.

63 108 105

7

Каждому верному oтвету соответствуют 1 балл.

Если ты набрал:

баллoв – ты умница. баллов – ты молодец. У тебя неплохо получается, посмoтри, что тебе надо повторить. баллoв – хорошо.

Повтoри те задания , в которых допустил ошибки.

Четное число — qaz.wiki

Четное число относительно границы — это натуральное число , разложение на простые числа которого не содержит простых чисел , превышающих границу. Такой номер еще называют -гладким.
С.{\ displaystyle S}С.{\ displaystyle S}

Натуральное число называется степенным гладким относительно границы, если его разложение на простые множители содержит только простые степени, меньшие или равные . Это означает , что для любого простого фактора , что происходит, относится следующее:
С.{\ displaystyle S}С.{\ displaystyle S}q{\ displaystyle q}аq{\ displaystyle a_ {q}}

qаq≤С. {a_ {q}} \ leq S}.

Примеры

Например, рассмотрим число 720 (разложение на простые множители: 720 = 2 4 3 2 5):

  • он 5-гладкий, 6-гладкий …
  • но не 3-гладкий или 4-гладкий (из-за 5 как основного множителя, так как 5 больше 3 и 4)
  • он также плавный на 16 ступеней, плавный на 17 ступеней …,
  • но не 15-степенной гладкой (так как в разложении на простые множители 2 происходит в 4-й степени (= 16), что означает, что предел 15 превышен)

Далее мы рассматриваем число 8 как предел .

8-гладкий

  • являются z. Б. 3, 4, 5, 12, 14 или 120
  • но не 11 или 26

8-ступенчатая гладкая

  • являются z. B. 3, 4, 5, 12, 56 или 840 (= 2 3 3 5 7)
  • но не 9 (= 3 2 ) или 16 (= 2 4 )

Подсказки:

характеристики

Для каждого натурального числа существует уникальное разложение на простые множители. {a_ {i}}; i = 1, \ dots, n \}}

Для каждого и число является -гладким и -потенциально гладким, для всех и число не является ни -гладким, ни -потенциально гладким.
г≥г(а){\ displaystyle g \ geq g (а)}z≥z(а){\ Displaystyle Z \ GEQ Z (а)}а{\ displaystyle a} г{\ displaystyle g}z{\ displaystyle z}г<г(а){\ Displaystyle г <г (а)}z<z(а){\ Displaystyle г <г (а)}а{\ displaystyle a}г{\ displaystyle g}z{\ displaystyle z}

7 четных чисел

Четные 7 (или 7 четных ) чисел — это числа, состоящие исключительно из степеней простых множителей 2, 3, 5 и 7, например 1372 = 2 2 · 7 3 .

Термин, который часто используется как синоним, представляет собой сильно сложенные числа с 7-четными числами, которые отличаются от фактического математического представления о высокосоставном числе , которое допускает все простые множители и накладывает на них дополнительные условия.

Поскольку простые числа 2, 3, 5 и 7 присутствуют в преметрических старых показателях и весах , ориентированных на легкую делимость (например, 1 Nuremberg Apothekergran = 19600 Nürnberger Grän = 980 Nuremberg scruples = 3 карла фунта), эта последовательность также проигрывает роль в исследованиях по исторической метрологии . (см. также Nippur-Elle , Karlspfund , вес фармацевта )

Последовательность из 7 четных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42 … можно найти в последовательности A002473 в OEIS с обозначением «сильно составные числа (2)» ( сильно составные числа (2): числа, у которых все простые делители <= 7. )

Процедура

Квадратичное решето , метод факторинга , базируются на простые множители из квадратичных вычетов . Это разложение легко выполняется для четных чисел. Также интересно определить наибольший коэффициент сглаживания сразу для нескольких чисел (и, возможно, проанализировать их остаточные коэффициенты в дальнейшем). Для этой цели
Даниэль Бернстайн разработал эффективный метод, который определяет каждый гладкий простой множитель каждого отдельного числа для набора неразложенных натуральных чисел посредством группового умножения и наиболее экономичной организации, без выполнения тестовых делений с рассматриваемыми простыми числами. Метод использует только известные быстрые алгоритмы умножения, деления без остатка и вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел.

Последовательности четных чисел

Для каждой границы соответствующие -четные числа образуют последовательность . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS) предоставляет эти последовательности для небольших препятствий:
С.{\ displaystyle S}С.{\ displaystyle S}

литература

веб ссылки

Индивидуальные доказательства

  1. ↑ Д. Бернштейн: Как найти гладкие части целых чисел. Черновик для математических вычислений, файл PDF

Калькулятор НОД и НОК с решением онлайн

Найдем наибольший общий делитель НОД (36 ; 24)

Этапы решения

Способ №1

1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)

36 — составное число
24 — составное число

Разложим число 36 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

36 : 2 = 18 — делится на простое число 2
18 : 2 = 9 — делится на простое число 2
9 : 3 = 3 — делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 3 простое число

Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

24 : 2 = 12 — делится на простое число 2
12 : 2 = 6 — делится на простое число 2
6 : 2 = 3 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 3 простое число

2) Выделим синим цветом и выпишем общие множители

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Общие множители (36 ; 24) : 2, 2, 3

3) Теперь, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множители

Ответ: НОД (36 ; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12

Способ №2

1) Найдем все возможные делители чисел (36 ; 24). Для этого поочередно разделим число 36 на делители от 1 до 36, число 24 на делители от 1 до 24. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.

Для числа 36 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
36 : 1 = 36;36 : 2 = 18;36 : 3 = 12;36 : 4 = 9;36 : 6 = 6;36 : 9 = 4;36 : 12 = 3;36 : 18 = 2;36 : 36 = 1;

Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
24 : 1 = 24;24 : 2 = 12;24 : 3 = 8;24 : 4 = 6;24 : 6 = 4;24 : 8 = 3;24 : 12 = 2;24 : 24 = 1;

2) Выпишем все общие делители чисел (36 ; 24) и выделим зеленым цветом самы большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (36 ; 24)

Общие делители чисел (36 ; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12

Ответ: НОД (36 ; 24) = 12

Найдем наименьшее общее кратное НОК (52 ; 49)

Этапы решения

Способ №1

1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)

52 — составное число
49 — составное число

Разложим число 52 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

52 : 2 = 26 — делится на простое число 2
26 : 2 = 13 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 13 простое число

Разложим число 49 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

49 : 7 = 7 — делится на простое число 7.
Завершаем деление, так как 7 простое число

2) Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом

НОК (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

Способ №2

1) Найдем все возможные кратные чисел (52 ; 49). Для этого поочередно умножим число 52 на числа от 1 до 49, число 49 на числа от 1 до 52.

Выделим все кратные числа 52 зеленым цветом:

52 ∙ 1 = 52;   52 ∙ 2 = 104;   52 ∙ 3 = 156;   52 ∙ 4 = 208;
52 ∙ 5 = 260;   52 ∙ 6 = 312;   52 ∙ 7 = 364;   52 ∙ 8 = 416;
52 ∙ 9 = 468;   52 ∙ 10 = 520;   52 ∙ 11 = 572;   52 ∙ 12 = 624;
52 ∙ 13 = 676;   52 ∙ 14 = 728;   52 ∙ 15 = 780;   52 ∙ 16 = 832;
52 ∙ 17 = 884;   52 ∙ 18 = 936;   52 ∙ 19 = 988;   52 ∙ 20 = 1040;
52 ∙ 21 = 1092;   52 ∙ 22 = 1144;   52 ∙ 23 = 1196;   52 ∙ 24 = 1248;
52 ∙ 25 = 1300;   52 ∙ 26 = 1352;   52 ∙ 27 = 1404;   52 ∙ 28 = 1456;
52 ∙ 29 = 1508;   52 ∙ 30 = 1560;   52 ∙ 31 = 1612;   52 ∙ 32 = 1664;
52 ∙ 33 = 1716;   52 ∙ 34 = 1768;   52 ∙ 35 = 1820;   52 ∙ 36 = 1872;
52 ∙ 37 = 1924;   52 ∙ 38 = 1976;   52 ∙ 39 = 2028;   52 ∙ 40 = 2080;
52 ∙ 41 = 2132;   52 ∙ 42 = 2184;   52 ∙ 43 = 2236;   52 ∙ 44 = 2288;
52 ∙ 45 = 2340;   52 ∙ 46 = 2392;   52 ∙ 47 = 2444;   52 ∙ 48 = 2496;
52 ∙ 49 = 2548;   

Выделим все кратные числа 49 зеленым цветом:

49 ∙ 1 = 49;   49 ∙ 2 = 98;   49 ∙ 3 = 147;   49 ∙ 4 = 196;
49 ∙ 5 = 245;   49 ∙ 6 = 294;   49 ∙ 7 = 343;   49 ∙ 8 = 392;
49 ∙ 9 = 441;   49 ∙ 10 = 490;   49 ∙ 11 = 539;   49 ∙ 12 = 588;
49 ∙ 13 = 637;   49 ∙ 14 = 686;   49 ∙ 15 = 735;   49 ∙ 16 = 784;
49 ∙ 17 = 833;   49 ∙ 18 = 882;   49 ∙ 19 = 931;   49 ∙ 20 = 980;
49 ∙ 21 = 1029;   49 ∙ 22 = 1078;   49 ∙ 23 = 1127;   49 ∙ 24 = 1176;
49 ∙ 25 = 1225;   49 ∙ 26 = 1274;   49 ∙ 27 = 1323;   49 ∙ 28 = 1372;
49 ∙ 29 = 1421;   49 ∙ 30 = 1470;   49 ∙ 31 = 1519;   49 ∙ 32 = 1568;
49 ∙ 33 = 1617;   49 ∙ 34 = 1666;   49 ∙ 35 = 1715;   49 ∙ 36 = 1764;
49 ∙ 37 = 1813;   49 ∙ 38 = 1862;   49 ∙ 39 = 1911;   49 ∙ 40 = 1960;
49 ∙ 41 = 2009;   49 ∙ 42 = 2058;   49 ∙ 43 = 2107;   49 ∙ 44 = 2156;
49 ∙ 45 = 2205;   49 ∙ 46 = 2254;   49 ∙ 47 = 2303;   49 ∙ 48 = 2352;
49 ∙ 49 = 2401;   49 ∙ 50 = 2450;   49 ∙ 51 = 2499;   49 ∙ 52 = 2548;

2) Выпишем все общие кратные чисел (52 ; 49) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (52 ; 49).

Общие кратные чисел (52 ; 49): 2548

Ответ: НОК (52 ; 49) = 2548

Тест по математике Делимость натуральных чисел

Государственное образовательное учреждение

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Верхнешипкинская средняя общеобразовательная школа»

Заинского муниципального района Республики Татарстан

Методическая разработка

теста по математике

«Делимость натуральных чисел»

для учащихся 6-го класса

Автор разработки

учитель математики

Ямашева Лариса Николаевна

г. Заинск

2013 год

Аннотация

Тест по математике «Делимость натуральных чисел» предназначен для учащихся 6 классов общеобразовательных учреждений. Представленную работу можно использовать для организации промежуточного и обобщающего контроля по указанной теме.

Пояснительная записка

Тематический тест состоит из 20 заданий, представленных в четырех вариантах. Это тестовые задания закрытого типа с множественным выбором.

Задание 1-2 – это задания на нахождение делителей и кратных.

Задания 3-7 – задания на применение признаков делимости натуральных чисел.

Задания 8-13 – нахождение НОД и НОК двух чисел.

Задание 14-15 – взаимно простые числа.

Задания 16-20 – комбинированные задачи, более высокого уровня сложности.

Тест

Вариант 1

1. Найдите все делители числа 6.

1) 1; 2; 3; 6 2) 2; 3 3) 1; 2; 3 4) 6; 12; 18 5) 6

2. Найдите все двузначные числа, кратные 22.

1) 22; 44; 66; 88 2) 22 3) 11; 22 4) 1; 2; 11; 22 5) 2; 11; 22

3. Какое из следующих чисел делится на 3?

1) 1230732 2) 521386 3) 251413 4) 1421423 5) 1237325

4. Какое из следующих чисел делится на 5?

1) 23450625 2) 3214213 3) 1232124 4) 3124123 5) 5216231

5. Найдите число, которое делится и на 9, и на 5.

1) 17325 2) 25325 3) 21213 4) 56320 5) 18981

6. Найдите число, которое делится и на 2, и на 3.

1) 21852 2) 18213 3) 18212 4) 21351 5) 32132

7. Какую цифру надо поставить вместо * в число 25132*7, чтобы это число делилось на 9?

1) 7 2) 1 3) 6 4) 8 5) 9

8. Разложите на простые множители число 480.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найдите НОД чисел и .

1) 8 2) 2 3) 1680 4) 168 5) 80

10. Найдите НОК чисел и

1) 120 2) 8 3) 2 4) 24 5) 40

11. Найдите НОД чисел 24 и 66.

1) 6 2) 11 3) 24 4) 264 5) 66

12. Найдите НОК чисел 18 и 30.

1) 90 2) 6 3) 18 4) 30 5) 540

13. Найдите НОД чисел 71 и 179.

1) 1 2) 71 3) 179 4) 12709 5) 3

14. Укажите пару взаимно простых чисел.

1) 7 и 47 2) 14 и 49 3) 16 и 26 4) 27 и 15 5) 15 и 36

15. Какое из чисел не является делителем числа 245?

1) 17 2) 7 3) 5 4) 49 5) 35

16. Какая из данных сумм кратна 2?

1) 24153 + 1251 2) 215010 + 11121 3) 12312 + 2121211

4) 12113 + 10010 5) 20012 + 2110113

17. Сколько натуральных чисел, кратных 3, находятся между числами 7 и 16?

1) 3 2) 2 3) 5 4) 1 5) 6

18. Сколько существует двузначных чисел, кратных 7, но не кратных 21?

1) 9 2) 8 3) 13 4) 4 5) 1

19. В упаковке 25 конфет. Сколько конфет можно взять, не вскрывая упаковку?

1) 75 2) 5 3) 15 4) 120 5) 55

20. Сколько различных пятизначных чисел, кратных 10, можно составить из цифр 0, 5, 7, 8, 9. (Цифры в числах не повторяются)

1) 24 2) 12 3) 22 4) 120 3) 4

Правильным ответом ко всем заданиям является номер 1

Вариант 2

1. Найдите все делители числа 8.

1) 1; 2; 4; 8 2) 2; 4 3) 1; 2; 4 4) 8; 16 5) 8

2. Найдите все двузначные числа, кратные 28.

1) 28; 56; 84 2) 28 3) 14; 28 4) 1; 2; 4; 7; 14; 28 5) 2; 4

3. Какое из следующих чисел делится на 3?

1) 3030735 2) 511381 3) 25141 4) 7421423 5) 537325

4. Какое из следующих чисел делится на 5?

1) 125410 2) 2525252 3) 12415233 4) 1451241 5) 5000002

5. Найдите число, которое делится и на 9, и на 5.

1) 58950 2) 25125 3) 272727 4) 13131 5) 511400

6. Найдите число, которое делится и на 2, и на 3.

1) 11538 2) 17219 3) 10216 4) 20331 5) 32138

7. Какую цифру надо поставить вместо * в число 12543*0, чтобы это число делилось на 9?

1) 3 2) 2 3) 0 4) 1 5) 9

8. Разложите на простые множители число 1008.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найдите НОД чисел и .

1) 40 2) 2 3) 120 4) 240 5) 10

10. Найдите НОК чисел и

1) 280 2) 4 3) 10 4) 28 5) 40

11. Найдите НОД чисел 18 и 48.

1) 6 2) 18 3) 48 4) 864 5) 48

12. Найдите НОК чисел 15 и 50.

1) 150 2) 15 3) 5 4) 750 5) 3

13. Найдите НОД чисел 73 и 181.

1) 1 2) 73 3) 181 4) 13213 5) 7

14. Укажите пару взаимно простых чисел.

1) 9 и 49 2) 18 и 24 3) 17 и 51 4) 27 и 15 5) 15 и 50

15. Какое из чисел не является делителем числа 315?

1) 19 2) 7 3) 5 4) 63 5) 15

16. Какая из данных сумм кратна 2?

1) 25102 + 201200 2) 14250 + 210111 3) 125112 + 213379

4) 121001 + 32112 5) 524462 + 1241555

17. Сколько натуральных чисел, кратных 3, находятся между числами 17 и 29?

1) 4 2) 3 3) 2 4) 1 5) 5

18. Сколько существует двузначных чисел, кратных 9, но не кратных 36?

1) 8 2) 9 3) 11 4) 7 5) 10

19. В упаковке 13 елочных игрушек. Сколько игрушек можно взять, не вскрывая упаковку?

1) 78 2) 33 3) 118 4) 1 5) 45

20. Сколько различных четырехзначных чисел, кратных 10, можно составить из цифр 0, 3, 5, 6. (Цифры в числах не повторяются)

1) 6 2) 12 3) 3 4) 24 3) 10

Правильным ответом ко всем заданиям является номер 1

Вариант 3

1. Найдите все делители числа 12.

1) 1; 2; 3; 4; 6; 12 2) 2; 3; 4; 6 3) 1; 2; 3; 4; 6 4) 12; 24; 48 5) 12

2. Найдите все двузначные числа, кратные 24.

1) 24; 48; 72; 96 2) 24 3) 12; 24 4) 1; 2; 12; 24 5) 2; 6; 8; 12; 24

3. Какое из следующих чисел делится на 3?

1) 951951 2) 215123 3) 7894133 4) 1246 5) 3521123

4. Какое из следующих чисел делится на 5?

1) 5211505 2) 652142 3) 5485001 4) 1234 5) 8541129

5. Найдите число, которое делится и на 9, и на 5.

1) 662130 2) 124225 3) 998991 4) 15845 5) 332136

6. Найдите число, которое делится и на 2, и на 3.

1) 11436 2) 213123 3) 22522 4) 52221 5) 88562

7. Какую цифру надо поставить вместо * в число 851*512, чтобы это число делилось на 9?

1) 5 2) 4 3) 6 4) 3 5) 7

8. Разложите на простые множители число 720.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найдите НОД чисел и .

1) 60 2) 2 3) 4 4) 120 5) 7200

10. Найдите НОК чисел и

1) 264 2) 4 3) 2 4) 11616 5) 44

11. Найдите НОД чисел 28 и 70.

1) 14 2) 7 3) 14 4) 1960 5) 28

12. Найдите НОК чисел 21 и 14.

1) 42 2) 7 3) 294 4) 21 5) 14

13. Найдите НОД чисел 41 и 307.

1) 1 2) 41 3) 307 4) 9 5) 12587

14. Укажите пару взаимно простых чисел.

1) 11 и 45 2) 15 и 45 3) 117 и 9 4) 24 и 2 5) 7 и 49

15. Какое из чисел не является делителем числа 258?

1) 23 2) 2 3) 43 4) 6 5) 258

16. Какая из данных сумм кратна 2?

1) 95142 + 6258 2) 325129 + 1522 3) 251001 + 201002

4) 85258 + 13 5) 75120 + 2151141

17. Сколько натуральных чисел, кратных 3, находятся между числами 28 и 43?

1) 5 2) 2 3) 4 4) 1 5) 6

18. Сколько существует двузначных чисел, кратных 12, но не кратных 24?

1) 4 2) 5 3) 8 4) 3 5) 7

19. В упаковке 14 тетрадей. Сколько тетрадей можно взять, не вскрывая упаковку?

1) 98 2) 29 3) 46 4) 120 5) 58

20. Сколько различных четырехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5. (Цифры в числах не повторяются)

1) 10 2) 12 3) 8 4) 24 3) 4

Правильным ответом ко всем заданиям является номер 1

Вариант 4

1. Найдите все делители числа 14.

1) 1; 2; 7; 14 2) 2; 7 3) 1; 2; 7 4) 14 5) 28

2. Найдите все двузначные числа, кратные 21.

1) 21; 42; 63; 84 2) 21 3) 3; 7; 21 4) 1; 3; 7; 21 5) 14; 21

3. Какое из следующих чисел делится на 3?

1) 862212 2) 74731 3) 5222123 4) 111110 5) 98411

4. Какое из следующих чисел делится на 5?

1) 254410 2) 6320012 3) 12541 4) 987753 5) 5122247

5. Найдите число, которое делится и на 9, и на 5.

1) 103590 2) 67550 3) 11142113 4) 12585 5) 95332

6. Найдите число, которое делится и на 2, и на 3.

1) 301950 2) 79513 3) 995122 4) 17199 5) 562312

7. Какую цифру надо поставить вместо * в число 9611*42, чтобы это число делилось на 9?

1) 4 2) 3 3) 5 4) 7 5) 0

8. Разложите на простые множители число 1500.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найдите НОД чисел и .

1) 200 2) 8 3) 400 4) 10 5) 80000

10. Найдите НОК чисел и

1) 72 2) 8 3) 6 4) 1728 5) 24

11. Найдите НОД чисел 12 и 56.

1) 4 2) 56 3) 12 4) 672 5) 168

12. Найдите НОК чисел 48 и 9.

1) 144 2) 3 3) 9 4) 2 5) 432

13. Найдите НОД чисел 43 и 293.

1) 1 2) 43 3) 293 4) 3 5) 12599

14. Укажите пару взаимно простых чисел.

1) 12 и 25 2) 18 и 56 3) 25 и 990 4) 75 и 15 5) 81 и 45

15. Какое из чисел не является делителем числа 286?

1) 25 2) 11 3) 13 4) 22 5) 286

16. Какая из данных сумм кратна 2?

1) 96526 + 21238 2) 255120 + 21203 3) 123 + 2144584

4) 12458 + 54981 5) 98989 + 89898

17. Сколько натуральных чисел, кратных 3, находятся между числами 25 и 38?

1) 4 2) 1 3) 3 4) 8 5) 12

18. Сколько существует двузначных чисел, кратных 11, но не кратных 33?

1) 6 2) 9 3) 3 4) 1 5) 12

19. В упаковке 28 шариковых ручек. Сколько ручек можно взять, не вскрывая упаковку?

1) 112 2) 14 3) 7 4) 121 5) 86

20. Сколько различных четырехзначных чисел, кратных 2, можно составить из цифр 1, 2, 4, 9. (Цифры в числах не повторяются)

1) 12 2) 24 3) 10 4) 6 3) 4

Правильным ответом ко всем заданиям является номер 1

Самоанализ

Вышепредставленный тест – это очень удобный и быстрый способ проверки и контроля усвоения знаний по теме «Делимость натуральных чисел». Знание теории и признаков делимости позволит учащимся очень быстро справиться с заданиями. К тому же проверка выполнения заданий отдельным учеником не займет много времени и поможет определить те разделы, которые требуют более глубокого изучения.

Список литературы

1. Стандарт основного общего образования по математике

2. Примерная программа основного общего образования по математике

3. Математика. 6 класс. КИМы к учебн. ВиленкинаН.Я. и др. Попова Л.П.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/191501-test-po-matematike-delimost-naturalnyh-chisel

2.3. Взаимно простые числа.

2.3.1.
Определение.

Если (a,
b)=1,
то числа a
и b
называются взаимно
простыми
.
Вообще, пусть дана совокупность чисел
a1,
a2,
…, ak.
Они называются взаимно
простыми

(в
совокупности
),
если (a1,
a2,
…, ak)=1.
Если для любых ij
(i,
j=1,
2, … k)
имеет место (ai,
aj)=1,
то числа a1,
a2,
…, ak
называются попарно
взаимно простыми
.

2.3.2.
Теорема.

Справедливы
следующие свойства взаимно простых
чисел
:

1о.
Если a
и
b

взаимно
простые
, то
существуют такие целые числа
u
и
v,
что

ua+vb=1. (2.5)

2о.
Если a
и
b

взаимно
простые
, то
для любого целого

c
имеет место равенство

(ac,
b)=(с,
b).

3о.
Если
a
| bc,
a
и
b

взаимно
простые числа
,
то
a
| c.

4о.
Если a
| c
и
b
| c,
(a,
b)=1,
то
ab
| c.

5о.
Если каждое
из чисел
a1,
a2,
…, ak
взаимно просто с каждым из чисел

b1,
b2,
…, bl,
то произведение
a1a2ak
взаимно просто с произведением

b1b2bl.

6о.
Числа
1, 2, …, a1
взаимно
просты с
a
тогда и только тогда
,
когда
a

простое.

§3. Простые числа. Основная теорема арифметики.

На
какие числа делится 6? На 1, 2, и 3. А на
какие делится 5? На 1 и 5. На какие делятся
соответственно 12 и 13? 12 — на 1, 2, 3, 4, 6 и
12, а 13 — на 1 и 13. Как видим, некоторые
числа могут делиться только на 1 и само
себя, а некоторые — кроме 1 и самого
себя, ещё на другие.

3.1. Простые числа.

3.1.1.
Определение
.
Если число, не равное 1, делится только
на единицу и на само себя, то оно называется
простым.
Если кроме 1 и самого себя у числа есть
другие делители, то оно называется
составным.
Число 1 считается ни простым, ни составным.

В
наших примерах простыми являются 5 и
13, а 6 и 12 — составные.

Простыми
являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т.д. Этот
ряд можно продолжить. Возникает вопрос:
можно ли этот
ряд простых чисел продолжить до
бесконечности
,
или существует
такое простое число

p,
больше
которого простых чисел не существует
?

Ответ на этот
вопрос даёт

3.1.2.
Теорема.

Простых чисел
бесконечно много
.

3.1.3.
Теорема.

Справедливы
следующие простейшие свойства простых
чисел
:

1о.
Наименьший
отличный от
1
положительный
делитель целого числа
a
является
простым
. В
частности, любое
целое число делится на некоторое простое
число
.

2о.
Для любого
числа
a
и простого
p
либо
p
| a,
либо
(a,
p)=1.

3о.
Если
p
| a1a2ak,
где
p

простое
число
, то
p
делит один
из сомножителей числа

a1a2ak.

3.2.
Основная теорема арифметики.

Рассматривая 6 как произведение, имеем
6=23=32,
то есть 6 можно представить как произведение
простых чисел. Далее, 12=43=26.
В свою очередь, 4 и 6 можно тоже представить
в виде произведения 4=22,
6=32.
Поэтому 12=223=232,
то есть 12 тоже представляется в виде
произведения простых чисел. Рассмотрим
ещё пример:

720=7210=23625=24925=2223325,

то
есть, постепенно разлагая делители
числа 720, мы пришли к тому, что представили
это число в виде произведения простых
сомножителей. Ясно, что это произведение
можем записать в другом виде

720=2532232.

В
любом случае в разложении числа 720 будут
участвовать 5 двоек, 2 тройки и 1 пятёрка.
Это же можно сказать про любое целое
положительное число.

Таким образом,
простые числа являются своеобразными
“кирпичиками”, из которых состоят
числа.

Сформулируем
сказанное в виде теоремы:

3.2.1.
Теорема.

Любое целое
положительное число можно представить
в виде произведения простых чисел
.
Если имеются
два различных таких представления
,
то они могут
отличаться только порядком следования
сомножителей
,
но не
количеством тех или иных сомножителей
.

Эта
теорема носит название основной
теоремы арифметики
.

Пусть
n=q1q2qt

разложение натурального числа n
на простые множители. В этом разложении
q1
может участвовать несколько раз. Если
q1=p1
в этом разложении встречается 1
раз, то, собрав все эти сомножители
вместе и обозначив их произведение, как
обычно, через
,
получим

n=r1r2rs,
(3.2.1)

где
r1r2rs

произведение оставшихся простых
сомножителей, отличных от p1.
Снова простой сомножитель r1=p2
в (3.2.1) может участвовать несколько,
скажем, 2,
раз. Собрав эти сомножители вместе и
обозначив полученное произведение
через
,
имеемn=s1s2sl,
где s1s2sl

произведение остальных простых
сомножителей, отличных от p1
и p2.
Далее, собрав простые сомножители s1=p3
и обозначив их произведение через
и, продолжая дальше этот процесс, получим
следующее разложение числаn:

n=…,
(3.2.2)

где
p1,
p2,
…, pk

попарно различные простые числа.

3.2.2.
Определение.
Представление натурального
числаnв виде
(3.2.2), гдеp1,p2, …,pkпопарно различные
простые числа, называетсяканоническим
разложением
числаn.

Очевидно,
если, n=…
другое каноническое разложение, то k=l
и эти разложения отличаются только
порядком следования сомножителей вида

(соответственно).
Если же в (3.2.2) потребовать, чтобыp1,
p2,
…, pk
располагались в порядке возрастания
(или убывания), то разложение (3.2.2) будет
однозначным.

Впредь
под каноническим
разложением

будем подразумевать такое разложение
(3.2.2), в котором p1,
p2,
…, pk
располагаются по возрастанию.

Практическое
разложение в произведение простых чисел
заключается в следующем. Пусть требуется
разложить в произведение простых
сомножителей число 3603600. Это число
делится на 2: 3603600=21801800.
Снова 1801800 делится на 2: 1801800=2900900.
Продолжая делить на 2, получаем
3603600=24225225.
Теперь 225225 не делится на 2, но делится
на 3 (так как 2+2+5+2+2+5=18 делится на 3). Поэтому
делим 225225 на 3: 225225=375075.
Так как 7+5+0+7+5=24 делится на 3, то 75075 делится
на 3: 75075=325025.
Теперь 25025 не делится на 3 (2+5+0+2+5 не делится
на 3), но делится на 5 (так как оканчивается
на 5): 25025=55005.
Снова 5005 делится на 5: 5005=51001.
Число 1001 не делится на 5, но делится на
7: 1001=7143.
Число 143, как легко видеть, не делится
на 7, но делится на 11: 143=1113.
В итоге получаем

3603600=24325271113.

Процесс
постепенного разложения числа на простые
множители оформляется в виде столбца

3603600

2

1801800

2

900900

2

450450

2

225225

3

75075

3

25025

5

5005

5

1001

7

143

11

13

13

1

3.2.3.
Упражнение.

Найти каноническое разложение чисел
1496495, 90441900, 560439000.

3.2.4.
Теорема.

Пусть
a=…
каноническое
разложение числа

a.
Тогда
b
| a
тогда и только тогда
,
когда
b
имеет каноническое разложение
b=… и 0ii
для всех

i=1,
2, …k.

3.2.5.
Упражнение.

Найти все делители чисел 360, 1350, 2700.

Решение.
Так как 360=23325,
по теореме 3.2.4 все делители числа 360
имеют вид 235,
где 04,
02,
01.
Перебираем все числа такого вида:
203050=1,
203051=5,
203150=3,
203151=15,
203250=9,
203251=45,
213050=2,
213051=10,
213150=6,
213151=30,
213250=18,
213251=90,
223050=4,
223051=20,
223150=12,
223151=60,
223250=36,
223251=180,
233050=8,
233051=40,
233150=24,
233151=120,
233250=72,
233251=360.

Ответ:
Множество делителей числа 360 
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60,
72, 90, 120, 180, 360}.

720 | Найдите факторы

Возможные варианты рождественского ужина:

С тех пор, как я устроил рождественский ужин для своей большой семьи, я подумал о некоторых из многих способов, которыми люди могли бы заполнить свои тарелки.

Если бы мы составили древовидную диаграмму всех возможных обедов, которые можно было бы приготовить с использованием ровно одного предмета из каждого столбца, она бы содержала 720 строк и потребовала бы довольно много страниц.

Фундаментальный принцип подсчета говорит нам, что самый простой способ подсчитать все эти обеды — это умножить количество предметов в каждом столбце.В этом случае это будет 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720.

6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720, и обычно пишется 6! = 720,

Факторные деревья для 720:

Создание древовидной диаграммы для 720 было бы довольно утомительным занятием, но создание факторного дерева для 720 настолько просто, что я сделал несколько из них:

Ни один из них не был очень привлекательным, но вот некоторые, которые выглядят намного лучше и на самом деле выглядят как рождественские елки:

Факторы 720:

720 имеет 30 факторов.2) х 5

  • Показатели степени в разложении на простые множители равны 4, 2 и 1. Добавляя по одному к каждому и умножая, мы получаем (4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 5 x 3 x 2 = 30. Следовательно, 720 имеет ровно 30 факторов.
  • Факторы 720: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80 , 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
  • Пары факторов: 720 = 1 x 720, 2 x 360, 3 x 240, 4 x 180, 5 x 144, 6 x 120, 8 x 90, 9 x 80, 10 x 72, 12 x 60, 15 x 48, 16 x 45, 18 x 40, 20 x 36 или 24 x 30
  • Взяв пару множителей с наибольшим квадратным числовым множителем, мы получим √720 = (√144) (√5) = 12√5 ≈ 26.8328157.
  • Пазлов на разницу сумм:

    180 имеет девять пар факторов. Одна из этих пар дает в сумме 41, а другая вычитает до 41. Поместите множители в соответствующие поля в первой головоломке.

    720 имеет пятнадцать пар факторов. Одна из пар факторов дает в сумме 82, а другая вычитает до 82. Если вы можете определить эти пары факторов, вы сможете решить вторую головоломку!

    Вторая загадка — это всего лишь первая замаскированная загадка.Почему я сказал это?

    Подробнее о номере 720:

    Вот еще несколько случайных фактов о числе 720:

    .

    Поскольку 5 является одним из его множителей, 720 — это гипотенуза тройки Пифагора 432-576-720. Каков наибольший общий делитель этих трех чисел? Наибольший общий фактор находится в паре факторов с номером 5. Все 15 пар факторов для 720 перечислены в конце сообщения.

    Сумма внутренних углов любого шестиугольника составляет 720 градусов.

    720 — это палиндром с тремя разными основаниями:

    • 5A5 в базе 11; обратите внимание, что 5 (121) + 10 (11) + 5 (1) = 720.
    • OO в базе 29; (O равно 24 по основанию 10) обратите внимание, что 24 (29) + 24 (1) = 720.
    • KK в базе 35; (K равно 20 по основанию 10) обратите внимание, что 20 (35) + 20 (1) = 720.

    : множители 720 — найти простое факторизацию / множители 720

    Знаете ли вы, что 720 — единственное четное составное число, состоящее из 30 факторов? В этой главе мы вычислим множители 720, простые множители 720 и множители 720 в парах вместе с решенными примерами и интерактивными вопросами для лучшего понимания.

    • Факторы 720: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360 и 720
    • Простая факторизация 720: 720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 4 × 3 2 × 5

    Какие множители 720?

    Все числа, произведение которых дает 720, называются множителями 720. Числа, которые делят 720, не оставляя остатка, являются множителями 720.Следовательно, когда любые два целых числа умножаются друг на друга и получается 720 в качестве ответа, говорят, что оба эти числа являются множителями 720.

    Как вычислить множители 720?

    Коэффициенты 720 вычисляются путем определения всех чисел, которые делят 720, не оставляя остатка. Следовательно, делители и их частные являются множителями 720.

    Числа Делительные 720 Факторы 720
    720/1 = 720 1 и 720 — множители 720.
    720/2 = 360 2 и 360 — множители 720.
    720/3 = 240 3 и 240 — множители 720.
    720/4 = 180 4 и 180 — множители 720.
    720/5 = 144 5 и 144 — множители 720.
    720/6 = 120 6 и 120 — множители 720.
    720/8 = 90 8 и 90 — множители 720.
    720/9 = 80 9 и 80 — множители 720.
    720/10 = 72 10 и 72 — множители 720.
    720/12 = 60 12 и 60 — множители 720.
    720/15 = 48 15 и 48 — множители 720.
    720/16 = 45 16 и 45 — множители 720.
    720/18 = 40 18 и 40 — множители 720.
    720/20 = 36 20 и 36 — множители 720.
    720/24 = 30 24 и 30 — множители 720.

    Следовательно, множители 720 равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360 и 720.

    Изучите факторы, используя иллюстрации и интерактивные примеры.

    • Факторы 360 — Факторы 360: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72 , 90, 120, 180 и 360.
    • Факторы 270 — Факторы 270 равны 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 27, 54, 135 и 270.
    • Факторы 216 — Факторы 216: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108 и 216.
    • Факторы 180 — Факторы 180 равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90 и 180.
    • Факторы 91 — Факторы 91 равны 1, 7, 13 и 91.
    • Факторы 24 — Факторы 24 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.

    Факторы 720 по прайм-факторизации

    Разложение на простые множители 720 выражает 720 как произведение его простых множителей. Чтобы получить разложение на простые множители 720, мы можем использовать два метода:

    • Метод 1: Метод факторного дерева
    • Метод 2: Метод перевернутого деления

    Метод 1: Метод факторного дерева

    Дерево факторов 720:

    Метод 2: Метод перевернутого деления

    Разделив 720 на наименьший простой фактор, равный 2, мы получим

    .

    720/2 = 360

    Затем 360 делится на наименьшее простое множитель и получается частное.Этот процесс повторяется до тех пор, пока мы не получим частное 1.
    Разложение на простые множители 720:

    Следовательно, простые множители 720 равны 2, 3 и 5.
    Разложение 720 на простые множители равно 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5.

    Фактор 720 в парах

    Пары чисел, произведение которых дает 720, известны как пары множителей 720. Давайте рассмотрим следующую таблицу, в которой множители 720 попарно. Мы рассматриваем отрицательные целые числа как отрицательные парные множители, поскольку произведение двух отрицательных целых чисел всегда дает положительное целое число (- ve × — ve) = + ve.

    Положительные парные факторы 720 Отрицательные парные множители 720
    (1, 720) (-1, -720)
    (2, 360) (-2, -360)
    (3, 240) (-3, -240)
    (4, 180) (-4, -180)
    (5, 144) (-5, -144)
    (6, 120) (-6, -120)
    (8, 90) (-8, -90)
    (9, 80) (-9, -80)
    (10, 72) (-10, -72)
    (12, 60) (-12, -60)
    (15, 48) (-15, -48)
    (16, 45) (-16, -45)
    (18, 40) (-18, -40)
    (20, 36) (-20, -36)
    (24, 30) (-24, -30)

    Важные примечания:

    • Сумма цифр 720 равна 9.Поскольку 9 делится на 3, 3 является одним из делителей 720.
    • 720 не является точным квадратным числом. Таким образом, он имеет четное количество факторов.

    Часто задаваемые вопросы о факторах 720

    Какие множители 720?

    Факторы 720: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360 и 720.

    Какие простые множители 720?

    Простые множители 720: 2, 3 и 5.

    Какие множители 720 равны полному квадрату?

    Множители 720, которые представляют собой полные квадраты, равны 1, 4, 9, 16, 36 и 144.

    Какие общие множители у 720 и 320?

    Факторы 720: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360 и 720.
    Множители 320: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160 и 320.

    Следовательно, общие множители 720 и 320 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 и 80.

    Каковы отрицательные парные факторы 720?

    Отрицательные парные множители 720: (-1, -720), (-2, -360), (-3, -240), (-4, -180), (-5, -144), (- 6, -120), (-8, -90), (-9, -80), (-10, -72), (-12, -60), (-15, -48), (-16, -45), (-18, -40), (-20, -36) и (-24, -30).

    Что такое деление числа 720 на простые множители?

    Почему факторизация 720 на простые множители записывается как 2

    4 x 3 2 x 5 1 ?

    Что такое факторизация на простые множители?

    Разложение на простые множители или Разложение на простые множители — это процесс определения, какие простые числа можно умножить вместе, чтобы получить исходное число.

    Нахождение простых множителей 720

    Чтобы найти простые множители, вы начинаете с деления числа на первое простое число, которое равно 2. Если есть
    — это не остаток, то есть вы можете разделить поровну, тогда 2 — коэффициент числа. Продолжайте делить на 2, пока вы больше не сможете делить поровну. Запишите, на сколько двоек вы смогли равномерно разделить.
    Теперь попробуйте разделить на следующий простой множитель, равный 3.Цель состоит в том, чтобы получить частное от 1.

    Если еще нет смысла, попробуем …

    Вот несколько первых простых множителей: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …

    Начнем с деления 720 на 2

    720 ÷ 2 = 360 — без остатка! 2 — это один из факторов!
    360 ÷ 2 = 180 — без остатка! 2 — это один из факторов!
    180 ÷ 2 = 90 — без остатка! 2 — это один из факторов!
    90 ÷ 2 = 45 — без остатка! 2 — это один из факторов!
    45 ÷ 2 = 22.5 — Есть остаток. Мы больше не можем делить на 2 поровну. Давайте попробуем следующее простое число
    45 ÷ 3 = 15 — без остатка! 3 — один из факторов!
    15 ÷ 3 = 5 — без остатка! 3 — один из факторов!
    5 ÷ 3 = 1,6667 — есть остаток. Мы больше не можем делить на 3 поровну. Давайте попробуем следующее простое число
    5 ÷ 5 = 1 — без остатка! 5 — один из факторов!

    Оранжевый делитель (и) выше — простые множители числа 720. Если сложить все вместе, мы получим множители 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 720.Его также можно записать в экспоненциальной форме как 2 4 x 3 2 x 5 1 .

    Дерево факторов

    Другой способ выполнить разложение на простые множители — использовать факторное дерево. Ниже представлено факторное дерево для числа 720.

    Другие примеры простой факторизации

    Попробуйте калькулятор коэффициентов

    Подводя итоги720

    .


    Здесь у нас есть коллекция всей информации, которая может вам понадобиться о простых факторах 720.Мы дадим вам
    определение основных факторов 720, покажет вам, как найти основные факторы 720 (простая факторизация 720), создав дерево основных факторов 720,
    скажите вам, сколько существует основных факторов 720, и мы покажем вам произведение основных факторов 720.

    Основные множители определения 720
    Сначала обратите внимание, что все простые числа — это целые положительные числа, которые могут быть равномерно разделены только на 1 и на себя. Подводя итоги 720 град.
    все простые числа, которые при умножении равны 720.


    Как найти простые множители 720
    Процесс нахождения простых факторов 720 называется простой факторизацией 720. Чтобы получить простые множители 720, вы делите 720 на наименьшее.
    возможно простое число. Затем вы берете результат и делите его на наименьшее простое число. Повторяйте этот процесс, пока не получите 1.

    Этот процесс первичной факторизации создает то, что мы называем деревом первичных факторов 720. См. Иллюстрацию ниже.

    Все простые числа, которые используются для деления в дереве простых множителей, являются простыми числами.
    Факторы 720.Вот математика для иллюстрации:

    720 ÷ 2 = 360
    360 ÷ 2 = 180
    180 ÷ 2 = 90
    90 ÷ 2 = 45
    45 ÷ 3 = 15
    15 ÷ 3 = 5
    5 ÷ 5 = 1

    Опять же, все простые числа, которые вы использовали для деления выше, — это простые множители 720. Таким образом, простые числа 720:

    2, 2, 2, 2, 3, 3, 5.


    Сколько простых факторов равняется 720?
    Когда мы подсчитываем количество простых чисел выше, мы обнаруживаем, что 720 имеет в общей сложности 7 основных факторов.

    Произведение основных факторов 720
    Основные факторы 720 уникальны для 720. Если умножить все основные факторы 720 вместе, получится 720.
    Это называется произведением основных факторов 720. Произведение основных факторов 720 составляет:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 720

    Калькулятор основных факторов
    Нужен ли вам простой Факторы для определенного числа? Вы можете указать число ниже, чтобы узнать основные факторы
    это число с подробными объяснениями, как мы сделали с Prime Factors 720 выше.

    Подводя итоги 721
    Мы надеемся, что это пошаговое руководство по основным факторам 720 было полезным. Вы хотите пройти тест? Если да, попробуйте найти основные факторы.
    следующего номера в нашем списке, а затем проверьте свой ответ здесь.


    Авторские права |
    Политика конфиденциальности |
    Заявление об ограничении ответственности |
    Контакт

    множителей из 720 — из нашего калькулятора множителей

    Какие множители 720?

    Это целые числа, которые можно без остатка разделить на 720; они могут быть выражены как отдельные
    факторов или как пары факторов.В данном случае мы представляем их обоими способами. Это математическое разложение определенного числа.
    Хотя обычно это положительное целое число, обратите внимание на комментарии ниже об отрицательных числах.

    Что такое факторизация 720 на простые множители?

    Факторизация на простые множители — это результат разложения числа на набор компонентов, каждый член которого является простым числом.
    Обычно это записывается путем отображения 720 как произведения его основных множителей.
    Для
    720, этот результат будет:

    720 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5

    (это также известно как разложение на простые множители; наименьшее простое число в этой серии описывается как наименьшее простое множитель)

    720 — это составное число?

    Да! 720 — составное число.Это произведение двух положительных чисел, кроме 1 и самого себя.

    Является ли 720 квадратным числом?

    Нет! 720 — это не квадратное число. Квадратный корень из этого числа (26,83) не является целым числом.

    Сколько факторов у 720?

    Это число состоит из 30 факторов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720

    Более конкретно, показаны парами…

    (1 * 720) (2 * 360) (3 * 240) (4 * 180) (5 * 144) (6 * 120) (8 * 90) (9 * 80) (10 * 72) ( 12 * 60) (15 * 48) (16 * 45) (18 * 40) (20 * 36) (24 * 30) (30 * 24) (36 * 20) (40 * 18) (45 * 16) ( 48 * 15) (60 * 12) (72 * 10) (80 * 9) (90 * 8) (120 * 6) (144 * 5) (180 * 4) (240 * 3) (360 * 2) ( 720 * 1)

    Какой наибольший общий делитель 720 и другого числа?

    Наибольший общий делитель двух чисел может быть определен путем сравнения факторизации на простые множители (факторизации в некоторых текстах) двух чисел.
    и беря наивысший общий простой множитель.Если нет общего множителя, gcf равен 1.
    Это также называется наивысшим общим множителем и является частью общих простых множителей двух чисел.
    Это самый большой множитель (наибольшее число), которое два числа делят в качестве основного множителя.
    Наименьший общий множитель (наименьшее общее число) любой пары целых чисел равен 1.

    Как найти наименее распространенное кратное 720 и другое число?

    У нас есть калькулятор наименьшего общего кратного. Решение — наименьшее общее кратное.
    из двух номеров.

    Что такое факторное дерево

    Факторное дерево — это графическое представление возможных факторов числа и их подфакторов.
    Он предназначен для упрощения факторизации.
    Он создан
    нахождение множителей числа, а затем нахождение множителей множителей числа. Процесс продолжается рекурсивно
    до тех пор, пока вы не получите набор простых множителей, который является факторизацией исходного числа на простые множители.При построении дерева обязательно запомните второй элемент в факторной паре.

    Как найти множители отрицательных чисел? (например, -720)

    Чтобы найти множители -720, найдите все положительные множители (см. Выше), а затем продублируйте их с помощью
    добавляя знак минус перед каждым (фактически умножая их на -1). Это устраняет негативные факторы.
    (обработка отрицательных целых чисел)

    720 — это целое число?

    Да.

    Каковы правила делимости?

    Делимость относится к данному целому числу, которое делится на данный делитель. Правило делимости — это сокращение
    система для определения того, что делится, а что нет. Сюда входят правила о нечетных и четных числовых множителях.
    Этот пример предназначен для того, чтобы учащийся мог оценить статус данного числа без вычислений.

    Основная факторизация 720 | Подводя итоги720

    .

    Используйте форму ниже, чтобы выполнить преобразование, разделяя числа запятыми.

    Факторы

    Основные факторы 720 = 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5

    Это то же самое, что = 2 4 x 3 2 x 5

    Дерево основных факторов 720

    720

    / \
    2360

    / \
    2180

    / \
    2 90

    / \
    2 45

    / \
    3 15

    / \
    3 5

    / \
    5 1

    Факторное дерево 720, приведенное выше, показывает уровень делений, выполненных для получения значений факторов.Изучите дерево, чтобы увидеть пошаговое деление

    Факторизация простых чисел или целочисленная факторизация числа — это определение набора простых промежуточных чисел, которые умножаются вместе, чтобы получить исходное целое число. Это также известно как разложение на простые числа.

    Преобразование в множители 720

    Мы получаем целочисленное разложение 720, найдя список простых чисел, которые могут делить число, вместе с их кратностями.

    Это простые числа, которые могут делить 720 без остатка. Итак, первое число, которое следует принять во внимание, — 2

    . Получение коэффициентов выполняется путем деления числа на числа меньшие по значению, чтобы найти тот, который не оставит остатка. Числа, которые делятся без остатка, являются множителями.

    Факторизации простых чисел отличаются от простых чисел. простые числа — это целые числа, которые можно разделить само на себя и 1. например, 7 можно разделить само на себя и 1, так что это простое число.

    Целые числа, которые можно разделить на другие числа, называются составными числами. Факторизация Prme выполняется для составных чисел, а не для простых чисел.

    Первые 10 простых целых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

    .

    Пример факторизации

    Допустим, мы хотим найти простые множители 50. Мы начинаем тестировать все целые числа, чтобы увидеть, как часто они делят 50 и последующее результирующее значение. Результирующий набор множителей будет простым, поскольку, например, когда исчерпывается 2, все кратные 2 также будут исчерпаны.

    50 ÷ 2 = 25; сохранить 2
    25 ÷ 2 = 12,5, не целое число, поэтому попробуйте следующее наибольшее число, 3
    25 ÷ 3 = 8,333, не целое, поэтому попробуйте следующее наибольшее число, 4
    25 ÷ 4 = 6,25, не целое число, поэтому попробуйте следующее наибольшее число, 5
    25 ÷ 5 = 5; сохранить 5
    5 ÷ 5 = 1; сохранить 5
    Итак, 50 множителей = 2 x 5 x 5, что совпадает с 2 x 5 2

    Инструкции:

    1. Введите число, которое вы хотите преобразовать.

      Разделите более 1 числа запятой.
    2. Нажмите, чтобы преобразовать в коэффициент

    Другие числовые преобразования, которые следует учитывать

    720 721 722 723 724 725 726727 728 729730 731 732 733 734 735 736 737 738 739

    Подводящие факторы

    Приведены примеры того, как найти простые множители положительного целого числа. Вы также можете использовать онлайн-калькулятор простых множителей для разложения положительных целых чисел.

    Множители положительного целого числа n — это все положительные целые числа, которые делят n с остатком, равным нулю.

    Например, 2, 3, 4 и 6 делятся на 12, так как

    12/2 = 6, 12/3 = 4, 12/4 = 3 и 12/6 = 2.

    Эти факторы также присутствуют, когда 12 записывается как произведение факторов (факторинг).

    Например, 12 = 6. 2, 12 = 4. 3 …

    Основная теорема арифметики утверждает, что существует только один способ, которым данное положительное целое число может быть представлено как произведение одного или нескольких простых чисел.

    Простое число n — это положительное целое число больше 1, которое имеет только 1 и n (само) в качестве положительных целых делителей.

    Ниже приведен список первых простых чисел.

    2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59, …

    Как найти простые множители положительного целого числа?

    Мы начинаем с деления заданного числа на 2, если возможно, затем делим результат на 2, если это возможно; если не разделить на следующее простое число 3 и продолжить, пока частное не станет простым числом

    Пример 1: Разложите 4 на простые числа

    Решение

    4 = 2.2 = 2 2

    Пример 2: Разложите 20 на простые числа

    Решение

    шаг 1. 20 = 2. 10

    шаг 2. 20 = 2. 2. 5

    20 = 2. 2. 5 = 2 2 . 5

    Пример 3: Разложите 100 на простые числа

    Решение

    шаг 1. 100 = 2. 50

    шаг2. 100 = 2. 2. 25

    шаг3. 100 = 2. 2. 5. 5

    100 = 2. 2. 5. 5 = 2 2 . 5 2

    Пример 5: Разложите 1020 на простые числа

    Решение

    шаг 1.1020 = 2. 510

    шаг 2. 1020 = 2. 2. 255

    шаг 3. 1020 = 2. 2. 3. 85

    шаг 4. 1020 = 2. 2. 3. 5. 17

    1020 = 2. 2. 3. 5. 17 = 2 2 . 3. 5. 17

    Пример 6: Разложите 634 на простые числа

    Решение

    шаг 1.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.