Равны ли диагонали в трапеции: Свойства диагоналей трапеции, с примерами

Все формулы диагоналей трапеции


Найти длину диагонали трапеции

зная все четыре стороны

или две стороны и угол

или высоту, сторону и угол

или площадь, другую диагональ и угол

и еще много других формул.

 

1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β — углы трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:

 


 

Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:

 

 

2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β — углы трапеции

h — высота трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции через высоту:

 


 

3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α, β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции :

Справедливо для данного случая :


 

4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

d1 , d2 — диагонали трапеции

 

Формула суммы квадратов диагоналей :

 

Формулы диагоналей трапеции :



 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Автор: Administrator

Четырехугольники

    Об объекте

    Параллельные прямые

    Треугольник

    Четырехугольники

    Окружность

    Тесты

    Литература

Четырехугольники


Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.


Свойства и признаки параллелограмма

  1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
  2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
  3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
  4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
  5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.


Свойство середин сторон четырёхугольника

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырехугольника.


Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.


Свойства и признаки прямоугольника

  1. Диагонали прямоугольника равны.
  2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.


Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.


Ромб

Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого равны.


Свойства и признаки ромба

  1. Диагонали ромба перпендикулярны.
  2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
  3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
  4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.


Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны.


Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).


Теорема о средней линии трапеции

  1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.


Замечательное свойство трапеции

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.


Равнобедренная трапеция

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.


Свойства и признаки равнобедренной трапеции

  1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
  2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
  3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
  4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
  5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.

« Eelmine | Järgmine »

Геометрия

— Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

спросил

Изменено
9 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено
8к раз

$\begingroup$

Заранее спасибо всем, кто может помочь мне в этом. В настоящее время я учусь в средней школе и хорошо справляюсь с уроками математики с отличием в моей школе, но из всей математики, которую я когда-либо изучал, доказательства всегда доставляли мне проблемы. И это то, чему мы только что начали заново учиться, мой криптонит. В любом случае, я просто не могу понять, как доказать эту проблему, как говорится.

Докажите, что если диагонали трапеции конгруэнтны, то трапеция равнобедренная, используя координатную геометрию.

Я могу использовать только такие вещи, как формула средней точки, формула расстояния, формула наклона и т. д. Я не могу использовать какие-либо геометрические теоремы, кроме теоремы Пифагора.

Я пытался нарисовать трапецию с точками (0,0), (a, b), (a+c, b) и (d,0), а затем, поскольку дано, что диагонали равны , нахождение расстояний диагоналей и установка их равными, и решение их для одной переменной. Затем я взял эту переменную и подставил ее к расстояниям двух катетов трапеции, поскольку у равнобедренной трапеции два конгруэнтных катета. К сожалению, я просто не могу сделать так, чтобы два конца трапеции оказались конгруэнтными. Если кто-нибудь может объяснить, как решить эту проблему, это было бы здорово!

  • геометрия
  • корректура
  • системы координат

$\endgroup$

$\begingroup$

Вот один из работающих подходов. Поскольку диагонали равны, а основания параллельны, легко показать, что верхний и нижний треугольники подобны, используя теорему об альтернативных внутренних и вертикальных углах. Назовем точку пересечения диагонали S и вершины трапеции A,B,C,D, при этом A находится в нижней левой вершине. Теперь BS кратно DS (скажем, коэффициент k), а AS кратно CS (тот же коэффициент k). Теперь используйте формулу площади для треугольника ½*b*c*sin(вложенный угол) для левого и правого треугольников, чтобы показать, что эти площади равны. В обоих случаях вы получите площадь ½*AS*DS*sin(угол) для левого и правого треугольников трапеции. Зная, что эти треугольники равны, а верхний и нижний треугольники подобны, я думаю, вы можете закончить доказательство 92$.

$\endgroup$

6

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

геометрия — Как решить площадь трапеции с помощью диагоналей

спросил

Изменено
3 года, 7 месяцев назад

Просмотрено
41к раз

$\begingroup$

Высота трапеции $10$ см. Длины двух диагоналей трапеции равны $30$ см и $50$ см. Вычислите площадь трапеции.

В домашнем задании я решил это, используя $${D_1D_2\over 2}$$, и мой учитель поставил мне неправильную оценку. Так что я не знаю, что я сделал не так. Пожалуйста помоги. Я знаю, что могу использовать формулу, только если диагонали составляют $90$ градусов. Но как мне это проверить?

  • геометрия
  • полигоны

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Площадь будет $\frac12\cdot 10\cdot (y+x+y+z)=5(x+2y+z)$ 92$

$\endgroup$

$\begingroup$

Чтобы помочь вам обдумать решение, нарисуйте две параллельные линии на расстоянии 10 см друг от друга. Нижний будет содержать B1, а верхний будет содержать B2. Нарисуйте две диагонали нужной длины от основания до верхней линии, убедившись, что они пересекаются. Теперь представьте, что вы двигаете одну из диагоналей по нижней и верхней линиям. Обратите внимание, что (B2+B2)/2 не изменяется (т.е. один растягивается, а другой сжимается). Таким образом, независимо от того, где пересекаются диагонали, у вас будет одна и та же площадь. Теперь раздвигайте их, пока точка пересечения не достигнет верхней линии (т. е. B2 = 0). Теперь у вас есть треугольник с той же площадью, что и трапеция. Вы знаете высоту и две стороны треугольника, немного геометрии, можете вычислить основание и готово.

$\endgroup$

$\begingroup$

Склеивание двух копий трапеции вместе с одной, повернутой на 180 градусов, может дать параллелограмм. Одна диагональ от каждой трапеции делит параллелограмм на два треугольника, каждый из которых имеет высоту 10 и стороны, примыкающие к вершине этой высоты, длиной 30 и 50.

Таким образом, площадь такая же, как у треугольника с двумя сторонами 30 и 50, а высота между ними 10. Достаточно ли этого?

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Так как вы можете перетаскивать основание 1 влево или вправо и не менять площадь, то, если вы перетащите меньшее основание, пока оно не образует прямой угол с основанием 2, вы получите трапецию, состоящую из одного квадрата и одного треугольника. Итак, мы знаем, что основание 1 = размер меньшего основания = одна сторона квадрата. Мы знаем, что гипотенуза = размеру меньшей диагонали. Поскольку угол представляет собой прямой угол, мы можем рассчитать высоту как квадратный корень из (сумма квадрата меньшей диагонали минус квадрат меньшего основания), тогда отсюда мы знаем площадь трапеции = длина середины сегмента, умноженная на высоту, поэтому усредните 2 известных основания и умножьте на вычисленная высота, и у вас есть площадь трапеции, учитывая только длину оснований и длину диагоналей.

$\endgroup$

$\begingroup$

Теорема, которая вам нужна, состоит в том, что

площадь трапеции вдвое меньше площади параллелограмма.

Рассмотрим трапецию $ABCD.$ Ее ограничивающий параллелограмм определяется следующим образом. Посмотрите на диагональ $AC,$, затем из $C$ проведите линию, параллельную другой диагонали $BD$, до пересечения с $AB$, продолженной в точке $B’.$ Аналогичным образом проведите линию от $A$ до пересечения с $CD$ продолжен в $D’.$ Тогда по построению $AB’CD’$ является параллелограммом и называется ограничивающим параллелограммом трапеции $ABCD.$ Я предоставляю вам убедиться в том, что ограничивающий параллелограмм определен однозначно (до совпадения, т.е.). Вам нужно только повторить приведенную выше конструкцию для другой диагонали и доказать конгруэнтность, либо использовать соответствующие преобразования.

Теперь, объяснив понятие ограничивающего параллелограмма , , докажем приведенную выше теорему. Сначала я буду использовать обозначение $[XYZ],$, например, для обозначения площади простого многоугольника $XYZ.$ Тогда мы получим, что $$[ABDD’]+[BB’CD]=[AB’CD’] .$$ Но $[ABCD]=[ABD]+[BCD].$ Однако $[ABDD’]=2[ABD]$ и $[BB’CD]=2[BCD],$ из чего следует результат .

Теперь применив его к вашему случаю, мы получим площадь трапеции $ABCD$ как $[AD’C],$ с $|AC|=30$ и $|BD|=|AD’|=50.$ Кроме того, пусть $\angle BDC=\angle AD’C=\phi$ и $\angle ACD=\theta.$ Если $M$ — точка, в которой высота из $A$ пересекает $D’C,$, то $$ |D’C|=|D’M|+|MC|=|D’A|\cos \phi + |AC|\cos \theta=50 \cos \phi + 30 \cos \theta.$$ Кроме того, $$10=|AM|=|D’A|\sin \phi = |AC|\sin \theta=50 \sin \phi = 30 \sin \theta,$$, что дает $\sin \phi = 1/5$ и $\sin \theta = 1/3,$, так что $\cos \phi = \sqrt{24}/5$ и $\cos \theta = \sqrt{8}/3,$ и, наконец, $|D’ C|=10(\sqrt{24} + \sqrt{8}),$ так, что $$[ABCD]=\frac 1 2\cdot 10\cdot 10(2\sqrt{6} + 2\sqrt{2 })=100(\sqrt{6} + \sqrt{2}).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *