Равен arccos x: arcsin, arccos, arctg arcctg.

Содержание

Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус ( y = arcsin x )
 – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  –π/2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x     ;
arcsin(sin x) = x     .

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции   y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус ( y = arccos x )
 – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения  –1 ≤ x ≤ 1  и множество значений  0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x     ;
arccos(cos x) = x     .

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции   y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

  y = arcsin x y = arccos x
Область определения и непрерывность – 1 ≤ x ≤ 1 – 1 ≤ x ≤ 1
Область значений  
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы    
Минимумы    
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 x arcsin x arccos x
град. рад. град. рад.
– 1 – 90° 180° π
– 60° 150°
– 45° 135°
– 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90° 0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

См. Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

     при или

     при и

     при и

     при или

     при и

     при и

     при

     при

     при

     при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку   x = sin t. Интегрируем по частям, учитывая что  –π/2 ≤ t ≤ π/2,  cos t ≥ 0:
.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x    
cos(arccos x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x     при
arccos(cos x) = x     при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ • Большая российская энциклопедия

ОБРА́ТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ (арк­функ­ции, кру­го­вые функ­ции), функ­ции, об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ским функ­ци­ям. Зна­че­ния О. т. ф. яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем сле­дую­щей за­да­чи: най­ти чис­ло по за­дан­но­му зна­че­нию его три­го­но­мет­рич. функ­ции. Шес­ти осн. три­го­но­мет­рич. функ­ци­ям со­от­вет­ст­ву­ют шесть О. т. ф.: арк­си­нус, арк­ко­си­нус, арк­тан­генс, арк­ко­тан­генс, арк­се­канс, арк­ко­се­канс (на­зва­ния про­ис­хо­дят от лат. arc – ду­га), они обо­зна­ча­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но $\textrm{Arcsin}\,x, \textrm{Arccos}\,x, \textrm{Arctan}\,x, \textrm{Arccot}\,x, \textrm{Arcsec}\,x, \textrm{Arccosec}\,x $(две по­след­ние функ­ции ма­ло упот­ре­би­тель­ны и да­лее не рас­смат­ри­ва­ют­ся). {–1}x.$

Таб­ли­ца 1. Свой­ст­ва об­рат­ных три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Функция Область определения Множество значений Монотонность
$\arcsin x$ $-1⩽x⩽1$ $\big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]$ возрастает
$\arccos x$ $-1⩽x⩽1$ $[0, \pi]$ убывает
$\arctan x$ $-\infty \lt x +\infty$ $\big[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big]$ возрастает
$\textrm {arccot}\,x$ $-\infty \lt x \lt +\infty$ $[0, \pi]$ убывает
Таб­ли­ца 2. Зна­че­ния об­рат­ных три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций арк­си­нус и арк­ко­си­нус
Аргумент                                         Функция
$$\arcsin x$$ $$\arccos x$$
$$-1$$ $$-\frac{\pi}{2}$$ $$\pi$$
$$-\frac{\sqrt3}{2}$$ $$-\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{5\pi}{6}$$
$$-\frac{\sqrt 2}{2}$$ $$-\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{3\pi}{4}$$
$$-\frac{1}{2}$$ $$-\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{2\pi}{3}$$
$$0$$ $$0$$ $$\frac{\pi}{2}$$
$$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{3}$$
$$\frac{\sqrt 2}{2}$$ $$\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{4}$$
$$\frac{\sqrt 3}{2}$$ $$\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{6}$$
$$1$$ $$-\frac{\pi}{2}$$ $$0$$

 

Таб­ли­ца 3.  Зна­че­ния об­рат­ных три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций арк­тан­генс и арк­ко­тан­генс

Аргумент

         Функция
$$\arctan x$$ $$\textrm{arccot}\,x $$
$$-\infty$$ $$-\frac{\pi}{2}$$ $$\pi$$
$$-\sqrt3$$ $$-\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{5\pi}{6}$$
$$-1$$ $$-\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{3\pi}{4}$$
$$-\frac{\sqrt3}{3}$$ $$-\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{2\pi}{3}$$
$$0$$ $$0$$ $$\frac{\pi}{2}$$
$$\frac{\sqrt3}{3}$$ $$\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{3}$$
$$1$$ $$\frac{\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{4}$$
$$\sqrt 3$$ $$\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{6}$$
$$+\infty$$ $$\frac{\pi}{2}$$ $$0$$

 

Впер­вые спец. сим­во­лы для О.  т. ф. ис­поль­зо­вал Д. Бер­нул­ли (1729, 1736), совр. обо­зна­че­ния для О. т. ф. вве­ли в 1772 австр. ма­те­ма­тик К. Шер­фер и Ж. Ла­гранж.

Об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го  $arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx$ оп­ре­де­ля­ют­ся как об­рат­ные к функ­ци­ям $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x$, за­данным со­от­вет­ст­вен­но на про­ме­жут­ках $[-π/2, π/2], [0, π], (-π/2, π/2), (0, π)$. Т. о., ра­вен­ст­во$$y=\arcsin x$$оз­на­ча­ет, что $\sin y=x$ и $-π/2 \leqslant y \leqslant π/2:$$$\{ y=\arcsin x \} ⇔ \{ \sin y=x, -π/2 \leqslant y \leqslant π/2 \}.$$

Ана­ло­гич­но,$$\{ y= \arccos x \} ⇔ \{ \cos y=x, 0 \leqslant y \leqslant π \}, \\ \{ y= \arctan x \} ⇔ \{ \tan y=x, -\pi/2 \lt y \lt \pi/2 \}, \\ \{y = \arctan x \} ⇔ \{\cot y=x, 0 \lt y \lt \pi \}.$$ Эти О. т. ф. од­но­знач­ны, не­пре­рыв­ны и их свой­ст­ва вы­те­ка­ют из свойств три­го­но­мет­рич. функ­ций (табл. 1). Зна­че­ния О. 2-1,}\\ \textrm{Arctan}\,z=\frac{i}{2}\textrm{Ln}\frac{1-iz}{1+iz},\\ \textrm{Arccot}\,z=\frac{i}{2}\textrm{Ln}\frac{z-i}{z+i}.$$

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Методические разработки по теме: «Обратные тригонометрические функции»

Тема:

Обратные тригонометрические
функции
.


1.

Функции. Определения. Графики и
свойства


1.1 Функция у=arcsin x


Для тригонометрической функции Y = sin x,
рассматриваемой в интервале , переход
к однозначной обратной функции невозможен, так
как одному значению у соответствует множество
значений аргумента х. Поэтому обратная функция у
= arcsin x при каждом значении х, лежащем на отрезке , имеет
бесчисленное множество значений. При изучении
функции, обратной синусу, выбирают отрезок , на
котором функция Y= sin x возрастает, и рассматривают
соответствующую этому отрезку обратную функцию
у = аrcsin x, которую называют главным значением у =
Arcsin x.



Определение 1. Обратной
тригонометрической функцией у=arcsin x. называют
дугу (угол) у, взятую на отрезке , синус
которой равен х. ( Равенства у=Arcsin x и Х= sin у -
эквивалентны).

Основные свойства функции у = аrcsin x.

1. Функция у = аrcsin x определена на
отрезке, D(у).

2. На отрезке функция у = аrcsin x возрастает,
E(у).

3. Функция у = аrcsin x нечетная, аrcsin (-x) =
-аrcsin (x).

4. Функция у= аrcsin x называется главным
значением у = arcsin x. Все значения дуг (углов) синус
которых равен х, определяются формулой

Аrcsin x =(-1), где n . (1.1)

1.2. Функция у= arccos x.

Определение 2. Обратной
тригонометрической функцией у=arccos x называют
дугу (угол) у, взятую на отрезке , косинус которой
равен х. (Равенство у=arccos x и cos y=x эквивалентны).

Основные свойства функции у=аrccos x.

1. Функция у=аrccos x определена на
отрезке, D(у).

2. На отрезке функция у=аrccos x возрастает,
E(у).

3. Функция у=аrccos x свойством нечетности
и четности не обладает, справедливо равентсво
arccos (-x) =

4. Функция у= аrccos x называется главным
значением у= Аrccos x. Все значения дуг(углов)косинус
которых равен х, определяются формулой

Аrcсos x =, где n . (1.2)

1.3 Функция у= arctg x



Определение 3. Обратной
тригонометрической функцией у=arctg x. называют
дугу (угол) у, взятую на отрезке , тангенс
которой равен х. ( Равенства у=arctg x и Х= tg у -
эквивалентны).



Основные свойства функции у = аrctg x.

1. Функция у=аrctg x определена на отрезке , D(у)= .

2. На отрезке функция у=аrctg x возрастает,
E(у).

3. Функция у = аrctg x нечетная, аrctg (-x) = -аrctg
(x).

4.Функция у = аrctg x называется главным
значением функции у = Аrctg x. Все значения дуг
(углов) синус которых равен х, определяются
формулой x

Аrctg x =, где n . (1.3)

1.4 Функция у= arcctg x



Определение 4. Обратной
тригонометрической функцией у=arcctg x называют
дугу (угол) у, взятую на отрезке x,
котангенс которой равен х. (Равенства у=arcсtg x и Х=
сtg у – эквивалентны).



Основные свойства функции у=аrcсtg x.

1. Функция у = аrcctg x определена на
отрезке , D(у)= .

2. На отрезке функция у = аrcсtg x убывает,
E(у)=

3. Функция у = аrсctg x не обладает ни
свойством четности, ни свойством нечетности, но
для нее справедливо arcctg (-x)=

4.Функция у = аrcctg x называется главным
значением у = Аrcctg x. Все значения дуг (углов)
котангенс которых равен х, определяются формулой
x

Аrcсtg x =, где n . (1.4)

2. Основные соотношения для обратных
тригонометрических функций:

sin(arcsinx)=x, если (2.1)

cos(arccosx)=x, если (2.2)

tg(arctgx)=x, если (2.3)

ctg(arcctgx)=x, если (2.4)

arcsin(sinx)=x, если (2.5)

arcos(cosx)=x, если (2.6)

arctg(tgx)=x, если (2.7)

arcctg(ctgx)=x, если (2.8)

3. Применение свойств обратных
тригонометрических функций.

Решая различные вычислительные задачи с
обратными тригонометрическими функциями, я
подразделила их на следующие:

1) Вычисление значений обратных
тригонометрических функций разными способами:
применяя свойства функций, тригонометрические
формулы и графический способ. (Эти вопросы я
рассматриваю в данной статье).

2) Решение уравнений, неравенств и систем,
содержащих обратные тригонометрические функции.

3) Построение графиков, содержащих обратные
тригонометрические функции.

4) Решение уравнений, систем, неравенств с
параметром.



3.1 Вычислите:

1).

Дополнительно:

6).

7).

9)



3.1. Учитывая область значений
аркфункций и формулы 2.5-2.8 , вычислите:

График фигуры Y=Arccos(cosx) .

главный- arccos(cosx)=x, если

y(10)= 4?-10 12,56-10=2,56, 2,56.(При
условии, что )

12) arcsin(sin6)=

График фигуры Y=Arcsin(sin(x)) в приложении №1.

Учитывая, что главный арксинус имеет
область значений тогда

arcsin(sinx)=x, если

Ответ: arcsin(sin6)=.

13) arctg(tg. Учитывая, что y=tgx имеет период , то

Ответ:.

Дополнительно:

14) ,

15) arcos(cos8)=3-8

16) arctg(tg4)=4-.

Для вычисления значений некоторых
обратных тригонометрических функций удобно
пользоваться следующими формулами

Докажем, данные формулы.

1) , .

2) arcsin z=, arccos z=.

4) Учитывая пункт 2), получим :

.

Аналогично доказывается и второе
равенство.

3.2 Вычислить:

17)

Решение: ,

?-3 + arcos(sin3) = ,

Ответ: arcos(sin3) =3- .

18) Решение: arctg(tg)+arcctg(ctg)=,

arctg(tg)+ =,

Ответ: arctg(tg)= — .

Дополнительно:

19);

20);

21);

22) .



3.3. Вычислить, используя формулы
двойного, тройного и половинного аргумента.

Дополнительно:

28) sin(2arctg3)=

29)

График arcsin cos x.

Вывод формул обратных тригонометрических функций

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы.
Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4.

Или arctg(-1,3).

Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4
! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc
sin
0,4

угол,
синус которого
равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc
означает дуга
(слово арка
знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки.
Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная
расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных
заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам?
— слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку:
arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5.
Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов
. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°.
Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус. .. Что такое арктангенс, арккотангенс…
То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку:
арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1)
— это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные
значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного
значения внутри арккосинуса к положительному
по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное
значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С


Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:

1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:


x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin
x
,
при заданном ,
имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x
такой корень, то и x + 2πn

(где n
целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны
. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin
x
.
Если ограничить аргумент x
интервалом ,
то на нем функция y = sin
x
монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin
y
.

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin
x
)

— это функция, обратная к синусу (x = sin
y

Арккосинус (y = arccos
x
)

— это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
), имеющая область определения и множество значений .

Арктангенс (y = arctg
x
)

— это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y
), имеющая область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg
x
)

— это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x
.
См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin
x

y = arccos
x

y = arctg
x

y = arcctg
x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin
x)
= x
при
sin(arcsin
x)
= x

arccos(cos
x)
= x
при
cos(arccos
x)
= x

arctg(tg
x)
= x
при
tg(arctg
x)
= x

arcctg(ctg
x)
= x
при
ctg(arcctg
x)
= x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin
и arcsin
, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x
зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1.
Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ:
рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg
числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2.
Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ:
рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α
, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Представлен способ вывода формул для обратных тригонометрических функций. Получены формулы для отрицательных аргументов, выражения, связывающие арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Указан способ вывода формул суммы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin
x)
= x

cos(arccos
x)
= x

tg(arctg
x)
= x
(-∞ ctg(arcctg
x)
= x
(-∞

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin
x)
= x
при
arccos(cos
x)
= x
при
arctg(tg
x)
= x
при
arcctg(ctg
x)
= x
при

Если переменная x
не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n
— целое):
sin
x = sin(-
x-π)

;
sin
x = sin(π-x)

;
sin
x = sin(x+2
πn)

;

cos
x = cos(-x)

;
cos
x = cos(2
π-x)

;
cos
x = cos(x+2
πn)

;

tg
x = tg(x+πn)

;
ctg
x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что то
arcsin(sin
x)
=
arcsin(sin( π — x ))
= π — x .

Легко убедиться, что при π — x
попадает в нужный интервал. Для этого умножим на -1
: и прибавим π
:
или Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
— arcsin
x

Поскольку то умножив на -1
, имеем: или
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.
arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π — arccos
x

arctg(-
x)
=
arctg(-tg arctg
x)
=
arctg(tg(-arctg
x))
=
— arctg
x

arcctg(-
x)
=
arcctg(-ctg arcctg
x)
=
arcctg(ctg(π-arcctg
x))
=
π — arcctg
x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на -1
: и прибавим π/2
:
или Все правильно.

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin
x
,
Y = arcsin
y
.
Формула применима при
.
Далее замечаем, что, поскольку arcsin(-
x) = — arcsin
x,
arcsin(-
y) = — arcsin
y,
то при разных знаках у x
и y
,
X
и Y
также разного знака и поэтому неравенства выполняются. Условие различных знаков у x
и y
можно написать одним неравенством: .
То есть при формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0

и y > 0

,
или X > 0

и Y > 0

.
Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: .
Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0

,
до π
,
то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;

;

;

.

Поскольку и ;
то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;

.

Подставляем sin
X = sin arcsin
x = x
:

;

;

;

.

Итак, полученная формула справедлива при или .

Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0
и x 2 + y 2 > 1

.
Здесь аргумент синуса принимает значения: .
Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса :

Итак,

при и.

Заменив x
и y
на — x
и — y
,
имеем

при и.

Выполняем преобразования:

при и.

Или

при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:

при или ;

при и ;

при и .

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! Всё о Математических функциях и их графиках…


ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

y = arcsin x

y = arccos x

функция обратная функции y = sin x,
— / 2 x / 2
функция обратная функции y = cos x,
0 x

Свойства функций


y = arcsin x y = arccos x
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: [-1; 1] [-1; 1]
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ: [0; )
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ: нечетная ни четная, ни нечетная
НУЛИ: y = 0 при x = 0 y = 0 при x = 1
ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА: y > 0, при x (0; ] y x [-1; 0) y = 0 при x = 1 y > 0 при x [-1; 1)
ЭКСТРЕМУМЫ: нет нет
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ: возрастает на всей области определения убывает на всей области определения

arcsin x + arccos x = /2



y = arctg x

y = arcctg x

функция обратная функции y = tg x, — / 2 x / 2 функция обратная функции y = ctg x, 0 x


y = arctg x y = arcctg x
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R R
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ: (0; )
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ: нечетная ни четная, ни нечетная
НУЛИ: y = 0 при x = 0 нулей нет
ПРОМЕЖУТКИ
ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
y > 0, при x (0; ] y x (-; 0) y > 0 при x R
ЭКСТРЕМУМЫ: нет нет
ПРОМЕЖУТКИ
МОНОТОННОСТИ:
возрастает при x R убывает при x R

arctg x + arcctg x = /2





Arccos cos x чему равен.

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С


Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:

1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:


x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

Представлен способ вывода формул для обратных тригонометрических функций. Получены формулы для отрицательных аргументов, выражения, связывающие арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Указан способ вывода формул суммы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin
x)
= x

cos(arccos
x)
= x

tg(arctg
x)
= x
(-∞ ctg(arcctg
x)
= x
(-∞

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin
x)
= x
при
arccos(cos
x)
= x
при
arctg(tg
x)
= x
при
arcctg(ctg
x)
= x
при

Если переменная x
не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n
— целое):
sin
x = sin(-
x-π)

;
sin
x = sin(π-x)

;
sin
x = sin(x+2
πn)

;

cos
x = cos(-x)

;
cos
x = cos(2
π-x)

;
cos
x = cos(x+2
πn)

;

tg
x = tg(x+πn)

;
ctg
x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что то
arcsin(sin
x)
=
arcsin(sin( π — x ))
= π — x .

Легко убедиться, что при π — x
попадает в нужный интервал. Для этого умножим на -1
: и прибавим π
:
или Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
— arcsin
x

Поскольку то умножив на -1
, имеем: или
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.
arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π — arccos
x

arctg(-
x)
=
arctg(-tg arctg
x)
=
arctg(tg(-arctg
x))
=
— arctg
x

arcctg(-
x)
=
arcctg(-ctg arcctg
x)
=
arcctg(ctg(π-arcctg
x))
=
π — arcctg
x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на -1
: и прибавим π/2
:
или Все правильно.

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin
x
,
Y = arcsin
y
.
Формула применима при
.
Далее замечаем, что, поскольку arcsin(-
x) = — arcsin
x,
arcsin(-
y) = — arcsin
y,
то при разных знаках у x
и y
,
X
и Y
также разного знака и поэтому неравенства выполняются. Условие различных знаков у x
и y
можно написать одним неравенством: .
То есть при формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0

и y > 0

,
или X > 0

и Y > 0

.
Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: .
Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0

,
до π
,
то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;

;

;

.

Поскольку и ;
то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;

.

Подставляем sin
X = sin arcsin
x = x
:

;

;

;

.

Итак, полученная формула справедлива при или .

Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0
и x 2 + y 2 > 1

.
Здесь аргумент синуса принимает значения: .
Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса :

Итак,

при и.

Заменив x
и y
на — x
и — y
,
имеем

при и.

Выполняем преобразования:

при и.

Или

при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:

при или ;

при и ;

при и .

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin
x
,
при заданном ,
имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x
такой корень, то и x + 2πn

(где n
целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны
. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin
x
.
Если ограничить аргумент x
интервалом ,
то на нем функция y = sin
x
монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin
y
.

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin
x
)

— это функция, обратная к синусу (x = sin
y

Арккосинус (y = arccos
x
)

— это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
), имеющая область определения и множество значений .

Арктангенс (y = arctg
x
)

— это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y
), имеющая область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg
x
)

— это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x
.
См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin
x

y = arccos
x

y = arctg
x

y = arcctg
x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin
x)
= x
при
sin(arcsin
x)
= x

arccos(cos
x)
= x
при
cos(arccos
x)
= x

arctg(tg
x)
= x
при
tg(arctg
x)
= x

arcctg(ctg
x)
= x
при
ctg(arcctg
x)
= x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin
и arcsin
, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x
зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1.
Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ:
рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg
числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2.
Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ:
рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α
, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы.
Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4.

Или arctg(-1,3).

Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4
! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc
sin
0,4

угол,
синус которого
равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc
означает дуга
(слово арка
знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки.
Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная
расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных
заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам?
— слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку:
arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5.
Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов
. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°.
Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс…
То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку:
арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1)
— это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные
значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного
значения внутри арккосинуса к положительному
по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное
значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Arccos (x) | функция обратного косинуса

Arccos (x), cos -1 (x), функция обратного косинуса.

Определение Arccos

Арккосинус x определяется как функция, обратная косинусу x, когда -1≤x≤1.

Когда косинус y равен x:

cos y = x

Тогда арккосинус x равен функции обратного косинуса x, которая равна y:

arccos x = cos -1 x = y

(Здесь cos -1 x означает обратный косинус и не означает косинус в степени -1).

Пример

arccos 1 = cos -1 1 = 0 рад = 0 °

График arccos

Правила Arccos

Название правила Правило
Косинус арккозина cos (arccos x ) = x
Арккосинус косинуса arccos (cos x ) = x + 2 k π,
когда k ∈ℤ
( k целое число)
Arccos отрицательного аргумента arccos (- x ) = π — arccos x =
180 ° — arccos x
Дополнительные уголки arccos x = π / 2 — arcsin x
= 90 ° — arcsin x
Сумма Arccos arccos ( α ) + arccos ( β ) =

arccos ( αβ (1- α 2 ) (1- β 2 ))
Разница Arccos arccos ( α ) — arccos ( β ) =

arccos ( αβ + (1- α 2 ) (1- β 2 ))
Arccos греха x arccos (sin x ) = — x — (2 k +0.5) π
Синус арккосинуса
Касательная к арккосинусу
Производная арккозина
Неопределенный интеграл арккосинуса

Стол Arccos

x arccos (x)

(рад)

arccos (x)

(°)

-1 π 180 °
-√3 / 2 5π / 6 150 °
-√2 / 2 3π / 4 135 °
-1/2 2π / 3 120 °
0 π / 2 90 °
1/2 π / 3 60 °
√2 / 2 π / 4 45 °
√3 / 2 π / 6 30 °
1 0 0 °

См. Также

Расчет

— Почему $ \ arctan x $ не равно $ \ arcsin (x) / \ arccos (x) $? Исчисление

— Почему $ \ arctan x $ не равно $ \ arcsin (x) / \ arccos (x) $? — Обмен математическим стеком

Сеть обмена стеком

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
2к раз

$ \ begingroup $

Почему $ \ arctan x $ не равно $ \ frac {\ arcsin (x)} {\ arccos (x)} $? Есть ли контрпример, который я могу использовать, чтобы показать, что они не равны? Благодарить!

Создан 03 июл.

$ \ endgroup $

7

$ \ begingroup $

Помимо $ x = 0 $ и значения около 0 $.450116 $ вы можете попробовать любое значение, которое хотите.

Создан 03 июл.

Росс МилликенРосс Милликен

3,155 33 золотых знака233233 серебряных знака422422 бронзовых знака

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Нетрудно показать, если $ h (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} $, то в общем случае
$$ h ^ {- 1} (x) \ neq \ frac {f ^ {- 1} (x)} {g ^ {- 1} (x)} $$
Или, в более общем смысле, если $ g (x) = f_1 \ circ.{-1} (x). $$

Создан 04 июл.

К.дефаоите

5,97344 золотых знака1111 серебряных знаков2828 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

2

$ \ begingroup $

Конечно:

$$ \ arctan1 = \ frac \ pi4 \ neq \ frac {\ cfrac \ pi2} {0} = \ frac {\ arcsin 1} {\ arccos 1} $$

Создан 03 июля ’20 в 23: 522020-07-03 23:52

ДонАнтониоДонАнтонио

1k1717 золотых знаков114114 серебряных знака265265 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Функции $ f (x) = \ arctan (x) $ и $ g (x) = \ frac {\ arcsin (x)} {\ arccos (x)} $ различаются по нескольким причинам:

  1. Как упоминалось в других ответах, они принимают разные значения во многих точках.Например, $ f (1) = \ frac {\ pi} {4} $, а $ g (1) = \ frac {\ pi / 2} {0} $ не определено.
  2. У них разные домены: домен $ \ arctan $ — $ \ mathbb R $, а домен $ \ arcsin $ и $ \ arccos $ — $ [- 1,1] $, поэтому домен $ g $ равен входит в $ [- 1,1] $. Точно, поскольку $ \ arccos (x) = 0 \ iff x = 1 $, область определения $ g $ равна $ [- 1,1) $.
  3. Функция $ \ arctan $ нечетная, а функция $ g $ — нет. В самом деле, так как $ \ arcsin $ нечетно, из $ f = g $ будет подразумеваться, что $ \ arccos (x) = \ arcsin (x) \ arctan (x) $ четно, что заведомо неверно.

Конечно, одного из этих аргументов достаточно.

Создан 04 июля ’20 в 4: 532020-07-04 04:53

Таладрис

7,65933 золотых знака2424 серебряных знака4444 бронзовых знака

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

комментарий.p} $$

трюмов.

Но дальше дело обстоит именно так.

не (даже) для

$$ arctan z = \ frac {arctan x} {arctan y} $$

или другие операции.

Создан 04 июля ’20 в 3: 122020-07-04 03:12

Нарасимхам

33.7k77 золотых знаков3131 серебряный знак7777 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Контрпримеры полезны, но полезно знать, как вывести обратное!

Предположим, что $$ y = \ tan (x).2 + 1}} \ вправо) $$

Создан 03 июля ’20 в 23: 592020-07-03 23:59

Дустан Левенштейн

11.8k11 золотых знаков2121 серебряный знак5151 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

2

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

исчислений — Почему это правда? $ \ arcsin (x) + \ arccos (x) = \ frac {\ pi} {2} $

Следующее тождество верно для любого заданного $ x \ in [-1,1] $:
$$ \ arcsin (x) + \ arccos (x) = \ frac {\ pi} {2} $$

Но я не знаю, как это объяснить.x_k0 \\
\\
\ arcsin (x) — \ arcsin (k) + \ arccos (x) — \ arccos (k) = 0 \\
\\
\ arcsin (x) + \ arccos (x) = \ arcsin (k) + \ arccos (k) \\
\\
A = \ arcsin (k) + \ arccos (k) = \ frac {\ pi} {2} \ text {, для} x \ in [-1,1]
\ end {массив}

$

Arccos

Arccosine, записываемый как arccos или cos-1 (не путать с), является функцией обратного косинуса. Косинус имеет обратное значение только в ограниченной области 0≤x≤π. На рисунке ниже часть графика, выделенная красным, показывает часть графика cos (x), которая имеет инверсию.

Область должна быть ограничена, потому что для того, чтобы функция имела инверсию, функция должна быть взаимно однозначной, что означает, что ни одна горизонтальная линия не может пересекать график функции более одного раза. Поскольку косинус является периодической функцией, без ограничения области определения, горизонтальная линия будет периодически пересекать функцию бесконечно много раз.

Одно из свойств обратных функций состоит в том, что если точка (a, b) находится на графике функции f, точка (b, a) находится на графике ее обратной функции.Это фактически означает, что график обратной функции является отражением графика функции через линию y = x.

График y = arccos (x) показан ниже.

Как видно из рисунка, y = arccos (x) является отражением cos (x) в ограниченной области 0≤x≤π через линию y = x. Область arccos (x), -1≤x≤1, является диапазоном cos (x), а ее диапазон, 0≤x≤π, является областью cos (x).

Калькулятор Arccos

Ниже приведен калькулятор, позволяющий определить значение arccos числа от -1 до 1 или значение косинуса угла.

Использование специальных углов для поиска arccos

Хотя мы можем найти значение арккозинуса для любого значения x в интервале [-1, 1], существуют определенные углы, которые часто используются в тригонометрии (0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 ° и их кратные и радианные эквиваленты), значения косинуса и арккосинуса которых, возможно, стоит запомнить. Ниже приведена таблица, показывающая эти углы (θ) в градусах и их соответствующие значения косинуса, cos (θ).

Один из способов, который может помочь запомнить эти значения, — это выразить все значения cos (θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень.Начиная с 0 ° и до 90 °, cos (0 °) = 1 =. Последующие значения cos (30 °), cos (45 °), cos (60 °) и cos (90 °) следуют шаблону, так что при использовании значения cos (0 °) в качестве эталона для нахождения значений косинуса для последующих углов, мы просто уменьшаем число под знаком корня в числителе на 1, как показано ниже:

θ 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °
cos (θ) 0

С 90 ° до 180 ° вместо этого мы увеличиваем число под корнем на 1, но также должны учитывать квадрант, в котором находится угол.Косинус отрицателен во втором и третьем квадрантах, поэтому значения будут равными, но отрицательными. В квадрантах I и IV значения будут положительными. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений.

После того, как мы запомнили значения или если у нас есть какая-то ссылка, становится относительно просто распознать и определить значения косинуса или арккосинуса для специальных углов.

Обратные свойства

Как правило, функции и обратные им функции демонстрируют взаимосвязь

f (f -1 (x)) = x и f -1 (f (x)) = x

при условии, что x находится в области определения функции.То же самое верно для cos (x) и arccos (x) в их соответствующих ограниченных областях:

cos (arccos (x)) = x для всех x в [-1, 1]

и

arccos (cos (x)) = x для всех x в [0, π]

Эти свойства позволяют нам оценивать состав тригонометрических функций.

Состав арккосинуса и косинуса

Если x находится в пределах домена, вычислить композицию арккозинуса и косинуса относительно просто.

Примеры:

1.

2.

Если x не находится в пределах домена, нам нужно определить опорный угол, а также соответствующий квадрант. Учитывая arccos (cos ()), мы не можем оценить это, как мы делали выше, потому что x не находится в пределах [0, π], поэтому решение не может быть. Чтобы оценить это, нам нужно сначала определить cos (), прежде чем использовать arccos:

.

3.

В приведенном выше примере опорный угол равен, и cos () равен, но поскольку он лежит в квадранте III, его косинус отрицателен, и единственный угол, косинус которого равен, и который находится в пределах области arccos (x), равен.

Состав других тригонометрических функций

Мы также можем составлять композиции, используя все другие тригонометрические функции: синус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс.

Пример:

Найдите грех (arccos ()).

Так как это не одно из соотношений для специальных углов, мы можем использовать прямоугольный треугольник, чтобы найти значение этой композиции. Учитывая arccos () = θ, мы можем найти, что cos (θ) =. Правый треугольник ниже показывает θ и отношение его смежной стороны к гипотенузе треугольника.

Чтобы найти синус, нам нужно найти противоположную сторону, так как sin (θ) =. Пусть a будет длиной противоположной стороны. Используя теорему Пифагора,

а 2 + 12 2 = 13 2

а 2 + 144 = 169

а 2 = 25

а = 5

и

грех (arccos ()) = грех (θ) =

Тот же процесс можно использовать с выражением переменной.

Пример:

Найдите загар (arccos (4x)).

Учитывая arccos (4x) = θ, мы можем найти, что cos (θ) =, и построить следующий прямоугольный треугольник:

Чтобы найти касательную, нам нужно найти противоположную сторону, так как tan (θ) =. Пусть b — длина противоположной стороны. Используя теорему Пифагора,

(4x) 2 + b 2 = 1 2

16x 2 + b 2 = 1

b 2 = 1 — 16x 2

б =

и

tan (arccos (4x)) = tan (θ) =, где —

Использование арккосинуса для решения тригонометрических уравнений

Arccosine также можно использовать для решения тригонометрических уравнений, включающих функцию косинуса.

Пример:

Решите следующие тригонометрические уравнения относительно x, где 0≤x <2π.

1. 2cos (x) =

2cos (x) =

cos (x) =

x = arccos ()

Косинус отрицателен в квадрантах II и III, поэтому есть два решения: x = и x =. Это единственные два угла в пределах 0≤x <2π, значение косинуса которых равно.

2. 6cos 2 (x) + 9cos (x) — 36 = 0

6cos 2 (x) + 9sin (x) — 6 = 0

(6cos (x) — 3) (cos (x) + 2) = 0

6cos (x) — 3 = 0 или cos (x) + 2 = 0

cos (x) = или cos (x) = -2

x = arccos () или x = arccos (-2)

Решение относительно x = arccos (),

x = или

Мы не можем найти x = arccos (-2), потому что оно не определено, поэтому x = или являются единственными решениями.

Производные обратных тригонометрических функций

13

Производная от y = arcsin x

Производная от y = arccos x

Производная от y = arctan x

Производная от y = arccot ​​ x

Производная от y = arcsec x

Производная от y = arccsc x

НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО заучивать наизусть производные этого урока.Скорее, ученик должен знать сейчас, чтобы вывести их.

В теме 19 «Тригонометрии» мы ввели обратные тригонометрические функции. По обратным отношениям:

y = arcsin x подразумевает sin y = x .

И аналогично для каждой из обратных тригонометрических функций.

Задача 1. Если y = arcsin x , покажите:

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Начало:

y = arcsin x
подразумевает
1) грех г = х .
Следовательно, согласно пифагорейской идентичности a ‘:
cos y =
=
согласно строке 1).

Мы берем положительный знак, потому что cos y положителен для всех значений y в диапазоне y = arcsin x , что является 1-м и 4-м квадрантами.(Тема 19 Тригонометрии.)

Задача 2. Если y = arcsec x , покажите:

Начало:

y = угловых секунд x
подразумевает
сек y = х .
Следовательно, согласно пифагорейской идентичности b :
желто-коричневый y = ±
= ±

Производная от y = arcsin x

Производная арксинуса по аргументу
равна 1 по квадратному корню
из 1 минус квадрат аргумента.

Вот доказательство:

согласно Задаче 1.

Это то, что мы хотели доказать.

Примечание: Мы могли бы напрямую использовать теорему из Урока 8:

Мы будем использовать эту теорему в следующих доказательствах.

Задача 3. Вычислить эти производные. [В частях a) и b) используйте цепное правило.]

а) d
dx
arcsin x 2 =
б) d
dx
=
в) d
dx
x 2 arcsin x =

Производная от y = arccos x

Производная arccos x — это отрицательное значение производной
arcsin x .Это будет верно для инверсии каждой пары совместных функций.

Производная arccot ​​ x будет отрицательной
производной arctan x .

Производная arccsc x будет отрицательной
производной arcsec x .

Для, начиная с arccos x :

Угол, косинус которого равен x , является дополнением
угла, синус которого равен x .

arccos x = π
2
— arcsin x .
Так как производная от π
2
равно 0, результат следует.

Задача 4. Вычислить эти производные.

а) d
dx
arccos x
a
=
б) d
dx
x arccos 2 x =

Производная от y = arctan x

d
dx
арктан x = 1
1 + x 2

Первая,

y = arctan x подразумевает tan y = x .

Следовательно, согласно теореме Урока 8:

Это то, что мы хотели доказать.

Следовательно, производная от arccot ​​ x является отрицательной:

d
dx
arccot ​​ x = — 1
1 + x 2

Проблема 5.Вычислите эти производные.

а) d
dx
arctan ( a x 2 ) = 2 ось
1 + a 2 x 4
б) d
dx
arccot ​​ x
a
= a
a 2 + x 2
в) d
dx
arctan 2
x
= −2
x 2 + 4
г) d
dx
arccot ​​2 x = −2
4 x 2 + 1

*

Остальные производные редко встречаются в расчетах.Тем не менее, вот доказательства.

Производная от y = arcsec x

снова,

y = arcsec x подразумевает sec y = x .

Следовательно, согласно теореме Урока 8:

Итак, согласно теореме темы 19 тригонометрии: это произведение никогда не бывает отрицательным.Поэтому, чтобы гарантировать, что вместо того, чтобы заменять sec y на x , мы заменим его на | x |. И в задаче 2 мы возьмем только положительный корень из tan y .

Следовательно,

Это то, что мы хотели доказать.

Если бы мы приняли диапазон угловых секунд x как угол третьего квадранта между −π и −π / 2, когда x отрицательно, тогда нам не нужно было бы записывать абсолютное значение, и доказательство было бы простым .Мы просто заменим sec y на x и возьмем положительный корень из tan y , потому что tan y положительны в первом и третьем квадрантах. На графике y = x угловых секунд с этим диапазоном наклон для отрицательного значения x отрицательный. Недостатком выбора этого диапазона является то, что, когда x отрицательно, arcsec x не будет равняться arccos 1/ x , потому что arccos 1/ x будет углом 2-го квадранта.Но тогда в доказательстве мы должны записать абсолютное значение.

Следовательно, производная arccsc x является отрицательной:

d
dx
arccsc x = —

Следующий урок: Производные экспоненциальной и логарифмической функций

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Функция Arccos (x) | Justfreetools

Арккосинус x определяется как функция, обратная косинусу x, когда -1≤x≤1.

Тогда арккосинус x равен функции обратного косинуса x, которая равна y:

(здесь cos -1 x означает обратный косинус, а не косинус в степени -1).


В настоящее время у нас есть около 939 калькуляторов, таблиц преобразования и полезных онлайн-инструментов и программных функций для студентов, преподавателей и учителей, дизайнеров и просто для всех.

На этой странице Вы можете найти финансовые калькуляторы, ипотечные калькуляторы, калькуляторы для кредитов, калькуляторы для автокредитования и лизинга, калькуляторы процентов, калькуляторы платежей, пенсионные калькуляторы, калькуляторы амортизации, инвестиционные калькуляторы, калькуляторы инфляции, финансовые калькуляторы, калькуляторы подоходного налога. , калькуляторы сложных процентов, калькулятор заработной платы, калькулятор процентной ставки, калькулятор налога с продаж, калькуляторы фитнеса и здоровья, калькулятор BMI, калькуляторы калорий, калькулятор телесного жира, калькулятор BMR, калькулятор идеального веса, калькулятор темпа, калькулятор беременности, калькулятор зачатия беременности, срок родов калькулятор, математические калькуляторы, научный калькулятор, калькулятор дробей, процентные калькуляторы, генератор случайных чисел, треугольный калькулятор, калькулятор стандартного отклонения, другие калькуляторы, калькулятор возраста, калькулятор даты, калькулятор времени, калькулятор часов, калькулятор GPA, калькулятор оценок, конкретный калькулятор, подсеть калькулятор, генерация паролей калькулятор преобразования и многие другие инструменты, а также для редактирования и форматирования текста, загрузки видео с Facebok (мы создали один из самых известных онлайн-инструментов для загрузки видео с Facebook).Мы также предоставляем вам онлайн-загрузчики для YouTube, Linkedin, Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok и других социальных сетей (обратите внимание, что мы не размещаем видео на своих серверах. Все загружаемые вами видео загружаются с Facebook, YouTube, Linkedin, CDN в Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok. Мы также специализируемся на сочетаниях клавиш, кодах ALT для Mac, Windows и Linux и других полезных советах и ​​инструментах (как писать смайлы в Интернете и т. Д.)

В Интернете есть много очень полезных бесплатных инструментов, и мы будем рады, если вы поделитесь нашей страницей с другими или отправите нам какие-либо предложения по другим инструментам, которые придут вам в голову.Также, если вы обнаружите, что какой-либо из наших инструментов не работает должным образом или вам нужен лучший перевод — сообщите нам об этом.

Наши инструменты сделают вашу жизнь проще или просто помогут вам выполнять свою работу или обязанности быстрее и эффективнее.

Это наиболее часто используемые пользователями по всему миру.

И мы все еще развиваемся. Наша цель — стать универсальным сайтом для людей, которым нужно быстро производить расчеты или которым нужно быстро найти ответ на базовые конверсии.

Кроме того, мы считаем, что Интернет должен быть источником бесплатной информации. Таким образом, все наши инструменты и услуги полностью бесплатны и не требуют регистрации. Мы кодировали и разрабатывали каждый калькулятор индивидуально и подвергали каждый строгому всестороннему тестированию. Однако, пожалуйста, сообщите нам, если вы заметите даже малейшую ошибку — ваш вклад очень важен для нас. Хотя большинство калькуляторов на Justfreetools.com предназначены для универсального использования во всем мире, некоторые из них предназначены только для определенных стран.

Калькулятор

Arcsin. Нахождение обратной функции синуса.

С помощью этого калькулятора арксинуса (или калькулятора обратного синуса) у вас не будет проблем с поиском арксинуса в вашей задаче. Просто введите значение синуса для треугольника, и появится нужный угол. Единственное, что вам нужно запомнить, это ограниченная область арксинуса (−1 ≤ sine ≤ 1). Если вам интересно, , что такое арксинус или , как выглядит график arcsin x , не ждите больше — прокрутите вниз, и вы найдете ответы ниже! Мы также включили короткий абзац об отношениях арксинусов, таких как отношения между интегралом арксинуса и производной.И так, чего же ты ждешь?

Что такое арксинус?

Арксинус — это функция, обратная синусоиде. Другими словами, это помогает найти угол треугольника, который имеет известное значение синуса. Поскольку область синуса для действительных чисел равна [-1, 1], мы можем вычислить арксинус только для чисел в этом интервале.

Синус — периодическая функция, поэтому существует несколько чисел, которые имеют одинаковое значение синуса. Например, sin (0) = 0, но также sin (π) = 0, sin (2π) = 0, sin (-π) = 0 и sin (-326π) = 0.Следовательно, если кто-то хочет вычислить arcsin (0), ответ может быть 0, 2π (360 °) или -π (-180 °), чтобы назвать несколько вариантов! Все они верны, но обычно мы даем только одно число, называемое основным значением .

Сокращение Определение Домен arcsin x
для реального результата
Диапазон обычных
основных значений
arcsin (x)
sin -1 x,
asin
х = грех (у) -1 ≤ х ≤ 1 -π / 2 ≤ y ≤ π / 2
-90 ° ≤ y ≤ 90 °

Arcsin (x) — наиболее распространенное обозначение, так как sin -1 x может привести к путанице (потому что sin -1 x ≠ 1 / sin (x)).Аббревиатура asin обычно используется в языках программирования.

График arcsin x

Поскольку синус основной функции не является взаимно однозначным, ее область должна быть ограничена, чтобы гарантировать, что арксинус также является функцией. Обычно выбирается область -π / 2 ≤ y ≤ π / 2. Это означает, что диапазон обратной функции будет равен диапазону основной функции; таким образом, диапазон функции arcsin равен [−π / 2, π / 2], а область arcsine находится между [−1,1]. Ниже вы можете найти график arcsin (x), а также некоторые часто используемые значения арксинуса:

x arcsin (x) График
° рад
-1 -90 ° -π / 2 Компьютерщик 3, CC BY-SA 4.0 через Wikimedia Commons
-√3 / 2 -60 ° -π / 3
-√2 / 2 -45 ° -π / 4
-1/2 -30 ° -π / 6
0 0 ° 0
1/2 30 ° π / 6
√2 / 2 45 ° π / 4
√3 / 2 60 ° π / 3
1 90 ° π / 2

Хотите знать, откуда взялся этот график arcsin x? Его можно найти, отразив график sin (x) в диапазоне [-π / 2 π / 2] через линию y = x:

Яро.p CC BY-SA 3.0, через Wikimedia Commons

Обратный синус, тригонометрические функции и другие отношения

Связь между тригонометрическими функциями и арксинусом может помочь вам еще лучше понять тему. Прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 — хорошая отправная точка.

Напоминаем: для прямоугольного треугольника функция синуса берет угол θ и возвращает отношение противоположности / гипотенузы, которое равно x в нашем примерном треугольнике.Функция обратного синуса, арксинус, принимает отношение противоположности / гипотенузы (x) и возвращает угол θ. Итак, зная, что для нашего треугольника arcsin (x) = θ, мы также можем записать, что:

  • Синус: sin (arcsin (x)) = x
  • Косинус: cos (arcsin (x)) = √ (1-x²)
  • Касательная: tan (arcsin (x)) = x / √ (1-x²)

Другие полезные отношения с арксинусом:

  • arcsin (x) = π / 2 - arccos (x)
  • arcsin (-x) = -arcsin (x)

Иногда также нужны интеграл и производная от arcsin:

  • интеграл от arcsin: ∫arcsin (x) dx = x arcsin (x) + √ (1 - x²) + C

  • производная от arcsin: d / dx arcsin (x) = 1 / √ (1 - x²) где x ≠ -1, 1

Пример использования калькулятора arcsin

Арксинус — полезная функция e.грамм. в нахождении угла прямоугольного треугольника. Если вы ищете углы в прямоугольном треугольнике и знаете длины сторон, хорошо известная теорема Пифагора не будет столь полезной. Чтобы найти углы прямоугольного треугольника, нужно применить арксинус:

.

  • для α: sin (α) = a / c, поэтому α = arcsin (a / c)
  • для β: sin (β) = b / c, поэтому β = arcsin (b / c)

Итак, предположим, что у нас есть два значения, заданные в прямоугольном треугольнике, a = 6 и c = 10, и мы хотели бы найти значение угла α:

  1. Введите значение, по которому вы хотите найти арксинус .В нашем случае это 6/10. Таким образом, вы можете ввести значение 0,6, но форма 6/10 также будет работать. Просто помните, что значение должно быть между -1 и 1.
  2. И … все! Калькулятор arcsin выполнил свою работу, и вы нашли арксинус своего значения . Теперь вы знаете, что арксинус (6/10) = 36,87 °

Отлично! Теперь, когда вы понимаете, что такое арксинус, может быть, вы захотите познакомиться с более продвинутыми приложениями тригонометрии? Например, закон синусов (тесно связанный с законом косинусов) является обязательным при решении задач треугольника.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *