Расстояние от точки: Расстояние от точки до плоскости

Содержание

Графическое определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

  1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
  3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

Пример

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Решение

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей, который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П4. В новой системе (П1, П4) точки C»1, D»1, M»1 находятся на том же удалении от оси X1, что и C», D», M» от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M»1 опускаем перпендикуляр M»11 на прямую b»1, поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N’ и проводим проекцию M’N’ отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M’N’ и M»11. Для этого строим прямоугольный треугольник M»11N0, у которого катет N»1N0 равен разности (YM1 – YN1) удаления точек M’ и N’ от оси X1. Длина гипотенузы M»1N0 треугольника M»11N0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

  • Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П4. Она пересекает П1 по оси X1, причем X1∥C’D’. В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C»1, D»1 и M»1, как это изображено на рисунке.
  • Перпендикулярно C»11 строим дополнительную горизонтальную плоскость П5, на которую прямая b проецируется в точку C’2 = b’2.
  • Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M’2C’2, обозначенного красным цветом.

Похожие задачи:

ПОДЕЛИТЬСЯ

Заказать чертеж

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Расстояние между двумя точками

 

В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми

 

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ

Рис. 1. АВ – расстояние между точками

Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние – это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В

 

Расстояние от точки до прямой

 

 

Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.

 

                                    

Рис. 2. АН – расстояние между точкой и прямой

Важно заметить, что АН – кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае – это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы

Обозначение расстояния:

 

Расстояние между параллельными прямыми

 

 

Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3

 

 Рис. 3. Параллельные прямые a и b

Зафиксируем две точки на прямой и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую bДокажем, что если ,

Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ – общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что  АН = ВМ

Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,

Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной

Закрепим наши знания, решим несколько задач

 

Пример 1

 

 

Пример 1: Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор —  Атанасян Л.С.

 

В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС

Рис. 4. Чертёж к примеру 1

Решение:

Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть – по 600). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD – не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС – это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH – данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 900, так как DH – перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD =  (см) (По свойству)

Расстояние от точки А до прямой ВС – это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .

Ответ: 12 см.

 

Пример 2

 

 

Пример 2: Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор —  Атанасян Л.С.

 

Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c

Решение:

 

Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)

Поскольку , то = 5 – 3 = 2 (см).

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

 

Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)

В данном случае .

Ответ: 2 см, 8 см.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

  1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).
  2. Репетитор по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г.,       Юдина  И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
  2. Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
  3. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ – высота треугольника АВС
  4. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной

 

Расстояние между двумя точками — формула, расчет, примеры

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, соединяющего две заданные точки. Расстояние между двумя точками в координатной геометрии можно рассчитать, найдя длину отрезка, соединяющего заданные координаты. Давайте поймем формулу, чтобы найти расстояние между двумя точками в двумерной и трехмерной плоскости.

1. Какое расстояние между двумя точками?
2. Расстояние между двумя точками Формула
3. Вывод формулы для расстояния между двумя точками
4. Как найти расстояние между двумя точками?
5. Расстояние между двумя точками на комплексной плоскости
6. Часто задаваемые вопросы о расстоянии между двумя точками

Какое расстояние между двумя точками?

Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка, соединяющего точки. Через две точки проходит только одна прямая. Итак, расстояние между двумя точками можно рассчитать, найдя длину этого отрезка, соединяющего две точки. Например, если A и B — две точки и \(\overline{AB}=10\) см, это означает, что расстояние между A и B равно 10 см.

Расстояние между двумя точками равно длине соединяющего их отрезка (но это НЕ МОЖЕТ быть длиной соединяющей их кривой). Обратите внимание, что расстояние между двумя точками всегда положительно.

Расстояние между двумя точками Формула

Расстояние между двумя точками с заданными координатами можно рассчитать, применив формулу расстояния. Для любой точки, заданной на двумерной плоскости, мы можем применить формулу двумерного расстояния или формулу евклидова расстояния, заданную как

Формула для расстояния между двумя точками:

Формула для расстояния \(d\) между двумя точками с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2\)) выглядит следующим образом:

d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 ]

Это называется формулой расстояния .

Чтобы найти расстояние между двумя точками, заданными в трехмерной плоскости, мы можем применить формулу трехмерного расстояния, заданную как

d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) — \(y_1\)) 2 + (\(z_2\) — \(z_1\)) 2 ]

Далее давайте узнаем, как вывести эту формулу.

Вывод формулы для расстояния между двумя точками

Чтобы вывести формулу для расчета расстояния между двумя точками на двумерной плоскости, предположим, что есть две точки с координатами, заданными как A(\(x_1, y_1\)) B(\(x_2, y_2\))

Далее предположим, что отрезок, соединяющий A и B, равен \(\overline{AB}=d\). Теперь нанесем заданные точки на координатную плоскость и соединим их линией.

Далее мы построим прямоугольный треугольник с \(\overline{AB}\) в качестве гипотенузы.

Применение теоремы Pythagoras для △ ABC:

AB 2 = AC 2 + BC 2

D 2 = (\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 (значения с рисунка)

Здесь вертикальное расстояние между заданными точками равно |\(y_2\) − \(y_1\)|.

Горизонтальное расстояние между заданными точками равно |\(x_2\) − \(x_1\)|.

d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 ] (Извлечение квадратного корня с обеих сторон)

Таким образом, формула расстояния для нахождения расстояния между двумя точками доказана.

Примечание. Если две точки A и B находятся на оси x, т. е. координаты A и B равны (\(x_1\), 0) и (\(x_2\), 0) соответственно, то расстояние между двумя точками AB = |\(x_2\) − \(x_1\)|.

Используя аналогичные шаги и концепцию, мы также можем вывести формулу для нахождения расстояния между двумя точками, заданными в трехмерной плоскости.

Как найти расстояние между двумя точками?

Расстояние между двумя точками с заданными координатами можно рассчитать с помощью следующих шагов:

  • Запишите координаты двух заданных точек на координатной плоскости как A(\(x_1, y_1\) ) и B(\(x_2, y_2\)).
  • Мы можем применить формулу расстояния, чтобы найти расстояние между двумя точками, d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 ]
  • Выразите данный ответ в единицах.

Примечание. Мы можем применить формулу трехмерного расстояния, если две точки заданы в трехмерной плоскости, d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2  + (\(z_2\) − \(z_1\)) 2 ]

Пример: Найдите расстояние между двумя точками с координатами, заданными как, A = (1, 2) и В = (1, 5).

Решение:

Расстояние между двумя точками с помощью координат можно задать как d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 ], где (\(x_1, y_1\)) и (\(x_2, y_2\)) — координаты двух точек.

⇒ d = √[(1 − 1) 2 + (5 − 2) 2 ]

⇒ d = 3 единицы

данные точки одинаковы, мы можем найти расстояние между двумя точками, найдя разницу между координатами y.

Расстояние между двумя точками комплексной плоскости

Расстояние между двумя точками на комплексной плоскости или двумя комплексными числами z\(_1\) = a + ib и z\(_2\) = c + id на комплексной плоскости есть расстояние между точками (a, b) и (c, d), заданные как

|z\(_1\) − z\(_2\)| = √[(a − c) 2 + (b − d) 2 ]

Связанные темы:

  • Формула Евклидова расстояния
  • Геометрия
  • оси x и y

Важные примечания по расстоянию между двумя точками:

  • Расстояние d между двумя точками с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2\)) равно: d = √[(\(x_2\) − \(x_1 \)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 ]
  • Расстояние точки (a, b) от:
    (i) x — ось |b|.
    (ii) y — ось |a|.
    Мы использовали знаки абсолютного значения, потому что расстояние никогда не может быть отрицательным.

Часто задаваемые вопросы о расстоянии между двумя точками

Что понимается под расстоянием между двумя точками?

Расстояние между двумя точками определяется как длина прямой линии, соединяющей эти точки в координатной плоскости. Это расстояние никогда не может быть отрицательным, поэтому мы берем абсолютное значение при нахождении расстояния между двумя заданными точками.

Как рассчитать расстояние между двумя точками на 2D-плоскости?

Расстояние между любыми двумя точками, заданными на двумерной плоскости, можно рассчитать, используя их координаты. Расстояние между двумя точками A(\(x_1, y_1\)) и B(\(x_2, y_2\)) можно рассчитать как d = √[(\(x_2\) — \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 ].

Как найти расстояние между двумя точками в 3D-плоскости?

Чтобы вычислить расстояние между двумя точками в трехмерной плоскости, мы можем применить формулу трехмерного расстояния, заданную как d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\( y_2\) − \(y_1\)) 2  + (\(z_2\) − \(z_1\)) 2 ], где d — расстояние между двумя точками и (\(x_1, y_1 , z_1\)), (\(x_2, y_2, z_2\)) — координаты двух точек.

Какое кратчайшее расстояние между двумя точками?

Кратчайшее расстояние между двумя точками можно рассчитать, найдя длину прямой линии, соединяющей обе точки. Мы можем применить формулу расстояния, чтобы найти это расстояние в зависимости от координат, заданных в двух- или трехмерной плоскости.

Как найти расстояние между двумя точками с помощью теоремы Пифагора?

Расстояние между двумя точками на декартовой плоскости можно рассчитать, применив теорему Пифагора. Мы можем построить прямоугольный треугольник, используя линию, соединяющую данные две точки в качестве гипотенузы. Здесь перпендикуляром и основанием будут прямые, параллельные осям x и y, с одним концом в качестве одной из заданных точек, а другим концом в качестве точки их пересечения. Используя теорему Пифагора, (гипотенуза) 2 = (основание) 2 + (перпендикуляр) 2 , мы можем найти длину гипотенузы с помощью заданных координат двух точек. Эта длина равна расстоянию между двумя точками.

Какова формула расстояния для определения расстояния между двумя точками в координатной геометрии?

В координатной геометрии формула расстояния между двумя точками задается как d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 ], где (\(x_1, y_1\)), (\(x_2, y_2\)) — координаты двух точек. Мы можем применить другую формулу, если заданные точки liw лежат в трехмерной плоскости, d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2  + (\(z_2\) − \(z_1\)) 2 ], где d — расстояние между двумя точками и (\(x_1, y_1, z_1\)), (\(x_2, y_2, z_2\)) — координаты двух точек.

Как вывести формулу для нахождения расстояния между двумя точками?

Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы вывести формулу расстояния между двумя точками. Мы можем принять линию, соединяющую две точки, как гипотенузу прямоугольного треугольника, образованного в декартовой плоскости. Длину гипотенузы можно рассчитать, используя теорему Пифагора и заданные координаты двух точек, чтобы получить формулу расстояния между двумя точками.

Как найти вертикальное расстояние между двумя точками?

Расстояние по вертикали между двумя точками можно найти, вычислив разность координат y двух точек, т. е. расстояние по вертикали между двумя точками, \(d_y\) = \(y_2 — y_1\), где (\( x_1, y_1\)), (\(x_2, y_2\)) — координаты двух точек.

Какие шаги нужно выполнить, чтобы найти евклидово расстояние между двумя точками?

Евклидово расстояние между двумя точками можно рассчитать с помощью следующих шагов:

  • Запишите координаты обеих заданных точек как (\(x_1, y_1\)) и (\(x_2, y_2\)).
  • Применить формулу Евклидова расстояния, расстояние, d = √[(\(x_2\) − \(x_1\)) 2 + (\(y_2\) − \(y_1\)) 2 ]
  • Выразите данный ответ в единицах.

Формула расстояния

Горячая математика

Вы знаете, что

расстояние

А

Б

между двумя точками на плоскости с

декартовский

координаты

А

(

Икс

1

,

у

1

)

а также

Б

(

Икс

2

,

у

2

)

определяется по следующей формуле:

А

Б

знак равно

(

Икс

2

Икс

1

)

2

+

(

у

2

у

1

)

2

Формула расстояния на самом деле просто

Теорема Пифагора

в маскировке.

Чтобы рассчитать расстояние

А

Б

между точкой

А

(

Икс

1

,

у

1

)

а также

Б

(

Икс

2

,

у

2

)

, сначала нарисуйте прямоугольный треугольник, отрезок которого

А

Б

¯

как его гипотенуза.

Если длины сторон

а

а также

б

, то по теореме Пифагора

(

А

Б

)

2

знак равно

(

А

С

)

2

+

(

Б

С

)

2

Решение на расстоянии

А

Б

, у нас есть:

А

Б

знак равно

(

А

С

)

2

+

(

Б

С

)

2

С

А

С

это горизонтальное расстояние, это просто разница между

Икс

-координаты:

|

(

Икс

2

Икс

1

)

|

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *