Расстояние между точками в пространстве формула: Расстояние между двумя точками

Содержание

Урок «Расстояние между точками в пространстве»

КАЛИНИНА ВЕРА НИКОЛАЕВНА

преподаватель математики

ГККП «Рубежинский колледж»

Западно-Казахстанская область,

Зеленовский район, с.Рубежинское

Урок математики

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ

Цель урока — научить решать задачи на нахождение расстояния между точками, координат середины отрезка

Задачи урока:

образовательные: вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка, научить применять формулы при решении задач

развивающие: развитие памяти, математической речи, наблюдательности, развитие графических навыков у учащихся.

воспитательные: формирование чувства ответственности, аккуратности при выполнении заданий

Материальное обеспечение урока: тексты для индивидуальной работы

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний

Методы, используемые на уроке — практический

Межпредметные связи: путь, перемещение в физике

Ход урока

Организационно- психологический настрой на урок

Разминка

*Ряд чисел расположен по определенному закону. Найдите следующее число: 1; 2; 6; 24; 120; …

А) 500 В) 720 С) 900 D) 1840 Е) 600

*Если «85» = 6425, «92» = 814, «31» = 91, «17» = 149, тогда «37» = ?

А) 949 В) 349 С) 914 D) 99 Е) 74

Мотивация

Актуализация знаний

  1. Как вводится декартова система координат? Из чего она состоит?

  2. Как определяются координаты точки в пространстве?

  3. Чуму равна координата начала координат?

Построить точку с заданными координатами А (2; — 3).

Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3 ).

Рассмотреть построение на доске. Работа по карточкам (2 человека у доски)

Формирование новых понятий и способов действий

На основе известного вам материала мы с вами заполним таблицу. Сделаем сравнительную характеристику.

Расстояние между точками

Расстояние между точками.

d = v (х2 — х1 )? + (у2 — у1 )? + (z2 – z1 )

Координаты середины отрезка.

Координаты середины отрезка.

1. Запишите формулу расстояния между точками на плоскости.

2. Как бы вы записали формулу расстояния между точками в пространстве?

Работа по карточкам 2 человека у доски.

Найти длину отрезка:

  1. А (1;2;3;) и В (-1; 0; 5)

  2. А (1;2;3) и В (х; 2 ;-3)

  3. Устно. Найдите координаты точки М — середины отрезка

А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0)

Формирование умений и навыков

Найти периметр треугольника АВС, если А(4;4;-1) В(7;8;-1) С(-4;4;-1)

Учебник, стр 68

№1

№3- какая из точек ближе к началу координат расположена

Дополнительно- №7

Домашнее задание: §20, № 3

Итоги урока

Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

Расстояние между точками на плоскости и в пространстве Модуль вектора, его направляющие углы и косинусы. Координаты орта вектора. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.1. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве.

   Мы выведем формулу расстояния между любыми двумя точками в пространстве. Случай на плоскости будет следовать из общей формулы как частный случай.

   Рассмотрим предварительно частный случай. Пусть вектор  коллинеарный какой-нибудь координатной оси, например, Ох.

                                     рис.1.

   Расстояние между точками А и В равно:

               .                                      (1)

Ординаты и аппликаты точек А и В в этом случае равны:

                       , .

Формула, аналогичная формуле (1) имеет место и в случаях, когда  или .

   Рассмотрим теперь общий случай расположения точек А и В в пространстве относительно системы координат Охуz.

   Пусть  и  – две произвольные точки пространства. Проведем через точки А и В плоскости параллельные координатным плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают прямоугольный параллелепипед. См. рис.2.

               

                                        рис.2.

   Из прямоугольного треугольника ADC по теореме Пифагора , а из прямоугольного треугольника АВС:

              .

   Так как точки А, D, С лежат в плоскости перпендикулярной оси Оz, то , т.к. , то .

   Точки В, С, D лежат в плоскости перпендикулярной оси Оу, поэтому  и , откуда следует, что .

   Теперь, по формулам, аналогичным формуле (1), имеем:

            ,

            ,

            ,

 откуда следует равенство:

        .

   Таким образом мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть  и . Тогда

     .            (2)

Следствие. Пусть  и . Тогда

                .

п.2. Модуль вектора, его направляющие углы и косинусы. Координаты орта вектора.

Теорема. (О модуле вектора.)

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

   Иначе, если , то

                           .                                   (3)

   Доказательство. Пусть . Тогда равны их  модули и их декартовые координаты:  и

         , , .

Подставляя в формулу (2), получаем (3), ч.т.д.

Теорема доказана.

   Обозначим углы между вектором и координатными осями: , , .

Определение. Углы между вектором и координатными осями называются направляющими углами вектора.

                     

                                       рис.3.

Пусть . По теореме о вычислении проекции вектора на ось, имеем: , , . Отсюда следует:

            , , ,                        (4)

              .                                          (5)

   Из последнего равенства следует, что орт вектора , т.е. вектор единичной длины и сонаправленный с  имеет декартовые координаты:

                 .                              (6)

А т.к. , то по теореме о модуле вектора, получаем:

, откуда следует

                .                                  (7)

Возможно найдутся ответы здесь:

Прямоугольная система координат в пространстве. Формула для вычисления расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка_геометрия 10 класс

Дата_17.02.16-19.02.16 Геометрия 10 класс

Урок 43-44

Тема урока: Прямоугольная система координат в пространстве. Формула для вычисления расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка.

Цели урока:

  • Закрепить полученные знания   по теме системы координат и координаты точки в пространстве; выработать умения строить точку по заданным её координатам; находить координаты точек, изображённой в заданной системе координат;

  • Способствовать развитию пространственного воображения учащихся;  умение развивать аналогии сравнение; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

  • Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Ход урока

1. Организационный момент, приветствие, пожелания плодотворной работы.

2. Мотивация урока.

Ребята, чтобы найти конкретного человека на нашей планете, что необходимо нам знать? Правильно его место нахождение, т.е. другими словами мы должны знать его координаты.

Как не потеряться в этой жизни? Я думаю нам помогут координаты!!!!

3.Актуализация знаний.

Фронтальный опрос по технологии «Микрофон».

  1. В каком направлении можно двигаться на плоскости?

  2. Сколькими координатами может быть задана точка в пространстве?

  3. Чем определяются точки на координатной плоскости?

  4. Что такое координата?

  5. Как задать координатную плоскость?

  6. Как называется ось 0Х, 0У, OZ?

  7. Назовите координаты точек (по таблице)

  8. Назовите формулу нахождения середины отрезка, длину отрезка

4. Работа с изученным материалом, Формирование первичных умений и навыков

Вся система обозначается Охуz.

Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох — координатные плоскости. Их обозначают Оху, Оуz, Оzх.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.

Проведем через точку М три плоскости, перепендикулярные к осям координат, и обозначим через М1, М2 и М3, точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. М1 – абсцисса, М2 – ордината, М3 – аппликата точки М. Координаты точки М записываются: М (х; у; z), х – абсцисса, у – ордината, z-аппликата.

Задание:

Назовите координаты точек, лежащих на координатных осях.

Какие из данных точек лежат на координатных осях и на какой: А(5;0;0),

В(-7;5;0), С(0;0;-9), М(0;8;0), Р(0;1;0)?

— Назовите координаты точек, лежащих в координатных плоскостях.

Какие из данных точек лежат в координатных плоскостях и в какой из плоскостей: А(3;0;5), В(-1; 4; 6), С(0;5;-9), М(5;5;0), Х(9;7;0)?

— Назовите координаты точки, совпадающей с началом координат; лежащих в пространстве.

Выбрать среди заданных точек те, которые лежат в пространстве или в начале координат: А(0;7;-2), О (0;0;0), В(2;4;-4), М(8;-5;2), Р(0;0;0).

Задача. Письменно

Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (; ; ), С (2;0;0)

2). АВ = = = 2.

Ответ: С (2;0;0), АВ = 2.

3) Подготовка к ЕНТ (сб. тестов НЦТ 2009 год, В 3 № 24)

Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках

1)А(3; -4; 7), В(-5; 3; -2) и С(8; 7; -8).

2) А. (-2; -2; 1), В. (-5; 3; 9), С. (2; 2; 1),

Ответ:1) D. (2; 2; -1), 2) Е. (2; -2; -1).

Решение.

Координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки, если не учитывать ее толщину, равны среднему арифметическому однородных координат ее вершин. Координаты центра тяжести треугольника, расположенного в пространстве будут находиться по формулам:

ZЕ =

3

Z1 + Z2 + Z3

Возвращаясь к условию задачи, получим: Е (Хц; Уц; Zц)

Хц = (3-5+8 ): 3 = 2 ; Уц = (-4+3+7) : 3 = 2 ; Zц = ( 7- 2 – 8) : 3 = -1

Е(2; 2; -1) – D.

Задача . Самостоятельно (сб. апробационных тестов НЦТ 2013 год, В 0173 № 24)

  1. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках

А(7; -4), В(-1; 8) и С(-12; -1).

А. (2; 1), В. (-2; 1), С. (3; -2), D. (-1; 2), Е. (2,5; 3).

(Ответ: В(-2; 1) ).

  1. Даны точки: А(-3; 0; 0), В(5; 0; -1), С(0; 0; 8), D (-1;5;0), Е(0; 7;4), F(-6;-1; 0), К(0;0;0), М(0;-3;5), N(2;4;-1), Р(0;-6;0). Определите точки, принадлежащие: а) осям координат х, у, z; б) координатным плоскостям ху, хz, уz.

5. Минута отдыха.

Массаж ушных раковин.

Более тысячи биологически активных точек на ухе известно в настоящее время, поэтому, массируя их, можно последовательно воздействовать на весь организм. Нужно стараться так помассировать ушные раковины, чтобы уши «горели». Упражнение можно выполнять в такой последовательности:
1) потягивание за мочки сверху вниз;
2) потягивание ушной раковины вверх;
3) потягивание ушной раковины к наружи;
4) круговые движения ушной раковины по часовой стрелке и против;

5) растирание ушей до ощущения «горения».

6. Закрепление нового материала.

7. Самостоятельная работа с последующей проверкой: тест
8. Итоги урока. Рефлексия.

9. Д/з §19, § 20, теория, составить кластер по теме (работа в группах),

4, №5 стр. 66; № 8 стр. 68

На уроке закрепили знания по теме прямоугольная система координат в пространстве, научились строить точку по заданным ее координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат.

Никитенко Ольга Александровна, учитель информатики математики

КГУ «Средняя школа№13», г. Усть-Каменогорск

Приложение

Расстояния и теорема Пифагора

Договорившись о системе координат, можно определить расстояние между двумя точками. В одномерном пространстве расстояние между двумя точками — это длина соединяющего их отрезка. Рассмотрим точки P и Q. Расстояние между ними, которое мы обозначим как d (Р, Q), будет вычисляться как абсолютная величина разности: d (Р, Q)=|P-Q|.

Мы помним, что абсолютная величина числа равна положительному значению этого числа. Например, |3|=3 и |-3|=3. Для того, чтобы расстояние было определено однозначно, необходимо, чтобы d (Р, Q)=d (Q,P), то есть величина расстояния между точками не должна зависеть от порядка перечисления этих точек.

Кроме того, расстояние всегда должно быть положительной величиной. Именно поэтому расстояние вычисляют с помощью модуля. Например, расстояние между точками 4 и 9 будет определяться не как: 4-9=-5, а по нашему определению: d (4,9)=|4-9|=|-5|=5.

Давайте посмотрим, как определяется расстояние между двумя точками в двумерном пространстве, то есть между точками на плоскости. Предположим, что у нас есть две точки P и Q, координаты которых заданы как (a, b) и (c, d).

Расположив обе точки на декартовой плоскости, мы можем построить прямоугольный треугольник РОQ.2}$.
Заметим, что применяя теорему Пифагора для получения формул для вычисления расстояния между двумя точками в двух- и трехмерном про-странствах, мы получили обобщение данной теоремы для n-мерных пространств, где n>2.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Расстояние между двумя точками. Середина отрезка. Координаты середины отрезка. Тема 4

1. Тема 1-11. Расстояние между двумя точками. Середина отрезка. Координаты середины отрезка. Уравнение прямой на плоскости.

Раздел III. Аналитическая геометрия
Тема 1-11.
Расстояние между двумя точками. Середина
отрезка. Координаты середины отрезка.
Уравнение прямой на плоскости. Уравнение
прямой в пространстве. Уравнение
плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние между плоскостями. Расстояние
от точки до прямой на плоскости. Расстояние
от точки до прямой в пространстве. Угол
между плоскостями. Угол между прямой и
плоскостью

2. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Расстояние между двумя точками — это
длина отрезка, что соединяет эти точки.
• Формула вычисления расстояния между двумя
точками A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2
• Формула вычисления расстояния между двумя
точками A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2 + (zb — za)2

3. Середина отрезка — это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

Середина отрезка — это точка, которая
лежит на отрезке и находится на равном
расстоянии от конечных точек.
• Формула вычисления координат середины
отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на
плоскости:
x a + xb
ya + yb
xc =
yc =
2
2
• Формула вычисления координат середины
отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в
пространстве:
xa + xb
ya + yb
za + zb
xc =
yc =
zc =
2
2
2

4. Прямая (прямая линия) — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Прямая (прямая линия) — это
бесконечная линия, по которой
проходит кратчайший путь между
любыми двумя её точками.
• Любую прямую на плоскости можно
задать уравнением прямой первой степени
вида
A x + B y + C = 0,
где A и B не могут быть одновременно равны
нулю.

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

• Общее уравнение прямой при B≠0 можно
привести к виду
y = k x + b,
где k — угловой коэффициент равный тангенсу
угла, образованного данной прямой и
положительным направлением оси ОХ.

6. Уравнение прямой в отрезках на осях

• Если прямая пересекает оси OX и OY в
точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она
может быть найдена используя
формулу уравнения прямой в отрезках
x
a
+
y
b
=1

7. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

• Если прямая проходит через две точки
A(x1, y1) и B(x2, y2), такие
что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2 то уравнение
прямой можно найти, используя
следующую формулу
x -x1
x2 -x1
=
y -y1
y2 — y1

8. Параметрическое уравнение прямой на плоскости

• Параметрические уравнения прямой могут
быть записаны следующим образом
x = l t +x0
y = m t + y0
где (x0, y0) — координаты точки лежащей на
прямой,
{l,m} — координаты направляющего вектора
прямой.

9. Каноническое уравнение прямой на плоскости

• Если известны координаты точки A(x0, y0)
лежащей на прямой и направляющего
вектора n ={l;m}, то уравнение прямой
можно записать в каноническом виде,
используя следующую формулу
x -x0
l
=
y — y0
m

10. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

• Если прямая проходит через две точки
A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2), такие что
x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 и z1 ≠ z2 то уравнение
прямой можно найти используя
следующую формулу
x -x1
x2 -x1
=
y -y1
y2 -y1
=
z -z1
z2 — z1

11. Параметрическое уравнение прямой в пространстве

• Параметрические уравнения прямой могут
быть записаны следующим образом
x = l t +x0
y = m t + y0
z = n t + z0
где (x0, y0, z0) — координаты точки лежащей на
прямой,
{l; m; n} — координаты направляющего вектора
прямой.

12. Каноническое уравнение прямой в пространстве

• Если известны координаты точки A(x0, y0, z0)
лежащей на прямой и направляющего
вектора n={l;m;n}, то уравнение прямой
можно записать в каноническом виде,
используя следующую формулу
x -x0
l
=
y -y0
m
=
z -z0
n

13. Прямая как линия пересечения двух плоскостей

• Если прямая является пересечением двух
плоскостей, то ее уравнение можно задать
следующей системой уравнений
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
при условии, что не имеет место равенство
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
.

14. Плоскость — есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Плоскость — есть поверхность, полностью
содержащая, каждую прямую,
соединяющую любые её точки.
• Любую плоскость можно
задать уравнением плоскости первой
степени вида
Ax+By+Cz+D=0
где A, B и C не могут быть одновременно
равны нулю.

15. Уравнение плоскости в отрезках

• Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в
точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0,
0, с), то она может быть найдена, используя
формулу уравнения плоскости в отрезках
x
a
+
y
b
+
z
c
=1

16. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

• Чтобы составить уравнение плоскости, зная
координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и
вектора нормали плоскости n = {A; B; C} можно
использовать следующую формулу.
A(x — x0) + B(y — y0) + C(z — z0) = 0

17. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

• Если заданы координаты трех точек
A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3),
лежащих на плоскости, то уравнение
плоскости можно найти по следующей
формуле
x — x1 y — y1 z — z1
x2 — x1 y2 — y1 z2 — z1
x3 — x1 y3 — y1 z3 — z1
=0

18. Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние от точки до плоскости —
равно длине перпендикуляра,
опущенного из точки на плоскость.
• Если задано уравнение плоскости Ax + By +
Cz + D = 0, то расстояние от точки M(Mx, My,
Mz) до плоскости можно найти, используя
следующую формулу:
|A·Mx + B·My + C·Mz + D|
d=
√A2 + B2 + C2

19. Расстояние между плоскостями — равно длине перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую.

Расстояние между плоскостями — равно
длине перпендикуляра, опущенного с
одной плоскости на другую.
• Если заданы уравнения параллельных
плоскостей Ax + By + Cz + D1 = 0 и
Ax + By + Cz + D2 = 0, то расстояние между
плоскостями можно найти, используя
следующую формулу
|D2 — D1|
d=
√A2 + B2 + C2

20. Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Расстояние от точки до прямой — равно
длине перпендикуляра, опущенного из
точки на прямую.
• Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0,
то расстояние от точки M(Mx, My) до прямой
можно найти, используя следующую формулу
|A·Mx + B·My + C|
d=
√A2 + B2

21. Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Расстояние от точки до прямой —
равно длине перпендикуляра,
опущенного из точки на прямую.
• Если s = {m; n; p} — направляющий вектор
прямой l, M1(x1, y1, z1) — точка лежащей на
прямой, тогда расстояние от точки
M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти,
используя формулу
d=
|M0M1×s|
|s|
• Двугранный угол между плоскостями равен углу
образованному нормальными векторами этих
плоскостей.
• Двугранный угол между плоскостями равен углу
образованному прямыми l1 и l2, лежащими в
соответствующих плоскостях и перпендикулярными
линии пересечения плоскостей.
• Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z +
D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между
плоскостями можно найти, используя следующую
формулу
|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
cos α =
√A12 + B12 + C12√A22 + B22 + C22

23. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — это угол
между прямой и ее проекцией на эту
плоскость.
• Если в пространстве заданы направляющий
вектор прямой L s = {l; m; n} и уравнение
плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то угол
между этой прямой и плоскостью можно
найти используя формулу
|A·l+B· m+C· n|
sin φ =
√A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».


Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

где M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) − точки, лежащие на прямых L1 и L2, а q1={m1, p1, l1} и q2={m2, p2, l2} − направляющие векторы прямых L1 и L2, соответственно.

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Метод 1. От точки M1 прямой L1 проводим плоскость α, перпендикулярно прямой L2. Находим точку M3(x3, y3, y3) пересечения плоскости α и прямой L3. По сути мы находим проекцию точки M1 на прямую L2. Как найти проекцию точки на прямую посмотрите здесь. Далее вычисляем расстояние между точками M1(x1, y1, z1) и M3(x3, y3, z3):

которое и является расстоянием между прямыми L1 и L2 (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L1 и L2:

Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор

Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

Найдем проекцию точки M1 на прямую L2. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямойL2.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L2, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L2, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L2. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет следующий вид:

Подставляя значения m2, p2, l2, x1, y1, z1 в (5) получим :

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:

Найдем точку пересечения прямой L2 и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L2.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L2:

Чтобы найти точку пересечения прямой L2 и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L2 и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M1 и M3:

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L1 и L2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L1 и L2. Если направляющие векторы прямых L1 и L2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q1=λq2, то прямые L1 и L2 параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q1 параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q1:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Расстояние между прямыми L1 и L2 равно:

где

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

и

Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(1, 2, 1) и имеет направляющий вектор

Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

Векторы q1 и q2 коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор ={x2x1, y2y1, z2z1}={7, 2, 0}.

Вычислим векторное произведение векторов и q1. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q1:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q1:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q1 будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q1 дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L1 и L2 равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L1 и L2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L1 и L2 нужно построить параллельные плоскости α1 и α2 так, чтобы прямая L1 лежал на плоскости α1 а прямая L2 − на плоскости α2. Тогда расстояние между прямыми L1 и L2 равно расстоянию между плоскостями L1 и L2 (Рис. 3).

Поскольку плоскость α1, проходит через прямую L1, то он проходит также через M1(x1, y1, z1). Следовательно справедливо следующее равенство:

где n1={A1, B1, C1} − нормальный вектор плоскости α1. Для того, чтобы плоскость α1 проходила через прямую L1, нормальный вектор n1 должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A1, B1, C1, D1, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α1. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α2:

Плоскости α1 и α2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Полученное расстояние между плоскостями α1 и α2 является также расстоянием между прямыми L1 и L2.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

и

Решение. Прямая L1 проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, 4) и имеет направляющий вектор q1={m1, p1, l1}={1, 3, −2}.

Прямая L2 проходит через точку M2(x2, y2, z2)=M2(6, −1, 2) и имеет направляющий вектор q2={m2, p2, l2}={2, −3, 7}.

Шаг 1.

Построим плоскость α1, проходящую через прямую L1, параллельно прямой L2.

Поскольку плоскость α1 проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, 4) и нормальный вектор n1={m1, p1, l1} плоскости α1 перпендикулярна направляющему вектору q1 прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α1 представляется следующим условием:

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (34)−(36). Подставим значения x1, y1, z1, m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (27)−(29):

Представим эти уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений (40) отностительно A1, B1, C1, D1:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Подставляя значения A1, B1, C1, D1 в (42), получим:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Шаг 2.

Построим плоскость α2, проходящую через прямую L2, параллельно прямой L1.

Поскольку плоскость α2 проходит через прямую L2 , то она проходит также через точку M2(x2, y2, z2)=M2(6, −1, 2) и нормальный вектор n2={m2, p2, l2} плоскости α2 перпендикулярна направляющему вектору q2 прямой L2. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L2 и искомой плоскости α2 представляется следующим условием:

Так как плоскость α2 должна быть параллельной прямой L1, то должна выполнятся условие:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четырьмя неизвестными (37)−(39). Подставим значения x2, y2, z2, m2, p2, l2, m1, p1, l1 в (37)−(39):

Представим эти уравнения в матричном виде:

Решим систему линейных уравнений (50) отностительно A2, B2, C2, D2:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Подставляя значения A2, B2, C2, D2 в (52), получим:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Шаг 3.

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α1 и α2 :

где n1={A1, B1, C1}={15, −11, −9} и n2={A2, B2, C2}={15, −11, −9} − нормальные векторы плоскостей α1 и α2, соответственно, а свободные члены равны D1=17, D2=−83, соответственно.

Поскольку нормальные векторы плоскостей α1 и α2 совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α1 и α2, используя следующую формулу:

Подставим значения A1, B1, C1, D1, D2 в (54):

Упростим и решим:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

Векторы. Метод координат. Угол между прямыми, плоскостями. Расстояние от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми

\({\color{red}{\textbf{Факт 1. Про векторы}}}\)
\(\bullet\) Если в пространстве заданы две точки \(A(x_1;y_1;z_1)\) и \(B(x_2;y_2;z_2)\), то вектор \(\overrightarrow{AB}\) имеет координаты \[\overrightarrow{AB} = \{x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\}\]
\(\bullet\) Если в пространстве заданы два вектора \(\vec{a}
=\{x_1;y_1;z_1\}\) и \(\vec{b}=
\{x_2;y_2;z_2\}\), то:

 

\(\qquad \blacktriangleright\) сумма этих векторов \(\vec{a}+\vec{b}=\{x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2\}\)

 

\(\qquad \blacktriangleright\) разность этих векторов \(\vec{a}-\vec{b}=\{x_1-x_2;y_1-y_2;z_1-z_2\}\)

 

\(\qquad \blacktriangleright\) произведение вектора на число \(\lambda
\vec{a}=\{\lambda x_1;\lambda
y_1;\lambda z_1\}\)
 
\(\bullet\) Если в пространстве заданы две точки \(A(x_1;y_1;z_1)\) и \(B(x_2;y_2;z_2)\), а точка \(O\) — середина отрезка \(AB\), то \(O\) имеет координаты \[O\left(\dfrac{x_1+x_2}2;\dfrac{y_1+y_2}2;\dfrac{z_1+z_2}2\right)\]
\(\bullet\) Длина вектора \(\vec{a}=\{x;y;z\}\) обозначается \(|\vec{a}|\) и вычисляется по формуле \[|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]
\(\bullet\) Заметим, что расстояние между двумя точками есть не что иное, как длина вектора с началом и концом в этих точках.
 

\({\color{red}{\textbf{Факт 2. Про скалярное произведение}}}\)
\(\bullet\) Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: \[{\large{(\vec{a},
\vec{b})=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos \angle (\vec{a},
\vec{b})}}\] На рисунке показано, что такое угол между векторами:

\(\bullet\) Справедливы следующие утверждения:

 

I. Скалярное произведение ненулевых векторов (их длины не равны нулю) равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны: \[(\vec{a}, \vec{b})=0 \quad\Leftrightarrow\quad
\vec{a}\perp \vec{b}\]

II. Длина вектора равна квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя: \[|\vec{a}|=\sqrt{(\vec{a},
\vec{a})}\]

III. Переместительный закон: \[(\vec{a}, \vec{b})=(\vec{b},
\vec{a})\]

IV. Распределительный закон: \[(\vec{a}+\vec{b},
\vec{c})=(\vec{a}, \vec{c})+(\vec{b}, \vec{c})\]

V.2_2}}}}\]
 

\({\color{red}{\textbf{Факт 3. Про уравнение плоскости}}}\)
\(\bullet\) Если \(\vec{n}=\{a;b;c\}\) – нормаль к плоскости, то уравнение плоскости имеет вид \[ax+by+cz+d=0\] Для того, чтобы найти \(d\), нужно подставить в уравнение плоскости вместо \(x, y, z\) координаты любой точки, лежащей в этой плоскости.
 
Пример: если \(\vec{n}=\{1;2;3\}\) – нормаль к плоскости, \(O(4;5;6)\) – точка из плоскости, то справедливо: \(1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot
6+d=0\), откуда \(d=-32\), следовательно, уравнение плоскости имеет вид \(x+2y+3z-32=0\).
 
\(\bullet\) Уравнение плоскости можно составить, используя три точки из плоскости, не лежащие на одной прямой.
Пусть \(A(1;0;0), \
B(0;3;4), \ C(2;0;5)\) – точки из плоскости. Тогда уравнение плоскости можно найти, решив систему: \[\begin{cases}
1\cdot a+0\cdot b+0\cdot c+d=0\\
0\cdot a+3\cdot b+4\cdot c+d=0\\
2\cdot a+0\cdot b+5\cdot c+d=0\end{cases} \quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
d=-a\\
3b+4c-a=0\\
a+5c=0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} d=-a\\
a=-5c\\
b=-3c\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}a=-5c\\
b=-3c\\
d=5c\end{cases}\] Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: \[-5c\cdot x-3c\cdot y+c\cdot z+5c=0\] Можно разделить обе части на \(c\), так как \(c\ne 0\) (иначе \(a=b=c=d=0\)), следовательно, уравнение плоскости имеет вид \[-5x-3y+z+5=0\]
 

\({\color{red}{\textbf{Факт 4.2}}\]
\(\bullet\) Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно
— построить плоскость, проходящую через одну из них и параллельную другой;
— найти уравнение этой плоскости;
— найти расстояние от любой точки первой прямой до этой плоскости.

Расстояние между 2 точками

Краткое объяснение

Когда мы знаем расстояния по горизонтали и по вертикали между двумя точками, мы можем вычислить расстояние по прямой следующим образом:

расстояние = √ a 2 + b 2

Представьте, что вы знаете расположение двух точек (A и B), как здесь.

Какое расстояние между ними?

Мы можем провести линии вниз от A и вдоль от B, чтобы получился прямоугольный треугольник.

И с небольшой помощью Пифагора мы знаем, что:

a 2 + b 2 = c 2

Теперь отметьте координаты точек A и B.

x A означает координату x точки A
y A означает координату y точки A

Горизонтальное расстояние a равно (x A — x B )

Расстояние по вертикали b равно (y A — y B )

Теперь мы можем найти c (расстояние между точками):

Начнем с: c 2 = a 2 + b 2

Поместите в вычисления для a и b: c 2 = (x A — x B ) 2 + (y A — y B ) 2

Квадратный корень из обеих сторон:

Сделанный!

Примеры

Пример 1

Введите значения:

Пример 2

Неважно, в каком порядке расположены точки, потому что возведение в квадрат удаляет любые негативы:

Введите значения:

Пример 3

А вот еще пример с некоторыми отрицательными координатами… все еще работает:

Введите значения:

(Примечание √136 может быть дополнительно упрощено до 2√34, если хотите)

Попробуйте сами

Перетащите точки:

Три или более измерения

Отлично работает в 3 (и более!) Измерениях.

Возвести в квадрат разность для каждой оси, затем просуммировать их и извлечь квадратный корень:

Расстояние = √ [(x A — x B ) 2 + (y A — y B ) 2 + (z A — z B ) 2 ]

Пример: расстояние между двумя точками (8,2,6) и (3,5,7) составляет:

= √ [(8−3) 2 + (2−5) 2 + (6−7) 2 ]
= √ [5 2 + (−3) 2 + (−1) 2 ]
= √ (25 + 9 + 1)
= √35
Что примерно равно 5.9

Расстояние между двумя точками: определение, формулы и примеры

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что». Учащиеся могут изучить огромное количество интерактивных листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-классе Cuemath LIVE вместе со своим ребенком.

Определение расстояния между двумя точками

Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего точки.

Например, если \ (A \) и \ (B \) — две точки, и если \ (\ overline {AB} = 10 \) см, это означает, что расстояние между \ (A \) и \ (B \ ) составляет \ (10 ​​\) см.

Расстояние между двумя точками — это длина соединяющего их отрезка (но НЕ МОЖЕТ быть длиной соединяющей их кривой).2} \]

Это называется формулой расстояния .

Давайте теперь узнаем, как вывести эту формулу.


Формула доказательства расстояния

Предположим, что:

\ [A = (x_1, y_1) \\ [0,2 см] B = (x_2, y_2) \]

Далее предположим, что \ (\ overline {AB} = d \)

Теперь мы нанесем данные точки на координатную плоскость и соединим их линией.

Затем мы построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \ (\ overline {AB} \).2} \]

  • Расстояние до точки \ ((a, b) \) от:

    (i) ось x равна \ (| b | \)

    (ii) ось y равна \ (| a | \)

    Здесь , мы использовали знаки абсолютного значения, потому что расстояние никогда не может быть отрицательным.

  • Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь пройти тест сейчас.


    Решенные примеры

    Найдите расстояние между двумя точками \ ((2, -6 \)) и \ ((7, 3 \))

    Решение:

    Допустим, что данные точки равны:

    \ [\ begin {align} (x_1, y_1) & = (2, -6) \\ [0.2} \\ [0,3 см] d & = \ sqrt {25 + 81} \\ [0,3 см] d & = \ sqrt {106} \ end {align} \]

    \ (\ следовательно \) Расстояние \ (= \ sqrt {106} \)

    Покажите, что точки \ ((2, -1), (0, 1) \) и \ ((2, 3 \)) являются вершинами прямоугольного треугольника.

    Решение:

    Допустим, что данные точки равны:

    \ [\ begin {align} A & = (2, -1) \\ [0,2 см] B & = (0,1) \\ [0.2 \\ [0,3 см] 8 + 8 & = 16 \\ [0,3 см] 16 & = 16 \ конец {выровнено} \]

    Таким образом, \ (A, B \) и \ (C \) удовлетворяют теореме Пифагора.

    Итак, \ (\ треугольник ABC \) прямоугольный треугольник.

    Мы можем доказать то же самое, отметив все координаты на графике:

    Таким образом,

    Данные точки образуют прямоугольный треугольник.

    Найдите точку на оси Y, которая равноудалена от точек \ ((- 1, 2 \)) и \ ((2, 3) \)

    Решение:

    Мы знаем, что координата x любой точки на оси y равна \ (0 \)

    Следовательно, мы считаем точку, равноудаленную от данных точек, равной \ ((0, k \)).2-6k \\ 2k & = 8 \\ k & = 4 \ end {align} \]

    Следовательно, требуемая точка \ ((0, k) = (0, 4) \)

    \ (\ следовательно \) Обязательная точка \ (= (0, 4) \)

    Калькулятор расстояния между двумя точками

    Вот «Калькулятор расстояния между двумя точками».

    Здесь вы можете ввести координаты двух точек, и он покажет вам расстояние между ними с пошаговым объяснением.

    CLUEless по математике? Узнайте, как CUEMATH Учителя объяснят вашему ребенку Расстояние между двумя точками , используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

    Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, которые сделают вашего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!


    Практические вопросы

    Сложные вопросы

    1. Вершинами прямоугольника являются \ ((- 4, -3), (4, -3), (4, 3), \) и \ ((- 4, 3) \).Какая у него площадь?
    2. Вершины прямоугольного треугольника — это \ ((- 3, 6), (1, 6) \) и \ ((1, -1) \). Какая у него площадь?

    Образцы материалов олимпиады по математике

    IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

    Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

    Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике, вы можете нажать здесь


    Часто задаваемые вопросы (FAQ)

    1.Каково определение расстояния между двумя точками?

    Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего точки.

    Например, если \ (A \) и \ (B \) — две точки, и если \ (\ overline {AB} = 10 \) см, это означает, что расстояние между \ (A \) и \ (B \ ) составляет \ (10 ​​\) см.

    2. Какова формула расстояния между двумя точками?

    Расстояние \ (d \) между двумя точками с координатами \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2 \)) составляет:

    \ [d = \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} \]

    Это называется формулой расстояния .

    Расстояние между двумя точками 1D Формула

    Расстояние между двумя точками определяется абсолютным значением разности точек. Порядок, в котором координаты вводятся в формулу, не имеет значения.

    Выражение Описание
    Расстояние между двумя точками
    Координата первой точки
    Координата второй точки

    Расстояние между двумя точками в одном измерении определяется абсолютным значением разницы между двумя значениями.Например, для расчета расстояния между точками и точкой формула:

    После вычисления выражения вычитания и абсолютного значения расстояние между точкой и точкой равно единицам.

    Этот пример демонстрирует, как найти расстояние между двумя точками и.

    1. Начните с настройки формулы.

    2. Подставьте значения для двух точек в формулу.

    3. Оцените абсолютное значение.

      Расстояние между двумя точками и составляет единицы.

    Этот пример демонстрирует, как найти расстояние между двумя точками и.

    1. Начните с настройки формулы.

    2. Подставьте значения для двух точек в формулу.

    3. Оцените абсолютное значение.

      Расстояние между двумя точками и составляет единицы.

    Этот пример демонстрирует, как найти расстояние между двумя точками и.

    1. Начните с настройки формулы.

    2. Подставьте значения для двух точек в формулу.

    3. Оцените абсолютное значение.

      Расстояние между двумя точками и составляет единицы.

    Вычитание — это основная арифметическая операция удаления одного числа из другого числа.

    Обозначение для получения абсолютного значения — две вертикальные линии по обе стороны от вычисляемого выражения.

    Как рассчитать расстояние между двумя координатами

    Обновлено 15 декабря 2020 г.

    Нукрейша Лэнгдон

    Знание того, как рассчитать расстояние между двумя координатами, имеет множество практических применений в науке и строительстве. Чтобы найти расстояние между двумя точками на двумерной сетке, вам необходимо знать координаты x и y каждой точки. Чтобы найти расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве, вам также необходимо знать z-координаты этих точек.

    Формула расстояния используется для выполнения этой работы и проста: возьмите разницу между значениями X и разницу между значениями Y, сложите их квадраты и извлеките квадратный корень из суммы, чтобы найти прямую -линейное расстояние, то есть расстояние между двумя точками на картах Google над землей, а не на извилистой дороге или водном пути.

    Расстояние в двух измерениях

      Вычислите положительную разницу между координатами x и назовите это число X. 2

      , чтобы найти квадрат расстояния между двумя точками.2 = 41

      Таким образом, квадрат расстояния между координатами равен 41.

      Извлеките квадратный корень из D 2 , чтобы найти D, фактическое расстояние между двумя точками. Например, если D 2 = 41, то D = 6,403, и поэтому расстояние между (-3, 7) и (1, 2) равно 6,403.

    Расстояние в трех измерениях

      Вычислите положительную разницу между координатами z и назовите это число Z. Координаты z — это третьи числа в каждом наборе координат.2 = 141

      Таким образом, квадрат расстояния между координатами равен 141.

      Извлеките квадратный корень из D 2 , чтобы найти D, фактическое расстояние между двумя точками. Например, если D 2 = 141, то D = 11,874, и поэтому расстояние между (-3, 7, 10) и (1, 2, 0) равно 11,87.

    Калькулятор расстояний

    Калькулятор расстояний

    Калькуляторы, представленные ниже, можно использовать для определения расстояния между двумя точками на двухмерной плоскости или трехмерном пространстве. Их также можно использовать для определения расстояния между двумя парами широты и долготы или двумя выбранными точками на карте.

    2D-калькулятор расстояния

    Используйте этот калькулятор, чтобы найти расстояние между двумя точками на 2D-координатной плоскости.

    Трехмерный калькулятор расстояний

    Используйте этот калькулятор, чтобы найти расстояние между двумя точками в трехмерном координатном пространстве.

    Расстояние по широте и долготе

    Используйте этот калькулятор, чтобы найти кратчайшее расстояние (большой круг / воздушное расстояние) между двумя точками на поверхности Земли.

    Расстояние на карте

    Щелкните карту ниже, чтобы установить две точки на карте и найти кратчайшее расстояние (большой круг / воздушное расстояние) между ними.После создания маркер (маркеры) можно переместить, щелкнув и удерживая, а затем перетащив их.

    ‘;
    calcResult + = »;
    } else if (markerCount> 0) {
    calcResult + = ‘

    Point 1: [‘ + lat1 + ‘,’ + lon1 + ‘]

    Установите другой маркер на карте, чтобы рассчитать расстояние.

    ‘;
    }еще{
    calcResult + = ‘

    Установите два маркера на карте, чтобы рассчитать расстояние между ними.

    ‘;
    }
    calcResult + = »;
    gObj («mapresult»). innerHTML = calcResult;
    }

    Расстояние в системе координат

    Расстояние в 2D координатной плоскости:

    Расстояние между двумя точками на двухмерной координатной плоскости можно найти с помощью следующей формулы расстояния

    d = √ (x 2 — x 1 ) 2 + (y 2 — y 1 ) 2

    , где (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ) — координаты двух задействованных точек.Порядок точек не имеет значения для формулы, если выбранные точки совпадают. Например, учитывая две точки (1, 5) и (3, 2), либо 3, либо 1 могут быть обозначены как x 1 или x 2 , если используются соответствующие значения y:

    Использование (1, 5) как (x 1 , y 1 ) и (3, 2) как (x 2 , y 2 ):

    d = √ (3-1) 2 + (2-5) 2
    = √2 2 + (-3) 2
    = √4 + 9
    = √13

    Использование (3, 2) как (x 1 , y 1 ) и (1, 5) как (x 2 , y 2 ):

    d = √ (1-3) 2 + (5-2) 2
    = √ (-2) 2 + 3 2
    = √4 + 9
    = √13

    В любом случае результат будет одинаковым.

    Расстояние в трехмерном координатном пространстве:

    Расстояние между двумя точками на трехмерной координатной плоскости можно найти с помощью следующей формулы расстояния

    d = √ (x 2 — x 1 ) 2 + (y 2 — y 1 ) 2 + (z 2 — z 1 ) 2

    , где (x 1 , y 1 , z 1 ) и (x 2 , y 2 , z 2 ) — трехмерные координаты двух задействованных точек.Как и в двухмерной версии формулы, не имеет значения, какая из двух точек обозначена (x 1 , y 1 , z 1 ) или (x 2 , y 2 , z 2 ), если в формуле используются соответствующие точки. Учитывая две точки (1, 3, 7) и (2, 4, 8), расстояние между точками можно найти следующим образом:

    d = √ (2 — 1) 2 + (4 — 3) 2 + (8-7) 2
    = √1 2 + 1 2 + 1 2
    = √3

    Расстояние между двумя точками на поверхности Земли

    Есть несколько способов найти расстояние между двумя точками на поверхности Земли.Ниже приведены две общие формулы.

    Формула Хаверсина:

    Формула гаверсинуса может использоваться, чтобы найти расстояние между двумя точками на сфере, учитывая их широту и долготу:

    В формуле гаверсинуса d — это расстояние между двумя точками вдоль большого круга, r — радиус сферы, & directphi; 1 и & Stratocaster; 2 — это широты двух точек, а λ 1 и λ 2 — долготы двух точек, все в радианах.

    Формула гаверсинуса работает, находя расстояние по большому кругу между точками широты и долготы на сфере, которое можно использовать для аппроксимации расстояния на Земле (поскольку оно в основном сферическое). Большой круг (также ортодромия) сферы — это самый большой круг, который можно нарисовать на любой данной сфере. Он образован пересечением плоскости и сферы через центральную точку сферы. Расстояние по дуге большого круга — это кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы.

    Результаты с использованием формулы гаверсинуса могут иметь погрешность до 0,5%, поскольку Земля не является идеальной сферой, а представляет собой эллипсоид с радиусом 6 378 км (3963 мили) на экваторе и радиусом 6 357 км (3950 миль). у столба. Из-за этого формула Ламберта (формула эллипсоидальной поверхности) более точно аппроксимирует поверхность Земли, чем формула гаверсинуса (формула сферической поверхности).

    Формула Ламберта:

    Формула Ламберта (формула, используемая вычислителями выше) — это метод, используемый для вычисления кратчайшего расстояния по поверхности эллипсоида.При использовании для аппроксимации Земли и расчета расстояния на поверхности Земли она имеет точность порядка 10 метров на тысячи километров, что более точно, чем формула гаверсинуса.

    Формула Ламберта выглядит следующим образом:

    , где a — экваториальный радиус эллипсоида (в данном случае Земли), σ — центральный угол в радианах между точками широты и долготы (найденный с использованием такого метода, как формула гаверсинуса), f — сглаживание Земля, а также X и Y развернуты ниже.

    Где P = (β 1 + β 2 ) / 2 и Q = (β 2 — β 1 ) / 2

    В приведенных выше выражениях β 1 и β 1 — это приведенные широты с использованием следующего уравнения:

    загар (β) = (1 — f) загар (& Straightphi;)

    , где & Straightphi; широта точки.

    Обратите внимание, что ни формула гаверсинуса, ни формула Ламберта не обеспечивают точное расстояние, потому что невозможно учесть все неровности на поверхности Земли.

    Как инструменты приближения вычисляют расстояние — ArcGIS Pro

    Как определяется расстояние

    Расстояние между любыми двумя объектами рассчитывается как кратчайшее расстояние между ними, то есть место, где два объекта находятся ближе всего друг к другу. Эта логика применяется к любому инструменту геообработки, который вычисляет расстояние, включая такие инструменты, как Рядом, Создать таблицу близости и Пространственное соединение (с параметром БЛИЖАЙШЕЕ совпадение).

    Измерения расстояния будут наиболее точными, если входные данные находятся в эквидистантной системе координат проекции.Хотя расчеты расстояния всегда можно выполнить независимо от системы координат, результаты могут быть неточными или даже бессмысленными, если ваши данные находятся в географической системе координат или неправильно выбранной системе координат проекции.

    Дополнительные сведения о системах координат и проекциях

    В приведенном ниже обсуждении под расстоянием всегда понимается наименьшее расстояние между двумя объектами.

    Особые соображения

    • Несколько функций могут быть одинаково близки к другой функции.Когда это происходит, один из ближайших объектов случайным образом выбирается как самый близкий.
    • Когда один объект содержит или находится внутри другого объекта, расстояние между ними равно нулю.
      • Это означает, что когда объект находится внутри полигона, расстояние между объектом и окружающим полигоном равно нулю.
    • Расстояние между двумя объектами равно нулю, если между ними есть хотя бы одна координата x, y.
      • Это означает, что когда два объекта пересекаются, перекрываются, пересекаются или касаются друг друга, расстояние между ними равно нулю.
    • Расстояние всегда вычисляется до границы полигонального объекта, а не до центра или центроида полигона.
      • Как отмечалось выше, если объект полностью находится внутри многоугольника, расстояние между объектом и окружающим многоугольником равно нулю.
    • Расстояние между двумя элементами (любого типа) всегда одинаково, независимо от того, до и от какого из них измеряется.

    Основные операции для поиска расстояния

    Расчет расстояния зависит от типа геометрии объекта, а также от других факторов, таких как система координат.Однако есть три основных правила, подробно описанных ниже, которые определяют, как рассчитывается расстояние.

    1. Расстояние между двумя точками — это прямая линия, соединяющая точки.
    2. Расстояние от точки до линии — это либо перпендикуляр, либо ближайшая вершина.
    3. Расстояние между полилиниями определяется вершинами сегментов.

    Правило 1. Расстояние между двумя точками — это прямая линия, соединяющая точки

    На следующем рисунке показано расстояние между двумя точками вместе с несколькими другими ключевыми словами и функциями, используемыми инструментами приближения.

    Ключевые слова в выносках выше (IN_FID, NEAR_DIST, NEAR_FID, NEAR_X, NEAR_Y и NEAR_ANGLE) — это поля, добавляемые к выходным данным с помощью инструментов «Создать ближайшую таблицу» и инструментов, а также к входному классу пространственных объектов при запуске инструмента «Рядом».

    Многоточечный — многоточечный

    Для особого случая расчета расстояний между многоточечными точками расстояния от каждой точки входного многоточечного объекта до каждой точки ближайшего многоточечного объекта вычисляются с использованием правила 1, и наименьшее из этих расстояний — это расстояние между две многоточечные функции.

    Кроме того, когда одна из точек многоточечного соединения находится над одной из точек другого многоточечного объекта, расстояние между двумя объектами многоточечного соединения равно нулю. Это относится ко всем составным объектам.

    Правило 2: Расстояние от точки до полилинии — это перпендикуляр или ближайшая вершина

    В ArcGIS линейные объекты называются полилиниями. Эти два термина, линия и полилиния, взаимозаменяемы. Полилиния — это упорядоченный набор точек, которые называются вершинами.Отдельная вершина — это вершина. Полилиния может иметь любое количество вершин. Линия, определяемая двумя вершинами, называется отрезком линии или отрезком. Две вершины, которые определяют отрезок прямой, называются конечными вершинами.

    Точно так же многоугольник — это замкнутая область, определяемая одной или несколькими полилиниями.

    Кратчайшее расстояние от точки до сегмента линии — это перпендикуляр к сегменту линии. Если перпендикуляр не может быть проведен внутри конечных вершин отрезка прямой, то расстояние до ближайшей конечной вершины является кратчайшим расстоянием.

    От точки до полилинии

    Если полилиния имеет только один линейный сегмент, для получения расстояния применяется Правило 2.

    Если полилиния состоит из нескольких сегментов (наиболее распространенный случай), сначала определяется ближайший к точке сегмент, а затем применяется Правило 2 для получения расстояния.

    Точка к многоугольнику

    Поскольку многоугольник — это область, окруженная упорядоченным набором линейных сегментов, вычисление расстояния от точки до многоугольника включает в себя определение ближайшего линейного сегмента к точке, а затем применяется правило 2 для получения расстояние.

    Расстояние положительно, только если точка находится за пределами многоугольника; в противном случае — ноль.

    На приведенном выше рисунке расстояние равно нулю для точек 2 и 3 и положительно для точек 1 и 4.

    Правило 3: Расстояние между полилиниями определяется вершинами линейных сегментов

    Для двух неточечных объектов, таких как два отрезка линии:

    1. Расстояние от каждой конечной вершины входного сегмента до ближайшего сегмента рассчитывается с использованием правила 2.
    2. Рассчитывается расстояние от каждой из конечных вершин ближнего сегмента до входного сегмента.

    Меньшее из этих двух значений расстояния — это расстояние между двумя сегментами.

    Полилиния в полилинию

    В простейшем случае предположим, что у обоих полилиний есть по одному сегменту. На рисунке ниже показан перпендикуляр CX от вершины C к отрезку, определяемому вершинами AB. Перпендикуляр к вершине D также может быть вычислен, но его расстояние больше, чем CX.Таким образом, CX — это кратчайшее расстояние от сегмента CD до сегмента AB.

    Обратите внимание, что нельзя провести перпендикуляр от вершины A или B к сегменту CD, поэтому кратчайшее расстояние вычисляется от вершин A и B до вершины C. В результате AC — это кратчайшее расстояние от сегмента AB до сегмента CD.

    Из двух вычисленных расстояний (AC и CX) CX — это самое короткое расстояние между двумя сегментами, так как это наименьшее из всех расстояний между вершинами и сегментами.

    Если обе полилинии состоят из нескольких сегментов, обнаруживаются два ближайших сегмента, тогда расстояние между ними рассчитывается в соответствии с Правилом 3.

    От полилинии к многоугольнику

    При вычислении расстояния между ломаной линией и многоугольником идентифицируются два ближайших сегмента: один от ломаной линии, а другой от последовательности сегментов, составляющих границу многоугольника. Расстояние между этими двумя сегментами рассчитывается в соответствии с процессом, описанным в Правиле 3.

    Сводка

    Следующая диаграмма дает общую картину того, как рассчитываются расстояния между различными типами объектов и где находятся ближайшие местоположения.
    может быть таким, как описано выше.Показаны не все возможные комбинации.

    Связанные темы

    Отзыв по этой теме?

    Формулы средней точки и расстояния в 3D — Концепция

    Есть две формулы, которые важно помнить при рассмотрении векторов или положений в трехмерной системе координат. Формула средней точки и формула расстояния в 3D. Формула средней точки и расстояния в 3D может быть получена с использованием метода сложения геометрического представления векторов.Чтобы понять вывод формулы расстояния в трехмерном пространстве, мы должны понимать трехмерные векторные операции.

    Я хочу вывести формулу средней точки для трех измерений, формула средней точки поможет мне найти среднюю точку между точками a, которые являются координатами x1, y1 и z1 и b, имеющими координаты x2, y2 и z2. Итак, у меня здесь нарисован отрезок ab, я пометил свою среднюю точку m и надеюсь найти формулу для его координат.Я также добавил вектор положения oa для точки a и вектор положения om для точки m. Теперь давайте найдем компоненты для вектора положения oa и напомним, что компоненты вектора положения — это в точности координаты конечной точки этого вектора, поэтому будут x1, y1, z1, и мне также понадобится вектор ab, чтобы найти m и каковы компоненты ab? Итак, поскольку вектор ab идет от точки a к точке b, а его компоненты — x2-x1, y2-y1 и z2-z1, хорошо, как мы собираемся получить вектор положения om из oa и ab?
    Что ж, давайте заметим, что вектор, который начинается в точке a и заканчивается в m, является половиной вектора, идущего от a до be, так что это вектор ab, этот вектор начинается здесь и заканчивается здесь, это половина ab скаляр несколько половин ab, поэтому мне нужно добавить это к oa, чтобы получить om.Итак, вектор om = oa плюс половина a b, так что он будет в компонентах x1, y1, z1 плюс половина этого, половина x2-x1, y2-y1 и z2-z1. Итак, давайте посмотрим, сможем ли мы объединить это за один шаг для первого компонента, который я собираюсь получить x1 плюс половина x2 минус половина x1, поэтому половина x1 плюс половина x2, теперь я получу y1 плюс половину y2 минус половина y1, это половина y1 плюс половина y2, и аналогично я получаю половину z1 плюс половину z2.
    Каждая из них представляет собой точное среднее значение компонентов x и y этих двух точек, поэтому я могу записать это как x1 + x2 по 2, y1 + y2 по 2 и z1 + z2 по 2, это компоненты вектора om, которые идет из начала координат в точку m и, следовательно, координаты точки m таковы.Таким образом, средняя точка m сегмента, соединяющего x1, y1, z1 и x2, y2, z2, равна x1 + x2 на 2, y1 + y2 на 2 и z1 + z2 на 2, и это формула средней точки.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.