Прямоугольная трапеция свойства и признаки 8 класс: Свойства прямоугольной трапеции — Трапеция и её виды

Содержание

Прямоугольная трапеция. Формулы, признаки и свойства прямоугольной трапеции

Навигация по странице:
Определение прямоугольной трапеции
Признаки прямоугольной трапеции
Основные свойства прямоугольной трапеции
Стороны прямоугольной трапеции
Средняя линия прямоугольной трапеции

Определение.

Прямоугольная трапеция — это трапеция у котрой одна из боковых стороны перпендикулярна основам.

Рис.1

Признаки прямоугольной трапеции

Трапеция будет прямоугольной если выполняется одно из этих условий:

1. В тапеции есть два смежных прямых угла:

∠BAD = 90° и ∠ABC = 90°

2. Одна боковая сторона перпендикулярна основам:

AB ┴ BC, AB ┴ AD

Основные свойства прямоугольной трапеции

1. В трапеции есть два смежных прямых угла:

∠BAD = ∠ABC = 90°

2. Одна боковая сторона перпендикулярна основам:

AB ┴ BC ┴ AD

3. Высота равна меньшей боковой стороне:

h = AB

Стороны прямоугольной трапеции

Формулы длин сторон прямоугольной трапеции:

1. Формулы длины оснований через стороны и угол при нижнем основании:

a = b + d cos α = b + c ctg α = b + √d 2 — c2

b = a — d cos α = a — c ctg α = a — √d 2 — c2

2. Формулы длины оснований через стороны, диагонали и угол между ними:

a =  d1d2 · sin γ — b =  d1d2 · sin δ — b
c c
b =  d1d2 · sin γ — a =  d1d2 · sin δ — a
c c

3. Формулы длины оснований трапеции через площадь и другие стороны:

a =  2S — b      b =  2S — a
c c

4. Формула боковой стороны через другие стороны и угол при нижнем основании:

c = √d 2 — (a — b)2 = (a — b) tg α = d sin α

5. Формулы боковой стороны через основы, диагонали и угол между ними:

c =  d1d2 · sin γ =  d1d2 · sin δ
a + b a + b

6. Формулы боковой стороны через площадь, основы и угол при нижнем основании:

c =  S  =  2S
m a + b
d =  S  =  2S
m sin α (a + b) sin α

7. Формула боковой стороны через другие стороны, высоту и угол при нижнем основании:

d =  a — b  =  c  =  h  = √c2 + (a — b)2
cos α sin α sin α

Средняя линия прямоугольной трапеции

Формулы длины средней линии прямоугольной трапеции:

1. Формулы средней линии через основание, высоту (она же равна стороне d ) и угол α при нижнем основании:

m =  a — h · ctg α  =  b + h · ctg α
2 2

2. Формулы средней линии через основания и боковые стороны сторону:

m =  a — √d 2 — c2  =  b + √d 2 — c2
2 2

Формулы по геометрии
Квадрат. Формулы и свойства квадрата
Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника
Параллелограмм. Формулы и свойства параллелограмма
Ромб. Формулы и свойства ромба
Трапеция. Формулы и свойства трапеции
— Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции
— Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапеции
Формулы площади геометрических фигур
Формулы периметра геометрических фигур
Формулы объема геометрических фигур
Формулы площади поверхности геометрических фигур

Все таблицы и формулы

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Определение, признаки и свойства произвольной, равнобедренной и прямоугольной трапеции

В курсе геометрии за 8-й класс подразумевается изучение свойств и признаков выпуклых четырёхугольников. К ним относятся параллелограммы, частными случаями которых являются квадраты, прямоугольники и ромбы, и трапеции. И если решение задач на различные вариации параллелограмма чаще всего не вызывает сильных затруднений, то разобраться, какой четырёхугольник называется трапецией, несколько сложнее.

Содержание

Определение и виды

В отличие от других четырёхугольников, изучаемых в школьной программе, трапецией принято называть такую фигуру, две противоположные стороны которой параллельны друг другу, а две другие — нет. Существует и другое определение: это четырёхугольник с парой сторон, которые не равны между собой и параллельны.

Различные виды указаны на рисунке ниже.

На изображении под номером 1 изображена произвольная трапеция. Номером 2 обозначен частный случай — прямоугольная трапеция, одна из сторон которой перпендикулярна её основаниям. Последняя фигура — тоже особый случай: это равнобедренная (равнобокая) трапеция, т. е. четырёхугольник с равными боковыми сторонами.

Важнейшие свойства и формулы

Для описания свойств четырёхугольника принято выделять определённые элементы. В качестве примера можно рассмотреть произвольную трапецию ABCD.

В её состав входят:

  • основания BC и AD — две стороны, параллельные по отношению друг к другу,
  • боковые стороны AB и CD — два непараллельных элемента,
  • диагонали AC и BD — отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры,
  • высота трапеции CH — перпендикулярный основаниям отрезок,
  • средняя линия EF — линия, соединяющая середины боковых сторон.

Основные свойства элементов

Чтобы решить задачи по геометрии или доказать какие-либо утверждения, наиболее часто используют свойства, которые связывают различные элементы четырёхугольника. Они формулируются следующим образом:

  1. Средняя линия всегда проходит параллельно обоим основаниям фигуры и численно равна их полусумме: EF = (BC + AD)/2.
  2. Точка пересечения диагоналей фигуры разделяет их с таким же соотношением длины, с каким относятся основания трапеции: AD : BC = AO : CO = DO : BO.
  3. Основание можно вычислить, зная длину второго основания и средней линии: BC = 2 · EF — AD, AD = 2 · EF — BC.
  4. Боковые стороны вычисляются, если известна высота фигуры и синус угла при основании: AB = CH / sinA, CD = CH / sinD.
  5. Для расчёта высоты необходимо знать, чему равна боковая сторона и прилегающий угол: CH = AB · sinA = CD · sinD.

Кроме того, часто полезно знать и применять следующие утверждения:

  1. Биссектриса, проведённая из произвольного угла, отделяет на основании отрезок, длина которого равна боковой стороне фигуры.
  2. При проведении диагоналей образуются 4 треугольника, из них 2 треугольника, образованных основаниями и отрезками диагоналей, обладают подобием, а оставшаяся пара имеет одинаковую площадь.
  3. Через точку пересечения диагоналей O, середины оснований, а также точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон, можно провести прямую.

Вычисление периметра и площади

Периметр рассчитывается как сумма длин всех четырёх сторон (аналогично любой другой геометрической фигуре):

P = AD + BC + AB + CD.

Есть несколько способов, как можно рассчитать площадь трапеции по формуле. Следует выбрать из них наиболее подходящий вариант, опираясь на то, какие данные известны по условию задачи.

Вписанная и описанная окружность

Окружность возможно описать около трапеции только в том случае, когда боковые стороны четырёхугольника равны.

Чтобы вычислить радиус описанной окружности, необходимо знать длины диагонали, боковой стороны и большего основания. Величина p, используемая в формуле, рассчитывается как полусумма всех вышеперечисленных элементов: p = (a + c + d)/2.

Для вписанной окружности условие будет следующим: сумма оснований должна совпадать с суммой боковых сторон фигуры. Радиус её можно найти через высоту, и он будет равен r = h/2.

Частные случаи

Рассмотрим часто встречаемый случай — равнобокую (равностороннюю) трапецию. Её признаки — равенство боковых сторон или равенство противолежащих углов. К ней применимы все утверждения, которые характерны для произвольной трапеции. Другие свойства равнобедренной трапеции:

  1. Прямая, которая проходит через середины оснований фигуры, пересекает их под углом 90 градусов.
  2. Углы, лежащие при любых основаниях, попарно равны.
  3. Длины диагоналей совпадают.
  4. Высота будет равна средней линии, если диагонали проходят перпендикулярно друг к другу.
  5. Высота, опущенная из вершины к основанию, делит его на 2 отрезка, длина большего вычисляется как половина суммы оснований, а длина меньшего — как половина разности.

Прямоугольная трапеция встречается в задачах не так часто. Её признаки — наличие двух смежных углов, равных 90 градусов, и наличие боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Высота в таком четырёхугольнике одновременно является одной из его сторон.

Все рассмотренные свойства и формулы обычно используются для решения планиметрических задач. Однако также их приходится применять в некоторых задачах из курса стереометрии, например, при определении площади поверхности усечённой пирамиды, внешне напоминающей объёмную трапецию.

Площадь трапеции — Измерение | Класс 8 Математика

Измерение — это раздел математики, который занимается изучением геометрических фигур, их площади, объема и других связанных параметров. Четырехсторонняя замкнутая фигура, у которой одна пара параллельных сторон противоположна друг другу, а другая не пара непараллельных сторон, называется трапецией.

Свойства трапеции

  • Четырехсторонняя замкнутая фигура с суммой внутренних углов 360°.
  • Одна пара параллельных сторон, которые должны быть противоположны друг другу.
  • Одна пара непараллельных сторон.
  • Сумма углов смежных сторон равна 180°.
  • Диагонали трапеции пересекаются пополам.

Основная терминология трапеции

Основание трапеции: Пара параллельных сторон, противоположных друг другу, называется основанием. Вы можете позвонить как b1 и b2 соответственно.

Высота трапеции: Перпендикулярное расстояние между двумя параллельными линиями называется высотой трапеции.

Формула площади трапеции

Если известны основание и высота трапеции, то площадь трапеции можно рассчитать по формуле:

Площадь трапеции = 1/2 x (сумма оснований) x (высота трапеции)

Вывод площади трапеции

Площадь трапеции равна сумме площадей двух треугольников и площади прямоугольника. Ниже приведен вывод для расчета площади трапеции:

 Поскольку мы знаем, что:

Площадь трапеции = площадь треугольника 1 + площадь прямоугольника + площадь треугольника 2

Предположим, что основание треугольника 1 равно B1, а основание треугольника 2 равно B2 и высота будет h для обоих треугольников. А для прямоугольника предположим, что его ширина и высота равны b1 и h.

Значит,

A = (B1 x h / 2) + b1h + (B2 x h / 2)

A = (B1 x h + 2b1h + B2 x h) / 2

Упрощение уравнения, перестановка членов и разложение на множители:

A = h / 2[b1 + (B1 + b1 + B2] ….(i)

Если принять более длинное основание трапеция равна b2, тогда

b2 = B1 + b1 + B2 …..(ii)

Подставляя (ii) в уравнение (i),

A = h / 2(b1 + b2)

Следовательно , площадь трапеции с основаниями b1, b2 и высотой h равна:

A = h/2(b1+b2)

, что также можно записать следующим образом:0003

Площадь трапеции = 1/2 x (сумма оснований) x (высота трапеции)

= 1/2 x (B1 + B2) x H

Проблемы выборки на основе Формулы

Задача 1: Вычислите площадь трапеции, у которой величина оснований равна 10 и 5 соответственно, а высота трапеции равна 2 м. 2, одно основание равно 6 м, а другое — 4 м. Вычислите высоту трапеции.

Решение:  

Площадь трапеции = 1/2 x  (сумма оснований) x (высота трапеции)

Пусть значение высоты равно h.

Подставив все данные значения в приведенную выше формулу, мы получили

220 = 1/2 x (4 + 6) x h

220 = 10 x h

22 = h

h = 22 м Площадь 9003

8

8

8

8

8

8

8 трапеции – объяснение и примеры

Напомним, трапеция , также называемая трапецией , — четырехугольник с одной парой параллельных сторон и другой парой непараллельных сторон. Подобно квадрату и прямоугольнику, трапеция тоже плоская. Следовательно, это 2D.

В трапеции параллельные стороны называются основаниями, а пара непараллельных сторон — катетами. Расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными сторонами трапеции известно как высота трапеции.

Проще говоря, основание и высота трапеции перпендикулярны друг другу.

Трапеции могут быть как прямыми трапециями (два угла по 90 градусов), так и равнобедренными трапециями (две стороны одинаковой длины). Но иметь один прямой угол невозможно, потому что у него есть пара параллельных сторон, которые ограничивают его, чтобы он одновременно образовывал два прямых угла.

Из этой статьи вы узнаете:

  • Как найти площадь трапеции,
  • Как вывести формулу площади трапеции и,
  • Как найти площадь трапеции по формуле площади трапеции .

 

Как найти площадь трапеции?

Площадь трапеции – это область, покрытая трапецией в двумерной плоскости. Это пространство, заключенное в двумерную геометрию.

На приведенном выше рисунке трапеция состоит из двух треугольников и одного прямоугольника. Следовательно, мы можем вычислить площадь трапеции, взяв сумму площадей двух треугольников и одного прямоугольника.

Вывести формулу площади трапеции

Площадь трапеции ADEF = (½ x AB x FB ) + ( BC x FB ) + (½ x CD x EC )

= (¹/₂2 × 2)2 ч 2 AB 9022 ( BC × h ) + (¹/₂ × CD × h )

= ¹/₂ × h × ( AB + 2 BC + CD )

= ¹/₂ × h × ( FE + AD )

Но, FE = b 1 и AB = b 2

Следовательно, площадь трапеции ADEF ,

= ¹/ × h × (b 1 + b 2 ) ………………. (Это формула площади трапеции)

Формула площади трапеции

Согласно формуле площади трапеции, площадь трапеции равна половине произведения высоты и суммы двух оснований.

Площадь = ½ x (сумма параллельных сторон) x (перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами).

Площадь = ½ ч (b 1 + b 2 )

Где h — высота, а b 1, и b 2 — параллельные стороны трапеции.

Как найти площадь неправильной трапеции?

Неправильная трапеция имеет непараллельные стороны разной длины. Чтобы найти его площадь, нужно найти сумму оснований и умножить ее на половину высоты.

В вопросе иногда отсутствует высота, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Как найти периметр трапеции?

Вы знаете, что периметр — это сумма всех длин внешнего края фигуры. Следовательно, периметр трапеции равен сумме длин всех 4-х сторон.

Пример 1

Вычислите площадь трапеции, высота которой 5 см, а основания 14 см и 10 см.

Решение

Пусть b 1 = 14 см и b 2 = 10 см

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) cm 2

= ½ x 5 (14 + 10) cm 2

= ½ x 5 x 24 cm 2

= 60 cm 2

Пример 2

Найдите участок трапеции высотой 30 мм, основания которого равны 60 мм и 40 мм.

Solution

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единиц

= ½ x 30 x (60 + 40) мм 3 900Пример 3 Если длины двух параллельных сторон трапеции равны 19 и 27 дюймов, найдите высоту трапеции.

Раствор

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единицы.

⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x высота x (19 + 27) кв. дюймов

⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x высота x 46 кв. дюймов

⇒ 322 = 23h

Разделите обе стороны на 23.

h = 14

Итак, высота трапеции 14 дюймов.

Пример 4

Учитывая, что высота трапеции 16 м, а длина одного основания 25 м. Вычислите размер другого основания трапеции, если ее площадь равна 352 м 2 .

Раствор

Пусть b 1 = 25 м

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. шт.

⇒ 352 м 2 = ½ x 16 м x (25 м + b 2 ) кв. шт.

⇒ 352 = 200 + 8b 2

Вычтите по 200 с обеих сторон.

⇒ 152 = 8b 2

Разделите обе части на 8, чтобы получить;

b 2 = 19

Следовательно, длина другого основания трапеции равна 19 м.

Пример 5

Вычислите площадь трапеции, показанной ниже.

Решение

Поскольку катеты (непараллельные стороны) трапеции равны, то высоту трапеции можно рассчитать следующим образом;

Чтобы получить основания двух треугольников, вычтите 15 см из 27 см и разделите на 2.

⇒ (27 – 15)/2 см

⇒ 12/2 см = 6 см 2 + 6 2 По теореме Пифагора высота (h) рассчитывается как;

144 = h 2 + 36.

Вычесть 36 с обеих сторон.

ч 2 = 108.

ч = 10,39 см.

Отсюда высота трапеции 10,39см.

Теперь вычислите площадь трапеции.

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единицы.

= ½ x 10,39 x (27 + 15) см 2 .

= ½ x 10,39 x 42 см 2 .

= 218,19 см 2 .

Пример 6

Одно основание трапеции на 10 м больше высоты. Если другое основание равно 18 м, а площадь трапеции 480 м 2 , найдите высоту и основание трапеции.

Решение

Пусть высота = x

Другое основание на 10 м больше высоты = x + 10.

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2) кв. единицы.

Подстановкой,

480 = ½ * x * (x + 10 + 18)

480 = ½ *x * (x + 28)

Используйте свойство распределения, чтобы удалить скобки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *