Прямо пропорциональные и обратно пропорциональные: Обратно пропорциональные величины — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Бобкова С.Н. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Бобкова С.Н. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Автор: edu1

Методическая копилка —

Математика

МБОУ «Букреевская основная общеобразовательная школа»

Рабочие материалы выступления 

на школьном этапе конкурса

«Учитель года 2013»

План — конспект открытого урока

математики в 6 классе по теме:

«Прямая и обратная

пропорциональные зависимости»

учитель математики Бобкова С. Н.

Букреевка, 2013 г.


Цель урока:

Образовательная:Закрепить понятия: пропорция, основное свойство пропорции, прямо пропорциональные величины, обратно пропорциональные величины. Закрепить умение решать задачи с помощью пропорции, познакомить с золотым сечением.

Продолжить формирование обще-учебных умений и навыков:

— планирование ответа;

— навыки самоконтроля;

— устный счет.

Контроль степени усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.

Развивающая: Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации.

Развитие логического мышления, умения выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы.

Развитие умений сравнивать, правильно формулировать задачи и излагать мысли.

Развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитательная: Формирование научного мировоззрения, интереса к предмету через содержание учебного материала.

Воспитание умения работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи.

Воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: карточки с заданиями для самостоятельной работы, презентация.

 

Ход урока:

1.      Устная работа.

1. Что такое пропорция?
2. Как называются числа  х и у в пропорции  х : а = b : у?
3. Как называются числа т и п в пропорции а: т = n: b?
4. Сформулируйте основное свойство пропорции?

5. Какие ещё свойства пропорции вы знаете?

6.  Какие величины называются прямо пропорциональными?

7.  Какие величины называются обратно пропорциональными?

1)    Верна ли пропорция:

а)  2 : 5 = 16 : 40;      б)  7 : 2,1 = 2 : 0,6;      в)  4 : 12 = 14 : 4,2

2)   Какие числа надо вставить в «окошки», чтобы получить верную пропорцию

а)  33 : 6=  : 2;       б)    45 :  = 15 : 3;    в)   :  = 24 : 6;   г)   :  =  : 5.

3)  Составьте верную пропорцию из чисел 10, 12, 6 и 5.

4) Повторим алгоритм решения задач на прямую

 и обратную пропорциональные зависимости:

•      неизвестное число обозначить буквой х

•      записать условие задачи 

•      установить вид зависимости между величинами

•      прямую пропорциональную зависимость  

 обозначить одинаково направленными  

 стрелками, а обратную пропорциональную 

 зависимость – противоположно направленными  

 стрелками.

•      записать пропорцию

•      найти её неизвестный член.

3. Проверка домашнего задания. Защита творческих работ (домашнее задание было составить задачу на прямую или обратно пропорциональные зависимости)

4. Решение задач

            1.   За 4м ткани заплатили 180р. Сколько стоят 14м этой ткани? (630 р)

            2.  Чтобы покрасить стены дома за 2 дня, требуется 20 маляров. За сколько дней эту работу выполнят 4 маляра? ( 10дн)

3.      Пассажирский поезд, скорость которого 45км/ч, затратил на некоторый участок пути 4ч. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, если его скорость 40 км/ч? ( 4,5 ч)

4.      Для изготовления 18 одинаковых приборов потребовалось 27г платины. Сколько платины потребуется для изготовления28 таких приборов? ( 42г или 0,042кг)

5.      В 1 кг морской воды содержится 40г соли. Сколько соли содержится в 650 г морской воды? (0,026кг)

 

5. Самостоятельная работа.

Составить пропорции для решения задач

I- вариант                    II- вариант

в) и  г)                          а) и  б)

а) На пошив 9 рубашек ушло 18,9 м ткани. Сколько метров уйдёт на пошив 12 таких рубашек?

 

б) 6 одинаковых труб заполняют бассейн за 24 минуты. За сколько минут заполнят бассейн 9 таких труб?

 

в) Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 12 дней. Сколько рабочих сможет выполнить это задание за 8 дней, работая с той же производительностью?

 

г) Из 9,6 кг помидоров получают 4 л томатного соуса. Сколько литров соуса можно получить из 84 кг помидоров?

6.      Знакомство с «Золотым сечением» (Демонстрация презентации).

Откройте учебник на странице 144, прочитайте исторический материал.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.

— Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения».

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника (Прослушивание фрагмент оперы П. И. Чайковского).

7.    Рефлексия.

8.    Домашнее задание: Самостоятельная работа (другой вариант)

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Сегодня на уроке мы продолжим работать с
пропорциями, а точнее познакомимся с прямой и обратной
пропорциональными зависимостями
.

Задача

Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 5 кг черешни, если по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг
сахара?

Решение:

Из решения видно, что во сколько раз больше имеется
черешни
, во столько раз больше понадобится сахара

Эту же задачу можно решить и при помощи пропорции.
Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив за неизвестную нам
массу сахара буквой х. Смотрите, у нас есть столбик, где мы будем
записывать массу ягод, и столбик, где мы укажем соответствующую массу сахара на
массу ягод. Итак, по условию задачи известно, что по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара. Нам нужно узнать,
сколько кг сахара потребуется на 5 кг ягод.

Такая зависимость между массой ягод и массой сахара
условно обозначается в таблице одинаково направленными стрелками. Их
направление говорит о том, что если первая величина возрастает (стрелка вверх),
то и вторая тоже возрастает (стрелка тоже вверх).

Задача

Велосипедист, двигаясь с постоянной скоростью,
проехал 10 км за 20
минут. Какой путь проедет велосипедист за 50
минут?

Решение: для наглядности
запишем кратко условие задачи в виде таблицы.

Понятно, что путь увеличится во столько раз, во
сколько раз увеличится время
. Ставим стрелки в одном направлении.

Такие величины, как масса ягод для варенья и масса
сахара, время и пройденный за это время при постоянной скорости путь, и т. д.
называют прямо пропорциональными величинами.

Определение

Две величины называются прямо
пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько
раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз
.

Задача

Автомобиль ехал 3 часа
со скоростью 60 км/ч. За какое время он
продет это же расстояние, если будет ехать со скоростью 90 км/ч?

Решение:

Из решения видно, что во сколько раз скорость
автомобиля больше
, во столько раз меньше времени тратится на этот же
путь

Эту же задачу решим при помощи пропорции. Запишем в
таблицу кратко условие задачи. За х обозначим неизвестное нам
время.

Понятно, что чем больше скорость автомобиля, тем
меньше времени ему понадобится на преодоление этого же пути
. Такая
зависимость между скоростью и временем, затраченным на пройденный путь, условно
обозначается в таблице противоположно направленными стрелками. Их
направление говорит о том, что если первая величина возрастает (стрелка вверх),
то вторая убывает (стрелка вниз). Составим пропорцию. Т.к. стрелки направлены в
разные стороны, то второе отношение перевернём.

Задача

5 рабочих выполнили заказ
за 132 часа. За какое время этот же заказ
смогут выполнить 12 рабочих?

Решение:

Понятно, что чем больше будет задействовано
рабочих
, тем быстрее выполнится заказ. Значит, ставим стрелки в
противоположном направлении. Составим пропорцию:

Такие величины, как скорость автомобиля и время, за
которое он проедет определённый путь, число работников и время, за которое они
выполняют заказ, и т.д. называют обратно пропорциональными величинами.

Определение

Две величины называются обратно
пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько
раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз
.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными
или обратно пропорциональными.

Например,
возраст человека и размер его обуви не связаны пропорциональной
зависимостью. Зависимость между величинами есть. Размер обуви с возрастом
увеличивается, но не во столько же раз.

Возраст дерева и его высота не связаны
пропорциональной зависимостью. В этом случае зависимость между величинами есть.
Действительно, высота дерева с возрастом увеличивается, но не во столько же
раз.

       

6 класс. Математика. Прямая и обратная пропорциональные зависимости — Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Комментарии преподавателя

Част­ное двух чисел на­зы­ва­ют от­но­ше­ни­ем этих чисел.

Про­пор­ция – это ра­вен­ство двух от­но­ше­ний.

Ве­ло­си­пе­дист за 3 часа про­ез­жа­ет 75 ки­ло­мет­ров. За сколь­ко вре­ме­ни он про­едет 150 ки­ло­мет­ров с той же ско­ро­стью?

Пер­вым дей­стви­ем най­дем ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста. Затем узна­ем время, за ко­то­рое он про­едет 150 км.

Из ре­ше­ния видно, что при дви­же­нии с одной и той же ско­ро­стью ве­ло­си­пе­дист за боль­шее время прой­дет боль­шее рас­сто­я­ние. Во сколь­ко раз боль­ше прой­ден­ный путь, во столь­ко раз боль­ше за­тра­чен­ное на него время. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют прямо про­пор­ци­о­наль­ны­ми.

Опре­де­ле­ние.

Две ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют прямо про­пор­ци­о­наль­ны­ми, если при уве­ли­че­нии одной из них в несколь­ко раз дру­гая уве­ли­чи­ва­ет­ся во столь­ко же раз.

Мо­то­цик­лист про­ехал 3 часа со ско­ро­стью 60 км/ч. За сколь­ко часов он про­едет то же рас­сто­я­ние со ско­ро­стью 45 км/ч?

Пер­вым дей­стви­ем най­дем длину прой­ден­но­го пути. Вто­рым дей­стви­ем – время дви­же­ния со ско­ро­стью 45 км/ч.

Мо­то­цик­лист про­ехал одно и то же рас­сто­я­ние. Во сколь­ко раз ско­рость мо­то­цик­ли­ста боль­ше, во столь­ко раз мень­ше за­тра­чен­ное на дви­же­ние время. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны­ми.

Опре­де­ле­ние.

Две ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны­ми, если при уве­ли­че­нии одной из них в несколь­ко раз дру­гая умень­ша­ет­ся во столь­ко же раз.

Длина сто­ро­ны квад­ра­та и пе­ри­метр свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Пе­ри­метр квад­ра­та – это сумма длин че­ты­рех его рав­ных сто­рон. Если длину сто­ро­ны уве­ли­чить в несколь­ко раз, то пе­ри­метр уве­ли­чит­ся во столь­ко же раз.

Длина и ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка (при за­дан­ной пло­ща­ди) свя­за­ны об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка – это про­из­ве­де­ние длины и ши­ри­ны. По­это­му, чтобы пло­щадь оста­ва­лась неиз­мен­ной при уве­ли­че­нии длины в несколь­ко раз, надо ши­ри­ну умень­шить во столь­ко же раз.

Ско­рость ав­то­мо­би­ля и путь, ко­то­рый он про­едет за опре­де­лен­ное время, свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Время в дан­ном слу­чае – ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная, по­это­му при боль­шей ско­ро­сти ав­то­мо­биль прой­дет боль­ший путь.

Воз­раст де­ре­ва и его вы­со­та не свя­за­ны про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. В этом слу­чае за­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми есть. Дей­стви­тель­но, вы­со­та де­ре­ва с воз­рас­том уве­ли­чи­ва­ет­ся, но не во столь­ко же раз.

Сто­и­мость то­ва­ра, куп­лен­но­го по одной цене, и его ко­ли­че­ство свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Чем боль­шее ко­ли­че­ство то­ва­ра ку­пи­ли, тем боль­шее ко­ли­че­ство денег на него по­тра­ти­ли.

Воз­раст че­ло­ве­ка и раз­мер его обуви не свя­за­ны про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. За­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми есть. Раз­мер обуви с воз­рас­том уве­ли­чи­ва­ет­ся, но не во столь­ко же раз.

Дробь и ее зна­ме­на­тель (при по­сто­ян­ном чис­ли­те­ле) свя­за­ны об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Чем боль­ше зна­ме­на­тель, тем мень­ше дробь при по­сто­ян­ном чис­ли­те­ле.

Дробь и ее чис­ли­тель (если зна­ме­на­тель не из­ме­ня­ет­ся) свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью.

Вес­ной при про­ве­де­нии работ по озе­ле­не­нию го­ро­да на улице по­са­ди­ли липы. При­ня­лось 95% всех по­са­жен­ных лип. Сколь­ко по­са­ди­ли лип, если при­ня­лось 57 лип?

Ве­ли­чи­ны, о ко­то­рых го­во­рит­ся в за­да­че, свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Со­ста­вим крат­кое усло­вие за­да­чи, за­пи­шем про­пор­цию и решим ее.

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну. Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то и вто­рая тоже воз­рас­та­ет (стрел­ка тоже вверх).

Для отоп­ле­ния зда­ния школы за­го­то­ви­ли угля на 180 дней при норме рас­хо­да 0,6 т в день. На сколь­ко дней хва­тит за­па­са, если рас­ход еже­днев­но со­ста­вит 0,5 т?

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в раз­ные сто­ро­ны. . Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то вто­рая убы­ва­ет (стрел­ка вниз). Для каж­до­го стол­би­ка таб­ли­цы со­ста­вим от­но­ше­ние верх­не­го эле­мен­та к ниж­не­му, т. к. стрел­ки на­прав­ле­ны в раз­ные сто­ро­ны, одно из от­но­ше­ний пе­ре­во­ра­чи­ва­ем и при­рав­ни­ва­ем то, что по­лу­чи­лось.

Эту за­да­чу и ана­ло­гич­ные ей можно ре­шить, и не вы­пи­сы­вая про­пор­цию в явном виде.

В же­лез­ной руде на 7 ча­стей же­ле­за при­хо­дит­ся 3 части при­ме­сей. Сколь­ко тонн при­ме­сей в руде, ко­то­рая со­дер­жит 73,5 т же­ле­за?

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну. Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то и вто­рая тоже воз­рас­та­ет (стрел­ка тоже вверх). Для каж­до­го стол­би­ка таб­ли­цы со­ста­вим от­но­ше­ние верх­не­го эле­мен­та к ниж­не­му, т. к. стрел­ки на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну, при­рав­ни­ва­ем по­лу­чен­ные от­но­ше­ния. Со­став­ля­ем про­пор­цию. Ре­ша­ем ее. Итак, ответ – 31,5 кг при­ме­сей.

Если две ве­ли­чи­ны прямо про­пор­ци­о­наль­ны, то от­но­ше­ние со­от­вет­ству­ю­щих зна­че­ний этих ве­ли­чин равны. Если две ве­ли­чи­ны об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны, то их про­из­ве­де­ние по­сто­ян­но и не равно нулю

Прин­тер рас­пе­ча­ты­ва­ет 27 стра­ниц за 4,5 ми­ну­ты. За какое время он рас­пе­ча­та­ет 300 стра­ниц?

За­ви­си­мость между ко­ли­че­ством на­пе­ча­тан­ных стра­ниц и вре­ме­нем прямо про­пор­ци­о­наль­ная. Со­ста­вим про­пор­цию и решим ее.

 

Ав­то­мо­биль про­ехал 310 ки­ло­мет­ров, ис­тра­тив 25 лит­ров бен­зи­на. Какое рас­сто­я­ние может про­ехать ав­то­мо­биль с пол­ным баком, вме­ща­ю­щим 40 лит­ров бен­зи­на?

Чем боль­шее рас­сто­я­ние про­едет ав­то­мо­биль, тем боль­ше бен­зи­на он по­тра­тит. Со­от­вет­ствен­но, за­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми прямо про­пор­ци­о­наль­ная.

Пят­на­дцать ра­бо­чих вы­пол­ня­ют заказ за 4 дня. Сколь­ко нужно ра­бо­чих, чтобы вы­пол­нить тот же заказ за 3 дня?

Для того чтобы вы­пол­нить заказ быст­рее, ко­ли­че­ство ра­бо­чих нужно уве­ли­чить. Со­от­вет­ствен­но, за­ви­си­мость об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ная.

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnye-zavisimosti

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=ALSAtOueOSw

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=buKHM8w_l4M

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=FtTrBSJz0AY

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=YMuRx7h3Mus

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=6ADjiJrSAtQ

источник презентации — http://ppt4web.ru/matematika/prjamaja-i-obratnaja-proporcionalnye-zavisimosti.html

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Прямая пропорциональная зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Примеры:

1) — периметр квадрата, — его сторона.

= 4.

Если = 1 см, то = 41 = 4 (см).

Если = 2 см, то = 42 = 8 (см).

Если = 4 см, то = 44 = 16 (см).

Получаем, что каждый раз, увеличивая сторону квадрата в 2 раза, его периметр также будет увеличиваться в 2 раза. Аналогично, если сторону квадрата будем уменьшать в какое-то число раз, то и периметр квадрата будет уменьшаться в это же число раз. Следовательно, величины и прямо пропорциональны. Можно сказать еще и так: «величина прямо пропорциональна величине » или «зависимость между величинами и является прямой пропорциональностью«.

2) При движении с постоянной скоростью, пройденный путь и время движения прямо пропорциональны, т.к. пройденный путь равен произведению скорости и времени движения.

Пусть скорость движения пешехода 8 км/ч.

Если = 1 ч, то = 81 = 8 (км).

Если = 3 ч, то = 83 = 24 (км).

Если = 9 ч, то = 89 = 72 (км).

Получаем, что каждый раз, увеличивая время в пути в 3 раза, путь также будет увеличиваться в 3 раза, а это и говорит о том, что зависимость между величинами и является прямой пропорциональностью, при условии движения с постоянной скоростью.

Свойство прямо пропорциональных величин:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу.

В рассмотренных выше примерах для величин и это число равно 4, т.к. : = 4 : 1 = 8 : 2 = 16 : 4 = 4, а для величин и это число равно 8, т.к. : = 8 : 1 = 24 : 3 = 72 : 9 = 8.

Обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Примеры:

1) Если расстояние является постоянной величиной, то скорость и время движения обратно пропорциональны, т.к. время движения равно частному от деления расстояния на скорость движения.

Пусть расстояние равно 80 км.

Если = 10 км/ч, то = 80 : 10 = 8 (ч).

Если = 20 км/ч, то = 80 : 20 = 4 (ч).

Если = 40 км/ч, то = 80 : 40 = 2 (ч).

Получаем, что каждый раз, увеличивая скорость движения в 2 раза, время движения будет уменьшаться в 2 раза, а это и говорит о том, что зависимость между величинами и является обратной пропорциональностью, при том условии, что расстояние нужно проехать одинаковое.

2) и — стороны прямоугольника, а его площадь 36 см2.

Если = 3 см, то = 36 : 3 = 12 (см).

Если = 6 см, то = 36 : 6 = 6 (см).

Получаем, что величины и обратно пропорциональны, т. к. увеличивая (уменьшая) одну сторону прямоугольника в 2 раза, чтобы его площадь не изменилась, вторую сторону нужно уменьшить (увеличить) в 2 раза.

Свойство обратно пропорциональных величин:

Если две величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу.

В рассмотренных выше примерах для величин и это число равно 80, т.к. = 108 = 204 = 402 = 80, а для величин и это число равно 12, т.к. = 312 = 66 = 36.

Не всякие величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, размер обуви человека увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, т.к. при удвоении возраста размер обуви человека не удваивается.

Пусть нам дана задача:

Украшение состоит из белого и желтого золота массой 192 г. При этом масса белого золота относится к массе желтого золота как 5 : 7. Надо найти массу белого и желтого золота, из которых сделано украшение.

Решение:

Мы можем считать, что все украшение состоит из 5 + 7 = 12 частей одинаковой массы. По условию масса украшения равна 192 г, а значит, масса одной части украшения равна 192 : 12 = 16 г.

Белое золото соответствует 5 частям, то есть имеет массу 516 = 80 г, а желтое золото соответствует 7 частям, то есть имеет массу 716 = 112 г.

Итак мы получили, что украшение состоит из 80 г белого золота и 112 г желтого золота.

То есть мы число 192 (масса украшения) представить в виде суммы двух слагаемых — 80 и 112, отношение которых равно 5 : 7.

В этом случае говорят, что число 192 разделили в отношении 5 : 7, или по-другому, число 192 представили в виде суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 5 и 7.

Прямая и обратная пропорциональности — история функций

В том случае если прямая
линия, то есть  график линейной функции
будет проходить через начало координат, 
она будет являться так же графиком прямо пропорциональной зависимости.
Прямо пропорциональная зависимость это функциональная зависимость, при которой
некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение
остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально,
в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо
направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Обратно пропорциональная
зависимость определяется как функциональная зависимость, при которой увеличение
независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой
величины(функции).

Из выше представленных
определений функциональных зависимостей вытекает  их связь с понятием пропорции. Поэтому для
более полного понимания терминов рассмотрим историю понятия пропорция.

Слово «пропорция»
происходит от латинского proportion, означающего вообще соразмерность,
определенное соотношение частей между собой. В древности учение о пропорциях
было в большом почете у пифагорейцев, они связывали с ними понятие о порядке и
красоте в природе и со вселенной.

В IVв. до н.э. общая теория пропорций для
любых величин (соизмеримых и несоизмеримых) была создана трудами древних ученых,
среди которых занимали Теэтет и Евдокс. Эта теория подробно изложена в Vкниге «Начал» Евклида.

В VIIкниге «Начал» изложена теория
отношений и пропорций для целых чисел (и соизмеримых величин).

Из пропорции a:b=c:d Евклид выводит следующие пропорции:

     b:a=d:c     (a+b):b=(c+d):d

     a:c=b:d       (a-b):b=(c-d):d

a:(a-b)=c:(c-d) 

Кроме того в VIIкниге Евклид доказывает основное
свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних
членов.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 6 класс

1. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

2. Повторим!!!

Что такое пропорция?
Прочитайте пропорцию х:а=у:в.
Назовите ее крайние члены; средние
члены.
Сформулируйте основное свойство
пропорции.
Какие перестановки членов
пропорции снова приводят к верным
пропорциям?

3.

Устно решить задачи!!!

1)Найдите неизвестный член
пропорции 5:х=4:12.
2)Верна ли пропорция: 12:0,2=30:0,5?
3)Автобус был в пути 2 ч и проехал
120 км. Какой путь проедет
автобус за 4 ч, если будет ехать с
той же скоростью?
4)Как зависит путь от времени
движения автобуса?

4. Устно решить задачи!!!

5)Станок за 2 часа изготавливает 28
деталей. Сколько деталей
изготовит станок за 4 часа?
6)Как зависит количество деталей
от времени работы станка?
Такие величины, как время движения
автобуса и его путь, как время работы
станка и число изготовленных деталей,
называют прямо пропорциональными
величинами.

5. Прямо пропорциональные величины

Две величины называют прямо
пропорциональными, если при
увеличении (уменьшении) одной из них
в несколько раз другая увеличивается
(уменьшается) во столько же раз.
Если две величины прямо
пропорциональны, то отношения
соответствующих значений этих
величин равны.

6. Прямо пропорциональные величины

Задача 1. За 3,2 кг товара заплатили
115,2 р. Сколько следует заплатить за
1,5 кг этого товара?
Решение:
Количество
товара
1 покупка
3,2 кг
1,5 кг
2 покупка
3,2:1,5=115,2:х
х=1,5∙115,2:3,2
х=54
Стоимость
товара
115,2 р.
х р.
Ответ: следует
заплатить 54 р.

7. Устно решить задачи!!!

7)Путь из города А в город В поезд со
скоростью 40 км/ч проходит за 12 ч.
Сколько времени потребуется поезду
на преодоление этого же пути, если
его скорость увеличить вдвое?
8)Как изменилось время в зависимости
от скорости?
Во сколько раз увеличится скорость движения,
во столько же раз уменьшится время движения.
Такие величины, как время и скорость,
называют обратно пропорциональными
величинами.

8. Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно
пропорциональными, если при
увеличении (уменьшении) одной из них
в несколько раз другая уменьшается
(увеличивается) во столько же раз.
Если две величины обратно
пропорциональны, то отношение
значений одной величины равно
обратному отношению
соответствующих значений другой
величины.

9. Обратно пропорциональные величины

Задача 2. Два прямоугольника имеют
одинаковую площадь. Длина первого
прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина
второго прямоугольника 4,8 м. Найдите
ширину второго прямоугольника.
Решение:
Длина
Ширина
1 прямоугольник
3,6 м
2,4 м
4,8 м
х м
2 прямоугольник
4,8:3,6=2,4:х
х=3,6∙2,4:4,8
х =1,8
Ответ: ширина — 1,8 м.

10. Не пропорциональные величины

Не всякие две величины являются
прямо пропорциональными или
обратно пропорциональными.
Например: рост ребенка
увеличивается при увеличении его
возраста, но эти величины не
являются пропорциональными, так
как при удвоении возраста рост
ребенка не удваивается.

11. Решение задач

Учебник:

12.

Итог урока

Две величины называют прямо пропорциональными,
если при увеличении (уменьшении) одной из них в
несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во
столько же раз.
Если две величины прямо пропорциональны, то
отношения соответствующих значений этих величин
равны.
Две величины называют обратно пропорциональными,
если при увеличении (уменьшении) одной из них в
несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во
столько же раз.
Если две величины обратно пропорциональны, то
отношение значений одной величины равно обратному
отношению соответствующих значений другой
величины.

13. ДОМА

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

math_tutorial_3

3.1 Введение пропорциональности

Часто величины, входящие в уравнения, можно напрямую связать друг с другом. Мы можем написать простые отношения между этими величинами, чтобы немного упростить решение проблем.

Например, возьмите уравнение для средней скорости,

Средняя скорость рассчитывается как пройденное расстояние d, деленное на затраченное время t.

Если время остается фиксированным, но я еду с большей скоростью, я буду путешествовать дальше (d больше).

Обратите внимание, что для постоянного интервала времени, если я удваиваю V (путешествую вдвое быстрее), пройденное расстояние также удваивается. Можно сказать, что скорость прямо пропорциональна пройденному расстоянию .

Общие правила:

Когда мы говорим, что переменные величины x и y прямо пропорциональны , мы имеем в виду, что при изменении x и y отношение x / y остается постоянным. Сказать, что две величины пропорциональны, значит сказать, что они прямо пропорциональны.Когда мы говорим, что переменные величины x и y равны и обратно пропорциональны , мы имеем в виду, что при изменении x и y отношение xy остается постоянным.

Отношения прямой и обратной пропорциональности распространены в физике.

Примеры

  • Объекты, движущиеся с одинаковой скоростью v, имеют импульс p, , прямо пропорциональный их массам m. (p = mv).
  • Закон идеального газа (PV = nRT) гласит, что давление P составляет прямо пропорционально (абсолютной) температуре T, когда объем V остается постоянным, и обратно пропорционально объему, когда температура остается постоянной.
  • Закон

  • Ома (V = IR) гласит, что напряжение V на резисторе прямо пропорционально электрическому току в резисторе, когда сопротивление остается постоянным.

Попробуйте сами 1

Проверьте свое понимание с помощью этих истинных / ложных вопросов

Последовательность вопросов

Вопрос
1.1

1v7QY4By0fT4r7DkTADA13wZQZ2xoe7HuQm + SLydl1b86wiKfVaWSw0KdnU9KA0CcHC2Ok8j5IJPBMtnlWSBmFvUyiRdvRGVBBXMBMFvUyiRdvRGVBBXMBoWfeQ

Вопрос
1.2

/ VmLTTVfRwqsdDP / aOCGm7X4228NafyH8cmlk4DhphCutxKFVj5 / KShUFdsqVCUyyYCBA7YVZ8tyVfLUSxIdt / omNVuTzPC7NMI6PG7pkgj + zUEVqJXTAYIz6xtRuqVGKOszbNyYBKhcMo8NvHdiwsgAEeNeENR6vF7W6iEnljlPHQa4wnDBD83Ehw32ZeAF

Правильно. Проверьте, «если я удвою x, удвоится ли и y?» В этом случае нет, если константа c не равна нулю.

Неправильно. Проверьте, «если я удвою x, удвоится ли и y?» В этом случае нет, если константа c не равна нулю.

Вопрос
1.3

ydoZie6SEZ3eL8H5M / sYVGDsA2Wvcwf + Q6Tvzyeqwh2aC + 9VGQO9T1H / Xr5Zrb6ZWl54IRePoS5a / Uxy1X5ObN2MWRExyywQSp5KiEXJQJDXr59

Правильно. В этом уравнении x обратно пропорционален y.

Неправильно. В этом уравнении x обратно пропорционален y.

Вопрос
1.4

jcO / n1Xu4byMZmKdS2DLnK1HxeRsctlbIB4ErcLnunwNCfPqoLqAAJSr1olQalKUkYz4LDCkV7JEhlSJKvH9KdA / Nz4VkJGfX1LXAj5 + Nz4VkJGfX1LXAj04 + FX1LXF30 + JGFX1LXAJ03 + JGFX1LXF30 +

Правильно.Отношение x / y 2 равно константе, поэтому они прямо пропорциональны.

Неправильно. Отношение x / y 2 равно константе, поэтому они прямо пропорциональны.

3.2 Константы пропорциональности

Когда две величины прямо пропорциональны, эти две величины связаны константой пропорциональности.
Например. Если вам платят за работу по обычной ставке R в долларах в день, деньги M, которые вы зарабатываете, прямо пропорциональны времени t, которое вы работаете.

  • Ставка R — это коэффициент пропорциональности, который связывает деньги, заработанные в долларах, с отработанным временем t в днях:
  • Вы можете записать эту взаимосвязь в виде уравнения, M = Rt (заработанные деньги = норма заработка x отработанное время).
  • Если вы заработаете 400 долларов за 5 дней, значение R составит 400 долларов (5 дней) = 80 долларов в день.

Последовательность вопросов

Вопрос
1.5

wu0KXQ5TiVxmztloPab8mxyu3obs2NdGdtrUukmJwqSBZpyC5k7Qt4pRX7BahIfa0ENZaQ0xPn4 =

Правильно.M = (80 долларов в день) (8 дней) = 640 долларов.

Неправильно. M = (80 долларов в день) (8 дней) = 640 долларов.

Попробуйте еще раз. Подсказка: используйте значение R, вычисленное выше, чтобы найти решение.

3

Иногда константу пропорциональности можно игнорировать в задачах пропорциональности. Поскольку сумма, которую вы зарабатываете за 8 дней, в 8/5 раз больше, чем вы зарабатываете за 5 дней, эта сумма составляет

.

м8 дней = 8 дней (400 долл. США / 5 дней) = 640 долл. США

Мы рассмотрим эту идею подробнее в следующем разделе.

3.3 Составление соотношений пропорциональности

В простом уравнении x = zy

Если z — постоянная величина, x прямо пропорционален y.

Это отношение можно записать как

\ (х \ пропто у \)

Если две величины прямо пропорциональны, то при вычислении x / y всегда будет одно и то же значение — при условии, что в уравнении нет других непостоянных переменных.

Это означает, что мы можем написать другое отношение

x 0 / y 0 = x 1 / y 1

Следующий рабочий пример продемонстрирует, как это может быть полезно.

Рабочий пример: растяжение пружины (закон Гука)

Если вы растянете пружину на расстояние d, она окажет на вашу руку восстанавливающую силу F. Сила зависит от того, насколько вы растягиваете пружину, и это соотношение описывается уравнением

F = -kd

  • Сила F равна прямо пропорциональна расстоянию d.
  • Это отношение также можно записать как \ (F \ propto d \)
  • -k — константа пропорциональности

Вопрос: Если пружина изначально растягивается на 2 см от ее расслабленного положения, я измеряю восстанавливающую силу 10 Н.Подсчитайте, какой была бы восстанавливающая сила, если бы я вместо этого растянул пружину на 6 см от ее положения покоя.

Решение: Чтобы решить эту проблему, вы можете сначала решить для k, используя d = 2 см и F = 10N, а затем использовать значение, чтобы найти значение F для d = 6 см, но мы сделаем это по-другому.

с

F = -kd и –k — постоянная, \ (F \ propto d \)

Это означает, что я могу использовать правило, F / d является константой

Мы можем написать новое выражение

F 0 / d 0 = F 1 / d 1

Где F 0 и d 0 представляют числовые значения для начального участка, а F 1 и d 1 представляют значения для второго участка.

Преобразование этого выражения дает,

F 1 = F 0 d 1 / d 0

Теперь вы можете решить для F 1

F 1 = 10N (6 см) / 2 см = 30N

Обратите внимание, что с помощью этого метода мы не вычисляли значение k, это не было необходимо для решения проблемы.

Попробуйте сами 2

Ускоренное движение может быть описано уравнением F = ma, где ускорение a является результатом приложенной силы F к объекту массы m.

Последовательность вопросов

Вопрос
1.6

AQuI2D1FeXwtbOBrp0eXBWfmOjFfWYyrA + 5HpdVS52BznKDjQc6FCKn7cxzG / xpKVq + NaRsFt6jV4K0gXnj6Rrw267oup7PScIxGvIfNt / EPfq1E0Yfi9T2vaWsVdjgJ1EhvGmympUATUY6Nn704XCKlKLB5YocKuZZ9eEujCNt0zF2t9fZV15G2dUOR3WsLGvN8S + 5jUFV8FibEzP7ruvIg2xIPuVIksMmvVUHmkSTVQ5 + qL19G / uzzNudOJorB8Bk3277zeiznCO6nEzyZsKmM6rXX6Lqyu01vi5s / I1YKuWLOHMY1qEmE4Bi3MfU + y03vFT2RTQE / lk34e06cl9zs416xJjyYpqKKg78Z6LbBGSuGGuNF5FJYWNug5l + yzLXXx6eWCW7fYwTo2WOQaIL0ovEW + KQE

Правильно.

Неправильно.

Попробуйте еще раз. Подсказка: масса обратно пропорциональна ускорению.

3

P’Cast: Рисование кубиками

Попробуйте сами 3

Последовательность вопросов

Вопрос
1,7

Потенциальная энергия U, запасенная в растянутой пружине, определяется уравнением:

U = ½kd 2

где k — жесткость пружины.

CJRY6 / yNMbqw7terMPmh5OHLvsILTeo9QWE3v3oDVdFumRf3BZ / y5UVykcfruJH9IO0t + X6TT0u4LYvt6ENj44X1mLzrTxtePCE + jDYGVcgeKMUdiNlWyM8QlpI5 + cJhZly1oljDvrBde / Eauba3lhM6z2Dx3qt2e9M3tWXYIrwl / PDXzAzc0DmIRMzEBfmDWNrE85so40 + hcopX33jQRyN5HGzh6ByADhQ / dyuKEBdHtWemqptx9o2GjPCdCjJsPlTajvgyXoiAzx1sU + FhLqdVcOYvvrdAZDUowiFCnERfondVURAs0LDZ8UOD6nTkDcz7iW + zLKftGEe + KCSdXzzMa672AuyWzQKDjCEKA + 6 / Ye5b5mg + AzrvndUARc + Xdy3YWEreM3O7m / 2l8sKJewn1la0ualpQ2eVLcOLyFngEwJYl

3

Правильно.

Попробуйте еще раз. Подсказка: U \ (\ propto \) d 2

Неправильно.

Пропорция

, прямая вариация, обратная вариация, совместная вариация

Пропорция, прямая вариация, обратная вариация, совместная вариация

В этом разделе определяется, что такое пропорция, прямая вариация, обратная вариация и совместная вариация, и объясняется, как решать такие уравнения.

Пропорции

Пропорция — это уравнение, в котором два рациональных выражения равны. Простые пропорции можно решить, применив правило перекрестных произведений.

Если, то ab = bc .

Более сложные пропорции решаются как рациональные уравнения.

Пример 1

Решить.

Примените правило перекрестных произведений.

Чек остается на ваше усмотрение.

Пример 2

Решить.

Примените правило перекрестных произведений.

Чек остается на ваше усмотрение.

Пример 3

Решить.

Однако x = 4 является посторонним решением, потому что оно делает знаменатели исходного уравнения равными нулю. Проверка, осталось ли решение на ваше усмотрение.

Прямое изменение

Фраза « y прямо пропорциональна как x » или « y прямо пропорциональна x » означает, что чем больше x , тем больше y , а когда x становится больше меньше y .Эту концепцию можно перевести двояко.

  • для некоторой константы k .

    k называется константой пропорциональности . Этот перевод используется, когда желаемым результатом является константа.

  • Этот перевод используется, когда желаемым результатом является либо исходное, либо новое значение x или y .

  • Пример 4

    Если y изменяется прямо как x , и y = 10, когда x = 7, найдите константу пропорциональности.

    Константа пропорциональности.

    Пример 5

    Если y изменяется прямо как x , и y = 10, когда x = 7, найдите y , когда x = 12.

    Примените правило перекрестных произведений.

    Обратное изменение

    Фраза « y обратно пропорциональна как x » или « y обратно пропорциональна x » означает, что чем больше x , тем меньше y или наоборот.Это понятие переводится двояко.

    • yx = k для некоторой константы k , называемой константой пропорциональности. Используйте этот перевод, если требуется константа.

    • y 1 x 1 = y 2 x 2 .

      Используйте это преобразование, если требуется значение x или y .

    Пример 6

    Если y изменяется обратно пропорционально x , и y = 4, когда x = 3, найдите константу пропорциональности.

    Константа 12.

    Пример 7

    Если y изменяется обратно пропорционально x , и y = 9, когда x = 2, найти y , когда x = 3.

    Вариант шарнира

    Если одна переменная изменяется как произведение других переменных, это называется совместным изменением . Фраза « y вместе изменяется как x и z » переводится двояко.

    Пример 8

    Если y изменяется вместе как x и z , и y = 10, когда x = 4 и z = 5, найдите константу пропорциональности.

    Пример 9

    Если y изменяется вместе как x и z , и y = 12, когда x = 2 и z = 3, найдите y , когда x = 7 и z = 4.

    Иногда проблема связана как с прямыми, так и с обратными вариациями. Предположим, что y изменяется прямо как x и обратно как z . Это включает три переменные и может быть переведено двумя способами:

    Пример 10

    Если y изменяется прямо как x и обратно как z , и y = 5, когда x = 2 и z = 4, найдите y , когда x = 3 и z = 6.

Прямая пропорциональность из повседневной жизни

Здесь мы перечисляем несколько важных примеров прямой пропорциональности; где у нас есть две величины, и одна всегда является фиксированным кратным другой.

Прямые пропорции играют большую роль в нашей повседневной жизни. Здесь мы рассмотрим ряд наглядных примеров. На этом этапе вы узнаете о

  • ключевых определениях прямой пропорциональности
  • прямых пропорциях, возникающих в ситуациях, связанных со скоростью, деньгами, топливной экономичностью вашего автомобиля и ролью \ (\ normalsize {\ pi} \).

Что такое прямая пропорциональность?

Если \ (\ normalsize {x} \) и \ (\ normalsize {y} \) — две переменные величины, которые удовлетворяют соотношению \ [\ Large {y = kx} \] для некоторого фиксированного числа \ (\ normalsize {k } \), то мы говорим, что \ (\ normalsize {y} \) прямо пропорционален \ (\ normalsize {x} \). Число \ (\ normalsize {k} \) называется константой пропорциональности . Один из важных способов размышления об этой константе \ (\ normalsize {k} \) состоит в том, что она говорит нам, насколько \ (\ normalsize {y} \) увеличивается на, если мы увеличиваем \ (\ normalsize {x} \) ровно на \ (\ normalsize {1} \).Мы будем писать \ [\ Large {y \ propto x} \], чтобы выразить, что \ (\ normalsize {y} \) прямо пропорционален \ (\ normalsize {x} \). Обратите внимание, что этот символ, однако, теряет важную информацию: точное значение константы пропорциональности.

Расстояние при ходьбе пропорционально времени.

Если мы идем в постоянном темпе, скажем, \ (\ normalsize {6} \) км / час, то у нас есть простой пример прямой пропорциональности \ [\ Large {\ operatorname {distance} \ propto \ operatorname {time }} \], поскольку расстояние (км) = \ (6 \ times \) время (час).Константа пропорциональности, в данном случае \ (\ normalsize {6} \) км / ч, называется скоростью или скоростью . Однако олимпийский спортсмен по спортивной ходьбе будет двигаться намного быстрее, скажем, вдвое быстрее на скорости \ (\ normalsize {12} \) км / ч.

Q1 (E): Опишите взаимосвязь между расстоянием и временем для олимпийского спортсмена, используя эту терминологию.

Q2 (M): Расстояние прямо пропорционально времени. Но время прямо пропорционально расстоянию! Какова константа пропорциональности в этом соотношении для спортсменов-олимпийцев?

Время в часах и минутах

Возможно, наиболее убедительное использование прямой пропорциональности — это соотношение между часами и минутами:

\ [\ Large {\ operatorname {time (min)} = 60 \ times \ operatorname {time (hr )}.} \]

Связь между часами и минутами настолько вездесуща, что большинство людей знают наизусть, что 15 минут — это четверть часа. Эта информация содержится в приведенном выше уравнении, которое мы можем увидеть, установив \ (\ normalsize \ mbox {time (hr)} = \ frac {1} {4}. \)

\ [{\ Large \ operatorname {time ( min)} = 60 \ times \ frac {1} {4} = 15}. \]

А сколько минут в получасе? Ответ:

\ [{\ Large \ operatorname {time (min)} = 60 \ times \ frac {1} {2} = 30}. \]

Q3 (E): Сколько минут в день?

Расстояние, которое может проехать ваш автомобиль, в зависимости от количества бензина в вашем баке.

Это другой вид пропорциональности, также включающий расстояние — теперь между тем, как далеко вы можете проехать в своей машине, и количеством бензина в вашем баке.

Если у вас нулевой газ, вы никуда не денетесь. Допустим, вы водите Holden Commodore — популярный австралийский автомобиль с объемом бака \ (\ normalsize {73} \) литров. Как далеко вы уедете, зависит от того, едете ли вы по городу или по автостраде, включен или выключен кондиционер и т. Д. Но в среднем, допустим, вы можете проехать \ (\ normalsize {12} \) км по литр (л) газа.Тогда соответствующая пропорциональность равна

\ [{\ Large \ mbox {distance (km)} \, \ propto \, \ mbox {gas (L)}} \]

с константой пропорциональности число \ (\ normalsize {12 } \) км / л, которая является мерой топливной экономичности автомобиля.

Q4 (E): Можете ли вы проехать на Holden Commodore с полным баком бензина из Брокен-Хилла в Даббо без остановки?

Диаметр и длина окружности

Прямая пропорциональность также очень важна в математике.Например, это важный факт, что длина окружности \ (\ normalsize {c} \) круга прямо пропорциональна его диаметру \ (\ normalsize {d} \). Фактически

\ [\ Large {\ operatorname {окружность} = \ pi \ times \ operatorname {Diameter}} \]

, где константа пропорциональности — известная константа \ (\ normalsize {\ pi} \), примерно \ ( \ normalsize {3.1415926….} \)

Итак, если вы удвоите диаметр, вы удвоите длину окружности. Другое значение состоит в том, что если вы увеличиваете диаметр на единицу \ (\ normalsize {1} \), тогда длина окружности увеличивается на \ (\ normalsize {\ pi} \) единиц.Это не зависит от фактического размера круга, что может вызывать удивление.

Q5 (M): Если у нас есть веревка, туго обвязанная вокруг экватора Земли, и мы хотим добавить немного веревки, чтобы мы могли равномерно растянуть ее на полметра от земли, тогда какую длину веревки мы должны добавить?

Ответы

A1. Один ответ: \ ({\ normalsize \ mbox {distance} \ propto \ mbox {time}} \). Однако это мог описать кто угодно! Более осмысленный ответ:

\ [\ Large {\ mbox {distance} = 12 \ times \ mbox {time}}.\]

Еще лучше, если вы включите единицы измерения расстояния и времени.

A2. Мы можем переставить \ (\ normalsize {\ mbox {distance} = 12 \ times \ mbox {time}} \) в

\ [{\ Large \ mbox {time} = \ frac {1} {12} \ times \ mbox {distance}}. \]

Таким образом, коэффициент пропорциональности равен \ (\ frac {1} {12} \).

A3. Связь между днями и часами — еще один пример прямой пропорциональности:

\ [{\ Large \ mbox {time (hr)} = 24 \ times \ mbox {time (days)}.} \]

Теперь мы объединяем прямая пропорциональность для минут и часов с прямой пропорциональностью для часов и дней:

\ [{\ Large \ mbox {time (min)} = 60 \ times \ mbox {time (hr)} = 60 \ times \ left (24 \ times \ mbox {time (days)} \ right)}.\]

Мы получаем новую прямую пропорциональность:

\ [{\ Large \ mbox {time (min)} = 1440 \ times \ mbox {time (days)}.} \]

Итак, есть \ ({\ normalsize 1440 } \) минут в день.

A4. Вы можете проехать \ ({\ normalsize 73 \ times 12 = 876} \) км на одном баке бензина. Поскольку от Брокен-Хилла до Даббо можно добраться за \ ({\ normalsize 799 — 49 = 750} \) км, то да — вы можете совершить эту поездку без остановок.

А5. Мы увеличиваем диаметр на \ (\ normalsize {1} \), поэтому окружность должна увеличиваться на \ (\ normalsize {\ pi} \), то есть немного больше, чем \ (\ normalsize {3} \) метров.Для многих это совершенно не интуитивно!

Вариант

Наконец, мы определяем отношения между несколькими переменными. В общем, мы имеем

Здесь k не равно нулю и называется константой вариации или константой пропорциональности .

Пример 5: Площадь эллипса изменяется вместе: a , половина большой оси эллипса, и b , половина малой оси эллипса. Если площадь эллипса составляет 300π см2, где a = 10 см и b = 30 см, то каков коэффициент пропорциональности? Приведите формулу площади эллипса.

Решение: Если мы допустим, что A представляет площадь эллипса, тогда мы можем использовать выражение «площадь изменяется вместе как a и b », чтобы написать

Чтобы найти постоянную вариации, k , используйте тот факт, что площадь равна 300π, когда a = 10 и b = 30.

Ответ: Константа пропорциональности π, а формула для площади A = abπ.

Попробуй! Учитывая, что y изменяется прямо как квадрат x и обратно пропорционально z , где y = 2, когда x = 3 и z = 27, найдите y , когда x = 2 и z = 16.

Тематические упражнения

Часть A: Проблемы вариации

Переведите следующие предложения в математическую формулу.

1. Расстояние, D , которое может пройти автомобиль, прямо пропорционально времени t , которое он проходит с постоянной скоростью.

2. Удлинение подвесной пружины d прямо пропорционально весу w , прикрепленному к ней.

3. Тормозной путь автомобиля, d , прямо пропорционален квадрату скорости автомобиля v .

4. Объем, V , сферы изменяется прямо как куб ее радиуса, r .

5. Объем V данной массы газа обратно пропорционален действующему на него давлению p .

6. Интенсивность I света от источника обратно пропорциональна квадрату расстояния d от источника.

7. Каждая частица материи во Вселенной притягивает каждую другую частицу с силой F , которая прямо пропорциональна произведению масс m1 и m2 частиц и обратно пропорциональна квадрату расстояния, д , между ними.

8. Простые проценты, I , совместно пропорциональны годовой процентной ставке, r , и времени, t , в годах, когда инвестируется фиксированная сумма денег.

9. Период маятника T прямо пропорционален квадратному корню из его длины L .

10. Время, t , которое требуется объекту, чтобы упасть, прямо пропорционально квадратному корню из расстояния, d , когда он падает.

Постройте математическую модель, учитывая следующее.

11. y напрямую изменяется как x , и y = 30, когда x = 6.

12. y напрямую изменяется как x , и y = 52, когда x = 4.

13. y прямо пропорционально x , и y = 12, когда x = 3.

14. y прямо пропорционально x , и y = 120, когда x = 20.

15. y напрямую изменяется как x и y = 14, когда x = 10.

16. y напрямую изменяется как x , и y = 2, когда x = 8.

17. y изменяется обратно пропорционально как x , и y = 5, когда x = 7.

18. y изменяется обратно пропорционально как x , и y = 12, когда x = 2.

19. y обратно пропорционально x , и y = 3, когда x = 9.

20. y обратно пропорционально x , и y = 21, когда x = 3.

21. y изменяется обратно пропорционально как x , и y = 2, когда x = 1/8.

22. y изменяется обратно пропорционально как x , и y = 3/2, когда x = 1/9.

23. y одновременно изменяется как x и z , где y = 8, когда x = 4 и z = 1/2.

24. y изменяется вместе как x и z , где y = 24, когда x = 1/3 и z = 9.

25. y вместе пропорционально x и z , где y = 2, когда x = 1 и z = 3.

26. y вместе пропорционально x и z , где y = 15, когда x = 3 и z = 7.

27. y изменяется вместе как x и z , где y = 2/3, когда x = 1/2 и z = 12.

28. y одновременно изменяется как x и z , где y = 5, когда x = 3/2 и z = 2/9.

29. y прямо пропорционально квадрату x , где y = 45, когда x = 3.

30. y прямо пропорционально квадрату x , где y = 3, когда x = 1/2.

31. y обратно пропорционально квадрату x , где y = 27, когда x = 1/3.

32. y обратно пропорционально квадрату x , где y = 9, когда x = 2/3.

33. y одновременно изменяется как x и квадрат z , где y = 54, когда x = 2 и z = 3.

34. y одновременно изменяется как x и квадрат z , где y = 6, когда x = 1/4 и z = 2/3.

35. y одновременно изменяется как x и z и обратно пропорционально квадрату w , где y = 30, когда x = 8, z = 3 и w = 2.

36. y одновременно изменяется как x и z и обратно пропорционально квадрату w , где y = 5, когда x = 1, z = 3 и w = 1/2.

37. y изменяется прямо как квадратный корень из x и обратно как z , где y = 12, когда x = 9 и z = 5.

38. y изменяется прямо как квадратный корень из x и обратно как квадрат z , где y = 15, когда x = 25 и z = 2.

39. y изменяется прямо как квадрат x и обратно как z и квадрат w , где y = 14, когда x = 4, w = 2 и z = 2.

40. y изменяется прямо как квадратный корень из x и обратно как z и квадрат w , где y = 27, когда x = 9, w = 1/2 и z = 4.

Часть B: Проблемы вариации

Приложения с вариациями.

41. Выручка в долларах прямо пропорциональна количеству проданных фирменных спортивных рубашек. Если доход, полученный от продажи 25 спортивных рубашек, составляет 318,75 доллара, то определите доход, если будет продано 30 спортивных рубашек.

42. Налог с продаж при покупке нового автомобиля напрямую зависит от его цены. Если приобретается новый автомобиль за 18 000 долларов, то налог с продаж составляет 1350 долларов.Сколько налога с продаж взимается, если цена нового автомобиля составляет 22 000 долларов?

43. Цена обыкновенных акций компании прямо пропорциональна прибыли на акцию (EPS) за предыдущие 12 месяцев. Если цена обыкновенной акции компании составляет 22,55 доллара США, а прибыль на акцию опубликована на уровне 1,10 доллара, тогда определите стоимость акций, если прибыль на акцию увеличится на 0,20 доллара.

44. Расстояние, пройденное во время поездки, зависит от времени, проведенного в дороге.Если поездку на 126 миль можно совершить за 3 часа, то какое расстояние можно преодолеть за 4 часа?

45. Длина окружности прямо пропорциональна ее радиусу. Если окружность круга радиусом 7 сантиметров измеряется как 14π сантиметров, найдите коэффициент пропорциональности.

46. Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса. Если площадь круга радиусом 7 сантиметров определена равной 49π квадратных сантиметров, то найдите коэффициент пропорциональности.

47. Площадь поверхности сферы прямо пропорциональна квадрату ее радиуса. Когда радиус сферы составляет 2 метра, площадь поверхности составляет 16π квадратных метров. Найдите площадь поверхности шара радиусом 3 метра.

48. Объем сферы напрямую зависит от ее радиуса куба. Когда радиус сферы составляет 3 метра, объем составляет 36π кубических метров. Найдите объем шара радиусом 1 метр.

49.При фиксированной высоте объем конуса прямо пропорционален квадрату радиуса у основания. Когда радиус у основания составляет 10 сантиметров, объем составляет 200 кубических сантиметров. Определите объем конуса, если радиус основания уменьшился вдвое.

50. Расстояние, d , до объекта, падающего в свободном падении, напрямую зависит от квадрата времени, t , когда он падал. Если объект в свободном падении упадет с высоты 36 футов за 1,5 секунды, то как далеко он упадет за 3 секунды?

Закон Гука предполагает, что длина подвесной пружины прямо пропорциональна весу, приложенному к ней.Постоянная изменения называется жесткостью пружины.

Рисунок 7.1 Роберт Гук (1635–1703)

51. Если подвесная пружина растягивается на 5 дюймов, когда к ней прикреплен 20-фунтовый груз, определите ее жесткость пружины.

52. Если подвесная пружина растягивается на 3 сантиметра при прикреплении к ней 2-килограммового груза, определите жесткость пружины.

53.Если подвесная пружина растягивается на 3 дюйма при прикреплении 2-фунтового груза, то как далеко она растянется с прикрепленным 5-фунтовым грузом?

54. Если подвесная пружина растянута на 6 сантиметров, когда к ней прикреплен 4-килограммовый груз, то как далеко она растянется с 2-килограммовым грузом?

Тормозной путь автомобиля прямо пропорционален квадрату его скорости.

55. Если требуется 36 футов, чтобы остановить конкретный автомобиль, движущийся со скоростью 30 миль в час, то какой тормозной путь требуется, если скорость составляет 35 миль в час?

56.После аварии было установлено, что водителю требовалось 80 футов, чтобы остановить свою машину. В эксперименте в аналогичных условиях требуется 45 футов, чтобы остановить движение автомобиля со скоростью 30 миль в час. Оцените, насколько быстро водитель двигался до аварии.

Закон Бойля гласит, что если температура остается постоянной, объем, V , данной массы газа обратно пропорционален действующему на него давлению, p .

Рис. 7.2 Роберт Бойль (1627–1691)

57. Воздушный шар наполняется до объема 216 кубических дюймов на водолазном судне под давлением 1 атмосфера. Если воздушный шар находится под водой примерно на 33 фута, где давление составляет 2 атмосферы, то каков объем воздушного шара?

58. Если воздушный шар наполнить до 216 кубических дюймов под давлением 3 атмосферы на глубине 66 футов, то каким будет объем на поверхности, где давление равно 1 атмосфере?

59.Чтобы уравновесить качели, расстояние от точки опоры, на которой должен сидеть человек, обратно пропорционально его весу. Если 72-фунтовый мальчик сидит в 3 футах от точки опоры, то как далеко от точки опоры должен сидеть 54-фунтовый мальчик, чтобы уравновесить качели?

60. Ток I в электрическом проводнике обратно пропорционален его сопротивлению R . Если ток составляет 1/4 ампера при сопротивлении 100 Ом, то какой ток при сопротивлении 150 Ом?

61.Количество людей, представленное соотношением и , необходимое для укладки подъездной дороги из булыжника, прямо пропорционально площади подъездной дороги A и обратно пропорционально количеству времени, t , отведенному для завершения работы. Обычно 3 человека могут выложить 1 200 квадратных футов булыжника за 4 часа. Сколько человек потребуется, чтобы положить 2400 квадратных футов булыжника за 6 часов?

62. Объем правого кругового цилиндра изменяется вместе как квадрат его радиуса и его высоты.Правый круговой цилиндр радиусом 3 сантиметра и высотой 4 сантиметра имеет объем 36π кубических сантиметров. Найдите формулу объема правого кругового цилиндра через его радиус и высоту.

63. Период маятника T прямо пропорционален квадратному корню из его длины L . Если длина маятника составляет 1 метр, то период составляет примерно 2 секунды. Приблизительно период маятника длиной 0,5 метра.

64. Время, t , которое требуется объекту, чтобы упасть, прямо пропорционально квадратному корню из расстояния, d , когда он падает. Объект, упавший с 4 футов, упадет на землю за 1/2 секунды. Сколько времени потребуется объекту, упавшему с высоты 16 футов, чтобы упасть на землю?

Универсальный закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая частица материи во Вселенной притягивает каждую другую частицу с силой, F , которая прямо пропорциональна произведению масс m1 и m2 частицы и обратно пропорциональны квадрату расстояния, d , между ними.Константа пропорциональности называется гравитационной постоянной.

Рисунок 7.3 Сэр Исаак Ньютон (1643–1724)

65. Если два объекта массой 50 и 100 кг находятся на расстоянии 1/2 метра друг от друга, то они производят приблизительно 1,34 × 10–6 ньютонов (Н) силы. Рассчитайте гравитационную постоянную.

66. Используйте гравитационную постоянную из предыдущего упражнения, чтобы написать формулу, которая аппроксимирует силу, F , в ньютонах между двумя массами m1 и m2, выраженную в килограммах, при расстоянии d между ними в метрах.

67. Вычислите силу в ньютонах между Землей и Луной, учитывая, что масса Луны составляет примерно 7,3 × 1022 килограмма, масса Земли — примерно 6,0 × 1024 килограмма, а расстояние между ними в среднем составляет 1,5 × 1011 метров.

68. Вычислите силу в ньютонах между Землей и Солнцем, учитывая, что масса Солнца составляет приблизительно 2,0 × 1030 кг, масса Земли составляет примерно 6,0 × 1024 кг, а расстояние между ними в среднем составляет 3.85 × 108 метров.

69. Если y изменяется прямо как квадрат x , то как же изменяется y , если x удваивается?

70. Если y изменяется обратно пропорционально квадрату t , то как изменится y , если t удвоить?

71. Если y изменяется прямо как квадрат x и обратно пропорционально квадрату t , то как изменится y , если оба x и t удвоены?

Обратные пропорции | Суперпроф

В этой статье мы обсудим, что такое обратная пропорция, на примерах.Итак, приступим.

Что такое пропорция?

Пропорция означает, что два соотношения

и равны друг другу.

Либо две величины прямо пропорциональны, либо обратно пропорциональны друг другу. Другими словами, есть два типа пропорций: прямая пропорция и обратная пропорция. В следующем разделе мы подробно обсудим обе пропорции.

Лучшие преподаватели по математике

Первый урок бесплатно

Прямая и обратная пропорция

Связь между двумя величинами или переменными выражается прямой или обратной пропорцией.Мы также называем эти величины «прямо пропорциональными» или «обратно пропорциональными» друг другу. Символ

используется для обозначения пропорциональности количеств.

Например, если мы говорим, что x прямо пропорционален y, то мы математически записываем это как:

Если мы говорим, что x обратно пропорционален y, то запишем этот факт в математической записи как:

Отношения между переменными x и y регулируются некоторыми правилами пропорциональности.Вы можете видеть, что в обоих случаях значение x изменяется относительно значения y или, когда значение y изменяется, x также изменяется.

Подводя итог вышеизложенному, мы теперь определим прямую и обратную пропорции следующим образом:

Две величины прямо пропорциональны друг другу, когда одно количество кратно другому.

Например, если 1 килограмм равен 1000 граммов, то 8 килограммов будут равны 8 x 1000 = 8000 граммов. Следовательно, мы можем сказать, что единицы килограммы и граммы прямо пропорциональны друг другу, потому что, когда одно количество увеличивается, другое количество тоже увеличивается.Точно так же, если одна из этих двух величин уменьшается, другая величина также уменьшается. Другими словами, обе величины напрямую связаны друг с другом.

Обратная пропорция может быть определена как:

Две величины обратно пропорциональны друг другу, если увеличение одной величины вызывает уменьшение другой величины и наоборот

Например, рассмотрим уравнение

. Это уравнение показывает, что x обратно пропорционален y, потому что, когда y увеличивается, x уменьшается, а когда y уменьшается, x увеличивается.

В следующем разделе мы решим несколько примеров, связанных с обратной пропорцией.

Пример 1

3 художника завершают покраску дома за 12 часов. Сколько часов займет 6 рабочих?

Решение

Размышляя над вопросом, вы можете ясно догадаться, что это сценарий обратной пропорции, потому что чем меньше художников, тем больше времени потребуется. И наоборот, если художников больше, они займут меньше времени. Другими словами, количество часов и количество художников обратно пропорциональны друг другу.

Составьте уравнение обратной пропорции:

Следовательно, 6 маляров закончат покраску дома за 6 часов.

Пример 2

Заполнение резервуара водой занимает 12 часов, если в него наливается 21 литр в минуту. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить резервуар, если в него наливают 8 литров воды в минуту?

Раствор

Количество часов, необходимых для заполнения воды со скоростью 21 литр в минуту = 12

Количество часов, необходимых для заполнения воды со скоростью 8 литров в минуту = x

Это также ясный сценарий обратной пропорции, потому что при увеличении расхода воды время, необходимое для заполнения резервуара, будет уменьшаться, и наоборот.Мы можем записать уравнение обратной пропорции как:

Заполнение резервуара займет 31 час 30 минут, если поток воды составляет 8 литров в минуту.

Пример 3

Два человека убирают комнату по 15 минут. Сколько минут потребуется трем людям, чтобы убрать в одной комнате?

Решение

Время, затраченное 2 людьми на уборку комнаты = 15 минут

Время, затраченное 3 людьми = x

Это случай обратной пропорциональности, потому что чем больше людей, тем меньше времени потребуется на уборку комната.Теперь запишем этот сценарий в следующей форме:

Следовательно, 3 человека займут 10 минут, чтобы убрать одну и ту же комнату.

Пример 4

10 ученикам требуется 8 часов, чтобы украсить свой класс. Сколько часов займут 5 учеников, чтобы украсить один и тот же класс?

Решение

Количество часов, затраченных 10 студентами на украшение класса = 8 часов

Количество часов, затраченных 5 студентами на украшение одного и того же класса = x

Это случай обратной пропорциональности, потому что когда количество студентов уменьшится, время, затрачиваемое на украшение классной комнаты, увеличится, и наоборот.Мы запишем этот сценарий в форме обратной пропорции:

Следовательно, 5 ученикам потребуется 16 часов, чтобы украсить один и тот же класс.

Пример 5

8 ученикам требуется 2 часа, чтобы выполнить работу над проектом. Сколько часов потребуется 5 студентам, чтобы выполнить работу над одним и тем же проектом?

Решение

Количество часов, затраченных 8 студентами на выполнение проекта = 2 часа

Количество часов, затраченных 5 студентами на выполнение проекта = x

Это случай обратной пропорциональности, потому что когда количество студентов будет уменьшится, время, необходимое для завершения проекта, увеличится, и наоборот.Мы запишем этот сценарий в форме обратной пропорции:

Следовательно, 5 ученикам потребуется 3,2 часа на выполнение проекта. Вы можете преобразовать десятичную часть ответа в минуты, умножив 0,2 на 60, чтобы получить 12. Следовательно, 5 ученикам потребуется 3 часа 12 минут на выполнение проекта.

Пример 6

Для преодоления расстояния требуется 18 часов, если автомобиль движется со скоростью 50 миль в час. Сколько часов потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если скорость автомобиля увеличится до 75 миль в час?

Решение

Количество часов, необходимое для преодоления расстояния со скоростью 50 миль в час = 18

Количество часов, необходимых для преодоления того же расстояния со скоростью 75 миль в час = x

Это также Ясный сценарий обратной пропорции, потому что, когда скорость автомобиля будет увеличиваться, время, затрачиваемое на преодоление расстояния, будет уменьшаться.Точно так же, если скорость уменьшится, время, необходимое для преодоления расстояния, увеличится. Мы можем записать уравнение обратной пропорции следующим образом:

Чтобы преодолеть такое же расстояние, потребуется 12 часов, если автомобиль движется со скоростью 75 миль в час.

Видеоролики с прямым и косвенным соотношением сторон

Студенческие видео

Уровень:
GCSE
Доска:
AQA, Edexcel, OCR, Eduqas, WJEC

Для некоторых вопросов вам будет дана общая связь между x и y, но вам нужно будет точно выяснить, что это за формула.Это соотношение либо прямо пропорционально, либо обратно пропорционально.

В этих видеороликах рассказывается, как определить, какой вопрос какой, и как это понять, если вы знаете, какой это тип пропорции.

В этом видео представлены общие формулы обоих типов пропорций и даны несколько простых примеров, которые помогут вам разобраться в определении постоянной пропорции, k.

Прямые и обратно пропорциональные отношения (учебные пособия по математике)

В некоторых вопросах вам не будет предложено найти формулу, но вам будет предложено использовать соотношение, чтобы найти новые значения. Пусть вас не заинтересует формулировка вопроса! В этом видео рассматриваются проблемы со словами как с прямой, так и с косвенной пропорцией.

Обратная пропорция (HEGARTYMATHS)

Прямые и обратные зависимости могут быть продемонстрированы с помощью графиков. Изучите некоторые основные формы графиков, чтобы их можно было распознать, если они появятся на экзамене!

Графики и алгебраические пропорции (HEGARTYMATHS)

Обратная и совместная вариация | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • Решите обратную вариационную задачу.
  • Напишите формулу обратно пропорциональной зависимости.

Температура воды в океане изменяется обратно пропорционально глубине воды. На глубине от 250 до 500 футов формула [латекс] T = \ frac {14000} {d} [/ latex] дает нам температуру в градусах Фаренгейта на глубине в футах ниже поверхности Земли. Рассмотрим Атлантический океан, который покрывает 22% поверхности Земли. В определенном месте, на глубине 500 футов, температура может достигать 28 ° F.

Если мы создадим таблицу, мы увидим, что по мере увеличения глубины температура воды снижается.

[латекс] d [/ латекс], глубина [латекс] T = \ frac {\ text {14,000}} {d} [/ latex] Устный перевод
500 футов [латекс] \ frac {14 000} {500} = 28 [/ латекс] На глубине 500 футов температура воды составляет 28 ° F.
350 футов [латекс] \ frac {14 000} {350} = 40 [/ латекс] На глубине 350 футов температура воды 40 ° F.
250 футов [латекс] \ frac {14 000} {250} = 56 [/ латекс] На глубине 250 футов температура воды составляет 56 ° F.

В соотношении между этими переменными мы замечаем, что по мере увеличения одной величины другая уменьшается. Говорят, что эти две величины равны , обратно пропорционально , и каждый член изменяется обратно пропорционально друг другу. Обратно пропорциональные отношения также называются обратными вариациями .

Для нашего примера на графике изображена обратная вариация . Мы говорим, что температура воды изменяется обратно пропорционально глубине воды, потому что с увеличением глубины температура понижается.{n} y [/ латекс].

Пример: написание формулы для обратно пропорциональной зависимости

Турист планирует проехать 100 миль. Найдите формулу для времени, которое займет поездка, в зависимости от скорости, которую едет турист.

Показать решение

Напомним, что умножение скорости на время дает расстояние. Если мы позволим [latex] t [/ latex] обозначать время вождения в часах, а [latex] v [/ latex] представлять скорость (скорость или скорость), с которой едет турист, то [latex] vt = [/ latex] ] Расстояние.{-1} \ end {align} [/ latex]

Мы можем видеть, что постоянная вариации равна 100, и, хотя мы можем записать отношение, используя отрицательный показатель степени, чаще видят его в виде дроби.

Как сделать: учитывая описание проблемы косвенного изменения, решить для неизвестного.


  1. Определите вход, [latex] x [/ latex], и выход, [latex] y [/ latex].
  2. Определите постоянную вариации. Вам может потребоваться умножить [латекс] y [/ latex] на указанную степень [латекс] x [/ latex], чтобы определить постоянную вариации.
  3. Используйте постоянную вариации, чтобы написать уравнение для связи.
  4. Подставьте известные значения в уравнение, чтобы найти неизвестное.

Пример: решение обратной вариационной задачи

Количество [латекс] y [/ латекс] изменяется обратно пропорционально кубу [латекса] x [/ латекса]. Если [latex] y = 25 [/ latex], когда [latex] x = 2 [/ latex], найдите [latex] y [/ latex], когда [latex] x [/ latex] равно 6. {3}} [/ latex].{3}} \\ [1 мм] & = \ dfrac {25} {27} \ end {align} [/ latex]

Анализ решения

График этого уравнения представляет собой рациональную функцию.

Попробуйте

Количество [латекс] y [/ латекс] обратно пропорционально квадрату [латекса] x [/ латекса]. Если [latex] y = 8 [/ latex], когда [latex] x = 3 [/ latex], найдите [latex] y [/ latex], когда [latex] x [/ latex] равно 4.

Показать решение

[латекс] \ dfrac {9} {2} [/ латекс]

Следующее видео представляет собой короткий урок по обратной вариации и включает больше отработанных примеров.

Вариант совместного

Многие ситуации сложнее базовой модели с прямым или обратным изменением. Одна переменная часто зависит от нескольких других переменных. Когда переменная зависит от произведения или частного двух или более переменных, это называется совместным вариантом . Например, стоимость проезда учащихся на автобусе для каждой школьной поездки зависит от количества учащихся и расстояния от школы. Переменная [латекс] c [/ латекс], стоимость, изменяется вместе с количеством студентов, [латекс] n [/ латекс], и расстоянием, [латекс] d [/ латекс].

A Общее примечание: вариант соединения

Совместное изменение происходит, когда переменная изменяется прямо или обратно с несколькими переменными.

Например, если [latex] x [/ latex] напрямую зависит от [latex] y [/ latex] и [latex] z [/ latex], мы имеем [latex] x = kyz [/ latex]. Если [latex] x [/ latex] напрямую зависит от [latex] y [/ latex] и обратно пропорционально [latex] z [/ latex], мы имеем [latex] x = \ dfrac {ky} {z} [/ latex ]. Обратите внимание, что мы используем только одну константу в уравнении совместной вариации.

Пример: решение проблем, связанных с вариациями суставов

Количество [латекс] х [/ латекс] напрямую зависит от квадрата [латекса] y [/ латекса] и обратно пропорционально кубическому корню из [латекс] z [/ латекс].

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.