Прямая отрезок луч определения: Урок 21. прямая, луч, отрезок — Математика — 5 класс

Содержание

Урок 21. прямая, луч, отрезок — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок №21

Прямая, луч, отрезок

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятия «прямая», «луч», «отрезок»;

— отличия прямой, луча, отрезка;

— прямая, луч, отрезок на чертежах, рисунках и моделях.

Тезаурус

Отрезок – часть прямой, ограниченный двумя точками.

Концы отрезка – точки, ограничивающие отрезок.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф.Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009.–142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин.– М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными геометрическими фигурами принято считать плоскость, прямую и точку, все остальные фигуры образуются из них или их частей, поясним сказанное на примерах. Начнём с того, что различные геометрические фигуры располагаются на плоскости. Представление о плоскости даёт нам, например, поверхность стола или школьной доски. Стоит отметить, что эти поверхности имеют края. У плоскости нет краёв. Она безгранично простирается во всех направлениях.

Введём ещё одно понятие – прямая. Её обозначают малой латинской буквой (например, а) или двумя заглавными буквами (например, АВ, если на прямой отмечены соответствующие точки).

Стоит заметить, что прямая линия не имеет ни начала, ни конца, поэтому её изображение можно продолжить в обе стороны. Две различные прямые могут иметь только одну общую точку, в этом случае говорят, что прямые пересекаются.

Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться, сколько бы их не продолжали, такие прямые называют параллельными.

Параллельные прямые можно легко построить с помощью линейки и угольника, передвигая его вдоль линейки так, как показано на рисунке.

Через любые две точки можно провести только одну прямую.

Выполним построение. Для этого отметим две точки А и В и проведём через эти точки прямую b.

Провести через точки А и В другую прямую, отличную от прямой b, нельзя.

Используя прямую и точку в виде деталей геометрического конструктора, можно создавать новые геометрические объекты.

Например, начертим прямую с и отметим на ней точку А. Точка А разделила прямую на две части.

Каждую из этих частей называют лучом, исходящим из точки А.

Итак, луч – это прямая линия, которая имеет начало, но не имеет конца.

Луч следует обозначать двумя заглавными буквами латинского алфавита, при этом на первое место надо ставить обозначение начала луча. Например, АВ, как в нашем случае, где точка А – начало луча.

Переставлять буквы в названии луча нельзя.  

Теперь рассмотрим ещё одно важное геометрическое понятие – отрезок.

Отрезком называют часть прямой между двумя точками. Отрезок обозначают АВ или ВА. При этом точки А и В называют концами отрезка АВ.

В отличие от луча, в названии отрезка переставлять буквы допустимо, поэтому его можно обозначить как АВ, так и ВА.

Заметим, что два отрезка называются равными, если они совмещаются при наложении.

Итак, сегодня мы познакомились с понятиями прямая, луч, отрезок, как одними из основополагающих понятий в геометрии.

Это интересно

Помимо геометрии, мы можем встретить слово «луч» и в других научных областях.

  • Космические лучи – это элементарные частицы и ядра атомов, движущиеся с высокими энергиями в космическом пространстве.
  • Противосумеречные лучи (англ. anticrepuscular rays) – расходящиеся веером лучи, наблюдающиеся на закате дня со стороны, противоположной Солнцу (то есть, на востоке).
  • Белохохлый солнечный луч (лат. Aglaeactis castelnaudii) – вид птиц из семейства колибри (Trochilidae).
  • Луч света в темном царстве – крылатое выражение, вошедшее в речь после публикации в 1860 году статьи публициста-демократа Николая Александровича Добролюбова, посвящённой драме А. Н. Островского «Гроза».

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: добавление подписей к изображениям.

Разместите нужные подписи к изображениям.

Для выполнения задания обратитесь к теоретическому материалу урока.

Правильные ответы:

1) а – это прямая.

2) АВ – это отрезок.

3) А – это луч.

№ 2. Тип задания: подстановка элементов в пропуски в тексте.

Вставьте в текст нужные слова.

Через__________ две____________ можно провести только одну _________.

Слова: любые; точки; прямую; ломаную.

Правильный ответ: через любые две точки можно провести только одну прямую.

Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

ABC

точка 1, точка 2, точка 3

123

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие?

AAA

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

abc

Линия может быть

  1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
  2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая.  Ты вернулся в исходную точку.


Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.


Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

  1. самопересекающейся
  2. без самопересечений
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
  1. прямой
  2. ломанной
  3. кривой
прямые линии
ломанные линии
кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

a

прямая линия AB

BA

Прямые могут быть

  1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
    • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
  2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча
A
A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

a

луч AB

BA

Лучи совпадают, если

  1. расположены на одной и той же прямой,
  2. начинаются в одной точке,
  3. направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают

CBA

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

BA

прямая линия AB

BA

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками.

BA✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

BA

Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными

ABCDE646212752

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см.  У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF
многоугольник ABCDEF
вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F
вершина A и вершина B являются соседними
вершина B и вершина C являются соседними
вершина C и вершина D являются соседними
вершина D и вершина E являются соседними
вершина E и вершина F являются соседними
вершина F и вершина A являются соседними
сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF
сторона AB и сторона BC являются смежными
сторона BC и сторона CD являются смежными
сторона CD и сторона DE являются смежными
сторона DE и сторона EF являются смежными
сторона EF и сторона FA являются смежными

ABCDEF120605812298141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

треугольники
четырёхугольники: квадрат, прямоугольник, дельтоид, ромб, параллелограмм, трапеция
пятиугольники

Точка, отрезок, луч, прямая — числовая прямая

 

Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.

Точка в математике

Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.

На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Отрезок в математике

Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка — две граничные точки.

На рисунке мы видим следующее: отрезки [A;C],[C;D],[D;M],[M;F],[F;E] и [E;T], а также две точки B и S.

Прямая в математике

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая — это отрезок, который не имеет двух концов.

На рисунке изображены две прямые: CD и EF.

Луч в математике

Что же такое луч? Определение луча в математике: луч — часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD — один луч, т.к. у них общее начало.

Числовая прямая в математике

Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.

На рисунке изображена числовая прямая, а также луч OD и ED

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: ПРИМЕРЫ
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЧтение и запись больших натуральных чисел: разряды, классы + ПРИМЕР

точка и прямая линия, отрезок, луч, ломаная линия

К основным геометрическим фигурам на плоскости относятся точка и прямая линия. Отрезок, луч, ломаная линия — простейшие геометрические фигуры на плоскости.

Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.

Прямую линию, или прямую, можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком. Отрезок изображается так:

Луч — это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:

Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается па два луча, противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными.

Ломаная линия — это несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.

Выше изображена трехзвенная ломаная линия.

Если конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом первого отрезка, то такая ломаная линия называется замкнутой. Примером замкнутой ломаной служит любой многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник
Трехзвенная замкнутая ломаная линия — треугольник

Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.

Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную
геометрическую фигуру:

Луч — Геометрия 8 класс

На этом уроке мы по­го­во­рим о двух
ос­но­во­по­ла­га­ю­щих по­ня­ти­ях гео­мет­рии – луче и угле. Эти слова
вы слы­ша­ли еще в дет­стве: сол­неч­ный луч из­ве­стен каж­до­му,
кто-то мог слы­шать про рент­ге­нов­ские лучи. Угол есть у стола, а
ко­го-то из вас, воз­мож­но, ино­гда ста­ви­ли в угол ком­на­ты.
Раз­бе­рем­ся, что озна­ча­ют эти слова в гео­мет­рии.

На самом деле «гео­мет­ри­че­ский» луч не на­мно­го
от­ли­ча­ет­ся от сол­неч­но­го. Чем ин­те­ре­сен сол­неч­ный луч? У
него есть на­ча­ло – солн­це, а конца нет: его можно огра­ни­чить своей
ла­до­шкой или зем­лей, но если бы пре­пят­ствия не было – он шел бы и
даль­ше. То есть он имеет на­ча­ло, а с дру­гой сто­ро­ны –
бес­ко­не­чен, как пря­мая. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Сол­неч­ный луч

Со­от­вет­ствен­но, опре­де­ле­ние луча:

Лучом на­зы­ва­ет­ся часть пря­мой, огра­ни­чен­ная с одной сто­ро­ны
точ­кой. Эта точка иг­ра­ет роль солн­ца – там «на­чи­на­ет­ся» луч! То
есть луч имеет на­ча­ло, но не имеет конца, в от­ли­чие от от­рез­ка,
ко­то­рый огра­ни­чен с двух сто­рон. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Раз­ли­чие луча и от­рез­ка

Если рас­смот­реть го­ри­зон­таль­ную пря­мую  и точку  на ней, то точка  раз­би­ва­ет пря­мую на два луча: слева и спра­ва от . (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Два луча: слева и спра­ва от

Точка  на­зы­ва­ет­ся вер­ши­ной луча. Чаще всего луч обо­зна­ча­ют двумя точ­ка­ми, на­при­мер . Для этого тре­бу­ет­ся по­ста­вить точку  с нуж­ной сто­ро­ны от . То есть точка  по­ка­зы­ва­ет, в каком на­прав­ле­нии идет луч, но не огра­ни­чи­ва­ет его. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Обо­зна­че­ние луча

Об­ра­тим вни­ма­ние на раз­ни­цу между лучом , от­рез­ком  и пря­мой . От­ре­зок огра­ни­чен обе­и­ми точ­ка­ми (см. Рис. 5), луч – толь­ко точ­кой  (см. Рис. 6), пря­мая – не огра­ни­че­на (см. Рис. 7).

Рис. 5. От­ре­зок

Рис. 6. Луч

Рис. 7. Пря­мая

Также за­ме­тим, что от­рез­ки  и  – одно и то же, пря­мые  и  – тоже, а вот лучи – раз­ные. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Луч  (оран­же­вый) и луч  (синий)

Реже луч про­сто обо­зна­ча­ют малой бук­вой, но тут за­пу­тать­ся проще, так что ис­поль­зуй­те ис­ход­ные обо­зна­че­ния.

Ино­гда пря­мые, лучи и от­рез­ки обо­зна­ча­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом:  – пря­мая,  – луч,  – от­ре­зок. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. От­ре­зок, луч и пря­мая

Вве­дем еще одно опре­де­ле­ние. Если два луча лежат на одной
пря­мой, имеют общую вер­ши­ну, но раз­ные на­прав­ле­ния – то их
на­зы­ва­ют до­пол­ни­тель­ны­ми. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. До­пол­ни­тель­ные лучи

Угол – гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра, ко­то­рая со­сто­ит
из точки и двух лучей, ис­хо­дя­щих из этой точки. Лучи на­зы­ва­ют
сто­ро­на­ми угла, а их общее на­ча­ло – вер­ши­на. (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Лучи  и  – сто­ро­ны угла, на­ча­ло лучей  – вер­ши­на угла

Обо­зна­ет­ся угол обыч­но тремя бук­ва­ми: одна на одной сто­роне
угла, затем – вер­ши­на, затем – точка на дру­гой сто­роне угла:  или , при­чем . Ино­гда знак «» пи­шет­ся над бук­ва­ми, и по­лу­ча­ет­ся: .

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что в неко­то­рых учеб­ни­ках угол
опре­де­лен иначе – мы дали опре­де­ле­ние по учеб­ни­ку Ата­на­ся­на.

За­ча­стую углы обо­зна­ча­ют и гре­че­ски­ми бук­ва­ми: . (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Обо­зна­че­ние угла гре­че­ски­ми бук­ва­ми

На­ко­нец, угол можно обо­зна­чать через лучи, его об­ра­зо­вы­ва­ю­щие, на­при­мер . (См. Рис. 14.) Но в за­да­чах такое обо­зна­че­ние – ред­кость.

Рис. 14. Обо­зна­че­ние угла через на­зва­ния об­ра­зу­ю­щих лучей

Угол на­зы­ва­ет­ся раз­вер­ну­тым, если его сто­ро­ны – до­пол­ни­тель­ные лучи. (См. Рис. 15.)

Рис. 15. Раз­вер­ну­тый угол

За­ме­ча­ние 1. Об­ра­ти­те вни­ма­ние: мно­гие счи­та­ют, что раз­вер­ну­тый угол – .
Это верно, но это не опре­де­ле­ние! Не пу­тай­те, по­жа­луй­ста!
По­ня­тие гра­дус­ной меры нами в курсе гео­мет­рии пока вве­де­но не
было.

За­ме­ча­ние 2. Углом между пря­мы­ми на­зы­ва­ет­ся наи­мень­ший
угол (или один из наи­мень­ших углов), об­ра­зо­ван­ный при их
пе­ре­се­че­нии. (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Крас­ным вы­де­лен угол между пря­мы­ми. Угол, вы­де­лен­ный серым цве­том, не счи­та­ет­ся углом между пря­мы­ми.

За­да­ча 1. Сколь­ко углов на ри­сун­ке? (См. Рис. 19.)

Рис. 19. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Ре­ше­ние: угла: , , . А как же углы , , ? Они сов­па­да­ют уже с упо­мя­ну­ты­ми уг­ла­ми, то есть ,  и .

Ответ:  угла.

За­да­ча 2. Две пря­мые  и  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Сколь­ко углов с вер­ши­на­ми в дан­ных пяти точ­ках можно на­звать? (См. Рис. 20.)

Рис. 20. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Сразу в глаза бро­са­ют­ся , ,  и . Но, кроме этих углов, есть еще и раз­вер­ну­тые углы:  и . Итого,  углов.

Ответ:  углов.

На этом уроке были разо­бра­ны такие ба­зо­вые
по­ня­тия гео­мет­рии, как луч и угол. Луч – часть пря­мой,
огра­ни­чен­ная с одной сто­ро­ны точ­кой. Угол – гео­мет­ри­че­ская
фи­гу­ра, ко­то­рая со­сто­ит из точки и двух лучей, ис­хо­дя­щих из
этой точки.

http://interneturok.ru/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/luch-i-ugol

Практическое задание по теме «Луч»

А теперь возьмите в руки карандаш, линейку, отступите от «Классной работы» две клеточки вниз и нарисуйте луч произвольной длины.

(Я рисую на доске).

Обозначим
начало луча буквой О. Теперь отложим на луче 8 отрезков длинною в 1
см., а я на доске буду откладывать отрезки длинною в 1 дм., чтобы вам
было видно. Посмотрите, как я это делаю. Отмечаю на числовом луче
последовательно числа 1, 2, 3, и т.д.

Какая фигура была первоначально?

Теперь мы на луче отметили числа. Как теперь назовем фигуру?

На этом луче можно изобразить любое число в заданном направлении. Какое самое маленькое число можно изобразить на луче?

А можно узнать самое большое число? Почему?

Кто теперь может сформулировать тему нашего урока?

Презентация и конспект урока по теме «Прямая, луч, отрезок»

План-конспект урока математики № 45

Класс: 5-А

Дата: 12.11.2019

Учитель: Коротаева Н.А.

Тема:

Прямая, луч, отрезок

Тип урока:

Урок усвоения новых знаний, умений и навыков

Место урока в разделе:

Первый урок в теме «Измерение величин»

Оборудование:

Мультимедийный комплекс

Формы работы на уроке

Фронтальная, групповая, индивидуальная

Цели:

обучающие

(ориентированные на достижение предметных результатов обучения)

Ввести понятия «плоскость», «луч», «прямая», «отрезок»; установить свойства изучаемых объектов; научить строить и распознавать данные фигуры.

развивающие (ориентированные на достижение метапредметных результатов обучения)

Развивать внимание, память, образное мышление; формировать самостоятельность и коммуникативность; создавать условия для проявления познавательной активности.

воспитательные (ориентированные на достижение личностных результатов обучения)

Воспитывать умение слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем;

УУД:

познавательные

Поиск и выделение необходимой информации;

анализ объектов с целью выделения признаков; выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действий.

регулятивные

Прогнозирование своей деятельности; планирование своей деятельности для решения поставленной задачи.

коммуникативные

Умение слушать и вступать в диалог; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

личностные

Установление связи между целью деятельности и ее мотивом; проявление внимания и терпения; проявление доброжелательности в дискуссии, доверия к собеседнику.

Прямая, луч, отрезок

Цели: Ввести понятия «плоскость», «луч», «прямая», «отрезок»; установить свойства изучаемых объектов; научить строить и распознавать данные фигуры.

Развивать внимание, память, образное мышление; формировать самостоятельность и коммуникативность; создавать условия для проявления познавательной активности.

Воспитывать умение слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем; поиск и выделение необходимой информации; проявление доброжелательности в дискуссии, доверия к собеседнику

Ход урока

I.Организационный момент

Приветствие учителя, проверка готовности учащихся к уроку.

II. Мотивация учебной деятельности

1. Сообщение темы (устный счет).

Решив все примеры и расположив ответы в порядке возрастания, вы сможете прочитать три слова, которые являются темой нашего урока (прямая, луч, отрезок).

15х0= (П)

44+150= (Р)

120:2= (Л)

32:32= (Р)

16-14= (Я)

25х4= (Ч)

160-80= (У)

90:10= (М)

11х10= (О)

920-800= (Т)

12+18= (А)

1000х15= (К)

1000:2= (О)

90-35= (Я)

50х4= (Е)

450-150= (З)

2. Формулирование цели урока.

3. Актуализация опорных знаний, полученных в начальной школе.

(Вспомнить понятия точки, прямой, отрезка)

III. Восприятие и первичное осознание нового материала

1. Определение плоскости.

Поверхность стола, стена, классная доска, оконное стекло могут служить примером части плоскости. Всю плоскость невозможно изобразить потому, что она бесконечна, но ее можно представить себе (привести примеры части плоскости).

2. Определение и обозначение прямой.

— прямая не имеет ни начала, ни конца – она бесконечна;

— прямую обозначают одной строчной латинской буквой или двумя заглавными;

— через любые две точки можно провести только одну прямую;

— две прямые на плоскости могут пересекаться или быть параллельными.

3. Определение луча.

Точка А, лежащая на прямой, делит ее на две части. Каждую их этих частей называют лучом с началом в точке А, обозначают луч двумя заглавными буквами.

4. Определение отрезка.

— определение отрезка;

— обозначение отрезка;

— определение равных отрезков.

IV. Первичное применение новых знаний

Решение упражнений №356, 359.

V. Физминутка

VI. Применение знаний в стандартных условиях с целью усвоения навыков

1. Фронтальный опрос (1 группа):

— Какие точки лежат на прямой l ?

— Какие точки не лежат на прямой l ?

— Назовите все лучи с вершиной в точках M, N, S?

— Какие точки не лежат на луче MS?

— Перечислите все отрезки, изображенные на рисунке.

2. Индивидуальная работа по карточкам (2 группа):

Тест (Приложение 1).

Начало формы

Конец формы

VII. Итог урока.

  1. Сообщение домашнего задания:

Прочитать п.2.1. стр. 77-79, выполнить №355, РТ 2 часть – № 170, №171.

  1. Рефлексия:

— Сегодня на уроке я научился…

— Мне было интересно…

— Мне было трудно…

— Я понял, что…

— Больше всего мне понравилось…

— Своей работой на уроке я доволен (не совсем, не доволен), потому что…

ТЕСТ

  1. Как правильно записать обозначение луча?

А) АМ

Б)  МА

  1. Сколько лучей на рисунке?

А) один

Б) два

В) три

Г) четыре

  1.  Какие из обозначенных точек не лежат на луче АС?

А) К, D, В

Б) D, К

В) О, В

Г) К, О

  1.  Какая из фигур, изображенных на рисунке, является прямой?

А) ВА

Б) АС

В) ВС

Г) ВМ

  1.  Укажите пару пересекающихся фигур.

А) отрезок ОА и прямая СD

Б) луч КР и прямая ВМ

В) прямые СD и ВМ

Г) луч КР и отрезок ОА

  1.  Что является общей частью лучей АС и ВС?

А) отрезок АВ

Б) луч ВС

В) точка А

Г) точка В

  1.  Пересекаются ли прямые CD и АВ?

А) да

Б) нет

  1.  Пересекаются ли лучи АВ и СD?

А) да

Б) нет

Приложение 2

Технологическая карта урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

Формируемые УУД

Познавательные

Регулятивные

Коммуникативные

Личностные

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

Организационный момент

Приветствие; проверка готовности класса к уроку; организация внимания.

2

Осознанное и произвольное построение речевого высказывания

Прогнозирование своей деятельности

Умение слушать и вступать в диалог

Умение выделять нравственный аспект поведения

2

Мотивация учебной деятельности

Вместе с учениками определяет тему урока (Слайд 2-3).

Вспомнить понятия точки, прямой, отрезка, полученные ранее.

Задает учащимся наводящие вопросы

(Слайд 4-5)

Выполняют задание, решая примеры.

Записывают тему урока в тетрадь.

Участвуют в определении цели урока.

Участвуют в работе по повторению, в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы.

7

Поиск и выделение необходимой информации.

Анализ объектов с целью выделения признаков.

Выдвижение гипотез.

Постановка цели.

Выделение и осознание того, что уже пройдено.

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог

Установление связи между целью деятельности и ее мотивом

3

Восприятие и первичное осознание нового материала

Знакомит учащихся с определением плоскости, прямой, луча, отрезка.

Задает вопросы, подводящие к определению понятий (Слайды 6-10)

Слушают, задают вопросы.

8

Анализ объектов с целью выделения признаков.

Умение слушать и вступать в диалог

Проявление внимания и терпения

4

Первичное применение новых знаний

Решают упражнения из учебника №342, 354, 355, 356, 359.

Выполняют задания, отвечая на вопросы

проверяют правильность выполнения.

10

Поиск и выделение необходимой информации.

Структурирование знаний.

Подведение под понятие

Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи

Умение слушать и вступать в диалог.

Коллективное обсуждение проблем (при необходимости)

Проявление 

терпения и аккуратности при построении чертежей

5

Физминутка

Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.

Учащиеся сменили вид деятельности (отдохнули) и готовы продолжать работу.

3

Осознание ценности здоровья

6

Применение знаний в стандартных условиях с целью усвоения навыков

Комментирует, направляет работу учащихся.

Постановка проблемного вопроса.

1 группа работает с учителем, выполняя задания у доски (Слайд 11-12).

2 группа работает индивидуально с тестовыми заданиями на карточках с последующей самопроверкой (Слайд 13)

10

Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия

Анализ объектов и синтез

Контроль изученного материала

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

Проявление доброжелательности в дискуссии, доверия к собеседнику

7

Подведение итогов

Сообщает домашнее задание. Подводит итог урока

Дает возможность самим ученикам оценить себя, затем оценивает учащихся с комментированием.

Рефлексия.

Записывают домашнее задание в дневник

Подводят итог урока, оценивают себя своих товарищей.

5

Осознанное и произвольное построение речевого высказывания

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог

Ориентация в межличностных отношениях

1) отрезок, луч, прямая (обозначение, определение)
2) середина отрезка

1) Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Обозначают двумя латинскими буквами: АВ, CD, EF.

Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Луч имеет начало, но не имеет конца. Обозначение — как и у отрезка, но можно и малыми латинским буквами: а, с, b, m. Обычно название луча читают с начала.

Прямая — прямая линия, определения не существует, т.к. это одно из основных неопределяемых понятий, таких, как точка, прямая и плоскость. Прямую можно представить как туго натянутую нить, бесконечную в обе стороны. Обозначают, как и луч — двумя большими латинскими буквами или одной маленькой: АВ или а.

2) Середина отрезка — точка на заданном отрезке, которая делит отрезок на две равные части.

3) Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки, и частью плоскости, которую они ограничивают.

Виды: смежные, вертикальные, острые (< 90°), прямые (= 90°), тупые (> 90°, но < 180°), развернутые (= 180°), полные (= 360°).

4) Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

5) Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (т.е. дополняют друг друга до прямой). Свойство: сумма смежных углов равна 180°.

6) Вертикальные углы —  это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются дополнительными лучами к  сторонам другого. Свойство: вертикальные углы равны.

7) Перпендикулярные прямые — две прямые, которые пересекаются под прямым углом (т.е. углом в 90°).

Вся информация — см. учебник геометрии для 7 класса.

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}}
{{addToCollection.description.length}} / 500

{{l10n_strings.TAGS}}
{{$ item}}

{{l10n_strings.PRODUCTS}}

{{l10n_strings. DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.ЯЗЫК}}
{{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select. selected.display}}

{{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}}
{{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

линий, лучей, отрезков и плоскостей

Наставник: Нарисуйте, пожалуйста,
ось координат на бумаге.Теперь пометьте оси x и y. Теперь пометьте каждую линию на оси x и y знаком
масштаб одного.

Наставник: Вы знали, что координатная ось — это плоскость?

Студент: Нет. Что такое самолет?

Наставник: Плоскость — это плоская поверхность, которая продолжается бесконечно. Лучший способ увидеть, что такое самолет
это как представить себе лист бумаги, который никогда не заканчивается.

Студент: Так же
бесконечность означает бесконечность?

Наставник: Да, это так. Бесконечность представляет собой то, что может продолжаться. Для любой
при заданном значении всегда можно найти большее значение.

Студент: Итак, самолет простирается до конца вселенной.

Наставник: Да, но более того. Конец вселенной представляет собой конец. Что-то, что может быть
считаться бесконечным не заканчивается. На самом деле ничто из существующего не может быть бесконечным. Это просто
может продолжаться, как наша система счисления или линия.Теперь, может ли кто-нибудь вспомнить, что
линия есть?

Учащийся: линия состоит как минимум из двух точек, находящихся на прямом пути.

Наставник: Да, очень хорошо. Нарисуем одну.

Наставник: А теперь у кого-нибудь есть представление о том, что такое луч?

Студент: Луч света, исходящий из лучевой пушки.

Наставник: Хорошая идея. У лучевой пушки есть отправная точка, и она продолжается вечно, если никогда не попадает в цель. Луч начинается в одной точке и продолжается до бесконечности.

Наставник: Давайте нарисуем луч.

Студент: Итак, в чем разница между линией и лучом?

Наставник: Линия уходит в бесконечность в обоих направлениях, но луч останавливается на одном конце. Если вы разрежете линию
пополам получается два луча. Теперь кто-нибудь может догадаться, что такое отрезок линии?

Студент: Это линия с двумя концами?

Наставник: Совершенно верно.Сегмент линии — это часть линии, имеющей две конечные точки. Нарисуем один на
бумага.

Определить структуру балки / сегмента | Руководство пользователя Стр.

Выберите луч или сегмент балки.

Используйте панель «Структура» в настройках балки (страница «Сегмент»), чтобы определить свойства и длину ее конструкции (фиксированная или гибкая).

Для выбранного сегмента: эти настройки также доступны в режиме редактирования луча.

Поперечное сечение

Щелкните значок, чтобы определить поперечное сечение сегмента.

• Прямоугольный

• Циркуляр

• Комплексный профиль

Строительный материал / Профиль

Используйте всплывающее окно, чтобы выбрать строительный материал или профиль для балки или сегмента балки.

Примечание. Во всплывающем окне отображаются только профили, для которых элемент управления «Использовать с» включает балки. Профили определяются в «Параметры»> «Атрибуты элемента»> «Диспетчер профилей».

Длина сегмента (фиксированная или гибкая)

Для каждого выбранного сегмента: определите его длину как фиксированную или гибкую, щелкнув соответствующий значок на панели «Структура».

–Для сегмента фиксированной длины: определите длину. Он останется неизменным, даже если Балка растянется. (Вы также можете ввести длину выбранного сегмента в списке структуры.)

–Для гибкого сегмента: определите его длину в процентах от всех гибких сегментов. (Гибкие сегменты вместе составляют 100%.) Длина сегмента будет соответственно увеличиваться, если Балка растягивается.

Длина сегмента — Редактировать в 3D

1.Выберите луч в 3D-окне.

2.Click Соединить точки доступа (на опорной линии луча).

3. Из палитры домашних животных используйте Move Segment Join, чтобы отрегулировать длину сегмента

Примечание. Если вы перетащите горячую точку сегмента в соседний сегмент, это полностью удалит перетаскиваемый сегмент.

Связанные темы:

Коническая колонна или сегмент

Повернуть угол соединения

Сердечник и шпон

Удалить сегмент колонны или сегмент балки

Соответствующие темы

Для многосегментной колонны или балки удалите определенный сегмент:
Использовать настройки элемента
1. Выберите элемент.
2. Откройте настройки колонны или балки — страница «Сегмент».
3. Выберите сегмент и нажмите «Удалить».

Удалить сегмент графически
1. выберите элемент.
2.Щелкните Присоединиться к точке доступа (на …

Выберите столбец или сегмент столбца.
Используйте панель «Структура» в настройках столбца (страница «Сегмент»), чтобы определить его свойства структуры и длину (фиксированную или гибкую).
Для выбранного сегмента: эти настройки также доступны в режиме редактирования столбца.
Поперечное сечение
Щелкните значок, чтобы определить …

Вы можете создать сужающуюся балку или сузить любой отдельный сегмент балки.
Используйте страницу «Сегмент» в настройках балки. (Для многосегментной балки выберите сегмент для сужения.)
1. На панели «Структура» выберите «Коническая геометрия».
2. С помощью всплывающего окна укажите размеры поперечного сечения конической балки.

Что такое луч в геометрии? | Определение и примеры (видео)

Найдите светодиодный фонарик. Войдите в темную комнату и включите фонарик. Вы только что смоделировали луч, плоскую фигуру в геометрии, которая имеет одну конечную точку, но продолжается в другом направлении навсегда. Лучи и реальные примеры лучей есть повсюду.

Содержание

  1. Видео
  2. Определение луча в геометрии
  3. Как нарисовать луч по математике
  4. Символ и этикетка Ray
  5. Луч в примерах геометрии

Определение лучей в геометрии

Луч можно рассматривать как фрагмент или сегмент линии.В плоской геометрии луч легко построить по двум точкам. Один будет конечной точкой, началом луча. Другой момент — это просто указатель, способ дать лучу имя. Линия, соединяющая две точки, тянется бесконечно только в одном направлении:

Вместо того, чтобы позволить обоим концам линии длиться вечно, мы отрезаем одну сторону в заданной точке. Теперь у нас есть луч.

Как нарисовать луч по математике

Чтобы нарисовать луч, поместите две точки на листе бумаги. Обозначьте обе точки заглавными буквами. Выберите одну точку в качестве конечной. С помощью линейки нарисуйте линию, начиная с конечной точки и продолжая через вторую точку. Нарисуйте одну стрелку на открытом конце вашей линии (тот, который находится напротив конечной точки). Там! У вас есть луч:

Символ и этикетка Ray

Чтобы обозначить и обозначить луч, нам нужно идентифицировать эту конечную точку. Нам также понадобится еще одна точка на односторонней линии. Затем мы записываем конечную точку и другую точку вместе заглавными буквами, ограниченными крошечной односторонней стрелкой (указывающей вправо):

Это символ Рэя Р.Н. →, названного в честь квотербека НФЛ, который может бросать футбольный мяч, который движется почти как луч.Гравитация тянет мяч вниз, но скорость и сила рук квотербэков могут сделать короткие передачи похожими на прямые лучи. Он конечная точка; Путешествующий футбол — это линия с односторонним движением.

Луч в примерах геометрии

Луч солнечного света есть луч. Он берет начало от нашей звезды, Солнца, и движется в одном направлении, ударяясь о Землю примерно через восемь минут после того, как покинул свою «конечную точку», Солнце.

Профессиональный теннисист Рафаэль Надаль, как известно, подает теннисные мячи на скорости около 217 км / ч (135 миль / ч), которая так хорошо сопротивляется силе гравитации, что кажется, будто летит по прямой, как луч.

Луч света от классного ЖК-проектора — луч; так же и свет от кинопроектора в вашем местном кинотеатре.

Путь, по которому стрела идет из лука, является лучом и имеет дополнительное преимущество в том, что он имеет форму стрелы.

Лазеры являются прекрасным примером лучей, потому что, в отличие от спортивных мячей, на них не сильно влияет земная гравитация, поэтому они светят ровными прямыми односторонними линиями от своего источника.

Предупреждение

Поскольку англоговорящие люди, читатели и писатели двигают глазами слева направо, почти все лучи, которые вы видите в математических символах, будут иметь левые конечные точки и правые стрелки. Однако имейте в виду, что геометрия — это чистая наука. Лучи могут идти в любом направлении, например, вверх, вниз, влево, вправо и по диагонали.

Следующий урок:

Что такое прямая линия?

вычислительная геометрия — Алгоритм нахождения пересечения отражающих лучей в пределах области

Не думаю, что здесь можно использовать что-то необычное. Расчет точек пересечения довольно прост.

С направлением x слева направо и y снизу вверх, предположим, что нижняя горизонтальная линия находится на y1 , а верхняя — на y2 , и у нас есть два отрезка линии с координатами x для начала / конечные точки двух сегментов, как указано:

  x4 x2
y2 -------------------
         \ /
          \ /
           \ /
           / \
          / \
         / \
        / \
y1 -------------------
       х1 х3
  

Параметризованная форма двух линейных сегментов тогда:

  (x1 + t1 * (x2 - x1), y1 + t1 * (y2 - y1))
(x3 + t2 * (x4 - x3), y1 + t2 * (y2 - y1))
  

Точка пересечения рассчитывается путем нахождения значений t1 и t2 , где обе точки совпадают. Установив два значения y равными, мы быстро увидим, что t1 и t2 должны быть равны:

  y1 + t1 * (y2 - y1) = y1 + t2 * (y2 - y1)
t1 * (y2 - y1) = t2 * (y2 - y1)
t1 = t2
  

Зная это, мы можем заменить t1 на t2 , установить значения x равными и решить уравнение для t1 :

  x1 + t1 * (x2 - x1) = x3 + t1 * (x4 - x3)
t1 * ((x2 - x1) - (x4 - x3)) = x3 - x1
t1 = (x3 - x1) / ((x2 - x1) - (x4 - x3))
  

После того, как вы вычислили t1 , вы знаете, что сегменты пересекаются, если его значение находится между 0.0 и 1.0. Если это так, точка пересечения (xt, yt) получается путем подстановки ее в одно из уравнений сегмента. Затем все становится (псевдокод):

  t1 = (x3 - x1) / ((x2 - x1) - (x4 - x3))
если t1> = 0,0 и t1 <= 1,0
    xi = x1 + t1 * (x2 - x1)
    yi = y1 + t1 * (y2 - y1)
еще
    нет пересечения
  

Вы можете попробовать это улучшить. Например, вы можете решить, что определенные конфигурации не пересекаются, просто на основе сравнения координат без выполнения полного расчета.Но поскольку сам расчет настолько прост, он вряд ли стоит того.

1.4: Внутренние силы в балках и рамах

Глава 4

Внутренние силы в балках и каркасах

4.1 Введение

Когда балка или рама подвергаются поперечным нагрузкам, возникают три возможных внутренних силы: нормальная или осевая сила, сила сдвига и изгибающий момент, как показано в секции k консоли на Рисунке 4.1. Чтобы предсказать поведение конструкций, необходимо знать величины этих сил. В этой главе учащийся узнает, как определить величину силы сдвига и изгибающего момента в любой части балки или рамы и как представить вычисленные значения в графической форме, которая называется «силой сдвига». и «диаграммы изгибающего момента». Диаграммы изгибающего момента и усилия сдвига неизмеримо помогают при проектировании, поскольку они показывают максимальные изгибающие моменты и усилия сдвига, необходимые для определения размеров элементов конструкции.

Рис. 4.1. Внутренние силы в балке.

4.2 Основные определения

4.2.1 Нормальная сила

Нормальная сила в любом сечении конструкции определяется как алгебраическая сумма осевых сил, действующих по обе стороны от сечения.

4.2.2 Сила сдвига

Сила сдвига (SF) определяется как алгебраическая сумма всех поперечных сил, действующих по обе стороны от секции балки или рамы. Фраза «с обеих сторон» важна, поскольку подразумевает, что в любом конкретном случае усилие сдвига можно получить, суммируя поперечные силы на левой стороне или на правой стороне сечения.

4.2.3 Изгибающий момент

Изгибающий момент (BM) определяется как алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих по обе стороны от секции балки или рамы.

4.2.4 Диаграмма усилия сдвига

Это графическое представление изменения силы сдвига на части или по всей длине балки или рамы. Как правило, диаграмма силы сдвига может быть нарисована выше или ниже оси x -центроид конструкции, но при этом необходимо указать положительную или отрицательную силу сдвига.

4.2.5 Диаграмма изгибающего момента

Это графическое представление изменения изгибающего момента на сегменте или по всей длине балки или рамы. Обычно положительные изгибающие моменты изображаются над центральной осью x конструкции, а отрицательные изгибающие моменты - под этой осью.

4.3 Соглашение о знаках

4.3.1 Осевое усилие

Осевая сила считается положительной, если она стремится к расслоению стержня в рассматриваемом сечении.Такая сила считается растягивающей, в то время как элемент, как говорят, подвергается осевому растяжению. С другой стороны, осевое усилие считается отрицательным, если оно стремится раздавить элемент в рассматриваемом сечении. Такая сила считается сжимающей, в то время как элемент находится в осевом сжатии (см. Рис. 4.2a и рис. 4.2b).

4.3.2 Сила сдвига

Сила сдвига, которая стремится сдвинуть левую часть секции вверх или правую сторону секции вниз, будет считаться положительной.Точно так же поперечная сила, которая имеет тенденцию перемещать левую сторону секции вниз или правую сторону вверх, будет считаться отрицательной поперечной силой (см. Рис. 4.2c и Рис. 4.2d).

4.3.3 Изгибающий момент

Изгибающий момент считается положительным, если он вызывает вогнутость вверх (провисание). Если изгибающий момент имеет тенденцию вызывать вогнутость вниз (коробление), это будет считаться отрицательным изгибающим моментом (см. Рисунок 4.2e и Рисунок 4.2f).

Рис.4.2. Условные обозначения для осевой силы, силы сдвига и изгибающего момента.

4.4 Связь между распределенной нагрузкой, усилием сдвига и изгибающим моментом

Для вывода соотношений между w, V и M рассмотрим свободно опертую балку, подверженную равномерно распределенной нагрузке по всей ее длине, как показано на рисунке 4.3. Пусть поперечная сила и изгибающий момент на участке, расположенном на расстоянии x от левой опоры, равны V и M соответственно, а на участке x + dx - V + dV и M + dM соответственно.Полная нагрузка, действующая через центр бесконечно малой длины, составляет wdx .

Рис. 4.3. Балка с простой опорой.

Для вычисления изгибающего момента на участке x + dx используйте следующее:

Уравнение 4.1 подразумевает, что первая производная изгибающего момента по расстоянию равна поперечной силе. Уравнение также предполагает, что наклон диаграммы моментов в определенной точке равен поперечной силе в этой же точке.Уравнение 4.1 предлагает следующее выражение:

Уравнение 4.2 утверждает, что изменение момента равно площади под диаграммой сдвига. Точно так же усилие сдвига в сечении x + dx составляет:

В x + dx = V - wdx

В + dV = В - wdx

или

Уравнение 4.3 означает, что первая производная силы сдвига по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки. Уравнение 4.3 предлагает следующее выражение:

Уравнение 4. 4 утверждает, что изменение поперечной силы равно площади под диаграммой нагрузки. Уравнения 4.1 и 4.3 предполагают следующее:

Уравнение 4.5 подразумевает, что вторая производная изгибающего момента по расстоянию равна интенсивности распределенной нагрузки.

Порядок расчета внутренних сил

• Нарисуйте схему свободного тела конструкции.

• Проверьте стабильность и определенность конструкции. Если структура устойчивая и детерминированная, переходите к следующему этапу анализа.

• Определите неизвестные реакции, применяя условия равновесия.

• Проведите воображаемое сечение перпендикулярно нейтральной оси конструкции в точке, где необходимо определить внутренние силы.Пройденный раздел делит структуру на две части. Рассмотрим любую часть конструкции для расчета требуемых внутренних сил.

• Для расчета осевой силы определите сумму осевых сил на детали, рассматриваемой для анализа.

• Для вычисления силы сдвига и изгибающего момента сначала запишите функциональное выражение для этих внутренних сил для сегмента, на котором находится сечение, относительно расстояния x от начала координат.

• Вычислите основные значения силы сдвига и изгибающего момента на участке, где находится секция.

• Нарисуйте диаграмму осевого усилия, усилия сдвига и изгибающего момента для конструкции, принимая во внимание условные обозначения, обсуждаемые в разделе 4.3.

• Для консольных конструкций третий шаг можно пропустить, если рассматривать свободный конец конструкции как начальную отправную точку анализа.

Пример 4.1

Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для консольной балки, поддерживающей сосредоточенную нагрузку на свободном конце, как показано на рисунке 4.4а.

Рис. 4.4. Консольная балка.

Решение

Поддерживающие реакции. Сначала вычислите реакцию опоры. Поскольку опора на B является фиксированной, на этой опоре будут три реакции, а именно B y , B x и M B , как показано на диаграмме свободного тела. на рисунке 4. 4b. Применение условий равновесия предполагает следующее:

Сила сдвига (SF).

Функция сдвигающего усилия. Пусть x будет расстоянием произвольного сечения от свободного конца консольной балки (рис. 4.4b). Сила сдвига в этом сечении из-за поперечных сил, действующих на сегмент балки слева от сечения (см. Рисунок 4.4e), составляет В = –5 k.

Знак минус указывает на отрицательную силу сдвига. Это связано с тем, что согласно соглашению о знаках силы сдвига, направленная вниз поперечная сила слева от рассматриваемой секции вызовет отрицательную силу сдвига в этой секции.

Диаграмма усилия сдвига. Обратите внимание: поскольку сила сдвига постоянна, она должна быть одинаковой величины в любой точке балки. Как правило, диаграмма поперечной силы наносится выше или ниже линии, соответствующей нейтральной оси балки, но должен быть указан знак плюс, если это положительная сила сдвига, и знак минус, если это отрицательная сила сдвига, как показано на рисунке 4. 4c.

Изгибающий момент (BM).

Функция изгибающего момента.По определению изгибающий момент в секции представляет собой сумму моментов всех сил, действующих по обе стороны секции. Таким образом, выражение для изгибающего момента силы 5 k на участке на расстоянии x от свободного конца консольной балки выглядит следующим образом:

Полученное выражение справедливо для всего луча (область 0 < x <3 фута). Отрицательный знак указывает на отрицательный момент, который на данный момент установлен из условного обозначения.Как видно на рис. 4.4f, момент, обусловленный силой 5 k, имеет тенденцию вызывать в сегменте балки с левой стороны сечения вогнутость вверх, что соответствует отрицательному изгибающему моменту согласно условному знаку. на изгибающий момент.

Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента является линейной, диаграмма изгибающего момента представляет собой прямую линию. Таким образом, для построения диаграммы изгибающего момента достаточно использовать два основных значения изгибающих моментов, определенных при x = 0 футов и x = 3 фута. Как правило, диаграммы отрицательного изгибающего момента строятся под нейтральной осью балки, а диаграммы положительного изгибающего момента строятся над осью балки, как показано на рисунке 4.4d.

Пример 4.2

Изобразите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента консольной балки, подверженной равномерно распределенной нагрузке по всей ее длине, как показано на рисунке 4.5a.

Рис. 4.5. Консольная балка.

Решение

Поддерживающие реакции.Сначала вычислите реакцию опоры. Поскольку опора на B является фиксированной, возможно, будет три реакции на этой опоре, а именно B y , B x и M B , как показано в свободном теле. диаграмма на рисунке 4.4b. Применение условий равновесия предполагает следующее:

Сила сдвига (SF).

Функция сдвигающего усилия. Пусть x будет расстоянием произвольного сечения от свободного конца консольной балки, как показано на рисунке 4. 5б. Сила сдвига всех сил, действующих на сегмент балки слева от сечения, как показано на рисунке 4.5e, определяется следующим образом:

Полученное выражение справедливо для всей балки. Отрицательный знак указывает на отрицательную силу сдвига, которая была установлена ​​из соглашения о знаках для силы сдвига. Выражение также показывает, что сила сдвига линейно зависит от длины балки.

Диаграмма усилия сдвига. Обратите внимание, что поскольку выражение для силы сдвига является линейным, его диаграмма будет состоять из прямых линий.Сила сдвига при x = 0 м и x = 5 м были определены и использованы для построения диаграммы силы сдвига, как показано на рисунке 4.5c. Как показано на диаграмме, сила сдвига изменяется от нуля на свободном конце балки до 100 кН на неподвижном конце. Вычисленную вертикальную реакцию B y на опоре можно рассматривать как проверку точности анализа и диаграммы.

Изгибающий момент (BM).

Выражение изгибающего момента. Выражение для изгибающего момента на участке на расстоянии x от свободного конца консольной балки выглядит следующим образом:

Знак минус указывает на отрицательный момент, который был установлен из условного обозначения момента. Как видно на рис. 4.5f, момент, обусловленный распределенной нагрузкой, имеет тенденцию приводить к тому, что сегмент балки на левой стороне сечения демонстрирует вогнутость вверх, что соответствует отрицательному изгибающему моменту, согласно условию знаков изгибающий момент.

Диаграмма изгибающего момента. Поскольку функция изгибающего момента является параболической, диаграмма изгибающего момента представляет собой кривую. В дополнение к двум основным значениям изгибающего момента при x = 0 м и при x = 5 м необходимо определить моменты в других промежуточных точках, чтобы правильно построить диаграмму изгибающего момента. Диаграмма изгибающего момента балки показана на рисунке 4.5d.

Пример 4.3

Изобразите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента консольной балки, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4. 6а.

Рис. 4.6. Консольная балка.

Решение

Поддерживающие реакции. Схема балки со свободным телом показана на рис. 4.6b. Сначала вычислите реакции на опоре B . Применение условий равновесия предполагает следующее:

Функции сдвигающего усилия и изгибающего момента. Из-за неоднородности распределенной нагрузки в точке B и наличия сосредоточенной нагрузки в точке C три области описывают функции сдвига и момента для консольной балки.Функции и значения поперечной силы ( V ) и изгибающего момента ( M ) в секциях в трех областях на расстоянии x от свободного конца балки следующие:

Сегмент AB 0 < x <2 футов

В = −3 x

Когда x = 0, В = 0

Когда x = 1, В = −3 тысяч фунтов

Когда x = 2 фута, В = −6 тысяч фунтов

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 1 фут, M = -1. 5 кип. фут

Когда x = 2 фута, M = −6 тысяч фунтов. фут

Сегмент BC 2 фута < x <3 фута

В = −3 (2) = −6 тысяч фунтов

Когда x = 2 фута, M = −6 тысяч фунтов. фут

Когда x = 3 фута, M = −12 тысяч фунтов. фут

Сегмент CD 3 фута < x <4 фута

V = - (3) (2) - 10 = −16 тысяч фунтов

M = - (3) (2) ( x - 1) - 10 ( x - 3)

Когда x = 3 фута, M = −12 тысяч фунтов.фут

Когда x = 4 фута, M = −28 тысяч фунтов. фут

Расчетное усилие сдвига можно частично проверить с помощью опорных реакций, показанных на диаграмме свободного тела на рис. 4.6b.

Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента показаны на рисунках 4.6c и 4.6d. Важно помнить, что всегда будет резкое изменение диаграммы силы сдвига при наличии сосредоточенной нагрузки в балке. Числовое значение изменения должно быть равно значению сосредоточенной нагрузки. Например, в точке C , где сосредоточенная нагрузка в 10 тысяч фунтов находится в балке, изменение силы сдвига на диаграмме поперечных сил составляет 16 k - 6k = 10 тысяч фунтов. Диаграмма изгибающего момента представляет собой кривую на участке AB и прямые линии на участках BC и CD .

Пример 4.4

Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балки с выступом, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.7а.

Рис. 4.7. Балка с вылетом.

Решение

Поддерживающие реакции. Реакции опор показаны на схеме балки со свободным телом на рис. 4.7b. Они вычисляются с применением следующих условий равновесия:

Функции сдвига и изгибающего момента. Из-за сосредоточенной нагрузки в точке B и выступающей части CD , три области рассматриваются для описания функций сдвигающей силы и изгибающего момента для выступающей балки. Выражение для этих функций в разделах внутри каждого региона и основные значения в конечных точках каждого региона следующие:

0 < x <3

В = 25-8 x

Когда x = 0, В = 25 тысяч фунтов

Когда x = 3, В = 1 тысячу фунтов

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 3, M = 39 тысяч фунтов.фут

3 < x <6

В = 25 - 14 - 8 x

Когда x = 3, В = −13 тысяч фунтов

Когда x = 6, В = −37 тысяч фунтов

М =

Когда x = 3, M = 39 k. фут

Когда x = 6, M = −36 тысяч фунтов. фут

0 < x <2

В = 10 + 8 x

Когда x = 0, В = 10 тысяч фунтов

Когда x = 2, В = 26 тысяч фунтов

М =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 2, M = −36 тысяч фунтов. фут

Диаграмма срезающего усилия и изгибающего момента. Определенная диаграмма силы сдвига и момента в конечных точках каждой области показана на Рисунке 4.7c и Рисунке 4.7d. Для точного построения кривой изгибающего момента иногда необходимо определить некоторые значения изгибающего момента в промежуточных точках, вставив некоторые расстояния внутри области в полученную функцию для этой области. Обратите внимание, что в месте сосредоточенных нагрузок и на опорах числовые значения изменения силы сдвига равны сосредоточенной нагрузке или реакции.

Пример 4.5

Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балки с выступом, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.8a. Определите положение и величину максимального изгибающего момента.

Рис. 4.8. Балка с вылетом.

Решение

Поддерживающие реакции. Реакции на опорах балки показаны на диаграмме свободного тела на рис. 4.8b. Реакции рассчитываются с использованием следующих уравнений равновесия:

Функции сдвига и изгибающего момента. Из-за неоднородности оттенков распределенных нагрузок на опоре B для описания и функций момента рассматриваются две области размером x , как показано ниже:

0 < x <4

В =

Когда x = 0, V = 6,10 кН

Когда x = 2, V = 1,1 кН

Когда x = 4, V = −13,9 кН

М =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 2, M = 8.87 кН. м

Когда x = 4, M = −2,3 кН. м

0 < x <1,5

В = 2 x

Когда x = 0, В = 0

Когда x = 1,5, В = 3 кН

M = - (2) ( x )

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 1,5 м, M = −2,3 кН. м

Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента.Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента показаны на рисунках 4. 8c и 4.8d. Обратите внимание, что значения поперечной силы на опорах равны значениям опорных реакций. Также обратите внимание на диаграмму, что сдвиг в области AB, представляет собой кривую, а сдвиг в области BC является прямым, что соответствует параболической и линейной функциям, соответственно полученным для областей. Диаграммы изгибающего момента для обеих областей криволинейны.Кривая для области AB более глубокая, чем кривая для области BC . Это связано с тем, что полученная функция для области AB является кубической, а для области BC - параболической.

Положение и величина максимального изгибающего момента. Максимальный изгибающий момент возникает там, где сила сдвига равна нулю. Как показано на диаграмме усилия сдвига, максимальный изгибающий момент возникает в части AB . Приравнивание выражения для поперечной силы для этой части к нулю дает следующее:

Величину максимального изгибающего момента можно определить, положив x = 2. 21 м в выражение для изгибающего момента для участка AB . Таким образом,

Пример 4.6

Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для составной балки, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.9a.

Рис. 4.9. Составная балка.

Решение

Схема свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рис. 4.9b.

Классификация строения. Составная балка имеет r = 4, м = 2 и f i = 2.Поскольку 4 + 2 = 3 (2), структура статически определима.

Обозначение первичной и дополнительной структуры. Принципиальная схема взаимодействия элементов балки показана на рисунке 4.9c. Часть AC является первичной структурой, а часть CD - дополнительной структурой.

Анализ комплементарной структуры.

Поддержка реакции.

C y = D y = 25 кН, из-за симметрии нагрузки.

Сила сдвига и изгибающий момент.

0 < x <0,5

V = 25 кН

M = 25 x

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 0,5, M = 12,5 кН. м

Анализ первичной структуры.

Поддерживающие реакции.

Отрицательный подразумевает реакцию на A действует вниз.

Функции поперечной силы и изгибающего момента.

0 < x <1

В = 25 + 14 x

Когда x = 0, V = 25 кН

Когда x = 1, V = 39 кН

М =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 1, M = −32 кН. м

0 < x <2

В = −2 - 14 x

Когда x = 0, В = −2 кН

Когда x = 2, V = −30 кН

М =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 2, M = −32 кН. м

Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента для основной и вспомогательной частей составной балки показаны на рисунках 4.9d и 4.9e.

Пример 4.7

Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для рамы, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4.10a.

Рис. 4.10. Рамка.

Решение

Схема свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рисунке 4.10а.

Поддерживающие реакции. Реакции на опоре балки можно рассчитать следующим образом, рассматривая диаграмму свободного тела и используя уравнения равновесия:

Функции сдвига и изгибающего момента балки BC.

0 < x 1 <3

В = 0

М = 0

3 < x 2 <6

V = 20 кН

M = −20 ( x - 3)

Когда x = 3, M = 0

Когда x = 6, M = -60 кН. м

Обратите внимание, что расстояние x до секции в выражениях находится от правого конца балки.

Функции сдвига и изгибающего момента колонны AB.

0 < x 3 <10

В

Когда x = 0, В = 0

Когда x = 10, V = 50 кН

М =

Когда x = 0, M = -60 кН.м

Когда x = 10, M = −226,67 кН. м

Обратите внимание, что расстояние x до секции на колонне находится от верха колонны и что аналогичный треугольник использовался для определения интенсивности треугольной нагрузки в секции колонны, как показано ниже:

Диаграммы усилия сдвига и изгибающего момента. Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента для рамы нанесены на график, как показано на рисунке 4.10c и рис. 4.10d.

Пример 4.8

Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для рамы, подверженной нагрузкам, показанным на рисунке 4. 11a.

Рис. 4.11. Рамка.

Решение

Схема свободного тела. Схема балки со свободным телом показана на рис. 4.11b.

Поддерживающие реакции. Реакции на опоры рамы можно рассчитать, рассматривая диаграмму свободного тела всей рамы и части рамы.Вертикальные реакции опор в точках A и E вычисляются с учетом равновесия всей рамы следующим образом:

Знак минус указывает, что A y действует вниз, а не вверх, как предполагалось изначально.

С учетом равновесия части CDE рамы горизонтальная реакция опоры в точке E определяется следующим образом:

Опять же, учитывая равновесие всего кадра, горизонтальная реакция на A может быть вычислена следующим образом:

Сдвигающий и изгибающий момент колонн каркаса.

Сила сдвига и изгибающий момент в колонне AB.

0 < x 1 <10 футов

В = 13-2 x

Когда x = 0, В = 13 тысяч фунтов

Когда x = 10 футов, В = −7 тысяч фунтов

М =

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 10 футов, M = 30 тысяч фунтов. фут

Когда x = 5 футов, M = 30 тысяч фунтов.фут

Сила сдвига и изгибающий момент в колонне ЕД.

0 < x 2 <10 футов

В = 7 тысяч фунтов

M = 7 x

Когда x = 0, M = 0

Когда x = 10 футов, M = 70 тысяч фунтов. фут

Моменты сдвига и изгиба балки каркаса.

Сила сдвига и изгибающий момент в балке BC .

0 < x 3 <4 футов

В = −7.5 тысяч фунтов

M = −7,5 x + 13 (10) - 2 (10)

Когда x = 0, M = 30 тысяч фунтов фут

Когда x = 4 фута, M = 0

Сила сдвига и изгибающий момент в балке CD .

0 < x 4 <4 футов

В = −17,5 тысяч фунтов

M = 17,5 x - 7 (10)

Когда x = 0, M = −70 тысяч фунтов. фут

Когда x = 4 фута, M = 0

Расчетные значения силы сдвига и изгибающего момента для рамы показаны на рисунках 4.11c и 4.11d.

Краткое содержание главы

Внутренние силы в балках и рамах: Когда на балку или раму действуют внешние поперечные силы и моменты, в элементе развиваются три внутренних силы, а именно нормальная сила ( Н, ), поперечная сила ( V ) и изгибающий момент ( M ).Они показаны на следующем рисунке.

Нормальная сила : Нормальная сила в любом сечении балки может быть определена путем сложения горизонтальных нормальных сил, действующих с обеих сторон сечения. Если равнодействующая нормальной силы стремится переместиться в сторону сечения, это рассматривается как сжатие и обозначается как отрицательное. Однако, если он имеет тенденцию отходить от секции, это рассматривается как напряжение и обозначается как положительное.

Сила сдвига : Сила сдвига в любом сечении балки определяется как сумма всех поперечных сил, действующих по обе стороны от сечения. Условные обозначения, принятые для поперечных сил, приведены ниже. Диаграмма, показывающая изменение поперечной силы вдоль балки, называется диаграммой поперечной силы.

Изгибающий момент : изгибающий момент в секции балки может быть определен путем суммирования момента всех сил, действующих по обе стороны секции. Условные обозначения для изгибающих моментов показаны ниже. Графическое изображение изгибающего момента, действующего на балку, называется диаграммой изгибающего момента.

Взаимосвязь между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом: Между распределенными нагрузками, поперечными силами и изгибающими моментами существует следующая взаимосвязь.

Практические задачи

4.1. Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для балок, показанных на рисунках с P4.1 по P4.11.

Рис. P4.1. Луч.

Рис. P4.2. Луч.

Рис.P4.3. Луч.

Рис. P4.4. Луч.

Рис. P4.5. Луч.

Рис. P4.6. Луч.

Рис. P4.7. Луч.

Рис. P4.8. Луч.

Рис. P4.9. Луч.

Рис. P4.10. Луч.

Рис. P4.11. Луч.

4.2. Нарисуйте диаграммы силы сдвига и изгибающего момента для рам, показанных на рисунках с P4.12 по P4.19.

Рис. P4.12. Рамка.

Рис. P4.13. Рамка.

Рис. P4.14. Рамка.

Рис. P4.15. Рамка.

Рис. P4.16. Рамка.

Рис. P4.17. Рамка.

Рис. P4.18. Рамка.

Рис. P4.19. Рамка.

Лучевые реакции и диаграммы - Приложение «Сопротивление материалов для энергетики»

Схемы

Цели обучения

В конце этой главы вы должны уметь:

  • Определение реакции свободно опертых, выступающих и консольных балок
  • Рассчитайте и начертите диаграммы силы сдвига и изгибающего момента балок, подверженных сосредоточенным нагрузкам, равномерно распределенным нагрузкам и их комбинациям.

Балки обзор

Балки - это конструкционные элементы для различных инженерных применений, таких как крыши, мосты, механические узлы и т. Д. В целом балки являются тонкими, прямыми, жесткими, изготовлены из изотропных материалов и, что наиболее важно, подвергаются нагрузкам, перпендикулярным их продольной оси. Если вместо перпендикулярных нагрузок тот же элемент конструкции будет подвергаться продольным нагрузкам, он будет называться колонной или стойкой. Если тот же самый элемент будет подвергаться крутящему моменту, он будет называться и рассматриваться как вал.Поэтому при определении механических или конструктивных компонентов очень важно учитывать способ нагрузки.

Обратите внимание, что когда дело доходит до ориентации, балки могут быть горизонтальными, вертикальными или с любым наклоном между ними (например, погруженные пластины, анализируемые в гидромеханике)… при условии, что нагрузка перпендикулярна их главной оси.

Опоры балок:

Нагрузки на балку :

Нагрузки Символ Примеры Покрытый
Точка, также называемая
  • колеса автомобиля
  • столбца
  • человек на трамплине
Есть
Равномерное распределенное
  • балка масса
  • Снеговая нагрузка на ферму крыши
Есть
Переменная Распределенная
  • гидростатическая нагрузка на подводную поверхность
  • свая из заполнителя
  • Балка переменного сечения
Есть
Концентрированные моменты

Типы балок:

Решение для лучевых реакций

При решении для реакций рекомендуются следующие шаги:

  1. Нарисуйте схему тела без балки
  2. Замените равномерно распределенную нагрузку (если есть) эквивалентной точечной нагрузкой
  3. Решите ΣM A = 0 (сумма моментов относительно опоры A). Это даст вам R B (реакция на поддержку B).
  4. Решите ΣM B = 0. Это даст вам R A .
  5. Используя R A и R B , найденный на шагах 3 и 4, проверьте, удовлетворяется ли ΣV = 0 (сумма всех вертикальных сил).
    1. Обратите внимание, что шаги 4 и 5 можно поменять местами.
    2. Для консольной балки используйте ΣV = 0, чтобы найти вертикальную реакцию на стене, и ΣM wall = 0, чтобы найти моментную реакцию на стене. Другого уравнения для подтверждения ваших результатов нет.

Диаграммы поперечных сил и изгибающих моментов

Обратите внимание:

«Сдвиговые силы - это внутренние силы, развивающиеся в материале балки для уравновешивания приложенных извне сил для обеспечения равновесия всех частей балки.

Изгибающие моменты - это внутренние моменты, возникающие в материале балки для уравновешивания тенденции внешних сил вызывать вращение любой части балки ». [3]

Сила сдвига в любом сечении балки может быть найдена путем суммирования всех вертикальных сил слева или справа от рассматриваемого сечения.

Точно так же изгибающий момент в любом сечении балки может быть найден путем сложения моментов слева или справа от рассматриваемого сечения. точка поворота в тот момент, является расположение в стадии рассмотрения.

По соглашению внутренние сдвигающие силы, действующие вниз, считаются положительными. Они противодействуют восходящим внешним силам. Следовательно, при представлении поперечных сил вы можете нарисовать их в направлении внешних сил. Это визуально проще, чем следовать условным обозначениям.

Моменты по часовой стрелке обычно считаются отрицательными, а моменты против часовой стрелки - положительными. При представлении изменения изгибающего момента обратитесь к следующей таблице, в которой показаны качественные кривые изгибающего момента в зависимости от формы графиков поперечной силы.

.

При построении диаграмм поперечных сил и изгибающих моментов важны условные обозначения, но решающее значение имеет согласованность. Например, рассмотрим простую балку, нагруженную точечной нагрузкой, приложенной к нагрузке UD.Запуск диаграмм на опоре A, глядя на страницу, выдаст следующее:

Теперь переверните луч горизонтально на 180 ° (или измените точку наблюдения, глядя на луч с противоположной стороны) и начертите диаграммы, начиная с той же точки A. Диаграммы будут выглядеть следующим образом:

Обратите внимание, что, хотя диаграммы поперечных сил выглядят как зеркальные изображения (перевернутые по горизонтали), на диаграмму изгибающего момента это не влияет. Кроме того, наиболее важный результат этого анализа показывает, что значения максимальной силы сдвига и изгибающего момента всегда будут одинаковыми.

КПП КПП

При построении схем балок необходимо учитывать следующее:

Диаграммы поперечных сил:

  • На концах свободно опертой балки поперечная сила равна нулю.
  • У стены консольной балки поперечная сила равна вертикальной реакции у стены. На свободном конце балки поперечная сила равна нулю.
  • На любом сегменте балки, где отсутствуют нагрузки, поперечная сила остается постоянной (горизонтальная линия).
  • Точечная нагрузка или реакция на диаграмме поперечных сил вызывает резкое изменение графика в направлении приложенной нагрузки.
  • Равномерно распределенная нагрузка, действующая на балку, представляет собой прямолинейную поперечную силу с отрицательным или положительным наклоном, равную нагрузке на единицу длины.

Диаграмма изгибающих моментов:

  • На концах свободно опертой балки изгибающие моменты равны нулю.
  • У стенки консольной балки изгибающий момент равен моменту реакции.На свободном конце изгибающий момент равен нулю.
  • В месте, где поперечная сила пересекает нулевую ось, соответствующий изгибающий момент имеет максимальное значение.
  • Форма кривой изгибающего момента между двумя точками балки показана в двух приведенных выше таблицах.
  • Изменение изгибающего момента между двумя точками балки равно площади под диаграммой поперечных сил между теми же двумя точками.

Приведенные выше рекомендации помогут вам в построении диаграмм направленности; они также служат проверкой.

Назначенные задачи

Рассчитайте реакции балки и нарисуйте диаграммы поперечной силы и изгибающего момента для следующих балок.

При решении диаграмм пучка в классе и дома вы можете проверить свои ответы с помощью бесплатного онлайн-калькулятора пучка: SkyCiv Cloud Engineering Software

Задача 1: Укажите максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента.

Задача 2: Укажите максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента.

Проблема 3: Балка длиной 24 метра просто опирается на 3 метра с каждого конца. Балка несет точечную нагрузку 18 кН на левом конце и 22 кН на правом конце балки. Балка весит 400 кг / м. Нарисуйте схемы балок и определите место на балке, где изгибающий момент равен нулю.

Задача 4: Простая свисающая балка длиной 112 футов выступает над левой опорой на 14 футов. Балка несет сосредоточенную нагрузку в 90 тысяч фунтов на 12 футов от правого конца и равномерно распределенную нагрузку в 12 тысяч фунтов / фут на 40 футов. раздел с левого конца.Нарисуйте схемы балок и определите поперечную силу и изгибающий момент на участке в 50 футах от левого конца.

Задача 5: Предложите улучшение для этой главы.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.