Прямая это в геометрии: § Геометрия в начальной школе. Основы геометрии. Точка , прямая , отрезок , ломаная

Содержание

Урок 1. прямая и отрезок — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 1

Прямая и отрезок

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Исторические сведения о возникновении и предмете изучения геометрии, значение геометрии.
  • Знакомство с особенностями геометрических задач, аксиомами и теоремами.
  • Различие между плоскими и пространственными фигурами;
  • Формулировка основных определений и описание понятий: «отрезок», «расстояние между двумя точками», «принадлежит прямой» и «лежит между».
  • Взаимное расположение трёх точек, прямых.
  • Изображение с помощью чертежных инструментов прямых, отрезков, лучей.
  • Измерение расстояния на местности провешиванием прямой.

Тезаурус:

Геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и отношений между ними.

Отрезок – это часть прямой, ограниченная точками, вместе с этими точками.

Концы отрезка – это точки, ограничивающие отрезок.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

«Геометрия – неотъемлемая часть мировой сокровищницы человеческой мысли», – однажды сказал российский математик Игорь Фёдорович Шарыгин.

С этих слов мы и начнём изучать новый раздел математики, который называется геометрия.

Геометрия – одна из древнейших наук, которая возникла из потребностей человека. Её название состоит из двух древнегреческих слов: гео – земля и метрео – измеряю, получается: «землю измеряю». Действительно, слово «геометрия» связано с измерениями, как на земельных участках, так и при строительстве зданий. Многие факты добывались опытным путем, поэтому геометрия не являлась точной наукой во времена своего зарождения.

Геометрические сведения стали доказываться только благодаря древнегреческому учёному Фалесу, который жил в VI веке до нашей эры.

Спустя некоторое время, уже в III веке до нашей эры, другой греческий учёный Евклид написал «Начала». Эта книга стала основой изучения геометрии на долгое время, а наука в честь учёного была названа евклидовой геометрией.

Сегодня геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и отношений между ними.

В школе изучается два курса геометрии – планиметрия, в ней рассматриваются свойства фигур на плоскости, и стереометрия, в ней рассматриваются свойства фигур в пространстве.

Аксиомы планиметрии.

В каждой науке есть свои термины, понятия, геометрия не исключение. В геометрии есть основные положения, которые принимаются в качестве исходных и носят название аксиом и основные понятия, определение которым не даётся, например, точка и прямая, но их свойства выражены в аксиомах. Это всё является фундаментом геометрии, на котором строятся другие понятия и доказываются теоремы.

Рассмотрим некоторые из аксиом.

1. Аксиомы принадлежности.

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.

2. Аксиомы расположения.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Аксиомы измерения.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

В целом аксиомы разделены на 5 групп, 3 из которых, частично, представлены вашему вниманию.

В 7 классе вы будете изучать планиметрию. Давайте перечислим некоторые понятия из этого раздела геометрии. Поговорим о точках, прямых, отрезках, вспомним, как они обозначаются.

Обычно прямую обозначают малой латинской буквой (например, a), а точки большими латинскими буквами, например, A.

Если на прямой отметить точки, например, A и B, то прямую в можно обозначить двумя заглавными буквами AB или BA.

Часть прямой, ограниченной точками, включая эти точки, называют отрезком. В нашем случае получаем отрезок AB или BA.

Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. В нашем случае концами отрезка являются точки A и B.

Варианты взаимного расположения точек и прямой: точки могут лежать на прямой или не лежать на ней.

Например, точки A и B лежат на прямой a, точки C и D не лежат на прямой a. При этом в записи используют следующее обозначение:

Это можно прочитать таким образом: «точка A и B принадлежат прямой a (ϵ – знак принадлежности), также точки C и D не принадлежат прямой a (перечёркнутый знак принадлежности)».

При этом через точки А и В нельзя провести прямую, не совпадающую с прямой а, из этого делаем вывод, что через любые две точки можно провести только одну прямую.

Рассмотрим, как располагаются прямые на плоскости.

Прямые могут иметь только одну общую точку, тогда говорят, что прямые пересекаются или не иметь общих точек, тогда говорят, что прямые не пересекаются.

прямые пересекаются – прямые не пересекаются

Провешивание прямой.

Решим задачу. Построим с помощью линейки отрезок длиннее, чем она сама. Приём, который мы будем использовать, называется провешиванием прямой.

Рассмотрим, в чём он заключается. Для этого приложим к листу бумаги линейку и отметим три точки А, В, С, при этом, точка С пусть лежит между точками А и В. Далее передвинем линейку так, чтобы её конец оказался около точки С, отметим точку D. Все построенные точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Теперь проведём отрезок АВ, потом отрезок ВD, в результате получим отрезок АD длиннее, чем линейка.

Для построения на местности отмечают две точки, например, А и В, ставят в них шесты (вехи), третий шест ставят в точку С так, чтобы её закрывали уже ранее поставленные шесты.

Так можно прокладывать линии высоковольтных передач, трассы и т. д.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Сколько отрезков образуется при пересечении прямых на рисунке?

Объяснение:

Посмотрите на рисунок. На нём изображены 4 пересекающиеся прямые, точки пересечения разбивают прямые на отрезки: прямая с разбивается на 3 отрезка АЕ, АВ, ЕВ. Аналогично все прямые разбиваются на 3 отрезка. В результате получаем, что каждая из четырёх прямых, разбивается точками пересечения на 3 отрезка, значит: 4 · 3 = 12

Ответ: 12.

2. Выберите правильные варианты ответа. С чем пересекается прямая m?

Варианты ответа:

с прямой n

с отрезком АВ

с отрезком СL

с отрезком АС

Решение: при выполнении задания, нужно помнить, что прямая бесконечно продолжается в обе стороны, а отрезок ограничен точками, поэтому, если продолжить прямую m и n, то становится понятно, что они пересекутся между собой. Кроме того, прямая m пересечётся и с отрезком АВ. Следовательно, получается 2 ответа: прямая m пересекается с прямой n и отрезком АВ.

Ответ: прямая m пересекается с прямой n; прямая m пересекается с отрезком АВ.

Прямая: обозначение и свойства | Геометрия

Прямая линия — это линия, не имеющая неровностей, скруглений и углов. Прямая линия бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца. В геометрии прямая линия называется просто прямой.

Для изображения прямой на бумаге используется линейка. Чтобы начертить прямую, надо провести черту вдоль края линейки:

Так как прямая бесконечна, то какой бы длины не была проведена черта, она будет изображать только часть прямой.

Обозначение прямой

Прямая обозначается одной маленькой латинской буквой, например прямая  a,  или двумя большими латинскими буквами, поставленными при любых двух точках, лежащих на этой прямой, например прямая  AB:

Обратите внимание, что точки на прямой можно обозначать короткими чёрточками.

Свойства прямой

1. Через любые две точки можно провести только одну прямую линию.

Это основное свойство прямой. Оно часто используется на практике, для прокладывания прямых линий с помощью двух каких-либо объектов.

2. Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на той же плоскости.

3. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

4. Есть точки лежащие на прямой и не лежащие на ней.

Точки  N  и  M  лежат на прямой  a.  Точка  L  не лежит на прямой  a.

Для записи принадлежности точки к прямой используется символ принадлежности —  .  Например, запись  M ∈ a  обозначает, что точка  M  принадлежит прямой  a.  Для того, чтобы указать что точка не принадлежит прямой можно использовать символ  .  Например, запись  L ∉ a  обозначает, что точка  L  не принадлежит прямой  a.

5. Из трёх разных точек, лежащих на одной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.

На рисунке изображена прямая с тремя точками  AB  и  C,  лежащими на ней. Про эти точки можно сказать:

точка  B  лежит между точками  A  и  C,  точка  B  разделяет точки  A  и  C

или

точки  A  и  C  лежат по разные стороны от точки  B.

Также можно сказать:

точки  B  и  C  лежат по одну сторону от точки  A,  они не разделяются точкой  A

или

точки  A  и  B  лежат по одну сторону от точки  C.

6. Две прямые, лежащие на одной плоскости, или пересекаются друг с другом в одной точке, или являются параллельными.

Точки, прямые и отрезки — урок. Геометрия, 7 класс.

Введение в геометрию

 

Название нового предмета ГЕОМЕТРИЯ произошло от древнегреческих слов ЗЕМЛЯ и ИЗМЕРЕНИЕ.

Наука геометрия — одна из самых древних наук, и возникла в связи с практической необходимостью в измерениях, проведении границ, строительстве дорог и зданий, а сейчас мы знаем геометрию как науку, которая изучает свойства геометрических фигур.

 

В дальнейшем будут определения для разных фигур, кроме двух — точка и прямая. С помощью этих фигур мы определим все остальные геометрические фигуры, а точку и прямую можем попытаться только представить: точку — как что-то бесконечно малое, а прямую — как что-то бесконечно простирающееся в обе стороны.

 

Точки обозначаются большими латинскими буквами, прямые обозначаются малыми латинскими буквами. Словами описать взаимное расположение точек и прямой можно по разному:

            1.  точка находится (лежит) на прямой, или прямая проходит (проведена) через точку;

            2.  точка не находится (не лежит) на прямой, или прямая не проходит (не проведена) через точку.

 

В геометрии эти факты записываются символически:

            1. точки \(A\) и \(B\) находятся (лежат) на прямой \(a\), или

                прямая \(a\) проходит (проведена) через точки \(A\) и \(B\) — A∈a   и   B∈a;

            2. точки \(C\) и \(D\) не находятся (не лежат) на прямой \(a\),

                или прямая \(a\) не проходит (не проведена) через точки \(C\) и \(D\) — C∉a   и   D∉a.

Одно из самых важных предположений в геометрии — через любые две точки можно провести прямую, притом только одну.

Значит, иногда обозначить прямую можем и двумя большими латинскими буквами, например, прямая \(AB\), так как никакая другая прямая через эти две точки не может быть проведена.

 

Следовательно, две прямые могут иметь только одну общую точку и пересекаться или не иметь ни одной общей точки и никогда не пересекаться.

Символически записываем a∩b=A.

 

Символически записываем c∥d.

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Символически записываем отрезок \(AB\).

 

Внимательно посмотри на рисунок!

 

Обрати внимание!

1) Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются, отрезки \(CD\) и \(DE\) имеют общий конец,

    отрезки \(AB\) и \(HF\), \(AB\) и \(DE\), \(CD\) и \(HF\) , \(HF\) и \(DE\) не пересекаются.

2) Все прямые — \(a\), \(b\) и \(c\) — пересекаются!

Так как мы представляем прямую как бесконечно простирающуюся в обе стороны, то рано или поздно эти прямые будут пересекаться, несмотря на то, что на рисунке этого не видно.

Мы можем нарисовать только часть бесконечных прямых.

Прямая — это… Что такое Прямая?

Прямая — одно из основных понятий геометрии, то есть точного универсального определения не имеет.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

  • Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
  • Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.
  • В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
  • Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
или .

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где , и  — произвольные постоянные, причем постоянные и не равны нулю одновременно. Вектор с координатами точки называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и образующей угол с положительным направлением оси :

Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси

Получение уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и ось в точке :

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой

где  — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а  — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси и направлением этого перпендикуляра. Если , то прямая проходит через начало координат, а угол задаёт угол наклона прямой.

Вывод нормального уравнения прямой  

Если прямая задана общим уравнением то отрезки и отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент расстояние прямой от начала координат и выражаются через коэффициенты , и следующим образом:

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие В этом случае и являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если заданы две несовпадающие точки с координатами и , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

или

или в общем виде

Получение векторного параметрического уравнения прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой Параметр пробегает все действительные значения.

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где  — производный параметр,  — координаты и направляющего вектора прямой. При этом

Смысл параметра аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

где  — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах и :

или

Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

Числа и называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где  — радиус-вектор некоторой фиксированной точки лежащей на прямой,  — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором),  — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

где  — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой;  — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где  — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой;  — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой[уточнить] в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:
и

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

Векторное уравнение прямой в пространстве[1]:196-199:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой :

где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

Отклонение точки от прямой может быть найдено по формуле

где знак перед радикалом противоположен знаку Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент этой точки может быть найден по формуле

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке

Угол между пересекающимися прямыми определяется формулой

При этом под понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами , , , и ) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если или , и перпендикулярны, если или .

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением можно выразить уравнением При этом расстояние между этими прямыми будет равно

Если знак перед радикалом противоположен то будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Если и , то прямые и перпендикулярны.

См. также

Примечания

Ссылки

Линии — геометрия и искусство

Кандинский систематизировал свои взгляды на живопись в книге «Точка и линия на плоскости» (1926). Изучая геометрические формы, художник нашёл, что с их помощью можно усиливать или ослаблять свойства цвета. Для  этой картины он использовал приглушённую палитру, смещённую к цветам, расположенным в одной части спектра.

Цитаты из книги:
ЛИНИЯ
Геометрическая линия – это невидимый объект. Она – след перемещающейся точки, то есть ее произведение. Она возникла из движения – а именно вследствие уничтожения высшего, замкнутого в себе покоя точки. Здесь произошел скачок из статики в динамику.
Таким образом, линия – величайшая противоположность живописного первоэлемента – точки. И она с предельной точностью может быть обозначена как вторичный элемент.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ
Силы, приходящие извне, преобразовавшие точку в линию, могут быть различными. Разнообразие линий зависит от числа этих сил и их комбинаций.
В конце концов [происхождение] всех форм линий можно свести к двум случаям:
1. приложение одной силы и
2. приложение двух сил:
а) одно- или многократное поочередное воздействие обеих сил,
б) одновременное воздействие обеих сил.

ПРЯМАЯ
Если одна приходящая извне сила перемещает точку в каком-либо направлении, то возникает первый тип линии, причем выбранное направление остается неизменным, и сама линия стремится двигаться по прямому пути бесконечно.
Это – прямая, представляющая в своем напряжении самую сжатую форму бесконечной возможности движения.

Среди прямых мы выделяем три типа, по отношению к которым все прочие прямые – лишь отклонения.
1. Простейшая форма прямой – это горизонталь. В человеческом представлении она соответствует линии или поверхности, на которой человек стоит или передвигается. Итак, горизонталь – это холодная несущая основа, которая может быть продолжена на плоскости в различных направлениях. Холод и плоскостность – это основные звучания данной линии, она может быть определена как кратчайшая форма неограниченной холодной возможности движения.
2. Полностью противоположна этой линии и внешне, и внутренне стоящая к ней под прямым углом вертикаль, в которой плоскостность заменяется высотой, то есть холод – теплом. Таким образом, вертикаль является кратчайшей формой неограниченной теплой возможности движения.
3. Третий типичный вид прямой – это диагональ, которая схематичным образом под равным углом отклоняется от обеих вышеназванных и тем самым имеет к обеим равное тяготение, что и определяет ее внутреннее звучание, равномерное соединение холода и тепла. Итак: кратчайшая форма неограниченной тепло-холодной возможности движения…

Что такое прямая: определение, свойства, взаимное расположение

В данной публикации мы рассмотрим, из себя представляет прямая (на плоскости), перечислим ее основные свойства, а также приведем варианты взаимного расположения двух прямых.

Определение прямой

Прямая – это не искривляющаяся линия, которая не имеет ни начала, ни конца. Обычно обозначается двумя общепринятыми способами:

  • Маленькой латинской буквой (a, b, c и т.д.)
  • Двумя заглавными латинскими буквами, которые являются названиями точек, через которые проходит прямая.Данные точки образуют отрезок AB, являющийся частью прямой.

Взаимное расположение прямых

Если мы рассматриваем две прямые на плоскости, то они могут по-разному располагаться по отношению друг к другу:

  1. Параллельные прямые – не пересекаются, следовательно, у них нет общих точек. Параллельность в геометрии обозначается двумя вертикальными черточками. В нашем случае записывается так: AB || CD.
  2. Пересекающиеся прямые – как следует из названия, линии пересекаются и имеют одну общую точку (на рисунке ниже – это точка O).
  3. Перпендикулярные прямые – пересекаются под прямым углом (90 градусов). Перпендикулярность линий обозначается специальными символом – ⊥. То есть пишем таким образом: AB ⊥ CD.

Примечание: в трехмерном пространстве прямые могут быть скрещивающимися, т.е. лежащими в разных плоскостях.

Свойства прямой

  1. Через любую точку можно провести бесконечное количество прямых.
  2. Через любые две точки, которые не совпадают, можно провести прямую, причем только одну.
  3. Две прямые на плоскости являются либо параллельными, либо пересекающимися (в т.ч. перпендикулярными).
  4. Если две любые точки прямой лежат на определенной плоскости, значит все точки данной прямой принадлежат этой же плоскости.

точка, прямая, отрезок, луч, ломаная линия

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий  учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры. 

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.

Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.

Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.

Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.

Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.

Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Прямые и изогнутые линии — Геометрия

Давным-давно (плюс-минус 2000 лет) существовала культура, которой мы обязаны значительной частью математики, которую мы знаем сегодня: Древняя Греция. Наиболее важный вклад, вероятно, был внесен Евклидом, который собрал всю информацию, которая была известна о математике в то время, и скомпилировал ее в книгах под названием Элементы . Он не только собирал и систематизировал математику, но также «логически» организовал, или, скажем так, создал систему, которая организовывала контентный материал в соответствии с его подразумеваемой логикой (дедуктивное рассуждение).Так в игру вступили аксиомы и теоремы… (из аксиомы следует теорема), представляете, насколько это было важно? Трудно понять…

Евклид зарезервировал большую часть своих книг для g eometry (грекам это нравилось!). Фактически, именно в этом разделе его работы оставались нетронутыми до 19 века (но теперь все дело в высшей математике). . Итак, действительно, то, что мы сегодня изучаем в школе, началось более двух тысяч лет назад!

Сегодняшний пост посвящен изучению прямых и изогнутых линий, как Евклид изучал много лет назад.

Есть много способов определить прямые и изогнутые линии; наиболее подробный способ их определения следующий:

  • Прямая линия — это последовательность точек, выровненных в одном направлении. Или, другими словами, чтобы перейти от одной точки к другой, мы никогда не меняем направления.
  • Напротив, точки кривой линии меняют направление от одной точки к другой.

Мы можем наблюдать эти линии на следующем изображении:

Но это не единственный способ их определить! Оригинальный способ (и тот, который они используют в настоящее время в математике) больше похож на метод, который использовал сам Евклид.Подумайте о двух моментах на листе бумаги. Сколько способов вы можете перейти от одной точки к другой?

Если нет препятствий, есть множество способов сделать это… например:

И это еще не все! Верно? Итак, вот ключевой вопрос: какая линия из всех линий, которые мы можем провести, самая короткая? Другими словами: какой кратчайший путь из пункта А в пункт Б? Вот и все! Последняя строка, синяя.Вот как мы определяем прямую линию.

Между двумя точками линия, соединяющая их, является прямой, если это кратчайшее возможное расстояние между ними.

Если линия не является кратчайшим расстоянием между двумя точками, это кривая линия.

Но подождите! А как насчет второй линии, которую мы нарисовали? Это особый случай, потому что это не одна строка, а несколько строк.

  • Линия, соединяющая A и C.
  • Линия, соединяющая C и D.
  • Линия, соединяющая D и E.
  • Линия, соединяющая E и B.

Итак, нам все еще нужно знать, что такое линия… как мы узнаем, есть ли у нас одна или несколько линий? Здесь все становится немного сложнее, но я постараюсь объяснить это изо всех сил.

Вообще говоря, линия не может иметь углов (это то, что мы называем производной в математике). Если линия имеет угол, это не одна линия, а несколько линий.В нашем примере у нас есть 3 угла.

Теперь мы можем разделить то, что мы сначала назвали линией, на несколько частей, потому что «линия, соединяющая A с B» больше не правильная, потому что это не линия!

Как вы думаете, сколько прямых линий можно провести между A и B? Всего один, правда? Зато можно нарисовать много изогнутых линий! Евклид и все математики, последовавшие за ним, долгое время думали так же. До тех пор, пока в 19-м веке не появился человек по имени Гаусс, который подумал … так что же произойдет, если я положу A и B на сферу? Например, самолет, который вылетает из Бостона в Мумбаи, не может следовать по прямой (при условии, что мы не можем проложить туннель), так какой же путь он выберет? И самое главное, существует ли еще один?

Мы рассмотрим эту загадку в одном из следующих постов…

Между тем, если вы хотите продолжить изучение математики, создайте учетную запись на Smartick!

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

геометрия — Геометрические определения: Что такое прямая линия? Что такое круг?

geometry — Геометрические определения: что такое прямая линия? Что такое круг? — Обмен математическими стеками

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

  1. 0

  2. +0

  3. Авторизоваться
    Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено
13к раз

$ \ begingroup $

Закрыто. Вопрос не по теме. В настоящее время он не принимает ответы.


Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме форума Mathematics Stack Exchange.

Закрыт 4 года назад.

Что такое прямая линия? Мне нужно его геометрическое определение.Уравнение прямой мне известно. Я говорю о прямой плоскости 2 $ D.

Что такое круг? Мне нужно его геометрическое определение. Уравнение круга мне известно.

Я знаю, что в геометрии $ 2 $ D есть алгебраическая и геометрическая стороны.
Мне нужно было геометрическое объяснение. И я думал, что точки образуют прямую линию. Нормально ли так думать?

Какой-то парень

2,7879 золотых знаков1111 серебряных знаков2828 бронзовых знаков

Создан 25 янв.

ReekMathsReekMaths

77133 золотых знака77 серебряных знаков1717 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

3

$ \ begingroup $

Прямая линия — это путь кратчайшего расстояния между двумя точками, хотя «прямая» и «точка» обычно аксиоматически рассматриваются как «примитивы».

Окружность — это совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки (данная точка является центром результирующего круга).

Создан 25 янв.

amWhyamWhy

1k130130 золотых знаков256256 серебряных знаков475475 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

18

$ \ begingroup $

прямая
геометрическое место точки без изменения направления — прямая линия.

круг: геометрическое место точки, образующей замкнутую кривую и поддерживаемое на одинаковом расстоянии от фиксированной точки (центра)

Создан 04 июл.

$ \ endgroup $

2

$ \ begingroup $

Любая ограниченная и связная двумерная фигура с более чем одной точкой, каждая из которых неотличима друг от друга, называется кругом .

Любая неограниченная и связная одномерная фигура, все точки которой неотличимы друг от друга, называется линией .

Создан 16 мар.

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Прямая линия — это линия, очерченная точкой в ​​постоянном направлении.
Геометрическое место всех отслеживаемых точек, находящихся на постоянном расстоянии r от точки c, называется окружностью с центром c и радиусом r

Создан 23 апр.

$ \ endgroup $

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Прямая математика, геометрия

Хорошей отправной точкой в ​​изучении базовой геометрии является изучение прямой линии.Что можно рассматривать как тип формы.

Хотя они часто могут показаться простыми и неинтересными на первый взгляд, прямые линии иногда могут быть довольно увлекательными для работы в математике.

Некоторые из наиболее распространенных фигур не только в математике, но и в мире вокруг нас, образованы прямыми линиями. Прямые линии могут быть простыми, но они так распространены в нашей повседневной жизни.

Страницы ниже охватывают основные свойства, связанные с прямой математикой, и дают примеры вычислений и сумм, которые могут быть задействованы.


Прямые математические страницы

• & nbsp Формула расстояния, формула средней точки

Введение в использование формулы расстояния для определения расстояния прямой линии, а также примеры того, как установить середину прямой линии.

• & nbsp Уклон / градиент прямой

Наклон / градиент прямой линии — это значение, которое может быть установлено несколькими способами.

• & nbsp График уклона, неопределенный уклон, плоский уклон

Наклон прямой линии можно изобразить, если мы знаем значение градиента и координаты точки на прямой.

• & nbsp Уравнение прямой

Как составить и интерпретировать уравнение прямой.

• & nbsp Прямой график / построение графиков линейных неравенств

Как построить прямолинейный график, а также демонстрации построения графиков линейных неравенств.

• & nbsp Уравнение прямой линии с точечным уклоном

Введение в форму точечного наклона для уравнения прямой.

• & nbsp Коллинеарность, точка пересечения

Определение коллинеарности между точками, и как найти точку пересечения двух прямых.

• & nbsp Серединный перпендикуляр, высота над уровнем моря, медиана

Три специфические прямые линии, которые можно найти в треугольниках.

  1. Дом


  2. Прямая математика


Вернуться к началу страницы

Геометрия: прямые линии

Геометрия: прямые линии

ç Индекс геометрии


Заболеваемость

Существует уникальная ( прямая ) линия , проходящая через любые две заданные точки.Если P и Q — точки, мы обозначаем полную линию,
простираясь за точки P и Q до границ нашего видения, на PQ. Эта часть линии между двумя точками на нем, включая две
точек как конечных точек называется сегментом линии , обозначенным PQ. Длина отрезка PQ — это расстояние
между точками P и Q пишется d (P, Q) или просто PQ, когда смысл ясен. Отрезок прямой — это кратчайший путь между двумя точками.

Есть уникальная точка, общая для любых двух пересекающихся прямых. Это следствие свойства в предыдущем абзаце,
поскольку если бы две линии встретились в двух точках, не было бы уникальной линии между этими двумя точками. Если a, b — прямые, обозначим точку через ab.

Две линии, которые не пересекаются в пределах нашего видения, являются либо сближающимися , либо параллельными . Чтобы сказать, двое ли
прямые или параллельные, мы проводим пару прямых из точки O, а не на прямых, чтобы пересекать прямые в P, P ‘, Q, Q’.Тогда P-Q и P’-Q ‘параллельны, если PQ / OQ = P’Q’ / OQ ‘, и сходятся, если эти отношения не равны.

Поперечное соотношение

Если карандаш из четырех прямых пересекается трансверсалью в четырех точках P, Q, R, S и другой трансверсалью в P ‘, Q’, R ‘, S’,
если PP ‘, QQ’, RR ‘, SS’ являются коллинеарными парами точек, тогда PQ.RS/PR.QS = P’Q’.R’S ‘/ P’R’.Q’S’. Это соотношение называется крестовым отношением .
(или ангармоническое отношение ) и является свойством карандаша, одинаковым для всех трансверсалей.


Гармоническая конфигурация

Если U, V и M — три точки на линии, а P — любая точка не на линии, то мы можем объединить PU, PV, PM и выбрать любую точку O на PM.
Тогда, скажем, линии VO, UO встретятся с PU в X и PV в Y. Теперь линия XY будет либо параллельна UV, и в этом случае M будет средней точкой .
UV, иначе XY и UV будут сближены или встретятся в точке N. Эта точка N называется гармоническим сопряжением M относительно UV.С точки зрения расстояний это означает, что M и N делят длину UV внутри и снаружи в одинаковом соотношении. То есть UM / MV = UN / NV.

Эта гармоническая конфигурация , таким образом, обеспечивает метод построения сопряженной гармоники, который зависит только от пересечения
свойства прямых линий без необходимости измерения расстояний. Это проективная конструкция
для гармонического сопряжения.


Тот факт, что M никогда не может быть идентичным N в гармонической конструкции, известен как Принцип Фано , который часто рассматривается как
Аксиома.Это означает, что XYM не может быть прямой линией. Другими словами, это означает, что конфигурация из 7 точек в 7 строках с 3 точками на каждой.
линия и 3 линии через каждую точку невозможны в нормальной евклидовой геометрии.

Расположение N точек в N строках с M точками на каждой линии и M линиями через каждую точку, мы называем фруктовым садом типа (N, M).
Таким образом, Фано говорит нам, что сад типа (7, 3) невозможен. Гармоническая конфигурация состоит из 8 точек и 7 линий.

Конфигурация Паппуса

Фруктовый сад типа (8, 3) тоже невозможен. Первый случай, который возможен в евклидовой геометрии, — это случай (9, 3), проиллюстрированный здесь.
Эта конфигурация иллюстрирует теорему Паппа : если есть три точки (A, B, C) на одной линии и три соответствующие точки
(D, E, F) на другой прямой, то шесть прямых, соединяющих пары несоответствующих точек (AE, BD) (AF, CD) (BF, CE), попарно пересекаются в
точки (X, Y, Z), лежащие на одной прямой.


В особых случаях линии могут быть сближенными или параллельными, а не пересекаться. Например, если AE параллельно BD, то YZ также будет
параллельно этим двум линиям. Если AE || BD и BF || CE, то CD || AF.

Эта конфигурация включает девять линий и девять точек. Любые две строки из трех можно принять как данность, а затем определить
другие три.

Конфигурация Dual Pappus

Свойства прямых и точек относительно пересечений (или падения) во многих отношениях симметричны.Это отношение симметрии
называется дуальностью . Например, две точки определяют уникальную линию, проходящую через них, а две линии определяют уникальную точку, лежащую на
они (либо сходятся, либо параллельны). Многие теоремы о точках и прямых останутся верными, если в формулировке
теорема.


Двойная теорема Паппа гласит: Если abc и def являются параллельными или параллельными тройками строк, то три строки, соединяющие
пары пересечений (ae) (bd) и (af) (cd) и (bf) (ce) также образуют одновременную или параллельную тройку (xyz).Другими словами: если два треугольника
в перспективе с двух разных точек, тогда они в перспективе с третьей точки.

Обеспечивает альтернативную посадку (9, 3) фруктового сада.

Конфигурация Дезарга

Теорема, открытая Жираром Дезаргом (1593 — 1662) и опубликованная им в 1648 году, может быть кратко сформулирована следующим образом: Два треугольника (или более сложные
фигуры) находятся в перспективе с точки тогда и только тогда, когда они находятся в перспективе с линии. Двумя цифрами в перспективе от точки
мы имеем в виду, что прямые (AD, BE, CF), соединяющие соответствующие точки на двух рисунках, пересекаются в точке (O).Двумя цифрами в перспективе от
Линия
означает, что точки (BC.EF, CA.FD, AB.DE), в которых пересекаются соответствующие прямые на двух рисунках, лежат на одной прямой (XYZ).


Конфигурацию Дезарга можно интерпретировать как перспективный чертеж трехмерной конфигурации. Строки OAD, OBE, OCF
края треугольной пирамиды и треугольники ABC и DEF представляют собой плоские сечения пирамиды. Тогда точки X, Y, Z лежат на прямой
пересечения этих двух плоскостей.

Эта конфигурация включает 10 линий и 10 точек в строго самодвойственных отношениях.

Особые случаи этой конфигурации возникают, когда некоторые из линий параллельны. Когда два треугольника ABC и DEF расположены со сторонами, параллельными
(т.е. AB || DE, BC || EF, CA || FD), то прямые, соединяющие соответствующие вершины, параллельны или параллельны. И наоборот, если в перспективе два треугольника
от точки или если прямые, соединяющие соответствующие вершины, параллельны и две пары сторон параллельны, тогда третья пара также параллельна.[Гильберт, стр.71-71]

Конфигурация Сева-Менелай

Это «сжатая» версия конфигурации Дезарга. Вершины (A ‘, B’, C ‘) одного из треугольников в перспективе из точки (O)
лежат на сторонах другого треугольника (A, B, C).

Для любого треугольника ABC и точки O не на его сторонах, остальная часть конфигурации может быть построена просто путем соединения точек пересечения.
Линия XYZ называется трилинейной полярной (или гармонической линией ) точки O относительно ABC.Наоборот, учитывая треугольник ABC и любую прямую
XYZ пересекает его стороны, остальная часть фигуры может быть построена. Точка O тогда является трехлинейным полюсом (или гармонической точкой ) XYZ.
относительно ABC.

На этом рисунке гармоническая конструкция видна трижды. Точки X, Y, Z являются гармоническими сопряженными точками A ‘, B’, C ‘соответственно.
относительно BC, CA, AB.


Теорема Менелая , данная Менелаем Александрийским (1 век нашей эры) в его книге Spherics , гласит:
Если XYZ — трансверсаль треугольника ABC, то XA.YC.ZB = XC.YB.ZA; это продукт трех альтернативных сегментов, взятых циклически
равен произведению трех других. Наоборот, если соотношение выполняется, то XYZ коллинеарны.

Теорема Чевы , данная Джованни Чева в его книге De Lineis Rectis (1678), гласит:
Если прямые AO, BO, CO пересекаются с противоположными ребрами в точках A ‘, B’, C ‘, то CB’.BC’.AA’ = B’B.C’A.A’C и наоборот, если это соотношение
три строки являются параллельными.

Конфигурация двойной шестерки

Конфигурация «двойная шестерка» состоит из 12 линий по 5 точек, пересекающихся попарно.Этот шаблон также возможен в трех измерениях, где
отмеченные точки являются единственными точками пересечения.


Геометрия Глава 1 Карточки

Срок Определение

Точка — это геометрическая фигура, образованная на пересечении двух различных линий.

[изображение]

Срок Определение

Линия — это прямой путь, соединяющий две точки, продолжающийся бесконечно в обоих направлениях.

[изображение]

Срок Определение

Сегмент — это линия, которая начинается в первой точке и заканчивается в последней точке.

[изображение]

Срок Определение

Луч — это часть линии, начинающейся в одной точке и бесконечно продолжающейся в одном направлении.

[изображение]

Срок Определение

Плоскость — это двумерная поверхность, продолжающаяся бесконечно во всех направлениях.

[изображение]

Срок Определение

Противоположные лучи — это лучи, которые начинаются в общей точке и расходятся в совершенно противоположных направлениях.

[изображение]

Срок Определение

Коллинеарность — это когда более одной точки разделяют одну линию.

[изображение]

Срок Определение

Копланарность — это когда более одной точки разделяют плоскость.

[изображение]

Срок Определение

Угол s — это два луча, имеющих общую точку, которые проходят в разных направлениях. [Изображение]
Срок Определение

Средняя точка — это точка на полпути между двумя заданными точками.

[изображение]

Срок Определение

Биссектриса — это линия или луч, которые делят угол на две равные половины.

[изображение]

Срок Определение

Конгруэнтность — это когда две геометрические фигуры имеют одинаковую меру.

[изображение]

Срок Определение

Вершина — это угловая точка геометрической фигуры.

[изображение]

Срок Определение

Острый угол — это угол, размер которого меньше 90 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Тупой угол — это угол, размер которого превышает 90 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Прямой угол — это угол, размер которого равен точно 90 градусам.

[изображение]

Срок Определение

Прямой угол — это угол с точностью до 180 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Дополнительные углы — это смежные углы, сумма углов которых составляет 90 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Дополнительные углы — это смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Вертикальные углы — это совпадающие противоположные углы, которые имеют общую вершину.

[изображение]

Срок Определение

Соседние углы — это углы, которые имеют общую сторону и вершину.

[изображение]

Срок Определение

Линейная пара состоит из двух углов, общая сумма которых составляет 180 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Перпендикулярные линии — это две прямые, пересекающиеся под углом 90 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Многоугольник — это замкнутая фигура, состоящая как минимум из трех отрезков линии.

[изображение]

Срок Определение

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами.

[изображение]

Срок Определение

Четырехугольник — это многоугольник с 4 сторонами.

[изображение]

Срок Определение

Пятиугольник — это многоугольник с пятью сторонами.

[изображение]

Срок Определение

Шестигранник — это многоугольник с 6 сторонами.

[изображение]

Срок Определение

Восьмиугольник — это многоугольник с восемью сторонами.

[изображение]

Срок Определение

Десятиугольник — это многоугольник с десятью сторонами.

[изображение]

Срок Определение

Додекагон — это многоугольник с двенадцатью сторонами.

[изображение]

Срок Определение

A n -gon — это многоугольник, который при замене n числом, показывающим, сколько сторон имеет форма.

8-угольник = восьмиугольник

Срок Определение

Вогнутый — это когда хотя бы один из внутренних углов многоугольника превышает 180 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Выпуклый — это когда внутренние углы многоугольника не превышают 180 градусов.

[изображение]

Срок Определение

Обычный — это когда все углы и стороны многоугольника совпадают.

[изображение]

Срок Определение

Нерегулярный — это когда все углы и стороны многоугольника не совпадают.

[изображение]

Срок Определение

Диагональ — это длина между двумя точками многоугольника, которые не образуют стороны.

[изображение]

Срок Определение

Сторона — это отрезок линии между двумя соединенными точками многоугольника.

[изображение]

Срок Определение

peremter — это сумма всех сторон многоугольника.

[изображение]

Нет прямых линий или идеальных кругов

В материальной реальности нет идеальных форм

Прямых линий и идеальных кругов на самом деле не существует; они математические абстракции. [1]

Следовательно, не существует идеальной линии или круга во всей вселенной (и если вы не считаете несовершенные формы, которые постоянно меняются на квантовом и молекулярном уровне, как «идеальные»).

На самом деле, все объекты — трехмерные объекты в пространстве-времени, состоящие из квантов, без исключений.

Мы можем представить прямую линию или идеальный круг с помощью математики (основа геометрии), или мы можем аппроксимировать ее на бумаге или с помощью компьютера (визуальная часть геометрии), но мы никогда не сможем создать прямую линию или круг.

К счастью, аппроксимация позволяет нам приблизиться к геометрии. Чем дальше мы вычисляем число и чем больше пикселей мы используем, тем ближе линии становятся прямыми, а круги становятся идеальными, но, увы, по-настоящему идеальной формы никогда не создается.

Подобно «бесконечности», которая хорошо представлена ​​в пи при вычислении отношения длины окружности к ее диаметру, прямые и окружности (и, следовательно, все идеальные формы) являются метафизическими и теоретическими. Это концепции, которые говорят с реальными вещами, но сами они не являются реальными физическими объектами.

Идея идеальных форм — это своего рода трансцендентная рациональная вещь как метафизики, так и физики.

Проще говоря, в материальной реальности не бывает идеальных форм.

MUSING : Итак, «геометрия — это ложь» или «мы неправильно понимаем вселенную, ища идеальные отражения всех наших рациональных идей в материальной вселенной?» Или C, ни то, ни другое.

«Все, что вы учили в школе как« очевидное », становится все менее и менее очевидным, когда вы начинаете изучать Вселенную.Например, во Вселенной нет твердых тел. Нет даже намека на твердый. Абсолютных континуумов не существует. Нет поверхностей. Нет прямых линий ». — Цитаты Р. Бакминстера Фуллера. (Изначально эта цитата была посвящена аналогичной теме на Quora; здесь она была переиздана). [2]

Может ли круг быть прямой? | Пространство-время | PBS Digital Studios. Круг может быть прямой линией, но прямых линий и кругов не существует.Это все простая физика.

ФАКТ : «Все по сути легкое». Не говоря уже о неизвестных, таких как темная материя, все, что известно во Вселенной, — это «масса-энергия в движении» с некоторыми свойствами. Одним из свойств материи и ее строительных блоков является электромагнитный заряд. Учитывая, что электромагнетизм «это свет», мы можем очень свободно сказать «все по существу легкое». Свет — это квантовая частица, фотон, искажение электромагнитного поля. Он всегда беспрепятственно движется со скоростью света в одном направлении, но его природа — одно из вероятных мест в поперечной волне.Его не существует как определенное место или прямая линия. Таким образом, ничто, сделанное из этого важного материала, также не может быть прямой линией (на самом деле, это все в своей основе квантом). Ни графит, ни пиксели, ни сама природа не могут создать прямую линию или действительно идеальную кривую. Таким образом, идеальные формы — невозможные объекты.

ФАКТ : Единственная реальная форма — это , по сути, фрактал (хаотическая форма). Все идеальные формы приблизительны.

ФАКТ : Согласно тесно связанной идее, нельзя возвести круг в квадрат, используя только конечное число шагов с помощью циркуля и линейки.Геометрия занимается представлением идеальных форм с помощью математики, а не напрямую с идеальными формами. [3]

В квадрате круга — Numberphile. Вы можете возвести круг в квадрат, но вы не можете возвести его в квадрат, сделав только конечное число шагов с помощью циркуля и линейки.

Не бывает идеальной линии, квадрата, круга или формы в целом (если только несовершенные формы можно считать идеальными).

Геометрия

: Прямая математическая серия от Remedia

Уровень оценки: 7+
Уровень интереса: Н / Д
Уровень чтения: Н / Д

Темы включают: Конгруэнтные цифры; Свойства многоугольника; Теорема Пифагора; Периметр, площадь и объем.Включены практика, обзор и тестирование. Ключ ответа включен в эту 96-страничную книгу.

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1: Конгруэнтные фигуры
Конгруэнтные треугольники

  • Свойство сторона-сторона-сторона
  • Свойство бокового угла-стороны
  • Свойство «Угол-угол-угол»

Конгруэнтные прямоугольные треугольники

  • Свойство «Нога-Нога»
  • Свойство «Угол Ноги»
  • Свойство Гипотенуза-Угол

Неоднозначные случаи
Обзор
Приложения

ГЛАВА 2: Свойства многоугольников

Треугольники и доказательства

  • Неравенства треугольников
  • Середины Стороны

Трапеции

  • Равнобедренные трапеции
  • Середины сторон

Параллелограммы

  • Углы параллелограмма
  • Диагонали параллелограмма

Прямоугольник

Угол

Угол

Угол

Угол внутри многоугольника Правильные многоугольники

90 002 Внешние углы многоугольников

  • Определение количества сторон многоугольника

Обзор
Приложения

ГЛАВА 3: Теорема Пифагора
Обращение к теореме Пифагора
Самая длинная диагональ прямоугольника Сплошная
Площадь равностороннего треугольника
Особый Прямые углы

  • 45 ° -45 ° -90 ° Треугольники
  • Треугольники 30 ° -60 ° -90 °

Обзор
Приложения

ГЛАВА 4: Измерение: периметр, площадь, объем
Периметр

  • Неправильные многоугольники
  • Квадраты
  • Прямоугольники
  • Круги

Площадь

  • Прямоугольники
  • Квадраты
  • Параллелограммы
  • Треугольники
  • Трапеции
  • Круги
  • Неправильные формы

Примыкания объема

  • Цилиндры
  • Сферы

Review
Applications

ГЛАВА 5: Сходства многоугольников
Свойство Angle-Angle-Angle
Свойство Side-Side-Side
Свойство Side-Angle-Side
Applications
Сходства и измерения

Review
Applications

ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА

ОТВЕТЫ

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *