Проверить является ли функция решением дифференциального уравнения: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,

где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.

Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении
уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.

Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен
быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением
того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка
является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе
этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий
и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F.
Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением
в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по
определению

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

.

Решая два последних равенства, можем записать

.

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

.

Так как

,

получим

,

что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой
уравнение в полных дифференциалах.

Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
того, чтобы выражение было
полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы .
Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную
производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы —
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

,

где — пока неизвестная функция от y.

Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы
— по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла).
Таким образом так же восстанавливается функция F:

,

где — пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y
(в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

,

а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем
(в альтернативном варианте )

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти
(в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет
вид F(x, y) = C.

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки — принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл
произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную
двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.

Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится
за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения
находится как производная «действующей» переменной, умноженной на константу.

Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость — примеры с экспонентой. Таков следующий пример.
Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.

В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

Differential Equations | Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Язык Wolfram позволяет решать обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и уравнения с запаздыванием.

Функция DSolveValue возвращает решение дифференциального уравнения в общем виде:

(C[1] — константа интегрирования.)

In[1]:=
sol = DSolveValue[y'[x] + y[x] == x, y[x], x]
Out[1]=

Используем символ /. для замены константы:

In[2]:=
Out[2]=

Или добавим начальные условия для получения частного решения:

In[3]:=
DSolveValue[{y'[x] + y[x] == x, y[0] == -1}, y[x], x]
Out[3]=

Функция NDSolveValue позволяет находить численные решения:

In[1]:=
NDSolveValue[{y'[x] == Cos[x^2], y[0] == 0}, y[x], {x, -5, 5}]
Out[1]=

Объект InterpolatingFunction можно визуализировать без дополнительной обработки:

In[2]:=
Out[2]=

Для решения систем дифференциальных уравнений, необходимо использовать списки для задания уравнений и условий:

(Обратите внимание, что перенос уравнений на новую строку не влияет на результат. 3,
x[0] == y[0] == 1},
{x, y}, {t, 20}]

Out[1]=

Построим решения системы в виде параметрического графика:

In[2]:=
ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, 20}]
Out[2]=

Справочная информация: Дифференциальные уравнения »

Первые интегралы

6.1Уравнения в полных дифференциалах

6.1.1Напоминание: дифференциал функции нескольких переменных

Нам нужно вспомнить некоторые понятия многомерного математического анализа, возможно, посмотрев на них под новым углом.

Пусть f:Rn→R — некоторая функция от точки x=(x1,…,xn). (В этой главе мы будем обозначать полужирным шрифтом объекты из многомерных пространств, чтобы не путать их с координатами.) Если эта функция
достаточно «хорошая», у неё есть частные производные ∂f∂x1,…,∂f∂xn, а если она совсем хорошая, то для любого вектора
v=(v1,…,vn) справедливо равенство:

f(x+v)−f(x)=∂f(x)∂x1v1+…+∂f(x)∂xnvn+o(∥v∥),

где ∥v∥ — какая-нибудь норма вектора v (например, сумма модулей его
координат). Здесь предполагается, что норма вектора v достаточно маленькая для
того, чтобы левая часть равенства была определена.

Давайте посмотрим на это равенство повнимательнее. В левой части написана
разность значений функции f в точках x и x+v. Если откинуть
o(∥v∥), в правой части останется выражение, зависящее от точки x и
вектора v, причём оно зависит от вектора v линейно, поскольку при
фиксированном x является просто линейной комбинацией координат вектора
v.
Иными словами, здесь сказано, что при изменении точки x на вектор v значение
функции f меняется примерно как значение линейной функции от вектора v. Чем
меньше норма вектора v, тем точнее равенство. Сама линейная функция зависит от
точки x.

Итак, выражение в правой части является дифференциальной 1-формой. Она обычно обозначается символом df. Дадим формальное определение.

Здесь x∈Rn — точка в n-мерном пространстве и v∈Vn —
вектор, также из n-мерного линейного пространства.

Итак, дифференциал на самом деле — это дифференциальная 1-форма.

Напомним, что мы ранее определяли координатные функционалы: если в
пространстве Vn задан базис и вектор v имеет координаты v=(v1,…,vn), можно определить функционалы dxk(v)=vk. В этих обозначениях
дифференциал запишется так:

df(x,v)=∂f(x)∂x1dx1(v)+…+∂f(x)∂xndxn(v).

Обычно зависимость от v не указывают и пишут просто:

df(x)=∂f(x)∂x1dx1+…+∂f(x)∂xndxn.

6.1.2Дифференциал и скорость

Напомним механический смысл производной в одномерном случае. Пусть f:R→R — некоторая дифференцируемая числовая функция одной
переменной x. Рассмотрим следующий вопрос:Вопрос 1.
С какой скоростью меняется значение f при x=x0?

Если задать этот вопрос любому человеку, знакомому с математическим анализом, он
мгновенно ответит «производная же!». И будет прав, но лишь отчасти. Производная
f′(x0) действительно является мгновенной скоростью изменения f, но лишь в
том случае, когда x является временем. Иными словами, это ответ на такой
вопрос:

Вопрос 2.
С какой скоростью меняется значение f в момент времени x=x0, если x —
это время?

Можно предложить другую интерпретацию вопроса 1: не отождествлять
x со временем, а предположить, что x само зависит от времени t, то есть
x есть функция от t. Пусть x(t0)=x0. В этом случае получится такой
вопрос:

Вопрос 3.
С какой скоростью меняется значение функции f в тот момент, когда x=x0,
если x зависит от времени: x=x(t).

Ответ на него будет отличаться от ответа на вопрос 2, он даётся теоремой о производной сложной функции.

df(x(t))dt∣∣∣t=t0=f(x)dx∣∣∣x=x0⋅dx(t)dt∣∣∣t=t0=f′(x0)˙x(t0)(6.2)

Таким образом, чтобы ответить на вопрос 3, достаточно знать
производную функции f в точке x0 и скорость, с которой x проходит точку
x0: (никакая другая информация о функции x=x(t) нам не нужна. Если
обозначить эту скорость через v, правая часть (6.2) запишется в
виде

f′(x0)v

Для фиксированной точки x0 это линейная функция от v. Таким образом, перед
нами дифференциальная 1-форма, определённая на одномерном пространстве. Эта
форма называется полным дифференциалом функции f и обозначается df. Как
видим, в случае функции одной переменной дифференциал задаётся просто значением
производной. Однако, это разные понятия: производная — это число, а дифференциал
— это линейная функция. Просто в одномерном мире каждая линейная функция
имеет вид kv и задаётся одним числом, поэтому знания производной достаточно,
чтобы задать дифференциал, и поэтому о дифференциалах функций одной переменной
почти не говорят. Но они есть.

Понятие дифференциала функции нескольких переменных создано, чтобы отвечать на
вопрос 1 для многомерного случая, однако сначала его нужно
правильно задать. Рассматривая функцию одной переменной можно отождествить её
аргумент со временем и рассматривать вопрос 2. Для функций
нескольких переменных это невозможно, поскольку время одномерно. В то же время,
переформулировка вопроса 3 вполне осмысленна. Ответ на него даётся
следующей теоремой.

Теорема 1.
Действительно, пусть x — точка в многомерном пространстве Rn и
функция f:Rn→R определена на этом многомерном
пространстве. Пусть точка x движется со временем, то есть определена
вектор-функция x:R→Rn, x=x(t).
Рассмотрим момент времени t=t0. Пусть x(t0)=x0 и точка x
движется в этот момент со скоростью ˙x(t0)=v. Тогда скорость
изменения функции f в этот момент времени равна значению дифференциала df,
вычисленного в точке x0 на векторе v.
Доказательство. Мы приведём «бескоординатное» доказательство, опирающееся на
определение 1. В параграфе 6.2.3 приводится
доказательство близкого утверждения с помощью координат.

Из определения производной вектор-функции следует, что утверждение
˙x(t0)=v можно переформулировать так:

x(t0+Δt)=x(t0)+Δt⋅v+o(Δt)=x0+Δt⋅v+o(Δt),(6.3)

где o(Δt) — это вектор, каждая из компонент которого является
o(Δt). Это просто векторная форма записи аналогичных утверждений для
каждой из компонент x.

Из формулы (6.1) теперь следует, что
f(x(t0+Δt))=f(x0+Δt⋅v+o(Δt))==f(x0)+df(x0,Δt⋅v+o(Δt))+o(Δt∥v∥)==f(x0)+df(x0,v)Δt+o(Δt).
Мы воспользовались здесь линейностью дифференциала (вынесли из него o(Δt)), а также тем фактом, что o(Δt∥v∥)=o(Δt)
при фиксированном векторе v.

По определению производной функции одной переменной, из получившегося
равенства следует, что производная функции f(x(t)) в точке t=t0
равна df(x0,v), что и требовалось.

6.1.3Поле направлений и линии уровня

Как мы обсуждали в параграфе 5.4.1, дифференциальные формы
задают поля направлений. Возникает естественный вопрос: как устроено поле
направлений, заданное уравнением

dH=0

для некоторой дифференцируемой функции H?

Прежде, чем отвечать на него в общем виде, рассмотрим пример.

Пример 1. Пусть

H(x,y)=x22+y22.

Тогда

dH(x,y)=xdx+ydy.

Поле направлений, заданное уравнением

xdx+ydy=0

выглядит следующим образом: через произвольную точку (x0,y0) проходит прямая,
состоящая из векторов v=(vx,vy), для которых

x0vx+y0vy=0.

Это уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом −x0/y0 при y0≠0, или вертикальную прямую при y0=0,x0≠0.

Легко показать, что для каждой точки (x0,y0) соответствующая прямая
будет перпендикулярной к радиус-вектору этой точки (угловой коэффициент
радиус-вектора равен y0/x0 и если умножить его на угловой коэффициент
прямой, то получится -1).

Таким образом, наше поле направлений выглядит примерно так.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(5, 5))
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
fs = lambda x, y: np.array([-y, x])/np.linalg.norm(np.array([x, y])) 
ob.mquiver(np.linspace(-4, 4, 15), np.linspace(-4, 4, 15),
           fs, color='Teal', pivot='mid', headlength=0, headwidth=0, 
           scale=2, minlength=0, headaxislength=0, scale_units='x')

Заметим, что линии уровня функции H — окружности и наше поле направлений
касается этих окружностей.

Случайное совпадение? А вот и нет.

Утверждение 1. Пусть H:R2→R — некоторая дифференцируемая
функция. Её линии уровня H=const в каждой своей точке касаются поля
направлений, заданного уравнением dH=0.
Доказательство. Давайте вернёмся к определению дифференциала. Значение дифференциала на
некотором векторе показывает, как в первом приближении меняется значение
функции при сдвиге на этот вектор. Линии уровня — это линии, на которых
значение функции не меняется. Если мы хотим двигаться вдоль линии уровня,
нам нужно двигаться в направлении такого вектора, на котором дифференциал
равен нулю. То есть в направлении вектора, лежащего на прямой из нашего поля
направлений. Значит, линия уровня касается поля направлений.

Аккуратное доказательство требует применения теоремы о неявной функции,
но по существу будет повторять это рассуждение.∎

6.1.4Полные дифференциалы

Утверждение 1 даёт новый метод решения дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

dydx=f(x,y)g(x,y)(6.4)

и поле направлений, заданное дифференциальной 1-формой:

f(x,y)dx−g(x,y)dy=0.(6.5)

Согласно упражнению 2 из предыдущей главы, поля
направлений, соответствующие уравнениям (6.4) и (6.5),
совпадают. Как обсуждалось в параграфе 1.3, найти решение
уравнения (6.4) — это всё равно, что найти всевозможные кривые,
касающиеся в каждой своей точке соответствующего поля направления. Может так
случиться, что существует функция H, дифференциал которой dH совпадает с
левой частью уравнения (6.5). В этом случае, согласно
утверждению 1, искомыми кривыми являются линии уровня функции
H. В этом случае решение y=y(x) уравнения (6.4) будет задано как
неявная функция уравнением H(x,y)=C, где константа C зависит от начального
условия.

Определение 2. Уравнение

F(x,y)dx+G(x,y)dy=0(6.6)

называется уравнением в полных дифференциалах, если форма, стоящая в левой
части, является дифференциалом некоторой функции H:

dH(x,y)=F(x,y)dx+G(x,y)dy

Итак, интегральные кривые уравнения в полных дифференциалах совпадают с линиями
уровня функции H.

6.1.5Опознание уравнений в полных дифференциалах

Предположим, что уравнение (6.6) является уравнением в полных
дифференциалах. В этом случае функции F и G являются частными производными
некоторой функции H:

F(x,y)=∂H(x,y)∂xG(x,y)=∂H(x,y)∂y.(6.7)

Если частные производные функции H непрерывны (а мы будем предполагать, что
это так), то её смешанные производные равны:

∂2H(x,y)∂x∂y=∂2H(x,y)∂y∂x

Отсюда следует, что

∂F(x,y)∂y=∂G(x,y)∂x(6. 8)

Это условие является необходимым для того, чтобы уравнение (6.6)
было уравнением в полных дифференциалах. Оказывается, оно же является и
достаточным.
Теорема 2. Если выполняется условие (6.8), то уравнение (6.6)
является уравнением в полных дифференциалах.

Если выполняется условие (6.8), функцию H можно найти следующим
образом: проинтегрировать функцию F по x, полагая y фиксированным; при
этом константа интегрирования будет зависеть от y, и её можно будет найти,
подставив результат интегрирования в уравнение ∂H∂y=G.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

dydx=−2x+3x2yx3−3y2.(6.9)

Ему соответствует уравнение с дифференциальной 1-формой:

(2x+3x2y)dx+(x3−3y2)dy=0.(6.10)

Оно является уравнением в полных дифференциалах, потому что

∂(2x+3x2y)∂y=3×2=∂(x3−3y2)∂x

Найдём H. Для этого зафиксируем y и проинтегрируем условие

∂H(x,y)∂x=2x+3x2y

по x. Имеем:

H(x,y)=∫(2x+3x2y)dx=x2+x3y+C(y).

Заметим, что константа интегрирования здесь зависит от y (мы брали
интеграл при фиксированном y). Подставим теперь H во второе из уравнений
(6.7). Получим:

∂H(x,y)∂y=x3+dC(y)dy=x3−3y2

Слагаемое x3 магическим образом сократится и мы получим уравнение на C,
зависящее только от y (если бы в этом уравнении оказался x, всё бы
сломалось), которое легко решается с помощью интегрирования:

C(y)=∫−3y2dy=−y3

Таким образом, решением дифференциального уравнения (6.9) является
семейство функций y=y(x), задающихся в неявном виде с помощью уравнения

x2+x3y−y3=C

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

x = np.linspace(-4, 4, 200)
y = np.linspace(-4, 4, 200)
x, y=np.meshgrid(x, y)
ob.axes4x4(labels=("x","y"))
levels = np.linspace(-20, 20, 40)
levels = levels**2*np.sign(levels)
plt.contour(x, y, x**2-x**3*y-y**3, levels=levels, cmap='gnuplot')

Итак, мы имеем новый метод решения дифференциальных уравнений — правда, снова не
любых, а только принадлежащих специальному классу. Насколько часто встречаются
уравнения в полных дифференциалах? По правде говоря, не очень часто: условие
(6.8) весьма жёсткое.

Однако, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если функции F и G не обращаются в ноль в некоторой окрестности U
точки (x0,y0), то в ней существует функция I(x,y) (интегрирующий
множитель
), такая что уравнение F⋅dx+G⋅dy=0 становится
уравнением в полных дифференциалах после того, как мы домножим его на I,
то есть существуют такие функции I и H, что I(F⋅dx+G⋅dy)=dH

Это хорошая новость: интегрирующий множитель всегда существует. Плохая новость
состоит в том, что найти его так же сложно, как решить исходное уравнение. Так
что теорема 3 представляет скорее теоретический интерес.
Впрочем, есть приёмы, позволяющие в некоторых ситуациях угадать интегрирующий
множитель, но мы не будем их подробно обсуждать.

6.2Первые интегралы

6.2.1Напоминание: гармонический осциллятор

Напомним уравнение гармонического осциллятора:

¨x=−x.

Ему соответствует система

˙x=y,˙y=−x(6.11)

Которой в свою очередь соответствует уравнение

dydx=−xy.

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

xdx+ydy=0

d(x22+y22)=0

Интегральные кривые этого уравнения (а значит и фазовые кривые исходного
уравнения (6.11)) являются линиями уровня функции
H(x,y)=x22+y22, в просторечии называемыми окружностями.
Таким образом, если (x(t),y(t)) — решение системы (6.11), функция H(x(t),y(t)) не зависит от t. Иными словами, вдоль фазовых кривых нашей системы функция H(x,y) постоянна.
Определение 3. Первым интегралом автономного уравнения

˙x=v(x),x(t)∈Rn(6.12)

называется непрерывная функция H:Rn→R,
определенная на фазовом пространстве, не являющаяся тождественной
константой, и такая, что для любого решения x(t) уравнения
(6.12) выполнено условие H(x(t))=const. Заметим, что
константа может быть разной для разных решений, но всегда не зависит от
t.

Фазовые кривые системы обязаны лежать на линиях уровня первого интеграла,
поэтому знание первого интеграла (для уравнений на плоскости) позволяет многое сказать
о фазовом портрете и поведении решений.

Пример 3. Пусть дана какая-то система дифференциальных уравнений и известно, что её
первый интеграл H(x,y)=xy. Тогда её фазовые кривые лежат на гиперболах,
см. рис. 6.3

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

ob.axes4x4(labels=('x','y'))
plt.figure(figsize=(6,6))
x = np.linspace(-4, 4, 300)
y = np.linspace(-4, 4, 300)
x, y = np.meshgrid(x, y)
plt.contour(x, y, x*y, levels=np.linspace(-16,16,31), cmap='gnuplot')

При этом, однако, только по первому интегралу мы не можем сказать, как
именно линии уровня разбиваются на фазовые кривые и как на них направлены
стрелочки: чтобы ответить на эти вопросы нужно посмотреть на векторное поле
соответствующей системы.

В двумерном фазовом пространстве знание первого интеграла позволяет решить уравнение: из условия H(x,y)=const можно выразить y через x и подставить в одно из уравнений, получив таким образом уравнение уже с одной неизвестной, которое решается по формуле Барроу.

Если же фазовое пространство имеет размерность больше двух, первый интеграл не
позволяет найти даже фазовые кривые: одно равенство задаст поверхность
размерности (n−1) и не будет фазовой кривой. (Пример: равенство x+y+z=0 в
трёхмерном пространстве задаёт плоскость.) Однако в этом случае знание первого
интеграла позволяет уменьшить число фазовых переменных.

Пример 4. Рассмотрим две системы:
˙x=−y,˙y=x˙x=y,˙y=−x(6.13)(6.14)
Они имеют одинаковый первый интеграл: функцию H(x,y)=x2/2+y2/2, фазовые
кривые являются окружностями.Вопрос 4. Как нужно поставить стрелочки на фазовых портретах этих систем?

Пример 5. Рассмотрим две системы:
˙x=−y,˙y=x˙x=−2y,˙y=2x(6.15)(6.16)
Они имеют одинаковый первый интеграл: функцию H(x,y)=x2/2+y2/2.Вопрос 5. Совпадают ли у систем (6.15) и (6.16) фазовые кривые?
А интегральные кривые?

6.2.2Опознание первых интегралов

Задача о нахождении первого интеграла, как водится в этой науке, имеет примерно
такую же сложность, как задача решения соответствующей системы. Впрочем,
обратная задача — проверить, является ли данная функция первым интегралом данной
системы — решается гораздо проще.
Пример 6. Как можно было бы понять, что функция H(x,y)=x2/2+y2/2 является первым
интегралом системы (6.11), не решая её?

Пусть (x(t),y(t)) — некоторое решение системы (6.11).
Рассмотрим функцию

h(t)=H(x(t),y(t)).

Мы хотим показать, что h на самом деле не зависит от t. Для этого
посчитаем производную

dhdt=∂H(x(t),y(t))∂x⋅dxdt+∂H(x(t),y(t))∂y⋅dydt.

Заметим, что мы можем вычислить правую часть этого равенства: частные
производные H по каждой из переменных нам известны, а производные
dxdt и dydt являются просто компонентами правой части
исходной системы. Имеем:

dhdt=x(t)y(t)+y(t)(−x(t))=0.

Следовательно, H действительно первый интеграл.

Чтобы сделать это рассуждение более универсальным, нам потребуется ввести новое
понятие.

6.2.3Производная вдоль векторного поля

Рассмотрим некоторую дифференцируемую функцию F:Rn→R, заданную на фазовом пространстве уравнения (6. 12). (Эта функция
не обязана быть первым интегралом уравнения — просто какая-то дифференцируемая
функция.)

Пусть x=x(t;x0) — решение уравнения (6.12) с
начальным условием x(0;x0)=x0.

Нас интересует, с какой скоростью меняется функция F при прохождении точки
x0 вдоль решения уравнения (6.12).

Определение 4. Производной функции F вдоль векторного поля v называется функция
LvF:Rn→R, определяемая следующим
образом:

(LvF)(x0)=F(x(t;x0))dt∣∣∣t=0.

Мы берём здесь производную в точке t=0, поскольку именно при t=0 решение
проходит через точку x0.

Производная вдоль векторного поля также называется производной Ли.

Производная функции вдоль векторного поля — это новая функция, определённая на
фазовом пространстве. Как найти её значение в некоторой точке x0?
Траектория, проходящая через точку x0, имеет в этой точке вектор
скорости, равный v(x0). Как показано в
параграфе 6.1.2, скорость изменения функции F при
движении
из точки x0 со скоростью, заданной вектором v, определяется как
значение дифференциала dF в точке x0, вычисленного на векторе v. Именно это число и будет значением
LvF(x0).

Приведём ещё одно доказательство этого факта (можно считать его также
альтернативным доказательством теоремы 1).

Теорема 4. Пусть v(x)=(v1(x),…,vn(x)). Тогда

(LvF)(x0)=∂F(x0)∂x1v1(x0)+…+∂F(x0)∂xnvn(x0)=dF(x0,v(x0))=(∇F(x0),v(x0))

Доказательство. Это мгновенно следует из теоремы о производной сложной функции.
Действительно, пусть x(t)=(x1(t),…,xn(t)). Тогда ˙xk(t)=vk(x(t)), k=1,…,n и по указанной теореме
dF(x(t;x0))dt∣∣∣t=0=∂F(x0)∂x1⋅dx1dt∣∣∣t=0+…+∂F(x0)∂xn⋅dxndt∣∣∣t=0==∂F(x0)∂x1v1(x0)+…+∂F(x0)∂xnvn(x0).(6.17)(6.18)

Утверждение 2. Дифференцируемая функция H является первым интегралом системы
(6.12) тогда и только тогда, когда LvH=0.

Доказательство. Очевидно.∎

Пример 7. Рассмотрим систему

˙x=1,˙y=0

Ей соответствует векторное поле

v=(1,0)

Пусть F(x,y) — некоторая функция. Тогда

LvF=∂F∂x⋅1+∂F∂y⋅0=∂F∂x

Пример 8. Рассмотрим систему

˙x=x,˙y=−y.

Ей соответствует векторное поле

v(x,y)=(x,−y)

Пусть F(x,y)=x2+y2. Тогда

LvF=2x⋅x+2y⋅(−y)=2×2−2y2

Как видите, находить производную функции вдоль векторного поля проще, чем понять
определение этого понятия.

6.2.4Локальные и глобальные первые интегралы

Рассмотрим систему

˙x=x,˙y=y(6.19)

Вопрос 6. Существует ли непрерывный первый интеграл этой системы, определенный на всём
пространстве R2?

Напомним, что фазовыми кривыми системы (6.19) являются открытые лучи:
её решения стремятся к началу координат при t→−∞ вдоль этих лучей.

Пусть существует функция F(x,y), являющаяся первым интегралом. У неё есть какое-то значение в точке (0,0). Допустим, не ограничивая общности, что F(0,0)=0. Тогда на фазовой кривой y=2x,x>0 функция F(x,y) также нулевая (потому что предел этой фазовой кривой при t→−∞ как раз (0,0)). Но и все остальные фазовые кривые обладают этим свойством! Поэтому первый интеграл должен быть всюду константой. Но первый интеграл по определению не должен быть константой. (Константа, конечно, не меняется вдоль фазовых кривых любого уравнения, и не несет таким образом никакой информации об уравнении.) Значит, непрерывного глобально определенного первого интеграла в этом случае не существует.

Оказывается, это довольно распространённая ситуация: глобального первого
интеграла может не существовать. Однако, всегда существуют локальные первые
интегралы вне окрестности особых точек. Например, в данном случае вблизи точки
(1,1) в качестве такого первого интеграла можно выбрать функцию y/x.

Вопрос 7. А какую функцию надо выбрать в качестве первого интеграла в окрестности
точки (0,1)?


← Предыдущая глава

Следующая глава →

Введение в дифференциальные уравнения

Введение в дифференциальные уравнения

Здесь мы познакомим вас с некоторыми основными концепциями дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое связывает неизвестную функцию с одной или несколькими ее производными.

Решения для проверки

Первое, что мы узнаем, — это как
проверить решение. Это можно использовать для проверки нашей работы, а также
ввести понятие решения дифференциального уравнения.

Пример 1:

Убедитесь, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения:

У нас есть наше дифференциальное уравнение, y ‘= 3x 2 , и решение, y = x 3 — 4. Что нам с этим делать? Что ж, мы знаем, что такое y, и нам нужно подключить y ‘к дифференциальному уравнению. Чтобы найти y ‘, нам нужно дифференцировать y:

Теперь, когда у нас есть y’, мы можем вставить его в наше дифференциальное уравнение и убедиться, что y является решением:

После подключения y ‘мы видим что уравнение верно; 3x 2 равно 3x 2 .

Пример 2:

Убедитесь, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения:

В этом примере нам потребуются первая и вторая производные от y:

Теперь вставьте y ‘ и y » для проверки:

Эти два равны, поэтому мы проверили решение.

Пример 3:

Убедитесь, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения:

Нам нужны как y, так и y », поэтому нам нужно будет взять вторую производную от y:

Теперь подключите y и y » к дифференциальному уравнению:

Уравнение работает, поэтому мы его проверили.

Начальные условия

Предположим, у нас есть функция с константой C; это представляет собой целое семейство возможных решений дифференциального уравнения. Если у нас есть начальное условие, мы можем определить конкретное C для этого условия.

Пример 4:

Убедитесь, что данная функция является решением
заданного дифференциального уравнения, затем определить значение C так, чтобы y (x) удовлетворял заданному начальному условию.

Они начинаются точно так же; нам нужно проверить
решение.Нам понадобится первая производная y (x):

Теперь подключим y и y ‘к дифференциальному уравнению:

Обе стороны равны, поэтому мы проверили
дифференциальное уравнение. Теперь нам нужно решить для данного начального
условие. Уравнение с C в нем называется общим решением
— уравнение, которое представляет собой все семейство возможных решений.
После того, как мы решаем для данного начального условия, у нас есть частное решение — уравнение, которое решает для конкретного решения.

Дано начальное условие y (0) = 5; нам нужно применить это к y (x), установив его равным 5 и вставив 0 для всех x:

Теперь, когда мы решили для C, мы можем вставить наше значение в y (x):

Это наше частное решение.

Пример 5:

Убедитесь, что данная функция является решением
заданного дифференциального уравнения, затем определить значение C так, чтобы y (x) удовлетворял заданному начальному условию.

Во-первых, нам нужно проверить решение. Для этого нам понадобится y ‘:

Теперь мы подставляем y и y’ в дифференциальное уравнение и проверяем, что они равны:

Теперь, когда мы знаем, что y (x) удовлетворяет данному уравнению , мы можем найти начальное условие. Устанавливая y (x) равным 4 и подставляя 0 для x для решения для C, дает:

Теперь, когда мы знаем, что такое C, мы можем подставить его в y (x), чтобы найти наше конкретное решение:

Дифференциальные уравнения — определения

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-1: Определения

Дифференциальное уравнение

Первое определение, которое мы должны рассмотреть, должно заключаться в дифференциальном уравнении .Дифференциальное уравнение — это любое уравнение, которое содержит производные, обыкновенные производные или частные производные.

Существует одно дифференциальное уравнение, которое, вероятно, известно каждому, — это второй закон движения Ньютона. Если объект массы \ (m \) движется с ускорением \ (a \) и на него действует сила \ (F \), то нам говорит Второй закон Ньютона.

\ [\ begin {уравнение} F = ma \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

Чтобы увидеть, что это на самом деле дифференциальное уравнение, нам нужно его немного переписать.2}}} \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

Где \ (v \) — скорость объекта, а \ (u \) — функция положения объекта в любой момент времени \ (t \). 2}}} = F \ left ({t, u, \ frac {{du}} {{dt }}} \ right) \ label {eq: eq4} \ end {Equation} \]

Итак, вот наше первое дифференциальное уравнение.2 \ partial t}} = 1 + \ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} \ label {eq: eq10} \ end {уравнение} \]

Заказать

Порядок дифференциального уравнения — это наибольшая производная, присутствующая в дифференциальном уравнении. В перечисленных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) — это дифференциальное уравнение первого порядка, \ (\ eqref {eq: eq4} \), \ (\ eqref {eq: eq5} \), \ ( \ eqref {eq: eq6} \), \ (\ eqref {eq: eq8} \) и \ (\ eqref {eq: eq9} \) — дифференциальные уравнения второго порядка, \ (\ eqref {eq: eq10} \ ) — дифференциальное уравнение третьего порядка, а \ (\ eqref {eq: eq7} \) — дифференциальное уравнение четвертого порядка.

Обратите внимание, что порядок не зависит от того, есть ли у вас обыкновенные или частные производные в дифференциальном уравнении.

В этих заметках мы будем рассматривать почти исключительно дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Как вы увидите, большинство методов решения дифференциальных уравнений второго порядка можно легко (и естественно) распространить на дифференциальные уравнения более высокого порядка, и мы обсудим эту идею позже.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением , сокращенно ode, , если в нем есть обыкновенные производные.Точно так же дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных , сокращенно pde, , если в нем есть частные производные. В приведенных выше дифференциальных уравнениях \ (\ eqref {eq: eq3} \) — \ (\ eqref {eq: eq7} \) — это оды, а \ (\ eqref {eq: eq8} \) — \ (\ eqref {eq: eq10} \) являются PDE.

Подавляющее большинство этих заметок относится к одам. y} \).

Коэффициенты \ ({a_0} \ left (t \ right), \, \, \ ldots \, \ ,, {a_n} \ left (t \ right) \) и \ (g \ left (t \ right) \) могут быть нулевыми или ненулевыми функциями, постоянными или непостоянными функциями, линейными или нелинейными функциями. Только функция \ (y \ left (t \ right) \) и ее производные используются при определении, является ли дифференциальное уравнение линейным.

Если дифференциальное уравнение не может быть записано в форме \ (\ eqref {eq: eq11} \), оно называется нелинейным дифференциальным уравнением .

В \ (\ eqref {eq: eq5} \) — \ (\ eqref {eq: eq7} \) только выше \ (\ eqref {eq: eq6} \) нелинейно, два других — линейные дифференциальные уравнения. . Мы не можем классифицировать \ (\ eqref {eq: eq3} \) и \ (\ eqref {eq: eq4} \), так как не знаем, какую форму имеет функция \ (F \). Они могут быть как линейными, так и нелинейными, в зависимости от \ (F \).

Решение

Решение дифференциального уравнения на интервале \ (\ alpha В этой форме ясно, что нам нужно избегать как минимум \ (x = 0 \), так как это даст деление на ноль.

Кроме того, есть общее практическое правило, с которым мы будем работать в этом классе. Это эмпирическое правило: начинайте с реальных чисел, заканчивайте действительными числами. Другими словами, если наше дифференциальное уравнение содержит только действительные числа, нам не нужны решения, дающие комплексные числа. Итак, чтобы избежать комплексных чисел, нам также необходимо избегать отрицательных значений \ (x \).

Итак, мы видели в последнем примере, что даже если функция может символически удовлетворять дифференциальному уравнению, из-за определенных ограничений, вызванных решением, мы не можем использовать все значения независимой переменной и, следовательно, должны наложить ограничение на независимую переменную. . Так будет со многими решениями дифференциальных уравнений.

В последнем примере обратите внимание, что на самом деле существует гораздо больше возможных решений данного дифференциального уравнения.{- \ frac {1} {2}}} \ end {align *} \]

Мы оставим вам детали, чтобы проверить, действительно ли это решения. Можете ли вы предложить какие-либо другие решения дифференциального уравнения на этих примерах? На самом деле существует бесконечное число решений этого дифференциального уравнения.

Итак, учитывая, что существует бесконечное количество решений дифференциального уравнения в последнем примере (при условии, что вы все равно верите нам, когда мы это говорим…), мы можем задать естественный вопрос.Какое решение мы хотим или имеет значение, какое решение мы используем? Этот вопрос подводит нас к следующему определению в этом разделе.

Начальные условия

Начальные условия — это условие или набор условий для решения, которые позволят нам определить, какое решение мы ищем. Начальные условия (часто сокращенно обозначаемые как i.c., когда нам лень …) имеют вид

.

\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0.{\ left (k \ right)}} \ left ({{t_0}} \ right) = {y_k} \]

Другими словами, начальные условия — это значения решения и / или его производной (ей) в определенных точках. Как мы вскоре увидим, решения «достаточно хороших» дифференциальных уравнений уникальны и, следовательно, только одно решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Количество начальных условий, которые требуются для данного дифференциального уравнения, будет зависеть от порядка дифференциального уравнения, как мы увидим.2} y » + 12xy ‘+ 3y = 0 \ hspace {0,25 дюйма} y \ left (4 \ right) = \ frac {1} {8}, \, \, \, \, y’ \ left (4 \ right) = — \ frac {3} {{64}} \]

Пример 4 Вот еще одна IVP.

\ [2t \, y ‘+ 4y = 3 \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, y \ left (1 \ right) = — 4 \]

Как мы отметили ранее, количество требуемых начальных условий будет зависеть от порядка дифференциального уравнения.

Срок действия

Интервал действия для IVP с начальными условиями

\ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \ hspace {0.{\ left (k \ right)}} \ left ({{t_0}} \ right) = {y_k} \]

— это максимально возможный интервал, на котором решение действительно и содержит \ ({t_0} \). Их легко определить, но бывает трудно найти, поэтому мы не будем больше говорить об этом, пока не перейдем к фактическому решению дифференциальных уравнений и не будем нуждаться в интервале достоверности.

Общее решение

Общее решение дифференциального уравнения является наиболее общей формой, которую может принимать решение, и не учитывает никаких начальных условий.2}}} \) — общее решение

\ [2t \, y ‘+ 4y = 3 \]

Мы предоставим вам возможность проверить, действительно ли эта функция является решением данного дифференциального уравнения. Фактически, все решения этого дифференциального уравнения будут в таком виде. Это одно из первых дифференциальных уравнений, которое вы научитесь решать, и вскоре вы сможете убедиться в этом сами.

Фактическое решение

Фактическое решение дифференциального уравнения — это конкретное решение, которое не только удовлетворяет дифференциальному уравнению, но также удовлетворяет заданным начальным условиям. 2}}} \]

Все, что нам нужно сделать, это определить значение \ (c \), которое даст нам решение, которое мы ищем.2}}} \]

Из этого последнего примера мы можем видеть, что как только у нас есть общее решение дифференциального уравнения, нахождение фактического решения является не чем иным, как применением начальных условий и решения для константы (ей), которые находятся в общем решении.

Неявное / явное решение

В этом случае проще определить явное решение, затем рассказать вам, чем не является неявное решение, а затем привести пример, чтобы показать разницу.Итак, вот что мы будем делать.

Явное решение — это любое решение, заданное в форме \ (y = y \ left (t \ right) \). Другими словами, единственное место, где действительно появляется \ (y \), — это когда-то слева и только в первой степени. Неявное решение — это любое решение, которое не указано в явной форме. 2} — 3 \) является фактическим неявным решением для \ (y ‘= \ frac {t} {y}, \, \, \, \, \, y \ влево (2 \ вправо) = — 1 \)

Здесь мы попросим вас поверить в то, что это на самом деле решение дифференциального уравнения.2} — 3} \]

В этом случае нам удалось найти явное решение дифференциального уравнения. Однако следует отметить, что не всегда можно будет найти явное решение.

Также обратите внимание, что в этом случае мы смогли получить только явное фактическое решение, потому что у нас было начальное условие, которое поможет нам определить, какая из двух функций будет правильным решением.

Теперь мы разобрались с большинством основных определений и теперь можем перейти к другим темам.

Точные дифференциальные уравнения

Определение точного уравнения

Дифференциальное уравнение типа

\ [{P \ left ({x, y} \ right) dx + Q \ left ({x, y} \ right) dy} = {0} \]

называется точным дифференциальным уравнением, если существует функция двух переменных \ (u \ left ({x, y} \ right) \) с непрерывными частными производными такая, что

\ [{du \ left ({x, y} \ right) \ text {=}} \ kern0pt {P \ left ({x, y} \ right) dx + Q \ left ({x, y} \ right ) dy.} \]

Общее решение точного уравнения дается

\ [u \ left ({x, y} \ right) = C, \]

где \ (C \) — произвольная постоянная.

Тест на точность

Пусть функции \ (P \ left ({x, y} \ right) \) и \ (Q \ left ({x, y} \ right) \) имеют непрерывные частные производные в некоторой области \ (D. \) Дифференциальное уравнение \ (P \ left ({x, y} \ right) dx + \) \ (Q \ left ({x, y} \ right) dy \) \ (= 0 \) является точным уравнением, если и только если

\ [\ frac {{\ partial Q}} {{\ partial x}} = \ frac {{\ partial P}} {{\ partial y}}.\]

Алгоритм решения точного дифференциального уравнения

  1. Сначала необходимо убедиться, что дифференциальное уравнение является точным, используя тест на точность:

    \ [\ frac {{\ partial Q}} {{\ partial x}} = \ frac {{\ partial P}} {{\ partial y}}. \]

  2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, определяющих функцию \ (u \ left ({x, y} \ right): \)

    \ [\ left \ {\ begin {array} {l}
    \ frac {{\ partial u}} {{\ partial x}} = P \ left ({x, y} \ right) \\
    \ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} = Q \ left ({x, y} \ right)
    \ end {array} \ right.. \]

  3. Проинтегрируем первое уравнение по переменной \ (x. \) Вместо константы \ (C, \) запишем неизвестную функцию от \ (y: \)

    \ [{u \ left ({x, y} \ right) \ text {=}} \ kern0pt {\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right ).} \]

  4. Дифференцируя по \ (y, \), подставляем функцию \ (u \ left ({x, y} \ right) \) во второе уравнение:

    \ [
    {\ frac {{\ partial u}} {{\ partial y}} \ text {=}} \ kern0pt
    {\ frac {\ partial} {{\ partial y}} \ left [{\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right)} \ right]}
    = {Q \ left ({x, y} \ right).}
    \]

    Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции \ ({\ varphi \ left (y \ right)}: \)

    \ [
    {\ varphi ’\ left (y \ right)}
    = {Q \ left ({x, y} \ right)} — ​​{\ frac {\ partial} {{\ partial y}} \ left ({\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx } } \верно).}
    \]

  5. Интегрируя последнее выражение, мы находим функцию \ ({\ varphi \ left (y \ right)} \) и, следовательно, функцию \ (u \ left ({x, y} \ right): \)

    \ [{u \ left ({x, y} \ right) \ text {=}} \ kern0pt {\ int {P \ left ({x, y} \ right) dx} + \ varphi \ left (y \ right ). 2}} \ right) dy \) \ (= 0.3} = C, \]

    где \ (C \) — произвольная постоянная.

    Точные уравнения

    Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, содержащее первую — но не более высокую — производную неизвестной функции. Практически для каждого такого уравнения, встречающегося на практике, общее решение будет содержать одну произвольную константу, то есть один параметр, поэтому IVP первого порядка будет содержать одно начальное условие. Не существует общего метода, который решает каждое уравнение первого порядка, но есть методы для решения конкретных типов.

    Учитывая функцию f ( x, y ) двух переменных, ее полный дифференциал df определяется уравнением

    Пример 1 : Если f ( x, y ) = x 2 y + 6 x y 3 , то

    Уравнение f ( x, y ) = c дает семейство интегральных кривых (то есть решений) дифференциального уравнения

    Следовательно, если дифференциальное уравнение имеет вид

    для некоторой функции f ( x, y ), тогда она автоматически имеет форму df = 0, поэтому общее решение немедленно дается как f ( x, y ) = c .В данном случае

    называется точным дифференциалом , а дифференциальное уравнение (*) называется точным уравнением . Чтобы определить, является ли данное дифференциальное уравнение

    является точным, используйте тест на точность : дифференциальное уравнение M dx + N dy = 0 является точным тогда и только тогда, когда

    Пример 2 : Является ли следующее дифференциальное уравнение точным?

    Функция, которая умножает дифференциал dx , обозначается M ( x, y ), поэтому M ( x, y ) = y 2 -2 x ; функция, которая умножает дифференциал dy , обозначается N ( x, y ), поэтому N ( x, y ) = 2 xy + 1.С

    Тест на точность говорит, что данное дифференциальное уравнение действительно точное (поскольку M y = N x ). Это означает, что существует функция f ( x, y ) такая, что

    , и как только эта функция f найдена, общее решение дифференциального уравнения будет просто

    (где c — произвольная константа).

    После того, как дифференциальное уравнение M dx + N dy = 0 определено как точное, остается единственная задача — найти функцию f ( x, y ) такую, что f x = M и f y = N . Метод прост: интегрировать M относительно x , интегрировать N относительно y , а затем «объединить» два результирующих выражения, чтобы построить желаемую функцию f .

    Пример 3: Решите точное дифференциальное уравнение из Примера 2:

    Сначала проинтегрируйте M ( x, y ) = y 2 — 2 x относительно x (и игнорируйте произвольную «константу» интегрирования):

    Затем интегрируем N ( x, y ) = 2 xy + 1 относительно y (и снова игнорируем произвольную «константу» интегрирования):

    Теперь, чтобы «объединить» эти два выражения, запишите каждый термин ровно один раз, даже если конкретный термин присутствует в обоих результатах.Здесь два выражения содержат члены xy 2 , — x 2 и y , поэтому

    (Обратите внимание, что общий член xy 2 — это , а не , записанный дважды.) Общее решение дифференциального уравнения: f ( x, y ) = c , которое в данном случае становится

    Пример 4: Проверьте следующее уравнение на точность и решите его, если оно точное:

    Сначала перенесите член dx в левую часть, чтобы записать уравнение в стандартной форме:

    Следовательно, M ( x, y ) = y + cos y — cos x и N ( x, y ) = x x sin y .

    Сейчас, с

    Тест на точность говорит, что дифференциальное уравнение действительно точное (поскольку M y = N x ). Чтобы построить функцию f ( x, y ), такую, что f x = M и f y N , сначала проинтегрируйте M12 относительно х:

    Затем интегрируем N относительно y :

    Запись всех терминов, которые встречаются в обоих этих результирующих выражениях — без повторения каких-либо общих терминов — дает желаемую функцию:

    Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения равно

    .

    Пример 5: Правильно ли следующее уравнение?

    с

    но

    ясно, что M y N x , поэтому Тест на точность говорит, что это уравнение неточно.То есть не существует функции f ( x, y ), производная которой по x равна M ( x, y ) = 3 xy f 2 и которая в то же время имеет N ( x, y ) = x ( x — y ) в качестве производной по отношению к y .

    Пример 6: Решить IVP

    Дифференциальное уравнение является точным, поскольку

    Интегрирование M относительно x дает

    и интегрирование N относительно y дает

    Следовательно, функция f ( x, y ), полный дифференциал которой является левой частью данного дифференциального уравнения, равна

    , а общее решение —

    .

    В конкретном решении, заданном IVP, должно быть y = 3, когда x = 0; это условие определяет значение константы c :

    Таким образом, решение IVP равно

    .

    Руководство по решению дифференциальных уравнений

    В нашем мире вещи меняются, и , описывающий, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением.

    Примеры из реального мира, где
    Используемые дифференциальные уравнения включают рост населения, электродинамику, тепловую
    расход, планетарное движение, экономические системы и многое другое!

    Решение

    Итак, дифференциальное уравнение может быть очень естественным способом описания чего-либо.

    Пример: рост населения

    Здесь мы говорим, что популяция «N» увеличивается (в любой момент), когда темп прироста умножается на численность населения в этот момент:

    dN dt = rN

    Но и так не очень-то полезно.

    Нам нужно
    решить это!

    Мы решаем , когда обнаруживаем функцию y (или
    набор функций y), удовлетворяющий уравнению, и тогда его можно успешно использовать.

    Пример: продолжение

    Наш пример решается с помощью этого уравнения:

    N (t) = N 0 e rt

    , которое на самом деле можно использовать так:

    Популяция, которая начинается с 1000 (N 0 ) со скоростью роста 10% в месяц (r), вырастет до

    .

    • 1000 e 0.1×1 = 1105 через 1 месяц
    • 1000 e 0,1×6 = 1822 через 6 месяцев
    • и т. Д.

    Не существует волшебной палочки для решения всех дифференциальных уравнений.

    Но на протяжении тысячелетий великие умы опирались на работу друг друга и открыли различные методы (возможно, длинные и сложные!) Решения некоторых типов дифференциальных уравнений.

    Итак, возьмем
    посмотрите на различные типы дифференциальных уравнений и способы их решения

    Бернулли имеют такую ​​общую форму:

    dy dx + P (x) y = Q (x) y n , n 0 или 1

    Точное уравнение
    это где дифференциальное уравнение первого порядка, подобное этому:

    M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

    имеет некоторую специальную функцию I (x, y), частные производные которой можно подставить вместо M и N следующим образом:

    ∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0

    Разделение переменных

    Разделение переменных может использоваться, когда:

    Все члены y (включая dy) могут быть перемещены в одну сторону
    уравнения и

    Все члены x (включая dx) на другую сторону.

    В этом случае вам придется интегрировать и упростить
    решение.

    Подробнее о разделении
    Переменные

    К началу

    Линейное письмо первого порядка

    A дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , когда оно
    можно сделать так:

    dy dx + P (x) y = Q (x)

    Где P (x) и Q (x) — функции от x.

    Обратите внимание, что они «Первого порядка», когда есть только dy dx , а не d 2 y dx 2 или d 3 y dx 3 и т. Д.

    Если у вас есть подобное уравнение, вы можете прочитать больше в разделе Решение
    линейных дифференциальных уравнений первого порядка

    Примечание: нелинейные дифференциальные уравнения часто труднее решить.
    и поэтому обычно приближается линейными дифференциальными уравнениями к
    найти более легкое решение.

    К началу

    Однородные уравнения

    Есть еще один особый случай, когда можно использовать разделение переменных.
    называется однородным.

    Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может
    быть записано в форме

    dy dx = F ( y x )

    Такое уравнение можно решить с помощью замены переменных:

    v = y x

    , который преобразует уравнение в разделяемое.Открывать
    Подробнее об этом типе уравнений см. в этом полном руководстве по однородным дифференциальным уравнениям

    К началу

    Уравнение Бернулли

    Уравнение Бернулли имеет следующий вид:

    dy dx + P (x) y = Q (x) y n
    , где n — любое вещественное число, но не 0 или 1

    • Когда n = 0, уравнение может быть решено как линейное уравнение первого порядка.
      Дифференциальное уравнение.
    • Когда n = 1, уравнение можно решить, используя Разделение
      Переменные.
    • Для других значений n мы можем решить это, подставив

      u = y 1 − n

      и превратить его в линейное дифференциальное уравнение (а затем решить его).

    Найдите примеры и
    узнать больше об уравнении Бернулли

    К началу

    Уравнение второго порядка

    В уравнениях этого типа появляется вторая производная. В
    общее уравнение второго порядка записывается следующим образом:

    a (x) d 2 y dx 2 + b (x) dy dx + c (x) y = Q (x)

    Среди этих
    уравнения.

    Они классифицируются как однородные (Q (x) = 0), неоднородные,
    автономные, постоянные коэффициенты, неопределенные коэффициенты и т. д.

    Для неоднородных уравнений правило
    решение
    равно сумме:

    Раствор соответствующего однородного
    уравнение

    +

    Частное решение
    неоднородное уравнение

    Узнать больше
    об этих уравнениях

    Вернуться к началу

    Неопределенные коэффициенты

    Этот метод работает для неоднородного уравнения, такого как

    d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y
    = f (x)

    где f (x) — полином, экспонента, синус, косинус или их линейная комбинация.

    Для простоты рассмотрим только корпус:

    d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = f (x)

    , где p и q — константы.

    Полное решение такого уравнения может быть найдено
    сочетая два типа решения:

    1. Общее решение
      однородное уравнение
    2. d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

    3. Частные решения
      неоднородное уравнение
    4. d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = f (x)

    Как только мы нашли общее решение и все частные
    решений, то окончательное полное решение находится путем добавления всех
    решения вместе.

    Этот метод также включает в себя угадание ! Подробнее читайте на сайте Undetermined.
    Коэффициенты

    К началу

    Изменение параметров

    Это более общий метод, чем неопределенный
    Коэффициенты.

    Получив общее решение однородного уравнения, вы
    есть два основных решения y 1 и y 2

    И когда y 1 и y 2 являются двумя основными
    решения однородного уравнения

    d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

    , то вронскиан W (y 1 , y 2 ) является определяющим
    матрицы

    Так

    W (y 1 , y 2 ) = y 1 y 2
    — y 2 y 1

    И, используя вронскиан, мы можем теперь найти частное решение
    дифференциальное уравнение

    d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = f (x)

    по формуле:

    y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
    + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

    Наконец, мы завершаем решение, добавляя общее решение и
    конкретное решение вместе.

    Вы можете узнать больше об этом на сайте Variation.
    параметров

    К началу

    Точные уравнения и интегрирующие множители

    «Точное» уравнение — это дифференциальное уравнение первого порядка, подобное этому:

    M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

    имеет некоторую специальную функцию I (x, y), частные производные которой можно подставить вместо M и N следующим образом:

    ∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0

    , и наша задача — найти эту магическую функцию I (x, y), если она существует.

    Узнайте, как их решить с помощью точных уравнений и интегрирующих множителей

    Вернуться к началу

    Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения с частными производными (УЧП)

    Все методы до сих пор известны как Обычные дифференциальные уравнения (ODE).

    Термин обычный используется в отличие от термина частичный для обозначения производных только по одной независимой переменной.

    Дифференциальные уравнения с неизвестными функциями многих переменных и их
    частные производные относятся к другому типу и требуют отдельных методов для
    решить их.

    Они называются Уравнениями в частных производных (УЧП), и
    извините, но у нас пока нет страницы по этой теме.

    1. Решение дифференциальных уравнений

    Дифференциальное уравнение (или «DE») содержит
    производных или дифференциалов .

    Наша задача решить дифференциальное уравнение. В какой-то момент это потребует интеграции, и мы (в основном) получим выражение типа « y = …».

    Вспомните из раздела «Дифференциал» в главе «Интеграция», что дифференциал можно рассматривать как производную , где dy / dx на самом деле не записывается в дробной форме.

    Примеры дифференциалов

    dx (это означает «бесконечно малое изменение в x »)

    `d \ theta` (это означает« бесконечно малое изменение в `\ theta`»)

    `dt` (это означает« бесконечно малое изменение в т »)

    Примеры дифференциальных уравнений

    Пример 1

    Мы видели следующий пример во введении к этой главе.3 / 3-3x + К`

    Но откуда этот dy пошел от `(dy) / (dx)`? Почему оно как будто исчезло?

    В этом примере мы, кажется, интегрируем только часть x (справа), но на самом деле мы интегрировали также и относительно y (слева). DE похожи на это — вам нужно интегрировать по одной (иногда и больше) разных переменных, по одной за раз.

    Мы могли бы написать наш вопрос, только используя дифференциалы :

    dy = ( x 2 -3) dx

    (Все, что я сделал, это умножил обе стороны исходного dy / dx в вопросе на dx .3 / 3-3x + К`

    С левой стороны мы интегрировали int dy = int 1 dy, чтобы получить y.

    Примечание о константе: Мы интегрировали обе стороны, но есть постоянная интеграции только с правой стороны. Что случилось с тем, что слева? Ответ довольно прост. 2 d \ theta = sin (t + 0.3} / 3 = -cos (t + 0,2) + K`

    Мы проинтегрировали по θ слева и по t справа.

    Вот график нашего решения, взяв K = 2:

    Типичный график решения для примера 2 DE: `theta (t) = root (3) (- 3cos (t + 0.2) +6)`.

    Решение дифференциального уравнения

    Из приведенных выше примеров мы видим, что решение DE означает нахождение
    уравнение без производных, удовлетворяющее заданной
    DE.Решение дифференциального уравнения всегда включает одно или несколько
    интеграции шаг.

    Важно уметь идентифицировать тип
    DE
    , с которым мы имеем дело, прежде чем пытаться
    Найди решение.

    Определения

    Первый заказ DE: Содержит только первые производные

    Второй порядок DE: Содержит вторые производные (и
    возможно также первые производные)

    Степень: наивысшая мощность из наивысшая
    производная
    , встречающаяся в DE.7-5лет = 3`

    Это DE
    имеет порядок 2 (самая высокая производная
    вторая производная ) и градусов 4 (степень
    старшей производной 4.)

    Общие и частные решения

    Когда мы впервые выполнили интеграцию, мы получили общий
    раствор (с константой K ).

    Мы получили частное решение заменой известных
    значения для x и y .Эти известные условия
    называется граничными условиями (или начальных
    условия
    ).

    Это та же концепция, что и при решении дифференциальных уравнений — сначала найдите общее решение, а затем замените заданные числа, чтобы найти частные решения.

    Рассмотрим несколько примеров ДУ первого порядка и первой степени.

    Пример 4

    а. Найдите общее решение для дифференциала
    уравнение

    `dy + 7x dx =
    0`

    г.2 + К`

    Ответ тот же — способ его написания и мышления несколько отличается.

    ПРИМЕЧАНИЕ 2: «int dy» означает «int1 dy», что дает нам ответ «y».

    У нас также могло быть:

    `intdt = t`

    `intd theta = theta`

    `int da = a`

    и так далее. В этом разделе мы будем часто сталкиваться с такими интегралами.

    (b) Теперь мы используем информацию y (0) = 3, чтобы найти K.2 + 3`.

    Пример 5

    Найдите частное решение

    `y ‘= 5`

    с учетом того, что когда `x = 0, y = 2`.

    Ответ

    Мы можем написать

    г ‘ = 5

    как дифференциальное уравнение:

    dy = 5 dx

    Объединение обеих сторон дает:

    y = 5 x + K

    Применяя граничные условия: x = 0, y = 2, получаем K = 2, поэтому:

    y = 5 x + 2

    Пример 6

    Найдите частное решение

    `у » = 0`

    при том, что:

    у (0) = 3, у (1) = 4, у (2) = 6`

    Ответ

    Поскольку y » ‘ = 0, когда мы интегрируем один раз, получаем:

    y ‘ = A ( A — константа)

    Повторное интегрирование дает:

    y ‘ = Ax + B ( A, B — константы)

    Еще раз:

    `y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` ( A, B и C — константы)

    Граничные условия:

    y (0) = 3, y ‘ (1) = 4, y’ ‘ (2) = 6

    Нам нужно подставить эти значения в наши выражения для y » и y ‘ и наше общее решение, `y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` .

    Сейчас

    y (0) = 3 дает C = 3.

    и

    y ‘ (2) = 6 дает A = 6

    (Фактически, y » = 6 для любого значения x в этой задаче, поскольку нет члена x )

    Наконец,

    y ‘ (1) = 4 дает B = -2.

    Итак, конкретное решение этого вопроса:

    y = 3 x 2 2 x + 3

    Проверка решения путем дифференцирования и подстановки начальных условий:

    y ‘= 6 x 2

    y ‘ (1) = 6 (1) 2 = 4

    y ‘= 6

    у » = 0

    Наше решение правильное.

    Пример 7

    После решения дифференциала
    уравнение,

    `(dy) / (dx) ln x-y / x = 0`

    (мы увидим, как решить эту DE в следующих
    раздел Разделение переменных), получаем результат

    `y = c ln x`

    Получили ли мы правильное общее решение?

    Ответ

    Теперь, если `y = c ln x`, то` (dy) / (dx) = c / x`

    [См. Производную логарифмической функции, если вы не знаете этого.)

    Так

    `» LHS «= (dy) / (dx) ln x-y / x`

    `= (c / x) ln x — ((c ln x)) / x`

    `= 0`

    `=» RHS «`

    Делаем вывод, что у нас есть правильное решение.

    DE второго порядка

    Мы включили сюда еще два примера, чтобы дать вам представление о DE второго порядка. Позже в этой главе мы увидим, как решать такие линейные DE второго порядка.

    Пример 8

    Общее решение второго порядка DE

    y » + a 2 y = 0

    это

    `y = A cos ax + B sin ax`

    Пример 9

    Общее решение второго порядка DE

    y » — 3 y ‘+ 2 y = 0

    это

    y = Ae 2 x + Be x

    Если у нас есть следующие граничные условия:

    y (0) = 4, y ‘ (0) = 5

    , то конкретное решение дает:

    y = e 2 x + 3 e x

    Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием DE второго порядка, где нам дается окончательный ответ, и нам нужно проверить, является ли это правильным решением. (2x)`

    Это очевидно.2) = 2 (dy) / (dx) `

    Как найти решения дифференциальных уравнений

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.