Простые тригонометрические уравнения с решениями: Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 1

Содержание

Тест с ответами: “Простейшие тригонометрические уравнения”

1. Решением какого из ниже перечисленных уравнений является такой ответ x = 2πk:
а) cos x = 1 +
б) sin x = 0
в) ctg x = 1

2. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
а) cos a = x
б) cos x = a +
в) cos x = bx

3. Решите уравнение cos x = √ 3/2:
а) x = ±π/3 + 2πk
б) x = ± 2π/3 + 2πk
в) x = ±π/6 + 2πk +

4. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
а) tg x = a +
б) tg a = x
в) tg x = bx

5. Решите уравнение cos x = -√2/2:
а) x = – π/4 + πk
б) x = 3π/4 + πk
в) x = ± 3π/4 + 2πk +

6. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
а) ctg a = x
б) ctg x = a +
в) ctg x = bx

7. Решите уравнение tg x = √3/3:
а) x = π/3 + πk
б) x = ±π/3 + 2πk
в) x = π/6 + πk +

8. “a” в тригонометрическом уравнении:
а) произвольное число +
б) основополагающее число
в) знаковое число

9. Решите уравнение sin x = 0:
а) x = π + 2πk
б) x = 2πk
в) x = πk +

10. Решение тригонометрического уравнения состоит из … этапов:
а) трех
б) двух +
в) четырех

11. Найти корни уравнения сos(x)=1:
а) 0+ 2π +
б) 0
в) 1

12. Один из этапов решения тригонометрического уравнения:
а) преобразование уравнения для получения его сложного вида
б) преобразование уравнения для получения его простейшего вида +
в) решение полученного сложного тригонометрического уравнения

13. Тригонометрическое уравнение:
а) тригонометрическая функция с неизвестным в качестве аргумента +
б) сos(x)=1
в) уравнения, не требующие никаких преобразований

14. Один из этапов решения тригонометрического уравнения:
а) решение полученного сложного тригонометрического уравнения
б) преобразование уравнения для получения его сложного вида
в) решение полученного простейшего тригонометрического уравнения +

15. 90 градусов:
а) π/2 +
б) π/4
в) π/6

16. Существует … основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) пять
б) семь +
в) шесть

17. Скольким градусам соответствует π в тригонометрии:
а) 90
б) 45
в) 180 +

18. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а)
б) алгебраический метод +
в)

19. Число π в общем случае-это:
а) отношение радиуса окружности к ее диаметру
б) отношение длины окружности к ее радиусу
в) отношение длины окружности к ее диаметру +

20. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) разложение на частное
б) разложение на множители +
в) разложение на множимые

21. Укажите наименьший положительный корень уравнения 2sinx + 1 = 0:
а) 7π/6
б) π/6
в) 5π/6

22. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) приведение к однозначимому уравнению
б) приведение к однородному уравнению +
в) приведение к квадратному уравнению

23. Решите уравнение cos2x-1=0:
а) 0
б) x=π-k
в) x=πk +

24. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) переход к целому углу
б) переход к половинному углу +
в) переход к вспомогательному углу

25. Является ли число 5π/6 решением уравнения 2cos2x+4sinx=3:
а) нет
б) отчасти
в) да +

26. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) введение отрицательного угла
б) введение вспомогательного угла +
в) введение прямого угла

27. При каких значениях а уравнение sinx=a имеет хотя бы одно решение:
а) [-1;1] +
б) 2
в) R

28. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) преобразование разности в сумму
б) преобразование произведения в разность
в) преобразование произведения в сумму +

29. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:
а) sin x = a +
б) sin a = x
в) sin x = bx

30. Один из основных методов решения тригонометрических уравнений:
а) общепринятая подстановка
б) универсальная подстановка +
в) закрепленная подстановка

Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений

Простейшие
тригонометрические
Уравнения.
Решение
Тригонометрических
уравнений

2. Повторим значения синуса и косинуса

у π/2 90°
1
120° 2π/3
135° 3π/4
150° 5π/6
π/6 30°
1/2
180° π -1
0

(cost)
π/3 60°
π/4 45°

210° 7π/6
-1/2
1/2
1 0 0°
½
x
2π 360
11π/6 330° [-π/6]
225° 5π/4
240° 4π/3
-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)
7π/4 315° [-π/4]
5π/3 300° [-π/3]

3. Арккосинус

Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
у
arccos(-а)
π/2
arccos а = t
π
0
-1

Примеры:
а
arccos(- а) = π- arccos а
1
1)arccos(-1)
2)arccos
х

4. Уравнение cost = a

Уравнение
t1
-1
a
1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
0
cost = a
1
x
2. Отметить точку а на оси
абсцисс.
3. Построить перпендикуляр в
этой точке.
4. Отметить точки пересечения
перпендикуляра с окружностью.
5. Полученные точки – решение
уравнения cost = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-t1
t t1 2 n,
n Z

5. Частные случаи уравнения cost = a

cost = 1
y
t 2 n,
π/2
n Z
cost = 0
0
-1
1
0
x
t n, n Z
2
cost = -1
-π/2
t 2 n,
n Z

6. Арксинус

у
π/2
1
а
arcsin а =t
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.
х

-1
-π/2
Примеры:
arcsin(- а)
arcsin(- а)= — arcsin а

7. Уравнение sint = a

1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
π-t1
2. Отметить точку а на оси
ординат.
1
3. Построить перпендикуляр в
этой точке.
4. Отметить точки пересечения
перпендикуляра с окружностью.
t1
a
0
x
5. Полученные точки – решение
уравнения sint = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-1
t1 2 n, n Z
t
t1 2 n, n Z

8. Частные случаи уравнения sint = a

Частные случаи уравнения
Π
y
2
1
π
0
0
-1
π
2
sint = a
sint = 1
t 2 n, n Z
2
sint = 0
x
t n, n Z
sint = -1
t 2 n, n Z
2

9. Повторим значения тангенса и котангенса

Линия тангенсов
tg t ЄR , но t ‡
+ π k, kЄZ
у π/2
2π/3
π/3
5π/6
1
π/4
ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
π/6
0
х
Линия котангенсов
у
4π/3
-π/2
π
0
х

10. Арктангенс

Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
а
у
π/2
arctgа = t
0
х
arctg(-а) = — arctg а
arctg(-а )
-π/2

Примеры:
1) arctg√3/3 =
π/6
2) arctg(-1) =
-π/4

11. Арккотангенс

у

arcctg(- а)
а
arcctg а = t
π
0 х
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .
arcctg(- а) = π – arcctg а
Примеры:
1) arcctg(-1) =
3π/4
2) arcctg√3 =
π/6

12. Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1.cost = а , где |а| ≤ 1
или
Частные случаи
2.sint = а, где | а |≤ 1
или
3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ kЄZ
Частные случаи
1)cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
1)sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ
2)cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ
2)sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3)cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
3)sint = — 1
t = — π/2+2πk‚ kЄZ
4. ctgt = а, аЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ
Простейшие
тригонометрические
уравнения
Sin t=a;
Cos t=a;
где t=f(x)
Введение новой
переменной
Разложение
на
множители
Решение простейших уравнений
1) cost= — ½;
t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
t= ±2π/3+2πk, kЄZ
3) tgt = 1;
t = arctg1+πk, kЄZ
t = π/4+πk, kЄZ.
2) sint = 0;
Частный случай:
t = 0+πk, kЄZ
4) ctgt = t = arcctg( )+πk, kЄZ
t = 5π/6+πk, kЄZ.

15. Решение простейших уравнений

1) tg2x = -1
2) cos(x+π/3) = ½
2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам
приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

16. Другие тригонометрические уравнения

1.Сводимые к квадратным
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда
a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и
решить простые уравнения.
2.Однородные
1)Первой степени:
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно
не равны нулю, то разделим обе
части уравнения на cosx. Получим:
простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m
2)Второй степени:
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x.
Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

17. Найти наименьший положительный корень

у
3
х
x
1
cos
3
2
x
3 3
x 1

18. Найти наименьший положительный корень

3
4
у
tg
х
4
x
12
1
x 3
12 4
x 9

19. Найти наибольший отрицательный корень

x
5
6
3
cos
3
2
у
х
5
6
x 5
3
6
x 2,5

20. Найти наибольший отрицательный корень

y
tg
4
x
3
4
x
10
1
x 3
10
4
x 7,5
2 cos x 3
180;270
y
150
30
210
180
x
210
270

22. Найти наименьший положительный корень

120
у
3
sin 2 x
2
60
х
240
300
2 x 240
x 120

23. Наибольшее отрицательное (в градусах)

2 sin 3x 2
Наибольшее
отрицательное (в градусах)
у
3х 225
225
х
135
45
х 75
I вариант (БУ)
II вариант (ПУ)
Решите уравнения:
1.
1.
2.
2.
3.
3.
В ответе запишите букву (код ответа) соответствующую ответу вашего решения.
a=1
a=0
a= -1
,
I вариант (БУ)
II вариант (ПУ)
Решите уравнения:
1.
1.
2.
2.
3.
3.
В ответе запишите букву (код ответа) соответствующую ответу вашего решения.
Ответы:
САМ

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.

Вспомним определения косинуса и синуса.

Косинусом  угла  называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси  ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов ( или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)

Используем  эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение

Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .

Отметим на оси ординат точку с ординатой :

 Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие  ординату. Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:

 Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно «холостых» оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число «холостых» оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.

То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

,  , — множество целых чисел (1)

Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

, где ,  . (2)

Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .

Эти две серии решений можно  объединить в одну запись:

   

Если мы в этой записи возьмем ( то есть четное ), то мы получим первую серию решений.

Если мы в этой записи возьмем ( то есть нечетное ), то мы получим вторую  серию решений.

2. Теперь давайте решим уравнение

Так как — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :

  Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности  и имеющие  абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:

 

Запишем две серии решений:

,  

,  

(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .

Объедим эти две серии в одну запись:

   

 

3. Решим уравнение

Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY

Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):

Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :

 

Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии  радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:

,

4. Решим уравнение

Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .

Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:

 Соединим эту точку с началом координат прямой  и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:

Поскольку эти точки отстоят друг от  друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:

   

 В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.

Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение обратной тригонометрической функции:

 

 

ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:

1

Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:

 

2.

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:

 

 

3.

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:

Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:

4.

Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:

 

5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:

 

 

6.

Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:

 

И чуть более сложные примеры:

1. 

Синус равен единице, если аргумент равен  

Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:

. Разделим обе части равенства на 3:

Ответ:

2. 

Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен

Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:

Выразим , для этого сначала перенесем  вправо с противоположным знаком:

Упростим правую часть:

Разделим обе части на -2:

Заметим, что перед слагаемым  знак не меняется, поскольку   k может принимать любые целые значения.

Ответ:

И в заключение посмотрите видеоурок «Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности»

На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать простейшие тригонометрические неравенства.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и Задание 13»

Понятие о тригонометрическом уравнении. Простейшие тригонометрические уравнения.

Содержание

  1. Понятие о тригонометрическом уравнении.
  2. Простейшие тригонометрические уравнения.
  3. Таблица решений простейших тригонометрических уравнений.
  4. Ограничения тригонометрических уравнений.

Понятие о тригонометрическом уравнении.

Определение.

Уравнение называется тригонометрическим, если в нём содержится любая тригонометрическая функция.

Например, уравнения $\sin{x} – 1 = 0$, $1-2\cos{x}=4$ и $\sqrt{3}\sin{x}-2\cos{x}=0$ тригонометрические, а $2-x=0$ – нет.

В силу того, что тригонометрическая функция периодична, тригонометрические уравнения имеют множество решений или не имеют их вообще.

Определение.

Под решением тригонометрического уравнения понимается такой набор чисел $x$, который при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Существуют 2 основных способа решения тригонометрических уравнений:

  • графический способ, который заключается в том, что строятся графики левой и правой части уравнения и ищутся точки их пересечения;
  • аналитический способ, суть которого заключается в применении специальных формул.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями мы будем понимать тригонометрические уравнения, в левую часть которых входит только либо синус, либо косинус, а в правую – одно из чисел: $-1; \ 0; \ 1$.

Решим несколько простейших тригонометрических уравнений.

1. $\sin{x} = 1$

Начертим два графика: $y=\sin{x}$ и $y=1$

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

Это только одна точка: $\frac{\pi}{2}$. Периодом синуса является $2\pi$, так что получаем ответ:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos{x} = 0$

Начертим два графика: $y=\cos{x}$ и $y=0$

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

Видим, что получается 2 решения, попадающих «на период»: $x_{1}=\frac{\pi}{2}$ и $x_{2}=\frac{3\pi}{2}$.

Замечание.

Две точки решения получаются только у функций синус и косинус. Так как тангенс и котангенс монотонные (и на периоде в том числе), то они имеют лишь только одну точку пересечения с прямой $y=a$.

Получены два решения:

\(\left\{ \begin{array}{c} x_{1} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \\ x_{2} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \end{array} \right. \)

которые можно попытаться объединить в одно.

Замечание.

Не все решения можно объединить в одно. Если это невозможно, то в ответ выписываются 2 решения.

Проверим расстояние между всеми точками (обычно достаточно проверить расстояние между 4 точками), чтобы убедиться, что объединение возможно. Несложно увидеть, что в нашем случае оно всегда равно $\pi$. Тогда наши решения объединяются в одно и мы получаем ответ:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

Таблица решений простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение $f(x) = \sin{x}$ $f(x) = \cos{x}$
$f(x)=1$ $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ $x =2\pi n$
$f(x)=0$ $x = \pi n$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$f(x)=-1$ $x = — \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ $x = \pi + 2\pi n$

Ограничения тригонометрических уравнений.

Очевидно, что тригонометрические функции $\tg$ и $\ctg$ в силу неограниченности по области значений и монотонности всегда имеют одно решение для любого $a$.

А для тригонометрических функций $\sin$ и $\cos$ справедливы следующие утверждения.

Утверждение

Если $|a| > 1$, то не существует  решений тригонометрического уравнения $\sin{x} = a$ или $\cos{x} = a$.

Действительно, так как область значения тригонометрических функций $\sin$ и $\cos$ является отрезком $[-1;1]$, то любая прямая, лежащая выше прямой $y=1$ и ниже прямой $y = -1$, не будет пересекать график тригонометрических функций.

Утверждение

Если $|a| = 1$, то тригонометрические уравнения $\sin{x} = a$ или $\cos{x} = a$ имеют ровно одно решение на полуинтервале $[0;2\pi)$ (далее, периоде).

Действительно, прямая $y=1$ и прямая $y = -1$ пересекают графики тригонометрических функций ровно в одной точке.

Утверждение

Если $|a| < 1$, то тригонометрические уравнения $\sin{x} = a$ или $\cos{x} = a$ имеют ровно два решения на периоде.

Действительно, прямая $y=a$ пересекает графики тригонометрических функций ровно в двух точках.

Простейшие тригонометрические уравнения решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (баз.)

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания.
Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение.
Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C
(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P
α °
и P
β °
, симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α°
приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P
α°:

α° ≈ 37° + 360°n
, где n
— любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P
β °
— конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n
, где n
— любое целое число.

Ответ:
37° + 360°n
, –37° + 360°n
, где n
— любое целое число.

Пример задания.
Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение.
Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D
(0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P
φ и P
π–φ , симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP
φ катет KP
φ равен половине гипотенузы OP
φ,
значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой P
φ :

где n
— любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P
π–φ :

где n
— любое целое число.

Ответ: где n
— любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2.

Пример задания.
Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение.
Отметим на оси тангенсов точку C
с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC
. Прямая OC
пересекает единичную окружность в точках P
α °
и P
β° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n
(n
— целое число). С помощью транспортира находим, что угол P
α° OP
0 равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n
(n
— целое число)

Ответ:
–50° + 180°n
, n
∈ Z.

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

3. Простейшие тригонометрические уравнения

Вводятся обозначения: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендуется торопиться с введением объединенной формулы. Две серии корней значительно удобнее записывать, особенно, когда нужно отбирать корни на интервале.

При изучении темы «простейшие тригонометрические уравнения», уравнения чаще всего сводятся к квадратам.

4. Формулы приведения

Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений φ
. Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что:

1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствующей четверти, если считать φ
острым углом;

2) название меняют только функции углов и

5. Свойства и график функции

y =
sin x

Простейшие тригонометрические неравенства решаются либо по графику, либо на окружности. При решении тригонометрического неравенства на окружности важно не перепутать, какую точку указывать первой.

6. Свойства и график функции

y
= cos x

Задачу построения графика функции y
= cos x
можно свести к построению графика функции y =
sin x
. Действительно, поскольку график функции y
= cos x
можно получить из графика функции y
= sin x
сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на

7. Свойства и графики функций

y
= tg x
и y
= ctg x

Область определения функции y
= tg x
включает в себя все числа, кроме чисел вида где n

Z
. Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции y

=
tg x
на промежутке

В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются. Графически это выглядит так, как будто график функции y

= tg x
прижимается к прямой уходя вместе с ней неограниченно вверх.

8. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Равенства и выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента φ. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством.

tg φ · ctg φ = 1

Есть и другие зависимости между тригонометрическими функциями.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат x 2 + y 2
= 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности.

Основное тригонометрическое тождество

cos 2 φ + sin 2 φ = 1

9. Синус и косинус суммы и разности двух углов

Формула косинуса суммы

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Формула косинуса разности

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Формула синуса разности

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Формула синуса суммы

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

10. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов

Формула тангенса суммы

Формула тангенса разности

Учебник входит в УМК по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

11. Тригонометрические функции двойного угла

Формула тангенса двойного угла

cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1

Пример задания.
Решить уравнение

Решение.

13. Решение тригонометрических уравнений

В большинстве случаев исходное уравнение в процессе решения сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям. Однако для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех зависит от знания тригонометрических формул и от умения выбрать из них нужные. При этом обилие различных формул иногда делает этот выбор довольно трудным.

Уравнения, сводящиеся к квадратам

Пример задания.
Решить уравнение 2 cos 2 x
+ 3 sinx
= 0

Решение
. С помощью основного тригонометрического тождества это уравнение можно свести к квадратному относительно sinx
:

2cos 2 x
+ 3sinx
= 0, 2(1 – sin 2 x
) + 3sinx
= 0,

2 – 2sin 2 x
+ 3sinx
= 0, 2sin 2 x
– 3sinx
– 2 = 0

Введем новую переменную y
= sin x
, тогда уравнение примет вид: 2y
2 – 3y
– 2 = 0.

Корни этого уравнения y
1 = 2, y
2 = –0,5.

Возвращаемся к переменной x
и получаем простейшие тригонометрические уравнения:

1) sin x
= 2 – это уравнение не имеет корней, так как sin x
x
;

2) sin x
= –0,5,

Ответ
:

Однородные тригонометрические уравнения

Пример задания.
Решить уравнение 2sin 2 x
– 3sinx
cosx
– 5cos 2 x
= 0.

Решение.
Рассмотрим два случая:

1) cosx
= 0 и 2) cosx
≠ 0.

Случай 1. Если cos x
= 0, то уравнение принимает вид 2sin 2 x
= 0, откуда sinx
= 0. Но это равенство не удовлетворяет условию cosx
= 0, так как ни при каком x
косинус и синус одновременно в нуль не обращаются.

Случай 2. Если cos x
≠ 0, то можно разделить уравнение на cos 2 x
«Алгебра и начало математического анализа. 10 класс» , как и многие другие издания, можно на платформе LECTA. Для этого воспользуйтесь предложением .

#ADVERTISING_INSERT#

Тригонометрические уравнения — тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π
/4) = ctg(2x-π
/3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

И тому подобное…

Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый — вы не поверите — в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций.
И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи,
например, sin2x + 3x = 3,
это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.

Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями.
Почему? Да потому, что решение любых
тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором — решается это самое простое уравнение. Иначе — никак.

Так что, если на втором этапе у вас проблемы — первый этап особого смысла не имеет.)

Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Здесь а

обозначает любое число. Любое.

Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:

cos(3x+π
/3) = 1/2

и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.

Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь — с использованием памяти и формул — рассмотрим в следующем уроке.

Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)

Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.

Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако… Трудно же вам в тригонометрии придётся…) Но не беда. Загляните в уроки «Тригонометрический круг…… Что это такое?» и «Отсчёт углов на тригонометрическом круге». Там всё просто. В отличие от учебников…)

Ах, вы в курсе!? И даже освоили «Практическую работу с тригонометрическим кругом» !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс — ему всё едино. Принцип решения один.

Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:

cosx = 0,5

Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.

Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели

тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим

угол. Останется только записать ответ.) Да-да!

Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:

Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите
этот самый угол х.

Косинус какого угла равен 0,5?

х = π
/3

cos60°
= cos(π
/3
) = 0,5

Кое-кто скептически хмыкнет, да… Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно… Можно, конечно, хмыкать…) Но дело в том, что это — ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.

Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот
, точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится
на 360° или 2π
радиан, а косинус — нет.
Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.

Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество… И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все.
Иначе решение не считается, да…)

Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество
решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:

х = π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно
приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)

π
/3

— это тот самый угол, который мы увидели
на круге и определили
по таблице косинусов.


— это один полный оборот в радианах.

n

— это количество полных, т.е. целых
оборотов. Понятно, что n

может быть равно 0, ±1, ±2, ±3…. и так далее. Что и указано краткой записью:

n ∈ Z

n

принадлежит (

) множеству целых чисел (Z

). Кстати, вместо буквы n

вполне могут употребляться буквы k, m, t

и т.д.

Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n

. Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)

Или, другими словами, х = π
/3

— это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π
/3 прибавить любое количество полных оборотов (n

) в радианах. Т.е.
n

радиан.

Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению.
Эту первую часть решения я запишу вот как:

х 1 = π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

х 1

— не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.

Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!

Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:

Наводим мышку на картинку и видим
ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5.
Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые… Да! Он равен углу х

, только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х.

Но икс-то мы уже вычислили. π
/3 или
60°. Стало быть, можно смело записать:

х 2 = — π
/3

Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:

х 2 = — π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели
(кто понимает, конечно)) все
углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:

х 1 = π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

х 2 = — π
/3 + 2π
n, n ∈ Z

Это правильный ответ.

Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений
с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ.
Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели
на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)

Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:

Прошу учесть, что число 0,5 — это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.

Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:

Сначала разбираемся с углом х

в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:

х = π
/6

Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:

х 1 = π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол…
Это похитрее, чем в косинусах, да… Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х?

Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х

равен углу х

. Только отсчитан он от угла π
в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.

Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:

π
— х

Икс мы знаем, это π
/6

. Стало быть, второй угол будет:

π
— π
/6 = 5π
/6

Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:

х 2 = 5π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:

х 1 = π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

х 2 = 5π
/6 + 2π
n, n ∈ Z

Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.

В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан.
А теперь расширим наши возможности на все остальные значения.
Решать, так решать!)

Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:

Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.

Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем… Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт «обратных тригонометрических функций» нету… Лишнее это в данной теме.

Если вы в курсе, достаточно сказать себе: «Икс — это угол, косинус которого равен 2/3». И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:

Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:

х 1 = arccos 2/3 + 2π
n, n ∈ Z

Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:

х 2 = — arccos 2/3 + 2π
n, n ∈ Z

И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.

Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х

по его косинусу. Табличный это косинус, или нет — кругу неведомо. Что это за угол, π
/3, или арккосинус какой — это уж нам решать.

С синусом та же песня. Например:

Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:

И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5.
Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!

Вот и готова первая пачка корней:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π
n, n ∈ Z

Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:

π
— х

Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:

х 2 = π
— arcsin 1/3 + 2π
n, n ∈ Z

Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)

Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах — те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.

Применим знания на практике?)

Решить тригонометрические уравнения:

Сначала попроще, прямо по этому уроку.

Теперь посложнее.

Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)

А теперь внешне простенькие… Их ещё частными случаями называют.

sinx
= 0

sinx
= 1

cosx
= 0

cosx
= -1

Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна… И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)

Ну и совсем простые):

sinx
= 0,3

cosx
= π

tgx
= 1,2

ctgx
= 3,7

Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)

Ответы, разумеется, в беспорядке):

х 1
= arcsin0,3 + 2π
n, n ∈ Z
х 2
= π
— arcsin0,3 + 2

Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво
(есть такое устаревшее слово…) И по ссылкам походите. Главные ссылки — про круг. Без него в тригонометрии — как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические
уравнения.

Методы решения тригонометрических
уравнений.

Тригонометрические уравнения.


Уравнение, содержащее
неизвестное под

знаком тригонометрической функции,
называется тригонометрическим
.

Простейшие тригонометрические
уравнения.


Методы решения
тригонометрических уравнений.



Решение тригонометрического уравнения
состоит из двух этапов: преобразование уравнения
для получения его
простейшего

вида (см. выше
)
и
решение


полученного простейшего

тригонометрического уравнения.
Существует семь
основных методов решения
тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический
метод.


Этот метод
нам хорошо известен из алгебры



(метод замены переменной и
подстановки).

2. Разложение на множители.

Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить
уравнение:
sin
x


+
cos
x


= 1 .

Р е ш е н и е. Перенесём все
члены уравнения влево:

Sin x
+ cos x
– 1 = 0 ,

Преобразуем и разложим на множители выражение в

Левой
части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение:
cos

2

x


+
sin

x


·
cos

x


= 1.

Р е ш е н и е.

cos
2
x


+ sin x
· cos x

sin

2
x



cos
2
x


= 0 ,

Sin x
· cos x

sin
2
x


= 0 ,

Sin x
· (cos x

sin

x


) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение:
cos

2
x

cos
8
x


+
cos
6
x


= 1.

Р е ш е н и е.

cos

2
x

+

cos

6
x


= 1 +
cos

8
x

,

2 cos 4x
cos 2x
= 2 cos

²

4x
,

Cos 4x

·

(cos 2x
– cos 4x
) = 0 ,

Cos 4x

· 2 sin 3x

· sin x
= 0 ,

1). cos 4x
= 0 , 2). sin 3x
= 0
, 3). sin x
= 0 ,

3.

Приведение
к
однородному уравнению.

Уравнение
называется однородным от

носительно
sin

и
cos


,
если
все его

члены
одной
и
той
же степени
относительно

sin


и

cos

одного
и
того
же
угла

.
Чтобы
решить
однородное
уравнение,
надо:

а
) перенести все его
члены в левую часть;

б
) вынести все общие
множители за скобки;

в
) приравнять все
множители и скобки нулю;


г

)
скобки,

приравненные
нулю, дают
однородное уравнение
меньшей степени, которое следует разделить на

cos

(или

sin

) в старшей степени;

д
) решить полученное
алгебраическое уравнение относительно

tan


.

П р и м е р. Решить
уравнение: 3
sin
2

x


+ 4
sin
x

·
cos
x


+ 5
cos
2

x


= 2.

Р е ш е н и е.

3sin
2

x
+ 4 sin x

·

cos x
+ 5 cos

2

x

=
2sin
2

x
+ 2cos
2
x


,

Sin

2
x
+ 4
sin x

·
cos x
+ 3 cos

2

x

= 0 ,

Tan

2
x
+ 4
tan x
+ 3 = 0 ,

отсюда
y

2
+ 4y

+3 = 0 ,

Корни
этого уравнения:
y

1

=

1,
y

2

=

3,
отсюда

1) tan x
= –1, 2) tan x
= –3,

4. Переход к половинному углу.

Рассмотрим этот метод на
примере:

П р и м е р. Решить уравнение:
3
sin
x


– 5
cos
x


= 7.

Р
е ш е н и е.
6 sin (x
/ 2) · cos (x
/ 2) – 5 cos
²
(x
/ 2) + 5 sin ²

(x
/ 2) =

7 sin ²
(x
/ 2) + 7 cos
²
(x
/ 2) ,

2 sin ²
(x
/ 2) – 6 sin (x
/ 2) · cos (x
/ 2) + 12 cos
²
(x
/ 2) = 0 ,

tan ²
(x
/ 2) – 3 tan (x
/ 2) + 6 = 0 ,

.
. . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида
:

a

sin x
+ b
cos x
= c
,

Где

a

,
b

,
c


– коэффициенты;
x


– неизвестное.

Теперь
коэффициенты
уравнения
обладают
свойствами
синуса
и
косинуса
,
а именно

:
модуль (
абсолютное

значение

)

каждого

Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С


Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:


1. Что такое тригонометрические уравнения?

3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения?

Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.

Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:

1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:

3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений
4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk

Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.

Пример.

Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:

Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.n – минус один в степени n.

Ещё примеры тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk

Ответ: x=5πk, где k – целое число.

Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.

Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .

Решение:

Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.

Ответ: x= π/16, x= 9π/16

Два основных метода решения.

Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.

Решим уравнение:

Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3

Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример решения уравнения

Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) — 3 cos(x) -2 = 0

Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t — 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2

Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.

Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.

Уравнения вида

однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):

Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.

Решить уравнение:

Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Тогда нам надо решить два уравнения:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?

Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!

1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде

2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:

Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:

Решить пример №:3

Решить уравнение:
Решение:

Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:

Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t — 3 = 0

Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1

Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решить пример №:4

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Решать такие уравнение мы умеем: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= — π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решить пример №:5

Решить уравнение:

Решение:
Преобразуем наше выражение:

Введем замену tg(2x)=t:2 2 — 5t + 2 = 0

Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2

Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи для самостоятельного решения.

1) Решить уравнение

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].

3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 — cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

  • с помощью преобразовать его до простейшего;
  • решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

    Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

    Простейшие тригонометрические уравнения | LAMPA

    Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида sinx=a\sin x=asinx=a, cosx=a\cos x=acosx=a, tgx=a\text{tg} x=atgx=a и ctgx=a\text{ctg} x=actgx=a.

    Уравнения для синуса и косинуса имеют решения только при ∣a∣≤1|a|\le 1∣a∣≤1. Для тангенса и котангенса — при любых aaa.

    Если существует хотя бы одно решение, то их бесконечно много.

    Общий вид решения:

    • sinx=a⇒[x=arcsina+2πk,x=π−arcsina+2πk,\sin x=a \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \left[\begin{array}{lr} x=\text{arcsin} a+2\pi k,\\ x=\pi -\text{arcsin} a+2\pi k,\end{array}\right.sinx=a⇒[x=arcsina+2πk,x=π−arcsina+2πk,​
    • cosx=a⇒x=±arccosa+2πk\cos x=a \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, x=\pm \text{arccos} a+2\pi kcosx=a⇒x=±arccosa+2πk;
    • tgx=a⇒x=arctga+πk\text{tg} x=a\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, x=\text{arctg} a+\pi ktgx=a⇒x=arctga+πk;
    • ctgx=a⇒x=arcctga+πk\text{ctg} x=a\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, x=\text{arcctg} a+\pi kctgx=a⇒x=arcctga+πk.

    При каждом значении k=0,±1,±2,…k=0,\pm 1,\pm 2,…k=0,±1,±2,… получается одно из решений уравнения.

    arcsina\text{arcsin} aarcsina, arccosa\text{arccos} aarccosa, arctga\text{arctg} aarctga, arcctga\text{arcctg} aarcctga — .

    На рисунке показаны решения уравнения sinx=a\sin x=asinx=a и cosx=b\cos x=bcosx=b (xxx обозначает точку на окружности):

    Как решать простейшие тригонометрические уравнения

    О чем задача?

    В задании 5 вам могут встретиться простейшие уравнения с тригонометрическими функциями. Эти уравнения записываются в виде f(kx+b)=af(kx+b)=af(kx+b)=a, где fff — одна из функций sin\sinsin, cos\coscos, tg\text{tg}tg.

    Найдите корень уравнения tgπ(x−6)3=13\text{tg} \frac{\pi (x-6)}{3}=\frac{1}{\sqrt 3}tg3π(x−6)​=3​1​. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

    Как решать?

    Все такие задачи решаются по одной схеме.

    Шаг 1. Найдите угол α\alphaα, для которого f(α)=af(\alpha )=af(α)=a.

    • Замените выражение в тригонометрической функции на α\alphaα.
    • Найдите хотя бы один угол α\alphaα, для которого верно уравнение f(α)=af(\alpha )=af(α)=a (подойдет один из углов 000, π6\frac{\pi }{6}6π​, π4\frac{\pi }{4}4π​, π3\frac{\pi }{3}3π​, π2\frac{\pi }{2}2π​, π\piπ).

    В уравнении tgπ(x−6)6=13\text{tg}\frac{\pi (x-6)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}tg6π(x−6)​=3​1​ сначала найдем α\alphaα, такое что tgα=13\text{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}tgα=3​1​. Уравнению удовлетворяет α=π6\alpha =\frac{\pi }{6}α=6π​.

    Шаг 2. Найдите общее решение уравнения f(α)=af(\alpha )=af(α)=a

    • для тангенса серия решений имеет вид α+πk\alpha +\pi kα+πk, где kkk — целое число;
    • для косинуса: α+2πk\alpha +2\pi kα+2πk и −α+2πk-\alpha +2\pi k−α+2πk, где kkk — целое число;
    • для синуса: α+2πk\alpha + 2\pi kα+2πk и (π−α)+2πk(\pi -\alpha )+2\pi k(π−α)+2πk, где kkk — целое число.

    tgα=13\text{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}tgα=3​1​ при α=π6+πk\alpha =\frac{\pi }{6}+\pi kα=6π​+πk, где k=0,±1,±2,….k=0,\pm 1, \pm 2,….k=0,±1,±2,….

    Шаг 3. Найдите все xxx, удовлетворяющие уравнению

    • Замените α\alphaα на выражение из условия;
    • Найдите все возможные xxx, удовлетворяющие уравнению.

    α=π(x−6)6=π6+πk\alpha =\frac{\pi (x-6)}{6}=\frac{\pi }{6}+\pi kα=6π(x−6)​=6π​+πk. Разделим обе части на π\piπ и умножим на 666. Получим x−6=1+6k,x-6=1+6k{,}x−6=1+6k,
    откуда x=7+6kx=7+6kx=7+6k, где k=0,±1,±2,…k=0,\pm 1, \pm 2,…k=0,±1,±2,….

    Шаг 4. Найдите xxx, о котором спрашивается в условии

    Нам надо найти наибольшее отрицательное значение xxx. Значения x=7+6kx=7+6kx=7+6k отрицательны, если 7+6k<0⇔k<−76⇔k<−116.7+6k<0 \,\Leftrightarrow \,k<-\frac{7}{6}\,\Leftrightarrow \,k<-1\frac{1}{6}{.}7+6k<0⇔k<−67​⇔k<−161​. Поскольку kkk — целое число, наибольшее такое kkk — это k=−2k=-2k=−2. Поэтому наибольшее отрицательное значение в серии 7+6k7+6k7+6k достигается при k=−2k=-2k=−2 и равно −5-5−5.

    Чтобы не решать неравенство относительно kkk, можно вычислить значение xxx при разных kkk и выбрать наибольшее отрицательное значение:
    — \,\,При k=1k=1k=1 имеем x=13x=13x=13
    — \,\,При k=0k=0k=0 имеем x=7x=7x=7
    — \,\,При k=−1k=-1k=−1 имеем x=1x=1x=1
    — \,\,При k=−2k=-2k=−2 имеем x=−5x=-5x=−5
    — \,\,При k=−3k=-3k=−3 имеем x=−11x=-11x=−11
    При дальнейшем уменьшении kkk значение xxx также будет уменьшаться. Наибольшее отрицательное значение xxx — это x=−5x=-5x=−5.

    Простейшие тригонометрические уравнения

    Занятие для обучающихся СПО, рассчитано на 90 минут, может использоваться для обучающихся 10-11 классов. Занятие включает в себя два интерактивных теста, динамические чертежи в программе GеoGebra, решение заданий открытого банка данных ЕГЭ, проблемная задача «исправить ошибку», выполнение задания «вставь пропущенное решение», подведение итогов урока осуществляется в виде графического диктанта. Материал подается с помощью двух презентаций. Первая презентация — общий ход урока, вторая — решение простейших тригонометрических уравнений. К уроку для каждого обучающегося распечатывается опорный лист (часть заданий выполняется на нем), раздаточный материал «Простейшие тригонометрические уравнения». Работа предусматривает самостоятельное оценивание: за каждое правильно выполненное задание обучающиеся начисляют себе баллы. В конце занятия баллы можно просуммировать и выставить оценки.

    Цель: узнать новый вид уравнений — тригонометрические, уметь различать их среди других уравнений, показать применение уравнений в физике. Обеспечить усвоение алгоритма решения простейших тригонометрических уравнений по кругу. Установить связь между алгеброй и другими науками (геометрией, физикой и т.д.).

    Методическое оборудование занятия: раздаточный материал для работы на уроке, опорный лист, мультимедийные презентации, задания в игровой форме в LearningApps, интерактивные чертежи в GeoGebra.

    Организационная структура занятия

    Актуализация опорных знаний, умений и навыков по данной теме

    1. Задания на доске (презентация 1, слайд 1-2). Начертить на тригонометрическом круге точку, соответствующую данному углу: .
    2. Интерактивный тест (презентация 1, слайд 3-4). Укажите, в какой четверти единичной окружности оканчивается дуга.
    3. Выполнение задания на опорных листах (презентация 1, слайд 3-4): напишем себе шпаргалку для изучения новой темы.

    Отметить на единичной числовой окружности координаты точек A, B, C, D и соответствующие им углы первого круга;

    Заполнить таблицу значений основных углов.

    Мотивация обучения

    Задача открытого банка данных ЕГЭ (презентация 1, слайд 6-7):
    мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле. При каком значении угла α (в градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v0 = 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10м/с2.

    Объяснение нового материала

    Беседа с обучающимися

    Итак, тема урока «Простейшие тригонометрические уравнения». Сегодня на уроке мы узнаем новый вид уравнений: тригонометрические. Научимся оперировать математическими понятиями по этой теме, решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью тригонометрического круга, отбирать корни уравнения при дополнительных условиях.

    Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестная величина находится под знаком тригонометрической функции.

    Фронтальная работа

    Интерактивный тест. Рассортировать уравнения в зависимости от их вида (презентация 1, слайд 8). Научимся узнавать тригонометрические уравнения среди остальных.

    Беседа с обучающимися

    Решая задачу про футболиста, мы фактически угадали корень уравнения. Возникают вопросы:

    • чем отличается уравнение в этой задаче от тех, которые мы решали раньше?
    • единственный ли это корень, нет ли других решений;
    • если это уравнение встретится в другой задаче, то мы получим такое же решение?

    Фронтальная работа с динамическими чертежами в среде GeoGebra. Ссылка на скачивание: https://www.geogebra.org/. Результат решения уравнений заносится в опорный лист. Динамический чертеж: https://www.geogebra.org/m/guwvdgtk. «Графическое решение уравнения sin x = a» с помощью графика.

    Беседа с обучающимися

    Для того, чтобы ответить на эти вопросы, решим уравнение sinx = 0,5 графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций y=sin x и y=0,5. Точки пересечения этих графиков и укажут нам корни данного уравнения. 

    • Сколько корней имеет данное уравнение?
    • Мы видим, что точки пересечения графиков повторяются через равные промежутки. Вспомните свойства синуса и назовите длину этого промежутка.
    • Можно ли решить это уравнение проще, не строя громоздкий график?
    • Давайте попробуем найти корни уравнения по тригонометрическому кругу.

    Пояснения для учителя: динамический чертеж https://www.geogebra.org/m/xghwnsen. «Решение уравнения sin x = a» с помощью круга. Двигая ползунок, мы получим графическое решение уравнения при произвольных значениях а, на уроке разобран случай при а=0,5.
    Беседа с обучающимися: проводим прямую y=0,5, параллельную оси ОХ.

    • При каких значениях, а уравнение не будет иметь решений?
    • Мы видим, что прямая пересекает окружность в двух точках, им соответствуют дуги АМ и АС, назовите длины этих дуг в радианах.
    • Запишем все решения этого уравнения (презентация 1, слайд 10-12).
    • Сформулируйте алгоритм решения уравнения sinx = a.

    Алгоритм: проверить имеет ли данное уравнение решения: -1<sin x <1; провести прямую у=а, параллельно оси ОХ, проходящую через точку а на оси ОУ. Отметить дуги, соответствующие решению уравнения, записать совокупность решений данного уравнения.

    Рассмотрим решение уравнения cosx = 0,5. Динамический чертеж: https://www.geogebra.org/m/ebnsghgh. Результат решения записываем в конспект и формулируем алгоритм решения уравнения (презентация 1, слайд 13).

    Рассмотрим решение уравнения tg x = 1.

    Динамический чертеж: https://www.geogebra.org/m/rw4gvvet. Результат решения записываем в конспект и формулируем алгоритм решения уравнения (презентация 1, слайд 14).

    Первичное закрепление материала.

    Минута двигательной активности: мысленно представили себе тригонометрический круг и показали руками, где находятся точки, которые называет учитель.

    Пояснение для учителя: называем точки пересечения окружности с осями в градусах и радианах, например: и т.д.

    Применение полученных знаний в стандартной ситуации (презентация 2). Работа проводится в зависимости от степени подготовленности обучающихся: несколько примеров решается на доске, потом работа в парах с самопроверкой или индивидуально с консультацией преподавателя. За каждое правильно решенное уравнение можно начислить один балл.

    Применение полученных знаний в нестандартных ситуациях.

    1. Студент Вася Иванов решал уравнения, поработайте преподавателем и исправьте ошибки у Васи, если они есть. За каждую правильно исправленную ошибку вы добавляете себе 1 балл (презентация 1, слайд 15-16).
    2. Задание вида «заполнить пропуски». Самостоятельная работа обучающихся с последующей самопроверкой (презентация 1, слайд 17-18). Правильно решенное уравнение добавляет вам два балла.

    Решение уравнения из открытого банка данных ЕГЭ.
    Найдите корень уравнения: . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

    Подведение итогов урока.

    Графический диктант (презентация 1, слайд 19-20): перед вами семь вопросов. Ответьте на них и ваш ответ начертите на треугольниках. Выделите только основание, если ответ «нет» и боковые стороны, если ответ «да». В результате вы получите ломаную, сравните ее с ломаной на доске. За каждый правильный ответ добавьте себе один балл.

    Домашнее задание. Тест вида «Домино» в LearningsApps: рисунок 1, https://learningapps.org/5599467 (презентация 1, слайд 21).

    Рисунок 1

    Опорный лист

    Используемые ресурсы

    1. Learning Apps
    2. Тригонометрическое домино: pogonina68 https://learningapps.org/1475737
    3. В какой четверти точка: Ксения Николаева https://learningapps.org/user/kseniyanik
    4. Решу ЕГЭ https://math-ege.sdamgia.ru/prob_catalog
      GeoGebra https://www.geogebra.org/

    Решение сложных триггерных уравнений | Purplemath

    Purplemath

    • Решите sin (

      x /2) = cos ( x /2) в общем виде.

    Есть разные способы сделать это, но я думаю, что выберу простой выход.Разделив на косинус, я получу касательную:

    (Почему это деление приемлемо? Ну, я не могу делить на ноль, поэтому это деление допустимо, только если косинус не равен нулю. Но в исходном уравнении синус и косинус равны, и они никогда не равны нулю в в том же месте. И тангенс никогда не равен единице, где косинус равен нулю. Таким образом, в этом случае не было проблемы с делением на ноль. Но всегда не забывайте проверять себя, чтобы быть уверенным.)

    MathHelp.com

    Тангенс равен 1 для

    x /2 = 45 °, 225 ° на первом периоде.Но это упражнение требует ответа «во всей общности». Очевидно, я не могу перечислить все значения решения, потому что их бесконечно много. Так что мне придется использовать формулу.

    Из того, что я знаю о графике касательной, я знаю, что тангенс будет равен 1 при 45 ° через каждые 180 °. Эти решения для

    tan ( x /2) находятся при 0 ° + 45 °, 180 ° + 45 °, 360 ° + 45 ° и т. Д. Чтобы дать ответ «в общих чертах», я воспользуюсь формулой:

    x /2 = (180 × n ) ° + 45 °, для всех целых n

    Теперь мне нужно решить для самого x .Умножу на 2:


    В радианах приведенное выше решение будет:

    x /2 = π / 4, 5π / 4, 9π / 4 и т. Д .; и общее решение будет x = 2π n + π / 2


    • Solve 3tan

      3 ( x ) — 3tan 2 ( x ) — tan ( x ) + 1 = 0 в полной общности.

    Я могу разделить это попарно:

    3tan 2 ( x ) [tan ( x ) — 1] — 1 [tan ( x ) — 1] = 0

    [tan ( x ) — 1] [3tan 2 ( x ) — 1] = 0

    загар ( x ) = 1 или загар 2 ( x ) = 1/3

    коричневый ( x ) = 1 или коричневый ( x ) = ± 1/ sqrt [3]

    Первое уравнение решает в первом периоде как:

    Вторая решает в первом периоде как:

    x = 30 °, 150 °, 210 °, 330 °

    Чтобы сделать решение «общим», мне нужно сформулировать приведенные выше решения в виде формулы, чтобы учесть каждый период.

    Первое решение на 45 ° больше, чем кратное 180 °, поэтому подойдет (180 n ) ° + 45 °. Второе решение — на 30 ° больше, чем кратное 180 °, и (из-за «плюс / минус») также на 30 ° меньше того же кратного, поэтому (180 n ) ° ± 30 ° будет покрывать эту часть .

    x = (180 n ) ° ± 30 °, (180 n ) ° + 45 ° для всех целых чисел n


    • Решить на [0, 2π)

    Что за чертовщина…?!?

    Когда похоже, что ничего не работает, иногда помогает выразить все в терминах синуса и косинуса. Этот процесс, примененный к этому уравнению, дает мне:

    Это не намного лучше … но первые два члена имеют общий множитель 2. Если я конвертирую последний член в общий знаменатель с третьим членом, что это даст мне?

    Если я разложу на множители 2 из первых двух членов и квадратный корень из 3 и косинус из вторых двух членов, я получу:

    Теперь я могу вынести общий множитель:

    Уф! Это действительно сработало! Хорошо, теперь мне нужно решить факторы.Первый множитель решает как:

    Это уравнение верно при x = 60 ° и, в силу симметрии касательной кривой, также при x = 180 ° + 60 ° = 240 °. В радианах это

    .

    Второй множитель решает как:

    Косинус принимает это значение при x = 30 ° и, в силу симметрии кривой косинуса, также при x = 360 ° — 30 ° = 330 °.В радианах это

    . Итак, мое решение:


    • Solve ln (2 — sin

      2 ( x )) = 0 при 0 ° < x <360 °

    Натуральный логарифм (ну, любой логарифм) равен нулю, когда аргумент равен 1, поэтому это дает мне:

    2 — sin 2 ( x ) = 1

    1 — sin 2 ( x ) = 0

    (1 — грех ( x )) (1 + sin ( x )) = 0

    1 = sin ( x ) или 1 = –sin ( x )

    Исходя из того, что я знаю о синусоиде, мое решение:


    • Журнал решения

      3 (2sin ( x )) = 1/2 на [0, 2π)

    По природе логарифмов эквивалентное экспоненциальное уравнение имеет вид:

    Синус принимает это значение в

    , а также в.Тогда мое решение:


    Ожидайте, что потребуется фактор (особенно квадратичный) для решения некоторых тригонометрических уравнений, а также ожидайте, что потребуется использовать триггерные тождества. Не бойтесь пробовать разные методы; иногда ваш первый импульс не приводит ни к чему полезному, но ваше второе предположение может сработать. И обратите особое внимание на любые необычно сложные примеры в вашем учебнике, так как они могут содержать подсказки о том, какие уловки вам понадобятся, особенно в следующем тесте.


    Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении тригонометрических уравнений. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. (Если вам не сказали решать «в общих чертах», не забудьте указать интервал, как показано ниже.) Затем нажмите кнопку и, для получения наилучших результатов, выберите «Решить через интервал», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

    Примечание: решающая программа может предоставить только «точные» решения, а иногда и любое решение, если вы в радианах.Используйте дипломы на свой страх и риск!

    (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvtrig2.htm

    Специальные значения углов: 30-60-90 и 45-45-90 Треугольники

    Purplemath

    Есть несколько ( очень ) углов, которые имеют относительно «аккуратные» тригонометрические значения, включая, в худшем случае, один квадратный корень.Из-за их относительно простых значений, эти углы обычно используются в математических задачах (особенно в математических вычислениях), и вы будете ожидаемых , чтобы запомнить значения этих углов.

    Ожидается, что вы будете использовать эти значения для получения «точных» ответов при решении прямоугольных треугольников и нахождении значений различных тригонометрических соотношений.

    Обычно в учебниках эти значения представлены в виде таблицы, которую вы должны запомнить.Но картинки часто легче вспомнить на тестах и ​​т. Д., По крайней мере, для некоторых из нас. Если эти таблицы не работают для вас, то этот урок покажет, как многие люди (включая меня!) на самом деле отслеживают эти значения.

    MathHelp.com

    Далее я использую градусы для измерения углов.Обычно так студентов знакомят с угловыми мерами. Однако, если вы работаете с радианами, я также отмечу эквиваленты радианов для измерения угла.


    Значения угла 45 ° (из треугольника 45-45-90)

    Все треугольники 45-45-90 похожи; то есть все они имеют соотношения сторон. (Угол в 45 ° в радианах равен

    π / 4.) Итак, давайте посмотрим на очень простой угол 45-45-90:

    Гипотенуза этого треугольника, обозначенного выше как 2, находится путем применения теоремы Пифагора к прямоугольному треугольнику со сторонами, имеющими длину

    sqrt [2]
    .Базовый угол в нижнем левом углу обозначен символом «тета» (θ, THAY-tuh) и равен 45 °. Так как же нам помогает знание этого треугольника?

    Это помогает нам, потому что все треугольники 45-45-90 похожи. Следовательно, любой вопрос «оценки» или «решение треугольника», включающий треугольник 45-45-90 или просто угол 45 °, может быть выполнен с использованием этого треугольника. Эта картинка — все, что вам нужно.


    Значения углов 30 ° и 60 ° (из треугольника 30-60-90)

    Когда нам нужно работать под углом 30 или 60 градусов, процесс аналогичен описанному выше, но настройка немного дольше.(Угол 30 ° эквивалентен углу

    π / 6 радиан; угол 60 ° эквивалентен углу π / 3 радиан.)

    Для любого из углов это треугольник, с которого мы начинаем:

    Это треугольник 60-60-60 (то есть равносторонний треугольник), длина сторон которого равна двум единицам.

    Опускаем вертикальную биссектрису с верхнего угла вниз на нижнюю сторону:

    Обратите внимание, что эта биссектриса также является высотой (высотой) треугольника.

    Используя теорему Пифагора, мы получаем, что длина биссектрисы равна

    sqrt [3]. И эта биссектриса образовала два треугольника 30-60-90.

    Когда мы работаем с углом 60 градусов, мы используем левый треугольник наверху, он стоит, с основным углом (слева), обозначенным «α» (AL-phuh, забавно выглядящим «a»). «):

    Когда мы работаем с углом 30 градусов, мы используем правый треугольник, перевернутый влево, базовый угол (слева) обозначен «β» (BAY-tuh, забавно выглядящая буква «b»). ):

    Мы можем найти тригонометрические значения и соотношения для треугольников с 30 и 60 градусами точно так же, как и с треугольниками с 45 градусами.Все, что вам нужно, — это изображения выше.


    Вы можете найти одного из тех учителей, которые не хотят, чтобы вы рисовали эти картинки (потому что к этому моменту вы должны все запомнить). Вот почему у твоего карандаша есть ластик. Мой инструктор по исчислению II сказал, что если мы нарисуем картинки на наших тестах, вся задача будет засчитана неправильно. Я все равно рисовал картинки, но очень легко, и стер их все, прежде чем сдать тесты. Он так и не узнал, и я прошел курс.Делай то, что должен.


    Использование стола

    Рисунки выше — это то, что я всегда использовал, и многие находят их полезными. С другой стороны, некоторые люди предпочитают таблицы или другие методы. Если вам больше подходят таблицы, то настоятельно рекомендуется использовать этот стол, который был протестирован действующим инструктором:

    Чтобы найти, скажем, синус угла в сорок пять градусов, вы проследите его поперек в строке «грех» и вниз по столбцу «45 °», взяв с собой символ квадратного корня и не забывая включите «деленное на 2» снизу, чтобы получить

    sin (45 °) = sqrt (2) / 2.Аккуратный узор «1, 2, 3» в верхней строке и «3, 2, 1» в средней строке призван помочь вам запомнить значения таблицы. Имейте в виду, что квадратный корень из 1 равен 1, поэтому, например, cos (60 °) = sqrt (1) / 2 = 1/2. Чтобы найти тангенс, нужно разделить значение синуса на значение косинуса.


    Использование пальцев

    Другой метод использует вашу левую руку, чтобы сделать то же самое. Повернув ладонь к себе, отсчитайте основные исходные углы, начиная с большого пальца: 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °.

    Чтобы найти значение триггера, вы опустите палец, соответствующий этому углу, держа ладонь к себе. В качестве значения синуса вы возьмете квадратный корень из числа пальцев слева от опущенного пальца и разделите его на 2; для значения косинуса возьмите квадратный корень из числа пальцев справа от опущенного пальца и разделите на 2; для касательной разделите квадратный корень из числа пальцев слева на квадратный корень из числа справа (и при необходимости рационализируйте).

    Например, если вы хотите работать под углом в тридцать градусов, вы должны сориентировать руку следующим образом:

    Синус — это квадратный корень из большого пальца (то есть квадратный корень из «единицы») над двумя, что дает:

    Косинус — это квадратный корень из трех ваших пальцев (то есть квадратный корень из трех) над двумя, что дает:


    Филиал


    С другой стороны, если вы хотите оценить sin (0 °), cos (0 °) и cot (0 °), вы должны сориентировать левую руку следующим образом:

    Поскольку ваш большой палец сложен, 0 пальцев слева и 4 пальца справа.Тогда значения синуса и косинуса находятся как:

    sin (0 °) = sqrt [0] / 2 = 0

    cos (0 °) = sqrt [4] / 2 = 1

    Котангенс — это величина, обратная касательной. Какое значение тангенса?

    тангенс угла (0 °) = sqrt [0] / sqrt [4] = 0

    Переворачивание вышеуказанного приведет к делению на ноль, что недопустимо.Итак, cot (0 °) не определено.

    (Угол в 0 ° эквивалентен углу в 0 радиан. Угол в 90 ° эквивалентен углу в

    π / 2 радиан.)


    URL: https://www.purplemath.com/modules/specang.htm

    Решение тригонометрических уравнений — Semper Fi Mathematics

    Все сводится к этому.Тождества не только помогут нам выполнять исчисления для любых задач, связанных с тригонометрией, но они помогут нам решить тригонометрические уравнения.

    Тригонометрическое уравнение — это уравнение, которое содержит некую тригонометрическую функцию с переменной внутри нее. Наша задача, очевидно, состоит в том, чтобы найти все значения, которые делают уравнение истинным. Но вот что интересно: ответов может быть множество, иногда бесконечно. Чтобы помочь с этим, мы ограничиваем интервал до 0 ° ≤ x ° <360 °. Таким образом, мы можем ограничить наш ответ от возможно бесконечного до четырех и даже до нуля.Не волнуйтесь, вам будут напоминать в начале каждой проблемы, поэтому не беспокойтесь о попытках запомнить это.

    Иногда уравнения будут такими же простыми, как просто решить тригонометрическую функцию и использовать обратную функцию для решения относительно x. Это просто. Но в большинстве случаев нам придется изменять уравнение, потому что может быть несколько триггерных функций, и мы не можем решить только одну так легко. Вот тут-то и пригодятся триггерные тождества, так что хорошо их запомните. Это может быть немного сложно.Однако, если вы можете проверить тригонометрические тождества, тогда решить тригонометрические уравнения легко. Различия?

    Проверка тригонометрических тождеств включает изменение каждой стороны уравнения до тех пор, пока вы не получите истинное утверждение.

    Решение тригонометрических уравнений включает примерно ту же предпосылку, что и проверка тождественности, но мы решим для x, чтобы закончить проблему.

    Начнем с одного:

    Пример 1. Решите уравнение. Найдите все решения в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °.

    sin x — 1 = 0

    Это просто. Начните с решения тригонометрического уравнения. Мы можем сделать это, добавив 1 к каждой стороне:

    sin x = 1

    Мы могли бы использовать обратную тригонометрическую функцию для решения относительно x, но почему? Какое единственное значение, в котором грех равен 1? Это элементарный круговой элемент:

    x = 90 °

    Это единственное значение, которое делает sin равным 1, поэтому есть наше решение. К счастью, есть только одно решение, но их может быть целых четыре.Запомни.

    А теперь немного по алгебре:

    Пример 2. Решите следующее уравнение. Найдите все решения в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °:

    5 sin x = 3 sin x + √3

    Вы должны знать, как это сделать. Это простая алгебра, поэтому вычтите 3 sin x из каждой стороны:

    2 sin x = √3

    Разделите на 2:

    sin x = √3 / 2

    Сделайте обратный грех для каждой стороны:

    x = arcsin (√3 / 2)

    x = 60 °

    Мы еще не закончили! Если мы что-то знаем об единичном круге, мы знаем, что грех положителен в первом и втором квадрантах! Итак, действительно ли у нас есть два решения? Мы можем и делаем.Как найти решение во втором квадранте? Разве мы не вычитаем наш опорный угол из 180 °?

    180-60 = 120

    Попробуем:

    sin 120 = √3 / 2

    У нас есть. Наши решения: 60 ° и 120 ° .

    Всегда проверяйте свои решения, прежде чем принимать их в качестве решений. Это очень важно.

    Это простая алгебра. Теперь попробуйте быстрый набор задач.

    Наборы задач, часть 1

    Решите каждое уравнение.Убедитесь, что любое найденное вами решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °. Следите за посторонними решениями. Если нет решения, напишите «нет решения».

    1. 2 tan x = √2

    2. 2 cos x = √3

    3. sin x + 1 = 0

    4. tan x + 1 = 0

    5. sin x — 3 = 0

    Это, пожалуй, самый простой тип тригонометрических уравнений. Если это так же просто, как, ну, простая алгебра, то это может быть действительно легко. Иногда это не так.Во многих случаях нам придется немного разложить на множители, чтобы решить некоторые уравнения. В других случаях у нас будет несколько углов, с которыми нам придется иметь дело, но это легко с некоторой работой. В большинстве случаев нам придется изменять уравнение, используя тождество. Как насчет того, чтобы использовать квадратную формулу для решения тригонометрических уравнений? Этот немного отличается, но как только мы решим некоторые из этих типов проблем, все станет легко.

    Начнем с факторинга:

    Пример 3. Решите уравнение.Убедитесь, что каждое найденное решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °.

    sin² x + sin x = 0

    Это легко, если вы его применили.

    Мы можем решить это уравнение, разложив на множители sin x из левой части:

    sin x (sin x + 1) = 0

    Используйте свойство нулевого произведения:

    sin x = 0

    x = 0 ° , 180 °.

    Здесь есть два решения, поскольку sin равен 0 в двух местах. Это основной единичный круг.

    Теперь нам нужно получить другой:

    sin x + 1 = 0

    sin x = -1

    x = 270 °.

    У нас есть три решения: 0 °, 180 ° и 270 ° .

    Легко.

    Это не так уж и плохо. Если вы можете фактор, вы можете это сделать.

    Давайте сделаем еще один, но на этот раз с дополнительным бонусом:

    Пример 4. Решите следующее уравнение. Убедитесь, что каждое найденное решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °. Следите за посторонними решениями:

    tan x sin² x = 3 tan x

    Да, этот посторонний раствор немного. Если мы имеем дело с тригонометрическими функциями, то возможны посторонние решения, поскольку есть ограничения на обратные тригонометрические функции.

    Начните с вычитания 3 tan x с каждой стороны. Как только мы это сделаем, мы получим эту кляксу беспорядка:

    tan x sin² x — 3 tan x = 0

    Что теперь? Не отступай сейчас! Выложите множитель на тангаж x с левой стороны!

    tan x (sin² x — 3) = 0

    Выполните свойство нулевого произведения и решите оба уравнения. Начнем с касательной:

    tan x = 0

    Опять же, с единичным кругом! Я же сказал, что это никогда не уйдет! Где тангенс 0? Это где грех 0, верно?

    x = 0 °, 180 °.

    Теперь мы переходим к sin² x — 3 = 0.

    sin² x = 3

    sin x = +/- √3

    x = arcsin (+/- √3)

    У нас есть проблема. Может ли грех действительно быть √3, любым знаком? Неа. √3 и -√3 находятся вне домена arcsin! Помните, что домен arcsin находится между -1 и 1, включая эти два значения. √3 составляет около 1,73, поэтому находится за пределами домена. Следовательно, нет решения для греховной части уравнения.

    У этого уравнения есть только два решения: 0 ° и 180 ° .

    Сделайте набор задач.

    Наборы задач, часть 2

    Решите каждое уравнение. Убедитесь, что каждое найденное решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °. Следите за посторонними решениями.

    А теперь повеселимся. Каждое из следующих уравнений подразумевает, что нам необходимо заменить одно тригонометрическое выражение другим, используя тождества. Давай сделаем это.

    Пример 5. Решите следующее уравнение. Убедитесь, что каждое найденное решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °:

    cos² x + cos x = sin² x

    Что это? Это похоже на сплошной беспорядок.Хотя не совсем. На самом деле это довольно просто. Цель здесь — попытаться свести все триггерные функции в уравнении к одной. В этом случае мы хотим, чтобы все они были cos. Но как это сделать?

    Если мы посмотрим на правую часть уравнения, мы увидим sin² x из-за его одинокости. Как превратить этот квадратный грех в cos? Это просто. Если вы помните свои пифагорейские тождества, то это несложно:

    cos² x + cos x = sin x

    cos² x + cos x = 1 — cos² x

    Поместите все в левую часть уравнения:

    2 cos² x + cos x — 1 = 0

    У нас есть квадратное уравнение! Прохладный! Воспользуемся для этого нашей техникой подстановки.Если вы прошли мой урок по уравнениям в квадратичной форме, вы можете это сделать. Студенты, изучающие математику на среднем и продвинутом уровнях, могут напрямую разложить это на множители:

    u = cos x

    2u² + u- 1 = 0

    Это можно разложить на множители:

    (2u — 1) (u + 1) = 0

    2u — 1 = 0

    u = 1/2

    u + 1 = 0

    u = -1

    -1 — это просто. Где cos -1? 180 °, вот где!

    Есть одно решение. Теперь о другом:

    cos x = 1/2

    Мы знаем, что здесь есть два решения.Поскольку cos положительна в первом и четвертом квадрантах, мы можем очень легко это понять:

    cos x = 1/2

    x = arccos 1/2

    x = 60 °

    Это один. Поскольку мы также знаем, что cos также положителен в четвертом квадранте, мы просто вычитаем 60 из 360 для нашего окончательного решения!

    360 ° — 60 ° = 300 °

    У нас есть три решения: x = 60 °, 180 ° и 300 ° .

    Это было не так уж и плохо. Если вы запомните свою личность, это будет несколько проще.В некотором роде.

    Примерьте эту на размер:

    Пример 6. Решите следующее уравнение. Убедитесь, что каждое решение находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °:

    sin x = cos x

    Хмм, это выглядит странно. Это действительно так, и это уравнение на самом деле дурацкое. Если мы попытаемся вычесть этот cos x с каждой стороны, мы получим следующее:

    sin x — cos x = 0

    Это абсолютно ничего для нас не делает. Что теперь?

    Вот тут и сбивает с толку.Это потому, что мы так привыкли к вычитанию (или сложению) здесь, что даже не думали об этом! Мы сделали это только один раз во время конических сечений. Мы собираемся РАЗДЕЛИТЬ каждую сторону на cos x! Вот он:

    sin x / cos x = 1

    Левая часть представляет собой частное тождество:

    tan x = 1

    Итак, где же tan положительный? В первом и третьем квадранте! Легкий.

    tan x = 1

    x = arctan 1

    x = 45 °

    Поскольку tan положителен и в третьем квадранте, мы добавляем 45 ° к 180 ° для другого решения:

    180 ° + 45 ° = 225 °.

    Решения 45 ° и 225 °. Но мы закончили? Почти. Мы можем это проверить.

    Если разделить на sin x, мы получим:

    cos x / sin x = 1

    cot x = 1

    x = arccot ​​1

    x = 45 °

    Да. то же самое.

    У нас есть два решения: x = 45 ° и 225 ° .

    Вот еще один:

    Пример 7. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала. Следите за посторонними решениями:

    sin x + cos x = 1 0 ° ≤ x ° <360 °

    Ну, это другое.На самом деле это так. Однако у нас есть огромная проблема: кроме частных и взаимных идентичностей, которые абсолютно ничего не делают для нас, нет идентичностей, которые могут нам здесь помочь.

    Вот здесь и проявляется наше творчество. Нам действительно нужно заставить личность раскрыть себя. Как?

    Мы собираемся заставить пифагорейскую идентичность раскрыть себя. Мы знаем, что пифагорейские тождества вращаются вокруг квадрата греха и созидания. Для этого мы будем квадратными с каждой стороны.Это заставит идентичность:

    sin x + cos x = 1

    (sin x + cos x) ² = 1²

    sin² x + 2 sin x cos x + cos² x = 1

    Теперь самое интересное. Переставим его так:

    sin² x + cos² x + 2 sin x cos x = 1

    Вот наша пифагорейская идентичность. Вы знаете, что делать:

    1 + 2 sin x cos x = 1

    2 sin x cos x = 0

    СЕЙЧАС становится весело. Разделите каждую сторону на 2:

    sin x cos x = 0

    Что теперь? Чтобы выполнить эту часть, нам нужно разделить каждую сторону на каждую триггерную функцию.Вот как это сделать:

    Начните с деления каждой стороны на sin x:

    cos x = 0

    Какие два значения делают cos равным 0? 90 ° и 270 ° — наши виновники.

    Теперь нам нужно разделить каждую сторону на cos x:

    sin x = 0

    Опять же, какие два значения делают sin равным 0? Это будет 0 ° и 180 °, верно?

    Как удобно. Наши четыре решения: 0 °, 90 °, 180 ° и 270 °. Вы также могли использовать свойство нулевого продукта для решения вышеуказанной проблемы вместо разделения.Но это работает.

    Но не совсем. Если вы проверите все четыре, вы увидите, что 180 ° и 270 ° — сторонние решения. Ваши фактические решения: 0 ° и 90 ° . Не верите мне? Проверьте их сами.

    Вот проблема с разными функциями триггера. Это тупица:

    Пример 8. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала. Следите за посторонними решениями:

    tan x + sec x = 1 0 ° ≤ x ° <360 °

    Вы возненавидите эту проблему.Это связано с множеством шагов.

    Во-первых, мы не можем решить это уравнение. По крайней мере, не прямо. Начните с вычитания секунд x и 1 из каждой стороны каждого уравнения:

    tan x — 1 = -sec x

    СЕЙЧАС возведи квадрат с каждой стороны:

    (tan x — 1) ² = (-sec x) ²

    tan² x -2 tan x + 1 = sec² x

    Правая сторона — это пифагорейская идентичность:

    tan² x — 2 tan x + 1 = tan² x + 1

    Tan² x + 1 отменяется из-за равенства:

    -2 tan x = 0

    Разделите каждую сторону на -2:

    tan x = 0

    Где tan равен 0? Конечно, везде, где грех равен 0, верно?

    x = 0 ° и 180 °.

    Теперь нам нужно проверить решения. Я уверен, что вы поняли это из части «Следите за посторонними решениями».

    tan x + sec x = 1

    tan 0 + sec 0 = 1?

    0 + 1 = 1? Это проверяет.

    загар 180 + сек 180 = 1?

    0 + -1 = 1? Ни единого шанса.

    У нас есть только одно решение: x = 0 ° .

    Попробуйте набор задач. Не забудьте использовать свою личность! Для некоторых из этих проблем могут потребоваться идентификаторы, которые не использовались в этом уроке, который мы рассмотрели в предыдущих уроках.Используйте свое здравое суждение.

    Наборы задач, часть 3

    Решите каждое уравнение. Убедитесь, что каждый раствор находится в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °. Следите за посторонними решениями. Если нет решения, напишите «нет решения».

    1. 2 cos² x + sin x = 1

    2. 4 sin² x + 4 cos x — 5 = 0

    3. sin x cos x = √3 / 4

    4. sin x + cos x = -1

    5. tan x — sec x = 1

    6. csc x + cot x = 1

    Теперь немного поработаем с калькулятором.Мы не собираемся постоянно получать результаты под полным углом. Возможно, нам придется обратиться к алгебре и квадратной формуле для решения этих уравнений, но мы не сможем найти эти результаты через единичный круг. Чтобы решить эту проблему, нам придется полагаться на наши калькуляторы. В следующих примерах и сопутствующем наборе задач нам потребуется, чтобы наши калькуляторы были в градусном режиме, поэтому убедитесь, что ваши калькуляторы находятся в градусном режиме, прежде чем вводить какие-либо числа!

    Пр.9. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала.Округлите ваши решения до двух десятичных знаков:

    cos x = -2/5 0 ° ≤ x ° <360 °

    Хорошо, это просто. Начните с вычисления обратного косинуса каждой стороны:

    x = arccos (-2/5)

    Используйте калькулятор, чтобы вычислить это, округляя до двух десятичных знаков:

    x = 113,58 °

    Не забывайте, что cos также отрицателен в третьем квадранте! Добавьте этот результат к 180 °

    180 + 113,58 = 193,58

    . Решения: 133.58 ° и 193,58 ° .

    Увидеть? Это было просто.

    Вот еще один:

    Пример 10. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала. Округлите ответ до двух десятичных знаков:

    tan x = -3 0 ° ≤ x ° <360 °

    Еще один простой ответ. Не забывайте, что касательная во втором и четвертом квадрантах отрицательна. Возьмите арктангенс каждой стороны:

    tan x = -3

    x = arctan -3

    x = -71.565051177077989

    Поскольку нам не нравятся отрицательные углы, мы вычитаем это из 360 для решения четвертого квадранта:

    x = 288,45 °

    Мы еще не закончили! Вы должны помнить, что касательная также отрицательна во втором квадранте! Но как найти угол во втором квадранте с учетом угла в четвертом?

    Это просто. Мы делаем полную противоположность тому, что делаем обычно. Когда мы были во втором квадранте, мы добавили к нему 180 градусов, чтобы определить угол четвертого квадранта.Мы собираемся сделать прямо противоположное: мы собираемся ВЫЧИТАТЬ из него 180, чтобы получить угол второго квадранта:

    288,45 — 180 = 108,45 °

    Нам нужно будет проверить, что tan 108,45 достаточно близок к — 3 насколько это возможно:

    tan 108,45 ° = -2,997375

    Да, достаточно близко. Наши решения: 288,45 ° и 108,45 ° .

    Да, эти решения вышли из строя, но, по крайней мере, мы их получили. Ну и что?

    Давайте рассмотрим последний пример, и на этот раз мы собираемся углубиться в алгебру прошлого, чтобы решить эту проблему.

    Пример 11. Решите следующее уравнение в пределах заданного интервала. Следите за посторонними решениями и округлите их до двух десятичных знаков:

    cos² x — 2 cos x — 1 = 0 0 ° ≤ x ° <360 °

    Эй, разве мы не решили квадратичный как это раньше? Мы сделали, но после выполнения u-подстановки вы увидите, что уравнение нельзя разложить на множители:

    u = cos x

    u² — 2u — 1 = 0

    Существуют ли какие-либо множители -1, которые складываются до -2? Нет:

    -1 + 1 = 0

    1 + -1 = 0

    Итак, что теперь? Придется пойти на решительные меры: ужасная квадратная формула.Это уравнение также можно решить, заполнив квадрат. Мы собираемся завершить квадрат здесь, но помните, что квадратная формула в вашем распоряжении, если вам нужно использовать ужасную вещь:

    Половина 2? 1.

    1²? Это 1.

    Не забудьте добавить его к обеим сторонам уравнения:

    u² — 2u — 1 = 0

    u² — 2u = 1

    u² — 2u + 1 = 1 + 1

    (u — 1) ² = 2

    u — 1 = +/- √2

    u = 1 +/- √2

    Теперь нам нужно установить их равными cos x и вычислить оттуда:

    cos x = 1 + √2

    Мы уже можем сказать, что это не сработает, так как мы должны к чему-то прибавить 1.Напомним, что обратный косинус не может оценивать что-либо ниже -1 и выше 1. Выбросьте эту присоску.

    Нам еще предстоит разобраться с cos x = 1 — √2. У этого есть решения:

    cos x = 1 — √2

    cos x = -0,414213562

    x = 114,47 °, грубо говоря.

    Не забывайте, что cos отрицателен в третьем квадранте!

    360 — 114,47 = 245,53

    Если вы просто добавите к нему 90, вы получите 204,45, что на самом деле неверно, если вы проверите его.

    Наши два решения: 114.47 ° и 245,53 ° .

    Вот и последний комплект задач. На этот раз я собираюсь добавить все из этого урока, включая примеры 9–11, в этот набор задач. Вам решать, какой метод использовать. Не сердитесь на меня! Ваш инструктор перемешает задачи на тестах, и вам придется делать то же самое! Я просто готовлю тебя!

    Наборы задач, Часть 4

    Решите каждое уравнение в интервале 0 ° ≤ x ° <360 °.{2} (t) + \ sin (t) \ nonumber \]

    Это создает уравнение, которое является полиномиальной триггерной функцией. С этими типами функций мы используем алгебраические методы, такие как разложение на множители и квадратные формулы, а также тригонометрические тождества и методы для решения уравнений.

    Напоминаем, что вот некоторые из основных тригонометрических тождеств, которые мы узнали на данный момент:

    Определения: ИДЕНТИЧНОСТИ

    Пифагорейские тождества

    \ [\ cos ^ {2} (t) + \ sin ^ {2} (t) = 1 \ quad 1+ \ cot ^ {2} (t) = \ csc ^ {2} (t) \ quad 1 + \ tan ^ {2} (t) = \ sec ^ {2} (t) \]

    Отрицательный угол Идентификаторы

    \ [\ sin (-t) = — \ sin (t) \ quad \ cos (-t) = \ cos (t) \ quad \ tan (-t) = — \ tan (t) \]

    \ [\ csc (-t) = — \ csc (t) \ quad \ sec (-t) = \ sec (t) \ quad \ cot (-t) = — \ cot (t) \]

    Взаимное Идентификаторы

    \ [\ sec (t) = \ dfrac {1} {\ cos (t)} \ quad \ csc (t) = \ dfrac {1} {\ sin (t)} \ quad \ tan (t) = \ dfrac {\ sin (t)} {\ cos (t)} \ quad \ cot (t) = \ dfrac {1} {\ tan (t)} \]

    Пример \ (\ PageIndex {1} \)

    Решите \ (2 \ sin ^ {2} (t) + \ sin (t) = 0 \) для всех решений с \ (0 \ le t <2 \ pi \).

    Решение

    Это уравнение выглядит как квадратное уравнение, но с sin ( t ) вместо алгебраической переменной (мы часто называем такое уравнение «квадратичным по синусу»). Как и во всех квадратных уравнениях, мы можем использовать методы факторизации или квадратную формулу. Это выражение хорошо разложено на множители, поэтому мы вычленим общий множитель sin (\ (t \)):

    \ [\ sin (t) \ left (2 \ sin (t) +1 \ right) = 0 \ nonumber \]

    Используя теорему о нулевом произведении, мы знаем, что произведение слева будет равно нулю, если любой из множителей равен нулю, что позволяет нам разбить это уравнение на два случая:

    \ [\ sin (t) = 0 \ text {или} 2 \ sin (t) + 1 = 0 \ nonumber \]

    Мы можем решить каждое из этих уравнений независимо, используя наши знания о специальных углах.

    \ [\ sin (t) = 0 \ nonumber \]
    \ [2 \ sin (t) + 1 = 0 \ nonumber \]
    \ [t = 0 \ text {или} t = \ pi \ nonumber \]
    \ [\ sin (t) = — \ dfrac {1} {2} \ nonumber \]
    \ [t = \ dfrac {7 \ pi} {6} \ text {или} t = \ dfrac {11 \ pi } {6} \ nonumber \]

    Вместе это дает нам четыре решения уравнения на \ (0 \ le t <2 \ pi \):

    \ [t = 0, \ pi, \ dfrac {7 \ pi} {6}, \ dfrac {11 \ pi} {6} \ nonumber \]

    Мы могли бы проверить эти ответы, построив график функции и сравнив нули.{2} -5u-2 = (3u + 1) (u-2) \ nonumber \]

    Отмена замены,

    \ [(3 \ сек (t) +1) (\ сек (t) -2) = 0 \ nonumber \]

    Поскольку у нас есть произведение, равное нулю, мы разбиваем его на два случая и решаем каждый отдельно.

    \ [3 \ sec (t) + 1 = 0 \ nonumber \] Изолировать секанс
    \ [\ sec (t) = — \ dfrac {1} {3} \ nonumber \] Записать как косинус
    \ [\ dfrac {1} {\ cos (t)} = — \ dfrac {1} {3} \ nonumber \] Обернуть обе стороны
    \ [\ cos (t) = — 3 \ nonumber \]

    Так как косинус имеет диапазон [-1, 1], косинус никогда не принимает на выходе -3.В этом случае нет никаких решений.

    Продолжая второй случай,

    \ [\ sec (t) -2 = 0 \ nonumber \] Изолировать секанс
    \ [\ sec (t) = 2 \ nonumber \] Записать как косинус
    \ [\ dfrac {1} {\ cos (t )} = 2 \ nonumber \] Инвертировать обе стороны
    \ [\ cos (t) = \ dfrac {1} {2} \ nonumber \] Это дает два решения
    \ [t = \ dfrac {\ pi} {3} \ text {или} t = \ dfrac {5 \ pi} {3} \ nonumber \]

    Это единственные два решения на интервале. {2} (t) -5 \ sec (t) -2 \), взгляд на график подтверждает, что у этой функции есть только два нуля на интервал [0, 2 \ (\ pi \)), который гарантирует нам, что мы ничего не пропустили.{2} (t) +3 \ sin (t) + 1 = 0 \) для всех решений с \ (0 \ le t <2 \ pi \).

    Ответ

    Разложите на множители \ [\ left (2 \ sin (t) +1 \ right) \ left (\ sin (t) +1 \ right) = 0 \ nonumber \]
    \ [2 \ sin (t) + 1 = 0 \ text {at} t = \ dfrac {7 \ pi} {6}, \ dfrac {11 \ pi} {6} \ nonumber \]
    \ [\ sin (t) + 1 = 0 \ text {at} t = \ dfrac {3 \ pi} {2} \ nonumber \]
    \ [t = \ dfrac {7 \ pi} {6}, \ dfrac {3 \ pi} {2}, \ dfrac {11 \ pi} {6} \ nonumber \]

    При решении некоторых тригонометрических уравнений возникает необходимость сначала переписать уравнение, используя тригонометрические тождества.{2} (t) + \ cos (t) -1 = 0 \ nonumber \] Фактор
    \ [\ left (2 \ cos (t) -1 \ right) \ left (\ cos (t) +1 \ right ) = 0 \ nonumber \]

    Этот продукт будет равен нулю, если любой из множителей равен нулю, поэтому мы можем разбить это на два отдельных случая и решить каждый независимо. {2} (t) = 3 \ cos (t) \) для всех решений с \ (0 \ le t <2 \ pi \).{2} (t) +3 \ cos (t) -2 = 0 \ nonumber \]
    \ [\ left (2 \ cos (t) -1 \ right) \ left (\ cos (t) +2 \ right ) = 0 \ nonumber \]
    \ (\ cos (t) + 2 = 0 \) не имеет решений \ (2 \ cos (t) -1 = 0 \) в \ (t = \ dfrac {\ pi} { 3}, \ dfrac {5 \ pi} {3} \)

    В дополнение к тождеству Пифагора часто необходимо переписать тангенс, секанс, косеканс и котангенс как часть решения уравнения.

    Пример \ (\ PageIndex {4} \)

    Решите \ (\ tan (x) = 3 \ sin (x) \) для всех решений с \ (0 \ le x <2 \ pi \).

    Решение

    С комбинацией тангенса и синуса мы могли бы попробовать переписать тангенс

    \ [\ tan (x) = 3 \ sin (x) \ nonumber \]
    \ [\ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} = 3 \ sin (x) \ nonumber \] Умножение обе стороны косинусом
    \ [\ sin (x) = 3 \ sin (x) \ cos (x) \ nonumber \]

    На этом этапе у вас может возникнуть соблазн разделить обе части уравнения на sin (\ (x \)).

    Сопротивляйтесь желанию . Когда мы делим обе части уравнения на количество, мы предполагаем, что это количество никогда не равно нулю.В этом случае, когда sin (\ (x \)) = 0, уравнение удовлетворяется, поэтому мы потеряем эти решения, если разделим на синус.

    Чтобы избежать этой проблемы, мы можем изменить уравнение так, чтобы одна сторона была равна нулю (технически можно разделить на sin ( x ), если вы отдельно рассматриваете случай, когда sin ( x ) = 0. Поскольку об этом шаге легко забыть, рекомендуется использовать метод факторинга, использованный в примере.).

    \ [\ sin (x) -3 \ sin (x) \ cos (x) = 0 \ nonumber \] Вычитание sin (\ (x \)) из обеих частей
    \ [\ sin (x) \ left ( 1-3 \ cos (x) \ right) = 0 \ nonumber \]

    Отсюда мы видим, что получаем решения, когда \ (\ sin (x) = 0 \) или \ (1-3 \ cos (x) = 0 \).{-1} \ left (\ dfrac {1} {3} \ right) \ приблизительно 1,231 \ nonumber \] Использование симметрии для нахождения второго решения
    \ [x = 2 \ pi -1,231 = 5,052 \ nonumber \]

    У нас есть четыре решения на \ (0 \ le x <2 \ pi \):

    \ [x = 0, 1,231, \ quad \ pi, 5,052 \ nonumber \]

    Пример \ (\ PageIndex {3} \)

    Решите \ (\ sec (\ theta) = 2 \ cos (\ theta) \), чтобы найти первые четыре положительных решения. {2} (\ theta)} +3 \ cos \ left (\ theta \ right) = 2 \ cot \ left (\ theta \ right) \ tan \ left ( \ theta \ right) \) для всех решений с \ (0 \ le \ theta <2 \ pi \).{-1} \ left (0,425 \ right) = 1,131 \ nonumber \] По симметрии можно найти второе решение
    \ [\ theta = 2 \ pi -1,131 = 5,152 \ nonumber \]

    Важные темы этого раздела

    • Обзор триггерных идентификаторов
    • Решение триггерных уравнений
    • Факторинг
    • Использование квадратичной формулы
    • Использование триггерных идентификаторов для упрощения

    Как найти все решения тригонометрических уравнений?

    Общее описание состоит из 3 шагов.Эти шаги могут быть очень сложными или даже невозможными, в зависимости от уравнения.

    Шаг 1: Найдите тригонометрические значения, необходимые для решения уравнения.
    Шаг 2: Найдите все «углы», которые дают нам эти значения из шага 1.
    Шаг 3: Найдите значения неизвестного, которые приведут к углам, которые мы получили на шаге 2.

    (длинный) Пример
    Решение: # 2sin (4x-pi / 3) = 1 #

    Шаг 1: Единственная триггерная функция в этом уравнении — # sin #.
    Иногда полезно упростить задачу, заменив, например:
    Замените #sin (4x-pi / 3) # одной буквой # S #.Теперь нам нужно найти # S #, чтобы получилось # 2S = 1 #. Простой! Сделайте # S = 1/2 #
    Итак, решение должно будет сделать #sin (4x- pi / 3) = 1/2 #

    Шаг 2: «Угол» в этом уравнении равен # (4x-pi / 3) #. А пока назовем это # ​​theta #. Нам нужен #sin theta = 1/2 #
    Таких # theta # бесконечно много, нам нужно найти их все.

    Каждый # theta #, составляющий #sin theta = 1/2 #, совпадает либо с # pi / 6 #, либо с # (5 pi) / 6 #. (Пройдите один период графика или один раз по единичному кругу.)
    Итак # theta # Что, помните, наш короткий способ написания # 4x- pi / 3 # должен иметь форму: #theta = pi / 6 + 2 pi k # для некоторого целого числа # k # или форму # theta = (5 pi) / 6 +2 pi k # для некоторого целого числа # k #.

    Шаг 3:
    Заменяя # theta # в последнем бите шага 2, мы видим, что нам нужен один из: # 4x- pi / 3 = pi / 6 + 2 pi k # для целого числа # k #
    или # 4x- pi / 3 = (5 pi) / 6 + 2 pi k # для целого числа # k #.

    Добавление # pi / 3 # в форме # (2 pi) / 6 # к обеим сторонам этих уравнений дает нам:
    # 4x = (3 pi) / 6 + 2 pi k = pi / 2 + 2 pi k # для целого числа # k # или
    # 4x = (7 pi) / 6 + 2 pi k # для целого числа # k #.

    Деление на # 4 # (умножение на # 1/4 #) дает:

    # x = pi / 8 + (2pi k) / 4 # или
    # x = (7 pi) / 24 + (2 pi k) / 4 # для целого числа # k #.

    Мы можем записать это в более простой форме:
    # x = pi / 8 + pi / 2 k # или
    # x = (7 pi) / 24 + pi / 2 k # для целого числа # k #.

    Заключительное примечание Целое число # k # может быть положительным или отрицательным целым числом или 0. Если # k # отрицательное, мы фактически вычитаем из основного решения.

    Решение тригонометрических уравнений — она ​​любит математику

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} 4 \ sin x \ cos x = 2 \ sin x \\\ text {Interval} (0,2 \ pi) \ end {array} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} 4 \ sin x \ cos x-2 \ sin x = 0 \\ 2 \ sin x \ left ({2 \ cos x -1} \ right) = 0 \ end {array} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {align} 2 \ sin x = 0 \, \, \, \, \, \, & \, \ , \, \, 2 \ cos x-1 = 0 \\\ sin x = 0 \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \ cos x = \ frac { 1} {2} \\ x = 0, \, \, \ pi \, \, \, \, \, & \, \, \, \, x = \ frac {\ pi} {3}, \, \ frac {{5 \ pi}} {3} \ end {align} \)

    \ (\ displaystyle x = \ left \ {{0, \ pi, \ frac {\ pi} {3}, \ frac { {5 \ pi}} {3}} \ right \} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} 4 {{\ cos} ^ {4}} \ theta -7 {{\ cos } ^ {2}} \ theta + 3 = 0 \\\ text {Общие решения (в градусах)} \ end {array} \)

    \ (\ displaystyle \ left ({4 {{{\ cos}}) ^ {2}} \ theta -3} \ right) \ left ({{{{\ cos}} ^ {2}} \ theta -1} \ right) = 0 \)

    \ (\ displaystyle \ begin {align} \ sqrt {{{{{\ cos}} ^ {2}} \ theta}} = \ sqrt {{ \ frac {3} {4}}} \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \ sqrt {{{{{\ cos}} ^ {2}} \ theta}} = \ sqrt {1} \\\, \ cos \ theta = \ pm \ frac {{\ sqrt {3}}} {2} \, \, \, \, \, \, \, & \ , \, \, \, \, \ соз \ theta = \ pm 1 \, \ end {align} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} \ text {(Add} 180 {} ^ \ circ k \ text {вместо} 360 {} ^ \ circ k \ text {из-за} \ pm) \\\, \, \, \ theta = 30 {} ^ \ circ +180 {} ^ \ circ k \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ theta = 180 {} ^ \ circ k \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ theta = 330 {} ^ \ circ +180 {} ^ \ circ k \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \\\ left \ {\ begin {array} {l} \ theta | \ theta = 30 {} ^ \ circ +180 {} ^ \ circ k, \, \, \ theta = 330 {} ^ \ circ +180 {} ^ \ circ k, \\\, \, \, \, \ theta = 180 {} ^ \ circ k \ end {array} \ right \} \ end {array} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} 2 {{\ sec} ^ {2}} x-3 \ sec x = 2 \\\ text {Общие решения} \ end {array} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} 2 {{\ sec} ^ {2}} x-3 \ sec x-2 = 0 \\\ left ({2 \ sec x + 1} \ right) \ left ({\ sec x-2} \ right) = 0 \ end {array} \)

    \ (\ displ aystyle \ begin {align} \ sec x = — \ frac {1} {2} \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \ sec x = 2 \\\ text {(без решения)} \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \ left ({\ cos x = \ frac {1 } {2}} \ right) \ end {align} \)

    \ (\ displaystyle \ left \ {{x | x = \ frac {\ pi} {3} +2 \ pi k, \, x = \ гидроразрыв {{5 \ pi}} {3} +2 \ pi k \,} \ right \} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} {{\ tan} ^ {4}} x-4 {{\ tan} ^ {2}} x + 3 = 0 \\\ text {General Solutions} \ end {array} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} \ left ({{{{\ tan}} ^ {2}} x-3} \ right) \ left ({{{{{\ tan}} ^ {2}} x-1} \ right) = 0 \\ {{ \ tan} ^ {2}} x-3 = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, {{\ tan} ^ {2}} x-1 = 0 \ end {массив } \)

    \ (\ displaystyle \ begin {align} \ sqrt {{{{{\ tan}} ^ {2}} x}} = \ sqrt {3} \, \, \, \, \ , \, & \, \, \, \, \ sqrt {{{{{\ tan}} ^ {2}} x}} = \ sqrt {1} \\\ tan x = \ pm \ sqrt {3} \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \ tan x = \ pm \ sqrt {1} \\ x = \ frac {\ pi} {3} + \ pi k \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, x = \ frac {\ pi} {4} + \ pi k \\ x = \ frac {{2 \ pi}} {3} + \ pi k \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, x = \ frac {{ 3 \ pi}} {4} + \ pi k \ end {align} \)

    \ (\ disp Laystyle \ left \ {\ begin {align} x | x = \ frac {\ pi} {3} + \ pi k, \, \, x = \ frac {{2 \ pi}} {3} + \ pi k , \\\, \, \, \, x = \ frac {\ pi} {4} + \ pi k, \, \, \, x = \ frac {{3 \ pi}} {4} + \ pi к \ конец {align} \ right \} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} 3 {{\ cot} ^ {2}} x + 3 \ cot x- \ sqrt {3} \ cot x = \ sqrt {3} \\\ text {Interval} (0,2 \ pi) \ end {array} \)

    \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} 3 {{\ cot } ^ {2}} x + 3 \ cot x- \ sqrt {3} \ cot x- \ sqrt {3} = 0 \\ 3 \ cot x \ left ({\ cot x + 1} \ right) — \ sqrt {3} \ left ({\ cot x + 1} \ right) = 0 \\\ left ({\ cot x + 1} \ right) \ left ({3 \ cot x- \ sqrt {3}} \ справа) = 0 \ конец {массив} \)

    \ (\ Displaystyle \ begin {align} \ cot x = -1 \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \ , \ cot x = \ frac {{\ sqrt {3}}} {3} \\\ tan x = -1 \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \ tan x = \ frac {3} {{\ sqrt {3}}} = \ sqrt {3} \\ x = \ frac {{3 \ pi}} {4}, \, \, \ frac {{7 \ pi}} {4} \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, x = \ frac {\ pi} {3}, \, \, \ frac {{4 \ pi}} { 3} \ end {align} \)

    \ (\ displaystyle x = \ left \ {{\ frac {{3 \ pi}} {4}, \ frac {{7 \ pi}} {4}, \ frac {\ pi} {3}, \ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right \} \)

    90 014 \ (\ displaystyle \ begin {array} {c} \ sqrt {3} \ sin \ left ({2 \ theta} \ right) \ cot \ left ({2 \ theta} \ right) — \ sin \ left ( {2 \ theta} \ right) = 0 \\\ text {Interval} (0,2 \ pi) \ end {array} \)

    \ (\ displaystyle \ sin \ left ({2 \ theta} \ вправо) \ влево ({\ sqrt {3} \ cot \ left ({2 \ theta} \ right) -1} \ right) = 0 \)

    \ (\ displaystyle \ begin {align} \ sin \ left ( {2 \ theta} \ right) = 0 \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \ cot \ left ({2 \ theta} \ right) = \ гидроразрыв {1} {{\ sqrt {3}}} \\ 2 \ theta = \ pi k \, \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \ , \, 2 \ theta = \ frac {\ pi} {3} + \ pi k \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \ , \, \, 2 \ theta = \ frac {{4 \ pi}} {3} + \ pi k \\\, \, \, \, \, \ theta = \ frac {{\ pi k}} { 2} \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \ theta = \ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {2 } k \\\, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, \ theta = \ frac {{4 \ pi}} {6} + \ frac {\ pi} {2} k \ end {align} \)

    Из-за ограничения домена для cot (где находятся его асимптоты), и отмечая, что \ (\ displaystyle \ cot \ left [ {2 \ left ({\ frac {{\ pi k}} {2}} \ right)} \ right] = \ c ot \ left ({\ pi k} \ right) \) не определено, мы должны удалить \ (\ displaystyle \ frac {{\ pi k}} {2} \).

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.