Прогрессия арифметическая график: Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Содержание

Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

 

  1. Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:

    «Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…»

  2. Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n).

    Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.

  3. Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

    Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.

    Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

  4. Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
    1, 2, 3, 4…

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

 

  1. Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

    y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …

  2. Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:

    y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …

    Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

  3. Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.

 

 

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2,…, a10…, an.

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

  • Формула an = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
  • Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

Демо урок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

 

  1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

    Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

  2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

    Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 42… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.

  3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

    Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Экзамены — это почти всегда стресс. Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart поможет снять волнение перед экзаменом и придаст уверенности в своих знаниях.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Поэтому:

и т.д.

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу an = a1 + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

 

  1. Рекуррентной формулой:
  2. Формулой n-го члена: an = a1+ d · (n — 1).
  3. Формулой вида an = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

 

  1. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

    a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2;

    a3 = a2 + d = 2 + 2 = 4;

    a4 = a3 + d = 4 + 2 = 6;

    a5 = a4 + d = 6 + 2 = 8.

  2. Используем общую формулу an = a1 + d * (n — 1).

    По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

    a10 = a1 + 2 * (10 — 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

  • b2 = b1 * q;
  • b3 = b2 * q = b1 * q * q = b1 * q²;
  • b4 = b1 * q³;
  • и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

bn = b1 * qn−1, где n — порядковый номер члена прогрессии, b1 — первый член прогрессии, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Арифметическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Арифметическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему плюс постоянное слагаемое.

  • Общий вид арифметической прогрессии
  • Свойства и формулы арифметической прогрессии

Общий вид арифметической прогрессии

a1, a1 + d, a1 + 2d, … a1 + (n – 1) d, …

d – шаг или разность прогрессии; это и есть постоянное слагаемое.

Члены прогрессии:

  • a1
  • a2 = a1 + d
  • a3 = a2 + d = a1 + 2d
  • и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Свойства и формулы арифметической прогрессии

1. Нахождение общего n-ого члена (an)

  • an = an-1 + d
  • an = a1 + (n – 1) d
  • an = am – (m – n) d

2. Разность прогрессии

d = an – an-1

Также для нахождения шага используется такая формула:

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел a1, a2, a3 является арифметической прогрессией, если для любого ее члена выполняется следующее условие:

4. Сумма первых членов прогрессии

Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии, необходимо воспользоваться формулой:

  • n – количество суммируемых членов.

Если an заменить на a1 + (n – 1) d, то получится:

5. Сумма членов прогрессии с n-ого по m-ный

  • (m – n + 1) – количество суммируемых членов.

Если am заменить на an + (m – n) d, то получим:

6. Сходимость прогрессии

Арифметическая прогрессия сходится при d = 0, во всех остальных случаях она расходится.

При этом, если:

  • d > 0, прогрессия называется возрастающей;
  • d < 0 – убывающей;
  • d = 0 – стационарной.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

последовательностей: арифметические и геометрические

последовательности: арифметические и геометрические


на

Энджи Хед



В этом эссе я собираюсь исследовать различные арифметические и геометрические
последовательности с помощью Excel. Учащиеся знакомятся с различными видами арифметики и
геометрические последовательности в средней школе. Это сочинение призвано помочь учащимся
лучше понять эти последовательности, исследуя и интерпретируя
различного рода графики.

Прежде чем я начну свои исследования последовательностей, я хочу дать несколько определений
так что мы все будем начинать с одной и той же точки. Последовательность определена
как функция an, имеющая область определения множество натуральных чисел и элементов
которые находятся в диапазоне последовательности, называются членами, a1, a2, a3,….,
последовательности. Все элементы последовательности упорядочены. Есть
два вида последовательностей, конечные и бесконечные. Конечная последовательность – это когда
домен — это набор {1,2,3,…,n}, а бесконечная последовательность — это последовательность
доменом которого является множество всех натуральных чисел. Арифметическая последовательность
представляет собой последовательность, в которой каждый член после первого члена получается путем добавления
фиксированное число, общая разница, к предыдущему сроку. Геометрический
последовательность — это последовательность, в которой каждый член после первого члена получается
путем умножения предыдущего члена на постоянное ненулевое действительное число, называемое
общее соотношение.

Некоторые примеры арифметических последовательностей

Ниже приведен пример арифметической последовательности 4n и ее вариантов.
этой последовательности.

Если мы посмотрим на графики этих последовательностей, мы заметим, что они
все линейно. Черная линия — это график 4n+5. Синяя линия – это
график 4н. Зеленая линия — это график 4n-2, а красная — график
график 4н-19.

Все ли арифметические последовательности имеют линейные графики? Давайте рассмотрим еще один
арифметическую последовательность, чтобы увидеть, является ли ее график линейным. Мы собираемся изучить
последовательность 1/2n и варианты этой последовательности. Изучите следующее
электронная таблица.

На основе изучения электронной таблицы и наших знаний о функциях и
графики, эти последовательности, по-видимому, также имеют линейные графики. Давайте граф
им узнать.

Наша догадка была верна. Эти последовательности имеют линейные графики. Красная линия
является графом 1/2n+3/4. Синяя линия — это график 1/2n. желтый
линия представляет собой график 1/2n-1/4. Фиолетовая линия — это график 1/2n-4/5.
Какой вывод вы можете сделать об арифметических последовательностях? Они все линейные?
Как эти последовательности связаны с другими функциями? 9n и его вариации. Посмотрите на следующую таблицу.

Похожи ли графики этих геометрических последовательностей на графики
вышеуказанные геометрические последовательности? Давайте нарисуем их, чтобы увидеть.

Графики этих последовательностей имеют вид, аналогичный предыдущим.
Но в отличие от предыдущих, эти графики убывают экспоненциально;
тогда как предыдущие росли экспоненциально. Будет ли все геометрическое
последовательности экспоненциальны? Как эти последовательности связаны с другими функциями?

Надеюсь, изучая графики различных последовательностей, учащиеся
получить лучшее представление о последовательностях и о том, как они связаны с другими
функции.


Вернуться на ДОМАШНЮЮ СТРАНИЦУ


[PDF] Графики арифметической прогрессии | Semantic Scholar

  • DOI:10.13189/UJAM.2014.020803
  • Идентификатор корпуса: 16709688
 @article{Dinneen2014ArithmeticPG,
  title={Графики арифметической прогрессии},
  автор = {Майкл Дж. Диннин и Нэн Розмари Ке и Масуд Хосравани},
  journal={Универсальный журнал прикладной математики},
  год = {2014},
  объем = {2},
  страницы={290-297}
} 
  • M. Dinneen, Nan Rosemary Ke, Masoud Khosravani
  • Published 2014
  • Mathematics
  • Universal Journal of Applied Mathematics

последовательность сумм инцидентных ребер каждой вершины составляет конечную арифметическую прогрессию. Приводятся условия, при которых пути, циклы и двудольные графы имеют такую ​​разметку. Затем мы обратимся к противоположной задаче поиска графа с ребрами для заданной конечной арифметической прогрессии. Мы используем конструктивную процедуру, чтобы полностью охарактеризовать те конечные арифметические прогрессии, которые имеют… 

View via Publisher

hrpub.org

Matching-Type Image-Labelings of Trees

  • Jing Su, Hongyu Wang, B. Yao
  • Computer Science

    Mathematics

  • 2021

This paper proposes две новые маркировки: метки вершинных изображений и метки реберных изображений, и объединяет новые метки для формирования маркировки изображений соответствующего типа с несколькими ограничениями.

ПОКАЗЫВАЮТСЯ 1-10 ИЗ 17 ССЫЛОК

СОРТИРОВАТЬ ПОРелевантностиБольше всего влияющих документовНедавность

Волшебные оценки конечных графов

Цель этой статьи — исследовать для графов существование определенных оценок, обладающих некоторым «магическим» свойством. Вопрос о существовании таких оценок возникает из-за…

Динамический обзор разметки графиков

  • Дж. Галлиан
  • Информатика

  • 2009

В этом обзоре я собрал все, что смог найти на графике. методы маркировки, появившиеся в журналах, которые не являются широко доступными.

О магических графах

  • С. М. Хегде, Судхакар Шетти
  • Математика

    Австралия. J Комб.

  • 2003

Определяется максимум всех констант, скажем, M (G), аналогичный m(G), и вводятся обозначения сильной магии, идеальной магии, слабой магии и доказывается, что некоторые известные классы графов допускают такие пометки.

Magic Graphs

  • Элисон Марр, В. Уоллис
  • Математика

  • 2001

Магические квадраты — одно из самых популярных математических развлечений. За последние 50 лет к графам было применено множество обобщений магических идей. В последнее время наблюдается возрождение…

Компьютеры и неразрешимость: Руководство по теории NP-полноты

  • М. Гэри, Дэвид С. Джонсон
  • Информатика

  • 1978
  • 2 Понимание , и убеждения, которые определяют профессиональную практику педагогов-педагогов, исследуются, и книга рисует картину профессии, которая предлагает огромные награды, наряду с проблемами и разочарованиями.

    Пронумерованные полные графики, необычные линейки и различные приложения

    • Г. Блум, С. Голомб
    • Математика

    • 1978

    Арулер, их нумерация была сделана из трех таких «обзоров», их связь с «моделями» и их применение в рентгеновской кристаллографии, в кодах для радара, наведения ракет и угловой синхронизации, в сверточных кодах, в адресации в сетях связи и в интегральном генераторе напряжения.

    Арифметические графики

    • B. D. Acharya, S. M. Hegde
    • Математика

      J.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *