Признак делимости на 7 с примерами: Признак делимости на 7 — Бег по кругу — LiveJournal

Содержание

Признак делимости на 7 — Бег по кругу — LiveJournal

В школе сейчас проходят простые числа и делители, пытался объяснить тему по определению того, простое число или нет, для помощи в определении очень подходят признаки делимости на небольшие числа. Признак делимости на 2 знают все, на 3 — уже сложнее, на 5 — элементарно, на 9 — аналогично 3, на 11 тоже вспомнил, но вот коварной оказалась семерка, из школьного курса я признака делимости не смог вспомнить, поэтому попробовал сформулировать свой, вроде получилось, но как-то криво. Поэтому полез в интернет посмотреть, какие там велосипеды изобрели до меня. Но оказалось, что там изобрели еще более замороченную хрень:
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7). Ок, для трехзначных чисел еще норм, ну а если число четырехзначное? Получаем вполне себе рекуррентный алгоритм, сложность которого растет с увеличением числа разрядов.

Есть и другой признак, из Википедии:
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138 689 257 делится на 7.

Тоже неплохо, да?
А теперь мой признак делимости.
Число делится на 7, если разность числа и приведенной суммы его цифр делится на 9.
Что такое приведенная сумма цифр — не могу найти научное название, но это сумма цифр, которая не может быть больше 9. То есть, для числа 148 сумма цифра = 1 + 4 + 8 = 13, а приведенная сумма цифр — 1 + 3 = 4, так как 13 больше 9.
Признак же делимости на 9 достаточно прост — сумма цифр должна делиться на 9. Итого считаем приведенную сумму цифр, разность и новую сумму цифр — и все.
Пример: 1778 (254*7). Приведенная сумма цифр = 1+7+7+8 = 23 = 2+3 = 5. 1778 — 5 = 1773. Сумма цифр 1773 = 1+7+7+3=18, делится на 9, число делится на 9, значит исходное число делится на 7.
Еще пример: 138 689 257. Сумма цифр = 49, приведенная сумма = 4. 138689257 — 4 = 138689253. Сумма цифр = 45, делится на 9.

Где я не прав?

P.S. Вроде бы все еще проще оказалось, не нужно отнимать от всего числа, не нужно считать три суммы цифр. Считается сумма цифр числа, считается приведенная к 9 сумма цифр числа, от первой отнимается вторая, после чего делается проверка на делимость на 9. То есть, для числа 1778 сумма цифр составляет 23, приведенная сумма цифр — 5, разность — 18, делится на 9, значит, число делится на 7.

Признаки делимости на 2,3,4,5,6,7,8 и 9. Примеры решения задач.

Что такое делимость?

«Делимость» означает, что при делении одного числа на другое результатом должно быть целое число с нулевым остатком. Под признаком делимости понимают правило, позволяющие быстро определить, является ли число кратным заданному числу.

Пример:

\(6:3 =2; \)  \(6\) делится на \(3\), так как результат \(2\) — целое число, а остаток равен \(0\).

\(7:3=2,333…\) \(7\) не делится на \(3\) так как результат \(2,333…\) не является целым числом.

 

Признаки делимости чисел от  \(1\) до \(10\).

Признак делимости на \(1\)

Каждое целое число делится на \(1\)

Признак делимости на \(2\)

Последняя цифра должна быть четной — \(0,2,4,6,8\).

Пример : \(3456\) делится на \(2\) так как последняя цифра \(6\) — четное число.

\(343423\) не делится на \(2\), так как последняя цифра \(3\) нечетная.

Все четные числа делятся на \(2\).

Признак делимости на \(3\)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(3\). Это простой способ найти числа кратные  \(3\).

\(3789\) делится на \(3\), так как сумма \(3+7+8+9=27\) делится на \(3\).

\(43266737\) не делится на \(3\) – сумма цифр \(4+3+2+6+6+7+3+7=38\) не делится на \(3\).

Признак делимости на \(4\)

Число, образованное последними двумя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(4\).

Пример: \(23746228\) делится на \(4\) если \(28\) делится на \(4\).

\(674235642\) не делится на \(4\), так как \(4\) не кратно \(42\).

Признаки делимости на \(5\)

Последняя цифра должна быть \(0\) или \(5\).

Пример: \(42340\) делится на \(5\) так как   \(0\) — последняя цифра.

\(672234\) не делится на \(5\) так как \(4\) последняя цифра.

Признак делимости на \(6\)

Число должно быть кратным \(2\) и \(3\).

\(7563894\) делится на \(6\) —  последняя цифра \(4\)  делится на \(2\) и сумма цифр \(7+5+6+3+8+9+4=42\) делится на \(3\).

\(567423\) не делится на \(6\) —  последняя цифра \(3\), поэтому не делится на \(2\). Даже не нужно проверять на \(3\).


Признаки делимости на \(7\)

Дважды умноженная последняя цифра отнимается от оставшихся цифр в данном числе, результат должен быть кратным \(7\).

  1.  \(343\) делится на 7 так как \(34-(2*3)=28\),  \(28\) делится на \(7\).

2. \(345343\)   \(3\) — последняя цифра. Вычитаем \(2*3\) из \(34534\).

\(34534-(2*3)=34528\) число слишком большое.

\(3452-(2*8)-3436\) число слишком большое.

\(343-(2*6)=331\) повторяем снова

\(33-(2*1)=31,31\)не делится на \(7\).

\(345343\) не делится на \(7\).

Признак делимости на \(8\)

Число, образованное последними тремя цифрами в данном числе, должно быть кратно \(8\).

Пример:\(234568:8-568\) делится на \(8\).

\(4568742\)не делится на \(8\) , так как  \(8\) не кратно \(742\)

Признак делимости на \(9\)

Сумма цифр в данном числе должна быть кратна \(9\).

\(456786:9 -\) если сумма \( 4+5+6+7+8+6=36\) делится на \(9\).

\(87956:9-\)  сумма \(8+7+9+5+6=25\)не делится на 9.

Признак делимости на \(10\)

Последняя цифра должна быть \(0\).

Пример: \(456780\) делится на \(10\) — если последняя цифра равна \(0\).

\(78521\) не делится на \(10\) – последняя цифра \(1\).

 

Если число \(S\) делится на два числа \(a\) и \(b\), где \(a,b\) — простые числа , то \(S\) делится на \(a*b\), где \(a\) и \(b\) простые числа.

\(24\) делится на \(2\) и \(3\) и следовательно и на \(6\).

\(36\) делится на \(2 \) и \(4\), но не делится на \(8\), так  как \(4\) не простое число.

Если число \(N\) делится на другое число \(M\), то \(N\) также делится на множители \(M\).

 Например:

  1. \(72:12=6\)
  2. \(72\) также делится на \(2,3,4,6\) так как \(12\) кратно \(2,3,4,6\).

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Признаки делимости на 7 и на 13

Признак делимости – это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.{15}\equiv-1$, так что $n\equiv-18+876-9+138-763+423$. Иными словами, число n сравнимо со знакочередующейся суммой s своих троек, так что n и s дают одинаковые остатки при делении на 7, откуда и следует признак делимости на 7.

Что касается признака делимости на 13, то мы его фактически уже доказали. В самом деле, в доказательстве признака делимости на 7 мы использовали единственное свойство числа 7 — только то, что 7 — делитель числа 1001. Но $1001=7\times11\times 13$ и поэтому буквально то же доказательство — с заменой числа 7 на 11 или 13 — приводит к тому же признаку делимости на 11 и 13, так что с помощью знакочередующейся суммы s троек из десятичной записи числа п можно определить, делится ли п на 7, 11 или 13.

Отметим в то же время, что рассмотренный выше признак делимости на 11, разумеется, проще, а признаки делимости на 7 и 13 связаны с достаточно долгими вычислениями, зачастую вполне сравнимыми по трудности с делением «уголком».

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

  • 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
  • 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

  • 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
  • 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
  • 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Примеры:

  • 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
  • 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а 11:4=23/4.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примеры:

  • 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
  • 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

  • в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
  • в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

  • 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
  • 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

  • 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
  • 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
  • 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Примеры:

  • 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
  • 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
  • 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
  • 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Примеры:

  • 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
  • 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=41/2.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

  • 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
  • 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

  • 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
  • 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=11/3.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

  • 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
  • 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

  • 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
  • 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
  • 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.

Признаки делимости правило и примеры

Число, которое делится на 2 называется четным, а если не делится — нечетным.

Число делится на 2, если его последняя цифра оканчивается на нуль или чётная.

Пример 

Число 7774 делится на 2, так как последняя цифра 4 — чётная.

Число 7775 не делится на 2, так как последняя цифра 5 — нечётная.  


На 3 делятся только те числа, у которых сумма всех цифр делится на 3.

Пример

777 делится на 3, так как 7+7+7=21, а 21 делится на 3.  


 Число делится на 4 в том случае, если две последние его цифры нули или делятся на 4.

Пример

788 делится на 4, так как последние его цифры 88 делятся на 4.

700 делится на 4, так как последние его цифры нули.


Число делится на 5, если последняя цифра которых оканчивается на 0 или 5.

Пример 

775 делится на 5, так как последняя цифра равна 5.


Число делится на 6, если оно делится как на 2, так и на 3.

Пример 

786 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3 одновременно.


Число делится на 7, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа делится на 7.

Пример

147700259 делится на 7, так как 147-700+259=-294, а 294 делится на 7.

Число делится на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.

Пример

189 делится на 7, так как 18*3+9=63 делится на 7.

Число делится на 7, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц, взятая по модулю, делится на 7.

Пример

539 делится на 7, так как 53-9*2=35 делится на 7.


Число делится на 8, если три последние цифры его нули или делятся на 8.

Пример

7000 делится на 8, так как три нуля в конце.

7648 делится на 8, так как последние его цифры делятся на 8.


На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Пример

774 делится на 9, так как 7+7+4=18, а 18 делится на 9.  


На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр с чередующимися знаками по модулю делится на 11

Пример 

Число 292919 делится на 11, так как 2-9+2-9+1-9=-22 делится на 11.


Число делится на 12, если оно делится как на 3, так и на 4.

Пример 

924 делится на 12, так как оно делится и на 3 и на 4 одновременно.


Число делится на 13, если число десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, делится 13.

Пример

572 делится 13, так как 72-4*5=52 делится на 13.


На 25 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25 (т. е. числа, которые оканчиваются на 00, 25, 50, 75).

  Пример

7775 делится на 25, так как оканчивается на 75


  На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых оканчивается на нуль, на 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.

Пример 

777 000 делится на 10,100,1000.

Признаки делимости чисел / Блог / Справочник :: Бингоскул

Признаки делимости натуральных чисел

Признаки делимости от 2 до 19 и 24, 25, 36 с примерами

Признаки делимости на 2

  • На 2 делятся все четные натуральные числа или последняя цифра должна быть четной — 0, 2, 4, 6, 8.
  • Например: 24, 48, 94, 172, 1670, 67838.

Признаки делимости на 3

  • На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.
  • Например: 16734, сумма цифр = 1+6+7+3+4=21; 21 : 3 = 7 — делится на 3

Признаки делимости на 4

  • На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
  • Например: 1024 делится на 4, так как 24 делится на 4

Признаки делимости на 5

  • На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.
  • Например: 125 делится на 5, поскольку последняя цифра 5

Признаки делимости на 6

  • На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).
  • Например: 126 делится 6, так как 126 — четное и сумма = 1 + 2 + 6 = 9 кратна 3

Признаки делимости на 7

  • На 7 делятся те натуральные числа, у которых результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7
  •  Например: 17948 делится на 7, 1794 — (2 · 8) = 1778 большое число, 177 — (8 · 2) = 161 повторяем снова16 — (1 · 2) = 14

Признаки делимости на 8

  • Числа делятся на 8, если три его последние цифры делятся на 8.
  • Например: 1568 делится на 8 — 568 кратно 8

Признаки делимости на 9

  • На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.
  • Например: 1179 — сумма =1 + 1 + 7 + 9 = 18, делится на 9

Признаки делимости на 10

  • На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.
  • Например: 1570 — делится на 10, последняя цифра 0

Признаки делимости на 11

  • На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места
  • Например: 105787 делится на 11 — сумма 1 + 5 + 8 = 14 равна 0 + 7 + 7 = 14;

Признаки делимости на 12

  • Число делится на 12 тогда и только тогда, когда она делится на 3 и на 4 одновременно.
  • Например: 168 — делится на 3 и 4, следовательно делится на 12

Признаки делимости на 13

  • Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.
  • Например: 221 делится на 13: 22 + 1· 4 = 26 кратно 13

Признаки делимости на 14

  • Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признаки делимости на 15

  • Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признаки делимости на 16

  • Число делится не 16 только тогда, когда 4 последние цифры делятся на 16
  • Например: 24576 делится 16, так как 4576:16 = 286

Признаки делимости на 17

  • Число делится на 17, если разность числа кроме последней цифры справа и последней цифры умноженную на пять кратно 17.
  • Например: 272 делится на 17, 27 — 2 · 5 = 17 кратно 17

Признаки делимости на 18

  • На 18 делятся те натуральные числа, которые четные и сумма цифр делится на 9.
  • Например: 5508 — сумма = 5 + 5 + 0 + 8 = 18 кратна 9 и четное число, следовательно делится на 18

Признаки делимости на 19

  • Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19
  • Например: 646 — 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19

Признаки делимости на 24

  • Число, делится на 24, если сумма всех цифр данного числа делится на 3 и последние три цифры данного числа делится на 8.
  • Например: 1512 делится на 24 — сумма 1 + 5 + 1 + 2 = 9 кратна 3 и 512 : 8 = 64

Признаки делимости на 25

  • На 25 делятся числа, если две последние цифры делятся на 25.
  • Например: 650 — 50 : 25 = 2; 1475 — 75: 25 = 3

Признаки делимости на 36

  • Число делится на 36, если 2-е последние цифры делятся на 4 и сумма цифр кратна 9.
  • Например: 1620 — 20 : 4 = 5 и сумма 1 + 6 + 2 + 0 = 9 кратно 9; 4860 — 60 : 4 = 15 и 4 + 8 + 6 + 0 = 18 кратно 9

Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика делимость чисел признаки делимости деление с остатком

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости

Содержание

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится на число   b.

Число   b   называют делителем числа   a.

Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c   и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называют делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .

Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Признак делимости на 2

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться четной цифрой:
0 , 2 , 4 , 6 , 8

Пример:

1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака:

Сумма цифр числа должна делиться на   3

Пример:

745 ,
(7 + 4 + 5 = 15)

Признак делимости на 4

Формулировка признака:

Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4

Пример:

7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5

Пример:

835

Признак делимости на 6

Формулировка признака:

Число должно делиться на   2   и на   3

Пример:

234 ,
(2 + 3 + 4 = 9)

Признак делимости на 7

Формулировка признака:

На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой

Пример:

3626 ,
(362 – 12 = 350)

Признак делимости на 8

Формулировка признака:

Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8

Пример:

63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака:

Сумма цифр должна делиться на   9

Пример:

2574 ,
(2 + 5 + 7 + 4 = 18)

Признак делимости на 10

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться   0

Пример:

1690

Признак делимости на 11

Формулировка признака:

Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11

Пример:

1408 ,
(4 + 8 = 12 ;
1 + 0 = 1 ;
12 – 1 = 11)

Признак делимости на 13

Формулировка признака:

На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой

Пример:

299 ,
(29 + 36 = 65)

Признак делимости на 25

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75

Пример:

7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00   или   50

Пример:

2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00

Пример:

102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   000

Пример:

3217000

Правил делимости — 7 — Made Easy

Зеркало, зеркало на стене,
кто из них самый умный?
Злая ведьма, Белоснежка, или ее 7 друзей
Оставайтесь с нами, чтобы увидеть, чем закончится эта история
Ведьма думает, что это потрясающе
сделать зелье, которое также обладает снотворным действием.
С Белоснежкой в ​​стране грез,
злая ведьма может раскрыть свой план.
Есть только один глюк,
заминка для ведьмы
Чтобы избежать билета в один конец в рай,
Белоснежка опирается на правила делимости для числа 7 .

Пытаясь обмануть Белоснежку, ведьма предлагает ей корзину, наполненную 15 восхитительно выглядящими яблоками.
Белоснежка не знает, что яблоки пропитаны снотворным, но, тем не менее, отвергает их.
Почему? Потому что она не может разделить 15 яблок между 7 гномами поровну и не выбирает фаворитов.
Ведьма не унывает. Так что на следующий же день она возвращается. На этот раз у нее есть тележка, полная яблок.
Ведьма сомневается, что Белоснежка может быстро вычислить такое большое частное и просто решит принять тележку и ее ядовитое содержимое.Ведьма с гордостью заявляет, что у нее 543 яблока, больше, чем могут съесть гномы и Белоснежка.
И снова Белоснежка отказывается, потому что она не может разделить яблок поровну на группы по 7 штук.
Как она это определила так быстро?

Делимость на 7

Белоснежка владеет правилом делимости для числа 7 , поэтому ей не нужно всегда полагаться на деление в столбик. Чтобы проверить, делится ли число без остатка на на 7:
Возьмите последнюю цифру числа, удвойте
Затем вычтите из оставшейся части числа.
Если полученное число равно , делится на 7 без остатка, то же самое и исходное число.Давайте попробуем трюк с количеством яблок в тележке, 543. Последняя цифра — 3, , удвоить , чтобы получилось 6, вычитает из 6 из оставшихся цифр . 54 минус 6 равно 48.
48 не делится на 7 без остатка, поэтому 543 не делится на 7 без остатка.

Давайте проверим, на всякий случай. 7 переходит в 54 семь раз.
Вычтем 49 из 54, уменьшим 3, 7 превратится в 53 семь раз, вычтем 49 из 53, в результате останется 4. Итак, мы были правы! 543 не делится на 7 без остатка!

Снова обрушился.Что делать злой ведьме?
Белоснежка просто перехитрила ее?

Злая ведьма не сдается. Она собирает все яблоки в королевстве, а точнее 2478, и доставляет их Белоснежке.
Посмотрим. Хорошо. Последняя цифра равна 8. Удвоим , и мы получим 16. Вычтем 16 из 247. Разница составляет 231. Это все еще большое число, поэтому мы просто делаем те же шаги снова. Удвойте последнюю цифру , что равно 2, а 23 минус 2 равно 21.21 равно , делимому на 7 без остатка, поэтому огромная кучка яблок должна делиться на без остатка на 7 ! 7 трижды превращается в 24, вычитаем 21 из 24, уменьшаем 7, 7 превращается в 37 пять раз.

Вычитание из 37 дает 2, а 7 дает 28 ровно 4 раза.
Что ты знаешь? Белоснежка была права! 2478 делится на 7 без остатка!

Пока мы были заняты расчетами,
77 пирожков готовы и ждут.
Подготовлено Белоснежкой с любовью и заботой,
ее пироги известны повсюду и повсюду.И потому что она такая милая,
она предлагает ведьме пирог, который невозможно победить.

Правила делимости для 7, 11 и 12

В нашем предыдущем уроке мы обсудили правила делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10. В этом уроке мы поговорим о тестах делимости чисел 7, 11 и 12. Причина, по которой я разделил их, заключается в том, что правила делимости для 7, 11 и 12 немного более продвинуты. Однако я обещаю вам, что, изучив соответствующие правила и применив их к некоторым практическим задачам, вы поймете, что они не так уж и сложны.На самом деле, они действительно забавные!


Правило делимости для 7

Правило: Вычеркните последнюю цифру из исходного числа. Затем удвойте. Вычтите его из «нового» числа, которое является исходным числом, исключая последнюю цифру. Если разница делится на 7, то исходное число также должно делиться на 7. Если при первом применении результат явно не делится на 7, вы можете повторять процесс по мере необходимости, пока не получите двузначное число, которое может легко определить, делится оно на 7 или нет.


Пример 1: Верно или неверно. Число 6895 делится на 7.

Решение: возьмем последнюю цифру 6,89 {\ color {red} 5}, которая \ color {red} 5, а затем удвоим ее, таким образом 2 ({\ color {red} 5}) = 10. Теперь вычтите «новое» число (старое число, исключая последнюю цифру) на двойную последнюю цифру, мы получим 689-10 = 679. Делится ли 679 на 7? Мы можем выполнять деление в столбик. Но хорошо то, что мы можем выполнять этот процесс снова и снова, пока не достигнем двузначного числа, потому что гораздо легче узнать, делится оно на 7 или нет.

Давайте повторим процесс еще раз и посмотрим, что у нас получится. Помните, мы закончили на 679 с последнего шага. Двигаясь дальше, последняя цифра 67 {\ color {red} 9} — \ color {red} 9. Если мы его удвоим, мы получим 2 ({\ color {red} 9}) = 18. Оставшееся число, которое образуется, когда мы избавляемся от последней цифры, — 67. Если мы вычтем 67 на 18, мы получим 67-18 = 49.

Поскольку 49 делится на 7, исходное число 6 895 также должно делиться на 7. Итак, ответ — Истинный. ✔︎


Пример 2: Множественный выбор.Какое число делится на 7?

Примечание: есть только один правильный ответ.

А) 18 046

Б) 11,749

С) 20,704

D) 21011


Я понимаю, что поначалу процедура может быть сложной, но чем больше вы ее используете, тем легче становится. Ниже приведены простые для выполнения шаги, которые, я надеюсь, помогут закрепиться в вашей памяти.

Шаги по проверке делимости 7

  • Отбросьте последнюю цифру числа, а затем удвойте выпавшую цифру.
  • Вычтите его из нового числа, образованного удалением последней цифры исходного числа.
  • Повторяйте процесс, пока число не уменьшится до двух цифр.
  • Если двузначное число делится на 7, то исходное число делится на 7. В противном случае это не так.

Решение. В реальном тесте с несколькими вопросами вы можете случайным образом выбрать вариант (букву) для решения, потому что возможно, вы сразу же наткнетесь на правильный ответ, что сэкономит вам много времени.Но в этом уроке мы перейдем от А к D. ради практики.

◉ Вариант тестирования A: 18 046

Отбросьте последнюю цифру 18 046, которая станет 1 804, а затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что у нас получится 2 (6) = 12.

Вычтите новое число на двойную последнюю цифру: 1 804 — 12 = 1792. Мы сократили исходное пятизначное число до четырехзначного числа. Помните, мы хотим уменьшить его до двузначного числа. Давайте повторим процесс.

Отбросьте последнюю цифру 1792, которая становится 179, затем удвойте цифру, которую мы отбросили, так что у нас есть 2 (2) = 4.

Вычтите новое число на двойную последнюю цифру: 179 — 4 = 175. Теперь мы уменьшили его до трехзначного числа. Давай сделаем это еще раз!

Отбросьте последнюю цифру 175, которая становится 17, затем удвойте цифру, которую мы удалили, таким образом 2 (5) = 10.

Вычтите новое число вдвое на последнюю цифру: 17-10 = 7.

Поскольку \ color {red} 7 делится на 7, исходное число, равное 18 046, также делится на 7. Итак, вариант A — правильный ответ. ✔︎

Окончательный ответ — вариант A .


Я оставлю это вам в качестве упражнения, чтобы понять, почему варианты B , C и D НЕ делятся на 7. Тем не менее, я все же предоставлю вам сокращенное решение ниже. Я настоятельно рекомендую вам выполнять это упражнение не только для большей практики, но и для того, чтобы показать, что число не делится на 7.

Вы попробуете!

◉ Вариант тестирования B: 11,749

Нажмите здесь, чтобы показать решение

  • Исходный номер: 11,749
  • 1,174-2 (9) = 1,174-18 = 1,156
  • 115-2 (6) = 115-12 = 103
  • 10-2 (3) = 10-6 = 4

Поскольку \ color {red} 4 не делится на 7, то 11 749 также не делятся на 7.000


◉ Вариант тестирования C: 20,704

Нажмите здесь, чтобы показать решение

  • Исходный номер: 20,704
  • 2,070-2 (4) = 2,070-8 = 2,062
  • 206-2 (2) = 206-4 = 202
  • 20-2 (2) = 20-4 = 16

Поскольку \ color {red} 16 не делится на 7, то 20 704 также не делятся на 7. 000


◉ Вариант тестирования D: 21,011

Нажмите здесь, чтобы показать решение

  • Исходный номер: 21,011
  • 2,101-2 (1) = 2,101-2 = 2,099
  • 209-2 (9) = 209-18 = 191
  • 19-2 (1) = 19-2 = 17

Поскольку \ color {red} 17 не делится на 7, исходное число, равное 21 011, также не делится на 7.000


Пример 3: Выберите все подходящие варианты. Какие числа делятся на 7?

Примечание: может быть более одного ответа.

А) 5,544

Б) 3,110

С) 54,810

D) 34,125

Решение: Я уверен, что к этому моменту вы уже освоили шаги, как проверить, делится ли число на 7 или нет. С учетом сказанного, я буду использовать сокращенное решение.

◉ Вариант тестирования A: 5,544

Мы проверяем, делится ли 5 ​​544 на 7.

554-2 (4) = 554-8 = 546

54-2 (6) = 54-12 = 42

Поскольку 42 можно разделить на 7, исходное число 5 544 также делится на 7. ✔︎


◉ Вариант тестирования B: 3,110

Мы проверяем, делится ли 3110 на 7.

311-2 (0) = 311-0 = 311

31-2 (1) = 31-2 = 29

Поскольку число 29 нельзя разделить на 7, исходное число 3110 также не делится на 7.000


◉ Вариант тестирования C: 54,810

Давайте посмотрим, делится ли 54 810 на 7.

5,481-2 (0) = 5,481-0 = 5,481

548-2 (1) = 548-2 = 546

54-2 (6) = 54-12 = 42

Алгоритм сократил исходное число до двузначного числа, равного 42, которое делится на 7. Это означает, что исходное число 54 810 также должно делиться на 7. ✔︎


◉ Вариант тестирования D: 34,125

Давайте определим, делится ли 34,125 на 7.

3 412-2 (5) = 3 412-10 = 3 402

340-2 (2) = 340-4 = 336

33-2 (6) = 33-12 = 21

Мы уменьшили исходное пятизначное число до двузначного числа 21, которое делится на 7. Это означает, что исходное число 34,125 также должно делиться на 7. ✔︎

Таким образом, параметры A , C и D делятся на 7.


Правило делимости для 11

Правило: Слева направо от числа возьмите первую цифру и прикрепите символ сложения слева от нее.Затем вычтите его на следующую цифру, затем сложите результат на третью цифру и снова вычтите результат на четвертую цифру, и так далее, и тому подобное. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.

Краткое правило: Поочередно складывайте и вычитайте цифры числа слева направо. Если ответ делится на 11, то исходное число делится на 11.

Стандартное правило: Возьмите переменную сумму цифр числа.Если результат кратен 11, число делится на 11.

ПРИМЕЧАНИЕ: Все приведенные выше правила означают одно и то же. Первые два правила носят более поучительный характер, а последнее — правило, с которым вы можете столкнуться в своем учебнике или которому преподает ваш учитель.


Пример 1: Верно или неверно. Число 9 581 делится на 11.

Правило на самом деле довольно простое. Мы будем складывать и вычитать, а затем повторять шаблон, пока всем цифрам числа не будут присвоены символы плюса и минуса слева направо.После настройки мы его упрощаем. Если результат кратен 11, то исходное число также делится на 11.

Вот установка:

+ 9-5 + 8-1

Шаг 1: + 9-5 = 4

4 + 8-1

Шаг 2: 4 + 8 = 12

12-1

Шаг 3: 12-1 = 11

11

Поскольку конечный результат — 11 и кратно 11, то исходное число, равное 9 581, делится на 11. Таким образом, наш окончательный ответ — Истина. ✔︎


Пример 2: Множественный выбор.Какое число делится на 11?

Примечание: есть только один правильный ответ.

А) 98,517

Б) 79,829

С) 82,709

D) 50,453


Мы проверим делимость каждого числа от варианта A до варианта D .

◉ Вариант проверки A: 98,517

Давайте установим это, взяв переменную сумму цифр числа.

9-8 + 5-1 + 7

Затем мы упрощаем.

(9-8) + 5-1 + 7

1 + 5-1 + 7

(1 + 5) -1 + 7

6-1 + 7

(6-1) +7

5 + 7

12

Окончательный результат — 12, что не делится на 11. Следовательно, исходное число 98 517 не делится на 11.


◉ Вариант проверки B: 79,829

Установите его, записав переменную сумму цифр.

7 + 9-8 + 2-9

Упростить.

(7 + 9) -8 + 2-9

16-8 + 2-9

(16-8) + 2-9

8 + 2-9

(8 + 2) -9

10-9

1

Поскольку окончательный ответ \ large {(1)} не делится на 11, исходное число 79 829 также не делится на 11.000


◉ Вариант проверки C: 82,709

Сначала мы строим чередующуюся сумму цифр числа.

8-2 + 7-0 + 9

Затем упростите слева направо. Не нужно беспокоиться о порядке операций, поскольку мы имеем дело только с сложением и вычитанием.

(8-2) + 7-0 + 9

6 + 7-0 + 9

(6 + 7) -0 + 9

13-0 + 9

(13-0) +9

13 + 9

12

Поскольку окончательный результат — 12, кратное 11, это означает, что исходное число 82709 делится на 11.Следовательно, окончательный ответ — C . ✔︎

☞ Нет необходимости проверять вариант D, потому что мы уже нашли правильный ответ.

Окончательный ответ — вариант C .


Пример 3: Какие числа делятся на 11? Выбрать все, что подходит.

Примечание: может быть более одного ответа.

А) 69 245

Б) 73,186

С) 843,210

D) 918 071

Решение:

◉ Вариант тестирования A: 69 245, если он делится на 11

6-9 + 2-4 + 5

{\ color {red} 6-9} + 2-4 + 5

-3 + 2-4 + 5

{\ color {красный} -3 + 2} -4 + 5

-1-4 + 5

{\ color {красный} -1-4} +5

-5 + 5

0

Поскольку 0 делится на 11, значит, 69 245 делится на 11.✔︎


◉ Вариант тестирования B: 73 186, если он делится на 11

7-3 + 1-8 + 6

{\ color {red} 7-3} + 1-8 + 6

4 + 1-8 + 6

{\ color {красный} 4 + 1} -8 + 6

5-8 + 6

{\ color {красный} 5-8} +6

-3 + 6

3

Поскольку 3 не делится на 11, то 73 186 не делится на 11.


◉ Вариант тестирования C: 843,210, если он делится на 11

8-4 + 3-2 + 1-0

{\ color {красный} 8-4} + 3-2 + 1-0

4 + 3-2 + 1-0

{\ color {красный} 4 + 3} -2 + 1-0

7-2 + 1-0

{\ color {red} 7-2} + 1-0

5 + 1-0

{\ color {красный} 5 + 1} -0

6-0

6

Поскольку 6 не делится на 11, следовательно, 843 210 не делится на 11.000


◉ Вариант тестирования D: 918 071, если он делится на 11

9-1 + 8-0 + 7-1

{\ color {красный} 9-1} + 8-0 + 7-1

8 + 8-0 + 7-1

{\ color {красный} 8 + 8} -0 + 7-1

16-0 + 7-1

{\ color {red} 16-0} + 7-1

16 + 7-1

{\ color {red} 16 + 7} -1

23-1

22

Поскольку 22 делится на 11, это означает, что 918 071 делится на 11. ✔︎

Таким образом, параметры A и D делятся на 11.


Правило делимости для 12

Правило: Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

  • Число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3.
  • Число делится на 4 , если последние две цифры числа делятся на 4.

Пример 1: Верно или неверно. Число 7512 делится на 12.

Решение:

Первый шаг — проверить, делится ли оно на 3.Сначала сложим все цифры числа 7512.

7,512

7 + 5 + 1 + 2 = 15

Так как 15 делится на 3, следовательно, 7,512 также делится на 3.

Последний шаг — проверить, делится ли число, образованное двумя последними цифрами исходного числа, на 4, а затем на 4.

7,5 {\ color {красный} 12}

Так как 12 делится на 4, то 7512 делится на 4.

Следовательно, поскольку исходное число 7,512 делится на 3 и 4, оно должно делиться на 12.✔︎


Пример 2: Множественный выбор. Какое число делится на 12?

Примечание: есть только один правильный ответ.

А) 527 037

Б) 981,128

С) 746 936

D) 49,9920

Решение:

Существует более быстрый способ проверить делимость числа 12. Помните, что число делится на 12, если 3 и 4 могут его разделить. Поскольку проверить делимость числа на 4 на гораздо быстрее, чем на 3 , потому что для первого вам просто нужно посмотреть на последние две цифры числа и проверить, кратно ли оно 4, а последнее займет немного больше времени, потому что вам нужно будет сложить все цифры числа и проверить, делится ли сумма на 3.Поэтому сначала мы проверим делимость числа 4, а затем делимость числа 3. Обратный способ займет немного больше времени.

◉ Вариант тестирования A: 527 037 для делимости 12

Последние две цифры числа 527 037: \ color {red} 37 не делится на 4. Следовательно, оно не делится на 4. Нет необходимости проверять делимость числа 3, поскольку оно не соответствует одному из двух требований. . Таким образом, 527 037 не делится на 12.


◉ Вариант тестирования B: 981,128 для делимости 12

Последние две цифры числа 981 128 — это \ color {red} 28, что кратно 4, что делает его делимым на 4.Теперь давайте проверим, делится ли оно на 3, сложив все его цифры, таким образом, 9 + 8 + 1 + 1 + 2 + 8 = 29. Поскольку сумма 29 не делится на 3, то само число также не делится на 3. Поскольку 981,128 нельзя разделить на как 3, так и 4, это означает, что два требования не выполнены, следовательно, исходное число не делится на 12.


◉ Вариант тестирования C: 746 936 для делимости 12

Число \ color {красный} 36 — это две последние цифры 746 936. И это кратное 4, что делает исходное число делимым на 4.Теперь для делимости 3. Сложите все цифры 746 936, мы получим 7 + 4 + 6 + 9 + 3 + 6 = 35. Сумма цифр не делится на 3. Отсюда следует, что число также не делится на 3. Поскольку одно из двух требуемых условий не выполняется (оба неверны), то 746 936 не делится на 12. ✘


◉ Вариант тестирования D: 49,9920 для делимости 12

Число 20 — это две последние цифры числа 49,9920, которое явно кратно 4, поэтому 49,9920 делится на 4. Сложение всех цифр числа: 4 + 9 + 9 + 9 + 2 + 0 = 33.Сумма 33 может быть разделена на 3, поэтому 49,9920 делится на 3. Поскольку исходное число делится как на 3, так и на 4, оно также должно делиться на 12. ✔9

Окончательный ответ — вариант D .


Пример 3: Какие числа делятся на 12? Выбрать все, что подходит.

Примечание: может быть более одного ответа.

А) 344 888

Число \ color {красный} 88 — это две последние цифры числа 344 888, которое явно кратно 4, а значит, делится на 4.

Сумма цифр 344 888 вычисляется как 3 + 4 + 4 + 8 + 8 + 8 = 35. Но очевидно, что 35 не делится на 3.

Поскольку обнаружено, что 344 888 делится только на 4, но не на 3, невыполнение одного из двух требований означает, что исходное число не делится на 12.


Б) 521,340

Последние две цифры 521,340 образуют число \ color {red} 40, которое кратно 4, поэтому может быть разделено на 4.

Складывая цифры, получаем 5 + 2 + 1 + 3 + 4 + 0 = 15.Сумма 15 делится на 3.

Так как 521,340 делится на 3 и 4, то оно должно делиться на 12. ✔︎


С) 842,652

Число \ color {red} 52 — это две последние цифры числа, которое явно делится на 4.

Сумма цифр 8 + 4 + 2 + 6 + 5 + 2 = 27. Число 27 делится на 3.

Так как 842 652 делятся на 3 и 4, то оно также должно делиться на 12. ✔︎


D) 676 968

Последние две цифры \ color {red} 68 делятся на 4.

Сумма цифр 6 + 7 + 6 + 9 + 6 + 8 = 42 делится на 3.

Поскольку исходное число можно разделить на 3 и 4, оно также должно делиться на 12.


Возможно, вас заинтересует:

Правила делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Делимость на 7

Как узнать, делится ли число на 7? Почти каждый знает, как легко определить, делится ли число на 2, 3, 5 или 9.Несколько менее известных приемов для проверки делимости на 4, 6, 8 или 11. Но немногие люди когда-либо видели уловку для проверки делимости на 7.

Вот трюк. Удалите последнюю цифру из числа, удвойте ее и вычтите из первой части числа. Делайте это несколько раз, пока не получите то, что, по вашему мнению, делится на 7 или нет.

Например, начните с 432. Разделите на 43 и 2. Вычтите 4 из 43, чтобы получить 39. Так как 39 не делится на 7, то и 432 не делится.

В качестве другого примера начните с 8631. Разделите на 863 и 1. Вычтите 2 из 863, чтобы получить 861.

Теперь разделите 861 на 86 и 1. Вычтите 2 из 86. Возможно, вы распознаете 84 как кратное 7. Если нет, удвойте 4 и вычтите из 8, чтобы получить 0, который делится на 7. В любом случае мы заключаем что 8631 делится на 7.

Почему это работает? Пусть b будет последней цифрой числа n, и пусть a будет числом, которое мы получим, когда разделим b. Это говорит о n = 10 a + b .Теперь n делится на 7 тогда и только тогда, когда n — 21 b делится на 7. Но n — 21 b = 10 ( a — 2 b ), и это делится на 7, если и только если a — 2 b делится на 7.

А как насчет остатка от деления числа на 7? Вот чем правило 7 отличается от более известных правил делимости. Например, число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3, и, кроме того, остаток при делении числа на 3 является остатком при делении его суммы цифр на 3.Но правило делимости для 7 не дает остаток при делении числа на 7. Для простого примера правило делимости для 31 оканчивается на 1, но остаток при делении 31 на 7 равен 3.

Почему правило делимости 7 не дает остаток? Верно, что 10 a + b и (10 a + b ) — 21 b имеют тот же остаток при делении на 7. Но затем мы разложили это на 10 ( a -2 б ).Верно, что 10 ( a — 2 b ) делится на 7 тогда и только тогда, когда ( a — 2 b ) делится на 7, но если ни один из них не делится на 7, то они оставят разные остатки .

Похожие сообщения

Чтобы получать ежедневные твиты по алгебре и другой математике, подписывайтесь на @AlgebraFact в Twitter.

Правила делимости (тесты)

Легко проверить, можно ли точно разделить одно число на другое

делится на

«Делится на» означает «при делении одного числа на другое получается целое число»

Примеры:

14 — это , делимое на 7, потому что 14 ÷ 7 = 2 точно

15 — это , а не , делимое на 7, потому что 15 ÷ 7 = 2 1 7 (результат , а не целое число)

0 — это , делимое на 7, потому что 0 ÷ 7 = 0 ровно (0 — целое число)

«Может быть разделено на» и «может быть разделено на» означает одно и то же.

Правила делимости

Эти правила позволяют вам проверить, делится ли одно число на другое, без необходимости выполнять слишком много вычислений!

Пример: делится ли 723 на 3?

Можно попробовать разделить 723 на 3

Или используйте правило «3»: 7 + 2 + 3 = 12, а 12 ÷ 3 = 4 точно Да

Примечание. Ноль делится на и любое число (кроме самого себя), поэтому мы получаем «да» на все эти тесты.

1

Любое целое число (не дробное) делится на 1

2

Последняя цифра четная (0,2,4,6,8)

12 8 Есть

12 9 Нет

3

Сумма цифр делится на 3

381 (3 + 8 + 1 = 12 и 12 ÷ 3 = 4) Да

217 (2 + 1 + 7 = 10 и 10 ÷ 3 = 3 1 / 3 )

Это правило можно повторить при необходимости:

99996 (9 + 9 + 9 + 9 + 6 = 42, затем 4 + 2 = 6) Да

4

Последние 2 цифры делятся на 4

13 12 равно (12 ÷ 4 = 3) Да

70 19 не равно (19 ÷ 4 = 4 3 / 4 ) Нет

Быстрая проверка (полезная для небольших чисел) состоит в том, чтобы вдвое уменьшить число вдвое, и результатом будет целое число.

12/2 = 6, 6/2 = 3, 3 — целое число. Есть

30/2 = 15, 15/2 = 7,5, что не является целым числом.

5

Последняя цифра 0 или 5

17 5 Есть

80 9 Нет

6

Четно и делится на 3 (соответствует как правилу 2, так и правилу 3 выше)

114 (четно, и 1 + 1 + 4 = 6 и 6 ÷ 3 = 2) Да

308 (четно, но 3 + 0 + 8 = 11 и 11 ÷ 3 = 3 2 / 3 ) Нет

7

Удвойте последнюю цифру и вычтите ее из числа, образованного другими цифрами.Результат должен делиться на 7.
(Мы можем снова применить это правило к этому ответу)

672 (Двойное 2 равно 4, 67−4 = 63 и 63 ÷ 7 = 9) Да

105 (Двойная 5 равна 10, 10−10 = 0, а 0 делится на 7) Да

905 (Двойное 5 равно 10, 90−10 = 80 и 80 ÷ 7 = 11 3 / 7 )

8

Последние три цифры делятся на 8

109 816 (816 ÷ 8 = 102) Есть

216 302 (302 ÷ 8 = 37 3 / 4 )

Быстрая проверка — это трижды уменьшить вдвое, и результат все равно будет целым числом:

816/2 = 408, 408/2 = 204, 204/2 = 102 Да

302/2 = 151, 151/2 = 75.5

9

Сумма цифр делится на 9

(Примечание: это правило можно повторить при необходимости)

1629 (1 + 6 + 2 + 9 = 18, и снова 1 + 8 = 9) Да

2013 (2 + 0 + 1 + 3 = 6)

10

Число заканчивается на 0

22 0 Есть

22 1 Нет

11

Сложить и вычесть цифры поочередно (добавить цифру, вычесть следующую цифру, добавить следующую цифру и т. Д.).Затем проверьте, делится ли этот ответ на 11.

1 3 6 4 (+ 1−3 + 6−4 = 0 ) Да

9 1 3 (+ 9−1 + 3 = 11 ) Есть

3 7 2 9 (+ 3−7 + 2−9 = −11 ) Да

9 8 7 (+ 9-8 + 7 = 8 )

12

Число делится на 3 и 4
(он проходит как правило 3, так и правило 4 выше)

648
( По 3? 6 + 4 + 8 = 18 и 18 ÷ 3 = 6 Да)
(По 4? 48 ÷ 4 = 12 Да)
Оба пройдены, поэтому Да

524
( По 3? 5 + 2 + 4 = 11, 11 ÷ 3 = 3 2 / 3 Нет)
(Не нужно проверять по 4) Нет

Есть еще много всего! Существуют не только тесты на делимость для больших чисел, но и другие тесты для чисел, которые мы показали.

Факторы, которые могут быть полезны

Факторы

— это числа, которые вы умножаете, чтобы получить другое число:

Это может быть полезно, потому что:

Когда одно число делится на другое число …

… тогда это , также делимое на каждый из множителей этого числа.

Пример: если число делится на 6, оно также делится на 2 и 3

Пример: если число делится на 12, оно также делится на 2, 3, 4 и 6.

Еще одно правило для 11

  • Вычтите последнюю цифру из числа, образованного другими цифрами.
  • Если это число делится на 11, то и исходное число тоже.

При необходимости можно повторить

Пример: 286

28-6 равно 22, из которых делится на и делится на 11, поэтому 286 делится на 11

Пример: 14641

  • 1464 — 1 из 1463
  • 146-3 из 143
  • 14-3 равно 11, из которых делится на и делится на 11, поэтому 14641 делится на 11

Руководство по делимости

для чисел 7 и 13

В этом посте мы собираемся изучить правила делимости для чисел 7 и 13.

Руководство по делимости для 7

Чтобы узнать, делится ли число на 7, мы берем число без цифры единиц и дважды вычитаем из этого числа цифру единиц. Затем используйте полученное число и повторите процесс. Повторяйте до тех пор, пока у вас не будет 0 или другое число, у которого явно есть 7 как фактор. В противном случае число не делится на 7.

Вот пример:

Процедура:

  • Сначала мы отделяем цифру единиц от числа:
  • После того, как мы удвоим цифру единиц и затем вычтем полученный результат из числа без цифры единиц (не забудьте произвести умножение перед вычитанием!):

4 × 2 = 8

827 — 8 = 819

По мере того, как число продолжает уменьшаться, повторяем процедуру:

  • Отделяем цифру единиц от числа выше и продолжаем процедуру:
  • Мы удваиваем цифру единиц, а затем вычитаем этот результат из числа без цифры единиц:

81 — 2 х 9 =

81 — 18 = 63

Если вы знаете, что 63 делится на 7, вы можете остановиться на этом.В противном случае повторите процедуру.

  • Разделите цифру единиц в приведенном выше числе:

6 — 2 х 3 =

6–6 = 0

Мы закончили с 0. Следовательно, 8274 действительно делится на 7.

Руководство по делимости для 13

Чтобы узнать, делится ли число на 13, мы используем ту же процедуру, что и выше, за исключением того, что вместо удвоения цифры единиц мы умножаем ее на 9.

Если это вычитание дает 0 или имеет множитель 13, то число делится на 13.

Вот пример: Процедура:

  • Отделите цифру единиц от числа:
  • Мы умножаем цифру единиц на 9, а затем вычитаем этот результат из числа без цифры единиц (не забудьте произвести умножение перед вычитанием!):

370 — 9 х 5 =

370 — 45 = 325

Повторите процедуру:

  • Отделите цифру единиц от числа:
  • Умножьте цифру единиц измерения на 9, а затем вычтите полученный результат из числа без цифры единиц:

32 — 9 х 5 =

32–45 =

Примечание : Когда уменьшаемое (32) меньше, чем вычитаемое (45), мы обращаем вычитание:

45 — 32 = 13

Ответ — 13.Поскольку оно кратно 13, число 3705 также делится на 13.

Если вы хотите узнать больше о критериях делимости, вы можете прочитать наш предыдущий пост о критериях делимости на 3, 4, 9 и 11.

Если вы хотите узнать больше об элементарной математике, зарегистрируйтесь в Smartick и попробуйте бесплатно.

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

Правила делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Мы говорим, что число делится на , если его можно разделить поровну без напоминания.

Число

делится на на:

2

Если последняя цифра четная — 0, 2, 4, 6 или 8.
Пример

258 делится на 2, потому что последняя цифра равна 8.
170 делится на 2, потому что последняя цифра равна 0.

3

Если сумма цифр делится на 3.
Пример

246 делится на 3, потому что 2 + 4 + 6 = 12 — делится на 3 (12 = 3 × 4).
954 делится на 3, потому что 9 + 5 + 4 = 18 — делится на 3 (18 = 3 × 6).

4

Если последние две цифры образуют число, которое делится на 4.

Пример

316 делится на 4, потому что 16 делится на 4 (16 = 4 × 4).
528 делится на 4, потому что 28 делится на 4 (28 = 4 × 7).

5

Если последняя цифра 5 или 0.
Пример

135 делится на 5, потому что последняя цифра 5.
770 делится на 5, потому что последняя цифра равна 0.

6

Если число делится как на 2, так и на 3.
Пример

282 делится на 6, потому что делится на 2 (последняя цифра четная) и делится на 3 (2 + 8 + 2 = 3 × 4).
780 делится на 6, потому что делится на 2 (последняя цифра четная) и делится на 3 (7 + 8 + 0 = 3 × 5).

7

Если вы можете удвоить последнюю цифру и вычесть сумму из оставшейся части числа, и получите ответ, который делится на 7 (включая 0).
Пример

203 делится на 7, потому что 20 — 2 ⋅ 3 = 14 — делится на 7 (2 × 7 = 14).
455 делится на 7, потому что 45 — 2 5 = 35 — делится на 7 (5 × 7 = 35).

8

Если последние три цифры образуют число, которое делится на 8.

Пример

1888 делится на 8, потому что 888 = 8 × 111.
1112 делится на 8, потому что 112 = 8 × 14.

9

Если сумма всех цифр делится на 9.

Пример

144 делится на 9, потому что 1 + 4 + 4 = 9 и 9 делится на 9.
819 делится на 9, потому что 8 + 1 + 9 = 18, а 18 делится на 9.

10

Если число заканчивается на 0.

Пример

990 делится на 10, потому что заканчивается на 0.
2340 делится на 10, потому что заканчивается на 0.

Проблемы и тесты:

Задачи, связанные с правилами делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 9
Викторина по правилам делимости — 1
Викторина по правилам делимости — 2
Викторина: LCM и правила делимости

Статей:

Делимость
делимость на 2
делимость на 4
делимость на 3 и 9
делимость на 5
делимость на 25

Проверка на делимость на 7

Проверка делимости на 7

Существуют известные тесты, если число (представленное в виде десятичной
numeral) делится на 2, 3, 5, 9 или 11. i \ bmod 7 !! не просто.i \ bmod 7 и 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, \ ldots \\
\ end {массив}

$

Правило, которое мы получаем отсюда:

Возьмите цифру единиц. Сложите три раза больше единицы, дважды
сотни цифр, шесть раз больше тысяч… (бла-бла-бла) и
исходное число кратно !! 7 !! тогда и только тогда, когда сумма
также.

Например, учитывая !! 12345678 !! мы должны рассчитать

$$ \ begin {align} 12345678 & \ Rightarrow & 3 \ cdot1 + 1 \ cdot 2 + 5 \ cdot 3 + 4 \ cdot 4 + 6 \ cdot 5 + 2 \ cdot6 + 3 \ cdot 7 + 1 \ cdot 8 & = & 107 \\\\
107 & \ Rightarrow & 2 \ cdot1 + 3 \ cdot 0 + 1 \ cdot7 & = & 9
\ end {align}
$$

и действительно !! 12345678 \ экв 107 \ экв 9 \ pmod 7 !!.

Моих детей учили практическим тестам на делимость в школе, или
возможно, узнал их из YouTube или что-то в этом роде. Катара была
впечатлен моей способностью проверять делимость больших чисел на 7
и спросил, как я это сделал. Сначала я не думал над своим ответом
достаточно, и просто сказал: «О, это несложно, просто разделите на 7 и посмотрите на
остаток.» («Просто посчитайте ноги и разделите на 4.») Но я
позже понял, что есть несколько приемов, которые я использовал, которые не
очевидный.Во-первых, она никогда не выучила короткое деление. Когда я был в
школа Меня очень мучили с делением в столбик, которое
выглядит так:

Это все, что было показано Катаре, поэтому, когда я сказал «просто разделите на 7»
это то, о чем она думала. Но вам нужно только длинное деление для
большие делители. Для простых делителей вроде !! 7 !! меня учили коротко
деление, более легкая техника:

Да, я написал 4, когда имел в виду 3. Это не имеет значения, нам все равно
в любом случае о частном.

Но это один из приемов, который я использовал, который не был очевиден для
Катара: нас все равно не волнует частное, только остаток.
Поэтому, когда я сделал это в своей голове, я отбросил части
вычисление, которое было примерно частным, и сохраняло только шаги, которые
относится к остальной части. Как я на самом деле это делал
в моей голове звучало так:

7 на 12 листов 5. 7 на 53 листа 4. 7 на 44 листа 2. 7
на 25 листов 4. 7 на 46 листов 4. 7 на 57 листов 5.7 в
58 листьев 9. Ответ 9.

На каждом шаге мы рассматриваем только крайнюю левую часть числа,
начиная с !! 12 !!. !! 12 \ div 7 !! имеет остаток 5, и к этому 5
мы добавляем следующую цифру делимого, 3, что дает 53. Затем мы
продолжаем таким же образом: !! 53 \ div 7 !! имеет остаток 4, и чтобы
к этим 4 мы добавляем следующую цифру, получая 44. Мы никогда не вычисляем
частное вообще.

Я объяснил идею на небольшом примере, например:

Предположим, вы хотите узнать, делится ли 1234 на 7.Это
1200 с чем-то, так что уберите 700, что оставляет 500 с чем-то.
500-что? 530 с чем-то. Так что уберите 490, оставив 40 с чем-то.
40-что? 44. Теперь уберите 42, оставив 2. Это не 0, поэтому 1234 равно
не делится на 7.

Вот как я это делаю. Для меня это работает достаточно хорошо до
13, и после этого становится все труднее, пока к 37 I
вообще не может эффективно сделать это. Ключевым элементом является наличие
запомненные кратные делителя. Если вы думаете о
mod-13 остаток от 680 с чем-то, это большая помощь, чтобы сразу узнать
что вы можете вычесть 650.

Год или два назад я обнаружил другой метод, который, я уверен, должен
быть древним, но интересно тем, что сильно отличается от
другие методы, которые я описал.

Предположим, что последняя цифра !! n !! есть !! b !!, так что !! n = 10a + b !!.
Тогда !! — 2n = -20a-2b !!, и это кратно !! 7 !! если и только если
!! п !! является. Но !! — 20a \ Equiv a \ pmod7 !!, так что !! a-2b !! кратно
!! 7 !! если и только если !! n !! является. Это дает нам правило:

Чтобы проверить !! n !! кратно 7, отрежьте последнюю цифру,
удвойте его и вычтите из остальной части числа.Повторить
пока ответ не станет очевидным.

для !! 1234 !! сначала отрубаем !! 4 !! и вычтите !! 2 \ cdot4 !! из
!! 123 !! выезжаю !! 115 !!. Затем отрубаем !! 5 !! и вычесть
!! 2 \ cdot5 !! с !! 11 !!, уезжая !! 1 !!. Это не кратное
!! 7 !!, так что и !! 1234 !!. Но с !! 1239 !!, что является кратным
of !! 7 !!, получаем !! 123-2 \ cdot 9 = 105 !! а затем !! 10-2 \ cdot5 = 0 !!,
и мы выигрываем.

В отличие от других методов, описанных в этой статье, этот метод
, а не скажет вам остаток при делении, потому что он не сохраняет
остаток по модулю 7.Когда мы начали с !! 1234 !! мы закончили !! 1 !!.
Но !! 1234 \ not \ Equiv 1 \ pmod 7 !!; скорее !! 1234 \ экв 2 !!. Каждый шаг
в этом методе остаток умножается на -2 или, если хотите, на 5.
Исходный остаток был 2, поэтому последний остаток !! 2 \ cdot-2 \ cdot-2
= 8 \ эквив 1 \ pmod 7 !!. (Или, если хотите, !! 2 \ cdot 5 \ cdot 5 = 50
\ Equiv 1 \ pmod 7 !!.) Но если мы заботимся только о том, является ли остаток
ноль, умножив его на !! — 2 !! не имеет значения.

В этом методе тоже есть несколько сокращений.Если последняя цифра
!! 7 !!, то вместо того, чтобы удваивать и вычитать 14, вы можете просто
отрубить и выбросить, идя прямо от !! 10a + 7 !! к !! а !!.
Если ваш номер !! 10a + 8 !! можно вычесть !! 7 !! из этого сделать это
проще работать, получилось !! 10a + 1 !! а потом иду !! a-2 !!
вместо !! a-16 !!. Аналогично, когда ваш номер заканчивается на !! 9 !! ты
можно пойти !! a-4 !! вместо того чтобы !! a-18 !!. А с другой стороны, если
заканчивается на !! 4 !! проще пойти в !! a-1 !! вместо !! a-8 !!.

Но даже с этими уловками не понятно, что это быстрее или
легче, чем просто делать короткое деление. Это такое же количество
шагов, и кажется, что каждый шаг — это примерно такой же объем работы.

Наконец, однажды я поразил Катару во время полета на самолете, показав ей это:

Проверить !! 1429 !! используя это устройство, вы начинаете с ⓪. Первое
цифра !! 1 !!, поэтому вы следуете одной черной стрелкой до ①, а затем синей
стрелка к ③. Следующая цифра
!! 4 !!, вы следуете за четырьмя черными стрелками назад к ⓪, а затем к синей
стрелка, которая снова переходит к ⓪.Следующая цифра — !! 2 !!, поэтому следуйте двум черным стрелкам, чтобы
②, а затем синюю стрелку к ⑥.
И последняя цифра — 9, поэтому следуйте 9 черным стрелкам до ①.
а затем остановитесь. Если вы закончите с того места, где начали, на ⓪,
число делится на 7. На этот раз мы закончили на ①, так что !! 1429 !! не является
делится на 7. Но если бы последняя цифра была !! 1 !! вместо этого в
на последнем шаге мы прошли бы только одну черную стрелку от ⑥ до ⓪,
до того, как мы остановились, так что !! 1421 !! делится на 7.

Это, вероятно, бесполезно для мысленных вычислений, но я могу представить
что если вы застряли в долгой поездке на самолете без калькулятора, и вы
по какой-то причине нужно было вычислить много остатков mod-7, это могло быть
быстрее, чем метод короткого деления.График легко
строить и не нужно запоминать. Черные стрелки явно указывают
от !! n !! на !! n + 1 !!, а синие стрелки указывают на !! n !! к
!! 10n !!.

Я сделал целый набор этих
диаграммы и я думаю
интересно видеть, как обычные правила делимости проявляются в
их. Например, правило делимости на 3 гласит, что просто добавьте
вверх цифр:

Или правило делимости на 5, которое требует игнорировать все, кроме
последняя цифра:

[Приложение 20201122: Проверка делимости на 19.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.