Примеры иррациональных уравнений: Примеры решения иррациональных уравнений | Подготовка к ЕГЭ по математике

3=128-3=125\quad\Leftrightarrow\quad x=5\]

Содержание

Решение иррациональных уравнений

Наш преподаватель и постоянный автор Дмитрий Айстраханов рассматривает очень важную тему, в которой, по статистике, многие школьники делают ошибки. Вооружайтесь знаниями с экспертами Альфа-школы!

 

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная находится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Как решать иррациональные уравнения?

Для того чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо перенести выражение, содержащее корень, в одну сторону (уединить его), возводить в соответствующую степень обе части уравнения и упростить полученное выражение. Повторять процедуру до тех пор, пока не исчезнут все корни или решение не станет очевидным. Далее необходимо решить полученное рациональное уравнение.

А именно — убедиться, что в рациональном уравнении нет корней, т. е. действительно имеем дело с рациональным уравнением, определить область допустимых значений (ОДЗ), умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, решить полученное целое уравнение. Сделать проверку полученного решения подстановкой полученных корней в исходное уравнение, т.е. исключить те корни, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Методы решения иррациональных уравнений:

1. Введение новой переменной.

2. Исследование области допустимых значений (ОДЗ).

3. Умножение обоих частей уравнения на сопряженный множитель.

4. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

5. Выделение полного квадрата.

6. Использование свойств монотонности функций.

7. Функционально-графический метод.

8. Метод равносильных преобразований.

9. Метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

 

Иррациональные уравнения широко представлены в ЕГЭ.

 

Так, например, решим уравнение

x-1=(х2-4х+9)1/2

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим x2-2x+1=x2-4x+9. Решим его, получим х=4. Проверкой убеждаемся, что корень удовлетворяет исходному уравнению.

 

Удачи вам в подготовке к экзаменам!

 

Автор: Дмитрий Айстраханов

 

Что такое иррациональные уравнения? Определения из учебников.



Прежде чем говорить про решение иррациональных уравнений, следует хорошо разобраться с вопросом, что такое иррациональные уравнения. Сейчас мы этим и займемся: познакомимся с определением иррационального уравнения и рассмотрим примеры уравнений этого вида.


Следует заметить, что определения немного отличаются от одной математической книги к другой. Поэтому давайте найдем и выпишем определения из учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации, а также из других источников, чтобы проанализировать их, и выбрать для себя лучшее.



Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике [1, с. 174] утверждается, что





Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x, значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.



В учебниках Колмогорова А. Н. [3, с. 214] и Колягина Ю. М. [4, с. 193]



Определение


иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.



Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более обширную группу уравнений.



Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про корень степени n, и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.



Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. — здесь под знаком кубического корня расположена переменная x, поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: — здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .



Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.



Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги [5], а вот — из сборника [6]. В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.



Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.



В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс [2, с. 237]



Определение


Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.



Здесь, помимо уравнений с переменной под знаком корня, иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: степень с дробным показателем определяется через корни, и на ОДЗ переменной x для данного уравнения (при условии x2+2·x≥0) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений. Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.



Избежать подобных спорных моментов можно и через более строгое определение. Пример такого определения можно найти в справочнике советских времен [7, с. 64]:



Определение


Иррациональным называется уравнение, в котором некоторое рациональное или алгебраическое выражение от неизвестного находится под знаком радикала.



Согласно этому определению в иррациональном уравнении под знаком радикала может находиться только выражение, в котором над переменной не совершается иных действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень (натуральную) и извлечения корня. Это определение исключает нахождения переменной в иррациональном уравнении под знаками логарифмов, тригонометрических функций, в показателе степени и др.



Какое из приведенных выше определений предпочесть? Наверное, стоит называть иррациональными только такие уравнения, которые не противоречат ни одному из записанных определений, а остальные называть просто уравнениями без уточнения, что это за уравнение.



Пара слов о количестве переменных в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .



Но при этом обязательно нужно заметить, что в школе обычно рассматривается решение иррациональных уравнений только с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются не для решения, а в составе систем уравнений или при алгебраическом описании геометрических объектов. Например, можно встретить задание «решите систему уравнений », или увидеть описание полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, при помощи уравнения .



В школе также рассматриваются иррациональные уравнения с параметром. Приведем пример: , здесь x – переменная, a — параметр. Как понять, что это уравнение с параметром, а не уравнение с двумя переменными? Как правило, это указывается в задании.



В заключение скажем, что встречается термин «простейшие иррациональные уравнения». Так что рекомендуем ознакомиться, что понимают под простейшими иррациональными уравнениями.


«Иррациональные уравнения, примеры решения», презентация

Дата публикации: .

Иррациональные уравнения

Ребята, не так давно мы с вами изучили новое множество чисел — иррациональные числа. Мы договорились называть любое число, содержащее корень квадратный, иррациональным. Так вот, уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня квадратного, тоже называются иррациональными уравнениями. Такие уравнения возникли не из-за того, что математикам захотелось решать подобные уравнения. Существует множество реальных ситуаций, в которых вычисление каких-либо характеристик сводится к решению иррациональных уравнений. Например, при вычислении длины гипотенузы прямоугольного треугольника (по теореме Пифагора) вполне может получиться иррациональное уравнение. Давайте научимся решать простейшие иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение: $\sqrt{2x-4}=4$.
Согласно определению корня квадратного, это выражение можно представить, как $2x-4=16$.
Нам удалось перейти от иррационального уравнения к обычному линейному уравнению, которое решается очень просто. Его корнем является число $x=10$.

Мы возвели обе части уравнения в квадрат и получили более простое уравнение. Такой способ называется «методом возведения в квадрат». Данный метод решения очень прост, но к сожалению иногда могут возникнуть некоторые проблемы при решении уравнений этим методом. 2-4t-21=0$.
$(t-7)(t+3)=0$.
Введем обратную замену $\sqrt{x}=7$ и $\sqrt{x}=-3$.
Из первого выражения имеем, что $х=49$, а второе не имеет смысла.
Ответ: $х=49$.

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1. $\sqrt{3-x}=3x+5$.
2. $\sqrt{x-13}-\sqrt{x+8}=-3$.
3. $x+2\sqrt{x}-24=0$.

Методы решения иррациональных уравнений


Я бы почувствовал настоящее

удовлетворение лишь в том случае,

если бы смог передать ученику гибкость ума,

которая дала бы ему в дальнейшем

возможность самостоятельно решать задачи.

У.У.Сойер.



Определение. Уравнение с одной
переменной называют иррациональным, если хотя бы
одна из функций или содержит переменную под знаком
радикала.

При решении иррациональных уравнений
необходимо установить область допустимых
значений переменных, исходя из условия, что все
радикалы, входящие в уравнение, должны быть
арифметическими.


1. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом
положении: “Если функция возрастает в области
определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет
единственное решение
.”

Для реализации метода, основанного на этом
утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в
уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области
определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.



Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том,
что подкоренные выражения должны быть
неотрицательными. Поэтому сначала найдем
область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не
существует ни при одном значении неизвестного . Таким
образом, вопрос о решении уравнения снимается –
ведь нельзя же осуществить операцию сложения в
левой части уравнения, так как не существует сама
сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь
решений, так как левая часть не существует ни при
одном значении неизвестного .



Пример 2.

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно
возрастающей.

Для
эта функция будет принимать наименьшее значение
при , а
далее только возрастать.. Число 5 принадлежит
области значения, следовательно, согласно
утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный
корень уравнения..


2. Метод возведения обеих частей уравнений в
одну и ту же степень.



Теорема.

Если возвести обе части уравнения (1) в
натуральную степень , то уравнение (2)
является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое
равенство , то по свойствам степени выполняется
равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является
и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2)
является следствием уравнения (1).

Если ,
то справедливо и обратная теорема. В этом случае
уравнения (1) и (2) равносильны.

Если ,
равенство справедливо, если выполняется хотя бы
одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом
случае не равносильны. Поэтому, если в ходе
решения иррационального уравнения
приходилось возводить обе его части в степень с
четным показателем, то могли появиться
посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки
можно избежать, введя дополнительное требование . В этом
случае уравнение равносильно системе . В
системе отсутствует требование ,
обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно
было бы излишним в связи с равенством .



Пример 1.



,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то
их можно последовательно исключать с помощью
возведения в квадрат, получая в итоге уравнение
вида
При этом полезно учитывать область допустимых
значений исходного уравнения.



Пример 2. 

Ответ:


3. Решение уравнений с использованием замены
переменной.



Введение вспомогательной переменной в ряде
случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще
всего в качестве новой переменной используют
входящий в уравнение радикал. При этом уравнение
становится рациональным относительно новой
переменной.



Пример1. 

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:

,
корни которого и Решая уравнение , получаем и

Ответ:

В следующих примерах используется более
сложная замена переменной.



Пример 2



Перенесем в левую часть все члены уравнения и
произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду корнями
которого являются и

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ:


4. Метод разложения на множители выражений,
входящих в уравнение.

Теорема.



Уравнение , определенное на всей числовой оси,
равносильно совокупности уравнений

Пример1.

При
уравнение принимает вид: которое равносильно
совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень
трудно. Иногда это удается сделать после
дополнительных преобразований. В приведенном
ниже примере для этого рассматриваются попарные
разности подкоренных выражений.



Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то
можно увидеть, что разности подкоренных
выражений первого и третьего , а также второго и
четвертого членов этого уравнения равны одной и
той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться
тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т. е. число при подстановке в исходное
уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть
положительна в своей области определения.

Ответ:


5. Метод выделения полных квадратов при решении
иррациональных уравнений.


При решении некоторых иррациональных
уравнений полезна формула



Пример 1.



Преобразуем уравнение следующим образом:

или



Обозначим и решим полученное уравнение

методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи ,
находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:


6. Метод оценки.



Этот способ применим в том случае, когда
подкоренные выражения представляют собой
квадратный трехчлен, не раскладывающийся на
линейные множители. Поэтому целесообразно
оценить левую и правую части уравнения.



Пример 1.

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех
значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех
значениях, не больших 5, следовательно, уравнение
будет иметь решение, если обе части уравнения
одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая
система:

Корнем второго уравнения системы является
число

Проверим, является ли это число корнем второго
уравнения:

.

Ответ:



Пример 2.



Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:


7. Иррациональные уравнения, содержащие
степени выше второй.

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя
обе части этого уравнения в степень . Полученное
уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при
четном является
нго следствием, аналогично рассмотренному выше
случаю при



Пример 1



Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое
равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень
часто пользуются следующим приемом.

Если
то

В последнем равенстве заменяют на и
получают

Далее легко избавиться от кубической
иррациональности , возводя обе части в куб.



Пример 2.


Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

,

или

или

или

или

Проверка подтверждает, что это корень
уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на
правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам
неизвестно ни одно значение , при котором это
уравнение превращается в верное числовое
равенство. Возможно, таких решений нет вообще.
Допуская в практических действиях такую замену,
мы фактически расширяем возможное множество
решений. Поэтому все найденные решения следует
проверять и только те, которые превращают
исходное уравнение в верное равенство, следует
записать в ответ.

От того, что школьник решит лишний десяток
задач, умнее и сообразительнее он не станет,
Результат обучения оценивается не количеством
сообщаемой информации, а качеством ее усвоения.
Это качество будет выше, если на один и тот же
пример посмотреть с разных сторон. Решение задач
разными способами способствует развитию
активного мышления учащихся. Хорошую почву для
этого дает решение примеров разными способами.



Пример 3. Способ 1.

(1)

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

или

или

или


корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную
переменную, а несколько, сводя исходное
уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной
переменной сводит исходное уравнение к
однородному.



Пример 4.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная
обращается в нуль, не является решением
исходного уравнения ( в чем можно убедиться
подстановкой), делим обе части уравнения на


решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:



Пример 5.

Область допустимых значений задается
неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному
промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

Иррациональные уравнения. Основные методы решения

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень.
Примеры иррациональных уравнений:

ОСНОВНЫМИ МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЯВЛЯЮТСЯ:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных. Иногда при¬меняют также различные искусственные приемы.
При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в четную степень могут появиться посторонние (лишние) корни. Эти корни могут появиться за счет того, что при возведении обеих частей исходного уравнения f(x) = φ(х) в четную степень получается уравнение, являющееся следствием не только уравнения f(x) = φ(x), но и уравнения f(x) = -φ(x), поскольку и (f(x))² =(ф(х))², И (f(x))² =(-ф(х))². Если уравнение f(x) = -φ(х) имеет корни, то именно они являются посторонними корнями исходного уравнения f(x) = φ(x).
Так, например, возьмем уравнение

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

<=> х² — 15х + 54 = 0. Корнями этого уравнения являются числа x₁ = 9, х₂ = 6. Однако x₁ = 9 является корнем уравнения

а х₂ = 6 является посторонним корнем (очевидно, что х₂ = 6 является корнем уравнения

то есть является корнем уравнения f(x) = -ф(х), если исходное уравнение есть f(x) = ф(x)).
Причиной появления посторонних корней, помимо возведения обеих частей уравнения в четную степень, может быть также какая-либо замена (неэквивалентное преобразование), выполняемая, например, в ходе решения уравнения, содержащего кубические радикалы.
Приступая к решению иррационального уравнения, содержащего четные степени радикалов, бывает полезным нахождение множества D допустимых значений переменной (ОДЗ — область допустимых значений), это может облегчить решение исходного уравнения. При этом найденные при решении уравнения значения неизвестных, которые не принадлежат множеству D, являются посторонними. Однако те найденные корни, которые принадлежат D, необходимо проверять, так как и они могут быть посторонними (это будет в том случае, если производились неэквивалентные преобразования в процессе решения уравнения).
Отсюда следует, что в подавляющем большинстве случаев найденные корни иррационального уравнения необходимо проверять. Исключения составляют только случаи, когда на всех этапах решения исходного уравнения производились только эквивалентные (равносильные) преобразования. Однако при этом приходится, как правило, решать неравенства, что иногда отнимает немало времени. Таким образом, нужно либо делать проверку найденных корней, подставляя их значения в исходное уравнение, либо в процессе решения исходного уравнения делать только эквивалентные преобразования, которые не могут привести ни к потере корней, ни к приобретению лишних корней.
Прежде чем приступать к рассмотрению основных методов решения иррациональных уравнений, рассмотрим некоторые несложные иррациональные уравнения, при решении которых основные методы не применяются.
Пример 1. Решить уравнение

Решение. Поскольку

где а — любое действительное число, если n — нечетное, m/n>0, то исходное уравнение равносильно такому: х+(х-1)=5 <=> 2х=6 <=> х=3.
Ответ: {3}.
Пример 2. Решить уравнение

Решение. Находим ОДЗ (область допустимых значений х, или, что то же самое, множество D).

Таким образом, в данном примере предварительное нахождение ОДЗ оказалось чрезвычайно полезным.
Ответ: ∅.
Пример 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку

так как неотрицательное число не может равняться отрицательному.
Ответ: ∅.
Пример 4. Решить уравнение

Решение. Т. к. для корней четной степени берется всегда арифметическое (неотрицательное) значение корня, то

Ответ: {-1}.
Пример 5. Решить уравнение

Решение. Поскольку х² + 2х + 1 = (х + 1)², х² — 4х + 4 =(х-2)²,

то исходное уравнение равносильно следующему: |х +1|+|х — 2| = 4.
Решая это уравнение методом интервалов, имеем совокупность трех смешанных систем:

Первая и третья системы имеют решения, а именно, -3/2, 5/2 а вторая — нет.
Ответ: {-3/2, 5/2}

Калькулятор онлайн — Решение иррациональных уравнений и неравенств

Введите иррациональное уравнение или неравенство


Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Решение иррациональных уравнений и неравенств

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в
дробную степень. 4 =16 \end{array}\right. \)

Решив её, находим:
\( \left\{\begin{array}{l} u_1=0 \\ v_1 =2; \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} u_2=2 \\ v_2 =0 \end{array}\right. \)

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений:
\( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =0 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =2; \end{array}\right. \)
\( \left\{\begin{array}{l} \sqrt[\Large4\normalsize]{1-x} =2 \\ \sqrt[\Large4\normalsize]{15+x} =0 \end{array}\right. \)

Решив эту совокупность, находим: \(x_1=1, \; x_2=-15 \)

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это,
убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.

\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} = \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \)

Возведём обе части уравнения в куб:

\( 2x+1 + 3\sqrt[\Large3\normalsize]{(2x+1)^2} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} +
3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{(6x+1)^2} +6x+1 = 2x-1 \Rightarrow \)
\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot
(3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} ) = -6x-3 \)

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму
\( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} + \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \) на выражение \( \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} \):

\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{2x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{6x+1} \cdot \sqrt[\Large3\normalsize]{2x-1} = -6x-3 \Rightarrow \)

\( 3\sqrt[\Large3\normalsize]{ (2x+1)(6x+1)(2x-1) } = -2x-1 \)

Возведём обе части в куб:

\( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 \Rightarrow \)

\( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 \Rightarrow \)

\( 16x^2(2x+1) =0 \Rightarrow \)

\( x_1= -0{,}5; \; x_2=0 \)

Проверка. 2+3x >4 \Rightarrow \)

\( (x+4)(x-1) >0 \Rightarrow \)

\( x1 \)

Ответ: \( x1 \).

Иррациональные числа

Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть записано в виде простой дроби.

Нерациональные средства Нерациональные

Давайте посмотрим, что делает число рациональным или иррациональным …

Рациональные числа

A Rational Число может быть записано как Соотношение двух целых чисел (то есть простая дробь).

Пример: 1,5 рационально, потому что его можно записать как соотношение 3/2

Пример: 7 является рациональным, потому что его можно записать как соотношение 7/1

Пример 0,333 … (3 повторения) тоже рациональный, потому что его можно записать как отношение 1/3

Иррациональные числа

Но некоторые числа нельзя записать как отношение двух целых чисел. ..

… их называют Иррациональные числа .

Пример:

π (Пи) — известное иррациональное число.

π = 3,1415926535897932384626433832795 … (и более)

Мы не можем записать простой дробью, равной Пи.

Популярное приближение 22 / 7 = 3,1428571428571 … близко, но неточно .

Еще одна подсказка заключается в том, что десятичная дробь продолжается бесконечно, не повторяясь.

Нельзя записать дробью

Это иррационально , потому что это не может быть записано как отношение (или дробь),
не потому, что это безумие!

Итак, мы можем определить, является ли это рациональным или иррациональным, попытавшись записать число в виде простой дроби.

Пример:

9,5 можно записать в виде простой дроби, например:

9.5 = 19 2

Значит, это рациональное число не иррациональное )

Вот еще несколько примеров:

Номер В виде фракции рационально или
иррационально?
1,75 7 4 Rational
. 001 1 1000 Rational
√2
(корень квадратный из 2)
? Нерационально!

Квадратный корень из 2

Давайте более внимательно посмотрим на квадратный корень из 2.

Когда мы рисуем квадрат размером «1»,
какое расстояние по диагонали?

Ответ — квадратный корень из 2 , что составляет 1.4142135623730950 … (и т. Д.)

Но это не число вроде 3, или пяти третей, или чего-то подобного …

… на самом деле мы не можем записать квадратный корень из 2, используя соотношение двух чисел

… Я объясняю , почему на Is It Irrational? стр.,

… и мы знаем, что это иррациональное число

Известные иррациональные числа

Пи — известное иррациональное число. Люди вычислили Пи с точностью до квадриллиона десятичных знаков, но до сих пор нет никакой закономерности. Первые несколько цифр выглядят так:

3,1415926535897932384626433832795 (и другие …)

Число e (число Эйлера) — еще одно известное иррациональное число. Люди также вычислили e с множеством десятичных знаков без какой-либо модели.Первые несколько цифр выглядят так:

2.71828182845

353602874713527 (и более …)

Золотое сечение — иррациональное число. Первые несколько цифр выглядят так:

1.61803398874989484820 … (и многое другое …)

Многие квадратные корни, кубические корни и т. Д. Также являются иррациональными числами.Примеры:

√3 1.7320508075688772935274463415059 и т. Д.
√99 9.9498743710661995473447982100121 и т. Д.

Но √4 = 2 (рациональное) и √9 = 3 (рациональное) …

… значит, не все корни иррациональны.

Замечание об умножении иррациональных чисел

Взгляните на это:

  • π × π = π 2 иррационально
  • Но √2 × √2 = 2 является рациональным

Так что будьте осторожны… умножение иррациональных чисел может дать рациональное число!

Интересные факты ….

По-видимому, Гиппас (один из учеников Пифагора ) обнаружил иррациональные числа, пытаясь записать квадратный корень из 2 в виде дроби (предполагается, что с использованием геометрии). Вместо этого он доказал, что квадратный корень из 2 не может быть записан как дробь , поэтому это иррациональный .

Но последователи Пифагора не могли принять существование иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание от богов!

Примеры уравнений с рациональными и иррациональными числами

И рациональные, и иррациональные числа можно назвать действительными числами, но когда дело доходит до их свойств, есть несколько отличий. Вы можете представить рациональное число в форме P / Q, где P и Q — целые числа, а Q 0.

Иррациональные числа нельзя записать простыми дробями. 2/3 — это пример рационального числа, а √2 — иррациональное число.

Определения

Давайте начнем с определения каждого термина отдельно, затем мы сможем узнать о каждом больше и проработать несколько примеров.

Что такое рациональное число?

Любое число, выраженное в виде дроби с положительными, отрицательными числами и нулем, называется рациональным числом.Рациональные числа происходят от слова «соотношение». Другими словами, это соотношение двух целых чисел. Например, 3/2 — рациональное число, что означает деление 3 на другое целое число 2.

Что такое иррациональное число?

По сути, иррациональные числа могут быть записаны как десятичные дроби, но как отношение двух целых чисел. В иррациональных числах после десятичной точки обычно есть бесконечные неповторяющиеся цифры. Возьмем этот пример: √8 = 2,828.

Примеры рациональных и иррациональных чисел

Для Rational
  • 0.5 можно записать как ½ или 5/10, а любое завершающее десятичное число является рациональным числом.
  • √81, поскольку квадратный корень можно упростить до 9, которое является частным от дроби 9/1
  • Вы можете выразить 3 как 3/1, где 3 является частным целых чисел 3 и 1.
  • 0,777777 — повторяющееся десятичное число и является рациональным числом.
  • 1/5 — рациональное число, поскольку знаменатель и числитель являются целыми числами.
Для иррациональных
  • √2 это число не может быть упрощено; следовательно, это иррациональное число.
  • Π — это иррациональное число, имеющее значение 3,142…, которое является бесконечным и неповторяющимся числом. Следовательно, значение π не равно какой-либо дроби. Дробь 22/7 — это всего лишь оценка.
  • 0,212112111… является иррациональным числом, которое не повторяется и не заканчивается, поэтому его нельзя выразить как частное от дроби.
  • Хотя число в √7 / 5 дано как дробь, числитель и знаменатель должны быть целыми числами. Но поскольку √ 7 не является целым числом, указанное число иррационально.
  • 5/0 иррационально. Любая дробь со знаменателем 0 иррациональна.

Свойства рациональных и иррациональных чисел

Это основные правила арифметики над рациональными и иррациональными числами

Правило 1: Результат суммы двух рациональных чисел также является рациональным

Правило 2: Произведение двух рациональных чисел является рациональным

Правило 3: результат суммы двух иррациональных чисел может быть рациональным или иррациональным

  • Возьмем для примера: √2 + √2 = 2√2 иррационально
  • , а 2 + 2√5 + (-2√5) = 2 результат является рациональным

Правило 4: Результат произведения двух иррациональных чисел может быть иррациональным или рациональным.

  • Возьмем для примера: √2 * √3 = √6 иррационально
  • , а √2 * √2 = √4 = 2 рациональных

Давайте теперь сосредоточимся на индивидуальных свойствах рациональных и иррациональных чисел.

Отличительные особенности рациональных чисел

  • Сумма рациональных чисел всегда является рациональным числом. Например, если W и Z — два рациональных числа, сумма W и Z рациональна.
  • Результат деления рационального числа на ненулевое число — рациональное число.Например, W ÷ Z = рациональное число.
  • Произведение любых двух или трех рациональных чисел дает другое рациональное число. Например, если вы умножите W и Z, полученный ответ должен быть рациональным.
  • Разница между двумя рациональными числами дает другое число. Например, если вы вычтете Z из W, вы получите рациональное число.

Поскольку результат суммы любых двух рациональных чисел является рациональным числом, рациональные числа всегда должны быть замкнутыми.Следовательно, рациональные числа одинаково закрыты для умножения, вычитания и деления, если делитель не равен нулю.

Как представить рациональные числа в виде десятичных знаков

Любое рациональное число можно выразить в виде десятичной дроби в конце или в виде десятичной дроби. Завершающий десятичный разделитель — это любое десятичное число, в котором после конечного числа десятичных знаков следующие за ним значения разряда равны 0. Например, 1/8 = 0,125.

Как видно из приведенного примера, деление точное.Такие частные называются завершающими десятичными знаками. В качестве альтернативы, рациональные числа также могут быть выражены как непрерывные десятичные дроби. Неограничивающая десятичная дробь — это те десятичные дроби, которые бесконечно продолжаются после десятичной точки.

Давайте посмотрим на эти примеры:

  1. 3/7 = 0,42857142
  2. 18/23 = 0,78260869

В двух приведенных выше примерах вы понимаете, что разделение никогда не заканчивается, независимо от того, как долго оно может продолжаться. Частные таких делений называются завершающими десятичными знаками.

В некоторых случаях у незавершенного десятичного числа может быть цифра или набор чисел, которые непрерывно повторяются. Эти непрерывные десятичные дроби называются периодическими, повторяющимися или циркулирующими десятичными знаками. Набор повторяющихся цифр называется периодом повторяющейся десятичной дроби.

Примеры

4/9 = 0,44444444

11/30 = 0,36666666

Отличительные особенности иррациональных чисел

  • Произведение иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным.
  • Результат произведения ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда иррационально.
  • Сумма иррациональных чисел может быть как рациональной, так и иррациональной.
  • Сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.
  • Разница между двумя иррациональными числами может быть или не быть иррациональной.
  • Сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.

Значительные различия между рациональными и иррациональными числами

  • Рациональное число может быть выражено как отношение двух чисел в (форме p / q), а иррациональное число — нет.
  • Рациональное число включает числа, которые могут заканчиваться или повторяться, в то время как иррациональные числа не завершаются и не повторяются.
  • Рациональное число имеет полные квадраты, такие как 4, 9, 16, 25 и т. Д., В то время как иррациональные числа имеют морщины, такие как √2, √3, √5, √7.
  • Для рационального числа числитель и знаменатель являются целыми числами, знаменатель которых не равен нулю: 3/2 = 1,5, 3,6767,
  • Иррациональные числа нельзя записать дробью: √5, √11.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое рациональные и иррациональные числа?

Вы можете выразить рациональные числа в форме отношения (P / Q & Q ≠ 0), но для иррациональных чисел вы не можете выразить их в виде дроби.Тем не менее, оба они являются действительными числами, которые вы можете включить в числовую строку.

В чем существенная разница между рациональными и иррациональными числами?

Рациональные числа — это конечные и повторяющиеся десятичные дроби, а иррациональные числа — бесконечные и неповторяющиеся.

Пи — действительное число?

Пи (π) — иррациональное число, поэтому это действительное число. Значение (π) составляет 22/7 r 3,142…

.

Является ли 4 рациональным числом?

Да, это так, потому что оно удовлетворяет всем условиям рационального числа.Вы можете выразить это как отношение, если знаменатель не равен нулю.

Если вы представляете десятичное число чертой, оно рационально или иррационально? Десятичное число с полосой означает, что число после десятичной дроби повторяется, поэтому это рациональное число.

3.605551275… рационально или иррационально?

Многоточие (…) после 3.605551275 показывает, что число не завершается и не имеет повторяющегося шаблона. Так что это иррационально.

Заключение

Рациональные числа могут применяться для расчета скорости износа, колебаний, течения воды или скорости ветра.Приведенные выше примеры и объяснения позволяют любому легко отличить рациональное число от иррационального.

Оставьте первый комментарий ниже.

Сложные и иррациональные корни: определения и примеры — видео и стенограмма урока

Иррациональные корни

Что произойдет, если график квадратного уравнения не имеет целочисленных интервалов x ?

Этот график не пересекает ось x в целых точках:

Мы знаем, что он пересекает где-то между -1 и -2, и 1 и 2. Чтобы точно определить, где пересекает этот график, нам нужно посмотреть на уравнение. Чтобы найти перехват x , нам нужно знать, что такое x , когда y = 0. Итак, мы заменим y на 0. Затем нам нужно найти x , поэтому мы прибавляем 3 к с обеих сторон:

Теперь, чтобы решить для x , мы должны извлечь квадратный корень из каждой стороны:

Поскольку 3 не является точным квадратом, квадратный корень является иррациональным числом.Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде дроби, a / b , где a и b — целые числа. Это десятичная дробь, которая не повторяется и не заканчивается. Квадратный корень из 3 — это иррациональное число. Однако мы можем извлечь квадратный корень и округлить десятичную дробь. Это означает, что мы получим примерный ответ:

Мы можем проверить наши решения, посмотрев на график. Напомним, мы сказали, что решения были между -2 и -1 и между 1 и 2. Наши решения -1,7 и 1,7 находятся между этими двумя значениями.

Сложные корни

До сих пор мы видели, где решения могут быть целыми точками на графике, а где они иррациональны. Есть другое возможное решение квадратного уравнения, и это если график вообще не пересекает ось x :

Обратите внимание, что график не пересекает ось x .Значит, реальных решений нет. Однако у нас есть сложные решения. Комплексные решения или корни — это числа с мнимой частью. Мнимая часть, i , находится при извлечении квадратного корня из отрицательного числа.

Уравнение для этого графика:

Если бы мы хотели решить это уравнение, мы следовали бы тем же процедурам, что и раньше. Сначала заменим y на 0.Затем вычтем 4 с обеих сторон:

Теперь нам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей:

Мы не можем извлечь квадратный корень из -4, потому что нет квадрата числа, которое могло бы равняться отрицательному числу: (-2) (- 2) = 4 и (2) (2) = 4, поэтому квадрата нет. корень -4. Здесь на помощь приходят мнимые числа. Мнимое число , i равно квадратному корню из отрицательного числа 1:

Чтобы упростить и решить наше уравнение, мы собираемся изменить отрицательное значение внутри квадратного корня на i , и оно выходит за пределы радикала:

Мы можем извлечь квадратный корень из положительных 4, которые являются положительными и отрицательными 2.

Примеры сложных и иррациональных корней

Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. Решите:

Чтобы решить, прибавьте 25 к обеим сторонам, а затем извлеките квадратный корень из обеих сторон:

2. Решить:

Чтобы решить, прибавьте 20 к обеим сторонам, а затем извлеките квадратный корень из обеих сторон. 20 не является полным квадратом, поэтому мы округляем до ближайшей десятой:

3. Решить:

Чтобы решить, вычтите 25 из каждого, а затем извлеките квадратный корень из обеих частей. Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательных 25, нам нужно вынести отрицательное число и поставить перед корнем i :

Резюме урока

Когда мы говорим «решите квадратное уравнение», мы на самом деле ищем решения или корни уравнений, которые являются перехватами x .

Есть три возможных решения квадратного уравнения:

  1. Целочисленные решения — уравнение имеет полный квадрат, а точки пересечения x являются точками на графике. Эти решения и перехваты x также называются корнями уравнения .
  2. Иррациональные решения — иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде дроби. В этих случаях уравнение не имеет полного квадрата, но решения могут быть найдены путем извлечения квадратного корня и округления.
  3. Комплексные решения — Комплексные решения или корни — это числа, у которых есть мнимая часть. Мнимое число , i равно квадратному корню из отрицательного 1. Таким образом, в этих случаях уравнение не имеет ни действительного решения, ни перехватов x , но решения можно найти, взяв квадратный корень из отрицательного числа и заменив его на и .

Что такое рациональное число? Определение и примеры

Вы слышали термин «рациональные числа»? Вам интересно: «Что такое рациональное число?» Если да, то вы попали в нужное место!

В этой статье мы обсудим определение рационального числа, дадим примеры рациональных чисел и дадим несколько советов и уловок, чтобы понять, является ли число рациональным или иррациональным.

Что такое рациональное число?

Чтобы понять, что такое рациональные числа, нам сначала нужно охватить некоторые основные математические определения:

  • Целые числа — это целые числа (например, 1, 2, 3 и 4), а — их отрицательные аналоги (например, -1, -2, -3 и -4).
  • Дроби — это числа, выраженные в виде отношений. Дробь — это часть целого.
  • У дробей есть числители, — числа в верхней части дроби, которые показывают части, взятые из целого.
  • У дробей также есть знаменатели, — числа внизу дроби, показывающие, сколько частей состоит в целом.

Хорошо! Теперь, когда мы знаем эти термины, давайте вернемся к нашему первоначальному вопросу.

Что такое рациональное число?

Рациональное число — это число, которое может быть выражено дробью , где числитель и знаменатель дроби являются целыми числами. Знаменатель рационального числа не может быть нулевым.

Выраженное уравнением рациональное число — это число

.

а / б, б ≠ 0

, где a и b — целые числа.

Это уравнение показывает, что все целые числа, конечные десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными числами. Другими словами, большинство чисел — рациональные числа.

Подсказка: , если вы работаете с числом, состоящим из длинной строки с разными десятичными знаками, то ваше число иррационально! Если вы работаете с целым числом или числом с терминальными или повторяющимися десятичными знаками (например, 1.333333), значит ваш номер рациональный!

Примеры рациональных чисел

Теперь, когда мы знаем определение рационального числа, давайте воспользуемся этим определением, чтобы исследовать некоторые числа и посмотреть, являются ли они рациональными или нет.

Начнем с цифры 6.

Число 6 — целое число. Это тоже рациональное число. Почему?

Потому что 6 также можно выразить как 6/1.

При выражении 6 числитель и знаменатель являются целыми числами. Знаменатель не равен 0.

А как насчет числа -6?

-6 можно записать как -6/1. Или 6 / -1.

В любом случае, -6 является рациональным числом, потому что его можно выразить в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами, а знаменатель не равен 0.

Что такое иррациональное число?

Противоположностью рациональных чисел являются иррациональные числа.

Проще говоря, иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя записать в виде простой дроби, такой как 6/1.

Возьмем π.

π — действительное число. Но это также иррациональное число, , потому что вы не можете записать π в виде простой дроби:

π = 3,1415926535897932384626433832795 (и подсчет)

Невозможно записать π в виде простой дроби, поэтому это иррационально.

То же самое и с √2.

√2 равно 1,4142135623730950 … (и т. Д.).

Невозможно превратить √2 в простую дробь, поэтому это иррациональное число.

Известные иррациональные числа

Не существует известных рациональных чисел, потому что подавляющее большинство чисел являются рациональными. Есть несколько известных иррациональных чисел. Вот некоторые из них, которые вы могли видеть:

  • e: Число e (число Эйлера) — еще одно известное иррациональное число. Люди также вычислили е с точностью до большого количества десятичных знаков без какого-либо изображения. Первые несколько цифр выглядят так: 2,71828182845
  • 353602874713527.

  • π: Люди вычислили число Пи с точностью до квадриллиона десятичных знаков, но до сих пор нет никакой закономерности.Первые несколько цифр выглядят так: 3,1415926535897932384626433832795
  • √: Многие квадратные корни, кубические корни и т. Д. Также являются иррациональными числами. Примеры:
    • √3 = 1,7320508075688772935274463415059 (и т. Д.)
    • √99 = 9.9498743710661995473447982100121 (и т. Д.)

Однако не все квадратные корни являются иррациональными числами! Если квадратный корень дает целое число (например, √4 или √9), значит, вы на самом деле работаете с рациональным числом!

Это не единственное, о чем нужно быть осторожным! Иногда умножение двух иррациональных чисел дает рациональное число. Например,

√2 * √2 = 2

2 — рациональное число.

Основные выводы

Рациональные числа — это числа, которые можно выразить простыми дробями.

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить простыми дробями.

Что дальше?

Хотите узнать о самых быстрых и простых способах конвертации между градусами Фаренгейта и Цельсия? Мы вас прикрыли! Ознакомьтесь с нашим руководством по лучшим способам преобразования Цельсия в Фаренгейта (или наоборот).

Вы изучаете логарифмы и натуральные логарифмы на уроках математики? У нас есть руководство по всем правилам естественного ведения журнала , которые вам необходимо знать.

Знаете ли вы, что вода имеет особую плотность? Ознакомьтесь с нашим руководством, чтобы узнать , что такое плотность воды и как она может измениться.

Радикалы. Рациональные и иррациональные числа.

Вещественные числа.

26

Квадратные числа

Радикальный знак и подкоренный знак

Рациональные и иррациональные числа

Какие квадратные корни являются рациональными?

Уравнение x ² = a , и главный квадратный корень

2-й уровень :

Уравнения ( x + a ) ² = b

Определение корня квадратного

Рационализация знаменателя

Реальные числа

ЗДЕСЬ ПЕРВАЯ ДЕСЯТЬ квадратных чисел и их корни:

Квадратные числа 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Квадратный корень 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Пишем, например,

= 5.

«Корень квадратный из 25 равен 5.»

Этот знак называется знаком корня (от латинского radix = корень). Число под знаком корня называется подкоренным. В примере 25 — подкоренное выражение.

Проблема 1. Оцените следующее.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Пример 1.Оценивать .

Решение . = 13,

For, 13 · 13 — квадратное число. И квадратный корень из 13 · 13 равен 13!

Если a — любое целое число, то a · a — квадратное число, а

Проблема 2. Оцените следующее.

а) = 28. б) = 135.
в) = 2 · 3 · 5 = 30.

Мы можем сформулировать следующую теорему:

Квадрат, умноженный на квадрат, сам по себе является квадратным числом.

Например,

36 · 81 = 6 · 6 · 9 · 9 =
6 · 9 · 6 · 9 = 54 · 54

Проблема 3.Без умножения заданных квадратных чисел каждое произведение квадратных чисел равно какому квадратному числу?

а) 25 · 64 = 5 · 8 · 5 · 8 = 40 · 40

б) 16 · 49 = 4 · 7 · 4 · 7 = 28 · 28

c) 4 · 9 · 25 = 2 · 3 · 5 · 2 · 3 · 5 = 30 · 30

Рациональные и иррациональные числа

Рациональное число — это просто арифметическое число: целое число, дробь, смешанное число или десятичное число; вместе с его негативными изображениями. Рациональное число имеет такое же отношение к 1, как и два натуральных числа.

Вот что такое рациональное число . Что касается того, как это выглядит, оно может принимать форму дроби, где a и b — целые числа ( b 0).

Задача 4. Какие из следующих чисел являются рациональными?

1 −6 4
5
13
5
0 7.38609

Все они.

Здесь ученик может задаться вопросом: какое число не является рациональным?

Пример такого числа: («Корень квадратный из 2»).
не является числом арифметических. близко, потому что

7
5
· 7
5
= 49
25

— это почти 2.

Чтобы увидеть, что не существует рационального числа с квадратом 2, предположим, что оно было. Очевидно, это не целое число. Он будет в виде дроби в наименьшем значении. Но квадрат дроби в наименьшем значении также является наименьшим.

Никаких новых множителей не вводится, и знаменатель никогда не разделится на числитель, чтобы получить 2 или любое целое число.

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2, или любого числа, не являющегося полным квадратом.Поэтому мы говорим, что это иррациональное число.

В десятичном приближении

1,414

(Волнистый знак равенства означает «приблизительно».)

Как мы могли это узнать? Умножив 1,414 на себя. Если мы это сделаем, мы получим 1,999396, что почти 2. Но должно быть ясно, что никакое десятичное число, умноженное само на себя, никогда не может быть точно 2,00000000000000000000. Если десятичная дробь оканчивается на 1, то ее квадрат оканчивается на 1.Если десятичная дробь оканчивается на 2, ее квадрат оканчивается на 4. И так далее. Никакое десятичное число — никакое арифметическое число — умноженное само на себя не может дать 2.

иррационально.

Вопрос. Квадратные корни каких натуральных чисел являются рациональными?

Ответ. Только квадратные корни из квадратных чисел .

= 1 Рациональный

Иррациональный

Иррациональный

= 2 Рациональное

« Иррациональный

= 3 Рациональное

И так далее.

Задача 5. Назовите имя каждого номера.

а) Корень квадратный из 3 б) Корень квадратный из 8. в) 3.
г) 2
5
д) Корень квадратный из 10

Проблема 6.Какие из следующих чисел рациональны, а какие иррациональны?

а)
Иррациональное б) Рациональное

c) Рациональное d) Иррациональное

Мы можем знать и точно назвать только рациональное число. Иррациональное число мы можем узнать только как рациональное приближение.

Для десятичного представления иррациональных и рациональных чисел см. Тему 2 Precalculus.

Уравнение x ² = a и главный квадратный корень

Пример 2.Решите это уравнение:

x ² = 25.
Решение . x = 5 или −5, потому что (−5) ² = 25, тоже.
Другими словами,
x = или -.

Однако мы говорим, что положительное значение 5 является главным квадратным корнем. То есть мы говорим, что «квадратный корень из 25» равен 5.

= 5.

Что касается −5, это «отрицательное значение квадратного корня из 25».

— = −5.

Таким образом, символ относится к одному неотрицательному числу.

Пример 3. Решите это уравнение:

x ² = 10.
Решение . x = или -.

Всегда, если уравнение выглядит так,

x ² = a ,
тогда решение будет выглядеть так:
x = или -.
Мы часто используем двойной знак ± («плюс» или «минус») и пишем:
x = ±.

Задача 7. Решите для x .

а) x ² = 9 означает x = ± 3 б) x ² = 144 означает x = ± 12
в) x ² = 5 означает x = ± г) x ² = 3 означает x = ±
e) x ² = a b означает x = ±

2-й уровень

Следующий урок: упрощение радикалов

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Разница между рациональными и иррациональными числами (со сравнительной таблицей)

Последнее обновление Surbhi S

Математика — это не что иное, как числовая игра. Число — это арифметическое значение, которое может быть цифрой, словом или символом, обозначающим количество, которое имеет множество значений, например, при подсчете, измерениях, вычислениях, маркировке и т. Д.Числа могут быть натуральными, целыми, целыми, действительными, комплексными числами. Действительные числа далее делятся на рациональные числа и иррациональные числа. Рациональные числа — это целые и дробные числа

С другой стороны, Иррациональные числа — это числа, выражение которых в виде дроби невозможно. В этой статье мы собираемся обсудить разницу между рациональными и иррациональными числами. Взглянуть.

Содержание: рациональные числа против иррациональных чисел

  1. Сравнительная таблица
  2. Определение
  3. Ключевые отличия
  4. Заключение

Таблица сравнения

Основа для сравнения Рациональные числа Иррациональные числа
Значение Рациональные числа относятся к числу, которое может быть выражено в виде отношения двух целых чисел. Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел.
Дробь Выражается дробью, где знаменатель 0. Не может быть выражено дробью.
Включает Совершенные квадраты Surds
Десятичное разложение Конечные или повторяющиеся десятичные дроби Неконечные или неповторяющиеся десятичные дроби.

Определение рациональных чисел

Термин «отношение» происходит от слова «соотношение», которое означает сравнение двух величин и выражается в простой дроби.Число называется рациональным, если его можно записать в виде дроби, например p / q, где p (числитель) и q (знаменатель) являются целыми числами, а знаменатель — натуральным числом (ненулевым числом). Целые числа, дроби, включая смешанные дроби, повторяющиеся десятичные дроби, конечные десятичные дроби и т. Д., Являются рациональными числами.

Примеры рационального числа

  • 1/9 — Числитель и знаменатель являются целыми числами.
  • 7 — Может быть выражено как 7/1, где 7 является частным целых чисел 7 и 1.
  • √16 — Поскольку квадратный корень можно упростить до 4, которое является частным от дроби 4/1
  • 0,5 — Может быть записано как 5/10 или 1/2, и все конечные десятичные дроби являются рациональными.
  • 0,3333333333 — Все повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными.

Определение иррациональных чисел

Число называется иррациональным, если его нельзя упростить до какой-либо дроби целого числа (x) и натурального числа (y). Его также можно понимать как иррациональное число.Десятичное разложение иррационального числа не является ни конечным, ни повторяющимся. Он включает в себя иррациональные числа и специальные числа, такие как π («пи» — наиболее распространенное иррациональное число) и e. Сурд — это несовершенный квадрат или куб, который нельзя уменьшить, чтобы удалить квадратный корень или кубический корень.

Примеры иррационального числа

  • √2 — √2 нельзя упростить, поэтому это иррационально.
  • √7 / 5 — Данное число является дробью, но это не единственный критерий, который можно назвать рациональным числом.И числитель, и знаменатель должны быть целыми числами, а √7 не является целым числом. Следовательно, данное число иррационально.
  • 3/0 — Дробь со знаминателем ноль, нерациональна.
  • π — Поскольку десятичное значение π никогда не заканчивается, никогда не повторяется и никогда не показывает никаких закономерностей. Следовательно, значение пи не может быть точно равно какой-либо дроби. Число 22/7 является приблизительным.
  • 0,3131131113 — десятичные дроби не завершаются и не повторяются. Таким образом, это не может быть выражено как частное от дроби.

Ключевые различия между рациональными и иррациональными числами

Разницу между рациональными и иррациональными числами можно ясно провести по следующим основаниям

  1. Рациональное число определяется как число, которое может быть записано в виде отношения двух целых чисел. Иррациональное число — это число, которое не может быть выражено в соотношении двух целых чисел.
  2. В рациональных числах числитель и знаменатель являются целыми числами, где знаменатель не равен нулю.А иррациональное число нельзя записать дробью.
  3. Рациональное число включает числа, которые представляют собой точные квадраты, такие как 9, 16, 25 и т. Д. С другой стороны, иррациональное число включает такие числа, как 2, 3, 5 и т. Д.
  4. Рациональное число включает только те десятичные дроби, которые конечны и повторяются. И наоборот, к иррациональным числам относятся те числа, десятичная дробь которых бесконечна, не повторяется и не показывает закономерностей.

Заключение

После рассмотрения вышеупомянутых пунктов становится совершенно ясно, что выражение рациональных чисел может быть возможно как в дробной, так и в десятичной форме.Напротив, иррациональное число может быть представлено только в десятичной форме, но не в дробной. Все целые числа являются рациональными числами, но все нецелые числа не являются иррациональными числами.

7 Разница между рациональными и иррациональными числами (с примерами)

Что такое
Рациональное число?

Рациональные числа — это числа, которые можно выразить как
частное (результат в регулярном уравнении деления).Даже если вы выразите
полученное число не является дробью и повторяется бесконечно, оно все еще может быть
Рациональное число. Ноль — рациональное число.

Согласно описанию, рациональные числа включают все целые числа,
дроби и повторяющиеся десятичные дроби. Для каждого рационального числа мы можем написать их
в виде c / q, где c и q — целые числа.

Чтобы число считалось рациональным числом, оно должно удовлетворять
следующие критерии:

  • Это можно выразить в виде простого
    дробь с числителем (c), деленная на знаменатель (q).
  • И числитель, и знаменатель должны быть
    сами обычные целые числа. Целое число можно описать просто как целое число
    например, 3, 6 или 15.
  • Знаменатель (q) не может быть равен нулю. Числитель
    или знаменатель может быть положительным или отрицательным, если знаменатель
    не ноль.

Примеры рациональных чисел

  • Число 5 можно записать как 5/1, где 5 и
    1 — целые числа.
  • 0,5 можно записать как ½, 5/10, 25/50 или 10/20 и
    в виде всех завершающих десятичных знаков.
  • √81 есть
    рациональное число, так как оно может быть упрощено до 9 и может быть выражено как 9/1.
  • 0,8888888 является повторяющимся десятичным числом и является
    рациональное число

Факты О нас
Рациональные числа

  • Числа, которые можно выразить как отношение
    два числа, т.е. в форме c / q, называются рациональными числами.
  • Рациональные числа включают числа, которые
    конечны или имеют повторяющийся характер.
  • Рациональные числа состоят из чисел, которые
    полные квадраты, такие как 4, 9, 16 25 и т. д.
  • И числитель, и знаменатель рациональных
    числа — это целые числа, в которых знаменатель рациональных чисел не
    эквивалентно нулю.
  • Пример рациональных чисел: 5/3 = 1,66, 1/7
    = 0,1428, 8/6 = 1,33

Что такое иррациональное
Цифры?

Иррациональное число — это число, которое не может быть выражено как
отношение двух чисел, и его нельзя записать в виде простой дроби, потому что
если записать десятичную дробь, то не существует конечного числа чисел.Вместо этого
числа в десятичной системе счисления будут продолжаться бесконечно, без повторения.

Иррациональные числа можно выразить в виде
неограниченные дроби и по-разному. Например, квадратные корни
которые не являются точными квадратами, всегда приводят к иррациональному числу.

Примеры
Иррациональные числа

  • 5/0 — иррациональное число с
    знаменатель равен нулю.
  • π есть
    иррациональное число, которое имеет значение 3,142 … и является бесконечным и
    неповторяющийся номер.
  • √2 есть
    иррациональное число, так как его нельзя упростить.
  • 0,212112111… является рациональным числом, как оно есть
    неповторяющиеся и непрекращающиеся.

Факты о компании
Иррациональные числа

  • Числа, которые нельзя выразить отношением двух
    числа, т.е. в виде c / q, называются иррациональными числами.
  • Они состоят из цифр, которые
    непрекращающийся и неповторяющийся по своей природе.
  • Иррациональные числа включают в себя такие числа, как √2,
    √3, √5, √7 и так далее.
  • Иррациональные числа не могут быть представлены в
    дробная форма.
  • Примеры иррациональных чисел: √7, √17, √5, √9

Разница между
Рациональные и иррациональные числа в табличной форме

ОСНОВА СРАВНЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ИРРАЦИОННЫЕ НОМЕРА
Описание Числа, которые можно выразить как отношение двух чисел i.е в
формы c / q называются рациональными числами.

Числа, которые нельзя выразить как отношение двух чисел, т. Е. В
формы c / q называются иррациональными числами.

Природа чисел Рациональные числа включают числа, которые являются конечными или повторяющимися.
в природе.

Они состоят из чисел, которые не завершаются и не повторяются.
в природе.

Состоит из Рациональные числа состоят из чисел, которые представляют собой полные квадраты, такие как
4, 9, 16 25 и т. Д.
Иррациональные числа включают в себя такие числа, как √2, √3, √5, √7 и т. Д.
на.

Представительство И числитель, и знаменатель рациональных чисел — целые числа,
в котором знаменатель рациональных чисел не эквивалентен нулю.

Иррациональные числа не могут быть представлены в дробной форме.

Примеры 5/3 = 1.66, 1/7 = 0,128, 8/6 = 1,33

√7, √17, √5, √9

Арифметические правила
Для рациональных и иррациональных чисел

  • Сумма двух иррациональных чисел может быть
    иррациональное число или рациональное число, например (√2 + 4), (π + 2)
    иррациональные числа и √2 + (-√2) = 0
  • Произведение иррационального числа на рациональное
    число — иррациональное число, например, 2√5,2π — иррациональное число.
  • Произведение двух иррациональных чисел может быть
    рациональное или иррациональное число, например √2 × –√2 = -2, √2 × √3 = √6
  • Произведение двух одинаковых иррациональных чисел
    может быть рациональным или иррациональным, например √2 × √2 = 2,
  • Деление двух иррациональных чисел может быть
    рациональным или иррациональным, например 2√2 / 3√2 = 2/3, 2√2 / √3 и т. д.

Предыдущая статья10 Разница между 2D и 3D фигурами с примерамиСледующая статья10 Разница между DDL и DML в СУБД (с примерами).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.