Примеры иррациональных уравнений: Иррациональные уравнения — подробная теория с примерами

Содержание

Решение иррациональных уравнений

Наш преподаватель и постоянный автор Дмитрий Айстраханов рассматривает очень важную тему, в которой, по статистике, многие школьники делают ошибки. Вооружайтесь знаниями с экспертами Альфа-школы!

 

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная находится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Как решать иррациональные уравнения?

Для того чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо перенести выражение, содержащее корень, в одну сторону (уединить его), возводить в соответствующую степень обе части уравнения и упростить полученное выражение. Повторять процедуру до тех пор, пока не исчезнут все корни или решение не станет очевидным. Далее необходимо решить полученное рациональное уравнение.

А именно — убедиться, что в рациональном уравнении нет корней, т.е. действительно имеем дело с рациональным уравнением, определить область допустимых значений (ОДЗ), умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, решить полученное целое уравнение. Сделать проверку полученного решения подстановкой полученных корней в исходное уравнение, т.е. исключить те корни, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Методы решения иррациональных уравнений:

1. Введение новой переменной.

2. Исследование области допустимых значений (ОДЗ).

3. Умножение обоих частей уравнения на сопряженный множитель.

4. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

5. Выделение полного квадрата.

6. Использование свойств монотонности функций.

7. Функционально-графический метод.

8. Метод равносильных преобразований.

9. Метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

 

Иррациональные уравнения широко представлены в ЕГЭ.

 

Так, например, решим уравнение

x-1=(х2-4х+9)1/2

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим x2-2x+1=x2-4x+9. Решим его, получим х=4. Проверкой убеждаемся, что корень удовлетворяет исходному уравнению.

 

Удачи вам в подготовке к экзаменам!

 

Автор: Дмитрий Айстраханов

 

решение иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения, которые встречаются в задании В6 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике имеют  такой вид:

Чтобы решить  уравнение такого вида, нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

Внимание! Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как корни уравнения будут найдены, нужно сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение и проверить, получим ли мы верное равенство.

Давайте рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений из Задания В7.

1. Задание В6 (№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение:

— верно.

Ответ: 3

2. Задание В6(№ 26656)

Найдите корень уравнения 

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Перенесем дробь в левую часть уравнения и приведем к общему заменателю:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не  равен нулю. Приравняем к нулю числитель:

Сделаем проверку:

 — верно

Ответ: 87.

3. Задание В6 (№ 26668)

Найдите корень уравнения .

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Cделаем проверку:

— верно.

— верно.

Оба корня нас устраивают. В ответе требуется указать меньший корень.

Ответ: -9

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox или
Chrome

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Что такое иррациональные уравнения? Определения из учебников.



Прежде чем говорить про решение иррациональных уравнений, следует хорошо разобраться с вопросом, что такое иррациональные уравнения. Сейчас мы этим и займемся: познакомимся с определением иррационального уравнения и рассмотрим примеры уравнений этого вида.


Следует заметить, что определения немного отличаются от одной математической книги к другой. Поэтому давайте найдем и выпишем определения из учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации, а также из других источников, чтобы проанализировать их, и выбрать для себя лучшее.



Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике [1, с. 174] утверждается, что





Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x, значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.



В учебниках Колмогорова А. Н. [3, с. 214] и Колягина Ю. М. [4, с. 193]



Определение


иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.



Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более обширную группу уравнений.



Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про корень степени n, и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.



Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. — здесь под знаком кубического корня расположена переменная x, поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: — здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .



Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.



Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги [5], а вот — из сборника [6]. В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.



Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.



В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс [2, с. 237]



Определение


Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.



Здесь, помимо уравнений с переменной под знаком корня, иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: степень с дробным показателем определяется через корни, и на ОДЗ переменной x для данного уравнения (при условии x2+2·x≥0) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений. Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.



Избежать подобных спорных моментов можно и через более строгое определение. Пример такого определения можно найти в справочнике советских времен [7, с. 64]:



Определение


Иррациональным называется уравнение, в котором некоторое рациональное или алгебраическое выражение от неизвестного находится под знаком радикала.



Согласно этому определению в иррациональном уравнении под знаком радикала может находиться только выражение, в котором над переменной не совершается иных действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень (натуральную) и извлечения корня. Это определение исключает нахождения переменной в иррациональном уравнении под знаками логарифмов, тригонометрических функций, в показателе степени и др.



Какое из приведенных выше определений предпочесть? Наверное, стоит называть иррациональными только такие уравнения, которые не противоречат ни одному из записанных определений, а остальные называть просто уравнениями без уточнения, что это за уравнение.



Пара слов о количестве переменных в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .



Но при этом обязательно нужно заметить, что в школе обычно рассматривается решение иррациональных уравнений только с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются не для решения, а в составе систем уравнений или при алгебраическом описании геометрических объектов. Например, можно встретить задание «решите систему уравнений », или увидеть описание полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, при помощи уравнения .



В школе также рассматриваются иррациональные уравнения с параметром. Приведем пример: , здесь x – переменная, a — параметр. Как понять, что это уравнение с параметром, а не уравнение с двумя переменными? Как правило, это указывается в задании.



В заключение скажем, что встречается термин «простейшие иррациональные уравнения». Так что рекомендуем ознакомиться, что понимают под простейшими иррациональными уравнениями.


Иррациональные уравнения

    Иррациональные уравнения. Продолжаем рассматривать задачи части В ЕГЭ по математике. В этой рубрике уже опубликованы статьи «Тригонометрические уравнения», «Решение рациональных уравнений», «Логарифмические уравнения». Здесь мы разберём иррациональные уравнения.

Подобные примеры, как и большинство уравнений из данной части, справедливо можно назвать простыми заданиями на ЕГЭ. Необходимо уметь выполнять с уравнениями простейшие преобразования, в том числе «избавляться» от корня. Что делать, если в одной из частей у нас имеется выражение под знаком корня? Всё просто:

Если корень квадратный, то обе части уравнения возводим в квадрат.

Если корень третьей степени, то обе части возводим в третью степень.

Здесь работает следующее свойство:

В случае, когда m = n, получаем что  m делённое на n равно единице.

Например, возведём в квадрат выражение:

Если привести пример в числах:

Даже без знания формул и свойств понятно, что если

Ещё раз напоминаю, ОБЯЗАТЕЛЬНО делайте проверку после того, как нашли корни. Рассмотрим задания, которые входят в открытый банк заданий ЕГЭ.

Найдите корень уравнения:

Для того, чтобы избавится от корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

Сделайте проверку.

Ответ: 607

 

Найдите корень уравнения:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Сделайте проверку.

Ответ: 16

 

Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Здесь необходимо отметить, что   – х ≥ 0, то есть х ≤ 0, так как результат подкоренного выражения есть число неотрицательное. Это означает, что если при решении уравнения получим корни большие нуля, то они не будут являться решением, так как не попадают в область определения.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Сделайте проверку.

Оба корня удовлетворяют неравенству. Выберем меньший.

Меньший из них  – 8.

Ответ: – 8

 

Найдите корень уравнения:

Возведём обе части уравнения в третью степень:

Сделайте проверку.

Ответ: 120

 

Решите уравнение:

Возводим в квадрат обе части, чтобы избавится от корня:

Ответ: –183

 

26660. Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

26661. Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

 

26668. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Посмотреть решение

 

27466.Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

 

77373. Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

Как вы увидели, особых сложностей при решении нет. В будущем рассмотрим показательные уравнения, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

«Иррациональные уравнения, примеры решения», презентация

Дата публикации: .

Иррациональные уравнения

Ребята, не так давно мы с вами изучили новое множество чисел — иррациональные числа. Мы договорились называть любое число, содержащее корень квадратный, иррациональным. Так вот, уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня квадратного, тоже называются иррациональными уравнениями. Такие уравнения возникли не из-за того, что математикам захотелось решать подобные уравнения. Существует множество реальных ситуаций, в которых вычисление каких-либо характеристик сводится к решению иррациональных уравнений. Например, при вычислении длины гипотенузы прямоугольного треугольника (по теореме Пифагора) вполне может получиться иррациональное уравнение. Давайте научимся решать простейшие иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение: $\sqrt{2x-4}=4$.
Согласно определению корня квадратного, это выражение можно представить, как $2x-4=16$.
Нам удалось перейти от иррационального уравнения к обычному линейному уравнению, которое решается очень просто. Его корнем является число $x=10$.

Мы возвели обе части уравнения в квадрат и получили более простое уравнение. Такой способ называется «методом возведения в квадрат». Данный метод решения очень прост, но к сожалению иногда могут возникнуть некоторые проблемы при решении уравнений этим методом.

Рассмотрим уравнение: $\sqrt{2x+10}=\sqrt{x-5}$.
Возведем в квадрат обе части уравнения.
$2x+10=x-5$.
$x=-15$.
Но к сожалению, данное число не является решение исходного иррационального уравнения. Давайте подставим -15 в исходное уравнение: $\sqrt{-20}=\sqrt{-20}$.
Ребята, мы умеем вычислять корни квадратные только из положительных чисел. В данном случае выражение не имеет смысла, но тогда $x=-15$ не является корнем нашего уравнения. В таких случаях принято говорить, что получен посторонний корень. Рассмотренное нами иррациональное уравнение не имеет корней.

В случае иррациональных уравнений всегда проверяйте полученные корни!

Решим еще одно иррациональное уравнение: $\sqrt{2x^2+4x-23}=x+1$.2-4t-21=0$.
$(t-7)(t+3)=0$.
Введем обратную замену $\sqrt{x}=7$ и $\sqrt{x}=-3$.
Из первого выражения имеем, что $х=49$, а второе не имеет смысла.
Ответ: $х=49$.

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1. $\sqrt{3-x}=3x+5$.
2. $\sqrt{x-13}-\sqrt{x+8}=-3$.
3. $x+2\sqrt{x}-24=0$.

Иррациональные уравнения. Основные методы решения

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень.
Примеры иррациональных уравнений:

ОСНОВНЫМИ МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЯВЛЯЮТСЯ:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных. Иногда при¬меняют также различные искусственные приемы.
При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в четную степень могут появиться посторонние (лишние) корни. Эти корни могут появиться за счет того, что при возведении обеих частей исходного уравнения f(x) = φ(х) в четную степень получается уравнение, являющееся следствием не только уравнения f(x) = φ(x), но и уравнения f(x) = -φ(x), поскольку и (f(x))² =(ф(х))², И (f(x))² =(-ф(х))². Если уравнение f(x) = -φ(х) имеет корни, то именно они являются посторонними корнями исходного уравнения f(x) = φ(x).
Так, например, возьмем уравнение

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

<=> х² — 15х + 54 = 0. Корнями этого уравнения являются числа x₁ = 9, х₂ = 6. Однако x₁ = 9 является корнем уравнения

а х₂ = 6 является посторонним корнем (очевидно, что х₂ = 6 является корнем уравнения

то есть является корнем уравнения f(x) = -ф(х), если исходное уравнение есть f(x) = ф(x)).
Причиной появления посторонних корней, помимо возведения обеих частей уравнения в четную степень, может быть также какая-либо замена (неэквивалентное преобразование), выполняемая, например, в ходе решения уравнения, содержащего кубические радикалы.
Приступая к решению иррационального уравнения, содержащего четные степени радикалов, бывает полезным нахождение множества D допустимых значений переменной (ОДЗ — область допустимых значений), это может облегчить решение исходного уравнения. При этом найденные при решении уравнения значения неизвестных, которые не принадлежат множеству D, являются посторонними. Однако те найденные корни, которые принадлежат D, необходимо проверять, так как и они могут быть посторонними (это будет в том случае, если производились неэквивалентные преобразования в процессе решения уравнения).
Отсюда следует, что в подавляющем большинстве случаев найденные корни иррационального уравнения необходимо проверять. Исключения составляют только случаи, когда на всех этапах решения исходного уравнения производились только эквивалентные (равносильные) преобразования. Однако при этом приходится, как правило, решать неравенства, что иногда отнимает немало времени. Таким образом, нужно либо делать проверку найденных корней, подставляя их значения в исходное уравнение, либо в процессе решения исходного уравнения делать только эквивалентные преобразования, которые не могут привести ни к потере корней, ни к приобретению лишних корней.
Прежде чем приступать к рассмотрению основных методов решения иррациональных уравнений, рассмотрим некоторые несложные иррациональные уравнения, при решении которых основные методы не применяются.
Пример 1. Решить уравнение

Решение. Поскольку

где а — любое действительное число, если n — нечетное, m/n>0, то исходное уравнение равносильно такому: х+(х-1)=5 <=> 2х=6 <=> х=3.
Ответ: {3}.
Пример 2. Решить уравнение

Решение. Находим ОДЗ (область допустимых значений х, или, что то же самое, множество D).

Таким образом, в данном примере предварительное нахождение ОДЗ оказалось чрезвычайно полезным.
Ответ: ∅.
Пример 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку

так как неотрицательное число не может равняться отрицательному.
Ответ: ∅.
Пример 4. Решить уравнение

Решение. Т. к. для корней четной степени берется всегда арифметическое (неотрицательное) значение корня, то

Ответ: {-1}.
Пример 5. Решить уравнение

Решение. Поскольку х² + 2х + 1 = (х + 1)², х² — 4х + 4 =(х-2)²,

то исходное уравнение равносильно следующему: |х +1|+|х — 2| = 4.
Решая это уравнение методом интервалов, имеем совокупность трех смешанных систем:

Первая и третья системы имеют решения, а именно, -3/2, 5/2 а вторая — нет.
Ответ: {-3/2, 5/2}

41. Иррациональные уравнения | Контрольные работы по математике и друг

Иррациональным уравнением Называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня или под дробным показателем. (В этом параграфе термин «корень» будет соответствовать операции извлечения корня с определенным показателем, в отличие от термина «решение»).

Основной метод решения таких уравнений – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, чтобы корни исчезли. Иногда приходится возводить в степень несколько раз. При этом следует анализировать, какие корни надо оставлять в левой части уравнения, а какие корни перенести в правую часть (если корней несколько). От этого часто зависит рациональность решения.

Поскольку корни нечетной степени определены для любых по знаку подкоренных выражений и принимают любые по знаку значения, то возведение уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием (т. е. мы не теряем решений и не получаем посторонних).

Корни с четным показателем определены для F(X) ³ 0. Возведение уравнения, содержащего такие корни, в четную степень может изменить ОДЗ уравнения и привести к посторонним решениям. В таком случае итоговым моментом в решении уравнения является проверка полученных решений подстановкой в заданное уравнение. Проверка решения по ОДЗ такого уравнения недостаточна.

ОДЗ иррационального уравнения следует находить в том случае, если предполагается, что она состоит только из нескольких чисел или может быть пустым множеством. Если ОДЗ состоит из одного, двух и т. д. чисел, то уравнение можно не решать, а эти числа проверять (являются ли они решением) подстановкой в заданное уравнение.

Если ОДЗ есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.

При решении иррациональных уравнений используют также метод замены переменной и другие методы.

Если имеется уравнение вида где С < 0, то оно не имеет решений, так как корни с четным показателем понимаем в арифметическом смысле, т. е. как неотрицательные.

Некоторые типы иррациональных уравнений

Пусть далее – некоторые выражения с неизвестной Х,

I тип: Уравнение вида

(5.1)

Возведение в -ю степень приводит к равносильному уравнению

Уравнение

(5.2)

После возведения в -ю степень сводится к равносильному уравнению

Уравнение

(5.3)

После возведения в степень 2N приводит к уравнению-следствию

(5.4)

Найденные корни уравнения (5.4) проверяют подстановкой в уравнение (5.3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (5.3).

Уравнение

(5.5)

После возведения в степень 2N сводится к уравнению-следствию

(5.6)

Корни уравнения (5.6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5.5).

II тип: Уравнение вида

(5.7)

Где

1-й способ. Необходимо возвести уравнение (5.7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.

2-й способ. Умножение уравнения (5.7) на сопряженное выражение

Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение H(X) = 0. Затем для H(X) ¹ 0 рассматривают систему

Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (5.3).

3-й способ. Замена переменных

И переход к системе уравнений относительно U, V.

Уравнение

(5.8)

Где A, B Î R, возведением в куб обеих частей сводится к уравнению

(5.9)

Выражение в скобках (в левой части уравнения (5.9)) заменяют на используя заданное уравнение. В итоге заданное уравнение (5.8) приводится к уравнению-следствию, которое снова возводят в куб.

Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (5.8).

III тип: Уравнения, решаемые заменой переменной.

В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.

Если уравнение имеет вид

(5.10)

Где F – Некоторое алгебраическое выражение относительно то заменой оно сводится к уравнению

(5.11)

После решения уравнения (5.11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (5.10).

IV тип: уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения

(5.12)

Где A > 0, B > 0, сводится к решению системы

V тип: Уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.

Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.

1. Если и для всех , то на множестве X уравнение F(X) = G(X) Равносильно системе уравнений

2. Если функции F(X) и G(X) непрерывны и F(X) возрастает, а G(X) убывает для Î X, то уравнение F(X) = G(X) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.

3. Если F(X) – возрастающая функция, то уравнение равносильно уравнению

4. Если F(X) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение равносильно уравнению

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Приводим подобные. При этом в левой части уравнения записываем корень, остальные слагаемые – в правой части:

Возводим полученное уравнение в квадрат еще раз:

Решая последнее квадратное уравнение, находим корни которые теперь необходимо проверить. Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Первый корень не подходит.

Приходим к ответу:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в куб:

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим выражение выражением Получаем:

Решаем совокупность уравнений

В результате замены выражения могут появиться посторонние корни, так как такое преобразование не является равносильным. Поэтому необходимо произвести проверку. Подставляем найденные значения и убеждаемся, что они являются корнями исходного уравнения.

Приходим к ответу:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Возведение уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой степени и громоздкому решению.

Нетрудно заметить, что в данном уравнении можно произвести замену. Но перед этим преобразуем уравнение следующим образом:

Заменив получаем квадратное уравнение

Решая его, находим корни

Возвращаемся к исходной неизвестной:

Первое уравнение решений не имеет, так как его левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна. Второе уравнение возводим в квадрат. Получаем:

т. е.

Его корни С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят, т. е. приходим к ответу:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Перенесем второй корень вправо:

Возводим обе части в квадрат:

Еще раз возводим в квадрат и получаем квадратное уравнение, решая которое и получаем корни Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Оба корня подходят.

2-й способ. Введем замену тогда Таким образом получили более простое уравнение

т. е.

Возведем его в квадрат:

Возвращаемся к исходной неизвестной:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

откуда

При помощи проверки убеждаемся, что оба корня подходят.

3-й способ. Домножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим:

Сложим последнее уравнение с исходным. Получим:

т. е.

Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение

Решая его, находим корни

Приходим к ответу:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Пусть Тогда и по условию.

Получили систему

Решаем ее методом подстановки:

Второе уравнение решим отдельно

Получаем корни:

Возвращаемся к системе:

Получаем:

Переходим к заданным неизвестным:

Решая последнюю совокупность, находим корни и С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят.

Получили ответ:

При решении иррациональных уравнений, как правило, нахождение ОДЗ является бесполезным, так как проверка решений по ОДЗ недостаточна. Но существует ряд примеров, в которых нахождение ОДЗ является тем методом, который приводит к успеху. Покажем это на следующем примере.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:

Решаем последнюю систему неравенств графически (рис. 5.10).

Рис. 5.10

Получили, что ОДЗ состоит из единственной точки

Остается подставить значение в уравнение и выяснить, является ли оно решением:

Получили, что – решение.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Используем графический способ. Строим графики функций (рис. 5.11).

Рис. 5.11

Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке X = 7. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверяем X = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение решения уравнения.

Получили ответ: X = 7.

< Предыдущая   Следующая >

Примеры уравнений с рациональными и иррациональными числами

И рациональные, и иррациональные числа можно назвать действительными числами, но когда дело доходит до их свойств, есть несколько отличий. Вы можете представить рациональное число в форме P / Q, где P и Q — целые числа, а Q 0.

Иррациональные числа нельзя записать простыми дробями. 2/3 — это пример рационального числа, тогда как √2 — иррациональное число.

Определения

Давайте начнем с определения каждого термина отдельно, затем мы сможем узнать о каждом больше и проработать несколько примеров.

Что такое рациональное число?

Любое число, выраженное в виде дроби с положительными, отрицательными числами и нулем, называется рациональным числом. Рациональные числа происходят от слова «соотношение». Другими словами, это соотношение двух целых чисел. Например, 3/2 — рациональное число, что означает деление 3 на другое целое число 2.

Что такое иррациональное число?

По сути, иррациональные числа могут быть записаны как десятичные дроби, но как отношение двух целых чисел.В иррациональных числах после десятичной точки обычно есть бесконечные неповторяющиеся цифры. Возьмем этот пример: √8 = 2,828.

Примеры рациональных и иррациональных чисел

Для Rational
  • 0,5 можно записать как ½ или 5/10, а любое завершающее десятичное число является рациональным числом.
  • √81 как квадратный корень можно упростить до 9, которое является частным от дроби 9/1
  • Вы можете выразить 3 как 3/1, где 3 — это частное от целых чисел 3 и 1.
  • 0.777777 — это повторяющиеся десятичные дроби и является рациональным числом.
  • 1/5 — рациональное число, поскольку знаменатель и числитель являются целыми числами.
Для иррациональных значений
  • √2 это число не может быть упрощено; следовательно, это иррациональное число.
  • Π является иррациональным числом и имеет значение 3,142…, которое является бесконечным и неповторяющимся числом. Следовательно, значение π не равно какой-либо дроби. Дробь 22/7 — это всего лишь оценка.
  • 0.212112111… является иррациональным числом, которое не повторяется и не заканчивается, поэтому его нельзя выразить как частное от дроби.
  • Хотя число в √7 / 5 дано как дробь, числитель и знаменатель должны быть целыми числами. Но поскольку √ 7 не является целым числом, указанное число иррационально.
  • 5/0 иррационально. Любая дробь со знаменателем 0 иррациональна.

Свойства рациональных и иррациональных чисел

Это основные правила арифметики над рациональными и иррациональными числами

Правило 1: Результат суммы двух рациональных чисел также является рациональным

Правило 2: Произведение двух рациональных чисел является рациональным

Правило 3: результат суммы двух иррациональных чисел может быть рациональным или иррациональным

  • Возьмем для примера: √2 + √2 = 2√2 иррационально
  • , а 2 + 2√5 + (-2√5) = 2 результат рациональный

Правило 4: Результат произведения двух иррациональных чисел может быть иррациональным или рациональным.

  • Возьмем для примера: √2 * √3 = √6 иррационально
  • , а √2 * √2 = √4 = 2 рациональных

Давайте теперь сосредоточимся на индивидуальных свойствах рациональных и иррациональных чисел.

Отличительные особенности рациональных чисел

  • Сумма рациональных чисел всегда является рациональным числом. Например, если W и Z — два рациональных числа, сумма W и Z рациональна.
  • Результат деления рационального числа на ненулевое число — рациональное число.Например, W ÷ Z = рациональное число.
  • Произведение любых двух или трех рациональных чисел дает другое рациональное число. Например, если вы умножите W и Z, полученный ответ должен быть рациональным.
  • Разница между двумя рациональными числами дает другое число. Например, если вы вычтете Z из W, вы получите рациональное число.

Поскольку результат суммы любых двух рациональных чисел является рациональным числом, рациональные числа всегда должны быть замкнуты.Следовательно, рациональные числа одинаково закрыты для умножения, вычитания и деления, если делитель не равен нулю.

Как представить рациональные числа в виде десятичных знаков

Вы можете выразить любое рациональное число как завершающее десятичное или непрерывное десятичное число. Завершающий десятичный разделитель — это любое десятичное число, в котором после конечного числа десятичных знаков следующие за ним значения разряда равны 0. Например, 1/8 = 0,125.

Как видно из приведенного примера, деление точное.Такие частные называются завершающими десятичными знаками. В качестве альтернативы, рациональные числа также могут быть выражены как непрерывные десятичные дроби. Неограничивающая десятичная дробь — это те десятичные дроби, которые бесконечно продолжаются после десятичной точки.

Давайте посмотрим на эти примеры:

  1. 3/7 = 0,42857142
  2. 18/23 = 0,78260869

В двух приведенных выше примерах вы понимаете, что разделение никогда не заканчивается, независимо от того, как долго оно может продолжаться. Частные таких делений называются завершающими десятичными знаками.

В некоторых случаях у незавершенного десятичного числа может быть цифра или набор чисел, которые непрерывно повторяются. Эти непрерывные десятичные дроби называются периодическими, повторяющимися или циркулирующими десятичными знаками. Набор повторяющихся цифр называется периодом повторяющейся десятичной дроби.

Примеры

4/9 = 0,44444444

11/30 = 0,36666666

Отличительные особенности иррациональных чисел

  • Произведение иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным.
  • Результат произведения ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда иррационально.
  • Сумма иррациональных чисел может быть как рациональной, так и иррациональной.
  • Сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.
  • Разница между двумя иррациональными числами может быть или не быть иррациональной.
  • Сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.

Значительные различия между рациональными и иррациональными числами

  • Рациональное число может быть выражено как отношение двух чисел в (форме p / q), а иррациональное число — нет.
  • Рациональное число включает числа, которые могут заканчиваться или повторяться, в то время как иррациональные числа не завершаются и не повторяются.
  • Рациональное число имеет полные квадраты, такие как 4, 9, 16, 25 и т. Д., В то время как иррациональные числа имеют морщины, такие как √2, √3, √5, √7.
  • Для рационального числа числитель и знаменатель являются целыми числами, знаменатель которых не равен нулю: 3/2 = 1,5, 3,6767,
  • Иррациональные числа нельзя записать дробью: √5, √11.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое рациональные и иррациональные числа?

Вы можете выразить рациональные числа в форме отношения (P / Q & Q ≠ 0), но для иррациональных чисел вы не можете выразить их в виде дроби.Тем не менее, оба они являются действительными числами, которые вы можете включить в числовую строку.

В чем существенная разница между рациональными и иррациональными числами?

Рациональные числа — это конечные и повторяющиеся десятичные дроби, а иррациональные числа — бесконечные и неповторяющиеся.

Пи — действительное число?

Пи (π) — иррациональное число, поэтому это действительное число. Значение (π) составляет 22/7 r 3,142…

.

Является ли 4 рациональным числом?

Да, это так, потому что оно удовлетворяет всем условиям рационального числа.Вы можете выразить это как отношение, если знаменатель не равен нулю.

Если вы представляете десятичное число чертой, оно рационально или иррационально? Десятичное число с полосой означает, что число после десятичной дроби повторяется, поэтому это рациональное число.

3.605551275… рационально или иррационально?

Многоточие (…) после 3.605551275 показывает, что число не завершается и не имеет повторяющегося шаблона. Так что это иррационально.

Заключение

Рациональные числа могут применяться для расчета скорости износа, колебаний, течения воды или скорости ветра.Приведенные выше примеры и объяснения позволяют любому легко отличить рациональное число от иррационального.

Оставьте первый комментарий ниже.

Иррациональные числа

Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть записано в виде простой дроби.

Иррациональные средства нерациональные

Давайте посмотрим, что делает число рациональным или иррациональным…

Рациональные числа

A Rational Число можно записать как Отношение двух целых чисел (то есть простую дробь).

Пример: 1,5 рационально, потому что его можно записать как соотношение 3/2

Пример: 7 рационально, потому что его можно записать как соотношение 7/1

Пример 0,333 … (3 повторения) тоже рациональный, потому что его можно записать как отношение 1/3

Иррациональные числа

Но некоторые числа не могут быть записаны как как отношение двух целых чисел…

… их называют Иррациональные числа .

Пример:

π (Пи) — известное иррациональное число.

π = 3,1415926535897932384626433832795 … (и более)

Мы, , не можем, , записать простую дробь, равную Пи.

Популярное приближение 22 / 7 = 3,1428571428571 … близко, но неточно .

Еще одна подсказка заключается в том, что десятичная дробь продолжается бесконечно, не повторяясь.

не может быть записано в виде дроби

Это иррационально, , потому что его нельзя записать как соотношение , (или дробь),
не потому, что это безумие!

Итак, мы можем определить, рационально это или иррационально, попробовав записать число в виде простой дроби.

Пример:

9,5 можно записать в виде простой дроби, например:

9.5 = 19 2

Значит, это рациональное число (а значит, не иррациональное )

Вот еще несколько примеров:

Номер В виде фракции рационально или
иррационально?
1,75 7 4 Рациональный
.001 1 1000 Рациональный
√2
(корень квадратный из 2)
? Иррационально!

Квадратный корень из 2

Давайте более внимательно посмотрим на квадратный корень из 2.

Когда мы рисуем квадрат размером «1»,
какое расстояние по диагонали?

Ответ — квадратный корень 2 , что составляет 1.4142135623730950 … (и т. Д.)

Но это не число вроде 3, пяти третей или чего-то подобного …

… на самом деле мы не можем записать квадратный корень из 2, используя соотношение двух чисел

… Я объясняю , почему на Is It Irrational? стр.,

… и мы знаем, что это иррациональное число

Знаменитые иррациональные числа

Пи — известное иррациональное число.Люди вычислили Пи с точностью до квадриллиона десятичных знаков, но до сих пор нет никакой закономерности. Первые несколько цифр выглядят так:

3,1415926535897932384626433832795 (и другие …)

Число e (число Эйлера) — еще одно известное иррациональное число. Люди также вычислили e с множеством десятичных знаков без какого-либо шаблона.Первые несколько цифр выглядят так:

2.71828182845

353602874713527 (и более …)

Золотое сечение — иррациональное число. Первые несколько цифр выглядят так:

1.61803398874989484820 … (и многое другое …)

Многие квадратные корни, кубические корни и т. Д. Также являются иррациональными числами.Примеры:

√3 1.7320508075688772935274463415059 (и т. Д.)
√99 9.9498743710661995473447982100121 и т. Д.

Но √4 = 2 (рациональное) и √9 = 3 (рациональное) …

… значит, не все корни иррациональны.

Замечание об умножении иррациональных чисел

Взгляните на это:

  • π × π = π 2 иррационально
  • Но √2 × √2 = 2 является рациональным

Так что будьте осторожны… умножение иррационального числа может привести к результату рационального числа!

Интересные факты ….

По-видимому, Гиппас (один из учеников Пифагора ) обнаружил иррациональные числа, пытаясь записать квадратный корень из 2 в виде дроби (предполагается, что с использованием геометрии). Вместо этого он доказал, что квадратный корень из 2 не может быть записан в виде дроби, поэтому иррационально .

Но последователи Пифагора не могли принять существование иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание от богов!

Иррациональные числа — Алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Рациональные и иррациональные числа | Алгебраические выражения

1.3 Рациональные и иррациональные числа (EMA4)

Рациональное число

Рациональное число (\ (\ mathbb {Q} \)) — это любое число, которое можно записать как:

\ [\ frac {a} {b} \]

, где \ (a \) и \ (b \) — целые числа, а \ (b \ ne 0 \).

Все следующие числа являются рациональными числами:

\ [\ frac {10} {1} \; ; \; \ frac {21} {7} \; ; \; \ frac {-1} {- 3} \; ; \; \ frac {10} {20} \; ; \; \ frac {-3} {6} \]

Мы видим, что все числители и все знаменатели целые.

Это означает, что все целые числа являются рациональными числами, потому что они могут быть записаны со знаменателем \ (\ text {1} \).

Иррациональные числа

Иррациональные числа (\ (\ mathbb {Q} ‘\)) — это числа, которые нельзя записать в виде дроби с числителем и знаменателем в виде целых чисел.

Примеры иррациональных чисел:

\ [\ sqrt {2} \; ; \; \ sqrt {3} \; ; \; \ sqrt [3] {4} \; ; \; \Пи \; ; \; \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \]

Это не рациональные числа, потому что числитель или знаменатель не является целым числом.

Десятичные числа (EMA5)

Все целые числа и дроби с целыми числителями и ненулевыми целыми знаменателями являются рациональными числами. Помните, что когда знаменатель дроби равен нулю, дробь не определена.

Вы можете записать любое рациональное число в виде десятичного числа, но не все десятичные числа являются рациональными числами. Эти типы десятичных чисел являются рациональными числами:

  • Десятичные числа, которые заканчиваются (или заканчиваются). Например, дробь \ (\ frac {4} {10} \) может быть записана как \ (\ text {0,4} \).

  • Десятичные числа, состоящие из одной повторяющейся цифры. Например, дробь \ (\ frac {1} {3} \) может быть записана как \ (\ text {0,} \ dot {3} \) или \ (\ text {0,} \ overline {3} \).Обозначения точки и полосы эквивалентны и оба представляют собой повторяющиеся символы \ (\ text {3} \), то есть \ (\ text {0,} \ dot {3} = \ text {0,} \ overline {3} = \ text {0,333 …} \).

  • Десятичные числа, повторяющиеся из нескольких цифр. Например, дробь \ (\ frac {2} {11} \) также может быть записана как \ (\ text {0,} \ overline {18} \). Полоса представляет собой повторяющийся узор из \ (\ text {1} \) и \ (\ text {8} \), то есть \ (\ text {0,} \ overline {18} = \ text {0 , 181818…} \).

Вы можете увидеть точку вместо запятой, используемой для обозначения десятичного числа. Таким образом, число \ (\ text {0,4} \) также можно записать как 0,4

Обозначение: Вы можете использовать точку или черту над повторяющимися цифрами, чтобы указать, что десятичная дробь является повторяющейся десятичной. Если полоса охватывает более одной цифры, то все числа под полосой повторяются.

Если вас просят определить, является ли число рациональным или иррациональным, сначала запишите число в десятичной форме.Если число заканчивается, то это рационально. Если так будет продолжаться вечно, ищите повторяющийся набор цифр. Если нет повторяющегося рисунка, то цифра иррациональна.

Когда вы записываете иррациональные числа в десятичной форме, вы можете продолжать записывать их для многих-многих десятичных знаков. Однако это неудобно и часто необходимо округлять.

Округление иррационального числа делает его рациональным числом, которое приближается к иррациональному числу.

Рабочий пример 1: Рациональные и иррациональные числа

Какие из следующих чисел не являются рациональными?

  1. \ (\ pi = \ text {3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 …} \)

  2. \ (\ text {1,4} \)

  3. \ (\ text {1,618033989…} \)

  4. \ (\ text {100} \)

  5. \ (\ text {1,7373737373 …} \)

  6. \ (\ text {0,} \ overline {02} \)

  1. Иррациональная, десятичная дробь не оканчивается и не повторяется.

  2. Рациональное, десятичное завершение.

  3. Иррациональная, десятичная дробь не оканчивается и не повторяется.

  4. Рационально, все числа рациональны.

  5. Рациональная десятичная дробь имеет повторяющийся образец.

  6. Рациональная десятичная дробь имеет повторяющийся образец.

Преобразование конечных десятичных знаков в рациональные числа (EMA6)

Десятичное число состоит из целой и дробной части. Например, \ (\ text {10,589} \) имеет целую часть \ (\ text {10} \) и дробную часть \ (\ text {0,589} \), потому что \ (10 ​​+ \ text {0,589} = \ текст {10,589} \).

Каждая цифра после десятичной точки представляет собой дробь со знаменателем в возрастающей степени \ (\ text {10} \).

Например:

  • \ (\ text {0,1} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {10}} \)

  • \ (\ text {0,01} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {100}} \)

  • \ (\ text {0,001} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {1 000}} \)

Это означает, что

\ begin {align *}
\ text {10,589} & = 10 + \ frac {5} {10} + \ frac {8} {100} + \ frac {9} {\ text {1 000}} \\
& = \ frac {\ text {10 000}} {\ text {1 000}} + \ frac {\ text {500}} {\ text {1 000}} + \ frac {80} {\ text {1 000 }} + \ frac {9} {\ text {1 000}} \\
& = \ frac {\ text {10 589}} {\ text {1 000}}
\ end {выровнять *}

В следующих двух видеороликах объясняется, как преобразовать десятичные дроби в рациональные числа.

Часть 1

Видео: 2DBJ

Часть 2

Видео: 2DBK

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в рациональные числа (EMA7)

Когда десятичная дробь является повторяющейся десятичной дробью, требуется немного больше работы, чтобы записать дробную часть десятичного числа в виде дроби.

Рабочий пример 2: Преобразование десятичных чисел в дроби

Запишите \ (\ text {0,} \ dot {3} \) в форме \ (\ frac {a} {b} \) (где \ (a \) и \ (b \) — целые числа).

Определите уравнение

\ [\ text {Let} x = \ text {0,33333 …} \]

Умножить на \ (\ text {10} \) с обеих сторон

\ [10x = \ текст {3,33333 …} \]

Вычтем первое уравнение из второго

\ [9x = 3 \]

Упростить

\ [x = \ frac {3} {9} = \ frac {1} {3} \]

Рабочий пример 3: Преобразование десятичных чисел в дроби

Запишите \ (\ text {5,} \ dot {4} \ dot {3} \ dot {2} \) в виде рациональной дроби.

Определите уравнение

\ [x = \ текст {5,432432432 …} \]

Умножить на \ (\ text {1 000} \) с обеих сторон

\ [\ text {1 000} x = \ text {5 432,432432432 …} \]

Вычтем первое уравнение из второго

\ [\ text {999} x = \ text {5 427} \]

Упростить

\ [x = \ frac {\ text {5 427}} {\ text {999}} = \ frac {\ text {201}} {\ text {37}} = \ text {5} \ frac {\ text { 16}} {\ text {37}} \]

В первом примере десятичное число умножалось на \ (\ text {10} \), а во втором примере десятичное число умножалось на \ (\ text {1 000} \).Это связано с тем, что в первом примере повторялась только одна цифра (т. Е. \ (\ Text {3} \)), а во втором — три повторяющиеся цифры (т. Е. \ (\ Text {432} \)).

В общем, если у вас повторяется одна цифра, умножьте ее на \ (\ text {10} \). Если у вас повторяются две цифры, умножьте их на \ (\ text {100} \). Если у вас повторяются три цифры, умножьте их на \ (\ text {1 000} \) и так далее.

Не все десятичные числа можно записать как рациональные числа. Почему? Иррациональные десятичные числа, например \ (\ sqrt {2} = \ text {1,4142135…} \) нельзя записать с целым числителем и знаменателем, потому что они не имеют шаблона повторяющихся цифр и не завершаются.

Зарегистрируйтесь, чтобы получить стипендию и возможности карьерного роста. Используйте практику Сиявулы, чтобы получить наилучшие возможные оценки.

Зарегистрируйтесь, чтобы разблокировать свое будущее

Упражнение 1.1

Какое место на диаграмме занимает число \ (- \ frac {12} {3} \)?

Сначала упростите дробь: \ (- \ frac {12} {3} = -4 \)

\ (- \ text {4} \) является целым числом, поэтому оно попадает в набор \ (\ mathbb {Z} \).

В следующем списке два ложных утверждения и одно истинное утверждение. Какое из утверждений соответствует действительности ?

  1. Каждое целое число — натуральное число.
  2. Каждое натуральное число — это целое число.
  3. В целых числах нет десятичных знаков.

Внимательно рассмотрите каждый вариант:

  1. Есть целые числа, которые не попадают в натуральные числа (все отрицательные числа), поэтому это неверно.
  2. Натуральные числа \ (\ left \ {1; 2; 3; \ ldots \ right \} \), а целые числа — \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \ ) (круг \ (\ mathbb {N} \) находится внутри \ (\ mathbb {N} _ {0} \)), поэтому, если число является натуральным числом, оно должно быть целым числом. Это правда.
  3. Целые числа \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \) увеличиваются только с шагом 1, поэтому в целых числах не может быть никаких десятичных чисел, что делает это ложным.

Итак, верно только (ii).

Какое место на диаграмме занимает число \ (- \ frac {1} {2} \)?

\ (- \ frac {1} {2} \) находится в своей простейшей форме, поэтому его нет в \ (\ mathbb {N} \), \ (\ mathbb {N} _0 \) или \ (\ mathbb {Z} \).Он находится в пространстве между прямоугольником и \ (\ mathbb {Z} \).

В следующем списке два ложных утверждения и одно истинное утверждение. Какое из утверждений соответствует действительности ?

  1. Каждое целое число — натуральное число.
  2. Каждое целое число является целым числом.
  3. В целых числах нет десятичных знаков.

Внимательно рассмотрите каждый вариант:

  1. Есть целые числа, которые не попадают в натуральные числа (все отрицательные числа), поэтому это неверно.
  2. Целые числа \ (\ left \ {\ ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \), а целые числа — \ (\ left \ {0 ; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \) (круг \ (\ mathbb {Z} \) находится внутри \ (\ mathbb {N} _ {0} \)), поэтому, если число является целым это должно быть целое число. Это правда.
  3. Целые числа \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; 4; \ ldots \ right \} \) увеличиваются только с шагом 1, поэтому в целых числах не может быть никаких десятичных чисел, что делает это ложным .

Итак, верно только (ii).

\ (- \ sqrt {3} \)

\ (- \ sqrt {3} \) не имеет знака минус под квадратным корнем (минус находится вне корня) и не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (\ dfrac {0} {\ sqrt {2}} \)

\ (\ dfrac {0} {\ sqrt {2}} \) не имеет знака минус под квадратным корнем (минус находится вне корня) и не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (\ sqrt {-9} \)

\ (\ sqrt {-9} \) имеет знак минус под квадратным корнем, поэтому он не является действительным.

\ (\ dfrac {- \ sqrt {7}} {0} \)

\ (\ dfrac {- \ sqrt {7}} {0} \) имеет деление на ноль, поэтому не определено.

\ (- \ sqrt {-16} \)

\ (- \ sqrt {-16} \) имеет отрицательное число под квадратным корнем, поэтому оно не является действительным.

\ (\ sqrt {2} \)

\ (\ sqrt {2} \) не имеет минуса под квадратным корнем (минус находится вне корня), не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (- \ frac {1} {3} \) рационально. Доля целых чисел — это рациональное число.

\ (\ text {0,651268962154862.7 \) является рациональным, целым, целым и натуральным числом. Его можно записать как целое число.

\ (\ пи + 3 \)

\ (\ pi \) иррационально. \ (\ text {3} \) рационально (это целое число). Любое рациональное число, добавленное к любому иррациональному числу, иррационально.

Следовательно, \ (\ pi + 3 \) иррационально.

\ (\ пи + \ текст {0,858408346} \)

\ (\ pi \) иррационально.\ (\ text {0,858408346} \) является рациональным (это конечная десятичная дробь). Любое рациональное число, добавленное к любому иррациональному числу, иррационально.

Следовательно, \ (\ pi + \ text {0,858408346} \) иррационально.

\ (\ frac {5} {6} \) рационально.

Поскольку \ (a \) — целое число, \ (\ frac {a} {3} \) рационально.

Поскольку \ (b \) — целое число, \ (\ frac {-2} {b} \) рационально.

Обратите внимание, что \ (b \) не может быть \ (\ text {0} \), так как это делает дробь неопределенной.

Поскольку \ (c \) иррационально, \ (\ frac {1} {c} \) иррационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {1} {14} \) рационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {-10} {14} \) рационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {\ sqrt {2}} {14} \) иррационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {\ text {2,1}} {14} \) рационально.

Проверить, какое из чисел входит в набор \ (\ left \ {1; 2; 3; 4; \ ldots \ right \} \). Следовательно, \ (\ text {7} \) и \ (\ text {11} \) — натуральные числа.

Помните, что рациональные числа можно записать как \ (\ frac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) — целые числа. Также помните, что рациональные числа включают завершающие десятичные числа. Следовательно, \ (- \ sqrt {8} \;; \; \ text {3,3231089 …} \; \; 3+ \ sqrt {2} \;; \; \ pi \) все иррациональны.

Любое число, являющееся квадратным корнем из отрицательного числа, не является действительным.Следовательно, нереально только \ (\ sqrt {-1} \).

Помните, что рациональные числа можно записать как \ (\ frac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) — целые числа. Также помните, что рациональные числа включают завершающие десятичные числа. Следовательно, \ (- 3 \;; \; 0 \;; \; -8 \ frac {4} {5} \;; \; \ frac {22} {7} \; \; 7 \;; \; \ text {1,} \ overline {34} \; \; 9 \ frac {7} {10} \;; \; 11 \) — все рациональные числа.

Проверьте, какое из чисел входит в набор \ (\ left \ {\ ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \).Следовательно, \ (- 3 \;; \; 7 \;; \; 11 \) — целые числа.

Любая дробь, разделенная на \ (\ text {0} \), не определена. Следовательно, только \ (\ frac {14} {0} \) не определено.

\ (\ текст {2,121314 …} \)

  • Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни на одном из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

    Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

  • Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {1,242244246 …} \)

  • Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни на одном из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

    Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

  • Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {3,324354 …} \)

  • Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни на одном из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

    Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

  • Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {3,3243} \ dot {5} \ dot {4} \)

\ (\ text {0,1} = \ frac {1} {10} \)

\ begin {align *}
\ text {0,12} & = \ frac {1} {10} + \ frac {2} {100} \\
& = \ frac {10} {100} + \ frac {2} {100} \\
& = \ frac {12} {100} \\
& = \ frac {3} {25}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
\ text {0,58} & = \ frac {5} {10} + \ frac {8} {100} \\
& = \ frac {50} {100} + \ frac {8} {100} \\
& = \ frac {58} {100} \\
& = \ frac {29} {50}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
\ text {0,2589} & = \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} + \ frac {8} {\ text {1 000}} + \ frac {9} {\ text { 10 000}} \\
& = \ frac {\ text {2 000}} {\ text {10 000}} + \ frac {500} {\ text {10 000}} + \ frac {80} {\ text {10 000}} + \ гидроразрыв {9} {\ text {10 000}} \\
& = \ frac {\ text {2 589}} {\ text {10 000}}
\ end {выровнять *}

Мы видим, что повторяется только цифра \ (\ text {1} \), поэтому мы можем записать это как \ (\ text {0,} \ dot {1} \).

\ (\ text {0,1212121212 …} \)

Существует повторяющийся образец \ (\ text {12} \), поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,} \ overline {12} \)

\ (\ text {0,123123123123 …} \)

Существует повторяющийся шаблон \ (\ text {123} \), поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,} \ overline {123} \)

\ (\ text {0,11414541454145 …} \)

Шаблон 4145 повторяется, поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,11} \ overline {4145} \).7 \ текст {00}} & = \ текст {2} \ текст {остаток} \ текст {4}
\\
\ frac {\ text {7}} {\ text {33}} & = \ text {0,} \ text {2 121} \ ldots \\
& = \ текст {0,} \ точка {\ текст {2}} \ точка {\ текст {1}}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
\ frac {2} {3} & = 2 \ left (\ frac {1} {3} \ right) \\
& = 2 (\ text {0,333333 …}) \\
& = \ текст {0,666666 …} \\
& = \ текст {0,} \ точка {6}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
1 \ frac {3} {11} & = 1 + 3 \ left (\ frac {1} {11} \ right) \\
& = 1 + 3 (\ text {0,0

…}) \\
& = 1 + \ текст {0,27272727 …} \\
& = \ текст {1,} \ overline {27}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
4 \ frac {5} {6} & = 4 + 5 \ left (\ frac {1} {6} \ right) \\
& = 4+ 5 (\ text {0,1666666 …}) \\
& = 4 + \ текст {0,833333 …} \\
& = \ текст {4,8} \ точка {3}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
2 \ frac {1} {9} & = 2 + \ text {0,1111111 …} \\
& = \ текст {2,} \ точка {1}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
х & = \ текст {0,55555…} \ text {и} \\
10x & = \ text {5,55555 …} \\
10x — x & = (\ text {5,55555 …}) — (\ text {0,55555 …}) \\
\ text {9} x & = \ text {5} \\
\ поэтому x & = \ frac {5} {9}
\ end {выровнять *}

\ begin {align *}
10x & = \ text {6,3333 …} \ text {и} \\
100x & = \ текст {63,3333 …} \\
100x — 10x & = (\ text {63,3333 …}) — (\ text {6,3333 …}) \\
\ text {99} x & = \ text {57} \\
\ поэтому x & = \ frac {57} {90}
\ end {выровнять *}

\ (\ текст {0,} \ точка {4} \)

\ begin {align *}
х & = \ текст {0,4444…} \ text {и} \\
\ text {10} x & = \ text {4,4444 …} \\
10x — x & = (\ text {4,4444 …}) — (\ text {0,4444 …}) \\
\ text {9} x & = \ text {4} \\
\ поэтому x & = \ frac {\ text {4}} {\ text {9}}
\ end {выровнять *}

\ (\ text {5,} \ overline {31} \)

\ begin {align *}
х & = \ текст {5,313131 …} \ текст {и} \\
100x & = \ text {531,313131 …} \\
100x — x & = (\ text {531,313131…}) — (\ text {5,313131 …}) \\
\ text {99} x & = \ text {526} \\
\ поэтому x & = \ frac {526} {99}
\ end {выровнять *}

\ (\ text {4,} \ overline {\ text {93}} \)

\ begin {align *}
х & = \ текст {4,939393 …} \ текст {и} \\
100x & = \ text {493,939393 …} \\
100x — x & = (\ text {493,939393 …}) — (\ text {4,939393 …}) \\
\ text {99} x & = \ text {489} \\
\ поэтому x & = \ frac {\ text {163}} {\ text {33}}
\ end {выровнять *}

\ (\ text {3,} \ overline {\ text {93}} \)

\ begin {align *}
х & = \ текст {3,939393…} \ text {и} \\
100x & = \ text {393,939393 …} \\
100x — x & = (\ text {393,939393 …}) — (\ text {3,939393 …}) \\
\ text {99} x & = \ text {390} \\
\ поэтому x & = \ frac {\ text {130}} {\ text {33}}
\ end {выровнять *}

Сложные и иррациональные корни: определения и примеры — стенограмма видео и урока

Иррациональные корни

Что произойдет, если график квадратного уравнения не имеет целочисленных перехватов x ?

Этот график не пересекает ось x в целых точках:

Мы знаем, что он пересекает где-то между -1 и -2 и 1 и 2.Чтобы точно определить, где пересекает этот график, нам нужно посмотреть на уравнение. Чтобы найти перехват x , нам нужно знать, что такое x , когда y = 0. Итак, мы заменим y на 0. Затем нам нужно найти x , поэтому мы добавляем 3 к с обеих сторон:

Теперь, чтобы решить для x , мы должны извлечь квадратный корень из каждой стороны:

Поскольку 3 не является точным квадратом, квадратный корень является иррациональным числом.Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде дроби, a / b , где a и b — целые числа. Это десятичная дробь, которая не повторяется и не заканчивается. Квадратный корень из 3 — иррациональное число. Однако мы можем извлечь квадратный корень и округлить десятичную дробь. Это значит, что мы получим примерный ответ:

Мы можем проверить наши решения, посмотрев на график.Напомним, мы сказали, что решения были между -2 и -1 и между 1 и 2. Наши решения -1,7 и 1,7 находятся между этими двумя значениями.

Комплексные корни

До сих пор мы видели, где решения могут быть целыми точками на графике, а где они иррациональны. Существует еще одно возможное решение квадратного уравнения, и это если график вообще не пересекает ось x :

Обратите внимание, что график не пересекает ось x .Это означает, что реальных решений нет. Однако у нас есть сложные решения. Комплексные решения или корни — это числа с мнимой частью. Мнимая часть, i , находится при извлечении квадратного корня из отрицательного числа.

Уравнение для этого графика:

Если бы мы хотели решить это уравнение, мы следовали бы тем же процедурам, что и раньше. Сначала заменим y на 0.Затем вычтем 4 с обеих сторон:

Теперь нам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей:

Мы не можем извлечь квадратный корень из -4, потому что нет квадрата числа, которое могло бы равняться отрицательному числу: (-2) (- 2) = 4 и (2) (2) = 4, поэтому квадрата нет. корень -4. Здесь на помощь приходят мнимые числа. Мнимое число , i равно квадратному корню из отрицательного числа 1:

Чтобы упростить и решить наше уравнение, мы собираемся изменить отрицательное значение внутри квадратного корня на i , и оно выходит за пределы радикала:

Мы можем извлечь квадратный корень из положительных 4, которые являются положительными и отрицательными 2.

Примеры сложных и иррациональных корней

Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. Решить:

Чтобы решить, прибавьте 25 к обеим сторонам, а затем извлеките квадратный корень из обеих сторон:

2. Решить:

Чтобы решить, прибавьте 20 к обеим сторонам, а затем извлеките квадратный корень из обеих сторон.20 не является идеальным квадратом, поэтому мы округляем до ближайшей десятой:

3. Решить:

Чтобы решить, вычтите 25 из каждого, а затем извлеките квадратный корень из обеих частей. Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательных 25, нам нужно вычесть отрицательное и поставить перед корнем i :

Резюме урока

Когда мы говорим «решите квадратное уравнение», мы действительно ищем решения или корни уравнений, которые являются перехватами x .

Есть три возможных решения квадратного уравнения:

  1. Целочисленные решения — уравнение имеет полный квадрат, а точки пересечения x являются точками на графике. Эти решения и перехваты x также называются корнями уравнения .
  2. Иррациональные решения — иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде дроби. В этих случаях уравнение не имеет полного квадрата, но решения могут быть найдены путем извлечения квадратного корня и округления.
  3. Комплексные решения — Комплексные решения или корни — это числа с мнимой частью. Мнимое число , i равно квадратному корню из отрицательного 1. Таким образом, в этих случаях уравнение не имеет ни действительного решения, ни перехватов x , но решения можно найти, взяв квадратный корень из отрицательного числа и заменив его на i .

Что такое рациональное число? Определение и примеры

Вы слышали термин «рациональные числа»? Вам интересно: «Что такое рациональное число?» Если да, то вы попали в нужное место!

В этой статье мы обсудим определение рационального числа, дадим примеры рациональных чисел и дадим несколько советов и уловок для понимания того, является ли число рациональным или иррациональным.

Что такое рациональное число?

Чтобы понять, что такое рациональные числа, нам сначала нужно охватить некоторые основные математические определения:

  • Целые числа — это целые числа (например, 1, 2, 3 и 4), а — их отрицательные аналоги (например, -1, -2, -3 и -4).
  • Дроби — это числа, выраженные в виде отношений. Дробь — это часть целого.
  • У дробей есть числители, — числа в верхней части дроби, которые показывают части, взятые из целого.
  • У дробей также есть знаменатели, — числа в нижней части дроби, показывающие, сколько частей состоит в целом.

Хорошо! Теперь, когда мы знаем эти термины, давайте вернемся к нашему первоначальному вопросу.

Что такое рациональное число?

Рациональное число — это число, которое может быть выражено дробью , где числитель и знаменатель дроби являются целыми числами. Знаменатель рационального числа не может быть нулевым.

Выраженное уравнением рациональное число — это число

а / б, б ≠ 0

, где a и b — целые числа.

Это уравнение показывает, что все целые числа, конечные десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными числами. Другими словами, большинство чисел — рациональные числа.

Подсказка: , если вы работаете с числом, состоящим из длинной строки с разными десятичными знаками, то ваше число иррационально! Если вы работаете с целым числом или числом с терминальными или повторяющимися десятичными знаками (например, 1.333333), значит ваш номер рациональный!

Примеры рациональных чисел

Теперь, когда мы знаем определение рациональных чисел, давайте воспользуемся этим определением, чтобы исследовать некоторые числа и посмотреть, являются ли они рациональными или нет.

Начнем с цифры 6.

Число 6 — целое число. Это тоже рациональное число. Почему?

Потому что 6 также можно выразить как 6/1.

При выражении 6 числитель и знаменатель являются целыми числами. Знаменатель не равен 0.

А как насчет числа -6?

-6 можно записать как -6/1. Или 6 / -1.

В любом случае -6 — рациональное число, потому что его можно выразить в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами, а знаменатель не равен 0.

Что такое иррациональное число?

Противоположностью рациональных чисел являются иррациональные числа.

Проще говоря, иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя записать в виде простой дроби, такой как 6/1.

Возьмем π.

π — действительное число. Но это также иррациональное число, , потому что вы не можете записать π в виде простой дроби:

π = 3,1415926535897932384626433832795 (и подсчет)

Невозможно записать π в виде простой дроби, поэтому это иррационально.

То же самое и с √2.

√2 равно 1,4142135623730950 … (и т. Д.).

Невозможно превратить √2 в простую дробь, поэтому это иррациональное число.

Знаменитые иррациональные числа

Не существует известных рациональных чисел, потому что подавляющее большинство чисел являются рациональными. Есть несколько известных иррациональных чисел. Вот некоторые из них, которые вы могли видеть:

  • e: Число e (число Эйлера) — еще одно известное иррациональное число. Люди также вычислили е с точностью до большого количества десятичных знаков без какого-либо изображения. Первые несколько цифр выглядят так: 2,71828182845 353602874713527.
  • π: Люди вычислили число Пи с точностью до квадриллиона десятичных знаков, но до сих пор нет никакой закономерности.Первые несколько цифр выглядят так: 3,1415926535897932384626433832795
  • √: Многие квадратные корни, кубические корни и т. Д. Также являются иррациональными числами. Примеры:
    • √3 = 1,7320508075688772935274463415059 (и т. Д.)
    • √99 = 9.9498743710661995473447982100121 (и т. Д.)

Однако не все квадратные корни являются иррациональными числами! Если ваш квадратный корень дает целое число (например, √4 или √9), значит, вы на самом деле работаете с рациональным числом!

Это не единственное, о чем нужно быть осторожным! Иногда умножение двух иррациональных чисел дает рациональное число.Например,

√2 * √2 = 2

2 — рациональное число.

Основные выводы

Рациональные числа — это числа, которые можно выразить простыми дробями.

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить простыми дробями.

Что дальше?

Хотите узнать о самых быстрых и простых способах конвертации между градусами Фаренгейта и Цельсия? Мы вас прикрыли! Ознакомьтесь с нашим руководством по лучшим способам преобразования Цельсия в Фаренгейта (или наоборот).

Вы изучаете логарифмы и натуральные логарифмы на уроках математики? У нас есть руководство по всем правилам натурального журнала , которые вам необходимо знать.

Знаете ли вы, что вода имеет особую плотность? Ознакомьтесь с нашим руководством, чтобы узнать , что такое плотность воды и как она может измениться.

Определение рациональных и иррациональных чисел

Результаты обучения

  • Определить рациональные числа из списка чисел
  • Определите иррациональные числа из списка чисел

В этой главе мы позаботимся о том, чтобы ваши навыки твердо закрепились.Мы еще раз посмотрим на типы чисел, с которыми работали во всех предыдущих главах. Мы будем работать со свойствами чисел, которые помогут вам улучшить ваше чувство числа. И мы будем практиковаться в их использовании, как при решении уравнений и выполнении других процедур в алгебре.

Мы уже описали числа как счетные числа, целые числа и целые числа. Вы помните, в чем разница между этими типами чисел?

счетные числа [латекс] 1,2,3,4 \ точки [/ латекс]
целые числа [латекс] 0,1,2,3,4 \ точки [/ латекс]
целые числа [латекс] \ точки -3, -2, -1,0,1,2,3,4 \ точки [/ латекс]

Рациональные числа

Какой тип чисел вы получите, если начнете со всех целых чисел, а затем включите все дроби? Числа, которые у вас будут, образуют набор рациональных чисел.Рациональное число — это число, которое можно записать как отношение двух целых чисел.

Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в форме [латекс] \ frac {p} {q} [/ latex], где [latex] p [/ latex] и [latex] q [/ latex] — целые числа. и [латекс] q \ ne o [/ латекс].

Все дроби, как положительные, так и отрицательные, являются рациональными числами. Несколько примеров:

[латекс] \ frac {4} {5}, — \ frac {7} {8}, \ frac {13} {4}, \ text {и} — \ frac {20} {3} [/ latex]

Каждый числитель и каждый знаменатель — целое число.

Нам нужно посмотреть на все числа, которые мы использовали до сих пор, и убедиться, что они рациональны. Определение рациональных чисел говорит нам, что все дроби рациональны. Теперь мы посмотрим на счетные числа, целые числа, целые числа и десятичные дроби, чтобы убедиться, что они рациональны.
Целые числа — рациональные числа? Чтобы решить, является ли целое число рациональным числом, мы пытаемся записать его как отношение двух целых чисел. Легкий способ сделать это — записать дробь со знаминателем один.

[латекс] 3 = \ frac {3} {1} -8 = \ frac {-8} {1} 0 = \ frac {0} {1} [/ latex]

Поскольку любое целое число можно записать как отношение двух целых чисел, все целые числа являются рациональными числами.Помните, что все счетные числа и все целые числа также являются целыми числами, а значит, они тоже рациональны.

А как насчет десятичных знаков? Они рациональны? Давайте посмотрим на несколько, чтобы увидеть, можем ли мы записать каждое из них как отношение двух целых чисел. Мы уже видели, что целые числа являются рациональными числами. Целое число [латекс] -8 [/ латекс] может быть записано как десятичное [латекс] -8,0 [/ латекс]. Итак, очевидно, что некоторые десятичные дроби рациональны.

Подумайте о десятичном [латексе] 7.3 [/ латексе]. Можем ли мы записать это как отношение двух целых чисел? Потому что [латекс] 7.3 [/ latex] означает [latex] 7 \ frac {3} {10} [/ latex], мы можем записать это как неправильную дробь, [latex] \ frac {73} {10} [/ latex]. Итак, [latex] 7.3 [/ latex] — это соотношение целых чисел [latex] 73 [/ latex] и [latex] 10 [/ latex]. Это рациональное число.

В общем, любое десятичное число, которое заканчивается рядом цифр, например [латекс] 7,3 [/ латекс] или [латекс] -1,2684 [/ латекс], является рациональным числом. Мы можем использовать разряд последней цифры в качестве знаменателя при записи десятичной дроби в виде дроби.

, пример

Запишите каждое как отношение двух целых чисел:

1. [латекс] -15 [/ латекс]

2. [латекс] 6,81 [/ латекс]

3. [латекс] -3 \ frac {6} {7} [/ латекс]

Решение:

1.
[латекс] -15 [/ латекс]
Запишите целое число в виде дроби со знаминателем 1. [латекс] \ frac {-15} {1} [/ латекс]
2.
[латекс] 6,81 [/ латекс]
Запишите десятичную дробь как смешанное число. [латекс] 6 \ frac {81} {100} [/ латекс]
Затем преобразовать его в неправильную дробь. [латекс] \ frac {681} {100} [/ латекс]
3.
[латекс] -3 \ frac {6} {7} [/ латекс]
Преобразует смешанное число в неправильную дробь. [латекс] — \ frac {27} {7} [/ латекс]

Давайте посмотрим на десятичную форму рациональных чисел.Мы видели, что каждое целое число является рациональным числом, поскольку [latex] a = \ frac {a} {1} [/ latex] для любого целого числа, [latex] a [/ latex]. Мы также можем преобразовать любое целое число в десятичное, добавив десятичную точку и ноль.

Целое число [латекс] -2, -1,0,1,2,3 [/ латекс]

Десятичное [латекс] -2.0, -1.0,0.0,1.0,2.0,3.0 [/ latex]
Эти десятичные числа останавливаются.

Мы также видели, что каждая дробь является рациональным числом. Посмотрите на десятичную форму только что рассмотренных дробей.

Соотношение целых чисел [latex] \ frac {4} {5}, \ frac {7} {8}, \ frac {13} {4}, \ frac {20} {3} [/ latex]

Десятичные формы [латекс] 0.8, -0.875,3.25, -6.666 \ ldots, -6. \ Overline {66} [/ latex]
Эти десятичные дроби либо останавливаются, либо повторяются.

Что вам говорят эти примеры? Каждое рациональное число может быть записано как в виде отношения целых чисел, так и в виде десятичной дроби, которая либо останавливается, либо повторяется. В таблице ниже показаны числа, которые мы рассматривали, выраженные как отношение целых чисел и десятичной дроби.

Рациональные числа
Фракции Целые числа
Номер [латекс] \ frac {4} {5}, — \ frac {7} {8}, \ frac {13} {4}, \ frac {-20} {3} [/ latex] [латекс] -2, -1,0,1,2,3 [/ латекс]
Целочисленное отношение [латекс] \ frac {4} {5}, \ frac {-7} {8}, \ frac {13} {4}, \ frac {-20} {3} [/ latex] [латекс] \ frac {-2} {1}, \ frac {-1} {1}, \ frac {0} {1}, \ frac {1} {1}, \ frac {2} {1} , \ frac {3} {1} [/ latex]
Десятичное число [латекс] 0.8, -0,875,3,25, -6. \ Overline {6} [/ latex] [латекс] -2.0, -1.0,0.0,1.0,2.0,3.0 [/ латекс]

Иррациональные числа

Есть ли десятичные дроби, которые не останавливаются и не повторяются? да. Число [латекс] \ пи [/ латекс] (греческая буква пи, произносится как «пирог»), которое очень важно при описании кругов, имеет десятичную форму, которая не останавливается и не повторяется.

[latex] \ pi = \ text {3.141592654 …….} [/ Latex]
Точно так же десятичные представления квадратных корней чисел, которые не являются точными квадратами, никогда не прекращаются и никогда не повторяются.Например,

[латекс] \ sqrt {5} = \ text {2.236067978… ..} [/ latex]
Десятичное число, которое не останавливается и не повторяется, не может быть записано как отношение целых чисел. Мы называем такое число иррациональным числом.

Иррациональное число

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел. Его десятичная форма не останавливается и не повторяется.

Давайте резюмируем метод, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным.
Если десятичная форма числа

  • останавливается или повторяется, число рациональное.
  • не останавливается и не повторяется, цифра иррациональна.

, пример

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:
1. [латекс] 0,58 \ overline {3} [/ latex]
2. [латекс] 0,475 [/ латекс]
3. [латекс] 3,605551275 \ точки [/ латекс ]

Показать решение

Решение:
1. [latex] 0.58 \ overline {3} [/ latex]
Полоса над [latex] 3 [/ latex] указывает на то, что это повторяется.Следовательно, [латекс] 0,58 \ overline {3} [/ latex] является повторяющимся десятичным числом и, следовательно, является рациональным числом.

2. [латекс] 0,475 [/ латекс]
Эта десятичная дробь останавливается после [латекс] 5 [/ латекс], поэтому это рациональное число.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.