Пример полное квадратное уравнение: 8.2.2. Решение полных квадратных уравнений.

Содержание

Квадратное уравнение

Предварительные навыки

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x− 4 = 0.

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак,  в уравнении x− 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x= 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x= 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a, если b= a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x= 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем = 2 и = −2.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение = ± 2 означает, что = 2 и = −2. То есть корнями уравнения x− 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (+ 2)= 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (+ 2)= 25 являются числа 3 и −7.

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (+ 2)= 25 выражение (+ 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что .

Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: + 2 = 5 и + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

Запишем полностью решение уравнения (+ 2)= 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x1, а корень −7 через x2

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x− 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x= 2 и x= −2. 

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (+ 2)= 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax2 + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x+ 2= 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение axbx = 0. Для этого в уравнении 3x+ 2= 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

3x2 + 2x − 16 = 0

Получили уравнение 3x+ 2− 16 = 0. В этом уравнении = 3, = 2, = −16.

В квадратном уравнении вида axbx = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x+ 2− 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2;  свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x+ 2− 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x= 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax2+ bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4xx = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x+ 6x − 8 = 0.

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x+ 6= 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x+ 6x − 8 = 0. В этом уравнении = 2, = 6, = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x− 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

2x= 8

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x= 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x= 4, то . Отсюда = 2 и = −2.

Значит корнями уравнения 2x− 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как axbx = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax= 0.

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x+ 6− 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x− 4 = 0.

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x− 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax= 0, то есть неполным. В нем = 1, = 0, с = −4.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x+ 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x+ 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2+ 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2+ 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2+ 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: = 0 и 2+ 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2+ 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x+ 6= 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x+ 6− 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение 2x= 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что = 0. Действительно, 2 × 0= 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида axbx = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x− 32 = 0, то мы говорим, что = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением axbx = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x− 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение axbx = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x− 2+ 1 = 0.

Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (− 1)2.

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение − 1 = 0, можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (− 1)= 0 выражение (− 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается − 1 = 0. Отсюда = 1.

Значит корнем уравнения x− 2+ 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x+ 2− 3 = 0.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (+ 1)= 4 выражение (+ 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: + 1 = 2 и + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x+ 2− 3 = 0 являются числа 1 и −3.

Выполним проверку:


Пример 3. Решить уравнение x− 6+ 9 = 0, выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x− 6+ 9 = 0 является 3. Выполним проверку:


Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x+ 28− 72 = 0, выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2+ 7 = 11 и 2+ 7 = −11. Решим их:


Пример 5. Решить уравнение 2x+ 3− 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x2. Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)= 22x= 4x2. Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x2. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x+ 3− 27 = 0 первый член это 2x2. Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Решим их:

Значит корнями уравнения 2x+ 3− 27 = 0 являются числа 3 и .

Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x+ 3− 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x+ 3− 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x2 равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида axbx = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения axbx = 0 нужно разделить на a


Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x+ 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x+ 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.


Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение axbx = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения axbx = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения axbx = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение axbx = 0.

Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b− 4ac.

Выражение b− 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

D = b2 4ac

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x+ 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x+ 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b2−4ac

D = b2 − 4ac = 12 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b− 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x+ 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b− 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b− 4ac. Подставим в уравнении вместо выражения b− 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (< 0), то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (> 0), то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения axbx = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

Чаще всего эти формулы обозначаются как x1 и x2. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x+ 2− 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, = 1, = 2, = −8.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b2 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x+ 2− 8 = 0

D = b2 4ac = 22− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x+ 2− 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x− 6+ 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении = 1, = −6, = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b2 4ac = (−6)− 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (= 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x− 6+ 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.


Пример 3. Решить уравнение 5x− 6+ 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x− 6+ 1 = 0 являются числа 1 и .

Ответ: 1; .


Пример 4. Решить уравнение x+ 4+ 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x+ 4+ 4 = 0 является число −2.

Ответ: −2.


Пример 5. Решить уравнение 3x+ 2+ 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.


Пример 6. Решить уравнение (+ 4)= 3+ 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения (+ 4)= 3+ 40 являются числа 3 и −8.

Ответ: 3; −8.


Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1.

Ответ: 23; −1.


Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа и 2.


Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x= 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9.


Пример 2. Решить уравнение x− 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.


Пример 3. Решить уравнение x− 9= 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9.


Пример 4. Решить уравнение x+ 4− 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b− 4ac = 4− 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5.


Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5, .


Пример 6. Решить уравнение x= 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:


Пример 7. Решить уравнение (2+ 3)+ (− 2)= 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0, −1,6.


Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Раскроем скобки:

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:


Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2× x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2x2 = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x= 4, то . Отсюда = 2 и = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

4 × 2 = 8 м2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.


Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (+ 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

40 × 30 = 1200 м2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 2; −2.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 3; −3.

Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 3; −13.

Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 12; 4.

Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 7; 5.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; 1.

Задание 8. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; −3.

Задание 9. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; −7.

Задание 10. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 11. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −5.

Задание 12. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; 2

Задание 13. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 14. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 15. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −5.

Задание 16. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −9.

Задание 17. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −3; −4.

Задание 18. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: .


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

значение, формула, решение, примеры / Справочник :: Бингоскул

Математические равенства с одной, несколькими неопределенными величинами называют уравнением. Решить задачу – означает определить числовые значения так, чтобы получить достоверное равенство после подстановки в исходный конструктив. Выражения с
неизвестными имеют определенную степень. Она устанавливается наивысшей степенью,
присущей переменной.

Выражение считается квадратным, если степень искомого элемента – вторая. Возможно наличие одного или нескольких искомых корней.

Решение сложной системы с Х во второй степени предполагает предварительный расчет дискриминанта. Используется установленная формула D = b² − 4ac.

Дискриминант, равный 0, – присутствует один Х. D меньше 0 – отсутствуют корни. D больше 0 – в формуле две основных переменных.

Главный признак любого примера с неизвестной величиной рассматриваемой группы – наличие. Допускается присутствие простого искомого определителя параметра Х, свободных членов.

Максимальная степень больше 2 – структура не относится к данной категории. Общий вид стандартного выражения:

ах2 + bx + c = 0

Переменные Х – свободные. Числовыми определителями являются a, b и c, «а» не может иметь значение нуль.

Что такое неполное квадратное уравнение, как его решать, примеры

Неполная конструкция – квадратное уравнение без «с», имеет стандартный вид ах2 + bx + c = 0.

Минимум один числовой элемент приравнивается к 0. Это может быть с, b или оба числа. Отсюда следует, что структура имеет вид:

  • При «c» нулевом: ах2 + bx + c = 0
  • При «b» нулевом: ах2 + c = 0
  • Оба коэффициента равны нулю: ах2 = 0

Как решить пример с неизвестными неполного типа

Для решения системы ах2 + bx  = 0 левая часть структуры представляется в виде множителей. Скобка разделяет между собой х. Получается: х*(ах + b) = 0. Получить ноль при умножении можно только при условии наличия одного нулевого множителя. Следовательно, х = 0, ах + b = 0.

Для достоверности комбинации ах + b = 0 необходимо выполнение условия:  X = — \frac {b} {a}. Тогда в ах2 + bx  = 0 присутствуют 2 корня. Первый Х1 = 0, второй X2 = — \frac {b} {2a}.

Правило: неполный функционал , равный 0. Показатель – ненулевая часть, предусматривается разложение левого элемента на множители. Всегда присутствует несколько основ, одна = 0.

Решение системы стандартного типа:
 x2 — 15x = 0
 x(x — 15) = 0
 x1 = 0,
 x — 15 = 0
 x2 = 15

Полное квадратное уравнение: решение, примеры

Полный вариант конструкции предполагает наличие коэффициентов, все показатели положительные, больше нуля. Такие квадратные уравнения ОГЭ выглядят следующим образом: ax2 + bx + c = 0, «а» не может быть равным нулю.2-4ac } } { 2a} = \frac { -b \pm \sqrt d } {2a}

Дискриминант нулевой – для расчета единственной основной составляющей используется
выражение X = — \frac {b} {2a}

При решении подобных задач полного типа с положительным дискриминантом важно
учитывать наличие минуса.

 

Квадратные уравнения: приведённые уравнения, формулы корней

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax2 + bx + c = 0  — квадратное уравнение,

где  x  — это неизвестное, а  ab  и  c  — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях  a  называется первым коэффициентом  (a ≠ 0),  b  называется вторым коэффициентом, а  c  называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на  a,  то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами  p  и  q:

если   b  = p,  а  c  = q,
a a

то получится   x2 + px + q = 0.

Уравнение  x2 + px + q = 0  называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x2 + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x2 + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на  -3:

x2 — 3x + 4 = 0.

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax2 + bx + c = 0;

ax2 + 2kx + c = 0;

x2 + px + q = 0.

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:


Вид уравнения Формула корней
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2kx + c = 0
x2 + px + q = 0

или
если коэффициент  p  нечётный

Обратите внимание на уравнение:

ax2 + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение  ax2 + bx + c = 0,  в котором коэффициент  b  — четный, что позволяет его заменить на вид  2k.  Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё  2k  вместо  b:

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 + 7x + 2 = 0.

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = 7,  c = 2.

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x1 -2  = — 1 ,   x2 -12  = -2
6 3 6

Пример 2:

x2 — 4x — 60 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -60.

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x1 = 2 + 8 = 10,   x2 = 2 — 8 = -6

Ответ:  10,  -6.

Пример 3.

y2 + 11y = y — 25.

Приведём уравнение к общему виду:

y2 + 11y = y — 25;

y2 + 11yy + 25 = 0;

y2 + 10y + 25 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  p = 10,  q = 25.

Так как первый коэффициент равен  1,  то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ:  -5.

Пример 4.

x2 — 7x + 6 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  p = -7,  q = 6.

Так как первый коэффициент равен  1,  то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x1 = (7 + 5) : 2 = 6,

x2 = (7 — 5) : 2 = 1.

Ответ:  6,  1.

Квадратные уравнения, примеры решений

Теория по квадратным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где .

Возможны такие случаи:

, тогда имеем квадратное уравнение вида и .

, тогда имеем квадратное уравнение вида , если ; если – корней нет.

, тогда имеем квадратное уравнение вида .

, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:

   

Или по теореме Виета:

   

Примеры

ПРИМЕР 1




Задание Решить следующие неполные квадратные уравнения

   

Решение 1) В уравнении вынесем за скобки . Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, следовательно:

   

или

   

2) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :

   

3) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :

   

У данного квадратного уравнения нет корней.

4) уравнение равносильно уравнению , которое имеет два совпадающих корня .

Ответ

Корней нет

ПРИМЕР 2




Задание Решить квадратное уравнение
Решение Подсчитаем для заданного уравнения, чему равен дискриминант:

   

Так как , то уравнение имеет два совпадающих корня:

   

Ответ

ПРИМЕР 3




Задание Решить уравнение
Решение Вычислим дискриминант для исходного уравнения, получим:

   

Так как , данное уравнение решений не имеет.

Ответ Корней нет.

ПРИМЕР 4




Задание Решить квадратное уравнение
Решение Дискриминант заданного уравнения, равен

   

Следовательно, уравнение имеет два различных корня

   

Ответ

ПРИМЕР 5


Задание Решить уравнение, используя теорему Виета:
Решение Пусть и – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета

   

Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим –12 на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: –12 и 1; 12 и –1; –6 и 2; 6 и –2; –4 и 3; 4 и –3. Так как сумма корней равна 1, то корнями будут числа и .2 +b*x+c. Его еще называют квадратным трехчленом.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Преобразование выражений с квадратными корнями: свойства и примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

Квадратные уравнения — Kid-mama

Из этой статьи вы узнаете:

 

1Квадратные уравнения — это уравнения вида  ax2 + bx + c = 0

где  x — переменная,  a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0 .

2Коэффициенты квадратного уравнения

Числа   a, b, c называют коэффициентами уравнения, причем каждое из них  имеет свое название:

Число а называют первым (или старшим) коэффициентом. Число b — вторым коэффициентом, а число c — свободным членом.

Пример 1:

квадратное уравнение   – 3x2 + 4x + 7 = 0   имеет следующие коэффициенты :

a = –3,  b = 4,  c = 7.

Пример 2:

квадратное уравнение    6x2 – 4x – 7 = 0 имеет следующие коэффициенты :

a = 6,  b = –4,  c = –7.

3Неполные квадратные уравнения и их решение

Если в квадратном уравнении   хотя бы один из коэффициентов  b и c  равен нулю, то такое уравнение называется неполным.

Существует три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax2 = 0 ( в случае, когда  b = 0,   с = 0)
  • ax2 + bx = 0 ( в случае, когда  b ≠ 0,   с = 0)
  • ax2 + c = 0 ( в случае, когда  b = 0,   с ≠ 0)

Неполные квадратные уравнения легко решаются, рассмотрим решение каждого вида:

Поскольку a ≠ 0, то данное уравнение имеет всего один корень  x = 0.

Например, квадратное уравнение  –19 x2 = 0 имеет один корень :  x = 0.

Для решения такого уравнения выносят x за скобки и получают уравнение вида

x (ax + b) = 0

Это уравнение имеет всегда два корня (так как в левой части у нас два множителя    x  и (ax + b), а если хотя бы один из множителей равен нулю, то и все произведение равно нулю) .

x1 = 0, а   x2 можно найти, решив простое линейное уравнение в скобках :

ax + b = 0

ax = –b

x2 = –b/a

Например, решим квадратное уравнение  5x2  + 2x = 0

x(5x + 2)= 0  Сразу напишем, что x1 = 0.  Далее найдем x2.

Для этого решим уравнение 5x + 2 = 0

5x = –2

x =  –2/5

Ответ:   x1 = 0,  x2 = –2/5

Это уравнение также нужно преобразовать:

ax2 =–c

x2 = –c/a

Так как с ≠ 0, то возможны два случая: –c/a < 0,   и  –c/a > 0.

В первом случае уравнение x2 = –c/a  корней не имеет, так как квадрат числа всегда положительный.  Во втором случае, то есть когда –c/a > 0, уравнение имеет два корня:

 

 

Пример 1:

2x2  + 8 = 0

2x2 = -8

x2 = –8/2

x2 = –4   Корней нет.

Пример 2:

3x2  – 15 = 0

3x2 = 15

x2 = 15/3

x2 = 5

 

4Приведённое квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении коэффициент a = 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведенные уравнения также могут быть неполными.

Примеры приведённых уравнений:

 

 

 

 

Любое неприведённое квадратное уравнение можно  преобразовать в приведённое, разделив обе части уравнения  на коэффициент a, (поскольку в левой части уравнения сумма, то на а делим каждое слагаемое):

 

 

 

Пример 1:

Преобразуем неприведённое квадратное уравнение 2x2 – 6x + 8 = 0 в приведённое, для этого делим левую и правую часть уравнения на 2, получаем приведённое уравнение:

x– 3x + 4 = 0

Пример 2:

–4x2 + 12x = 0  Делим обе части уравнения на -4, и получаем приведённое уравнение:

x2 – 3x = 0

5Решение  квадратного уравнения    ax2 + bx + c = 0     

Для того, чтобы решить квадратное уравнение, нужно сначала найти его дискриминант (D)      по формуле:

При этом возможны три случая:

__________________________________________________

  • Если D < 0, то уравнение корней не имеет.
  • Если D = 0, то уравнение имеет один корень :

  • Если D > 0, то уравнение имеет два корня:

————————————————————————————————————-

6Формула корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит и для второго случая, когда D = 0, так как

Алгоритм решения квадратного уравнения

  • Найти дискриминант D
  • Если D < 0, написать, что корней нет
  • Если D ≥ 0 , найти корни по формуле корней квадратного уравнения.

_________________________________________________________________

Пример 1:

Для данного уравнения   a = 3,  b = -2,  с = -16

Дискриминант  уравнения:

 

 

Дискриминант больше нуля, находим корни:

 

 

 

Пример 2 :

Для данного уравнения   a = -0,5    b = 2     c = -2

Дискриминант  уравнения:

 

Уравнение имеет один корень.2+bx+5 = 0$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+b+5 = 0 \\ 16a+4b+5 = 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a+b = -5 \\ 4a+b = -1 \frac{1}{4} \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3a = 3 \frac{3}{4} \\ b = -a-5 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 1 \frac{1}{4} \\ b = -6 \frac{1}{4} \end{array} \right.} $$

(О решении системы двух линейных уравнений – см.§43 справочника для 7 класса)

Квадратичная формула — объяснение и примеры

К настоящему времени вы знаете, как решать квадратные уравнения с помощью таких методов, как завершение квадрата, разность квадрата и формула трехчлена полного квадрата.

В этой статье мы узнаем, как решать квадратные уравнения, используя два метода: , а именно квадратную формулу и графический метод . Прежде чем мы углубимся в эту тему, давайте вспомним, что такое квадратное уравнение.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение в математике определяется как многочлен второй степени, стандартная форма которого — ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числовые коэффициенты, а a 0.

Термин второй степени означает, что хотя бы один член в уравнении возведен в степень двойки. В квадратном уравнении переменная x является неизвестным значением, для которого нам нужно найти решение.

Примеры квадратных уравнений: 6x² + 11x — 35 = 0, 2x² — 4x — 2 = 0, 2x² — 64 = 0, x² — 16 = 0, x² — 7x = 0, 2x² + 8x = 0 и т. Д.Из этих примеров вы можете заметить, что в некоторых квадратных уравнениях отсутствуют члены «c» и «bx».

Как пользоваться формулой корней квадратного уравнения?

Предположим, что ax 2 + bx + c = 0 — наше стандартное квадратное уравнение. Мы можем вывести квадратную формулу, заполнив квадрат, как показано ниже.

Выделите член c в правой части уравнения

ax 2 + bx = -c

Разделите каждый член на a.

x 2 + bx / a = -c / a

Выразить в виде полного квадрата
x 2 + b x / a + (b / 2a) 2 = — c / a + (b / 2a) 2

(x + b / 2a) 2 = (-4ac + b 2 ) / 4a 2

(x + b / 2a) = ± √ (-4ac + b 2 ) / 2a

x = — b / 2a ± √ (b 2 — 4ac) / 2a

x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a …… ….(Это квадратная формула)

Наличие плюса (+) и минуса (-) в квадратной формуле означает, что существует два решения, например:

x 1 = (-b + √b2 — 4ac) / 2a

AND,

x 2 = (-b — √b2 — 4ac) / 2a

Указанные выше два значения x известны как корни квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения зависят от природы дискриминанта. Дискриминант является частью формулы корней квадратного уравнения в виде b 2 — 4 ас.Квадратное уравнение имеет два разных действительных корня дискриминанта.

Когда значение дискриминанта равно нулю, уравнение будет иметь только один корень или решение. А если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительного корня.

Как решать квадратные уравнения?

Давайте решим несколько примеров задач, используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример 1

Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни x 2 -5x + 6 = 0.

Решение

Сравнение уравнения с общей формой ax 2 + bx + c = 0 дает

a = 1, b = -5 и c = 6

b 2 — 4ac = ( -5) 2-4 × 1 × 6 = 1

Подставляем значения в формулу корней квадратного уравнения

x 1 = (-b + √b2-4ac) / 2a

⇒ (5 + 1) / 2

= 3

x 2 = (-b — √b2-4ac) / 2a

⇒ (5 — 1) / 2

= 2

Пример 2

Решите квадратное уравнение ниже используя квадратную формулу:

3x 2 + 6x + 2 = 0

Решение

Сравнение задачи с общей формой квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 дает,

a = 3 , b = 6 и c = 2

x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a

⇒ [- 6 ± √ (6 2 — 4 * 3 * 2)] / 2 * 3

⇒ [- 6 ± √ (36-24)] / 6

⇒ [- 6 ± √ (1 2)] / 6

x 1 = (-6 + 2√3) / 6

⇒ — (2/3) √3

x 2 = (-6– 2√3) / 6

⇒ — (4/3) √3

Пример 3

Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

Решение

Сравнивая с квадратным уравнением, получаем

a = 5, b = 6, c = 1

Теперь примените квадратную формулу:

x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a

Подставьте значения a, b и c

⇒ x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5

⇒ x = −6 ± √ (36 — 20) 10

⇒ x = −6 ± √ (16) 10

⇒ x = −6 ± 410

⇒ x = — 0.2, −1

Пример 4

Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

Решение

Коэффициенты:

a = 5, b = 2, c = 1

В этом случае дискриминант отрицательный:

b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1

= −16

Теперь примените квадратичную формулу;

x = (−2 ± √ −16) / 10

⇒√ (−16) = 4

Где i — мнимое число √ − 1

⇒x = (−2 ± 4i) / 10

Следовательно, x = −0.2 ± 0,4i

Пример 5

Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

Решение

Согласно стандартной форме квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, мы можем это наблюдать;

a = 1, b = −4, c = 6,25

Определите дискриминанты.

b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6,25

= −9 ………………. (отрицательный дискриминант)

⇒ x = — (- 4) ± √ (−9) / 2

⇒ √ (−9) = 3i; где i — мнимое число √ − 1

⇒ x = (4 ± 3i) / 2

Следовательно, x = 2 ± 1.5i

Как построить квадратное уравнение?

Чтобы построить квадратное уравнение, выполните следующие действия:

  • Для квадратного уравнения перепишите уравнение, приравняв его к y или f (x)
  • Выберите произвольные значения x и y для построения кривой
  • Теперь изобразите функцию.
  • Считайте корни там, где кривая пересекает или касается оси x.

Решение квадратных уравнений с помощью построения графиков

Построение графиков — это еще один метод решения квадратных уравнений.Решение уравнения получается путем считывания отрезков x на графике.

Есть три возможности при решении квадратных уравнений графическим методом:

  • Уравнение имеет один корень или решение, если точка пересечения по оси x на графике равна 1.
  • Уравнение с двумя корнями имеет 2 точки пересечения по оси x
  • Если нет x-точек пересечения, то уравнение не имеет реальных решений.

Давайте изобразим несколько примеров квадратных уравнений.В этих примерах мы нарисовали наши графики с помощью графического программного обеспечения, но чтобы вы хорошо поняли этот урок, нарисуйте свои графики вручную.

Пример 1

Решите уравнение x 2 + x — 3 = 0 графическим методом

Решение

Наши произвольные значения показаны в таблице ниже:

x- точки пересечения равны x = 1,3 и x = –2,3. Следовательно, корни квадратного уравнения равны x = 1.3 и x = –2,3

Пример 2

Решите уравнение 6x — 9 — x 2 = 0.

Решение

Выберите произвольные значения x.

Кривая касается оси x при x = 3. Следовательно, 6 x — 9 — x 2 = 0 имеет одно решение (x = 3).

Пример 3

Решите уравнение x 2 + 4x + 8 = 0 графическим методом.

Решение

Выберите произвольные значения x.

В этом примере кривая не касается и не пересекает ось x. Следовательно, квадратное уравнение x 2 + 4x + 8 = 0 не имеет действительных корней.

Практические вопросы

Решите следующие квадратные уравнения, используя как квадратную формулу, так и графический метод:

  1. x 2 — 3x −10 = 0
  2. x 2 + 3x + 4 = 0
  3. x 2 −7x + 12 = 0
  4. x 2 + 14x + 45 = 0
  5. 9 + 7x = 7x 2
  6. x 2 + 4x + 4 = 0
  7. x 2 — 9x + 14 = 0
  8. 2x 2 — 3x = 0
  9. 4𝑥 2 — 4𝑥 + 5 = 0
  10. 4𝑥 2 — 8𝑥 + 1 = 0
  11. x 2 + 4x — 12 = 0
  12. 10x 2 + 7x — 12 = 0
  13. 10 + 6x — x 2 = 0
  14. 2x 2 + 8x — 25 = 0
  15. x 2 + 5x — 6 = 0
  16. 3x 2 — 27x + 9
  17. 15 — 10x — x 2
  18. 5x 2 + 10x + 15
  19. 24 + 12x — 2x 2
  20. x 2 −1 2x + 35 = 0

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Примеры квадратных уравнений в реальном мире

Квадратичное уравнение выглядит так:

Квадратные уравнения появляются во многих реальных ситуациях!

Здесь мы собрали для вас несколько примеров и решаем каждый из них разными методами:

Каждый пример следует за тремя основными этапами:

  • Возьмите описание реального мира и составьте несколько уравнений
  • Решить!
  • Используйте здравый смысл для интерпретации результатов

Шары, стрелы, ракеты и камни

Когда вы бросаете мяч (или стреляете стрелой, запускаете ракету или бросаете камень), он поднимается в воздух, замедляясь по мере движения, а затем снова падает все быстрее и быстрее…

… и квадратное уравнение всегда подскажет вам его положение!

Пример: бросание мяча

Мяч бросается вверх с высоты 3 м над землей со скоростью 14 м / с. Когда он падает на землю?

Игнорируя сопротивление воздуха, мы можем вычислить его высоту, сложив эти три вещи:
(Примечание: t — время в секундах)

Высота от 3 м: 3
Он движется вверх со скоростью 14 метров в секунду (14 м / с): 14т
Гравитация тянет его вниз, изменяя его положение на примерно 5 м в секунду в квадрате: −5 т 2
(Примечание для энтузиастов: -5t 2 упрощено от — (½) при 2 с a = 9.8 м / с 2 )

Сложите их, и высота х в любой момент т будет:

ч = 3 + 14т — 5т 2

И мяч ударится о землю, когда высота равна нулю:

3 + 14т — 5т 2 = 0

Квадратное уравнение!

В «Стандартной форме» это выглядит так:

−5 т 2 + 14 т + 3 = 0

Еще лучше, если мы умножим все члены на −1:

2 — 14т — 3 = 0

Давайте решим…

Есть много способов решить эту проблему, здесь мы будем множить ее, используя «Найдите два числа, которые

умножьте, чтобы получить a × c , и сложите, чтобы получить b «метод в Factoring Quadratics:

a × c = −15 и b = −14 .

Коэффициенты −15: −15, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 15

Попробовав несколько комбинаций, мы обнаружим, что −15 и 1 работают.
(−15 × 1 = −15,
и −15 + 1 = −14)

Перепишите середину с −15 и 1: 5t 2 — 15t + t — 3 = 0

Фактор первых двух и последних двух: 5t (t — 3) + 1 (t — 3) = 0

Общий коэффициент равен (t — 3) 🙁 5t + 1) (t — 3) = 0

И два решения: 5t + 1 = 0 или t — 3 = 0

t = −0.2 или t = 3

«t = −0,2» — отрицательное время, что в нашем случае невозможно.

«t = 3» — это тот ответ, который нам нужен:

Мяч падает на землю через 3 секунды!

Вот график Параболы h = −5t 2 + 14t + 3

Показывает высоту мяча против времени

Несколько интересных моментов:

(0,3) При t = 0 (в начале) мяч находится на высоте 3 м

(-0.2,0) говорит, что -0,2 секунды ДО того, как мы бросили мяч, он находился на уровне земли. Этого никогда не было! Итак, наш здравый смысл говорит игнорировать это.

(3,0) говорит, что через 3 секунды мяч оказывается на уровне земли.

Также обратите внимание, что мяч летит почти на 13 метров в высоту .

Примечание: вы можете точно определить, где находится верхняя точка!

Метод объяснен в разделе «Графические квадратные уравнения» и состоит из двух этапов:

Найдите где (по горизонтальной оси) вершину, используя −b / 2a :

  • t = −b / 2a = — (- 14) / (2 × 5) = 14/10 = 1.4 секунды

Затем найдите высоту, используя это значение (1.4)

  • h = −5t 2 + 14t + 3 = −5 (1,4) 2 + 14 × 1,4 + 3 = 12,8 метра

Таким образом, мяч достигает наивысшей точки 12,8 метра за 1,4 секунды.

Пример: новый спортивный велосипед

Вы создали новый спортивный велосипед!

Теперь вы хотите сделать их много и продать с прибылью.

Ваши затраты будут:

  • 700 000 долл. США на установку производства, рекламу и т. Д.
  • 110 долларов на изготовление каждого велосипеда

На основе аналогичных велосипедов можно ожидать, что продажи будут следовать этой «кривой спроса»:

  • Штучные продажи = 70,000 — 200P

Где «P» — цена.

Например, если вы установите цену:

  • по 0 долларов, вы просто раздаете 70000 велосипедов
  • за 350 долларов, велосипеды вообще не продашь
  • за 300 долларов можно продать 70000 — 200 × 300 = 10000 велосипед

Итак… какая лучшая цена? А сколько нужно сделать?

Давайте составим уравнения!

Сколько вы продаете, зависит от цены, поэтому используйте «P» в качестве переменной «Цена».

  • Штучные продажи = 70,000 — 200P
  • Продажи в долларах = Единицы × Цена = (70,000 — 200P) × P = 70,000P — 200P 2
  • Затраты = 700,000 + 110 x (70,000 — 200P) = 700,000 + 7,700,000 — 22,000P = 8,400,000 — 22,000P
  • Прибыль = Затраты на продажу = 70,000P — 200P 2 — (8,400,000 — 22,000P) = −200P 2 + 92,000P — 8,400,000

Прибыль = −200P 2 + 92,000P — 8,400,000

Да, квадратное уравнение.Давайте решим эту проблему, завершив квадрат.

Решите: −200P

2 + 92,000P — 8,400,000 = 0

Шаг 1 Разделите все члены на -200

P 2 — 460 P + 42000 = 0

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

P 2 — 460 P = -42000

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и уравновесите его, добавив такое же число в правую часть уравнения:

(b / 2) 2 = (−460/2) 2 = (−230) 2 = 52900

P 2 — 460 P + 52900 = −42000 + 52900

(П — 230) 2 = 10900

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

P — 230 = ± √10900 = ± 104 (с точностью до ближайшего целого числа)

Шаг 5 Вычтем (-230) с обеих сторон (другими словами, прибавим 230):

P = 230 ± 104 = 126 или 334

Что это нам говорит? В нем говорится, что прибыль НУЛЯ при цене 126 долларов США или 334 доллара США

.

Но мы же хотим знать максимальную прибыль, не так ли?

Это ровно посередине! по цене 230 долл. США

А вот график:

Прибыль = −200P 2 + 92,000P — 8,400,000

Лучшая цена продажи $ 230 , и можно ожидать:

  • Штучные продажи = 70,000 — 200 x 230 = 24,000
  • Продажи в долларах = 230 долларов x 24 000 = 5 520 000 долларов
  • Затраты = 700 000 + 110 x 24 000 = 3 340 000 долларов
  • Прибыль = 5 520 000 долларов — 3 340 000 долларов = 90 500 2 180 000 долларов

Очень прибыльное предприятие.

Пример: Маленькая стальная рама

Ваша компания собирается изготавливать рамы как часть нового продукта, который они запускают.

Рама будет вырезана из куска стали, и для снижения веса конечная площадь должна быть 28 см 2

Внутренняя часть рамы должна быть 11 см на 6 см

Какой должна быть ширина металла x ?

Площадь стали перед резкой:

Площадь = (11 + 2x) × (6 + 2x) см 2

Площадь = 66 + 22x + 12x + 4x 2

Площадь = 4x 2 + 34x + 66

Площадь стали после вырезания середины 11 × 6:

Площадь = 4x 2 + 34x + 66-66

Площадь = 4x 2 + 34x

Давайте решим это графически!

Вот график 4x 2 + 34x:

Требуемая область 28 показана горизонтальной линией.

Площадь равна 28 см 2 когда:

x равно около −9,3 или 0,8

Отрицательное значение x не имеет смысла, поэтому ответ:

.

x = 0,8 см (прибл.)

Пример: речной круиз

Трехчасовой речной круиз идет на 15 км вверх по течению и обратно. Течение реки 2 км / час. Какова скорость лодки и сколько времени длилось путешествие вверх по течению?

Следует подумать о двух скоростях: скорость, которую лодка развивает в воде, и скорость относительно земли:

  • Пусть x = скорость лодки в воде (км / ч)
  • Пусть v = скорость относительно земли (км / ч)

Поскольку река течет вниз по течению со скоростью 2 км / ч:

  • при движении вверх по потоку v = x − 2 (скорость снижена на 2 км / ч)
  • при движении вниз по течению v = x + 2 (скорость увеличена на 2 км / ч)

Мы можем превратить эти скорости во времена, используя:

время = расстояние / скорость

(чтобы проехать 8 км со скоростью 4 км / ч, нужно 8/4 = 2 часа, верно?)

И мы знаем, что общее время составляет 3 часа:

общее время = время на входе + время на выходе = 3 часа

Сложите все вместе:

общее время = 15 / (x − 2) + 15 / (x + 2) = 3 часа

Теперь мы используем наши навыки алгебры, чтобы найти «x».

Во-первых, избавьтесь от дробей, умножив на (x-2) (x + 2) :

3 (х-2) (х + 2) = 15 (х + 2) + 15 (х-2)

Развернуть все:

3 (x 2 −4) = 15x + 30 + 15x − 30

Переместите все влево и упростите:

3x 2 — 30x — 12 = 0

Это квадратное уравнение! Решим его с помощью дискриминантной формулы:

Где a , b и c
из квадратного уравнения
в «стандартной форме»: ax 2 + bx + c = 0

Решить 3x

2 — 30x — 12 = 0

Коэффициенты: a = 3 , b = −30 и c = −12

Квадратичная формула: x = [−b ± √ (b 2 −4ac)] / 2a

Вставьте a, b и c: x = [- (- 30) ± √ ((- 30) 2 −4 × 3 × (−12))] / (2 × 3)

Решить : x = [30 ± √ (900 + 144)] / 6

x = [30 ± √ (1044)] / 6

х = (30 ± 32.31) / 6

x = −0,39 или 10,39

Ответ: x = −0,39 или 10,39 (до 2 знаков после запятой)

x = −0,39 не имеет смысла для этого реального вопроса, но x = 10,39 просто идеально!

Ответ: Скорость лодки = 10,39 км / ч (с точностью до 2 знаков после запятой)

Итак, путь вверх по течению = 15 / (10,39−2) = 1,79 часа = 1 час 47 минут

И путь вниз по течению = 15 / (10.39 + 2) = 1,21 часа = 1 час 13мин

Пример: параллельные резисторы

Два резистора включены параллельно, как на этой схеме:

Общее сопротивление было измерено на уровне 2 Ом, и известно, что один из резисторов на 3 Ом больше, чем другой.

Каковы номиналы двух резисторов?

Формула для вычисления общего сопротивления «R T »:

1 R T
знак равно
1 R 1 + 1 R 2

В данном случае имеем рэнд T = 2 и рэндов 2 = 1 + 3

1
2
знак равно
1
Р 1
+
1
Р 1 +3

Чтобы избавиться от дробей, мы
можно умножить все члены на 2R 1 ( 1 + 3), а затем упростить:

Умножьте все члены на 2R 1 ( 1 + 3): 2R 1 ( 1 +3) 2 = 2R 1 ( 1 +3) R 1 + 2R 1 ( 1 +3) R 1 +3

Затем упростим: 1 ( 1 + 3) = 2 ( 1 + 3) + 2R 1

Расширить: R 1 2 + 3R 1 = 2R 1 + 6 + 2R 1

Переместите все термины влево: R 1 2 + 3R 1 — 2R 1 — 6 — 2R 1 = 0

Упростить: 1 2 1 — 6 = 0

Да! Квадратичное уравнение!

Давайте решим это, используя наш Решатель квадратного уравнения.

  • Введите 1, −1 и −6
  • И вы должны получить ответы −2 и 3

R 1 не может быть отрицательным, поэтому ответ R 1 = 3 Ом .

Два резистора на 3 Ом и 6 Ом.

Другое

Квадратные уравнения полезны во многих других областях:

Форма параболического зеркала, телескопа-рефлектора или спутниковой антенны определяется квадратным уравнением.

Квадратные уравнения также необходимы при изучении линз и изогнутых зеркал.

И многие вопросы, связанные со временем, расстоянием и скоростью, требуют квадратных уравнений.

Завершение площади

« Завершение квадрата » — вот где мы …

… возьмем квадратное уравнение
вот так:
и превратите его
в это:
топор 2 + bx + c = 0 a (x + d ) 2 + e = 0

Для тех, кто спешит, могу сказать, что: d = b 2a

и: e = c — b 2 4a

Но если у вас есть время, позвольте мне показать вам, как « Complete the Square » самостоятельно.

Завершение площади

Допустим, у нас есть простое выражение, например x 2 + bx. Дважды указание x в одном выражении может усложнить жизнь. Что мы можем сделать?

Ну, немного вдохновившись геометрией, мы можем преобразовать это, вот так:

Как видите x 2 + bx можно переставить почти в квадрат …

… а можно укомплектовать квадрат с помощью (б / 2) 2

В алгебре это выглядит так:

x 2 + bx + (б / 2) 2 = (х + б / 2) 2
«Заверши квадрат»

Итак, добавив (b / 2) 2 , мы можем завершить квадрат.

And (x + b / 2) 2 имеет x только один раз , что упрощает использование .

Сохранение баланса

Теперь … мы не можем просто прибавить (b / 2) 2 без и вычесть и это тоже! В противном случае меняется вся стоимость.

Итак, давайте посмотрим, как это сделать правильно на примере:

Начать с:
(в данном случае b равно 6)
Завершите квадрат:

Также из вычтите из нового члена

Упростите это, и готово.

Результат:

x 2 + 6x + 7 = (x + 3) 2 -2

И теперь x появляется только один раз, и наша работа сделана!

Быстрый подход

Вот быстрый способ получить ответ. Вам может понравиться этот метод.

Сначала подумайте о желаемом результате: (x + d) 2 + e

После расширения (x + d) 2 получаем: x 2 + 2dx + d 2 + e

Теперь посмотрим, сможем ли мы превратить наш пример в эту форму, чтобы обнаружить d и e

Пример: попробуйте уместить x

2 + 6x + 7 в x 2 + 2dx + d 2 + e

Теперь мы можем «форсировать» ответ:

  • Мы знаем, что 6x должно быть 2dx, поэтому d должно быть 3
  • Затем мы видим, что 7 должно стать d 2 + e = 9 + e, поэтому e должно быть −2

И получаем тот же результат (x + 3) 2 -2, что и выше!

Теперь давайте посмотрим на полезное приложение: решение квадратных уравнений…

Решение общих квадратичных уравнений до квадрата

Мы можем заполнить квадрат до , решив квадратное уравнение (найти, где оно равно нулю).

Но общее квадратное уравнение может иметь коэффициент a перед x 2 :

топор 2 + bx + c = 0

Но с этим легко справиться … просто разделите все уравнение сначала на «a», а затем продолжайте:

х 2 + (б / а) х + в / а = 0

Ступеньки

Теперь мы можем решить квадратное уравнение за 5 шагов:

  • Шаг 1 Разделите все члены на a (коэффициент x 2 ).
  • Шаг 2 Переместите числовой член ( c / a ) в правую часть уравнения.
  • Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же значение в правую часть уравнения.

Теперь у нас есть что-то похожее на (x + p) 2 = q, которое решается довольно легко:

  • Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.
  • Шаг 5 Вычтите число, которое остается в левой части уравнения, чтобы найти x .

Примеры

Хорошо, помогут несколько примеров!

Пример 1: Решить x

2 + 4x + 1 = 0

Шаг 1 в этом примере можно пропустить, так как коэффициент x 2 равен 1

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

x 2 + 4x = -1

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и уравновесите его, добавив такое же число в правую часть уравнения.

(б / 2) 2 = (4/2) 2 = 2 2 = 4

х 2 + 4х + 4 = -1 + 4

(x + 2) 2 = 3

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

x + 2 = ± √3 = ± 1,73 (до 2 знаков после запятой)

Шаг 5 Вычтем 2 с обеих сторон:

х = ± 1,73 — 2 = -3.73 или -0,27

А вот и интересная и полезная штука.

В конце шага 3 у нас было уравнение:

(x + 2) 2 = 3

Это дает нам вершину (точка поворота) x 2 + 4x + 1: (-2, -3)

Пример 2: Решить 5x

2 — 4x — 2 = 0

Шаг 1 Разделите все термины на 5

х 2 — 0.8x — 0,4 = 0

Шаг 2 Переместите числовой член в правую часть уравнения:

x 2 — 0,8x = 0,4

Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и уравновесите его, добавив такое же число в правую часть уравнения:

(б / 2) 2 = (0,8 / 2) 2 = 0,4 2 = 0,16

х 2 — 0.8x + 0,16 = 0,4 + 0,16

(х — 0,4) 2 = 0,56

Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

x — 0,4 = ± √0,56 = ± 0,748 (до трех знаков после запятой)

Шаг 5 Вычтем (-0,4) с обеих сторон (другими словами, прибавим 0,4):

x = ± 0,748 + 0,4 = -0,348 или 1,148

Почему «Завершить квадрат»?

Зачем заполнять квадрат, если мы можем просто использовать квадратичную формулу для решения квадратного уравнения?

Что ж, одна причина указана выше, где новая форма не только показывает нам вершину, но и упрощает ее решение.

Также бывают случаи, когда форма ax 2 + bx + c может быть частью более крупного вопроса и переставить его как a (x + d ) 2 + e дает решение проще, потому что x появляется только один раз.

Например, «x» может быть функцией (например, cos (z) ), и его перестановка может открыть путь к лучшему решению.

Также завершение квадрата — это первый шаг в выводе квадратной формулы

Считайте это еще одним инструментом в вашем наборе математических инструментов.

Сноска: значения «d» и «e»

Как я получил значения d и e из верхней части страницы?

И вы заметите, что у нас есть:

а (х + г) 2 + е = 0

Где: d =
б
2a

и: e = c —
б 2
4a

Прямо как вверху страницы!

Квадратные уравнения — Полный курс алгебры

37

Стандартная форма квадратного уравнения

корень квадратичной

Факторинговое решение

Раздел 2 :

Завершение квадрата

Квадратичная формула

Дискриминант

Доказательство квадратичной формулы

Раздел 3 :

График y = Квадратичный: парабола

КВАДРАТИКА — это многочлен, старший показатель которого равен 2.

ax ² + bx + c .

Коэффициент x ² называется ведущим коэффициентом.

Вопрос 1. Какая стандартная форма квадратного уравнения ?

ax ² + bx + c = 0.

Квадратичный находится слева. 0 справа.

Вопрос 2.Что мы подразумеваем под корнем квадратичного?

Решение квадратного уравнения.

Например, корни этой квадратичной —

x ² + 2 x — 8

— решения для

x ² + 2 x — 8 = 0.

Чтобы найти корни, мы можем разложить этот квадратичный коэффициент на

.

( х + 4) ( х — 2).

Теперь, если x = −4, то первый множитель будет 0. (Урок 2.) А если x = 2, второй множитель будет 0. Но если какой-либо множитель равен 0, тогда весь продукт будет 0. Следовательно, если x = −4 или 2, то

x ² + 2 x — 8 = 0.

−4 или 2 являются решениями квадратного уравнения. Они корни этой квадратичной.

И наоборот, если корни равны a или b , то квадратичный фактор может быть разложен на

( x a ) ( x b ).

Корень квадратичного также называется нулем. Потому что, как мы увидим, для каждого корня значение графика равно 0. (См. Тему 7 Precalculus, вопрос 2.)

Вопрос 3. Сколько корней имеет квадратичный?

Всегда двое. Поскольку квадратичный коэффициент (по крайней мере с ведущим коэффициентом 1) всегда можно разложить на множители как ( x a ) ( x b ), и a , b — это два корня.

Другими словами, когда старший коэффициент равен 1, корень имеет знак, противоположный знаку числа в множителе.
Если ( x + q ) — фактор, то x = — q — корень.

q + q = 0.

Проблема 1. Если квадратичный коэффициент можно разложить на множители как ( x + 3) ( x — 1), то каковы два корня?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

−3 или 1.

Мы говорим «или», потому что x может принимать только одно значение за раз.

Вопрос 4. Что мы подразумеваем под двойным корнем?

Два корня равны. Коэффициенты будут ( x a ) ( x a ), так что два корня будут a , a .

Например, этот квадратичный

x ² — 12 x + 36

можно разложить на множители как

( x — 6) ( x — 6).

Если x = 6, то каждый коэффициент будет равен 0, и, следовательно, квадратичный
будет 0. 6 называется двойным корнем.

Когда у квадратичной будет двойной корень? Когда квадратичный — это полный квадрат трехчлена.

Пример 1. Решите для x : 2 x ² + 9 x — 5.

Раствор . Этот квадратичный фактор вычисляется следующим образом:

2 x ² + 9 x — 5 = (2 x — 1) ( x + 5).

Урок 17.

.

Теперь легко увидеть, что второй множитель будет равен 0, когда x = −5.

Что касается значения x , то получится

2 x — 1 = 0,
мы должны решить это маленькое уравнение.(Урок 9.)
Имеем:
2 x = 1
x = 1
2

Решения:

Проблема 2. Как возможно, что произведение двух множителей ab = 0?

Факторинговое решение

Проблема 3.Найдите корни каждого квадратичного уравнения.

а) x ² — 3 x + 2 б) x ² + 7 x + 12
( x — 1) ( x — 2) ( x + 3) ( x + 4)
x = 1 или 2. x = −3 или −4.

Мы снова используем союз «или», потому что x принимает только одно значение за раз.

в) x ² + 3 x — 10 г) x ² — x — 30
( x + 5) ( x — 2) ( x + 5) ( x — 6)
x = −5 или 2. x = −5 или 6.
e) 2 x ² + 7 x + 3 е) 3 x ² + x — 2
(2 x + 1) ( x + 3) (3 x -2) ( x + 1)
x = — 1
2
или −3. х = 2
3
или -1.
г) x ² + 12 x + 36 ч) x ² — 2 x + 1
( x + 6) ² ( x — 1) ²
х = −6, −6. x = 1, 1.
Двойной корень. Двойной корень.

Пример 2. c = 0. Решите это квадратное уравнение:

ax ² + bx = 0

Раствор . Поскольку нет постоянного члена: c = 0, x является общим множителем:

x ( a x + b) = 0.
Это означает:
x = 0
или
x = b
a
.

Это два корня.

Задача 4. Найдите корни каждой квадратичной.

а) x ² — 5 x б) x ² + x
x ( x — 5) x ( x + 1)
x = 0 или 5. x = 0 или -1.
в) 3 x ² + 4 x г) 2 x ² — x
x (3 x + 4) x (2 x — 1)
x = 0 или — 4
3
x = 0 или ½

Пример 3. b = 0. Решите это квадратное уравнение:

ax ² — c = 0.

Раствор . В случае отсутствия среднего срока можно написать:

ax ² = с .
Это означает:
x ² = c
a
x = , согласно Уроку 26.

Однако, если форма разница двух квадратов —

x ² — 16

— тогда мы можем разложить на множители:

( x + 4) ( x −4).

Корни равны ± 4.

Фактически, если квадратичный равен

x ² — c ,

, то мы можем разложить его на множители:

( х +) ( х -),

так, чтобы корни были ±.

Задача 5. Найдите корни каждой квадратичной.

а) x ² — 3 б) x ² — 25 в) x ² — 10
x ² = 3 ( x + 5) ( x -5) ( x +) ( x -)
x = ±. х = ± 5. x = ±.

Пример 4. Решите это квадратное уравнение:

x ² = x + 20.
Раствор . Сначала перепишите уравнение в стандартной форме, переставив все члены влево:
x ² — x — 20 = 0
( x + 4) ( x -5) = 0
x = −4 или 5.

Итак, уравнение решается, когда x выделено слева.

x = ± не является решением.

Задача 6. Решите каждое уравнение относительно x .

а) x ² = 5 x — 6 б) x ² + 12 = 8 x
x ² — 5 x + 6 = 0 x ² — 8 x + 12 = 0
( x — 2) ( x — 3) = 0 ( x — 2) ( x — 6) = 0
x = 2 или 3. x = 2 или 6.
c) 3 x ² + x = 10 г) 2 x ² = x
3 x ² + x — 10 = 0 2 x ² — x = 0
(3 x -5) ( x + 2) = 0 x (2 x — 1) = 0
x = 5/3 или — 2. x = 0 или 1/2.

Пример 5. Решите это уравнение

3– 5
2
x — 3 x ² = 0

Раствор . Мы можем придать этому уравнению стандартную форму, поменяв все знаки с обеих сторон.0 не изменится. Имеем стандартную форму:

3 x ² + 5
2
x — 3 = 0

Затем мы можем избавиться от дроби, умножив обе части на 2. Опять же, 0 не изменится.

6 x ² + 5 x — 6 = 0
(3 x — 2) (2 x + 3) = 0.
Корни 2
3
или — 3
2
.

Задача 7. Решите для x .

а) 3– 11
2
x — 5 x ² = 0 б) 4 + 11
3
x — 5 x ² = 0
5 x ² + 11
2
x — 3 = 0 5 x ² — 11
3
x — 4 = 0
10 x ² + 11 x — 6 = 0 15 x ² — 11 x — 12 = 0
(5 x — 2) (2 x + 3) = 0 (3 x -4) (5 x + 3) = 0
Корни 2
5
или — 3
2
. Корни 4
3
или — 3
5
.
в) x ² — x + 20 = 0 г) x ² + 3 x + 18 = 0
x ² + x — 20 = 0 x ² — 3 x — 18 = 0
( x + 5) ( x -4) = 0. ( x — 6) ( x + 3) = 0.
x = −5 или 4. x = 6 или −3.

Участок 2: Завершение квадрата

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

1. Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

Общая форма квадратного уравнения —

ax 2 + bx + c = 0

, где x — переменная, а a , b и c — константы.

Примеры квадратных уравнений

(а) 5 x 2 — 3 x — 1 = 0 является
квадратное уравнение в квадратичной форме где

`a = 5`,` b = -3`, `c = -1`

(б) 5 + 3 т — 4.9 t 2 = 0 — это
квадратное уравнение в квадратичной форме.

Здесь `a = -4.9`,` b = 3`, `c = 5`

[Это уравнение возникло из определения времени, когда снаряд под действием силы тяжести попадает в
земля.]

(c) ( x + 1) 2 = 4 — квадратичный
уравнение, но не в квадратичной форме.

Его необходимо расширить и упростить до:

x 2 + 2 x — 3 = 0

Резюме

В общем, квадратное уравнение:

  • должен содержать термин x 2
  • НЕ должен содержать термины со степенью выше x 2 например. x 3 , x 4 и т. Д.

Примеры неквадратичных уравнений

  • bx — 6 = 0 НЕ является квадратным уравнением, потому что нет члена x 2 .
  • x 3 x 2 -5 = 0 НЕ является квадратным уравнением, потому что существует член x 3 (не допускается в квадратных уравнениях).

Решения квадратичной
Уравнение

Решение уравнения состоит из всех чисел (корней), которые делают уравнение истинным .

Все квадратные уравнения имеют 2 решения (т. Е. 2 ​​корня). Их может быть:

  • настоящие и отличные
  • настоящие и равные
  • мнимая (сложная)

Пример 1

Квадратное уравнение x 2 -7 x + 10 = 0 имеет корни из

`x = 2` и` x = 5`. (Ниже мы покажем, как найти эти корни.)

Это можно увидеть, подставив в уравнение:

Когда x = 2,

x 2 -7 x + 10

= (2) 2 -7 (2) + 10

= 4–14 + 10

= 0

(аналогично можно отобразить для x = 5).В этом примере корнями являются действительных и различных .

Пример 2

Квадратное уравнение x 2 -6 x + 9 = 0 имеет двойных корней из x = 3 (оба корня одинаковые)

Это можно увидеть, подставив x = 3 в
уравнение:

x 2 — 6 x + 9

= (3) 2 -6 (3) + 9

= 9–18 + 9

= 0

Пример 3

Квадратное уравнение

x 2 + 9 = 0

имеет мнимых корней из

`x = sqrt (-9)` или `-sqrt (-9)`

Узнайте больше о мнимых числах.

Решение квадратного уравнения с учетом множителей

Пока мы будем иметь дело только с квадратными уравнениями, которые можно факторизовать (факторизовать).

Если вам нужно напоминание о том, как учитывать фактор, вернитесь в раздел:

Факторинг трехчленов.

Используя тот факт, что продукт равен нулю, если какой-либо из его факторов равен нулю, мы выполняем следующие шаги:

(i) Переместите все термины влево и упростите, оставив ноль на
правая сторона.

(ii) Факторизуйте квадратичное выражение

(iii) Установить каждый коэффициент равным нулю

(iv) Решите полученные линейные уравнения

(v) Проверьте решения в исходном уравнении

Пример 4

Решить x 2 -2 x -15 = 0

Ответ

x 2 -2 x -15 = 0

Факторинг дает:

( x — 5) ( x + 3) = 0

Теперь, если любое из членов ( x — 5) или ( x + 3) равно 0, произведение равно нулю.Итак, делаем вывод:

( x — 5) = 0, следовательно,

х = 5

или

( x + 3) = 0, следовательно,

х = — 3

Следовательно, корни равны x = 5 и x = — 3.

Мы правы?

Мы проверяем корни в исходном уравнении с помощью
подмена.

Когда x = 5:

x 2 -2 x -15

= (5) 2 -10-15

= 25–10–15

= 0

(Аналогично, когда мы подставляем `x = -3`, мы также получаем` 0`.2 = 16`

`u = + -4`

Шаг 5: Подставьте любое значение (мы будем использовать `+ 4`) в выражения скобок` u`, получив те же корни квадратного уравнения, которые мы нашли выше:

`x = (1-u) = 1-4 = -3,` или

`х = (1 + u) = 1 + 4 = 5`

Подробнее об этом подходе см . 2 + 6x + 1 = 0`

Ответ

9 x 2 + 6 x + 1 = 0

Факторинг дает:

(3 x + 1) (3 x + 1) = 0

Итак, делаем вывод:

(3 x + 1) = 0,

следовательно

`x = -1 / 3`

Мы говорим, что существует двойной корень из `x = -1 / 3`.2 = 0`

`u = 0`

Шаг 5: Подставьте `u = 0` в выражения скобок` u`, получив тот же (повторяющийся) корень квадратного уравнения, который мы нашли выше:

`x = -1 / 3-0 = -1 / 3,` или `x = -1 / 3 + 0 = -1 / 3`

Пример 6 (с дробями)

Решить

`2-1 / x = 3 / (x + 2)`

Ответ

`2-1 / x = 3 / (x + 2)`

Умножьте всю длину на `x (x + 2)`, чтобы удалить знаменатели (нижние части) дробей:

`2x (x + 2) — (x (x + 2)) / x = (3 (x) (x + 2)) / (x + 2)`

Отмена дает:

`2x (x + 2) — (x + 2) = 3x`

Раскрытие скобок:

`2x ^ 2 + 4x-x-2 = 3x`

`2x ^ 2-2 = 0`

`x ^ 2-1 = 0`

Факторинг дает:

`(x + 1) (x-1) = 0`

Итак, `x = -1` или` x = 1`.

ПРОВЕРКА: Подстановка `x = -1` как в левую, так и в правую части вопроса дает:

«» LHS «= 2-1 / x = 2-1 / -1 = 3`

`« ПРАВЫЙ »= 3 / (x + 2) = 3 / (- 1 + 2) = 3 =« ЛЕВЫЙ »`

Аналогично, для `x = + 1`

LHS `= 2 — 1 = 1`

RHS `= 3/3 = 1 =` LHS

Упражнения

  1. Определите, являются ли следующие уравнения квадратными. Если так,
    определить a , b , и
    г.

а.2− 12x + 2 = 0`

Итак, да, это квадратное уравнение с

`a = 9`,` b = -12`, `c = 2`

  1. Решить для x 9000 9:

2 x 2 -7 x + 6 = 3

Ответ

2 x 2 -7 x + 6 = 3

2 x 2 -7 x + 3 = 0

(2 x — 1) ( x — 3) = 0

Так

`x = 1 / 2` или` x = 3`.2 = 49/16 — 24/16 = 25/16`

`u = + -5 / 4`

Шаг 5: Подставьте любое значение (мы будем использовать `+ 5 / 4`) в выражения скобок` u`, получив те же корни квадратного уравнения, которые мы нашли выше:

`x = 7 / 4-5 / 4 = 1/2,` или `x = 7/4 + 5/4 = 3`

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения. Корни также называются перехватами x или нулями.Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни. Мы уже видели, что завершение квадрата — полезный метод решения квадратных уравнений. Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений.Фактически, корни функции

f ( x ) = ax 2 + bx + c

даются по формуле корней квадратного уравнения. Корни функции — это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю. Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение:

ax 2 + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решая x и упрощая, получаем

Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась. Мы называем термин b 2 −4 ac дискриминантом .Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac <0 Настоящих корней нет.

2. b 2 −4 ac = 0 Существует один действительный корень.

3. b 2 −4 ac > 0 Есть два настоящих корня.

Рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Нет настоящих корней

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой. Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой

.

f ( x ) = x 2 — 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

b 2 −4 ac = (−3) 2 — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит выше оси x. Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Случай 2: Один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке.Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b 2 −4 ac = 0 в формуле корней квадратного уравнения, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы. Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, —

y = x 2 ,

, где действительный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:

f ( x ) = −4 x 2 + 12 x — 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b 2 −4 ac = (12) 2 — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x .Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

.

Случай 3: Два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехватывание). Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,

f ( x ) = 2 x 2 -11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b 2 — 4 ac = (−11) 2 — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,

.

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Квадратичная формула | Уравнение, как использовать и примеры

Определение квадратичной формулы

Квадратичная формула — это алгебраическая формула, используемая для решения квадратных уравнений.

Квадратичная формула — это веха на пути к полному пониманию алгебры. Чтобы понять его, оценить и правильно применить, вам нужно немного знать его предысторию, а затем оценить каждый термин в нем.

Содержание

  1. Определение квадратичной формулы
  • Что такое квадратичная формула?
  • Как использовать квадратичную формулу
  • Найдите X-Intercepts
  • Примеры квадратичных формул
  • Когда использовать квадратичную формулу
  • Многочлены (выражения с множеством членов) могут иметь линейные, квадратные и кубические значения. Путаница возникает, когда мы смотрим на слово «квадратичный», потому что оно подразумевает четыре из чего-то, например, четырехугольник.Но происхождение слова означает «сделать квадрат», так как длина умножена на ширину. В математике значение квадрата — это показатель степени второй степени. Эти показатели являются степенью 2:

    .

    Итак, квадратичный многочлен имеет в качестве наивысшего значения что-то второй степени; что-то в квадрате.

    Квадратное уравнение в стандартной форме

    Квадратичная формула используется для решения квадратных уравнений. Рассмотрим квадратное уравнение в стандартной форме:

    Вы также можете увидеть стандартную форму, называемую общим квадратным уравнением, или общую форму.

    Пока 0, вы сможете разложить квадратное уравнение на множители. Иногда, однако, это сбивает с толку или беспорядочно, или вы не можете это учитывать.

    Что такое квадратичная формула?

    Вы всегда можете найти решение любого квадратного уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения. Квадратичная формула:

    х = -b ± b2 — 4ac2a

    Эту формулу можно использовать для решения квадратных уравнений. Или, если ваше уравнение факторизовано, вы можете использовать квадратную формулу, чтобы проверить правильность ваших решений квадратного уравнения.

    Выражение b2 — 4ac, которое находится под (sqrt) внутри формулы корней квадратного уравнения, называется дискриминантом. Дискриминант используется, чтобы определить, сколько решений имеет квадратное уравнение.

    • , если b2 — 4ac = 0 → 1 решение
    • , если b2 — 4ac> 0 → 2 решения
    • , если b2 — 4ac <0 → нет реального решения

    Как использовать квадратичную формулу

    Начнем с простого квадратного уравнения:

    х2 + 5х + 6 = 0

    Для применения квадратичной формулы уравнение, которое вы распутываете, должно иметь форму, в которой все переменные помещаются с одной стороны от знака равенства, а с другой — 0:

    (квадратичный) = 0

    Шаги решения квадратных уравнений

    Наше квадратное уравнение будет множителем, так что это отличное место для начала.Сначала мы разложим уравнение на множители. Мы ищем два числа, которые умножаются на 6 и прибавляются к 5:

    х2 + 5х + 6 = 0

    (х + 2) (х + 3) = 0

    Мы видим, что любое выражение равно 0 (так как умножение его на другое выражение дает 0). Мы можем установить каждое выражение равным 0, а затем решить относительно x:

    (х + 2) = 0

    х = -2

    (х + 3) = 0

    х = -3

    Наши два значения x — -2 и -3.

    Сравнивая наш пример, x2 + 5x + 6 = 0, со стандартной формой квадратного уравнения (которое также можно назвать просто «квадратичным»), мы получаем следующие значения:

    Теперь мы можем использовать их в квадратичной формуле и проверить, поскольку мы уже знаем, что наши ответы — -2 и -3:

    Всегда надежная Квадратичная формула подтверждает значения x как -2 и -3.

    Найдите X-Intercepts

    В уравнении типа ax2 + bx + c = y установите y = 0 и определите уравнение. Возможные значения x будут отрезками x; где линия пересекает ось абсцисс.

    Подумайте, сколько мы знаем о нашем решении графа еще до того, как выполним какие-либо алгебраические вычисления:

    • Поскольку уравнение дает два решения для x, у нас есть два пересечения с x
    • У нас будет парабола
    • Мы можем начать построение параболы с двух упорядоченных пар, (x1, 0) и (x2, 0)
    • Вершина параболы будет между двумя точками пересечения по оси x

    Решая алгебраическое уравнение, вы начинаете рисовать его в виде графика.

    Графические калькуляторы, вероятно, , а не , будут равны точности квадратичной формулы. Используйте калькулятор, чтобы проверить округленные результаты, но ожидайте, что они будут немного отличаться.

    Например, предположим, что у вас есть ответ из квадратичной формулы. Для большей точности оставьте как есть, а не записывайте его как десятичный эквивалент (3,16227766).

    Примеры квадратичных формул

    При решении квадратичных уравнений вы помогаете себе, зная несколько способов решить любое уравнение.Начните решать квадратичную функцию с того, чтобы посмотреть, будет ли она множительна (какие два множителя умножаются, чтобы получить c, а сумма также дает b?).

    Вы также можете попробовать заполнить квадрат. Вы все еще боретесь? Затем примените квадратичную формулу.

    Используйте любой из этих методов и построение графиков, чтобы проверить ответ, полученный с помощью любого другого метода. Используйте квадратичную формулу, например, для проверки факторинга.

    Давайте попробуем другой пример, используя следующее уравнение:

    2×2 — 5x — 7 = 0

    Сначала мы можем разложить на множители:

    (2x — 7) (x + 1) = 0

    2x — 7 = 0

    х = 72 = 3.5

    х + 1 = 0

    х = -1

    Затем мы можем проверить это с помощью квадратичной формулы, используя эти значения:

    • а = 2
    • б = -5
    • с = -7

    Если вы затем построите эту квадратичную функцию на графическом калькуляторе, ваша парабола будет иметь вершину (1,25, -10,125) с пересечениями по оси x равными -1 и 3,5.

    Вот квадратичный коэффициент, который будет равен , а не коэффициенту: x2 — 7x — 3 = 0

    Никакие множители -3 не добавляют к -7, поэтому вы не можете использовать факторинг.Что делать? Если бы все, что вы знали, было факторингом, вы бы застряли. Но вы знаете, что нужно попробовать квадратичную формулу со следующими значениями:

    • а = 1
    • б = -7
    • с = -3

    Когда использовать квадратичную формулу

    Квадратные уравнения фактически используются каждый день. Их можно использовать для расчета площадей, определения скорости движения объекта и даже для определения прибыли от продукта. Важно, чтобы вы знали, как находить решения квадратных уравнений, используя квадратную формулу.

    При использовании квадратичной формулы вы должны быть внимательны к мельчайшим деталям. Например, размещение всего числителя над 2a означает , а не . Все, от -b до квадратного корня, больше 2а.

    Als, обратите внимание на знак ± перед квадратным корнем, который напоминает вам найти два значений для x.

    Это надоедливое b в самом начале тоже сложно, поскольку квадратичная формула заставляет вас использовать -b.Старайтесь думать о -b не как о «отрицательном b», а как о , противоположном любого значения «b». Предположим, ваш b положительный; противоположное отрицательно. Что делать, если ваш исходный b уже отрицательный? Подумайте: негатив негативного есть позитив; так -b положительно!

    Под скобкой квадратного корня вы также должны работать осторожно. Иногда перед b2 стоит отрицательный знак, что означает, что вы возводите все b в квадрат, даже если оно отрицательное. Квадрат отрицательного значения является положительным, поэтому значение b2 всегда будет положительным.

    Дело: работаю очень аккуратно. Следите за своими знаками, работайте методично и ничего не пропускайте.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.