При возведении степени в степень степени перемножаются: § Свойства степени. Свойства степени с натуральным показателем

Содержание

Умножение степеней, деление, таблица

Что такое степень числа

Алгебра дает нам такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

  • an — степень, где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3). Неважно в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук и ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

an · am = am+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

 

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(an)m = an· m 

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Умножение чисел с одинаковыми степенями

Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

an · bn = (a · b)n , где

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

  • a5 · b5 = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)5
  • 35 · 45 = (3·4)5 = 125 = 248 832
  • 16a2 = 42·a2 = (4a)2

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:

am · an= am+n, где

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа

  • 35 · 32 = 35+3 = 38 = 6561
  • 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048 

Умножение чисел с разными степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:

an · bn = (a · b)n

Если же разные и степени, и основания и одно из оснований не преобразуется в число с той же степенью, как у другого числа (как здесь: 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Деление чисел с одинаковыми степенями

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

an : bn = (a : b)n, где 

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Деление чисел со степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:



Если же разные и степени, и основания, то возводим в степень каждое число и только потом умножаем:

Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься ей с удовольствием уже завтра.

Свойства степени с натуральным показателем. Примеры с решениями

Возведение произведения в степень

Выражение  (ab)n  является степенью произведения множителей  a  и  b.  Это выражение можно представить в виде произведения степеней  anbn.  Докажем это на примере.

По определению степени:

Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:

Группируем отдельно множители  a  и множители  b  и получаем:

Воспользовавшись определением степени, находим:

Следовательно, формула возведения произведения в степень будет выглядеть так:

(ab)n = anbn.

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:

(3a2b)2 = 9a4b2.

Отсюда следует правило:

Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Возведение частного в степень

Для возведения в степень частного надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:

Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:

Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:

Возведение степени в степень

Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.

Например, нам нужно возвести  72  в третью степень:

(72)3.

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:

(72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76.

Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Общая формула возведения степени в степень:

(ax)y = axy.

Примеры на свойства степеней

Пример 1. Выполните действия:

а) (x5)3;

б) 2(n3)5;

в) -4(a4)2.

Решение:

а) (x5)3 = x5 · 3 = x15;

б) 2(n3)5 = 2n3 · 5 = 2n15;

в) -4(a4)2 = -4a4 · 2 = -4a8.

Пример 2. Возведите в степень:

а) (-2mn)4;

б) (3bc)3;

в) (-6a4b)2.

Решение:

а) (-2mn)4 = (-2)4 · m4 · n4 = 16m4n4;

б) (3bc)3 = 33 · b3 · c3 = 27b3c3;

в) (-6a4b)2 = (-6)2 · (a4)2 · b2 = 36 · a8 · b2 = 36a8b2.

Пример 3. Возведите дробь в степень:

Решение:

а) ( 2a )2 (2a)2  =  4a2  ;
5 52 25

б) (- xy )5 = — (xy)5  = — x5y5  ;
z z5 z5

в) ( a2b )3 =  (a2b)3  =  (a2)3 · b3  =  a6b3  .
2c3 (2c3)3 23 · (c3)3 8c9

Персональный сайт — Свойства степени

Степень с натуральным показателем.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

an

В выражении an :

—  число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

—  число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

Например:
25 = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2   – основание степени,
5   – показатель степени,
32 – значение степени

Отметим, что основание степени может быть любым числом.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108

Каждое число больше 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 ≤ a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Например:  4578 = 4,578 · 103 ;

103000 = 1,03 · 105.

Свойства степени с натуральным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

a m · a n = a m + n

например:  71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 =  70.8

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

a m / a n = a m — n ,

где,  m > n,
a ≠ 0

например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

(a m ) n = a m ·  n

например: (23)2 = 2 3·2 = 26

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

(a · b)n = an·bm,

например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

(a / b)n = an / bn

например: (2 / 5)3=(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 23/53

 

 

Степенью числа а > 0 с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное (n > 1), называется число 

Итак:
                                        

Например:

Степень числа 0 определена только для положительных показателей;

по определению 0r = 0  , для любого r > 0

Замечания

  1. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого положительного а и любого рационального r число ar положительно.
  2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k. Значение аr также не зависит от формы записи рационального числа r.
  3. При а < 0 рациональная степень числа а не определяется.

Для степеней с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (при условии, что основание степени будет положительным).

 

 

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-либо образом определить операцию возведения в иррациональную степень, а, следовательно, определить смысл выражения ax и для любого действительного числа x? Оказывается, что для положительных чисел a можно придать смысл записи aα , где α — иррациональное число. Для этого нужно рассмотреть три случая: a = 1, a > 1, 0 < a < 1.

  1. Если a = 1, то по определению полагают, что 1α = 1.
  2. Если a > 1, то выберем любое рациональное число r1 < α и любое рациональное число r2 > α. Тогда, очевидно, r1 < r2 и, следовательно:

    Но и потому (так как a > 1) и, наконец,

    Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого a > 1 и любого иррационального α.

  3. Если 0 < a < 1, то выберем любое рациональное число и любое рациональное число Тогда, очевидно, и, следовательно, (это неравенство доказывается аналогично приведённому выше для a > 1). Под понимают такое число, которое лежит между и при любом выборе чисел и обладающих свойством Можно доказать, что число существует и единственно для любого 0 < a < 1 и любого иррационального α.

Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.

что такое в алгебре, её свойства, действия с примерами

Степень с натуральным показателем — что такое в алгебре

Степень в алгебре состоит из двух компонентов: основания и показателя. Основание степени — любое число. Показатель — число, которое показывает, сколько раз нужно умножить основание само на себя.

В математике — это степень, показатель которой является натуральным числом.

Вспомним, что натуральными называют все целые числа больше нуля. Так, числа 1; 365; 1890 будут натуральными, а числа 0; –9; 8,7 — нет.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Степень с натуральным показателем имеет вид выражения an, где a — основание, а n — любое натуральное число.5=243.\)

Произведение степеней с разными основаниями. Умножение и деление чисел со степенями. Степень с иррациональным показателем

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней

с натуральными показателями и нулём.
Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках
для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют
упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений,
а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n
, где
«a
» — любое
число, а «m
», «n
» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.

    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 =
    b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.

    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 =
    6 17
  • Представить в виде степени.

    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении
степеней с одинаковыми основаниями

. Оно не относится к их сложению.

Нельзя
заменять сумму
(3 3 + 3 2)
на 3 5
. Это понятно, если
посчитать
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36
, а
3 5 = 243

Свойство № 2

Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений,
а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

=
11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

  • Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.

    3 8: t = 3 4

    T = 3 8 − 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

  • Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    • Пример. Упростить выражение.

      4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 =
      4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 =
      4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
    • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
      =
      =
      =
      =
      =
      2 11 − 5 = 2 6 = 64

      Важно!

      Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только
      о делении степеней с одинаковыми основаниями.

      Нельзя
      заменять разность
      (4 3 −4 2)
      на 4 1
      . Это понятно, если посчитать
      (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48
      , а
      4 1 = 4

      Будьте внимательны!

      Свойство № 3

      Возведение степени в степень

      Запомните!

      При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней
      перемножаются.

      (a n) m = a n · m
      , где
      «a
      » — любое
      число, а «m
      », «n
      » — любые натуральные числа.

      Свойства 4

      Степень произведения

      Запомните!

      При возведении в степень произведения каждый из множителей
      возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

      (a · b) n = a n · b n
      , где
      «a
      », «b
      » — любые рациональные
      числа; «n
      » — любое натуральное число.

      • Пример 1.
        (6 · a 2 · b 3 · c) 2 =
        6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2
        · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6
        · с 2
      • Пример 2.
        (−x 2 · y) 6 =
        ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) =
        x 12 · y 6

      Важно!

      Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней,
      применяют и в обратном порядке.

      (a n · b n)=
      (a · b) n

      То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми
      показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

      • Пример. Вычислить.
        2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 =
        10 4 = 10 000
      • Пример. Вычислить.
        0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 =
        1

      В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление
      надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями.
      В этом случае советуем поступать следующим образом.

      Например,
      4 5 · 3 2 = 4 3 ·
      4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 =
      64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

      Пример возведения в степень десятичной дроби.

      4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 ·
      (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 =
      4 · 1 = 4

      Свойства 5

      Степень частного (дроби)

      Запомните!

      Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель,
      и первый результат разделить на второй.

      (a: b) n = a n: b n
      , где
      «a
      », «b
      » — любые рациональные
      числа, b ≠ 0, n
      — любое натуральное число.

      • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.

        (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

      Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому
      на теме
      возведение дроби в степень
      мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. 3+3+3+…+3 = 300. Из-за громоздкости было придумано сократить запись до 3 * 100 = 300. Фактически, запись «три умножить на сто» означает, что нужно взять сто троек и сложить между собой. Умножение прижилось, обрело общую популярность. Но мир не стоит на месте, и в средних веках возникла необходимость проводить многократное однотипное умножение.3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.

    Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени — достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

    Свойства степени

    Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

    1-е свойство.

    Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

    2-е свойство.

    3-е свойство.

    Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

    4-е свойство.

    Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

    Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

    5-е свойство.

    6-е свойство.

    Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

    7-е свойство.

    Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

    8-е свойство.

    9-е свойство.

    Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

    Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

    10-е свойство.

    Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

    11-е свойство.

    Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

    12-е свойство.

    Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

    Применение степеней и их свойств

    Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

    Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

    Формулы сокращенного умножения — еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

    Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

    Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

    Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

    С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

    Показательные уравнения и неравенства

    Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками
    .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных
    могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных
    и различные степени
    одинаковых переменных
    , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание
    степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:

    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:

    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме
    степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:

    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные
    .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат
    , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой
    степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

    Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
    любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице
    показателей делимых чисел.

    При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.
    .

    Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.

    И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней
    с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1

    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями
      . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2

      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3

    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Как умножать степени

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

    Умножение степеней с одинаковыми основаниями

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства
    . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

    Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

    Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

    1. Основные определения

    Основные определения:

    n
    — показатель степени,

    n
    -ая степень числа.

    2. Формулировка теоремы 1

    Теорема 1.
    Для любого числа а
    и любых натуральных n
    и k
    справедливо равенство:

    По-иному: если а
    – любое число; n
    и k
    натуральные числа, то:

    Отсюда правило 1:

    3. Разъясняющие задачи

    Вывод:
    частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а
    и любых натуральных n
    и k.

    4. Доказательство теоремы 1

    Дано число а
    – любое; числа n
    и k –
    натуральные. Доказать:

    Доказательство основано на определении степени.

    5. Решение примеров с помощью теоремы 1

    Пример 1:
    Представьте в виде степени.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

    ж)

    6. Обобщение теоремы 1

    Здесь использовано обобщение:

    7. Решение примеров с помощью обобщения теоремы 1

    8. Решение различных задач с помощью теоремы 1

    Пример 2:
    Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

    а) (по таблице)

    б)

    Пример 3:
    Запишите в виде степени с основанием 2.

    а)

    Пример 4:
    Определите знак числа:

    , а –
    отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

    Пример 5:
    Замените (·) степенью числа с основанием r:

    Имеем , то есть .

    9. Подведение итогов

    1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

    1. Школьный помощник (Источник).

    1. Представьте в виде степени:

    а) б) в) г) д)

    3. Запишите в виде степени с основанием 2:

    4. Определите знак числа:

    а)

    5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

    а) r 4 · (·) = r 15 ; б) (·) · r 5 = r 6

    Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

    Напоминание основных определений и теорем

    Здесь a
    — основание степени,

    n
    -ая степень числа.

    Теорема 1.
    Для любого числа а
    и любых натуральных n
    иk
    справедливо равенство:

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

    Теорема 2.
    Для любого числа а
    и любых натуральных n
    и k,
    таких, что n
    > k
    справедливо равенство:

    При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

    Теорема 3.
    Для любого числа а
    и любых натуральных n
    иk
    справедливо равенство:

    Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями
    , на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями
    .

    Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

    Рассмотрим следующие примеры:

    Распишем выражения по определению степени.

    Вывод:
    из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а
    и b
    и любого натурального n.

    Формулировка и доказательство теоремы 4

    Для любых чисел а
    и b
    и любого натурального n
    справедливо равенство:

    Доказательство
    теоремы 4.

    По определению степени:

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    Формулировка и доказательство теоремы 5

    Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

    Для любого числа а
    и b ()
    и любого натурального n
    справедливо равенство:

    Доказательство
    теоремы 5.

    Распишем и по определению степени:

    Формулировка теорем словами

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

    Решение типичных задач с помощью теоремы 4

    Пример 1:
    Представить в виде произведения степеней.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

    Для решения следующего примера вспомним формулы:

    Обобщение теоремы 4

    Обобщение теоремы 4:

    Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

    Продолжение решения типичных задач

    Пример 2:
    Запишите в виде степени произведения.

    Пример 3:
    Запишите в виде степени с показателем 2.

    Примеры на вычисление

    Пример 4:
    Вычислить самым рациональным способом.

    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

    3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

    2. Школьный помощник (Источник).

    1. Представить в виде произведения степеней:

    а) ; б) ; в) ; г) ;

    2. Запишите в виде степени произведения:

    3. Запишите в виде степени с показателем 2:

    4. Вычислить самым рациональным способом.

    Урок математики по теме «Умножение и деление степеней»

    Разделы:
    Математика

    Педагогическая цель
    :

  • ученик научится
    различать свойства умножения и деления степеней с натуральным показателем; применять эти свойства в случае с одинаковыми основаниями;
  • ученик получит возможность
    уметь выполнять преобразования степеней с разными основаниями и уметь выполнять преобразования в комбинированных заданиях.
  • Задачи
    :

  • организовать работу учащихся посредством повторения ранее изученного материала;
  • обеспечить уровень воспроизведения посредством выполнения упражнений различного типа;
  • организовать проверку по самооценке учащихся посредством тестирования.
  • Деятельностные единицы учения:
    определение степени с натуральным показателем; компоненты степени; определение частного; сочетательный закон умножения.

    I. Организация демонстрации овладение учащимися имеющимися знаниями. (шаг 1)

    а) Актуализация знаний:

    2) Сформулировать определение степени с натуральным показателем.

    a n =a a a a … а (n раз)

    b k =b b b b a… b (k раз) Обосновать ответ.

    II. Организация самооценивания обучаемого степенью владения актуальным опытом.
    (шаг 2)

    Тест для самопроверки: (индивидуальная работа в двух вариантах.)

    А1) Представьте произведение 7 7 7 7 x x x в виде степени:

    А2) Представить в виде произведения степень (-3) 3 х 2

    A3) Вычислите: -2 3 2 + 4 5 3

    Количество заданий в тесте я подбираю в соответствии с подготовкой уровня класса.

    К тесту даю ключ для самопроверки. Критерии: зачёт – не зачёт.

    III. Учебно-практическая задача (шаг 3) + шаг 4. (сформулируют свойства сами ученики)

  • вычислите: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?
  • Упростите: а 2 а 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?
  • В ходе решения задачи 1) и 2) учащиеся предлагают решение, а я, как учитель, организую класс на нахождение способа для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    Учитель: придумать способ для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    На кластере появляется запись:

    Формулируется тема урока. Умножение степеней.

    Учитель: придумайте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

    Рассуждения: каким действием проверяется деление? а 5: а 3 = ? что а 2 а 3 = а 5

    Возвращаюсь к схеме – кластер и дополняем запись – ..при делении вычитаем и дописываем тему урока. …и деление степеней.

    IV. Сообщение учащимся пределов познания (как минимум и как максимум).

    Учитель: задачей минимума на сегодняшний урок является научиться применять свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями, а максимума: применять умножение и деление совместно.

    На доске записываем: а m а n = а m+n ; а m: а n = а m-n

    V. Организация изучения нового материала. (шаг 5)

    а) По учебнику: №403 (а, в, д) задания с разными формулировками

    №404 (а, д, е) самостоятельная работа, затем организую взаимопроверку, даю ключи.

    б) При каком значении m справедливо равенство? а 16 а m = а 32 ; х h х 14 = х 28 ; х 8 (*) = х 14

    Задание: придумать аналогичные примеры для деления.

    в) № 417(а), №418 (а) Ловушки для учеников
    : х 3 х n = х 3n ; 3 4 3 2 = 9 6 ; а 16: а 8 = а 2 .

    VI. Обобщение изученного, проведение диагностической работы (что побуждает учеников, а не учителя изучать данную тему)(шаг 6)

    Диагностическая работа.

    Тест
    (ключи поместить на обратной стороне теста).

    Варианты заданий: представьте в виде степени частное х 15: х 3 ; представьте в виде степени произведение (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; при каком m справедливо равенство а 16 а m = а 32 ; найдите значение выражения h 0: h 2 при h =0,2; вычислите значение выражения (5 2 5 0) : 5 2 .

    Итог урока. Рефлексия.
    Делю класс на две группы.

    Найдите аргументы I группа: в пользу знания свойств степени, а II группа – аргументы, которые будут говорить о том, что можно обойтись без свойств. Все ответы выслушиваем, делаем выводы. На последующих уроках можно предложить статистические данные и назвать рубрику «В голове не укладывается!»

  • Средний человек съедает 32 10 2 кг огурцов в течение жизни.
  • Оса способна совершить беспосадочный перелёт на 3,2 10 2 км.
  • Когда стекло трескается, трещина распространяется со скоростью около 5 10 3 км/ч.
  • Лягушка съедает за свою жизнь более 3 тонн комаров. Используя степень, запишите в кг.
  • Наиболее плодовитой считается океанская рыба – луна (Моlа mola), которая откладывает за один нерест до 300000000 икринок диаметром около 1,3 мм. Запишите это число, используя степень.
  • VII. Домашнее задание.

    Историческая справка. Какие числа называют числами Ферма.

    П.19. №403, №408, №417

    Используемая литература:

  • Учебник «Алгебра-7», авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.
  • Дидактический материал для 7 класса, Л.В. Кузнецова, Л.И. Звавич, С.Б. Суворова.
  • Энциклопедия по математике.
  • Журнал «Квант».
  • Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

    После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени
    . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

    Навигация по странице.

    Свойства степеней с натуральными показателями

    По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел
    , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем
    :

  • основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;
  • свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
  • свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;
  • свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
  • возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
  • сравнение степени с нулем:
    • если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
    • если a=0 , то a n =0 ;
    • если a 2·m >0 , если a 2·m−1 n ;
    • если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0m n , а при a>0 справедливо неравенство a m >a n .
    • Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными
      при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений
      часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

      Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

      Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени
      : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

      Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

      Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень, имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 — верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

      Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .

      Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями
      : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .

      Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n), либо отрицательным числом (что происходит при m m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из связи умножения с делением следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

      Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

      Теперь рассмотрим свойство степени произведения
      : натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

      Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

      Приведем пример: .

      Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

      Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

      Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени
      : частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n:b n .

      Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

      Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

      Теперь озвучим свойство возведения степени в степень
      : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m) n =a m·n .

      Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 .

      Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

      Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

      Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

      Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

      Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

      Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

      Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

      Переходим к отрицательным основаниям степени.

      Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m — натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

      Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 17 n n представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств aсвойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n n . Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3 7 7 и .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

      Докажем, что при m>n и 0m n . Для этого запишем разность a m −a n и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения a n за скобки примет вид a n ·(a m−n −1) . Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа a n и отрицательного числа a m−n −1 (a n положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a m−n −1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0m−n меньше единицы). Следовательно, a m −a n m n , что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

      Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

      Свойства степеней с целыми показателями

      Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

      Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

      Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями
      :

    • a m ·a n =a m+n ;
    • a m:a n =a m−n ;
    • (a·b) n =a n ·b n ;
    • (a:b) n =a n:b n ;
    • (a m) n =a m·n ;
    • если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем an n и a −n >b −n ;
    • если m и n – целые числа, причем m>n , то при 0m n , а при a>1 выполняется неравенство a m >a n .
    • При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

      Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

      Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .

      Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

      Аналогично .

      И .

      По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

      В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию an n , следовательно, b n −a n >0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

      Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

      Свойства степеней с рациональными показателями

      Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

    1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0 ;
    3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0 , а если и , то при a≥0 и (или) b≥0 ;
    4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0 , а если , то при a≥0 и b>0 ;
    5. свойство степени в степени при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
    7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
    8. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

      По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

      Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

      По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

      Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При m>0 и am m . Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a p p .

      Аналогично, при m m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m 1 >m 2 , что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0m 1 m 2 , а при a>1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

      Свойства степеней с иррациональными показателями

      Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями
      :

      1. a p ·a q =a p+q ;
      2. a p:a q =a p−q ;
      3. (a·b) p =a p ·b p ;
      4. (a:b) p =a p:b p ;
      5. (a p) q =a p·q ;
      6. для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
      7. для иррациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
      8. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

    • Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения
      Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»
      Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы […]
    • Открыт конкурс на позицию «ПРОДАВЕЦ — КОНСУЛЬТАНТ»:
      Обязанности: продажа мобильных телефонов и аксессуаров для мобильной связи сервисное обслуживание абонентов Билайн, Теле2, МТС подключение тарифных планов и услуг Билайн и Теле2, МТС консультирование […]
    • Параллелепипед формулы
      Параллелепипед – это многогранник с 6 гранями, каждая из которых является параллелограммом.
      Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, каждая грань которого является прямоугольником.
      Любой параллелепипед характеризуется 3 […]
    • Принять закон о Родовых поместьях
      Принять федеральный закон о безвозмездном выделении каждому желающему гражданину Российской Федерации или семье граждан участка земли для обустройства на нем Родового Поместья на следующих условиях: 1. Участок выделяется для […]
    • Общество защиты прав потребителя астана
      Для того, что бы получить pin-код для доступа к данному документу на нашем сайте, отправьте sms-сообщение с текстом zan на номер
      Абоненты GSM-операторов (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) отправив SMS на номер, […]
    • ИНСПЕКЦИЯ ГОСТЕХНАДЗОРА БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ
      Квитанция об оплате госпошлины(Скачать-12,2 kb)
      Заявления на регистрацию для физ.лиц(Скачать-12 kb)
      Заявления на регистрацию для юр.лиц(Скачать-11,4 kb)
      1. При регистрации новой машины:
      1.заявление 2.паспорт […]
    • ПРАВОПИСАНИЕ Н И НН В РАЗНЫХ ЧАСТЯХ РЕЧИ
      С.Г.ЗЕЛИНСКАЯ
      ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
      Теоретическая зарядка
      1. Когда в прилагательных пишется нн? 2. Назовите исключения из этих правил. 3. Как отличить отглагольное прилагательное с суффиксом -н- от причастия с […]
    • Пивоев В.М. Философия и методология науки: учебное пособие для магистров и аспирантов
      Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2013. ― 320 с.ISBN 978-5-821-1647-0
      PDF 3 mb
      Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, магистров и аспирантов социального и […]
  • Правило деления степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Примеры:

    Слайд 11 из презентации «Деление и умножение степеней»
    к урокам алгебры на тему «Степень»

    Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке алгебры, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Деление и умножение степеней.ppt» можно в zip-архиве размером 1313 КБ.

    «Деление и умножение степеней» — a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Найдем произведение a2 и a3. 100. 2+3. 5 раз. 64 = 144 = 1 0000 =. Умножение и деление степеней. 3 раза. a2 a3 =.

    «Степени двойки» — 1024+. Правила перевода из одной системы счисления в другую. Гусельникова Е.В. Школа №130. Содержание. Таблица степеней двойки. Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Кислых В.Н. 11Э Зинько К.О. 11Э. Преподаватель: Выполнили: Рассмотрим схему преобразования на примере.

    «Степень с отрицательным показателем» — Степень с отрицательным показателем. 5 12?3 (27?3). -2. -1. Вычислите: -3.

    «Степень с рациональным показателем» — по теме: «Степень с рациональным показателем». Цели урока: I. Организационная часть. Проверка домашнего задания 1.Математический диктант 2. Взаимопроверка III.Самостоятельная работа IV. Обобщающий урок. Ход урока. Подготовка к контрольной работе V. Подведение итогов урока VI. II.

    «Степень с целым показателем» — Представьте выражение в виде степени. X-12. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. Вычислите. Упростите.

    «Свойства степени» — Обобщение знаний и умений по применению свойств степени с натуральным показателем. Вычислительная пауза. Свойства степени с натуральным показателем. Проверь себя! Применение знаний для решения различных по сложности задач. Тест. Физминутка. Развитие настойчивости, мыслительной активности и творческой деятельности.

    Правило деление степеней

    1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

    (abc…) n = a n b n c n …

    Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

    Практически более важно обратное преобразование:

    a n b n c n … = (abc…) n

    т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

    Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

    2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

    Пример 5. Пример 6.

    Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

    3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

    Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

    4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

    Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

    5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

    Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

    Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками
    .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных
    могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных
    и различные степени
    одинаковых переменных
    , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание
    степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:

    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:

    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме
    степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:

    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные
    .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат
    , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой
    степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

    Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Алгебра – 7 класс.n$.



    mathematics-tests.com

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным
    ,

    нулевым и дробным
    показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m
    · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели
    вычитаются
    .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    (a / b
    ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² =
    2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями.

    Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень
    (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень
    подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


    Расширение понятия степени.

    До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным
    , нулевым
    и дробным
    показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем.

    Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m
    : a n
    = a m — n
    может быть использована не только при m
    , большем, чем n
    , но и при m
    , меньшем, чем n
    .

    П р и м е р. a
    4: a
    7 = a
    4 — 7 = a
    — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m
    : a n
    = a m
    n
    была справедлива при m = n
    , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем.

    Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы. 2 0 = 1, (
    5) 0 = 1, (
    3 / 5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем.

    Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

    О выражениях, не имеющих смысла.

    Есть несколько таких выражений.

    где a
    ≠ 0 , не существует.

    В самом деле, если предположить, что x
    – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a
    = 0· x
    , т.e. a
    = 0, что противоречит условию: a
    ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x
    , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x
    . Но это равенство имеет место при любом числе x
    , что и требовалось доказать.

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

    1) x
    = 0
    это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x
    > 0 получаем: x / x
    = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x
    – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x
    > 0 , ответом является x
    > 0 ;

    • Правила техники безопасности при работе утюгом
      Правила техники безопасности при работе утюгом. 1.Перед включением утюга в электросеть нужно проверить изоляцию шнура и положение утюга на подставке. 2.Включение и […]
    • Проблемы водного налога
      Состояние, анализ и проблемы совершенствования водного налога
      При заборе воды сверх установленных квартальных (годовых) лимитов водопользования налоговые ставки в части такого превышения […]
    • как составить приказ о переходе с 223фз на 44 фз
      Сергей Антонов 30 Ответ написан год назад
      Профессор 455 Ответ написан год назад
      Например: приказ об отмене применения положения о закупках.
      Оценка ответа: 0
      Добавить […]
    • Деление отрицательных чисел
      Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.
      Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « […]
    • Разрешения D1, 960Н, 720Р, 960Р, 1080Р
      Системы видеонаблюдения получают все большее распространение по всему миру. Оборудование постоянно совершенствуется, и данная сфера постоянно развивается. Как и в любой […]
    • Конституционное право Российской Федерации. Баглай М.В.
      6-е изд., изм. и доп. — М.: Норма, 200 7 . — 7 84 с.
      Настоящий учебник, представляющий собой шестое, измененное и дополненное, издание, написан известным […]

    Свойства степеней — Степень числа

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

    am · an = am + n

    например:  71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 =  70.8

    2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

    am / an = am — n ,

    где,  m > n,

    a не равно 0

    например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6

    3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

    (am )n = a m ·  n

      например: (23)2 = 2 3·2 = 26

      4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

        (a · b)n = an · b m ,

        например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,

        5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

        (a / b)n = an / bn

        например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53

        формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

        Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.

        Свойства степени с натуральным показателем

        Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n-ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

        Определение 1

        1. Главное свойство степени: am·an=am+n

        Можно обобщить до: an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

        2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: am:an=am−n 

        3. Свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn

        Равенство можно расширить до: (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn 

        4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)n=an:bn 

        5. Возводим степень в степень: (am)n=am·n,

        Можно обобщить до:(((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk

        6. Сравниваем степень с нулем:

        • если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля;
        • при a, равном 0, an также будет равна нулю;
        • при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2·m, a2·m будет больше нуля;
        • при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2·m−1, a2·m−1 будет меньше нуля.

        7. Равенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

        8. Неравенство am>an будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.

        В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: am·an=am+n — то же самое, что и am+n=am·an. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

        Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

        1. Начнем с основного свойства степени: равенство am·an=am+n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a. Как доказать это утверждение?

        Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

        Это можно сократить до  (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m+n. Таким образом, am+n, значит, основное свойство степени доказано.

        Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

        Пример 1

        Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели — 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 22·23=22+3=25 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

        Выполним необходимые математические действия: 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32

        В итоге у нас вышло: 22·23=25. Свойство доказано.

        В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n1, n2 и др. буквой k, мы получим верное равенство:

        an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

        Пример 2

        Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7=(2,1)3+3+4+7=(2,1)17.

        2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство am:an=am−n, которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n) ) и любом отличном от нуля действительном a.

        Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0n=0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

        Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

        am−n·an=a(m−n)+n=am

        Из него можно вывести: am−n·an=am

        Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что am−n– частное степеней am и an. Это и есть доказательство второго свойства степени.

        Пример 3

        Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π5:π2=π5−3=π3

        3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn при любых действительных a и b и натуральном n.

        Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

        Вспомнив свойства умножения, запишем: . Это значит то же самое, что и an·bn.

        Пример 4

        Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

        (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn

        Пример 5

        С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2·(-2,3)·a)7=27·(-2,3)7·a

        4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a:b)n=an:bn при любых действительных a и b, если b не равно 0, а n – натуральное число.

        Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an , а (a:b)n·bn=an, то из этого выходит, что (a:b)n есть частное от деления an на bn.

        Пример 6

        Подсчитаем пример: 312:-0.53=3123:(-0,5)3

        5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: (am)n=am·n для любого действительного a и любых натуральных n и m.

        Пример 7

        Начнем сразу с примера: (52)3=52·3=56

        А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства:

        Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p, q, r, s, то верно будет:

        apqys=ap·q·y·s

        Пример 8

        Добавим конкретики: (((5,2)3)2)5=(5,2)3·2·5=(5,2)30

        6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

        Для начала сравним степень с нулем. Почему an>0 при условии, что а больше 0?

        Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени an с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

        Пример 9

         35>0, (0,00201)2>0 и 3491351>0

        Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

        Пример 10

        Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2·m, где m – натуральное число.

        Тогда:

        Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a·a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда  и степень a2·m также положительны.

        Пример 11

        Например, (−6)4>0, (−2,2)12>0 и -296>0

        А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2·m−1.

        Тогда  

        Все произведения a·a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен.

        Тогда получим: (−5)3<0, (−0,003)17<0 и -111029<0

        7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

        Как это доказать?

        an<bn– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a<b. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и an<bn.

        Нужна помощь преподавателя?

        Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

        Описать задание

        Пример 12

        Например, верны неравенства: 37<(2,2)7 и 3511124>(0,75)124

        8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

        Докажем эти утверждения.

        Для начала нам нужно убедиться, что am<an при условии, что m больше, чем n, и а больше 0, но меньше 1.Теперь сравним с нулем разность am−an

        Вынесем an за скобки, после чего наша разность примет вид an·(am−n−1). Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m−n>0, тогда am−n−1–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

        У нас вышло, что am−an<0 и am<an. Свойство доказано.

        Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: am>a справедливо при m>n и a>1. Укажем разность и вынесем an за скобки: (am−n−1).Степень an при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a>1 степень am−n больше единицы. Выходит, am−an>0 и am>an, что нам и требовалось доказать.

        Пример 13

        Пример с конкретными числами: 37>32

        Основные свойства степеней с целыми показателями

        Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).

        Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:

        Определение 2

        1. am·an=am+n 

        2. am:an=am−n

        3. (a·b)n=an·bn

        4. (a:b)n=an:bn

        5. (am)n=am·n 

        6. an<bn и a−n>b−n при условии целого положительного n, положительных a и b, a<b 

        7. am<an, при условии целых m и n, m>n и 0<a<1, при a>1   am>an.

        Если основание степени равно нулю, то записи am и an имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n. В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.

        Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

        Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q)

        Условия: p=0 или натуральное число; q– аналогично.

        Если значения p и q больше 0, то у нас получится (ap)q=ap·q. Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p=0, то:

        (a0)q=1q=1 a0·q=a0=1

        Следовательно, (a0)q=a0·q

        Для q=0 все точно так же:

        (ap)0=1 ap·0=a0=1

        Итог: (ap)0=ap·0.

        Если же оба показателя нулевые, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, значит, (a0)0=a0·0.

        Далее разберем равенство (a−p)q=a(−p)·q. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем имеем a-p=1ap, значит, (a-p)q=1apq.

        Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:

        1apq=1qapq

        Если 1p=1·1·…·1=1 иapq=ap·q, то 1qapq=1ap·q

        Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a(−p)·q.

        Так же: ap-q=1(ap)q=1ap·q=a-(p·q)=ap·(-q).

        И (a-p)-q=1ap-q=(ap)q=ap·q=a(-p)·(-q)

        Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.

        Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a−n>b−n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b.

        Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

        1an>1bn

        Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:

        1an-1bn=bn-anan·bn

        Вспомним, что в условии a меньше b, тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: — an<bn, в итоге: bn−an>0.

        an·bn в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь bn-anan·bn, которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1an>1bn откуда a−n>b−n, что нам и нужно было доказать.

        Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.

        Основные свойства степеней с рациональными показателями

        В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:

        Определение 3

        1. am1n1·am2n2=am1n1+m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 ( свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).

        2.am1n1:bm2n2=am1n1-m2n2 , если a>0 (свойство частного).

        3. a·bmn=amn·bmn при a>0 и b>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 и (или) b≥0 (свойство произведения в дробной степени).

        4. a:bmn=amn:bmn при a>0 и b>0, а если mn>0, то при a≥0 и b>0 (свойство частного в дробной степени).

        5. am1n1m2n2=am1n1·m2n2 при a>0, а если m1n1>0 и m2n2>0, то при a≥0 (свойство степени в степени).

        6. ap<bp при условии любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0; если p<0 — ap>bp (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).

        7. ap<aq при условии рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1; если a>0 – ap>aq

        Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n-ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.

        Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:

        am1n1=am1n1 и am2n2=am2n2, следовательно, am1n1·am2n2=am1n1·am2n2

        Свойства корня позволят нам вывести равенства:

        am1·m2n1·n2·am2·m1n2·n1=am1·n2·am2·n1n1·n2

        Из этого получаем:  am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

        Преобразуем:

        am1·n2·am2·n1n1·n2=am1·n2+m2·n1n1·n2

        Показатель степени можно записать в виде:

        m1·n2+m2·n1n1·n2=m1·n2n1·n2+m2·n1n1·n2=m1n1+m2n2

        Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:

        am1n1: am2n2=am1n1: am2n2=am1·n2:am2·n1n1·n2==am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2-m2·n1n1·n2=am1·n2n1·n2-m2·n1n1·n2=am1n1-m2n2

        Доказательства остальных равенств:

        a·bmn=(a·b)mn=am·bmn=amn·bmn=amn·bmn;(a:b)mn=(a:b)mn=am:bmn==amn:bmn=amn:bmn;am1n1m2n2=am1n1m2n2=am1n1m2n2==am1m2n1n2=am1·m2n1n2==am1·m2n2·n1=am1·m2n2·n1=am1n1·m2n2

        Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0, если а меньше b, будет выполняться ap<bp, а для p больше 0 — ap>bp

        Представим рациональное число p как mn. При этом m–целое число, n–натуральное. Тогда условия p<0 и p>0 будут распространяться на m<0 и m>0. При m>0 и a<b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство am<bm.

        Используем свойство корней и выведем: amn<bmn

        Учитывая положительность значений a и b, перепишем неравенство как amn<bmn. Оно эквивалентно ap<bp.

        Таким же образом при m<0 имеем a am>bm, получаем amn>bmn значит, amn>bmn и ap>bp.

        Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 ap<aq, а при a>0 будет верно ap>aq.

        Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m1n и m2n

        Здесь m1 и m2 – целые числа, а n – натуральное. Если p>q, то m1>m2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0<a<1 будет верно am1<am2, а при a>1 – неравенство a1m>a2m.

        Их можно переписать в следующем виде:

        am1n<am2nam1n>am2n

        Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:

        am1n<am2nam1n>am2n

        Подводим итог: при p>q и 0<a<1 верно ap<aq, а при a>0– ap>aq.

        Основные свойства степеней с иррациональными показателями

        На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a>0, b>0, показатели p и q– иррациональные числа):

        Определение 4

        1. ap·aq=ap+q 

        2. ap:aq=ap−q 

        3. (a·b)p=ap·bp

        4. (a:b)p=ap:bp 

        5. (ap)q=ap·q

        6. ap<bp верно при любых положительных a и b, если a<b и p – иррациональное число больше 0; если p меньше 0, то ap>bp 

        7. ap<aq верно, если p и q– иррациональные числа, p<q, 0<a<1; если a>0, то ap>aq.

        Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a>0 обладают теми же свойствами.

        Обзор правил для экспонентов

        Обзор правил для экспонентов Ниже приведен список правил для экспонентов и пример или два использования каждого правила:

        Правило нулевой экспоненты: a 0 = 1, это говорит, что все, что возведено в нулевую степень, равно 1.
        Правило мощности (от степеней к степеням): ( m ) n = mn , это говорит о том, что для повышения мощности до степени вам необходимо умножить степень.Есть несколько других правил, которые соответствуют правилу мощности, например, правило произведения к степеням и правило отношения к степеням.
        Правило отрицательной экспоненты :, это говорит о том, что отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями. Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели.
        Правило произведения : a m ∙ a n = a m + n , это говорит о том, что для умножения двух степеней с одинаковым основанием вы сохраняете основание и складываете степени.
        Правило частных :, это говорит о том, что для деления двух показателей с одинаковым основанием вы сохраняете основание и вычитаете степени. Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень. Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени.

        Теперь, когда мы рассмотрели правила для экспонент, вот шаги, необходимые для упрощения экспоненциальных выражений (обратите внимание, что мы применяем правила в том же порядке, что и правило было написано выше):

        Шаг 1 : Примените правило нулевой экспоненты.Измените все, что возведено в нулевую степень, на 1.
        Шаг 2 : Примените правило мощности. Умножьте (или распределите) показатель степени за пределами круглых скобок с каждым показателем внутри скобок, помните, что если показатель степени не показан, то показатель степени равен 1.
        Шаг 3 : Примените правило отрицательной экспоненты. Отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями.Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели. Обратите внимание, что порядок, в котором перемещаются объекты, не имеет значения.
        Шаг 4 : Примените правило продукта. Чтобы умножить два показателя степени с одинаковым основанием, вы сохраняете основание и складываете степени.
        Шаг 5 : Примените правило частного. Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень.Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени и повторения шага 3.
        Шаг 6 : Увеличьте каждый коэффициент (или число) до соответствующей степени, а затем упростите или уменьшите оставшиеся дроби.

        Пример 1 — Упростить:

        Пример 2 –Упростить:

        Нажмите здесь, чтобы увидеть практические задачи

        Пример 3 –Simplify:

        Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

        Пример 4 –Simplify:

        Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

        Пример 5 –Упростить:

        Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

        Основы алгебры — Показатели — Углубленно

        экспонентов
        используются во многих задачах алгебры, поэтому важно понимать
        правила работы с экспонентами.Давайте подробно рассмотрим каждое правило и посмотрим
        несколько примеров.

        Правила
        из 1

        Есть два
        запомнить простые «правила 1».

        Во-первых, любое число
        возведенный в степень «один», равняется самому себе. Это имеет смысл, потому что
        степень показывает, во сколько раз основание умножается само на себя. Если это только
        умножается один раз, то логично, что он равен самому себе.

        Во-вторых, один
        возведен в любую власть — один.Это тоже логично, потому что один раз один раз
        один, сколько бы раз вы его умножали, всегда равен единице.

        Изделие
        Правило

        Показатель степени
        «правило произведения» говорит нам, что при умножении двух степеней, которые имеют
        на той же базе можно складывать экспоненты. В этом примере вы можете увидеть, как
        оно работает. Добавление экспонентов — это всего лишь короткий путь!

        Мощность
        Правило

        «Мощность»
        правило «говорит нам, что чтобы возвести степень в степень, просто умножьте степень.Здесь вы видите, что 5 2 в 3-й степени равно 5 6 .

        Частное
        Правило

        Частное
        Правило говорит нам, что мы можем разделить две степени с одинаковым основанием, вычитая
        экспоненты. Вы поймете, почему это работает, если изучите показанный пример.

        Правило нуля

        Согласно
        «правило нуля», любое ненулевое число, возведенное в степень нуля
        равно 1.

        отрицательный
        Показатели

        Последнее правило
        в этом уроке говорится, что любое ненулевое число в отрицательной степени
        равняется его обратному возведению в противоположную положительную силу.

        назад
        наверх

        Чтение: Правило степени для экспонентов

        Цели обучения

        • Используйте правило степеней для упрощения выражений с показателями степени, возведенными в степень

        Увеличить полномочия до уровня

        Еще одно слово для обозначения экспоненты — мощность. {4} [/ latex].{55} [/ латекс]

        В следующем видео вы увидите больше примеров использования правила мощности для упрощения выражений с показателями степени.

        Будьте внимательны, чтобы различать использование правила произведения и правила мощности. При использовании правила произведения разные термины с одинаковыми основаниями возводятся в степень. В этом случае вы добавляете экспоненты. При использовании правила мощности член в экспоненциальной записи возводится в степень. В этом случае вы умножаете экспоненты.{30}} $$

        Распределяющие экспоненты (правило мощности) — Алгебра II

        Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
        или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
        в
        информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
        ан
        Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
        средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

        Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
        в виде
        ChillingEffects.org.

        Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
        искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
        на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

        Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

        Вы должны включить следующее:

        Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
        Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
        Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
        достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
        а
        ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
        к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
        Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
        Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
        ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
        информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
        либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

        Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

        Чарльз Кон
        Varsity Tutors LLC
        101 S. Hanley Rd, Suite 300
        St. Louis, MO 63105

        Или заполните форму ниже:

        Правила экспоненты

        Термины «показатель степени» и «степень» обычно используются взаимозаменяемо для обозначения верхнего индекса «n» в b n . Для простоты на этой странице термин «показатель степени» будет использоваться для обозначения чисел в форме b n , а степень будет использоваться для обозначения верхнего индекса «n».»b» — основание.

        сложение или вычитание показателей

        Чтобы складывать или вычитать экспоненты, они должны иметь одинаковое основание и одинаковую степень.

        Пример

        3 (3 2 ) + 3 2 = (3 + 1) (3 2 ) = 4 (3 2 )

        3x 5 — 6x 5 = (3-6) x 5 = -3x 5

        Если показатели степени не имеют одинакового основания и одинаковой степени, вы не можете складывать или вычитать их (даже их коэффициенты!).

        экспоненты умножения

        Для умножения показателей степени должны иметь одинаковое основание и / или одинаковую степень. Чтобы умножить экспоненты с одинаковым основанием, сохраните одно и то же основание и сложите степени вместе. Если у экспонентов разные базы, вы не можете складывать их силы.

        Если у показателей степени есть коэффициенты, прикрепленные к их основаниям, умножьте коэффициенты вместе. Коэффициенты можно перемножать, даже если показатели имеют разное основание.

        Пример

        3 2 × 3 3 = 3 2 + 3 = 3 5

        4x 6 × 5y 4 = (4 × 5) x 6 y 4 = 20x 6 y 4

        Если экспоненты имеют одинаковую мощность, но разные основания, вы можете сначала перемножить основания, прежде чем брать мощность их произведения.

        Пример

        4 2 × 6 2 = (4 × 6) 2 = 24 2 = 576

        Если экспоненты имеют одинаковую мощность и одинаковое основание, вы можете выбрать любой метод для упрощения.

        Пример

        5 2 × 5 2 = 5 2 + 2 = 5 4 = 625

        5 2 × 5 2 = (5 * 5) 2 = 25 2 = 625

        показатели деления

        Для деления показателей степени должны иметь одинаковое основание и / или одинаковую степень.Чтобы разделить показатели с одинаковым основанием, оставьте такое же основание и вычтите степень знаменателя из мощности числителя. Если у экспонентов разные основания, вы не можете вычесть их силы.

        Если у экспонент есть коэффициенты, прикрепленные к их основаниям, разделите коэффициенты. Коэффициенты можно разделить, даже если у показателей есть разные основания.

        Пример

        Если показатель степени имеет отрицательную степень, вам все равно нужно сохранить тот же знак и вычесть степень.

        Пример

        Если показатели степени имеют одинаковую мощность, но разные основания, вы можете сначала разделить основания, прежде чем брать степень частного.

        Пример

        Если экспоненты имеют одинаковую мощность и одинаковую базу, они уравняются до 1.

        Пример

        Превращая власть в силу, остерегайтесь скобок (если они есть). Следуйте порядку операций, так как они также применимы к показателям степени.

        Если основание и первая степень указаны в скобках, вы можете умножить первую и вторую степень вместе. Вы также можете сначала возвести основание в степень первого показателя степени, а затем возвести это значение в степень второй степени.

        Пример

        (4 3 ) 2 = 4 3 × 2 = 4 6 = 4096

        (4 3 ) 2 = 64 2 = 4096

        Если основание и первая степень не указаны в скобках, возьмите степень первой степени до второй, а затем упростите.

        Пример

        4 3 2 = 4 (3 2 ) = 4 9 = 262144

        Число 3 в степени 2 имеет прецедент перед числом 4 в степени 3, потому что оно не заключено в круглые скобки. Мелкие детали могут существенно повлиять на ответ!

        В показателях степени круглые скобки также могут использоваться для обозначения коэффициента и его переменной. В этом случае распределите показатель степени как на коэффициент, так и на переменную.

        Пример

        (5x) 3 = 5 3 x 3 = 125x 3

        Это также может быть применено к разделу:

        Пример

        См. Также объединение подобных терминов, отрицательные показатели, порядок операций.

        экспонентов

        Показатель степени числа говорит , сколько раз использовать число при умножении.

        В 8 2 «2» означает использование 8 дважды при умножении,
        , поэтому 8 2 = 8 × 8 = 64

        Прописью: 8 2 можно было бы назвать «8 в степени 2» или «8 во второй степени», или
        просто «8 в квадрате»

        Экспоненты также называют степенями или индексами.

        Еще несколько примеров:

        Пример:

        5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

        • Прописью: 5 3 можно было бы назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто
          «5 кубов»

        Пример:

        2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

        • Прописью: 2 4 можно было бы назвать «2 в четвертой степени» или «2 в степени 4» или просто
          «2–4»

        Показатели упрощают запись и использование множества умножений

        Пример: 9 6 легче писать и читать, чем 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

        Вы можете умножить любое число само на себя столько раз, сколько хотите, используя экспоненты.4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

        Отрицательные экспоненты

        Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

        Итак, мы каждый раз делим на число, что аналогично умножению на 1 число

        Пример: 8 -1 = 1 8 = 0,125

        Мы можем продолжить так:

        Пример: 5 -3 = 1 5 × 1 5 × 1 5 = 0.008

        Но зачастую проще сделать так:

        5 -3 также можно рассчитать как:

        1 5 × 5 × 5 = 1 5 3 = 1 125 = 0,008

        Отрицательный? Переверните позитив!

        Последний пример показал более простой способ работы с отрицательными показателями:

        • Вычислить положительный показатель степени (a n )
        • Затем возьмите ответный (т.е. 1 / а н )

        Еще примеры:

        Отрицательная экспонента Взаимная величина
        положительной экспоненты
        Ответ
        4 -2 = 1/4 2 = 1/16 = 0,0625
        10 -3 = 1/10 3 = 1/1000 = 0.001
        (-2) -3 = 1 / (-2) 3 = 1 / (- 8) = -0,125

        Что, если показатель степени равен 1 или 0?

        1 Если показатель степени равен 1, то у вас есть только само число (например, 9 1 = 9 )
        0 Если показатель степени равен 0, то вы получите 1 (например, 9 0 = 1 )
        А как насчет 0 0 ? Это может быть либо 1, либо 0, поэтому люди говорят, что это «неопределенный» .

        Все имеет смысл

        Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите это положительное значение, ноль или
        отрицательные показатели на самом деле являются частью того же (довольно простого) паттерна:

        Пример: Полномочия 5
        .. и т.д ..
        5 2 5 × 5 25
        5 1 5 5
        5 0 1 1
        5 -1 1 5 0.2
        5 -2 1 5 × 1 5 0,04
        .

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *