Правило признаки делимости на 7: Признаки делимости на 7 | umath.ru

Содержание

Признаки делимости на 7 | umath.ru

Признак делимости на 7.

Число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на
7.

Этот признак можно применять к числу рекурсивно несколько раз подряд, пока число не станет достаточно маленьким.
Поэтому этот признак называется рекурсивным признаком делимости на 7.

Пример. Проверить, делится ли на 7 число а) 364 б) 411 в) 31815

Решение: а) 364. Число 364 без последней цифры — 36, удвоенная последняя цифра 4 2 = 8.
Разность 36 − 8 = 21, а число 21, как мы отлично знаем, делится на 7. Поэтому и число 364 делится на 7.

б) 411. Число 411 без последней цифры — 41, удвоенная последняя цифра — 2. Разность 41 − 2 = 39,
а число 39 на 7 не делится. Поэтому 411 не делится на 7.

в) 31815. Так как число большое, то в этом примере придётся применять правило несколько раз:

  • 3181 − 10 = 3171
  • 317 − 2 = 315
  • 31 − 10 = 21

Применив рекурсивно правило три раза, получили число 21.
Число 21 делится на 7, поэтому и число 31815 делится на 7.

Признак делимости на 7 по сумме граней

Определение. Трёхзначные грани числа — это числа, которые получены
разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит
так: 1|234|567|890 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями
числа 1234567890.

Признак делимости на 7. Число делится на 7, если знакочередующаяся сумма его
трёхзначных граней делится на 7.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком
«минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Пример. Проверить, делится ли на 7 число а) 626647 б) 23013 в) 99148

Решение: а) 626647. Разбиение этого числа на трёхзначные грани выглядит так: 626|647. Знакочередующаяся
сумма трёхзначных граней этого числа равна 626 − 647 = −21. Так как −21 делится на 7, то и число 626647 делится
на 7. Ответ: делится.

б) 23013. Разбиваем число на трёхзначные грани: 23|013. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа
есть 23 − 13 = 10. Число 10 на 7 не делится, поэтому число 23013 не делится на 7. Ответ: не
делится.

в) 99148. Разбиваем число на трёхзначные грани: 99|148. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа
равна 99 − 148 = −49. Число −49 делится на 7, поэтому и число 99148 делится на 7. Ответ: делится.

Доказательство этого признака смотрите в общей статье
про признаки делимости.

6 класс тема:»Признаки делимости чисел»

Признаки делимости

      Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17).
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n — 1.
Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.

Признаки делимости на 7, на 6, на 11 и на 4

1. Признаки делимости на 7, на 6 на11 и на 4 проект по математике

Выполнила ученица
6Б класса АСОШ№2
Ефимова Анастасия
2019г.
Объект исследования: Делимость натуральных чисел
.
Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.
Цель:
Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои знания о
признаках делимости чисел.
Задачи:
1. Изучить историографию вопроса.
2. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изучаемые в школе.
3. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел
на 4, 6.
4. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании
других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков
делимости.
5. Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7,
11.
6. Сделать вывод
Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ,
обобщение.
I.
Немного из истории.
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли
одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и
времен.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали
древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно
изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).
При изучении темы: «Простые и составные числа» нас заинтересовал вопрос о составлении таблицы
простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел.
Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры
александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето
Эратосфена».
Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена
большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.
Выделялись классы:
1. совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3),
2.дружественных чисел :(каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284
284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142),
3.фигурных чисел (треугольное число, квадратное число),
4.Простых чисел
II. Признаки делимости натуральных чисел,
изучаемые в школе.
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.
Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.
Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными
словами: а кратно b, b — делитель а, b делит а.
Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например,
числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4
делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.
III.
Признак делимости на 4.
25·4=100; 56·4=224; 123·4=492; 125·4=500; 2345·4=9380; 2500·4=10000;

Умножая натуральные числа на 4, мы заметили, что числа образованные из двух
последних цифр числа делятся на 4 без остатка.
Признак делимости на 4 читается так:
Натуральное число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или
образуютделимости
число, делящееся
Признак
на 6. на 4.
Заметим, что 6=2·3 Признак делимости на 6:
Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно
делится на 6.
Примеры:
216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15‫׃‬3), значит,
число делится на 6.
625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.
2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не
делится на 3), значит, число не делится на 6.
279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной
цифрой), значит, число не делится на 6.
IV. Признаки делимости натуральных чисел
на 7, 11 описанные в различных источниках.
1. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа,
выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
Примеры:
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося
числа делится на 7.
Примеры:
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
3. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.
Примеры:
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
Примеры:
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
5. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.
Примеры:
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7,
если b+2а делится на 7.
Примеры:
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной
последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Примеры:
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на
соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
Примеры:
10‫׃‬7=1 (ост 3)
100‫׃‬7=14 (ост 2)
1000‫׃‬7=142 (ост 6)
10000‫׃‬7=1428 (ост 4)
100000‫׃‬7=14285 (ост 5)
1000000‫׃‬7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на
7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000
на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от
деления 10 на 7).
V.Признаки делимости на 11.
1. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр,
стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет
слева направо.
Пример:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти
группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример:
Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит,
данное число делится на 11.
3. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре,
которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить
на 4 группы:
1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)
– это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на
50;
2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это
признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;
3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то
действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;
4 группа – когда для определения делимости числа используются другие
признаки делимости — это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.
Выводы:
В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости.
Работая с разными источниками ,я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости
натуральных чисел (на 7, 11), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков
делимости натуральных чисел.
Знание и использование вышеперечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно
упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые
можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых
признаков сложноваты. Может, поэтому они не изучаются в школе.
Собранный материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического
кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы.
Список использованной литературы (источников):
1.Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
2.Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. – 3-е изд. – М.: Наука, 1980, 96 с. – (Популярные лекции по
математике.)
3.Гельфанд М. Б., Павлович В. С. Внеклассная работа по математике. М., — «Просвещение», 1985.
4.Депман И. Я. История арифметики. М., — «Просвещение», 1965 г.

Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • наибольший общий делитель пары чисел;
  • признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.

Глоссарий по теме

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.

Дополнительная литература:

Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Целое число

Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.

Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.

Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.

Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.

Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).

Рисунок 1 – числовой луч

Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.

Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.

Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)

Рисунок 2 – числовой луч

Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).

Рисунок 3 – числовой луч

Делимость. Делитель и частное.

Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.

Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.

Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.

Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.

Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.

Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.

Свойства делимости.

Перечислим некоторые свойства делимости:

1. Все целые числа делятся на единицу.

2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.

3. Все натуральные числа являются делителями нуля.

4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

6. Единственный делитель единицы – сама единица.

7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).

9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.

Взаимно простые числа.

Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.

Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.

Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.

Наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.

Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.

НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.

Делимость суммы и произведения.

Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.

1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.

2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.

3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.

4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.

5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.

6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.

Деление с остатком.

Натуральное число n можно представить в виде:

n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)

где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).

Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).

Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.

Алгоритм Евклида.

Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.

Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел

где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток )

ИЛИ (остаток rk)

ИЛИ(остаток rn)

ИЛИ (остаток 0)

То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.

НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.

Признаки делимости.

Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.

Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.

Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.

Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:

0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.

Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.

Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.

Таблица 1 – Признаки делимости

Число n

Число a делится на число n тогда и только тогда, когда

2

последняя цифра числа a делится на 2

3

сумма всех цифр числа a делится на 3

4

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4

5

число a оканчивается цифрой 0 или 5

7

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7

8

число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8

9

сумма всех цифр числа a делится на 9

10

число a оканчивается цифрой 0

11

знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11

13

знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13

25

число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25

Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.

Метод математической индукции для доказательства делимости.

Схема метода:

1. Базис индукции.

Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.

2. Индукционное предположение.

Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.

3. Шаг индукции (индукционный переход).

Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.

4. Вывод.

Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача №1

Условие:

Найдите среди чисел пары взаимно простых.

65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26

Решение:

Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.

По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.

По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.

По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.

По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.

Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.

Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.

Получим возможные пары:

(65; 14)

(30; 273) или (30; 1001)

(110; 1001) или (110; 273)

(35; 26)

Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.

Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.

Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.

Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.

Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.

Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).

Задача №2.

Условие:

Найдите НОД(2457, 1473).

Решение:

Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.

Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:

2457 = 1 · 1473 + 984

1473 = 1 · 984 + 489

984 = 2 · 489 + 6

489 = 81 · 6 + 3

6 = 3 · 2

Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.

Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.

Задача №3.

Условие:

Определите, делится ли число 17943646 на 7.

Решение:

Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.

Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.

Задача №4.

Условие:

Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.

Решение:

Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.

1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:

+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0

Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.

3. Рассмотрим выражение при n = k +1.

+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4

Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:

+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.

Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:

+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.

4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.

Татьяна Мельничук | Делимость чисел

Признак делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3 Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 4 Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4.
Признак делимости на 5 Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.
Признак делимости на 6 Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.
Признак делимости на 7 Признак 1. число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
Признак 2. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.
Признак делимости на 8 Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Признак делимости на 9 Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10 Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.
Признаки делимости на 11 Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.
Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 13 Число делится на 13 если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Признак делимости на 17 Число делится на 17 если модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Признак делимости на 19 Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Признак делимости на 20 Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
Признаки делимости на 23 Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.
Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.
Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.
Признак делимости на 25 Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 27 Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 29 Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Признак делимости на 30 Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 31 Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.
Признак делимости на 37 Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.
Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.
Признак делимости на 41 Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.
Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.
Признак делимости на 50 Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.
Признак делимости на 59 Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.
Признак делимости на 79 Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.
Признак делимости на 99 Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 101 Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Детский сад — 7 класс.  / / Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка.   + Признаки делимости на 11,13,25,36.

  • Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
  • Признак делимости на 3 : если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
  • Признак делимости на 4 : число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
  • Признак делимости на 5 : если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
  • Признак делимости на 6 : число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
  • Признак делимости на 8 : число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
  • Признак делимости на 9 : если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
  • Признак делимости на 10 : если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.

Для отличников:

  • Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Примеры: а) 1234761 делится на 11; б) 252747 делится на 11;
  • Признак делимости на 13: чтобы узнать делится ли число на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13 то и заданное число делится на 13 Примеры: а)5525 делится на 13; б)18928 делится на 13;
  • Признак делимости на 25: число делится на 25, если его последние две цифры – нули или образуют число, делящееся на 25. Примеры: а)625 делится на 25; б)18900 делится на 25;
  • Признак делимости на 36: число делится на 36, если оно в одно время делится на 4 и 9

Урок математики «Признаки делимости чисел»


Приложение 1


Слайд 2.

Если для двух целых чисел a и b существует такое целое
число q, что bq = a, то говорят, что число
a
делится на число b, или число а кратно числу b.


Слайд 3.

Признак делимости это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро
определить, является ли число кратным заранее заданному числу.


Слайд 4.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится
на это число.


Слайд 5.

Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое
число, то и произведение делится на это число.


Слайд 6.

Признак делимости на 2.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится
на 2, то есть является четной.


Слайд 7. Пример:

1) 28

    8 – четное число, значит, 28 делится на 2 без остатка.

2) 1346

    6 – четное число, значит, 1346 делится на 2 без остатка.


Слайд 8.

Признак делимости на 3.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3
без остатка.

Слайд 9.

Пример:

1) 723

7 + 2 + 3 = 12

12 делится на 3 без остатка,

Значит, 723 делится на 3.

2) 2364

2 + 3 + 6 + 4 = 15

15 делиться на 3 без остатка, значит, 2364 делится на 3.


Слайд 10.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры
составляют число, которое делится на 4.


Слайд 11.

Пример:

1) 716

    16 делится на 4, значит, число 716 делится на 4 без остатка.

2) 35636

    36 делится на 4, значит, число 35636 делится на 4 без
остатка.


Слайд 12.

Признаки делимости на 4.

Чтобы узнать делится ли двухзначное число на 4, можно половину единиц
прибавить к десяткам, если сумма делится на 2, значит, число делится на 4.


Слайд 13.

Пример:

1) 92

    9 + 1 = 10 – четное число, значит, 92 делится на 4 без
остатка

2) 68

    6 + 4 = 10 – четно число, значит, 68 делится на 4 без
остатка.


Слайд 14.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 5 или 0.


Слайд 15.

Пример:

1) 1380

    Число 1380 оканчивается нулем, значит, число 1380 делится на
5 без остатка.

2) 24715

    Число 24715 оканчивается пятеркой, значит, число 24715
делится на 5 без остатка.


Слайд 16.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть, если
оно четное и сумма его цифр делится на 3).


Слайд 17.

Пример:

948

Число 948 является чётным и сума его цифр, 9 + 4 + 8 = 21 делится на 3,
значит, число 948 делится на 6 без остатка.


Слайд 18.

Признаки делимости на 7.

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной
последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.


Слайд 19.

Пример:

364

36 – (4 • 2) = 28

28 : 7 = 4

Значит, число 364 делится на 7 без остатка.


Слайд 20.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его
последними цифрами, делится на 8.


Слайд 21.

Пример:

24816

816 : 8 = 102.

Значит, число 24816 делится на 8 без остатка.


Слайд 22.

Признак делимости на 8.

Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 8, можно половину единиц
прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить
к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8.


Слайд 23.

Пример:

952

95 + 1 = 96

9 + 3 = 12

12 : 2 = 6(делится на 2).

Значит, 952 делится на 8.


Слайд 24.

Признак делимости на 9.

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9
без остатка.


Слайд 25.

Пример:

27891

2 + 7 + 8 + 9 + 1 = 27

27 : 9 = 3

Сумма делится на 9, значит, число 27891 делится на 9 без остатка.


Слайд 26.

Признак делимости на 10.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.


Слайд 27.

Пример:

1) 17310

Число 17310 оканчивается на ноль, значит, число 17310 делится на десять без
остатка.

2) 236810

Число 236810 оканчивается на ноль, значит, число 236810 делится на десять
без остатка.


Слайд 28.

Признак делимости на 11.

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр занимающих нечетные
места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от
нее на число, делящееся на 11.


Слайд 29.

Пример:

1) 103785

    1 + 3 + 8 = 12

    0 + 7 + 5 = 12

    Значит, 103785 делится на 11 без остатка.

2) 9163627

    9 + 6 + 6 + 7 = 28

    1 + 3 + 2 = 6

    28 – 6 = 22

    22 : 11 = 2

    Значит, 9163627 делится на 11 без остатка.


Слайд 30.

Признак делимости на 13.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного
отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13.


Слайд 31.

Пример:

845

84 + (4 • 5) = 104 : 13

10 + (4 • 4) = 26 : 13 = 2

Число 845 делится на 13 без остатка.


Слайд 32.

Признак делимости на 17.

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков,
сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратко 17.


Слайд 33. Пример:

29053

2905 + 36 = 2941

294 + 12 = 306

30 + 72 = 102

10 + 24 = 34

Так как 34 : 17 = 2, то 29053 делится на 17 без остатка.


Слайд 34.

Признак делимости на 19.

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков,
сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.


Слайд 35.

Пример:

646

Так как 64 + (6 • 2) = 64 + 12 = 76

7 + (6 • 2) = 7 + 12 = 19

19 делится на 19, значит, 646 делится на 19 без остатка.


Слайд 36.

Признак делимости на 20.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его
предпоследняя цифра делится на 2.


Слайд 37.

Пример:

2740.

Число делится на 20, так как оканчивается на 0 и 4 – четное число.


Слайд 38.

Признак делимости на 23.

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с
утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.


Слайд 39.

Пример:

28842

Число делится на 23, так как

288 + (3 • 42) = 414

4 + (3 • 14) = 46

46 делится на 23.


Слайд 40.

Признак делимости на 99.

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе
может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двухзначными
числами. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.


Слайд 41.

Пример:

122166

12 + 21 + 66 = 99

Число 99 делится на 99, значит, 122166 делится на 99 без остатка.


Слайд 42.

Признак делимости на 101.

Разобьем числа на группы по 2 цифры справа налево ( в самой левой группе может
быть одна цифра) и найдем алгебраическую сумму этих групп, с переменными
знаками, считая их двухзначными числами.

Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.


Слайд 43.

Пример:

590547

59 – 05 + 47 = 101

101 делится на 101, значит, 590547 делится на 101.

Правила делимости — методы и примеры

Деление — это одна из четырех основных операций, при которой число распределяется на равные части. Это математический метод, при котором число делится на более мелкие группы, или метод распределения количеств на равные части. Обозначается несколькими символами: косой чертой, горизонтальной чертой и знаком деления.

Деление — это операция, обратная умножению. Например, умножение 5 на 2 дает 10. Вы можете получить любой из множителей 2 и 5, разделив 10 на любое из чисел.

Что такое правило делимости?

Правила делимости были разработаны, чтобы упростить и ускорить процесс деления . Понимание правил делимости от 1 до 20 — важный навык в математике, поскольку он позволяет лучше решать задачи.

Например, правило делимости числа 9 определенно скажет нам, делится ли число на 9, независимо от того, насколько большим может показаться число.

Вы можете легко запомнить правила делимости чисел, таких как 2, 3, 4 и 5.Но правила делимости для 7, 11 и 13 немного сложны, и по этой причине необходимо тщательно их понимать.

Правила делимости

Как следует из названия, правила или тесты делимости — это процедуры, используемые для проверки того, делится ли число на другое число, без обязательного выполнения фактического деления. Число делится на другое число, если результат или частное — целое число, а остаток равен нулю.

Поскольку не все числа полностью делятся на другие числа, правила делимости на самом деле являются сокращениями для определения действительного делителя числа просто путем изучения цифр, составляющих число.

Давайте теперь рассмотрим эти правила делимости для разных чисел.

В тесте делимости 1 нет условий для чисел. Все числа делятся на 1, независимо от их размера. Когда любое число делится на 1, результатом является само число. Например, 5/1 = 5 и 100000/1 = 100000.

Число делится на 2, если последняя цифра числа равна 2, 4, 6, 8 или 0.

Например: 102/2 = 51, 54/2 = 27, 66/2 = 33, 28/2 = 14 и 20/2 = 10

Тест делимости для 3 утверждает, что число полностью делится на 3, если цифры числа делятся на 3 или кратно 3.

Например, рассмотрим два числа, 308 и 207:

Чтобы проверить, делится ли 308 на 3 или нет, найдите сумму цифр.

3 + 0 + 8 = 11. Так как сумма равна 11, что не делится на 3, то 308 также не делится на 3.

Проверьте 207, суммируя его цифры: 2 + 0 + 7 = 9, так как 9 делится на 3, то 207 также делится на 3.

Тест делимости для 4 утверждает, что число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4,

Например: Рассмотрим два числа , 2508 и 2506.

Последние цифры числа 2508 — 08. Поскольку 08 делится на 4, то число 2508 также делится на 4.

2506 не делится на 4, поскольку две последние цифры 06 не делятся на 4. .

Все числа с последней цифрой 0 или 5 делятся на 5. Например, 100/5 = 20, 205/5 = 41.

Число делится на 6, если его последняя цифра является четным числом или ноль, а сумма цифр кратна 3.

Например, 270 делится на 2, потому что последняя цифра равна 0.

Сумма цифр равна: 2 + 7 + 0 = 9, что также делится на 3.

Следовательно, 270 делится на 6.

Проверка делимости 7 объясняется в следующем алгоритме

Рассмотрим число 1073. Проверить, делится ли число на 7 или нет?

Удалите число 3 и умножьте его на 2, получится 6. Вычтите 6 из оставшегося числа 107, поэтому 107 — 6 = 101.

Повторите процесс. У нас 1 x 2 = 2, а оставшееся число 10-2 = 8.Так как 8 не делится на 7, поэтому число 1073 также не делится на 7.

Тест делимости для 8 утверждает, что число делится на 8, если его последние три цифры делятся на 8.

Тест делимости для 9 аналогичен тесту на делимость числа 3. Если сумма цифр числа делится на 9, то число также делится на 9.

Пример: в таком числе, как 78532, сумма цифр равна : 7 + 8 + 5 + 3 + 2 = 25. Поскольку 25 не делится на 9, 78532 также не делится на 9.Рассмотрим другой случай числа: 686997, сумма цифр будет: 6 + 8 + 6 + 9 + 9 + 7 = 45. Поскольку сумма делится на 9, то число 686997 делится на 9.

Правило делимости для 10 означает, что любое число, последняя цифра которого равна нулю, тогда число I делится на 10.

Например, числа: 30, 50, 8000, 20 33000 делятся на 10.

  • Правила делимости для 11

Это правило гласит, что число делится на 11, если разница суммы альтернативных цифр делится на 11.

Например, чтобы проверить, делится ли число 2143 на 11 или нет, выполните следующую процедуру:

Сумма альтернативных цифр каждой группы: 2 + 4 = 6 и 1+ 3 = 4

Следовательно, 6- 4 = 2, поэтому число не делится на 11. Следовательно, 2143 не делится на 11.

  • Правила делимости для 13

Чтобы проверить, делится ли число на 13, повторите сложение последней цифры выполняется 4 раза к оставшемуся числу, пока не будет получено двузначное число. Если двузначное число делится на 13, то целое число также делится на 13.

Например:

2795 → 279 + (5 x 4) → 279 + (20) → 299 → 29 + (9 х 4) → 29 + 36 → 65.

В этом случае двузначное число оказывается 65, которое делится на 13, следовательно, число 2795 также делится на 13.

Практические вопросы

1. Какие из следующих чисел делятся на 2, 5 и 10?

а. 149

г.19400

г. 720345

г. 125370

e. 3000000

2. Проверьте, делятся ли числа на 4:

3. 23408

4. 100246

5. 34972

6. 150126

7. 58724

8. 19000

9. 43938

10. 846336

11. Определите, делится ли первое число на второе:

a. 3409122; 6

г. 17218; 6

г. 11309634; 8

г.515712; 8

e. 3501804; 4

12. Определите, является ли число 9 множителем следующих чисел?

а. 394683

б. 1872546

г. 5172354

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Полезная математика: знаки делимости.

Я узнал немало из… | Ринат Усенов

Я выучил немало знаков делимости в шестом классе, кажется, и это знание остается одной из тех полезных вещей, которые я до сих пор использую в повседневной жизни.

Так что же такое знак делимости? Это знак того, что любое число (независимо от его размера) делится (кратно) другому числу.

Стоит отметить, что я дословно перевел термин «знаки делимости» с русского языка. После небольшого поиска в Google я не смог найти никаких хороших альтернативных фраз на английском языке, я имею в виду кроме «правил делимости», но на самом деле это не правила, а маленькие, очень полезные знаки. Пожалуйста, поправьте меня.

Итак, чем может быть полезен знак делимости? Один небольшой пример, ответьте на этот вопрос: является ли 2013 год високосным? Как мы знаем, год является високосным, если он делится на 4.Можно ли без калькулятора определить, делится ли 2013 год на 4? Я уверен, что смогу! И вы сможете после ознакомления со знаками делимости. Другой пример меньшего размера: можем ли мы равномерно разделить счет в баре между 3 людьми? Ответ: делимость на 3 знака! 🙂 Итак, начнем:

Делимость на 2

Это просто: число делится на 2, только если последняя цифра этого числа четная (делится на 2):

Число 3242346 делится на 2, потому что 6 — четное число (делится на 2)

Делимость на 3

Число делится на 3, только если сумма всех его цифр делится на 3.

Например: число 345 делится на 3, потому что сумма его цифр (3 + 4 + 5 = 12) делится на 3.

Делимость на 4

Хорошо. Здесь все немного усложняется.

Числа больше 99:

Число делится на 4, если последние 2 цифры этого числа равны нулю или составляют число, которое делится на 4, например: 14676 делится на 4, потому что последние 2 цифры 76 составляют число, которое делится на 4 (76/4 = 19).Число 345200 также делится на 4, так как последние две цифры нули.

Числа меньше 99:

Число делится на 4 только в том случае, если это число состоит из удвоенных десятков с добавленной последней цифрой и делится на 4. Пример: число 64, количество десятков здесь 6, мы необходимо удвоить эту сумму и добавить последнюю цифру: 2 * 6 + 4 = 16, 16 делится на 4, таким образом, 64 делится на 4.

Делимость на 5

Это так же просто, как деление на 2: число равно делится на 5, только если последняя цифра 0 или 5.Пример: 34565 делится на 5.

Делимость на 6

На самом деле существует 2 правила:

  1. Число делится на 6, когда оно делится на 2, и делится на 3.
  2. Число делится на 6, когда Количество десятков, это число состоит из умножения на 4 с добавлением последней цифры, и получается число, которое делится на 6. Пример: 66 делится на 6, потому что 4 * 6 + 6 = 30 делится на 6, таким образом, 66 делится на 6.

Делимость на 7

Хм, здесь 4 знака:

  1. Число делится на 7, если количество десятков, составленное из этого числа, умноженное на 3 с добавленной последней цифрой, делится на 7, например: 91 делится на 7, потому что 9 * 3 + 1 = 28 делится на 7.
  2. Когда модуль алгебраической суммы чисел, составляющих нечетные группы из трех цифр (начиная с первой цифры) в сочетании со знаком «+», и четные группы из 3 цифр со знаком «-» делится на 7. Пример:
    Большое число 138689257 делится на 7, потому что | 138–689 + 257 | = 294 делится на 7.
  3. Число делится на 7, когда вы берете число, составленное из последних 3 цифр данного number и вычтите число, состоящее из оставшихся цифр (или наоборот, в зависимости от того, какое число больше), и полученное число делится на 7.
  4. Число делится на 7, если удвоенная первая цифра, вычитаемая из числа, составленного из оставшихся цифр, делится на 7: 784 делится на 7, потому что 78- (2 * 4) = 70 делится на 7.

Делимость на 8

Число делится на 8 только тогда, когда последние 3 цифры этого числа составляют число, которое делится на 8.

Трехзначное число делится на 8 только тогда, когда последняя цифра этого числа прибавляется к удвоенному числу десятков и добавляемое к сотням, это число складывается из умножения на 4 и получается число, делящееся на 8, например, число 952 делится на 8, потому что 9 * 4 + 5 * 2 + 2 = 48 делится на 8.

Делимость на 9

Число делится на 9 только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9, например, число 12345678 делится на 9, потому что 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 делится на 9.

Делимость на 10

Самый простой: число делится на 10 только тогда, когда последняя цифра этого числа равна 0 (нулю).

Заключение.

10 знаков пока должно хватить. Вы не поверите, но на самом деле мы можем подняться до 99. Если сможем, не значит, что должны.Я не думаю, что вам будет полезно знать, что делится на 79. Это просто странно. Но если вам интересно, напишите комментарий, и я расскажу вам, как определить, делится ли число на 79.

Теперь вернемся к нашему вопросу: был ли 2013 год високосным? Ответ — нет. Потому что последние 2 цифры 2013 года не составляют число, делящееся на 4 (13 не делится на 4).

Тест на делимость на 13 (а также 7 и 11)

Есть простые правила, по которым можно определить, делится ли число на 2, 3, 4, 5 и 6.

  • Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.
  • Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
  • Число делится на 4, если число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4.
  • Число делится на 5, если его последняя цифра делится на 5.
  • Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Есть правило делимости на 7, но оно немного шаткое.Давайте продолжим.

  • Число делится на 8, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 8.
  • Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
  • Число делится на 10, если его последняя цифра 0.

Есть правило делимости на 11. Это немного сложно, хотя и не так сложно, как правило для 7. Я описываю правило для 11 в предпоследнем абзаце здесь.

Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.(Здесь важно, что 3 и 4 являются взаимно простыми числами. Неверно, например, что число делится на 12, если оно делится на 2 и 6. )

Но что вы будете делать, когда вам исполнится 13?

Проверка делимости на 7, 11 и 13

Мы собираемся убить трех зайцев одним выстрелом , представив правило проверки делимости на 13, которое также дает новые правила проверки делимости на 7 и 11. Итак, если вы пытаетесь разложить число на множители вручную, это даст возможность проверить сразу три простых числа.

Чтобы проверить делимость на 7, 11 и 13, запишите свое число цифрами, сгруппированными в тройки, как обычно. Например,

11 037 989

Тогда представьте каждую группу как отдельное число — например, 11, 37 и 989 — и возьмите переменную сумму, начиная со знака + на последнем члене.

989 — 37 + 11

Исходное число делится на 7 (или 11 или 13), если эта переменная сумма делится на 7 (или 11 или 13 соответственно).

Альтернативная сумма в нашем примере — 963, что явно равно 9 * 107 и не делится на 7, 11 или 13.Следовательно, 11 037 989 не делятся на 7, 11 или 13.

Вот еще пример. Начнем с

4 894 498 518

Переменная сумма

518–498 + 894–4 = 910

Сумма требует немного работы, но меньше работы, чем деление 10-значного числа на 7, 11 и 13.

Сумма 910 делится на 7 * 13 * 10, поэтому она делится на 7 и 13, но не на 11. Это говорит о том, что 4 894 498 518 делится на 7 и 13, но не на 11.

Почему это работает

Суть метода в том, что 7 * 11 * 13 = 1001.Если я вычитаю из числа, кратное 1001, я не изменяю его делимость на 7, 11 или 13. Более того, я не меняю его остаток на 7, 11 или 13.

Шаги в методе сводятся к сложению или вычитанию кратных 1001 и делению на 1000. Первое не изменяет остаток на 7, 11 или 13, но последний умножает остаток на -1, отсюда и переменную сумму. (1000 соответствует -1 mod 7, mod 11 и mod 13.) См. Более формальные аргументы в сноске [1].

Таким образом, с помощью этого метода мы можем не только проверить делимость на 7, 11 и 13, мы также можем найти остатки на 7, 11 и 13. Исходное число и чередующаяся сумма совпадают по модулю 1001, поэтому они совпадают. мод 7, мод 11 и мод 13.

В нашем первом примере n = 11 037 989, а сумма чередования была m = 963. Остаток при делении m на 7 равен 4, поэтому остаток при делении n на 7 также равен 4. То есть m конгруэнтно 4 mod 7, и поэтому n конгруэнтно 4 mod 7.Точно так же m конгруэнтно 6 mod 11, и поэтому n конгруэнтно 6 mod 11. И, наконец, m конгруэнтно 1 mod 13, так что n конгруэнтно 1 mod 13.

Похожие сообщения

[1] Ключевой расчет:

Искусство решения проблем

Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применяются для base-10 , только для — другие базы имеют свои собственные, разные версии этих правил.

Видео о делимости

https://youtu. be/bIipw2XSMgU

Основы

Правило делимости на 2 и степени 2

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на. Таким образом, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его цифра единиц делится на 2, то есть если число заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство

Правило делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно.Обратите внимание, что это не , а работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но 1899 сам не делится на 27.

Доказательство

Правило делимости на 5 и степени 5

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень 5.

Доказательство

Правило делимости для 7

Правило 1: Разделите числа на 3-значные числа справа (). Альтернативная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7.

Доказательство

Правило 2: усеките последнюю цифру, удвойте эту цифру и вычтите ее из остальной части числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.

Доказательство

Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это только говорит вам, делится ли он, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и прибавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы оно стало равным нулю. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба приемлемы; я использую первый).Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. В целом работает с числами, которые относительно просты с основанием (и отлично работает в двоичном формате). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!

Правило делимости 10 и степени 10

Если число является степенью 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которые должны быть в конце числа, чтобы оно делилось на эту степень 10.

Пример:
Чтобы число делилось на 1 000 000, в конце должно быть 6 нулей, потому что.

Правило делимости для 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда чередующаяся сумма цифр делится на 11.

Доказательство

Общее правило для композитов

Число делится на, где разложение на простые множители равно, если число делится на каждое из.

Пример

Для примера мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.

Разложение 36 на простые множители. Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы увидеть, делится ли оно на 36.

  • Поскольку последние две цифры, 44, числа делятся на 4, то же самое и все число.
  • Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.

Таким образом, число делится как на 4, так и на 9. и должен делиться на 36.

Продвинутый

Общее правило для простых чисел

Для каждого простого числа, кроме 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 для делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, ее умножение на и вычитание из оставшегося числа дает результат, делящийся на. Правило делимости 2 на 7 говорит, что для,. Правило делимости 11 эквивалентно выбору. Правило делимости 3 эквивалентно выбору. Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется на, то вычитание может быть заменено сложением.Мы видим один пример этого в правиле делимости числа 13: мы могли бы умножить на 9 и вычесть, а не умножать на 4 и складывать.

Правило делимости для 13

Правило 1. Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делится на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как со вторым правилом делимости для 7.

Доказательство

Правило 2: Разделите числа на трехзначные числа справа (). Альтернативная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда делится на 13.

Доказательство

Правило делимости для 17

Усечь последнюю цифру, умножить ее на 5 и вычесть из оставшегося первого числа. Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Процесс можно повторить для любого числа.

Доказательство

Правило делимости для 19

Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 2 и прибавить к оставшемуся начальному числу.Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Это также можно повторить для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 29

Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 3 и прибавить к оставшемуся начальному числу. Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Это также можно повторить для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 49

Почему 49? Для вынимания надоедливости из корня.

Полезно до 23:00. Округлите число до ближайшего 50, позвоните по нему и вычтите исходное число, позвоните по этому номеру. Если, он делится на 49.

Примеры:

49. Округлить:. Разница: . ? Да!

1501. Округлить вверх:. Разница: . ? Нет!

1470. Округлить:. Разница: . ? Да!

Доказательство

Проблемы

Ресурсы

Книги
Классы

См. Также

Что делимо? — Определение, факты и пример

Давайте узнаем!

Что значит делимое?

В математике говорят, что число делится на другое число, если остаток равен 0.

Правила делимости — это набор общих правил, которые часто используются для определения того, делится ли число без остатка на другое число.

Правила делимости Пример
2: Если число четное или заканчивается на 0,2,4, 6 или 8, оно делится на 2.
3: Если сумма всех цифр делится на три, число делится на 3.
4: Если число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4, число делится на 4.
5: Если последняя цифра — 0 или 5, число делится на 5.
6: Если число делится и на три, и на два, оно делится на 6.
7: Если разница последней цифры удвоена, а остальные цифры делятся на семь, число делится на 7.
8: Если последние три цифры числа делятся на 8, число делится на 8.
9: Если сумма цифр делится на девять, число делится на 9.
10: Если последняя цифра числа 0, она делится на 10.

Интересные факты

  • Каждое число делится на 1.
  • Когда число делится на другое число, оно также делится на каждый из множителей этого числа. Например, число, делимое на 6, также будет делиться на 2 и 3.

Давайте споем!

Полезно знать правила делимости,

С ними деление не так уж и медленно!

Каждый раз проверять конечные цифры или их сумму,

Проверить их делимость на 2, 3, 5, 10 или 9!

Давай сделаем это!

Вместо того, чтобы раздавать детям листы с разделениями, дайте им чистый лист бумаги и карандаш.Напишите числа на маленьких листочках бумаги, положите их в миску, а затем попросите их взять из миски фишки чисел и используйте правила делимости от 2 до 10, чтобы проверить делимость чисел.

Связанный математический словарь

2.5: Правила делимости — математика LibreTexts

В этом разделе мы исследуем правила делимости положительных целых чисел. Эти правила можно легко распространить на все целые числа, опустив знак.1: \)

\ (2 \ mid x \) тогда и только тогда, когда \ (2 \ mid b \). Другими словами, \ (2 \) делит целое число тогда и только тогда, когда единичная цифра целого числа равна либо \ (0, 2, 4, 6, \), либо \ (8 \).

Подтверждение:

Поскольку \ (2 \ mid 10 \), \ (x = 10 a + b \), и по теореме о делимости I, \ (2 \ mid x \) тогда и только тогда, когда \ (2 \ mid b \). \ (\ Box \)

Делимость на \ (5: \)

\ (5 \ mid x \) тогда и только тогда, когда \ (5 \ mid b \). Другими словами, \ (5 \) делит целое число тогда и только тогда, когда единичная цифра целого числа равна либо \ (0, \), либо \ (5 \).

Подтверждение:

Поскольку \ (5 \ mid 10 \), \ (x = 10 a + b \), и по теореме о делимости I, \ (5 \ mid x \) тогда и только тогда, когда \ (5 \ mid b \). \ (\ Box \)

Делимость на \ (10: \)

\ (10 ​​\ mid x \) если и только тогда \ (10 ​​\ mid b \). Другими словами, \ (10 ​​\) делит целое число, если единственная цифра целого числа равна \ (0, \).

Подтверждение:

Поскольку \ (10 ​​\ mid 10 \), \ (x = 10 a + b \), и по теореме о делимости I, \ (10 ​​\ mid x \) тогда и только тогда, когда \ (10 ​​\ mid b \).n \) для любого положительного целого числа \ (n \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \):

Используя тесты делимости, проверьте, делится ли число \ (824112284 \) на:

  1. \ (5 \)
  2. \ (4 \)
  3. \ (8 \)

Раствор:

  1. 824112284 равно , не делится на 5.

Правило : Единичная цифра номера должна быть либо 0, либо 5.

Поскольку последняя цифра не 0 или 5, это 4, тогда 824112284 равно , не делится на 5.

2. 824112284 делится на на 4.

Правило : Последние две цифры номера должны делиться на 4.

8241122 84

à (4) (21) = 84

Поскольку 84 делится на 4, то исходное число 824112284 равно , которое также делится на и на 4.

3. 824112284 равно , не делится на 8.

Правило : Последние три цифры номера должны делиться на 8.1: \)

\ (3 \ mid x \), если \ (3 \) делит сумму своих цифр.

Пример \ (\ PageIndex {2} \):

Найдите возможные значения отсутствующей цифры \ (x \), если \ (1234 x 51234 \) делится на \ (3. \)

Рассмотрим следующее:

Правило делимости числа 3 выглядит следующим образом: если сумма цифр целого числа является числом, делящимся на 3, то также будет и большее исходное число.

\ (2 (1 + 2 + 3 + 4) + 5 \)

\ (= 2 (10) + 5 \)

\ (= 20 + 5 \)

\ (= 25 \)

Число \ (25 \) не делится на 3, но 27, 30 и 33 делятся.{n-2} + \ cdots + d_2 10 + d_1 \).

Подтверждение:

Делимость на \ (11: \)

\ (11 \ mid x \), если \ (11 \) делит абсолютную разницу между альтернативной суммой.

Подтверждение:

Правила делимости (7 и 11)

В этой серии блогов я исследую несколько моих любимых математических алгоритмов.

На прошлой неделе мы рассмотрели алгоритм, который позволил нам определить, делится ли число на 3 и 9.На этой неделе я хочу изучить правила делимости для 7 и 11.

Например, делится ли на 7?

Возможно, числа, которые делятся на 7, имеют красивый образец, например числа, которые делятся на 2. Если мы начнем с 7 и перечислим все числа, делящиеся на 7, мы получим следующий список:

И, к сожалению, этот список не является хорошей новостью. Обратите внимание, что эти числа заканчиваются всеми возможными цифрами! Это та же проблема, с которой мы столкнулись на прошлой неделе, когда исследовали правило для числа 3.Это означает, что нам нужен метод, алгоритм, который поможет нам двигаться дальше.

Сначала извлекаем последнюю цифру, 2. Затем мы удваиваем ее, удвоение 2 — это 4. Наконец, мы вычитаем ее из того, что осталось от числа:

Затем мы просто повторяем этот процесс снова и снова.

поп, вычитание двойное

поп, вычитание двойное

поп, вычитание двойное

Наконец, у нас есть номер 21, который есть в нашем списке. Следовательно, делится на 7.

Почему этот процесс работает? Давайте посмотрим на меньшее число, скажем.

Так как 49 в нашем списке, делится на 7.

Первый шаг, выпадающий из 8, на самом деле вычитание:

Следующий шаг, собственно. Хотя казалось, что мы удвоили 8, чтобы сохранить правильное значение разряда, на самом деле мы умножили 8 на 20. Выполнение обоих шагов одновременно выглядит следующим образом:

Поскольку шаг вытягивания — это вычитание 8, а двойное вычитание — вычитание 20 групп по 8, мы могли бы сэкономить время и просто вычесть 21 группу по 8.Это будет выглядеть так:

И это ключевая идея. Поскольку 21 делится на 7, вычитание 21 группы чего-либо не изменит нашего ответа. Однако это уменьшит нашу численность, и с ней будет легче справляться. Выполняя эти 2 шага снова и снова, наше число сокращается до размера, по которому мы можем определить, кратно ли оно 7.

Как ни странно, этот алгоритм работает и для 11. В этом случае вам нужно только вычесть его, удвоение не требуется.Ибо процесс будет выглядеть так:

поп, вычесть

поп, вычесть

поп, вычесть

поп, вычесть

К сожалению, 24 не делится на 11, поэтому. Но если мы уменьшим исходное число на 2 и попробуем…

Ура! Поскольку 22 делится на 11, мы знаем, что должно делиться на 11.

Дополнительные правила можно найти на странице Википедии о делимости.[1] Например, правило для 13 предполагает умножение на 9 перед вычитанием.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.