Правило пифагора: Теорема Пифагора — формула, доказательство, задачи

Содержание

Теорема Пифагора — формула, доказательство, задачи

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

a2 + b2 = c2,

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

  • a = √c2 − b2
  • b = √c2 − a2
  • c = √a2 + b2

Запоминаем

в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

 

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

  • если c2 < a2 + b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является острым.
  • если c2 = a2 + b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является прямым.
  • если c2 > a2 +b2 , значит угол, обращенный к стороне c, является тупым.

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a2 + b2 = c2.

Пошаговое доказательство:

  • Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
  • Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

  • Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

  • Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
  • Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
  • Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.
  • Сложим полученные равенства:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

a2 + b2 = c * (HB + AH)

a2 + b2 = c * AB

a2 + b2 = c * c

a2 + b2 = c2

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

  • Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
  • Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
  • Проведём отрезок A₁B₁.
  • Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
  • В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
  • Таким образом получится:
  • Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
  1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
  2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.
  • Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
  • Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

значит c2 = a2 + b2 = 62 + 102 = 36 + 100 = 136

Ответ: 11,7.

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Как решаем:

  • Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

112 = 82 + 92

121 ≠ 146

Ответ: треугольник не является прямоугольным.



Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до теоремы Пифагора — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

 

Теорема Пифагора. Геометрия теорема Пифагора.Сформулируйте теорему Пифагора.

теорема Пифагора

Если у треугольника есть угол 90 градусов, то треугольник прямоугольный. Сторона напротив прямого угла зовется гипотенузой, две другие называются катетами. 2\), то это тупоугольный треугольник, т. е. угол, обращенный к стороне c, является тупым углом.

 

 

Немного истории

Теорема Пифагора была одной из самых ранних теорем, известных древним цивилизациям. Эта знаменитая теорема названа в честь греческого математика и философа Пифагора. Пифагор основал математическую школу Пифагора в Кортоне, греческом морском порту на юге Италии. Ему приписывают много вкладов в математике, хотя некоторые из них, возможно, на самом деле были работой его студентов.

Теорема Пифагора является самым известным математическим вкладом Пифагора. Согласно легенде, Пифагор был так счастлив, когда открыл теорему, что предложил жертву волов. Позднее открытие, что квадратный корень из 2 является иррациональным и, следовательно, не может быть выражено как отношение двух целых чисел, сильно беспокоило Пифагор и его последователи. Они были набожны в своем убеждении, что любые две длины являются целыми кратными некоторой единичной длине. Многие были предприняты попытки подавить знание о том, что квадратный корень из 2 иррационален. Говорят даже, что человек, разглашавший тайну, утонул в море.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Теорема Пифагора / Площадь / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Площадь
  5. Теорема Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Дано: прямоугольный треугольник, и — катеты, — гипотенуза.

Доказать: .

Доказательство:

Достроим данный треугольник до квадрата со стороной + .

Площадь этого квадрата .

Также, по свойству 20 площадей, площадь этого же квадрата , т.к. данный квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и внутреннего четырехугольника со стороной , который является квадратом, так как каждый угол данного четырехугольника с парой острых углов из двух прямоугольных треугольников  образуют развернутый угол, т.е. равный 1800, при этом сумма пары острых углов равна 900 (свойство прямоугольного треугольника), тогда угол внутреннего четырехугольника равен 1800 — 900 = 900. Следовательно, площадь квадрата со стороной  равна .

Итак, и , значит, , откуда , следовательно, . Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь треугольника

Площадь трапеции

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь



Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс


Задание 486,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 513,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 647,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 706,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 735,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 840,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 1069,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 1104,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 1142,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


Задание 1278,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright







Сокровище геометрии | Наука и жизнь

Римский архитектор Витрувий особо выделял теорему Пифагора «из многочисленных открытий, оказавших услуги развитию человеческой жизни», и призывал относиться к ней с величайшим почтением. Было это ещё в I веке до н. э. На рубеже XVI—XVII веков знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер назвал её одним из сокровищ геометрии, сравнимым с мерой золота. Вряд ли во всей математике найдётся более весомое и значимое утверждение, ведь по числу научных и практических приложений теореме Пифагора нет равных.

Теорема Пифагора для случая равнобедренного прямоугольного треугольника.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Иллюстрация к теореме Пифагора из «Трактата об измерительном шесте» (Китай, III век до н. э.) и реконструированное на его основе доказательство.

Наука и жизнь // Иллюстрации

С. Перкинс. Пифагор.

Чертёж к возможному доказательству Пифагора.

«Мозаика Пифагора» и разбиение ан-Найризи трёх квадратов в доказательстве теоремы Пифагора.

П. де Хох. Хозяйка и служанка во внутреннем дворике. Около 1660 года.

Я. Охтервелт. Бродячие музыканты в дверях богатого дома. 1665 год.

Пифагоровы штаны


Теорема Пифагора едва ли не самая узнаваемая и, несомненно, самая знаменитая в истории математики. В геометрии она применяется буквально на каждом шагу. Несмотря на простоту формулировки, эта теорема отнюдь не очевидна: глядя на прямоугольный треугольник со сторонами a < b < c, усмотреть соотношение a2 + b2 = c2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, — и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.


Фигуры, изображённые на рис. 1 и 2, напоминают простейший орнамент из квадратов и их равных частей — геометрический рисунок, известный с незапамятных времён. Им можно сплошь покрыть плоскость. Математик назвал бы такое покрытие плоскости многоугольниками паркетом, или замощением*. При чём тут Пифагор? Оказывается, он первым решил задачу о правильных паркетах, с которой началось изучение замощений различных поверхностей. Так вот, Пифагор показал, что плоскость вокруг точки могут покрыть без пробелов равные правильные многоугольники только трёх видов: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника.


4000 лет спустя


История теоремы Пифагора уходит в глубокую древность. Упоминания о ней содержатся ещё в вавилонских клинописных текстах времён царя Хаммурапи (XVIII век до н. э.), то есть за 1200 лет до рождения Пифагора. Теорема применялась как готовое правило во многих задачах, самая простая из которых — нахождение диагонали квадрата по его стороне. Не исключено, что соотношение a2 + b2 = c2 для произвольного прямоугольного треугольника вавилоняне получили, попросту «обобщив» равенство a2 + a2 = c2. Но им это простительно — для практической геометрии древних, сводившейся к измерениям и вычислениям, строгих обоснований не требовалось.


Теперь, почти 4000 лет спустя, мы имеем дело с теоремой-рекордсменом по количеству всевозможных доказательств. Между прочим, их коллекционирование — давняя традиция. Пик интереса к теореме Пифагора пришёлся на вторую половину XIX — начало XX столетия. И если первые коллекции содержали не более двух-трёх десятков доказательств, то к концу XIX века их число приблизилось к 100, а ещё через полвека превысило 360, и это только тех, что удалось собрать по разным источникам. Кто только не брался за решение этой нестареющей задачи — от именитых учёных и популяризаторов науки до конгрессменов и школьников. И что примечательно, в оригинальности и простоте решения иные любители не уступали профессионалам!


Самым древним из дошедших до нас доказательствам теоремы Пифагора около 2300 лет. Одно из них — строгое аксиоматическое — принадлежит древнегреческому математику Евклиду, жившему в IV—III веках до н. э. В I книге «Начал» теорема Пифагора значится как «Предложение 47». Самые наглядные и красивые доказательства построены на перекраивании «пифагоровых штанов». Они выглядят как хитроумная головоломка на разрезание квадратов. Но заставьте фигуры правильно двигаться — и они откроют вам секрет знаменитой теоремы.


Вот какое изящное доказательство получается на основе чертежа из одного древнекитайского трактата (рис. 3), и сразу проясняется его связь с задачей об удвоении площади квадрата.


Именно такое доказательство пытался объяснить своему младшему другу семилетний Гвидо, не по годам смышлёный герой новеллы английского писателя Олдоса Хаксли «Маленький Архимед». Любопытно, что рассказчик, наблюдавший эту картину, отметил простоту и убедительность доказательства, поэтому приписал его… самому Пифагору. А вот главный герой фантастической повести Евгения Велтистова «Электроник — мальчик из чемодана» знал 25 доказательств теоремы Пифагора, в том числе данное Евклидом; правда, ошибочно назвал его простейшим, хотя на самом деле в современном издании «Начал» оно занимает полторы страницы!


Первый математик


Пифагора Самосского (570—495 годы до н. э.), чьё имя давно и неразрывно связано с замечательной теоремой, в известном смысле можно назвать первым математиком. Именно с него математика начинается как точная наука, где всякое новое знание — результат не наглядных представлений и вынесенных из опыта правил, а итог логических рассуждений и выводов. Лишь так можно раз и навсегда установить истинность любого математического предложения. До Пифагора дедуктивный метод применял только древнегреческий философ и учёный Фалес Милетский, живший на рубеже VII—VI веков до н. э. Он высказал саму идею доказательства, но применял его не систематически, избирательно, как правило, к очевидным геометрическим утверждениям типа «диаметр делит круг пополам». Пифагор продвинулся гораздо дальше. Считается, что он ввёл первые определения, аксиомы и методы доказательства, а также создал первый курс геометрии, известный древним грекам под названием «Предание Пифагора». А ещё он стоял у истоков теории чисел и стереометрии.


Другая важная заслуга Пифагора — основание славной школы математиков, которая более столетия определяла развитие этой науки в Древней Греции. С его именем связывают и сам термин «математика» (от греческого слова μαθημa — учение, наука), объединивший четыре родственные дисциплины созданной Пифагором и его приверженцами — пифагорейцами — системы знаний: геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.


Отделить достижения Пифагора от достижений его учеников невозможно: следуя обычаю, они приписывали собственные идеи и открытия своему Учителю. Никаких сочинений ранние пифагорейцы не оставили, все сведения они передавали друг другу устно. Так что 2500 лет спустя историкам не остаётся ничего иного, кроме как реконструировать утраченные знания по переложениям других, более поздних авторов. Отдадим должное грекам: они хоть и окружали имя Пифагора множеством легенд, однако не приписывали ему ничего такого, чего он не мог бы открыть или развить в теорию. И носящая его имя теорема не исключение.


Такое простое доказательство


Неизвестно, Пифагор сам обнаружил соотношение между длинами сторон в прямоугольном треугольнике или позаимствовал это знание. Античные авторы утверждали, что сам, и любили пересказывать легенду о том, как в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка. Современные историки склонны считать, что он узнал о теореме, познакомившись с математикой вавилонян. Не знаем мы и о том, в каком виде Пифагор формулировал теорему: арифметически, как принято сегодня, — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или геометрически, в духе древних, — квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.


Считается, что именно Пифагор дал первое доказательство теоремы, носящей его имя. Оно, конечно, не сохранилось. По одной из версий, Пифагор мог воспользоваться разработанным в его школе учением о пропорциях. На нём основывалась, в частности, теория подобия, на которую опираются рассуждения. Проведём в прямоугольном треугольнике с катетами a и b высоту к гипотенузе c. Получим три подобных треугольника, включая исходный. Их соответствующие стороны пропорциональны, a : с = m : a и b : c = n : b, откуда a2 = c · m и b2 = c · n. Тогда a2 + b2 = = c · (m + n) = c2 (рис. 4).


Это всего лишь реконструкция, предложенная одним из историков науки, но доказательство, согласитесь, совсем простое: занимает всего-то несколько строк, не нужно ничего достраивать, перекраивать, вычислять… Неудивительно, что его не раз переоткрывали. Оно содержится, например, в «Практике геометрии» Леонардо Пизанского (1220), и его до сих пор приводят в учебниках.


Такое доказательство не противоречило представлениям пифагорейцев о соизмеримости: изначально они считали, что отношение длин любых двух отрезков, а значит, и площадей прямолинейных фигур, можно выразить с помощью натуральных чисел. Никакие другие числа они не рассматривали, не допускали даже дробей, заменив их отношениями 1 : 2, 2 : 3 и т. д. Однако, по иронии судьбы, именно теорема Пифагора привела пифагорейцев к открытию несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Все попытки численно представить длину этой диагонали — у единичного квадрата она равна √2 — ни к чему не привели. Проще оказалось доказать, что задача неразрешима. На такой случай у математиков есть проверенный метод — доказательство от противного. Кстати, и его приписывают Пифагору.


Существование отношения, не выражаемого натуральными числами, положило конец многим представлениям пифагорейцев. Стало ясно, что известных им чисел недостаточно для решения даже несложных задач, что уж говорить обо всей геометрии! Это открытие стало поворотным моментом в развитии греческой математики, её центральной проблемой. Сначала оно привело к разработке учения о несоизмеримых величинах — иррациональностях, а затем — и к расширению понятия числа. Иными словами, с него началась многовековая история исследования множества действительных чисел.

Мозаика Пифагора

Если покрыть плоскость квадратами двух разных размеров, окружив каждый малый квадрат четырьмя большими, получится паркет «мозаика Пифагора». Такой рисунок издавна украшает каменные полы, напоминая о древних доказательствах теоремы Пифагора (отсюда его название). По-разному накладывая на паркет квадратную сетку, можно получить разбиения квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, которые предлагались разными математиками. Например, если расположить сетку так, чтобы все её узлы совпали с правыми верхними вершинами малых квадратов, проявятся фрагменты чертежа к доказательству средневекового персидского математика ан-Найризи, которое он поместил в комментариях к «Началам» Евклида. Легко видеть, что сумма площадей большого и малого квадратов, исходных элементов паркета, равна площади одного квадрата наложенной на него сетки. А это означает, что указанное разбиение действительно пригодно для укладки паркета: соединяя в квадраты полученные многоугольники, как показано на рисунке, можно заполнить ими без пробелов и перекрытий всю плоскость.

Комментарии к статье


* Паркет, или замощение, — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.

как звучит правило Теорема Пифагора

от чего зависит емкость плоского конденсатора? ​

геометрическая задача: Про прямые круговые цилиндры C1 и C2 известно, что у C1 радиус основания в два раза больше, чем у C2, но у C2 высота в три раза

больше, чем у C1. Найдите отношение объёма цилиндра C2 к объёму C1.​

180 БАЛОВ!!!! СРОЧНО!!!!
у прямокутній трапеції тупий кут дорівнює 120 градусів а більша основа і більша бічна сторона дорівнюють по 8см. Знайдіть мен

шу основу трапеції

85 БАЛОВ!!!! СПОЧНО!!!!!
У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює 120 градусів а більша основа і більша бічна сторона дорівнюють по 8см. Знайдіть мен

шу основу трапеції

67 БАЛОВ!!!!!!!!! ПОЖАЛУЙСТА, СРОЧНО
У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює 120 градусів а більша основа і більша бічна сторона дорівнюють по 8см.

Знайдіть меншу основу трапеції

40 БАЛОВВВ!!!! СРОЧННО
У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює 120 градусів а більша основа і більша бічна сторона дорівнюють по 8см. Знайдіть меншу

основу трапеції

У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює 120 градусів а більша основа і більша бічна сторона дорівнюють по 8см. Знайдіть меншу основу трапеції

У прямокутній трапеції тупий кут дорівнює 120 градусів а більша основа і більша бічна сторона дорівнюють по 8см. 3. На листочке пожалуйста скиньте всё решение и дано тоже.

ПОМОГИТЕ СРОЧНО РЕШИТЬ ЗАДАЧУ
Биссектрисы PC и KA треугольника KPM пересекаются в точке E. Найдите градусную меру угла AEP, если угол M=54 градусов

Теорема Пифагора, формула и доказательство

ТЕОРЕМА


В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 1).

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле

   

С другой стороны для вычисления площади произвольного треугольника справедлива формула: . В этой формуле – полупериметр , а – радиус вписанной окружности и для прямоугольника он равен . Далее приравнивая правые части обеих формул для площади треугольника, получим

   

   

   

   

   

   

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1




Задание Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти гипотенузу.
Решение Обозначим катеты см и см, а гипотенузу – . По теореме Пифагора гипотенуза будет равна

   

Подставляя длины катетов, получим

(см)

Ответ Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см

ПРИМЕР 2




Задание Диагональ прямоугольника равна 5 см, а одна из его сторон – 3 см. Найти вторую сторону прямоугольника.
Решение Сделаем рисунок (рис. 2).

Обозначим см, см. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Запишем для него теорему Пифагора:

   

Выразим из последнего равенства неизвестную сторону :

   

Подставляя известные значения сторон, получим

   

   

   

(см)

Ответ Вторая сторона прямоугольника равна 4 см

Сокровище геометрии

Наталья Карпушина
«Наука и жизнь» №9, 2016

Римский архитектор Витрувий особо выделял теорему Пифагора «из многочисленных открытий, оказавших услуги развитию человеческой жизни», и призывал относиться к ней с величайшим почтением. Было это ещё в I веке до н. э. На рубеже XVI–XVII веков знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер назвал её одним из сокровищ геометрии, сравнимым с мерой золота. Вряд ли во всей математике найдётся более весомое и значимое утверждение, ведь по числу научных и практических приложений теореме Пифагора нет равных.

Пифагоровы штаны

Теорема Пифагора едва ли не самая узнаваемая и, несомненно, самая знаменитая в истории математики. В геометрии она применяется буквально на каждом шагу. Несмотря на простоту формулировки, эта теорема отнюдь не очевидна: глядя на прямоугольный треугольник со сторонами a < b < c, усмотреть соотношение a2 + b2 = c2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, — и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

Фигуры, изображённые на рис. 1 и 2, напоминают простейший орнамент из квадратов и их равных частей — геометрический рисунок, известный с незапамятных времён. Им можно сплошь покрыть плоскость. Математик назвал бы такое покрытие плоскости многоугольниками паркетом, или замощением*. При чём тут Пифагор? Оказывается, он первым решил задачу о правильных паркетах, с которой началось изучение замощений различных поверхностей. Так вот, Пифагор показал, что плоскость вокруг точки могут покрыть без пробелов равные правильные многоугольники только трёх видов: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника.

4000 лет спустя

История теоремы Пифагора уходит в глубокую древность. Упоминания о ней содержатся ещё в вавилонских клинописных текстах времён царя Хаммурапи (XVIII век до н. э.), то есть за 1200 лет до рождения Пифагора. Теорема применялась как готовое правило во многих задачах, самая простая из которых — нахождение диагонали квадрата по его стороне. Не исключено, что соотношение a2 + b2 = c2 для произвольного прямоугольного треугольника вавилоняне получили, попросту «обобщив» равенство a2 + a2 = c2. Но им это простительно — для практической геометрии древних, сводившейся к измерениям и вычислениям, строгих обоснований не требовалось.

Теперь, почти 4000 лет спустя, мы имеем дело с теоремой-рекордсменом по количеству всевозможных доказательств. Между прочим, их коллекционирование — давняя традиция. Пик интереса к теореме Пифагора пришёлся на вторую половину XIX — начало XX столетия. И если первые коллекции содержали не более двух-трёх десятков доказательств, то к концу XIX века их число приблизилось к 100, а ещё через полвека превысило 360, и это только тех, что удалось собрать по разным источникам. Кто только не брался за решение этой нестареющей задачи — от именитых учёных и популяризаторов науки до конгрессменов и школьников. И что примечательно, в оригинальности и простоте решения иные любители не уступали профессионалам!

Самым древним из дошедших до нас доказательствам теоремы Пифагора около 2300 лет. Одно из них — строгое аксиоматическое — принадлежит древнегреческому математику Евклиду, жившему в IV–III веках до н. э. В I книге «Начал» теорема Пифагора значится как «Предложение 47». Самые наглядные и красивые доказательства построены на перекраивании «пифагоровых штанов». Они выглядят как хитроумная головоломка на разрезание квадратов. Но заставьте фигуры правильно двигаться — и они откроют вам секрет знаменитой теоремы.

Вот какое изящное доказательство получается на основе чертежа из одного древнекитайского трактата (рис. 3), и сразу проясняется его связь с задачей об удвоении площади квадрата.

Именно такое доказательство пытался объяснить своему младшему другу семилетний Гвидо, не по годам смышлёный герой новеллы английского писателя Олдоса Хаксли «Маленький Архимед». Любопытно, что рассказчик, наблюдавший эту картину, отметил простоту и убедительность доказательства, поэтому приписал его… самому Пифагору. А вот главный герой фантастической повести Евгения Велтистова «Электроник — мальчик из чемодана» знал 25 доказательств теоремы Пифагора, в том числе данное Евклидом; правда, ошибочно назвал его простейшим, хотя на самом деле в современном издании «Начал» оно занимает полторы страницы!

Первый математик

Пифагора Самосского (570–495 годы до н.  э.), чьё имя давно и неразрывно связано с замечательной теоремой, в известном смысле можно назвать первым математиком. Именно с него математика начинается как точная наука, где всякое новое знание — результат не наглядных представлений и вынесенных из опыта правил, а итог логических рассуждений и выводов. Лишь так можно раз и навсегда установить истинность любого математического предложения. До Пифагора дедуктивный метод применял только древнегреческий философ и учёный Фалес Милетский, живший на рубеже VII–VI веков до н. э. Он высказал саму идею доказательства, но применял его не систематически, избирательно, как правило, к очевидным геометрическим утверждениям типа «диаметр делит круг пополам». Пифагор продвинулся гораздо дальше. Считается, что он ввёл первые определения, аксиомы и методы доказательства, а также создал первый курс геометрии, известный древним грекам под названием «Предание Пифагора». А ещё он стоял у истоков теории чисел и стереометрии.

Другая важная заслуга Пифагора — основание славной школы математиков, которая более столетия определяла развитие этой науки в Древней Греции. С его именем связывают и сам термин «математика» (от греческого слова μαθημa — учение, наука), объединивший четыре родственные дисциплины созданной Пифагором и его приверженцами — пифагорейцами — системы знаний: геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.

Отделить достижения Пифагора от достижений его учеников невозможно: следуя обычаю, они приписывали собственные идеи и открытия своему Учителю. Никаких сочинений ранние пифагорейцы не оставили, все сведения они передавали друг другу устно. Так что 2500 лет спустя историкам не остаётся ничего иного, кроме как реконструировать утраченные знания по переложениям других, более поздних авторов. Отдадим должное грекам: они хоть и окружали имя Пифагора множеством легенд, однако не приписывали ему ничего такого, чего он не мог бы открыть или развить в теорию. И носящая его имя теорема не исключение.

Такое простое доказательство

Неизвестно, Пифагор сам обнаружил соотношение между длинами сторон в прямоугольном треугольнике или позаимствовал это знание. Античные авторы утверждали, что сам, и любили пересказывать легенду о том, как в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка. Современные историки склонны считать, что он узнал о теореме, познакомившись с математикой вавилонян. Не знаем мы и о том, в каком виде Пифагор формулировал теорему: арифметически, как принято сегодня, — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или геометрически, в духе древних, — квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Считается, что именно Пифагор дал первое доказательство теоремы, носящей его имя. Оно, конечно, не сохранилось. По одной из версий, Пифагор мог воспользоваться разработанным в его школе учением о пропорциях. На нём основывалась, в частности, теория подобия, на которую опираются рассуждения. Проведём в прямоугольном треугольнике с катетами a и b высоту к гипотенузе c. Получим три подобных треугольника, включая исходный. Их соответствующие стороны пропорциональны, a : с = m : a и b : c = n : b, откуда a2 = c · m и b2 = c · n. Тогда a2 + b2 = c · (m + n) = c2 (рис. 4).

Это всего лишь реконструкция, предложенная одним из историков науки, но доказательство, согласитесь, совсем простое: занимает всего-то несколько строк, не нужно ничего достраивать, перекраивать, вычислять… Неудивительно, что его не раз переоткрывали. Оно содержится, например, в «Практике геометрии» Леонардо Пизанского (1220), и его до сих пор приводят в учебниках.

Такое доказательство не противоречило представлениям пифагорейцев о соизмеримости: изначально они считали, что отношение длин любых двух отрезков, а значит, и площадей прямолинейных фигур, можно выразить с помощью натуральных чисел. Никакие другие числа они не рассматривали, не допускали даже дробей, заменив их отношениями 1 : 2, 2 : 3 и т. д. Однако, по иронии судьбы, именно теорема Пифагора привела пифагорейцев к открытию несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Все попытки численно представить длину этой диагонали — у единичного квадрата она равна √2 — ни к чему не привели. Проще оказалось доказать, что задача неразрешима. На такой случай у математиков есть проверенный метод — доказательство от противного. Кстати, и его приписывают Пифагору.

Существование отношения, не выражаемого натуральными числами, положило конец многим представлениям пифагорейцев. Стало ясно, что известных им чисел недостаточно для решения даже несложных задач, что уж говорить обо всей геометрии! Это открытие стало поворотным моментом в развитии греческой математики, её центральной проблемой. Сначала оно привело к разработке учения о несоизмеримых величинах — иррациональностях, а затем — и к расширению понятия числа. Иными словами, с него началась многовековая история исследования множества действительных чисел.


* Паркет, или замощение, — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.

Шлюз

Veuillez réessayer dans quelques instants. Si le problème persiste,
veuillez communiquer avec le service de soutien Technique de Alberta Education (доступный
en anglais seulement).

Телефон : 780-427-5318
(Composer d’abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)
Телекопье: 780-427-1179
Adresse de Courriel: cshelpdesk @ gov. ab.ca

Теорема Пифагора — объяснение и примеры

Теорема Пифагора, , также известная как « теорема Пифагора, », возможно, является самой известной формулой в математике , которая определяет отношения между сторонами прямоугольного треугольника.

Приписывают теорему греческому математику и философу по имени Пифагор (569-500 гг. До н. Э.).C.E.). Он внес большой вклад в математику, но теорема Пифагора является наиболее важной из них.

Пифагору приписывают несколько вкладов в математику, астрономию, музыку, религию, философию и т. Д. Одним из его заметных вкладов в математику является открытие теоремы Пифагора. Пифагор изучил стороны прямоугольного треугольника и обнаружил, что сумма квадрата двух более коротких сторон треугольников равна квадрату самой длинной стороны.

В этой статье e будет обсуждаться, что такое теорема Пифагора , ее обратная формула и формула теоремы Пифагора. Прежде чем углубляться в тему, вспомним прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник — это треугольник, внутренний угол которого равен 90 градусам. В прямоугольном треугольнике две короткие ножки встречаются под углом 90 градусов. Гипотенуза треугольника противоположна углу в 90 градусов.

Что такое теорема Пифагора?

Теорема Пифагора — это математический закон, который гласит, что сумма квадратов длин двух коротких сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы .

Теорема Пифагора алгебраически записывается как:

a 2 + b 2 = c 2

Как выполнить теорему Пифагора?

Рассмотрим прямоугольный треугольник выше.

Учитывая, что:

∠ ABC = 90 °.

Пусть BD — линия, перпендикулярная стороне AC.

Подобные ∆s:

∆ADB и ∆ABC — подобные треугольники.

Из правила подобия

⇒ AD / AB = AB / AC

⇒ AD × AC = (AB) 2 —————– (i)

Аналогично;

∆BDC и ∆ABC — подобные треугольники.Следовательно;

⇒ DC / BC = BC / AC

⇒ DC × AC = (BC) 2 —————– (ii)

Комбинируя уравнения (i) и (ii), мы получаем
AD × AC + DC × AC = (AB) 2 + (BC) 2

⇒ (AD + DC) × AC = (AB) 2 + (BC) 2

⇒ (AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2

Следовательно, если мы положим AC = c; AB = b и BC = b, тогда;

⇒ c 2 = a 2 + b 2

Существует множество демонстраций теоремы Пифагора , приведенных разными математиками.

Другая распространенная демонстрация — это нарисовать 3 квадрата таким образом, чтобы они образовывали прямоугольный треугольник между ними, а площадь большего квадрата (тот, что находится в гипотенузе) равна сумме площади меньшего два квадрата (те, что с двух сторон).

Рассмотрим 3 квадрата ниже:

Они нарисованы таким образом, что образуют прямоугольный треугольник. Мы можем записать их площади в форме уравнения:

Площадь квадрата III = Площадь квадрата I + Площадь квадрата II

Предположим, что длина квадрата I , квадрата II, и квадрат III — это a, b и c соответственно.

Тогда

Площадь квадрата I = a 2

Площадь квадрата II = b 2

Площадь квадрата III = c 2

Следовательно, мы можем написать это как:

a 2 + b 2 = c 2

, что является теоремой Пифагора.

Обращение теоремы Пифагора

Обращение теоремы Пифагора — это правило, которое используется для классификации треугольников как прямоугольный, острый или тупой.

Учитывая теорему Пифагора, a 2 + b 2 = c 2 , затем:

Пример 1

Классифицируйте треугольник с размерами; a = 5 м, b = 7 м и c = 9 м.

Решение

Согласно теореме Пифагора, a 2 + b 2 = c 2 , тогда;

a 2 + b 2 = 5 2 + 7 2 = 25 + 49 = 74

Но, c 2 = 9 2 = 81
Сравните: 81> 74

Следовательно, c 2 > a 2 + b 2 (тупой треугольник).

Пример 2

Классифицируйте треугольник, длина сторон которого a, b, c составляет 8 мм, 15 мм и 17 мм соответственно.

Решение
a 2 + b 2 = 8 2 + 15 2 = 64 + 225 = 289
Но, c 2 = 17 2 = 289
Сравните: 289 = 289

Следовательно, c 2 = a 2 + b 2 (прямоугольный треугольник).

Пример 3

Классифицируйте треугольник с длинами сторон: 11 дюймов, 13 дюймов и 17 дюймов.

Решение
a 2 + b 2 = 11 2 + 13 2 = 121 + 169 = 290
c 2 = 17 2 = 289
Сравните: 289 <290

Следовательно, c 2 2 + b 2 (острый треугольник)

Формула теоремы Пифагора

Формула теоремы Пифагора имеет вид:

⇒ c 2 = a 2 + b 2

где;

c = длина гипотенузы;

a = длина одной стороны;

b = длина второй стороны.

Эту формулу можно использовать для решения различных задач, связанных с прямоугольными треугольниками. Например, мы можем использовать формулу для определения третьей длины треугольника, когда известны длины двух сторон треугольника.

Применение формулы теоремы Пифагора в реальной жизни

  • Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы проверить, является ли треугольник прямоугольным или нет.
  • В океанографии формула используется для расчета скорости звуковых волн в воде.
  • Теорема Пифагора используется в метеорологии и авиакосмической сфере для определения источника звука и его дальности.
  • Мы можем использовать теорему Пифагора для расчета электронных компонентов, таких как телевизионные экраны, компьютерные экраны, солнечные панели и т. Д.
  • Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления градиента определенного ландшафта.
  • В навигации теорема используется для вычисления кратчайшего расстояния между заданными точками.
  • В архитектуре и строительстве мы можем использовать теорему Пифагора для расчета уклона крыши, дренажной системы, плотины и т. Д.

Рабочие примеры теоремы Пифагора:

Пример 4

Две короткие стороны прямоугольного треугольника составляют 5 см и 12 см. Найти длину третьей стороны

Решение

Учитывая, что a = 5 см

b = 12 см

c =?

Из формулы теоремы Пифагора; c 2 = a 2 + b 2 , имеем;

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 12 2 + 5 2

c 2 = 144 + 25

√c 2 = √169

c = 13.

Следовательно, третий равен 13 см.

Пример 5

Длина диагонали и одной стороны треугольной стороны составляет 25 см и 24 см соответственно. Каков размер третьей стороны?

Решение

Используя теорему Пифагора,

c 2 = a 2 + b 2 .

Пусть b = третья сторона

25 2 = 24 2 + b 2
625 = 576 + b 2
625 — 576 = 576 — 576 + b 2
49 = b 2
b 2 = 49

b = √49 = 7 см

Пример 6

Найдите размер экрана компьютера, размеры которого составляют 8 дюймов и 14 дюймов.

Подсказка: диагональ экрана равна его размеру .

Решение

Размер экрана компьютера совпадает с его диагональю.

Используя теорему Пифагора,

c 2 = 8 2 + 15 2

Решите относительно c.

c 2 = 64 + 225

c 2 = 289

c = √289

c = 17

Следовательно, размер экрана компьютера составляет 17 дюймов.

Пример 7

Найдите площадь прямоугольного треугольника, учитывая, что диагональ и основания составляют 8,5 см и 7,7 см соответственно.

Решение

Используя теорему Пифагора,

8,5 2 = a 2 + 7,5 2

Решите для a.

72,25 = a 2 + 56,25

72,25 — 56,25 = k 2 + 56,25 — 56,25

16 = a 2

a = √16 = 4 см

Площадь прямоугольного треугольника = ( ½) x основание x высота

= (½ x 7.7 x 4) см 2

= 15,4 см 2

Практические вопросы

  1. Канат длиной 20 м протягивается от вершины 12-метрового дерева до земли. Какое расстояние между деревом и концом веревки на земле?
  2. К стене прислонена лестница длиной 13 м. Если расстояние от основания лестницы до стены составляет 5 м, какова высота стены?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Правило Пифагора — Xcelerate Math

Теорема Пифагора (прописью):

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Правило Пифагора (в символах):

Чтобы найти гипотенузу c 2 = a 2 + b 2

Чтобы найти другую сторону a 2 = c 2 — b 2

c всегда гипотенуза.

Не забудьте найти квадратный корень на последнем шаге.

Знаете ли вы, что .

..?

Пифагор был греческим философом, математиком и основателем религиозного культа по имени пифагорейцев , которые верили в реинкарнацию.Он играл активную роль в политике, но был вынужден бежать из дома, когда его учение стало непопулярным. Теперь он наиболее известен своими
Теорема Пифагора и тройки Пифагора .

Вопрос — Правило Пифагора с квадратами на трех сторонах

Вот прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.
Используя площади квадратов, вы можете увидеть, что 3 2 + 4 2 = 5 2
Работает ли это с другими числами?

Математические забавы — Правило Пифагора с полукругами на трех сторонах

Работает ли правило Пифагора с областями фигур, отличными от квадратов? Вычислите площади этих полукругов.Что ты заметил?

Пример 1 — Нахождение гипотенузы

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с перпендикулярными сторонами 5 и 12.

Ответ:

а = 5

б = 12

c 2 = a 2 + b 2
= 5 2 + 12 2
= 25 + 144

= 169

c = √169 (Не забудьте найти квадратный корень.)

= 13


Пример 2 — Нахождение гипотенузы

Плотник, строящий эту лестницу, должен рассчитать длину опорной деревянной балки под ней. вертикальный и горизонтальный
длина 200 см и 210 см
.

Ответ:

а = 200

б = 210

c 2 = a 2 + b 2
= 200 2 + 210 2
= 40000 + 44100

= 84100

c = √84100 (Не забудьте найти квадратный корень.)

= 290 см


Пример третий — поиск стороны

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 . Одна сторона — 8 . Какова длина другой стороны ?

Ответ:

с = 10

б = 8

a 2 = c 2 — b 2
= 10 2 — 8 2
= 100 — 64

= 36

а = √36

= 6


Пример четвертый — Поиск стороны

Парашютист вместо того, чтобы упасть прямо вниз, уносится ветром, как показано на рисунке. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26 метрам
а вертикальное падение составляет 24 метра . На какое расстояние по горизонтали она не попадет в цель?

Ответ:

c = 26 метров

b = 24 метра

a 2 = c 2 — b 2
= 26 2 -24 2
= 676-576

= 100

а = √100

= 10 метров от цели

Вопросы

1 кв. Что такое гипотенуза прямоугольного треугольника с перпендикулярными сторонами 26 и 168?

2 кв. Найдите другую сторону прямоугольного треугольника, если гипотенуза 205, а одна сторона 45.

Ответы

A1. 170

A2. 200

Maths Fun — Площадь правильного шестиугольника

У правильного шестиугольника 6 равных сторон. Его можно разделить на 2 равносторонних треугольника, соединенных в центре шестиугольника.Если каждая сторона шестиугольника
имеет длину 1 единицу, докажите, что площадь шестиугольника примерно в 2,6 раза больше квадрата длины стороны .

Математика 128, Современная геометрия, Теорема Пифагора

Математика 128, Современная геометрия, Теорема Пифагора

Math 128, Modern Geometry
Теорема Пифагора

, осень 2005 г., Университет Кларка.
, кафедра математики. И комп. Sci.
Д Джойс,
БП 322, 793-7421.

В первой части курса мы рассмотрим геометрию плоскости.Один из
Основная критика синтетической геометрии заключается в том, что она ужасно сухая. Потому что это
синтетическая геометрия, она начинается очень медленно с аксиом, затем действительно базовых теорем,
и в конце концов переходит к интересным вещам, таким как теорема Пифагора. Ты
приходится предполагать, что сухой материал приведет к интересному, и это так.
Тем не менее, поскольку материал представлен, нет никаких указаний на то, где он находится.
уходит, и это приводит к разочарованию и скуке.

Было бы неплохо увидеть, почему все эти сухие детали синтетической геометрии
здесь? Почему их нельзя пропустить, чтобы сразу перейти к хорошему
части? Что ж, давай сделаем это!

Давайте начнем с хороших деталей и продвинемся в обратном направлении. Стандарт
изложение состоит из трех этапов: (1) аксиомы и определения, (2) основные теоремы,
(3) интересные теоремы. Но стандартная презентация
это конечный продукт процесса, а не то, как он начался. Процесс начался с
интересные предложения и поиск, чтобы выяснить, почему они верны. Ответ
почему они верны, стало синтетической геометрией в ее стандартном представлении.

Итак, мы попытаемся выяснить, почему эти интересные теоремы верны.
Это называется анализом геометрии.Анализ означает, что мы разбиваем вещи на
их части. Результатом этого анализа геометрии будет синтетическая геометрия.

Возьмем один интересный результат по геометрии, не слишком сложный,
и проанализируйте это. Возьмем теорему Пифагора. Это очень важно
Теорема, это интересная теорема, и она удивительна в том смысле, что
вы бы не догадались, если бы еще не знали об этом. (Это приводит к
интересный исторический вопрос: как кто-то вообще обнаружил это в
первое место?)

Теорема Пифагора.

Во-первых, что это? Формулировка теоремы в том виде, в каком мы ее обычно видим сейчас,
это то, что дан прямоугольный треугольник, квадрат гипотенузы является суммой
квадраты двух других сторон. Мы привыкли рассматривать это как алгебраический
уравнение. Если гипотенуза имеет длину c, то , а длины гипотенузы
две другие стороны — a и b, затем

c 2 = a 2 + b 2 .

До появления символической алгебры теорема часто формулировалась геометрически в терминах
реальных площадей. Если вы нарисуете квадраты с трех сторон прямоугольного треугольника,
то по теореме площадь квадрата на гипотенузе равна
сумма площадей двух квадратов с двух других сторон.

Почему это называется теоремой Пифагора? Считалось, что
Пифагор Самосский (родился около 570 г. до н.э.Н. Э., Умер около 490 г. до н. Э.), Или один из
последующие за ним пифагорейцы доказали это. Пифагорейцы наверняка это знали.
было правдой, и это было примерно в то время, когда доказательства стали важны для геометров,
так что вполне могло быть, что у пифагорейцев было доказательство. Но опять же, у нас не так много доказательств, поэтому
возможно, это было доказано немного позже, когда-то до Евклида (около
300 г. до н. Э.). В любом случае мы должны проводить различие между знанием
что-то правда и зная, почему это правда.Я попробую использовать слово
«теорема» означает утверждение, имеющее доказательство, и «правило» для утверждения.
известно или считается правдой, но, возможно, без доказательств. Итак, пифагорейцы
кто знал это хотя бы принял пифагорейский
Правило , , и как только они это доказали (если они действительно доказали это), получили
Теорема Пифагора .

Это пифагорейское правило было известно во многих других культурах, некоторые задолго до этого.
Пифагор. Самые ранние люди, которых мы можем задокументировать, знали правило Пифагора.
были вавилонянами, которые, по крайней мере, в 1800 г. до н. э.C.E. использовали
Правило Пифагора. Это примерно за полтора тысячелетия до Пифагора.
В свете этого нам, вероятно, следует использовать другое имя. Я бы предложил
«правило прямоугольного треугольника», но имя Пифагора так сильно привязано к этому
теорема или правило, что, вероятно, бесполезно пытаться изменить название.

Почему это правда? Наша задача — выяснить, почему пифагорейский
правило верно. Другими словами, мы ищем доказательства. На данный момент мы
не нужны полностью формальные доказательства этого.Ведь мы будем развиваться
теория плоской геометрии, так что мы можем полностью формально доказать ее. Верно
Теперь все, что нам нужно, — это убедительный аргумент в пользу правила Пифагора.

Таких аргументов много. Ваша задача — найти его. Вы можете использовать любой
аргумент кроме Евклида. Формальное доказательство Евклида содержится в предложении 47 книги.
I из элементов. Поскольку мы рассмотрим это позже, чтобы увидеть, как
Евклид решил проблему развития теории плоской геометрии, давайте не будем
рассмотрите это сейчас.

Ваше задание.
Итак, либо самостоятельно, либо с другими, либо поискав его, найдите доказательство
правила Пифагора. Самому доказать сложно,
особенно если вы никогда не видели никаких доказательств этого, но попробовать это весело, и вы
может получиться. Вы, наверное, видели одно или несколько доказательств раньше, и что
должен дать возможность разработать его, даже если вы точно не помните
что вы видели. Но вы можете поискать одну из них. Напишите краткое изложение
выбранного вами доказательства (любого, кроме доказательства Евклида).

Мы рассмотрим различные методы доказательства в классе и выберем один или два
из них, чтобы преследовать как класс. Мы изучим это доказательство, чтобы увидеть, какие предположения
это делает. В течение следующих нескольких встреч мы проанализируем некоторые из этих предположений.
далее, и мы превратим эти предположения в другие теоремы с их собственными
доказательства. Некоторые из них будут интересными теоремами, но по мере продвижения
теоремы будут становиться все более и более базовыми, менее и менее интересными и более
трудно найти более основное утверждение, на котором основывались бы доказательства.Те
предположения, для которых мы не находим доказательств, станут аксиомами нашей теории.

Вернуться на страницу курса


Эта страница находится в Интернете по адресу

 http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma128/pyth.html 

.

Дэвид Э. Джойс

Теорема Пифагора | Определение и история

Теорема Пифагора , хорошо известная геометрическая теорема о том, что сумма квадратов на катетах прямоугольного треугольника равна квадрату на гипотенузе (сторона, противоположная прямому углу) — или, как известно алгебраическая запись, a 2 + b 2 = c 2 . Хотя теорема давно ассоциируется с греческим математиком-философом Пифагором (около 570–500 / 490 гг. До н. Э.), На самом деле она намного старше. Четыре вавилонских таблички примерно 1900–1600 гг. До н.э. указывают на некоторое знание теоремы, с очень точным вычислением квадратного корня из 2 (длина гипотенузы прямоугольного треугольника с длиной обоих катетов, равной 1) и списками специальные целые числа, известные как тройки Пифагора, которые ему удовлетворяют (например, 3, 4 и 5; 3 2 + 4 2 = 5 2 , 9 + 16 = 25).Теорема упоминается в Баудхаяне Сульба-сутра Индии, которая была написана между 800 и 400 годами до нашей эры. Тем не менее, теорема была приписана Пифагору. Это также предложение номер 47 из Книги I Евклида Elements .

Британская викторина

36 вопросов из самых популярных научных викторин «Британники»

Насколько хорошо вы знаете астрономию? А как насчет квантовой механики? В этой викторине вы ответите на 36 самых сложных вопросов из самых популярных викторин Британики о науках. Его завершат только лучшие мастера викторины.

Согласно сирийскому историку Ямвлиху (ок. 250–330 гг. Н. Э.), Пифагор был представлен математике Фалесом Милетским и его учеником Анаксимандром. В любом случае известно, что Пифагор отправился в Египет около 535 г. до н.э. для дальнейшего изучения, был схвачен во время вторжения Персии Камбиза II в 525 г. до н. Вскоре Пифагор поселился в Кротоне (ныне Кротоне, Италия) и основал школу, или, говоря современным языком, монастырь ( см. пифагореизм), где все члены дали строгую клятву секретности, и все новые математические результаты за несколько столетий были приписаны его имя.Таким образом, неизвестно не только первое доказательство теоремы, но и некоторые сомнения в том, что сам Пифагор действительно доказал теорему, носящую его имя. Некоторые ученые предполагают, что первое доказательство было показано на рисунке. Вероятно, он был независимо обнаружен в нескольких разных культурах.

Теорема Пифагора

Наглядная демонстрация теоремы Пифагора. Это может быть оригинальным доказательством древней теоремы, которая гласит, что сумма квадратов на сторонах прямоугольного треугольника равна квадрату на гипотенузе ( a 2 + b 2 = c 2 ).В поле слева заштрихованные зеленым цветом a 2 и b 2 представляют квадраты на сторонах любого из идентичных прямоугольных треугольников. Справа четыре треугольника переставлены, оставляя c 2 , квадрат на гипотенузе, площадь которого с помощью простой арифметики равна сумме a 2 и b 2 . Чтобы доказательство работало, нужно только увидеть, что c 2 действительно квадрат.Это делается путем демонстрации того, что каждый из его углов должен составлять 90 градусов, поскольку все углы треугольника должны составлять в сумме 180 градусов.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Книга I Elements заканчивается знаменитым «ветряным» доказательством Евклида теоремы Пифагора. ( См. Врезку : Ветряная мельница Евклида.) Позже в Книге VI Элементов Евклид предлагает еще более простую демонстрацию, используя утверждение, что площади подобных треугольников пропорциональны квадратам их соответствующих сторон.По-видимому, Евклид изобрел доказательство ветряной мельницы, чтобы поместить теорему Пифагора в качестве завершающей в Книгу I. Он еще не продемонстрировал (как он сделал это в Книге V), что длинами строк можно изменять пропорции, как если бы они были соизмеримыми числами ( целые числа или отношения целых чисел). Проблема, с которой он столкнулся, объясняется на боковой панели: «Несоизмеримые».

Было изобретено очень много различных доказательств и расширений теоремы Пифагора. Сам Евклид, сначала взяв расширения, показал в теореме, восхваляемой в древности, что любые симметричные правильные фигуры, нарисованные на сторонах прямоугольного треугольника, удовлетворяют пифагорейскому соотношению: фигура, нарисованная на гипотенузе, имеет площадь, равную сумме площадей фигур. нарисовано на ногах.Полукруги, которые определяют луны Гиппократа Хиосского, являются примерами такого расширения. ( См. Врезку : Квадратура Луны.)

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

В девяти главах по математическим процедурам (или девяти главах ), составленных в I веке нашей эры в Китае, дается несколько задач вместе с их решениями, которые включают определение длины одной из сторон прямоугольный треугольник, если учесть две другие стороны.В комментарии Лю Хуэй , относящемся к 3-м веку, Лю Хуэй предложил доказательство теоремы Пифагора, которая требовала разрезать квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и переставлять их («стиль танграм»), чтобы они соответствовали квадрат на гипотенузе. Хотя его первоначальный рисунок не сохранился, на следующем рисунке показана возможная реконструкция.

«танграмное» доказательство теоремы Пифагора Лю Хуэй

Это реконструкция доказательства китайского математика (основанного на его письменных инструкциях) о том, что сумма квадратов на сторонах прямоугольного треугольника равна квадрату на гипотенузе. Начинают с 2 и b 2 , квадратов на сторонах прямоугольного треугольника, а затем разрезают их на различные формы, которые можно переставить, чтобы получился c 2 , квадрат на гипотенузе.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Теорема Пифагора очаровывала людей почти 4000 лет; в настоящее время существует более 300 различных доказательств, в том числе от греческого математика Паппа Александрийского (процветание ок. 320 г. н. э.), арабского математика-врача Табита ибн Курры (ок.836–901), итальянского художника-изобретателя Леонардо да Винчи (1452–1519) и даже президента США. Джеймс Гарфилд (1831–81).

Теорема Пифагора — Как использовать теорему Пифагора с примерами

Одна из самых популярных и красивых теорем в математике — это теорема Пифагора. Названная в честь греческого математика, которому часто приписывают первое доказательство теорем, это одна из самых известных математических теорем в мире. Этот сайт посвящен этой теореме и визуально и теоретически объясняет, как она работает, как ее использовать и как ее доказать. 2 $.2 $. Пифагорейские тройки были открыты вавилонянами с 2000 по 1786 год до нашей эры, хотя они никогда не упоминали никаких треугольников.

Пифагор или его ученики построили первое известное алгебраическое доказательство теоремы, и известные писатели, такие как Плутарх и Цицерон, приветствовали его за открытие этого доказательства. Поэтому ему приписывают эту прекрасную связь между сторонами прямоугольного треугольника.

Источники для этого раздела: Wikipedia eng, Wikipedia swe

Простое графическое доказательство теоремы выглядит так:

Источник: httpss: // eddler.2 $

(если первый отрезок равен 5, это был бы прямоугольный треугольник)

2.4 Какое расстояние по диагонали у квадрата?

Стороны квадрата равны 1 доллару. Какое диагональное расстояние в квадрате?

Решение:

Диагональное расстояние можно вычислить с помощью теоремы Пифагора, поскольку это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами $ 1 $ и $ 1 $. 2 = 2 $

Извлеките квадратный корень

$ c = \ sqrt {2} ≈ 1,414 $

2.5 Специальные типы прямоугольных треугольников, прямоугольный треугольник 30 ° -60 ° и 45 ° -45 °

Существует несколько особых типов (или случаев) прямоугольных треугольников. Два из них представляют собой прямоугольные треугольники 30 ° -60 ° $ и прямоугольные треугольники 45 ° -45 ° $.

Из-за этих углов легче определить стороны прямоугольного треугольника. Попробуем понять это на двух примерах.

прямоугольные треугольники 30-60 градусов

В этом типе треугольника противоположная сторона угла $ 30 ° $ составляет половину гипотенузы:

$ b = \ frac12 · c = 0,5 · c $

прямоугольные треугольники под углом 45-45 градусов

В прямоугольном треугольнике 45-45 градусов мы можем получить длину гипотенузы, умножив длину одного катета на $ \ sqrt {2} $, чтобы получить длину гипотенузы:

$ c = \ sqrt {2} · a = \ sqrt {2} · b $

3.

Более сложные примеры

В этом разделе вы найдете примеры и решения, в которых мы используем теорему Пифагора для решения этих проблем, даже если они не связаны напрямую с прямоугольным треугольником.

3.1 Расстояние между двумя точками (и формула расстояния)

Найдите расстояние между двумя точками.

Решение:

Синяя точка имеет координаты (1, 1), а красная точка имеет координаты (5, 3).

Теперь давайте нарисуем линии, чтобы сформировать прямоугольный треугольник, в котором мы используем две точки в качестве углов.2}

долл. США

3,3 Диагональное расстояние куба

С помощью теоремы Пифагора можно найти диагональное расстояние в кубе. Покажем это на примере.

Найти x

Чтобы узнать диагональное расстояние $ x $ в этом кубе, где длина сторон равна $ 1 $, мы можем использовать пифагор.

Вертикальная катка в прямоугольном треугольнике имеет длину $ 1 $, так как она равна стороне куба. Назовем это $ b = 1 $.

Горизонтальную ногу можно найти с помощью Пифагора, назовем это $

.

Рассчитаем a.2 = 2 + 1 $ 9 0004

$ x = \ sqrt {3}

$

Следовательно, диагональное расстояние в этом кубе составляет $ \ sqrt {3} $

.

4 Продолжайте изучать теорему Пифагора

Теорема Пифагора с примерами

Теорема Пифагора — это способ соотнести длины катетов прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы, которая является стороной, противоположной прямому углу. Несмотря на то, что он написан в этих терминах, его можно использовать для поиска любой стороны, если вам известны длины двух других сторон.В этом уроке мы рассмотрим несколько различных типов примеров применения этой теоремы.

Содержание

  1. Примеры использования теоремы Пифагора
  2. Решение прикладных задач (текстовых задач)
  3. Решение алгебраических задач
  4. Сводка

реклама

Применение теоремы Пифагора (примеры)

В приведенных ниже примерах мы увидим, как применить это правило, чтобы найти любую сторону прямоугольного треугольника. Как и в приведенной ниже формуле, пусть a и b будут длинами катетов, а c — длиной гипотенузы. Однако помните, что вы можете использовать любые переменные для представления этих длин.

В каждом примере обращайте пристальное внимание на предоставленную информацию и на то, что мы пытаемся найти. Это поможет вам определить правильные значения для использования в различных частях формулы.

Пример

Найдите значение \ (x \).

Решение

Сторона, противоположная прямому углу, — это сторона с меткой \ (x \).2 \)

Следовательно, можно написать:

\ (\ begin {align} x & = \ sqrt {100} \\ & = \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2 пикселя] {10} \ end {align} \)

Возможно, вы помните, что в таком уравнении \ (x \) также может быть –10, поскольку –10 в квадрате также равно 100. Но длина любой стороны треугольника никогда не может быть отрицательной, и поэтому мы рассматриваем только положительный квадратный корень.

В других ситуациях вы будете пытаться найти длину одного из катетов прямоугольного треугольника.2 = 80 \)

Следовательно:

\ (\ begin {align} y & = \ sqrt {80} \\ & = \ sqrt {16 \ times 5} \\ & = \ bbox [граница: 1 пиксель сплошной черный; отступ: 2 пикселя] {4 \ sqrt {5 }} \ end {align} \)

В этом последнем примере мы оставили ответ в точной форме вместо того, чтобы находить десятичное приближение. Это обычное дело, если вы не работаете над прикладной проблемой.

Приложения (проблемы с текстом) с теоремой Пифагора

Существует множество различных типов реальных проблем, которые можно решить с помощью теоремы Пифагора.Самый простой способ убедиться в том, что вам следует применять эту теорему, — это нарисовать картину любой описанной ситуации.

Пример

Два туриста покидают хижину одновременно: один направляется на юг, а другой — на запад. Через час турист, идущий на юг, преодолел 2,8 мили, а пешеход, идущий на запад, — 3,1 мили. Какое в данный момент самое короткое расстояние между двумя туристами?

Решение

Сначала нарисуйте изображение предоставленной информации.2 \)

Теперь воспользуйтесь калькулятором, чтобы извлечь квадратный корень. Вероятно, вам придется округлить свой ответ.

\ (\ begin {align} x & = \ sqrt {17,45} \\ & \ приблизительно 4,18 \ text {миль} \ end {align} \)

Как видите, вам решать, что прямой угол является частью ситуации, заданной в слове «проблема». Если это не так, то вы не можете использовать теорему Пифагора.

Проблемы стиля алгебры с теоремой Пифагора

Есть еще один тип проблем, с которыми вы можете столкнуться, когда вы используете теорему Пифагора для написания некоторого типа алгебраических выражений.Это то, что вам не нужно делать на каждом курсе, но это все же возникает.

Пример

Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длины \ (2x \), катет длины \ (x \) и катет длины y. Напишите выражение, которое показывает значение \ (y \) через \ (x \). 2 \)

Когда в задаче написано «значение \ (y \)», это означает, что вы должны решить для \ (y \).2} \)

Наконец, это упрощает выражение, которое мы ищем:

\ (y = \ bbox [граница: сплошной черный 1 пиксель; отступ: 2 пикселя] {x \ sqrt {3x}} \)

реклама

Резюме

Теорема Пифагора позволяет вам найти длину любой из трех сторон прямоугольного треугольника. Это одна из тех вещей, которые вам следует запомнить, поскольку она встречается во всех областях математики, и, следовательно, вы, вероятно, пройдете множество различных математических курсов.Не забывайте избегать распространенной ошибки, заключающейся в том, чтобы путать ноги в формуле с гипотенузой, и всегда рисовать картинку, если она не указана.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.