Правила решений уравнений: Правила решения простых уравнений — Уравнения

Содержание

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Предварительные навыки

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5.

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x, значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.


Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

8 + 2

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

8 + 2 = 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

2 = 10 − 8

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10. Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8. Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

или

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

8 = 10 − 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

10 = 8 + 2


Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

8 = 6 + 2

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

2 = 8 − 6


Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство  в первоначальное состояние:

3 × 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3


Пример 4. Рассмотрим равенство 

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

15 = 3 × 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3


Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

2 = 10 − 8

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

8 + x = 10

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + = 10, а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + = 10. Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10. Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

2 = 10 − 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x, мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

x = 10 − 8

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

x = 2

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2. Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

x + 2 = 10

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

x = 10 − 2

x = 8


Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

8 = 6 + 2

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

x − 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

x = 6 + 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

x = 8


Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

8 − x = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

x = 8 − 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

x = 2


Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

x × 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6. Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x, нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

x = 3

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6. Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства  позволяет узнать чему равно x

x = 2

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение × 3 = 27. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .


Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве  требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

15 = 3 × 5

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное 3 умножить на делитель 5

x = 3 × 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 15


Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 5 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 5

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
  • Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
  • Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
  • Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
  • Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма


Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность


Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение


Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

x = 60 − 45

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

x = 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение 

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x. После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение  и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 3. Решить уравнение 3+ 9+ 16= 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2


Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56, мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56. Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3+ 9+ 16= 56 мы нашли корень равный 2. Подставим этот корень сначала в уравнение 3+ 9+ 16= 56, а затем в уравнение 28= 56, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28= 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3+ 9+ 16= 56 и 28= 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3+ 9+ 16= 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28= 56, которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.


Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

и аналогично:

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5= 10. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 2


Пример 2. Решить уравнение 4(+ 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x, а в правой части число 4

 

 

Получили уравнение 4= 4. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению 4(+ 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

 

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(+ 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12. В результате получили равносильное уравнение 4= 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(+ 3) = 16 так же равен 1


Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x, а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2= 9 выразим неизвестное слагаемое x

 

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение  мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 4,5


Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x. Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда = 2. Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3= 9x и 3x − 9= −12. В этот раз в уравнении 12 + 3= 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса


Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение 

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала  принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения  на множитель 8 желательно переписать следующим образом:


Пример 2. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15. Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x. Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5. Значит эти уравнения равносильны.


Пример 3. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 4. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x. Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Отсюда = 4.

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.


Пример 5. Решить уравнение 

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A, а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B. То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B, как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42. Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2. Значит уравнения 15+ 7+ 7 = 35x − 20+ 21 и 30+ 14+ 14 = 70− 40+ 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7= 14, нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.


Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1.

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение  на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х, нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1.

или разделить обе части уравнения на −1, что еще проще

Итак, корень уравнения  равен 5. Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения  на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5

Значит уравнения  и  равносильны.


Пример 2. Решить уравнение 

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1.

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения  на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения  на −1, мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.


Пример 3. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые: 


Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77, и разделим обе части на 7


Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении  мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении  обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет  равна 5

Уравнения вида  мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида  удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.


Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9.

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9), которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

x = 0 или x + 9 = 0

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0. Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение + 9 = 0. Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9. Проверка показывает, что корень верный:

−9 + 9 = 0


Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2). А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2)).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение  и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:


Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение 

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14. Это равенство будет получаться при любом x


Пример 2. Решить уравнение 

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x


Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x, левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть


Пример 2. Решить уравнение 

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y. Например, пусть y = 3.


Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения  определить расстояние, нужно выразить переменную s.

Умнóжим обе части уравнения  на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения  определить время. Для этого нужно выразить переменную t.

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

v = 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

s = 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t. Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50


Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c, то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c.  Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.


Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x, сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b. Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d), то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(+ 4). Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(+ 4) значения параметров a, b, c, d. Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0). Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d). В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:


Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)


Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16. Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2+ 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2= 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2= 10. Чтобы найти x, разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2= 10, для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2= 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x. Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax b примет вид 0= 0. При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0= 5. Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0, и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3, и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6, то уравнение  примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0. Это то же самое уравнение, что и ax = b, но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7− 77 = 0. Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Используя метод переноса слагаемого, решите следующее уравнение:

Задание 2. Используя метод прибавления (или вычитания) числа к обеим частям, решите следующее уравнение:

Задание 3. Решите уравнение:

Задание 4. Решите уравнение:

Задание 5. Решите уравнение:

Задание 6. Решите уравнение:

Задание 7. Решите уравнение:

Задание 8. Решите уравнение:

Задание 9. Решите уравнение:

Задание 10. Решите уравнение:

Задание 11. Решите уравнение:

Задание 12. Решите уравнение:

Задание 13. Решите уравнение:

Задание 14. Решите уравнение:

Задание 15. Решите уравнение:

Задание 16. Решите уравнение:

Задание 17. Решите уравнение:

Задание 18. Решите уравнение:

Задание 19. Решите уравнение:

Задание 20. Решите уравнение:

Задание 21. Решите уравнение:

Задание 22. Решите уравнение:

Задание 23. Решите уравнение:

Задание 24. Решите уравнение:

Задание 25. Решите уравнение:

Задание 26. Решите уравнение:

Задание 27. Решите уравнение:

Задание 28. Решите уравнение:

Задание 29. Решите уравнение:

Задание 30. Решите уравнение:

Задание 31. Решите уравнение:

Задание 32. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 33. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 34. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 35. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 36. В следующем буквенном уравнении выразите переменную y:

Задание 37. В следующем буквенном уравнении выразите переменную z:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Правила решения уравнений с одним неизвестным

Текст ниже готовила, чтобы объяснить своему ребёнку шаг за шагом что такое уравнение и как оно решаются, чтобы у него сведения выстроились хоть в какую-то систему. Примеры ниже я комментировала, а вместо Васи и Маши были ты да я.

Что такое равенство и неравенство

Неравенство

У Васи — 4 яблока. У Маши — 3 яблока. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

У Васи больше яблок, чем у Маши:


4>
3

У Васи и Маши неравное количество яблок. Это неравенство (четыре не равно трём):


4≠
3
У Маши меньше яблок, чем у Васи:


3<
4

У Васи и Маши неравное количество яблок. Это неравенство (три не равно четырём):


3≠
4

Равенство

У Васи — 4 яблока. У Маши — 4 яблока. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (четыре равно четырём):


4=
4

У Васи — 2 красных яблока и 3 зелёных. У Маши — 5 яблок. У кого больше яблок? У кого меньше яблок?

 У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (два плюс три равно пяти):


2 + 3=
5
У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (пять равно сумме чисел два плюс три):


5=
2 + 3

Что такое сложение и вычитание

Сложение

У Васи — 2 яблока. У Маши — 3 яблока. Сколько всего яблок у ребят?

У Васи и Маши на двоих 5 яблок:


2
первое
слагаемое+



3
второе
слагаемое=


5
сумма



От перемены мест слагаемых сумма не меняется [a + b = b + a]:


3+
2= 5

У Васи — 2 яблока. У Маши — 2 красных яблока и 1 зелёное. Сколько всего яблок у ребят?

У Васи и Маши на двоих 5 яблок (примеры с несколькими арифметическими действиями выполняются поэтапно):


2+ 
2 + 1 = 2 + (2 + 1) = 2 + 3 = 5

Сумма не зависит от группировки её слагаемых [(a + b) + c = a + (b + c)]:


2+ 
2 + 1 = (2 + 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Вычитание

У Васи было 5 яблок. Он подарил Маше 3 яблока. Сколько яблок осталось у Васи?

У Васи осталось 2 яблока:


5
уменьшаемое-


3
вычитаемое=

 2
разность

У Васи было 3 яблока. Он подарил Маше 3 яблока и пообещал принести ещё 5. Сколько яблок осталось у Васи?

У Васи нет яблок, он ещё должен принести 5 яблок, у него -5 яблок (числа могут быть отрицательными) [a − b = a + (−b)]:


3-
3 - 5= (3 - 3) - 5 = 0 - 5 = 0 + (-5) = -5

Вася должен Пете 5 яблок. Маше подарили 3 яблока. Сколько всего яблок у ребят?

У Васи и Маши на двоих -2 яблока [a - (b + c) = a - b - c]:


-5+

3= 3 + (-5) = 3 - 5 = 3 - (3 + 2) = 3 - 3 - 2 = (3 - 3) - 2 =  - 2

Связь сложения и вычитания

У Васи — 2 яблока. У Маши — 3 яблока. Всего: 5 яблок. Придумай условия задачи и 4-е варианта решения.

Сколько яблок у ребят?


2+
3= 5

Сколько яблок у Васи (если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое)?

5 - 
3=
2

Сколько яблок у Маши?

5 - 
2=
3

Сколько яблок у ребят (если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое)?


3+
2= 5

Что такое уравнение

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число обозначают латинской буквой, чаще всего x.

Решение задачи с одним неизвестным методом подбора

Всего у ребят 5 яблок, 3 из которых съест Маша. Сколько съест Вася?

x+
3= 5

Если x = 4, то 
4 + 3 = 7
7 ≠ 5 (неверно)

Если x = 3, то 
3 + 3 = 6
6 ≠ 5 (неверно)

Если x = 2, то 
2 + 3 = 5
5 = 5 (правильно)

Ответ: Вася съест 2 яблока

Сложение или вычитание с неизвестным

Всего у ребят 5 яблок, 3 из которых съест Маша. Сколько съест Вася?

Положительное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


x+
3= 5

x = 5 - 3 = 2

Проверка: 2 + 3 = 5 (правильно)

Ответ: Вася съест 2 яблока

Правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Вася подарил Маше 2 яблока. У него осталось 3 яблока. Сколько яблок было у Васи?

Отрицательное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


x-
2= 3

x = 3 + 2 = 5

Проверка: 5 - 2 = 3 (правильно)

Ответ: у Васи было 5 яблок

Правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

У Васи было 5 яблок. После того, как он поделился с Машей, у него осталось 3 яблока. Сколько яблок подарил Вася?

Отрицательное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


5-
x= 3

5 = 3 + x
5 - 3 = x
2 = x

Проверка: 5 - 2 = 3 (правильно)

Ответ: Вася подарил 2 яблока

Правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Анекдот в тему. Профессор жалуется коллеге: До чего же глупые у меня студенты. Раз объясняю — не понимают, второй раз объясняю — снова не понимают, третий раз объясняю — сам уже начинаю понимать, а они всё не понимают!

Наш любимый «Д» класс.: ЗНАЙ ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ!

1. Нахождение неизвестного слагаемого.

слагаемое     слагаемое     сумма
    20     +     30      =    50

10 + X = 15        Нам неизвестно слагаемое.
     X = 15 - 10   Чтобы найти слагаемое, нужно от суммы отнять другое
                   слагаемое.
     Х = 5
10 + 5 = 15        Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
    15 = 15        В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                   Решили правильно.
 
2. Нахождение неизвестного уменьшаемого.
уменьшаемое     вычитаемое     разность
    70       -      30      =     40
                                      
 X - 10 = 15       Нам неизвестно уменьшаемое.
      X = 15 + 10  Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.           
      Х = 25
25 - 10 = 15       Делаем проверку: вместо   Х   подставим число и посчитаем.
     15 = 15       В левой и правой части получился одинаковый ответ. 
                   Решили правильно.
 

3. Нахождение неизвестного вычитаемого.

уменьшаемое     вычитаемое     разность
    70       -      30      =     40
                                      
 25 - X = 15       Нам неизвестно вычитаемое.
      X = 25 - 15  Чтобы найти вычитаемое, нужно от уменьшаемого отнять разность.           
      Х = 10
25 - 10 = 15       Делаем проверку: вместо   Х   подставим число и посчитаем.
     15 = 15       В левой и правой части получился одинаковый ответ. 
                   Решили правильно.
 
4-5. Нахождение неизвестного множителя.
множитель     множитель     произведение
    9     *     5      =       45

 5 * X = 15       Нам неизвестен множитель.
     X = 15 : 5   Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить 
                  на известный множитель.
     Х = 3
 5 * 3 = 15       Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
    15 = 15       В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.

 Х * 4 = 12       Нам неизвестен множитель.
     X = 12 : 4   Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить 
                  на известный множитель.
     Х = 3
 3 * 4 = 12       Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
    12 = 12       В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.
 
6. Нахождение неизвестного делимого.
делимое     делитель     частное
    20   :     4      =    5

 Х : 3 = 6        Нам неизвестно делимое.
     X = 6 * 3    Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.
     Х = 18
18 : 3 = 6        Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
     6 = 6        В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.

 Х : 2 = 7        Нам неизвестно делимое.
     X = 7 * 2    Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное.
     Х = 14
14 : 2 = 7        Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
     7 = 7        В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.
 
7. Нахождение неизвестного делителя.
делимое     делитель     частное
    24   :     4      =    6

35 : Х = 7        Нам неизвестен делитель.
     X = 35 : 7   Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
     Х = 5
35 : 5 = 7        Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
     7 = 7        В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.

Линейные уравнения (ЕГЭ — 2021)

Начнем сразу же с примера

\( \displaystyle 4x=16\)

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от \( \displaystyle x\)), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на \( \displaystyle 4\)! Все – это означает и левую, и правую часть.{2}}-12x+6x+36+9=0\\-6x=-45\end{array}\)

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и здесь совершенно обычное линейное уравнение. Осталось только найти \( \displaystyle x\)!

\( \displaystyle x=\frac{-45}{-6}=7,5\)

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования.

Методы решения уравнений: замены, подстановки, примеры, тесты

Тестирование онлайн

Потерянные и посторонние корни

К потере корней может привести сокращение обеих частей уравнения на общий множитель.

Посторонние корни могут появится при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное.

При возведении обеих частей уравнения в квадрат (или любую четную степень) могут появляться посторонние корни.

Посторонние корни могут появляться при решении иррационального уравнения, поэтому лучше выполнять проверку.

Метод замены переменной

В ряде случаев решение уравнения можно упростить введением новой переменной (нового неизвестного).

Например, уравнение вида

где a, b, c — числа, называется биквадратным. Решается введением замены x2=t

Метод замены используют не только при решении биквадратных уравнений.

Сложные замены переменной

Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

Очень сложные замены переменной

Графический способ решения уравнений

Графический способ решения уравнений f(x)=g(x) заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы точек пересечения графиков. Абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями уравнения.

Преобразуем выражение a4+b4=(a+b)4:

При решении уравнения f(x)=g(x) можно исследовать функции y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если одна из этих функций на промежутке монотонно убывает, а другая функция монотонно возрастает, то уравнение или имеет один корень, или вообще не имеет корней. Корень уравнения можно найти методом подбора или графическим методом.

Если функция y=f(x) возрастает, а y=g(x) убывает на промежутке , и при этом f(a)>g(a), то корней нет.

Примеры уравнений вида f(f(x))=x, где f(x) — некоторая функция:

1. Любой корень уравнения f(x)=x является корнем уравнения f(f(x))=x;

2. Если функция f(x) возрастает на некотором множестве и значения x и значения функции f(x) принадлежат этому множеству, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны на этом множестве.

Для убывающей функции f(x) правило 2 применить нельзя.

Суть метода состоит в замене переменной х тригонометрической функцией, например . Решение исходного уравнения сводится к решению тригонометрического уравнения. Но тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное множество решений, а исходное — конечное.

Решение параметров с нуля

Сразу оговорюсь — для того, чтобы научиться решать задачи с параметром, не выйдет просто прочитать краткую инструкцию с указаниями, что вам делать. Нужно потратить некоторое время, чтобы научиться решать такие задачи. Здесь необходимо развитое аналитическое мышление (задачи бывают совершенно разные и нужно уметь анализировать разные функции), отличное умение решать все типы уравнений и неравенств (если вы не можете решить любое задание С1 или С3, то для вас будет очень сложно решить и С6), знание, как ведут себя различные функции и умение строить их графики. Как видите, все не так уж просто, но и 4 первичных балла дают не просто так. Тем не менее, решить С6 более чем реально, нужно набраться терпения. На самом деле, не так уж и много материала, да и раз вы задумались о С6, скорее всего, большинство необходимых знаний у вас есть, в основном придется потратить время на отработку практических навыков и разбор различных методов решения. Материал разбит на несколько частей, и я рекомендую внимательно их изучить, разбирая представленные примеры.

Решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять.
Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендую стараться использовать равносильные преобразования).

Рекомендации к выполнению задания 18 ЕГЭ:

  1. Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
  2. Еще раз внимательно прочитать задание. Понять, что от вас требуется.
  3. Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
  4. Часто решить задачу с параметром можно и удобно при помощи графиков.2-3*x+1=0\), при \(a=0\) выражение принимает вид \(-3*x+1=0\), т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.

Об уравнениях высших степеней / Хабр

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.


Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:


В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.

2. Возвратные кубические.

3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.

4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)

Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто.2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.

Заключение

В этой статье я рассмотрел только кубические и биквадратные уравнения. Однако рассмотренная теорема Безу (и схема Горнера) могут быть задействованы и для решения уравнений 5, 6, 7 и других степеней, даже несмотря на ограниченность их применения.

Решение уравнений — методы и примеры

Понимание того, как решать уравнения, — один из самых фундаментальных навыков, которым может овладеть каждый студент, изучающий алгебру. Решения для большинства алгебраических выражений ищутся, применяя этот навык. Следовательно, учащиеся должны лучше понимать, как проводить операцию.

В этой статье узнает, как решить уравнение , выполнив четыре основных математических операции: сложение , вычитание , умножение и деление .

Уравнение обычно состоит из двух выражений, разделенных знаком, указывающим на их взаимосвязь. Выражения в уравнении могут быть связаны знаком равенства (=), меньше (<), больше (>) или сочетанием этих знаков.

Как решать уравнения?

Решение алгебраического уравнения — это обычно процедура манипулирования уравнением. Переменная остается на одной стороне, а все остальное — на другой стороне уравнения.

Проще говоря, решить уравнение — значит изолировать его, сделав его коэффициент равным 1.Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, сделайте то же самое с противоположной стороной уравнения.

Решите уравнения, добавив

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 1

Решите: –7 — x = 9

Решение

–7 — x = 9

Добавьте 7 к обеим сторонам уравнения.
7 — x + 7 = 9 + 7
— x = 16

Умножить обе стороны на –1
x = –16

Пример 2

Решить 4 = x — 3

Решение

Здесь переменная находится справа в уравнении.Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения

4+ 3 = x — 3 + 3

7 = x

Проверьте решение, подставив ответ в исходное уравнение.

4 = x — 3

4 = 7 — 3

Следовательно, x = 7 — правильный ответ.

Решение уравнений путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите относительно x в x + 10 = 16

Решение

x + 10 = 16

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

x + 10-10 = 16-10

x = 6

Пример 4

Решите линейное уравнение 15 = 26 — y

Решение

15 = 26 — y

Вычесть 26 с обеих сторон уравнения
15-26 = 26-26 -y
-11 = -y

Умножим обе части на –1

y = 11

Решение уравнений с переменными с обеих сторон, добавив

Давайте см. несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 4

Рассмотрим уравнение 4x –12 = -x + 8.

Поскольку уравнение имеет две стороны, вам необходимо выполнить одну и ту же операцию с обеих сторон.

Добавьте переменную x к обеим частям уравнения

⟹ 4x –12 + x = -x + 8 + x.

Упростите

Упростите уравнение, собрав одинаковые члены с обеих сторон уравнения.

5x — 12 = 8.

Теперь уравнение имеет только одну переменную с одной стороны.

Добавьте константу 12 к обеим частям уравнения.

Константа, прикрепленная к переменной, добавляется с обеих сторон.

⟹ 5x — 12 +12 = 8 + 12

Упростить

Упростите уравнение, объединив похожие члены. И 12.

⟹ 5x = 20

Теперь разделим на коэффициент.

Деление обеих частей на коэффициент означает простое деление всего на число, присвоенное переменной.

Решение этого уравнения, следовательно,

x = 4.

Проверьте свое решение

Проверьте правильность решения, подставив ответ в исходное уравнение.

4x –12 = -x + 8

⟹ 4 (4) –12 = -4 + 8

4 = 4

Следовательно, решение верное.

Пример 5

Решить -12x -5-9 + 4x = 8x — 13x + 15-8

Решение

Упростить, объединив похожие термины

-8x-14 = -5x +7

Добавьте 5x с обеих сторон.

-8x + 5x -14 = -5x + 5x + 7

-3w -14 = 7

Теперь прибавьте 14 к обеим сторонам уравнения.

— 3x — 14 + 14 = 7 + 14

-3x = 21

Разделите обе части уравнения на -3

-3x / -3 = 21/3

x = 7.

Решение уравнений с переменными с обеих сторон путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 6

Решите уравнение 12x + 3 = 4x + 15

Решение

Вычтите 4x из каждой части уравнения.

12x-4x + 3 = 4x — 4x + 15

6x + 3 = 15

Вычтем константу 3 с обеих сторон.

6x + 3-3 = 15-3

6x = 12

Разделить на 6;

6x / 6 = 12/6

x = 2

Пример 7

Решите уравнение 2x — 10 = 4x + 30.

Решение

Вычтем 2x из обеих частей уравнения .

2x -2x -10 = 4x — 2x + 23

-10 = 2x + 30

Вычтем обе части уравнения на константу 30.

-10-30 = 2x + 30-30

-40 = 2x

Теперь разделите на 2

-40/2 = 2x / 2

-20 = x

Решение линейных уравнений с умножением

Линейные уравнения решаются умножением, если при написании уравнения используется деление. Как только вы заметите, что переменная делится, вы можете использовать умножение для решения уравнений.

Пример 7

Решите x / 4 = 8

Решение

Умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби,

4 (x / 4) = 8 x 4

x = 32

Пример 8

Решите -x / 5 = 9

Решение

Умножьте обе стороны на 5.

5 (-x / 5) = 9 x 5

-x = 45

Умножьте обе стороны на -1, чтобы коэффициент переменной был положительным.

x = — 45

Решение линейных уравнений с делением

Для решения линейных уравнений с делением обе части уравнения делятся на коэффициент переменной. Давайте посмотрим на приведенные ниже примеры.

Пример 9

Решите 2x = 4

Решение

Чтобы решить это уравнение, разделите обе части на коэффициент переменной.

2x / 2 = 4/2

x = 2

Пример 10

Решите уравнение −2x = −8

Решение

Разделите обе части уравнения на 2.

−2x / 2 = −8/2

−x = — 4

Умножая обе стороны на -1, получаем;

x = 4

Как решать алгебраические уравнения, используя свойство распределения?

Решение уравнений с использованием свойства распределения влечет за собой умножение числа на выражение в круглых скобках.Затем подобные термины объединяются, а затем выделяется переменная.

Пример 11

Решите 2x — 2 (3x — 2) = 2 (x –2) + 20

Решение

2x — 2 (3x — 2) = 2 (x –2) + 20

Используйте свойство распределения для удаления скобок
2x — 6x + 4 = 2x — 4 + 20
— 4x + 4 = 2x + 16

Сложить или вычесть с обеих сторон

–4x + 4 — 4 –2x = 2x + 16 — 4 –2x
–6x = 12
x = –2

Проверьте ответ, подставив решение в уравнение.

2x — 2 (3x — 2) = 2 (x –2) + 20

(2 * –2) — 2 ((3 * –2) –2) = 2 (–2 –2) + 20
12 = 12

Пример 12

Решите относительно x в уравнении -3x — 32 = -2 (5 — 4x)

Решение

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки .

–3x — 32 = — 10 + 8x

Сложение обеих частей уравнения на 3x дает

-3x + 3x — 32 = — 10 + 8x + 3x

= — 10 + 11x = -32

Сложите обе части уравнения на 10.

— 10 + 10 + 11x = -32 + 10

11x = -2

Разделите все уравнение на 11.

11x / 11 = -22/11

x = -2

Как решать уравнения с дробями?

Не паникуйте, когда увидите дроби в алгебраическом уравнении. Если вы знаете все правила сложения, вычитания, умножения и деления, для вас это просто кусок пирога.

Чтобы решить уравнения с дробями, вам нужно преобразовать их в уравнение без дробей.

Этот метод также называется «очисткой от фракций ».

При решении уравнений с дробями выполняются следующие шаги:

  • Определите наименьшее общее кратное знаменателей (ЖКД) всех дробей в уравнении и умножьте на все дроби в уравнении.
  • Изолировать переменную.
  • Упростите обе части уравнения, применяя простые алгебраические операции.
  • Примените свойство деления или умножения, чтобы коэффициент переменной был равен 1.

Пример 13

Решить (3x + 4) / 5 = (2x — 3) / 3

Решение

На ЖК-дисплее 5 и 3 будет 15, поэтому умножьте оба
(3x + 4) / 5 = (2x — 3) / 3

{(3x + 4) / 5} 15 = {(2x — 3) / 3} 15

9x +12 = 10x -15

Изолировать переменную;

9x -10x = -15-12

-x = -25

x = 25

Пример 14

Решить относительно x 3 / 2x + 6/4 = 10/3

Решение

ЖК-дисплей 2x, 4 и 3 равен 12x

Умножьте каждую дробь в уравнении на ЖК-дисплей.

(3 / 2x) 12x + (6/4) 12x = (10/3) 12x

=> 18 + 18x = 40x

Изолировать переменную

22x = 18

x = 18/22

Упростить

x = 9/11

Пример 15

Решить относительно x (2 + 2x) / 4 = (1 + 2x) / 8

Решение

LCD = 8

Умножьте каждую дробь на ЖК-дисплей,

=> 4 + 4x = 1 + 2x

Изолировать x;

2x = -3

x = -1.5

Практические вопросы

1. Решите относительно x в следующих линейных уравнениях:

a. 10x — 7 = 8x + 13

б. х + 1/2 = 3

с. 0,2x = 0,24

г. 2x — 5 = x + 7

e. 11x + 5 = x + 7

2. Возраст Джареда в четыре раза старше его сына. Через 5 лет Джаред будет в 3 раза старше своего сына. Найдите настоящий возраст Джареда и его сына.

3. Стоимость 2-х пар брюк и 3-х рубашек — 705 долларов США. Если рубашка стоит на 40 долларов меньше пары брюк, найдите стоимость каждой рубашки и брюк.

4. Лодка идет вверх по течению 6 часов, а вниз по течению — 5 часов. Рассчитайте скорость лодки в стоячей воде, учитывая, что скорость реки составляет 3 км / час.

5. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Когда цифры меняются местами, полученное число на 27 меньше исходного. Найдите номер.

6. 10000 долларов распределено между 150 людьми. Если деньги достоинством 100 или 50 долларов. Подсчитайте количество денег каждого достоинства.

7. Ширина прямоугольника на 3 см меньше длины. Когда ширина и длина увеличиваются на 2, площадь прямоугольника изменяется на 70 см на 2 больше, чем у исходного прямоугольника. Вычислите размеры исходного прямоугольника.

8. Числитель дроби 8 меньше знаменателя. Когда знаменатель уменьшается на 1, а числитель увеличивается на 17, дробь становится 3/2. Определите дробь.

9. Мой отец на 12 лет больше меня, чем в два раза.Через 8 лет возраст моего отца будет на 20 лет меньше меня, чем в 3 раза. Какого возраста сейчас мой отец?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение линейных уравнений — Полный курс алгебры

9

Закон обратного

Четыре формы уравнений

Транспонирование

Логическая последовательность операторов

Транспонирование и обмен сторон

Форма ax = 0

Раздел 2 :

Отмена

Неизвестное с обеих сторон

Простые дробные уравнения

УРАВНЕНИЕ — это алгебраическое утверждение, в котором глагол «равно» =.Уравнение включает неизвестное число, обычно называемое x . Вот простой пример:

x + 4 = 10.

«Некоторое число плюс 4 равно 10.»

Мы говорим, что уравнение имеет две стороны: левую, x + 4, и правую, 10.

Поскольку x появляется в первой степени, мы называем это линейным уравнением. Линейное уравнение еще называют уравнением первой степени.

Степень любого уравнения — это наивысший показатель степени неизвестного числа. Уравнение первой степени называется линейным , потому что, как мы увидим много позже, его график представляет собой прямую линию .

Уравнение — это утверждение — станет истинным только тогда, когда неизвестное имеет определенное значение, которое мы называем решением уравнения.

Решение этого уравнения, очевидно, 6:

6 + 4 = 10.

6 — единственное значение x , для которого верно утверждение « x + 4 = 10». Мы говорим, что x = 6 удовлетворяет уравнению.

Итак, алгебра зависит от того, как все выглядит. Что касается того, как все выглядит, то мы узнаем, что решили уравнение, когда выделим x слева.

Почему налево? Потому что мы читаем слева направо. « x равно.. . «

В стандартной форме линейного уравнения — ax + b = 0 — x появляется слева.

Фактически, мы видели, что для любого уравнения, которое выглядит так:

x + a = b ,
решение всегда будет выглядеть так:
x = b a .
Если
x + 4 = 10,
, затем
x = 10–4
= 6.

Закон обратного

Есть две пары обратных операций. Сложение и вычитание, умножение и деление.

Формально, чтобы решить уравнение, мы должны изолировать неизвестное на одной стороне уравнения.

ax b + c = d .

Мы должны переместить a, b , c на другую сторону, так что x будет один.

Вопрос:

Как перенести число из одной части уравнения
в другую?

Ответ:

Путем записи на другой стороне с помощью обратной операции.

Это закон обратного. Это следует из двух Правил 5 урока.

Пример 1. Решите это уравнение:

a x — b + c = д .
Решение. Поскольку b — это , вычтенное из слева, мы добавим , чтобы добавить справа:
a x + c = d + b .
Поскольку c — это , добавленное слева, мы вычтем справа:
топор = d + b c .
И, наконец, поскольку a умножает слева, мы будем разделить справа:
x = d + b c
a

Мы решили уравнение.

Четыре формы уравнений

Таким образом, решение любого линейного уравнения распадается на четыре формы, соответствующие четырем операциям арифметики.Ниже приведены основные правила решения любого линейного уравнения. В каждом случае мы будем перемещать на на другую сторону.

1. Если x + a = b , то x = b — a .

«Если число , добавленное на одной стороне уравнения,
мы можем вычесть на другой стороне».

2. Если x a = b , то x = b + a .

«Если число вычтено из на одной стороне уравнения,
мы можем прибавить на другой стороне».

3. Если ax = b , то x = b
a
.

«Если число умножает на одну сторону уравнения, на
мы можем разделить на другую сторону.«

4. Если x
a
= b , тогда x = ab .

«Если число делит на одну сторону уравнения, на
мы можем умножить на другую сторону».

В каждом случае a были перемещены на другую сторону посредством обратной операции.Любое линейное уравнение можно будет решить, применив одно или несколько из этих правил.

Транспонирование

Когда используются операции сложения или вычитания (формы 1 и 2), мы называем это транспонированием.

Мы можем переместить член в другую часть уравнения
, изменив его знак на .

+ a переходит на другую сторону как — a .

a переходит на другую сторону как + a .

Транспонирование — одна из наиболее характерных операций алгебры, и считается, что это значение слова алгебра , имеющего арабское происхождение. (Арабские математики изучали алгебру в Индии, откуда они представили ее в Европе.) Транспонирование — это техника тех, кто действительно использует алгебру в науке и математике — потому что это искусно. И, как мы скоро увидим, в нем сохраняется четкая логическая последовательность утверждений. Более того, это подчеркивает, что вы занимаетесь алгеброй глазами.Когда вы видите

x + a = b ,
тогда вы сразу же увидите , что + a переходит на другую сторону как — a :
x = b a .

Однако часто учат писать — a с обеих сторон, начертите линию и сложите.

Во-первых, вы никогда не увидите этого ни в одном математическом тексте. Вы увидите логическую последовательность утверждений, к которой мы скоро подойдем.

Более того, мы доказали, что можем просто транспонировать. Нет необходимости доказывать это снова каждый раз, когда вы решаете уравнение.

(Вам нужно доказывать теорему Пифагора каждый раз, когда вы ее применяете? Нет, вы этого не сделаете.)

Если вы хотите представить, что вы вычли из с обеих сторон, хорошо. Но писать приходиться не умело.

Вот что вы увидите в своем тексте расчетов.

Логическая последовательность операторов

Рассмотрим снова уравнение из Примера 1.

ax b + c = d .

Это алгебраическое предложение — это утверждение — логически подразумевает другие утверждения.Теперь мы увидим логическую последовательность, которая приводит к окончательному утверждению, которое и является решением.

(1) ось b + c = д
подразумевает (2) топор = d + b c
подразумевает (3) x = d + b c .

Исходное уравнение (1) «преобразуется» путем перестановки членов. Из утверждения (1) следует утверждение (2) .

Затем этот оператор преобразуется делением на и . Из утверждения (2) следует утверждение (3), которое и является решением.

Таким образом, мы решаем уравнение, преобразуя его — изменяя его внешний вид — утверждение за утверждением, строка за строкой в ​​соответствии с правилами алгебры, пока наконец не будет выделено x слева.Так пишут книги по математике (но, к сожалению, не книги по алгебре!). Каждая строка представляет собой собственное читаемое утверждение, которое следует из строки выше — без зачеркивания.

Другими словами, что такое расчет? Это дискретное преобразование символов. В арифметике преобразовываем «19 + 5» в «24». В алгебре мы преобразуем « x + a = b » в « x = b a ».

Проблема 1.Напишите логическую последовательность операторов, которая решит это уравнение для x :

abcx d + e f = 0

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на
слева направо над цветной областью.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

(1) abcx d + e f = 0
подразумевает (2) abcx = d e + f
подразумевает (3) x = d e + f .
abc

Сначала перенесите членов . Строка (2).

Нет необходимости писать справа термин 0.

Затем разделите на коэффициент x .

Задача 2. Напишите логическую последовательность операторов, которая решит это уравнение для x :

(1) 2 x + 5 = 27
подразумевает (2) 2 x = 27-5 = 22
подразумевает (3) x = 22
2
подразумевает (4) x = 11.

В задачах 3, 4 и 5 дано только решение. Студент должен написать логическую последовательность утверждений, которая к нему приводит.

Задача 3. Решите для x : ( p q ) x + r = s

Задача 4. Решите для x :

ab ( c + d ) x e + f = 0

x = e f
ab ( c + d )

Проблема 5.Решить относительно x : 2 x + 1 = 0

x = −½

Каждое из приведенных выше уравнений имеет стандартную форму, а именно:

ось + b = 0.

a не означает a . Это означает коэффициент х . И b не означает b . Это означает любые термины.

Вот почему он называется формой.Как бы то ни было, выглядит так .

Проблема 6. Решить: топор + b = 0.
x = b
a

Это простое уравнение иллюстрирует выполнение алгебры глазами. ученик должен немедленно увидеть решение. Вы должны увидеть , что b перейдет на другую сторону как — b , и что a разделит.

Это навык в алгебре.

Задача 7. Решите для x : ax = 0 ( a 0).

Теперь, когда произведение двух чисел равно 0, то хотя бы одно из них должно быть 0. (Урок 6.) Следовательно, любое уравнение с такой формой имеет решение

.

x = 0.

Мы могли бы решить это формально, конечно, разделив на a .

Задача 8. Решите для x :

4 x -2 = −2
4 x = −2 + 2 = 0
x = 0.

Задача 9. Напишите последовательность операторов, которая решит это уравнение:

(1) 6-90 636 x = 9
(2) x = 9–6
(3) x = 3
(4) x = −3.

Когда мы переходим от строки (1) к строке (2), слева остается x . Для, члены в строке (1) равны 6 и — x .

Мы «решили» уравнение, когда изолировали x , а не x слева. Поэтому мы переходим от строки (3) к строке (4), меняя знаки с обеих сторон. (Урок 5.)

В качестве альтернативы мы могли бы исключить — x слева, сразу поменяв все знаки:

(1) 6-90 636 x = 9
(2) −6 + x = −9
(3) x = −9 + 6 = −3.
Задача 10. Решите для x : 3-90 636 x = −5
x = 8.

Проблема 11.Решить относительно x :

4 — (2 x — 1) = −11.
4-2 x + 1 = −11.
5-2 x = −11
−2 x = −11-5
2 x = 16
x = 8.

Задача 12. Решите для x :

3 x -15
2x + 1
= 0.

( Подсказка : Сравните Урок 6, Задачу 18.)

x = 5.

Транспонирование и обмен сторон

Пример 2. a + b = c x

Мы можем легко решить это — в одной строке — просто переставив x влево, а то, что слева, вправо:

x = c a b .

Пример 3. a + b = c + x

В этом примере справа + x .Поскольку нам нужно + x слева, мы можем добиться этого, поменяв местами стороны:

c + x = a + b

Примечание: При обмене сторонами никакие знаки не меняются.

После транспонирования c легко следует решение:

c + x = a + b c .

Таким образом, когда — x справа, будет умело просто транспонировать его.Но когда + x справа, мы можем поменять стороны.

Задача 13. Решите для x :

п + кв = r x s
Транспонировать:
x = r s p q

Проблема 14.Решить относительно x :

p q + r = s + x
Сменные стороны:
s + x = p q + r
x = p q + r s

Проблема 15.Решить относительно x :

0 = пикселей + q
пикселей + q = 0
пикселей = q
x = q
p

Проблема 16.Решить относительно x :

-2 = −5 x + 1
5 x = 1 + 2 = 3
x = 3
5

Проблема 17.Решить относительно x :

p = q ax .
топор = q p
x = q p
a

Проблема 18.Найдите cos θ («косинус и -ta»).

Стоит увидеть, что это уравнение имеет точно такую ​​же форму и , что и Задача 17. cos θ — это неизвестное. Вы решите ее точно так же, как задачу 17.

2 cos θ = 8 — А
cos θ = 8 — А
2

Алгебра состоит в распознавании формы.И их только конечное число.

Раздел 2 :

Отмена

Неизвестное с обеих сторон

Простые дробные уравнения

Содержание | Дом


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Некоторые правила алгебры — Полный курс алгебры

5

ИЗ

Правило симметрии

Коммутативные правила

Обратное сложение

Два правила для уравнений

Можно сказать, что

АЛГЕБРА — это совокупность формальных правил.Это правила, показывающие, как то, что написано в одной форме, можно переписать в другой форме. Ибо что такое расчет, как не замена одного набора символов на другой? В арифметике мы заменяем «2 + 2» на «4». В алгебре мы можем заменить « a + (- b )» на « a b ».

a + (- b ) = a b .

Мы называем это формальным правилом. Знак = означает, что «можно переписать как» или «можно заменить на.«

Вот некоторые из основных правил алгебры:

1 · a = а .
(1 раз любое число не меняет его. Поэтому 1 называется единицей умножения.)
(-1) a = и .
— (- и ) = а . (Урок 2)
a + (- b ) = a b . (Урок 3)
a — (- b ) = a + b . (Урок 3)

С ними — и с любым правилом — связано правило симметрии:

Если a = b , то b = a .

Во-первых, это означает, что правило алгебры действует в обоих направлениях.

Так как мы можем написать

п + (- q ) = p q
— то есть в расчете мы можем заменить p + (- q ) на p q — затем симметрично:
p q = p + (- q ).

Мы можем заменить p q на p + (- q ).

Правило симметрии также означает, что в любом уравнении, мы можем поменять местами стороны .

Если
15 = 2 x + 7,
тогда нам разрешено писать
2 x + 7 = 15.

Итак, правила алгебры говорят нам, что нам разрешено писать. Они говорят нам, что законно.

Проблема 1. Используйте правило симметрии, чтобы переписать каждое из следующих утверждений. И обратите внимание, что симметричная версия также является правилом алгебры.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) 1 · x = x x = 1 · x б) (-1) x = — x x = (−1) x
в) x + 0 = x x = x + 0 г) 10 = 3 x + 1 3 x + 1 = 10
e) x
y
= топор
ау
топор
ау
= x
y
е) x + (- y ) = x y x y = x + (- y )
г) a
2
+ б
2
= a + b
2
a + b
2
= a
2
+ б
2

Коммутативные правила

Порядок, в котором мы пишем термины, не влияет на сумму.Мы выражаем это в алгебре, записывая

Это называется коммутативным правилом сложения. Это будет применяться к любому количеству терминов.

a + b — c + d = b + d + a — c = −c + a + d + b .

Порядок не имеет значения.

Пример 1. Примените правило коммутативности к p q .

Решение . Коммутативное правило сложения указано для операции +. Но здесь у нас есть операция -. Но мы можем написать

p q = p + (- q ).
Следовательно,
p q = q + p .

*

Вот коммутативное правило умножения:

Порядок факторов не имеет значения.

abcd = dbac = cdba .

Правило применяется к любому количеству факторов.

Более того, мы можем связывать факторы любым способом:

( abc ) d = b ( dac ) = ( ca ) ( db ).

И так далее.

Пример 2. Умножение 2 x · 3 y · 5 z .

Решение . Проблема означает: умножьте числа и перепишите буквы.

2 x · 3 y · 5 z = 2 · 3 · 5 xyz = 30 xyz .

В алгебре принято писать числовой множитель слева от буквального множителя.

Задача 2. Умножить.

а) 3 x · 5 y
= 15 xy
б) 7 p · 6 q = 42 pq в) 3 a · 4 b · 5 c = 60 abc

Проблема 3.Перепишите каждое выражение, применяя правило коммутативности.

а) p + q = q + (- p ) = q p б) (-1) 6 = 6 (-1)
в) ( x — 2) + ( x + 1) = ( x + 1) + ( x — 2)
г) ( x — 2) ( x + 1) = ( x + 1) ( x — 2)

Ноль

Мы видели следующее правило для 0 (Урок 3):

Для любого номера a :

0, добавленное к любому номеру, не меняет номер.0 поэтому называется тождеством сложения.

Обратное прибавление

Операция, обратная операции, отменяет эту операцию.

Если мы начнем, например, с 5, а затем прибавим 4,

5 + 4,

, затем, чтобы отменить это — чтобы вернуться к 5 — мы должны добавить −4:

5 + 4 + (−4) = 5 + 0 = 5.

Добавление −4 является обратным сложению 4, и наоборот.Мы говорим, что −4 является аддитивным обратным числом 4.

Как правило, каждому номеру a соответствует уникальный номер — a , так что

a + (- a ) = (- a ) + a = 0

Число в сочетании с обратным ему дает идентификацию.

Мы видели, что это правило по сути является определением — a .

Таким образом, аддитивная инверсия a равна — a .И аддитивная величина, обратная — a — это a .

— (- a ) = a .

Задача 4. Преобразуйте каждое из следующего в соответствии с правилом алгебры.

а) xyz + 0 = xyz б) 0 + (-q) = -q в) −¼ + 0 = −¼
г) ½ + (−½) = 0 д) pqr + pqr = 0 е) x + abc abc = x

g) sin x + cos x + (−cos x ) = sin x

Ученик может подумать, что это тригонометрия, но это не так.
г) Алгебра

Проблема 5. Выполните следующее.

а) pq + (- pq ) = 0 б) z + (- z ) = 0 в) — & 2 $ + & 2 $ = 0
г) ½ x + 0 = ½ x д) 0 + (-qr) = -qr е) −π + 0 = −π

г) желто-коричневый x + детская кроватка x + (− детская кроватка x ) = желто-коричневый x .

Два правила для уравнений

Уравнение — это утверждение, что две вещи — две стороны — равны. Смысл равно заключается в том, что, пока мы делаем одно и то же с обеими сторонами, они все равно будут равны. Это выражается в следующих двух правилах.

Правило 1. Если
a = b ,
, затем
a + c = b + c .

Правило означает:

Мы можем прибавить к обеим сторонам уравнения одинаковое число.

Это алгебраическая версия аксиомы арифметики и геометрии:

Если равные прибавляются к равным, суммы равны.

Пример 3. Если
x -2 = 6,
, затем
x = 6 + 2
= 8.

— после прибавления 2 к обеим сторонам.

Пример 4. Если
x + 2 = 6,
, затем
x = 6–2
= 4.

— после вычитания 2 с обеих сторон.

Но правило изложено в терминах сложения. Почему мы можем вычитать?

Потому что вычитание эквивалентно сложению отрицательного числа.

a b = a + (- b ).

Следовательно, любое правило сложения также является правилом вычитания.

Примечание : В примере 3 добавление 2 является обратным вычитанию 2.Результатом будет преобразование −2 в другую часть уравнения , равную , как +2.

В примере 4 вычитание 2 с обеих сторон приводит к транспонированию +2 в другую сторону уравнения как −2.

Подробнее об этом мы поговорим в Уроке 9.

Задача 6.

а) Если б) Если
x — 1 = 5, x + 1 = 5,
, затем , затем
x = 6. x = 4.
При добавлении 1 к обеим сторонам. При вычитании 1 с обеих сторон.
в) Если г) Если
x — 4 = −6, x + 4 = −6,
, затем , затем
x = −2. x = −10.
При добавлении 4 к обеим сторонам. При вычитании 4 с обеих сторон.
Правило 2. Если
a = b ,
, затем
ca = CB .

Это правило означает:

Мы можем умножить обе части уравнения на одно и то же число.

Пример 5. Если

2 x = 3,
, затем
10 x = ?

Итак, что случилось с 2 x , чтобы оно стало 10 x ?

Мы умножили его на 5.Следовательно, чтобы сохранить равенство, надо также умножить 3 на 5.

10 x = 15.

Пример 6. Если

x
2
= 5,
, затем
x = 10.

Здесь мы умножили обе стороны на 2, и двойки просто сокращаются.

См. Урок 26 по арифметике, пример 5.

Пример 7. Если

2 x = 14,
, затем
x = 7.

Здесь мы разделили с обеих сторон на 2. Но правило гласит, что мы можем умножить на с обеих сторон. Почему мы можем разделиться?

Потому что деление равно умножению на обратную. В этом примере мы могли бы сказать, что умножили обе части на 1/2.

Следовательно, любое правило умножения также является правилом деления.

Задача 7.

а) Если б) Если
x = 5, x = −7,
, затем , затем
2 x = 10. −4 x = 28.
в) Если г) Если
x
3
= 2, x
4
= −2
, затем , затем
x = 6. x = −8.
При умножении обеих сторон на 3. При умножении обеих частей на 4.
Задача 8. Разделите обе стороны.
а) Если б) Если
3 x = 12, −2 x = 14,
, затем , затем
x = 4. x = −7.
При разделении обеих сторон на 3. О делении обеих частей на −2.
в) Если г) Если
6 x = 5, −3 x = −6,
, затем , затем
x = 5
6
x = 2.

Задача 9. Меняем вывески с обеих сторон. Напишите строку, полученную в результате умножения обеих частей на -1.

а) x = 5. б) x = −5. в) x = 0.
x = −5. x = 5. x = -0 = 0.

Эта проблема иллюстрирует следующую теорему:

В любом уравнении мы можем поменять знаки на с обеих сторон.

Если
а = b ,
, затем
a = б .

Это непосредственно следует из однозначности аддитивного обратного.

Если
а = b ,
, затем
a + b = 0.
Но это подразумевает
a = б .

Это то, что мы хотели доказать.

У нас будет возможность применить эту теорему, когда мы перейдем к решению уравнений. Поскольку мы увидим, что для «решения» уравнения мы должны изолировать x , а не x , слева от знака равенства.И когда мы перейдем к правилу распределения (Урок 14), мы увидим, что можем изменить все знаки с обеих сторон.

Проблема 10.

а) Если x = 9, то — x = −9. б) Если x = −9, то — x = 9.
в) Если — x = 2, то x = −2. г) Если — x = −2, то x = 2.

x — переменная. Это ни положительно, ни отрицательно. Только числа могут быть положительными или отрицательными. Когда x принимает значение — положительное или отрицательное — значения x и — x будут иметь противоположные знаки. Если x принимает положительное значение, то — x будет отрицательным.Но если x принимает отрицательное значение, то — x будет положительным.

Таким образом, если x = −2, то — x = — (- 2) = +2. (Урок 2.)

(Если x = 0, то — x = −0, что, надо сказать, равно 0. −0 = +0 = 0.)

Следующий урок: Обратные вычисления и ноль

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Советы по решению алгебраических уравнений

Обновлено 4 декабря 2020 г.

Лиза Мэлони

Алгебра знаменует собой первый настоящий концептуальный скачок, который студенты должны совершить в мире математики, научившись манипулировать переменными и работать с уравнениями.Когда вы начнете работать с уравнениями, вы столкнетесь с некоторыми общими проблемами, включая показатели, дроби и множественные переменные. Все это можно освоить с помощью нескольких основных стратегий.

Базовая стратегия для алгебраических уравнений

Основная стратегия для решения любого алгебраического уравнения состоит в том, чтобы сначала изолировать переменный член на одной стороне уравнения, а затем применить обратные операции по мере необходимости, чтобы убрать любые коэффициенты или показатели.Обратная операция «отменяет» другую операцию; например, деление «отменяет» умножение коэффициента, а квадратный корень «отменяет» операцию возведения в квадрат экспоненты второй степени.

Обратите внимание, что если вы применяете операцию к одной стороне уравнения, вы должны применить ту же операцию к другой стороне уравнения. Соблюдая это правило, вы можете изменить способ записи членов уравнения, не меняя их отношения друг к другу.

Решение уравнений с показателями

Типы уравнений с показателями, с которыми вы столкнетесь во время своего путешествия по алгебре, могут легко заполнить всю книгу.2} = \ sqrt {16}

y = 4

Решение уравнений с дробями

Что, если ваше уравнение включает дробь? Рассмотрим пример:

\ frac {3} {4} (x + 7) = 6

. Если вы распределите дробь 3/4 по ( x + 7), все может быстро запутаться. Вот гораздо более простая стратегия.

    Умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби. В данном случае это означает умножение обеих частей дроби на 4:

    \ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4

    Упростим обе части уравнения.Это работает так:

    3 (x + 7) = 24

    Вы можете снова упростить, в результате:

    3x + 21 = 24

    Вычтем 21 с обеих сторон, изолировав переменный член на одной стороне уравнения. :

    3x = 3

    Наконец, разделите обе части уравнения на 3, чтобы завершить решение для x :

    x = 1

Решение одного уравнения с двумя переменными

Если у вас есть одно уравнение с двумя переменными, вас, вероятно, попросят решить только для одной из этих переменных.В этом случае вы следуете той же процедуре, что и для любого алгебраического уравнения с одной переменной. Рассмотрим пример

5x + 4 = 2y

, если вас попросят решить для x .

    Вычтите 3 из каждой части уравнения, оставив член x сам по себе на одной стороне знака равенства:

    5x = 2y — 4

    Разделите обе части уравнения на 5, чтобы удалить коэффициент из члена x :

    x = \ frac {2y — 4} {5}

    Если вам не предоставили никакой другой информации, это предел ваших возможностей для расчетов.

Решение двух уравнений с двумя переменными

Если вам дана система (или группа) двух уравнений , в которых есть одни и те же две переменные, это обычно означает, что уравнения связаны — и вы может использовать метод подстановки, чтобы найти значения для обеих переменных. Рассмотрим уравнение из последнего примера плюс второе связанное уравнение, в котором используются те же переменные:

5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23

    Выберите одно уравнение и решите это уравнение для одной из переменных. .В этом случае используйте то, что вы уже знаете о первом уравнении из предыдущего примера, которое вы уже решили для x :

    x = \ frac {2y — 4} {5}

    Подставьте результат из шага 1 в другое уравнение. Другими словами, подставьте значение (2 y — 4) / 5 для любых экземпляров x в другом уравнении. Это дает вам уравнение только с одной переменной:

    \ frac {2y — 4} {5} + 3y = 23

    Упростите уравнение из шага 2 и решите для оставшейся переменной, которая в данном случае равна y.

    Начните с умножения обеих сторон на 5:

    5 × \ bigg (\ frac {2y — 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23

    2y — 4 + 15y = 115

    После комбинируя одинаковые члены, это еще больше упрощается до:

    17y = 119

    И, наконец, после деления обеих сторон на 17, у вас есть:

    y = 7

    Подставьте значение из шага 3 в уравнение из шага 1. Это дает вам:

    x = \ frac {(2 × 7) — 4} {5}

    Что упрощает определение значения x :

    x = 2

    Итак, решение для этой системы уравнения: x = 2 и y = 7.

Математика — Правила для уравнений

Есть набор правил, которые могут применяться к частям уравнения, которые не повлияют на истинность уравнения.

Вычитание

.

правило название описание
х + у = у + х коммутативно-добавочный Операция коммутативна, если порядок ее операндов можно изменить без
влияет на результат
х * у = у * х коммутативно-мультипликативное
х + (y + z) = (x + y) + z ассоциативно-аддитивный Операция является ассоциативной, если порядок выполнения нескольких операций не установлен.
важный
х * (y * z) = (x * y) * z ассоциативно-мультипликативное
х * (y + z) = (x * y) + (x * z) распределительный Когда в этой алгебре есть две операции, скажем, + и *, тогда говорят *
быть распределительным по +
х + 0 = х оператор идентификации — добавочный (справа) добавление 0 не меняет результат
0 + х = х оператор идентификации — добавочный (слева)
х * 1 = х оператор тождества — мультипликативный (справа) умножение на 1 не меняет результата
1 * х = х оператор тождества — мультипликативный (слева)

, если z = x + y

, тогда x = z — y

является обратным сложению вычтите y из обеих частей уравнения (это похоже на добавление -y)

, если z = x * y

, тогда x = z / y

деление является обратным умножению разделите обе части уравнения на y (это как умножение на 1 / y)

где: x, y и z могут быть числами, переменными, любым выражением, заключенным в квадратные скобки, или любым выражением, которое может быть заключено в скобки без изменения значения уравнения.

Все эти правила применимы к алгебре действительных чисел, некоторые из этих правил не применяются в некоторых других алгебрах. Например, в алгебре матриц и кватернионов правило коммутативности (мультипликативности) не применяется.

Алгебры

Для получения дополнительной информации см. Теорию групп.

Решение двухэтапных уравнений — ChiliMath

Нет сомнений в том, что решить двухэтапное уравнение чрезвычайно просто. Как следует из названия, двухэтапные уравнения можно решить всего за два шага.Если вы впервые сталкиваетесь с двухэтапными уравнениями, не волнуйтесь, потому что мы рассмотрим достаточно примеров, чтобы вы познакомились с процессом.

При решении уравнения в целом мы всегда помним о том, что все, что мы делаем с одной стороной уравнения, должно быть сделано и с другой стороной, чтобы уравнение оставалось сбалансированным.

Мы знаем, что мы полностью решили двухэтапное уравнение, если переменная, обычно представленная буквой в алфавите, изолирована на одной стороне уравнения (левой или правой), а число находится на противоположной стороне.


ОБЫЧНЫЙ способ решения двухэтапного уравнения:

Примечание : Это «обычный» метод, потому что так решается большинство двухэтапных уравнений. Обратите внимание, что шаг 2 может быть заменен на шаг 3, который по сути тот же.

1) Сначала сложите или вычтите обе части линейного уравнения на одно и то же число.

2) Во-вторых, умножьте или разделите обе части линейного уравнения на одно и то же число.

3) * Вместо шага 2 всегда умножайте обе части уравнения на обратную величину коэффициента переменной.


Примеры решения двухэтапных уравнений

Пример 1: Решите приведенное ниже двухэтапное уравнение.

Как следует из названия этого линейного уравнения, для определения неизвестной переменной требуется два шага. Как правило, первый шаг заключается в том, чтобы избавиться от числа, «наиболее удаленного» от члена с решаемой переменной.Затем мы исключаем число, «ближайшее» к переменной. Число либо умножает, либо делит переменную. Его еще называют коэффициентом срока.

Здесь переменная x. Наша цель — решить x, изолировав его на одной стороне уравнения. Сохранение переменной слева или справа не имеет никакого значения. Это тебе решать! В этой задаче оставим его слева, так как он уже там.

Обратите внимание на то, что на той стороне (левая часть линейного уравнения), где находится переменная, 2 — это «ближайший» к переменной x, а 5 — «самый дальний».

Это простое наблюдение позволяет нам решить, какое число удалить в первую очередь. Очевидно, +5, потому что это дальше между двумя. Противоположность +5 равна -5, это означает, что мы вычтем обе части уравнения на 5.

После исключения 5 в левой части уравнения путем вычитания обеих частей на 5, пора избавиться от числа, ближайшего к x или непосредственно связанного с ним, которое равно 2 в 2x. Поскольку 2 — это умножение переменной x, противоположная операция — деление на 2.

Разделив обе части на 2, мы получим окончательный ответ или решение данного двухшагового линейного уравнения.

Напоминаю, что это считается решенным, потому что коэффициент переменной просто положительный, +1.


Пример 2: Решите приведенное ниже двухэтапное уравнение.

Наша цель — сохранить переменную x на одной стороне уравнения. Неважно, на какой стороне, однако «стандартной» практикой является сохранение решаемой переменной в левой части.Некоторые учителя алгебры могут потребовать, чтобы переменная оставалась слева, и с этим ничего не поделаешь. Лично я не против, где вы храните переменную, левую или правую, при условии, что изолированная переменная на одной стороне уравнения имеет коэффициент +1.

Первый шаг включает удаление числа «дальше всего» от переменной x. Обратите внимание, что -3 «ближе всего» к x, а -8 «дальше». Итак, мы можем исключить -8, добавив к его противоположности, равному +8.

Второй шаг заключается в том, чтобы избавиться от числа, ближайшего к переменной x, равного -3.Поскольку -3 умножает переменную x, его противоположная операция — деление на -3. Разделив обе части на -3, мы решили линейное уравнение.

Быстрое напоминание, -3 деленное на -3 равно +1.


Пример 3: Решите двухэтапное уравнение ниже.

Вот ситуация, когда мы можем изолировать переменную x в правой части уравнения, поскольку она уже существует.

Если посмотреть на правую часть уравнения, где находится переменная, число 3 наиболее близко к x, потому что 3 делит переменную x.С другой стороны, число 26 — «дальше». Это означает, что нам придется иметь дело с +26, вычитая обе части уравнения на 26. Причина, по которой мы вычитаем, состоит в том, что аддитивная величина, обратная +26, равна -26.

Второй шаг — избавиться от знаменателя 3. Поскольку 3 делит x, противоположная операция — умножение на 3.

После умножения обеих частей на 3 мы пришли к окончательному ответу. Вы можете переписать свой окончательный ответ как x = -9.


Пример 4: Решите уравнение двух ниже.

Это может показаться многоступенчатым уравнением, но это не так. Это можно решить в два этапа. Не беспокойтесь о дробях, потому что с ними очень легко работать. В этом случае вы примените правило сложения дробей. Правило гласит, что если вы складываете две дроби с одинаковым знаменателем, просто сложите числители, а затем скопируйте общий знаменатель.

Вернемся к решению двухэтапного уравнения выше, чтобы удалить дробь в левой части, которая равна \ Large {- {3 \ over {10}}}, мы добавим \ Large {{3 \ over {10}}} к обеим сторонам уравнения.

Причина, по которой мы добавляем вместо вычитания, заключается в том, что аддитивная величина, обратная \ Large {- {3 \ over {10}}}, есть \ Large {+ {3 \ over {10}}}.

После добавления \ Large {{3 \ over {10}}} с обеих сторон, только {\ Large {{2 \ over 5}}} x остается с левой стороны.

Для правой части уравнения имеем \ Large {{9 \ over {10}} + {3 \ over {10}} = {{12} \ over {10}}}.

Все, что я сказал выше, — это только первый шаг. Теперь переходим ко второму шагу. Посмотрите на коэффициент переменной x.Это \ Large {{2 \ over 5}}, что означает, что его обратное значение равно \ Large {{5 \ over 2}}.

Чтобы окончательно решить данное уравнение, мы умножим обе части уравнения на обратную величину коэффициента рассматриваемой переменной. Вот полное пошаговое решение:


Практика с рабочими листами

4-х шаговое руководство по решению уравнений (часть 2)

В последнем эпизоде ​​мы узнали немало важных вещей. Во-первых, мы узнали, что печально известный Knot Dude однажды был вызван на своего рода математическую дуэль группой морских строителей пирамид.2, для переменной b . И мы узнали, что при этом Knot Dude разработал простой 4-шаговый метод — первые два шага, которые мы изучили в прошлый раз — для решения уравнений, которые все еще используются!

Сегодня мы собираемся изучить два последних шага к методу Knot Dude, собрать все воедино и выяснить, как именно Knot Dude решил свою проблему и отправил этих склонных к морю строителей пирамид, потерпев поражение, уплыл …

Шаг 1. Упростите каждую сторону уравнения

Как мы узнали в прошлый раз, первый шаг в решении уравнения — сделать уравнение как можно более простым.Это означает, что вам нужно начать с использования золотого правила решения уравнений и порядка операций, PEMDAS, чтобы выражение каждой стороны знака равенства было как можно более простым. В примере, о котором мы говорили в прошлый раз, мы складывали, вычитали, умножали и делили, пока не повернули уравнение

2 + x — 2 • 5 = 4/2 — x

в очень упрощенную версию самого себя

x — 8 = 2- x

Эти два уравнения могут выглядеть не одинаково, но, как мы убедились в прошлый раз, на самом деле это просто разные способы написания одного и того же основного уравнения!

Шаг 2: переместить переменную на одну сторону

Следующим шагом в решении уравнения для конкретной переменной является использование сложения и / или вычитания, чтобы переместить каждую часть уравнения, содержащую переменную, которую вы решаете, в одну сторону от знака равенства.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.