Правила подобия треугольников: Признаки подобия треугольников — урок. Геометрия, 8 класс.

Три признака подобия двух треугольников: по углам, сторонам

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Признаки подобия треугольников

В данной публикации мы рассмотрим определение/обозначение подобных треугольников и три признака подобия фигур. Также разберем пример решения задачи для закрепления представленного материала.

  • Определение и обозначение подобных треугольников
  • Признаки подобных треугольников
    • 1 признак
    • 2 признак
    • 3 признак
  • Пример задачи

Определение и обозначение подобных треугольников

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Сходственные стороны в подобных треугольниках – это стороны, лежащие напротив их равных углов.

Для обозначения подобия фигур используется специальный символ ““. Например, △ABC ∼ △KLM.

Признаки подобных треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из условий, перечисленных далее.

1 признак

Два угла одного треугольника соотвественно равны двум углам другого.

∠BAC = ∠LKM
∠ABC = ∠KLM

2 признак

Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны.

∠BAC = ∠LKM

3 признак

Все стороны одного треугольника соответственно пропорциональны всем сторонам другого.

Пример задачи

Даны два треугольника: △ABC со сторонами 3, 4 и 5 см; △DEF со сторонами 6, 8 и 10 см. Докажите, что данные фигуры подобны.

Решение
Т.к. нам известны длины всех сторон, можно проверить подобие с помощью третьего признака, рассмотренного выше:

Данное равенство верно, значит можно утверждать, что △ABC ∼ △DEF.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Три признака подобия треугольников

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили \(\Delta\)MBN, который подобен \(\Delta\)ABC. Но \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)AВС, то \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию AB/MB = BC/BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’, то, следовательно, и \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’}\) (рис. 369).

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, \(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN} = \frac{AC}{MN}\).

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

\(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{NB}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Сравним ещё две пропорции: \(\frac{AB}{MB} = \frac{AC}{MN}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{AC}{A’C’}\) . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. MN =А’С’.

Оказалось, что три стороны \(\Delta\)BMN равны трём сторонам \(\Delta\)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, а \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

Как определить, подобны ли треугольники

Два треугольника подобны, если у них:

  • все их углы равны
  • соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении

Но нам не нужно знать все три стороны и все три угла… двух-трех из шести обычно достаточно.

Есть три способа определить, подобны ли два треугольника: AA , SAS и SSS :

AA

AA означает «угол, угол» и означает, что у треугольников два угла равны.

Если у двух треугольников два угла равны, то треугольники подобны.

Пример: эти два треугольника подобны:

Если два их угла равны, то и третий угол тоже должен быть равен, потому что сумма углов треугольника всегда составляет 180°.

В этом случае недостающий угол равен 180° − (72° + 35°) = 73°

Таким образом, АА также можно назвать ААА (потому что, когда два угла равны, все три угла должны быть равны).

САС

SAS означает «сторона, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, где:

  • соотношение между двумя сторонами такое же, как соотношение между двумя другими сторонами
  • и мы также знаем, что прилежащие углы равны.

Если два треугольника имеют две пары сторон в одинаковом отношении и прилежащие к ним углы также равны, то такие треугольники подобны.

Пример:

В этом примере мы видим, что:

  • отношение одной пары сторон 21 : 14 = 3 : 2
  • другая пара сторон находится в соотношении 15 : 10 = 3 : 2
  • между ними имеется соответствующий угол 75°

Итак, информации достаточно, чтобы сказать нам, что два треугольника подобны .

Использование тригонометрии

Мы также можем использовать тригонометрию для вычисления двух других сторон, используя закон косинусов:

Продолжение примера

В треугольнике ABC:

  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos A
  • a 2 = 21 2 + 15 2 — 2 × 21 × 15 × Cos75°
  • a 2 = 441 + 225 — 630 × 0,2588. ..
  • a 2 = 666 — 163,055…
  • a 2 = 502,944…
  • Итак, а = √502,94 = 22,426…

В треугольнике XYZ:

  • x 2 = y 2 + z 2 — 2yz cos X
  • x 2 = 14 2 + 10 2 — 2 × 14 × 10 × Cos75°
  • х 2 = 196 + 100 — 280 × 0,2588…
  • х 2 = 296 — 72,469…
  • х 2 = 223,530…
  • Итак, х = √223,530… = 14,950…

Теперь давайте проверим отношение этих двух сторон:

a : x = 22,426… : 14,950… = 3 : 2

то же соотношение, что и раньше!

Примечание: мы также можем использовать закон синусов, чтобы показать, что два других угла равны.

ССС

SSS означает «сторона, сторона, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника со всеми тремя парами соответствующих сторон в одинаковом соотношении.

Если два треугольника имеют по три пары сторон в одинаковом отношении, то такие треугольники подобны.

Пример:

В этом примере соотношение сторон:

  • а : х = 6 : 7,5 = 12 : 15 = 4 : 5
  • б : у = 8 : 10 = 4 : 5
  • с : г = 4 : 5

Все эти отношения равны, поэтому два треугольника подобны.

Используя тригонометрию

Используя тригонометрию, мы можем показать, что два треугольника имеют равные углы, используя закон косинусов в каждом треугольнике: — а 2 )/2bc

  • cos A = (8 2 + 4 2 — 6 2 )/(2×8×4)
  • потому что А = (64 + 16 — 36)/64
  • потому что А = 44/64
  • потому что А = 0,6875
  • Итак, угол A = 46,6°
  • В треугольнике XYZ:

    • cos X = (y 2 + z 2 — x 2 )/2yz
    • cos X = (10 2 + 5 2 — 7,5 2 )/(2×10×5)
    • cos X = (100 + 25 — 56,25)/100
    • cos X = 68,75/100
    • , потому что X = 0,6875
    • Итак, угол X = 46,6°

    Итак, углы А и Х равны!

    Аналогично можно показать, что углы B и Y равны, а углы C и Z равны.

     

     

    Подобные треугольники – объяснение и примеры

    Теперь, когда мы закончили с конгруэнтными треугольниками, мы можем перейти к другому понятию, называемому подобных треугольников.

    В этой статье мы узнаем о подобных треугольниках, свойствах подобных треугольников, как использовать постулаты и теоремы для определения подобных треугольников и, наконец, как решать задачи о подобных треугольниках.

    Что такое подобные треугольники?

    Понятие подобных треугольников и конгруэнтных треугольников — это два разных термина, тесно связанных между собой. Подобные треугольники — это два или более треугольника с одинаковой формой, равными парами соответствующих углов и одинаковым отношением соответствующих сторон.

    Иллюстрация подобных треугольников:

    Рассмотрим три треугольника ниже. Если:

    1. Отношение их соответствующих сторон равно.

    AB/PQ = AC/PR= BC= QR, AB/XY= AC/XZ= BC/YZ

    1. ∠ A= ∠ P=∠X, ∠B = ∠Q= ∠Y, ∠C= ∠R =∠Z

    Therefore, ΔABC ~ΔPQR~ΔXYZ

    Comparison between similar triangles and congruent triangles

    Features Congruent triangles Similar Triangles
    Shape and размер того же размера и формы такой же формы, но другого размера
    Символ ~
    Соответствующие длина . в подобных треугольниках совместна.
    Соответствующие углы Все соответствующие углы равны. Каждая пара соответствующих углов равна.

    Как определить подобные треугольники?

    Сходство треугольников можно доказать, применяя теоремы о подобных треугольниках. Это постулаты или правила, используемые для проверки подобных треугольников.

    Существует три правила проверки подобных треугольников: правило AA, правило SAS или правило SSS.

    Правило угла-угла (AA):
    Согласно правилу AA два треугольника называются подобными, если два угла в одном треугольнике равны двум углам другого треугольника.

    Правило Side-Angle-Side (SAS):
    Правило SAS гласит, что два треугольника подобны, если отношение их соответствующих двух сторон равно, а также угол, образованный двумя сторонами, равен.

    Правило стороны-стороны-стороны (SSS):
    Два треугольника подобны, если все соответствующие три стороны данных треугольников находятся в одной и той же пропорции.

    Как решать подобные треугольники?

    Существует два типа подобных задач на треугольник ; это задачи, которые требуют от вас доказать, подобны ли данный набор треугольников, и те, которые требуют от вас вычисления недостающих углов и длин сторон подобных треугольников.

    Давайте посмотрим на следующие примеры:

    Пример 1

    Проверьте, похожи ли следующие треугольники

    Решение

    Сумма внутренних углов треугольника = 180°

    Следовательно, учитывая Δ PQR

    ∠P + ∠Q + ∠R = 180°

    1°R

    70 ° °

    130° + ∠R = 180°

    Вычтите обе стороны на 130°. 180° °

    Вычесть обе стороны на 110°

    ∠ Y = 70°

    Отсюда;

    • По правилу угла-угла (AA), ΔPQR~ΔXYZ.
    • ∠Q = ∠ Y = 70° и ∠Z = ∠ R= 50°

    Пример 2

    Решение

    Учитывая, что два треугольника подобны, тогда;

    WY/QR = WX/PR

    30/15 = 36/x

    Перемножить

    30x = 15 * 36

    Разделить обе стороны на 30.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *