Правила извлечения квадратного корня: Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Содержание

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Из этой статьи вы узнаете:

  • что такое «извлечение корня»;
  • в каких случаях он извлекается;
  • принципы нахождения значения корня;
  • основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b.  

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда. 

Пример 2

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

  • Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
  • Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
  • Извлечение корней из дробных чисел
  • Извлечение корня из отрицательного числа
  • Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Таблица квадратов единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
десятки 0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2041
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т. д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Таблица кубов   единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
десятки 0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729
1 1000 1 331 1 728 2 197 2 744 3 375 4 096 4 913 5 832 6 859
2 8000 9 261 10 648 12 167 13 824 15 625 17 576 19 683 21 952 24 389
3 27000 29 791 32 768 35 937 39 304 42 875 46 656 50 653 54 872 59 319
4 64000 68 921 74 088 79 507 85 184 91 125 97 336 103 823 110 592 117 649
5 125000 132 651 140 608 148 877 157 464 166 375 175 616 185 193 195 112 205 379
6 216000 226 981 238 328 250 047 262 144 274 625 287 496 300 763 314 432 328 509
7 343000 357 911 373 248 389 017 405 224 421 875 438 976 456 533 474 552 493 039
8 512000 531 441 551 368 571 787 592 704 614 125 636 056 658 503 681 472 704 969
  729000 753 571 778 688 804 357 830 584 857 375 884 736 912 673 941 192 970 299

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители 

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.  

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

pqn=pnqn. Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 4

Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

Необходимо извлечь кубический корень из 474,552. Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474,552 = 474552/1000. Из этого следует: 47455210003=474552310003. Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Пример 5

-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

-122092435=12209243-5​​​​​​

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12209243-5=3125243-5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Краткая запись решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака. 

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0,1,2,…,9, вычисляя при этом 02, 12, …, 92 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5. Все это удобно представить в виде таблицы:

Возможное значение корня 0 1 2 3
Это значение в степени 0 1 4 9

Значение ряда единиц равняется 2 (так как 22<5, а 23>5). Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2,…,2,9, , сравнивая полученные значения с числом 5.

Возможное значение корня 2,0 2,1 2,2 2,3
Это значение в степени 4 4,41 4,84 5,29

Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня 2.20 2,21 2,22 2,23 2,24
Это значение в степени 4,84 4,8841 4,8294 4,9729 5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше: 

2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…

Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.

Правила квадратного корня — Квадратный Корень

Применение операции корня к числам

Квадратный корень из числа  — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной . [1][2] Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.

Рациональные числа

Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь
корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с
предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие
рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой
стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от [3][4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

Действительные числа

При натуральных уравнение
не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению
новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных
(действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.[5]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .[6]

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только
знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из
комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно
использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

,

то (см. Формула Муавра)

,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k
может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе
получаются два различных результата.

Вещественный анализ

График функции

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц[8], функций[9], операторов[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть  — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки
можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается
выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора

при .

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

и так далее.

То есть, узнать целую часть
квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по
порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или
равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень
не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не
точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим
простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного
корня.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S
требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком
далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому
полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко
вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем
Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

В частности, если , а , то [12]

Итерационный аналитический алгоритм

Основная статья: Итерационная формула Герона

тогда

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого
действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ
может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести
увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных
цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком.
Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем
постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из
числа
с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками
разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной
точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть
дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как
03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами
по 2 цифры.

  1. Записать число (в примере — 69696) на листке.
  2. Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
  3. Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
  4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и
    слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы
    их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
  5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа , то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
  6. Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что
    окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже
    найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
  7. Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

Извлечение квадратного корня из многозначного числа

В предисловии к своему первому изданию “В
царстве смекалки” (1908 год) Е. И. Игнатьев пишет:
“… умственную самодеятельность,
сообразительность и “смекалку” нельзя ни
“вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову.
Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в
область математических знаний совершается в
лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах
обыденной и повседневной обстановки,
подобранных с надлежащим остроумием и
занимательностью”.

В предисловии к изданию 1911 г “Роль памяти в
математике” Е.И. Игнатьев пишет “… в математике
следует помнить не формулы, а процесс мышления”.

Для извлечения квадратного корня существуют
таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно
разложить число на простые множители и извлечь
квадратный корень из произведения. Таблицы
квадратов бывает недостаточно, извлечение корня
разложением на множители — трудоёмкая задача,
которая тоже не всегда приводит к желаемому
результату. Попробуйте извлечь квадратный
корень из числа 209764? Разложение на простые
множители дает произведение 2*2*52441. Методом проб и
ошибок, подбором – это, конечно, можно сделать,
если быть уверенным в том, что это целое число.
Способ, который я хочу предложить, позволяет
извлечь квадратный корень в любом случае.

Когда-то в институте (Пермский государственный
педагогический институт) нас познакомили с этим
способом, о котором сейчас хочу рассказать.
Никогда не задумывалась, есть ли у этого способа
доказательство, поэтому сейчас пришлось
некоторые доказательства выводить самой.

Основой этого способа, является состав числа =.

=&, т.е. &2=596334.

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево
(5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева
группы ( — число 2). Так мы
получаем первую цифру числа &.

3. Находим квадрат первой цифры (22=4).

4. Находим разность первой группы и квадрата
первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру,
записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа
&: удвоенная первая цифра, найденная нами,
становится цифрой десятков числа, при умножении
которого на число единиц, необходимо получить
число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 — вторая цифра
числа &.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на
число единиц, мы должны получить число меньшее 2033
(484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть
третья цифра числа &.

Далее процесс повторяется.

Доказательство приведено мной для случаев:

1. Извлечение квадратного корня из трехзначного
числа;

2. Извлечение квадратного корня из
четырехзначного числа.

 



Приближенные методы извлечения квадратного
корня (без использования калькулятора) [2].

1.Древние вавилоняне пользовались следующим
способом нахождения приближенного значения
квадратного корня их числа х. Число х они
представляли в виде суммы а2+b, где а2ближайший к числу х точный квадрат
натурального числа а (а2?х), и пользовались
формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень
квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК
5,2915026.

Как видим способ вавилонян дает хорошее
приближение к точному значению корня.

2. Исаак Ньютон разработал метод извлечения
квадратного корня, который восходил еще к Герону
Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот
(известный как метод Ньютона) заключается в
следующем.

Пусть а1— первое приближение числа (в качестве а1
можно брать значения квадратного корня из
натурального числа — точного квадрата, не
превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а2числа
найдется
по формуле .

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле .

Нахождение приближенного значения числа методом
Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2=
5,3; а3=5,2915.

-
итерационная формула Ньютона для нахождения
квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn — n-е
приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать
квадратный корень из большого числа с любой
точностью, правда с существенным недостатком:
громоздкость вычислений.

Литература:

  1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
    Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. – М.:
    Просвещение, 1990.
  2. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для
    учащихся 8 класса общеобразовательных учебных
    заведений. – М.: Просвещение 1994.

Методы извлечения квадратного корня | Статья в журнале «Юный ученый»

Библиографическое описание:


Прямостанов, С. М. Методы извлечения квадратного корня / С. М. Прямостанов, Л. В. Лысогорова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2017. — № 2.2 (11.2). — С. 76-77. — URL: https://moluch.ru/young/archive/11/823/ (дата обращения: 04.05.2021).



В статье описываются способы извлечения квадратного корня, и приведены примеры извлечения корней.

Ключевые слова: квадратный корень, извлечение квадратного корня.

На уроках математики я познакомился с понятием квадратного корня, и операцией извлечения квадратного корн. Мне стало интересно извлечение квадратного корня возможно только по таблице квадратов, с помощью калькулятора или есть способ извлечения вручную. Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод (, ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Рассмотрим следующие способы:

  1. Извлечение корня путем разложения подкоренного числа на простые множители. Например.

Разложим на простые множители, используя признаки делимости 27225=5*5*3*3*11*11. Таким образом

  1. Канадский метод. Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность — не более двух — трёх знаков после запятой.

где х-число, из которого надо извлечь корень, с-число ближайшего квадрата), например:

=5,92

  1. Столбиком. Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр. Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком

Алгоритм извлечения квадратного корня

1.От запятой отдельно дробную и отдельно целую части делим на грани по две цифры в каждой грани (целую часть — справа налево; дробную — слева направо). Возможно, что в целой части может оказаться одна цифра, а в дробной — нули.

2.Извлечение начинается слева направо, и подбираем число, квадрат которого не превосходит числа, стоящего в первой грани. Это число возводим в квадрат и записывает под числом, стоящим в первой грани.

3.Находим разность между числом, стоящим в первой грани, и квадратом подобранного первого числа.

4.К получившейся разности сносим следующую грань, полученное число будет делимым. Образовываем делитель. Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого. Подобранную цифру записываем в ответ.

5.К получившейся разности сносим следующую грань и выполняем действия по алгоритму. Если данная грань окажется гранью дробной части, то в ответе ставим запятую. (Рис. 1.)

Рис. 1

Рис. 2

Данным способом можно извлекать числа с разной точностью, например с точностью до тысячных. (Рис.2)

Рассматривая различные способы извлечения квадратного корня, можно сделать вывод: в каждом конкретном случае нужно определиться с выбором наиболее эффективного для того, чтобы меньше затратить времени для решения

Литература:

  1. Киселев А. Элементы алгебры и анализа. 2=25, являются квадратными корнями из числа 25. Теперь необходимо научиться работать с операцией извлечения квадратного корня: изучить его основные свойства.

    Квадратный корень из произведения

    √(a*b) =√a*√b

    Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел. Например, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

    Важно понимать, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трех, четырех и т.д. неотрицательных множителей.

    Иногда встречается и другая формулировка этого свойства. Если a и b есть неотрицательные числа, то справедливо следующее равенство √(a*b) =√a*√b. Разницы между ними нет абсолютно никакой, можно использовать как одну, так и другую формулировку(кому какую удобнее запомнить).

    Квадратный корень из дроби

    Если a>=0 и b>0, то справедливо следующее равенство:

    √(a/b) =√a/√b.

    Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

    У этого свойства тоже существует другая формулировка, на мой взгляд, более удобная для запоминания. 
    Квадратный корень частного равен частному от корней.

    Стоит отметить, что эти формулы работают как слева направо, так и справа налево. То есть при необходимости, мы можем произведение корней представить как корень из произведения. Тоже самое касается и второго свойства.

    Как вы могли заметить, эти свойства очень удобны, и хотелось бы иметь такие же свойства для сложения и вычитания:

    √(a+b) =√a+√b;

    √(a-b) =√a-√b;

    Но к сожалению таких свойств квадратные корни не имеют, и поэтому так делать при вычислениях нельзя.

    Нужна помощь в учебе?

    Предыдущая тема: Функция y=√x: график и свойства
    Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspКвадратный корень из степени: правила и примеры

    Извлечение квадратного корня в столбик

    Когда-то уже довольно давно, когда я училась классе в восьмом, моя учительница математики на кружке показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм запомнился, а вопросы остались. Непонятно было, откуда взялся метод и почему он дает верный результат. В книжках этого не было, а может, просто не в тех книжках искала. В итоге, как и многое из того, что на сегодняшний день знаю и умею, вывела сама. Делюсь своим знанием здесь. Кстати сказать, до сих пор не знаю, где приведено обоснование алгоритма)))

    Итак, сначала на примере рассказываю, “как работает система”, а потом объясняю, почему она на самом деле работает.

    Возьмем число (число взято “с потолка”, только что в голову пришло).

    1. Разбиваем его цифры на пары: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Получаем .

    2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева — в нашем случае это (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число . Записываем в ответ — это старшая цифра корня.

    3. Возводим число, которое стоит уже в ответе — это — в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр — из числа . В нашем случае остается .

    4. Приписываем справа следующую группу из двух цифр: . Число , которое уже стоит в ответе, умножаем на , получаем .

    5. Теперь следите внимательно. Нам нужно к числу справа приписать одну цифру , и число умножить на , то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к , но опять-таки не больше этого числа. В нашем случае это будет цифра , ее записываем в ответ рядом с , справа. Это следующая цифра в десятичной записи нашего квадратного корня.

    6. Из вычитаем произведение , получаем .

    7. Далее повторяем знакомые операции: приписываем к справа следующую группу цифр , умножаем на , к полученному числу > приписываем справа одну цифру, такую, чтобы при умножении на нее получилось число, меньшее , но наиболее близкое к нему –– это цифра –– следующая цифра в десятичной записи корня.

    8. Далее у нас в числе стоит десятичная точка, ставим такую же в результате после цифры . Продолжаем процесс, снося по две цифры после точки. Ясно, что можно сносить и два нуля.

    Вычисления запишутся следующим образом:

    А теперь обещанное объяснение. Алгоритм основан на формуле

       

    Первый раз вычитаем квадрат, дальше, приписывая по одной цифре к результату, к числу под корнем, тем самым, приписываем две десятичных цифры. Отсюда разбиение на пары (видно из формулы). Вычтя квадрат, необходимо вычитать дальше числа вида , где — удвоенный известный на данный момент результат, приписывая к нему цифру, получаем , умножаем на эту же самую цифру, имеем . Вот и все!

    P.S. Красивую модификацию описанного метода извлечения квадратного корня, которую предложил С.В. Савич, можно найти здесь: http://hijos.ru/2012/04/25/krasivaya-modifikaciya-metoda-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya/

    Извлечение квадратного корня с помощью нормальных алгоритмов Маркова / Хабр

    Захотел я однажды вычислить квадратный корень с помощью нормальных алгоритмов Маркова (НАМ).

    Кратко о НАМ:

    • Существует список замен одной подстроки на другую, называемых правилами
    • Ищем с начала списка первое правило которое можем применить и применяем его для первого вхождения
    • Если такое правило было обнаружено, то возвращаемся к предыдущему пункту и просматриваем список правил сначала
    • Если правило было заключительным, то завершаем работу
    • Если больше нет правил, которые мы можем применить, то завершаем работу

    Итак, вроде бы все просто? Однако, как писать программы на НАМ?
    Для себя я сделал примерно такой план:

    • Пытаемся написать обычный алгоритм использующий только строки
    • Следим за тем, чтобы последние замены не пересекались с первыми
    • Переворачиваем алгоритм и записываем с конца к началу

    Итак, вернемся к вычислению квадратного корня. Мы будем использовать «детский» метод (он же арифметический), который основывается на том простом факте, что квадрат числа — это сумма нечетных чисел от 1 до 2n-1:

    • 1 = 12 = 1
    • 1 + 3 = 22 = 4
    • 1 + 3 + 5 = 32 = 9

    Как бы мы могли реализовать извлечение корня основываясь на этом свойстве? Мы будем последовательно отнимать от числа сначала 1, потом 3, потом 5 и т. д., пока число не станет меньше нуля, паралельно считая сколько отниманий мы сделали. Итого, уже два счетчика + одна переменная для хранения результата

    Маленькая особенность НАМ — нету здесь чисел. И переменных нету. Поэтому нам надо бы симулировать их. Так как писать длинную арифметику мне было лень (да и сомневаюсь что это возможно человеку), то арифметические операции сделал по простому принципу — с помощью инкремента и декремента.

    Я решил сделать так, чтобы у меня строка хранилась в формате {Результат}.{Число}{ОчередноеНечетноеЧисло}{ИндикаторКонцаСтроки}

    Нечетное число я решил хранить в унарной системе исчисления и обозначать единицу как «#» — так гораздо проще работать будет.

    Теперь, каким образом мы будем отнимать от числа очередное нечетное, не потеряв данные? Я решил, что между нечетным число и индикатором конца строки нужно добавить маркер «a», который перемещаясь сквозь число будет его дублировать, но уже в другом виде (обозначаем через «-«). После будем сдвигать все минусы к числу и отнимать их. После того как мы все числа отняли, нам нужно увеличить результат на единицу.

    В моей реализации была маленькая особенность — результат всегда выходит округленным вверх. Я решил сделать так, чтобы этот алгоритм работал с абсолютной точностью 0.5, а не 1 (как в описании). Когда в строке остается минусов больше чем половина от их начального значения, мы должны взять и уменьшить результат.

    В итоге получился «пинг-понг», который извлекает квадратный корень заданного числа.

    Очень интересно выглядит зависимость количества замен от числа:

    Посмотреть код: paste.org.ru/?3uweqh

    Посмотреть пример выполнения: paste.org.ru/?34caeb

    Скачать программу: sites.google.com/site/nsinreal/markovsqrt.zip

    Математические слова: правила квадратного корня

    Правила квадратного корня

    Правила алгебры для квадрата
    корни перечислены
    ниже. Правила извлечения квадратного корня — это подмножество n th
    корневые правила и показатель степени
    правила.

    Определения

    1. если и b ≥ 0, и b 2 = a .

    2.

    Примеры

    , потому что 3 2 = 9.

    3. Если a ≥ 0, то.

    Распределение ( a ≥ 0 и b ≥ 0)

    1.

    2. ( б ≠ 0)

    3.

    Примеры

    4.

    Рационализация знаменателя
    ( a > 0, b > 0, c > 0)
    Примеры

    Осторожно !!

    1.

    2.

    3.

    Примеры

    См.
    также

    n th
    корень, радикал, правила факторинга

    Упрощение квадратного корня | Колледж алгебры

    Использование правила произведения для упрощения квадратного корня

    Чтобы упростить квадратный корень, мы перепишем его так, чтобы в подкоренном выражении не было полных квадратов.Есть несколько свойств квадратных корней, которые позволяют упростить сложные радикальные выражения. Первое правило, которое мы рассмотрим, — это правило произведения для упрощения квадратных корней, , которое позволяет разделить квадратный корень произведения двух чисел на произведение двух отдельных рациональных выражений. Например, мы можем переписать [latex] \ sqrt {15} [/ latex] как [latex] \ sqrt {3} \ cdot \ sqrt {5} [/ latex]. Мы также можем использовать правило произведения, чтобы выразить произведение нескольких радикальных выражений как одно радикальное выражение.

    Общее примечание: правило произведения для упрощения квадратного корня

    Если [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] неотрицательны, квадратный корень продукта [latex] ab [/ latex] равен произведению квадратных корней из [latex] a [/ латекс] и [латекс] б [/ латекс].

    [латекс] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} [/ латекс]

    Как: дано выражение с корнем квадратного корня, используйте правило произведения, чтобы упростить его.


    1. Выделяем любые полные квадраты за пределы подкоренного выражения.{3} z} [/ латекс].

      Решение

      Практическое руководство. Получив произведение нескольких радикальных выражений, используйте правило произведения, чтобы объединить их в одно радикальное выражение.


      1. Выразите произведение нескольких радикальных выражений как одно радикальное выражение.
      2. Упростить.

      Пример 3: Использование правила произведения для упрощения произведения нескольких квадратных корней

      Упростите радикальное выражение.

      [латекс] \ sqrt {12} \ cdot \ sqrt {3} [/ латекс]

      Решение

      [латекс] \ begin {array} {cc} \ sqrt {12 \ cdot 3} \ hfill & \ text {Представьте продукт как одно радикальное выражение}.\ hfill \\ \ sqrt {36} \ hfill & \ text {Simplify}. \ hfill \\ 6 \ hfill & \ end {array} [/ latex]

      Попробовать 3

      Упростите [latex] \ sqrt {50x} \ cdot \ sqrt {2x} [/ latex], предполагая, что [latex] x> 0 [/ latex].

      Решение

      Использование правила частного для упрощения квадратного корня

      Точно так же, как мы можем переписать квадратный корень из произведения как произведение квадратных корней, мы можем переписать квадратный корень из частного как частное из квадратных корней, используя правило частного для упрощения квадратных корней. Может быть полезно разделить числитель и знаменатель дроби под корнем, чтобы мы могли отдельно брать их квадратные корни. Мы можем переписать [latex] \ sqrt {\ frac {5} {2}} [/ latex] как [latex] \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {2}} [/ latex].

      Общее примечание: Правило частного для упрощения квадратного корня

      Квадратный корень частного [латекс] \ frac {a} {b} [/ latex] равен частному квадратного корня из [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex], где [латекс] б \ нэ 0 [/ латекс].

      [латекс] \ sqrt {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}} [/ латекс]

      Практическое руководство. Для радикального выражения используйте правило частного, чтобы упростить его.


      1. Запишите радикальное выражение как частное двух радикальных выражений.
      2. Упростите числитель и знаменатель.

      Пример 4: Использование правила частного для упрощения квадратного корня

      Упростите радикальное выражение.

      [латекс] \ sqrt {\ frac {5} {36}} [/ латекс]

      Решение

      [латекс] \ begin {array} {cc} \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {36}} \ hfill & \ text {Запишите как частное двух радикальных выражений}.{5}}} [/ латекс].

      Решение

      Квадраты и квадратные корни в алгебре

      Вы можете сначала прочитать наше Введение в квадраты и квадратные корни.

      Квадраты

      Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя

      Пример: Что такое 3 в квадрате?

      3 Квадрат = = 3 × 3 = 9

      «В квадрате» часто записывают как две маленькие цифры:

      Это говорит о том, что «4 в квадрате равно 16»
      (маленькая 2 означает
      число появляется дважды при умножении, поэтому 4 × 4 = 16)

      Квадратный корень

      Корень квадратный из идет в обратном направлении:

      3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень
      из 9 это 3

      Это как спросить:

      Что можно умножить само на себя, чтобы получить это?

      Определение

      Вот определение:

      Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:

      r 2 = x
      r квадратный корень из x

      Символ квадратного корня

      Это специальный символ, означающий «квадратный корень»,

      это как галочка,
      и фактически началось сотни лет
      назад в виде точки с движением вверх.

      Он называется радикалом и всегда делает математику важной!

      Мы можем использовать это так:

      мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3»

      Пример: Что такое √36?

      Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

      Отрицательные числа

      Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа.

      Пример: Что такое

      минус 5 в квадрате ?

      Но подождите… что означает «минус 5 в квадрате»?

      • квадрат 5, тогда минус?
      • или квадрат (−5)?

      Непонятно! И получаем разные ответы:

      • возвести в квадрат 5, затем вычислить минус: — (5 × 5) = −25
      • квадрат (−5): (−5) × (−5) = +25

      Итак, давайте проясним это с помощью «()».

      Это было интересно!

      Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительный результат .

      Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа:

      Теперь помните наше определение квадратного корня?

      Квадратный корень из x равен , число r , квадрат которого равен x:

      r 2 = x
      r квадратный корень из x

      И мы только что обнаружили, что:

      (+5) 2 = 25
      (−5) 2 = 25

      Итак, и +5, и −5 являются квадратными корнями из 25

      Два квадратных корня

      Может быть положительных и отрицательных квадратный корень!

      Это важно помнить.

      Пример: Решите w

      2 = a

      Ответ:

      w = √a и w = −√a

      Главный квадратный корень

      Итак, если на самом деле есть два квадратных корня, почему люди говорят √25 = 5?

      Потому что означает главный квадратный корень … тот, который не является отрицательным!

      — это два квадратных корня, но символ √ означает только главный квадратный корень .

      Пример:

      Квадратные корни из 36 равны 6 и −6

      Но √36 = 6 (не −6)

      Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть нулевым).

      Знак плюс-минус

      ± — специальный символ, означающий «плюс или минус»,
      поэтому вместо записи: w = √a и w = −√a
      мы можем написать: Вт = ± √a

      В двух словах

      Когда имеем: r 2 = x

      , тогда: r = ± √x

      Почему это важно?

      Почему этот «плюс-минус» важен? Потому что мы не хотим упустить решение!

      Пример: Решить x

      2 — 9 = 0

      Начать с: x 2 — 9 = 0

      Переместите 9 вправо: x 2 = 9

      Квадратный корень: x = ± √9

      Ответ: x = ± 3

      Знак «±» говорит нам также включить ответ «−3».

      Пример: найти x в (x — 3)

      2 = 16

      Начать с: (x — 3) 2 = 16

      Квадратный корень: x — 3 = ± √16

      Вычислить √16: x — 3 = ± 4

      Добавьте 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4

      Ответ: x = 7 или −1

      Чек: (7−3) 2 = 4 2 = 16
      Чек: (−1−3) 2 = (−4) 2 = 16

      Квадратный корень xy

      Когда два числа умножаются на на квадратный корень , мы можем разделить это на умножение двух квадратных корней следующим образом:

      √xy = √x√y

      , но только если x и y оба больше или равны 0

      Пример: Что такое

      √ (100 × 4) ?

      √ (100 × 4) = √ (100) × √ (4)

      = 10 × 2

      = 20

      И √x√y = √xy :

      Пример: Что такое

      √8√2 ?

      √8√2 = √ (8 × 2)

      = √16

      = 4

      Пример: Что такое

      √ (−8 × −2) ?

      √ (−8 × −2) = √ (−8) × √ (−2)

      = ???

      Похоже, мы здесь попались в какую-то ловушку!

      Мы можем использовать мнимые числа,

      но это приводит к неправильному ответу : −4

      Да, верно. ..

      Правило работает, только если x и y оба больше или равны 0

      Итак, мы не можем использовать это правило здесь.

      Вместо этого просто сделайте это так:

      √ (−8 × −2) = √16 = +4

      Почему √xy = √x√y?

      Мы можем использовать тот факт, что возведение квадратного корня в квадрат снова возвращает нам исходное значение:

      (√a) 2 = a

      Предполагая, что , не отрицательное!

      Мы можем сделать это для xy: (√xy) 2 = xy

      А также к x и y по отдельности: (√xy) 2 = (√x) 2 (√y) 2

      Используйте 2 b 2 = (ab) 2 : (√xy) 2 = (√x√y) 2

      Убрать квадрат с обеих сторон : √xy = √x√y

      Показатель половины

      Квадратный корень можно также записать в виде дробной степени от половины:

      , но только для x больше или равно 0

      Как насчет квадратного корня негативов?

      Результат — мнимое число. .. прочтите эту страницу, чтобы узнать больше.

      Квадратный корень: знак, правила и проблемы — видео и стенограмма урока

      Распознавание идеальных квадратов

      Говоря на любом языке, полезно знать более простую версию того, что вы хотите сказать. Совершенные квадраты дают нам возможность находить более простые версии выражений квадратного корня. Подкоренное выражение — это полный квадрат , если его главный квадратный корень является целым числом. Например, 16 — это полный квадрат, потому что его главный квадратный корень равен 4.2) в виде сетки r -by- r , где r — целое число. Например, 4 квадрата равного размера могут отображаться в виде квадрата в сетке 2 на 2. Сетка 3 на 3 дает вам 9 квадратов, сетка 4 на 4 квадрата дает вам 16 квадратов и так далее. Однако вы не можете отобразить таким же образом число, не являющееся точным квадратом, например 26. Не существует квадратной сетки r -by- r , которая дала бы вам 26 квадратов.

      Распознавание идеальных квадратов важно, потому что это помогает нам упростить более сложные выражения квадратного корня.Вместо того, чтобы говорить «квадратный корень из 16», проще сказать «4».

      Упрощение выражений квадратного корня

      Выражение квадратного корня считается упрощенным, если оно удовлетворяет двум условиям:

      1) подкоренные выражения не имеют точных квадратных факторов, кроме 1

      и

      2) Знаки квадратного корня отсутствуют в знаменатель

      Наше первое условие на самом деле означает, что мы ищем идеальные квадраты под знаком квадратного корня. Мы можем вытащить эти идеальные квадраты из-под знака квадратного корня и записать их как целые числа.

      Например, чтобы упростить квадратный корень из 200, вам нужно найти точные квадратные множители 200. Мы можем записать 200 как 2 * 100. 2 — это идеальный квадрат? Нет, его главный квадратный корень не является целым числом. 100 — это идеальный квадрат? Да, его главный квадратный корень равен 10! Давайте вытащим это 100 из-под знака корня и запишем его как 10. Итак, квадратный корень из 200 можно упростить до 10-кратного квадратного корня из 2.

      Это не казалось слишком сложным, но что, если бы нас попросили упростить квадратный корень из 2, умноженный на квадратный корень из числа 200, деленного на 3.Не бойтесь. Помимо распознавания идеальных квадратов, есть два свойства, которые помогут нам выполнить эту задачу.

      Если a больше 0 и b больше 0, то мы можем использовать следующие свойства для упрощения выражений квадратного корня:

      Во-первых, у нас есть свойство частного , где квадратный корень из a / b равен квадратному корню из a , деленному на квадратный корень из b .

      У нас также есть свойство продукта , где квадратный корень из a * b совпадает с квадратным корнем из a , умноженным на квадратный корень из b.

      Мы можем использовать свойство частного, чтобы вычислить квадратный корень из числа 200, разделенного на 3 части нашей задачи. Следуя этому свойству, мы можем переписать эту часть как квадратный корень из 200, деленный на квадратный корень из 3.Ранее мы знаем, что квадратный корень из 200 можно упростить до 10-кратного квадратного корня из 2. Так что давайте включим это в наше выражение.

      Теперь у нас есть квадратный корень, умноженный на 2, умноженный на 10, квадратный корень из 2 в числителе и квадратный корень из 3 в знаменателе.

      Чтобы упростить числитель, мы можем использовать свойство product, чтобы записать квадратный корень из 2, умноженного на квадратный корень из 2, как квадратный корень из количества, умноженного на 2. Это дает нам квадратный корень из 4, так что теперь у нас в числителе 10 умноженный на квадратный корень из 4. Не забывайте, что 4 — это точный квадрат, поэтому мы можем переписать квадратный корень из 4 как 2. Это дает нам 20 в числителе.

      Готово? Нет, помните, что в знаменателе не может быть квадратного корня, так как же нам избавиться от этого квадратного корня из 3?

      Нам нужно рационализировать знаменатель . Это причудливый способ сказать, что нам нужно умножить на некоторую версию 1, чтобы избавиться от знаков квадратного корня в знаменателе.В этом случае мы умножаем все выражение на квадратный корень из 3, деленный на квадратный корень из 3.

      Умножение знаменателя на квадратный корень из 3 дает нам квадратный корень 3 умноженный на 3 (помните свойство произведения). Это дает нам квадратный корень из 9 в знаменателе, который равен всего 3.

      Наша окончательная упрощенная версия составляет 20-кратный квадратный корень из 3 из всех 3. Подкоренные выражения не имеют точного квадратного множителя, кроме 1, и нет квадратный корень в знаменателе, так что готово!

      Сложение и вычитание квадратного корня

      Вы чувствуете себя уверенно? Даже если вы еще не знаете решение, ответ всегда должен быть положительным, поэтому мы собираемся ввести еще одну концепцию: сложение и вычитание квадратных корней.

      При сложении и вычитании терминов, имеющих переменные, вы можете помнить, что вы должны комбинировать одинаковые термины. Мы применяем ту же концепцию к сложению и вычитанию квадратных корней, за исключением того, что мы комбинируем термины, которые имеют одно и то же подкоренное выражение. Давайте посмотрим на пример, который применяет это и все остальное, чему вы научились, на практике. Не стесняйтесь в любой момент приостановить видео и проработать пример самостоятельно.

      Упростите следующий радикал: 6 умножить на квадратный корень из числа 1 на 2 плюс 4 умножить на квадратный корень из 18 минус 8 умноженный на квадратный корень из 2.

      Может показаться, что это много, но давайте поработаем над упрощением каждого термина отдельно. Мы можем использовать факторное свойство для нашего первого члена. Это дает нам 6-кратный квадратный корень из 1 на всем квадратном корне из 2. Квадратный корень из 1 равен 1, так что на самом деле это 6 больше квадратного корня из 2.

      Чтобы закончить упрощение этого термина, нам нужно рационализировать знаменатель, чтобы избавиться от знака квадратного корня. Умножьте этот первый член на квадратный корень из 2 над квадратным корнем из 2, и вы увидите, что этот член упрощается до трехкратного квадратного корня из 2.

      Теперь о втором сроке. Мы можем использовать свойство product, чтобы найти идеальный квадрат. 4 умноженный на квадратный корень 18 становится 4 умноженным на квадратный корень из 2 умноженных на квадратный корень из полного квадрата 9. Квадратный корень 9 равен 3, так что это дает нам 4 умноженный на 3 умноженный на квадратный корень 2, или 12 умноженный на квадратный корень из 2.

      Хорошо, давайте посмотрим на наш последний член, отрицательный 8, умноженный на квадратный корень из 2.Что мы можем сделать, чтобы еще больше упростить его? Нет, у подкоренного выражения нет полных квадратов, и, конечно же, нет знака квадратного корня в знаменателе.

      Наш последний шаг — сложить и вычесть эти квадратные корни. Помните, что мы можем комбинировать только те термины, которые имеют одно и то же подкоренное выражение, но все наши термины имеют подкоренное выражение 2. Это означает, что мы можем объединить их все и переписать наше выражение как квадратный корень из 2-кратного числа 3 + 12-8.Это просто дает нам квадратный корень из 2, умноженный на 7, и все готово!

      Если вы будете делать это шаг за шагом и помнить правила упрощения, вы скоро будете свободно говорить на языке квадратных корней. 2 = x .

      Умение говорить о выражениях с квадратным корнем означает умение выражать их простыми терминами. Вы выразили выражение квадратного корня в простейших терминах, если оно удовлетворяет двум условиям:

      1) Подкрепленные выражения не имеют точных квадратных факторов, кроме 1

      и

      2) В знаменателе нет знаков квадратного корня

      In Помимо распознавания полных квадратов, есть два свойства, которые помогают упростить радикальные выражения.

      Если a больше 0 и b больше 0, то мы можем использовать свойство частного , где квадратный корень из a / b равен квадратному корню из a разделенное на квадратный корень из б.

      Мы также можем использовать свойство продукта , где квадратный корень из a * b совпадает с квадратным корнем из a , умноженным на квадратный корень из b.

      Кроме того, не забудьте, что рационализирует знаменатель или умножает на некоторую версию 1, чтобы избавиться от знаков квадратного корня в знаменателе.

      Обзор квадратного корня

      Знак квадратного корня говорит нам найти квадратные корни любых чисел под ними
      Radicand число под знаком квадратного корня
      Собственность квадратный корень из a / b равен квадратному корню из a , деленному на квадратный корень из b
      Свойство продукта квадратный корень из a * b то же самое, что квадратный корень из a , умноженный на квадратный корень из b
      Рационализировать знаменатель умножьте на некоторую версию 1, чтобы избавиться от знаков квадратного корня в знаменателе

      Результаты обучения

      Сосредоточьтесь на концепциях, связанных с квадратными корнями во время этого урока, чтобы впоследствии вы могли:

      • Распознать знак квадратного корня, подкоренное выражение и полный квадрат
      • Упростите и решите квадратный корень
      • Используйте частное и свойства продукта
      • Сложить и вычесть квадратные корни

      Квадратные корни (Алгебра 1, Изучение действительных чисел) — Mathplanet

      В первом разделе Алгебры 1 мы узнали, что

      $$ 3 ^ {2} = 3 \ cdot 3 = 9 $$

      Мы сказали, что 9 — это квадрат 3. {2} = a \ cdot a = \ left (-a \ right) \ cdot \ left (-a \ right) $$

      Квадратный корень записывается с помощью символа корня √, а число или выражение внутри символа корня, обозначенное ниже a, называется подкоренным выражением.

      $$ \ sqrt {a} $$

      Чтобы указать, что нам нужен как положительный, так и отрицательный квадратный корень из подкоренной части, мы помещаем символ ± (читается как плюс минус) перед корнем.

      $$ \ pm \ sqrt {9} = \ pm 3 $$

      Из нуля один квадратный корень, равный 0.

      $$ \ sqrt {0} = 0 $$

      Отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней, поскольку квадрат либо положительный, либо 0.

      Если квадратный корень из целого числа является другим целым числом, квадрат называется полным квадратом.Например, 25 — это идеальный квадрат, так как

      .

      $$ \ pm \ sqrt {25} = \ pm 5 $$

      Если подкоренное выражение не является точным квадратом, то есть квадратный корень не является целым числом, вам нужно приблизительно вычислить квадратный корень

      .

      $$ \ pm \ sqrt {3} = \ pm 1.73205 … \ приблизительно \ pm 1,7 $$

      Квадратные корни из чисел, не являющихся полным квадратом, являются членами иррациональных чисел. Это означает, что они не могут быть записаны как частное двух целых чисел. Десятичная форма иррационального числа не прерывается и не повторяется.Иррациональные числа вместе с рациональными числами составляют действительные числа.


      Видеоурок

      Приблизительно квадратный корень из 250

      Сложение и вычитание квадратного корня — элементарная алгебра

      Цели обучения

      К концу этого раздела вы сможете:

      • Сложить и вычесть как квадратные корни
      • Сложить и вычесть квадратные корни, требующие упрощения

      Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

      1. Добавьте: ⓐ ⓑ.
        Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
      2. Упростить:.
        Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

      Мы знаем, что мы должны соблюдать порядок операций, чтобы упростить выражения с квадратными корнями. Радикал — это групповой символ, поэтому сначала мы работаем внутри радикала. Упрощаем таким образом:

      Итак, если нам нужно складывать, мы не должны объединять их в один радикал.

      Попытка сложить квадратные корни с разными подкоренными выражениями похожа на попытку сложить непохожие термины.

      Сложение квадратных корней с одним и тем же корневым выражением аналогично сложению одинаковых членов. Мы называем квадратные корни с одним и тем же корневым элементом квадратными корнями, чтобы напомнить нам, что они работают так же, как похожие термины.

      Как квадратные корни

      Квадратные корни с одной и той же подкоренной частью называются квадратными корнями.

      Мы складываем и вычитаем, как квадратные корни, так же, как складываем и вычитаем как члены. Мы это знаем. Аналогично складываем и получаем

      Сложить и вычесть как квадратные корни

      Подумайте о добавлении одинаковых терминов с переменными, как в следующих нескольких примерах.Когда у вас есть подкоренные выражения, вы просто добавляете или вычитаете коэффициенты. Когда подкоренные выражения не похожи, вы не можете комбинировать термины.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Когда радикалы содержат более одной переменной, при условии, что все переменные и их показатели идентичны, радикалы подобны.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Сложение и вычитание квадратного корня, требующего упрощения

      Помните, что мы всегда упрощаем извлечение квадратного корня, удаляя наибольший коэффициент полного квадрата.Иногда, когда нам нужно сложить или вычесть квадратные корни, которые не имеют одинаковых радикалов, мы находим похожие радикалы после упрощения квадратных корней.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Точно так же, как мы используем ассоциативное свойство умножения для упрощения и получения, мы можем упростить и получить.В следующем примере мы воспользуемся ассоциативным свойством.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      В следующем примере мы удалим постоянные и переменные множители из квадратных корней.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Упростить:.

      Решение

      Упростить:.

      Упростить:.

      Ключевые понятия

      • Чтобы сложить или вычесть квадратные корни, сложите или вычтите коэффициенты и сохраните такой же квадратный корень.
      • Иногда, когда нам нужно сложить или вычесть квадратные корни, которые не имеют одинаковых радикалов, мы находим похожие радикалы после упрощения квадратных корней.
      Практика ведет к совершенству

      Сложить и вычесть как квадратные корни

      Упростите следующие упражнения.

      Сложить и вычесть квадратные корни, требующие упрощения

      Упростите следующие упражнения.

      Смешанная практика

      Повседневная математика

      Декоратор решает использовать квадратную плитку в качестве акцентной полосы в дизайне новой душевой кабины, но она хочет повернуть плитки, чтобы они выглядели как ромбы. Она будет использовать 9 больших плиток со стороной 8 дюймов и 8 маленьких плиток со стороной 2 дюйма. . Определите ширину акцентной полосы, упростив выражение. (Округлите до ближайшей десятой доли дюйма.)

      Сюзи хочет использовать квадратные плитки на границе спа, которое она устанавливает на заднем дворе. Она будет использовать большие плитки с площадью 12 квадратных дюймов, средние плитки с площадью 8 квадратных дюймов и маленькие плитки с площадью 4 квадратных дюйма.После того, как участок границы потребует 4 больших плитки, 8 средних плиток и 10 маленьких плиток, чтобы покрыть ширину стены. Упростите выражение, чтобы определить ширину стены.

      Письменные упражнения

      Объясните разницу между одинаковыми радикалами и непохожими радикалами. Убедитесь, что ваш ответ имеет смысл для радикалов, содержащих как числа, так и переменные.

      Объясните процесс определения того, похожи ли два радикала или нет. Убедитесь, что ваш ответ имеет смысл для радикалов, содержащих как числа, так и переменные.

      Самопроверка

      ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

      ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

      Глоссарий

      как квадратные корни
      Квадратные корни с таким же подкоренным элементом называются квадратными корнями.

      Корни и радикалы — GMAT Math Study Guide

      Определения

      • N -й Корень X — число, которое при умножении N раз дает X.
        Например, корень N = 2 (также называемый квадратным корнем) из 9 — это число 3, которое при умножении на 2 раза дает 9.
      • Квадратный корень из X — число, которое при двойном умножении дает X.
        Например, квадратный корень из 16 равен 4, потому что четыре, умноженные вместе два раза (т. Е. 4 * 4), равны 16.
      • Кубический корень X — число, которое при трехкратном умножении дает X.
        Например, кубический корень из 64 равен 4, потому что четыре, умноженные вместе три раза (т.е., 4 * 4 * 4) равно 64.
      • Радикал — знак, обозначающий квадрат или корень n th из числа.
        Например, значение радикала 4 равно 2, а значение радикала 9 равно 3.
      • Подкоренное выражение — число под знаком корня, из которого получается квадратный корень (или корень n th ).
        Например, когда вы говорите: «2 — квадратный корень из 4», число 4 — это подкоренное выражение.

      Связь с экспонентами

      Связь между корнями и показателями степени является обратной зависимостью.

      Если M N = Z, то корень N th Z равен M

      Как будет вскоре показано в разделе о формулах данного учебного пособия, корни относятся к показателям степени через эту чрезвычайно важную формульную связь.

      Правила корней и радикалов

      Примеры правил корней и радикалов

      Полезные радикалы для запоминания

      Чтобы улучшить свою способность успешно и быстро решать вопросы по математике, чрезвычайно полезно запомнить несколько часто используемых показателей и корней:

      Радикалы и знак Радиканда

      Есть четыре различных случая, которые охватывают мир радикалов.

      Случай 1: положительное подкоренное выражение и четный корень

      В случае 1 общепринятое математическое соглашение гласит, что существует только одно решение, и это решение является положительным. Например, квадратный корень из 4 равен только положительному 2, хотя (технически говоря) -2 является корнем, поскольку (-2) (- 2) = + 4. Следовательно, когда его спрашивают, «каков квадратный корень из 25?» правильный ответ — «только положительно 5». Точно так же, если спросить: «Каков корень 4-й степени из 16?» правильный ответ — «только положительный 2», хотя (-2) 4 тоже = 16.

      Случай 2: положительное подкоренное выражение и нечетный корень

      В случае 2 возможен только один ответ. Для сравнения и для пояснения в случае 1 было два возможных ответа, хотя математическое соглашение соглашалось, что только один из этих ответов (то есть положительный) был правильным. Из-за характера того, как отрицательные числа ведут себя при умножении нечетное количество раз (т. Е. Они сохраняют свой отрицательный знак), в случае 2 невозможно получить отрицательный ответ.

      Случай 3: отрицательный корень и нечетный корень

      В случае 3 возможен только один ответ. Поскольку единственный способ получить отрицательный результат — это умножить отрицательное число нечетное количество раз, ответ в случае 3 всегда будет отрицательным. Чтобы более четко это увидеть, обратите внимание, что умножение отрицательного числа четное число раз дает положительное число. Точно так же умножение положительного числа на себя нечетное количество раз дает положительное число.

      Случай 4: отрицательный корень и четный корень

      В случае 4 нет ответа на этот тип вопроса в области того, что называется действительными числами. Технически на этот случай можно ответить, используя так называемые мнимые числа, но это выходит далеко за рамки того, что проверяется. Если вы столкнетесь с таким вопросом, как «каков квадратный корень из -4», правильный ответ — «настоящего решения не существует».

      Упрощающие радикалы

      Один важный навык, который требуется во многих задачах, — это умение упрощать радикальные выражения.Хотя не существует формулы для успешного упрощения радикалов и не существует одного процесса, который работал бы каждый раз, ответы на следующие вопросы могут обеспечить хорошую основу.

      1. Какие термины имеют общую основу?
        В общем, самый важный шаг в упрощении радикалов — записать каждый член с общим основанием. Например, 3 и 9 имеют общую базу (т. Е. 3), 5 и 25 имеют общую базу (т. Е. 5), 2, 4, 8 и 16 имеют общую базу (т. Е. 2).
      2. Есть ли повторяющиеся условия, которые можно отменить?
      3. Есть ли какие-нибудь совершенные квадраты, которые можно удалить из квадратного корня (или, как следствие, есть ли какие-нибудь идеальные кубы, которые можно удалить из кубического корня)?

        Поскольку и 2, и 3 возводятся в степень 2, это выражение можно упростить еще больше.

      4. Есть ли какие-то общие термины, которые можно исключить?

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.