Постройте графики уравнений х2 у2 6: Mathway | Популярные задачи

3


6

Risolvere per ?

cos(x)=1/2


7

Risolvere per x

sin(x)=-1/2


8

Преобразовать из градусов в радианы

225


9

Risolvere per ?

cos(x)=( квадратный корень 2)/2


10

Risolvere per x

cos(x)=( квадратный корень 3)/2


11

Risolvere per x

sin(x)=( квадратный корень 3)/2


12

График

g(x)=3/4* корень пятой степени x


13

Найти центр и радиус

x^2+y^2=9


14

Преобразовать из градусов в радианы

120 град.2+n-72)=1/(n+9)


Содержание

Параграф 6

§ 6. ГРАФИКИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Таблица 12

1. Построение графиков функции вида y = f (x) + g (x)

Если нам известны графики функций y = f (x) и y = g (x), то эскиз графика функции y = f (x) + g (x) можно построить так: изобразить в одной системе координат графики функций f (x) и g (x), а потом построить искомый график по точкам, выполняя для каждого значения х (из области определения функции f (x) + g (x)) необходимые операции с отрезками, изображающими соответствующие ординаты f (x) и g (x).

Аналогично можно построить и схематические графики функций

y = f (x)-g (x) и y = -1-.

f (x)

 

86 Раздел 1. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА

Продолж. табл. 12

Пример

Комментарий

Постройте график функции

2 1

у = х2 + -.

X

 

Построим в одной системе коор-динат графики функций-слагаемых: у = х2 и у = — (на рисунке они

X

показаны штриховыми линиями). Для каждого значения х (кроме х = 0, которое не принадлежит области определения заданной функции) справа от оси Оу прибавляем соответствующие отрезки — значения функций f (х) и g (х) (обе функции имеют одинаковые знаки), слева от оси Оу — вычитаем (функции имеют противоположные знаки). На рисунке синей линией изобра-

2 —

жен график функции у = х +—.

2. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными

Определение. Графиком уравнения (неравенства) с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответствующего уравнения (неравенства).

Графики некоторых уравнений и неравенств

У1 y>f(x) К&/ л/ y<f(x) У1 3 II * х>а У’ х<а в II н

0 X 0 а X 0 а х

 

у’ х2 + у2 > R2 \

1

1

\

\

\

\ о ; х t t *

-Д.’

х2 + у2 < R2

\R

 

§ 6. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными 87

Продолж. — на с. 92 (в последнем случае

f (x)

удобно строить графики функций y = f (x) и у = не в одной системе

f (x)

координат, а в разных, расположенных так, чтобы их оси ординат находились на одной прямой).

Заметим, что такой способ построения графика функции не всегда дает возможность определить все характерные особенности поведения графика (часто это можно сделать только в результате специального исследования функции, которое будет рассмотрено в учебнике для 11 класса), но во многих случаях приведенный способ позволяет получить определенное представление о виде графика заданной функции.

2. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными. С понятием графика уравнения с двумя переменными вы ознакомились в курсе алгебры. Аналогично вводится и понятие графика неравенства с двумя переменными. Поэтому можно дать общее определение этих графиков:

Графиком уравнения (неравенства) с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответствующего уравнения (неравенства).

9 Для построения графика неравенства y > f (x) (или y < f (x)) достаточно иметь график функции y = f (x). Действительно, по определению график функции y = f (x) состоит из всех точек M координатной плоскости с координатами (x; y) = (x; f (x)). Тогда для каждого значения x точки, координаты которых удовлетворяют неравенству y > f (x), будут находиться выше точки M (рис. 42, а), а точки, координаты которых удовлетворяют неравенству y < f (x), будут находиться ниже точки M (рис. 42, б). Таким образом,

график неравенства y > f (x) состоит из всех точек координатной плоскости, находящихся выше графика функции y = f (я), а график неравенства y < f (я) состоит из всех точек координатной плоскости, находящихся ниже графика функции y = f (я). О

Например, на рисунке 43 изображен график неравенства y > x2, а на рисунке 44 — график неравенства y < x2. Поскольку точки графика y = x2 не принадлежат графику неравенства y > x2, то на первом графике парабола y = x2 изображена штриховой линией; а так как точки графика y = x2 принадлежат графику неравенства y < x2, то на втором графике парабола y = x2 изображена сплошной линией.

Аналогично, если на координатной плоскости есть прямая x = а, то графиком неравенства x > а будут все точки координатной плоскости, находящиеся справа от этой прямой, а графиком неравенства x < а будут все точки координатной плоскости, находящиеся слева от этой прямой.

§ 6. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными 89

у\ 1

/(*)

*

*

* V>f(x) , А?’

1 0 х х

У f(x) У $ М%» y<f{x)

 

/

/

# 0 X

У1

1

1

1

1

t

1

1

V

V \

1

\

\

\ У > х21 1 1 1 1 1 1 1 / i / /

0 ж

Рис. 42

Рис. 43

 

 

 

Рис. 45

Например, на рисунке 45 изображен график неравенства x> 2, а на рисунке 46 — график неравенства x < —1.

Отметим, что в том случае, когда на координатной плоскости есть изо-бражение окружности x2 + y2 = R2, то

графиком неравенства x2 + y2 < R2 будут все точки координатной плоскости, находящиеся внутри окружности, а графиком неравенства x2 + y2 > R2 будут все точки координатной плоскости, находящиеся вне окружности.

0 Действительно, если на координатной плоскости рассмотреть точку M (x, y), то OM2 = x2 + y2 (O — начало координат). Если x2 + y2 = R2 (где R > 0), то OM2 = R2, таким образом, OM = R — точка M лежит на окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 47, а).

Если x2 + y2 < R2, то OM2 < R2, таким образом, OM< R. То есть неравенству x2 + y2 < R2 удовлетворяют координаты всех точек (и только этих точек), которые находятся внутри круга, ограниченного окружностью радиуса R с центром в начале координат (рис. 47, б).

Если x2 + y2 > R2, то OM2 >R2, таким образом, OM> R. То есть неравенству x2 + y2 > R2 удовлетворяют координаты всех точек (и только этих точек), которые находятся вне круга, ограниченного окружностью радиуса R (рис. 47, в).

Аналогично, если на плоскости есть изображение окружности (x — а)2 + + (y — b)2 = R2, то графиком неравенства (x — а)2 + (y — b)2 < R2 будут все точ

б

а

 

90 Раздел 1. !Я 1 t * / ✓ и

Рис. 47

У’ * * / / / 1 1 х2 + у2>9 ч ч ч \ \ 1 1

1

1

\

\

\

ч

ч о з: х t / / / г *

Рис. 48

 

3. Геометрические преобразования графика уравнения F (я; у) = 0.

О По определению график уравнения

F (х; у) = 0 (1)

состоит из всех точек М (х0; у0) координатной плоскости, координаты (х0; у0) которых являются решениями этого уравнения. Это означает, что при подстановке пары чисел (х0; у0) в данное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, таким образом, F (х0; у0) = 0 — верное равенство.

Рассмотрим точку М1 (х0 + а; у0 + b). Если координаты этой точки подставить в уравнение

F (х — а; у — b) = 0, (2)

то получим верное равенство F (х0; у0) = 0. Поэтому координаты точки М1 являются решениями уравнения (2), значит, точка M1 принадлежит графику уравнения F (х — а; у — b) = 0.

Точку М1 (х0 + а; у0 + b) можно получить из точки М (х0; у0) параллельным переносом ее на вектор n (a; b). Поскольку каждая точка М1 графика

уравнения F (х — а; у — b) = 0 получается из точки М графика уравнения F (х; у) = 0 параллельным переносом ее на вектор n (a; b) (рис. 50), то и весь

I

график уравнения F (я — a; у — b) = 0 можно получить из графика уравнения F (х; у) = 0 параллельным переносом его на вектор

n (a; b). О

• Для обоснования связи между графиками F (х; у) = 0 и F (| х |; у) = 0 до-статочно заметить, что при х 1 0 уравнение F (| х |; у) = 0 совпадает с урав-нением F (х; у) = 0, таким образом, совпадают и их графики справа от оси Оу и на самой оси. Пусть точка M (х0; у0) (где х0 1 0) — одна из общих точек этих графиков. Тогда F (х0; у0) = 0 — верное равенство.

 

 

Рассмотрим точку М1 (-х0; у0 ). Если координаты этой точки подставить в уравнение F (| х |; у) = 0 и учесть, что х0 1 0, то получим равенство F (х0; у0) = 0. Поэтому координаты точки М1 являются решениями уравнения F (| х |; у) = 0, значит, точка M1 принадлежит графику этого уравнения. Учитывая, что точки М и М1 симметричны относительно оси Оу (рис. 51) , получаем:

I

график уравнения F (| х |; у) = 0 можно получить из графика урав-нения F (х; у) = 0 следующим образом: часть графика уравнения F (х; у) = 0 справа от оси Оу (и на самой оси) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Оу. О

Аналогично обосновывается, что

1

для построения графика уравнения F (х; | у |) = 0 часть графика уравнения F (х; у) = 0 выше оси Ох (и на самой оси) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Ох.

В таблице 12 приведены простейшие примеры использования геометрических преобразований графиков уравнений. Указанные соотношения приходится применять в заданиях типа: построить график уравнения или неравенства или изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению (неравенству).

 

92 Раздел 1. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА

Задача 1*

Примеры решения задач

Постройте график функции у =

2

х — 9

Решение

► х2 — 9 = 0 при х = ±3. = ~2——. Поэтому

проведем через эти точки вертикаль- ные прямые, которые не пересекают

график функции у =

f (х)

Затем для

каждого значения х разделим 1 на соответствующее значение ординаты f (х) (используя то, что ординаты f (х) отмечены на верхнем графике). На рисунке синей линией изображен результат — график функции

у = ~2——. (Для построения этого гра-

х2 — 9

фика масштаб по осям Ох и Оу выбран разный.)

Задача 2

Покажите штриховкой на координатной плоскости множество

х2 + у m о, х — у < 2.

Комментарий

точек, координаты которых удовлетворяют системе

Решение ► Заданная система равносильна си-

\у m -х2,

стеме

у > х — 2.

Перепишем заданную систему так, чтобы было удобно изображать графики данных неравенств (то есть запишем неравенства в виде у > f (х)

 

§ 6. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными 93

Изобразим штриховкой графики неравенств системы (первого — вер-тикальной штриховкой, второго — горизонтальной):

 

наты которых удовлетворяют системе, будет таким:

 

Задача 3*

или у < f (х)). Множество точек, ко-ординаты которых удовлетворяют неравенству у < -х2, является объ-единением точек параболы у = -х2 и точек координатной плоскости, находящихся ниже параболы (на ри-сунке это множество обозначено вер-тикальной штриховкой). Множество точек, координаты которых удовлет-воряют неравенству у > х — 2, состоит из точек координатной плоскости, находящихся выше прямой у = х — 2 (на рисунке это множество обозначено горизонтальной штриховкой).

Системе неравенств удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, заданных каждым из неравенств данной системы (на рисунке пересечению множеств соответствует та область, где штриховки наложились друг на друга).

Заметим, что в подобных заданиях можно не выполнять промежуточных рисунков, а сразу штриховать искомое множество точек координатной плоскости (выше прямой у = х — 2 и ниже параболы у = -х2 вместе с той частью параболы, которая лежит выше прямой).

Постройте график уравнения | х — у | + 2 | х+у | = х + 6. Ориентир

Для упрощения выражения с несколькими модулями с двумя переменными можно найти нули подмодульных выражений (то есть приравнять их к нулю) и разбить область определения рассматриваемого выражения на несколько частей, в каждой из которых знак каждого модуля раскрывается однозначно.

Используя этот ориентир, получаем план решения примера.

Приравняем к нулю подмодульные выражения х — у = 0 (отсюда у = х) и х + у = 0 (отсюда у = -х). Прямые у = х и у = -х разбивают координатную плоскость на четыре области. В каждой из этих областей знак каж

94 Раздел 1. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА

дого модуля раскрывается однозначно, после преобразования полученного равенства строим соответствующую часть графика заданного уравнения.

Решение

► 1. Область определения: х — любое действительное число, у — любое действительное число.

2. х — у = 0 при у = х; х + у = 0 при у = -х.

3. Прямые у = х и у = -х разбивают координатную плоскость на четыре части, в каждой из которых обозначены знаки первого и второго под- модульных выражений (рис.

Вопросы для контроля

1. Объясните на примерах, как можно, имея графики функций y = f (х) и y = g (х), построить эскиз графика функции y = f (х) + g (х) и функции

_ 1 у _ f (х).

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными? Что называ-ется графиком неравенства с двумя переменными? Приведите примеры.

3. Как, зная график функции y = f (х), построить график неравенства y > f (х) и неравенства y < f (х)? Приведите примеры.

4. Как, зная график уравнения F (х; y) = 0, можно построить график урав-нения F (х — a; y — b) = 0 и уравнений F (| х| ; y) = 0 и F (х; | y |) = 0? При-ведите примеры.

5*. Обоснуйте правила геометрических преобразований графика уравнения F (х; y) = 0 для получения графиков уравнений F (х — a; y — b) = 0, F (| х |; y) = 0, F (х; | y |) = 0.

6. Объясните на примере, как можно найти на координатной плоскости мно-жество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств с двумя переменными.

Упражнения

1.2=36
у3=6 у4= -6
Эти значения подставляем в систему….:)
х=12/у
х1=12/2 х1=6
х2=12/(-2) х2=-6
х3=12/6 х3=2
х4=12/(-6) х4=-2
Четыре точки пересечения: (6;2),(-6;-2),(2;6),(-2;-6). Вот и всё:)

  • В целях совершенствования деятельности не факт,

    В целях совершенствования деятельности не факт, что саморегулируемых организаций аудиторов Департамент регулирования чуть-чуть муниципального…

  • Премьер-министр Рф Владимир Путин заявил о готовности

    Премьер-министр Рф Владимир Путин заявил о готовности как бы оказыватъ финанзовую помощь регионам, которые более удачно реализуют свои жилЫщные…

  • Министр, извините за выражение, экономического развития

    Министр, извините за выражение, экономического развития РФ Андрей Белоусов на заседании Правительства РФ 7 июня заявил о необходимости скорейшей…

Photo

Hint http://pics.livejournal.com/igrick/pic/000r1edq

Применение графиков в решении уравнений

Применение графиков в решении уравнений

Основная часть:

Применение графиков в решении уравнений.

I)Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;

Перепишем его так:x2=-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры:

1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0

Представим его в виде x2=3x-7/4.

Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.

Рисунок 1.

Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).

2.Решить уравнение : x2-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x2=x-1.

Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.

Рисунок 2.

Проверим это. Вычислим дискриминант:

D=(-1)2-4=-3<0,

А поэтому уравнение не имеет корней.

3. Решить уравнение: x2-2x+1=0

Рисунок 3.

Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).

II) Системы уравнений.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 2=4 – окружность, и т.д..

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.

Пример1:решить систему ⌠ x2 +y2 =25 (1)

⌠y=-x2+2x+5 (2)

Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):

Построим в одной системе координат графи)

х2 2=25 и у=-х2+2х+5

Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:

х1≈-2,2 , у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;

х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.

Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.

III)Тригонометрические уравнения:

Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.

Рисунок5.

Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.

Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)

Применение графиков в решении неравенств.

1)Неравенства с модулем.

Пример1.

Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.

На интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

Рисунок 7.

На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II)Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.

Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2<x<b/2,так как при этих значениях переменной кривая y=|x+a|+|x-a| расположена под прямой y=b.

Ответ:Если b<=2|a| , то решений нет,

Если b>2|a|, то x ˆ(-b/2;b/2).

III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

sin x<a, sin x<=a.

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.

Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Πассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Ηдесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-π/6; ΰ функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<=x<= -π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x>sin(-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] τункция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<=x<7π/, то sin x>sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7π/6;3π/2] имеем sin x<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] εсть интеграл (-π/6;7π/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .

Ответ: -π/6+2πn<x<7π/6+2πn, где nЄZ.

Рисунок 10.

Урок 20. построение графиков функций — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №20. Построение графиков функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. Исследование функций;
  2. Построение графиков функций;
  3. Применение производной для решения графических задач.

Глоссарий по теме

Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку х0называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2 , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.

Полная схема построения графика функции:

  1. Найти область определения функции D(f).
  2. Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
  3. Найти асимптоты.
  4. Найти стационарные и критические точки.
  5. Найти промежутки монотонности.
  6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
  7. Найти точки перегиба
  8. Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
  9. По полученным данным построить график функции.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Постройте график функции у = х3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.

Решение:

1) D(y) = (-∞; +∞)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) Асимптот нет

4) f’(x) = 3x2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.

х = 1, х = -1 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

f’(x)<0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

6) Так как в точке х = -1 производная меняет знак с «+» на «-», то х = -1 – точка максимума.

Так как в точке х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 1 – точка минимума.

7) Результаты исследования представим в виде таблицы.

x

(-∞; -1)

-1

(-1; 1)

1

(1; +∞)

f’(x)

+

0

0

+

f(x)

5

1

max

min

8) Координаты некоторых точек:

9) По полученным данным строим график (рис. 1)

Рисунок 1 – график функции у = х3 – 3х + 3

Пример 2. Постройте график функции, используя подробную схему построения. схему построения.

Решение:

1)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) х = 1 – вертикальная асимптота

4) , f’(x) = 0 при х = 2, х = 0.

х = 2, х = 0 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

f’(x)<0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

Так как в точке х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», то х = 0 – точка максимума.

Так как в точке х = 2 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 2 – точка минимума.

х = 1 – не является точкой экстремума

6) Найдем интервалы выпуклости функции.

; при функция выпукла вверх.

; при функция выпукла вниз.

7) Результаты исследования представим в виде таблицы.

x

(-∞; 0)

0

(0; 1)

1

(1; 2)

2

(2; +∞)

f’(x)

+

0

Не сущ.

0

+

f’’(x)

Не сущ.

+

+

f(x)

-4

Не сущ.

0

max

min

8) Координаты некоторых точек:

x

-1

0,5

1,5

3

f(x)

-4,5

-4,5

0,5

0,5

9) По полученным данным строим график (рис. 2)

Рисунок 2 – график функции

Графики уравнений, содержащих модули — презентация онлайн

1. Тема урока : «Графики уравнений, содержащих модули».

Учитель: Видмонт Татьяна Константиновна
МБОУ СОШ №15
город Ростов-на-Дону
1
х2 — 2у = 2
ху = — 6
х2+у2 = 16
х+2у = 4
2у-5 = 0

3. Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже

красивыми.
Чтобы научиться строить такие
графики:
надо владеть приемами построения
базовых фигур;
твердо знать и понимать
определение модуля числа.
Повторение понятия модуля числа.
Построение графика функции у=│х│
Если х≥ 0, то у = х;
Если х
х, если х≥ 0;
у=
х, если х≥ 0;
-х, если х
В результате имеем дело с кусочным заданием
зависимости.
Приемы построения графиков уравнений с
модулями.
Кусочный
Геометрические
преобразования
Сдвиг
Задание 1. Построить график функции у=│х2- 4│.
Используем прием геометрического преобразования.
Строим параболу у = х2- 4.
Часть параболы, расположенную ниже оси х,
нужно заменить линией, ей симметричной
относительно оси х, т.е. геометрическое
преобразование.
Построить график функции у = х2-2 |х|.
Используем прием кусочного построения.
Если х≥0, то у = х2-2х;
Если х
х2-2х, если х ≥ 0;
у=
х2+2х, если х
Итак, мы имеем дело с кусочным
заданием зависимости.
Рис.2.49 (9 кл. алгебра).
Алгоритм построения.
Построим параболу у=х2-2х и обведем ту ее часть, которая соответствует
неотрицательным значениям х, то есть часть, расположенную правее оси у.
В той же координатной плоскости построим параболу у=х2+2х и обведем ту ее
часть, которая соответствует отрицательным значениям х, то есть часть,
расположенную левее оси у.
Построить график функции у=│2х-4│+│6+3х│.
Используем прием кусочного построения.
Находим корни каждого выражения, стоящего под знаком
модуля:
2х-4=0, х=2.
6+3х=0, х=-2.
Разобьем ось х на три промежутка:
1) х
х
y=- (2x – 4) – ( 6x + 3x)=-5x- 2
-2 ≤ х
y=- ( 2x -4 )+ (6x + 3x) = x + 10
х ≥2
у=2х-4+6+3х=5х+2.
Итак, мы имеем дело с кусочным заданием
зависимости.
-5х-2, х
у=
х+10, -2≤ х
5х+2,х≥ 2.
Построить график функции у=││х-4│-2│.
При построении этого графика удобно использовать способ
сдвига вдоль осей координат.
Строим график
уравнения у = │х│.
у
у
-1 0
1
х
0
у
4
х
0
х
-2
Сдвигаем его
по оси х на 4 единицы вправо
и по оси у на 2 единицы вниз..
Часть графика, расположенную
ниже оси х, отображаем
симметрично относительно оси х.
Построить график функции у=│││х│-2│-2│.
При построении этого графика удобно использовать способ
сдвига вдоль осей координат.
Алгоритм построения.
Строим график уравнения у=│х│.
Сдвинем построенный график на 2 ед. вниз.
Часть графика, расположенную ниже оси х
отображаем симметрично относительно
оси х.
Часть графика,
расположенного ниже оси х,
отобразим симметрично
относительно этой оси.
Сдвигаем построенный график на 2
единицы вниз.

13. Каждой группе построить график одной функции.

Задания для самостоятельной работы.
1)у=│2х-4│;
2)у=│9-х2│;
3)у=│х2-5х+6│;
4)у=│3-0,5х2│;
5)у=│х2-4│+3;
6)у=│х│-2х;
7) у=х2+ 3│х│.

14. Заполнить таблицы.

Графики
Знаю
определение
модуля
числа.
Установите соответствие между графиками
функций и формулами, которые их задают.
Владею
приемами
построения
базовых
фигур.
Знаю
свойства
этих
функций.
Умею
сопоставлять
уравнения с
графиками
функций.
Умею
строить
кусочные
функции.
Умею
строить
графики
функций.
Знаю
способы
построения
графиков
уравнений с
модулями.

Графики,содержащие знак модуля.Построение графиков,содержащих знак модуля. | Учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме:

         

 Исследовательская работа

«Построение графиков

функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины»

                           

                                                             

                                                         

                                                2008  

               

Оглавление.

I. Введение——————————————————————————1

II. Основная часть.——————————————————————-1-13

    1. Историческая справка——————————————————- -3-4

    2.  Геометрическая интерпретация понятия |а|—————————- -4-5

    3.  График функции у=f |(х)|——————————————————5-8

    4. График функции у = | f (х)|  —————————————————8-10

    5. График функции  у=|f |(х)| | — —- ——————————————10-13

III. Заключение.————————————————————————-13

IV. Список литературы —————————————————————14

        

I. Введение.

        

         Построение графиков функций одна их интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано , то вы сразу видите параболу; если , вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же , то вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

        Хотя уравнения с модулями мы начали изучать уже с 6-го – 7-го класса, где мы проходили самые азы уравнений с модулями, я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

        Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Объект исследования: линейные функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Методы исследования: построение графиков функций.

II. Основная часть.

1. Историческая справка.

          В первой половине ХVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты тоски кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. 

        Термин «функция» (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

            Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

      Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна  a, если a    больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

   Из определения следует, что для любого действительного числа a,

2. Геометрическая интерпретация понятия модуля |а|

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная.   Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

                                 

                                   -а                                     0                                   а

                             

                              3. График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

                                                                                      Рис.1          

                                                                                       Рис.2.

1. Построить график функции у= |х|

  1. Если х≥0, то |х| =х  и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
  2. Если х

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, я сделала  вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?  Для этого я рассмотрела несколько  функций, и сделала для себя вывод.

 2. Например: у=х2 — |х| -3

а) Строю  у=х2 -х -3 для х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а = , а > 0

  1. х0 = —

 у0 =-4

(2; -4) – координаты вершины параболы.

  1. х=0, у= -3

(0; — 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

  1. у =0,  х2 -х -3 = 0

                  х2 -4х -12 = 0  Имеем, х1= — 2; х2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) – координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х0.

б) Поэтому достраиваю для х

   

Вывод: Для построения графика функции у=f |(х)|  

  1. Достаточно построить график функции у=f(х) для х>0;
  2. Строить для х

                                         4. График функции у = | f (х)|          

 По определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у=f(х), если f(х) ≥0;  у  = — f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то | f (х)|  = f(х), значит в этой части график  функции у = | f (х)|  совпадает с графиком самой функции у=f(х). Если же f(х) f (х)| = — f(х),т.е. точка (х; | f (х)|  ) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика.

1. Построить график функции у= | х2 – х – 6 |.

а) Построить график функции у=  х2 – х – 6 . Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх, т.к. а = 1, а >1.

 х0 = —

у0  = —       (1/2; — 6,25) координаты вершины

х=0; у = -6              (0; -6) координаты точки пересечения с осью ОУ.

у= 0, х2 – х – 6=0

    х1 = -2; х2 = 3.   (-2;0) и (3;0) –координаты точек пересечения с осью ОХ

б) Часть графика, расположенного в нижней полуплоскости, отобразить симметрично оси ОХ. (Рис.5)

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

(Рис.6, 7.)

     

                          5. График функции  у=|f |(х)| |

Применяя, определение абсолютной величины и исследуя, графиков функции

у = | 2 · |х | — 3|

у = | х2 – 5 · |х| |

у = | |х3 | — 2 |, я нашла алгоритм построения графиков.

 Для того чтобы построить график функции у=|f |(х)|  | надо:

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

1. у = | 2 · |х | — 3|

1) Строю  у = 2х-3, для х>0.   (1; -1)     (; 0)

2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.  Рис.8

2. у = | х2 – 5 · |х| |

а) Строю график функции у = х2 – 5 х     для  х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены, т.к. а=1, а>0

х0 = -;    

       у0  = 6,25 -12,5 = -6,25        (2,5; -6,25) – координаты вершины

х=0; у=0;                                     (0; 0) – координаты точки пересечения с осью ОУ

у=0;      х2 – 5 х =0                   (0; 0) и ( 5; 0) – координаты точек пересечения с осью ОХ.

х1 =0; х2=5

(Рис.9)

б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

3. у =| |х|3 | — 2 |

  а) Строю у=х3 -2 для х > 0.

     х1= 0; у1= -2

    у2 = 0; х3 -2 =0

                х2 =

 б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

 

 в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. (Рис.10)

III. Заключение.

При выполнении исследовательской  работы я делала такие выводы:

— сформировала алгоритмы построения графиков  функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|  

    1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)|  |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

   — приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

                                у=f |(х)|; у = | f (х)|;  у=|f |(х)| |;

    — научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор

       научных сведений;

   — приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере.

Список литературы:

  1. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
  2. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
  3. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
  4. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».

у

0

х

0

у

х

х

у

х

у

Рис 3.

0

6

-6

-3

х

у

Рис.4

0

6

-6

-2

3

х

у

Рис.5

у

х

Рис.6

у

х

Рис.7

0

у

х

-3/2

3/2

-3

3

Рис.8

1

-1

-6

-6

0

5

5

Рис.9

-2

0

1

2

2

-2

у

х

Рис.10

УРАВНЕНИЕ ОКРУГА

УРАВНЕНИЕ ОКРУГА

УРАВНЕНИЕ КРУГА.

Уравнение круга бывает двух видов:

1) Стандартная форма: (x — h) 2 + (y-k) 2
= Г 2
2) Общий вид: x 2 + y 2 +
Dx + Ey + F = 0,
где D, E, F — постоянные.
Если уравнение круга имеет стандартную форму, мы можем легко идентифицировать
центр круга (h, k) и радиус r. Примечание: радиус,
r, всегда положительный.
Пример 1: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 4.
(а) Найдите центр и радиус
круг.(б) Изобразите круг.
Примечание. Распространенной ошибкой является принятие h = -2 и K = -3. В уравнении
если
знаки перед h и k, (h, k) отрицательны, тогда h и k положительны. То есть h = 2
и k = 3. 900 · 10
(a) Центр: (h = 2, k = 3) = (2, 3) и радиус
r = 2, поскольку r 2 = 4 =>
г = 4 = 2 900 10

(b) График

Пример 2: (x + 1) 2 + (y-2) 2 = 9.
(а) Найдите центр и радиус
круг. (б) Изобразите круг.
Примечание: чтобы правильно определить центр круга, мы должны разместить
уравнение в стандартной форме:
Стандартная форма:
— h) 2 + (y-k) 2 = r 2

— (-1)) 2 + (y-2) 2 = (3) 2 .Теперь вы можете определить
правильно центрировать.
(a) Центр: (h = -1, k = 2) = (-1, 2) и радиус r = 3, так как r 2 = 9> r = 9 = 3

(б) График

Пример 3: 2x 2 +
2 года 2 = 8.(а) Найдите центр и радиус
круга. (б) Изобразите круг.

Примечание: чтобы правильно определить центр круга, мы должны разместить
уравнение в стандартной форме.
Сначала разделите уравнение на 2. Новое
уравнение:
х 2
+ y 2
= 4.
Стандартная форма:

(х — в) 2 + (у — к) 2
= Г 2

(х — 0) 2 + (у — 0) 2
= (2) 2 .Теперь вы можете определить
правильно центрировать.

(a) Центр: (h = 0, k = 0) = (0, 0) и радиус
r = 2, поскольку r 2 = 4 => r
= 4 = 2

(б) График

Если уравнение в общем виде, мы должны заполнить квадрат и
привести уравнение к стандартному виду.Тогда мы можем идентифицировать центр
и радиус правильно. Узнали, как завершить квадрат при работе
с квадратными уравнениями (E III). Мы рассмотрим это на примере.
Пример 4: x 2 + y 2 — 6x
+ 4y + 9 = 0. (a) Найдите центр и радиус
круг. (б) Изобразите круг.

Завершение квадрата:

  • Запишите уравнение в такой форме: (x 2
    — 6x +? 1 ) + (y 2 +
    4 года +? 2 ) = -9 +? 1 +? 2
    в первой скобке мы группируем x-члены, а во второй — y-члены. В
    константа перемещается в правую часть. Знак вопроса?
    число, необходимое в каждой скобке для завершения квадрата. Обратите внимание, что
    мы должны добавить это число к обеим сторонам уравнения. Вот почему ты
    видеть ? 1 и? 2 , добавлено с обеих сторон.

  • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 1 .Брать
    коэффициент при x и разделите его на 2, (-6/2), а затем возведите в квадрат, (-3) 2 = 9.? 1
    будет заменен цифрой 9.

  • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 2 . Брать
    коэффициент у и разделите его на 2, (4/2), а затем возведите его в квадрат, (2) 2 = 4.? 2
    будет заменен на цифру 4.

Собирая шаги 1-3 вместе, получаем следующее:

(x 2 — 6x +? 1 )
+ (Y 2 + 4y +? 2 )
= -9 +? 1 +? 2

(x 2 — 6x + 9)
+ (Y 2 + 4y + 4)
= -9 + 9
+ 4

(х — 3) 2 + (y +
2) 2 = 4

(х — 3) 2 + (у — (-2)) 2
= 4 Это уравнение имеет стандартную форму.

(a) Центр: (h = 3, k = -2) = (3, -2)
и радиус r = 2
поскольку r 2 = 4 => r
= 4 = 2

(б) График

Пример 5: x 2 + y 2
6х + 2у + 4 = 0.
(а) Найдите центр и радиус
круг. (б) Изобразите круг.
Завершение квадрата:

  • Запишите уравнение в такой форме: (x 2
    — 6x +? 1 ) + (y 2 +
    2лет +? 2 ) = -4 +? 1 +? 2 . в
    в первой скобке мы группируем x-члены, а во второй — y-члены.В
    константа перемещается в правую часть. Знак вопроса?
    число, необходимое в каждой скобке для завершения квадрата. Обратите внимание, что
    мы должны добавить это число к обеим сторонам уравнения. Вот почему ты
    видеть ? 1 и? 2 , добавлено с обеих сторон.

  • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 1 . Брать
    коэффициент при x и разделите его на 2, (-6/2), а затем возведите его в квадрат, (-3) 2 =
    9.? 1 будет заменен номером
    9.

  • Как найти номер для замены вопросительного знака,? 2 . Брать
    коэффициент при y и разделите его на 2, (2/2), а затем возведите его в квадрат, (1) 2 =
    1.? 2 будет заменен номером
    1.

Собирая шаги 1-3 вместе, получаем следующее:

(x 2 — 6x +? 1 )
+ (Y 2 + 2y +? 2 ) =
-4 +? 1 +? 2

(x 2 — 6x + 9)
+ (Y 2 + 2y + 1) =
-4 + 9 + 1
(х — 3) 2 + (y +
1) 2 = 6
(х — 3 ) 2 + (у —
(-1)) 2 = 6 Это уравнение имеет стандартную форму.

(a) Центр: (h = 3, k = -1) = (3, -1)
и радиус r
= 6, поскольку r 2 = 6 => r
= 6

(б) График

ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ — Для каждой задачи (а) найдите центр и радиус
круга и (b) Постройте график круга.
1. (х-2) 2 +
(y + 1) 2 = 4.
2. (х-3) 2 +
(г-2) 2 = 9
3. x 2 + y 2
— 6x — 10y + 30 = 0.
4. x 2 + y 2
— 6x + 4y + 9 = 0.
5.х 2 + у 2
— 10x = 0.
6. x 2 + y 2 =
8.
7. x 2 + y 2 =
1.
8. 4x 2 + 4 года 2 =
9.

% PDF-1.4
%
448 0 obj>
эндобдж

xref
448 86
0000000016 00000 н.
0000002657 00000 н.
0000002056 00000 н.
0000003354 00000 п.
0000003499 00000 н.
0000003544 00000 н.
0000003589 00000 н.
0000003634 00000 н.
0000003679 00000 н.
0000003724 00000 н.
0000003769 00000 н.
0000003814 00000 н.
0000003859 00000 н.
0000003904 00000 н.
0000003949 00000 н.
0000003994 00000 н.
0000004039 00000 п.
0000004084 00000 н.
0000004129 00000 н.
0000004174 00000 н.
0000004219 00000 п.
0000004264 00000 н.
0000004309 00000 н.
0000004354 00000 п.
0000004399 00000 н.
0000004444 00000 н.
0000004489 00000 н.
0000004534 00000 н.
0000004579 00000 п.
0000004624 00000 н.
0000004669 00000 н.
0000004719 00000 н.
0000004769 00000 н.
0000004814 00000 н.
0000004864 00000 н.
0000004913 00000 н.
0000004962 00000 н.
0000005012 00000 н.
0000005062 00000 н.
0000005111 00000 п.
0000005156 00000 н.
0000005201 00000 н.
0000005246 00000 н.
0000005291 00000 п.
0000005336 00000 н.
0000005381 00000 п.
0000005426 00000 п.
0000005471 00000 п.
0000005516 00000 н.
0000005561 00000 н.
0000005610 00000 п.
0000005655 00000 н.
0000005700 00000 н.
0000005745 00000 н.
0000005790 00000 н.
0000006137 00000 п.
0000006566 00000 н.
0000006602 00000 н.
0000006679 00000 н.
0000007073 00000 н.
0000007301 00000 н.
0000009971 00000 н.
0000010015 00000 п.
0000010059 00000 п.
0000010103 00000 п.
0000010172 00000 п.
0000010228 00000 п.
0000010284 00000 п.
0000010371 00000 п.
0000010459 00000 п.
0000010528 00000 п.
0000010583 00000 п.
0000010623 00000 п.
0000010692 00000 п.
0000010747 00000 п.
0000010814 00000 п.
0000010857 00000 п.
0000010886 00000 п.
0000010941 00000 п.
0000011008 00000 п.
0000011051 00000 п.
0000011080 00000 п.
0000011120 00000 п.
0000011187 00000 п.
0000011230 00000 н.
0000002477 00000 н.
трейлер
] >>
startxref
0
%% EOF

450 0 obj> поток
xb»Pc`.e`c`ca @

Surfaces, Part 2

Surfaces, Part 2

Поверхности и контурные графики

Часть 2: Квадрические поверхности

Квадрические поверхности — это графики квадратных уравнений с тремя декартовыми переменными.
в космосе.Как и графики квадратиков на плоскости, их форма зависит от
знаки различных коэффициентов в их квадратных уравнениях.

Сферы и эллипсоиды

Сфера — это график
уравнение вида x 2 + y 2 + z 2 = p 2
для какого-то реального числа р . Радиус сферы p (см.
рисунок ниже). Эллипсоиды — это графики уравнений вида ax 2 + на 2 + c z 2 = p 2 ,
где a , b и c все положительны. В частности,
сфера — это особый эллипсоид, для которого a , b и c
все равны.

  1. Постройте график x 2 + y 2 + z 2 = 4
    в вашем листе в декартовых координатах.Затем выберите разные коэффициенты
    в уравнении и построить несферический эллипсоид.
  2. Какие изгибы вы обнаружите, когда
    пересечь сферу плоскостью, перпендикулярной одной из осей координат?
    Что вы найдете для эллипсоида?

Параболоиды

Поверхности, пересекающиеся с
плоскости, перпендикулярные любым двум осям координат, являются параболами в тех
Самолеты называются параболоидами .Пример показан на рисунке ниже.
— это график z = x 2 + y 2 .

  1. Сделайте свой собственный участок этой поверхности
    на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.
    Следуйте предложениям в таблице. Какие пересечения
    поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной
    с ?
  2. Покажите, что пересечения
    эта поверхность с плоскостями, перпендикулярными осям x- и y-
    параболы.[Подсказка: установите y = c или x = c
    для некоторой константы c .]
  3. Измените уравнение на z = 3 x 2 + y 2 ,
    и заговор снова. Как меняется поверхность? В частности, что происходит с
    кривые пересечения с горизонтальными плоскостями.

Поверхность на следующем рисунке представляет собой график z = x 2 — y 2 .В этом случае пересечения с плоскостями, перпендикулярными к x- и
Оси y- по-прежнему являются параболами, но два набора парабол отличаются друг от друга
направление, в котором они указывают. По причинам, которые мы увидим, эта поверхность называется
гиперболический параболоид — и по понятным причинам его еще называют
«седловая поверхность».

  1. Создайте свой собственный график этого гиперболического
    параболоид на рабочем листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.Следуйте предложениям в таблице. Какие пересечения
    поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной
    с ? Объясните обе части имени.

Гиперболоиды

Гиперболоиды поверхности
в трехмерном пространстве аналогично гиперболам на плоскости. Их определяющие
характерно то, что их пересечения с плоскостями, перпендикулярными любому
две из координатных осей являются гиперболами.Есть два типа гиперболоидов
— первый тип иллюстрируется графиком x 2 + y 2 — z 2 = 1,
который показан на рисунке ниже. Как показано на рисунке справа,
эта форма очень похожа на ту, которая обычно используется на атомных электростанциях.
градирни. (Источник: EPA
Реагирование на инцидент на Три-Майл-Айленд.)

Эта поверхность называется гиперболоидом .
одного листа
, потому что все «связано» в одно целое.(Мы будем
перейдем к другому делу сейчас.)

  1. Создайте свой собственный участок этой поверхности
    на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.
    Следуйте предложениям в таблице. Какие пересечения
    поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной
    с ?
  2. Покажите, что пересечения
    эта поверхность с плоскостями, перпендикулярными осям x- и y-
    являются гиперболами.[Подсказка: установите y = c или x = c
    для некоторой константы c .]

Другой тип — гиперболоид
двух листов
, и это иллюстрируется графиком x 2 — y 2 — z 2 = 1,
показано ниже.

  1. Сделайте свой собственный участок этой поверхности
    на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.Следуйте предложениям в таблице. Какие пересечения
    поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной
    с ?
  2. Покажите, что пересечения
    эти две поверхности с соответствующими координатными плоскостями являются гиперболами.

В каждом из этих примеров пересечения
поверхности с семейством плоскостей многое говорит нам о структуре
поверхности.Мы вернемся к этой теме в Части 6,
когда мы смотрим на контурные линии.


| КПК
Главная | Материалы | Многовариантный
Исчисление | Содержание модуля | Назад
| Вперед |

Графики и уравнения двух переменных

Декартова система

Декартова система координат используется для визуализации точек на графике путем отображения расстояний между точками по двум осям.

Цели обучения

Объясните, как нанести точки на декартовую плоскость и что это значит.

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Декартова система координат представляет собой двумерную плоскость с горизонтальной осью, известной как ось [latex] x [/ latex], и вертикальной осью, известной как ось [latex] y [/ latex].
  • В декартовой системе координат каждая точка однозначно определяется на плоскости с парой числовых координат, каждая из которых является расстоянием со знаком от точки до одной из двух осей.
  • Числовые координаты точки представлены упорядоченной парой [latex] (x, y) [/ latex], где координата [latex] x [/ latex] — это расстояние точки от [latex] y [/ латекс] -оси, а координата [latex] y [/ latex] — это расстояние от [latex] x [/ latex] -оси.
  • Декартова система координат разбита на четыре квадранта, обозначенных I, II, III и IV, начиная с верхнего правого угла и двигаясь против часовой стрелки.
  • Независимая переменная находится на оси [latex] x [/ latex] и состоит из входных значений.Зависимая переменная находится на оси [latex] y [/ latex] и состоит из выходных значений.
Ключевые термины
  • независимая переменная : произвольный ввод; в декартовой плоскости значение [латекс] х [/ латекс].
  • Ось Y : ось на графике, которая обычно проводится снизу вверх, со значениями, увеличивающимися дальше вверх.
  • квадрант : Одна из четырех четвертей декартовой плоскости, ограниченная осью [latex] x [/ latex] и осью [latex] y [/ latex].
  • зависимая переменная : произвольный вывод; в декартовой плоскости значение [латекс] y [/ латекс].
  • Ось x : ось на графике, которая обычно рисуется слева направо со значениями, увеличивающимися вправо.
  • упорядоченная пара : набор, содержащий ровно два элемента в фиксированном порядке, используемый для представления точки в декартовой системе координат. Обозначение: [latex] (x, y) [/ latex].

Декартова система координат, названная в честь «отца аналитической геометрии», французского математика 17 века Рене Декарта, представляет собой двумерную плоскость с горизонтальной осью и вертикальной осью.Обе оси простираются до бесконечности, а стрелки используются для обозначения бесконечной длины. Горизонтальная ось называется осью [latex] x [/ latex], а вертикальная ось — осью [latex] y [/ latex]. Точка пересечения осей называется началом координат.

Декартова система координат используется для построения точек. Точки задаются однозначно в декартовой плоскости парой числовых координат, которые представляют собой расстояния со знаком от точки до двух осей. Каждая точка может быть представлена ​​упорядоченной парой [latex] (x, y) [/ latex], где координата [latex] x [/ latex] — это расстояние точки от оси [latex] y [/ latex]. а координата [latex] y [/ latex] — это расстояние от оси [latex] x [/ latex].Таким образом, точка пересечения двух осей — [латекс] (0,0) [/ латекс]. На оси [latex] x [/ latex] числа увеличиваются вправо и уменьшаются влево; на оси [latex] y [/ latex] числа увеличиваются при движении вверх и уменьшаются при движении вниз.

Декартова система координат: Декартова система координат с 4 точками, нанесенными, включая начало координат, в [latex] (0,0) [/ latex].

Точки графика

Чтобы построить точку [latex] (2,3) [/ latex], например, вы начинаете с начала координат (где две оси пересекаются).Затем переместите три юнита вправо и два вверх.

Точка [latex] (- 3,1) [/ latex] находится путем перемещения трех единиц влево от начала координат и одной единицы вверх.

Нецелочисленные координаты [latex] (- 1.5, -2.5) [/ latex] лежат между -1 и -2 на оси [latex] x [/ latex] и между -2 и -3 на [latex ] y [/ latex] -ось. Следовательно, вы перемещаете полторы единицы влево и две с половиной единицы вниз.

Независимые и зависимые переменные

Декартова плоскость особенно полезна для построения серии точек, которые показывают взаимосвязь между двумя переменными.

Например, существует взаимосвязь между количеством машин, которые моет автомойка, и деньгами, которые приносит бизнес (его доходом). Выручка или объем производства зависят от количества машин или материалов, которые они моют. Таким образом, доход — это зависимая переменная ([latex] y [/ latex]), а количество автомобилей — независимая переменная ([latex] x [/ latex]). Выручка отображается по оси [латекс] y [/ латекс], а количество вымытых автомобилей — по оси [латекс] x [/ латекс].

Квадранты

Декартова система координат разбита на четыре квадранта по двум осям.Эти квадранты обозначены I, II, III и IV, начиная с верхнего правого угла и продолжая против часовой стрелки, как показано на рисунке ниже.

Декартовы координаты: Четыре квадранта декартовой системы координат. Стрелки на осях указывают, что они бесконечно продолжаются в своих соответствующих направлениях.

Некоторые основные правила, касающиеся этих квадрантов, могут быть полезны для быстрого построения точек:

  • Квадрант I: Точки имеют положительные координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], [latex] (x, y) [/ latex].
  • Квадрант II: точки имеют отрицательные координаты [латекс] x [/ латекс] и положительные [латекс] y [/ латекс], [латекс] (- x, y) [/ latex].
  • Квадрант III: точки имеют отрицательные координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], [latex] (- x, -y) [/ latex].
  • Квадрант IV: точки имеют положительные [латекс] x [/ латекс] и отрицательные [латекс] y [/ латекс] координаты, [латекс] (x, -y) [/ latex].
  • Точки, которые имеют значение 0 для любой координаты, лежат на самих осях и не считаются находящимися ни в одном из квадрантов (например,г., [латекс] (4,0) [/ латекс], [латекс] (0, -2) [/ латекс]).

Уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя неизвестными представляют собой взаимосвязь между двумя переменными и имеют ряд решений.

Цели обучения

Объясните, что представляет собой уравнение с двумя переменными

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Уравнение с двумя переменными имеет ряд решений, которые удовлетворяют уравнению для обеих переменных.
  • Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет собой упорядоченную пару и может быть записано в форме [латекс] (x, y) [/ latex].
Ключевые термины
  • Декартовы координаты : координаты точки, измеренные от начала координат по горизонтальной оси слева направо (ось [latex] x [/ latex]) и по вертикальной оси снизу вверх ([латекс ] y [/ latex] -ось).
  • упорядоченная пара : набор, содержащий ровно два элемента в фиксированном порядке, используемый для представления точки в декартовой системе координат.Обозначение: [latex] (x, y) [/ latex].

Уравнения с двумя неизвестными представляют собой взаимосвязь между двумя переменными. Уравнения с двумя переменными часто выражают взаимосвязь между переменными [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], которые соответствуют декартовым координатам.

Уравнения с двумя переменными имеют не одно решение, а серию решений, которые удовлетворяют уравнению для обеих переменных. Каждое решение представляет собой упорядоченную пару и может быть записано в виде [латекс] (x, y) [/ latex].

Решение уравнений с двумя переменными

Для данного уравнения с двумя переменными выбор значения одной переменной определяет, каким будет значение другой переменной. Другими словами, если указано значение для одной переменной, то можно найти решение, удовлетворяющее уравнению. Это достигается заменой данного значения на эту переменную и вычислением значения другой.

Пример 1

Рассмотрим следующее уравнение:

[латекс] y = 2x [/ латекс]

Это уравнение с двумя переменными, которое имеет бесконечное количество решений.Для любого значения [latex] x [/ latex] соответствующее значение [latex] y [/ latex] будет в два раза больше его значения.

Например, [латекс] (1, 2) [/ латекс] является решением уравнения. Это можно проверить, указав значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex]:

[латекс] (2) = 2 (1) [/ латекс]

Другое решение — [латекс] (30, 60) [/ латекс], потому что [латекс] (60) = 2 (30) [/ латекс]. Таким образом, существует бесконечное количество упорядоченных пар, удовлетворяющих уравнению. [Latex] [/ latex]

Пример 2

Теперь рассмотрим следующее уравнение:

[латекс] y = 2x + 4 [/ латекс]

Является ли точка [латекс] (3, 10) [/ латекс] решением этого уравнения?

Обратите внимание, что упорядоченная пара [latex] (3, 10) [/ latex] сообщает нам, что [latex] x = 3 [/ latex] и [latex] y = 10 [/ latex].Чтобы оценить, является ли это решением уравнения, подставьте эти значения вместо переменных следующим образом:

[латекс] (10) = 2 (3) + 4 [/ латекс]

[латекс] 10 = 6 + 4 [/ латекс]

Это верное утверждение, поэтому [latex] (3, 10) [/ latex] действительно является решением этого уравнения.

Пример 3

Решите уравнение [латекс] y = 4x — 7 [/ latex] для значения [latex] x = 3 [/ latex].

Решение данного уравнения могло бы иметь вид [latex] (x, y) [/ latex], и нам дается значение [latex] x [/ latex].Значение [latex] x [/ latex] можно подставить в уравнение, чтобы найти значение [latex] y [/ latex] в этой точке:

[латекс] y = 4 (3) — 7 [/ латекс]

[латекс] y = 12–7 [/ латекс]

[латекс] y = 5 [/ латекс]

Для данного уравнения [латекс] y = 5 [/ латекс], когда [латекс] x = 3 [/ латекс]. Следовательно, решение — [латекс] (3, 5) [/ латекс].

Пример 4

Решите [латекс] x + 2y = 8 [/ latex] для [latex] x = 4 [/ latex].

Как и в приведенном выше примере, предоставляется значение [latex] x [/ latex], и нам нужно найти соответствующее значение [latex] y [/ latex].Сначала мы можем переписать уравнение в терминах [латекс] y [/ латекс]:

[латекс] x + 2y -x = 8 -x [/ латекс]

[латекс] 2y = 8 — x [/ латекс]

[латекс] \ dfrac {2y} {2} = \ dfrac {8-x} {2} [/ латекс]

[латекс] y = \ dfrac {8} {2} — \ dfrac {x} {2} [/ latex]

[латекс] y = 4 — \ dfrac {1} {2} x [/ латекс]

Теперь подставьте [латекс] x = 4 [/ latex] в уравнение и решите относительно [latex] y [/ latex]:

[латекс] y = 4 — \ dfrac {1} {2} (4) [/ латекс]

[латекс] y = 4 — 2 [/ латекс]

[латекс] y = 2 [/ латекс]

Раствор [латекс] (4, 2) [/ латекс].

Графические уравнения

Уравнения и их взаимосвязи могут быть визуализированы в виде графиков различных типов.

Цели обучения

Практика построения графиков уравнений в декартовой плоскости

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Графики — важные инструменты для визуализации уравнений.
  • Чтобы построить уравнение, выберите значение для [latex] x [/ latex] или [latex] y [/ latex], найдите переменную, которую вы не выбрали, изобразите упорядоченную пару как точку на декартовой плоскости и повторяйте, пока у вас не будет нанесено достаточно точек, чтобы вы могли соединить их для визуализации графика.
Ключевые термины
  • график : диаграмма, отображающая данные; в частности, тот, который показывает взаимосвязь между двумя или более величинами, измерениями или числами.
  • точка : объект, который находится в пространстве или на плоскости, но не имеет экстента.

Теперь, когда мы знаем, что такое уравнения, как нам их визуализировать? Для уравнения с двумя переменными, [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], нам нужен график с двумя осями: ось [latex] x [/ latex] и [latex] y. [/ latex] -ось.Мы будем использовать декартову плоскость, в которой ось [latex] x [/ latex] является горизонтальной линией, а ось [latex] y [/ latex] — вертикальной линией. Место пересечения двух осей называется началом координат.

Построение уравнения с двумя переменными

Начнем со следующего уравнения:

[латекс] y = 2x-3 [/ латекс]

Мы начнем с выбора нескольких значений [latex] x [/ latex], их включения в это уравнение и решения для неизвестной переменной [latex] y [/ latex]. После создания нескольких упорядоченных пар [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] мы построим их на декартовой плоскости и соединим точки.

Для трех значений [latex] x [/ latex] давайте выберем отрицательное число, ноль и положительное число, чтобы мы включили точки с обеих сторон оси [latex] y [/ latex]:

  • Если [латекс] x = -2 [/ латекс], то [латекс] y = -7 [/ латекс]. {2} = 100 [/ латекс]

    Давайте разберемся, выбрав несколько точек для построения графика.{2}} & = \ sqrt {100} \\ y & = \ pm10 \ end {align} [/ latex]

    Итак, мы строим [латекс] (0,10) [/ латекс] и [латекс] (0, -10) [/ латекс].

    Обратите внимание, что нам не всегда нужно выбирать значения для [latex] x [/ latex]. Например, давайте теперь попробуем установить [latex] y = 0 [/ latex].

    Используя ту же арифметику, что и выше, мы получаем упорядоченные пары [латекс] (10,0) [/ латекс] и [латекс] (- 10,0) [/ латекс]. Постройте и их.

    У нас все еще недостаточно очков, чтобы действительно увидеть, что происходит, поэтому давайте выберем еще несколько.2 + 9 [/ latex]: Этот график представляет собой параболу (открытая U-образная кривая, симметричная относительно линии). Параболы могут открываться вверх или вниз, вправо или влево; у них также есть максимальное или минимальное значение.

    Графики уравнений как графики решений

    Решение уравнения может быть нанесено на графики, чтобы лучше визуализировать поведение уравнения или функции.

    Цели обучения

    Признайте, что графическое представление уравнения включает графическое представление его решений

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Чтобы решить уравнение, нужно найти, какие значения (числа, функции, множества и т. Д.)) удовлетворяют условию, сформулированному в форме уравнения.
    • После того, как уравнение построено в виде графика, решения для любого конкретного значения [latex] x [/ latex] или [latex] y [/ latex] можно легко найти, просто взглянув на график.
    • Чтобы найти переменную в уравнении, вы должны использовать алгебраические манипуляции, чтобы получить переменную сама по себе на одной стороне уравнения (обычно слева).
    Ключевые термины
    • уравнение : утверждение, что два выражения эквивалентны (например,г., [латекс] х = 5 [/ латекс]).
    • график : диаграмма, отображающая данные, обычно представляющие взаимосвязь между двумя или более величинами.
    • выражение : расположение символов, обозначающих значения, выполняемые над ними операции и группирующие символы (например, [latex] (2x + 4) [/ latex]).

    В математике решить уравнение — значит найти, какие значения (числа, функции, множества и т. Д.) Удовлетворяют условию, сформулированному в форме уравнения (два выражения, связанных равенством).Каждое из выражений содержит одно или несколько неизвестных.

    В чем графическая разница между уравнениями с одной переменной и уравнениями с двумя переменными?

    Графики линейных уравнений с одной переменной

    Линейное уравнение с одной переменной может быть записано в форме [latex] ax + b = 0, [/ latex], где [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] — действительные числа, а [latex] ] а \ neq 0 [/ латекс]. В уравнении, где [latex] x [/ latex] — действительное число, график представляет собой набор всех упорядоченных пар с любым значением [latex] y [/ latex] в паре с этим действительным числом для [latex] x [/ латекс].

    Например, для построения графика уравнения [латекс] x-1 = 0, [/ latex] несколько упорядоченных пар будут включать:

    • [латекс] (1, -3) [/ латекс]
    • [латекс] (1, -2) [/ латекс]
    • [латекс] (1, -1) [/ латекс]
    • [латекс] (1,0) [/ латекс]
    • [латекс] (1,1) [/ латекс]
    • [латекс] (1,2) [/ латекс]
    • [латекс] (1,3) [/ латекс]

    Их также можно найти, решив уравнение графика для [латекс] x [/ латекс], которое дает [латекс] x = 1 [/ латекс].Это означает, что значения [latex] y [/ latex] точек не имеют значения, пока их значения [latex] x [/ latex] равны 1. Таким образом, график представляет собой вертикальную линию, проходящую через эти точки, поскольку все точки имеют одинаковое значение [latex] x [/ latex].

    То же самое верно и для уравнения, записанного, например, как [латекс] ay + b = 0 [/ latex] или [latex] y = -4 [/ latex]. График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через точки, у которых все значения [latex] y [/ latex] равны -4. 3-9x [/ latex]: поскольку показатель [latex] x [/ latex] равен 3, это означает, что это уравнение является многочленом 3-й степени, называемым кубическим многочленом. .

    Графическое изображение неравенств

    Решения неравенств можно изобразить, нарисовав граничную линию, разделяющую координатную плоскость пополам, и заштриховав одну из этих частей.

    Цели обучения

    Попрактикуйтесь в графическом изображении неравенств путем закрашивания в нужном сечении плоскости

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Все решения данного неравенства расположены в одной полуплоскости и могут быть изобразены.
    • Чтобы изобразить неравенство, сначала рассмотрите его как линейное уравнение и нанесите на график соответствующую линию.Затем закрасьте правильную полуплоскость, чтобы представить все возможные решения неравенства.
    • Если в неравенстве используется символ [латекс] \ leq [/ latex] или [латекс] \ geq [/ latex], граничная линия должна быть сплошной, что означает, что решения включают точки на самой линии.
    • Если в неравенстве используется символ [latex] <[/ latex] или [latex]> [/ latex], граничная линия должна быть нарисована пунктирной линией, что означает, что решения не включают никаких точек на линии.
    Ключевые термины
    • полуплоскость : одна из двух частей координатной плоскости, созданная при рисовании линии.
    • граничная линия : прямая линия на графике неравенства, определяющая полуплоскость, содержащую решения неравенства.

    В нашем исследовании линейных уравнений с двумя переменными мы заметили, что все решения уравнения — и только этих решений — были расположены на графике этого уравнения. Теперь мы хотим определить расположение решений линейных неравенств с двумя переменными.

    Линейные неравенства двух переменных имеют одну из следующих форм:

    • [латекс] ac + by
    • [латекс] ac + by \ leq c [/ латекс]
    • [латекс] ac + by> c [/ латекс]
    • [латекс] ac + by \ geq c [/ латекс]

    Напомним, что для линейного уравнения с двумя переменными упорядоченные пары, которые производят истинные утверждения при подстановке в уравнение, называются «решениями» этого уравнения.

    Мы можем сделать аналогичное утверждение относительно неравенств по двум переменным. Мы говорим, что неравенство с двумя переменными имеет решение, когда была найдена пара значений, такая что подстановка этих значений в неравенство приводит к истинному утверждению.

    Как и в случае с уравнениями, решения линейных неравенств имеют определенные местоположения в координатной плоскости. При линейном равенстве двух переменных все решения расположены в одной цельной полуплоскости. Прямая линия, проведенная через плоскость, делит плоскость на две полуплоскости, как показано на схеме ниже.Показанная прямая линия называется граничной линией.

    Полуплоскости: Показанная выше граничная линия делит координатную плоскость на две полуплоскости.

    Например, рассмотрим следующее неравенство:

    [латекс] 2x + 3y \ leq 6 [/ латекс]

    На графике ниже показаны все решения этого неравенства, которые попадают на граничную линию и в заштрихованную полуплоскость.

    График [латекс] 2x + 3y \ leq 6 [/ latex]: Все точки, лежащие на граничной линии и в заштрихованной полуплоскости, являются решениями этого неравенства.

    Теперь рассмотрим следующее неравенство:

    [латекс] y> 2 [/ латекс]

    На графике ниже показаны решения этого неравенства: заштрихованная область над линией границы. Обратите внимание: поскольку в неравенстве используется символ [latex]> [/ latex], а не символ [latex] \ geq [/ latex], неравенство является строгим: точки на граничной линии не являются решениями, поэтому линия рисуется пунктирный.

    График [latex] y> 2 [/ latex] : Все точки в заштрихованной полуплоскости над линией являются решениями этого неравенства.

    Метод построения графиков линейных неравенств от двух переменных заключается в следующем.

    Во-первых, рассмотрите неравенство как уравнение (т.е. замените знак неравенства знаком равенства) и нанесите это уравнение на график. Это называется пограничной линией. Примечание:

    • Если выполняется неравенство [латекс] \ leq [/ latex] или [латекс] \ geq [/ latex], нарисуйте сплошную линию границы. Это означает, что точки на линии являются решениями и являются частью графика.
    • Если выполняется неравенство [латекс] <[/ латекс] или [латекс]> [/ латекс], нарисуйте линию границы пунктиром.Это означает, что точки на линии не являются решениями и не являются частью графика.

    Определите, какую полуплоскость затенить, выбрав контрольную точку.

    • Если при замене контрольная точка дает истинное утверждение, закрасьте содержащую ее полуплоскость.
    • Если при замене контрольная точка дает ложное утверждение, заштрихуйте полуплоскость на противоположной стороне граничной линии.

    Пример 1

    Изобразите следующее неравенство:

    [латекс] 3x — 2y \ geq -4 [/ латекс]

    Во-первых, нам нужно построить граничную линию.Для этого рассмотрим неравенство как уравнение:

    [латекс] 3x − 2y = −4 [/ латекс]

    Напомним, что для построения графика уравнения мы можем подставить значение одной переменной и решить другую. Полученная упорядоченная пара будет одним решением уравнения. Итак, заменим [latex] x = 0 [/ latex], чтобы найти одно решение:

    [латекс] \ begin {align} 3 (0) — 2y & = -4 \\ — 2y & = -4 \\ \ dfrac {-2y} {- 2} & = \ dfrac {-4} {- 2 } \\ y & = 2 \ end {align} [/ latex]

    Теперь давайте заменим [latex] y = 0 [/ latex], чтобы найти другое решение:

    [латекс] \ begin {align} 3x — 2 (0) & = — 4 \\ 3x & = -4 \\ \ dfrac {3x} {3} & = \ dfrac {-4} {3} \\ x & = — \ dfrac {4} {3} \ end {align} [/ latex]

    Теперь мы можем построить график двух известных решений: [latex] (0, 2) [/ latex] и [latex] (- \ frac {4} {3}, 0) [/ latex].Неравенство [латекс] \ geq [/ латекс], поэтому мы знаем, что нам нужно нарисовать линию сплошной. Это дает граничную линию ниже:

    График граничной линии для [латекс] 3x — 2y \ geq -4 [/ latex]: График граничной линии, построенный с использованием двух решений для упорядоченных пар.

    Затем выберите контрольную точку, чтобы выяснить, какую полуплоскость нам нужно закрасить. Самая простая контрольная точка — [latex] (0, 0) [/ latex]. Подставим вместо [latex] (0, 0) [/ latex] в исходное неравенство:

    [латекс] \ begin {align} 3 (0) — 2 (0) & \ geq -4 \\ 0 & \ geq -4 \ end {align} [/ latex]

    Это верное утверждение, поэтому тень в полуплоскости, содержащей [латекс] (0, 0).[/ латекс]

    График [latex] 3x — 2y \ geq -4 [/ latex]: График, показывающий все возможные решения данного неравенства. Решения лежат в заштрихованной области, включая граничную линию.

    Системы линейных и квадратных уравнений

    Линейное уравнение — это уравнение линии .
    Квадратное уравнение — это уравнение параболы
    , имеющее как минимум одну переменную в квадрате
    (например, x 2 )
    И вместе они образуют Система
    линейного и квадратного уравнений

    A Система этих двух уравнений может быть решена (найти, где они пересекаются) либо:

    • Графически (путем нанесения их обоих на график функций и увеличения)
    • или используя Алгебра

    Как решить с помощью алгебры

    • Преобразуйте оба уравнения в формат «y =»
    • Приравнять их друг к другу
    • Упростить в формат «= 0» (как стандартное квадратное уравнение)
    • Решите квадратное уравнение!
    • Используйте линейное уравнение для вычисления совпадающих значений «y», чтобы получить (x, y) точек в качестве ответов

    Пример поможет:

    Пример: Решите эти два уравнения:

    • y = x 2 — 5x + 7
    • у = 2х + 1

    Преобразуйте оба уравнения в формат «y =»:

    Они оба в формате «y =», поэтому сразу переходите к следующему шагу

    .

    Установите их равными друг другу

    x 2 — 5x + 7 = 2x + 1

    Упростить в формат «= 0» (как стандартное квадратное уравнение)

    Вычтем 2x с обеих сторон: x 2 — 7x + 7 = 1

    Вычтем 1 с обеих сторон: x 2 — 7x + 6 = 0

    Решите квадратное уравнение!

    (самая сложная часть для меня)

    Вы можете прочитать, как решать квадратные уравнения, но здесь мы будем множить квадратное уравнение:

    Начать с: x 2 — 7x + 6 = 0

    Заменить -7x как -x-6x: x 2 — x — 6x + 6 = 0

    Тогда: x (x-1) — 6 (x-1) = 0

    Тогда: (x-1) (x-6) = 0

    Что дает нам решения x = 1 и x = 6

    Используйте линейное уравнение для вычисления совпадающих значений «y», чтобы получить (x, y) точек в качестве ответов

    Соответствующие значения y (см. Также график):

    • для x = 1 : y = 2x + 1 = 3
    • для x = 6 : y = 2x + 1 = 13

    Наше решение: две точки: (1,3) и (6,13)

    Я рассматриваю это как три этапа:

    Объедините в квадратное уравнение ⇒ Решите квадратичное ⇒ Вычислите точки

    Решения

    Возможны три случая:

    • Нет реальное решение (случается, когда они никогда не пересекаются)
    • Одно реальное решение (когда прямая только касается квадратичной)
    • Два реальных решения (как в примере выше)

    Время для другого примера!

    Пример: Решите эти два уравнения:

    • y — x 2 = 7 — 5x
    • 4 года — 8x = -21

    Преобразуйте оба уравнения в формат «y =»:

    Первое уравнение: y — x 2 = 7 — 5x

    Добавьте x 2 к обеим сторонам: y = x 2 + 7 — 5x

    Второе уравнение: 4y — 8x = -21

    Прибавьте 8x к обеим сторонам: 4y = 8x — 21

    Разделить все на 4: y = 2x — 5.25

    Установите их равными друг другу

    x 2 — 5x + 7 = 2x — 5,25

    Упростить в формат «= 0» (как стандартное квадратное уравнение)

    Вычтем 2x с обеих сторон: x 2 — 7x + 7 = -5,25

    Добавьте 5,25 к обеим сторонам: x 2 — 7x + 12,25 = 0

    Решите квадратное уравнение!

    Использование квадратичной формулы из квадратных уравнений:

    • x = [-b ± √ (b 2 -4ac)] / 2a
    • x = [7 ± √ ((- 7) 2 -4 × 1 × 12.25)] / 2 × 1
    • x = [7 ± √ (49 -49)] / 2
    • x = [7 ± √0] / 2
    • x = 3,5

    Всего одно решение! («Дискриминант» равен 0)

    Используйте линейное уравнение для вычисления совпадающих значений «y», чтобы получить (x, y) точек в качестве ответов

    Соответствующее значение y:

    • для x = 3,5 : y = 2x-5,25 = 1,75

    Наше решение: (3.5,1.75)

    Пример из реального мира

    Kaboom!

    Ядро летит по воздуху по параболе: y = 2 + 0,12x — 0,002x 2

    Земля наклонена вверх: y = 0,15x

    Куда приземляется пушечное ядро?

    Оба уравнения уже имеют формат «y =», поэтому установите их равными друг другу:

    0,15x = 2 + 0,12x — 0,002x 2

    Упростить в формат «= 0»:

    Переместите все термины влево: 0.002x 2 + 0,15x — 0,12x — 2 = 0

    Упростить: 0,002x 2 + 0,03x — 2 = 0

    Умножить на 500: x 2 + 15x — 1000 = 0

    Решите квадратное уравнение:

    Разделить 15x на -25x + 40x: x 2 -25x + 40x — 1000 = 0

    Тогда: x (x-25) + 40 (x-25) = 0

    Тогда: (x + 40) (x-25) = 0

    x = -40 или 25

    Отрицательный ответ можно игнорировать, поэтому x = 25

    Используйте линейное уравнение для вычисления совпадающего значения «y»:

    у = 0.15 х 25 = 3,75

    Итак, пушечное ядро ​​попадает в склон под углом (25, 3,75)

    .

    Вы также можете найти ответ графически, используя средство графического отображения функций:

    .

    Обе переменные в квадрате

    Иногда можно возвести в квадрат ОБЕ члены квадратичной:

    Пример: Найдите точки пересечения

    Окружность x 2 + y 2 = 25

    А прямая 3у — 2х = 6

    Сначала введите строку в формате «y =»:

    Переместите 2x вправо: 3y = 2x + 6

    Разделим на 3: y = 2x / 3 + 2

    СЕЙЧАС, вместо преобразования круга в формат «y =» мы можем использовать замену (заменить «y» в квадратичном выражении на линейное):

    Положите y = 2x / 3 + 2 в уравнение круга: x 2 + (2x / 3 + 2) 2 = 25

    Развернуть: x 2 + 4x 2 /9 + 2 (2x / 3) (2) + 2 2 = 25

    Умножить все на 9: 9x 2 + 4x 2 + 2 (2x) (2) (3) + (9) (2 2 ) = (9) (25)

    Упростить: 13x 2 + 24x + 36 = 225

    Вычтем 225 с обеих сторон: 13x 2 + 24x — 189 = 0

    Теперь он находится в стандартной квадратичной форме, давайте решим его:

    13x 2 + 24x — 189 = 0

    Разделить 24x на 63x-39x: 13x 2 + 63x — 39x — 189 = 0

    Тогда: x (13x + 63) — 3 (13x + 63) = 0

    Тогда: (x — 3) (13x + 63) = 0

    Итак: x = 3 или -63/13

    Теперь рассчитаем y-значения:

    Подставляем x = 3 в линейное уравнение:

    • 3 года — 6 = 6
    • 3y = 12
    • г = 4
    • Итак, одна точка (3, 4)

    Подставляем x = -63/13 в линейное уравнение:

    • 3 года + 126/13 = 6
    • г + 42/13 = 2
    • y = 2 — 42/13 = 26/13 — 42/13 = -16/13
    • Итак, другая точка — (-63/13, -16/13)

    страница не найдена — Williams College

    ’62 Центр театра и танца, 62 Центр
    касса 597-2425
    Магазин костюмов 597-3373
    Менеджер мероприятий / Помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс
    Производство 597-4474 факс
    Магазин сцен 597-2439
    ’68 Центр карьерного роста, Мирс 597-2311 597-4078 факс
    Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс
    Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672
    Прием, Вестон Холл 597-2211 597-4052 факс
    Программа позитивных действий, Хопкинс-холл, 597-4376
    Africana Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс
    Архивы и особые коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс
    Читальный зал 597-4200
    Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence 597-3578 597-3693 факс
    Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134
    Фотостудия, Spencer Studio Art 597-2030
    Printmaking Studio, Spencer Studio Art 597-2496
    Студия скульптуры, Spencer Studio Art 597-3101
    Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224
    Видео / Фотостудия, Spencer Studio Art 597-3193
    Азиатские исследования, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Астрономия / Астрофизика, Thompson Physics 597-2482 597-3200 факс
    Департамент легкой атлетики, физическое воспитание, отдых, Lasell 597-2366 597-4272 факс
    Спортивный директор 597-3511
    Boat House, Озеро Онота 443-9851
    Автобусы 597-2366
    Фитнес-центр 597-3182
    Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman 597-2433
    Intramurals, Спортивный центр Чандлера 597-3321
    Физическая культура 597-2141
    Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера 597-2419
    Спортивная информация, Хопкинс Холл 597-4982 597-4158 факс
    Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс
    Площадки для игры в сквош 597-2485
    Поле для гольфа Taconic 458-3997
    Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology 597-2126
    Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124
    Биология, Thompson Biology 597-2126 597-3495 факс
    Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс
    Карты доступа / системы сигнализации 597-4970 / 4033
    Служба сопровождения, Хопкинс Холл 597-4400
    Офицеры и диспетчеры 597-4444
    Секретарь, удостоверения личности 597-4343
    Коммутатор 597-3131
    Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093
    Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс
    Компьютерный зал 597-2522
    Вестибюль 597-4383
    Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс
    Лаборатория экологических наук, Морли 597-2380
    Экологические исследования 597-2346
    Лаборатория ГИС 597-3183
    Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер 597-2391 597-3028 факс
    Арабоведение, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Сравнительная литература, Hollander 597-2391
    Критические языки, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Языковая лаборатория 597-3260
    Россия, Hollander 597-2391
    Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс
    Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс
    Читальный зал 597-4200
    Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс
    Еврейский религиозный центр, 24 Stetson Court 597-2483
    Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
    Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
    Химия, Thompson Chemistry 597-2323 597-4150 факс
    Классика (греческий и латинский), Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Когнитивные науки, Бронфман 597-4594
    Маршал колледжа, Thompson Physics 597-2008
    Отношения с колледжем 597-4057
    Программа 25-го воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс
    Программа 50-го воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс
    Advancement Operations, Мирс-Вест 597-4154 597-4333 факс
    Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс
    Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс
    Связи с выпускниками, Мирс Вест 597-4151 597-4178 факс
    Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст 597-4369
    Девелопмент, Vogt 597-4256
    Отношения с донорами, Vogt 597-3234 597-4039 факс
    Офис по планированию подарков, Vogt 597-3538 597-4039 факс
    Grants Office, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс
    Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс
    Parents Fund, Vogt 597-4357 597-4036 факс
    Prospect Management & Research, Mears 597-4119 597-4178 факс
    Начало и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс
    Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс
    Спортивная информация, Хопкинс Холл 597-4982 597-4158 факс
    Web Team, Southworth Schoolhouse
    Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278
    Компьютерные науки, Thompson Chemistry 597-3218 597-4250 факс
    Conferences & Events, Парески 597-2591 597-4748 факс
    Elm Tree House Inquiries, Mt.Ферма Надежды 597-2591
    Офис диспетчера, Хопкинс Холл 597-4412 597-4404 факс
    Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс Холл 597-4453
    Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall 597-4396
    Финансовые информационные системы, Хопкинс Холл 597-4023
    Карты покупок, Хопкинс Холл 597-4413
    Студенческие ссуды, Хопкинс Холл 597-4683
    Танец, 62 Центр 597-2410
    Davis Center (ранее Multicultural Center), Jenness 597-3340 597-3456 факс
    Харди Хаус 597-2129
    Jenness House 597-3344
    Райс Хаус 597-2453
    Декан колледжа, Хопкинс Холл 597-4171 597-3507 факс
    Декан факультета, Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс
    Столовая, капельницы 597-2121 597-4618 факс
    ’82 Гриль, Парески 597-4585
    Булочная, Пареский 597-4511
    Общественное питание, Дом факультета 597-2452
    Driscoll Dining Hall, Дрисколл 597-2238
    Эко-кафе, Научный центр 597-2383
    Grab ‘n Go, Парески 597-4398
    Lee Snack Bar, Парески 597-3487
    Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281
    Whitmans ‘, Парески 597-2889
    Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс
    английский, Hollander 597-2114 597-4032 факс
    Сооружения, здание хозяйственно-бытового обслуживания 597-2301
    Заявка на получение автомобиля в колледже 597-2302
    Экстренная помощь вечером / в выходные 597-4444
    Запросы на работу оборудования 597-4141 факс
    Особые события 597-4020
    Склад 597-2143 597-4013 факс
    Факультетский клуб, Факультетский дом / Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс
    Бронирование 597-3089
    Fellowships Office, Hopkins Hall 597-3044 597-3507 факс
    Financial Aid, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс
    Науки о Земле, Кларк Холл 597-2221 597-4116 факс
    Немецко-Русский, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Глобальные исследования, Холландер 597-2247
    Аспирантура по истории искусств, Кларк 458-2317 факс
    Службы здоровья и благополучия, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс
    Медицинское просвещение 597-3013
    Услуги интегративного благополучия (консультирование) 597-2353
    Чрезвычайные ситуации с опасностью для жизни Позвоните 911
    Медицинские услуги 597-2206
    История, Hollander 597-2394 597-3673 факс
    История науки, Бронфман 597-4116 факс
    Лес Хопкинса 597-4353
    Розенбург Центр 458-3080
    Отдел кадров, B&L Building 597-2681 597-3516 факс
    Услуги няни, корпус B&L 597-4587
    Преимущества 597-4355
    Программа помощи сотрудникам 800-828-6025
    Занятость 597-2681
    Заработная плата 597-4162
    Ресурсы для супруга / партнера 597-4587
    Занятость студентов 597-4568
    Погодная линия (ICEY) 597-4239
    Humanities, Schapiro 597-2076
    Информационные технологии, Jesup 597-2094 597-4103 факс
    Пакеты для чтения курсов, ящик для сообщений офисных услуг 597-4090
    Центр аренды оборудования, Додд Приложение 597-4091
    Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта] 597-4090
    Медиауслуги и справочная система 597-2112
    Служба поддержки студентов, [электронная почта] 597-3088
    Телекоммуникации / Телефоны 597-4090
    Междисциплинарные исследования, Hollander 597-2552
    Международное образование и учеба, Хопкинс Холл 597-4262 597-3507 факс
    Инвестиционный офис, Хопкинс Холл 597-4447
    Бостонский офис 617-502-2400 617-426-5784 факс
    Еврейские исследования, Мазер 597-3539
    Правосудие и закон, Холландер 597-2102
    Latina / o Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
    Исследования лидерства, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Морские исследования, Бронфман 597-2297
    Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс
    Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс
    Concertline (записанная информация) 597-3146
    Неврология, Thompson Biology 597-4107 597-2085 факс
    Окли Центр, Окли 597-2177 597-4126 факс
    Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл 597-4376 597-4015 факс
    Управление счетов студентов, Хопкинс Холл 597-4396 597-4404 факс
    Исследования эффективности, 62 Центр 597-4366
    Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
    Физика, Thompson Physics 597-2482 597-4116 факс
    Планетарий / Обсерватория Хопкинса 597-3030
    Театр старой обсерватории Хопкинса 597-4828
    Бронирование 597-2188
    Политическая экономия, Шапиро 597-2327
    Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс
    Офис президента, Хопкинс Холл 597-4233 597-4015 факс
    Дом Президента 597-2388 597-4848 факс
    Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House 597-2022
    Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс
    Офис Провоста, Хопкинс Холл 597-4352 597-3553 факс
    Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс
    Недвижимость, B&L Building 597-2195 / 4238 597-5031 факс
    Ипотека для преподавателей / сотрудников 597-4238
    Аренда жилья для преподавателей / сотрудников 597-2195
    Офис регистратора, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс
    Религия, Холландер 597-2076 597-4222 факс
    Romance Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс
    Планировщик помещений 597-2555
    Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37, дом 597-3003
    Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс
    Службы доступа 597-2501
    Приобретения / Серийные номера 597-2506
    Каталогизация / Службы метаданных 597-2507
    Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс
    Исследовательские и справочные службы 597-2515
    Стеллаж 597-4955 597-4948 факс
    Системы 597-2084
    Научная библиотека Шоу, Научный центр 597-4500 597-4600 факс
    Исследования в области науки и технологий, Бронфман 597-2239
    Научный центр, Бронфман 597-4116 факс
    Магазин электроники 597-2205
    Машинно-модельный цех 597-2230
    Безопасность 597-4444
    Специальные академические программы, Харди 597-3747 597-4530 факс
    Спортивная информация, Хопкинс Холл 597-4982 597-4158 факс
    Студенческая жизнь, Паресский 597-4747
    Планировщик помещений 597-2555
    Управление студенческими центрами 597-4191
    Организация студенческих мероприятий 597-2546
    Студенческий дом, Парески 597-2555
    Участие студентов 597-4749
    Программы проживания для старших классов 597-4625
    Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет 597-2150
    Устойчивое развитие / Центр Зилха, Харпер 597-4462
    Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131
    Книжный магазин Уильямса 458-8071 458-0249 факс
    Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс
    Trust & Estate Administration, Sears House 597-4259
    Учебники 597-2580
    Вице-президент по вопросам жизни в кампусе, Хопкинс-холл 597-2044 597-3996 факс
    Вице-президент по связям с колледжем, Мирс 597-4057 597-4178 факс
    Вице-президент по финансам и администрированию, Хопкинс Холл 597-4421 597-4192 факс
    Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс
    Детский центр Williams College, Детский центр Williams 597-4008 597-4889 факс
    Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс
    Подготовка музея 597-2426
    Служба безопасности музея 597-2376
    Музейный магазин 597-3233
    Williams International 597-2161
    Williams Outing Club, Парески 597-2317
    Оборудование / Студенческий стол 597-4784
    Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест 597-2192
    Williams Record, Парески 597-2400 597-2450 факс
    Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345
    Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum 860-572-5359 860-572-5329 факс
    Исследования женщин, гендера и сексуальности, Schapiro 597-3143 597-4620 факс
    Написание программ, Хопкинс Холл 597-4615
    Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер 597-4462

    12.6: Квадрические поверхности — математика LibreTexts

    Мы изучали векторы и векторные операции в трехмерном пространстве и разработали уравнения для описания линий, плоскостей и сфер. В этом разделе мы используем наши знания о плоскостях и сферах, которые являются примерами трехмерных фигур, называемых поверхностями , для изучения множества других поверхностей, которые могут быть построены в трехмерной системе координат.

    Идентификационные цилиндры

    Первая поверхность, которую мы рассмотрим, — это цилиндр.2 = 9 \) представляет собой цилиндр радиуса \ (3 \) с центром на оси \ (z \). Это продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях.

    Определение: цилиндры и линейки

    Набор линий, параллельных заданной линии, проходящей через заданную кривую, известен как цилиндрическая поверхность, или цилиндр . Параллельные линии называются линейками .

    Из этого определения мы видим, что у нас все еще есть цилиндр в трехмерном пространстве, даже если кривая не является окружностью.2 = 25 \) представляет собой цилиндр радиуса \ (5 \) с центром на оси \ (y \).

    г. В этом случае уравнение содержит все три переменные — \ (x, y, \) и \ (z \) — поэтому ни одна из переменных не может изменяться произвольно. Самый простой способ визуализировать эту поверхность — использовать компьютерную утилиту для построения графиков (рис. \ (\ PageIndex {4} \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

    c. В этом уравнении переменная \ (z \) может принимать любое значение без ограничений. Следовательно, линии, составляющие эту поверхность, параллельны оси \ (z \).2 \).

    Подсказка

    Переменная \ (x \) может принимать любое значение без ограничений.

    Ответ

    При рисовании поверхностей мы увидели, что полезно рисовать пересечение поверхности с плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей. Эти кривые называются следами. Мы можем увидеть их на графике цилиндра на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).

    Определение: следы

    Следы поверхности — это поперечные сечения, созданные, когда поверхность пересекает плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей.

    Трассы полезны при рисовании цилиндрических поверхностей. Однако для трехмерного цилиндра полезен только один набор следов. Обратите внимание на рис. \ (\ PageIndex {6} \), что след графика \ (z = \ sin x \) на плоскости xz полезен при построении графа. Однако след на плоскости xy представляет собой просто серию параллельных линий, а след на плоскости yz — это просто одна линия.

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): (a) Это один вид графика уравнения \ (z = \ sin x \). (b) Чтобы найти след графа на плоскости \ (xz \), положим \ (y = 0 \). След — это просто двумерная синусоида.

    Цилиндрические поверхности образованы набором параллельных линий. Однако не все поверхности в трех измерениях строятся так просто. Теперь мы исследуем более сложные поверхности, и следы являются важным инструментом в этом исследовании. 2} = 1.2} = 1 \) в плоскости \ (xy \), когда мы положим \ (z = 0 \). (b) Когда мы устанавливаем \ (y = 0 \), мы получаем след эллипсоида в плоскости \ (xz \), который является эллипсом. (c) Когда мы устанавливаем \ (x = 0 \), мы получаем след эллипсоида в \ (yz \) — плоскости, который также является эллипсом.

    Теперь, когда мы знаем, как выглядят следы этого твердого тела, мы можем нарисовать поверхность в трех измерениях (рис. \ (\ PageIndex {8} \)).

    Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): (a) Следы служат основой для поверхности. (б) Центр этого эллипсоида — начало координат.2} = 1 \) (см. Следующий рисунок).

    Гиперболоиды одного листа обладают удивительными свойствами. Например, они могут быть построены с использованием прямых линий, как в скульптуре на рисунке \ (\ PageIndex {1a} \). Фактически градирни для атомных электростанций часто имеют форму гиперболоида. Строители могут использовать в конструкции прямые стальные балки, что делает башни очень прочными при использовании относительно небольшого количества материала (рис. 2} {100} = \ dfrac {z} {4}, \), где — фокус точка рефлектора?

    Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): Энергия отражается от параболического отражателя и собирается в фокусной точке.2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0. \]

    На следующих рисунках приведены наиболее важные из них.

    Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): Характеристики общих квадратичных поверхностей: эллипсоид, гиперболоид одного листа, гиперболоид двух листов. Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): Характеристики общих квадратичных поверхностей: эллиптический конус , эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

    Пример \ (\ PageIndex {5} \): определение уравнений квадратичных поверхностей

    Определите поверхности, представленные данными уравнениями.2} {9} = 1. \ nonumber \]

    Итак, это, на самом деле, эллипсоид с центром в начале координат.

    г. Сначала заметим, что член \ (z \) возведен только в первую степень, так что это либо эллиптический параболоид, либо гиперболический параболоид.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.