Постройте график уравнения 3х у 2 0: Постройте график уравнения. 3х-у+2=0 — Школьные Знания.com

2=7`  являются уравнениями с двумя переменными.

Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` — некоторые числа.

Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`.  Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.

Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.

1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.

Если  `x=0`, то `y=2`;  если `y=0`,  то `x=2/3`;  если `x=1`,  то `y=-1`.

Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` — любое число, является решением уравнения. 

Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` — любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)`  (см. рис. 1).    

            

Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.

На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.

Рассмотрим теперь уравнение  `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.

  

Рассмотрим уравнение  `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.

Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.

Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.

Пусть теперь `x<=0` и `y>=0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При  `x<=0`, `y<=0` получим отрезок `CD` где `D(0;-1)`, и при `>=0`, `y<=0` получим отрезок `DA`. Таким образом,  график   данного   уравнения  состоит   из   точек  квадрата `ABCD` (рис. 5).

Этот пример можно решать другим способом. Пусть `y>=0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|`  получается   зеркальным   отражением  относительно  оси `Ox` графика функции  `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.

Далее рассматриваем `y<=0`, получим, что графиком уравнения при `y<=0` является ломаная `CDA` с рис.2=11`,

`(x+2-y-1)*(x+2+y+1)=11`.

Если `x` и `y` целые числа, то выражения, стоящие в скобках, являются целыми числами. А это могут быть числа `+-1` и `+-11`. Решаем `4` системы уравнений:

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=1,\\ x+2+y+1=11;\end{array}\right.$$

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=11,\\ x+2+y+1=1;\end{array}\right.$$

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-1,\\ x+2+y+1=-11;\end{array}\right.$$

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-11,\\ x+2+y+1=-1.\end{array}\right.$$

Решая эти системы, получаем `4` решения: `(4;4)`, `(4;-6)`, `(-8;-6)`, `(-8;4)`.  

Содержание

График линейного уравнения с двумя переменными

Текст этой презентации

Слайд 1

График линейного уравнения с двумя переменными

Слайд 2

Цель урока:
ввести понятие графика уравнения с двумя переменными; повторить построение графика линейной функции по двум точкам; закрепить навыки нахождения одной переменной через другую.

Слайд 3

Устные упражнения
а) 3х – у = 14 б) 5у + х² = 16 в) 7ху – 5у = 12 г) 5х + 2у = 16 Ответ: 3х – у = 14 5х + 2у = 16

Слайд 4

Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения
2х + 5у = 12 А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2). D(11; -2).

Слайд 5

x
8 6 4 2
-2
е ж з и к л м
а б в г д
у ф х ц ч ш щ
й э ю я п р с
н о т й
(6;4) (-2;-2) (4;4) (-2;-2) (4;6) (-6;4) (0;2)
М О Л О Д Е Ц
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Слайд 6

Построение графика функции y=3x.
Х
у
Х
у
Х
у
-независимая переменная (придумываем)
-зависимая переменная (считаем)
0
2
0
6
х
у
-4 0 2 4 6 8
6 4 2 -2 -4
Построение графика функции y=-2x.
Построение графика функции y=-2x+3.
0 2
0
-4
0 2
3
-1

Слайд 7

Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными х и у, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит пара чисел. Все эти точки образуют график уравнения.

Слайд 8

Выясним, что представляет собой график уравнения 3х+2у=6
Выразим переменную у через х у=-1,5х+3 Формулой у=-1,5х+3 задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6

Слайд 9

Построим график функции y=-1,5x+3.
Х 0 2
у 3 0
х
у
3 2 1 -1 -2
Пары точек (0;3) и (2;0) Являются решением данного уравнения 3х+2у=6

Слайд 10

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения

Слайд 11

Если в линейном уравнении коэффициент при х равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая
y=kx +b – линейная функция. y=0x +b, тогда y=b Прямые параллельны оси х
х
у
6 4 2 -2 -4
у=6
у=4
у=-4

Слайд 12

Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая
y=kx +b – линейная функция. 0y+kx=b, тогда х=b/ k Прямые параллельны оси у
у
6 4 2 -2 -4
х=-4
х=4
х=2

Слайд 13

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

Слайд 14

Уравнение ax+by=c, в котором оба коэффициента при переменных равны нулю, имеет вид 0x+0y=c. При с=0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком -вся координатная плоскость. При с≠0 уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки

Слайд 15

  
ФизкультминуткаУпражнение 1 «Глядя в небо»
Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела. Поза: стоя В положении стоя положите руки на бедра. Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок. Вернитесь в исходное положение. Повторите 10 раз.

Слайд 16

№1048(Б)

Слайд 17

Слайд 18

е

Слайд 19

№1051

Слайд 20

Самостоятельная работа
1 вариант 1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения 5х – 4у — 1 =0? 2. Постройте график функции 2х + у = 4.
2 вариант 1. Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения 7х – 3у — 1 =0? 2. Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.

Слайд 21

Самостоятельная работа
1 вариант №1 (1;1), (9;11)
2 вариант №1 1. (1;2)

Слайд 22

Х
У
2
0
1 в №2
4

Слайд 23

Х
У
1
0
2 в №2
4

Слайд 24

Оцените свои знания, полученные на уроке
У меня все отлично
У меня все хорошо
Возникли трудности

Слайд 25

Домашняя работа.
П.41, №1045, 1048 (а, в,д)

График линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения

 

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с , называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у – ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x – 2*y =6;

Положим х=0, тогда – 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Линейное уравнение с двумя переменными: решение и свойства
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСистемы линейных уравнений с двумя переменными

Презентация к уроку

Цель урока:

  • ввести понятие графика уравнения с двумя переменными;
  • повторить построение графика линейной функции по двум точкам;
  • закрепить навыки нахождения одной переменной через другую.

Устные упражнения: Назовите линейные уравнения с двумя переменными

а) 3х – у = 14

б) 5у + х² = 16

в) 7ху – 5у = 12

г) 5х + 2у = 16

Ответ: 3х – у = 14

5х + 2у = 16

Проверь себя:

а) у = 3х – 2;

б) у = — 2,5х + 3,5;

в) у = — 0,5х + 2;

г) у = 2х – 11.

У = кх + b

№ 1. Выразите у через х в уравнении:

а) 3х – у = 2;

б) 5х + 2у = 7;

в) х + 2у = 4;

г) 2х – у = 11.

№ 2. Из графиков, изображённых на рисунке, выберите: графики линейной функции; графики прямой пропорциональности.

Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения

2х + 5у = 12

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2).

D(11; -2).

y

8

6

4

2

а б в г д

е ж з и к л м

у ф х ц ч ш щ

й э ю я п р с

x

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

н о т й

-2

(6;4) (-2;-2) (4;4) (-2;-2) (4;6) (-6;4) (0;2)

М О Л О Д Е Ц

Построение графика функции y=3x.

— независимая переменная (придумываем)

2

0

Х

у

— зависимая переменная (считаем)

0

6

Построение графика функции y=-2x.

у

Х

у

0 2

6

4

2

-2

-4

-4

0

Построение графика функции

y=-2x+3.

х

-4 0 2 4 6 8

Х

у

0 2

3

-1

  • Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными х и у, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит пара чисел. Все эти точки образуют график уравнения.

Выясним, что представляет собой график уравнения 3х+2у=6

Выразим переменную у через х у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 задается линейная функция, графиком которой служит прямая.

Уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6

Построим график функции y=-1,5x+3.

Х

0

у

3

2

0

у

3

2

1

-1

-2

Пары точек (0;3) и (2;0)

Являются решением

данного уравнения 3х+2у=6

х

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения

Если в линейном уравнении коэффициент при х равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая

y=kx + b линейная функция .

y= 0 x + b , тогда y=b

Прямые параллельны оси х

у

у=6

6

4

2

-2

-4

у=4

х

у=-4

Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая

y=kx + b линейная функция .

0 y + kx =b , тогда х =b / k

Прямые параллельны оси у

у

6

4

2

-2

-4

х=2

х=-4

х=4

Уравнение ax+by=c , в котором оба коэффициента при переменных равны нулю, имеет вид 0x+0y=c. При с=0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком -вся координатная плоскость.

При с ≠0 уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки

  

Физкультминутка Упражнение 1 «Глядя в небо»

Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

Поза: стоя

  • В положении стоя положите руки на бедра.
  • Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.
  • Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз .

№ 1048(д,е)

е)

Решение.

  • у = — х + 5.
  • 2х – у = 16,

у = 2х – 16

2у = 3 – х,

у = — 0,5х + 1,5

у

х

х

0

у

5

5

0

У = -х +5

5

4

3

2

х

у

5

-6

8

0

1

7

2

8

1

— 3

6

0

3

4

5

-1

Х + 2у – 3 = 0

-2

-3

-4

А(7; — 2)

х

у

0

1,5

3

0

-5

-6

2х – у = 16

Самостоятельная работа

1 вариант

2 вариант

  • 1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения
  • 1. Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения

5х – 4у — 1 =0?

7х – 3у — 1 =0?

  • 2. Постройте график функции 2х + у = 4.
  • 2. Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.

Самостоятельная работа

1 вариант

1

(1;1), (9;11)

2 вариант

1

1. (1;2)

У

1 в

2

4

Х

2

0

У

2 в

2

4

Х

1

0

У меня все отлично

У меня все хорошо

Возникли трудности

п.п. 1 — 41,

№ 1045, 1048 (а, в)

Решить свойства прямой линии 3x − y = 2 Решатель алгебры тигра

Решить свойства прямой линии 3x − y = 2 Решатель алгебры тигра

Этот сайт лучше всего просматривать с помощью Javascript. Если вы не можете включить Javascript, нажмите здесь.

Вход камеры не распознается!

Мы думаем, что вы написали:

3x − y = 2

Это касается свойств прямой линии.

yi «ntercept = 2 / -1 = -2.00000

Пошаговое решение

Переставить:

Переставить уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства, из обеих частей уравнения:

3 * xy- (2) = 0

Шаг 1:

Уравнение прямой

1.1 Решите 3x-y-2 = 0

Тигр понимает, что здесь есть уравнение прямой. Такое уравнение обычно записывается y = mx + b («y = mx + c» в Великобритании).

«y = mx + b» — это формула прямой линии, проведенной в декартовой системе координат, в которой «y» — вертикальная ось, а «x» — горизонтальная ось.

В этой формуле:

y говорит нам, как далеко идет линия.
x сообщает нам, как далеко вдоль
м находится наклон или градиент, т.е. насколько крутой является линия.
b является пересечением по оси Y i.е. где линия пересекает ось Y

Пересечения X и Y и наклон называются свойствами линии. Теперь мы построим график линии 3x-y-2 = 0 и вычислим ее свойства

График прямой линии:
 
Вычислите точку пересечения Y:

Обратите внимание, что когда x = 0, значение y равно 2 / -1, поэтому эта линия «обрезает» ось y на y = -2,00000

 y-intercept = 2 / -1 = -2,00000 
Вычислите точку пересечения по оси X:

Когда y = 0, значение x равно 2 / 3 Таким образом, наша линия «разрезает» ось x в точке x = 0.66667

 x-intercept = 2/3 = 0,66667 
Вычислить наклон:

Наклон определяется как изменение y, деленное на изменение x. Отметим, что для x = 0 значение y равно -2,000, а для x = 2.000 значение y равно 4.000. Таким образом, при изменении x на 2.000 (изменение x иногда называют «RUN») мы получаем изменение на 4.000 — (-2.000) = 6.000 по y. (Изменение y иногда обозначается как «ПОДЪЕМ», а наклон m = RISE / RUN)

 Наклон = 3 

Геометрическая фигура: прямая линия

  1. Наклон = 3
  2. пересечение по оси x = 2/3 = 0.66667
  3. y-intercept = 2 / -1 = -2,00000

Зачем это изучать

Термины и темы

Ссылки по теме

Как найти уравнение перпендикулярной прямой

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
то
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решение «Ax + By = C» для «y =»

Purplemath

Хотя существует бесконечно много различных буквальных уравнений, некоторые виды могут оказаться важными с большей вероятностью и раньше, чем другие.Вероятно, одним из самых важных классов буквальных уравнений, которые нам часто приходится решать, будут линейные уравнения.

По какой-то причине существуют разные форматы простых линейных уравнений. Я предпочитаю форму пересечения наклона; иногда бывает полезна форма точечного уклона; некоторые учебники настоятельно предпочитают то, что они иногда называют формой «перехвата», которая часто (хотя и не всегда) приводится как « Ax + By = C », так называемая, потому что точки перехвата находятся на

(0 , C / B ) и ( C / A , 0).(Третьи предпочитают «стандартную» форму, для которой нет действительного стандарта. Но я отвлекся.)

MathHelp.com

Какой бы ни была исходная форма линейного уравнения, часто бывает полезно, особенно для построения графиков, преобразовать уравнение в форму « y =».Решение линейного уравнения с двумя переменными относительно y = — это тип решения буквального уравнения. Вот как это работает:

  • Найдите наклон прямой по уравнению 3

    x + 2 y = 8

Чтобы найти наклон, проще всего представить это линейное уравнение в форме пересечения наклона. Если я переставлю эту строку в виде « y = mx + b », будет легко прочитать наклон m .Так что решу:

3 x + 2 y = 8

2 y = –3 x + 8

y = ( –3 / 2 ) x + 4

Я знаю, что наклон линии — это любое число, умноженное на x , поэтому мой ответ:

Мне не нужно было решать уравнение выше для y =.Я мог бы выбрать два значения x , вставить их в уравнение, решить для соответствующих значений y , вставить две результирующие точки в формулу наклона и упростить, чтобы найти значение м . Но, учитывая все обстоятельства, решить для y = и просто прочитать значение m из уравнения было намного проще и быстрее.


  • Найдите наклон и точку пересечения

    y прямой с помощью уравнения 2 x y = 5.

Я знаю, что если я смогу решить уравнение для y =, я смогу прочитать значения наклона m и y -пересечение b прямо из уравнения. Итак, я решу « y =»:

2 x y = 5

2 x = y + 5

2 x -5 = y

Теперь, когда у меня есть уравнение, преобразованное в форму пересечения наклона, я могу прочитать нужные мне значения прямо из уравнения:

уклон м = 2

y -пересечение b = –5


  • Для прямой с уравнением

    x -2 y = 5 найдите наклон и точку пересечения y .

Я мог бы заняться поиском двух точек и вычислением наклона или вставить ноль для x и решить для значения y -перехвата, но проще просто решить для « y =».

x -2 y = 5

x = 2 y + 5

x — 5 = 2 y

(½) x — ( 5 / 2 ) = y

Если я предпочитаю, я могу перевернуть уравнение, и я получу:

Это не обязательно, но может улучшить внешний вид.В любом случае теперь я могу прочитать требуемые значения из уравнения:

уклон

м = ½

y -пересечение

b = –5 / 2


  • Найдите наклон и точку пересечения

    y прямой с помощью уравнения 4 x + 5 y = 12.

Я решу для « y =»:

4 x + 5 y = 12

5 y = — 4 x + 12

y = (–4 / 5 ) x + ( 12 / 5 )

Значения здесь беспорядочные, но это нормально.Фактически, просто решив уравнение для и , я, вероятно, помог себе избежать ошибок с дробями. В любом случае мои ответы:

уклон

м = –4 / 5

y — интервал

b = 12 / 5


Иногда нет определенного контекста; они просто хотят, чтобы вы решили уравнение относительно y .

  • Решить 4

    y -5 x -18 = 13 x -2 y + 6 для y

Ну, это конечно … излишне сложно. Что бы ни; метод решения остается прежним:

4 y — 5 x –18 = 13 x — 2 y + 6

4 y + 2 y -5 x -18 = 13 x + 6

6 y — 18 = 13 x + 5 x + 6

6 y = 18 x + 6 + 18

6 y = 18 x + 24

y = 3 x + 4

И все это, чтобы получить такое простое уравнение, как мой ответ!


  • Прямые — (2/3)

    x — 2 = y и (3/2) y + 6 = x параллельны, перпендикулярны или ни то, ни другое?

Из того, что я узнал о наклоне, я знаю, что параллельные линии имеют одинаковый наклон, а перпендикулярные линии имеют наклоны, которые являются обратными отрицательными (т. Е. Имеют противоположные знаки и представляют собой перевернутые доли друг друга).Итак, я могу решить буквальные уравнения для y = и сравнить наклоны, чтобы ответить на этот вопрос.

При ближайшем рассмотрении я замечаю, что одно из уравнений, которые они мне дали, на самом деле уже решено для и ; Я переверну стороны уравнения, чтобы расположить его в «нормальном» порядке:

Теперь я решу другое уравнение относительно y :

(3/2) y + 6 = x

3 y + 12 = 2 x

3 y = 2 x — 12

y = (2/3) x -4

Склоны

–2/3 и 2/3.Эти склоны имеют противоположные знаки, поэтому их линии не параллельны. Но наклоны — это одна и та же часть, а не одна из них, являющаяся переворотом (то есть обратная) другой, поэтому эти линии также не являются перпендикулярными. Итак, мой ответ:

ни параллельно, ни перпендикулярно

Существует множество контекстов, таких как построение графиков и решение систем уравнений, в которых вы захотите решить линейное уравнение для « y =».Убедитесь, что вам хорошо знакомы эти техники.


URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelit2.htm

Стандартная форма

Стандартная форма — это термин, обычно используемый для описания наиболее типичной формы объекта (например, числа, выражения, уравнения и т. Д.), Используемой в ряде различных тем. В этом случае стандартная форма относится к стандартной форме линейного уравнения.Стандартная форма линейного уравнения задается уравнением:

Ax + By = C

где A, B и C — константы.

Стандартная форма полезна, потому что пересечения линии по оси x и y можно легко найти, установив x или y равными 0, а затем вычислив нужную переменную. Это приводит к общим формулам для поиска точек пересечения по осям x и y для линейного уравнения в стандартной форме:

Одним из ключевых преимуществ стандартной формы линейного уравнения перед формой точечного уклона и формой наклона-пересечения является легкость, с которой ее можно использовать для нахождения точки пересечения по оси x.Нахождение точки пересечения по оси x с использованием любой из этих двух других форм более утомительно, чем со стандартной формой.

После того, как точки пересечения по осям x и y найдены, можно построить график, построив точки пересечения по осям x и y, а затем проведя линию, соединяющую точки пересечения.

Пример:

3х + 2у = 6

3x + 2 (0) = 6 3 (0) + 2y = 6
3x = 6 2y = 6
х = 2 г = 3
x-перехват в (2, 0) Y-пересечение в точке (0, 3)

В зависимости от линейного уравнения, может быть проще построить график линии с учетом уравнения в форме точки пересечения с наклоном или точки с углом наклона, поскольку вычисление точек пересечения по осям x и y с учетом уравнения в стандартной форме может быть утомительным.Уравнения в формах «наклон-пересечение» и «точка-наклон» включают наклон линии и точку на линии, которую можно сразу же прочитать из уравнения. Таким образом, для построения линии не требуется никакого вычисления точек пересечения.

Преобразование в стандартную форму

Различные формы линейных уравнений полезны для разных приложений. Например, при решении систем линейных уравнений полезно сначала преобразовать уравнение в стандартную форму. Наклон-пересечение и точечный наклон — это две часто используемые формы линейного уравнения, которые, хотя и полезны для построения графиков, бесполезны для решения систем линейных уравнений.Поэтому важно знать, как выполнять преобразование между различными формами линейных уравнений в соответствии с приложением.

Преобразование из формы точечного уклона или наклона-пересечения в стандартную форму включает перемещение всех переменных в одну сторону уравнения, перемещение константы в другую сторону, а затем манипулирование уравнением по мере необходимости так, чтобы коэффициенты членов уравнения целые числа.

Примеры

Преобразуйте следующие линейные уравнения в стандартную форму.

1. y = -3 / 4x + 2:

3 / 4x + y = 2

3x + 4y = 8

2. y — 2 = 3/4 (x — 8):

г — 2 = 3 / 4х — 6

-3 / 4x + y = 4

-3x + 4y = 16

Существуют и другие формы линейного уравнения, но приведенные выше являются одними из наиболее распространенных.

Поиск линейных уравнений

Для любой точки на прямой и ее наклона мы можем найти уравнение для этой прямой. Начните с применения формулы наклона к заданной точке (x1, y1) и переменной точке (x, y).

Уравнение y − y1 = m (x − x1) называется формой точечного уклона прямой Любая невертикальная прямая может быть записана в виде y − y1 = m (x − x1), где m — наклон и (x1, y1) — любая точка на прямой .. Любое невертикальное линейное уравнение может быть записано в этой форме. Это полезно для нахождения уравнения прямой с учетом наклона и любого упорядоченного парного решения.

Пример 7: Найдите уравнение прямой с наклоном m = 12, проходящей через (4, −1).

Решение: Используйте форму «точка-наклон», где m = 12 и (x1, y1) = (4, −1).

На этом этапе мы должны выбрать представление уравнения нашей линии либо в стандартной форме, либо в форме пересечения наклона.

В этом учебнике мы представим наши линии в форме пересечения уклона. Это облегчает построение графиков в будущем.

Пример 8: Найдите уравнение прямой, проходящей через (−5, 3) с наклоном m = −25.

Решение: Подставьте (−5, 3) и m = −25 в форму точечного уклона.

Всегда важно понимать, что происходит геометрически.Сравните ответ для последнего примера с соответствующим графиком ниже.

Понимание геометрии важно, потому что вам часто будут предлагать графики, по которым вам нужно будет определить точку на линии и наклон.

Решение: Между точками (1, 1) и (3, 0) мы можем видеть, что подъем равен -1 единице, а пробег равен 2 единицам. Наклон линии равен m = riserun = −12 = −12. Используйте это и точку (3, 0), чтобы найти следующее уравнение:

Пример 10: Найдите уравнение прямой, проходящей через (-1, 1) и (7, -1).

Решение: Начните с вычисления наклона по формуле наклона.

Затем подставьте в форму «точка-уклон», используя одну из указанных точек; не имеет значения, какая точка используется. Используйте m = −14 и точку (−1, 1).

Попробуй! Найдите уравнение прямой, проходящей через (4, −5) и (−4, 1).

Тематические упражнения

Часть A: Форма пересечения уклона

Определите наклон и точку пересечения y .

1. 5x − 3y = 18

2. −6x + 2y = 12

3. x − y = 5

4. −x + y = 0

5. 4x − 5y = 15

6. −7x + 2y = 3

7. y = 3

8. y = −34

9. 15x − 13y = −1

10. 516x + 38y = 9

11. −23x + 52y = 54

12. 12x − 34y = −12

Часть B: Поиск уравнений в форме пересечения уклона

Учитывая наклон и y -пересечение, определите уравнение прямой.

13. м = 1/2; (0, 5)

14. м = 4; (0, -1)

15. м = −2/3; (0, −4)

16. м = −3; (0, 9)

17. м = 0; (0, -1)

18. м = 5; (0, 0)

По графику найдите уравнение в форме углового пересечения.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Найдите уравнение с учетом наклона и точки.

25. м = 2/3; (−9, 2)

26. м = -1/5; (5, −5)

27. м = 0; (−4, 3)

28. м = 3; (−2, 1)

29. м = −5; (−2, 8)

30. м = −4; (1/2, −3/2)

31. м = −1/2; (3, 2)

32. м = 3/4; (1/3, 5/4)

33. м = 0; (3, 0)

34. м undefined; (3, 0)

Дайте две точки, найдите уравнение прямой.

35. (−6, 6), (2, 2)

36. (−10, −3), (5, 0)

37. (0, 1/2), (1/2, -1)

38. (1/3, 1/3), (2/3, 1)

39. (3, −4), (−6, −7)

40. (−5, 2), (3, 2)

41. (−6, 4), (−6, −3)

42. (−4, −4), (−1, −1)

43. (3, −3), (−5, 5)

44. (0, 8), (−4, 0)

Часть C: Уравнения с использованием формы точечного уклона

Найдите уравнение с учетом наклона и точки.

45. м = 1/2; (4, 3)

46. м = −1/3; (9, −2)

47. м = 6; (1, −5)

48. м = −10; (1, −20)

49. м = −3; (2, 3)

50. м = 2/3; (−3, −5)

51. м = −3/4; (−8, 3)

52. м = 5; (1/5, −3)

53. м = −3; (-1/9, 2)

54. м = 0; (4, −6)

55. м = 0; (−5, 10)

56. м = 5/8; (4, 3)

57. м = −3/5; (−2, −1)

58. м = 1/4; (12, −2)

59. м = 1; (0, 0)

60. м = −3/4; (0, 0)

Учитывая график, используйте формулу угла наклона точки, чтобы найти уравнение.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

Используйте формулу угла наклона точки, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две точки.

67. (−4, 0), (0, 5)

68. (-1, 2), (0, 3)

69. (−3, −2), (3, 2)

70. (3, −1), (2, −3)

71. (−2, 4), (2, −4)

72. (−5, −2), (5, 2)

73. (−3, −1), (3, 3)

74. (1, 5), (0, 5)

75. (1, 2), (2, 4)

76. (6, 3), (2, −3)

77. (10, −3), (5, −4)

78.(−3, 3), (−1, 12)

79. (4/5, -1/3), (-1/5, 2/3)

80. (5/3, 1/3), (−10/3, −5/3)

81. (3, -1/4), (4, -1/2)

82. (0, 0), (−5, 1)

83. (2, −4), (0, 0)

84. (3, 5), (3, −2)

85. (−4, 7), (−1, 7)

86. (−8, 0), (6, 0)

Часть D: Приложения

87. Джо следил за своими счетами за сотовый телефон в течение последних двух месяцев.Счет за первый месяц составил 38 долларов США за 100 минут использования. Счет за второй месяц составил 45,50 долларов за 150 минут использования. Найдите линейное уравнение, которое дает общий ежемесячный счет, основанный на минутах использования.

88. Компания за первый год своей деятельности выпустила 150 учебных пособий на общую сумму 2 350 долларов США. В следующем году компания выпустила еще 50 руководств по цене 1450 долларов. Используйте эту информацию, чтобы найти линейное уравнение, которое дает общую стоимость производства учебных пособий из количества выпущенных руководств.

89. Фермер, выращивающий кукурузу в Калифорнии, смог произвести 154 бушеля кукурузы с акра через 2 года после начала своей деятельности. В настоящее время после 7 лет работы он увеличил урожайность до 164 бушелей с акра. Используйте эту информацию, чтобы написать линейное уравнение, которое дает общую урожайность с акра на основе количества лет эксплуатации, и используйте его для прогнозирования урожайности на следующий год.

90. Веб-мастер заметил, что количество зарегистрированных пользователей неуклонно растет с начала рекламной кампании.До того, как начать рекламировать, у него было 1200 зарегистрированных пользователей, а после 3 месяцев рекламы у него теперь есть 1590 зарегистрированных пользователей. Используйте эти данные, чтобы написать линейное уравнение, которое дает общее количество зарегистрированных пользователей с учетом количества месяцев после начала рекламы. Используйте уравнение, чтобы спрогнозировать количество пользователей за 7 месяцев рекламной кампании.

91. Автомобиль, купленный новым, стоил 22 000 долларов и был продан 10 лет спустя за 7 000 долларов. Напишите линейное уравнение, определяющее стоимость автомобиля с учетом его возраста в годах.

92. Старинные часы были куплены в 1985 году за 1 500 долларов и проданы на аукционе в 1997 году за 5 700 долларов. Составьте линейное уравнение, моделирующее значение часов в годах с 1985 года.

Часть E: Темы дискуссионной доски

93. Обсудите достоинства и недостатки формы «точка-наклон» и формы « y «.

94. Изучите и обсудите линейную амортизацию. Что представляют собой наклон и пересечение y в линейной модели амортизации?

Графические линейные уравнения с двумя переменными — Промежуточная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Построить точки в прямоугольной системе координат
  • Постройте линейное уравнение, нанеся точки
  • График вертикальных и горизонтальных линий
  • Найдите точки пересечения по оси X и Y
  • Постройте линию, используя точки пересечения

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Оценить, когда

    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

  2. Оценить, когда

    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

  3. Решить относительно y :

    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Точки графика в прямоугольной системе координат

Подобно тому, как карты используют систему сеток для определения местоположений, система сеток используется в алгебре, чтобы показать взаимосвязь между двумя переменными в прямоугольной системе координат.Прямоугольная система координат также называется плоскостью xy или «координатной плоскостью».

Прямоугольная система координат образована двумя пересекающимися числовыми линиями, горизонтальной и вертикальной. Горизонтальная числовая линия называется осью x . Вертикальная числовая линия называется осью y . Эти оси делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Квадранты обозначаются римскими цифрами, начиная с верхнего правого угла и продолжаясь против часовой стрелки.См. (Рисунок).

В прямоугольной системе координат каждая точка представлена ​​упорядоченной парой. Первое число в упорядоченной паре — это координата точки x , а второе число — координата точки y . Фраза «упорядоченная пара» означает, что порядок важен.

Заказанная пара

Упорядоченная пара дает координаты точки в прямоугольной системе координат. Первое число — это координата x .Второе число — координата y .

Какова упорядоченная пара точек пересечения осей? В этой точке обе координаты равны нулю, поэтому ее упорядоченная пара — Точка имеет особое имя. Это называется происхождение.

Происхождение

Точка называется исходной точкой . Это точка пересечения осей x и y .

Мы используем координаты, чтобы найти точку на плоскости xy .Приведем точку в качестве примера. Сначала найдите 1 на оси x и слегка нарисуйте вертикальную линию через нее. Затем найдите 3 на оси y и нарисуйте горизонтальную линию через. Теперь найдите точку, в которой эти две линии пересекаются — это точка с координатами См. (рисунок).

Обратите внимание, что сквозная вертикальная линия и сквозная горизонтальная линия не являются частью графика. Мы просто использовали их, чтобы найти точку

.

Когда одна из координат равна нулю, точка лежит на одной из осей.На (Рисунок) точка находится на оси y , а точка — на оси x .

Очки по топорам

Точки с координатой y , равной 0, находятся на оси x и имеют координаты

Точки с координатой x , равной 0, находятся на оси y и имеют координаты

.

Знаки координаты x и координаты y влияют на расположение точек.Вы могли заметить некоторые закономерности, когда рисовали точки в предыдущем примере. Мы можем суммировать знаковые паттерны секторов следующим образом:

Квадранты

До сих пор все решаемые вами уравнения были уравнениями только с одной переменной. Почти в каждом случае, когда вы решали уравнение, вы получали ровно одно решение. Но уравнения могут иметь более одной переменной. Уравнения с двумя переменными могут иметь вид. Уравнение такой формы называется линейным уравнением с двумя переменными.

Линейное уравнение

Уравнение формы, где A и B не равны нулю, называется линейным уравнением с двумя переменными.

Вот пример линейного уравнения с двумя переменными, x и y .

Уравнение также является линейным уравнением. Но это не похоже на форму. Мы можем использовать свойство сложения равенства и переписать его по форме.

Переписав, поскольку мы можем легко увидеть, что это линейное уравнение с двумя переменными, потому что оно имеет форму Когда уравнение находится в форме, мы говорим, что оно находится в стандартной форме линейного уравнения.

Стандартная форма линейного уравнения

Линейное уравнение в стандартной форме , когда оно записано

Большинство людей предпочитают, чтобы A , B и C были целыми числами и при написании линейного уравнения в стандартной форме, хотя это не является строго необходимым.

Линейные уравнения имеют бесконечно много решений. Каждому числу, которое заменяется на x , соответствует значение y .Эта пара значений является решением линейного уравнения и представлена ​​упорядоченной парой. Когда мы подставляем эти значения x и y в уравнение, результатом будет истинное утверждение, потому что значение слева равно равно значению справа.

Решение линейного уравнения с двумя переменными

Упорядоченная пара — это решение линейного уравнения, если уравнение является истинным утверждением, когда в уравнение подставляются значения x и y упорядоченной пары.

Линейные уравнения имеют бесконечно много решений. Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат. Точки будут идеально выровнены по прямой линии. Соединяем точки прямой линией, чтобы получился график уравнения. Мы помещаем стрелки на концах каждой стороны линии, чтобы указать, что линия продолжается в обоих направлениях.

График — это визуальное представление всех решений уравнения. Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов.Линия показывает вам всех решений этого уравнения. Каждая точка на линии — это решение уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой линии. Эта линия называется графиком уравнения. Пункты , а не на линии, не являются решениями!

График линейного уравнения

График линейного уравнения представляет собой прямую линию.

  • Каждая точка на линии является решением уравнения.
  • Каждое решение этого уравнения — точка на этой прямой.

Показан график.

Для каждой заказанной пары определите:

ⓐ Является ли упорядоченная пара решением уравнения?

ⓑ Находится ли точка на линии?

А: В: С: D:

Подставьте значения x и y в уравнение, чтобы проверить, является ли упорядоченная пара решением уравнения.

ⓑ Нанесите точки и

Точки и находятся на линии, а точка не находится на линии.

Точки, которые являются решениями, находятся на линии, но точка, которая не является решением, не находится на линии.

Использовать график Для каждой упорядоченной пары определите:

ⓐ Является ли упорядоченная пара решением уравнения?

ⓑ Находится ли точка на линии?

А Б

ⓐ да, да ⓑ да, да

Использовать график Для каждой упорядоченной пары определите:

ⓐ Является ли упорядоченная пара решением уравнения?

ⓑ Находится ли точка на линии?

А Б

Построение линейного уравнения по точкам

Есть несколько методов, которые можно использовать для построения графика линейного уравнения.Первый метод, который мы будем использовать, называется построением точек или методом точечного построения. Мы находим три точки, координаты которых являются решениями уравнения, и затем строим их в прямоугольной системе координат. Соединив эти точки в линию, мы получим график линейного уравнения.

Как построить график линейного уравнения по точкам

Постройте уравнение, нанеся точки.

Изобразите уравнение, нанеся точки:

Изобразите уравнение, нанеся точки:

Шаги, которые необходимо предпринять для построения графика линейного уравнения с помощью точек, приведены здесь.

Постройте линейное уравнение, нанеся точки.

  1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.
  2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если нет, внимательно проверьте свою работу.
  3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

Это правда, что для определения линии нужны только две точки, но использование трех точек — хорошая привычка.Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно можете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения. Это будет неправильная линия.

Если вы используете три точки, а одна неверна, точки не выровняются. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между этими иллюстрациями.

Когда уравнение включает дробь в качестве коэффициента, мы все равно можем заменить x любыми числами.Но арифметика будет проще, если мы сделаем «хороший» выбор для значений x . Таким образом мы избежим дробных ответов, которые сложно изобразить точно.

Изобразите уравнение:

Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Поскольку в этом уравнении дробь является коэффициентом x , мы будем тщательно выбирать значения x . Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и кратное 2 для других вариантов. Почему значение, кратное двум, является хорошим выбором для значений x ? При выборе числа, кратного 2, умножение на упрощается до целого числа

.

Точки показаны на (Рисунок).

Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

Изобразите уравнение:

Изобразите уравнение:

График вертикальных и горизонтальных линий

Некоторые линейные уравнения имеют только одну переменную. У них может быть только x и не y , или только y без x . Это меняет то, как мы составляем таблицу значений, чтобы получить точки для построения.

Рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет только одну переменную, x . Уравнение говорит, что x — это , всегда равное , поэтому его значение не зависит от y . Независимо от того, какое значение имеет значение y , значение x всегда равно

.

Итак, чтобы составить таблицу значений, запишите все значения x . Затем выберите любые значения для y . Поскольку x не зависит от y , вы можете выбрать любые числа, которые вам нравятся.Но чтобы уместить точки на нашем координатном графике, мы будем использовать 1, 2 и 3 для координат y . См. (Рисунок).

Постройте точки из таблицы и соедините их прямой линией. Обратите внимание, что мы нарисовали вертикальную линию.

Что делать, если в уравнении y , но нет x ? Давайте изобразим уравнение на графике. На этот раз значение y- является константой, поэтому в этом уравнении y не зависит от x . Заполните 4 для всех y (рисунок), а затем выберите любые значения для x .Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .

На этом рисунке мы изобразили горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4.

График: ⓐ ⓑ

ⓐ Уравнение имеет только одну переменную, x , и x всегда равно 2. Мы создаем таблицу, где x всегда равно 2, а затем вводим любые значения для y . График представляет собой вертикальную линию, проходящую через ось x в точке 2.

ⓑ Точно так же уравнение имеет только одну переменную, y . Значение y постоянно. Все упорядоченные пары в следующей таблице имеют одинаковую координату y . График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке

.

Изобразите уравнения: ⓐ ⓑ

Изобразите уравнения: ⓐ ⓑ

В чем разница между уравнениями и

Уравнение имеет x и y .Значение y зависит от значения x , поэтому координата y изменяется в соответствии со значением x . Уравнение имеет только одну переменную. Значение y постоянно, оно не зависит от значения x , поэтому координата y всегда равна 4.

Обратите внимание: на графике уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную линию.

График и в той же прямоугольной системе координат.

Мы замечаем, что первое уравнение имеет переменную x , а второе — нет. Мы составляем таблицу точек для каждого уравнения, а затем наносим на график линии. Показаны два графика.

Постройте уравнения в той же прямоугольной системе координат: и

Постройте уравнения в той же прямоугольной системе координат: и

Найдите

x — и y -перехват

Каждое линейное уравнение может быть представлено уникальной линией, которая показывает все решения уравнения.Мы видели, что при построении линии с помощью точек вы можете использовать любые три решения для построения графика. Это означает, что два человека, рисующие линию, могут использовать разные наборы из трех точек.

На первый взгляд, их две линии могут показаться не одинаковыми, поскольку на них будут обозначены разные точки. Но если вся работа была проделана правильно, линии должны быть точно такими же. Один из способов узнать, что это действительно одна и та же линия, — это посмотреть, где линия пересекает ось x и ось y .Эти точки называются пересечениями линии.

Перехват линии

Точки, где линия пересекает ось x и ось y , называются пересечениями линии .

Давайте посмотрим на графики линий.

Во-первых, обратите внимание, где каждая из этих линий пересекает ось x . См. (Рисунок).

Теперь давайте посмотрим на точки, где эти линии пересекают ось y .

ось x в точке: Заказанная пара
для этой точки
Линия пересекает
ось y- в точке:
Заказанная пара
для этой точки
Рисунок (a) 36 Рисунок (b) 4 Рисунок (c ) 5 Рисунок (d) 00 Общий рисунок a b

Вы видите закономерность?

Для каждой линии координата y точки, в которой линия пересекает ось x , равна нулю. Точка, в которой линия пересекает ось x , имеет форму и называется точкой пересечения x линии.Перехват x происходит, когда y равно нулю.

В каждой строке координата x точки, в которой линия пересекает ось y , равна нулю. Точка, где линия пересекает ось y , имеет форму и называется пересечением оси y линии. Перехват y происходит, когда x равно нулю.

x — перехват и y — перехват линии

Пересечение x — это точка, в которой линия пересекает ось x .

Пересечение y — это точка, в которой линия пересекает ось y .

Найдите точки пересечения x и y на каждом показанном графике.

ⓐ График пересекает ось x в точке Пересечение x- составляет

График пересекает ось y в точке Пересечение y составляет

ⓑ График пересекает ось x в точке Пересечение x составляет

График пересекает ось y в точке Пересечение y составляет

ⓒ График пересекает ось x в точке Пересечение x составляет

График пересекает ось y в точке Пересечение y составляет

Найдите точки пересечения x и y на графике.

x -перехват:

y -перехват:

Найдите точки пересечения x и y на графике.

x -перехват:

y -перехват:

Признание того, что пересечение x происходит, когда y равно нулю, и что пересечение y происходит, когда x равно нулю, дает нам способ найти точки пересечения линии из ее уравнения.Чтобы найти перехват x , позвольте и решите для x . Чтобы найти перехват y , позвольте и решите относительно y .

Найдите точки пересечения x и y из уравнения прямой

Используйте уравнение линии. Чтобы найти:

  • пересечение линии x , позвольте и решить для x .
  • y — перехват линии, позвольте и решить для y .

Найдите перехватчик

Давайте найдем перехват x и позволим найти перехват y .Мы заполним таблицу, которая напоминает нам о том, что нам нужно найти.

Перехваты — это точки, как показано в таблице.

x y
4 0
0 8

Найдите точки перехвата:

x -перехват:

y -перехват:

Найдите точки перехвата:

x -перехват:

y -перехват:

Построение линии с помощью точек пересечения

Чтобы построить линейное уравнение с помощью точек, необходимо найти три точки, координаты которых являются решениями уравнения.Вы можете использовать точки пересечения x- и y- как две из трех точек. Найдите точки пересечения, а затем найдите третью точку, чтобы обеспечить точность. Убедитесь, что точки совпадают — затем проведите линию. Этот метод часто является самым быстрым способом построить линию.

Как построить линию с помощью точек пересечения

График с использованием точек пересечения.

График с пересечениями:

График с пересечениями:

Шаги по построению линейного уравнения с использованием точек пересечения кратко описаны здесь.

Постройте линейное уравнение, используя точки пересечения.

  1. Найдите точки пересечения линии x и y .
    • Позвольте и решить для x .
    • Позвольте и решить для y .
  2. Найдите третье решение уравнения.
  3. Постройте три точки и убедитесь, что они совпадают.
  4. Проведите линию.

График с использованием точек пересечения.

Найдите точки пересечения и третью точку.

Перечислим точки в таблице и покажем график.

График с пересечениями:

График с пересечениями:

Когда линия проходит через начало координат, точка пересечения x и точка пересечения y являются одной и той же точкой.

График с использованием точек пересечения.

Эта линия имеет только одну точку пересечения. Это точка

Для обеспечения точности нам нужно нанести три точки.Поскольку точки пересечения x и y — это одна и та же точка, нам нужно еще на две точек, чтобы построить линию.

Полученные три балла сведены в таблицу.

Постройте три точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

График с пересечениями:

График пересечений:

Практика ведет к совершенству

Точки графика в прямоугольной системе координат

В следующих упражнениях нанесите каждую точку в прямоугольную систему координат и определите квадрант, в котором расположена точка.

В следующих упражнениях для каждой упорядоченной пары решите

ⓐ является ли упорядоченная пара решением уравнения? Ⓑ это точка на линии?

ⓐ A: да, B: нет, C: да, D: да ⓑ A: да, B: нет, C: да, D: да

ⓐ A: да, B: да, C: да, D: нет ⓑ A: да, B: да, C: да, D: нет

Построение линейного уравнения по точкам

В следующих упражнениях построите график путем нанесения точек.

График Вертикальные и горизонтальные линии

В следующих упражнениях нанесите на график каждое уравнение.

ⓐⓑ

ⓐⓑ

В следующих упражнениях нарисуйте каждую пару уравнений в одной прямоугольной системе координат.

и

и

Найти x- и y- Перехватить

В следующих упражнениях найдите точки пересечения x и y на каждом графике.

В следующих упражнениях найдите точки пересечения для каждого уравнения.

Построение линии с помощью точек пересечения

В следующих упражнениях построите график с использованием точек пересечения.

Смешанная практика

В следующих упражнениях нанесите на график каждое уравнение.

Письменные упражнения

Объясните, как выбрать три значения x , чтобы составить таблицу для построения графика линии

В чем разница между уравнениями вертикальной и горизонтальной линии?

Вы предпочитаете использовать метод построения точек или метод пересечения точек для построения графика уравнения. Почему?

Вы предпочитаете использовать метод построения точек или метод пересечения точек для построения графика уравнения. Почему?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Если большая часть ваших чеков была:

Уверенно. Поздравляю! Вы достигли целей в этом разделе. Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным.

С некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не освоили, становятся ухабами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент.К кому вы можете обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие ресурсы. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

Нет, не понимаю. Это предупреждающий знак, и вы должны его устранить. Вам следует немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.

Графическое отображение линейных уравнений в трех измерениях с первого взгляда

Переменные x и y системы линейных уравнений совпадают с осями x и y на графике.Есть две переменные для двух измерений. Когда мы добавляем третью переменную, z , это означает, что мы путешествуем в третье измерение. Wooooaoooo.

Линейные уравнения в двух измерениях представлены на графике в виде линий. Угадайте, как линейные уравнения с тремя переменными выглядят на графике? Они похожи на самолеты, а не на пилотов.

Чтобы изобразить линейные уравнения с тремя переменными, нам нужно использовать трехмерную систему координат , как показано ниже.

Чтобы создать трехмерную систему координат, сначала нарисуйте нормальную двухмерную координатную плоскость, как обычно.Затем добавьте совершенно новую ось z через начало координат — только она выскакивает из страницы в великолепном стереоскопическом 3D.

Подумайте об этом так; x и y лежат ровно, как лист бумаги на столе, а z торчит прямо вверх. Это намного лучше, чем тыкать палкой в ​​нашу бумагу, чтобы представить ось z . Так сложно сдавать домашнее задание.

Пример задачи

Постройте точку (-3, 1, 4).

Нам нужно нарисовать систему координат, в которой мы будем размещать эту точку. Точка без системы, в которой ее можно разместить, подобна звезде без неба. Если он не в небе, значит, он здесь, на Земле. Было бы очень жарко, очень быстро.

Для начала мы рисуем нашу 2D-плоскость как обычно, маркируя их y и z . Затем ось x рисуется как линия y = x . Просто проще нарисовать его таким образом, плоско на странице, чтобы создать впечатление трехмерности.

Для наших целей положительная часть оси x находится в нижнем левом углу в квадранте III. Отрицательная часть оси x находится в верхнем правом углу, в квадранте I. Проверьте числа; они не лгут.

Затем нужно поставить точку на графике. Думайте о осях x и y как о плоских на странице, а об оси z как о прямо вверх, вне страницы. Но на самом деле он не может вас схватить, не волнуйтесь.Поначалу может потребоваться некоторое время, чтобы увидеть это, но практика помогает.

Сначала найдите точки ( y , z ), как мы делали ранее x и y , а затем сдвиньте точку «вперед» или «назад» на x .

Эта точка может показаться вам странной. Помните, мы пытаемся втиснуть три измерения в два. Следует ожидать некоторой неловкости. Опять же, поможет просмотр множества разных графиков.

Пример задачи

График 4 x — 3 y + 6 z = 24.

Это уравнение имеет три переменные, поэтому оно представляет собой трехмерный эквивалент линии: плоскость. Чтобы построить график, нам нужно сделать три перехвата, э-э, найти три перехвата. Извините, у нас на уме футбол.

Чтобы найти точку пересечения x , подставьте в уравнение y = 0 и z = 0. Да, оба они равны 0 одновременно.Помните, что на самом деле представляет собой пересечение: это точка, в которой уравнение пересекает конкретную ось.

4 x — 3 (0) + 6 (0) = 24

4 x = 24

x = 6

Мы можем представить интервал x как упорядоченный триплет , (6, 0, 0). Слишком много переменных, чтобы она больше не могла быть упорядоченной парой. * нюхает * Они так быстро растут в этом возрасте.

Чтобы найти точку пересечения y , мы подставляем x = 0 и z = 0 в уравнение.

4 (0) — 3 y + 6 (0) = 24

-3 y = 24

y = -8

Это (0, -8, 0) своим друзьям .

Теперь найдем z -intercept, нового ребенка на блоке. Вставить x = 0 и y = 0:

4 (0) — 3 (0) + 6 z = 24

6 z = 24

z = 4

ср. хотите построить три точки пересечения: (6, 0, 0), (0, -8, 0) и (0, 0, 4).Однако сначала нам нужно нарисовать координатную плоскость, на которой мы будем их размещать. Помните, что x и y были перемешаны.

Теперь о наших перехватах. Для x это будет 6 точек в положительном направлении; это «по направлению» к нам, то есть y = x на двухмерном графике. Перехват y болтается на 8 слева, что для него сейчас отрицательно. Перехват z расположен на 4 точки вверх.

На этом этапе мы соединяем точки пересечения, чтобы сформировать треугольную плоскость.Представьте, что это «испытательный самолет» из Зоны 51. Не ждите, что кто-нибудь подтвердит его существование.

Мы нарисовали это как треугольник, но не обманывайте себя. Это всего лишь одна часть всей плоскости, которая на самом деле простирается в далекое прошлое, где мы ленились и перестали рисовать. Однако он проходит через наш треугольник.

Трехмерное построение графиков — это упражнение в оптических иллюзиях и воображении. И головные боли, по крайней мере, сначала. Поскольку бумага двумерна, мы не можем правильно изобразить на ней трехмерный объект.Мы должны обмануть наш мозг, чтобы увидеть изображение.

Пример задачи

График -10 x + 5 y — 10 z = 20

Даже несмотря на то, что у нас больше переменных, найти точки пересечения уравнения по-прежнему несложно. Установите все, кроме интересующей переменной, равным 0.

Для x мы имеем:

-10 x + 5 (0) — 10 (0) = 20

-10 x = 20

x = -2

Перехват y имеет x и z , расположенные в стороне.

-10 (0) + 5 y — 10 (0) = 20

5 y = 20

y = 4

При x и y при 0, это может быть z — перехватчик, чтобы решить проблему и спасти положение.

-10 (0) + 5 (0) –10 z = 20

-10 z = 20

z = -2

У нас есть точки (-2, 0, 0) , (0, 4, 0) и (0, 0, -2). Положите их на доску. Одна точка на 2 к нам, другая на 4 справа, а последняя на 2 вниз от начала координат.

Наконец, соедините перемычки, чтобы сформировать треугольную плоскость. Шум самолета не обязателен.

Лично мы считаем, что шум самолетов имел решающее значение для нашего успеха.

Пример задачи

График 3 x + 3 y — 6 z = 18

Мы начинаем с перехвата трех наших перехватов. Используйте любые инструменты, имеющиеся в нашем распоряжении: забавно завышенные сети, микрофоны или установка двух других переменных равными 0.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *