Построение графика функции по: Построение графика функции онлайн

Содержание

Построение графика функции методом дифференциального исчисления



Существует способ построения графика функции, основанный на аналитическом исследовании функции. Исследование проводится по следующей примерной схеме:

1) выяснение области определения функции;

2) решается вопрос о четности или нечетности функции;

3) исследуется периодичность функции;

4) находят точки пересечения кривой с осями координат;

5) находят точки разрыва функции и определяют их характер;

6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции;

7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой;

8) отыскание асимптот кривой;

9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.

Построить график без исследования функции (получить просто рисунок) можно с помощью этого сервиса.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word
Правила ввода функции


Примеры

x^2/(x+2)
cos2(2x+π)(cos(2*x+pi))^2
x+(x-1)^(2/3)


Пример №1. Провести полное исследование функции  и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , .
Попутно отметим, что прямая  – вертикальная асимптота.

6) Находим  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции.
В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:

Построить график функции

Пример №2. Построить график функции .

Решение.

1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞).

2. Функция не является четной или нечетной.

3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ; имеем

; .

4. Точки разрыва x=0, причем ; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика.

Найдем наклонные асимптоты:

;

.

Наклонная асимптота имеет уравнение y=x.

5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем . Существует единственная критическая точка x=2. В промежутках x∈(-∞ ;0)∪(2; +∞) y’>0, следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(0;2) y'<0, функция убывает. Далее, находим ; y»(2)>0, следовательно, x=2 – точка минимума ymin=3.


6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.

Строим график функции.

Построение графиков функций

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она… мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, — линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

Понятие функции

Типы элементарных функций

Преобразования графиков функций

Производная функции

1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

при

График функции — прямая с выколотой точкой

2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции

Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции

Область определения функции:

Нули функции: и

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен

Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при

При значение cos x равно единице. Значение функции в этих точках будет равно при

9. Построим график функции

Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где то есть при при

Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

Найдем производную функции
По формуле производной частного,

если или

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции: 

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Создание пользовательских функций построения графиков с помощью matplotlib | Матиас Кальдерини

TLDR: определите свои собственные функции, которые включают построение графиков на определенных осях, используя следующий синтаксис:

 def custom_plot(x, y, ax=None, **plt_kwargs): 
, если ax равен None:
ax = plt.gca()
ax.plot(x, y, **plt_kwargs) ## здесь пример графика
return(ax)def multiple_custom_plots(x, y, ax=None, plt_kwargs={}, sct_kwargs={}):
, если ax имеет значение None:
ax = plt. gca()
ax.plot(x, y, **plt_kwargs) #example plot1
ax.scatter(x, y, **sct_kwargs) #example plot2
return(ax)

Репозиторий исходного кода можно найти по этой ссылке.

В предыдущем посте я показал вам, как лучше организовать свои фигуры. Мы увидели, как можно аккуратно отображать различные графики с помощью подграфиков, как добавлять свободно плавающие оси и как легко создавать мозаичную организацию осей с помощью GridSpec.

Поскольку основное внимание в этом посте уделялось общей структуре и представлению общей фигуры, сами графики были довольно простыми в том смысле, что они использовали только одну предопределенную функцию matplotlib, такую ​​как .plot или .hist с параметрами по умолчанию. Тем не менее, часто в пределах красивой мозаичной структуры, которую вы узнали в предыдущем посте, вам нужно будет нарисовать собственный график, который объединяет информацию из различных типов базовых функций построения графика вместе с вызовами некоторых других генерирующих данные или данных. функция обработки. Например, построение распределения случайных выборок с соответствующей теоретической функцией плотности сверху.

Здесь я покажу вам, как создавать собственные пользовательские функции построения графиков, которые можно легко использовать, вызывая их в ваших организованных графиках примерно следующим образом:

 fig, axes = plt.subplots(number_of_subplots) 
for axe in axes:
my_custom_plotting_function(ax=ax, function_kwargs)

Вместе с хорошей организацией подграфиков это поможет вам максимизировать ваши статические графики на matplotlib (предвосхищая последующее руководство по динамическим графикам… может быть…) и используйте информацию из разных графиков, чтобы поделиться всеобъемлющей историей ваших данных.

Первый шаг к созданию серии пользовательских графиков на фигуре — это возможность подключить отдельный пользовательский график к отдельным осям. Первым шагом является передача осей, по которым мы хотим построить график, в нашу пользовательскую функцию. Это можно сделать просто так:

 def custom_plot(x, y, ax=None, **plt_kwargs): 
, если ax равен None:
ax = plt.gca()
ax.plot(x, y, **plt_kwargs) ## пример графика здесь
return(ax)

Так что же я там делал? Первой важной частью здесь является аргумент x . Если вы уже использовали seaborn раньше, возможно, вы уже знаете, как это использовать. По сути, x будет принимать объект осей, на котором вы хотите построить. Это могут быть оси подсюжета или простые свободно плавающие оси вставки. Идея состоит в том, что организационная часть сюжета будет решаться вне этой функции, возможно, другой функцией.

Почему x по умолчанию равно Нет ? На это лучше ответить строками:

 if ax is None: 
ax = plt.gca()

мы видим, что если объект осей не был предоставлен в ax , по умолчанию он равен None и запускает этот , если Состояние . В этом случае, поскольку оси не заданы, по умолчанию функция будет искать последние оси, использованные в текущей фигуре, или создавать их, если они недоступны, с помощью функции .gca (что означает , получить текущие оси ) и использовать их в качестве осей для построения графика. В конце функции мы также возвращаем этот топор, если мы хотим использовать его для других настроек (не нужных, но в некоторых случаях практичных).

Давайте проверим это, сначала построив график без указания осей, а затем указав определенные оси:

 # Без указания осей (по умолчанию None -> gca()) 
plt.figure(figsize=(10, 5))
custom_plot([1, 2], [10, 20])
plt.title('Наш пользовательский график без осей (по умолчанию .gca())')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
 # Предоставление осей 
fig, axes = plt.subplots(2, figsize=(10, 5))# Построение графика с помощью нашей функции
custom_plot([2, 3], [4, 15], ax=axes[0])
axes[0]. set(xlabel='x', ylabel='y', title='Это наш пользовательский график по указанным осям')# Пример графика для заполнения второго подграфика (ничего общего с нашей функцией)
axes[1].hist(np.random.normal(size=100))
axes[1].set_title('Этот график не имеет ничего общего с нашей функцией. Просто гистограмма некоторых случайных чисел')plt.tight_layout() #Это позволяет избежать наложения меток и заголовков на графиках
plt.show()

Пока все хорошо; мы можем создать функцию для построения данных, и мы можем подключить ее к определенным осям нашего графика (она даже позаботится о себе, если оси не были предоставлены). А как насчет **plt_kwargs ?

Если вы не привыкли работать с **kwargs (как в аргументах ключевого слова) в своих функциях (фактическое имя аргумента не имеет значения, вы можете назвать его **kwargs , **plt_kwargs , **literally_anything_else до тех пор, пока вы ставите двойную звездочку «**»), это будет проще объяснить, сначала создав и используя новую функцию, которая не имеет * * kwargs в нем.

В качестве отступления, если вы действительно раньше не видели этот тип звездочек, использование одинарных звездочек * и двойных звездочек ** в python весьма полезно во многих ситуациях, будь то внутри или помимо функций, и определенно стоит поискать в Google (может быть, даже написать об этом сообщение в блоге…. может быть…). Во всяком случае, вернемся к нашему примеру с custom_plot без **kwargs :

 def no_kwargs_plot(x, y, ax=None): 
если ax равно None:
ax = plt.gca()
ax.plot(x, y) ## пример график здесь
return(ax)plt.figure(figsize=(10, 5))
no_kwargs_plot([1, 2], [10, 20])
plt.show()

Нет ошибок, нет проблем… Однако, что, если вы хотите сделать линию толще? Обычно в .plot() мы просто устанавливаем аргумент linewidth на более толстое значение. мы могли бы добавить linewidth в список входных данных для no_kwargs_plot , а затем передать его в . plot() следующим образом:

 def no_kwargs_plot(x, y, ax=None, linewidth=1): 
, если ax равен None:
ax = plt.gca()
ax.plot(x, y, linewidth) ## пример графика здесь

Это решит проблему. Но как насчет всех других возможных аргументов в .plot() . Записывать их все в нашу функцию вместе со значениями по умолчанию было бы очень долго и не очень практично:

 def no_kwargs_plot(x, y, ax=None, linewidth=1, other=1,...): 
если ax равен None:
ax = plt.gca()
ax.plot(x, y, linewidth , other,....) ## пример графика здесь

Вот где использование нотации ** ( **kwargs ) становится полезным. При использовании на свободных элементах ключ-значение, таких как потерянные входные данные в нашей функции (те, которые не связаны с предопределенными аргументами x, y и ax в нашем случае) **имя упакует все эти элементы в словарь и сохранить их в переменной имя .

Например, если бы мы использовали нашу функцию построения графика как custom_plot(x=xdata, y=ydata, ax=axes[0], linewidth=2, c='g') , результирующий словарь plt_kwargs будет {'linewidth':2, 'c':'g'} . Если это все еще не совсем понятно, посмотрите на приведенный ниже пример кода, вывод (>>) и схему под ним:

 def print_kwargs_only(x, y, ax=None, **plt_kwargs): 
print(plt_kwargs) # распечатать словарь со всеми сиротскими kwargsprint_kwargs_only(x=[1, 2], y=[10, 20], not_xyax=1, random_orphan_kwarg='так одиноко', linewidth=2, c='g')>> { 'not_xyax': 1, 'random_orphan_kwarg': 'так одиноко', 'linewidth': 2, 'c': 'g'}

Таким образом, использование ** решает проблему переноса всех возможных входных данных в нашу функцию без необходимости их явного предварительного определения и подготовки к использованию внутри словаря. Но как же используется этот словарь дополнительных аргументов ключевых слов?

Ранее я упоминал, что ** ведет себя как функция упаковки при использовании на свободных элементах. Когда вы используете ** в словаре (независимо от того, был ли он упакован ** или нет), ** на самом деле выполнит обратное действие: распаковает словарь на разные свободные элементы. В custom_function , когда мы пишем **plt_kwargs внутри .plot() , т.е. ax.plot(x, y, **plt_kwargs) , мы фактически просим python взять словарь plt_kwargs и распакуйте все его пары ключ-значение отдельно в функцию .plot() в качестве отдельных входных данных.

Таким образом, не зная, сколько и какие настройки графика будут использоваться, мы можем передать их все той части нашей функции, которая будет выполнять графику.

Мы можем увидеть это снова, используя нашу исходную функцию custom_plot (вы могли заметить, что на этот раз я использовал оси, возвращаемые функцией, чтобы показать вам, как ее можно использовать):

 plt.figure(figsize=(10, 5)) 
out_ax = custom_plot([1, 2], [10, 20], ширина линии=5, c='g')
out_ax.set(xlabel='xlabel', ylabel='ylabel', title=' Тестирование полезности **kwargs')
plt.show()

Это позаботится об основном синтаксисе. С этим вы уже сможете начать создавать еще несколько интересных сюжетов.

Однако прежде чем приступить к делу, нам нужно позаботиться об одной потенциальной проблеме, с которой вы можете столкнуться при использовании **kwargs . То есть, что, если бы вы делали несколько графиков внутри функции custom_plot ? например, что, если вы рисуете две линии, и одна должна быть пунктирной, а другая сплошной. Откуда **kwargs знать, какие аргументы входят в какой сюжет?

Ответ заключается в том, что « **kwargs упаковочная машина» больше не будет работать и ее необходимо будет заменить, но « **kwargs машина для распаковки» будет работать отлично. Что я имею в виду? Давайте определим новую функцию с именем multiple_custom_plots , чтобы прояснить ее: }, sct_kwargs={}):
, если ax равен None:
ax = plt.gca()
ax.plot(x, y, **plt_kwargs)
ax.scatter(x, y, **sct_kwargs)
return (ax)

Чем здесь отличается и как его использовать?Сначала посмотрим на список возможных входов. Теперь вместо **kwargs , у нас есть два новых аргумента, по одному для каждого из наших графиков. Кроме того, по умолчанию эти аргументы являются пустыми словарями.

Если вы следовали моему объяснению до **kwargs , надеюсь, это уже достаточно ясно для вас. Идея состоит в том, что, поскольку мы не можем попросить функцию автоматически упаковать все несвязанные входные данные в один словарь (теперь нам нужны два отдельных словаря), вместо этого нам придется самим предоставлять каждый словарь параметров построения предварительно упакованным.

Использование их позже с двойной звездочкой ничем не отличается от оригинального custom_plot , поскольку использование ** в словаре по-прежнему означает, что мы хотим, чтобы его значения были распакованы. Мы используем пустые словари в качестве значений по умолчанию, потому что, если бы вы не предоставили словарь настроек, мы столкнулись бы с проблемами при попытке распаковать их (или их отсутствие) с помощью ** . Пустые словари, по сути, предназначены для того, чтобы ничего не распаковывать в функции, если ничего не предоставлено.

Давайте посмотрим, как это использовать:

 plot_params = {'linewidth': 2, 'c': 'g', 'linestyle':'--'} 
scatter_params = {'c':'red', 'marker':'+', 's':100}
xdata = [1, 2]
ydata = [10, 20]plt.figure(figsize=(10, 5))
multiple_custom_plots(xdata, ydata, plt_kwargs =plot_params, sct_kwargs=scatter_params)
plt.show()

Итак, когда дело доходит до создания пользовательских функций, из которых вы можете строить графики, предыдущего раздела должно быть достаточно для того, чтобы вы немного повеселились со статическими участки. В следующем разделе я просто приведу пример графика с использованием пользовательской функции, надеюсь, он вдохновит вас на создание собственных графиков.

Представьте, что вы хотите посмотреть, как размер выборки из данной случайной величины влияет на оценку лежащего в ее основе распределения вероятностей.

Предположим, у нас есть непрерывная случайная величина X, которая нормально распределена со средним значением μ (мю) и стандартным отклонением σ (сигма) (, т. Мы хотели бы знать, как на оценку плотности ядра scipy (kde) влияет размер нашей случайной выборки (сколько раз мы случайным образом выбираем из нашего нормального распределения), сравнивая ее с оценкой основного истинного распределения плотности вероятности (pdf) .

Мы сделаем это, построив сами образцы, их kde и лежащую в их основе PDF для различных значений N.

 def , kde_kwargs={}, ax=None): 
# создать образец
.linspace(-1, 1, 100)
pdf = stats.norm.pdf(xrange, loc=mu, scale=sigma)

# сгенерировать оценку kde
= stats.gaussian_kde(sample)
kde = оценка (xrange)

# График
, если ax равен None:
ax = plt.gca()
ax.scatter(sample, np.zeros_like(sample), **sct_kwargs)
ax.plot(xrange, pdf, **pdf_kwargs)
ax.plot(xrange, kde, **kde_kwargs)
return(xrange)

Давайте разберем функцию шаг за шагом:

Во-первых, входные данные. Здесь вместо того, чтобы запрашивать массивы данных, мы будем создавать наши собственные данные из генератора случайных чисел Гаусса. Поэтому нам нужно запросить соответствующие статистические параметры μ и σ (среднее значение и стандартное отклонение соответственно для гауссовых распределений). Нам также нужно задать количество отбираемых образцов N. На самом деле мы будем перебирать различные значения N позже, чтобы увидеть влияние размера выборки на оценку. Идея состоит в том, чтобы отображать выборки в виде точек рассеяния, а pdf и kde — в виде обычных линейных графиков. Таким образом, мы предоставим в качестве входных данных словарь для соответствующих параметров построения графика (ширина линии, размер маркера и т. д.). Наконец, мы зададим оси фигуры, на которой мы хотим построить все три вещи.

Первая часть функции просто сгенерирует случайную гауссову выборку размера N из предоставленных статистических параметров.

Вторая часть кода создаст пары x-y линейного графика, соответствующие PDF нормального распределения, заданного μ и σ. Мы ограничиваем диапазон PDF до ± 5 стандартных отклонений, поскольку все, что дальше по обеим сторонам, в любом случае будет довольно маленьким.

Третья часть кода сначала вычисляет kde нашего образца, а затем применяет его к тому же диапазону значений по оси x, что и наш PDF-файл.

Наконец, в четвертой части кода мы просто строим в виде точечной диаграммы все выбранные значения по оси x (на высоте 0), а pdf и kde — в виде линейных графиков. Все три, с соответствующими аргументами ключевого слова построения графика.

 # Параметры выборки 
sample_sizes = (10, 20, 100, 250, 500, 2_000)
mean = 100
std = 15# Параметры построения графика
scatter_params = {'alpha':0.1, 'c':'g', 's':100, 'метка':'образцы'}
pdf_params = {"linewidth":2, 'c':'k', 'метка':'pdf'}
kde_params = {"linewidth":3, 'ls':'--', 'c':'g', 'label':'kde'}# Построение графика
fig, axes = plt.subplots(6, figsize= (15, 20))
для ax, n в zip(axes, sample_sizes):
sample_plot(mu=mean, sigma=std, N=n, ax=ax,
sct_kwargs=scatter_params, pdf_kwargs=pdf_params, kde_kwargs=kde_params )
ax. set_title(f'N={n}')axes[0].legend()
осей[-1].set_xlabel('Sample Value', fontsize=13)
plt.tight_layout()
plt. savefig('finalplot')
plt.show()

Вот и все! Надеюсь, вы научились добавлять возможности построения графиков в свои функции, правильно передавая соответствующие оси и аргументы ключевых слов. Это должно помочь вам иметь все более модульный код для быстрого изучения и визуализации ваших данных.

Первоначально опубликовано по адресу https://maticalderini.github.io 28 апреля 2020 г.

Графики линейных функций | Колледж Алгебра

Результаты обучения

  • График линейной функции по точкам
  • График линейной функции с использованием наклона и точки пересечения с координатой Y
  • График линейной функции с использованием преобразований

Ранее мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике.

Существует три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в построении точек, а затем проведении линии через точки. Во-вторых, с использованием точки пересечения и наклона y-. Третий — применение преобразований к функции тождества [latex]f\left(x\right)=x[/latex].

График функции путем построения точек

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию при этих входных значениях и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем случае мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике функции. Например, учитывая функцию [латекс]f\left(x\right)=2x[/latex], мы могли бы использовать входные значения 1 и 2. Вычисление функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, которое изображается точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4). Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не лежат на одной линии, мы знаем, что допустили ошибку.

Как: Для линейной функции построить график по точкам.

  1. Выберите не менее двух входных значений.
  2. Оценить функцию для каждого входного значения.
  3. Используйте полученные выходные значения для идентификации пар координат.
  4. Нанесите пары координат на сетку.
  5. Проведите линию через точки.

Пример: построение графика по точкам

График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5[/латекс] по точкам.

Показать решение

Попробуйте

График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{3}{4}x+6[/latex] по точкам.

Показать раствор

Построение графика линейной функции с использованием точки пересечения по оси Y и наклона

Другой способ построения графика линейной функции заключается в использовании конкретных характеристик функции, а не точек на графике. Первой характеристикой является точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти у- перехват , мы можем установить [latex]x=0[/latex] в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , который является мерой ее крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон линейной функции равен отношению изменения выходов к изменению входов. Другой способ представить наклон — это разделить вертикальную разницу или подъем между любыми двумя точками на горизонтальную разницу или пробег. Наклон линейной функции будет одинаковым между любыми двумя точками. Мы столкнулись как с y- точка пересечения и наклон в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

[латекс]f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1[/latex]

Наклон равен [latex]\frac{1}{2}[/latex]. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклонен вверх слева направо. Точка пересечения y- представляет собой точку на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точках (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения и . Мы можем начать построение графика, нанеся точку (0, 1). Мы знаем, что наклон увеличивается по сравнению с пробегом, [латекс] м = \ гидроразрыва {\ текст {подъем}} {\ текст {прогон}} [/латекс]. В нашем примере у нас есть [latex]m=\frac{1}{2}[/latex], что означает, что подъем равен 1, а пробег равен 2. Начиная с нашего y -intercept (0, 1), мы можем подняться на 1, а затем подняться на 2 или подняться на 2, а затем подняться на 1. Мы повторяем, пока у нас не будет несколько точек, а затем мы проводим линию через точки, как показано ниже.

Общее примечание: графическая интерпретация линейной функции график и указывает точку (0,

b ), в которой график пересекает ось y .

  • м  является наклоном линии и указывает вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек. Напомним формулу наклона:
  • [латекс] м = \ frac {\ text {изменение на выходе (рост)}} {\ text {изменение на входе (прогон)}} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac { {y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}[/latex]

    Вопросы и ответы

    Все ли линейные функции имеют и -перехваты?

    Да. Все линейные функции пересекают ось y и, следовательно, имеют точки пересечения с осью y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси y, не имеет точки пересечения с осью y. Имейте в виду, что вертикальная линия — это единственная линия, которая не является функцией.)

    Как: Учитывая уравнение для линейная функция, постройте график функции, используя точку пересечения

    y и наклон.

    1. Оцените функцию при входном значении, равном нулю, чтобы найти точку пересечения y-.
    2. Определите наклон.
    3. Нанесите точку пересечения y-.
    4. Используйте [latex]\frac{\text{rise}}{\text{run}}[/latex], чтобы определить как минимум еще две точки на линии.
    5. Нарисуйте линию, проходящую через точки.

    Пример: построение графика с использованием точки пересечения

    y- и наклона

    График [латекс]f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5[/latex] с использованием y — точка пересечения и наклон.

    Показать раствор

    Попробуй

    Найдите точку на графике, который мы нарисовали в Примере: построение графика с использованием точки пересечения y и наклона, которая имеет отрицательное значение x .

    Показать раствор

    Построение графика линейной функции с использованием преобразований

    Другим вариантом построения графика является использование преобразований функции тождества [латекс]f\left(x\right)=x[/latex]. Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функцию также можно преобразовать с помощью отражения, растяжения или сжатия.

    Вертикальное растяжение или сжатие

    В уравнении [латекс]f\влево(х\вправо)=mx[/латекс] м действует как вертикальное растяжение или сжатие функции тождества. Когда м  отрицательно, также имеет место вертикальное отражение графика. Обратите внимание, что умножение уравнения [латекс]f\left(x\right)=x[/латекс] на м растягивает график f в м единиц, если м > 1, и сжимает график f  на коэффициент м  единиц, если 0 < м < 1. Это означает, что чем больше абсолютное значение м , тем круче наклон.

    Вертикальные растяжения и сжатия и отражения от функции [латекс]f\left(x\right)=x[/latex].

    Вертикальный сдвиг

    В [latex]f\left(x\right)=mx+b[/latex] b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз, не влияя на наклон линия. Обратите внимание, что добавление значения b  к уравнению [латекс]f\left(x\right)=x[/latex] сдвигает график f всего на b  единиц вверх, если b положительно и | б | единицы вниз, если b отрицательное значение.

    На этом графике показаны вертикальные сдвиги функции [латекс]f\влево(х\вправо)=х[/латекс].

    Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ взглянуть на определение различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построения графика функции такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

    Как сделать: Имея уравнение линейной функции, используйте преобразования для построения графика линейной функции в виде [латекс]f\влево(х\вправо)=mx+b[/латекс].

    1. График [латекс]f\влево(х\вправо)=х[/латекс].
    2. Растянуть или сжать график по вертикали с коэффициентом m .
    3. Сдвиг графика вверх или вниз b  ед.

    Пример: построение графика с использованием преобразований

    Построение графика [латекс]f\left(x\right)=\frac{1}{2}x — 3[/latex] с использованием преобразований.

    Показать решение

    Попробуйте

    График [латекс]f\влево(х\вправо)=4+2x[/латекс], используя преобразования.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *