Последовательность фибоначчи формула: Числа Фибоначчи

Содержание

реализация и сравнение / Хабр

Введение

Программистам числа Фибоначчи должны уже поднадоесть. Примеры их вычисления используются везде. Всё от того, что эти числа предоставляют простейший пример рекурсии. А ещё они являются хорошим примером динамического программирования. Но надо ли вычислять их так в реальном проекте? Не надо. Ни рекурсия, ни динамическое программирование не являются идеальными вариантами. И не замкнутая формула, использующая числа с плавающей запятой. Сейчас я расскажу, как правильно. Но сначала пройдёмся по всем известным вариантам решения.

Код предназначен для Python 3, хотя должен идти и на Python 2.

Для начала – напомню определение:

Fn= Fn-1+ Fn-2

и F1= F2=1.

Замкнутая формула

Пропустим детали, но желающие могут ознакомиться с выводом формулы. Идея в том, чтобы предположить, что есть некий x, для которого Fn = xn, а затем найти x.

что означает

сокращаем xn-2

Решаем квадратное уравнение:

Откуда и растёт «золотое сечение» ϕ=(1+√5)/2. Подставив исходные значения и проделав ещё вычисления, мы получаем:

что и используем для вычисления Fn.

from __future__ import division
import math

def fib(n):
    SQRT5 = math.sqrt(5)
    PHI = (SQRT5 + 1) / 2
    return int(PHI ** n / SQRT5 + 0.5)

Хорошее:

Быстро и просто для малых n

Плохое:

Требуются операции с плавающей запятой. Для больших n потребуется большая точность.

Злое:

Использование комплексных чисел для вычисления Fn красиво с математической точки зрения, но уродливо — с компьютерной.

Рекурсия

Самое очевидное решение, которое вы уже много раз видели – скорее всего, в качестве примера того, что такое рекурсия. Повторю его ещё раз, для полноты. В Python её можно записать в одну строку:

fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) if n > 2 else 1

Хорошее:

Очень простая реализация, повторяющая математическое определение

Плохое:

Экспоненциальное время выполнения. Для больших n очень медленно

Злое:

Переполнение стека

Запоминание

У решения с рекурсией есть большая проблема: пересекающиеся вычисления. Когда вызывается fib(n), то подсчитываются fib(n-1) и fib(n-2). Но когда считается fib(n-1), она снова независимо подсчитает fib(n-2) – то есть, fib(n-2) подсчитается дважды. Если продолжить рассуждения, будет видно, что fib(n-3) будет подсчитана трижды, и т.д. Слишком много пересечений.

Поэтому надо просто запоминать результаты, чтобы не подсчитывать их снова. Время и память у этого решения расходуются линейным образом. В решении я использую словарь, но можно было бы использовать и простой массив.

M = {0: 0, 1: 1}

def fib(n):
    if n in M:
        return M[n]
    M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2)
    return M[n]

(В Python это можно также сделать при помощи декоратора, functools.lru_cache.)

Хорошее:

Просто превратить рекурсию в решение с запоминанием. Превращает экспоненциальное время выполнение в линейное, для чего тратит больше памяти.

Плохое:

Тратит много памяти

Злое:

Возможно переполнение стека, как и у рекурсии

Динамическое программирование

После решения с запоминанием становится понятно, что нам нужны не все предыдущие результаты, а только два последних. Кроме этого, вместо того, чтобы начинать с fib(n) и идти назад, можно начать с fib(0) и идти вперёд. У следующего кода линейное время выполнение, а использование памяти – фиксированное. На практике скорость решения будет ещё выше, поскольку тут отсутствуют рекурсивные вызовы функций и связанная с этим работа. И код выглядит проще.

Это решение часто приводится в качестве примера динамического программирования.

def fib(n):
    a = 0
    b = 1
    for __ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

Хорошее:

Быстро работает для малых n, простой код

Плохое:

Всё ещё линейное время выполнения

Злое:

Да особо ничего.

Матричная алгебра

И, наконец, наименее освещаемое, но наиболее правильное решение, грамотно использующее как время, так и память. Его также можно расширить на любую гомогенную линейную последовательность. Идея в использовании матриц. Достаточно просто видеть, что

А обобщение этого говорит о том, что

Два значения для x, полученных нами ранее, из которых одно представляло собою золотое сечение, являются собственными значениями матрицы. Поэтому, ещё одним способом вывода замкнутой формулы является использование матричного уравнения и линейной алгебры.

Так чем же полезна такая формулировка? Тем, что возведение в степень можно произвести за логарифмическое время. Это делается через возведения в квадрат. Суть в том, что

где первое выражение используется для чётных A, второе для нечётных. Осталось только организовать перемножения матриц, и всё готово. Получается следующий код. Я организовал рекурсивную реализацию pow, поскольку её проще понять. Итеративную версию смотрите тут.

def pow(x, n, I, mult):
    """
    Возвращает x в степени n. Предполагает, что I – это единичная матрица, которая 
    перемножается с mult, а n – положительное целое
    """
    if n == 0:
        return I
    elif n == 1:
        return x
    else:
        y = pow(x, n // 2, I, mult)
        y = mult(y, y)
        if n % 2:
            y = mult(x, y)
        return y


def identity_matrix(n):
    """Возвращает единичную матрицу n на n"""
    r = list(range(n))
    return [[1 if i == j else 0 for i in r] for j in r]


def matrix_multiply(A, B):
    BT = list(zip(*B))
    return [[sum(a * b
                 for a, b in zip(row_a, col_b))
            for col_b in BT]
            for row_a in A]


def fib(n):
    F = pow([[1, 1], [1, 0]], n, identity_matrix(2), matrix_multiply)
    return F[0][1]

Хорошее:

Фиксированный объём памяти, логарифмическое время

Плохое:

Код посложнее

Злое:

Приходится работать с матрицами, хотя они не так уж и плохи

Сравнение быстродействия

Сравнивать стоит только вариант динамического программирования и матрицы. Если сравнивать их по количеству знаков в числе n, то получится, что матричное решение линейно, а решение с динамическим программированием – экспоненциально. Практический пример – вычисление fib(10 ** 6), числа, у которого будет больше двухсот тысяч знаков.

n = 10 ** 6

Вычисляем fib_matrix: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 0.24993 секунд.

Вычисляем fib_dynamic: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 11.83377 секунд.


Теоретические замечания

Не напрямую касаясь приведённого выше кода, данное замечание всё-таки имеет определённый интерес. Рассмотрим следующий граф:

Подсчитаем количество путей длины n от A до B. Например, для n = 1 у нас есть один путь, 1. Для n = 2 у нас опять есть один путь, 01. Для n = 3 у нас есть два пути, 001 и 101. Довольно просто можно показать, что количество путей длины n от А до В равно в точности Fn. Записав матрицу смежности для графа, мы получим такую же матрицу, которая была описана выше. Это известный результат из теории графов, что при заданной матрице смежности А, вхождения в Аn — это количество путей длины n в графе (одна из задач, упоминавшихся в фильме «Умница Уилл Хантинг»).

Почему на рёбрах стоят такие обозначения? Оказывается, что при рассмотрении бесконечной последовательности символов на бесконечной в обе стороны последовательности путей на графе, вы получите нечто под названием «подсдвиги конечного типа», представляющее собой тип системы символической динамики. Конкретно этот подсдвиг конечного типа известен, как «сдвиг золотого сечения», и задаётся набором «запрещённых слов» {11}. Иными словами, мы получим бесконечные в обе стороны двоичные последовательности и никакие пары из них не будут смежными. Топологическая энтропия этой динамической системы равна золотому сечению ϕ. Интересно, как это число периодически появляется в разных областях математики.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Определение чисел Фибоначчи

      Последовательностью (числами) Фибоначчи называют возвратную последовательность 2-го порядка, определяемую рекуррентной формулой

xn = xn – 1 + xn – 2 ,       n > 2 (1)

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 1 . (2)

      Другими словами, последовательность Фибоначчи — это такая последовательность, у которой первые два члена равны 1, а каждый член, начиная с третьего члена, равен сумме двух предыдущих членов.

      Таким образом, числа

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55

являются первыми десятью членами последовательности Фибоначчи.

      Замечание. Определения возвратной последовательности, рекуррентной формулы, характеристического уравнения и формулы для общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Возвратные последовательности: рекуррентная формула, характеристическое уравнение» нашего справочника.

Вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи

      Нашей целью является вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи. Чтобы получить эту формулу, будем действовать в соответствии со схемой, изложенной в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена».

  1. Характеристическое уравнение для последовательности (1) имеет вид

    λ2 – λ – 1 = 0 .

    Найдем его корни:

  2. Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид

    где c1 и c2 – произвольные действительные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2так, чтобы для последовательности

    (3)

    выполнялись начальные условия (2). Это означает, что числа c1 и c2должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

  4. Решение этой системы имеет вид:

    Посмотреть, как получено это решение можно, включив эту страницу на стационарном компьютере или планшете.

  5. Подставляя найденные значения произвольных постоянных c1 и c2в формулу (3), получаем искомую формулу общего члена последовательности Фибоначчи:

      Замечание. Число

входящее в формулу общего члена последовательности Фибоначчи, является золотым отношением.

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Последовательность чисел Фибоначчи: формула, таблица, золотое сечение

Числа Фибоначчи – это последовательность чисел, которая начинается с цифр 0 и 1, а каждое последующее значение является суммой двух предыдущих.

Формула последовательности Фибоначчи

Например:

  • F0 = 0
  • F1 = 1
  • F2 = F1+F0 = 1+0  = 1
  • F3 = F2+F1 = 1+1  = 2
  • F4 = F3+F2 = 2+1  = 3
  • F5 = F4+F3 = 3+2  = 5

Золотое сечение

Соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению:

где φ – это золотое сечение = (1 + √5) / 2 ≈ 1,61803399

Чаще всего, это значение округляют до 1,618 (или 1,62). А в округленных процентах пропорция выглядит так: 62% и 38 %.

Таблица последовательности Фибоначчи

n Fn
0 0
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1597
18 2584
19 4181
20 6765

microexcel. ru

C-код (Си-код) функции

double Fibonacci(unsigned int n)
{
    double f_n =n;
    double f_n1=0.0;
    double f_n2=1.0;
 
    if( n > 1 ) {
        for(int k=2; k<=n; k++) {
            f_n  = f_n1 + f_n2;
            f_n2 = f_n1;
            f_n1 = f_n;
        }
    }
    return f_n;
}

Последовательность Фибоначчи в Excel — Информационные технологии

Уроки MS Excel

Работая с таблицами Excel, иногда возникает необходимость в распределении информации из одного столбца по

Уроки MS Excel

Тем людям, которые регулярно работают с таблицами Excel, нужно часто выполнять одни и те

Уроки MS Excel

Нередко пользователям приходится перенести часть информации с документа Microsoft Word в Excel формат, чтобы

Уроки MS Excel

Огромное преимущество электронных таблиц Excel заключается в том, что пользователю доступна работа как с

Уроки MS Excel

Пользователю Excel нередко приходится сталкиваться с тем, чтобы определять, сколько строк содержит таблица. Чтобы

Уроки MS Excel

Excel – одна из лучших программ для аналитика данных. А почти каждому человеку на

Уроки MS Excel

Время от времени при работе с электронными таблицами появляется необходимость изменить положение нескольких рядов

Уроки MS Excel

Excel – удивительная программа, дающая возможность не только числовые данные обрабатывать. С ее помощью

Уроки MS Excel

Сейчас век информации. Количество данных, которые людям приходится обрабатывать каждый день, растет все больше

Уроки MS Excel

Определение процента от числа – довольно частая задача, с которой приходится сталкиваться пользователю Ecxel,

Уроки MS Excel

Excel – невероятно функциональная программа. Она может использоваться и в качестве некого подобия среды

Уроки MS Excel

Excel – невероятно функциональная программа, позволяющая не просто записывать данные в табличном виде, но

Уроки MS Excel

Стандартное обозначение строк в Excel – цифровое. Если же речь идет о столбцах, то

Уроки MS Excel

Набор функций у программы Excel, конечно, поистине огромный. В том числе, можно в определенной

Уроки MS Excel

При работе с Excel могут возникать различные ситуации, такие как сбои в поставках электроэнергии,

Уроки MS Excel

Важно понимать, что Excel – это не только программа для создания баз данных, но

функция рекурсии ряда и генератор последовательности

Ряд чисел Фибоначчи представляет собой последовательность. Первый и второй элементы последовательности равны единице. Каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Рассмотрим разные способы нахождения элементов по номеру и генерацию списка с помощью Python 3.

Введение

Расчет ряда чисел Фибонначчи – один из лучших примеров программ на Python, использующих рекурсию. Хотя наиболее частый пример, рекурсии – это расчет факториала.

Рассмотрим варианты получения ряда Фибоначчи на Python 3:

  • С помощью рекурсии.
  • Используя оператор цикла.

Также сгенерируем список чисел и создадим генератор с помощью которого можно поочередно получать числа.

Цикл

Будем искать с помощью цикла for. В переменных prew и cur будут предыдущий элемент последовательности и текущий, их проинициализируем в 1. Если пользователь запросит первый или второй элемент, то мы так и не попадём внутрь тела цикла. И будет выведена единица из переменной cur.

Если же запросят 3-ий или какой либо последующий элемент последовательности Фибоначчи, то мы зайдем в цикл. Во временную переменную tmp сохраним следующее число последовательности. После этого заполним prew и cur новыми значениям. Когда пройдет нужное количество итераций, выведем значение cur в консоль.

prew = cur = 1
element = input('Введите номер искомого элемента : ')
element = int(element)
for n in range(int(element-2)):
    tmp = prew + cur
    prew = cur
    cur = tmp
print(str(element)+' элемент последовательности равен ' + str(cur))

Введите номер искомого элемента : 6
6 элемент последовательности равен 8

В предыдущем коде нам пришлось воспользоваться переменной tmp. Но можно код внутри цикла переписать следующим образом:

prew, cur = cur, prew + cur

Теперь вместо трех строк кода получилась одна строка! И пропала необходимость использования дополнительной переменной.

В этом примере мы использовали цикл for, но можно эту программу реализовать, немного изменив код, с помощью цикла while.

Рекурсия

В случае с рекурсией напишем функцию, аргументом которой будет требуемое число ряда Фибоначчи. Текущему значению последовательности cur вначале присвоим 1. После этого воспользуемся условным оператором языка Python – if. В нем проверим аргумент функции. Если он больше 2, то функция вызовет саму себя и вычислит предыдущее значение ряда, а так же то, которое было еще раньше и запишет в переменную cur их сумму.

def fibonacci(n):
    cur = 1
    if n > 2:
        cur = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
    return cur

element = input('Введите номер искомого элемента : ')
element = int(element)
value = fibonacci(element)
print(str(element)+' элемент последовательности равен ' + str(value))

Конечно, пример с рекурсией интересен. Но он будет работать гораздо медленнее.

А если вы решите вычислить, допустим 1000-ый элемент последовательности. Используя цикл, мы его очень быстро рассчитаем. А вот в случае с рекурсией получим ошибку превышения максимального количества рекурсий:

RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison

Генератор списка

Если мы захотим инициализировать список рядом Фибоначчи, то это можно сделать следующим образом:

def fibonacci(n):
    a, b = 1, 1
    for i in range(n):
        yield a
        a, b = b, a + b

data = list(fibonacci(10))
print(data)

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]

Здесь fibonacci(10) это генератор объекта ряда размерностью 10. При каждом последующем вызове он будет с помощью yield возвращать очередной элемент. Мы создаём из него список. Затем выводим список в консоль с помощью функции print.

Если нам надо будет поочередно получать числа ряда, а не держать в памяти сразу весь список, то можно поступить следующим образом:

def fibonacci():
    a, b = 1, 1
    while True:
        yield a
        a, b = b, a + b

gen = fibonacci()
for i in range(5):
    print(next(gen))

1
1
2
3
5

Здесь мы создали с помощью Python 3 генератор чисел Фибоначчи. При помощи функции next мы получаем поочередно числа ряда.

Числа Фибоначчи (0,1,1,2,3,5,8,13, …)

Последовательность Фибоначчи — это последовательность чисел, где каждое число является суммой двух предыдущих чисел, за исключением первых двух чисел, равных 0 и 1.

Формула последовательности Фибоначчи

Например:

F 0 = 0

F 1 = 1

F 2 = F 1 + F 0 = 1 + 0 = 1

F 3 = F 2 + F 1 = 1 + 1 = 2

F 4 = F 3 + F 2 = 2 + 1 = 3

F 5 = F 4 + F 3 = 3 + 2 = 5

Конвергенция золотого сечения

Отношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению:

φ — золотое сечение = (1 + √ 5 ) / 2 ≈ 1,61803399

Таблица последовательности Фибоначчи

п F n
0 0
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1597
18 2584
19 4181
20 6765

Калькулятор последовательности Фибоначчи

TBD

C-код функции Фибоначчи

double Fibonacci(unsigned int n)

{

    double f_n =n;

    double f_n1=0. 0;

    double f_n2=1.0;

 

    if( n > 1 ) {

        for(int
k=2; k<=n; k++) {

           
f_n  = f_n1 + f_n2;

           
f_n2 = f_n1;

           
f_n1 = f_n;

        }

    }

 

    return f_n;

}

 

Золотые числа Фибоначчи . ? – Число Бога [Золотое сечение – формула мироздания]

Снова рассмотрим последовательность Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 – и на сей раз посмотрим на отношения последовательных членов этого ряда (вычислять будем до шестого знака после запятой):

1/1 = 1,000000

2/1 = 2,000000

3/2 = 1,500000

5/3 = 1,666666

8/5 = 1,6000001

3/8 = 1,625000

21/13 = 1,615385

34/21 = 1,619048

55/34 = 1,617647

89/55 = 1,6180561

44/89 = 1,617978

233/144 = 1,618056

377/233 = 1,618026

610/377 = 1,618037

987/610 = 1,618033

Узнаете это число? Чем дальше мы продвинемся по последовательности Фибоначчи, тем ближе отношение двух соседних чисел Фибоначчи будет колебаться (то чуть больше, то чуть меньше) вокруг золотого сечения, неуклонно приближаясь к нему. Если обозначить n-ный член последовательности Фибоначчи как Fn, а следующий за ним – как Fn+1, то суть нашего открытия состоит в том, что чем больше n, тем ближе отношение Fn/Fn+1 к числу ?. Это свойство чисел Фибоначчи открыл в 1611 году знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер (а возможно, его опередил неизвестный итальянский математик), однако прошло более ста лет, прежде чем связь между числами Фибоначчи и золотым сечением была доказана, да и то не до конца, шотландским математиком Робертом Симсоном (1687–1768). Кстати, Кеплер, очевидно, открыл последовательность Фибоначчи совершенно самостоятельно, а не из «Книги абака».


Но почему члены последовательности, выведенной из схемы разведения кроликов, подводят нас к соотношению, выведенному из деления отрезка? Чтобы понять эту связь, придется вернуться к поразительной непрерывной дроби, с которой мы познакомились в главе 4. Вспомним, что мы обнаружили, что золотое сечение можно записать в виде:

В принципе, можно вычислить значение ? методом последовательных приближений: прерывая непрерывную дробь все ниже и ниже. Предположим, мы именно так и поступим. Тогда у нас получится целый ряд значений (напомню: 1 к a/b – это все равно, что b/a).

Иными словами, последовательные приближения, при помощи которых мы ищем золотое сечение, в точности равны соотношениям чисел Фибоначчи. Ничего удивительного, что чем дальше мы продвигаемся по последовательности, тем ближе они сходятся к золотому сечению. Это качество прекрасно описано в книге «О росте и форме» знаменитого натуралиста сэра Д’Арси Уэнтворта Томпсона (1860–1948) (Sir DArcy Wentworth Thompson. On Growth and Form). Вот как он пишет о числах Фибоначчи: «Один мой друг, сведущий в математике, пишет мне б этих прославленных, поразительных числах: “Вся романтика непрерывных дробей, линейных рекурретнтых последовательностей… все это есть в них, и они – источник бесконечного интереса; как увлекательно наблюдать, с каким рвением они стремятся достичь недостижимого – например, золотого сечения; а ведь это всего лишь одно из сотен подобных соотношений”». Кстати, сходимость золотого сечения объясняет математический фокус, который я показал вам в главе 4. Если определить последовательность чисел так, что каждый член последовательности (начиная с третьего) равен сумме двух предшествующих, то с каких бы двух чисел вы ни начали, если зайти по последовательности достаточно далеко, отношение двух последовательных членов будет приближаться к золотому сечению.

Числа Фибоначчи, подобно «предмету устремлений» их отношений – золотому сечению, – обладают поистине поразительными свойствами. Перечень математических закономерностей, связанных с числами Фибоначчи, буквально бесконечен. Приведу лишь несколько из них.












Формула последовательности Фибоначчи. Числа Фибоначчи — одни из самых… | от Джулии Фишер

источник: https://pixabay.com

Числа Фибоначчи — одна из самых увлекательных вещей в математике. Они занимают особое место в сердце почти каждого математика. На протяжении всей истории люди проводили множество исследований вокруг этих чисел, и в результате было обнаружено довольно много интересных фактов.

Давайте посмотрим, как они выглядят —

Любое число в этой последовательности является суммой двух предыдущих чисел, и этот шаблон математически записывается как

, где n — положительное целое число больше 1, Fₙ n −ое число Фибоначчи с F₀ = 0 и F₁ = 1.

Теперь это выражение довольно легко понять, и его вполне достаточно, чтобы получить любое число Фибоначчи, подставив необходимое значение n . Если вообще, то его единственный недостаток состоит в том, что если мы хотим узнать конкретное число, Fₙ в последовательности, нам нужны два числа Fₙ₋₁ и Fₙ₋₂, которые стояли перед ним; вот как работает эта формула. Нетрудно представить, что если нам нужно число, которое находится далеко впереди последовательности, нам придется проделать много «обратных» вычислений, что может быть утомительным.

В этой статье мы собираемся обсудить другую формулу для получения любого числа Фибоначчи в последовательности, с которой (возможно) легче работать.

Определим функцию F (x) , чтобы ее можно было разложить в степенной ряд, подобный этому

Здесь мы опустили F₀ , потому что F₀ = 0 по определению.

(Вопросы, касающиеся сходимости и уникальности ряда выходят за рамки статьи)

Наша задача — найти явный вид функции F (x) , такой, чтобы коэффициенты, Fₙ — числа Фибоначчи.

Чтобы использовать эту функцию, сначала необходимо изменить исходную формулу. Если мы сделаем замену

, исходная формула станет

. Легко проверить, что эта модификация по-прежнему дает ту же последовательность чисел, начиная с n = 1, вместо n = 0.

Затем мы умножьте последнее уравнение на xⁿ , чтобы получить

, и выполните суммирование по n , чтобы получить

Давайте сначала рассмотрим левую часть этого уравнения —

Теперь мы попытаемся представить это разложение в терминах F (x) , выполнив следующие простые действия:

  • Умножьте и разделите на x , чтобы получить
  • Сложите и вычтите x ⋅ F₁ , чтобы получить

Используя определение F ( x) , это выражение теперь можно записать как

Следовательно, используя тот факт, что F₁ = 1, мы можем записать всю левую часть как

Теперь рассмотрим правую часть —

Если мы e xpи этих двух членов получаем

Мы снова опустили F₀ , потому что F₀ = 0.

Вычитая множитель x из второго расширения, мы получаем

Используя определение F (x) , это может быть, наконец, записано как

Следовательно, приравняв левую и правую части , исходная формула может быть переписана в терминах F (x) как,

Давайте теперь еще больше упростим это выражение. Знаменатель представляет собой квадратное уравнение, корни которого могут быть легко получены как

(для простого графического метода нахождения корней ознакомьтесь с этой статьей)

Используя эти корни, можно записать знаменатель как

, чтобы можно написать

Мы можем разделить знаменатель и записать это как

Прежде чем мы продолжим, нам нужно понять полезный факт о геометрических рядах.Если у нас есть бесконечная серия

с | ax | <1, то его сумма равна

Это означает, что если сумма бесконечного геометрического ряда конечна, мы всегда можем иметь следующее равенство —

Используя эту идею, мы можем записать выражение F (x ) как

Коэффициент 1 / √5 обусловлен заменой α и β .

Вспоминая исходное определение F (x) , мы можем, наконец, записать следующее равенство

и, сравнивая n −ых членов с обеих сторон, мы получаем хороший результат

с

(число α — тоже очень интересный объект.Это называется золотым сечением, которое заслуживает отдельной статьи.)

Из следующей таблицы видно, что, подставляя значения n , мы можем напрямую найти все числа Фибоначчи!

Эта статья изначально была опубликована по адресу: Physicsgarage.

Как я вычислил 1000000-е число Фибоначчи с помощью Python | Куш | Апрель, 2021

Это очень простой и легкий способ вернуть n-е число Фибоначчи в Python:

Он использует рекурсию для многократного вызова себя несколько раз, вычисляя предыдущее число и используя его для вычисления следующего.Но это также его обратная сторона, поскольку функция крайне неэффективна и ресурсоемка, потому что на каждом этапе она вычисляет предыдущие 2 числа и предыдущие 2 числа из этих чисел и т. Д. вычислить следующее число, например, на моем компьютере мне потребовалось 1,43 секунды , чтобы вычислить 35-е число. Очевидно, что вычисление более высоких значений будет очень медленным и практически невозможным.

Поскольку мы постоянно вычисляем предыдущие 2 числа, мы можем использовать возможности кэширования для хранения числа, поэтому нам больше не нужно их вычислять.Встроенный модуль functools позволяет нам использовать кэш, который использовался не так давно; тип кеша, в котором элементы упорядочиваются в порядке использования. Это может значительно ускорить процесс.

Во-первых, нам нужно импортировать декоратор lru_cache из модуля functools и поместить его перед нашей функцией. Мы можем предоставить значение maxsize , чтобы указать кешу, сколько элементов нужно хранить, но по умолчанию оно равно 128, и это отлично работает. Используя кеш, мы можем вычислить 200-е число Фибоначчи всего за 0.0002252 секунды !

Но одна проблема с использованием рекурсии заключается в том, что если вы попытаетесь вычислить 501-е число, вы получите ошибку как таковую: RecursionError: максимальная глубина рекурсии превышена по сравнению с . Но, к счастью, вы можете обойти эту проблему, установив глубину рекурсии на большее значение:

. Теперь мы можем вычислить тысячное число Фибоначчи, на вычисление которого у меня ушло всего 0,001198 секунд . Однако это создало для меня еще одну проблему, я не мог по какой-то странной причине вычислить 1553-е число в последовательности, и даже после увеличения лимита рекурсии ничего не произошло бы, ничего не было бы распечатано на терминал, и программа просто выйдите.Очевидно, что это проблема и недостаток моего пути вычисления миллионного числа Фибоначчи.

Вы могли заметить, что использование рекурсивного решения проблемы часто рассматривается как злоупотребление служебным положением в информатике, вместо этого итерационные методы считаются гораздо лучшими. Мы также можем создать итеративное решение для генерации чисел Фибоначчи:

Мы можем использовать это для вычисления любого числа Фибоначчи (я не тестировал с очень большими числами), и это часто также очень быстро, всего лишь 0.0028195 секунд для вычисления 10 000-го числа. Вам может быть интересно, почему мы не можем использовать это для вычисления 1000000-го числа, и мы можем, но это займет немного времени. Продолжайте читать, и я объясню это.

Формула Бине — это формула, которую можно использовать для вычисления n-го члена последовательности Фибоначчи, что мы и хотим сделать, и названа в честь того, что она была получена французским математиком Жаком Филиппом Мари Бине. Формула показана ниже:

Рядов Фибоначчи в Python | Программа Python для печати последовательности Фибоначчи

По математике: ряды Фибоначчи в последовательности чисел, каждое из которых представляет собой сумму предыдущих чисел.Серия начинается с 0 и 1. В ходе этого блога мы узнаем, как создать ряд Фибоначчи в Python, используя цикл, рекурсию и динамическое программирование.

Хотя в Интернете доступно множество ресурсов, которые помогут вам разобраться в предмете, нет ничего лучше сертификата. Ознакомьтесь с программой Great Learning PG в области науки о данных и бизнес-аналитики , чтобы повысить квалификацию в этой области. Этот курс поможет вам научиться в одной из ведущих мировых школ, чтобы развить готовые к работе навыки Data Science.Эта 6-месячная программа предлагает практический опыт обучения с лучшими преподавателями и наставниками. По завершении вы получите сертификат Техасского университета в Остине.

  1. Что такое серия Фибоначчи
  2. Логика серии Фибоначчи
  3. Формула серии Фибоначчи
  4. Спираль Фибоначчи
  5. Серия Фибоначчи алгоритм серии Фибоначчи
  6. 0 Ряд Фибоначчи с использованием цикла
    b.Ряд Фибоначчи с использованием рекурсии
    c. Ряд Фибоначчи с использованием динамического программирования

Леонардо Пизано Боголло был итальянским математиком из Пизанской Республики и считался самым талантливым западным математиком средневековья. Он жил между 1170 и 1250 годами в Италии. «Фибоначчи» было его прозвищем, что примерно означает «сын Боначчи». Фибоначчи был не первым, кто узнал о последовательности, она была известна в Индии за сотни лет до этого!

Что такое ряд Фибоначчи?

Ряд Фибоначчи — это набор чисел, где каждое число является результатом сложения двух предыдущих последовательных чисел .Первые 2 числа начинаются с 0 и 1. Третье число в последовательности: 0 + 1 = 1. 4-е число — это сложение 2-го и 3-го числа, т.е. 1 + 1 = 2 и так далее.
Последовательность Фибоначчи — это последовательность чисел:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…

Логика ряда Фибоначчи

Следующее число представляет собой сумму двух чисел перед ним.
Третий элемент равен (1 + 0) = 1
Четвертый элемент равен (1 + 1) = 2
Пятый элемент равен (2 + 1) = 3

Формула ряда Фибоначчи

Следовательно, формула для вычисления ряда выглядит следующим образом:
x n = x n-1 + x n-2 ; где
x n — термин номер «n»
x n-1 — предыдущий член (n-1)
x n-2 — термин перед этим

Спираль Фибоначчи

Интересным свойством этих чисел является то, что когда мы строим квадраты с такой шириной, мы получаем спираль.Спираль Фибоначчи представляет собой узор из четвертей окружностей, соединенных внутри блока квадратов с числами Фибоначчи , записанными в каждом из блоков. Число, написанное в большом квадрате, представляет собой сумму следующих двух меньших квадратов. Это идеальная компоновка, в которой каждый блок имеет более высокий номер, чем предыдущие два блока. Основная идея была получена из логарифмического паттерна, который также выглядит похожим. Эти числа также связаны с золотым сечением.

Серия Фибоначчи

Узнайте, как определить, является ли строка палиндромом в Python

Алгоритм серии Фибоначчи

Итерационный подход

  • Инициализировать переменные a, b значением 1
  • Инициализировать цикл for в диапазоне [1, n) # n, исключая
  • Вычислить следующее число в серии; total = a + b
  • Сохранить предыдущее значение в b
  • Сохранить итоговое значение в

Рекурсивный подход

  • Если n равно 1 или 0; return 1
  • Else return fib (n-1) + fib (n-2)

Подход динамического программирования

  • Инициализировать массив arr размера n нулями
  • Если n равно 0 или 1; return 1 Else
  • Инициализировать arr [0] и arr [1] в 1
  • Выполнить цикл в диапазоне [2, num]
  • Вычислить значение arr [I] = arr [I-1] + arr [I- 2]
  • В массиве есть последовательность, вычисленная до n

Следовательно, решением было бы вычислить значение один раз и сохранить его в массиве, откуда к нему можно будет получить доступ в следующий раз, когда значение потребуется .Поэтому в таких случаях мы используем динамическое программирование. Условия для реализации динамического программирования:
1. перекрывающиеся подзадачи
2. оптимальная подструктура

Итерационный подход

def fib_iter (n):
    а = 1
    b = 1
    если n == 1:
        печать ('0')
    elif n == 2:
        печать ('0', '1')
    еще:
        print ("Итерационный подход:", end = '')
        print ('0', a, b, конец = '')
        для i в диапазоне (n-3):
            итого = a + b
            б = а
            а = всего
            печать (всего, конец = '')
        Распечатать()
        вернуть б
        
fib_iter (5)

 

ПРОВЕРЬТЕ КОД

Выход: итерационный подход: 0 1 1 2 3

Рекурсивный подход

def fib_rec (n):
    если n == 1:
        возврат [0]
    elif n == 2:
        return [0,1]
    еще:
        х = fib_rec (n-1)
        # новый элемент сумма двух последних элементов
        Икс.добавить (сумма (x [: - 3: -1]))
        вернуть х
х = fib_rec (5)
печать (х)

 

ПРОВЕРЬТЕ КОД

Выход — 0, 1, 1, 2, 3

Подход динамического программирования

Есть небольшая модификация итеративного подхода. Используем дополнительный массив.

def fib_dp (число):
    arr = [0,1]
    print ("Подход к динамическому программированию:", end = '')
    если num == 1:
        печать ('0')
    elif num == 2:
        print ('[0,', '1]')
    еще:
        в то время как (len (arr) 

ПРОВЕРЬТЕ КОД

Выходные данные - 0, 1, 1, 2, 3

Если вы нашли этот блог полезным, узнайте об искусственном интеллекте и продвижении вперед в своей карьере. Учитесь у лучших в отрасли, а также получите доступ к сессиям наставничества и помощи в карьере.

Дополнительная литература

  1. Факториал числа в Python
  2. Палиндром в Python
  3. Преобразование списка в строку в Python
  4. Функция Eval в Python

7

Калькулятор последовательности Фибоначчи - Дюймовый калькулятор

Вычислите n-й член в последовательности Фибоначчи, введя индекс n , который вы хотите найти.

Что такое последовательность Фибоначчи?

Последовательность Фибоначчи - это последовательность чисел, каждое из которых равно сумме двух предыдущих чисел в последовательности.Каждый номер в последовательности обозначается как F n , где n - индекс номера в последовательности.

Последовательность Фибоначчи начинается с F 0 и F 1 , равных 0 и 1 соответственно.

Последовательность Фибоначчи часто представляется в виде спирали, которая образуется при создании квадратов шириной каждого числа в последовательности.

Как рассчитать член в последовательности Фибоначчи

Поскольку каждый член в последовательности Фибоначчи равен сумме двух предыдущих членов, для решения любого члена необходимо знать два предыдущих члена.

Формула для решения N-го члена Фибоначчи

Уравнение, которое необходимо решить для любого члена в последовательности:

F n = F n-1 + F n-2

Таким образом, член Фибоначчи в n-й позиции равен члену в n-й минус 1 позиции плюс член в n-й минус 2 позиции.

Формула Бине

Названная в честь французского математика Жака Филиппа Мари Бине, формула Бине определяет уравнение для вычисления n-го члена в последовательности Фибоначчи без использования рекурсивной формулы, показанной выше.

Основываясь на золотом сечении, формулу Бине можно представить в следующем виде:

F n = 1√5 ((1 + √52) n - (1 - √52) n )

Таким образом, формула Бине утверждает, что n-й член в последовательности Фибоначчи равен 1, деленному на квадратный корень из 5, умноженный на 1 плюс квадратный корень из 5, деленный на 2 в n-й степени, минус 1 минус квадратный корень из 5 деленных на 2 в энной степени.

В приведенной выше формуле Бине используется золотое сечение 1 + √52, которое также можно представить как φ.

Первые 100 чисел в последовательности Фибоначчи

В таблице ниже показаны первые 100 чисел в последовательности Фибоначчи.

90 488 46 368 90 489

90 488 196 418 90 489

90 488 317 811 90 489

90 488 514 229 90 489

Первые 100 чисел в последовательности Фибоначчи.
n Число Фибоначчи
0 0
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1 597 90 489
18 2,584
19 4 181 90 489
20 6,765
21 10 946 90 489
22 17 711 90 489
23 28 657 90 489
24
25 75 025 90 489
26 121 393 90 489
27
28
29
30 832 040
31 1 346 269 90 489
32 2 178 309 90 489
33 3 524 578 90 489
34 5,702,887
35 9 227 465 90 489
36 14 930 352 90 489
37 24 157 817 90 489
38 39 088 169 90 489
39 63 245 986 90 489
40 102,334,155
41 165 580 141
42 267 914 296 90 489
43 433 494 437 90 489
44 701 408 733 90 489
45 1,134 903 170
46 1,836,311,903
47 2 971 215 073 90 489
48 4 807 526 976 90 489
49 7,778,742,049
50 12 586 269 025 90 489
51 20,365,011,074
52 32,951,280,099
53 53 316 291 173 90 489
54 86,267,571,272
55 139 583 862 445 90 489
56 225 851 433 717 90 489
57 365 435 296 162 90 489
58 591 286 729 879
59 956,722,026,041
60 1,548,008,755,920
61 2 504 730 781 961
62 4 052 739 537 881
63 6,557,470,319,842
64 10 610 209 857 723
65 17,167,680,177,565
66 27,777,890,035,288
67 44 945 570 212 853
68 72,723,460,248,141
69 117,669,030,460,994
70 190 392 490 709 135 90 489
71 308,061,521,170,129
72 498,454,011,879,264
73 806 515 533 049 393
74 1,304,969,544,928,657
75 2,111,485,077,978,050
76 3 416 454 622 906 707 90 489
77 5 527 939 700 884 757 90 489
78 8,944,394,323,791,464
79 14 472 334 024 676 221
80 23 416 728 348 467 685
81 37 889 062 373 143 906
82 61 305 790 721 611 591
83 99,194,853,094,755,497
84 160,500,643,816,367,088
85 259,695,496,911,122,585
86 420,196,140,727,489,673
87 679 891 637 638 612 258
88 1,100,087,778,366,101,931
89 1,779,979,416,004,714,189
90 2,880,067,194,370,816,120
91 4,660,046,610,375,530,309
92 7,540,113,804,746,346,429
93 12 200 160 415 121 876 738 90 489
94 19,740,274,219,868,223,167
95 31 940 434 634 990 099 905
96 51 680 708 854 858 323 072
97 83 621 143 489 848 422 977
98 135,301,852,344,706,746,049
99 218 922 995 834 555 169 026
100 354,224,848,179,261,915,075

Числа Фибоначчи (последовательность)

1

,

1

,

2

,

3

,

5

,

8

,

13

,

21 год

,

34

,

55

,

89

,

144

,

233

,

377

,

...

Числа Фибоначчи (Первый

14

перечислены выше) являются

последовательность

чисел, рекурсивно определяемых формулой

F

0

знак равно

1

F

1

знак равно

1

F

п

знак равно

F

п

-

2

+

F

п

-

1

где

п

2

.

Каждый

член последовательности

после первых двух - сумма двух предыдущих членов.

1

+

1

знак равно

2

,

1

+

2

знак равно

3

,

2

+

3

знак равно

5

,

3

+

5

знак равно

8

,

5

+

8

знак равно

13

и так далее

Эта последовательность чисел была впервые создана Леонардо Фибоначчи в

1202

.Это обманчиво простая серия с почти безграничными приложениями. Математики были очарованы им почти

800

годы. Бесчисленные математики добавили кусочки к информации о последовательности и о том, как она работает. Это происходит в природе в виде спиралей из листьев и семян. Он играет значительную роль в искусстве и архитектуре.

Когда вы находите соотношение последовательных чисел в последовательности Фибоначчи и делите каждое на предыдущее, вы обнаруживаете, что значение становится все ближе и ближе к

1.61538 ...

, что является близким приближением

Золотое сечение

, точное значение которого

1

+

5

2

. Золотое сечение - это отношение длины к ширине

Золотой прямоугольник

. Обе эти увлекательные темы требуют дальнейшего изучения с вашей стороны.

python - Эффективный расчет ряда Фибоначчи

Да. Примитивное рекурсивное решение занимает много времени.Причина этого в том, что для каждого вычисленного числа необходимо более одного раза вычислить все предыдущие числа. Взгляните на следующее изображение.

Он представляет собой вычисление Фибоначчи (5) с вашей функцией. Как видите, он вычисляет значение Фибоначчи (2) три раза и значение Фибоначчи (1) пять раз. Чем выше число, которое вы хотите вычислить, тем хуже и хуже.

Что делает его даже на хуже, так это то, что с каждым числом Фибоначчи, которое вы вычисляете в своем списке, вы не используете предыдущие числа, которые вам известны, для ускорения вычислений - вы вычисляете каждое число «с нуля».«

Есть несколько способов сделать это быстрее:


Самый простой способ - просто создать список чисел Фибоначчи до нужного вам числа. Если вы сделаете это, вы будете строить «снизу вверх» или, так сказать, и сможете повторно использовать предыдущие числа для создания следующего. Если у вас есть список чисел Фибоначчи [0, 1, 1, 2, 3] , вы можете использовать последние два числа в этом списке для создания следующего числа.

Этот подход будет выглядеть примерно так:

  >>> def fib_to (n):
... fibs = [0, 1]
... для i в диапазоне (2, n + 1):
... fibs.append (fibs [-1] + fibs [-2])
... вернуть выдумки
...
  

Затем вы можете получить первые 20 чисел Фибоначчи, выполнив

  >>> fib_to (20)
[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765]
  

Или вы можете получить 17-е число Фибоначчи из списка первых 40, выполнив

  >>> fib_to (40) [17]
1597
  

Существует еще одна альтернатива для ускорения работы, но она тоже немного сложнее.Поскольку ваша проблема заключается в том, что вы повторно вычисляете значения, которые вы уже вычислили, вы можете вместо этого сохранить значения, которые вы уже вычислили в dict, и попытаться получить их из этого, прежде чем вы их пересчитываете. Это называется мемоизацией . Это может выглядеть примерно так:

  >>> def fib (n, computed = {0: 0, 1: 1}):
... если n не вычислено:
... вычислено [n] = fib (n-1, вычислено) + fib (n-2, вычислено)
... вернуть вычисленное [n]
  

Это позволяет быстро вычислить большие числа Фибоначчи:

  >>> fib (400)
176023680645013966468226945392411250770384383304492191886725992896575345044216019675
  

Это настолько распространенный метод, что Python 3 включает декоратор, который сделает это за вас.Представляю вам, автоматическая запоминание!

  import functools

@ functools.lru_cache (Нет)
def fib (n):
    если n <2:
        вернуть n
    вернуть fib (n-1) + fib (n-2)
  

Это почти то же самое, что и предыдущая функция, но со всем вычисленным материалом , обрабатываемым декоратором lru_cache .


Третий метод, предложенный Митчем, - это просто подсчет без сохранения промежуточных значений в списке. Вы можете представить, что делаете

  >>> def fib (n):
... а, Ь = 0, 1
... для _ в диапазоне (n):
... а, Ь = Ь, а + Ь
... вернуть
  

Я не рекомендую эти два последних метода, если ваша цель - создать список чисел Фибоначчи. fib_to (100) будет намного на быстрее, чем [fib (n) for n in range (101)] , потому что с последним вы по-прежнему сталкиваетесь с проблемой вычисления каждого числа в списке с нуля .

Последовательность Фибоначчи | Блестящая вики по математике и науке

Подобно каталонским числам, числа Фибоначчи учитывают многие типы комбинаторных объектов.Вот четыре примера.

(1) Fn F_n Fn - количество композиций n − 1 n-1 n − 1, состоящих из 1 11 и 2 22. (Состав n − 1n-1n − 1 - это выражение n − 1 n-1n − 1 как суммы частей, где порядок частей имеет значение.) Например,

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 2 + 2 = 2 + 1 + 2 = 2 + 2 + 1,
\ begin {выровнено}
5 & ​​= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \\ & = 1 + 1 + 1 + 2 \\ & = 1 + 1 + 2 + 1 \\ & = 1 + 2 + 1 + 1 \\ & = 2 + 1 + 1 + 1 \\ & = 1 + 2 + 2 \\ & = 2 + 1 + 2 \\ & = 2 + 2 + 1,
\ end {выровнен}
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 1 = 1 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 2 + 2 = 2 + 1 + 2 = 2 + 2 + 1,

, поэтому F6 = 8.F_6 = 8. F6 = 8.

(2) Fn F_n Fn - количество способов выложить доску размером 2 × (n − 1) 2 \ times (n-1) 2 × (n − 1) плиткой 1 × 2 1 \ times 21 × 2 домино .

(3) Fn F_n Fn - количество двоичных последовательностей длины n − 2 n-2n − 2 без последовательных 0 00.

(4) Fn F_n Fn - количество подмножеств {1,2,…, n − 2} \ {1,2, \ ldots, n-2 \} {1,2,…, n − 2} которые не содержат пары последовательных чисел.

Чтобы увидеть, что числа Фибоначчи подсчитывают эти объекты, пусть количество объектов равно Gn G_n Gn и покажет, что Gn = Gn − 1 + Gn − 2 G_n = G_ {n-1} + G_ {n-2} Gn = Gn − 1 + Gn − 2.Затем убедитесь, что F1 = G1 F_1 = G_1F1 = G1 и F2 = G2 F_2 = G_2 F2 = G2, и доказательство завершено.

Например, чтобы доказать (4), начните с G1 = 1, G2 = 1, G3 = 2, G4 = 3 G_1 = 1, G_2 = 1, G_3 = 2, G_4 = 3 G1 = 1, G2 = 1, G3 = 2, G4 = 3, и тогда предположим, что SSS является подмножеством {1,2,…, n − 2} \ {1,2, \ ldots, n-2 \} {1,2, …, N − 2} без каких-либо последовательных номеров в нем. Существует Gn − 1 G_ {n-1} Gn − 1 таких множеств S SS, которые не содержат n − 2 n-2 n − 2. Если SSS содержит n − 2 n-2n − 2, то он не содержит n − 3 n-3n − 3, поэтому SSS получается путем взятия подмножества {1,2,…, n − 4} \ {1 , 2, \ ldots, n-4 \} {1,2,…, n − 4} и добавление n − 2 n-2n − 2.Итак, существует Gn − 2 G_ {n-2} Gn − 2 таких множеств S SS. Это доказывает, что Gn = Gn − 1 + Gn − 2, G_n = G_ {n-1} + G_ {n-2}, Gn = Gn − 1 + Gn − 2, что и требовалось.

Отправьте свой ответ

Состав n n n - это выражение n n n как суммы необязательно различных положительных целых чисел, где порядок имеет значение.Обратите внимание, что n = n n = n n = n считается составом n n n.

Пусть Cn C_n Cn будет количеством композиций из n n n без части, равной 1.

Например, C6 = 5 C_6 = 5 C6 = 5, потому что 6 = 6 = 4 + 2 = 3 + 3 = 2 + 4 = 2 + 2 + 2. 6 = 6 = 4 + 2 = 3 + 3 = 2 + 4 = 2 + 2 + 2,6 = 6 = 4 + 2 = 3 + 3 = 2 + 4 = 2 + 2 + 2.

Найдите C15 C_ {15} C15.

Отправьте свой ответ

Клоун может подняться по лестнице по одной или по двум ступенькам.\ text {th}, 10-е, он поднялся по всей лестнице; то есть последняя ступенька - второй этаж.

  • Порядок, в котором он поднимается по лестнице, имеет значение!

  • Бонус: Обобщите.

    Отправьте свой ответ

    Числа Фибоначчи даются

    • F (0) = 0F (0) = 0F (0) = 0
    • F (1) = 1F (1) = 1F (1) = 1
    • F (n) = F (n - 1) + F (n - 2).F (n) = F (n-1) + F (n-2). F (n) = F (n-1) + F (n-2).

    Итак, первые несколько: 0,1,1,2,3,5,8,13.0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.0,1,1,2,3,5,8, 13.

    Если мы обобщим это на отрицательные числа, что будет F (−8)? F (-8)? F (−8)?

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *