Подобие треугольников по 3 углам: Признаки подобия треугольников — урок. Геометрия, 8 класс.

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Подобные треугольники

      Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Рис.1

      Обозначим

a1 ,   b1 ,   c1

длины сторон треугольника   KLM,   расположенные в порядке возрастания.

      Обозначим

a2 ,   b2 ,   c2

длины сторон треугольника   TRP,   расположенные в порядке возрастания.

      Переобозначим вершины треугольников   KLM   и   TRP   так, как показано на рисунке 2.

Рис.2

      На рисунке 2 треугольник   KLM   обозначается как треугольник   A1B1C1,   а треугольник   TRP   обозначается как треугольник   A2B2C2.

      Определение 1. В треугольниках   A1B1C1   и   A2B2C2,   изображённых на рисунке 2,

  • вершины   A1   и   A2,   B1   и   B2,   C1   и   C2   называют сходственными вершинами,
  • стороны   A1B1   и   A2B2,   A1C1   и   A2C2,   B1C1   и   B2C2   называют сходственными сторонами,
  • углы   A1   и   A2,   B1   и   B2,   C1   и   C2   называют сходственными углами

      Определение 2. Треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   называют подобными треугольниками, если их сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

      Другими словами, треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   подобны, если, во-первых,

а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства:

a1 = k a2 ,   b1 = k b2 ,   c1 = k c2 . (1)

      Определение 3. В случае, когда треугольники   A1B1C1   и   A2B2C2   подобны, число k, заданное формулами (1), называют коэффициентом подобия треугольников   A1B1C1   и   A2B2C2 .

Признаки подобия треугольников

Название признака Рисунок Формулировка признака

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Формулировка признака подобия:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Формулировка признака подобия:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Формулировка признака подобия:

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Название признака Рисунок Формулировка признака

Признак подобияпрямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по двум катетам

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по острому углу

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Формулировка признака подобия прямоугольных треугольников:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

      Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Рис.3

      Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Рис.4

     

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Третий признак подобия треугольников | Треугольники

Теорема

(Третий признак подобия треугольников — подобие треугольников по трём сторонам).

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔABC, ΔA1B1C1,

   

Доказать: ΔABC∼ ΔA1B1C1

Доказательство:

1) Отложим на луче A1B1 отрезок A1B2, A1B2=AB.

2) Через точку B2 проведём прямую B2С2, параллельную прямой B1C1.

3) В треугольниках A1B2C2 и A1B1C1:

Поэтому  ΔA1B2C2∼ΔA1B1C1 (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   

4) Поскольку A1B2=AB, то

   

Так как по условию

   

то A1C2=AC и B2C2=BC.

5) В треугольниках ABC и A1B2C2:

  • A1B2=AB (по построению)
  • B2C2=BC (по доказанному)
  • A1C2=AC (по доказанному).

Значит, ΔABC=ΔA1B2C2 (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

  • ∠A=∠A1
  • ∠ABC=∠A1B2C2.

6) В треугольниках ABC и A1B1C1:

  • ∠A=∠A1 (по условию)
  • Так как ∠A1B2C2=∠A1B1C1, то и ∠ABC=∠A1B1C1.

Отсюда ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по двум углам).

Что и требовалось доказать.

3-й признак подобия треугольников используется реже 1-го.

Признаки подобия треугольников [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие
треугольники подобны.

Доказательство. Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ — треугольники, у которых $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , и, следовательно, $\angle C = \angle C_1$ . Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).

Рис.1

Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1\text{ и }А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению, $\angle В = \angle В_1$ по условию и $\angle А_1 = \angle А_2$ , так как $\angle А_1 = \angle А$ по условию и $\angle А = \angle А_2$ как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , и значит, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.

По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами
равны, то треугольники подобны.

Теорема 3. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Из теоремы 1 вытекает следующее.

Следствие 1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, т. е. тем высотам, которые опущены на сходственные стороны.



Пример 1. Подобны ли два равносторонних треугольника?

Решение. Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° (следствие 3), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.


Пример 2. В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно, что $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.

Решение. Треугольники, определенные условием задачи, подобны по первому признаку подобия.
Из подобия треугольников следует:
$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \,\,\, (1) $$
Подставив в равенство (1) данные из условия задачи, получим:
$$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} = \frac{AC}{8} \,\,\, (2) $$
Из равенства (2) составим две пропорции
$$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1}
\\ \frac{5}{10} = \frac{AC}{8}
\\ \text{ откуда }В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м).
$$


Пример 3. Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Рис.2

Из условия задачи:
$$ 1) \angle B = \angle B_1 ;
\\ 2) \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = 2,5
\\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 м.
$$
Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует
$$ \frac{AC}{A_1C_1} = 2,5\text{ , или }АС = 2,5\bullet А_1С_1 $$
Так как АС = 2,5 • А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 • А1С1 + A1C1 = 4,2, откуда A1C1 = 1,2 (м), АС = 3 (м).


Пример 4. Подобны ли треугольники ABC и А1В1С1, если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 7,5 см, A1C1 = 10,5 см?

Решение. Имеем:
$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4,5} = \frac{1}{1,5}
\\ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{7,5} = \frac{1}{1,5}
\\ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{7}{10,5} = \frac{1}{1,5}
$$
Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.


Пример 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1\text{ и }ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).

Рис.3

Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $\angle 1 = \angle2 \text{ и } \angle 3 = \angle 4 $. Следовательно, треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
$$ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} $$

Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан $BB_1\text{ и }CC_1} делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Замечание. Ранее отмечалось, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается, что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются замечательными точками треугольника.


Пример 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными.

Видео-решение.



Три признака подобия треугольников

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С ∠A = ∠А’ ∠В = ∠B’ (в подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами).

Доказать, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С (рис. 367).

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. ∠C = ∠С’.

Отложим от вершины В, например, на стороне AB треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили \(\Delta\)MBN, который подобен \(\Delta\)ABC. Но \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, так как ∠В = ∠В’ по условию теоремы; сторона MB = A’B’ по построению; ∠BMN = ∠A’ (∠BMN и ∠А’ порознь равны одному и тому же ∠А).

Если \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)AВС, то \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABC. Эта теорема выражает 1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если она имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\) и ∠В = ∠В’

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’ (рис. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А’В’. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. В этих треугольниках ∠В = ∠В’ по условию теоремы, MB = А’В’ по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В’С, составим пропорцию AB/MB = BC/BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\). В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,

т. е. В’С’ = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А’В’С’.

Так как \(\Delta\)MBN \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’, то, следовательно, и \(\Delta\)А’В’С’ \(\sim\) \(\Delta\)ABС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А’В’С’ \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’}\) (рис. 369).

Требуется доказать, что \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’

Для доказательства отложим на стороне AB треугольника ABC от вершины В отрезок BM = А’В’. Из точки M проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Следовательно, \(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN} = \frac{AC}{MN}\).

Докажем, что \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’. Для доказательства сравним две пропорции

\(\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{NB}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}\).
В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены, т.е. BN = В’С’.

Сравним ещё две пропорции: \(\frac{AB}{MB} = \frac{AC}{MN}\) и \(\frac{AB}{A’B’} = \frac{AC}{A’C’}\) . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. MN =А’С’.

Оказалось, что три стороны \(\Delta\)BMN равны трём сторонам \(\Delta\)А’В’С’, а именно:

MB = А’В’, BN = В’С’ и MN = А’С’.

Следовательно, \(\Delta\)MBN = \(\Delta\)А’В’С’, а \(\Delta\)ABC \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Эта теорема выражает 3-й признак подобия треугольников.

Доказательство признаков подобия треугольников

Доказательство первого признака подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников утверждает, что если у треугольников две стороны соответственно пропорциональны, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых DE = kAB, EF = kBC и ∠B = ∠E.

Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что DF = kAC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам.

Найдем стороны AC и DF по теореме косинусов (квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон, умноженному на косинус угла между ними):

AC2 = AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos B
DF2 = DE2 + EF2 – 2 · DE · EF · cos E

Так как ∠B = ∠E и AB = kDE, BC = kEF, то мы можем выразить квадрат стороны DF через угол и стороны треугольника ABC:

DF2 = (kAB)2 + (kBC)2 – 2 · kAB · kBC · cos B

Вынесем k2 за скобку:

DF2 = k2(AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos B)

Выражение в скобках равно ранее выраженному через теорему косинусов квадрату стороны AC. Поэтому можно записать так:

DF2 = k2AC2

Отсюда получаем, что DF = kAC, что и требовалось доказать. Таким образом, если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами каждого треугольника равны, то оказываются соответственно пропорциональными и третьи их стороны, а, следовательно, такие треугольника подобны.

Доказательство второго признака подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников определяет подобие по наличию двух соответственно равных углов.

Пусть даны треугольники ABC и DEF, у которых ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.

Если эти треугольники подобны, то их стороны будут пропорциональны друг другу, т. е. будут соблюдаться равенства AB = kDE, BC = kEF, AB = kDF.

Если в одном треугольнике два угла соответственно равны двум углам в другом треугольнике, то равными будут и третьи углы этих треугольников, т. к. сумма углов любого треугольника равна 180°.

Как известно, у подобных треугольников углы соответственно равны. Т. е. если треугольники подобны, то их углы соответственно равны. Однако нельзя однозначно утверждать обратное: если углы соответственно равны, то треугольники подобны. Ведь можно предположить, что существую треугольники с соответственно равными углами, но у которых стороны не пропорциональны, а значит, такие треугольники не являются подобными.

Согласно теореме синусов, сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.

Если диаметр описанной около треугольника ABC окружности равен d, то мы можем выразить стороны этого треугольника так:

AB = d sin C, BC = d sin A, AC = d sin B

Если диаметр описанной около треугольника DEF окружности равен d1, то получим:

DE = d1 sin F, EF = d1 sin D, DF = d1 sin E

Так как углы A, B и C соответственно равны углам D, E и F, то мы можем заменить одни на другие. Сделаем это для сторон треугольника DEF:

DE = d1 sin C, EF = d1 sin A, DF = d1 sin B

Найдем отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого:

AB/DE = (d sin С) / (d1 sin С) = d/d1
BC/EF = (d sin A) / (d1 sin A) = d/d1
AC/DF = (d sin B) / (d1 sin B) = d/d1

То есть все три отношения равны одному и тому же значению (d/d1), а значит, равны между собой; т. е.

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Таким образом, стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Значит, треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Нередко выделяют третий признак подобия треугольников: если все стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого, то такие треугольники подобны. Однако само определение подобных треугольников нередко ограничивается именно этим признаком, а равенство углов подобных треугольников доказывается в виде теоремы (Углы подобных треугольников).

Признаки подобных треугольников | Треугольники

Признаки подобия треугольников позволяют доказать, что треугольники являются подобными, на основании 2-3 равенств (вместо 6 по определению).

В школьном курсе геометрии, как правило, изучают три признака подобия произвольных треугольников.

1-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   

2-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны.

   

3-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по трём сторонам)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   

   

Есть еще 4-й признак подобия треугольников —

( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.

Доказав, что треугольники подобны, можно использовать свойства подобных треугольников.

Для доказательства подобия прямоугольных треугольников используют другие признаки. Их мы запишем в следующий раз.

Подобие правильных и подобие равнобедренных треугольников рассмотрим позже.

Признаки подобия треугольников широко используются при решении задач как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии. Например, на основании подобия прямоугольных треугольников доказывается свойство биссектрисы треугольника.

Признаки подобия треугольников

Напомним для начала определение подобных треугольников.

Определение 1

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.

Первый признак подобия треугольников

Теорема 1

Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$. (рис. 1).

Помощь со студенческой работой на тему

Признаки подобия треугольников

Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

Нам нужно доказать, что $\angle C=\angle C_1,$ и что $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$.

По теореме о сумме углов треугольника, имеем:

Далее будем пользоваться следующей теоремой:

Теорема 2

Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

По теореме 0, получим

Из этих равенств, получим

Теорема доказана.

Второй признак подобия треугольников

Теорема 3

Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1$ и$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$ (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Используя теорему 1, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle C=\angle C_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 2).

Рисунок 3. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}$. По условию $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, следовательно, $AB=AB_2$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $\angle B_2CA=\angle C$, а так как $\angle B_2CA=\angle C_1,\ то\ \angle C=\angle C_1.$

По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.

Третий признак подобия треугольников

Теорема 4

Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$.

Используя теорему 2, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle A=\angle A_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 3).

Рисунок 4. Дополнительное построение

Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac{AC}{A_1C_1}$ $=\frac{AB_2}{A_1B_1}=\frac{CB_2}{C_1B_1}$. Принимая во внимание равенства$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, получим, что $CB_2=CB,\ AB_2=AB$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по трем сторонам. Следовательно, $\angle A=\angle A_1$.

Теорема доказана.

Пример задачи на использование признаков подобия

Пример 1

Доказать, что любые два равнобедренных треугольника, у которых углы между равными сторонами равны, являются подобными.

Решение.

Пусть даны равнобедренные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с $\angle A=\angle A_1.$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

\[\angle B=\angle C=\frac{180-\angle A}{2}\]

Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный, то

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac{180-A_1}{2}=\frac{180-\angle A}{2}=\angle B=\angle C\]

То есть $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. По теореме 1, получаем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

ч. т. д.

одинаковых треугольников в кругах и прямоугольных треугольниках — концепция

Два треугольника в окружности подобны, если две пары углов имеют одну и ту же пересеченную дугу. Совместное использование перехваченной дуги означает, что вписанные углы совпадают. Поскольку эти углы совпадают, треугольники подобны сочетанию AA. Если в прямоугольном треугольнике высота рисуется из прямого угла, образуются три одинаковых треугольника, также из-за сочетания клавиш AA.

Если вы видите проблему, которая выглядит примерно так, вопрос в том, есть ли у нас похожие треугольники.Что ж, давайте вернемся к тому, что мы знаем о вписанных углах в круг.
Если я выберу здесь один из этих углов и хорошо посмотрю на конечные точки, это будет одна конечная точка прямо здесь и одна конечная точка прямо здесь. Перехваченная дуга простирается от одной точки до другой. Теперь есть еще один угол с точно такими же конечными точками. Таким образом, если эти двое имеют одну и ту же перехваченную дугу, то они должны быть совпадающими. То же самое можно сказать и об этих углах здесь. У них такая же перехваченная дуга.И, наконец, у нас есть вертикальные углы, а это значит, что эти два тоже должны совпадать. Итак, у нас есть угол, угол, угол как конгруэнтный между этими двумя треугольниками. Значит, они должны быть похожи. Итак, если вы видите подобную проблему и пытаетесь найти некоторые длины сторон, вы знаете, что у вас есть похожие треугольники, поэтому вы можете настроить пропорции.
Рассмотрим еще один частный случай. И это если у меня есть прямоугольный треугольник, и если под этим прямым углом, если я сброшу высоту на другую сторону.Я собираюсь создать определенное количество подобных треугольников. Я собираюсь перерисовать два треугольника, которые я создал внизу. Итак, я создал один треугольник и левую сторону от этой высоты, а на правой стороне я создал еще один меньший треугольник.
Итак, если я смотрю на этот большой треугольник и считаю, что это треугольник номер 1, это треугольник номер 2, а это треугольник номер 3, я вижу, что сравнивая треугольник номер 1, который является большим, у меня есть по одному прямому углу в каждом. из них, и они разделяют этот угол прямо здесь, что означает, что вы можете использовать ярлык угла, чтобы сказать, что эти два треугольника должны быть похожими.То же самое можно сказать и о треугольнике справа. У обоих треугольников не только прямой угол, но и общий угол в углу. И я собираюсь использовать две разные маркировки.
Итак, сколько подобных треугольников вы создали? У нас есть три треугольника, которые похожи друг на друга. Так что помните об этих двух ключевых моментах, когда вы смотрите свой тест или тест.

Решение | Можем ли мы показать, что у прямоугольника есть три угла? | Размышляя о геометрии

Координаты точек \ (A \), \ (B \), \ (C \): \ ((- 2,1) \), \ ((2,7) \), \ ((5, 5) \) соответственно.Докажите, что эти точки образуют три угла прямоугольника…

Чтобы доказать, что точки образуют три угла прямоугольника, нам нужно показать, что две прямые \ (AB \) и \ (BC \) пересекаются под прямым углом.

Если это правда, то должна быть возможность образовать прямоугольник с этими тремя точками (и еще одной).

Наклон прямой \ (AB \) равен \ (m_ {AB} = \ dfrac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ dfrac {7-1} {2 — (- 2)} = \ dfrac {6} {4} = \ dfrac {3} {2} \).

Наклон \ (BC \) равен \ (m_ {BC} = \ dfrac {5-7} {5-2} = \ dfrac {-2} {3} = — \ dfrac {2} {3} \ ).\ circ. \]

Самый простой подход — рассмотреть аналогичные треугольники, которые появляются на диаграмме.

\ (AB \) — гипотенуза прямоугольного треугольника с длинами остальных сторон \ (6 \) и \ (4 \).

\ (BC \) — гипотенуза прямоугольного треугольника с длинами остальных сторон \ (3 \) и \ (2 \).

Следовательно, два треугольника подобны, с масштабным коэффициентом \ (2 \), поэтому мы должны иметь \ (AB \) = \ (2BC \).

Альтернативный подход

Вместо этого мы могли бы вычислить длины сторон, используя теорему Пифагора.2} = \ sqrt {13} \] и действительно \ [AB = \ sqrt {52} = \ sqrt {4 \ times 13} = 2 \ sqrt {13} = 2 г. до н.э. \]

Если \ (D \) — четвертый угол прямоугольника, вычислите расстояние \ (C \) от диагонали \ (BD \).

Есть несколько способов решить эту проблему.

Мы можем вычислить координаты \ (D \), но мы можем решить проблему и без этого.

Этот первый показанный метод более эффективен, чем другие методы, которые требуют большего количества алгебраических манипуляций.

Расстояние \ (C \) от диагонали \ (BD \) будет кратчайшим возможным расстоянием, которое представляет собой перпендикулярное расстояние, показанное как \ (h \) на диаграмме ниже.

По Пифагору, \ (BD \) есть \ (\ sqrt {5} d \), где \ (d \) — длина \ (BC \). Используя аналогичные треугольники, мы также видим, что
\ [\ begin {align *}
\ frac {h} {BC} & = \ frac {CD} {BD} \\
\ iff \ quad \ frac {h} {d} & = \ frac {2d} {\ sqrt {5} d} \\
\ iff \ quad h & = \ frac {2d} {\ sqrt {5}}.
\ конец {выравнивание *} \]
Используя Пифагор, мы можем найти длину \ (BC \).2} = \ sqrt {13}, \] и, следовательно,
\ [\ begin {align *}
h & = \ dfrac {2 \ sqrt {13}} {\ sqrt {5}} \\
& = \ dfrac {2} {5} \ sqrt {65}.
\ конец {выравнивание *} \]

Или, проще говоря, мы можем считать площадь. Площадь прямоугольника равна \ (d \ times 2d = BD \ times h = \ sqrt {5} d \ times h \), поэтому \ (h = \ dfrac {2} {5} \ sqrt {65} \ ).

Другой альтернативный метод

Вместо этого мы можем вычислить положение \ (D \), а затем вычислить уравнения \ (BD \) и \ (CP \), чтобы найти расстояние \ (CP \).

Мы знаем, что \ (AD \) параллельно \ (BC \), и поэтому мы знаем горизонтальное и вертикальное расстояние \ (D \) от \ (A \), как показано на диаграмме ниже.

Таким образом, координаты \ (D \) равны \ (\ quad (-2 + 3, 1-2) \ quad = \ quad (1, -1). \)

Градиент линии \ (BD \) равен \ (m = \ dfrac {7 — (- 1)} {2-1} = \ dfrac {8} {1} = 8 \).

Теперь мы можем вычислить уравнение прямой \ (BD \) из
\ [\ begin {уравнение}
у + 1 = 8 (х — 1). \ label {eq: 1}
\ конец {уравнение} \]
Мы также можем вычислить прямую, проходящую через \ (C \), перпендикулярную \ (BD \) (так что ее градиент равен \ (- 1/8 \)) как
\ [\ begin {уравнение}
y — 5 = — \ dfrac {1} {8} (x — 5). \ label {eq: 2}
\ конец {уравнение} \]
Точка пересечения находится путем одновременного решения двух уравнений.2} = \ frac {2} {5} \ sqrt {65}. \]

Как мы видим, этот метод потребовал значительно больше работы, чем первые два, и при большом количестве алгебраических манипуляций было много места для ошибок.

3 4 5 Правые треугольники — объяснения и примеры

Правые треугольники очень полезны в нашей повседневной жизни. Чем проще размеры прямоугольного треугольника, тем проще его использование.

Способность распознавать специальные прямоугольные треугольники — это быстрый способ решения задач, связанных с прямоугольными треугольниками.Вместо использования теоремы Пифагора вы можете использовать специальные соотношения прямоугольного треугольника для вычисления недостающих длин.

Они могут иметь разных размера, , но наиболее распространенным из них является прямоугольный треугольник 3-4-5 . В этой статье мы обсудим, что такое прямоугольный треугольник 3-4-5 и как решить задачи, связанные с прямоугольным треугольником 3-4-5.

Треугольник — это двумерный многоугольник с тремя углами, тремя вершинами и тремя углами, соединенными вместе, образуя замкнутую диаграмму в геометрии.Существуют разные типы треугольников в зависимости от длины сторон и величины их внутренних углов. Более подробно о треугольниках вы можете прочитать в предыдущих статьях.

Что такое прямоугольный треугольник 3-4-5?

Прямоугольный треугольник 3-4-5 — это треугольник, длина сторон которого составляет 3: 4: 5. Другими словами, треугольник 3-4-5 имеет отношение сторон в целых числах, называемых тройками Пифагора.

Это соотношение можно представить как:

Сторона 1: Сторона 2: Гипотенуза = 3n: 4n: 5n = 3: 4: 5

Мы можем доказать это, используя теорему Пифагора следующим образом:

⇒ a 2 + b 2 = c 2

⇒ 3 2 + 4 2 = 5 2

⇒ 9 + 16 = 25

25 = 25

Прямоугольный треугольник 3-4-5 имеет три внутренних угла как 36.87 °, 53,13 ° и 90 °. Следовательно, прямоугольный треугольник размером 3 4 5 можно отнести к разностороннему треугольнику, поскольку длина всех трех его сторон и внутренние углы различны

Помните, что треугольник 3-4-5 не означает, что соотношение равно 3: 4: 5; это может быть любой общий множитель этих чисел. Например, треугольник 3-4-5 также может принимать следующие формы:

  • 6-8-10
  • 9-12-15
  • 12-16-20
  • 15-20-25

Как решить треугольник 3-4-5

Решение прямоугольного треугольника 3-4-5 — это процесс нахождения недостающих длин сторон треугольника.Соотношение 3: 4: 5 позволяет быстро вычислять различные длины в геометрических задачах, не прибегая к таким методам, как таблицы или теорема Пифагора.

Пример 1

Найдите длину одной стороны прямоугольного треугольника, в котором длина гипотенузы и другой стороны равны 30 см и 24 см соответственно.

Решение

Проверьте соотношение, чтобы убедиться, что оно соответствует 3n: 4n: 5n

?: 24: 30 =?: 4 (6): 5 (6)

Это должен быть прямоугольный треугольник 3-4-5, так что у нас есть;

п = 6

Следовательно, длина другой стороны равна;

3n = 3 (6) = 18 см

Пример 2

Самый длинный край и нижний край треугольного паруса парусника составляют 15 ярдов и 12 ярдов соответственно.Какая высота у паруса?

Решение

Проверить соотношение

⇒?: 12: 15 =? : 4 (3): 5 (3)

Следовательно, значение n = 3

Запасной.

⇒ 3n = 3 (3) = 9

Следовательно, высота паруса составляет 9 ярдов.

Пример 3

Найдите прямоугольный треугольник 3-4-5 из следующего списка треугольников.

  1. Треугольник A ⇒ 8, 8, 25
  2. .

  3. Треугольник B ⇒ 9, 12, 15
  4. Треугольник C ⇒ 23, 27, 31
  5. Треугольник D ⇒ 12, 16, 20
  6. .

  7. Треугольник E ⇒ 6, 8, 10

Решение

Проверьте соотношение каждого треугольника.

А ⇒ 8: 8: 25

Б ⇒ 9: 12: 15 (каждый член разделите на 3)

= 3: 4: 5

К ⇒ 23: 27: 31

D ⇒ 12:16: 20 (разделите каждый член на 4)

= 3: 4: 5

E ⇒6: 8: 10 (разделить на 2)

= 3: 4: 5

Следовательно, треугольники B, D и E являются 3-4-5 прямыми треугольниками.

Пример 4

Найдите значение x на рисунке, показанном ниже. Предположим, что это прямоугольный треугольник 3-4-5.

Решение

Найдите множитель «n» в прямоугольном треугольнике 3-4-5.

?: 80: 100 =?: 4 (20): 5 (20)

Следовательно, n = 20

Заменить в 3н: 4н: 5н.

3n = 3 (20) = 60

Следовательно, x = 60 м

Пример 5

Вычислите длину диагонали прямоугольного треугольника с длинами сторон 6 и 8 дюймов.

Решение

Проверьте соотношение, соответствует ли оно соотношению 3n: 4n: 5n.

6: 8:? = 3 (2): 4 (2) 😕

п = 2

Заменить n = 2 на 5n.

5n = 5 (2) = 10.

Следовательно, длина диагонали 10 дюймов.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Треугольники (предварительная алгебра, введение в геометрию) — Mathplanet

Треугольник состоит из трех отрезков. Сегменты линии пересекаются в своих конечных точках. Чтобы назвать треугольник, мы часто используем его вершины (название конечных точек).Треугольник ниже называется ABC.

У треугольника три угла. Сумма углов всегда равна 180 ° в треугольнике.

У нас есть разные типы треугольников. Треугольник классифицируется по углам и количеству совпадающих сторон.

Треугольник с тремя острыми ангелами называется острым треугольником.

Треугольник с одним прямым углом называется прямоугольным.

Треугольник с одним тупым углом называется тупым треугольником.

Когда треугольник имеет три равные стороны, мы называем его равносторонним треугольником. Отметим совпадающие стороны косой чертой. Углы в равностороннем треугольнике всегда равны 60 °.

Если треугольник имеет две равные стороны, он называется равнобедренным треугольником. Углы, противоположные двум сторонам одинаковой длины, совпадают.

Треугольник без равных сторон или углов называется разносторонним треугольником.

Когда два треугольника совпадают, это означает, что они имеют одинаковый размер и форму. Это означает, что у них одинаковые углы. Красные косые черты показывают нам, какие стороны и углы совпадают. Конгруэнтность показана этим символом

.

$$ \ cong $$

$$ \ begin {matrix} A \ cong X & & AB \ cong XY \\ B \ cong Y & & BC \ cong YZ \\ C \ cong Z & & AC \ cong XZ \ end {matrix} $$

Треугольники с одинаковыми углами, но не одинакового размера, называются подобными.Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Сходство обозначается этим символом

$$ \ sim $$

$$ \ bigtriangleup ABC \ sim \ bigtriangleup XYZ $$

$$ A = X, \: \: B = Y, \: \: C = Z $$

$$ \ frac {a} {x} = \ frac {b} {y} = \ frac {c} {z} $$


Пример

Найдите x в подобных треугольниках.

Мы знаем, что, поскольку треугольники похожи, стороны пропорциональны, что означает, что

$$ \ frac {x} {14} = \ frac {3} {21} \ Rightarrow $$

$$ x = \ frac {14 \ cdot 3} {21} = \ frac {42} {21} = 2 $$

$$ x = 2 $$


Видеоурок

Определите, какие треугольники прямые, равнобедренные, острые, разносторонние, тупые или равносторонние

Иллюстративная математика

Соответствие стандартам содержания:
1.G.A.1

Задача

Сначала задайте вопрос:

Вот четыре треугольника. Что общего у всех этих треугольников? Что отличает их от фигур, не являющихся треугольниками? Что верно для некоторых, но не для всех этих треугольников?

Если учащиеся придумали утверждение, которое верно для всех треугольников, которые они видят, но не для всех треугольников в целом, учитель должен спросить учащихся, могут ли они представить треугольник без этого атрибута.Например, если ученик говорит: «Все треугольники белые внутри», учитель может спросить: «Может ли треугольник иметь другой цвет внутри?» Когда класс приходит с атрибутом, который действительно является общим для всех треугольников, тогда класс может завершить фрейм предложения: Все треугольники ___________, но только некоторые треугольники _________________. Когда ученики написали (или составили) свои предложения на основе фреймов предложений, класс может вместе написать определение треугольника:

Треугольник — это замкнутая форма с тремя прямыми сторонами, которые пересекаются в трех углах.

Учитель повторит процесс для прямоугольников, а затем для квадратов. Каждый раз класс должен заполнить соответствующий фрейм предложения, как только они остановятся на универсальном атрибуте. Затем учитель может помочь им составить определение формы.

Прямоугольник — это замкнутая форма с четырьмя прямыми сторонами и четырьмя квадратными углами.

Квадрат — это замкнутая форма с четырьмя прямыми сторонами и четырьмя квадратными углами. Четыре стороны одинаковой длины.

Когда класс получит рабочие определения этих фигур на соответствующем их классе языке, учащиеся смогут определять треугольники, прямоугольники и квадраты ниже. * Раскрасьте все треугольники в синий цвет. * Раскрасьте все квадраты в красный цвет. * Раскрасьте все прямоугольники в зеленый цвет.

IM Комментарий

Цель этого задания — обсудить и понять, что представляют собой определяющие атрибуты для треугольников, квадратов и прямоугольников. Учащиеся начинают с поиска атрибутов, общих для всех экземпляров определенной формы.Некоторые, но не все эти атрибуты будут определяющими. Например, у всех прямоугольников противоположные стороны параллельны, но это не определяющий атрибут — это то, что вы можете показать, начиная только с определяющих атрибутов, что прямоугольник является четырехугольником с четырьмя прямыми углами. Таким образом, в конце учитель должен будет указать ученикам, какие из этих атрибутов являются определяющими, помогая классу написать определение для каждой формы. Вот несколько предложений по изменению или расширению этой задачи в зависимости от готовности / потребностей учащихся:

  • Учитель может пожелать включить «есть» в каждое предложение, чтобы учащимся нужно было заполнить только отдельные слова: Все треугольники _____________, но только некоторые треугольники _______________., хотя это заставляет студентов говорить (например) «трехсторонний», а не «иметь три стороны».

  • В конце урока учитель может попросить учащихся составить список вещей, которые никогда не определяют атрибуты форм, таких как цвет, размер и ориентация, а также вещей, которые часто не соответствуют атрибутам форм, например, количеству сторон, количество углов, или если стороны прямые или изогнутые. Это поможет учащимся понять, что определяет формы в целом, а не просто определение одной конкретной формы.

  • Студент может заполнить «только некоторые» чем-нибудь математическим. Хотя это и не является частью стандарта, он может помочь различать не определяющие атрибуты, которые не являются математическими (например, «нарисовано карандашом»), и те, которые имеют математическое содержание, не относящееся к этой конкретной форме (например, «имеет равные стороны »).

К нему прилагается версия PDF для печати с примерами фигур, или учитель может нарисовать фигуры на доске.Существует также распечатанный PDF-файл для раскрашивания.

Стандарты математической практики сосредотачиваются на природе учебного опыта, уделяя внимание процессам мышления и привычкам ума, которые учащиеся должны развивать, чтобы достичь глубокого и гибкого понимания математики. Определенные задания поддаются демонстрации учащимися конкретных практик. Практики, которые можно наблюдать во время изучения задачи, зависят от того, как обучение разворачивается в классе.Хотя возможно, что задачи могут быть связаны с несколькими практиками, мы подробно обсудим только одну связь с практикой. Возможные связи вторичной практики могут быть обсуждены, но не с такой степенью детализации.

Эта конкретная задача очень намеренно связана с первой частью Стандарта математической практики 3, построение жизнеспособных аргументов. Посредством постановки вопросов учащимся предлагается различать и описывать определяющие характеристики треугольников, исследуя фигуры, которые являются треугольниками, и фигуры, которые не являются треугольниками.Этот же процесс повторяется для квадратов и прямоугольников. Таким образом, студенты постоянно анализируют и описывают. Эта задача закладывает основу искусства объяснения, ведущего к «критике рассуждений других». Например, первоклассник может предложить объяснение: «Похоже, у всех треугольников есть 3 прямые стороны, которые все связаны ». С помощью тщательно составленных вопросов учащиеся обнаружат, какие характеристики действительно имеют значение, и дополнят рамки предложений, предоставленные всем классом.Эти фреймы предложений затем можно использовать для написания определений для каждой из форм. Эти типы действий дополнительно поддерживают MP.6, Attend to precision, которая в данном случае относится к точности языка.

Â

Решение

Примечание: Неформальный язык приемлем, особенно в не определяющих атрибутах. Студентам не нужно определять все определяющие атрибуты, перечисленные ниже, но все ключевые из них включены в это решение для полноты картины.

У всех треугольников по три прямые стороны, но только некоторые из них маленькие.

У всех треугольников по три угла, но только некоторые из них зеленые.

Все треугольники замкнуты, но только некоторые треугольники перевернуты.

У всех прямоугольников четыре прямые стороны, но только некоторые прямоугольники красные.

Все прямоугольники имеют четыре квадратных угла, но только некоторые прямоугольники высокие и узкие.

Все прямоугольники замкнуты, но только некоторые прямоугольники короткие.

Все квадраты имеют четыре равные стороны, но только некоторые из них наклонены.

Все четыре квадрата имеют четыре квадратных угла, но только некоторые квадраты синие.

Все квадраты закрыты, но только некоторые квадраты повернуты.

полигонов и треугольников — бесплатная справка по математике

Определение

Многоугольник — это замкнутая геометрическая фигура, стороны которой представляют собой простые отрезки прямых. Каждый угол многоугольника, где пересекаются две стороны, называется вершиной многоугольника.

Например, треугольник — это многоугольник с 3 сторонами.Также есть три вершины, по одной в каждой точке. Это простейший многоугольник, потому что вы не можете построить его с одной или двумя сторонами (попробуйте!).

Классификация полигонов

Многоугольник можно определить по количеству сторон.

(1) Многоугольник с 4 сторонами называется четырехугольником.

(2) Многоугольник с 5 сторонами называется пятиугольником .

Многоугольник с 8 сторонами называется восьмиугольником .

Многоугольник с 10 сторонами называется десятиугольником .

Многоугольник с 12 сторонами называется двенадцатигранником .

ПРИМЕЧАНИЕ: Есть еще много многоугольников, но перечисленные здесь являются одними из самых популярных и наиболее часто преподаются на уроках геометрии. Многоугольники с более чем 12 сторонами обычно называют n-угольниками. Например, многоугольник с 56 сторонами — это 56-угольник.

Прочие условия

В равноугольном многоугольнике каждый угол имеет одинаковую величину в градусах. Квадрат является примером равноугольного многоугольника, потому что каждый из 4 углов составляет 90 градусов.То же можно сказать и о прямоугольнике.

В равностороннем многоугольнике каждая сторона имеет одинаковую длину. В треугольнике ABC ниже все стороны равны 12 футам, что делает треугольник ABC равносторонним.

Правильный многоугольник является ОБОИМ равносторонним и равносторонним. Квадрат — это правильный многоугольник, потому что все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны: 90 градусов.

Классификация треугольников

Треугольники можно классифицировать по

.

(A) их сторон, или

(В) их углы

Разносторонний треугольник имеет 3 стороны разной длины.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и одну не равную сторону.

У равностороннего треугольника 3 равные стороны.

В остром треугольнике все углы будут меньше 90 градусов.

Прямоугольный треугольник всегда будет иметь один угол 90 градусов.

У тупого треугольника всегда будет один угол, размер которого больше 90 градусов, но в то же время меньше 180 градусов.

Медиана и высота (высота)

Медиана треугольника — это отрезок, проведенный от вершины треугольника до середины противоположной стороны.

Высота или высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины треугольника, перпендикулярной противоположной стороне или удлиненной противоположной стороне.

Расстояние

Слово «расстояние» в геометрии всегда понимается как кратчайший путь. Расстояние между точкой и линией — это длина перпендикулярного сегмента, проведенного от точки, которая не находится на линии, до точки на линии. Расстояние от A до линии BC ниже 6, потому что это длина высоты

.

Урок, проведенный г-ном.Фелиз

Метод 3-4-5 для квадрирования углов

Метод 3-4-5 для скругления углов

Роберт Робиллард о ремонте и модернизации дома

3-4-5 Метод треугольника

Плотницкие работы — это не точная наука; это прагматический подход к решению проблем, созданию и ремонту. Мой опыт научил меня, что несколько основных принципов определяют, что будет работать, а что нет.Отвес, уровень и квадрат — вот некоторые из этих принципов.

Правило 3-4-5 для обеспечения квадратного расположения

Плотники и строители часто используют метод 3-4-5 для квадрирования углов и гарантируют, что проекты, которые они строят, имеют точный угол 90 градусов.

В жилом и строительном мире плотники часто используют квадраты скорости и квадраты для обрамления для проверки планировок.

Когда макет большой, эти квадраты обрамления слишком малы, чтобы гарантировать необходимую точность.В крупных проектах реконструкции и строительства, таких как закладка фундамента дома или стен, часто используется техника треугольника 3-4-5, чтобы обеспечить точные углы 90 градусов.

Избегайте сложных ошибок

Независимо от того, над каким проектом вы работаете, если ваше основание или фундамент не ровное, вертикальное и квадратное, остальная часть вашего проекта будет отключена. Ошибки в основании террасы, дома или крыльца будут продолжать расти и усугубляться к тому времени, когда вы доберетесь до отделки, шкафов или до каркаса крыши.

Правила 3-4-5 Условия непрофессионала:

Если короткая сторона треугольника составляет 3 фута, а отрезок, отходящий от него на 90 градусов, равен 4 футам, гипотенуза, или самый длинный отрезок, будет составлять 5 футов.

Этот метод просто требует, чтобы плотник создал треугольник в углу линий, которые должны быть квадратными (90 градусов) друг к другу.

Треугольник 3-4-5 должен иметь
  • Одна сторона (ножка треугольника) длиной 3 фута
  • Вторая сторона (ножка треугольника) длиной 4 фута
  • Третья сторона, соединяющая две ноги длиной 5 футов

Любой треугольник со сторонами 3, 4 и 5 футов будет иметь угол 90 градусов напротив стороны 5 футов.Красота и простота этой техники в том, что если плотнику или строителю нужно повысить точность на больших стенах или конструкциях, можно использовать любое кратное правилу 3-4-5.

Примеры правила 3-4-5
  • 3-4-5
  • 6-8-10
  • 9-12-15
  • 12-16-20
  • 15-20-25

Почему это работает?

С математической точки зрения, почему метод квадрата углов 3-4-5 создает идеальный прямой угол?

В геометрии хорошо известным методом построения прямого угла является использование теоремы Пифагора.Математик Пифагор обнаружил взаимосвязь между сторонами любого прямоугольного треугольника, которая теперь известна как теорема Пифагора. Пифагор доказал, что квадрат самой длинной стороны (гипотенузы) равен сумме квадратов двух оставшихся сторон.

Это записывается в виде следующего уравнения:

A и B — два катета прямоугольного треугольника, а C — гипотенуза. Если мы подставим в эту формулу числа из треугольника 3-4-5, то получим 9 ″ + 16 ″ = 25 ″

.

Вспоминая 3-4-5

Использование треугольников с размерами 3, 4 и 5 легко запомнить и развернуть.Нет сложных уравнений, которые нужно запомнить, и метод 3-4-5 всегда дает идеальный прямой угол очень быстро.

Что делать, если последнее измерение выключено?

При использовании метода 3-4-5 для возведения углов в квадрат, если ваше последнее измерение [третья сторона], соединяющее две опоры, измеряющее [5-футовая сторона], не квадратное, вам нужно будет внести поправки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.