Подобие треугольников площади: Площади подобных треугольников | Треугольники

Содержание

Подобие треугольников, отношение площадей, сторон. Коэффициент подобия. Тест

Всего вопросов: 10

Вопрос 1. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см.

Вопрос 2. Отрезок ВD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите AB, если ВС=9см, AD=7,5см, DC=4,5см.

Вопрос 3. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD, если АВ=14 см, ВС=20 см, АС=21 см.

Вопрос 4. Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону BC на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ, если периметр треугольника АВС равен 42 см.

Вопрос 5. В подобных треугольниках АВС и KМN стороны АВ и КМ, BC и MN являются сходственными. Найдите наименьшую сторону треугольника KMN, если АВ=4 см, ВС=5 см, СА=7 см, КМ/АВ=2,1

Вопрос 6. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

Вопрос 7. Треугольники АВС и A1B1C1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника АВС больше площади треугольника A1B1C1 на 77 см2. Найдите площадь меньшего треугольника.

Вопрос 8. Треугольники АВС и A1B1C1 подобны. Сходственные стороны ВС и B1C1 соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников АВС и A1B1C1 .

Вопрос 9. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите наибольшую сторону треугольника, подобного данному, если его периметр 26 см.

Вопрос 10. Через точку М, взятую на медиане АD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение АК/КС, если M — середина отрезка AD.


Подобие треугольников. Третий признак подобия

В этом уроке, вы найдете решение задач по геометрии, которые используют правила подобия треугольников и являются интересными для решения. Я их размещаю здесь если они вызывают некоторые трудности при решении у школьников.


Задача


Треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Соотношение сторон теругольников 3:4 . Площадь одного из них больше площади другого на 14 см2. Найдите площади треугольников.


Решение


Для решения данной задачи будем руководствоваться основным свойством подобия треугольников — все размеры одного теругольника подобны размерам другого. Сначала опустим на сторону а каждого треугольника высоту h. Таким образом площадь первого треугольника будет выражаться формулой S1=1/2ah, а площадь второго треугольника формулой S2=1/2*3/4a*3/4h. Таким образом, можно определить соотношение площадей треугольников:


S1/S2 = 1/2 ah / ( 1/2 * 9/16 ah)


S1/S2 = ah / ( 9/16 ah)


S1/S2 = 16/9


Выше перечисленные преобразования мы могли бы не проводить, если нам известна теорема: «площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон»


Выразим площадь одного треугольника через площадь другого:


S1=16S2/9


По условию задачи S1-S2=14, таким образом


16S2/9-S2=14


7/9S2=14


S2=18, следовательно S1 = 14+18=32


Ответ: 18 и 32


Задача


Стороны AB и DC трапеции ABCD продлили так, что прямые AB и DC пересеклись в точке E. Таким образом, продолжения сторон трапеции образовали треугольник площадью 98 квадратных сантиметров. Найти площадь трапеции, если ее основания относятся друг к другу как 5 к 7.

Решение




Начало решения.

Из условия задачи видно, что у нас получились треугольники EAD и EBC. Поскольку оба треугольника имеют общий угол E, а основания трапеции, являющиеся параллельными, согласно теореме Фалеса, отсекают на сторонах AE и DE пропорциональные отрезки отрезки, то треугольники EAD и EBC являются подобными.

Способ 1.

Опустим из вершины E высоту на основание AD. Она же будет высотой для основания BC, поскольку основания трапеции параллельны. Обозначим высоту для треугольника EAD как h1, а для треугольника EBC как h2.

Таким образом:


Площадь треугольника EAD будет равна SEAD=1/2*AD*h1.


Площадь треугольника EBC будет равна SEBC=1/2*BC*h2.

Поскольку треугольники подобны, то все стороны относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия. Поскольку основания трапеции относятся дрцг к другу как 5:7, то и все остальные стороны относятся друг к другу с тем же соотношением. Из этого следует:


BC / AD = 5 / 7


BC = 5AD / 7

аналогично:


h2 / h1 = 5 / 7


h= 5h1 / 7

Таким образом:


SEBC=1/2*BC*h2.


Подставим значения сторон меньшего подобного треугольника через значения сторон большего подобного треугольника:


SEBC=1/2*(5AD / 7)*(5h1 / 7)


SEBC=1/2*AD*h1*25 / 49

Заметим, что по условию задачи площадь получившегося треугольника EAD равна 98 сантиметрам, одновременно SEAD=1/2*AD*h1.


Подставим вместо указанного выражения его значение:


SEBC = 98*25/49


SEBC = 50 см2

Способ 2.

Если нам известна теорема: «площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон», то площади подобных треугольников AED и BEC будут соотноситься как 52 : 72. То есть:


SEBC / SEAD = 52 / 72

SEBC / SEAD = 25 / 49


SEBC = SEAD * 25 / 49

Поскольку площадь треугольника EAD известна нам по условию и составляет 98 см2 , то


SEBC = 98 * 25 / 49


SEBC = 50 см2

Продолжение решения.

Площадь трапеции ABCD равна разности площадей треугольников AED и BEC. Таким образом, площадь трапеции равна 98 — 50 = 48 см2.

Ответ: 48 см2.

 Подобие треугольников. Первый признак подобия |

Описание курса

| Подобие треугольников. Использование в задачах 

   

Средняя линия треугольника, теория в ЕГЭ по математике

\[{\Large{\text{Подобие треугольников}}}\]

Определения

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).

 

Коэффициент подобия (подобных) треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.

 

Определение

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

 

Теорема

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

 

Доказательство

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) со сторонами \(a,b,c\) и \(a_1, b_1, c_1\) соответственно (см. рисунок выше).

 

Тогда \(P_{ABC}=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot
P_{A_1B_1C_1}\)

 

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

Доказательство

Пусть треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, причём \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = k\). Обозначим буквами \(S\) и \(S_1\) площади этих треугольников соответственно. \circ
— \angle A_1 — \angle B_1 = \angle C_1\), то есть углы треугольника \(ABC\) соответственно равны углам треугольника \(A_1B_1C_1\).

 

Так как \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle B = \angle B_1\), то \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot
A_1C_1}\) и \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot
BC}{A_1B_1\cdot B_1C_1}\).

 

Из этих равенств следует, что \(\dfrac{AC}{A_1C_1} =
\dfrac{BC}{B_1C_1}\).

 

Аналогично доказывается, что \(\dfrac{AC}{A_1C_1} =
\dfrac{AB}{A_1B_1}\) (используя равенства \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle C = \angle C_1\)).

 

В итоге, стороны треугольника \(ABC\) пропорциональны сходственным сторонам треугольника \(A_1B_1C_1\), что и требовалось доказать.

 

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Рассмотрим два треугольника \(ABC\) и \(A’B’C’\), таких что \(\dfrac{AB}{A’B’}=\dfrac{AC}{A’C’}\), \(\angle BAC = \angle A’\). Докажем, что треугольники \(ABC\) и \(A’B’C’\) – подобны. Учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно показать, что \(\angle B = \angle B’\).

 

Рассмотрим треугольник \(ABC»\), у которого \(\angle 1 = \angle A’\), \(\angle 2 = \angle B’\). Треугольники \(ABC»\) и \(A’B’C’\) подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда \(\dfrac{AB}{A’B’} =
\dfrac{AC»}{A’C’}\).

 

С другой стороны, по условию \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’}\). Из последних двух равенств следует, что \(AC = AC»\).

 

Треугольники \(ABC\) и \(ABC»\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(\angle B = \angle 2 = \angle B’\).

 

Теорема (третий признак подобия треугольников)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Пусть стороны треугольников \(ABC\) и \(A’B’C’\) пропорциональны: \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}\). Докажем, что треугольники \(ABC\) и \(A’B’C’\) подобны.

 

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что \(\angle BAC = \angle A’\).

 

Рассмотрим треугольник \(ABC»\), у которого \(\angle 1 = \angle A’\), \(\angle 2 = \angle B’\).

 

Треугольники \(ABC»\) и \(A’B’C’\) подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC»}{B’C’}
= \dfrac{C»A}{C’A’}\).

 

Из последней цепочки равенств и условия \(\dfrac{AB}{A’B’} =
\dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}\) вытекает, что \(BC = BC»\), \(CA
=
C»A\).

 

Треугольники \(ABC\) и \(ABC»\) равны по трем сторонам, следовательно, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A’\).

 

\[{\Large{\text{Теорема Фалеса}}}\]

Теорема

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

Доказательство

Докажем сначала лемму: Если в \(\triangle OBB_1\) через середину \(A\) стороны \(OB\) проведена прямая \(a\parallel BB_1\), то она пересечет сторону \(OB_1\) также в середине.

 

Через точку \(B_1\) проведем \(l\parallel OB\). Пусть \(l\cap a=K\). Тогда \(ABB_1K\) — параллелограмм, следовательно, \(B_1K=AB=OA\) и \(\angle
A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\) как вертикальные. Значит, по второму признаку \(\triangle
OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Лемма доказана.

 

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть \(OA=AB=BC\), \(a\parallel
b\parallel c\) и нужно доказать, что \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\).

 

Таким образом, по данной лемме \(OA_1=A_1B_1\). Докажем, что \(A_1B_1=B_1C_1\). Проведем через точку \(B_1\) прямую \(d\parallel OC\), причем пусть \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\). Тогда \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) — параллелограммы, следовательно, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\). Таким образом, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) как вертикальные, \(\angle
A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) как накрест лежащие, и, значит, по второму признаку \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2
\Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

 

Теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

 

Доказательство

Пусть параллельные прямые \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) разбили одну из прямых на отрезки \(a, b, c, d\). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки \(ka, kb, kc, kd\) соответственно, где \(k\) – некоторое число, тот самый коэффициент пропорциональности отрезков.

 

Проведем через точку \(A_1\) прямую \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) — параллелограмм, следовательно, \(AB=A_1B_2\)). Тогда \(\triangle OAA_1
\sim \triangle A_1B_1B_2\) по двум углам. Следовательно, \(\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb\).

Аналогично проведем через \(B_1\) прямую \(q\parallel OD \Rightarrow
\triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) и т. д.

 

\[{\Large{\text{Средняя линия треугольника}}}\]

Определение

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.

 

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

 

Доказательство

1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.

 

2) Докажем, что \(MN=\dfrac12 AC\).

 

Через точку \(N\) проведем прямую параллельно \(AB\). Пусть эта прямая пересекла сторону \(AC\) в точке \(K\). Тогда \(AMNK\) — параллелограмм (\(AM\parallel NK, MN\parallel AK\) по предыдущему пункту). Значит, \(MN=AK\).

 

Т.к. \(NK\parallel AB\) и \(N\) – середина \(BC\), то по теореме Фалеса \(K\) – середина \(AC\). Следовательно, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\).

 

Следствие

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом \(\frac12\).

Определение подобных треугольников


Два треугольника называются подобными, если отношения всех их соответствующих сторон равны.
Отношение \(k\) соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия этих треугольников.


$$
\triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} \Leftrightarrow \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1};
$$
$$
k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}
$$

Первый признак подобия треугольников


Если отношения двух сторон треугольников и равны углы между этими сторонами, то такие треугольники подобны.


$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}, \, \angle{A}=\angle{A_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$

Второй признак подобия треугольников


Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


$$
\angle{A}=\angle{A_1}, \, \angle{B}=\angle{B_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$

Третий признак подобия треугольников


Если отношения всех соответствующих сторон треугольников равны, то такие треугольники подобны.


$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$

Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников


Отношение любых двух соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия этих треугольников.
(Соответствующие линейные элементы – это отрезки подобных фигур, полученные одинаковой конструкцией. Например, медианы треугольников, проведённые к соотвествующим сторонам, радиусы описанных окружностей, периметры, и так далее.)


$$
\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}
$$

Параллельные прямые и подобие треугольников


Если стороны двух треугольников лежат на соответственно параллельных или совпадающих прямых, то такие треугольники подобны.
В частности, параллельные прямые отсекают от угла, либо вертикальных углов, подобные треугольники.


$$
AB || A_1B1, \, AC || A_1C_1, \, BC ||B_1C_1 \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1};
$$
$$
AB || A_1B_1, \, D=AA_1 \cap BB_1 \Rightarrow \triangle{ABD} \backsim \triangle{A_1B_1D}
$$

Трапеция и подобные треугольники


При пересечении диагоналей трапеции, а также продолжений её боковых сторон, образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям трапеции. Коэффициент подобия в обоих случаях равен отношению оснований трапеции.


$$
\triangle{AOD} \backsim \triangle{COB}, \quad k=\frac{AD}{BC};
$$
$$
\triangle{AED} \backsim \triangle{BEC}, \quad k=\frac{AD}{BC}
$$

Отношение площадей подобных треугольников

На прошлом уроке мы с вами говорили, что подобными
называются треугольники,
у которых углы соответственно равны, а
сходственные стороны пропорциональны.

Число k,
равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом
подобия.

Напомним, что подобие треугольников обозначается
следующим образом .

На этом уроке мы докажем теорему об отношении
площадей двух подобных треугольников.

Теорема. Отношение
площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство.

,
 –
коэффициент подобия.

,
.

,
.

,
,

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Задача. Площади подобных
треугольников  и
 равны
соответственно  см2
и  см2.
Сторона  см.
Найдите сходственную ей сторону  треугольника
.

Решение.

Выше мы доказали, что отношение площадей двух
подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. , ,
.

,
,
 (см).

Ответ:  см.

Задача. Докажите, что
отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство.

,
 –
коэффициент подобия.

,
,
,
,
,
.

,
.

,
,

.

Что и требовалось доказать.

Задача. Треугольники  и
 подобны.
Сходственные стороны  и
 соответственно
равны  см
и  м.
Найдите отношение периметров треугольников  и
.

Решение:

 м см.

.

.

Ответ: .

Итак, на этом уроке мы доказали, что отношение
площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. А
также решили несколько задач. Причём при решении одной из них установили, что
отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Подобные треугольники.

Отношение площадей подобных треугольников 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

 Подобные треугольники. Отношение площадей подобных треугольников.

При сравнении двух величин возникает вопрос: во сколько раз одна больше другой?

Например, во сколько раз собака пробежит быстрее некоторое расстояние, чем это же расстояние проползёт жук? Или какую часть всех деревьев парка составляют дубы?

Ответ в таких случаях дается в виде частного двух чисел, которое называют отношением. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т. е. ABCD (или AB:CD).

На рисунке отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если AB:A1B1 = CD:C1D1.

 

 

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными. Любые два квадрата и любые два круга являются подобными.

 

 

А какие два треугольника называют подобными? Возьмём два треугольника ABC и A1B1C1, у которых угол А равен углу A1, угол B равен углу B1, а угол C равен углу C1.

 

 

Тогда стороны AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 называются сходственными. И если эти сходственные стороны пропорциональны, то есть AB:A1B1 = BC:B1C1 = AC:A1C1, то треугольники ABC и A1B1C1 являются подобными. Подобие треугольников обозначается следующим образом ⊿ABC∼⊿A1B1C1.

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия. Если стороны треугольника ABC в два раза больше сторон треугольника A1B1C1, то отношение сходственных сторон равно 2, то есть коэффициент подобия равен 2.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств:

AB:A1B1 = BC:B1C1 = AC:A1C1 = 2, то есть k=2.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано: ⊿ABC∼⊿A1B1C1, k — коэффициент подобия.

Найти: отношение площадей ABC и A1B1C1

 

 

Решение:

Обозначим SABC= S, SA1B1C1 = S1.

∠A = ∠A1, значит, SS1=AB∙ACA1B1∙A1C1 (площади треугольников, имеющих равный угол, относятся как произведения сторон, содержащих этот угол).

ABA1B1=k

ACA1C1=k

Следовательно, SS1=k2.

Задача. Площади подобных треугольников АВС и А1В1С1 равны соответственно 20 см2 и 5 см2. Сторона А1В1 = 2 см. Найдите сходственную ей сторону АВ треугольника АВС.

 

 

Выше мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

SS1=k2, значит, 205=k2, следовательно k=2.

k=ABA1B1=2, значит, AB=2∙A1B1=2∙4=8 см.

Ответ: 8 см.

Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. «отношение площадей подобных треугольников»

Определение и свойства подобных треугольников

Числа a 1 , a 2 , a 3 , …, a n называются пропорциональными числам b 1 , b 2 , b 3 , …, b n , если выполняется равенство: a 1 /b 1 = а 2 /b 2 = a 3 /b 3 = … = a n /b n = k, где k – некоторое число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

Пример.
Числа 6; 7,5 и 15 пропорциональны числам ‑4; 5 и 10. Коэффициентом пропорциональности является число ‑1,5, поскольку

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Пропорциональность чисел имеет место быть, если эти числа связаны пропорцией.

Известно, что пропорцию можно составить не менее чем из четырех чисел, поэтому понятие пропорциональности применимо как минимум к четырем числам (одна пара чисел пропорциональна другой паре, или одна тройка чисел пропорциональна другой тройке, и т.д.).

Рассмотрим на рис. 1
два треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 с равными попарно углами: A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 .

Стороны, которые противолежат равным парам углов обоих треугольников, называются сходственными
. Так, на рис. 1
стороны AB и A 1 B 1 , AC и A 1 C 1 , BC и B 1 C 1 , сходственные, поскольку лежат напротив соответственно равных углов треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 .

Дадим определение подобных треугольников:

Два треугольника называются подобными
, если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия
.

Подобные треугольники обозначаются следующим образом: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Итак, на рис. 2
имеем: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

углы A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 и AB/A 1 B 1 = ВC/В 1 C 1 = АС/А 1 С 1 = k, где k – коэффициент подобия. Из рис. 2
видно, что у подобных треугольников одинаковые пропорции, и отличаются они лишь масштабом.

Замечание 1:
Равные треугольники подобны с коэффициентом 1.

Замечание 2:
При обозначении подобных треугольников следует упорядочить их вершины таким образом, чтобы углы при них были попарно равны. Например, для треугольников, изображенных на рисунке 2 говорить, что Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1 некорректно. Соблюдая правильный порядок вершин, удобно выписывать пропорцию, связывающую сходственные стороны треугольников, не обращаясь к чертежу: в числителе и знаменателе соответствующих отношений должны стоять пары вершин, занимающих одинаковые позиции в обозначении подобных треугольников. К примеру, из записи «Δ ABC ~ Δ KNL» следует, что углы A = K, B = N, C = L, и АВ/KN = BC/NL = AC/KL.

Замечание 3:
Те требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными. Признаки подобия треугольников, которые содержат меньше требований к подобным треугольникам докажем чуть позже.

Сформулируем свойства подобных треугольников:

  1. Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.
  2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Пусть треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны с коэффициентом k (рис. 2).

Докажем, что S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Поскольку углы подобных треугольников попарно равны, т.е A = A 1 , и по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем:

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 .

В силу подобия треугольников AB/A 1 B 1 = k и AC/A 1 C 1 = k,

поэтому S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 = k · k = k 2 .

Замечание:
Сформулированные выше свойства подобных треугольников справедливы и для произвольных фигур.

Признаки подобия треугольников

Требования, которые предъявляются к подобным треугольникам определением (это равенство углов и пропорциональность сторон) являются избыточными. Устанавливать подобие треугольников можно и по меньшему количеству элементов.

Так, при решении задач чаще всего используется первый признак подобия треугольников, утверждающий, что для подобия двух треугольников достаточно равенства их углов:

Первый признак подобия треугольников

(по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то эти треугольники подобны (рис. 3)
.

Пусть даны треугольники Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1 , в которых углы A = A 1 , B = B 1 . Необходимо доказать, что Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Доказательство.

1) По теореме о сумме углов треугольника имеем:

угол C = 180 ° (угол A + угол B) = 180° (угол A 1 + угол B 1) = угол C 1 .

2) По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу,

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) = (AС · ВC) / (A 1 С 1 · В 1 C 1).

3) Из равенства (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) следует, что AC/A 1 C 1 = BС/В 1 С 1 .

4) Из равенства (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) = (AС · ВC) / (A 1 С 1 · В 1 C 1) следует, что AВ/A 1 В 1 = АС/А 1 С 1 .

Таким образом, у треугольников ABCи A 1 B 1 C 1 DA = DA 1 , DB = DB 1 , DC = DC 1 , и AB/A 1 B 1 = АС/А 1 С 1 .

5) AB/A 1 B 1 = АС/А 1 С 1 = ВC/В 1 C 1 , то есть сходственные стороны пропорциональны. А значит, Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 по определению.

Теорема о пропорциональных отрезках. Деление отрезка в заданном отношении

Теорема о пропорциональных отрезках является обобщением теоремы Фалеса.

Для использования теоремы Фалеса необходимо, чтобы параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекали на одной из них равные отрезки. Обобщенная же теорема Фалеса утверждает, что если параллельные прямые пересекают две данные прямые, то отрезки, отсекаемые ими на одной прямой, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на второй прямой.

Теорема о пропорциональных отрезках доказывается аналогично теореме Фалеса (только вместо равенства треугольников здесь используется их подобие).

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса):
Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.

Свойство медиан треугольника

Первый признак подобия треугольников позволяет доказать свойство медиан треугольника:

Свойство медиан треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины (рис. 4)
.

Точка пересечения медиан называется центроидом
треугольника.

Пусть дан Δ ABC, у которого AA 1 , BB 1 , CC 1 – медианы, кроме того, AA 1 ∩CC 1 = O. Необходимо доказать, что BB 1 ∩ CC 1 = O и АО/ОА 1 = ВО/ОВ 1 = СО/ОС 1 = 2.

Доказательство.

1) Проведем среднюю линию A 1 C 1 . По теореме о средней линии треугольника A 1 C 1 || AC, и A 1 C 1 = AC/2.

2) Треугольники AOC и A 1 OC 1 подобны по двум углам (угол AOC = углу A 1 OC 1 как вертикальные, угол OAC = углу OA 1 C 1 как внутренние накрест лежащие при A 1 C 1 || AC и секущей AA 1), следовательно, по определению подобных треугольников АО/А 1 О = ОС/ОС 1 = АС/А 1 С 1 = 2.

3) Пусть BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Аналогично пунктам 1 и 2 можно доказать, что ВО/О 1 В 1 = СО 1 /О 1 С = 2. Но поскольку на отрезке СС 1 существует единственная точка О, делящая его в отношении СО: ОС 1 = 2: 1, то точки О и О 1 совпадают. Значит, все медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершины.

В курсе геометрии в теме «площади многоугольников» доказывается тот факт, что медиана разбивает произвольный треугольник на две равновеликие части. Кроме того, при пересечении трех медиан треугольника образуется шесть равновеликих треугольников.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на подобие треугольников?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Пропорциональные отрезки

Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.

Определение 1

Отношением двух отрезков называется отношение их длин.

Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда

То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Подобные треугольники

Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

Определение 3

Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

Рисунок 1. Два треугольника

Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

Определение 4

Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

Определение 5

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

На рисунке 1 изображены подобные треугольники. 2\]

Доказательство.

Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

Теорема 2

Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

Теорема доказана.

Задачи, связанные с понятием подобия треугольника

Пример 1

Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.

Решение.

Данная задача имеет два возможных решения.

    Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$. 2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \

    Пропорциональные отрезки

    Для введения понятия подобия вначале нам необходимо вспомнить понятие пропорциональных отрезков. Вспомним также определение отношения двух отрезков.

    Определение 1

    Отношением двух отрезков называется отношение их длин.

    Понятие пропорциональности отрезков имеет место и для большего числа отрезков. Пусть, к примеру, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, тогда

    То есть отрезки $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ пропорциональны отрезкам $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

    Подобные треугольники

    Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

    Определение 3

    Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

    Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

    Рисунок 1. Два треугольника

    Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

    Определение 4

    Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

    На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

    Определение 5

    Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

    \[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

    На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

    Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

    Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.

    Определение 6

    Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

    Площади подобных треугольников

    Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников. 2\]

    Доказательство.

    Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

    Рисунок 2.

    Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

    Теорема 2

    Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

    Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

    Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

    Теорема доказана.

    Задачи, связанные с понятием подобия треугольника

    Пример 1

    Даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1.$ Стороны первого треугольника $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Коэффициент подобия данных треугольников $k=2$. Найти стороны второго треугольника.

    Решение.

    Данная задача имеет два возможных решения.

      Пусть $k=\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{{B_1C}_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}$. 2\] \[\frac{4}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{1}{9}\] \

      Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

      Цель урока:Доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач.

      Задачи урока:

        обучающие – доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач;

        развивающие – развивать умение анализировать и подбирать аргументацию при решении задачи, способ решения которой неизвестен;

        воспитательные – воспитывать интерес к предмету через содержание учебного процесса и создание ситуации успеха, воспитывать умение работать в группе.

      Учащийся владеет следующими знаниями:

      Единица деятельностного содержания, которое нужно усвоить учащимся:

      Ход урока.

      1. Организационный момент.

      2. Актуализация знаний.

      3. Работа с проблемной ситуацией.

      4. Подведение итогов урока и запись домашнего задания, рефлексия.

      Методы обучения: словесные, наглядные, проблемно-поисковые.

      Формы обучения:фронтальная работа, работа в мини-группы, индивидуальная и самостоятельная работа.

      Технологии: задачно-целевая, информационные технологии, компетентностный подход.

      Оборудование:

        компьютер, проектор для демонстрации презентации, интерактивная доска, документ камера;

        компьютерная презентация в MicrosoftPowerPoint;

        опорный конспект;

      Ход урока

      1. Организационный момент.

      Сегодня на уроке мы будем работать не в тетрадях, а в опорных конспектах, которые будете заполнять на продолжение всего урока. Подпишите его. Оценка за урок будет состоять из двух составляющих: за опорный конспект и за активную работу на уроке.

      2. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

      Мы продолжаем с вами изучать тему «подобие треугольников». Поэтому давайте вспомним то, что изучали на прошлом уроке.


      Теоретическая разминка. Тест.

      В ваших опорных конспектах первое задание имеет тестовый характер. Ответьте на вопросы, выбирая один из предложенных вариантов ответа, где необходимо впишите свой ответ.

      1. Учитель:

        Что называется отношением двух отрезков?

      Ответ: Отношением двух отрезков двух отрезков называется отношение их длин.

      1. Учитель:

        В каком случае отрезки
        AB

        и
        CD

        пропорциональны отрезкам
        A

        1
        B

        1
        и
        C

        1
        D

        1

      Ответ: отрезки
      AB

      и
      CD

      пропорциональны отрезкам
      A

      1
      B

      1
      и
      C

      1
      D

      1
      , если

      Ваши варианты. Хорошо. Не забудьте исправить у кого не так.

      1. Учитель:

        Дайте определение подобных треугольников? Обратитесь к вашему опорному конспекту. У Вас три варианта ответа на этот вопрос. Выберите правильный. Обведите его.

      Так, пожалуйста, какой вариант выбрал ты_______

      Ответ: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.


      Молодцы! Исправьте у кого не так.

      1. Учитель:

        Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу?

      Ответ: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

      Решение задач по готовым чертежам.
      Далее наша разминка будет происходить в ходе решения задач по готовым чертежам. Эти задачи так же вы видите в ваших опорных конспектах.

      Рефлексия.

      Давайте уточним, какие знания и умения позволили нам решить эти задачи. Какими методами решения мы пользовались (фиксация ответов на доске).

      Возможные ответы:

        Определение подобных треугольников;

        Применение определения подобных треугольников при решении задач;

        Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу;

      А сейчас я предлагаю к решению несколько задач способ решения, которых перекликается с темой урок, но связаны они больше с географией.

        Ситуация успеха.

      Первая задача перед Вами. Над этой задачей работаем самостоятельно. Первый справившийся покажет свое решение у доски, и кто-то продемонстрирует свое решение через документ камеру, поэтому пишем красиво и аккуратно.

      Ответ: стороны бермудского треугольника 2000 км, 1840 км, 2220 км. Длина границы 6060 км.

      Рефлексия.

      Возможный ответ:

      у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны.

        Ситуация успеха.

      С размерами Бермудского треугольника мы разобрались. Ну а теперь выясним измерения цветочной клумбы. Переворачиваем опорные конспекты. Вторая задача. Эту задачу решаем, работая в парах. Проверяем аналогичным способом, но только результат будет представлять уже пара первая справившаяся с заданием.

      Ответ: стороны треугольной клумбы 10м и 11м 20 см.

      Итак, сверяемся. Все ли согласны? Кто решал другим способом?

      Рефлексия.

      Каким способом действия вы пользовались при решении этой задачи? Запишите в свой опорный конспект.

      Возможный ответ:

        у подобных треугольников соответственные углы равны;

        площади треугольников имеющих по равному углу относятся как произведения сторон заключающих равные углы.

        Ситуация сбоя.

      5. Изучение нового материала.

      При решениитретьей задачи учащиеся сталкиваются с проблемой. У них не получается решить задачу, так как по их мнению недостаточно полное условие задачи или получают необоснованный ответ.

      С таким типом задач учащиеся не встречались ранее, поэтому произошел сбой при решении задачи.

      Рефлексия.

      Каким методом пытались решить?

      Почему не получилось решить последнее уравнение?

      Ученики: Мы не можем найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.

      Таким образом,
      цель нашего урока

      найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.

      Давайте переформулируем задачу на геометрический язык. Решим ее, а затем вернемся к этой задаче.

      Вывод: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

      Ну а теперь давайте вернемся к задаче №3 и решим ее, опираясь на доказанный факт.

      7. Итог урока

      Что сегодня вы научились делать нового?

      Решать задачи, в которых известны коэффициент подобия и площадь одного из подобных треугольников.

      Какое геометрическое свойство нам в этом помогло?

      Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

      Домашнее задание.

      П. 58 стр.139 №546, 548

      Творческое задание.

      Найдите чему равно отношение периметров двух подобных треугольников (№547)

      До свидания.

      кругов, треугольников, квадратов и прямоугольников — математика для 2-го класса

      Узнайте об основных фигурах

      Мы видим формы везде.

      Мы видим их у себя дома, в школе и даже на детской площадке.

      Вы видите круги, треугольники, квадраты и прямоугольники?

      Замечательно! Давайте узнаем больше об этих формах. 😎

      Круг

      Окружность состоит из изогнутой линии, которая идет по кругу. У него без прямых сторон, и без углов.

      Вот несколько примеров того, что такое круг.

      Можете ли вы думать о других предметах, относящихся к кругу? 😀

      Треугольник

      Треугольник имеет 3 стороны и 3 угла.

      сторон — прямые линии, составляющие треугольник.

      углов — это точки пересечения двух линий.

      Это треугольники.

      В нашем примере стороны треугольника имеют одинаковую длину.Это составляет три равных угла .

      Угол — это расстояние между двумя линиями, образующими угол.

      Стороны и углы треугольника не всегда должны быть равны. Точно так же, как треугольники ниже.

      Вы узнаете больше об этих типах треугольников позже.

      А Квадрат

      У квадрата 4 равные стороны. Это означает, что его стороны имеют одинаковую длину. Он также имеет 4 угла , которые составляют 4 равных угла.

      Это углы квадрата.

      Вот примеры квадратной формы.

      Что еще вокруг вас квадратное? 😀

      Прямоугольник

      Прямоугольник имеет 2 короткие стороны и 2 длинные стороны . Он также имеет 4 угла , которые составляют 4 равных угла.

      Это углы прямоугольника.

      Давайте посмотрим на некоторые примеры прямоугольных предметов в школе.

      Какие еще прямоугольные объекты вам известны? 😎

      Время испытания

      Все ли квадраты прямоугольники?

      Да! Все квадраты являются прямоугольниками 🤓, но не все прямоугольники являются квадратами!

      Смотри и учись