По графику зависимости скорости от времени определите ускорение тела в момент времени: Разбор тренировочного теста

Содержание

Разбор тренировочного теста

Разбор тренировочного теста интернет-олимпиады
по физике 2008/2009 года

11 класс. Кинематика

 

Вопрос № 1

По графику, представленному на рисунке, определите скорость
движения велосипедиста через три секунды после начала движения.

 

Решение.

На рисунке представлен график зависимости пути от времени.
График представляет собой прямую линию, значит, велосипедист двигался
равномерно. Определим по графику величину пути, пройденного велосипедистом за
фиксированный отрезок времени. Например, за 3 с велосипедист прошел 9 м.
Скорость велосипедиста V = L / t
= 9/3 = 3 м/с.

 

Вопрос № 2

Пешеход и велосипедист одновременно начали движение
навстречу. Их скорости равны V1 = 6 км/ч и V2 = 30 км/ч, соответственно.
Определите время движения до встречи, если начальное расстояние между ними L = 700 м.

 

Решение.

Определим скорость велосипедиста в системе отсчета пешехода V12
= V1 + V2 = 6 + 30 = 36 км/ч = 10 м/с. Итак, пешеход и
велосипедист сближаются со скоростью 10 м/с, тогда их время движения до встречи
t = L / V12 = 700/10 = 70 с.

 

Вопрос № 3

Автомобиль двигался со скоростью 15 м/с
в течение 5 с. Какой путь он проехал за это время?

 

Решение.

Автомобиль двигался равномерно, поэтому пройденный путь L = V∙t = 15∙5 = 75 м.

 

Вопрос № 4

Брошенный вертикально вверх мяч возвращается в исходное
положение. На рисунке представлен график его скорости от времени. В какой
момент времени мяч достиг максимальной высоты?

 

Решение.

В момент, когда мяч достиг максимальной высоты, его скорость
равна нулю. По графику, представленному на рисунке определяем, что скорость
мяча равна нулю в момент времени t = 2 с.

 

Вопрос № 5

Какие из перечисленных выше величин векторные ? (Отметьте все векторные величины)

 

Решение.

Из перечисленных величин векторными являются скорость,
ускорение и перемещение. Путь — величина скалярная.

 

Вопрос № 6

Спортсмен пробежал дистанцию 400 м по дорожке стадиона и
возвратился к месту старта. Определите путь L, пройденный спортсменом, и модуль
его перемещения S.

 

Решение.

Пройденный спортсменом путь L = 400 м. Модуль перемещения S
= 0, так как спортсмен вернулся в точку, из которой он начал движение.

 

Вопрос № 7

Скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно,
изменилась при перемещении из точки 1 в точку 2 так, как показано на рисунке.
Какое направление имеет вектор ускорения на этом участке пути?

 

Решение.

Из рисунка видно, что модуль скорости тела при перемещении
уменьшается, значит, вектор ускорения направлен навстречу движению, то есть налево.

 

Вопрос № 8

По графику зависимости модуля скорости от времени определите
ускорение прямолинейно движущегося тела в момент времени t
= 2 с.

 

Решение.

По графику определим изменение скорости тела за
фиксированный момент времени. Например, за первые две секунды скорость тела
изменилась на 6 м/с (с V0
= 3 м/с до Vt = 9 м/с). Ускорение a = (Vt – V0) / t
= 6/2 = 3 м/с2.

 

Вопрос № 9

При равноускоренном движении автомобиля в течение пяти
секунд его скорость увеличилась от 10 до 15 м/с. Чему равен модуль ускорения автомобиля?

 

Решение.

Ускорение автомобиля a = (Vt – V0) / t = (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 м/с2.

 

 

Вопрос № 10

Автомобиль стартует с места с постоянным ускорением а = 1
м/с2. Какой путь проходит автомобиль за
первые десять секунд движения?

 

Решение.

Автомобиль движется равноускоренно без начальной скорости —
пройденный путь L = a∙t2/2 = 1∙102/2
= 50 м.

 

Вопрос № 11

Плот равномерно плывет по реке со скоростью 3 км/ч. Сплавщик
движется поперек плота со скоростью 4 км/ч. Какова скорость сплавщика в системе отсчета, связанной с
берегом?

 

Решение.

Скорость сплавщика в в
системе отсчета, связанной с берегом

 

Вопрос № 12

Вертолет поднимается вертикально вверх c
постоянной скоростью. Какова траектория движения точки на конце лопасти винта
вертолета в системе отсчета, связанной с корпусом вертолета?

 

Решение.

Представьте себе, что вы находитесь в кабине вертолета, то
есть вы неподвижны относительно корпуса вертолета. В этом случае вы можете
видеть, что любая точка винта вертолета описывает окружность.

 

Вопрос № 13

Тело движется вдоль оси Х по закону, представленному на
рисунке, где х — координата в метрах, t — время в секундах. Определите модуль ускорения тела.

 

Решение.

Уравнение зависимости координаты от времени при
прямолинейном равноускоренном движении в общем виде имеет вид Х(t) = X0 + V∙t + aх∙t2/2, где X0 — начальная
координата, а V
и aх— проекции начальной скорости и ускорения на ось Х.

Приравнивая члены, в которые входит t2, получим aх∙t2/2 = –4,5∙t2. Откуда проекция ускорения aх
= –9 м/с2, а модуль ускорения a =
9 м/с2.

 

Вопрос № 14

На рисунке представлены графики зависимости модуля скорости
от времени для четырех тел. Какое из этих тел (или
какие тела) прошли наибольший путь?

 

Решение.

На рисунке показаны графики зависимости скорости движущихся
тел от времени. Как известно, пройденный телом путь представляет собой площадь,
лежащую под графиком скорости. Из рисунка видно, что фигура максимальной
площади лежит под графиком, для тела 4. Значит, за промежуток времени от 0 до t0
тело 4 прошло наибольший путь.

 

Вопрос № 15

Тело движется прямолинейно. На рисунке представлен график
скорости тела от времени. На каком промежутке (каких промежутках) времени
проекция ускорения отрицательна?

 

Решение.

Проанализируем график:

1.      на
промежутке времени от 0 до 1с скорость тела постоянна, поэтому ах =
0;

2.      на
промежутке времени от 1с до 2с скорость тела уменьшается, поэтому проекция
ускорения ах < 0;

3.      на
промежутке времени от 2с до 3с тело покоится, поэтому ах = 0;

4.      на
промежутке времени от 3с до 4с скорость тела увеличивается, поэтому проекция
ускорения ах > 0.

Итак, проекция ускорения отрицательна на промежутке времени
от 1с до 2с.

 

Вопрос № 16

Двигавшийся с начальной скоростью 20 м/с автомобиль
разгоняется с постоянным ускорением а = 2 м/с2
в течение 5 с. Какой путь он проехал за это время?

 

Решение.

Для расчета пути можно воспользоваться формулой L = V0∙t + a∙t2/2
= 20∙5 + 2∙52/2 = 125 м.

 

Всего вопросов: 20

Вопрос 1. Изображен график скорости движения мотоцикла от времени. Чему равна скорость мотоцикла в момент времени t=5c?

Вопрос 2. На рисунке изображен график зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени. Чему равно ускорение тела?

Вопрос 3. На рисунке изображен график зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени. Чему равно ускорение тела?

Вопрос 4. На рисунке изображена зависимость скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 5. На рисунке представлен график зависимости скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 6. На рисунке представлен график зависимости скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 7. На рисунке изображен график зависимости скорости движения тела от времени. Используя данные графика, запишите уравнение зависимости скорости от времени движения тела.

Вопрос 8. Проекция скорости тела изменяется с течением времени так, как показано на рисунке. Какое из нижеприведенных уравнений соответствует зависимости координаты этого тела от времени? (В момент начала наблюдения тело находилось на расстоянии двух метров левее начала координат)

Вопрос 9. Проекция скорости тела изменяется с течением времени так, как показано на рисунке. Какое из нижеприведенных уравнений, соответствует зависимости координаты этого тела от времени? (Учитывая, что в момент начала наблюдения рассматриваемая точка находилась на расстоянии 5 м левее начала координат)

Вопрос 10. По графику зависимости модуля скорости от времени, представленному на рисунке, определите перемещение тела за 2 с.

Вопрос 11. Используя информацию, приведенную на рисунке, определить проекцию перемещения тела через 14 с после начала движения.

Вопрос 12. Используя информацию, приведенную на рисунке, определить путь пройденный телом за девять секунд.

Вопрос 13. Автомобиль начинает двигаться равноускоренно и вдруг тормозит. Какой вид графика соответствует зависимости ускорения автомобиля от времени?

Вопрос 14. На рисунке 1 изображен график зависимости ускорения от времени движения тела. Как зависит скорость движения этого тела от времени (рисунок 2), если начальная скорость равна нулю?

Вопрос 15. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени. Определить в какой момент времени тело остановилось.

Вопрос 16. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости от проекции перемещения. Определить ускорение этого тела.

Вопрос 17. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости двух тел от времени. Определите скорость первого тела через три секунды после начала движения.

Вопрос 18. Определить, в каком соотношении между собой находятся проекции перемещения тел, графики зависимости проекций скоростей от времени которых, показаны на рисунке, в момент времени, когда скорости тел одинаковы?

Вопрос 19. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости трех тел от времени. В каком из нижеприведенных соотношений находятся значения модулей ускорений и перемещений этих тел в момент времени 10 с?

Вопрос 20. Тело, имеющее начальную скорость 2 м/с, направленную против выбранной оси координат, двигается с ускорением, график зависимости проекции которого от времени приведен на рисунке. Какой из нижеприведенных графиков соответствует зависимости проекции скорости этого тела от времени для промежутка времени (0, 8) с?


Задания для подготовки к ЕГЭ по физике(А1)

Задание 1.1.  На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v автобуса от времени t. Определите по графику путь, пройденный автобусом в интервале времени от t1=0 с до t2 = 50 с.

Решение.

По графику зависимости скорости v от времени t, пройденный путь S можно найти как площадь под этим графиком. В данном случае имеем трапецию, ограниченную интервалом времени от 0 до 50 секунд.

Основаниями этой трапеции соответственно равны: a = 50 и b = 50-20=30 секунд и высотой h = 15 м/с. Тогда пройденный путь равен:

 метров.

Ответ: 600.

Задание 1.2.  На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v грузовика от времени t. Определите по графику путь, пройденный автобусом в интервале времени от t1 = 40 с до t2 = 100 с.

Решение.

Путь, пройденный автобусом в интервале времени от 40 до 100 с, равен площади под графиком v(t). На рисунке ниже отмечена искомая площадь.

Данная фигура представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями a = 100-40=60, b = 80-40=40 и высотой h = 15 м/с. Соответственно, пройденный путь равен:

 м.

Ответ: 750

Задание 1.3.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в момент времени 8 с.

Решение.

Момент времени t=8 с находится на линейном участке графика от 5 до 10 с. Так как скорость в этот промежуток времени снижалась линейно, то ускорение постоянно. Вычислим ускорение при t от 5 до 10 с, получим:

 м/с2

Ответ: -3.

Задание 1.4.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в момент времени 15 с.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 3. Задание 1. ЕГЭ 2018. Физика. Демидова М. Ю. 30 вариантов. Решение

Задание 1. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в момент времени 8 с.

Решение.

Момент времени t=8 с находится на линейном участке графика от 5 до 10 с. Так как скорость в этот промежуток времени снижалась линейно, то ускорение постоянно. Вычислим ускорение при t от 5 до 10 с, получим:

 м/с2

Ответ: -3.

Ответ задания: 1,875.

Задание 1.5.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx от времени t для тела, движущегося прямолинейно по оси x. Определите проекцию ускорения тела ax.

Решение.

График скорости имеет линейную зависимость от времени. Это означает, что скорость менялась с постоянным ускорением. Для вычисления ускорения достаточно взять две точки на прямой следующим образом:

 м/с2.

Ответ: -1,5

Задание 1.6.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx от времени t для тела, движущегося прямолинейно по оси х. Определите проекцию ускорения тела ax.

Решение.

Найдено решение такого же или подобного задания

Источник: Вариант 5. Задание 1. ЕГЭ 2018. Физика. Демидова М. Ю. 30 вариантов. Решение

Задание 1. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx от времени t для тела, движущегося прямолинейно по оси x. Определите проекцию ускорения тела ax.

Решение.

График скорости имеет линейную зависимость от времени. Это означает, что скорость менялась с постоянным ускорением. Для вычисления ускорения достаточно взять две точки на прямой следующим образом:

 м/с2.

Ответ: -1,5.

Ответ задания: 0,75.

Задание 1.7.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vx тела от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в интервале времени от 5 до 10 с.

Решение.

От 5 до 10 с скорость vx тела менялась линейно, значит, тело двигалось с постоянным ускорением ax. Величина этого ускорения равна

 м/с2.

Ответ: -5.

Задание 1.8.  На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела vx от времени t.

Определите проекцию ускорения этого тела ax в момент времени 15 с.

Решение.

Момент времени 15 с лежит на линейном сегменте от 12 с до 18 с, когда скорость vx линейно возрастала. Линейная зависимость скорости от времени означает постоянное ускорение тела. Следовательно, ускорение для t = 15 с можно найти как

 м/с2.2, где все величины выражены в СИ. Определите проекцию ускорения ax этого тела.

Решение.

1-й способ. Запишем закон изменения координаты тела x:

.

Соотнося эту формулу с выражением , видно, что ускорение тела , так как .

2-й способ. Ускорение – это вторая производная от координаты x(t). Вычислим вторую производную от x(t), получим:

Ответ: -10.

Ответ задания: 6.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

Социологическое исследование для преподавателей в связи с переходом к смешанной модели обучения

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации Федерации по поручению Министерства науки и высшего образования Российской Федерации проводит очередное социологическое исследование проблем преподавателей вузов в связи с переходом к смешанной модели обучения.

Опрос проводится до 27.07.2021 г. включительно и направлен на оценку ситуации, связанной с реализацией образовательного процесса в условиях распространения и преодоления последствий новой коронавирусной инфекции Covid-19, и анализ особенностей дистанционного образования. Опрос является анонимным, данные будут анализироваться в общем виде.

С 8 по 12 сентября на территории Республики Крым пройдет творческий Фестиваль «Таврида.Арт»

В рамках реализации национального проекта «Образование» с 8 по 12 сентября на территории Республики Крым состоится творческий Фестиваль «Таврида.Арт», в котором могут принять участие молодые люди в возрасте от 18 до 35 лет.

В случае прохождения федерального отбора участникам будет обеспечен трансфер до места проведения фестиваля и обратно, проживание на Фестивале (палатки) и полноценное участие в программе мероприятия.

Фестиваль лидеров изменений «Таврида.АРТ» пройдет в бухте Капсель в Крыму с 8 по 12 сентября. Он объединит все направления искусства и вновь станет самой большой площадкой России для самореализации молодых деятелей культуры, искусств и креативных индустрий. Кроме основной локации под Судаком, яркие шоу в рамках фестиваля пройдут еще в пяти городах Крымского полуострова.

Море, горы, аэропорт: производственная практика студентов-строителей НГАСУ (Сибстрин) на крупнейшей стройке юга России

Благодаря стратегическому партнеру университета – ЗАО «ЛОММЕТА» – студенты работают не на обычном объекте, а на крупнейшей стройке России – возведении нового терминала аэропорта «Геленджик» в Краснодарском крае. Современный аэровокзальный комплекс, строительство которого будет завершено в декабре этого года, значительно улучшит транспортную инфраструктуру курортной зоны юга страны.
В Геленджик приехали 23 студента 3-5 курсов бакалавриата по профилю «Промышленное и гражданское строительство» и специалитета «Строительство уникальных зданий и сооружений». ЗАО «ЛОММЕТА» оплатило студентам стоимость проезда в Геленджик и обратно, проживание и питание, а также выплачивает заработную плату. Непосредственно производственная практика проходит с 24 июня по 28 июля, однако у желающих есть возможность остаться работать на объекте и после ее окончания.

Профессия дорожник всегда будет востребована! Строительная специальность НГАСУ (Сибстрин) «Автомобильные дороги»

Старейший вуз города – Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) – вот уже более 90 лет занимает лидирующие позиции в обучении студентов по направлению «Строительство».

С 2017 года в нашем вузе началась подготовка специалистов по профилю «Автомобильные дороги»

На сегодняшний день это одно из самых актуальных направлений строительства. Национальный проект «Безопасные и качественные автомобильные дороги» предполагает приоритетное развитие транспортной инфраструктуры страны за счет средств федерального бюджета. Поэтому специалисты – строители автомобильных дорог – будут востребованы во всех регионах страны.

Объектами профессиональной деятельности выпускника являются: изыскания, проектирование, строительство и эксплуатация автомобильных дорог, включая земляное полотно, дорожные одежды, водопропускные сооружения, инженерные транспортные сооружения.

Урок 3. равноускоренное движение материальной точки — Физика — 10 класс

Физика, 10 класс

Урок 3.Равноускоренное движение материальной точки

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1) изучение равноускоренного движения;

2) изучение понятий мгновенной скорости, ускорения и скорости равноускоренного движения;

3) вывод формул скорости и пути равноускоренного движения;

4) построения графиков координат и пути равноускоренного движения.

Глоссарий по теме

Неравномерное движение – если тело за одинаковые промежутки времени проходит разные расстояния — то такое движение называется неравномерным.

Скорость – это векторная величина равная отношению пути, пройденного телом за некоторый период времени, к величине этого периода времени.

Средняя скорость при неравномерном движении – отношение вектора перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение произошло.

Мгновенная скорость – это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

Ускорение – это физическая величина, численно равная изменению скорости за единицу времени. Равноускоренное движение – скорость тела за равные промежутки времени изменяется одинаково, то есть движется с постоянным ускорением.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 31-54

1.Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 40 – 41

Открытые электронные ресурсы:

2. http://kvant.mccme.ru/1983/10/p33.htm

Основное содержание урока.

Неравномерное движение тел может быть не только прямолинейным, но и криволинейным.

Полное описание неравномерного движения тела, возможно при знании его положения и скорости в каждый момент времени. Скорость точки в данный момент времени называется мгновенной скоростью ()

Любая точка в движении при определённой скорости перемещается из начального положения в конечное. Эту скорость называют средней скоростью перемещения точки.

Определяется по формуле:

Кроме мгновенной и средней скоростей перемещения для описания движения чаще пользуются средней путевой скоростью.

Эта средняя скорость определяется отношением пути к промежутку времени, за которое этот путь пройден:

Скорости тел при движении меняются по модулю, по направлению или же одновременно как по модулю, так и по направлению.

Изменения скорости теле могут происходить как быстро, так и медленно.

Ускорением тела называется предел отношения изменения скорости к промежутку

Времени ∆t, в течении которого это изменение призошло, при стремлении ∆t к нулю.

Ускорение обозначается буквой .

Определяется по формуле:

Единица ускорения – м/с2

Выясним зависимости точки от времени при её движении с постоянным ускорением. Для этого воспользуемся формулой:

Пусть о – скорость точки в начальный момент времени to, а – в некоторый момент времени t, тогда:

∆t = to,

и формула для ускорения примет вид:

Если начальный момент времени принять равным нулю, то получим:

Отсюда получим формулу для определения скорости точки в любой момент времени при её движении с постоянным ускорением:

Вектору уравнению соответствуют в случае движения на плоскости два скалярных уравнения для проекций скорости на координатные оси X и Y:

𝑣х = 𝑣ох + 𝒂х t;

𝑣у = 𝑣оу = 𝒂уt.

Мы научились, таким образом, находить скорость материальной точки при движении с постоянным ускорением.

Теперь получим уравнения, которые позволяют рассчитывать для этого движения положение точки в любой момент времени.

Допустим, движение с постоянным ускорением совершается в одной плоскости, пусть это будет плоскость XOY. Если вектор начальной скорости и вектор ускорения не лежат на одной прямой, то точка будет двигаться по кривой линии. Следовательно, в этом случае с течением времени будут изменяться обе ее координаты х и у. Обозначим через хо и уо координаты в начальный момент времени tо = 0, а через х и у координаты времени.

Тогда за время ∆t = t – to = t изменения координат будут равны

х = х хо и ∆у = у – уо

Отсюда:

х = хо + х,

у = уо + у

График зависимости v(t)

По формуле для площади трапеции имеем:

Учитывая, что 𝑣= 𝑣ₒₓ + 𝒂ₓt, получаем формулу:

В обычных условиях задачи даются значения (модули) скоростей и ускорений:

При движении точки в плоскости ХОY двум уравнениям соответствует одно векторное уравнение:

Разбор тренировочных заданий

1. Куда движутся тела и как изменяются их скорости, векторы начальных скоростей и ускорений которых показаны на рисунке 1?

Направление движения определяем по направлению скорости, изменение скорости – по направлению ускорения и скорости.

Решение:

Тело 1 движется вправо; направления ускорения и скорости совпадают, следовательно, скорость его увеличивается.

Тело 2 движется вправо; ускорение направлено в противоположную сторону скорости, следовательно, скорость его уменьшается.

Тело 3 движется влево; направления ускорения и скорости совпадают, следовательно, скорость его увеличивается.

Тело 4 движется влево; ускорение направлено в противоположную сторону скорости, следовательно, скорость его уменьшается.

2. Электропоезд тормозит с ускорением 0,40 м/с2. Определите, за какое время он остановится, если тормозной путь равен 50 м.

Решение:

При прямолинейном движении путь электропоезда равен перемещению s = ∆r.

Тогда:

Ответ: t ≈ 16 c.

3.3 Среднее и мгновенное ускорение

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Рассчитайте среднее ускорение между двумя точками времени.
  • Рассчитайте мгновенное ускорение с учетом функциональной формы скорости.
  • Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
  • Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
  • Найдите мгновенное ускорение в заданное время на графике зависимости скорости от времени.

Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные просторы космического пространства и крошечный мир субатомной физики. В повседневном разговоре до ускоряться, означает ускоряться; нажатие на педаль тормоза приводит к замедлению движения автомобиля. Мы, например, знакомы с ускорением нашей машины. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за заданный промежуток времени.Ускорение широко наблюдается в экспериментальной физике. Например, в экспериментах с линейным ускорителем частиц субатомные частицы ускоряются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной. В космосе космические лучи — это субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взрывающихся массивных звездах) и активных ядрах галактик. Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат очень проникающее излучение, которое может, например, повредить электронику, установленную на космических кораблях.

Среднее ускорение

Формальное определение ускорения согласуется с этими только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — это скорость изменения скорости:

[латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {0}}, [/ latex]

, где [latex] \ overset {\ text {-}} {a} [/ latex] — среднее ускорение, v — скорость, а t — время.(Полоса над и означает среднее ускорение .)

Поскольку ускорение — это скорость в метрах, разделенная на время в секундах, единицы измерения ускорения в системе СИ часто обозначают сокращенно: м / с 2 , то есть метры в секунду в квадрате или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду изменяется скорость каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор, он имеет как величину, так и направление, что означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но также может быть изменением направления.Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км / ч на восток, замедляется до остановки, меняет направление, продолжает свой бег со скоростью 10 км / ч на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя величина скорости одинаковы в обоих направлениях. Таким образом, ускорение происходит, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по обоим направлениям.

Ускорение как вектор

Ускорение — это вектор в том же направлении, что и , изменение скорости на , [latex] \ text {Δ} v [/ latex].Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или по обоим направлениям. Следовательно, ускорение — это изменение скорости или направления, или и того, и другого.

Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда в направлении движения. Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называется замедлением (рисунок), мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном его направлению движения.

Рисунок 3.10 Поезд метро в Сан-Паулу, Бразилия, замедляет ход при входе на станцию. Он ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения. (кредит: Юсуке Кавасаки)

Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, поскольку он не является вектором и не указывает на конкретное направление относительно системы координат, поэтому мы его не используем. Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат.В случае поезда на (Рисунок) ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.

Если движущийся объект имеет скорость в положительном направлении по отношению к выбранной исходной точке и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конечном итоге останавливается и меняет направление на противоположное. Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это проиллюстрировано на (Рисунок).

Рисунок 3.11 Объект, движущийся с вектором скорости на восток при отрицательном ускорении, останавливается и меняет направление на противоположное. Через достаточно долгое время он проходит исходную точку в обратном направлении.

Пример

Расчет среднего ускорения: скакун покидает ворота

Скаковая лошадь, выходящая из ворот, ускоряется из состояния покоя до скорости 15,0 м / с на запад за 1,80 с. Какое у него среднее ускорение?

Рисунок 3.12 Скаковые лошади ускоряются из-за ворот. (кредит: Джон Салливан)

Стратегия

Сначала мы рисуем эскиз и назначаем систему координат задаче (рисунок). Это простая проблема, но всегда помогает ее визуализировать. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.

Рисунок 3.13 Определите систему координат, данную информацию и то, что вы хотите определить.

Мы можем решить эту проблему, определив [latex] \ text {Δ} v \, \ text {and} \, \ text {Δ} t [/ latex] из заданной информации, а затем вычислив среднее ускорение непосредственно из уравнение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {0}} [/ latex].

Решение

Сначала определите известные: [latex] {v} _ {0} = 0, {v} _ {\ text {f}} = — 15.0 \, \ text {m / s} [/ latex] (отрицательный указывает направление на запад), Δ t = 1.80 с.

Во-вторых, найдите изменение скорости. Поскольку лошадь движется с нуля до –15,0 м / с, ее изменение скорости равно ее конечной скорости:

[латекс] \ text {Δ} v = {v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0} = {v} _ {\ text {f}} = — 15.0 \, \ text { РС}. [/ латекс]

Наконец, подставьте известные значения ([latex] \ text {Δ} v \, \ text {and} \, \ text {Δ} t [/ latex]) и решите для неизвестного [latex] \ overset {\ text {-}} {a} [/ latex]:

[латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {-15.{2}. [/ латекс]

Значение

Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад. Ускорение 8,33 м / с 2 на западе означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м / с на западе каждую секунду; то есть 8,33 метра в секунду в секунду, что мы записываем как 8,33 м / с 2 . Это действительно среднее ускорение, потому что езда не гладкая. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы от всадника держаться с силой, почти равной его весу.{2}. [/ латекс]

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение a или ускорение в определенный момент времени получается с использованием того же процесса, который описан для мгновенной скорости. То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными [латексом] \ text {Δ} t [/ latex], и позволяем [latex] \ text {Δ} t [/ latex] приближаться к нулю. Результатом является производная функции скорости v ( t ), которая составляет мгновенное ускорение и математически выражается как

.

[латекс] a (t) = \ frac {d} {dt} v (t).[/ латекс]

Таким образом, подобно тому, как скорость является производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости. Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На (Рисунок) мгновенное ускорение в момент времени t 0 — это наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени t 0 . Мы видим, что среднее ускорение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} [/ latex] приближается к мгновенному ускорению, как [латекс] \ text {Δ} t [/ latex] стремится к нулю.Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю. Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, поскольку наклон кривой там тоже равен нулю. Таким образом, для заданной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.

Рис. 3.14 На графике зависимости скорости от времени мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной.(a) Показано среднее ускорение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ { \ text {f}} — {v} _ {i}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {i}} [/ latex] между временами [латекс] \ text {Δ} t = {t} _ {6} — {t} _ {1}, \ text {Δ} t = {t} _ {5} — {t} _ {2} [/ латекс] и [латекс] \ текст {Δ} t = {t} _ {4} — {t} _ {3} [/ latex]. Когда [latex] \ text {Δ} t \ to 0 [/ latex], среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. В виде (а) мгновенное ускорение показано для точки на кривой скорости при максимальной скорости.В этой точке мгновенное ускорение — это наклон касательной, равный нулю. В любое другое время наклон касательной — и, следовательно, мгновенное ускорение — не будет нулевым. (b) То же, что (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим два примера. Во-первых, простой пример показан с использованием (Рисунок) (b), графика зависимости скорости от времени (Рисунок), для графического определения ускорения. Этот график изображен на (Рисунок) (а), который представляет собой прямую линию.Соответствующий график ускорения в зависимости от времени находится по наклону скорости и показан на (Рисунок) (b). В этом примере функция скорости представляет собой прямую линию с постоянным наклоном, поэтому ускорение является постоянным. В следующем примере функция скорости имеет более сложную функциональную зависимость от времени.

Рис. 3.15 (a, b) График зависимости скорости от времени является линейным и имеет постоянный отрицательный наклон (a), который равен ускорению, показанному на (b).

Если мы знаем функциональную форму скорости, v ( t ), мы можем вычислить мгновенное ускорение a ( t ) в любой момент времени в движении, используя (рисунок).{2} \, \ text {m / s} [/ латекс].

  1. Найдите функциональную форму ускорения.
  2. Найдите мгновенную скорость при t = 1, 2, 3 и 5 с.
  3. Найдите мгновенное ускорение при t = 1, 2, 3 и 5 с.
  4. Интерпретируйте результаты (c) в терминах направлений векторов ускорения и скорости.
Стратегия

Мы находим функциональную форму ускорения, взяв производную от функции скорости.{2} [/ латекс]

  • При t = 1 с, скорость [latex] v (1 \, \ text {s)} = 15 \, \ text {m / s} [/ latex] положительна, а ускорение положительно, поэтому и скорость, и ускорение в том же направлении. Частица движется быстрее.
  • При t = 2 с скорость увеличилась до [latex] v (2 \, \ text {s)} = 20 \, \ text {m / s} [/ latex], где она максимальна, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость возникает, когда наклон функции скорости равен нулю, что является просто нулем функции ускорения.

    При t = 3 с, скорость равна [latex] v (3 \, \ text {s)} = 15 \, \ text {m / s} [/ latex], а ускорение отрицательное. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицательный. Частица замедляется.

    При t = 5 с, скорость равна [latex] v (5 \, \ text {s)} = — 25 \, \ text {m / s} [/ latex], а ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с частица уменьшила свою скорость до нуля, а затем стала отрицательной, таким образом изменив свое направление.Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.

    Мы можем видеть эти результаты графически на (Рисунок).

    Рис. 3.16 (а) Скорость в зависимости от времени. Касательные линии указаны в моменты времени 1, 2 и 3 с. Наклон касательных — это ускорение. При t = 3 с скорость положительная. При t = 5 с скорость отрицательна, что указывает на то, что частица изменила направление на противоположное. (б) Ускорение против времени. Сравнивая значения ускорений, представленные черными точками, с соответствующими наклонами касательных линий (наклон линий через черные точки) на (а), мы видим, что они идентичны.

    Значение

    Выполняя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении. Численный анализ дополняет графический анализ, давая полное представление о движении. Нуль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительное и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю и в конечном итоге становится отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться.Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, что указывает на изменение направления. Реальным примером такого движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление движения.

    Проверьте свое понимание

    Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, летящей на восток. Опишите его ускорение.

    Показать решение

    Если принять за положительное значение восток, то самолет имеет отрицательное ускорение, потому что он ускоряется в сторону запада.Он также замедляется; его ускорение противоположно его скорости.

    Ощущение ускорения

    Вы, вероятно, привыкли испытывать ускорение, когда заходите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми мы не имеем прямого контакта. (Рисунок) представлено ускорение различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.

    Типичные значения ускорения (кредит: Википедия: порядки величин (ускорение))
    Разгон Значение (м / с 2 )
    Скоростной поезд 0,25
    Лифт 2
    Гепард 5
    Объект в свободном падении без сопротивления воздуха у поверхности Земли 9,8
    Максимум космического челнока во время запуска 29
    Пик парашютиста при нормальном раскрытии парашюта 59
    Самолет F16 выходит из пикирования 79
    Взрывное выброс сиденья с самолета 147
    Ракета Sprint 982
    Максимальное пиковое ускорение ракетных салазок 1540
    Прыгающая блоха 3200
    Бейсбольный удар битой 30 000
    Закрытие губки муравья-ловушки 1 000 000
    Протон в большом адронном коллайдере [латекс] 1.{9} [/ латекс]

    В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют никакого отношения к размеру объекта или его массивности. Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. У дрэг-рейсинга большое ускорение сразу после старта, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения.(Рисунок) графически сравнивает среднее ускорение с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.

    Рис. 3.17 Графики мгновенного ускорения в зависимости от времени для двух различных одномерных движений. (а) Ускорение меняется незначительно и всегда в одном и том же направлении, поскольку оно положительное. Среднее значение за интервал почти такое же, как и ускорение в любой момент времени. (b) Ускорение сильно различается, возможно, представляя пакет на конвейерной ленте почтового отделения, который ускоряется вперед и назад, когда он натыкается.В такой ситуации необходимо учитывать небольшие интервалы времени (например, от 0 до 1,0 с) с постоянным или почти постоянным ускорением.

    Сводка

    • Ускорение — это скорость изменения скорости. Ускорение — это вектор; он имеет как величину, так и направление. Единица измерения ускорения в системе СИ — метр на секунду в квадрате.
    • Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, либо и тем, и другим.
    • Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент во время движения.Он рассчитывается по производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
    • Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.

    Концептуальные вопросы

    Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, когда ускорение не равно нулю?

    Показать решение

    Нет, в одном измерении постоянная скорость требует нулевого ускорения.

    Может ли скорость быть постоянной, если ускорение не равно нулю? Объяснять.

    Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.

    Показать решение

    Мяч подбрасывается в воздух, и его скорость равна нулю на вершине броска, но ускорение не равно нулю.

    Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, в каком направлении он ускоряется? Ускорение положительное или отрицательное?

    Знаки плюс и минус используются в одномерном движении для указания направления.{2} [/ латекс]

    Доктор Джон Пол Стапп был офицером ВВС США, изучавшим влияние экстремального ускорения на человеческое тело. 10 декабря 1954 года Стапп проехал на ракетных санях, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м / с (1015 км / ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с. Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное его направлению движения. Выразите каждое значение кратным g (9,80 м / с 2 ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.

    Нарисуйте график зависимости ускорения от времени из следующего графика зависимости скорости от времени.

    Покажи ответ

    Пассажир выезжает на машине из гаража с ускорением 1,40 м / с 2 . а) Сколько времени ей нужно, чтобы набрать скорость 2,00 м / с? (b) Если она затем тормозит до остановки за 0,800 с, каково ее ускорение?

    Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета переходит из состояния покоя в суборбитальную скорость 6,50 км / с за 60,0 с (фактическая скорость и время засекречены).Каково его среднее ускорение в метрах в секунду и кратное g (9,80 м / с 2 )?

    Самолет, взлетая с места, движется по взлетно-посадочной полосе с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м / с. Какое среднее ускорение самолета?

    Глоссарий

    среднее ускорение
    скорость изменения скорости; изменение скорости с течением времени
    мгновенное ускорение
    ускорение в определенный момент времени

    Свободное падение и сопротивление воздуху

    В предыдущем блоке было сказано, что все объекты ( независимо от их массы ) свободно падают с одинаковым ускорением — 9.8 м / с / с. Это конкретное значение ускорения настолько важно в физике, что оно имеет свое собственное название — ускорение свободного падения — и свой особый символ — g . Но почему все объекты падают с одинаковой скоростью независимо от их массы? Потому что все они одинаковы? … потому что все имеют одинаковую гравитацию ? … потому что сопротивление воздуха у каждого одинаковое? Почему? Эти вопросы будут рассмотрены в этом разделе Урока 3.

    Помимо исследования свободного падения, также будет проанализировано движение объектов, которые сталкиваются с сопротивлением воздуха.В частности, будут рассмотрены два вопроса:

    • Почему объекты, которые сталкиваются с сопротивлением воздуха, в конечном итоге достигают предельной скорости?
    • Почему в ситуациях, когда есть сопротивление воздуха, более массивные объекты падают быстрее, чем менее массивные?

    Чтобы ответить на вышеуказанные вопросы, второй закон движения Ньютона (F net = m • a) будет применяться для анализа движения объектов, падающих под действием единственной силы тяжести (свободное падение) и под двойным влиянием. силы тяжести и сопротивления воздуха.

    Свободное падение, движение

    Как было сказано в предыдущем уроке, свободное падение — это особый тип движения, при котором единственная сила, действующая на объект, — это сила тяжести. Объекты, которые подвергаются свободному падению , не сталкиваются со значительной силой сопротивления воздуха; они падают только под действием силы тяжести. В таких условиях все объекты будут падать с одинаковой скоростью, независимо от их массы.Но почему? Рассмотрим свободное падение слоненка весом 1000 кг и мыши-переростка весом в 1 кг.

    Если бы второй закон Ньютона был применен к их падающему движению и если бы была построена диаграмма свободного тела, то было бы видно, что слоненок весом 1000 кг испытал бы большую силу тяжести. Эта большая сила тяжести будет иметь прямое влияние на ускорение слона; таким образом, основываясь только на силе, можно предположить, что , , что слоненок весом 1000 кг будет ускоряться быстрее.Но ускорение зависит от двух факторов: силы и массы. Слоненок весом 1000 кг явно имеет большую массу (или инерцию). Эта увеличенная масса оказывает обратное влияние на ускорение слона. Таким образом, прямое воздействие большей силы на 1000-килограммового слона на смещено на обратным эффектом большей массы 1000-килограммового слона; Таким образом, каждый объект ускоряется с одинаковой скоростью — примерно 10 м / с / с. Отношение силы к массе (F net / м) одинаково для слона и мыши в ситуациях, связанных со свободным падением.

    Это соотношение (F net / м) иногда называют напряженностью гравитационного поля и выражается как 9,8 Н / кг (для местоположения на поверхности Земли). Сила гравитационного поля — это свойство местоположения внутри гравитационного поля Земли, а не свойство слоненка или мыши. Все объекты, помещенные на поверхность Земли, будут испытывать это количество силы (9,8 Н) на каждый 1 килограмм массы внутри объекта. Будучи свойством местоположения в гравитационном поле Земли, а не свойством свободно падающего объекта, все объекты на поверхности Земли будут испытывать такое количество силы на массу.Таким образом, все объекты свободно падают с одинаковой скоростью, независимо от их массы. Поскольку гравитационное поле 9,8 Н / кг на поверхности Земли вызывает ускорение любого помещенного там объекта на 9,8 м / с / с, мы часто называем это отношение ускорением свободного падения. (Гравитационные силы будут рассмотрены более подробно в следующем разделе учебного пособия «Физический класс».)

    Посмотрите!

    Величина напряженности гравитационного поля ( г, ) различна в разных гравитационных средах.Используйте значение для g , виджет ниже, чтобы узнать силу гравитационного поля на других планетах. Выберите местоположение из раскрывающегося меню; затем нажмите кнопку Отправить .

    Даже на поверхности Земли наблюдаются локальные вариации значения g. Эти вариации связаны с широтой (Земля не является идеальной сферой; она выпуклость посередине), высотой и местной геологической структурой региона. Используйте виджет Gravitational Fields ниже, чтобы исследовать, как местоположение влияет на значение g.

    Падение с сопротивлением воздуху

    Когда объект падает через воздух, он обычно сталкивается с некоторым сопротивлением воздуха. Сопротивление воздуха возникает в результате столкновений передней поверхности объекта с молекулами воздуха. Фактическое сопротивление воздуха, с которым сталкивается объект, зависит от множества факторов. Чтобы не усложнять тему, можно сказать, что два наиболее распространенных фактора, которые имеют прямое влияние на величину сопротивления воздуха, — это скорость объекта и площадь поперечного сечения объекта .Увеличение скорости приводит к увеличению сопротивления воздуха. Увеличенная площадь поперечного сечения приводит к увеличению сопротивления воздуха.

    Почему объект, который встречает сопротивление воздуха, в конце концов достигает предельной скорости? Чтобы ответить на этот вопрос, второй закон Ньютона будет применен к движению падающего парашютиста.

    На схемах ниже показаны схемы свободного тела, показывающие силы, действующие на парашютиста весом 85 кг (включая снаряжение).Для каждого случая используйте диаграммы, чтобы определить чистую силу и ускорение парашютиста в каждый момент времени. Затем используйте кнопку, чтобы просмотреть ответы.

    Диаграммы выше иллюстрируют ключевой принцип. Когда объект падает, он набирает скорость.Увеличение скорости приводит к увеличению сопротивления воздуха. В конце концов сила сопротивления воздуха становится достаточно большой, чтобы уравновесить силу тяжести. В этот момент времени чистая сила равна 0 Ньютону; объект перестанет ускоряться. Сообщается, что объект достиг конечной скорости . Изменение скорости прекращается в результате баланса сил. Скорость, с которой это происходит, называется предельной скоростью.

    В ситуациях, когда есть сопротивление воздуха, более массивные объекты падают быстрее, чем менее массивные.Но почему? Чтобы ответить на вопрос почему , необходимо рассмотреть диаграммы свободного тела для объектов разной массы. Рассмотрим падение двух парашютистов: один с массой 100 кг (парашютист плюс парашют), а другой с массой 150 кг (парашютист плюс парашют). Диаграммы свободного тела показаны ниже для момента времени, когда они достигли предельной скорости.

    Как было сказано выше, величина сопротивления воздуха зависит от скорости объекта.Падающий объект будет продолжать ускоряться до более высоких скоростей, пока не столкнется с сопротивлением воздуха, равным его весу. Поскольку парашютист весом 150 кг весит больше (испытывает большую силу тяжести), он разгоняется до более высоких скоростей, прежде чем достигнет предельной скорости. Таким образом, более массивные объекты падают быстрее, чем менее массивные, потому что на них действует большая сила тяжести; по этой причине они ускоряются до более высоких скоростей, пока сила сопротивления воздуха не сравняется с силой тяжести.

    Величина сопротивления воздуха, которую испытывает объект, зависит от его скорости, площади поперечного сечения, формы и плотности воздуха. Плотность воздуха зависит от высоты, температуры и влажности. Тем не менее 1,29 кг / м 3 — очень разумное значение. Форма объекта влияет на коэффициент лобового сопротивления ( C d ). Значения для различных форм можно найти здесь. Используйте What a Drag! Виджет ниже, чтобы изучить зависимость силы сопротивления воздуха от этих четырех переменных.

    Мы хотели бы предложить …

    Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашей интерактивной программы Skydiving Interactive. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Skydiving Interactive позволяет учащемуся изучить влияние массы, размера парашюта и начальной высоты на опыт парашютиста.

    6.2 Равномерное круговое движение — Физика

    Задачи обучения разделу

    К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

    • Описывать центростремительное ускорение и связывать его с линейным ускорением
    • Опишите центростремительную силу и свяжите ее с линейной силой
    • Решение проблем, связанных с центростремительным ускорением и центростремительной силой

    Поддержка учителей

    Поддержка учителей

    Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

    • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
      • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и кругов.
      • (D) вычислить влияние сил на объекты, включая закон инерции, соотношение между силой и ускорением и характер пар сил между объектами.

    Кроме того, Руководство лаборатории физики средней школы рассматривает содержание этого раздела лаборатории под названием «Круговое и вращательное движение», а также следующие стандарты:

    • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
      • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях, используя уравнения, включая примеры снарядов и кругов.

    Раздел Основные термины

    центробежная сила центростремительное ускорение центростремительная сила равномерное круговое движение

    Центростремительное ускорение

    Поддержка учителя

    Поддержка учителя

    [BL] [OL] Проверьте равномерное круговое движение.Попросите учащихся привести примеры кругового движения. Просмотрите линейное ускорение.

    В предыдущем разделе мы определили круговое движение. Простейшим случаем кругового движения является равномерное круговое движение, когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью . Обратите внимание, что, в отличие от скорости, линейная скорость объекта при круговом движении постоянно меняется, потому что он всегда меняет направление. Из кинематики мы знаем, что ускорение — это изменение скорости либо по величине, либо по направлению, либо по обоим направлениям.Следовательно, объект, совершающий равномерное круговое движение, всегда ускоряется, даже если величина его скорости постоянна.

    Вы сами испытываете это ускорение каждый раз, когда едете в машине на повороте. Если вы держите рулевое колесо неподвижно во время поворота и двигаетесь с постоянной скоростью, вы совершаете равномерное круговое движение. Вы замечаете ощущение скольжения (или отбрасывания, в зависимости от скорости) от центра поворота. На вас действует не настоящая сила — это происходит только потому, что ваше тело хочет продолжать движение по прямой (согласно первому закону Ньютона), в то время как машина сворачивает с этого прямолинейного пути.Внутри машины создается впечатление, что вас оттесняют от центра поворота. Эта фиктивная сила известна как центробежная сила. Чем резче кривая и чем выше ваша скорость, тем заметнее становится этот эффект.

    Поддержка учителя

    Поддержка учителя

    [BL] [OL] [AL] Продемонстрируйте круговое движение, привязывая груз к веревке и вращая ее. Спросите студентов, что произойдет, если вы внезапно перережете веревку? В каком направлении движется объект? Почему? Что это говорит о направлении ускорения? Попросите учащихся привести примеры, когда они столкнулись с центростремительным ускорением.

    На рис. 6.7 показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью. Направление мгновенной тангенциальной скорости показано в двух точках вдоль пути. Ускорение происходит в направлении изменения скорости; в этом случае он указывает примерно на центр вращения. (Центр вращения находится в центре круговой траектории). Если мы представим, что ΔsΔs становится все меньше и меньше, тогда ускорение будет указывать точно на к центру вращения, но этот случай трудно изобразить.Мы называем ускорение объекта, движущегося в равномерном круговом движении, центростремительным ускорением a c , потому что центростремительное означает поиска центра .

    Рисунок 6.7 Показаны направления скорости объекта в двух разных точках, и видно, что изменение скорости ΔvΔv указывает приблизительно на центр кривизны (см. Маленькую вставку). При очень малом значении ΔsΔs ΔvΔv указывает точно на центр круга (но это трудно изобразить).Поскольку ac = Δv / Δtac = Δv / Δt, ускорение также направлено к центру, поэтому a c называется центростремительным ускорением.

    Поддержка учителей

    Поддержка учителей

    Обратите внимание на рисунок 6.7. На рисунке показан объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью, и направление мгновенной скорости двух точек на траектории. Ускорение происходит в направлении изменения скорости и указывает на центр вращения. Это строго верно только при стремлении ΔsΔs к нулю.

    Теперь, когда мы знаем, что центростремительное ускорение направлено к центру вращения, давайте обсудим величину центростремительного ускорения. Для объекта, движущегося со скоростью по круговой траектории с радиусом , величина центростремительного ускорения составляет

    .

    Центростремительное ускорение больше на высоких скоростях и на крутых поворотах (меньший радиус), как вы могли заметить при вождении автомобиля, потому что автомобиль фактически толкает вас к центру поворота.Но немного удивительно, что a c пропорциональны квадрату скорости. Это означает, например, что при повороте на 100 км / ч ускорение в четыре раза больше, чем при 50 км / ч.

    Мы также можем выразить a c через величину угловой скорости. Подставляя v = rωv = rω в приведенное выше уравнение, мы получаем ac = (rω) 2r = rω2ac = (rω) 2r = rω2. Следовательно, величина центростремительного ускорения с точки зрения величины угловой скорости составляет

    Советы для успеха

    Уравнение, выраженное в форме a c = 2 , полезно для решения задач, где вам известна угловая скорость, а не тангенциальная скорость.

    Virtual Physics

    Движение божьей коровки в 2D

    В этом моделировании вы экспериментируете с положением, скоростью и ускорением божьей коровки при круговом и эллиптическом движении. Переключите тип движения с линейного на круговое и наблюдайте за векторами скорости и ускорения. Затем попробуйте эллиптическое движение и обратите внимание, как векторы скорости и ускорения отличаются от векторов кругового движения.

    Проверка захвата

    Какой угол между ускорением и скоростью при равномерном круговом движении? Какое ускорение испытывает тело при равномерном круговом движении?

    1. Угол между ускорением и скоростью равен 0 °, и тело испытывает линейное ускорение.
    2. Угол между ускорением и скоростью равен 0 °, и тело испытывает центростремительное ускорение.
    3. Угол между ускорением и скоростью составляет 90 °, и тело испытывает линейное ускорение.
    4. Угол между ускорением и скоростью составляет 90 °, и тело испытывает центростремительное ускорение.

    Центростремительная сила

    Поддержка учителя

    Поддержка учителя

    [BL] [OL] [AL] Используя ту же демонстрацию, что и раньше, попросите учащихся предсказать отношения между величинами угловой скорости, центростремительного ускорения, массы, центростремительной силы.Предложите студентам поэкспериментировать, используя веревки разной длины и веса.

    Поскольку объект в равномерном круговом движении испытывает постоянное ускорение (за счет изменения направления), мы знаем из второго закона движения Ньютона, что на объект должна действовать постоянная чистая внешняя сила.

    Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное ускорение. Вот лишь несколько примеров: натяжение веревки на тросе, сила притяжения Земли на Луне, трение между дорогой и шинами автомобиля при движении по кривой или нормальная сила американских горок. следите за тележкой во время петли.

    Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой. Направление центростремительной силы — к центру вращения, такое же, как и для центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила вызывает ускорение массы согласно F net = м a . Для равномерного кругового движения ускорение является центростремительным: a = a c . Следовательно, величина центростремительной силы F c равна Fc = macFc = mac.

    Используя две разные формы уравнения для величины центростремительного ускорения, ac = v2 / rac = v2 / r и ac = rω2ac = rω2, мы получаем два выражения, включающих величину центростремительной силы F c . Первое выражение относится к тангенциальной скорости, второе — к угловой скорости: Fc = mv2rFc = mv2r и Fc = mrω2Fc = mrω2.

    Обе формы уравнения зависят от массы, скорости и радиуса круговой траектории. Вы можете использовать любое более удобное выражение для центростремительной силы.Второй закон Ньютона также гласит, что объект будет ускоряться в том же направлении, что и чистая сила. По определению центростремительная сила направлена ​​к центру вращения, поэтому объект также будет ускоряться к центру. Прямая линия, проведенная от круговой траектории к центру круга, всегда будет перпендикулярна тангенциальной скорости. Обратите внимание, что если вы решите первое выражение для r , вы получите

    Из этого выражения мы видим, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть резкую кривую.

    Рисунок 6.8 На этом рисунке сила трения f служит центростремительной силой F c . Центростремительная сила перпендикулярна тангенциальной скорости и вызывает равномерное круговое движение. Чем больше центростремительная сила F c , тем меньше радиус кривизны r и тем круче кривизна. Нижняя кривая имеет ту же скорость v , но большая центростремительная сила F c дает меньший радиус r’r ‘.

    Watch Physics

    Центростремительная сила и ускорение Intuition

    В этом видео объясняется, почему центростремительная сила создает центростремительное ускорение и равномерное круговое движение. Он также охватывает разницу между скоростью и скоростью и показывает примеры равномерного кругового движения.

    Поддержка учителей
    Предупреждение о неправильном представлении
    Поддержка учителей

    Некоторые студенты могут запутаться между центростремительной силой и центробежной силой. Центробежная сила — это не реальная сила, а результат ускоряющейся системы отсчета, такой как вращающийся автомобиль или вращающаяся Земля.Центробежная сила относится к вымышленному центру , убегающему от силы .

    Проверка захвата

    Представьте, что вы раскачиваете йо-йо по вертикальному кругу по часовой стрелке перед собой, перпендикулярно направлению, в которое вы смотрите. Если веревка порвется, когда йо-йо достигнет самого нижнего положения, ближайшего к полу. Что будет с йо-йо после разрыва струны?

    1. Йо-йо полетит внутрь в направлении центростремительной силы.
    2. Йо-йо полетит наружу в направлении центростремительной силы.
    3. Йо-йо полетит влево в направлении тангенциальной скорости.
    4. Йо-йо полетит вправо в направлении тангенциальной скорости.

    Решение проблем центростремительного ускорения и центростремительной силы

    Чтобы получить представление о типичных величинах центростремительного ускорения, мы проведем лабораторию по оценке центростремительного ускорения теннисной ракетки, а затем, в нашем первом рабочем примере, сравним центростремительное ускорение автомобиля, огибающего кривую, с ускорением свободного падения.Для второго рабочего примера мы вычислим силу, необходимую для того, чтобы автомобиль проехал по кривой.

    Snap Lab

    Оценка центростремительного ускорения

    В этом упражнении вы будете измерять колебание клюшки для гольфа или теннисной ракетки, чтобы оценить центростремительное ускорение конца клюшки или ракетки. Вы можете сделать это в замедленном режиме. Напомним, что уравнение центростремительного ускорения имеет вид ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2.

    • Одна теннисная ракетка или клюшка для гольфа
    • Один таймер
    • Одна линейка или рулетка

    Порядок действий

    1. Работа с партнером.Стойте на безопасном расстоянии от вашего партнера, когда он или она размахивает клюшкой для гольфа или теннисной ракеткой.
    2. Опишите движение качелей — это равномерное круговое движение? Почему или почему нет?
    3. Постарайтесь сделать свинг как можно ближе к равномерному круговому движению. Какие корректировки пришлось внести вашему партнеру?
    4. Измерьте радиус кривизны. Что вы измерили физически?
    5. Используя таймер, найдите либо линейную, либо угловую скорость, в зависимости от того, какое уравнение вы решите использовать.
    6. Каково примерное центростремительное ускорение на основе этих измерений? Как вы думаете, насколько они точны? Почему? Как вы и ваш партнер можете сделать эти измерения более точными?
    Поддержка учителя
    Поддержка учителя

    Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен перемещать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки — это радиус кривизны.Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека. Размах клюшки или ракетки может быть очень близок к равномерному круговому движению. Для этого человек должен перемещать его с постоянной скоростью, не сгибая руки. Длина руки плюс длина клюшки или ракетки — это радиус кривизны. Точность измерения угловой скорости и углового ускорения будет зависеть от разрешающей способности используемого таймера и ошибки наблюдения человека.

    Проверка захвата

    Было ли более полезным использовать в этом упражнении уравнение ac = v2rac = v2r или ac = rω2ac = rω2? Почему?

    1. Должно быть проще использовать ac = rω2ac = rω2, потому что измерение угловой скорости путем наблюдения было бы проще.
    2. Должно быть проще использовать ac = v2rac = v2r, потому что измерение тангенциальной скорости посредством наблюдения было бы проще.
    3. Должно быть проще использовать ac = rω2ac = rω2, потому что измерение угловой скорости путем наблюдения было бы затруднительно.
    4. Должно быть проще использовать ac = v2rac = v2r, потому что измерение тангенциальной скорости посредством наблюдения было бы затруднительно.

    Рабочий пример

    Сравнение центростремительного ускорения автомобиля, огибающего кривую, с ускорением под действием силы тяжести

    Автомобиль следует кривой радиусом 500 м со скоростью 25,0 м / с (около 90 км / ч). Какова величина центростремительного ускорения автомобиля? Сравните центростремительное ускорение для этой довольно пологой кривой, снятой на скорости по шоссе, с ускорением свободного падения ( g ).

    Стратегия

    Поскольку дана линейная, а не угловая скорость, наиболее удобно использовать выражение ac = v2rac = v2r, чтобы найти величину центростремительного ускорения.

    Решение

    Ввод данных значений v = 25,0 м / с и r = 500 м в выражение для a c дает

    ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с 2. ac = v2r = (25,0 м / с) 2500 м = 1,25 м / с2.

    Обсуждение

    Для сравнения с ускорением свободного падения ( g = 9.80 м / с 2 ), берем соотношение ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128 ac / g = (1,25 м / с2) / (9,80 м / с2) = 0,128. Следовательно, ac = 0,128gac = 0,128g, что означает, что центростремительное ускорение составляет примерно одну десятую ускорения свободного падения.

    Рабочий пример

    Сила трения на шинах автомобиля, огибающих кривую
    1. Рассчитайте центростремительную силу, действующую на автомобиль массой 900 кг, который движется по кривой радиусом 600 м на горизонтальной поверхности со скоростью 25,0 м / с.
    2. Статическое трение предотвращает скольжение автомобиля.Найдите величину силы трения между шинами и дорогой, которая позволяет автомобилю обогнуть поворот, не соскальзывая по прямой.

    Стратегия и решение для (а)

    Мы знаем, что Fc = mv2rFc = mv2r. Следовательно,

    Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н. Fc = mv2r = (900 кг) (25,0 м / с) 2600 м = 938 Н.

    Стратегия и решение для (b)

    На изображении выше показаны силы, действующие на автомобиль при повороте кривой. На этой диаграмме автомобиль движется по странице, как показано, и поворачивает налево.Трение действует влево, ускоряя автомобиль к центру поворота. Поскольку трение — единственная горизонтальная сила, действующая на автомобиль, в этом случае оно обеспечивает всю центростремительную силу. Следовательно, сила трения является центростремительной силой в этой ситуации и направлена ​​к центру кривой.

    Обсуждение

    Поскольку мы нашли силу трения в части (b), мы также можем найти коэффициент трения, поскольку f = μsN = μsmgf = μsN = μsmg.

    Практические задачи

    9.

    Какое центростремительное ускорение ощущают пассажиры автомобиля, движущегося со скоростью 12 м / с по кривой радиусом 2,0 м?

    1. 3 м / с 2
    2. 6 м / с 2
    3. 36 м / с 2
    4. 72 м / с 2

    10.

    Вычислить центростремительное ускорение объекта, движущегося по траектории с радиусом кривизны 0,2 м и угловой скоростью 5 рад / с.

    1. 1 м / с
    2. 5 м / с
    3. 1 м / с 2
    4. 5 м / с 2

    Проверьте свое понимание

    11.

    Что такое равномерное круговое движение?

    1. Равномерное круговое движение — это когда объект ускоряется по круговой траектории с постоянно увеличивающейся скоростью.
    2. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с переменным ускорением.
    3. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью.
    4. Равномерное круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории с переменной скоростью.

    12.

    Что такое центростремительное ускорение?

    1. Ускорение объекта, движущегося по круговой траектории и радиально направленного к центру круговой орбиты
    2. Ускорение объекта, движущегося по круговой траектории и тангенциально направленного по круговой траектории
    3. Ускорение объекта, движущегося по линейной траектории и направленного в направлении движения объекта
    4. Ускорение объекта, движущегося по линейной траектории и направленного в направлении, противоположном движению объекта

    13.

    Существует ли чистая сила, действующая на объект при равномерном круговом движении?

    1. Да, объект ускоряется, поэтому на него должна действовать чистая сила.
    2. Да потому что разгона нет.
    3. Нет, потому что ускорение есть.
    4. Нет, потому что разгона нет.

    14.

    Укажите два примера сил, которые могут вызвать центростремительное ускорение.

    1. Сила притяжения Земли на Луну и нормальная сила
    2. Сила притяжения Земли на Луну и натяжение веревки на вращающемся тезерболе
    3. Нормальная сила и сила трения, действующие на движущийся автомобиль
    4. Нормальная сила и натяжение троса на тезерболе

    Поддержка учителей

    Поддержка учителей

    Используйте вопросы «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, усвоили ли учащиеся учебные цели этого раздела.Если учащиеся борются с определенной целью, формирующая оценка поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

    3.3 Среднее и мгновенное ускорение — University Physics Volume 1

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Рассчитайте среднее ускорение между двумя точками времени.
    • Рассчитайте мгновенное ускорение с учетом функциональной формы скорости.
    • Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
    • Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
    • Найдите мгновенное ускорение в заданное время на графике зависимости скорости от времени.

    Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные просторы космического пространства и крошечный мир субатомной физики. В повседневном разговоре до ускоряться, означает ускоряться; нажатие на педаль тормоза приводит к замедлению движения автомобиля.Мы, например, знакомы с ускорением нашей машины. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за заданный промежуток времени. Ускорение широко наблюдается в экспериментальной физике. Например, в экспериментах с линейным ускорителем частиц субатомные частицы ускоряются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной. В космосе космические лучи — это субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взрывающихся массивных звездах) и активных ядрах галактик.Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат очень проникающее излучение, которое может, например, повредить электронику, установленную на космических кораблях.

    Среднее ускорение

    Формальное определение ускорения согласуется с этими только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.

    Среднее ускорение

    Среднее ускорение — это скорость изменения скорости:

    [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ { 0}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {0}}, [/ latex]

    , где [latex] \ overset {\ text {-}} {a} [/ latex] — среднее ускорение, v — скорость, а t — время.(Полоса над и означает среднее ускорение .)

    Поскольку ускорение — это скорость в метрах, разделенная на время в секундах, единицы измерения ускорения в системе СИ часто обозначают сокращенно: м / с 2 , то есть метры в секунду в квадрате или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду изменяется скорость каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор, он имеет как величину, так и направление, что означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но также может быть изменением направления.Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км / ч на восток, замедляется до остановки, меняет направление, продолжает свой бег со скоростью 10 км / ч на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя величина скорости одинаковы в обоих направлениях. Таким образом, ускорение происходит, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по обоим направлениям.

    Ускорение как вектор

    Ускорение — это вектор в том же направлении, что и , изменение скорости на , [latex] \ Delta v [/ latex].Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или по обоим направлениям. Следовательно, ускорение — это изменение скорости или направления, или и того, и другого.

    Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда в направлении движения. Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называется замедлением Рисунок , мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном его направлению движения.

    Рисунок 3.10. Поезд метро в Сан-Паулу, Бразилия, замедляет скорость, когда заходит на станцию. Он ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения. (Источник: Юсуке Кавасаки)

    Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, поскольку он не является вектором и не указывает на конкретное направление относительно системы координат, поэтому мы его не используем. Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат.В случае поезда на рисунке ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.

    Если движущийся объект имеет скорость в положительном направлении по отношению к выбранной исходной точке и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конечном итоге останавливается и меняет направление на противоположное. Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это показано на рисунке.

    Рис. 3.11. Объект, движущийся с вектором скорости на восток при отрицательном ускорении, останавливается и меняет направление на противоположное. Через достаточно долгое время он проходит исходную точку в обратном направлении.

    Пример

    Расчет среднего ускорения: скакун покидает ворота

    Скаковая лошадь, выходящая из ворот, ускоряется из состояния покоя до скорости 15,0 м / с на запад за 1,80 с. Какое у него среднее ускорение?

    Рисунок 3.12 Скаковые лошади ускоряются из-за ворот. (кредит: Джон Салливан)

    Стратегия

    Сначала мы рисуем эскиз и назначаем систему координат проблемному рисунку. Это простая проблема, но всегда помогает ее визуализировать. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.

    Рисунок 3.13 Определите систему координат, данную информацию и то, что вы хотите определить.

    Мы можем решить эту проблему, определив [latex] \ Delta v \, \ text {and} \, \ Delta t [/ latex] из заданной информации, а затем вычислив среднее ускорение непосредственно из уравнения [latex] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t } _ {\ text {f}} — {t} _ {0}} [/ latex].

    Решение

    Сначала определите известные: [latex] {v} _ {0} = 0, {v} _ {\ text {f}} = — 15.0 \, \ text {m / s} [/ latex] (отрицательный указывает направление на запад), Δ t = 1.80 с.

    Во-вторых, найдите изменение скорости. Поскольку лошадь движется с нуля до –15,0 м / с, ее изменение скорости равно ее конечной скорости:

    [латекс] \ Delta v = {v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0} = {v} _ {\ text {f}} = — 15,0 \, \ text {м / с }. [/ latex]

    Наконец, подставьте известные значения ([latex] \ Delta v \, \ text {and} \, \ Delta t [/ latex]) и найдите неизвестное [latex] \ overset {\ text {-}} {a } [/ latex]:

    [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {-15.{2}. [/ Латекс]

    Значение

    Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад. Ускорение 8,33 м / с 2 на западе означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м / с на западе каждую секунду; то есть 8,33 метра в секунду в секунду, что мы записываем как 8,33 м / с 2 . Это действительно среднее ускорение, потому что езда не гладкая. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы от всадника держаться с силой, почти равной его весу.{2}. [/ Латекс]

    Мгновенное ускорение

    Мгновенное ускорение a или ускорение в определенный момент времени получается с использованием того же процесса, который описан для мгновенной скорости. То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными [латексом] \ Delta t [/ latex], и позволяем [latex] \ Delta t [/ latex] приближаться к нулю. Результатом является производная функции скорости v ( t ), которая составляет мгновенное ускорение и математически выражается как

    .

    [латекс] a (t) = \ frac {d} {dt} v (t).[/ латекс]

    Таким образом, подобно тому, как скорость является производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости. Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На рисунке мгновенное ускорение в момент времени t 0 представляет собой наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени t 0 . Мы видим, что среднее ускорение [latex] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} [/ latex] приближается к мгновенному ускорению, как [latex] \ Delta t [/ latex ] стремится к нулю.Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю. Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, поскольку наклон кривой там тоже равен нулю. Таким образом, для заданной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.

    Рис. 3.14. На графике зависимости скорости от времени мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной.(a) Показано среднее ускорение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {i}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {i}} [/ latex] между временами [латекс] \ Delta t = {t} _ {6} — {t} _ {1}, \ Delta t = {t} _ {5} — {t} _ {2} [/ latex] и [latex] \ Delta t = {t} _ {4} — { t} _ {3} [/ latex]. Когда [latex] \ Delta t \ равняется 0 [/ latex], среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. В виде (а) мгновенное ускорение показано для точки на кривой скорости при максимальной скорости. В этой точке мгновенное ускорение — это наклон касательной, равный нулю.В любое другое время наклон касательной — и, следовательно, мгновенное ускорение — не будет нулевым. (b) То же, что (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.

    Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим два примера. Во-первых, простой пример показан с использованием рисунка (b), графика зависимости скорости от времени на рисунке, чтобы найти ускорение графически. Этот график изображен на рисунке (а), который представляет собой прямую линию. Соответствующий график ускорения в зависимости от времени находится по наклону скорости и показан на рисунке (b).В этом примере функция скорости представляет собой прямую линию с постоянным наклоном, поэтому ускорение является постоянным. В следующем примере функция скорости имеет более сложную функциональную зависимость от времени.

    Рис. 3.15. (a, b) График зависимости скорости от времени является линейным и имеет постоянный отрицательный наклон (a), который равен ускорению, показанному на (b).

    Если мы знаем функциональную форму скорости, v ( t ), мы можем вычислить мгновенное ускорение a ( t ) в любой момент времени в движении, используя рисунок.{2} \, \ text {m / s} [/ латекс].

    1. Найдите функциональную форму ускорения.
    2. Найдите мгновенную скорость при t = 1, 2, 3 и 5 с.
    3. Найдите мгновенное ускорение при t = 1, 2, 3 и 5 с.
    4. Интерпретируйте результаты (c) в терминах направлений векторов ускорения и скорости.
    Стратегия

    Мы находим функциональную форму ускорения, взяв производную от функции скорости.{2} [/ латекс]

  • При t = 1 с, скорость [latex] v (1 \, \ text {s)} = 15 \, \ text {m / s} [/ latex] положительна, а ускорение положительно, поэтому и скорость, и ускорение в том же направлении. Частица движется быстрее.
  • При t = 2 с скорость увеличилась до [latex] v (2 \, \ text {s)} = 20 \, \ text {m / s} [/ latex], где она максимальна, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость возникает, когда наклон функции скорости равен нулю, что является просто нулем функции ускорения.

    При t = 3 с, скорость равна [latex] v (3 \, \ text {s)} = 15 \, \ text {m / s} [/ latex], а ускорение отрицательное. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицательный. Частица замедляется.

    При t = 5 с, скорость равна [latex] v (5 \, \ text {s)} = — 25 \, \ text {m / s} [/ latex], а ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с частица уменьшила свою скорость до нуля, а затем стала отрицательной, таким образом изменив свое направление.Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.

    Мы можем видеть эти результаты графически на рисунке.

    Рис. 3.16. (а) Скорость в зависимости от времени. Касательные линии указаны в моменты времени 1, 2 и 3 с. Наклон касательных — это ускорение. При t = 3 с скорость положительная. При t = 5 с скорость отрицательна, что указывает на то, что частица изменила направление на противоположное. (б) Ускорение против времени. Сравнивая значения ускорений, представленные черными точками, с соответствующими наклонами касательных линий (наклон линий через черные точки) на (а), мы видим, что они идентичны.

    Значение

    Выполняя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении. Численный анализ дополняет графический анализ, давая полное представление о движении. Нуль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительное и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю и в конечном итоге становится отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться.Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, что указывает на изменение направления. Реальным примером такого движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление движения.

    Проверьте свое понимание

    Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, летящей на восток. Опишите его ускорение.

    Показать решение

    Если мы возьмем восток за положительное значение, тогда самолет будет иметь отрицательное ускорение, потому что он ускоряется в сторону запада.Он также замедляется; его ускорение противоположно его скорости.

    Ощущение ускорения

    Вы, вероятно, привыкли испытывать ускорение, когда заходите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми мы не имеем прямого контакта. На рисунке представлены ускорения различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.

    Типичные значения ускорения (кредит: Википедия: порядки величин (ускорение))
    Разгон Значение (м / с 2 )
    Скоростной поезд 0,25
    Лифт 2
    Гепард 5
    Объект в свободном падении без сопротивления воздуха у поверхности Земли 9,8
    Максимум космического челнока во время запуска 29
    Пик парашютиста при нормальном раскрытии парашюта 59
    Самолет F16 выходит из пикирования 79
    Взрывное выброс сиденья с самолета 147
    Ракета Sprint 982
    Максимальное пиковое ускорение ракетных салазок 1540
    Прыгающая блоха 3200
    Бейсбольный удар битой 30 000
    Закрытие губки муравья-ловушки 1 000 000
    Протон в большом адронном коллайдере [латекс] 1.{9} [/ латекс]

    В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют никакого отношения к размеру объекта или его массивности. Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. У дрэг-рейсинга большое ускорение сразу после старта, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения.На рисунке показано графическое сравнение среднего ускорения с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.

    Рис. 3.17. Графики мгновенного ускорения в зависимости от времени для двух различных одномерных движений. (а) Ускорение меняется незначительно и всегда в одном и том же направлении, поскольку оно положительное. Среднее значение за интервал почти такое же, как и ускорение в любой момент времени. (b) Ускорение сильно различается, возможно, представляя пакет на конвейерной ленте почтового отделения, который ускоряется вперед и назад, когда он натыкается.В такой ситуации необходимо учитывать небольшие интервалы времени (например, от 0 до 1,0 с) с постоянным или почти постоянным ускорением.

    Сводка

    • Ускорение — это скорость изменения скорости. Ускорение — это вектор; он имеет как величину, так и направление. Единица измерения ускорения в системе СИ — метр на секунду в квадрате.
    • Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, либо и тем, и другим.
    • Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент во время движения.Он рассчитывается по производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
    • Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.

    Концептуальные вопросы

    Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, когда ускорение не равно нулю?

    Показать решение

    Нет, в одном измерении постоянная скорость требует нулевого ускорения.

    Может ли скорость быть постоянной, если ускорение не равно нулю? Объяснять.

    Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.

    Показать решение

    Мяч подбрасывается в воздух, и его скорость равна нулю на вершине броска, но ускорение не равно нулю.

    Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, в каком направлении он ускоряется? Ускорение положительное или отрицательное?

    Знаки плюс и минус используются в одномерном движении для указания направления.{2} [/ латекс]

    Доктор Джон Пол Стапп был офицером ВВС США, изучавшим влияние экстремального ускорения на человеческое тело. 10 декабря 1954 года Стапп проехал на ракетных санях, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м / с (1015 км / ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с. Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное его направлению движения. Выразите каждое значение кратным g (9,80 м / с 2 ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.

    Нарисуйте график зависимости ускорения от времени из следующего графика зависимости скорости от времени.

    Показать ответ

    Пассажир выезжает на машине из гаража с ускорением 1,40 м / с 2 . а) Сколько времени ей нужно, чтобы набрать скорость 2,00 м / с? (b) Если она затем тормозит до остановки за 0,800 с, каково ее ускорение?

    Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета выходит из состояния покоя на суборбитальную скорость 6,50 км / с за 60 секунд.0 с (фактическая скорость и время классифицируются). Каково его среднее ускорение в метрах в секунду и кратное g (9,80 м / с 2 )?

    Показать решение

    [латекс] a = 11,1 г [/ латекс]

    Самолет, взлетая с места, движется по взлетно-посадочной полосе с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м / с. Какое среднее ускорение самолета?

    Глоссарий

    среднее ускорение
    скорость изменения скорости; изменение скорости с течением времени
    мгновенное ускорение
    ускорение в определенный момент времени

    Физика ветряных турбин | Основы энергетики

    Более тысячи лет назад ветряные мельницы работали в Персии и Китае,
    см. TelosNet и
    Википедия.Почтовые мельницы появились в Европе в XII веке, а к концу XIII в.
    башенная мельница, на которой вращалась только деревянная крышка
    вместо всего корпуса мельницы. В США развитие
    ветряная мельница, перекачивающая воду, была важным фактором, позволившим вести сельское хозяйство и разводить скотоводство на обширных территориях
    в середине девятнадцатого века. Эти ветряные помпы
    (иногда называемые западными мельницами) все еще распространены в Америке и Австралии.У них есть ротор с
    около 30 лопастей (или лопастей) и способность медленно поворачиваться. Из 200 000 ветряных мельниц, существующих в
    В Европе середины девятнадцатого века через столетие остался только один из десяти.
    С тех пор старые ветряные мельницы были заменены паровыми двигателями и двигателями внутреннего сгорания. Однако поскольку
    В конце прошлого века количество ветряных турбин неуклонно растет, и их начинают принимать
    играет важную роль в производстве электроэнергии во многих странах.

    Сначала мы покажем, что для всех ветряных турбин мощность ветра пропорциональна скорости ветра в кубе.
    Энергия ветра — это кинетическая энергия движущегося воздуха. Кинетическая энергия массы м с
    скорость v составляет

    Массу воздуха m можно определить из плотности воздуха ρ и объема воздуха V согласно

    Затем,

    Мощность — это энергия, разделенная на время. Рассмотрим малое время Δ t , за которое частицы воздуха
    пройти расстояние с = v Δ t для протекания.Умножаем расстояние на
    площадь ротора ветряной турбины A , в результате получается объем

    , который приводит в движение ветряную турбину на короткое время. Тогда мощность ветра дается как

    .

    Сила ветра увеличивается пропорционально скорости ветра. Другими словами: удвоение скорости ветра дает
    в восемь раз больше энергии ветра. Поэтому для ветряка очень важен выбор «ветреного» места.

    Эффективная полезная энергия ветра меньше, чем указано в приведенном выше уравнении.Скорость ветра позади
    ветряк не может быть нулевым, так как воздух не может следовать. Следовательно, только часть кинетической энергии
    можно извлечь. Рассмотрим следующую картину:

    Скорость ветра перед ветряком больше, чем после него. Поскольку массовый расход должен быть непрерывным,
    площадь A 2 после ветряной турбины больше площади A 1
    перед. Эффективная мощность — это разница между двумя ветровыми мощностями:

    .

    Если разница обеих скоростей равна нулю, у нас нет чистой эффективности.Если разница слишком велика,
    поток воздуха через ротор слишком затруднен. Коэффициент мощности c p характеризует
    относительная мощность рисования:

    Для вывода приведенного выше уравнения было принято следующее:
    A 1 v 1 = A 2 v 2
    = A ( v 1+ v 2) / 2. Обозначим соотношение v 2/ v 1 с правой стороны.
    уравнения с x .Чтобы найти значение x , которое дает максимальное значение C P ,
    мы берем производную по отношению к x и устанавливаем ее равной нулю. Это дает максимум, когда x = 1/3.
    Максимальная мощность рисования получается для v 2 = v 1 /3,
    а идеальный коэффициент мощности равен

    Другая ветряная турбина, расположенная слишком близко сзади, будет приводиться в движение только более медленным воздухом. Таким образом, ветряные электростанции в
    Преобладающее направление ветра требует минимального расстояния, в восемь раз превышающего диаметр ротора.Обычный диаметр ветряков
    составляет 50 м с установленной мощностью 1 МВт и 126 м с ветроэнергетической установкой мощностью 5 МВт. Последний в основном используется на шельфе.

    Установленная мощность или номинальная мощность ветряной турбины соответствует выходной электрической мощности со скоростью между
    12 и 16 м / с, при оптимальных ветровых условиях. По соображениям безопасности установка не вырабатывает большую мощность при сильном ветре.
    условия, чем те, для которых он предназначен. Во время грозы установка отключается.В течение года загруженность
    из 23% можно добраться вглубь страны. Это увеличивается до 28% на побережье и 43% на море.

    Более подробную информацию можно найти на Интернет-страницах wind-works.org и в
    страницы Американской ассоциации ветроэнергетики.

    Установленная мощность ветроэнергетики в США в апреле 2020 года составляла около 107,4 ГВт. Эта мощность была превышена.
    только Китай (более 200 ГВт). Центр ветроэнергетики Альты
    в Калифорнии — крупнейшая ветряная электростанция в Соединенных Штатах с 2013 года мощностью 1.6 ГВт.
    Электроэнергия, произведенная с помощью энергии ветра в Соединенных Штатах, составила в 2019 году около 300 ТВт-ч (тераватт-часов),
    или 7,3% всей вырабатываемой электроэнергии. Подробную информацию о нынешнем состоянии в США можно найти в
    Википедия.

    Ключевым моментом в ветроэнергетике является то, что время пикового спроса на электроэнергию и время оптимальных ветровых условий
    совпадают редко. Таким образом, другие производители электроэнергии с короткими сроками выполнения заказа и хорошо развитой системой распределения электроэнергии
    системы необходимы для дополнения выработки энергии ветра.

    Почему современные ветряные турбины потеряли одну лопасть по сравнению со старыми четырехлопастными ветряными мельницами?

    Мощность ротора P мех = 2π M n пропорциональна крутящему моменту M , действующему на
    вал и частота вращения n . На последнее влияет передаточное число наконечника λ ,
    который рассчитывается согласно λ = v u / v 1 из соотношения
    окружная скорость (конечная скорость) v u ротора и скорость ветра v 1 .Крутящий момент M увеличивается с количеством лопастей. Поэтому он является самым большим для мельниц западного производства с множеством лопастей,
    меньшего размера для ветряных мельниц с четырьмя лопастями и самого маленького на сегодняшний день ветряных турбин с 3 лопастями. Однако каждое лезвие,
    по мере вращения снижает скорость ветра для следующих лопастей. Этот эффект «ветровой тени» увеличивается с увеличением количества лопастей.
    Оптимальное передаточное отношение скорости острия — около единицы для мельницы Western, чуть больше 2 для четырехлопастной мельницы и 7-8 для мельницы с четырьмя лопастями.
    трехлопастные роторы.Трехлопастные роторы при оптимальном передаточном числе конечных скоростей достигают значения c p .
    48% и приближается к идеальному значению 59%, чем ветряные турбины с 4 лопастями.
    Для ветряных турбин с двумя лопастями или уравновешенных по весу конфигураций ротора с одной лопастью выходная мощность меньше, несмотря на
    более высокое передаточное число наконечников из-за меньшего крутящего момента M . Таким образом, ветряные турбины сегодня имеют три лопасти.

    Страница не найдена | MIT

    Перейти к содержанию ↓

    • Образование
    • Исследовательская работа
    • Инновации
    • Прием + помощь
    • Студенческая жизнь
    • Новости
    • Выпускников
    • О Массачусетском технологическом институте
    • Подробнее ↓

      • Прием + помощь
      • Студенческая жизнь
      • Новости
      • Выпускников
      • О Массачусетском технологическом институте

    Меню ↓

    Поиск

    Меню

    Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
    Попробуйте поискать что-нибудь еще!

    Что вы ищете?

    Увидеть больше результатов

    Предложения или отзывы?

    Моделирование предположений в механике

    Моделирование в механике

    Практически во всех задачах механики необходимо делать некоторые допущения при моделировании, чтобы упростить задачи до такой степени, чтобы их можно было проанализировать.Здесь мы рассмотрим две наиболее распространенные модели, которые используются в контексте проблемы Модельных решений — постоянное ускорение свободного падения и
    пренебрежение сопротивлением воздуха — и посмотрите, как они влияют на достоверность анализа.

    Некоторая часть математики здесь весьма сложна (потребуются знания векторной нотации и того, как решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка), а также часто довольно длинная — это намеренно оставлено так, однако, чтобы продемонстрировать важность предположений моделирования, которые играют в упрощение математического анализа даже на первый взгляд простых физических ситуаций.{-2} $. Как это может быть правдой?

    Предположение исходит из состава разделительного члена $ r $ для тел в гравитационном поле Земли. Для объекта, находящегося на высоте $ h $ над поверхностью Земли, $ r = h + R_E $, где $ R_E $ — радиус Земли (приблизительно 6738 км). Однако в общем случае $ h \ ll R_E $ и, следовательно, допустимо предположить, что $ r \ приблизительно R_E $ с хорошей степенью точности (например, даже для $ h = 10
    \ textrm {km} $, крейсерская высота реактивного авиалайнера, ошибка ускорения, связанная с предположением, что $ r = R_E $ меньше 0.{-2} $ возникает из-за изменения радиуса Земли с широтой из-за ее несферической формы, при этом стандартизованное значение использует немного другое значение $ R_E $, чем указанное).

    Чтобы показать, как допущение постоянного $ g $ влияет на анализ движения объектов, мы рассмотрим движение толкателя ядра из задачи Model Solutions с допущением и без него. А пока мы сделаем дальнейшие предположения о моделировании точечной массы без сопротивления воздуха, чтобы упростить (относительно!) Вещи.

    Пусть выстрел проецируется с начальной скоростью $ \ textbf {v} (0) = p \ textbf {i} + q \ textbf {j} $

    Случай 1: Константа g

    Согласно аргументам симметрии, выстрел займет столько же времени, чтобы пройти от точки запуска до вершины траектории, как и от вершины до момента, когда он снова окажется на одном уровне с точкой, из которой был запущен. В вершине он будет иметь мгновенную вертикальную скорость $ v = 0 $ и время, необходимое для достижения этой точки $ \ frac {1} {2} T $. 2} $ $

    Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем применять итеративно, чтобы вычислить, как $ r $ изменяется с $ t $ при двух начальных значениях, поэтому, чтобы найти диапазон, мы продолжаем итерацию, пока объект не вернется на свою начальную высоту.Хотя, конечно, это можно было бы сделать вручную, это потребовало бы чрезвычайно много времени и было бы подвержено человеческим ошибкам, поскольку, вероятно, потребуются тысячи итераций. Такая задача
    однако идеально подходит для выполнения на компьютере, и именно так были получены цифры, которые будут использоваться для сравнения ниже. Хотя это не имеет прямого отношения к статье для тех, кто интересуется, как это можно сделать, ниже приведен пример на Python.

    Код Python:

        # Константы
        G = 6.673e-11
        М = 5.9742e + 24
        R = 6,378e + 06
        dt = 0,001
        # Функция для расчета диапазона частицы с учетом начального
        # скорость v = pi + qj при постоянной гравитации
        def calcRangeConst (p, q):
            g = (G * M) / (R * R)
            возврат 2 * p * q / g
        # Функция для расчета диапазона частицы с учетом начального
        # скорость v = pi + qj при переменной гравитации
        def calcRangeVar (p, q):
            т = дт
            hp = R
            h = hp + q * dt + 0,5 * (- (G * M) / (R * R)) * dt * dt
            пока h> = R:
                темп = ч
                а = - (G * M) / (h * h)
                ч = 2 * ч - лс + а * дт * дт
                hp = temp
                т + = дт
            вернуть t * p
     
    Сравнение результатов

    Установив методы расчета дальности проецируемой частицы как при переменном, так и при постоянном гравитационном ускорении, мы можем теперь определить эффект, который имеет предположение о постоянном гравитационном ускорении.{-1}} 90 256 долларов США

    Диапазон $ / \ mathrm {m} $ Разница в процентах Горизонтально Вертикальный Переменная сила тяжести Постоянная сила тяжести 2,0 2,0 0,8180 0,8163 -0,206% 2,0 4,0 1,6340 1,6326 -0,084% 2,0 6,0 2.4500 2.4489 -0,043% 2,0 8,0 3,2660 3,2653 -0,023% 2,0 10,0 4,0820 4,0816 -0,010% 4,0 2,0 1,6360 1,6326 -0,206% 4,0 4,0 3,2680 3,2653 -0,084% 4.0 6,0 4,9000 4,8979 -0,043% 4,0 8,0 6.5320 6.5305 -0,023% 4,0 10,0 8,1640 8,1632 -0,010% 6,0 2,0 2.4540 2,4489 -0,206% 6,0 4,0 4,9020 4.8979 -0,084% 6,0 6,0 7.3500 7,3468 -0,043% 6,0 8,0 9,7980 9,7958 -0,023% 6,0 10,0 12,2460 12,2447 -0,010% 8,0 2,0 3,2720 3,2653 -0,206% 8.0 4,0 6.5360 6.5305 -0,084% 8,0 6,0 9,8000 9,7958 -0,043% 8,0 8,0 13,0640 13.0611 -0,023% 8,0 10,0 16.3280 16,3263 -0,010% 10,0 2,0 4.0900 4.0816 -0,206% 10,0 4,0 8,1700 8,1632 -0,084% 10,0 6,0 12,2500 12,2447 -0,043% 10,0 8,0 16,3300 16,3263 -0,023% 10,0 10,0 20,4100 20,4079 -0,010%

    Судя по незначительному изменению гравитационного ускорения даже при очень большой разнице высот, эффект моделирования силы тяжести как постоянной практически не влияет на дальность действия.Резкость увеличивается с увеличением скорости вертикального проецирования (при этом скорость горизонтального проецирования не оказывает никакого влияния, как можно было бы ожидать), но даже при довольно значительных скоростях процентная разница составляет
    крошечный. Поэтому кажется справедливым сказать, что моделирование движения снаряда как находящегося под постоянной гравитацией действительно во всех случаях. Ошибка, вносимая в результаты, практически наверняка будет незначительной по сравнению с ошибками, внесенными другими необходимыми допущениями при моделировании. Не менее важным моментом является то, что из вышеизложенного видно, что эта модель упрощает ассортимент.
    массовые расчеты, без этого предположения аналитическое решение задачи вообще невозможно.

    Включая воздушное сопротивление

    Пренебрежение сопротивлением воздуха является довольно важным допущением при моделировании, поскольку эффекты сопротивления могут иметь значительное влияние на траекторию объекта. Однако точно учесть влияние сопротивления воздуха очень сложно, поскольку оно имеет сложную зависимость от скорости объекта и свойств жидкости, через которую он движется, с помощью только численных, а не аналитических.
    возможные решения.

    Для низкоскоростного движения в жидкости, такой как воздух, можно использовать очень простую модель сопротивления воздуха, в которой величина силы сопротивления пропорциональна относительной скорости между объектом и жидкостью и всегда направлена ​​против движения, чтобы дать общее указание на его эффекты.Это называется сопротивлением Стокса, и соответствующий
    уравнение:

    $$ \ mathbf {F_ {drag}} = — b \ mathbf {v} \ ,, $$

    , где $ \ mathbf {F_ {drag}} $ — сила сопротивления, испытываемая объектом, движущимся со скоростью $ \ mathbf {v} $ относительно жидкости, через которую он движется. Константа пропорциональности $ b $ зависит от вязкости жидкости и геометрии объекта.

    Как правило, сопротивление воздуха уменьшает как горизонтальный диапазон, так и время нахождения в воздухе толкания ядра, при этом уровень эффекта зависит от значения константы пропорциональности $ b $.Ниже приведены уравнения движения толкателя ядра, выполняемого как с учетом сопротивления воздуха, так и без него, чтобы продемонстрировать это.

    Как и раньше, пусть выстрел проецируется с начальной скоростью $ \ textbf {v} (0) = p \ textbf {i} + q \ textbf {j} $ из позиции $ \ mathbf {r} (0) = 0 \ mathbf {i} + 0 \ mathbf {j}

    долларов

    Случай 1: Нет сопротивления воздуха

    Применение второго закона Ньютона к выстрелу в вертикальном направлении:

    $$ m \ ddot {y} = -mg \ Rightarrow \ ddot {y} = -g $$

    Двойное интегрирование по времени:

    $$ \ dot {y} = -gt + A $$ $$ \ ddot {y} = — \ frac {1} {2} gt ^ 2 + At + B $$

    Применение начальных условий для нахождения констант:

    $$ y (0) = 0 \ Rightarrow 0 = -g (0) + A \ Rightarrow A = 0 $$ $$ \ dot {y} (q) = \ frac {1} {2} g (0) + A (0) + B \ Rightarrow B = q $$ $$ \, следовательно, y = qt — \ frac {1} {2} gt ^ 2 $$

    На выстрел не действуют силы в горизонтальном направлении, поэтому нет горизонтального ускорения.2 = 0 \ Rightarrow T = \ frac {2q} {g} $$

    Подставляя это в уравнение для горизонтального движения, дайте диапазон:

    $$ D = pT = \ frac {2pq} {g} $$

    Случай 2: Включая сопротивление воздуха

    Применение второго закона Ньютона к толканию ядра в вертикальном направлении:

    $$ m \ ddot {y} = -mg — b \ dot {y} \ Rightarrow \ ddot {y} + \ frac {b} {m} \ dot {y} = -g $$

    Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно $ y $, которое может быть решено с использованием метода дополнительных функций / частных интегралов.2} \ frac {qb} {mg + qb}} \ right) \\ T & = \ frac {3m} {2b} \ left (1 \ pm \ sqrt {1 — \ frac {8qb} {3 (mg + qb)}} \ right) \\ T & = \ frac {3m} {2b} \ left (1 \ pm \ sqrt {\ frac {3mg — 5qb} {3mg + 3qb}} \ right) \ end {align * } $$

    Только нижний из этих корней является допустимым приближением (по мере увеличения $ T $ приближение ряда расходится с фактическим результатом), то есть

    $$ T = \ frac {3m} {2b} \ left (1 — \ sqrt {\ frac {3mg — 5qb} {3mg + 3qb}} \ right) $$

    Чтобы определить дальность полета снаряда $ D $, это значение времени необходимо подставить в уравнение для горизонтальной координаты, что дает горизонтальное расстояние, пройденное в точке, где он возвращается на землю:

    $$ D = \ frac {mp} {b} \ left (1 — e ^ {- \ frac {b} {m} T} \ right) $$

    Сравнение результатов

    Что сразу бросается в глаза, так это то, что анализ без сопротивления воздуха намного короче, чем при его включении!

    В таблице ниже приведены расчетные дальности полета снаряда с различными начальными скоростями с использованием приведенных выше уравнений.{-1}} 90 256 долларов США

    Диапазон $ / \ mathrm {m} $ Горизонтально Вертикальный Нет сопротивления Низкое сопротивление Высокое сопротивление 2,0 2,0 0,82 0,80 (1,3%) 0,77 (5,1%) 2,0 5,0 2,04 1,97 (3,3%) 1,80 (11,9%) 2,0 10,0 4,08 3.82 (6,3%) 3,22 (20,9%) 2,0 20,0 8,15 7,19 (11,9%) 5,44 (33,3%) 5,0 2,0 2,04 2,01 (1,3%) 1,93 (5,1%) 5,0 5,0 5,10 4,93 (3,3%) 4,49 (11,9%) 5,0 10,0 10,19 9,55 (6,3%) 8.06 (20,9%) 5,0 20,0 20,39 17,97 (11,9%) 13,59 (33,3%) 10,0 2,0 4,08 4,02 (1,3%) 3,87 (5,1%) 10,0 5,0 10,19 9,86 (3,3%) 8,99 (11,9%) 10,0 10,0 20,39 19,10 (6,3%) 16,12 (20.9%) 10,0 20,0 40,77 35,94 (11,9%) 27,18 (33,3%) 20,0 2,0 8,15 8,05 (1,3%) 7,74 (5,1%) 20,0 5,0 20,39 19,72 (3,3%) 17,97 (11,9%) 20,0 10,0 40,77 38,19 (6,3%) 32,24 (20.9%) 20,0 20,0 81,55 71,88 (11,9%) 54,36 (33,3%)

    Как и следовало ожидать, с увеличением начальной скорости снаряда увеличивается и расхождение между результатами с учетом эффекта сопротивления и без него. Уменьшенный диапазон при более высоких значениях $ \ frac {b} {m} $ также соответствует повседневному опыту: чем более вязкая жидкость проходит через (что соответствует более высокому значению $ b $) и чем меньше масса снаряда, тем больше
    эффект сопротивления — например, мяч для гольфа движется по воздуху (низкий $ \ frac {b} {m} $) по сравнению с мячом для настольного тенниса, движущимся по воде (высокий $ \ frac {b} {m} $).

    Хотя модель, использованная здесь для сопротивления, была чрезмерным упрощением реальности, она все же дает достаточно доказательств, чтобы показать, что пренебрежение эффектами сопротивления / сопротивления воздуха при моделировании движения снаряда оказывает очень значительное влияние на результаты, полученные даже при относительно низких скоростях. Однако, наоборот, можно видеть, что даже с такой упрощенной моделью сопротивления воздуха математика
    участие в моделировании движения снаряда быстро становится очень сложным и требует много времени. Методы, необходимые для более точного моделирования эффектов сопротивления, еще более сложны на несколько порядков, и даже они дают только приближение для идеализированных ситуаций.

    Этот конфликт между точностью и сложностью очевиден почти во всех моделях, обратная связь между ними означает, что необходимо идти на компромисс между желаемой точностью результатов и временем и усилиями, доступными для их получения. Поэтому всегда важно учитывать влияние любых допущений моделирования в контексте предполагаемого конечного использования анализа и
    помните о любых возможных расхождениях в результатах при их использовании.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.