Пирамида и ее элементы правильная пирамида 11 класс: Пирамида — урок. Геометрия, 11 класс.

Содержание

Урок 15. пирамида — Геометрия — 10 класс

Геометрия, 10 класс

Урок № 15. Пирамида

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие пирамиды;
  • Виды пирамид;
  • Элементы пирамиды: вершина, ребра, грани, основание;
  • Площадь боковой поверхности и полной поверхности пирамиды.

Глоссарий по теме

Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников

Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником

Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

Основная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Образовательный портал «Решу ЕГЭ». https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник A1A2. ..An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2…An и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1A2…An называется основанием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1 боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAnбоковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A1A2…An и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA1A2…An.

Рисунок 1 — пирамида

Высота пирамиды

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).

Рисунок 3 – высота вне пирамиды

Рисунок 4 – Высота пирамиды — боковое ребро

Правильная пирамида

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

Рисунок 5 – Правильная пирамида

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2…An (рис. 5).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А1О, А2О,. ..АnО.

Образованные высотой и радиусами треугольники являются прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и равные катеты А1О, А2О,…АnО (равны как радиусы). Значит, треугольники РОА1, РОА2,…РОАn равны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA1 , РA2… РAn, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду PA1A2…An и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В12,…Вn (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2…An и В1В2…Вn (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, … A1AnBnB1(боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Рисунок 6 – Усеченная пирамида

Отрезки A1B1, A2B2, … AnBn называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями A1A2…An и В1В2…Вn обозначают следующим образом: A1A2…AnВ1В2…Вn.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH1 и В1O –высоты усеченной пирамиды.

Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.

Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Решение

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

Ответ: 177

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Решение

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

Ответ: 80

виды пирамид, формулы объема и площади поверхности, апофема, высота — Колпаков Александр Николаевич

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:
1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны все проекции боковых ребер будет равны P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .
Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,
репетитор по математике в Москве. Строгино

Урок по теме: «Пирамида.

Правильная пирамида», 11 класс. | План-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме:

Урок по теме: «Пирамида. Правильная пирамида», 11 класс.

Цели урока: создать условия для формирования понятий пирамиды, правильной пирамиды, научить  называть элементы пирамиды: основание, боковые грани, вершина, боковые рёбра, высота пирамиды, высота боковой грани, научить решать задачи, связанные с пирамидой; развивать пространственное воображение школьников, формировать умения осуществлять самоконтроль в процессе самостоятельной работы, развитие графической культуры; создать условия для воспитания чувства ответственности, толерантности, навыков коммуникативной компетентности.

Оборудование урока: кейс, компьютер, проектор для просмотра презентации.

Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Представление кейса.

   У каждого ученика есть кейс.

 Разберём, как с ним работать.

1. Кейс имеет название, которое соответствует теме нашего урока.

2. Рассмотреть цели урока.

3. Рассмотреть режим работы.                                                                                                

4. Прочитать правила работы с кейсом и приступать к теоретической части.

5. В микрогруппах вы будете обсуждать выполненные задания и ответы к вопросам. После этого правильность выполнения будем проверять всем классом.

6. В конце урока вы, согласно таблице самооценивания, поставите баллы.

III. Проверка домашнего задания.

         Изготовить объемную модель пирамиды можно своими руками. На листке картона учащиеся чертят квадрат ABCD и проводят его диагонали. Через точку пересечения диагоналей, перпендикулярно вставляют колышек и соединяют цветной нитью или резинкой с точками А,В,С,Д. Они закрепляются узлами с обратной стороны картона. Получаем правильную пирамиду, высоту которой можно регулировать.

IV. Повторение изученного материала проводится в форме графического диктанта.

            Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да — ^  нет — __                          

1. Многогранник, составленный из n-угольника и n-треугольников называется        пирамидой  

2.Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию.

3. Пирамида может иметь 3 грани, перпендикулярные к плоскости основания.

4.Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?

5.Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

6.Общая точка боковых граней пирамиды называется вершиной.

7.Боковая грань пирамиды — квадрат.

8.Основанием треугольной пирамиды является треугольник.                                        V. Изучение нового материала

        Индивидуальное изучение кейса каждым учеником.

        Разработка вариантов индивидуальных решений.

VI. Усвоение нового материала

        Обсуждение вариантов индивидуальных решений в каждой микрогруппе.

        Вопросы для обсуждения.

VII. Итог урока

       Каждый ученик записывает баллы в тетради по таблице самооценивания.

       У каждого ученика есть анкета, которую он заполняет и сдаёт учителю.

VIII. Домашняя работа

Кейс «Пирамида. Правильная пирамида».

1.Глава — Многогранники.

2.Цели занятия:

Знать: определение правильной пирамиды, её апофемы, свойства боковых рёбер и граней.

Уметь: объяснить, что такое пирамида, её основание, боковые рёбра и грани, вершина, высота, формулировать и доказывать теорему о площади.

3.Режим работы

а) Представление кейса.

б) Повторение изученного материала.

в) Индивидуальное изучение кейса каждым учеником.

г) Обсуждение решений в каждой микрогруппе.

д) Вопросы для обсуждения.

е) Подведение итогов.

4. Правила работы над кейсом.

Все решения заданий следует записывать в тетради. Переписывать в тетрадь задания и чертежи не требуется, если это не предусмотрено самим заданием. В данном кейсе нельзя писать решения. Внимательно читайте теоретический материал и выполняйте практические задания индивидуально по порядку. За консультацией можно обращаться к учителю.

1. Теоретический материал:

1.Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки  в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис»  в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» — рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» — огонь. В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.

2.Сейчас же пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания (используйте модель пирамиды, изготовленную дома). Треугольная пирамида называется тетраэдром.

3.При изучении понятия правильной пирамиды обратите внимание на два момента: основание пирамиды – правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Устно докажите, что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.                                                                                                                                         Доказательство данных фактов проводится устно: 

  1. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности. Эти прямоугольные треугольники равны. Следовательно, равны их гипотенузы.
  2. Так как боковые ребра правильной пирамиды равны, то  ее боковые грани —  равнобедренные треугольники.
    Так как А1А2…Аn – правильный многоугольник, то основания этих треугольников также равны друг другу. Значит, боковые грани равны (по трем сторонам).

4. После этого изучите понятие апофемы правильной пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины), при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.

    5. При изучении теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды полезна символическая запись доказательства. Пусть сторона основания n-угольной пирамиды равна а, апофема равна d, S∆ — площадь боковой грани. Тогда Sбок=n∙ S∆,   Sбок=n∙ad,  Sбок=(n∙a)∙d,   Sбок= Pd,  где P –периметр

   6.Просмотр презентации «Правильная пирамида»

 После просмотра презентации постарайтесь ответить на вопросы:

  1.  Какая пирамида называется правильной?
  2. Являются ли равными боковые ребра правильной пирамиды?
  3. Чем являются боковые грани правильной пирамиды?
  4. Что называется апофемой?
  5. Сколько высот в пирамиде? Сколько апофем в пирамиде?
  6. Сколько апофем в правильной пирамиде?
  7. Равны ли апофемы правильной пирамиды друг другу? Почему?

2. Задания.

1) В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 20 см, оно составляет с основанием угол 450. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.

     2) Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты.  Определите угол наклона боко вого ребра к плоскости основания.

      3) Используя рисунок, на котором изображена пра вильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 1

Таблица 1

а

b

h

k

β

1

6

4

2

12

45°

3

4

60°

4

4

2

Указание. Перед решением задачи следует повто рить  формулы для заполнения таблицы1

NC = , ON = , OC =   и формулы для заполнения таблицы 2

 AC=, ON=, OС=

4) Используя рисунок, на котором изображена пра вильная четырехугольная пирамида,  заполните пу стые ячейки в табл. 2.            

Таблица2

а

k

h

b

α

1

2

2

2

45°

3

6

3

4

4

30°

5). Если в правильной треугольной пирамиде высота H равна стороне основания a, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 600. Верно ли это утверждение?

6). Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».

3. Теоретические вопросы: 

 А) Дайте определение правильной пирамиды. Назовите ее основные элементы.

Б)  Всегда ли правильная пирамида имеет: а) ось симметрии, б) плоскость симметрии?

В)  В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна площади сечения, проведенного через высоту и боковое ребро. Какой должна быть высота этой пирамиды?

Г) Будет ли пирамида правильной, если её боковыми гранями являются правильные треугольники?

4. Критерии самооценивания.

Наименование критерия

колич. баллов

1

2

3

4

5

6

7

8

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Работа в микрогруппе.

Участие в обсуждении.

2

2

4

4

2

2

2

2

№ 1,2,5,6,7

0 – не выполнено.

1 – выполнено не полностью либо выполнено с ошибкой.

2 – выполнено верно.

№ 3,4

0 – не выполнено

2– выполнено не полностью либо выполнено с ошибкой

4,5- выполнено верно

№8                                                                                                                                                                      0 — не принял участия

1 – принял участие

2- активное участие

5. Анкетный опрос 

 

1

2

Фамилия _______________________________ Класс__________________

Сегодня на уроке  я вспомнил (а):__________________________________

_______________________________________________________________

я узнал (а):_____________________________________________________

______________________________________________________________

я научился (ась):________________________________________________

______________________________________________________________

мне понравилось:_______________________________________________

_______________________________________________________________

я бы изменил (а):________________________________________________

_______________________________________________________________

требуется помощь учителя _______________________________________

_______________________________________________________________

3

Сумма баллов за мою работу на уроке:

Презентация » Пирамида.

Основные задачи на правильную пирамиду»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Пирамида Климова А.А. Ярославский градостроительный колледж

Номер слайда 2

Пирамида (др. греч. πυραμίς) – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину боковые грани основание вершина боковые ребра S А B C D E

Номер слайда 3

Площадь поверхности пирамиды Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей основания и боковой поверхности. А В С D S Н О Sполн. = Sосн. + Sбок. l а

Номер слайда 4

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды. А В С D S Н О

Номер слайда 5

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему Док – во: Sбок = (Ѕad + Ѕad + Ѕad + … ) = = Ѕ d (a + a + a + …)= ЅPосн.d Sбок. = Ѕ Pосн.  SH Pосн. А В С D S Н О d а

Номер слайда 6

Объем пирамиды Объем пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту. Vпир. = 1/3 Sосн  h А В С D S О h а

Номер слайда 7

Задачи

Номер слайда 8

Дано: Задача 1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 100 см, боковые ребра равны 130 см. Найдите: Апофему пирамиды («3») Площадь поверхности пирамиды («4») Объем («5») 130 Н h B D A S С O 100 50 SABCD – правильная пирамида АBCD – квадрат АВ=ВС=СD=AD=100 см SC=130 см Найти: SH=? Sп.п.=? V= ?

Номер слайда 9

1 этап на «3»

Номер слайда 10

2 этап на «4»

Номер слайда 11

3 этап на «5»

Номер слайда 12

Задача 2. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 100 см, боковые ребра равны 130 см. Найдите: Апофему пирамиды («3») Площадь боковой поверхности пирамиды(«4») Площадь полной поверхности пирамиды («5») B C A S D O M 100 130 E F Н 50 Дано: SABCDEF – правильная пирамида АBCDEF – правильный шестиугольник АВ=ВС=СD=DE=EF=AF=100 см SC=130 см Найти: SH=? Sб.п.=? Sп.п.=?

Номер слайда 13

1 этап на «3»

Номер слайда 14

2 этап на «4»

Номер слайда 15

3 этап на «5»

Номер слайда 16

Домашнее задание: Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите: Апофему пирамиды («3») Площадь поверхности пирамиды («4») Объем («5») Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 16 см, боковые ребра равны 10 см. Найдите: Апофему пирамиды («3») Площадь боковой поверхности пирамиды(«4») Площадь полной поверхности пирамиды («5»)

Занятие 1. Тема: «Правильная и усеченная пирамиды» (2 ак.ч)

Все прототипы задания В9 (2013)

Все прототипы задания В9 (2013) ( 245359) Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. ( 245360) Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда,

Подробнее

Все прототипы В года

1. Прототип задания B9 ( 245359) Все прототипы В5 2013 года Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,,. 2. Прототип задания B9 ( 245360) Найдите расстояние

Подробнее

Прямоугольный параллелепипед

ЗАДАНИЕ 10 Стереометрия Куб 1.Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. Диагональ грани куба равна 2 6. Найдите диагональ куба. 3. Диагональ грани куба равна 6. Найдите диагональ куба.

Подробнее

7. Задачи по стереометрии

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 7 Задачи по стереометрии методические указания для абитуриентов физического факультета Ростов-на-Дону 00 Печатается по решению учебнофакультета РГУ методической комиссии

Подробнее

Задание 8 Стереометрия.


Задание 8 Стереометрия. Куб 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. 3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Задание 16 Задачи по стереометрии

Задание 16 Задачи по стереометрии Куб 1.Диагональ куба равна 12. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? 3. Ящик, имеющий форму куба с ребром 30

Подробнее

Все прототипы заданий В года

1. Прототип задания B13 ( 27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий

Подробнее

Стартовая контрольная работа

Стартовая контрольная работа Контрольная работа 1(на 20 мин) 1. Найдите координаты вектора АВ, если А (5; 1; 3), В (2; 2; 4). 2. Даны векторы b (3; 1; 2) и c 2b c (1; 4; 3). Найдите. 3. Изобразите систему

Подробнее

Задание 13. Задачи по стереометрии

Задание 13 Задачи по стереометрии 1.Диагональ куба равна Куб. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? 3. Ящик, имеющий форму куба с ребром 30 см

Подробнее

Задачи по с т е р е о м е т р и и

Задачи по с т е р е о м е т р и и Ермак Елена Анатольевна, доктор педагогических наук, профессор кафедры математического анализа и методики обучения математике Псковского государственного университета

Подробнее

Все прототипы заданий В года

1. Прототип задания B13 ( 27054) выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины. Все прототипы заданий В13

Подробнее

ЕГЭ Математика Задача 16

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ В. А. Смирнов ЕГЭ 05. Математика Задача 6 Геометрия. Стереометрия Под редакцией И. В. Ященко Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 05 УДК 373:5 ББК.я7 С50 Смирнов В. А. ЕГЭ 05.

Подробнее

Многогранники. Призма

Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

Подробнее

Все прототипы задания В11 (2013)

Все прототипы задания В11 (2013) ( 25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). ( 25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного

Подробнее

Стереометрия: пирамиды.

А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Стереометрия: пирамиды. 27069. Стороны основания правильной

Подробнее

Все прототипы заданий года

1. Прототип задания 12 ( 27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий 12

Подробнее

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробнее

Куб. Прямоугольный параллелепипед

Куб 1. Задание 16 27098. Диагональ куба равна. Найдите его объем. О т в е т : 8 2. Задание 16 500957. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рѐбра увеличить в 5 раз? О т в е т : 1 2 5 3. Задание

Подробнее

ПРЯМОЙ И НАКЛОННЫЙ КОНУС

ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР Пусть в пространстве заданы две параллельные плоскости и. F круг в одной из этих плоскостей, например. Рассмотрим ортогональное проектирование на плоскость. Проекцией круга F будет круг

Подробнее

Урок по теме «Прямой круговой цилиндр»

Акчурина Е.В. Урок по теме «Прямой круговой цилиндр» Тема: Прямой круговой цилиндр Цели и задачи урока: Обучающие: — ввести понятие цилиндра; — ввести понятие прямого кругового цилиндра и его элементов

Подробнее

А. С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Планиметрия: квадрат, прямоугольник, треугольник. 27583.

Подробнее

Планиметрия: комбинации фигур.

А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Планиметрия: комбинации фигур. 27624. Периметр треугольника

Подробнее

по геометрии 11 класс.

Тематическое планирование учебного материала по геометрии класс. урока пункта Тема. Количество часов. 3-4 5-6 7 8-9 0 39 40 4-43 44 45 46 5Многогранники Двугранный угол Трёхгранный и многогранный углы

Подробнее

Стереометрия: комбинации тел.

А. С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Стереометрия: комбинации тел. 27041. Прямоугольный параллелепипед

Подробнее

Тест 250. Отрезок. Длина

Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Подробнее

Предмет «Математика» Вариант ХХХХ

Предмет «Математика» Вариант ХХХХ I часть При выполнении заданий 1-15 следует записать только ответ. 1. Найдите знаменатель дроби, которая равна дроби, если ее числитель равен. 2. Найдите точку пересечения

Подробнее

Пирамида. Формулы и свойства

Определение.

Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.



Рис.1

Определение. Боковая грань — это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).


Определение. Боковые ребра — это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.


Определение. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.


Определение. Апофема — это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.


Определение. Диагональное сечение — это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.


Определение. Правильная пирамида — это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.


Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Определение. Боковая поверхность пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Определение. Полная поверхность пирамиды — это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n — это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) — это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.


Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) — это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.



Определение. Наклонная пирамида — это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида — это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида — это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.


Определение. Тупоугольная пирамида — это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.


Определение. Правильный тетраэдр — четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.


Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.


Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.


Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.


Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.



Определение. Бипирамида — многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Урок геометрии по теме «Правильная пирамида». 10-й класс

Класс: 10.

Предмет: стереометрия.

Учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др. «Геометрия, 10-11».

Тема урока: «Правильная пирамида».

Цели урока:

  • Образовательные
    • введение понятия правильной пирамиды;
    • рассмотрение свойств правильной пирамиды;
    • введение понятия апофема;
    • рассмотрение задач на нахождение элементов
      правильной пирамиды.
  • Развивающие
    • развитие графической культуры;
    • развитие пространственного мышления;
    • расширение математической терминологии.
  • Воспитательные
    • формирование интереса к предмету.

План урока:

1. Организационный момент

2. Подготовка к изучению новой темы

1.1. Актуализация знаний по теме: «Пирамида».
Проверка усвоения теоретического материала.

Слайд 2

Вопросы к учащимся:

  • Сформулируйте определение пирамиды. Покажите
    на модели (чертеже) ее элементы.
  • Сформулируйте определение высоты пирамиды.
  • Сколько граней, перпендикулярных к плоскости
    основания, может иметь пирамида?
  • Существует ли четырехугольная пирамида, у
    которой противоположные боковые грани
    перпендикулярны к основанию?
  • Могут ли все грани треугольной пирамиды быть
    прямоугольными треугольниками?
  • Что называется площадью боковой поверхности
    пирамиды, площадью полной поверхности пирамиды?

1. 2. Проверка домашнего задания.

На предыдущем уроке учащиеся получили домашнее
задание по вариантам:



Вариант I

Вариант II

№ 243, 247 а

№ 243, 249 а

Проводится визуальная проверка наличия
выполненного домашнего задания.

Проводится обсуждение решения задач № 247а и №
249а. Учащиеся комментируют решение с
использованием готовых чертежей.

Слайд 3

№ 247а

Двугранные углы при основании пирамиды равны.
Докажите, что высота пирамиды проходит через
центр окружности, вписанной в основания.

Вопросы к учащимся:

  • Какая окружность называется вписанной в
    многоугольник?
  • Сформулируйте определение  двугранного угла.
  • Как построить линейный угол двугранного угла?
  • Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

Слайд 4

№ 249а

В пирамиде все боковые ребра равны между собой.
Докажите, что высота пирамиды проходит через
центр окружности,  описанной около основания.

Вопросы к учащимся:

  • Какая окружность называется описанной около
    многоугольника?
  • Как построить угол между боковым ребром и
    плоскостью пирамиды?

1.3. Актуализация знаний по планиметрии.

Слайд 5

Определение правильного многоугольника:

Правильный многоугольнике – выпуклый
многоугольник, у которого все углы равны и все
стороны равны.

Определение центра правильного
многоугольника
:

В правильном многоугольнике центры вписанной и
описанной окружностей совпадают. Это точка –
центр правильного многоугольника.

Слайд 6

Формулы для вычисления элементов
правильного многоугольника
:

3. Объявление темы и целей урока

Слайд 7

Тема урока: «Правильная пирамида».

Цели урока:

  • познакомиться с понятием правильной пирамиды,
    ее элементами и свойствами;
  • научиться строить правильную пирамиду и ее
    элементы;
  • рассмотреть задачи на нахождение элементов
    правильной пирамиды.

4. Изучение теоретического материала

4.1. Определение правильной пирамиды.
Изображение правильных пирамид на чертежах.

Слайд 7

Пирамида называется правильной, если

1) ее основание – правильный многоугольник;

2) ее высота – отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с ее центром.

Слайд 8

Одним из примеров правильной пирамиды являются
египетские пирамиды. Это четырехугольные
пирамиды.

Слайд 9

Внимание учащихся обращается также на
изображение правильных треугольной и
шестиугольной пирамид.

Задание для учащихся:

  • Выполнить в тетради чертеж правильной
    шестиугольной пирамиды.

4.2. Свойства правильной пирамиды.

Слайд 10

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а
боковые грани являются равными равнобедренными
треугольниками.

Доказательство данных фактов проводится
устно:

  1. Любое боковое ребро представляет собой
    гипотенузу прямоугольного треугольника, одним
    катетом которого служит высота пирамиды, а
    другим – радиус описанной около основания
    окружности. Эти прямоугольные треугольники
    равны. Следовательно, равны их гипотенузы.

  2. Так как боковые ребра правильной
    пирамиды равны, то  ее боковые грани -
     равнобедренные треугольники.

    Так как А1А2…Аn – правильный
    многоугольник, то основания этих треугольников
    также равны друг другу. Значит, боковые грани
    равны (по трем сторонам).

4.3.  Апофема.

Слайд 11

Апофема – высота боковой грани правильной
пирамиды, проведенная из ее вершины.

Данный термин употребляется для правильной
пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также
могут быть равны высоты боковых граней.
Вопросы к учащимся:

  • Сколько апофем в правильной пирамиде?
  • Равны ли апофемы правильной пирамиды друг
    другу? Почему?
  • Сколько высот в пирамиде?

Задание для учащихся:

  • Провести апофему правильной шестиугольной
    пирамиды.

5. Закрепление нового материала

    • Решение задачи на построение.

Слайд 12

В правильной четырехугольной пирамиде
построить:

а) угол между боковым ребром и плоскостью
основания;

б) линейный угол двугранного угла при основании;

в) линейный угол двугранного угла между боковыми
гранями.

Слайды 16, 17, 18

Комментируется ход построения (с применением
готового чертежа). Учащиеся выполняют построения
в тетради.

  • Решение задачи на нахождение элементов
    правильной пирамиды.

Слайд 13

№ 255

В правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 8 см, а плоский угол при вершине
основания .
Найдите высоту этой пирамиды.

Решение проводится учеником у доски.

6. Подведение итогов урока

Слайд 14

Вопросы к учащимся:

  • Какая пирамида называется правильной?
  • Являются ли равными боковые ребра правильной
    пирамиды?
  • Чем являются боковые грани правильной пирамиды?
  • Что называется апофемой?
  • Сколько высот в пирамиде? Сколько апофем в
    пирамиде?

Выставление оценок за работу на уроке.

7. Домашнее задание

Слайд 15

§ 2 п.29   № 256 (а, в, г)

Список  литературы:

  1.  Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват.
    учреждений  / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
    Кадомцев
    и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение; ОАО
    «Московские учебники,  2006.
  2.  Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод.
    рекомендации к учеб.: Кн. для учителя/С.М.
    Саакян, В.Ф. Бутузов
    . – М.: Просвещение, 2001.

Пирамиды

Когда мы думаем о пирамидах, мы думаем о Великих пирамидах Египта .

На самом деле это Квадратные пирамиды , потому что их основание — Квадрат.

Части пирамиды

Пирамида создается путем соединения основания с вершиной

Основание — многоугольник (плоский с прямыми краями), а все остальные грани — треугольники. Никаких кривых!

Типы пирамид

Есть много типов пирамид, и они названы в честь формы их основания.

Пролетите здесь через пирамиды.

Правая и наклонная пирамида

Это говорит нам, где находится вершина (вершина) пирамиды. Когда вершина находится прямо над центром основания, это правая пирамида , в противном случае — наклонная пирамида .

Правая пирамида Наклонная пирамида

Обычная пирамида и неправильная пирамида

Это говорит нам о форме основания .Когда основание представляет собой правильный многоугольник, это Обычная пирамида , в противном случае это неправильная пирамида .

Правильная пирамида Неправильная пирамида
База обычная База нестандартная

Площадь и объем

Объем пирамиды

  • 1 / 3 × [Базовая площадь] × Высота

Площадь пирамиды

Если все боковые грани одинаковы:

  • [Базовая область] +
    1 / 2 × периметр × [наклонная длина]

Если боковые грани разные:

  • [Базовая область] + [Боковая область]

Заметки о площади

Площадь поверхности состоит из двух частей: площади основания (площадь основания ) и площади боковых граней (боковая площадь ).

Для Базовая область :

Это зависит от формы, существуют разные формулы для треугольника, квадрата и т. Д. См. Формулы «Площадь» или наш Инструмент расчета площади

Для Боковая зона :

Когда все боковые грани одинаковые:

  • Умножьте периметр на «наклонную длину» и разделите на 2. Это потому, что боковые грани всегда являются треугольниками, а формула треугольника: дюймов, умноженная на высоту, деленную на 2 »

Но когда боковые грани разные (например, «неправильная» пирамида), мы должны сложить площадь каждого треугольника, чтобы найти общую боковую площадь.

Площадь пирамиды

В

боковой

площадь поверхности


регулярного

пирамида

— сумма площадей его боковых граней.

В

общая площадь правильной пирамиды

— сумма площадей его боковых граней и основания.

Общая формула для

площадь боковой поверхности

правильной пирамиды

L

.S

.

А

.

знак равно

1

2

п

л

где

п

представляет периметр основания и

л

наклонная высота.


Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности правильной пирамиды с треугольным основанием, если каждое ребро основания имеет размер

8

дюймов и наклонная высота

5

дюймы.

Периметр основания складывается из сторон.

п

знак равно

3

(

8

)

знак равно

24

дюймы

L

.

S

.

знак равно

1

2

(

24

)

(

5

)

знак равно

60

дюймы

2

Общая формула для

общая площадь поверхности

правильной пирамиды

Т

.S

.

А

.

знак равно

1

2

п

л

+

B

где

п

представляет периметр основания,

л

наклонная высота и

B

площадь основания.


Пример 2:

Найдите общую площадь поверхности правильной пирамиды с квадратным основанием, если каждое ребро основания имеет размер

16

дюймов, наклонная высота стороны составляет

17

дюймов и высота

15

дюймы.

Периметр основания равен

4

s

так как это квадрат.

п

знак равно

4

(

16

)

знак равно

64

дюймы

Площадь базы составляет

s

2

.

B

знак равно

16

2

знак равно

256

дюймы

2

Т

.

S

.

А

.знак равно

1

2

(

64

)

(

17

)

+

256

знак равно

544

+

256

знак равно

800

дюймы

2

Не существует формулы для площади поверхности неправильной пирамиды, поскольку не определена наклонная высота. Чтобы найти
области, найдите площадь каждой грани и площадь основания и сложите их.

Пирамида

Пирамида — это многогранник с многоугольным основанием и треугольными гранями, которые встречаются в точке, называемой вершиной, которая не находится в плоскости многоугольного основания.

Большинство пирамид, которые изучаются в средней школе, являются

правильные пирамиды

.Эти пирамиды обладают следующими характеристиками:

  • 1

    )

    Основание — правильный многоугольник.

  • 2

    )

    Все боковые грани совпадают.

  • 3

    )

    Все боковые грани представляют собой равнобедренные равнобедренные треугольники.

  • 4

    )

    Высота соответствует базе в ее центре.

Высота боковой грани правильной пирамиды равна

наклонная высота.

В нестандартной пирамиде наклонная высота не определена.

Боковая поверхность

В

боковой

площадь поверхности правильной пирамиды

— сумма площадей его боковых граней.

Общая формула для

площадь боковой поверхности

правильной пирамиды

L

.S

.

А

.

знак равно

1

2

п

л

где

п

представляет периметр основания и

л

наклонная высота.


Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности правильной пирамиды с треугольным основанием, если каждое ребро основания имеет размер

8

дюймов и наклонная высота

5

дюймы.

Периметр основания складывается из сторон.

п

знак равно

3

(

8

)

знак равно

24

дюймы

L

.

S

.

А

.

знак равно

1

2

(

24

)

(

5

)

знак равно

60

дюймы

2

Общая площадь поверхности

В

общая площадь правильной пирамиды

— сумма площадей его боковых граней и основания. Общая формула для

общая площадь поверхности

правильной пирамиды

Т

.

S

.

А

.

знак равно

1

2

п

л

+

B

где

п

представляет периметр основания,

л

наклонная высота и

B

площадь основания.


Пример 2:

Найдите общую площадь поверхности правильной пирамиды с квадратным основанием, если каждое ребро основания имеет размер

16

дюймов, наклонная высота стороны составляет

17

дюймов и высота

15

дюймы.

Периметр основания равен

4

s

так как это квадрат.

п

знак равно

4

(

16

)

знак равно

64

дюймы

Площадь базы составляет

s

2

.

B

знак равно

16

2

знак равно

256

дюймы

2

Т

.S

.

А

.

знак равно

1

2

(

64

)

(

17

)

+

256

знак равно

544

+

256

знак равно

800

дюймы

2

Не существует формулы для площади поверхности неправильной пирамиды, поскольку не определена наклонная высота. Чтобы найти площадь, найдите площадь каждой грани и площадь основания и сложите их.

Объем

В

объем

пирамиды равна одной трети площади основания, умноженной на высоту (высоту) пирамиды.

(

V

знак равно

1

3

B

час

)

.


Пример 3:

Найдите объем правильной квадратной пирамиды со сторонами основания

10

см и высота

12

см.

V

знак равно

1

3

B

час

V

знак равно

1

3

(

10

)

2

(

12

)

знак равно

400

см

2

Прямоугольная пирамида — определение, типы и решенные задачи

Пирамиды считаются трехмерными структурами с треугольными гранями и охватывающими их многоугольниками в основании. В случаях, когда основание пирамиды прямоугольное, пирамида называется прямоугольной пирамидой. В прямоугольной пирамиде основание имеет форму прямоугольника, но стороны пирамиды имеют треугольную форму. Итак, невооруженным глазом пирамида со всех сторон выглядит как треугольник. Форма пирамиды помогает студенту определить площадь поверхности и объем пирамиды.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Определение

Как обсуждалось ранее, прямоугольная пирамида — это тип пирамиды, имеющий прямоугольную форму в основании.Если смотреть на пирамиду этого типа снизу, она выглядит как прямоугольник. Следовательно, противоположные стороны основания параллельны и равны друг другу.

Пирамида увенчана вершиной основания в точке, которая называется вершиной. Прямоугольная пирамида бывает двух типов: правая пирамида и наклонная пирамида. В случае правой пирамиды вершина расположена прямо над центром основания, но в наклонной пирамиде вершина лежит не над центром основания, а под тем же углом от центра.

Типы пирамид

Помимо прямоугольной пирамиды, есть еще несколько типов пирамид, которые классифицируются на основе формы их оснований. Вот некоторые из этих пирамид:

  • Треугольная пирамида.

  • Квадратная пирамида.

Грани, ребра и вершины

Ключевыми особенностями пирамиды являются ее грани, ребра и вершины. Давайте кратко обсудим эти три особенности пирамиды, чтобы учащиеся могли иметь более четкое представление:

Лица — Прямоугольная пирамида состоит всего из пяти граней.Среди них одна из граней имеет форму прямоугольника, а другие четыре грани имеют форму треугольника. Все треугольные грани в этой прямоугольной пирамиде совпадают с ее противоположной треугольной гранью.

Вершина — прямоугольная пирамида состоит всего из пяти вершин. Точка, где рёбра встречаются или пересекаются, называется вершиной. Одна из вершин находится вверху справа над основанием; это точка, где встречаются треугольные грани пирамиды. Остальные четыре вершины лежат в углах основания прямоугольной формы.

Ребра — Прямоугольная пирамида состоит из восьми ребер. Каждое ребро образуется, когда две грани или поверхности пересекаются друг с другом. Среди этих восьми ребер четыре расположены у прямоугольного основания, в то время как другие четыре ребра образуют наклоны прямо над прямоугольным основанием, которое встречается в вершине, известной как вершина пирамиды.

Формула прямоугольной пирамиды

Прямоугольная пирамида имеет различные формулы, которые учащиеся должны тщательно понимать, чтобы получить хорошие оценки на экзаменах.{2}} \]

Где,

l = длина прямоугольного основания.

w = Ширина прямоугольного основания.

h = Высота пирамиды.

Вышеупомянутое считается формулой площади поверхности прямоугольной пирамиды.

Объем прямоугольной пирамиды:

\ [v = (lwh) / 3 \]

Где,

l = длина прямоугольного основания.

w = Ширина прямоугольного основания.

h = Высота пирамиды.

Вышеупомянутая формула для объема прямоугольной пирамиды.{2}} \]

\ [A = 50 + 10 (25) + 5 (11.20) \]

A = 356

2. Вычислите объем прямоугольной пирамиды, если:

l = 10

w = 5

h = 10

Решение:

\ [v = (lwh) / 3 \]

v = (10 * 5 * 10) / 3

v = 166,66

3. Оцените поверхность площадь и объем прямоугольной пирамиды, если:

l = 20

w = 10

h = 15

Решение:

Площадь поверхности прямоугольной пирамиды

\ [A = lw + l \ sqrt {( w / 2) ^ {2} + h ^ {2}} + w \ sqrt {(l / 2) ^ {2} + h ^ {2}} \]

\ [A = (20 * 10) + 20 \ sqrt {(10/2) ^ {2} + (15) ^ {2}} + 10 \ sqrt {(20/2) ^ {2} + (15) ^ {2}} \]

А = 200 + 316. 2 + 179,4

A = 695,6

Объем прямоугольной пирамиды

\ [v = (lwh) / 3 \]

v = (20 * 10 * 15) / 3

v = 1000

Что такое Треугольная пирамида? — Определение и формула — Видео и стенограмма урока

Части треугольной пирамиды

Треугольная пирамида состоит из трех основных компонентов. Во-первых, это основание, которое, конечно же, представляет собой треугольник. Далее идут грани, представляющие собой три треугольника. Последним является вершина , точка наверху, где встречаются все грани.Достаточно просто! Также есть некоторые важные измерения: высота, длина основания, длина апофемы и наклонная высота. Ого! Вы можете сказать, что такое длина апофемы и наклонная высота? Вот схема, иллюстрирующая эти части треугольной пирамиды:

Высота наклона, длина основания и длина апофемы указаны синим цветом.

Высота — это перпендикулярная линия, идущая от точки треугольника до середины основания.

Формулы треугольных пирамид

Существуют три основные формулы треугольной пирамиды. Во-первых, это формула для определения площади основания треугольной пирамиды:

Площадь поверхности — это площадь внешнего слоя или внешних поверхностей конструкции. Итак, площадь поверхности треугольной пирамиды — это площадь поверхностей трех граней треугольника и треугольного основания.Поскольку каждая поверхность представляет собой треугольник, для нахождения площади нужно умножить основание на высоту и разделить на два.

Формула следующая:

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, необходимо знать площадь основания и высоту треугольной пирамиды. После вычисления этих измерений найдите объем треугольной пирамиды по следующей формуле:

Примеры формул

Найдите площадь основания, площадь поверхности и объем треугольной пирамиды со следующими размерами:

Длина апофемы = 8 см
Длина основания = 14 см
Высота = 20 см
Высота наклона = 22 см

Чтобы найти площадь основания треугольной пирамиды, подставьте указанные значения в формулу:

Чтобы найти площадь поверхности треугольной пирамиды, подставьте указанные значения в формулу:

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, подставьте уже вычисленную площадь в формулу:

Резюме урока

Пирамиды — это многогранники с многоугольным основанием и треугольными сторонами, которые пересекаются на вершине. Треугольная пирамида — это пирамида с треугольным основанием и тремя треугольными гранями, четырьмя вершинами и шестью ребрами. Площадь основания, площадь поверхности и объем треугольной пирамиды могут быть рассчитаны с использованием размеров пирамиды и приведенных формул:

Площадь основания = (длина апофемы * длина основания) / 2

площадь поверхности = (длина апофемы * Длина основания) / 2 + (3 * Длина основания * Высота наклона) / 2

Объем = (Площадь основания * Высота) / 3

Как определить наклонную высоту квадратных пирамид

Обновлено 14 ноября 2020 г.

Джон Замбони

Наклонная высота квадратной пирамиды — это расстояние между ее вершиной, или вершиной , до земли вдоль одной из его сторон.Вы можете найти наклонную высоту, визуализировав ее как один элемент треугольника. При этом вы можете использовать теорему Пифагора для сравнения наклонной высоты с высотой пирамиды и длинами сторон

Определение наклонной высоты в виде треугольника

Чтобы найти наклонную высоту, вы можете понимать наклонную высоту как одну линию в прямоугольном треугольнике. внутри пирамиды. Две другие линии треугольника будут высотой от центра пирамиды до ее вершины, а линия, равная половине длины одной из сторон пирамиды, соединяет центр с нижней частью наклона.2

« 2 » в формуле означает, что вы возводите в квадрат чисел. Возведение числа в квадрат означает, что вы умножаете его само на себя. Таким образом, c 2 совпадает с c × c .

Определение высоты и основания

Если вы знаете высоту пирамиды и длину одной из сторон ее квадратного основания, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти наклонную высоту.2

Допустим, у вас есть пирамида высотой 4 дюйма с квадратным основанием со сторонами 6 дюймов. Чтобы найти половину длины стороны, разделите длину стороны на 2. Таким образом, эта пирамида будет иметь высоту 4 дюйма и половину длины 3 дюйма.

Возведение в квадрат высоты и основания

В теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Теперь возведите в квадрат высоту и половину длины и сложите числа в квадрате.2

Таким образом, квадрат высоты наклона равен 25.

Извлечение квадратного корня

Теперь вы знаете, что квадрат высоты наклона, возведенный в квадрат или умноженный сам на себя, равен 25. Чтобы найти высоту наклона, найдите число, которое , умноженное на себя, равно 25. Это называется извлечением квадратного корня из из 25. Если вы проверите маленькие числа, умноженные сами на себя, вы обнаружите, что 5 умноженное на 5 равно 25. Итак:

\ sqrt { 25} = 5 \ text {дюймы} = \ text {slant height}

Не всегда можно найти квадратные корни чисел, угадывая и проверяя.Многие числа не имеют точных квадратных корней, поэтому вам может потребоваться калькулятор, чтобы найти приближение.

Пирамида | Encyclopedia.com

Ресурсы

Пирамида — это искусственно созданное геометрическое тело, форма которого прославилась царскими гробницами Древнего Египта. Это твердое тело с основанием в виде трех- или четырехстороннего многоугольника (трех- или четырехугольника соответственно), боковые грани которого представляют собой треугольники (стороны трехугольника) с общей вершиной (вершиной пирамиды).Размеры этих треугольников классифицируют форму как обычно равнобедренную, но иногда и как равностороннюю. В случае египетской пирамиды Хеопса основание представляет собой почти идеальный квадрат 755 футов (230 м) на ребре, а грани треугольников приблизительно равносторонние.

Некоторые древние египетские пирамиды — это пирамида Хуфу (Великая пирамида) в Гизе, пирамида Нефериркаре Какай в Абу-Сире и ступенчатая пирамида Джозера в Саккаре. Другие древние пирамиды находятся в Китае, Франции, Южной Америке, Мексике, Украине, Судане и Боснии и Герцеговине.

Основанием пирамиды может быть любой многоугольник с тремя или более гранями, а имена пирамид соответствуют количеству ребер в основании. Когда основание представляет собой треугольник, пирамида представляет собой треугольную пирамиду. Он также известен как тетраэдр, поскольку он имеет четыре грани, включая основание. Когда эти грани представляют собой равносторонние треугольники, это квадратная пирамида, в основе которой лежит квадрат.

Чаще всего встречаются пирамиды правильной формы. Эти пирамиды имеют правильный многоугольник для основания и равнобедренные треугольники для боковых сторон.Однако не все пирамиды правильные.

Высоту пирамиды можно измерить двумя способами: от вершины по линии, перпендикулярной основанию, и от вершины по линии, перпендикулярной одному из краев основания. Последняя мера называется наклонной высотой. Однако, если боковые грани не являются конгруэнтными треугольниками, наклонная высота может варьироваться от грани к грани и не будет иметь большого значения для пирамиды в целом. Если слово наклон не включено, термин высота (или высота) относится к высоте.

Если помимо конгруэнтности боковые грани равнобедренные, пирамида будет правильной. В правильной пирамиде прямоугольных треугольников можно найти в изобилии. Предположим, у вас есть правильная пирамида с высотой VC и наклонной высотой VD. Здесь треугольники VCD, VDE, VCE и CDE являются прямоугольными. Если в любом из этих треугольников известны две стороны, можно использовать теорему Пифагора (форму уравнения которой имеет следующий вид: a 2 + a 2 = c 2 , где c — длина гипотенузы, а и b — длины двух других сторон), чтобы вычислить третью.Это, в свою очередь, может быть использовано в других треугольниках для определения еще других неизвестных сторон. Например, если правильная квадратная пирамида имеет наклонную высоту в две единицы и основание из двух единиц на краю, боковые края должны быть 5 единиц, а высота — 3 единицы.

Существуют формулы для вычисления боковой и общей площади некоторых специальных пирамид, но в большинстве случаев проще вычислить площади различных граней и сложить их.

Объем — другое дело.Вычислить объем без формулы может быть очень сложно. К счастью, существует довольно примечательная формула, возраст которой насчитывает не менее 2300 лет.

В предложении 7 книги XII его Elements греческий математик Евклид Александровский (ок. 325 – ок. 265 г. до н.э. показал, что «Любая призма с треугольным основанием делится на три равные друг другу пирамиды, имеющие треугольную форму. оснований ». Это означает, что каждая из трех пирамид, на которые была разделена призма, имеет одну треть объема призмы.Поскольку объем призмы равен площади, B, ее основания, умноженной на высоту, h: объем пирамиды составляет одну треть от этого, или Bh / 3.

Пирамиды, основания которых представляют собой многоугольники с более чем тремя сторонами, можно разделить на треугольные пирамиды, и к каждой из них применяется формула Евклида. Тогда, если B — это сумма площадей треугольников, в которые входит многоугольник.

КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

Высота — Расстояние от вершины, перпендикулярно основанию.

Пирамида— Тело с многоугольным основанием и треугольными боковыми гранями.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.