Параболы и их формулы: Ошибка: 404 Материал не найден

2-4ac\)

 

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\)  \(x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку


Репетитор по математике


Томский политехнический университет


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 1-9 классов. Математика удивляет меня своей логичностью и последовательностью. Эта наука как отдельная Вселенная! Математика станет для тебя понятной и простой! Я умею объяснять математику так, что даже тот, кто не подозревает о её существовании, сдаёт экзамены!

Оставить заявку


Репетитор по математике


Московский государственный открытый университет


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 1-5 классов. Я люблю математику за точность и порядок, за живость ума. Мне очень нравится работать с детьми и видеть результат работы и ними. Математика является фундаментом для всех наук. И независимо на каком языке разговаривают люди, они все подчиняются одинаковым и неизменным законам правилам математики. Мы с Вами можем окунуться в удивительный мир цифр, задач и формул, по которому будем путешествовать на волшебном пути знаний. Будем учиться совершенствоваться, поступательно двигаться вперед к намеченной цели. И обязательно ее достигнем! Я, в свою очередь, хочу передать все свои знания и умения, чтобы соприкасаться с Вами в этом замечательном пути. Дети — наше будущее и мы должны приложить все усилия для их развития и становления.

Оставить заявку


Репетитор по математике


Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского


Проведенных занятий:


Форма обучения:


Дистанционно (Скайп)


Репетитор 7-11 классов. Я люблю математику за то, что она развивает мышление. Математика учит обобщать, выделять важное, анализировать, систематизировать, рассуждать и делать выводы.
Мой главный принцип – это заставить ученика думать и не бояться рассуждать вслух. Ошибаться в процессе обучения можно и нужно, и, когда ученик это понимает, он не стесняется говорить о своих мыслях, идеях решения задач, не стесняется задавать вопросы. Я не даю ответы, не показываю, как «правильно» решать задачу, я задаю наводящие вопросы, чтобы ученик самостоятельно пришел к результату. Весь процесс обучения основан на доверительном отношении наставника и ученика.

Содержание

Решение уравнений

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Функция

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Парабола: формулы, примеры решения задач

Определение параболы. Параболой называется
множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом
расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не
проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

,

где число p, называемое параметром параболы,
есть расстояние от фокуса до директрисы.

На чертеже линия параболы — бордового цвета, директриса —
ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы — оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

y = ax²,

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что
ax² — это квадратный трёхчлен
ax² + bx + c, в
котором b = 0 и c = 0.
График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки
параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы.
Начало координат в данном случае — в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса
до директрисы равны. Находим p:

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p:

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если
расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p — это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы.
Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного
мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха).
Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт
об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но
с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие
из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными
параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов,
автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения
(фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). 2-4ac}{4a})$.


Пример 1. На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x).

Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.

  1. Функция убывает на промежутке [1; +∞) .

  2. Наименьшее значение функции равно −4 .

  3. f(−2) < f(3) .

Видео-решение.

subjects/mathematics/квадратичная_функция.txt · Последние изменения: 2013/04/26 16:56 —

Квадратичная функция, парабола, график, свойства: нули, вершина, ось симметрии, промежутки возрастания, убывания. Тесты

Тестирование онлайн

  • Квадратичная функция

Определение. График

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с — числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x

2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) — начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т. е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x2 — частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}}
{{addToCollection. description.length}}/500

{{l10n_strings.TAGS}}
{{$item}}

{{l10n_strings.PRODUCTS}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

 

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}}
{{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings. AUTHOR}}

 

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}}

{{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}}
{{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Формула нахождения вершины параболы

Определение 1

Парабола – это геометрическое множество точек, равноудалённых от точки F, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.

Что значит вершина параболы

Определение 2

Вершина параболы – это точка, ближайшая к директрисе параболы. Она является центром отрезка, ограниченного точкой фокуса параболы $F$ и директрисой $d$. 2 – 5 \cdot 2.5 + 7$

  • $y = 0,75$
  • Координаты вершины этой параболы $(2.5;0.75)$.
  • Вершина кубической параболы

    Чтобы найти вершины (точки локальных минимумов и максимумов) кубической параболы, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и затем вычислить $x$ и $y$.

    Если же необходимо найти точку перегиба кубической параболы, необходимо найти вторую производную и также приравнять её к нулю.

    Уравнение параболы — определение, формулы, решенные примеры и часто задаваемые вопросы

    Определение и уравнение параболы

    Парабола — это часть правого конуса, параллельная одной стороне (производящей линии) конической фигуры. Во многом так же, как и окружность, парабола также является квадратичной зависимостью, но отличается от окружности: либо «A» будет возведено в квадрат, либо «B» будет возведено в квадрат, но не оба сразу. При этом парабола — это набор всех точек M (A, B) на плоскости таким образом, что расстояние от M до определенной точки F, известной как фокус, эквивалентно расстоянию от M до определенной линии, известной как направляющую, как показано ниже на графике.

    [Изображение будет загружено в ближайшее время]

    Параболическое уравнение

    Общее уравнение параболы: y = x², в котором квадрат x является параболой. Вверху получается y² = x или математически выражается как y = √x

    Формула уравнения параболы

    Известно, что фокус (h, k) и направляющая y = mx + b, уравнение параболы имеет вид [ y — mx — b] ² / [м² +1] = (x — h) ² + (y — k) ².

    Найдите параболу на штрихе

    Форма параболы — это то, что вы видите, когда покупаете рожок мороженого и отрезаете его параллельно стороне рожка.

    Полезность параболы

    Представьте себе дугу, и вы поймете, что такое парабола. Теперь вы узнаете о параболах и их уравнениях стандартной формы, поскольку эти уравнения довольно часто применимы в реальной жизни.

    Если бы не было парабол, у нас не было бы мобильных и телекоммуникационных услуг, куда бы мы ни пошли. У нас не было бы и новейшего телевизора-тарелки! Мобильные телефоны и спутниковое телевидение запускают в космическое пространство спутники параболической формы.Таким образом, парабола может использоваться для:

    • радиолокационных антенн или спутников связи

    • спутниковых антенн

    • отражателя на факелах и прожекторах

    • фокусировки солнечных лучей для создания горячей точки

    Уравнение для параболы в стандартной форме

    Давайте узнаем, как описать нашу параболу алгебраически. Наше уравнение основывается на декартовой координатной плоскости с осями, а именно x и y.По сути, у нас есть два разных типа стандартных уравнений, которые различаются в зависимости от направления нашей параболы.

    Запишите уравнение для парабол, которые открывают путь вверх или вниз

    Для таких парабол уравнение стандартной формы имеет вид [x — h] ² = 4p [y — k]

    Здесь точка фокусировки определяется как ( h, k + p).

    Эти параболы открываются по оси y, и, таким образом, значение p добавляется к значению y вершины.

    [Изображение будет загружено в ближайшее время]

    Напишите уравнение для парабол, которые открывают путь в сторону

    Для таких парабол уравнение стандартной формы имеет вид (y — k) ² = 4p [x — h] T

    Здесь, точка фокусировки обеспечивается (h + p, k)

    Они открываются по оси x, и, таким образом, значение p затем добавляется к значению x нашей вершины.

    [Изображение будет загружено в ближайшее время]

    Тем не менее, эти параболы тем более одинаковы, только x и y поменяны местами. 4p в стандартной форме уравнения для параболы всегда имеет сечение, не возведенное в квадрат. Алфавиты h, k и p обозначают числа, которые помогают нам получить полезную информацию о положении нашей параболы.

    Уравнение параболы в форме вершины

    Вершина параболы — это точка, в которой парабола проходит через свою ось симметрии. В случае, если коэффициент у члена x² положительный, тогда вершина будет расположена в самой нижней точке на графике, точке в основании U-образной формы. Напротив, если коэффициент члена x² отрицателен, вершина будет расположена в самой высокой точке графика, наверху U-образной формы.

    Уравнение параболы в «форме вершины» также можно записать как

    y = a (x − h) 2 + k

    [Изображение будет загружено в ближайшее время]

    Решенные примеры

    Example1:

    Для уравнение параболы y = 3×2 + 12x − 12.Узнать его вершину?

    Решение1:

    Учитывая, что

    y = 3×2 + 12x − 12

    Здесь m = 3 и n = 12.

    Таким образом, координата x вершины получается равной:

    −12 2 (3) = −2

    Теперь, подставляя в исходное уравнение для получения координаты y, получаем:

    y = 3 [−2] 2 + 12 [−2] −12 = −24

    Таким образом, вершина параболы находится в точке (−2, −24)

    Пример 2:

    Для уравнения параболы y = 2 (х-3) 2 + 4. Найти вершину параболы с помощью следующего уравнения? В какую сторону он открывается вверх или вниз?

    Решение2:

    Вершина оказывается = (-3, 4), и она открывается вверх, поскольку «а» положительно.

    В более общем плане:

    y² = 4ax

    В котором ‘a’ — это расстояние от исходной точки до F (и от исходной точки до направляющей)

    Интегральная линия Y оси y = ax + b

    Теперь кажется, что

    ax² + bx + c делает y равным 0 и 1

    Таким образом,

    У нас есть, a x² + [bx + c] = 1

    Тогда = [a x²] + [bx + c] = 0

    Следовательно, мы получаем стандартную параболическую форму как y = a x² + bx + c

    Интересные факты

    • В стандартной форме уравнения параболы буква «h» всегда сопровождает «x» и «k» всегда совпадают с осью «y».

    • Один из лучших способов не забыть о спаривании — это придумать алфавитную таблицу. так же, как y идет после x в алфавитной таблице, аналогично k идет после h

    Parabolas

    Квадратичная функция — это функция, которую можно записать в форме f (x) = ax2 + bx + c, где a, b и c — действительные числа и a 0. Эта форма называется стандартной формой квадратичной функции.

    График квадратичной функции U-образной кривой называется параболой .

    График уравнения y = x2, показанный ниже, представляет собой параболу. (Обратите внимание, что это квадратичная функция в стандартной форме с a = 1 и b = c = 0.)

    На графике высшая или низшая точка параболы — это вершина. Вершиной графика y = x2 является (0,0).

    Если a> 0 в f (x) = ax2 + bx + c,
    парабола открывается вверх . В этом случае вершина является минимальной или самой низкой точкой параболы. Большое положительное значение a составляет узкую параболу; положительное значение a, близкое к 0, делает параболу широкой.

    Если a <0 в f (x) = ax2 + bx + c, парабола открывается вниз . В этом случае вершина — это максимальная или самая высокая точка параболы. Опять же, большое отрицательное значение a сужает параболу; значение, близкое к нулю, делает его широким.

    Для уравнения в стандартной форме значение c дает пересечение графика y .

    Линия, проходящая через вершину и разделяющая параболу на две симметричные части, называется осью симметрии.

    Уравнение оси симметрии для графика y = ax2 + bx + c, где a ≠ 0, равно x = −b2a

    На всех приведенных выше графиках ось симметрии — это ось y, x = 0. На графиках ниже ось симметрии другая (отмечена красным). Обратите внимание, что c по-прежнему дает точку пересечения с y.

    Если вы напишете квадратичную функцию типа x = f (y) = ay2 + by + c, где x является функцией y (а не ay как функцией x), вы получите параболу, в которой ось симметрии горизонтальна. .

    Обратите внимание, что в этом случае c является точкой пересечения с координатой x. Если а положительно, график открывается вправо; если a отрицательно, график открывается слева.

    Пример:

    Напишите уравнение оси симметрии и найдите координаты вершины параболы y = −3×2−6x + 4.

    Уравнение оси симметрии для графика y = ax2 + bx + c.

    х = −b2a

    Заменим −3 вместо a и −5 вместо b в уравнении оси симметрии.

    х = −− 62 (−3) = −1

    Итак, уравнение оси симметрии x = −1.

    Поскольку уравнение оси симметрии имеет вид x = −1, а вершина лежит на оси, координата x вершины равна −1.

    Чтобы найти координату y вершины, сначала подставьте −1 вместо x в данном уравнении.

    у = −3 (−1) 2−6 (−1) +4

    Упростить.

    у = −3 + 6 + 4 = 7

    Следовательно, координаты вершины параболы равны (−1,7).

    См. Также

    Ось симметрии параболы

    Вершина параболы

    Построение квадратных уравнений с использованием оси симметрии

    Алгебра — Параболы

    Показать уведомление для мобильных устройств

    Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 4-2: Параболы

    В этом разделе мы хотим посмотреть на график квадратичной функции. 2} + bx + c \]

    Графики квадратичных функций называются параболами . Вот несколько примеров парабол.

    Все параболы имеют неопределенную U-образную форму, и у них будет самая высокая или самая низкая точка, которая называется вершиной . Параболы могут открываться вверх или вниз и могут иметь или не иметь \ (x \) — точки пересечения, и они всегда будут иметь одну точку пересечения \ (y \).

    Также обратите внимание, что парабола, которая открывается вниз, всегда открывается вниз, а парабола, которая открывается вверх, всегда открывается.Другими словами, парабола не сразу развернется и не начнет открываться, если она уже начала открываться вниз. Точно так же, если он уже начал открываться, он не развернется и не начнет внезапно открываться.

    Пунктирная линия с каждой из этих парабол называется осью симметрии . Каждая парабола имеет ось симметрии, и, как показано на графике, график по обе стороны от оси симметрии является зеркальным отображением другой стороны. Это означает, что если мы знаем точку на одной стороне параболы, мы также будем знать точку на другой стороне, основываясь на оси симметрии. Мы увидим, как найти эту точку, когда рассмотрим несколько примеров.

    Нам, вероятно, следует сделать быстрый обзор перехватов, прежде чем двигаться дальше. Пересечения — это точки, в которых график будет пересекать ось \ (x \) или \ (y \). Мы также видели график в разделе, где мы вводили точки пересечения, где точка пересечения просто касалась оси, но не пересекала ее.

    Поиск перехвата — довольно простой процесс. Чтобы найти \ (y \) — точку пересечения функции \ (y = f \ left (x \ right) \), все, что нам нужно сделать, это установить \ (x = 0 \) и оценить, чтобы найти \ (y \ ) координаты. Другими словами, \ (y \) — точка пересечения — это точка \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \). Мы находим перехват \ (x \) — почти таким же образом. Мы устанавливаем \ (y = 0 \) и решаем полученное уравнение для координат \ (x \). Итак, нам нужно будет решить уравнение

    \ [е \ влево (х \ вправо) = 0 \]

    А теперь вернемся к параболам.Есть базовый процесс, который мы всегда можем использовать, чтобы получить довольно хороший набросок параболы. Вот.

    Рисование парабол
    1. Найдите вершину. Мы скоро обсудим, как это найти. Это довольно просто, но есть несколько способов его найти, поэтому мы обсудим их отдельно.
    2. Найдите \ (y \) — точку пересечения, \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \).
    3. Решите \ (f \ left (x \ right) = 0 \), чтобы найти \ (x \) координаты \ (x \) — точек пересечения, если они существуют.Как мы увидим в наших примерах, у нас может быть 0, 1 или 2 \ (x \) — перехватов.
    4. Убедитесь, что у вас есть хотя бы одна точка с каждой стороны от вершины. Это необходимо для того, чтобы получить точный набросок. Если парабола имеет два пересечения \ (x \), то эти точки у нас уже будут. Если он имеет точку пересечения 0 или 1 \ (x \), мы можем либо просто вставить другое значение \ (x \), либо использовать точку пересечения \ (y \) и ось симметрии, чтобы получить вторую точку.
    5. Нарисуйте график.На данный момент мы набрали достаточно очков, чтобы получить довольно хорошее представление о том, как будет выглядеть парабола.

    Теперь мы рассмотрим две формы параболы. Эта первая форма значительно упростит построение парабол. К сожалению, большинство парабол не в такой форме. Вторая форма является более распространенной и потребует немного (и лишь немного) дополнительной работы, чтобы нарисовать график параболы.

    Давайте посмотрим на первую форму параболы.2} + k \]

    Есть две части информации о параболе, которые мы можем мгновенно получить из этой функции. Во-первых, если \ (a \) положительно, тогда парабола откроется, а если \ (a \) отрицательна, то парабола откроется. Во-вторых, вершиной параболы является точка \ (\ left ({h, k} \ right) \). Будьте очень осторожны со знаками при получении здесь вершины.

    Итак, когда нам посчастливится иметь такую ​​форму параболы, мы получаем вершину бесплатно.2} — 8 \) Показать решение

    Сначала нам нужно найти вершину. Однако нам нужно быть осторожными со знаками. Сравнивая наше уравнение с приведенной выше формой, мы видим, что у нас должны быть \ (h = — 3 \) и \ (k = — 8 \), поскольку это единственный способ получить правильные знаки в нашей функции. Следовательно, вершина этой параболы равна

    \ [\ left ({- 3, — 8} \ right) \]

    Теперь давайте найдем точку пересечения \ (y \). Это не что иное, как быстрая оценка функции.2} — 8 = 2 \ left (9 \ right) — 8 = 10 \ hspace {0,25 дюйма} y — {\ mbox {intercept:}} \ left ({{\ mbox {0,10}}} \ right) \]

    Затем нам нужно найти \ (x \) — точки пересечения. Это означает, что нам нужно будет решить уравнение. Однако, прежде чем мы это сделаем, мы можем фактически сказать, будут ли они у нас, еще до того, как начнем решать уравнение.

    В этом случае мы имеем \ (a = 2 \), что положительно, и поэтому мы знаем, что парабола раскрывается. Также вершина — это точка ниже оси \ (x \).2} & = 4 \\ x + 3 & = \ pm \ sqrt 4 = \ pm 2 \\ x & = — 3 \ pm 2 \ hspace {0,25in} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} x = — 1, \, \, x = — 5 \ end {align *} \]

    Тогда два интерцепта x равны

    \ [\ left ({- 5,0} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {и}} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 1,0} \ right) \]

    Итак, на данный момент у нас есть точки по обе стороны от вершины, так что мы официально закончили поиск точек.Тем не менее, давайте немного поговорим о том, как найти вторую точку с помощью точки пересечения \ (y \) — и оси симметрии, так как в конце концов нам нужно будет это сделать.

    Во-первых, обратите внимание, что точка пересечения \ (y \) — имеет координату \ (x \), равную 0, в то время как вершина имеет координату \ (x \), равную -3. Это означает, что точка пересечения \ (y \) находится на расстоянии 3 вправо от оси симметрии, поскольку она будет двигаться прямо вверх от вершины.

    Теперь левая часть графика будет зеркальным отображением правой части графика.Итак, поскольку есть точка в \ (y = 10 \), которая находится на расстоянии 3 справа от оси симметрии, также должна быть точка в \ (y = 10 \), которая находится на расстоянии 3 до слева от оси симметрии.

    Итак, поскольку координата \ (x \) вершины равна -3, а эта новая точка находится на расстоянии 3 влево, ее координата \ (x \) должна быть -6. Тогда координаты этой новой точки равны \ (\ left ({- 6,10} \ right) \). Мы можем проверить это, оценив функцию в \ (x = — 6 \).2} — 8 = 2 \ влево (9 \ вправо) — 8 = 10 \]

    Итак, мы были правы. 2} — 1 \) Показать решение

    Хорошо, мы не будем вдаваться в подробности.2} — 1 = — 4 — 1 = — 5 \]

    Перехватчик \ (y \) — это \ (\ left ({0, — 5} \ right) \).

    Теперь мы знаем, что вершина начинается ниже оси \ (x \), а парабола открывается вниз. Это означает, что не может быть \ (x \) — пересечений, поскольку ось \ (x \) находится над вершиной, а парабола всегда будет открываться вниз. Это означает, что в целом нет причин проходить процесс решения, чтобы найти то, чего не будет.

    Но давайте все равно сделаем это.2} & = — 1 \\ x — 2 & = \ pm \, i \\ x & = 2 \ pm \, i \ end {align *} \]

    Итак, у нас есть комплексные решения. Сложные решения всегда будут указывать на отсутствие \ (x \) — перехватов.

    Теперь нам нужны точки по обе стороны от вершины, поэтому мы будем использовать точку пересечения \ (y \) и ось симметрии, чтобы получить вторую точку. Пересечение \ (y \) — это расстояние в два слева от оси симметрии и находится в \ (y = — 5 \), поэтому должна быть вторая точка только с тем же значением \ (y \). расстояние 2 вправо от оси симметрии.2} + 4 \) Показать решение

    Это на самом деле довольно просто построить график. Сначала мы заметим, что он откроется вверх.

    Итак, вершина, вероятно, является точкой, в которой большинство студентов здесь сталкиваются с проблемами. Поскольку у нас есть x 2 , это означает, что у нас должно быть \ (h = 0 \), и поэтому вершина равна \ (\ left ({0,4} \ right) \).

    Обратите внимание, что это означает, что с этой параболой не будет никаких \ (x \) — пересечений, поскольку вершина находится выше оси \ (x \), а парабола открывается вверх.2} + 4 = 4 \ hspace {0,25 дюйма} y — {\ mbox {intercept:}} \ left ({0,4} \ right) \]

    Перехватчик \ (y \) точно такой же, как вершина. Такое случается время от времени, поэтому не стоит слишком беспокоиться об этом. Хотя это будет означать, что на этот раз мы не сможем использовать \ (y \) — точку пересечения, чтобы найти вторую точку с другой стороны вершины. Фактически, у нас даже нет точки, кроме вершины!

    Итак, нам нужно найти точки по обе стороны от вершины.2} + 4 = 8 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({2,8} \ right) \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что мы могли бы получить здесь вторую точку, используя ось симметрии, если бы захотели.

    Вот набросок графика.

    Итак, мы видели несколько примеров этой формы параболы. Однако, как отмечалось ранее, большинство парабол не даны в такой форме. Итак, нам нужно взглянуть на то, как построить параболу в общем виде.2} + bx + c \]

    В этой форме знак \ (a \) будет определять, будет ли парабола открываться вверх или вниз, как это было в предыдущем наборе примеров. 2} + 4x + 4 \) Показать решение

    В этой заключительной части мы имеем \ (a = 1 \), \ (b = 4 \) и \ (c = 4 \).2} + 4 \ left ({- 2} \ right) + 4 = 0 \ end {align *} \]

    Итак, вершина \ (\ left ({- 2,0} \ right) \). Обратите внимание: поскольку координата \ (y \) этой точки равна нулю, она также является \ (x \) — точкой пересечения. Фактически, это будет единственный \ (x \) — перехватчик для этого графа. Это имеет смысл, если мы примем во внимание тот факт, что вершина в данном случае является самой низкой точкой на графике, и поэтому график просто не может касаться оси \ (x \) где-либо еще.

    Тот факт, что эта парабола имеет только один \ (x \) — точку пересечения, можно проверить, решив, как мы делали до этого момента в других примерах.2} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = — 2 \ end {align *} \]

    Конечно, есть только один \ (x \) — перехватчик. Обратите внимание, что это будет означать, что нам придется использовать ось симметрии, чтобы получить вторую точку пересечения \ (y \) — в этом случае.

    Кстати, перехватчик \ (y \) в данном случае равен \ (\ left ({0,4} \ right) \). Это означает, что вторая точка — это \ (\ left ({- 4,4} \ right) \).

    Вот набросок графика.2} — 6x + \ frac {3} {2}} \ right) \]

    Обратите внимание, что это часто приводит к дроблению проблемы, с которой нам нужно иметь дело. Также обратите внимание, что если нам посчастливилось иметь коэффициент 1 при члене x 2 , нам не нужно будет выполнять этот шаг.

    Вот здесь процесс действительно начинает отличаться от того, что мы видели до этого момента. Мы по-прежнему берем половину коэффициента при \ (x \) и возводим его в квадрат.2} — 6x + 9 — 9 + \ frac {3} {2}} \ right) \]

    Мы добавляем и вычитаем это количество внутри скобок, как показано. Обратите внимание, что все, что мы здесь делаем, это добавляем ноль, так как 9-9 = 0! Указанный здесь порядок важен. 2} — \ frac {{15}} {2}} \ right) \]

    В качестве последнего шага мы снова умножаем 2.{2} у = х2.

    Пример графика простого квадратичного выражения

    Существует так много разных типов задач, которые вам могут задать относительно квадратных уравнений. В этой статье основное внимание будет уделено тому, как мы можем построить квадратное уравнение из квадратичного графа, используя несколько различных методов. Но, прежде чем мы перейдем к этим типам задач, найдите момент, чтобы поиграть с квадратичными выражениями в этом замечательном онлайн-калькуляторе для построения графиков. Чем удобнее вы будете работать с квадратичными графиками и выражениями, тем проще будет эта тема!

    Теперь давайте приступим к решению задач с этими знаниями, а именно, как найти уравнение параболы!

    Как найти квадратное уравнение из графика:

    Чтобы найти квадратное уравнение из графика, можно использовать два простых метода: с использованием 2 точек или 3 точек.{2} \ mp dy = a (x ± f) 2∓d

    Используя эту формулу, все, что нам нужно сделать, это перебрать вершину и другую точку, решить для a, а затем переписать наше окончательное уравнение. Лучший способ освоить эту форму — решить с ней пример задачи.

    Пример:

    Определите уравнение параболы, показанное на изображении ниже.

    Определите уравнение показанной параболы

    Шаг 1. Определите точки

    Поскольку нам даны только две точки в этой задаче, вершина и еще одна точка, мы должны использовать форму вершины для решения этого вопроса.

    Используйте форму вершины, чтобы решить уравнение параболы

    Учитывая информацию из графика, мы можем определить квадратное уравнение, используя точки вершины (-1,4) и точку на параболе (-3,12).

    Шаг 2. Подточки в форме вершины и решение относительно «a»

    Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить две наши точки в формулу вершины и решить для «a», чтобы получить всю информацию для написания нашего окончательного квадратного уравнения. {2} 8 = a (−2) 2
    8 = 4a8 = 4a8 = 4a
    а = 2а = 2а = 2

    Решите значение a, используя координату

    Шаг 3. Запишите квадратное уравнение

    После решения «а» у нас теперь есть вся информация, необходимая для написания нашего окончательного ответа.{2} + 4y = 2 (x + 1) 2 + 4

    На этом урок о форме вершин и о том, как найти квадратное уравнение по 2 точкам, завершен! Если вы хотите освежить свою память по связанным темам, например, как решать квадратные выражения в форме вершин, как преобразовать регулярное квадратное уравнение из стандартной формы в форму вершины, заполнив квадрат, и как использовать формулу вершины, убедитесь, что чтобы посмотреть наши уроки.

    2) Найдите квадратное уравнение по 3 точкам

    В некоторых случаях нам не повезет получить точку на вершине.Если это так, мы больше не сможем найти квадратичное выражение, используя всего две точки, и нам нужно сделать что-то немного другое. В случае, если нам дана информация о пересечениях параболы по оси x, а также об одной другой точке, мы можем найти квадратное уравнение, используя уравнение, которое называется «факторизованной формой». Общее уравнение для формулы факторизованной формы выглядит следующим образом, где b и c являются значениями x-координат пересечений x:

    y = a (x − b) (x − c) y = a (x — b) (x — c) y = a (x − b) (x − c)

    Используя эту формулу, все, что нам нужно сделать, это подставить координаты x точек пересечения по оси x, другую точку, а затем решить для a, чтобы мы могли записать наш окончательный ответ.Опять же, лучший способ освоить эту форму квадратных уравнений — это решить задачу-пример.

    Пример:

    Определите уравнение параболы, показанное на изображении ниже:

    Найдите уравнение параболы

    Шаг 1. Определите точки

    Поскольку нам даны три точки в этой задаче, x-точки пересечения и еще одна точка, мы можем использовать факторизованную форму для решения этого вопроса.

    Из графика мы видим, что точки пересечения по оси x равны -2 и 5, а точка на параболе — (8,6).

    Шаг 2. Подточки в форме вершины и решение относительно «a»

    Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить наши значения в формулу факторизованной формы и решить для «a», чтобы получить всю информацию для написания нашего окончательного квадратного уравнения. Напомним, факторизованная форма:

    y = a (x − b) (x − c) y = a (x — b) (x — c) y = a (x − b) (x − c)

    Используя координаты отрезков x:

    ххх-перехват = -2-2-2
    х = −2x = -2x = −2
    (х + 2) = 0 (х + 2) = 0 (х + 2) = 0
    ххх-перехват = 555
    х = 5х = 5х = 5
    (х-5) = 0 (х — 5) = 0 (х-5) = 0
    y = (x + 2) (x − 5) y = (x + 2) (x — 5) y = (x + 2) (x − 5)

    Затем мы можем использовать точку на параболе (8,6), чтобы найти «a»:

    6 = a (8 + 2) (8−5) 6 = a (8 + 2) (8-5) 6 = a (8 + 2) (8−5)
    6 = а (10) (3) 6 = а (10) (3) 6 = а (10) (3)
    6 = 30a6 = 30a6 = 30a
    a = 15a = \ frac {1} {5} a = 51

    Шаг 3. Запишите квадратное уравнение

    После решения «а» у нас теперь есть вся информация, необходимая для написания нашего окончательного ответа.

    y = 15 (x + 2) (x − 5) y = \ frac {1} {5} (x + 2) (x — 5) y = 51 (x + 2) (x − 5)

    Вот и все! Это два наиболее важных метода нахождения квадратичной функции по заданной параболе. Для дальнейшего изучения квадратичных функций и их графиков посмотрите эти полезные видеоролики, посвященные дискриминанту и построению графиков квадратичных неравенств.
    , и конические сечения.

    Как найти фокус параболы: ваше простое руководство

    Если вы хотите узнать, как найти фокус параболы, вам сначала нужно определить, что такое парабола.Парабола — это изогнутая фигура, в которой любая точка кривой находится на равном расстоянии от фиксированной точки (называемой фокусом) и фиксированной прямой (называемой направляющей).

    Давайте определим части параболической функции. На графике выше вы видите заданную линию, которая пересекает директрису под углом 90 градусов. Эта прямая называется осью симметрии. Точка, обозначенная C , обозначающая, где открывается парабола, называется вершиной. Вершина всегда находится посередине между фокусом и направляющей параболы.

    Уравнение параболы

    Приведенный выше график является базовым представлением параболы, где координаты вершины равны (0,0). Когда вы проводите ось симметрии через вершину параболы, вы видите, что эта вертикальная линия идеально совпадает с осью Y графика. Эта парабола представлена ​​уравнением

    Если эту параболу повернуть на 90 градусов вправо, фиксированная линия, представляющая ось симметрии, будет расположена вдоль оси x.Уравнение параболы теперь.

    Стандартная форма уравнения параболы, где коническая форма параболы формируется вдоль оси y, является. Коэффициенты h и k представляют точки вершины. Коэффициент p представляет собой расстояние от вершины до фокуса, которое равно расстоянию от вершины до директрисы.

    Как найти фокус параболы

    Чтобы найти фокус параболы, вы должны знать, что уравнение параболы в форме вершины имеет вид y = a (x − h) 2 + k, где a представляет наклон уравнения.Из формулы видно, что координаты фокуса параболы равны (h, k + 1 / 4a).

    Итак, теперь давайте решим фокус параболы ниже:

    Когда мы используем вышеуказанные координаты, уравнение параболы выше. Мы можем вставить , и (0,0) для вершины. Теперь давайте решим координату y фокуса:

    Мы определили, что точки фокусировки равны (0,2).

    Давайте рассмотрим, как найти фокус параболы

    Чтобы определить, как найти фокус параболы, вы должны определить вершину и подставить ее в уравнение параболы. Понимание различных свойств параболы, таких как ось симметрии, директриса и отражатели, позволяет вам расширить свои базовые представления о графическом отображении геометрических уравнений.

    Дополнительные домашние задания по математике

    Графические параболы в вершинной форме

    Графические параболы в вершинной форме
    Вот шаги, необходимые для построения парабол в форме y = a (x — h) 2 + k:

    Шаг 1 : Найдите вершину.Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения оси Y. Чтобы найти точку пересечения оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси X. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на этапах 1-3.

    Пример 1 — График:

    Шаг 1 : Найдите вершину. Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения по оси Y. Чтобы найти точку пересечения по оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси x. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на шагах 1-3.

    Пример 2 — График:

    Шаг 1 : Найдите вершину.Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения по оси Y. Чтобы найти точку пересечения по оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси x. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на шагах 1-3.

    Нажмите здесь для практических задач

    Пример 3 — График:

    Шаг 1 : Найдите вершину. Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения по оси Y.Чтобы найти точку пересечения по оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси x. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).
    Шаг 4 : Постройте параболу, используя точки, найденные на шагах 1-3.

    Нажмите здесь для практических задач

    Пример 4 — График:

    Шаг 1 : Найдите вершину.Поскольку уравнение имеет форму вершины, вершина будет в точке (h, k).
    Шаг 2 : Найдите точку пересечения по оси Y. Чтобы найти точку пересечения по оси y, положите x = 0 и решите относительно y.
    Шаг 3 : Найдите точку пересечения по оси x. Чтобы найти точку пересечения с x, положите y = 0 и решите относительно x. Вы можете решить для x, используя принцип квадратного корня или квадратную формулу (если вы упростите задачу до правильной формы).2 — 4acb2−4ac — дискриминантный DDD. После замены получаем

    (−b2a, −D4a), \ left (- \ frac {b} {2a}, — \ frac {D} {4a} \ right), (- 2ab, −4aD),

    , который немного легче запомнить.

    Наблюдение: можно сказать, что если ab <0ab <0ab <0, вершина лежит справа от оси yyy; если ab> 0ab> 0ab> 0, вершина лежит слева от оси yyy; если ab = 0ab = 0ab = 0, вершина лежит на оси yyy.

    Давайте посмотрим на несколько примеров.2–4} {4} \ right): & [0, 1].
    \ end {align} диапазон b: диапазон b2: диапазон (b2-4): диапазон (4b2-4): диапазон (-4b2-4): [-2,2] [0, 4] [- 4,0] [- 1,0] [0,1].

    Следовательно, соответствующие диапазоны координат xxx и yyy равны

    .

    [-1,1], [0,1]. □ [-1, 1], ~~ [0, 1]. \ _ \ квадрат [-1,1], [0,1]. □

    Попробуйте решить следующую проблему:

    000

    14 \ frac {1} {4} 41

    12 \ frac {1} {2} 21

    111

    Поскольку xxx охватывает все действительные значения, минимальное значение

    х2 + (х + 1) 2? х ^ 2 + (х + 1) ^ 2? х2 + (х + 1) 2?

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.