Параболы и их формулы: Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Содержание

Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

 

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону — слева направо):

 

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

  • если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
  • если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

 

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

 

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Графики функций. Прямая. Парабола. Функция корня. Тригонометрические функции

Факт 1.
\(\bullet\) Линейная функция – функция вида \(f(x)=kx+b\), где \(k,b\) – некоторые числа.
\(\bullet\) Графиком линейной функции является прямая.
\(\bullet\) Если \(b=0\), то прямая проходит через начало координат.
\(\bullet\) Графиком \(x=a\) является прямая, параллельная оси \(Oy\).
\(\bullet\) Графиком \(y=с\) является прямая, параллельная оси \(Ox\).
\(\bullet\) Для \(f(x)=kx+b\) коэффициент \(k\) равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси \(Ox\).2+cx+d\) выглядит, например, как \((3)\).

 

Факт 4.
\(\bullet\) Функция корня – функция \(f(x)=\sqrt x\).
\(\bullet\) График функции \(y=\sqrt x\):

\(\bullet\) Заметим, что \(y=\sqrt x\) определена при \(x\geqslant 0\) и принимает значения \(y\geqslant 0\).
 

Факт 5.
\(\bullet\) Графиком функции \(y=\sin x\) является синусоида

\(\bullet\) Графиком функции \(y=\cos x\) также является синусоида, но сдвинутая на \(\frac{\pi}2\) единиц влево по оси \(Ox\)

\(\bullet\) Обе функции \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\) периодичны с периодом \(2\pi\). Обе функции могут принимать значения \(y\in [-1;1]\).
\(\bullet\) Функция \(y=\sin x\) – нечетная, функция \(y=\cos x\) – четная.
 

Факт 6.
\(\bullet\) График функции \(y=\mathrm{tg} \,x\)

Прямые \(x=k\cdot \frac{\pi}2\), где \(k\) – нечетное число, являются асимптотами графика (то есть график их не пересекает).x\in (0;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((0;1)\).
 

Факт 8.
\(\bullet\) Логарифмическая функция \(y=\log_ax\) при \(a>1\) является возрастающей, ее область определения \(x>0\), ее область значений \((-\infty;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((1;0)\).

 

\(\bullet\) Логарифмическая функция \(y=\log_ax\) при \(0<a<1\) является убывающей, ее область определения \(x>0\), ее область значений \((-\infty;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((1;0)\).

 

Квадратичная функция, как построить Параболу

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ: наглядно.
  • Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

  • a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
  • b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
  • с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x2:

 

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно составить таблицу:

x

-2

-1

0

1

2

y

4

1

0

1

4

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x2 выглядит, как перевернутая парабола:

 

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

-2

-1

0

1

2

y

-4

-1

0

-1

-4

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

  • Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
  • Если старший коэффициент меньше нуля a < 0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

  1.  Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:
  1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
  2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:



Если a > 0, то график выглядит как-то так:

 

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

 

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax

2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x2 + 3x — 5.

Как строим:

  1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
  2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x2 + 3x — 5.

D = b2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

√D = 7

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x2 + 3x — 5 = 0

  1. Координаты вершины параболы:
  1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
  2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)

2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1)2 + 4.

Как строим:

  1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:
  • построить y = x2,
  • умножить ординаты всех точек графика на 2,
  • сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.
  1. Построить график параболы для каждого случая.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) * (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x — 2) * (x + 1).

Как строим:

  1. Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x — 2) * (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = -1.

  1. Определим координаты вершины параболы:
  1. Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab =(-2) * (1)= -2 и ей симметричная.

  1. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Графики простейших функций — линейная, параболы, гиперболы, экспоненты, показательные, степенные, логарифмическая, синус, косинус, тангенс, котангенс изучаемых в школе Справочная таблица. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)
















рэнд

Название функции Формула функции График функции Название графика Комментарий
Линейная, прямая пропорциональность y = kx Прямая Cамый простой частный случай линейной зависимости — прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 — коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная, прямая пропорциональность со сдвигом y = kx + b Прямая Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b — любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.
Квадратичная функция y = x2 Парабола Простейший случай квадратичной зависимости — симметричная парабола с вершиной в начале координат.
Квадратичная функция y = ax2 + bx + c Парабола Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a — произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c — любые действительные числа
Степенная функция y = x3 Кубическая парабола Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Степенная — корень квадратный y = x1/2 График функции
y = √x
Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Степенная — обратная пропорциональность y = k/x Гипербола Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1.
Показательная функция y = ex Экспонента Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e — иррационального числа примерно равного 2,7182818284590…
Показательная функция y = ax График показательной функции а>1 Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1).
Показательная функция y = ax График показательной функции 0<a<1 Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1).
Логарифмическая функция y = ln(x) График логарифмической функции — натуральный логарифм График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.
Логарифмическая функция y = logax График логарифмической функции — логарифм по основанию а>1 Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
Логарифмическая функция y = logax График логарифмической функции 0<a<1 Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1).
Синус y = sinx Синусоида Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Косинус y = cosx Косинусоида Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».{2}}\) вершиной из начала координат в точку \( \displaystyle (-2;-1)\), только прямые оси двигать намного легче, чем кривую параболу.

Теперь, как обычно, сам.

Формула вершины параболы

Обычно формулу координаты x вершины параболы используют, когда имеют дело с квадратичной функцией.

Квадратичная функция имеет вид: y = ax2 + bx + c.

Ее график — это парабола с вершиной, координаты которой определяются по формулам:

Однако формулу координаты y знать и использовать не обязательно. Обычно проще подставить найденное значение x в саму квадратичную функцию и найти оттуда y.

Например, если дана функция y = 2x2 – 4x + 5, то координата x ее вершины будет равна:

x = –(–4 / (2 × 2)) = 1

Координату же y вычислим, подставив найденный x в саму функцию:

y = 2 × 12 – 4 × 1 + 5 = 3

Таким образом, вершина графика функции y = 2x2 – 4x + 5 находится в точке с координатами (1; 3).

В остальном парабола квадратичной функции вида y = ax2 + bx + c такая же как функции вида y = ax2. Отличие лишь в сдвиге вершины по сравнению с функцией y = ax2. Так в приведенном выше примере (y = 2x2 – 4x + 5) парабола будет по форме и направлению ветвей такой же, как для функции y = 2x2. Разница лишь в координатах вершин парабол.

Формулы вершины параболы получаются при преобразовании квадратичной функции к виду y = f(x + l) + m. Делается это методом выделения полного квадрата. Как известно функции вида y = f(x + l) + m отличаются от функций y = f(x) сдвигом из графиков по оси x на –l и по оси y на m. Именно l в преобразованной квадратичной функции оказывается равным –b/2a, а m = (4ac – b2) / 4a. То есть l и m — это координаты x0 и y0 соответственно.

Доказывается это применением метода выделения полного квадрата к квадратному трехчлену общего вида ax2 + bx + c. При этом выполняются следующие преобразования:

  1. Объединим первые два члена многочлена: y = (ax2 + bx) + c
  2. Вынесем коэффициент a за скобку, при этом b разделится на a:

  3. Представим, что у нас есть квадрат суммы, в котором x одно из слагаемых, а из выражения в скобках надо получить его полный квадрат суммы. Одночлен (b/a)x умножим на 2 и разделим на 2 одновременно. Также прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получим:

  4. Выделим квадрат суммы:

  5. Умножим на a:

  6. Приведем к общему знаменателю свободные члены:

  7. Поменяем знак:

Таким образом, мы привели функцию y = ax2 + bx + c к виду y = a(x + l)2 + m, что соответствует функции y = f(x + l) + m, где f(x) = ax2. А как строить графики последней известно.

Квадратичная функция, парабола, график, свойства: нули, вершина, ось симметрии, промежутки возрастания, убывания. Тесты

Тестирование онлайн

  • Квадратичная функция

Определение. График

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с — числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x

2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) — начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x2 — частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

Парабола

Когда вы пинаете футбольный мяч (или стреляете стрелой, запускаете ракету или бросаете камень), он поднимается вверх по дуге и снова падает …

… по пути параболы!

(Кроме того, как воздух влияет на него.)

Попробуй ударить по мячу:

images / parabola-ball.js? mode = мяч

Определение

Парабола — это кривая, в которой любая точка находится на равном расстоянии от:

  • фиксированная точка (
    фокус
    ) и
  • фиксированная прямая (
    директрикс
    )

Возьмите лист бумаги, нарисуйте на нем прямую линию, затем сделайте большую точку для фокусировки (не на линии!).

Теперь поэкспериментируйте с некоторыми измерениями, пока не получите еще одну точку, которая будет находиться на таком же расстоянии от фокуса и прямой линии.

Продолжайте, пока у вас не будет много маленьких точек, затем соедините маленькие точки, и у вас будет парабола!

Имена

Вот важные имена:

  • г.
    директрикс
    и focus (объяснено выше)
  • ось симметрии (проходит через фокус, перпендикулярно директрисе)
  • г.
    вершина
    (где парабола делает самый резкий поворот) находится на полпути между фокусом и директрисой.

Отражатель

А парабола обладает удивительным свойством:

Любой луч, параллельный оси симметрии, отражается от поверхности по прямой к фокусу .

И это объясняет, почему эта точка называется фокусом

… потому что там фокусируются все лучи!

Таким образом, параболу можно использовать для:

  • спутниковые антенны,
  • антенна радарная,
  • концентрирует солнечные лучи, чтобы создать горячую точку,
  • отражатель на точечные светильники и фонари,
  • и т. Д.

Мы также получаем параболу, когда разрезаем конус (разрез должен быть параллелен стороне конуса).

Итак, парабола — это коническое сечение (сечение конуса).

Уравнения

Простейшее уравнение параболы: y = x 2

В перевернутом виде получается y 2 = x

(или y = √x только для верхней половины)

Немного шире:

y 2 = 4ax

, где a — это расстояние от исходной точки до фокуса (а также от исходной точки до директрисы)

Пример:
Найдите фокус для уравнения y

2 = 5x

Преобразуя y 2 = 5x в y 2 = 4ax , мы получаем y 2 = 4 (5/4) x ,

, поэтому a = 5/4 , а фокус y 2 = 5x равен:

Уравнения парабол в разной ориентации следующие:

y 2 = 4ax

y 2 = −4ax

x 2 = 4 дня

x 2 = −4 дня

Измерения параболической тарелки

Если вы хотите построить параболическую тарелку с фокусом на 200 мм над поверхностью, какие измерения вам нужны?

Чтобы упростить сборку, давайте сделаем так, чтобы он был направлен вверх, и поэтому мы выберем уравнение x 2 = 4ay.

И мы хотим, чтобы «a» было 200, поэтому уравнение принимает следующий вид:

x 2 = 4ay = 4 × 200 × y = 800y

Переставляем так, чтобы можно было вычислить высоту:

y = x 2 /800

А вот измерения высоты, пока вы бежите:

Расстояние вдоль («x») Высота («y»)
0 мм 0.0 мм
100 мм 12,5 мм
200 мм 50,0 мм
300 мм 112,5 мм
400 мм 200.0 мм
500 мм 312,5 мм
600 мм 450.0 мм

Попробуйте построить его сами, это может быть весело! Только будьте осторожны, отражающая поверхность может сконцентрировать много тепла в фокусе.

567 568 833 834, 2088, 2089, 2086, 2087, 3334, 3335

Парабола

Парабола — это набор точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной точки и данной линии в этой плоскости. Данная точка называется фокусом , , а линия называется направляющей . Середина перпендикулярного сегмента от фокуса к директрисе называется вершиной параболы.Линия, проходящая через вершину и фокус, называется осью симметрии (см. Рисунок 1.)

Рис. 1. Две возможные параболы.

Уравнение параболы можно записать в двух основных формах:

В форме 1 парабола открывается вертикально. (Он открывается в направлении « y ».) Если a > 0, он открывается вверх. См. Рисунок 1 (а). Если a <0, открывается вниз. Расстояние от вершины до фокуса и от вершины до линии директрисы одинаковое.Это расстояние

Парабола с вершиной в ( h , k ), открывающаяся вертикально, будет иметь следующие свойства.

  • В центре внимания будет.

  • Директриса будет иметь уравнение.

  • Ось симметрии будет иметь уравнение x = h .

  • Его форма будет y = a ( x h ) 2 + k .

В форме 2 парабола открывается горизонтально. (Он открывается в направлении « x ».) Если a > 0, он открывается вправо. См. Рисунок 1 (b). Если a <0, он открывается влево.

Парабола с вершиной в точке ( h , k ), открывающейся горизонтально, будет иметь следующие свойства.

  • В центре внимания будет.

  • Директриса будет иметь уравнение.

  • Ось симметрии будет иметь уравнение: y = k .

  • Его форма будет x = a ( y k ) 2 + h .

Пример 1

Нарисуйте график y = x 2 . Укажите, в каком направлении открывается парабола, и определите ее вершину, фокус, направляющую и ось симметрии.

Уравнение y = x 2 можно записать как

y = 1 ( x -0) 2 + 0

, поэтому a = 1, h = 0 и k = 0.Поскольку a > 0 и парабола открывается вертикально, ее направление — вверх (см. Рисунок 2).

Вершина: ( h , k ) = (0, 0)

Фокус:.

Директрикс:.

Ось симметрии:

Рисунок 2. Свойства парабол.

Пример 2

График. Укажите, в каком направлении открывается парабола, и определите ее вершину, фокус, направляющую и ось симметрии.

Уравнение такое же, как.

Поскольку a <0 и парабола открывается горизонтально, эта парабола открывается влево (см. Рисунок 3).

Вершина: ( h , k ) = (–3, –2)

Фокус:

Директрикс:

Ось симметрии:

Рисунок 3. График примера.

Пример 3

Поместите уравнение x = 5 y 2 — 30 y + 11 в форму

x = a ( y k ) 2 + h

Определите направление раскрытия, вершины, фокуса, директрисы и оси симметрии.

x = 5 y 2 -30 y + 11

Выносите за скобки коэффициент y 2 из членов, включающих y , чтобы можно было заполнить квадрат.

x = 5 ( y 2 — 6 y ) + 11

Завершение квадрата в круглых скобках добавляет 5 (9) = 45 к правой стороне. Добавьте это количество в левую часть, чтобы уравнение оставалось сбалансированным.2} = 4ax $$ парабола открывается вправо, если $$ a> 0 $$, и влево, если $$ a <0 $$. Точка посередине между фокусом и направляющей на параболе называется вершиной. Вершина параболы - начало координат. Линия, проходящая через вершину и фокус, называется осью параболы. 2} = - 4ay $$

Фокус

$$ \ left ({a, 0} \ right) $$

$$ \ left ({- a, 0} \ right) $$

$$ \ left ({0, a} \ right) $$

$$ \ left ({0, — a} \ right) $$

Вершина

$$ \ влево ({0,0} \ вправо) $$

$$ \ влево ({0,0} \ вправо) $$

$$ \ влево ({0,0} \ вправо) $$

$$ \ влево ({0,0} \ вправо) $$

Ось

$$ y = 0 $$

$$ y = 0 $$

$$ x = 0 $$

$$ x = 0 $$

Директрикс

$$ x = — a $$

$$ x = a $$

$$ y = — a $$

$$ y = a $$

Латус прямой кишки

$$ x = a $$

$$ x = — a $$

$$ y = a $$

$$ y = — a $$

Длина L.

$$ | 4a | $$

$$ | 4a | $$

$$ | 4a | $$

$$ | 4a | $$

График

8.4: Парабола — математика LibreTexts

Знаете ли вы, что олимпийский факел зажигается за несколько месяцев до начала игр? Обрядовый метод зажигания пламени такой же, как и в древности.Церемония проходит в Храме Геры в Олимпии, Греция, и уходит корнями в греческую мифологию, отдавая дань уважения Прометею, который украл огонь у Зевса, чтобы раздать его всем людям. Одна из одиннадцати действующих жриц помещает факел в фокус параболического зеркала (рис. \ (\ PageIndex {1} \)), которое фокусирует солнечные лучи, чтобы зажечь пламя.

Параболические зеркала (или отражатели) могут улавливать энергию и фокусировать ее в одной точке. О преимуществах этого свойства свидетельствует обширный список параболических объектов, которые мы используем каждый день: спутниковые антенны, подвесные мосты, телескопы, микрофоны, прожекторы, автомобильные фары и многие другие.Параболические отражатели также используются в устройствах альтернативной энергетики, таких как солнечные плиты и водонагреватели, поскольку они недороги в производстве и не требуют значительного обслуживания. В этом разделе мы рассмотрим параболу и ее использование, в том числе недорогие и энергоэффективные солнечные конструкции.

Графические параболы с вершинами в начале координат

Ранее мы видели, что эллипс образуется, когда плоскость пересекает правый круговой конус. Если плоскость параллельна краю конуса, образуется неограниченная кривая.Эта кривая представляет собой параболу (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Parabola

Подобно эллипсу и гиперболе, парабола также может быть определена набором точек на координатной плоскости. Парабола — это набор всех точек \ ((x, y) \) в плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной линии, называемой направляющей , и фиксированной точкой (фокус ) не на направляющей. .

Ранее мы узнали о вершине параболы и оси симметрии.Теперь мы расширяем обсуждение, чтобы включить другие ключевые особенности параболы (Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)). Обратите внимание, что ось симметрии проходит через фокус и вершину и перпендикулярна направляющей. Вершина — это середина между направляющей и фокусом. Отрезок прямой, проходящий через фокус и параллельный направляющей, называется прямой кишкой , прямой кишкой . Концы прямой кишки лежат на изгибе. По определению расстояние d от фокуса до любой точки \ (P \) на параболе равно расстоянию от \ (P \) до директрисы.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Ключевые особенности параболы

Для работы с параболами в координатной плоскости мы рассматриваем два случая: с вершиной в начале координат и с вершиной в точке . кроме происхождения. Начнем с первого.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

Пусть \ ((x, y) \) будет точкой на параболе с вершиной \ ((0,0) \), фокусом \ ((0, p) \), и директрису \ (y = −p \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {4} \). Расстояние d от точки \ ((x, y) \) до точки \ ((x, −p) \) на направляющей — это разность значений y : \ (d = y + p \).2 = 4py \), когда ось y является осью симметрии. Эти стандартные формы представлены ниже вместе с их общими графиками и ключевыми характеристиками.

СТАНДАРТНЫЕ ФОРМЫ ПАРАБОЛ С ВЕРТЕКСОМ \ ((0,0) \)

Таблица \ (\ PageIndex {1} \) и Рисунок \ (\ PageIndex {5} \) суммируют стандартные характеристики парабол с вершиной в начале координат.

Таблица \ (\ PageIndex {1} \)
Ось симметрии Уравнение Фокус Директрикс Конечные точки прямой мышцы живота
x — ось \ (y ^ 2 = 4px \) \ ((p, 0) \) \ (х = −p \) \ ((p, \ pm 2p) \)
y — ось \ (х ^ 2 = 4py \) \ ((0, р) \) \ (у = −p \) \ ((\ pm 2p, p) \)

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): (a) Когда \ (p> 0 \) и ось симметрии совпадает с осью x, парабола открывается вправо.(b) Когда \ (p <0 \) и ось симметрии является осью x, парабола открывается влево. (c) Когда \ (p <0 \) и ось симметрии совпадает с осью y, парабола раскрывается. (d) Когда \ (p <0 \) и ось симметрии совпадает с осью y, парабола открывается вниз.

Ключевыми особенностями параболы являются ее вершина, ось симметрии, фокус, директриса и прямая кишка , прямая кишка (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). Когда дано стандартное уравнение для параболы с центром в начале координат, мы можем легко определить ключевые особенности для построения графика параболы.2 = 4px \), то

  • ось симметрии — ось \ (x \), \ (y = 0 \)
  • установите \ (4p \) равным коэффициенту при \ (x \) в данном уравнении для решения относительно \ (p \). Если \ (p> 0 \), парабола открывается вправо. Если \ (p <0 \), парабола открывается влево.
  • используйте \ (p \), чтобы найти координаты фокуса, \ ((p, 0) \)
  • используйте \ (p \), чтобы найти уравнение директрисы, \ (x = −p \)
  • используйте \ (p \), чтобы найти конечные точки прямой кишки, \ ((p, \ pm 2p) \).2 = 4py \), то
    • ось симметрии — ось \ (y \), \ (x = 0 \)
    • установите \ (4p \) равным коэффициенту при \ (y \) в данном уравнении для решения относительно \ (p \). Если \ (p> 0 \), парабола раскрывается. Если \ (p <0 \), парабола открывается вниз.
    • используйте \ (p \), чтобы найти координаты фокуса, \ ((0, p) \)
    • используйте \ (p \), чтобы найти уравнение директрисы, \ (y = −p \)
    • используйте \ (p \), чтобы найти конечные точки прямой кишки, \ ((\ pm 2p, p) \)
  • Постройте фокус, директрису и широчайшую прямую кишку и нарисуйте плавную кривую, чтобы сформировать параболу.2 = 4 пикселя \). Таким образом, ось симметрии — это ось x . Отсюда следует, что:

    • \ (24 = 4p \), поэтому \ (p = 6 \). Поскольку \ (p> 0 \), парабола открывается вправо на
    • координаты фокуса \ ((p, 0) = (6,0) \)
    • уравнение директрисы: \ (x = −p = −6 \)
    • конечные точки прямой кишки имеют одинаковую координату x в фокусе. Чтобы найти конечные точки, подставьте \ (x = 6 \) в исходное уравнение: \ ((6, \ pm 12) \)

    Затем мы рисуем фокус, директрису и широту прямой кишки и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу (рисунок \ (\ PageIndex {7} \)).2 = 4py \). Таким образом, ось симметрии — это ось \ (y \). Отсюда следует, что:

    • \ (- 6 = 4p \), поэтому \ (p = — \ dfrac {3} {2} \). Поскольку \ (p <0 \), парабола открывается вниз.
    • координаты фокуса: \ ((0, p) = (0, — \ dfrac {3} {2}) \)
    • уравнение директрисы \ (y = −p = \ dfrac {3} {2} \)
    • конечные точки прямой кишки можно найти, подставив \ (y = \ dfrac {3} {2} \) в исходное уравнение, \ ((\ pm 3, — \ dfrac {3} {2}) \)

    Затем мы строим фокус, директрису и прямую кишку , прямую кишку и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу.2 = 8л \). Определите и обозначьте фокус, направляющую и конечные точки прямой кишки latus .

    Ответ
    • Фокус: \ ((0,2) \)
    • Направляющая: \ (y = −2 \)
    • Конечные точки прямой кишки: \ ((\ pm 4,2) \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

    Графические параболы с вершинами не в начале координат

    Как и другие графики, с которыми мы работали, график параболы можно преобразовать.2 = 4p (y − k) \) для парабол, ось симметрии которых параллельна оси \ (y \) -. Эти стандартные формы представлены ниже вместе с их общими графиками и ключевыми характеристиками.

    СТАНДАРТНЫЕ ФОРМЫ ПАРАБОЛ С ВЕРТЕКСОМ \ ((H, K) \)

    Таблица \ (\ PageIndex {2} \) и рисунок \ (\ PageIndex {11} \) суммируют стандартные характеристики парабол с вершиной в точке \ ((h, k) \).

    Таблица \ (\ PageIndex {2} \)
    Ось симметрии Уравнение Фокус Директрикс Конечные точки прямой мышцы живота
    \ (y = k \) \ ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) \) \ ((h + p, k) \) \ (х = h − p \) \ ((h + p, k \ pm 2p) \)
    \ (х = в \) \ ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) \) \ ((h, k + p) \) \ (у = k − p \) \ ((h \ pm 2p, k + p) \)

    Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): (a) Когда \ (p> 0 \), парабола открывается вправо. 2 = 4p (y − k) \), то:

    • используйте данное уравнение для определения \ (h \) и \ (k \) для вершины, \ ((h, k) \)
    • используйте значение \ (h \) для определения оси симметрии, \ (x = h \)
    • установите \ (4p \) равным коэффициенту при \ ((y − k) \) в данном уравнении, чтобы найти \ (p \).Если \ (p> 0 \), парабола раскрывается. Если \ (p <0 \), парабола открывается вниз.
    • используйте \ (h \), \ (k \) и \ (p \), чтобы найти координаты фокуса, \ ((h, k + p) \)
    • используйте \ (k \) и \ (p \), чтобы найти уравнение директрисы, \ (y = k − p \)
    • используйте \ (h \), \ (k \) и \ (p \), чтобы найти конечные точки прямой кишки, \ ((h \ pm 2p, k + p) \)
  • Постройте вершину, ось симметрии, фокус, директрису и широчайшую прямую кишку и нарисуйте плавную кривую, чтобы сформировать параболу.2 = 4p (x − h) \). Таким образом, ось симметрии параллельна оси \ (x \). Отсюда следует, что:

    • вершина \ ((h, k) = (- 3,1) \)
    • ось симметрии \ (y = k = 1 \)
    • \ (- 16 = 4p \), поэтому \ (p = −4 \). Поскольку \ (p <0 \), парабола открывается влево.
    • координаты фокуса: \ ((h + p, k) = (- 3 + (- 4), 1) = (- 7,1) \)
    • уравнение директрисы: \ (x = h − p = −3 — (- 4) = 1 \)
    • конечными точками прямой кишки являются \ ((h + p, k \ pm 2p) = (- 3 + (- 4), 1 \ pm 2 (−4)) \) или \ ((- 7, — 7) \) и \ ((- 7,9) \)

    Затем мы рисуем вершину, ось симметрии, фокус, директрису и широту прямой кишки и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу (рисунок \ (\ PageIndex {10} \)).2 = 4 (x − 8) \). Определите и обозначьте вершину, ось симметрии, фокус, директрису и конечные точки прямой кишки latus .

    Ответ
    • Вершина: \ ((8, −1) \)
    • Ось симметрии: \ (y = −1 \)
    • Фокус: \ ((9, −1) \)
    • Направляющая: \ (x = 7 \)
    • Конечные точки прямой кишки широта : \ ((9, −3) \) и \ ((9,1) \). 2−8x − 28y − 208 = 0 \).2 & = 4⋅7⋅ (y + 8) \ end {align *} \]

      Отсюда следует, что:

      • вершина \ ((h, k) = (4, −8) \)
      • ось симметрии \ (x = h = 4 \)
      • , так как \ (p = 7 \), \ (p> 0 \), поэтому парабола открывается
      • координаты фокуса: \ ((h, k + p) = (4, −8 + 7) = (4, −1) \)
      • уравнение директрисы: \ (y = k − p = −8−7 = −15 \)
      • конечными точками прямой кишки являются \ ((h \ pm 2p, k + p) = (4 \ pm 2 (7), — 8 + 7) \) или \ ((- 10, −1) \) и \ ((18, −1) \)

      Затем мы рисуем вершину, ось симметрии, фокус, директрису и широту прямой кишки и рисуем плавную кривую, чтобы сформировать параболу (рисунок \ (\ PageIndex {14} \)).2 = −20 (y − 3) \). Определите и обозначьте вершину, ось симметрии, фокус, директрису и конечные точки прямой кишки latus .

      Ответ
      • Вершина: \ ((- 2,3) \)
      • Ось симметрии: \ (x = −2 \)
      • Фокус: \ ((- 2, −2) \)
      • Директриса: \ (y = 8 \)
      • Конечные точки прямой кишки широта : \ ((- 12, −2) \) и \ ((8, −2) \).

      Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

      Решение прикладных задач с использованием парабол

      Как мы упоминали в начале раздела, параболы используются для проектирования многих объектов, которые мы используем каждый день, таких как телескопы, подвесные мосты, микрофоны и радарное оборудование.Параболические зеркала, такие как то, которое используется для освещения олимпийского факела, обладают уникальным отражающим свойством. Когда лучи света, параллельные оси симметрии параболы, направляются к любой поверхности зеркала, свет отражается прямо в фокус (рисунок \ (\ PageIndex {16} \)). Вот почему олимпийский факел зажигается, когда он находится в фокусе параболического зеркала.

      Рисунок \ (\ PageIndex {16} \): Отражающее свойство парабол.

      Параболические зеркала обладают способностью фокусировать солнечную энергию в одной точке, повышая температуру на сотни градусов за считанные секунды.Таким образом, параболические зеркала используются во многих недорогих, энергоэффективных солнечных устройствах, таких как солнечные плиты, солнечные обогреватели и даже разжигатели огня для путешествий. 2 = 4py \), где \ (p> 0 \).2 & = 6,8y \ qquad \ text {Substitute} 2,25 \ text {for} x \\ y & \ приблизительно 0,74 \ qquad \ text {Решить для} y \ end {align *} \]

      Блюдо имеет глубину около 0,74 дюйма.

      Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

      Солнечные плиты размером с балкон были разработаны для семей, живущих в Индии. Верх тарелки имеет диаметр \ (1600 \) мм. Солнечные лучи отражаются от параболического зеркала в сторону «плиты», которая расположена на расстоянии \ (320 \) мм от основания.

      1. Найдите уравнение, моделирующее поперечное сечение солнечной плиты.2 = 1280x \)

    Ответ б

    Глубина плиты \ (500 \) мм

    Уравнение параболы — определение, формулы, решенные примеры и часто задаваемые вопросы

    Определение и уравнение параболы

    Парабола — это часть правого конуса, параллельная одной стороне (производящей линии) конической фигуры. Подобно кругу, парабола также является квадратичной зависимостью, но отличается от круга: либо «A» будет возведено в квадрат, либо «B» будет возведено в квадрат, но не оба сразу.При этом парабола — это набор всех точек M (A, B) на плоскости таким образом, что расстояние от M до определенной точки F, известной как фокус, эквивалентно расстоянию от M до определенной линии, известной как направляющую, как показано ниже на графике.

    [Изображение будет загружено в ближайшее время]

    Параболическое уравнение

    Общее уравнение параболы: y = x², в котором квадрат x является параболой. Вверху получается y² = x или математически выражается как y = √x

    Формула уравнения параболы

    Известно, что фокус (h, k) и направляющая y = mx + b, уравнение параболы имеет вид [ y — mx — b] ² / [м² +1] = (x — h) ² + (y — k) ².

    Определите параболу на штрихе

    Форма параболы — это то, что вы видите, когда покупаете рожок мороженого и отрезаете его параллельно стороне рожка.

    Полезность параболы

    Думайте о простой дуге, и вы поймете, что такое парабола. Теперь вы узнаете о параболах и их уравнениях стандартной формы, поскольку эти уравнения довольно часто применимы в реальной жизни.

    Если бы не было парабол, у нас не было бы мобильных и телекоммуникационных услуг, куда бы мы ни пошли.У нас не было бы и новейшего телевизора-тарелки! Мобильные телефоны и спутниковое телевидение запускают в космическое пространство спутники параболической формы. Таким образом, парабола может быть использована для:

    • антенн радара или спутника связи

    • спутниковых антенн

    • отражателя на факелах и прожекторах

    • фокусировки солнечных лучей для создания горячей точки

    Уравнение для параболы в стандартной форме

    Давайте узнаем, как описать нашу параболу алгебраически.Наше уравнение основывается на декартовой координатной плоскости с осями, а именно x и y. В основном у нас есть два разных типа стандартных уравнений, которые различаются в зависимости от направления нашей параболы.

    Запишите уравнение для парабол, которые открывают путь вверх или вниз

    Для таких парабол уравнение стандартной формы имеет вид [x — h] ² = 4p [y — k]

    Здесь точка фокусировки определяется как ( h, k + p).

    Эти параболы открываются по оси y, и, таким образом, значение p добавляется к значению y вершины.

    [Изображение будет загружено в ближайшее время]

    Напишите уравнение для парабол, открывающих путь в сторону

    Для таких парабол уравнение стандартной формы имеет вид (y — k) ² = 4p [x — h] T

    Здесь, точка фокусировки обеспечивается (h + p, k)

    Они открываются по оси x, и, таким образом, значение p затем добавляется к значению x нашей вершины.

    [Изображение будет загружено в ближайшее время]

    Тем не менее, эти параболы тем более одинаковы, только x и y поменяны местами.4p в стандартной форме уравнения для параболы всегда имеет сечение, не возведенное в квадрат. Алфавиты h, k и p обозначают числа, которые помогают нам получить полезную информацию о положении нашей параболы.

    Уравнение параболы в форме вершины

    Вершина параболы — это точка, в которой парабола проходит через свою ось симметрии. В случае, если коэффициент у члена x² положительный, тогда вершина будет расположена в самой нижней точке на графике, точке в основании U-образной формы.Напротив, если коэффициент при члене x² отрицательный, вершина будет расположена в самой высокой точке на графике, наверху U-образной формы.

    Уравнение параболы в «форме вершины» также можно записать как

    y = a (x − h) 2 + k

    [Изображение будет скоро загружено]

    Решенные примеры

    Example1:

    Для уравнение параболы y = 3×2 + 12x − 12. Узнать его вершину?

    Решение1:

    Учитывая, что

    y = 3×2 + 12x − 12

    Здесь m = 3 и n = 12.

    Таким образом, координата x вершины получается равной:

    −12 2 (3) = −2

    Теперь, подставляя в исходное уравнение для получения координаты y, получаем:

    y = 3 [−2] 2 + 12 [−2] −12 = −24

    Таким образом, вершина параболы находится в точке (−2, −24)

    Пример 2:

    Для уравнения параболы y = 2 (х-3) 2 + 4. Найти вершину параболы с помощью следующего уравнения? В какую сторону он открывается вверх или вниз?

    Решение2:

    Вершина оказывается = (-3, 4), и она открывается вверх, поскольку «а» положительно.

    В более общем плане:

    y² = 4ax

    В котором ‘a’ — это расстояние от исходной точки до F (и от исходной точки до директрисы)

    Интегральная линия Y оси y = ax + b

    Теперь похоже, что

    ax² + bx + c делает y равным 0 и 1

    Таким образом,

    У нас есть, a x² + [bx + c] = 1

    Тогда = [a x²] + [bx + c] = 0

    Следовательно, мы получаем стандартную параболическую форму как y = a x² + bx + c

    Интересные факты

    • В стандартной форме уравнения параболы буква h всегда сопровождает «x» и «k» всегда совпадают с осью «y».

    • Лучший способ не забыть о спаривании — это придумать алфавитную таблицу. точно так же, как y идет после x в алфавитной таблице, аналогично k идет после h

    Формула параболы — Что такое формула параболы?

    Географическое место любой точки, равноудаленной от данной точки (фокуса) и данной линии (директрисы), называется параболой. Паскаль утверждал, что парабола — это проекция круга. Галилей объяснил, что снаряды, падающие под действием равномерной гравитации, движутся по траектории, называемой параболической траекторией.Формула параболы помогает представить общую форму этого параболического пути на плоскости.

    В математике любая плоская кривая, которая является зеркально-симметричной и обычно имеет общую U-образную форму, называется параболой.

    Давайте изучим формулу параболы на решенных примерах.

    Что такое формула параболы?

    Общее уравнение параболы:

    y = a (x — h) 2 + k (обычный)

    x = a (y — k) 2 + h (сбоку)

    где,

    (h, k) = вершина параболы

    Четыре формы параболы и их формулы:

    Вывод формулы уравнения параболы

    Возьмем такую ​​точку P (x, y) на параболе, что PF = PB… (1)… PB перпендикулярна l .Точка B — это (- a, y). Итак, по формуле расстояния мы знаем, что

    PF = √ {(x — a) 2 + y 2 }
    Кроме того, PB = √ (x + a) 2

    Так как PF = PB [из (1)], получаем
    √ {(x — a) 2 + y 2 } = √ (x + a) 2

    Возводя обе стороны в квадрат, мы получим (x — a) 2 + y 2 = (x + a) 2 или, x 2 — 2ax + a 2 + y 2 = x 2 + 2ax + 2 .После решения уравнения имеем y 2 = 4ax, где a> 0. Таким образом, любая точка параболы удовлетворяет уравнению:

    y 2 = 4ax… (2)

    Давайте теперь проверим обратную ситуацию. Если точка P (x, y) удовлетворяет уравнению (2), то

    PF = √ {(x — a) 2 + y 2 }
    = √ {(x — a) 2 + 4ax}… используя правую часть уравнения (2)
    = √ (x 2 — 2ax + a 2 + 4ax) = √ (x 2 + 2ax + a 2 )
    = √ (x + a) 2 = PB… (3)

    Следовательно, мы можем заключить, что точка P (x, y) удовлетворяет уравнению.(2) будет лежать на параболе. Кроме того, уравнения (2) и (3) заключают, что уравнение параболы с вершиной в точке (0,0), фокусом (a, 0) и направляющей x = — a, равно y 2 = 4ax.

    Теперь, поскольку a> 0, x может иметь любое положительное значение или ноль, но не иметь отрицательного значения. Следовательно, кривая бесконечно далеко уходит в первый и четвертый квадранты. Положительная ось абсцисс будет осью параболы.

    Аналогичным образом мы можем вывести уравнения парабол как:

    • (б): y 2 = — 4ax,
    • (c): x 2 = 4ay,
    • (d): x 2 = — 4ay.

    Приведенные выше четыре уравнения являются стандартными уравнениями парабол.

    Давайте посмотрим на применение формулы параболы в следующем разделе.

    Есть вопросы по основным математическим понятиям?

    Станьте чемпионом в решении проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

    Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

    Примеры использования формулы параболы

    Пример 1: Уравнение параболы: y 2 = 24x.Найдите длину прямой кишки, фокус и вершину.

    Решение: Найти: длину прямой кишки, фокус и вершину параболы

    Дано: уравнение параболы: y 2 = 24x

    Следовательно, 4a = 24

    а = 24/4 = 6

    Теперь, формула параболы для прямой кишки:

    Длина прямой мышцы живота = 4a

    = 4 (6)

    = 24

    Итак, формула параболы для фокусировки:

    Фокус = (a, 0)

    = (6,0)

    Теперь формула параболы для вершины:

    Вершина = (0,0)

    Ответ: Длина прямой кишки = 24, фокус = (6,0), вершина = (0,0)

    Пример 2: Уравнение параболы: 2 (y-3) 2 + 24 = x.Найдите длину прямой кишки, фокус и вершину.

    Решение: Найти: длину прямой кишки, фокус и вершину параболы

    Дано: уравнение параболы: 2 (y-3) 2 + 24 = x

    Сравнивая его с общим уравнением параболы x = a (y-k) 2 + h, получаем

    а = 2

    (ч, к) = (24, 4)

    Теперь, формула параболы для прямой кишки:

    Длина прямой мышцы живота = 4a

    = 4 (2)

    = 8

    Итак, формула параболы для фокусировки:

    Фокус = (0, а)

    = (0,2)

    Теперь формула параболы для вершины:

    Вершина = (24,4)

    Ответ: Длина прямой кишки = 8, фокус = (0, 2), вершина = (0, 0).

    Пример 3: Какое уравнение представляет параболу с фокусом (0, 0) и директрисой y = 4?

    Решение:

    Учитывая это, Focus = (0, 0) и директрису y = 4

    Предположим, что на параболе есть точка (x, y).

    Его расстояние от точки фокусировки (0, 0) составляет √ (x — 0) 2 + (y — 0) 2

    Его расстояние от директрисы y = 4 равно | y — 4 |

    Следовательно, уравнение будет:

    √ (x — 0) 2 + (y — 0) 2 = | y — 4 |

    Нанесите угольник с обеих сторон.

    (x — 0) 2 + (y — 0) 2 = (y — 4) 2

    x 2 + y 2 = y 2 — 8y + 16

    х 2 + 8лет — 16 = 0

    Ответ: Следовательно, уравнение параболы с фокусом в точке (0, 0) и директрисой y = 4 будет x 2 + 8y — 16 = 0.

    Часто задаваемые вопросы о Parabola Formula

    Что такое общее уравнение формулы параболы?

    Общее уравнение параболы:

    y = a (x — h) 2 + k (обычный)

    x = a (y — k) 2 + h (сбоку)

    где,

    (h, k) = вершина параболы

    Где формула параболы используется в реальной жизни?

    Параболы используются в физике и технике для траектории баллистических ракет, конструкции отражателей автомобильных фар и т. Д.

    Как вы решаете проблемы, используя формулу параболы?

    Для решения задач на параболах используется общее уравнение параболы, оно имеет общий вид y = ax 2 + bx + c (вершинная форма y = a (x — h) 2 + k) где, ( h, k) = вершина параболы.

    Все ли формулы параболы представляют функцию?

    Все параболы не обязательно являются функцией. Параболы, которые открываются вверх или вниз, считаются функциями.

    Парабол

    Квадратичная функция — это функция, которую можно записать в форме f (x) = ax2 + bx + c, где a, b и c — действительные числа и a 0.Эта форма называется стандартной формой квадратичной функции.

    График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой .

    График уравнения y = x2, показанный ниже, представляет собой параболу. (Обратите внимание, что это квадратичная функция в стандартной форме с a = 1 и b = c = 0.)

    На графике высшая или низшая точка параболы — это вершина. Вершиной графика y = x2 является (0,0).

    Если a> 0 в f (x) = ax2 + bx + c,
    парабола открывается вверх на .В этом случае вершина является минимальной или самой низкой точкой параболы. Большое положительное значение a дает узкую параболу; положительное значение a, близкое к 0, делает параболу широкой.

    Если a <0 в f (x) = ax2 + bx + c, парабола открывается вниз на . В этом случае вершина — это максимальная или самая высокая точка параболы. Опять же, большое отрицательное значение a сужает параболу; значение, близкое к нулю, делает его широким.

    Для уравнения в стандартной форме значение c дает пересечение графика y .

    Линия, проходящая через вершину и разделяющая параболу на две симметричные части, называется осью симметрии.

    Уравнение оси симметрии для графика y = ax2 + bx + c, где a ≠ 0, равно x = −b2a

    На всех вышеприведенных графиках ось симметрии — это ось y, x = 0. На графиках ниже ось симметрии другая (отмечена красным). Обратите внимание, что c по-прежнему дает точку пересечения с y.

    Если вы напишете квадратичную функцию типа x = f (y) = ay2 + by + c, где x является функцией y (вместо ay как функции x), вы получите параболу, в которой ось симметрии горизонтальна. .

    Обратите внимание, что в этом случае c является точкой пересечения с координатой x. Если a положительно, график открывается вправо; если a отрицательно, график открывается слева.

    Пример:

    Напишите уравнение оси симметрии и найдите координаты вершины параболы y = −3×2−6x + 4.

    Уравнение оси симметрии для графика y = ax2 + bx + c.

    х = −b2a

    Заменим −3 вместо a и −5 вместо b в уравнении оси симметрии.

    х = −− 62 (−3) = −1

    Итак, уравнение оси симметрии x = −1.

    Поскольку уравнение оси симметрии имеет вид x = −1, а вершина лежит на оси, координата x вершины равна −1.

    Чтобы найти y-координату вершины, сначала подставьте −1 вместо x в данном уравнении.

    y = −3 (−1) 2−6 (−1) +4

    Упростить.

    у = −3 + 6 + 4 = 7

    Следовательно, координаты вершины параболы равны (−1,7).

    См.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.